169

GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

  • Upload
    vutu

  • View
    234

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� � �������� ��

������� ��������

���������� � �������������� ���� ��������

��� ����

Page 2: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens
Page 3: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ����

��� ����� ������ �� �� ������� �� �� � �� � ���� ����������� � ����

� �� � ���� ����� � � ��� �� ������ � �� ���������� � �� � ��

� ���� �� ������� ������� � �� �� ���� �� ��� ��� �� ��� � ���� !�� "

� �� � ��������� #����������� � $� ����� ����� � %&&% � �����

'������ �� � �� ����� ���� ������ ��� �� �� ��� ������ ���� ����"

� ������ ��� ��������� �� ������� ��������� ���� �� ��� ��"

�������� � �� ���� ���� � �� (� ���� )� � ����� � ����� � � ��� ��

*���� � �� (� �� ����� �� � (�� ������� ���� � ���� �� ������

���������� ��+�����+ ��������� � �� ����� �������� ����������� � "

���� �� � �� ������ �������� �����������

,���� �� ����� �� �� � �� � �� � ��� �� ���� �� � � ����� � ��

�� � ��+�������� ������ � ( ��� ���� ��+���� � ������� � �� � ��

� ���� ���� � ��� � � � ����� ���� � � �)�)��� ���� � �� �� � �� ��

������ � ������ ����� � ���� )���+ ����� � �� �� �� �� � ��+�� ����

� � ��������� � �� � ������ ��� ������ �� !�� � �� � ���������

� ���� ������� � �� ���� �� �� � ����� *� �� �� �� �� � ������ ���"

�� � �� ����� ������� � ����� � ��������� � ���������� ���� ����

� ��+�� ���� � ���� �� � ���� -����(�� *� � (� � ���)� �� �� �� ��+"

����� � �� .� � ���� /�� ����(�� � ���� �� -������� 0�����(� ��+�� ����

�� � ���(��� ��� � � � ����� GCLC � ����� � � (� �� ������ �����

��+�� ���� � ���� �� .��� 1������ ��( ���� ������� � �� � ��� ��

� ��� ��� �� � � � ������ �� � 2 ����� 1����� ��( � �� �� �����

�������� �� ������

$� ����� %%� ��� %&&3� � ���� 4�� �

Page 4: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens
Page 5: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�������

� ���� �

� ���� ��� ����� ����� ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� � ���� ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� ���� ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ������ ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!����� ��������� ��������� ������ ����� � � � � � � � ������� ���� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������" ����� �� !�" � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �� � ����� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � #!

��" #� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !���"�� ���$� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !���"�� #� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !"

��� % �����&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ����� #�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ����� '��(������ � ��(������ ���� � ���� � � � ������" '� ���� ����� ∧ � ∨ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

) *��� �� �����(� �+,"�� -� (� �� ���� � �����(. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��#"�� ���� ��� � ���� � �����( � � � � � � � � � � � � � ���

"���� /��� �����" 0������� ����&�(� � � � � � � � � ���"���� /������ ����&�(1 ������ N � � � � � � � � � � � � � ���"���" 2� �������� ������1 ������ L � � � � � � � � � � � � � �"�"���� 3��� ������� ������ N � L � � � � � � � � � � � � � � �"#"���� /��0����� ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���"��� %� ������� � ��0������������ ����� ���� � � � ��""���# ������� 0��0����� ����� ���� � � � � � � � � ���

Page 6: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens
Page 7: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

����� �

���

�� ��� ������

$�� �� %���&�� ������' ��� (�&� � ������ ���) *����%+������ ������ ���� %���,� ��- ������ � ��� %���%��& .%��/��&0 �����(��,� .�����,�'����,�0� � ������ �&�' ����������� � +�� �� �� %���%�� �����(��,� ����� � ,���� �������������' �� � � �� %��/������� ������� �� %���,� +���� %���&�� ������� 1����(��,� �� ����� &����� %��/�� 2�� %��/� ��&��������������� &���� �������� ����� 1� %�(���� �����(��,� %������� ����� %���/� .�����&�/���0' � �������� ��� %��/�� �� ��� %������� ������� %������ .� %�(���� � ��������0 �� ��%��� .��%+���' � ,�&� � &���0�� ����& %�������& ������' ��� ������ �� ��(���/�& ����� %�������� �������� �����(��,�&� ������&� ��(���/� �� ���� �&� &��� %����� �� �� �������� .��(��0 ��� ��������� .����(��0� 3�(���/� ���� �&��� �� ������� � ������ 4����' %�����&� �� ����5 ����� � %���%��& �����(��,������&� ��� ����� 6������ ����� ���&� %���%����� .%��&��0' � �����7��� �����(��,� �� �����(��� 8�9�&� �� �� %���%����� ���� �����(���

:����� � ��� �%����& .��������&0 �����(��,�&�� $�� � �� �7%���� �����(��,�) 2� � �����(��,� ����&� � (�� ��������' ��� ��7���(��,� �� ���� �9�- ��� � %���%����� �������' ���� � �����(��&��� ���� ������� ;� %��&��� �%����� �����(��,��

Page 8: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� � �4%'

������ �

-����� �� ������ ���� �����

���� �� ��� � � ������� ��� ����� �� �����

������ -����� �� ������ ���� ��� � � ������� ��� ����� �� �����

� ��& �����(��,� ��� %���%����� � ������� � �����(�� �� �������<�� (��,� ��������� ���� ������ ���������& �� ������,� �� �� �� ���� ��7���(��,� �%����� � �%����& �����(��,�&� �����(�� &��� �� ��9��'���%���� .''��� ������=0 ���� �� %���%������ ;� ������ �����(��,� ���&� � � ����� �������' � �(������� �� �� �����(�� �� ���� ��9�� ��%���%������

������ �

5���� �� � (��

*��� ���� � (� � ���� � ���

������ ����� �� ���� � ���

���� %�������&� ���� � �����(��,� � �������&� �� %���,� �� �� � ����%�����

������ �

6� 4����( �� � �� * ��� �� ��������

.�� � ������ � �����)� * ��� �� ������� ���� � 7���

������ 6� 4����( �� �� 7��

������

4��� � �� ��� �� �����

.�� ��� �� ���� � ������� � 0������ � ���

������ 4��� � � ����� � 0������ � ���

*� ���&� �� �� ����� ��������' ������ ���������� %���%����� � ��7���(��� �� �����&� /�� %���%�� �����(��,� � ����� ��& �� �&� �%�������� %���%��� � ������ � �&�&� �� �� %�� %���%����� ��(��' ����� �� ��7��(�� � �����(�� �� ����(��� <�� �� ���� ����� �%���� �����(��,�� 6��7��&� �&� %���%�� �����(��,�- �� ���� �� �� >� <���� ����� *������������� � �� � � �����+,� �������/� *������ ������� ���� 3��' ��������� �� �� >� <���� ��� 3�� � ������ ��� %���%����� � ����(��'�����(�� �� ����(��' � �%�� �&�&� �%���� �����(��,�?

4����' &���&� ���� ��&� �%����� � �/���&� �%������ �����(��,��6�������&� ���� � %��&���

Page 9: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"

������ �

-� �� �����

-��)� ��� ��

������ ��)� �����

�� ��� ����� � ��(��' ��� �����(�� �� ���� ��9��' ''��� ������= �� %���7%������ *��&�' �� ���� ��9�� �� ��� +�� �&� ������ ��� � �&� ����������� > &�(�� ��� %�' ��� �� ����?

3���� &� �� %���&�� ������ ��� �%���� .��������0 �����(��,�' ���&�9� � �� � �� �� ,�� %��� � �%����,� ���� �����(��,� � �%����' ����� �� ���� � ��& �%����,� &���&� ��������� �������� � �������7��� %���%����� � �����(�� �� �%������ �&�� %���%�� �����(��,��6������������ ��(���' ���� ����� �� (��� �� �����(�� ������ � ���� ����� �����(��' � �� ������ �9�� �� �� �� %������ ������� � ��& %�7��%�� .''%����,�=0 �� %���%����� �� �����(�� ������&� ���� %����� ����%����� �%��� ��& ''%����,�&= �� %���%����� �� �����(��' ��� %���7��&� ���� (��� �����(��,�' ��� � ������� 4����' ������� ������ �� ������� � �%�+� %����� %� ����&� � %��/� �����(��,� ������ � %��7/�� �����(��,� ����� ��& �� �%����� %����� ���� � � ,�&� ������'��� �%����� .���������0 %����� �����(��,�� 2� %����� &����� (�7��� �������� � %� ,�&� �����(�� ��9��' ���%���� &��� ������ �� ����5%���%������ @��� %����� �����(��,�' ���� �� �������5 %���%��������%����' ��9�� ���� ������� �����(��' ������� � ��������� %������1����(��,� ���� � ����� �� ���������5 %����� � �%���� �����(��,�� ���&� �5 ��������� �����(��,� .��������� ����,�0 7 �����/����

4����' ��� &�9�&� %��/���� �� � �� � �����/��� %���&�� ����9��,��������

4�������� �����(��,� �� ���� %���&�� ��+ �����/������� ������� <��7����� �� ��� %���& %��&�� � %���& ��9��� �����,� �����(�� �� %���%���7��� @�& ����' �� �� ������ � ���������� ����� ��(��� ����,� �����(���<�� � ,���� ����(�� ���&����,� � ����9��,�' ��� � ����9��,� ��7����(� ,����� ����' ���� � �� ����& %�������& ������' ��(����' ����&%�������& ������ ����� ���& %��&�����&�� 4� ��&� ������ ���� %��7/����� � ������ %���%�� �����/���' �9�� �� ����� �� ��&� � ���&�����%���%�����' �����(/� � %����� �����(��,� .��������� %�����0�

2�� � ������ %������ XIX ��� %�(��� �� ����,� ������ ������ ���� &����� ���&� ��� ���&���� ����� ������� � ��� �,��� �&� � ����� ��&������&' � ���' � ����' ��/�&� �&� ��� ���������� � ,�&�� � ��& ������%����� %����� ��(� � �����& ���(�,�&' ����(�� ��������� :���(�� ���7����� � ����(�� ����/�- ��� � ���A ��� ��� ���A �� ���' ��� ���A ��� �� � �� �� ���.��� ��� ���0A �� ���� ���� � ���(���� � ������� ����/�� :���(�� ��������� � ������������� .�������0- ���� � ���� ���� � ������� � ����/�&����(���� � %���������� ����/�� @�& ����(��5 �������� �9�� � � �����7���� %����� ���� (��� �����/��� � ���� ���&� � ����(�� %����� .%�����

Page 10: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� � �4%'

����,�0� ���� ����(�� %����� ���9� ����(�� ��������' � �&� � ��������� ���� � %��&������ ��9�&� ������� � %�����& ����/�&� ����(��5%�����' ��� ����(��& ���&�&� ��5 %������ 1��� � (��� ���(� �� � ��������� ���&����& �����/���&�� 6�&��� �&� ����� %������ ����(�� %�����'%����� modus ponens� *��� � X � Y %�������� ������ 6����� modusponens �� ���� �� ������-

%�� %���%�����- X����� %���%�����- 4� �� X' ��� �� Y�����(��- Y:���(�� %����� � ���(�+ � ��%���� ����-

P1, ..., Pm

Z

��� � P1' ���' Pm %���%�����' � Z �� �����(��� 3�/�&� ��+ �� � � ����/� ������� �� ���� ������ ������ �&��� ⇒' %� �� %����� modus ponens %��������Æ�,� ���� �� ������-

X, X ⇒ Y

Y

��� X � Y &��� ���� ���� ���� ������:����� �� ������ ��������(��' ���� � %��/���� ����� ���� � ����9��� �

&���&�����&� @�� +�� �� ������(������ ������������� &���&����� .+�� ��%��%��� ������� � ��������� �� �����5 �����0 �� ������ ���� &���&���(������� �� ����� ��������� �����(��,� ��&� � %���%����� ������� .���%��5� ��� ��� �������0� 4����' ������ �� %�����,�& � &���&�����& ��7���� � %����� ��� �����,�' ��� %�(��� �� �� � ��� �����/���&� � �����&���&������ 6��9�&�,�& ������ � &���&����� ������ �� ���&��� ������(��� %�(���� � ����(��� ����� B��C� ���� .George Boole0' � %����� �����D������ E����� .Gottlob Frege0 � ������ %������ XIX ���� 3������,� �������/������� ������ %��������� �� %��&���& �&��� ������ � �&����(�������� ��� &���&���(�� ������� >��� ������ �9�� ������������� ��������� .��� � �&����&� ���� ������0' �&� �&����(�� ������ ���� �+� �+������ �%������� ����&����� �� %����� ����� %��� �����,� ������' ������� �� %����� ���(���� ����� &���&������ 6�����,� ������ � &���&�7���� %�(��� �� ��� ����+ �,� ������ � &���&���/�' � ����� �� �� ���� ���� ������ %����� ����� &���&������ @��� � ,���' �%+�� %��5� ���' �&�-&���&���(�� ������� 4��� %���� ����������� %����� ��+�� ���' ���7��&� � �� �' ���� ��&� �����5 ��� ������ ��& &���&���(���

����������� �� ������

� ��& ������ �&� %�������� ����� �9�� ��������� &����� �����(��,�'&����� &���&���(�� �����/���� 6������� ������ � ,�5�� ������ �&����9�� ����� � &���&���(��� �����/���� ���% (��� ���&���� � � %������������� 0, 1, 2, 3, ... �� ��% N� ���% N+ �� ��% %�������5 ������ N ��� �����

Page 11: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

6���%����&� �� �&�&� �����I0' I1' I2' � � � ' Ik' � � �

� �� �� ��+ ������� �� ����9�&� �� � � �� ����� ��(��� 4����& ��(�&�'��+ ������� �� �� ����9�&� ���� �-

�� ���� ��� ��� �� � n ���� In �� ������

*� %��&��' ���� �� ��+ ������� �� ����9�&� �� �� � %������� ������ n�9� ���� � ������- 2n > n� � ��& ���������& %��&��� �����

I0' I1' I2' � � � ' Ik' � � �� ����&

20 > 0� 21 > 1� 22 > 2� � � � � 2k > k� � � �

� &� &���&� �� ����9�&� �� � � �� ����� ��(���6��&� �����,� �� ����& � ����� &����� &���&���(�� �����/��� ��

��+��,� ��� ������� ������ �� �������� ���� ��6��- ���� I0 �� ��(���4����- � �����

4� I0� ��� I1�4� I1� ��� I2����4� Ik� ��� Ik+1����

� ��(��' ����� ��� %������� ���� k ��(�� �� ����- �� Ik� ��� Ik+1�

F������ &����� &���&���(�� �����/��� %�(�� �� ���� �&' �(��������%����& �����,�� *��%�� ����9�&� �� �� ��(�� %�� ����' ���� I0�1���&' ������ � (�,���/� �� �� ��(�� ���� I0' � �� �� �� ��(�� ���� �� I0' ��� I1' ������&� �� �� ��(�� � ���� I1� >� ��(���� ����� I1 � �� ��(��������� �� I1' ��� I2 �����(�&� �� �� ��(�� I2� *�����&�' � �� ��(��������� I2 � �� I2' ��� I3 �����(���&� �� �� ��(�� ���� I3' � ���� ����� 4����'&�9�&� �����(��� �� �� �� ��� %������� ���� n' ���� In ��(���

3����,� �� ����& � ����� &����� &���&���(�� �����/��� �%���� �� ����� �& %��&���&� 1�&���&� ��� ��&��� ���� ���� �%���� � �����& ����� ���&� ���� ��&��� �� %�� .��� ���� ��&��� ������� ����� 00� 6���%����&��� ���&� ���� �- %��' �� � %�� ��&��� %��� .��� �� �� ���� I0 ��(��0 ������' �� � ��� ��� ���� ��&��� %����' ���� %��� � ��&��� %��� ,�' ,������� ��&��� .��� �� �� �� ��� %������� ���� k ���� �� Ik' ��� Ik+1

��(��0� @��� �%���� �����(���&� �� � � ��&��� %���' ��� ������ �� �������� �5 �&� .��� �� � � ����� I0' I1' I2'���' Ik'��� ��(��0�

������ &���&���(�� �����/��� &�9�&� ��%���� � �� ���� � ��(��-��� �� ��(�� I0 � �� ��� %������� ���� k ��(�� �� ����- �� Ik� ��� Ik+1'���� �� ��(�� ���� In �� ��� %������� ���� n�

4�� I0 ��� � ���� �����/���' �����/���� ����� ��- �� Ik' ��� Ik+1' �,��� ��� Ik � ��� �����/���� %���%������

���� �����/���� ����� � ��� ������ ��� &���&���(�� �����/��� ������ �� ������- �� ��(���� ����� �� %������� ���� k ���� ��(��� �����

Page 12: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� � �4%'

�� %������� ���� k + 1� 1��� �&� �� � �� �� ��� �����/���� ����� %����� �k �� k + 1�

4���9�&� &�����& &���&���(�� �����/��� ����� ������ %�������5 ���7����

������ � 1� ��� %������� ���� n �9�-

0 + 1 + 2 + 3 + ... + n =n · (n + 1)

2�

���� �����/���� 1� n = 0 �&�&� �� �� I0 ��(��- 0 =0 · (0 + 1)

2� 4����'

���� �����/��� �� ��(���

���� ��������&� �����/���� �����- �� Ik' ��� Ik+1�

� ��& %��&��� �����/���� %���%�����'

Ik' �� 0 + 1 + 2 + 3 + ... + k =k · (k + 1)

2'

� Ik+1 �� 0 + 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =(k + 1) · ((k + 1) + 1)

2�

6���%����&� �� �9� Ik� 2��� �� ��� 0 + 1 + 2 + 3 + ... + k ������

0 + 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) ������k · (k + 1)

2' %� �&�&�

0 + 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) =k · (k + 1)

2+ (k + 1)

=(k + 1)(k + 2)

2=

(k + 1)((k + 1) + 1)

2�

4����' �9� Ik+1' ��� �9� �����/���� �����- �� Ik' ��� Ik+1�

*� ���� &���&���(�� �����/��� �����(���&� �� �� ��� %����7

��� ���� n �9�- 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n =n · (n + 1)

2�

6��&���&� �� %����� ���� ���� �� �9� �� �������� %��5 %�����7��5 ������' ��� �9� �� � ����� %������� ������' %�(� �� ����� %�������������� 1� �� �� �9�� �� � &����� &���&���(�� �����/��� ������ � �� ������7�,� ����5 ������ � ��& ��(����&� ���� �����/��� ���� I0' ���� Im' ����� m %�� %������� ���� �� ����� �9� �� �������

;� ������ ����� %��&����

������ � 1� ��� %������� ���� n' n ≥ 4' �9�- 3n2 > 3n + 19�6�� %��&���&� �� ���������� 3n2 > 3n + 19 ����� �� �9� ����� n ������� 0' �' � ��� "� 1��� �� ���� �����/��� � ��& %��&��� ��

n = 4- 3 · 42 > 3 · 4 + 19' ��� 48 > 31 � ��� �� ��(���>����/���� ����� ��-

��� �9� 3k2 > 3k+19' ���� �9� 3(k+1)2 > 3(k+1)+19�

Page 13: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

#

6���%����&� Ik' ��� �� �� ��(�� 3k2 > 3k + 19� 2��� �&�&�-

3(k + 1)2 = 3(k2 + 2k + 1) .��� �� (a + b)2 = a2 + 2ab + b20

= 3k2 + 6k + 3> 3k + 19 + 6k + 3 .���� %���%� 3k2 > 3k + 190= 3k + 3 + 19 + 6k= 3(k + 1) + 19 + 6k≥ 3(k + 1) + 19 + 0 .��� �� 6k ≥0 �� ��� %������� ���� k0

4����' �9�- 3(k+1)2 > 3(k+1)+19' ��� �������� &� �����/����������1����(���&� �� �� ��� %������� ���� n ���� �� ������ ��� � � ��

� �9�- 3n2 > 3n + 19�

1�&���& n � n + 4 � ����������� 3n2 > 3n + 19 �� ������� � ������&����������� 3(n + 4)2 > 3(n + 4) + 19 ���� �� ��(�� �� ��� %������� ���� n�4����' �&�&� ����- �� ��� %������� ���� n �9�- 3(n + 4)2 > 3n + 31 ��� ���� � �������� �����/���& (��� ���� �� �� n = 0�

1� %������ %��&��� &���&���(�� �����/��� �9�� �� ��� � &�������������� ���� �5 ����- .�0 ��(�� �� ���� I0 � .�0 �� ��� %����������� k ��(�� �� ����- �� Ik' ��� Ik+1� *��&�' ������� �� ��5 ���� ����%�����/� ���� ������� 1��� � � ������&� � ����&� � ������ &���&���(�������/��� &����� �������� � ���� �����/��� � �����/���� ������ ������������ ��� ���� ��(��' ���� �� &�9�&� �� �����(�&� �� �� �� ��� %����������� n ��(�� ���� In� *��+ �&� ����� %��&�� � ��&� �9� �����/���������' � �� �9� ���� �����/����

������ � 2�Æ�,�- �� ���� ��� ��� �� � n ���� �� �� �� � 2n+1�� �� � 2 ���� ��(��� ��Æ���&' �����/���� ����� �9�� *��&�'�� �����/���� %���%�����- ���� 2k + 1 �� ���� � �' ��� %�����%������� ���� l ���� �� �� 2k +1 = 2 · l' ���� �� �� ���� 2 · (k +1)+1���� � �� 6���9�&� ���2 · (k + 1) + 1 = 2 · k + 2 + 1 = 2 · k + 1 + 2

= 2 · l + 2 .���� %�� 2k + 1 = 2 · l0= 2(l + 1)�

4����' ���� 2 · (k + 1) + 1 �� ������ %������� ����� � � ����� l + 1'��� ���� �� � �� 2�&� &� �������� �����/���� ������ <�� +���� � ����&) ���� 2n + 1 �� n = 0 �� 1 � �� ������ ���� ���� � 2�1����(���&� �� ��+� ��Æ�,� ���� ��(���

4����' &��� � ����� ��(��� �� � ��� ����9� � ���� �����/��� � �����7/���� ������

����&���(�� �����/��� &�9�&� %�&������ ��� �����(��,� (��� %���7%����� � ���� �����/��� � �����/���� �����' � �����(�� ��- �� ���� ��� "��� �� � n� ���� In �� ������ >�����&� �� � %���%����� � �����(�� &���7&���(�� �����/��� ����%����' ��� �� � �� ,���� �����(�� &�9�&� �����

Page 14: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

! ���� � �4%'

,��� %���%������ *��&�' ��� �9� ���� �� ���� ��� ��� �� � n� In ��

�����' ����-− �� n ������� 0 ������&� �� �� ��(�� I0 �− �� %�������� %������� ���� k � %������� ���� k + 1 ������&� �� � ��(��Ik � Ik+1' %� �� ��(�� � ����- �� Ik' ��� Ik+1�

2� ���(� �� �9� ���� � �����(��,�-

��� �� �� ��� %������� ���� n ��(�� In'���� �9�- I0 �� ��(�� �

�� ��� %������� ���� k ��(�� �� ����- �� Ik' ��� Ik+1�

*����� �� � %���� �� �������,� �����5 ����� %�������5 ��������&�&� &���� ������ �� ��� �����(��,�' ��� ��� ���&� �� ���� �������9� �� ��� %������� ���� n ��&� %������ �� �����(���&� �� �� �������9� �� n = 0 � �� �� �� ��� %������� ���� k ��(��- �� Ik' ��� Ik+1�

���� &�9�&� �� � �� &� ������� ����� ����� &���&���(�� �����/���� %��&�� &� �� ���(�&� ���� ��� &���&���(�� �����/���� *��&�' %��������,� ���� � �������� &�����& &���&���(�� �����/���' ��� �� ���+� ��� �������/���� ����� ������- �� ���� �� ������ �9� �� �������� ������ %��k + 1' ���� �� �9� � �� k + 1� 4����(��� ��(���' �� %���&� %����� � k ��k + 1 � �� %������� ��%����� %����� � �������� ������ %�� k + 1 �� k + 1�;� ������ ����� %��&����

������ 6�&�����&� ��� %�������5 ������ �������� �� ��7

�� � ��(��- a0 = 0' a1 = 1' � ak+1 = 4ak − 3ak−1' �� k ≥ 1� *�+ ��7

����� �� �� %���9�&� �� �� ��� %������� ���� n �9�- an =3n − 1

2�

6�+�� ���� �����/��� � �����/���� ����� &������ �� ����'

&�9�&� %�� �� ����9�&� �����/���� ������ 4� ��&� ��������

�� �9� ak+1 =3k+1 − 1

2' ������ �� �� %���%����&� �� �9�

ak =3k − 1

2� ak−1 =

3k−1 − 1

2� 2��� ������&�-

ak+1 = 4ak − 3ak−1 = 4 · 3k − 1

2− 3 · 3k−1 − 1

2=

4 · 3k − 4 − 3k + 3

2=

3k+1 − 1

2�

F��� ak+1 = 4ak − 3ak−1 �9� �� k ≥ 1' ��� k + 1 ≥ 2� 2� ���(�

�� �������� �����/���� ����� �9� �� a2' a3'��� @���� ��& ��+ ��

����9�&� ���� �����/���� � ��& ��(��� ���� �����/��� �� %�����

�� ������ �9� � �� a0 � �� a1- a0 =30 − 1

2=0 � a1 =

31 − 1

2= 1' +��

Page 15: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� %� %���/� ������� ��(��� 1����(���&� �� �� ��� %�������

���� n �9� an =3n − 1

2�

@�� &� �%�������� ����� &����� ���� �� %�� %����� ���� ��� ��� &�����&���&���(�� �����/���' ��� ,��� �%����� %�(�� �� ���& ����&�� *��7&�' � ������ �����(��,� ��� ����- �� I0 � I1' ��� I2A �� I1 � I2' ���I3 � ���� ����� ��%+��' ��� �����/���� ����� �&� l %���%�����' ��� �� l���� %������� ���� � � �� 1' �� &����� � &�9� ��%���� �� ���� � ��(��-

��� ������- ��(�� � I0' I1' ���' Il−1

� �����/���� �����- �� ��� k .k ≥ l − 1 > 00 ��-�� Ik−(l−1) � Ik−l � ��� � Ik' ��� Ik+1'

���� �� ��(�� In �� ��� %������� ���� n�

F�9�� �� ��� � �� � �� %������� ������ ����� ��� &����� &���&�7��(�� �����/��� � �� ��� &���&���(�� �����/��� &������ ����������'��� � +�� &�9�&� �� ����9�&� �����& &�����& &�9�&� �� ����9�&� � ���7��&' � �������� �����&' �� ����������� ���� ��+ ��������� �������� ���� �&� ��� ����� ���������

6���9�&�' �� �����' ��+ ����� ��� &���&���(�� �����/���' %��%��� �����7/���� 6��%��� �����/��� �&� ���� � �����-

��� ������- ��(�� �� I0

� �����/���� �����- �� ��� %������� ���� k �9�-�� I0 � ��� � Ik−1' ��� Ik'

���� �� ��(�� In �� ��� %������� ���� n�

� �������& %��&��� �&� �������� %��%��� �����/����

������ � 4���9�&� ���� � ���,���� ���� ��� ��� �� � n ������ ��� ��(� � 2� ����8 n �� ��� � ��� � ��� �� � ��� � � ��+ �� �����

���� �����/���' n = 2- ���� 2 �� ��� %��� ��� �� %������ %����5������� ���� 2 �� %���' %� �&�&� �� �� ���� �����/��� ��(������� ��������&� �����/���� ������ 6�&����&� %�������� %��7����� ���� k � ������� ��& �� �� %���9�&� �� �� %���%����� �� ��� ������ &�,� �� k �9� �� � ��� %���� ��� %������� %����5������ ���� �� �� ���� � �& ���� k ��� %��� ���� ��� %������%����5 ������� <�� �� k %���' ���� �� %��� ���+�� � �����7/���� ����� �9�� <�� %�� k ���� %���' ���� �� k %������ ������ %������� ����� l1 � l2 ���� � ������ &�,� �� k- k = l1 · l2 �l1, l2 < k� 8��� � ������ l1 � l2 &�,� �� k' �� �� ,�5 �9� �����7/���� %���%�����' %� � l1 � l2 ��� %���� ��� %������� %����5������� 2� ���(� �� �� ���� � ���� k = l1 · l2 %������ %����5 ���7���� 2��� �� ������� �����/���� ������

Page 16: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

1����(���&�' �� ���� %��%��� �����/���' �� �� ��� %����������� n' ���� �� ������ ��� � � �� 2' ��� %��� ���� ��� %������%����5 �������

6��%��� �����/��� %��� � �� %���5���� ��� &���&���(�� �����/���� �%���5����� ��� &���&���(�� �����/��� �����/����& ������& � .�� l > 10%������ � k − (l − 1)' k − l'���' k �� k + 1' ��� �����/���� %���%����� �� �������� �9� �� �������� ������ &�,�5 �� k + 1' � � %��%���� �����/��� ��7���/���� ����� �� %����� � 0' 1' 2'���' k−1 �� k' ��� �����/���� %���%������� �� ������ �9� �� � ������ &�,� �� k� >�����&� .��� �������,� �� �7�����0 �� � %��%��� �����/��� � ������ %��������� �� ��� &���&���(�������/��� �����������

3�/�&� �� ����� �� � %��%��� �����/��� ���� ���(�+ � &����� �� ������7�,� ���,� ���� �&� %�������� � �������& ����/�&� �� �,����

����������

���������� ��(���' ������/���& � ���� .��9�&�' ������+�0 ��� %��&������ ������� %�&� � %������5 ��� � ���������5 %��&�� �� �������� *��7�9���� �� ��� � �� � � ����� ������� %���%��& �������,� �� ������ ������� ����� �� �������' � � �&� ���� ��� %��&��' ������ � %������ .� %����� �0 %��&�� �� ��������

6�������&� ���� � ��(���/�-

������� �� ��� ��� ��� ���� � �� ������ �����)� ��������

-���� �� � �� ��� ��� �� � � �� �� �� �� �� ��� %�

@� ��(���/� &�9�&� &������ ��%�(��& %��&���&� ������/���� ����������/��� ���9� �� �������� ����' definiendum .��� ���� � ������+�0� definiens .��� ����& � ������+�0� 6�� ��(���/� �� ������/��� %��&�������� � ���&������' � ����� �� ������/��� %��&� ���� �� � � ����&���/��� ������/��� ������� &� %���%�����&� �� � �&�&� �������� %���&%�����������' %���& �����/� %�����������' %���& ��9� � �������� ��9�����(�� �� � � �������,�& %����� ������ 6����� �� %���& %�������� ����� �%���& ������� ����� %�������� ����� �����& ��

F��&� %��/���� %���& ������/��� � � ����� � ����� ���(��,� ���7&����� ������ ������� �����&' ��&� � � �� ���,� ��� ���&����� ������� ,����5 ���&��� ���� %������� ������/���� 1��� ���� �&� � ��& �������� � �&� ��+�� ���������� � %���%�� %����,� �%����5 .��������50������/����

F����&� � ������/��� %����� ������ ��9�&� �� � �� ��(���/� �� � ������ � ��(���/� �� � �� ��� ��� � �� �� �� ��� % ��%+����� ���� 1���&� ������/��� %����� ����� &���� ��%���� �� ���� � ��(��-

-���� �� � �� ��&��� �� ��� ��� �� � � �� �� �� �� �� ��� %�

Page 17: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��

��%+��' ��� ������/��� &�9�&� ���&������ � ������A �� ��&��� �� B'

��� �� A definiendum' � B definiens�<�� � �������,�& &���&� ���� ��&� �%������ *����&� �� ���� ����

����� �� �%�,�� �%���� .��������0 ������/��� ���� %��&� ���� ��������.��� �' 6����� ���0 4�����/��� &��� ���� �����,��' ��� ���

��(���/� � ����� � %������� ��� %���& &�9� ���� ��&�,��� � �+� ��(���/�.��� �&� �����&0 � ����&� � %������� �&� ���� %��&��' ��� ��� ���� �%������ ��� � ����������

.��� �0 4�����/��� &��� ���� ����������� .��� ����������0' ��� ��&��� �' ������ � �� ������/���' ����� ���� ���,� ���� � ��� ,� ���(��� �� &���� ����� � ��� ��������

@� %����� ���(� �� ��� %���& ���� � ������+� � ����� ������� &�������� �� ���� �� � �&� ��&��� �� � %����� � .�����,���0' ��� � �� ���� �� ���� ��(�� �� &� ���/��� �� �����&� ���� � �9� .������������0�

� ������ � %���&��� ������ %�&����� &� ����(�� ����� ��� .�� � �� �� 0� F����� ��� ��� �������� ������&� �� %�����,� definiendum7� �definiens7�&� *��&�' ������/��� %����� ����� &�9�&� � ���� ���&�������

$� � �� ���� ���� %� ������/��� ��� �� � �� ��� ��� � �� �� � %�

� ��+�& ������/���&� &� �&� ��� ''���� %� ������/���= ��%�����-����� @�& ���� ������ �&� � ''������� %� ������/���= +�� �&� ��%�����-=def �

6������&� ��� ����� �9�� ��� ������/���' ��������� ������/����6�� %�������&� ����� %��&���

������ � 8��� &�9�&� �� ������+�&� ��%����,� ����� ��7����� ����� a %��������& �����& n �� ��%� N+' ��� an �� %�����7��� ���� n �� ��%� N+) >&�&� ������/��� ���� �� ������-.�0 a1 = aA.�0 an+1 = an · a �."0 an � &�9� ��������� �&� ����(��& %��&���& .�0 � .�0 ��������/����

@� �� %��&�� ����� ��������� ������/���� 6������ �� %������� ����7����� ������(�� ��% �������� ��� ���� *���%+���� ��(���' ��� �� �� ������% �� � ,���� ��9����� ������� ����� %�&� � �����������5' ���� ������� ��������� ������/���� >�������� ������/��� ����� ������(�����%� S ���5 �������� �&� �����-.�0 4�����+� � �������������� .%������0 ������� ���� %��%����� ��%� S�.�0 4�����+� � %���%�� ����& � %�&� � �������� ���� � � ��%� S %������ ������� ��� ��%��."0 @������ � �� ��%� S %��%����� �&� ��� ������� ���� � &��� ������%��&���& .�0 � .�0�

6�������&� ������/��� �� ������� � � ���� ��� ����%+����� ������ ��7������� ������/���� 6������� �� ��������� ������(�� ��% (��� ���&����� � ��%��� ����� ������� ����� a- a1' a2'��� 6�� &� ��������� ���&��� a1

Page 18: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

��� ��%�' ��%�� ����� a %��& �����& ��%� N+ .��� .�00� 1���& &� ������7��� ���� � %�&� � an � a' ���� � � � ��%� S' %��� ,��� ��� ���&���an+1 .��� .�00� 8���(��' ����& ."0 �������&� �� � ���&���� ��%� S &�����%����� �&� �� ��(��� %��������� � �����&� .�0 � .�0�

>�����&� �� � � �������� ���� �� �,��� ������/��� ��&� �9��5%��&��' �� %��&�� %��&� ������ ���&���' ���� ��������� ������/����

������� �������� �������� � �������

� �������& ����/�&� �&�' �� ������ ��%�� �������' ���� ���� � %��7&��- ��%' ����/���' ����/��� � �%���/���' ����� � � �� (�����/ ����9���������� ���� ���� �� � ��& %��&��&� ����� � �����+,�& +�����,��

�������

8����� ��� ��&� %���& ��%� � %���& ���&���� ����� ��%� ��������� %�������� ������ ��& � (����� �� �5 �� ���� ���������' ��� � � &���&���/� &�7����� �����& %��&��&� ���� � �� ������+�� *����� %����� �%+�� %��75� ��� ��������� ���� ��%� ��� ���%��,� .���%��,�0 �������� � �����7��& ����& .������&0 �� 2� ������� ���� ���&����� ��% � ���&���� �����%�� F�9�� �� �� � �� � ��& ���������& %��&�,� ��%� ������(�,� ������ � � �� �������' ���� &��� ���� ���&���� ����� ��%�' %���� �� %������4����' %���& ��%� � %���& ���&���� ��%� 5���&� ��&� ������� � +������2� ������ �� ����� �� ���� �� ���� � &�9� ����' �� %��&��' �� � �� ��� 9' %� ��% (��� � /��� ������ ����� � #� <�� � &�9� ���� � �� � ������ �� � 9' ��� ������� &�9�&� ���%���� � %� ���� �� ��&��� ���� �������>�� ���� � &�9� ���� ���� ���� ��' %� �� �� &���%�� %�&����� ����%� ���� ���&���� ��%� ������� ��& ����&� 4����' �� �� ��� ��% (������&���� � ��%��� <�� ���� ������� 5� �&� �� ������+�&� ��%' ���� ������ %�������� *��+ �&� 3���� %�������

������ ��������

F����� &� �� %� ��& ���������& �%�� ��%� ���&���� ��%�&��� ���� � ��%��� 6�&�����&� ���� ��% R (��� � ���&����� ��%�� X ���� ��� �&� ��� ���&����' ��� � ��%�� X �����&��� ������- X ���� ���&��� ��%� X� 4� �� �&� ����5 ��%��)3� � �&�- ��' �&�� *� %��&��' ��% F (��� ���&���� � ������������ ����� ���� ��%� *��&�' �& ��% F ���� �������' %� �������&��� ��� �&�� � %��%��� ��%� R� 4� �� �&� ��%�� ���� ��%��%����� ��%� R) @%�� �&� �� �- �&�� ���% M ���� ���%��� +�� ���� �,��� � �& ���� �,���' %� �� ���&��� ��� �&�� ��� %��%��� ��%� R� *�&� � � ���� �' ��� +�� �&� �����' ����

Page 19: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�"

�%��� %���,�- +�� �� � �&�& ��%�& R' �� �� �� �� ���&��� ��%�R' ��� �&�� ���) >&�&� �� &��� ����- ��� R ���� ���&��� ��%�R ��� R ���� ���&��� ��%� R�<�� ��% R ���� ���&��� ��%� R' ���� ��% R &��� �&��� �������� �&��� � ���&���� ��%� R' � �� ��- R ���� ���&��� �&��� ���'��� ��% R ���� ���&��� ��%� R? <�� �� �� � �%������� � ��+�&%������& %���%�����& �� ��% R ���� ���&��� ��%� R�4����' ���� &��� �9��� ��-��% R ���� ���&��� ��%� R� <�� �� ��(�� ���(� �� ��% R �&����� �� ���� ���� &� ���%���� ��%�� � %����� ��% R����% R' ��� ��% � ��& ����&' &��� �� ���� ���&��� ��%� R ��%�� &� ������ ���������/���?4����' ������ �� ���� ����& ����& &�9�&� ���&����� ��%����� �� �� �� ���� �� &� ��%����� ��% R (��� ���&���� ��&�9�&� �� ������&��

F���&� �� �� &�9�&� ��%����� �� �� ��% ��� ���%��,� �������� � ��������& ����& � �� ���&��� ��%� &�9� ���� ���� +��' �&� �� �&� �� �7���� @���� &���&����� ���� � ��� ��%��&�' ������� ��%��' %���& ��%�� %���& ���&���� ���&� �� ����� %��&�� � ������� �� ����� ���&���� �������� ���&���� ������� � ���& ����&�&� � %�����&� ����,�� .� ������"�� �� �,��� �� �&� ������/��� ���&���� �������' � � �����& ���� �� �,���'���� ��� � ������ II' �� � %��������� ����&���� ������� ��%��0�

������ � @� ��%�� ������ � &� %�&�,��� ��% %�������5������' ��% N� >&�&� ��+ ��% /���5 ������ ZA ��% ��/�������5������ QA ��% ������5 ������ R � ��% ��&%�����5 ������ C�

� ��& ���� � ��%��&� ��/�&� �� ��(���/� x �� ������� ��� X &���&�7��(�� ��%����&� �� ���� � ��(�� x ∈ X' � ��(���/� x ���� ������� ��� Y�&� &���&���(�� ��%� x /∈ Y +�� �� ��� ���/� �� ���� �� x ∈ Y � *� �����%�&���&� %����� ��% ��� ��% ���� ��&� ������� ���&���� 6����� ��% �&�����(���� � ∅�

/����0

8��� �����&� � %����%� � ���� �����&� � ����� ���� �� ��%�� 6�&�7����&� �� ��%�' �� %��&�� ��%�� X � Y � 4� �� ��% Y ��� %����% ��%�X &����� � ���&���� ��%� Y �� ���� ���&���� � ��%� X� ���% %����5 ���7��� �� %����% ��%� %�������5 ������ N ��� �� ��� %���� ���� � %������������ >���������� �� %�&������ ��(�� ���� �� Y ��+ ��% X � ��(�� ������ Y %����� ��%� >&�&� �� ��� ��% X ���� %����% �&�� ���' ��� � ���� %�������� ��% X %����� ��% ���� ����� ,��� %����%�

4����' ��� �� ���&���� ��%�� X � Y �9� �� �� ��� ���&��� ��%�Y ���&��� � ��%� X' ���� ��9�&� �� �� ��% Y %����% ��%� X' � ����/�Y ⊆ X�

Page 20: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

� �������& %��&��� �&� ������� �� ��&�� � ���� &�9�&� �%��� � �������������& � %�������& %��&��&� ��� +�� � ��% � %����%�

������ � 6�&�����&� ��%�� A = {1, 2} � B = {{1}, {2}, {3}}�4� �� �� ��% A %����% ��%� B) <�� &� ����%���� &�9�&����&�+���� ����- � �� ���&��� ��%� A � {1} �� ���&��� ��%� BA����' � �� ���&��� ��%� A � {2} �� ���&��� ��%� BA � ����� ������ ��+� %���,� �&� ���������- ��� <�� ��� %�9��� %������&����&���� �� �� ��%� ���&� �� �� ���&��� ��%� A ���� �' � ���7&��� ��%� B �� ��% {1}' � �� ���� ���� ;��&���� ��%� A �������' � ���&���� ��%� B � ��%��? 1����(���&� �� ��% A���� %����% ��%� B�

4� ��%� X � Y � �������' � ����/� X = Y ' ��� �� ��% X %����% ��%�Y � ��% Y %����% ��%� X� 4����& ��(�&�' �� ��%� X � Y � ������� ���� �&� ��� �&��� ��� ���&�����

���� ���&� +�� �� %����% � +�� ���(� �������� ��%��' %� &�9�&� ������&� � %���&- ���� %��� %����%� <�� �� ��% Y %����% ��%� X � ��% Y���� ������ ��%� X' ���� ��9�&� �� �� ��% Y %��� %����% ��%� X� 6���%����% Y ��%� X ����(��&� Y ⊂ X� *� %��&��' ��% %�������5 ������ N�� %��� %����% ��%� /���5 ������ Z�

6�&�����&� �&� ����(�� ��%��' ��� ��%�� (��� �� ���� ���&����� ����%������� ����� @�� �&� �&� �� ����(�� ��%�� ���� %��&��- �������������� � %�������� ��%�

8��������� ���� ��%� X �� ���� ,����5 ���&�����' � ����(�� �&� �� �card(X)�

8��� �����&� � %����%��&� ����� ��%� X ��&� � � ������� �� ��%���7&� � ,���� %����%��� *���� ����' &�9�&� %�&������ ��% (��� � ���&��7�� � %����%�� ��� ��%� X� 2�� � ��% ����� %�������� ��% ��%� X'� �����9�� PX� 6�������&� ���� � ��������� %��&���

������ � 6�&�����&� ��% X = {a, b, c}� *����&� � ,����%����%��� 6��' ∅ �� %����% �� X� 6����%�� ��%� X �����&��� ����� ���&��� �- {a}' {b} � {c}� 4�(���� %����%�� ��%�X �- {a, b}' {a, c} � {b, c}� *� �����' ��% X �&� �&� ����� %����%� ��� ���&����' � �� �� �& ��% X = {a, b, c}� 4����' �&�&� �� ��PX = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}� >���������� ������� ������ ���&����� �&� ��% PX� ���% PX �&� ! ���&�����'��� ���������� ���� ��%� PX �� !' card(PX) = 8� 6��&���&� ���9�- card(PX) = 23 = 2card(X)�

��9� � %������� �� �� ��� ����������5 ������ �� ������� � �9��� ��� ��% X � ,��� %�������� ��% PX� 4����' �� ���������� ��������� ��%� X' card(X)' � ���������� ���� ,����� %��������� ��%� PX'card(PX)' �9�- card(PX) = 2card(X)�

Page 21: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��

���(1 0���� � �� � ��0��5 '����� 0������� ��0��

� ��& ������ �&� � %������� ����� %������5 %��&��- %�����' �����'������� � 4�������� %������� ��%���

6���� ��%�� X � Y ' � ����/� X ∩ Y ' ���� ��% �5 ���&����� z �� X �Y ����5 �� z %��%��� ��%� X � z %��%��� ��%� Y �

������ 1� ��%��X = {a, {b, c}, {d}, {b}} � Y = {{a}, {b}, {c}, {d}}'�&�&� �� �� X ∩ Y = {{d}, {b}}�

�%�/������' ��� �� %���� �� ��%� X � Y %����� ��%' ��� X ∩ Y = ∅'���� �� ��%�� X � Y ��9�&� �� � ��������� ��%��� *� %��&��' %������%� %����5 ������ � ��%� ��%����5 ������ �� %����� ��%� 2� �� ��%�� ��������� ��%���

����� ��%�� X � Y' � ����/� X ∪ Y' ���� ��% �5 ���&����� z �� X � Y����5 �� z %��%��� ��%� X ��� z %��%��� ��%� Y �

1� X � Y �� ������� ' �&�&� �� �� X ∪ Y = {a, {b, c}, {d}, {b}, {a}, {c}}���9�&� %�&������ ����� � %���� �+� �� �� ��%�' ����� � %����

��%�� X1,X2, ...,Xn' ��� �� n ���� %������� ���� � � �� �� 6���� ��%��X1,X2, ...,Xn �� ��% �5 ���&����� z �� ��5 ��%�� ���� %��%����� ���&�� ��%�� X1,X2, ...,Xn� 2�� %���� ��� � ��%����&� ∩n

i=1Xn� ����� ��%��X1,X2, ...,Xn �� ��% �5 ���&����� z �� ��5 ��%�� ���� %��%����� ����& ����%�� X1,X2, ...,Xn� 2� ����� ��%����&� ∪n

i=1Xn�

6�������&� ���� ������ ���� �9� �� ��%�� � ,�5�� ����� � %������6��%��� �� ���� �� � ��%�� X ∪ Y � Y ∪ X ������� ��� ��%��' ��� ���9�- X ∪ Y = Y ∪ X� 2���Æ� �9�- X ∩ Y = Y ∩ X� >&�&� ��+ �� �� �������� ��%�� X' Y � Z �9� ���� �-

(X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z) (X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z)(X ∩Y )∪Z = (X ∪Z)∩ (Y ∪Z) (X ∪Y )∩Z = (X ∩Z)∪ (Y ∩Z)X ∩ X = X X ∪ X = X

X ∩ (Y ∪ X) = X X ∪ (Y ∩ X) = X

3������ ��%�� X � Y ' � ����/� X \Y ' ���� ��% �5 ���&����� �� ��%�X ���� �� %��%����� ��%� Y �

1� ��%�� X � Y ' �� ������� ' �&�&� ��% X \ Y = {a, {b, c}} � ��%Y \ X = {{a}, {c}}�

6����� ��� �� ��% Y %����% ��%� X' Y ⊆ X' ���� � ������� X \Y �����&%��&��� ��%� Y � ����� �� ��% X' � �� �&� ����(���� � CXY .���

Y ��� �� ���� � ��& ��%� X �� ��(0�

������ � 6�&�����&� ��% %�������5 ������ N = {0, 1, 2, 3, ...}� ��% /���5 ������ Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}� ���% N ��%����% ��%� Z' %� �� N ∪ Z = Z � N ∩ Z = N� 3������ N \ Z �������� %����� ��%� 8��� �� N ⊂ Z' ���� �9� Z \N = CZN � �����% (��� � �������� /��� ������' CZN = {−1,−2,−3, ...}�

Page 22: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� � �4%'

���� &� ������� ��%��' %� &�9�&� ����� ��+ ���� ������ ���� �9��� ���� ���� ��%�� X' Y � Z� .X � Y � ��&%��&���� ����& ��%�� X � Y� ����� �� ���� ��% X1�0

X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y ) ∪ (X \ Z) X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y ) ∩ (X \ Z)X ∩ Y = X ∪ Y X = X X ∪ Y = X ∩ Y

���� �&� ���� ��+ ����� ��&� �9�� %���& ������� ��%�� � /��� &���7&�����' %���& ������� %���� 1� �� ������� a � b' ������ %�� �������� a �b .��� ������ �����0 �� ��% {{a}, {a, b}}� ������ %�� �������� a � b ��7��(��&� (a, b)' ��� �� ����� �� �� a %��' � �� �� b ����� (��� ��� �������%���� *� ��� ��(�� &�9�&� ���� ������ ������ (a, b, c)' ������ (������(a, b, c, d) � ���� ����� 1� �����(��� ���&���� a � b �9� {a, b} = {b, a}' ��� ���� �����(��� ���&���� ����� %�� (a, b) ���� ������ ������& %��� (b, a)� @�&����' ��� � ������� a � b ������� �� �����&� � ��%� {a, a}' ��� %����� �����%�� (a, a)� G������� ������5 %���� ������+�&� �� ���� � ��(��-

(a, b) = (c, d) ���� a = c � b = d�8����� � %���& ������� %���' ����&� ��&� �9�� ��� ��%��' 4������%������ �� ��%��

4������ %������ ��%�� X � Y � ����/� X×Y ' ���� ��% �5 ���Æ���5%���� (x, y) ����5 �� x %��%��� ��%� X � y %��%��� ��%� Y �

1� ����� ��% X 4������ %������ X × X ��� � ��%����&� X2� @�&�5%��&���&� �� �� ������������� ���Æ���� %���' �� �� �9�� ������� ,����5(�����' ������&� ���� � ������ 4�������� %�������- ��� ��%�� X � Y��� �������' ���� ��%�� X × Y � Y × X ��� ��������

8�� � �� ����� � %����' %����� � 4������ %������ ��%�� X1' X2'���' Xn'��� �� n ���� %������� ���� � � �� �� 6���&� � &��� � n7����� (x1, x2, ..., xn)� ����&� �� %�� ���&��� �� %��� ��%�' ��� x1 ∈ X1' ����� ���&��� �� �������� ��%�' ��� x2 ∈ X2' � ���� ���� � �� xn ∈ Xn� ���% (��� � ���7&���� � n7����� (x1, x2, ..., xn)' ��� �� x1 ∈ X1' x2 ∈ X2' ���' xn ∈ Xn' ����4������ %������ ��%�� X1,X2, ...,Xn � ����/� X1 ×X2 × ...×Xn� 1� ������% X 4������ %������ X × X × ... × X .��� � ��% X %������� n %���0��� � ��%����&� Xn�

����

>�����,� � ����/���&� %�(��&� %��&���&� �� ���(��� 9����� *� %��&��'��(���/�& 0 ��� �� ������ � *�� ��' %��������� �� ����/��� ��&�Æ� ��(���� ����� ������ ����� >� ��� ��%�� � ��� �� �� ����/��� ���9� ���������' %� ��9�&� �� �� �������� ;� ����� ����/��� �� ���� ��& ����� ����(�����- ��� �� ���� � ������ ��� �� � �������� ���� 6���&� �- ���� %���&����� ����/���) *� %��&��' ���� �&� �� ����� ��%� ���� L �������� %�������� � � ����/��� ����� ������ ����� 6�� ��%���&� � &��� � ���Æ��� %������ ���� �� ��� ��%� L .��� ��%���&� ��% L×L0' � ���� ������&� ��� %�������� (��� �� (����' ���� �� �� %�� �� ��� %��� ������ �� ������� �� ��

Page 23: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�#

���Æ��� %���� %��� ����� %����% ��%� L × L' %����% σ' �� ���� ��9�&��� �� ����� ������� ����/��� �� ��%� L� F�9�� �� �� � �� &� &����' %��� �%����% ��%� L × L %� ����& �����& ����' �� %��&��' ����� ���� ����' ��������&� ��� %����% σ ��%� L × L� � %��&�,� ����/��� &� ����&�����&�������� ��&�Æ� ����� ���� � �� ����� �� %����%� σ ��%� L × L ������&� � ����/��� σ �� ��%� L�

4����' %����% 4�������� %������� X ×X' ��% ρ' ρ ⊆ X ×X' ����� �������� ����/��� ρ �� ��%� X�

G���� �� �����5 �������5 ����/��� �� ����/��� ���������- =� � &���&�7��/� �&�&� �������� �� ����� � �������� �� ��%� .� (�&� &� � ���7����0� 8��� �� ��� ������� ����/��� ���� ��%' ���� �� � ����/��� = �������%� ��Æ���&' �� ���� �� ������� x � y ���� � ������� ������ �� %�+�&�(x, y) ∈ =' ���� %�+�&� x = y� > �� ���� ���� ������� ����/��� ρ' �������� � x � y � ����/��� ρ' ��� (x, y) ∈ ρ ��%��� �&� � �� ���� � ��(��-x ρ y� � ������ � ��%��&� ��& ����/��� ��������� ��%��' %�&�,��� &�� ����/��� ����� ��� ���� � ����� ���� ��� �����

6��&���&� �� ��+� %��&��� ����/��� ����� ������ ���� � ����� ��� ���� ��� %����%�� 4�������� %������� X × X ����� ��%� X� *��&�' ������/��� � ������� � ��� (���� �� %��� � ��� ���- �� (����' �� ��%����Æ���&' +�� �� � ����/���& ��� �� ���� � ��������� �� � �������� ���) ���� �&� %�������� � ���� ��� ����/��� � ��+ ���� ����� ����

������� �������� ����Æ ��������� ���� X � ���� Y ��9� � ���� � ����7��� ����/��� ��&�Æ� ���&����� ��%�� ���� ��� �������� 6����% 4��������%������� X × Y �� ������� ����/��� ��&�Æ� ���&����� ��%� X � ��%� Y �

������ � >&�&� ��% X = {6��������' �������' :�����' 6����}� ��% Y = {;�&���9' :��}� G���� ������� ����/��� ρ ��&�Æ����&����� ��%� X � ��%� Y �� ��������� �� ���� � ��(��-(x, y) ∈ ρ ���� x �� ���� � � �� � ������ ����� y' ��� ρ �� %����%{.6��������' ;�&���90' .6����' :��0} ��%� X × Y �

������� ����� n �n > 2� �� ��� X ��9� � �� �����& ��%�' ����& ��%�X' ��& ������� ���� � ���� ����/��� ��9��� "' �'��� � �%+��& ��(��� ��%������� ���� n � � �� 2 %����% ρ ��%� Xn' ρ ⊆ Xn' ���� ����/��� ��9���n �� ��%� X� *�%�&���&� �� � �� ���� ����/��� ρ ��9��� � � �� �� � ����n7����� (x1, ..., xn) ���� �� � ����/��� ρ' ��& ��%�� (x1, ..., xn) ∈ ρ' ������ ���%� ρ(x1, ..., xn)�

������ � >&�&� ��% X = {6��������' �������' :�����' 6����}�� ������� �� G���� ����/��� ��9��� " �� ��%� X �� %����% ��%�X3 �������� �� ���� � ��(��- (x1, x2, x3) ∈ ρ ���� ���� x2 ���

���� ��� ����� � ����� x1' � ���� � ����� x3�

������ �������� �� ��� X ���� ���� %����% ρ ��%� X �� ����/��� ��9���� �� ��%� X' ������ ����/��� �� ��%� X� ���� ������ ����/��� �� ����&

Page 24: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�! ���� � �4%'

��%� X � � ���� ����� �� ���� ���� ���&����� ��%� X .��� ��+������� �� ���� �� %��%����� %����%� ���� (��� �� ����/���0� *��&�' ����������/��� ������� ���&���� ��� ��%� �� ��� ���� �&��� ���� ������' � �������� ���� �� ������ ��&����

������ � 6�&����&� ��% %�������5 ������N � ������ %�����7��5 ������ ���� ����� 6����% ��%� N ���� ���%�� � %���������� �� ����� ������ ����/��� �� ��%� %�������5 ������ N�

������� ����� n �n > 2� ����Æ ��������� ������ X1, ...,Xn ��9� � %���7%������ � ��& %��/� ��� �� ��%+���,� %��&� ����/���� 1� ���� %����������� n � � �� � %����% ρ ��%� X1 × ... × Xn .&�Æ� ����&� &�9� ���� � ���7����50' ρ ⊆ X1 × ... × Xn' ���� ����/��� ��9��� n ��&�Æ� ���&����� ��%��X1, ...,Xn�

������ 1� ��%�� G = {���&�� 8����/�' 6�����' :�&�}'D = {������' E���/���' 6���' 8���} � K = {<����' ;��%�'G�9�� <&�����' <��������} ����/��� γ- ����� ���� ��������� �� � �"����������' ���� &� � %�&�,���' ���� ����/��� ��9��� " ��&�Æ����&����� ��%�� G' D � K' ��� γ ⊆ G × D × K� 4����� � ��7%�� �� ����/��� ��9��� n .n > 20 �� ����& ��%� X �9� � ������/��� �� ���� *� %��&��' %�� �&� .���&�� 8����/�' ��7����' ;��%�0∈ γ ��� γ.���&�� 8����/�' ������' ;��%�0�

%������ ������� �� &�(

*� %�(���� ��� ������ �� �&� �� %��&��� �������5 ����/��� �� ����& ��%�� ������ � ,�5�� ������ %������ �&� �9�� ������ �������5 ����/����

������ � >&�&� ��% ���� (��� �������� ����5 %������/�-P = {����' 6����' ������' :�����' :�&�' 6�����' 2�5����'H�����' 8����}� 4�����+�&� ���� � �� ������� ����/��� ����%� P -

p1 σ p2 ���� ���� p1 � ���� p2 � �� �� � � �������� Ap1 � p2 ���� p1 �� � ������ � �� �� ����� ������ � � � � �� ���� p2�

� ������ � �� ��� ���� p �9� �� �� �� ������� � �&�& ���& �� ���&����������' ��� �� ��� ���� p �9� �� �� � ����/��� σ � �&�& ���&- p σ p�$�� � ��(� ����/��� � ������� ���� p ���� � ����/��� � � �&�& ���&' ��� ���9� p � p� @����� ���� �&� ����/��� σ ����� � ����������' � ����/������� �&� �� ������ �� ��������� ����/���� *��&�' �� ������� ����/��� ρ�� ��%� X ��9�&� �� �� ��������� ���� �� ��� ���&��� x ��%� X �9�x ρ x�

� &���&���/� %����� %��� ���������5 ����/���- �������� ������' ���7����� ��%��' %��������� %���5 � ����' %��������� .�� %��&��' ����7���� � ����� ����0' ����/��� ≤ �� ����& ��%� ������ .�� %��&��' �� ��%�

Page 25: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��

%�������5 ������0' ����/��� %����% ⊆ �� ����& ��%� (��� ���&���� ���%��� 6��&���&� �� �&� &���& ��&���& ����/��� ≤' �������,�& ���7������' ������&� ����/��� < ���� ���� ���������� 6��%��� ��� �9� � ��%������� � ����/��� ⊆ �� ����/��� %��� %����% ⊂�

8��� �� ���� � ������ ���� ��&� ����� �� �&� ������� ����/���) 2� �������� �� �� &���&� �� ���&� ��(��� � �������� ���Æ�,� �� ���&�������� � � ��� ����/���� <�� ��9�&� x �� � ����)��� ρ � y �� �� ��&�5 ���(�� �� �� y � ����)��� ρ � x' � %���� &�9�&� �� � x � y � � ����)��� ρ� 2������� � ��� �&����(���� 1� ������� ����/��� ρ �� ��%� X ��9�&� �� ���&����(�� ���� �� ��� �� ���&���� x � y ��%� X �9�- ��� �� x ρ y' ������ y ρ x�

6�������&� ��+� ����/��� σ � � �� ��%� P �� ������� �� 4� �� ���� �&����(��) @����� ��- ��� 4�����+�&� ����/��� τ �� ��%� P �������� �&����(��- p1 τ p2 ���� ���� p1 ��� ��(� �� � ��� ����� � ����� p2�@(������� τ ���� �&����(�� ����/����

8��� �� ����/��� � ��+�& &���&���(��& ����/���&� %� %���,� �&�7���(����) ����%�� %�&�,��� ����/���- �������� ������' �������� ��%��'%��������� %���5 � ����' %���������' ��& +�� � ��������� ��� � ��&����(��� ��Æ���&' ����/��� ≤ � ⊆ ��� �&����(��� *� %��&��' �� ��%%�������5 ������ N � ��% ������5 ������ R �9� N ⊆ R' ��� �� �9�R ⊆ N�

4� ��&� %�������� ��+ ����� �9�� ������ �������5 ����/��� �� ����&��%�' �����&� ��� %��&��� ����/��� ���������� 6������ �� ���� ���7������ �� ��� �����&� �� �� ���� ������� x ������ ������� y � �� �� y ����������& ������� z' ���� �����(���&� �� �� x ������ z' ��� �9�- ��� �� x = y �y = z' ���� �� x = z� 2� ������ ����� � ������������ 1� ������� ����/���ρ �� ��%� X ��9�&� �� �� ���������� ���� �� ��� ��� ���&���� x' y � z��%� X �9�- ��� �� x ρ y � y ρ z' ���� �� x ρ z�

6�������&� ��� ��+� ����/��� σ � � �� ��%� P �� ������� �� 4� �� ���� ����������) 3���/��� σ ���� ����������� ��Æ���&' ����/��� � ��������������� 1����' �9� .:�����' ������0∈ � � .������' 6����0∈ � .���� ������ ���� (��� �� %���� ������ � �����& ��9��&�0' ��� �� �9�.:�����' 6����0∈��

@� &���&���(��5 ����/��� ���� &� � %�&�,��� ���������� ����/��� �� %��������� %���5 � ����' %���������' ≤' <' ⊆ � ⊂�

< ��� %������&� ������ ������� ����/��� �� ���� &�9�&� ��������� � �� �� �%����� ������ �&����(���� � ���� �&� �� � ���� �����&�7���(���� *��&�' �� ������ ��9� �� ��� �� x � ����/��� ρ � y � x ���� y'���� ��&� �&����(����' ��� ���� y ���� � ����/��� ρ � x� 4����' �� �����������/��� ρ �� ��%� X ��9�&� �� �� �����&����(�� ���� �� ��� �� ���&����x � y ��%� X �9�- ��� �� x ρ y � y ρ x' ���� �� x = y�

6�������&� �%�� ��+� ����/��� σ � � �� ������� �� *������ �� ,�5 ���������&����(��� ;� �������9�,� �� ����/��� σ� 1� ��� �� ����� � ���������������� p1 � p2 �9� p1 σ p2 � p2 σ p1' ��� p1 � p2 &��� ���� �� �����(�������� � �� &��� �� �9� p1 = p2�

Page 26: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

4� ���%�������� &���&���(�� �����&����(�� ����/��� � ����/��� ≤ �����/��� ⊆� @(������� �� �� ��� �� �� ����� x � y �9� x ≤ y � y ≤ x' ����&��� �� �� x = y� 6�&�����&� ��� ����/��� ⊆� 1����' ��� �� �� ��%� X �Y �9� X ⊆ Y � Y ⊆ X' ���� �9� X = Y �

4���� ������� �� &�(5 /�(� �����5

� ��& ������ �&� %�������� �� ������(������ ��� �������5 ����/����� ����& ��%� X- ����/��� �������/��� � %��/������� ����,��

������� ����/��� ρ �� ��%� X ���� �� ���������' �&����(�� � ������7���� ����� � ����/��� �������/����

*��(�+ � ������ �� ����/��� �������/��� � ∼ ��� ≡�8��� &���&���(�� ����/��� � ����/��� �������/���) 2� �' � �+� %���

%�&�,���' ��������' %��������� %���5 � ���� � %��������� .�� %��&��'�������� � ����� ����0� $�� �� � ����/���&� σ' � � τ �� ��%� P �� ��������) 3���/��� σ �� ����/��� �������/���' � � � τ �� ���� @����&� ��� ����/���σ � %�&�����&� ����� ���&��� ��%� P ' ���� ���� p1� 6������� �� ��� �����p1 ���%��� � ������ �� P ���� � � �����& p1 � ����/��� σ' ��� � ���������� � �� ���& ���������� �� ��&� � ���� p1� 2�� %���%��' � �%+��& ��(����� ���� ��% X' ����� ,��� %�������� ���&��� x � ����/��� �������/���∼ �� ��%� X ������� ����- %���&� ��% ���� (��� � ���&���� ��%� X���� � � ����/��� ∼ � ���&����& x� 2�� ��% � ����� ���� �������/������&���� x � ����� �� ����/��� ∼ � �����9�� � [x] .��� Cx0� 4����' ���&�����%� [x] �� ��� ���&��� y ��%� X' �� ���� �9� x ∼ y�

1� ����/��� σ � ��+ ���� p1 �� ��%� P ' ���� �������/��� ���&���� p1

� ����� �� ����/��� σ �� ��% [p1]' � (��� �� � ������ �� P ���� � �����& ���������� �� ��&� �� ���� p1� *� ��� ��(�� ��� ���� p �� P ��������� ���� �������/���' ��% [p]� 6��&���&� ��' �� %��&��' ��� �� ���� p1

� ;��%�' ���� [p1] (��� � ������ �� P ���� � � ;��%��$�� &�9�&� �� ��9�&� � ������&� ���� [p] �� ������ p �� ��%� P �

6��' ������� ���� [p] ���� %����� ��%' ��� ��� ���� p %��%��� ���� ����[p]� 4����' ��� %�&����&� �� ���� �������/���' [p1] � [p2]' ��� &��� �� ������� ������� ��� ���������� G��� �� �� � ���� [p1] � [p2] ������� ���� � p1 � p2

�� ���& ����������� @�� � ��������� ���� p1 � p2 ��� �� ���& �����������*��&�' ��� �� � ��& ��(��� ���� [p1] � [p2] �&��� �������(�� ���&��� �� �����(��� �� �� ��� ���� �� ���������� �� ��&� �� ���� p1 � �� ���������� ����&� �� ���� p2' ��� �� �� ��&��� � ��� � ������� ���� �� ��%� P �� ������ ���� ����������� 2�� �' ��� ��%���&� ����� ���� �������/��� �5 �������� P - [p1] ∪ ... ∪ [p9]' ��� %���%�����&� �� � p1, ..., p9 � ������ �� ��%�P � ��� ��% ����(�&�

⋃p∈P [p]' ���� �&�&� �� �� �� ����� ������� �&�& ��%�

P ' ��� �9�⋃

p∈P [p] = P �F�9�� �� �� � �� �� ��� ������' ���� �&��� ���� �������/��� ����/���

�������/��� σ �� ������� �' �&��� � ���� �������/��� ��� ����/����������/��� ∼� 6���9�&� ���

Page 27: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��

������� � *��� �� ∼ ����/��� �������/��� �� ����& ��%� X�6���9�&� �� ���� �� ���� �������/��� ����/��� ∼ �9�-.�0 �� ��� ���&��� x ��%� X ���� [x] �� ��%����� ��%' [x] �= ∅A.�0 �� ��� �� ���� �������/��� [x] � [y] �9� ��� �� � �������'[x] = [y]' ��� �� � ���������' [x] ∩ [y] = ∅A."0 ����� �5 ���� ����/��� �������/��� ∼' ����� ∪x∈X [x]' ����������� ��%� X�.�0 3���/��� ∼ �� ����/��� �������/���' %� �� ���������- x ∼ x�1��(�' x ∈ [x]' ��� [x] �= ∅�.�0 1� ��� �� ���&���� x � y ��%� X �9�- ��� � x � y �����/��� ∼ .�&����(��� ����/��� ∼ ��& ������� �� ���� ���7&���+�&� ���� �� �� ���&����0 ��� x � y ��� � ����/��� ∼ � <��� ���&���� x � y � ����/��� ∼' ��� x ∼ y' ���� %���9�&� �� �9�-[x] = [y]� 6���9�&� �� �� [x] ⊆ [y]� *��� �� z ∈ [x]' ��� x ∼ z� >�x ∼ y' �� ���� �&����(���� ����/��� ∼' ������&� y ∼ x� ���� ��y ∼ x � x ∼ z' �� ���� ������������ ����/��� ∼ ������&� y ∼ z'��� z ∈ [y]� 4����' �9� [x] ⊆ [y]� *� ��� ��(�� %������� � �� �9�[y] ⊆ [x]' %� �&�&� [x] = [y]� <�� ���&���� x � y ��� � ����/��� ∼'���� �� ������� %������� �� � ���� [x] � [y] ���������� 2� �&�%������� ���� +�� �&� %����� � �� %���%����� �� ���� [x] � [y]��� ���������' ������ ���������/���� 1��(� ��+� %���%�������- ���� [x] � [y] ��� ���������� 2���' ���� [x] � [y] �&��� �������� �������(�� ���&���' ���� ���&��� z- z ∈ [x] � z ∈ [y]� *� �7��� ������/��� ���� �������/��� �&�&� �� �� ���&��� z �9�-x ∼ z � y ∼ z� 8�����&� �&����(��� ����/��� ∼' %� �� y ∼ z�����(���&� z ∼ y� ���� ������&� ����������� ����/��� ∼' %��� x ∼ z � z ∼ y �����(���&� �� �9� x ∼ y� <��' �� �� ��&��� � ����� � �%������� � ��+�& %������& %���%�����& �� x � y ��� �����/��� ∼� 4����' ��+� %���%����� ����� �� �� �� �����(������ �� ����(��� 2� ���(� �� �� %���%����� ���� ��(��' ��� �� ����(�� ,��� ����/���- ���� [x] � [y] � ����������."0 4� ��&� %������� �������� ��%�� X � ����� �5 [x]' ��%�∪x∈X [x]' ����� %������� �� �� X %����% �� ����� � �� �� �� ����� %��7��% ��%� X� 6�� %�������&� X ⊆ ∪x∈X [x]� ��&�&� %�����������&��� ��%� X' ���&��� y� 2���� %������� �� �� y ���&��� ��%�∪x∈X [x]� ;��&��� y %��%��� ���� ���� �������/��� ����/��� ∼'���� [y]' %� ��&� � ��%� ∪x∈X [x] ���� �� ����� �5 ����5 ����'�����' X ⊆ ∪x∈X [x]� ���� ��+ ����� �� %���9�&� �� �� ∪x∈X [x]%����% ��%� X' &��� �� �� �(�������� *��&�' ��% ∪x∈X [x] (������&���� ��%� X' %� �� ��� ���&��� �� ∪x∈X [x] �(������� � ��7�&��� ��%� X� 4����' �� X ⊆ ∪x∈X [x] � ∪x∈X [x] ⊆ X ������ &��� �9� X = ∪x∈X [x]�

1� ���� ����/��� �������/��� ∼ �� ��%� X %�&�����&� ��% (��� ����&���� ���� �������/��� ����/��� ∼ �5 ���&����� �� X� 2�� ��% �

Page 28: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

����(�� X/∼ � ����� � ����(��(�� ��% .��� %����/���0 ��%� X � ,��������/��� �������/��� ∼�

8���(��(�� ��% ��%� P �� ������� � � ,���� ����/��� �������/���σ' ��% P/σ' (��� ���� �������/��� �� ����5 ��� ���� ���9� ������������ ����������� ����� �� ���� ���&����� ��%� P/σ ���� ����������� �����&��� ��� ����� �� ���� � ��%� P �

� �������& %��&��� %����� �&� ���� � %�&� � ���� ���� ����/��� ���7����/��� &��� ��������� �9�� %��&���

������ F� &� ����� �� �� ����/��� %���������� %���5 ������� ���� ���������' �&����(�� � ����������� 4����' ���� ����� ����/��� �������/��� �� ��%� �5 %���5 ����� �����6�������&� +�� � ���� �������/��� �� ����/���� G���� �����������/��� (��� � &������ %�������� %��� �� ����� 6���&%��/� � ���� � ������+� ��� ����� ���� �������/��� ����/���%���������� .�����I��J0�

4���� ���(���� ��� �������5 ����/��� �� ����& ��%� X �� ����/��� %��7/������� ���Æ�,�� ������� ����/��� ρ �� ��%� X ���� �� ���������' ����7�&����(�� � ���������� ����� � %��/������ ���Æ�,��

*�����(������ &���&���(�� ����/��� %��/������� ���Æ�,� � ����/��� ≤ ������& ��%� ������' �� %��&�� �� ��%� %�������5 ������ � ����/��� ⊆ ������& ��%� (��� � ���&���� ��%���

6���� ����/��� �������/��� � %��/������� ���Æ�,� %�&���&� � %������7Æ�,�� ������� ����/��� ρ �� ��%� X ���� �� ��������� � ���������� ������ %������Æ�,��

*� ����� ��� ������ %������ �&� ����� �9�� ������� ����/��� ������& ��%�' ����/��� ���' ���� �&� � ����& ������,� (��� ���������

!���

6�&�����&� %�������� ��%����� ��% X� ;��&���� ��%� X ���&�(����� ���% X � ������� ����/��� δ �� ��%� X' δ ⊆ X×X' (�������� ��� δ ��� ��� ���&��� (x1, x2) ����/��� δ .(��� %�� (��� x1

���&� %���5�����' � ����� (��� x2 ��������0 �������� ���� �����-.�0 6����� ��(�� ����� (�� x0 ��%� X' ���� �� ��% δ ��&� ���7&��� ������ (y, x0)' ��� ������� ���&��� ��%� δ ��� ����� (��� ��&���� (�� x0� 4����(��� ��(���' %����� ��(�� ����� (�� x0 ��%� X���� ��&� %���5������� 2�� (�� x0 ���&� ������.�0 <�� �9� (x1, y), (x2, y) ∈ δ ��� x1δ y � x2δ y' ���� �� x1 = x2�>�� �����(���' ��� (�� y' ���� ���� ����� x0' �&� ��(�� ������%���5�������."0 1� ��� (�� y' ��& ������ x0' %����� �������� ��� (����x0, ..., xm .�� ���� m ≥ 00 ����5 �� �9�- x0 δ x1'���' xm−1δ xm'xmδ y� 4����(��� ��(���' �� ��� (�� y' ��& ������ x0' %�������������� ����� �� ������ x0 �� ��� (��� y�

Page 29: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�"

<�� ��% X �&� ����(�� ���� (����' ���� ��� δ ���&� ����(�� ����8���(�� ��� � ���+�� (����&� ���� ��&��� ��������� � �� (�������&� ������ 4�� �����(�� &�9� ���� %��������� �� ���� � ��(��-

•••

••

••••

••

••

��� � (����� ������ %��� �� δ %��������� ����

• � %��7�5����� �� ��,� ��(��' � �������� ���,�� G���� �����,� � ����� δ �� ��%�X (��� � ���&���� (xi, yi) �� δ .1 ≤ i ≤ m �� m ≥ 10 ���� �&��� ��� %��(���' ���� ���&��� x �� ��%� X' xi = x' 1 ≤ i ≤ m' ��� � �� %���� ������� (x, yi)' 1 ≤ i ≤ m� <�� �� ��� %��������� ��� �� ��� ��/�' �������&��� x ���&� ��,� (�� �����,�' � � ����� (����� ��5 %����' ��� �yi' 1 ≤ i ≤ m' ���&� ���,� (���� �����,��

4�� &�9� ���� %��������� � �� ��� ��(�� � ������& �� �5��

• • • •• • •

•••

••

•• •

>�����&� � ����� %����� ��� �����' ������� ���� 4�� (��� ���(��' ��& �����' �&� ��(�� �� ��������� ���&� ������� ���� ;� ����������(��� �������� ������

•••

••

••

••

Page 30: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

������

� �& �,���&� ���&������� &���&����� ������,� � ����/���&� %�(�,� /���79�& �� ��&� � �� ����(�� �� ����5 ����� %������� ���� ��% X' � �������% Y � � ����(�� X �������� �� ��(�� � �&���& x' � ����(�� Y �������� ����(�� ���� �&� �&� y� G���� ��������� ������ %����� �� ��(�� x' � ���+��� �����/�& � ��(�� y � ����� �� ������ %�+� f � �� �� ���� ��� ����� ��������+,�,�- %����� .������' �����0 f %� ��&� � ���& ���&���� x ��%� X�������� ��(�� ����� ���&��� y ��%� Y ����� � ����/��� ��%� X � ��% Y �1���& ���� ����� %��&�� ����& � �������� �� %���(��� ��5���- ���&���&���� �� X �������� � ��(�� ����� ���&��� �� Y � @��� ����� %��&���

������ � 6�&�����&� ��%�� X = {6��������' �������' :��7���' 6����' ��(}' Y = {:��' ;�&���9' �������� &����' 6����'����� ����� ��(�} � Z = {*��' ���' 4���' 2�&��' ����' F����}�.�0 6���&� � �� �� �� �������& ����� x � �� ���� ����� y � ��

� ������ � � � ����� ��������� ����� ����/��� �� ��%� X ���% Y ) @����� ��- ��� 1�+��) 2���& �������& �����& ���7&���� ��%� X .��������0 ���� ������� ������� &���� � ��%� Y '��� ���� ���& ���&���� �� X ������� ���� ���&��� �� Y � 4��� &�9� �� � ��+�� %��&��� �� �� ��� ��+ ������ �%�� �������� ����/���) @����� �� %������� 2���� �� &��� %��&���&���%��� *��&�' &�9�&� ��%����� ��% X1 ����/��,�& ���&����������� �� ��%� X' X1 = X \ {�������} = {6��������' :�����'6����' ��(}� 6�����9��,� ���&����&� �� X1 ���&���� ��%� Y%� ��%������& ������� ���� ����� ����/��� �� ��%� X1 � ��%Y � ���� � �� � �����(��� %��&���� ��9�&� �� �� &�,�&� ��% X'��� �� %��+���&� ��% Y �����,�&' �� %��&��' ������ *�����2���' Y1 = Y ∪ {����� *����� 2���}� @%�� �� ��+ ������ ���������/���' ��� ��� �� X � ��% Y1�.�0 6���&� � �� �� �� �������& ����� x � � �� ��� ���� z �� ���Z � �� �� � ���� � ���� ��������� ����� ����/��� ��%� X ���% Z) 6�����& �� .�0 ��� �� %������ ���� �� ������ �� ��%�X ��9� �� ����� ��/� �� ��%� Z� <��' ������� .�%�� �������0��9� �� �� ����? @�& �������& �������� � �������� � ��� �4���? 2� ���(� �� � �����& ���&���� ��%� X .��������0 �� �����(�� �������� �� ���&���� ��%� Z' � �� ��(�� ������ 4� �� ���� %����� &��� ��� %�%����) 4�' ����� �&� �� %��/�����&�������� *��&�' ������ ����� �� ���� ����� x � � �� ��� ���"

���� ���� z �� ��� Z � �� �� � ���� � ����� @�& �������&�������� � �������� �&� 4���� $���+�' � ���& �����& ������� ��%� X � �������� ��(�� ����� ���� �� ��%� Z� 1��(�' ������ ������ ���� ����/��� �� ��%� X � ��% Z�

�� %���& ����/��� ����&� �� ���� � ��(���

Page 31: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��

6�&�����&� ��%�� X � Y � 6����% f 4�������� %������� X × Y 'f ⊆ X × Y ' ���� �������� ���� � ����-.��0 ��% �5 %��5 (����� ���Æ���5 %���� (x, y) �� f ������ �� ��%� XA.��0 ��� �� ���Æ��� %��� (x1, y1) � (x2, y2) �� ��%� f �&��� ������� %��(�����' ��� ��� �� x1 = x2' ���� � ����� (����� ��5 ���Æ���5 %���� &��������� �������' ��� &��� ���� y1 = y2A����� � ����/��� f �� ��%� X � ��% Y �

$�� ��' �����' ����/��� �� ��%� X � ��% Y ) 2� �� %����% 4����7���� ��%� X × Y ���� �������� ���� .��0 � .��0' ��� �� �� ����� ��7����� ����/��� ��&�Æ� ���&����� ��%�� X � Y ���� �������� ���� .��0� .��0� ;��&���� ����/��� f � ���Æ��� %���� (x, y) ��� ����5 �� %�� (��� x�������� .%�� ��&%������' ����&���0' � ����� (��� �� ���� �� x ����/���&f .����� ��&%������' ������ ����/��� f � ��(�� x0 � %�+�&� y = f(x)� ���%X �� ��&�� ����/��� f ' � ��% Y �� ,�� ����&���

������ � 6�&�����&� ��%�� A = {a, b, c} � B = {1, 2, 3, 4, 5}�G���� ����/��� f �� ��%� A � ��% B �� �� %��&�� ���� � %����%4�������� %������� A × B- f = {.a' "0' .b' �0' .c' �0}�

1� ����/��� f �� ��%� X � ��% Y ��%���&� %����% ��%� Y ���� (�������� (����� �5 ������5 %���� ��%� f � 2�� ��% � ��� ��% ���7���� ����/��� f � �����9�� � � f(X)� 4����' ��%� f(X) %��%��� ������&��� y ��%� Y �� ���� %����� ���� ���&��� x �� ��%� X' ���� �� ��y = f(x)�

*����&� ����� %��&�� � ��&� �&� �������� � ����(����� ��%� ��(���/�-f �� ����/��� �� ��%� X � ��% Y ' f : X → Y �

������ � 6�&�����&� ��% ������5 ������ R � ������+�&�����/��� f : R → R ���� �& ��%��& f(x) = x2�8��� ���&���� ��%� R (��� ��% f(R)) ;��&���� ��%� f(R) ������� ������ z �� ��%� R ���� � ������� ������� ����� ������������ x' z = f(x) = x2� 1��(�' �&�&� �� �� f(R) ��% �5 ��������7��5 .���� � �5 %�������50 ������5 ������ ���� ����(��&� R+�

@������&� �� %���,�- ���� � �� ����/��� f � g �������) E���/��� ���%��' ���� ,�5�� �������� %������&� ���� +�� %������&� ����������5 ��%���

������� � 6���9�&� �� ��� �� ����/��� f � g �&��� ��� ��&�� ��� ��� ���&��� x ��� ��&��� �9� f(x) = g(x)' ���� � ����/���f � g �������� 1������ ��& �� �� %���9�&� �� � ��%�� f � g�������' ��� �� �� f ⊆ g � g ⊆ f � E���/��� f � g �&��� ��� ��&��� ���� %�� ��&%������ ,�5��5 ���&����� (��� ��� ��%� ����%�� %���9�&� �� �� f ⊆ g� *��� �� (x, y) ∈ f � 2��� �� y = f(x)�>� f(x) = g(x) �&�&� (x, y) = (x, f(x)) = (x, g(x)) � ���� (x, g(x))%��%��� g' �����(���&� �� (x, y) ∈ g� *� ��(�� ��(�� � %������� ��

Page 32: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� � �4%'

�� ��� ���&��� (x, y) �� g ���&��� � f ' ��� g ⊆ f ' ���� �����(���&��� �� f = g�

6���9�&� ���� ������ ����� ����/��� �� &��� �� �&�� 6�������&� ���� �%��&���

������ 6�&�����&� ��%�� X � Z �� ������� �� 4�����+�&�������� ����/��� f �� ���&���� ��5 ��%��� 1� x ∈ X � z ∈ Z-xfz ���� ������� ���� � �� � ���� �� � x �� z� @� ����/��� ��%����% f = {.6��������' *��0' .6����' ����0' .�������' 4���0'.��(' 4���0' .:�����' 2�&��0} ��%� X × Y � 2�� %����% f ��������� ����/��� �� ��%� X � ��% Y ��� � ��������� ��� ����.��0 � .��0� 1����' ��� .��0 ���� �������� ��� ��% ���� (���%�� (����� ���&����� ��� ��%� �� (��� ��% X� <��' %��&�7��&� �� ��% ���� (��� ����� (����� ���&����� ��� ��%�' ��%f(X)' ���� (��� ��% Y � *��&�' f(X) = Y \ {���' F����}� 1�7���(���&� �� �� ����/��� �� &��� �� �9�- f(X) = Y � ��� .��0���� �������� ��� f ��&� %���� � ���& %��&' � �����(���&�����& (����&� ��Æ���&' %�������&� %���� .�������' 4���0 �.��(' 4���0� @�� �&��� �����(��� %�� (�����' � ����� (������ �& ���� 1����(���&� �� �� ���&���� (x1, f(x1)) � (x2, f(x2)) ��f �� &��� �� �9�- ��� �� x1 �= x2' ���� �� f(x1) �= f(x2)�

@�&�5 ��/�&� �� ���� ����/��� &��� �&��� ������ ���� &� %�&����� ������� � E���/��� f : X → Y (��� �� ��% �������' ��% f(X)' ��������%� Y ����� � �����/���� E���/��� f : X → Y �� (��� ��� �� ���&����(x1, f(x1)) � (x2, f(x2)) �9� �� ��� �� x1 �= x2' ���� �� f(x1) �= f(x2) ����� ������/���� 6��&���&� �� ��� ''��� �� x1 �= x2' ���� �� f(x1) �= f(x2)= &�9�&��� ���9�&�- ''��� �� f(x1) = f(x2)' ���� �� x1 = x2=' %� &� ���� ������ ��+����� ��(�� �� ��%�+�&� ������ ����/���- ���� �����/����

������ � 6�������&� %���� ����/��� �� ������� �' ����/���f : R → R' f(x) = x2� 4� �� �� ����/��� f �����/���' ��� �� �� ��f(R) = R) F� &� %������� �� �� f(R) = R+' %� �� ��+ ������ ���� %���,�- ��� 4� �� �� ����/��� f �����/���) @%�� �� ������-��� 4� �� f ���� �����/���' &����� �� ���� �����(���5 ������ ��R �� ���� �����(��� ������ � f(R)� <�� &� �� ����/��� f �&�&��� � ���� �� �����(��� �����' �� %��&�� 2 � −2' ��� ����' �����- f(−2) = (−2)2 = 4 � f(2) = 22 = 4�

<�� �� ���� ����/��� f : X → Y � �����/��� � �����/���' ���� ��� %��%�����&� �9��� ��� ����/���' ��� �� �����/����

6�&�����&� ��(� �&� ����(�� ��%�� � ���&� � %��&� ���������������� ����� ��%�� 6�������&� +�� ������&� �����& �����/���& f : X → Y��&�Æ� ����(��5 ��%�� X � Y � >&�&� �� �� f ����/���' ���� �� ��% %��5��&%������ ,���5 %���� ������ ��%� X� 4���' ����/��� f �� �����/���'

Page 33: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�#

%� � %���� &����� �&��� � �����(��� ����� ��&%������' � ��� � ���&������%� Y � >� ��� &�9�&� �����(��� �� ��% Y &��� �&��� ���&����� ��������� � X' � &�9�� � �+�' ��� card(X) ≤ card(Y )� 8���(�� ����/��� f�� �����/���' ���� Y = f(X)' ��� ��% X ������ �&� ���&����� ������ ���% Y ' � &�9�� � �+�� 4����' card(X) ≤ card(Y ) � card(Y ) ≤ card(X)' %������(���&�- card(X) = card(Y )' ��� ��%�� X � Y �&��� ��� ���� ���&������2� ���(� �� ��� %����� �����/��� f : X → Y ��&�Æ� ����(��5 ��%�� X � Y '���� �� ��%�� �&��� ������ ���� ���&�����' ��� card(X) = card(Y )� K���&��� ������&� �� � ��%��� � �9��� �����/��� �� ����Æ��,� ���������������� ��� ��� &�Æ� ������(��& ��%��&�� @� ������(��5 ��%�� ��� �&� %�&����� �&� %�������� ��%��' ������(�� ��%�� (��� �������������� �� ������ ����������& ����� ��%� %�������5 ������ N�

���� ����/��� f �� ��%� N � ���� ��% X %��� ����� ������(�� ������&����� ��%� X� *��&�' ����/���& f : N → X ������&� ���� � ������(����� ���&����� ��%� X- f(0)' f(1)' f(2)'���' �� ���&���� ����(��&� ����& f0'f1' f2'��� � ���&� �5 (����� ����� <�� �� ����/��� f �����/���' ���� �&� ����% X �� � �� �� %�������� �������� ��(���' �� �����/��� ��& ����� ����% X �&� ��� ���� ���&����� ��� ��% N� *�%�&���&� �� ���� �������������/��� f : N → X' ���� ��� %������� ���� n ���� � ��� ���&��� x ��%�X' %��� ����� ������(�� ��� x' x'��� (��� � � (����� ��������

����&� � %���& ����(��� ���� ���&����� ����� ��%�� 6�&�����&� ������% X � ����(�� %����% ��%� N+ ������ {1, ..., n} �� ���� n ∈ N+� ��������/��� g : {1, ..., n} → X ������+� ����� ����(�� ��� ���&����� ��%� X'��� g1'���' gn' ��� �� g1 ,��� %�� (���' � ���� ���� �� (���� gn ���� �� %����7,�' n7��' (��� ��� �����

< ��� %�&���&� ��+ ����� %���& ���� �� ��&�� ����/����*��� �� ���� ����/��� f : X → Y � ����� %����% ��%� X' ��% X1� 4���7

��+�&� ����/��� g : X1 → Y �� ���� � ��(��- �� ��� ���&��� x ��%� X1'g(x) �� %� ������/��� ������� f(x)� E���/��� g � ��� ������/��� ����/���f �� ��% X1 � �� � ��%���� g = f |X1 �

F����&� � ��� ����/��� f : R → R' f(x) = x2 .�� ������� � � ��������0 � %�&�����&� %����% R+ ��%� R � ������/��� ����/��� f �� ��� ��%'����/��� g : R+ → R' g(x) = x2� 8��� ������ �&� ����/��� g' � ��&�����/��� f) E���/��� g �� �����/���' � ����/��� f �� �����

6��0���&�( ���&�(

8�� � �� %���& ����/��� %����� �%��� %�������,� +�� �� ��&%���/��� ������/��� f : X → Y � g : Y → Z� 6�������� ���&��� x ��%� X �&� ����f(x) � ��%� Y � 1���&' ���&��� f(x) ��%� Y �&� ���� g(f(x)) � ��%� Z� *���� ��(�� ������ &� ����� ����/��� �� ��%� X � ��% Z' ����& ��� ���&���x ��%� X ������ ���� g(f(x)) � ��%� Z�

1� ��� ��%� X' Y � Z � �� ����/��� f : X → Y � g : Y → Z ��&%���/�������/��� f � g' � ����/� g ◦ f ' ���� ����/��� �� ��%� X � ��% Z ���� �� ��

Page 34: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�! ���� � �4%'

��� ���&��� x ��%� X �9�- g ◦ f(x) = g(f(x))� 4����(��� ��(���' g ◦ f ��%����% ��%� X ×Z (��� ���&���� � � ���Æ��� %���� ������ (x, g(f(x)))'x ∈ X� 6������&� �� �� �����& %��&����

������ 6�&�����&� ��%�� L = {a, b, c}' B = {1' 2' 3' 4' 5} �K = {a,b,c,d} � ����/��� f : L → B � g : B → K-

f = {(a, 1), (b, 4), (c, 5)} � g = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,a), (5,d)}�8�&%���/��� ����/��� f � g �� ����/��� g ◦ f �� ��%� L � ��% K-

g ◦ f(a) = g(f(a)) = g(1) = ag ◦ f(b) = g(f(b)) = g(4) = ag ◦ f(c) = g(f(c)) = g(5) = d

��� �����(���-g ◦ f = {(a,a), (b,a), (c,d)}�

6��&���&� �� � ������ ���� &��� � ��%����� ����/��� f ◦ g� <����� %�&����&� ����/��� f, g : X → X' ���� %����� � ��&%���/��� f ◦ g ���&%���/��� g ◦ f � � ��& ��(��� ��&� � � %���,�- �� �� �9� ��������f ◦ g = g ◦ f) 6�������&� ���� � %��&���

������ " >&�&� ��% K = {a,b,c,d} � ����/��� f : K → K �g : K → K-

f = {(a,c), (b,d), (c,b), (d,a)} � g = {(a,a), (b,a), (c,b), (d,d)}�� ��& %��&��� %����� � ����/��� g ◦ f � ����/��� f ◦ g-

g◦f = {(a,b), (b,d), (c,a), (d,a)} � f◦g = {(a,c), (b,c), (c,d), (d,a)}�@(������� �� �� � g ◦ f � f ◦ g �� �����(��� ����/����

*� %���,�- �� �� �� %�������� ����/��� f, g : X → X �9� g ◦ f = f ◦ g��& %��&���& &� ���� ������� @����� ��- ��� <��' ����� ����� �������9� �� ��&%���/��� ����/���� <�� �&�&� ��� ����/��� h : A → B' g : B → C� f : C → D' ������ � � �������&� &�9�&� ���&����� �� ��&%���/���-��&%���/��� (f ◦ g) ◦ h � ��&%���/��� f ◦ (g ◦ h)� 6����� � %���,�- �� ��� �� �� ��&%���/��� ������� ��� ����/���) @����� ��- ��� 2� ���(� �� �������� &��� �������� � %���� %���� f ◦ g ◦ h�

������� � 6�&�����&� ��� ����/��� h : A → B' g : B → C �f : C → D� 6����� �&� �� � ����/��� (f ◦g)◦h � f ◦ (g ◦h) ��������6�� ��� �� �� ����/��� (��� �������� �%�����&� &����� �&������ ��&��� 2�� ��� �� �%�,��' ��&�� � ����/��� (f ◦ g) ◦ h �����/��� f ◦ (g ◦h) �� ��% A� ����&� %������� �� �� ��� ���&���x ��%� A �9�- ((f ◦g)◦h)(x) = (f ◦(g◦h))(x)� ��� �&� %�����������&��� ��%� A � %������� �� �� ,���� ���� ����/���& (f ◦ g)◦h������� ,����� ��/� ����/���& f ◦ (g ◦h)� >� ������ �� � �� ������/��� %����%��� �� �����& %��������& .���� ����&0 ���&����

Page 35: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��

��%� A' ���� �� � ��� %����%��� �� ���& ���&���� ��%� A� 1�%�������� ���&��� x ��%� A �&�&�-

(f ◦ g) ◦ h(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x)))�� ����� ����� �&�&�'

f ◦ (g ◦ h)(x) = f((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x)))�6������� &� �� �� %�������� ���&��� x ��%� A �9�-

((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x)�

4����' ����/��� (f ◦ g) ◦ h � f ◦ (g ◦ h) � ��������

6�������&� ��+ ����� ��� ����/��� ���� � ��&� �9�� �� ��&%���/�������/���� 1� ���� ���� ��% X ������+�&� ����/��� iX :X→X �� ���� ���(��- iX(x) = x� E���/��� iX �����&� ������(�� ����/��� ��%� X� 1�%�������� ����/��� f : X → Y � ������(�� ����/��� iX : X → X �9�-

f ◦ iX = f �

������� ���&�(

@%��� � �� ��+ %��/����' %���& ������� ����/��� �� %�������� ����/���f : X → Y �� ��� %�������� �� ���� � ��(��� 6�&�����&� ����� ��������'���� ���&��� x ��%� X � ,���� ���� ����/���& f ' ���&��� f(x) ��%� Y �@������� x �� ����/���& f ���+�� � f(x)� *�&� � � %���,� � �� �,� ����� �� ��������� 4� �� %����� ����/��� �� ��%� Y � ��% X ���� �� � f(x)� x) <�� ���� ����/��� %�����' ���� �� ��� ������� ����/��� ����/��� f �4����& ��(�&�' ��&%���/��� ����/��� f � �� ����/��� ���� ���� ���&��� x��%� X ���� � ,��� �&���

6�&����&� ���� ����/��� f : X → Y � <�� �� �� ����/��� f %���������/��� g : Y → X' ���� �� �� ����/��� g ◦ f ������(�� ����/��� �� ��%�X � �� �� ����/��� f ◦ g ������(�� ����/��� �� ��%� Y ' ��� �� �9�-

g ◦ f = iX � f ◦ g = iY '���� �� g ������� ����/��� ����/��� f � ,��� ������ �� f−1�

6��&���&� �� � �� ���� �� � ����/��� �&��� ������� ����/���� *�%���,� ���� ����/��� �&��� ������� ����/���' ������� �&� � ���� �& ��7������

������� � <�� �� ����/��� f : X → Y �����/���' ���� ��� �&���������� ������� ����/��� f−1� 2�& ����/���& ��� ���&���y ��%� Y �&� ������ x �� ��%� X �� ���� �9� f(x) = y' ���,��� %���� � ������ (f(x), x)�6���9�&� �� �9� �� ������� 6�&����&� %����% 4��������%������� Y ×X' ���� �&� ����(��� � f−1' (��� � ���&���� %����(f(x), x) �� � ���&���� x ��%� X� 4� �� �� ��� %����% ���������/��� �� Y � X) 4� �� ��� �������� ��� .��0 &��� ��%�5 %��5 (����� ���Æ���5 %���� �� f−1 ���� ������ ��%� Y �

Page 36: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"� ���� � �4%'

2�� ��% �� ��% f(X)' � ���� �� f �����/��� �&�&� f(X) = Y ������ .��0 �� ��������� $�� � ��(� ���� .��0 %�&�����&� �����&���� ��� ��%� ���� �&��� ��� %�� (���- (y, x1) � (y, x2)� 6�������/��� ����/��� f−1 �&�&� y = f(x1) � y = f(x2)' %� ������&��� �9� f(x1) = f(x2)� E���/��� f �� �����/���' %� �� f(x1) = f(x2)�����(���&� �� �� x1 = x2� 4����' %�&������ %����% �������� ���� .��0� 4�����&� �� f−1 ���� ����� ����/��� �� ��%� Y � ��%X� 6�&�����&� ��� ����/��� f−1 ◦ f � f ◦ f−1� 4�&�� ����/���f−1 ◦ f � iX �� ��% X' � �� %�������� ���&��� x ��%� X �&�&�-f−1 ◦ f(x) = f−1(f(x)) = x = iX(x)� 4����' ����/��� f−1 ◦ f � iX ��������� *� %��%��� ��� ��(�� � %������� �� � ����/��� f ◦ f−1

� iY �������� 1����(���&� �� ����/��� f−1 ���� ����� �����������/��� ����/��� f � 4� ��&� %������� ���������� ����/���f−1 %���%����&� �� %����� ��+ ����� ����/��� g' g : Y → X' ������ �9� g ◦ f = iX � f ◦ g = iY � 2��� �9� f−1 ◦ f = g ◦ f = iX �f ◦ f−1 = f ◦ g = iY � ������&�-

f−1 = f−1 ◦ iY = f−1 ◦ (f ◦ f−1) .��� �� f ◦ f−1 = iY 0

= (f−1◦f)◦f−1 .������ ��&%���/��� ����/���0

= (g ◦ f) ◦ f−1 .��� �� f−1 ◦ f = g ◦ f0

= g ◦ (f ◦ f−1) .������ ��&%���/��� ����/���0

= g ◦ iY = g .��� �� f ◦ f−1 = iY 0

4����' ����/��� f−1 �� ������� ����/��� g' %� �&�&� ����������������� ����/��� f−1�

������ # 6�������&� �%�� ����/��� ���� &� %�&������ � �����7� � � ������ �' ����/��� f : R → R' f(x) = x2� � ������� &� %������� �� f ���� �����/��� ���� �����/���� 4��������&� ������/��� ����/��� f �� ��%� R+ ����/��� g : R+ → R'g(x) = x2 ���� �� �����/��� � g(R+) = R+� ���� %�&�����&�����/��� h : R+ → R+' h(x) = x2� E���/��� h �� �����/���' �����'%����� ����/��� h−1 : R+ → R+ �� ���� �9�-

h−1 ◦ h = iR+ � h ◦ h−1 = iR+ �

2� ���(� �� �� %�������� ���&��� x �� R+ �9�-

h−1 ◦ h(x) = h−1(h(x)) = h−1(x2) = x

� h ◦ h−1(x) = h(h−1(x)) = (h−1(x))2 = x�

1����(���&� �� �� h−1 %������ ������ ����/���' h−1(y) =√

y� .<��5� �&� �� %�+����&� ����(����� ������' �� � �������� ��� ���x' � ���� y' ���� ������&� �� �� ������� ����/��� ����/��� h'����/��� h−1 : R+ → R+' h−1(x) =

√x�0

Page 37: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"�

������

����&����� �� ���� ������ %��&���&� �%���/���� ������,�' �����&�,�' &��9�7,�' ����,� %�������5' /���5' ��/�������5 ��� ������5 ������' � � ��%��&��� �%���/���� *� %��&��� �����,� %�������5 ������' ��������� �&�%�������� %���& �%���/���� 8��� %������� ������ �����&�) ��&�&� ��%������� �����' �� %��&�� � � "' %��&���&� �%���/��� + � ��� �������� ���%���/��� ������&� ��� � %������� ����' ���� �� 6��&���&� �� � �� �����,��� �%���/��� %������� �� ������� .�����0' %� �� ��� ������� �%���/���� 3����7��� �%���/��� �����,� �� ����� �� ������� ��� ��� ��� � ������� �� ����&� %��&����� �%���/���� *��&�' �����,�& �� %������� ����� ��� ��������������&� ��� � .��(�� �����0 %������� ����� 6��/� �����,� ���� %��� � ������/���- ����� &� �� �������' ��� ����� %�� ��������' � %�����9��� &� �&��(�� ����� ������� .,�5� ����0� 2� ���(� �� �� �����,� %�������5 ����������� ����/��� �� ��%� N × N � ��% N�

E���/��� o �� ��%� X×X � ��% X' o : X×X → X' ����� � ������� �%���7/��� o �� ��%� X�

6�&����,� ��+�5 ����5 �%���/��� �� ��� ��(�� ����� ��& ����� �,�5��& ��%���,�� @%���/��� �����,� �� ��� ����/��� + : N×N → N' %��&��� ��+�� ����� ��%�� 2+5 = 7 �&�&� ��%� +(2, 5) = 7� <��' ����(����� ���� �� ���� ���� ������� �%���/��� ∗ �&��� ��%�� ∗(x, y) ������&� %���������x ∗ y� ���� �&� %������� �� &� � ������ � ��%��&� ��&���� ������� �������' %����' ������� � 4������ %������ �� ��%� �����&� �%���/���&��L����� &� �� � ����(�� �%����&� � �%���/���&�� ���� &�9�&� �� � ��� �� ������� �%���/��� (��� � %������ ������� �� ��%� .%�� ��%��0' ��������� ���� ��� � ��%� 6��&���&� ��' ���� � ����� � �%���/���&� %����'�����' ������� � 4������ %������ � �&� �%���/��� � ,�� �������� �&��� ����&�� *��&�' �� � �&� �%���/��� %���� ∩' ��� � %���� X∩Y ' � ��� �� �����'������� � 4������ %�������

���9�&� �� ���� ������� 6��' %�����&� �� � ���&���� ��%� X × X���Æ��� %����' ��� �� �� ����� ������� (����� � ���& ���Æ���& %���� *�%��&��' �%���/��� �����&�,� �� ��%� /���5 ������ Z ���� �����(��� �����7���� �� ���Æ��� %�� (5, 2)- 5 − 2 = 3 � �� ���Æ��� %�� (2, 5)- 2 − 5 = −3�4����' ���� ��9�&� �� �� �%���/��� ����/���' ���� � %�� ��& %������&���� �� ��� ���&��� �� X × X %����� �������� � X� *� %��&��' �� ��� ��/��� ����� x � y �������� �����&�,� x − y �� /�� ����� <��' ��� �����&�,�5� �&� �� ������+�&� �� ��%� %�������5 ������' ���� �&�&� ���� � %���7��&� 8�9�&� �� �� �� ����/��� − : N×N → N � %����9�&� −(2, 5)' ��� 2− 5�3������� ��� �����&�,� �� �������� ���� −3' ���� ���� %������� ����' %� ��%��%��� ����&��� ����/��� −' ��%� N? *��&���� �� �� � ��%���&� �� �� ������ �����&�,� �%���/��� �� ��%� N) 1����' ���� �%�,�� ��� �� ������&��� ��%� N×N �&� ���� � ��%� N �%���/���& −� �� �&� �%�� �� ��� �����&�,� ���� �%���/��� �� ��%� N' � �� ����� %��/������ �%���/��� ����%� N� 2� �%���/��� ���� ��������� �&� �� ���� %���� �� N × N' %����(x, y)' ���� ���������� ��� x ≥ y� 4���,� �� %��/������ �%���/��� ��

Page 38: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"� ���� � �4%'

��%� ������5 ������ R' ��� �&� �� %���� (x, y) ���� ���������� ���y �= 0 %����� �������� x : y�

$�������� ����� n �n > 2� �� ����� ��� X 1� %������� ���� n � � �� �����/��� o : Xn → X �� ����� �%���/��� o ��9��� n �� ��%� X�

������ � 8�� %��&�� ����� �%���/��� ��9��� � �� ��%� /���5������ Z ������� �&� �%���/��� �� 1� ��� (������ (x, y, z, t)�� ��%� Z4 �%���/��� � : Z4 → Z ��- �(x, y, z, t) = (x + t) · (y − z)�

������ ��������� �� ��� X E���/��� o : X → X �� �%���/��� ��9��� ��� ��%� X' ��� ������ �%���/��� �� ��%� X� ��9� � %�&������ � �������%���/��� �� �� �����(��� ��%� X � Y ' � �� �� ��+�� ����� ���� ���(������/��� f : X → Y �

������ � 6�&�����&� ���� ��% X � ,��� %�������� ��% PX�1� ��� %����% Y ��%� X %����,� ��&%��&���� Y � ����� ����% X �� ����� ������ �%���/��� �� ��& ��%� PX� ��9�&� ������ ��%����- c : PX → PX' c(Y ) = Y ' �� Y ∈ PX�

������ � E���/��� f : R → R' f(x) = 1x �� � x �= 0 �� ����� %��7

/������ ������ �%���/��� �� ��%� R� <�� %�&����&� ������/�������/��� f �� ��% R\{0}' ����/��� g : R\{0} →R' g(x) = 1

x ' ������ g ������ �%���/��� �� ��%��&� R \ {0} � R�

%����� ��������� �� ��� X *��� ������,� ������ ���&���� ��%� X ���%������ �� �%���/��� ��9��� � �� ��%� X' ��� ������� �%���/��� �� ��%� X�

������ 1� ���� ��% X � ,��� %�������� ��% PX ������,�'�� %��&��' %������ ��%� ∅ ��� %������ ���&���� ��%� PX �� ����� ����� ������� �%���/��� �� PX� 3�/�&� �� &� �� �����(�� &���� �������� � ���� ���� ����� ���&��� ��� ��%� � ������������� ���� ����� ������� �%���/��� �� ��%� PX�

������� ��������� �� �������� X& Y � Z ��9� � %�&������ � ��������%���/��� �� ��%��&� X' Y � Z ���� ��� �������� 2� ������� �%���/��� ������/��� o : X × Y → Z�

������ � 6��&�� ������� �%���/��� �� ��%��&� ���� ��� ���7���� &�9� ���� �%���/��� ''%����,� �����&���= �� ��%��&�/���5' %�������5 � ��/�������5 ������- Z' N+ � Q�2� �� �%���/��� r : Z × N+ → Q' r(i, n) = i

n �

$�������� ����� n �n > 2� �� �������� X1, ...,Xn � Y 1� %������� ���� n� � �� � ����/��� o : X1 × ...×Xn → Y �� �%���/��� o ��9��� n �� ��%��&�X1' ���' Xn � Y .&�Æ� ����&� &�9� ���� � �������50�

���� �%���/��� ��9��� n �� n > 2 %�����' ���(�+ � � �� �&� � ����&�� �������&' ������& � �������& �%���/���&��

Page 39: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

""

%������ ������� �0��&�(

@����� �������5 �%���/��� ���� �&� %�������� � ��& ������' � � %��7���� ������ ���� �9� ��' �� %��&��' �����,� ��� &��9�,� �� �����' � ��� ��&�������� � ��/���������

1� ������� �%���/��� ∗ �� ��%� X ��9�&� �� �� ��&������� ��� �� ����� ���&���� x � y ��%� X �9�- x ∗ y = y ∗ x�

1� ������� �%���/��� ∗ �� ��%� X ��9�&� �� �� ��/������� ��� �� ������ ���&���� x' y � z ��%� X �9�- (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)�

8��� ��&������� � ��/������� �%���/��� ���&�) ������,� � &��9�,�.�� ����(������ ��� ������0 � � ��&������� � ��/������� �%���/����6��&� ���&� �� �����&�,� � ����,� ��� �� ��&������� �� ��/��������@� �%���/��� �� ��%��&�' ����� � %���� � � ��&������� � ��/�������.����� ������ ��5 �%���/��� � ������ � ��%��&�0� 3������ ��%�� ������ ��&������� �� ��/������� �%���/���� � ������ � ����/���&� %�������&� �� �� �� %�������� ����/��� f, g : X → X �� �9� g ◦ f = f ◦ g' ��� ���%���/��� ��&%���/��� ����/��� ���� ��&�������� ��Æ���&' %������� &� ����&%���/��� ����/��� ���� ��/������� �%���/����

*� ����� �����&� ����� ������ ���� � ����� �� ��� �� ������� �%�7��/���' ������ ��������������

1� ������� �%���/��� ∗ �� ��%� X ��9�&� �� �� ����������� ���� ������ �� ������� �%���/��� • �� ��%� X' ��� �� ��� ��� ���&���� x' y � z��%� X �9�-

(x • y) ∗ z = (x ∗ z) • (y ∗ z)�<������� ��&� ������+� � � ������������ ��� �%���/��� ∗ � �����

�� �%���/��� •- �� ��� ��� ���&���� x' y � z ��%� X �9�-z ∗ (x • y) = (z ∗ x) • (z ∗ y)�

6��&���&� �� ��� �� �%���/��� ∗ ��&�������' ���� ��� �9� �������7����� ���� �9� � ������������ ��� � ��������

*��%�������� ������������ �� ������������ &��9�,� � ����� �������,�-

(x + y) · z = (x · z) + (y · z) � z · (x + y) = (z · x) + (z · y)��� �� �9� ������������ �����,� � ����� �� &��9�,�-

(x · y) + z �= (x + z) · (y + z) z + (x · y) �= (z + x) · (z + y)� ������ � ��%��&� ����� &� �� �� �%���/��� %���� ����������� �

����� �� ����� � �� �� ����� ����������� � ����� �� %�����

% ���(����� �0��&�(

@�&�5 �� %�(���� ��/�&� �� �&� ��� ���&������ ������� �������5 �%�7��/��� �� ����& ����(��& ��%�� 6�� ���� +�� ��9�&� ��+�� � ,�5��� ���7�����' %���9�&� ��+ ����� ��(�� %�������,� ����5 �%���/����

������ ���� ���� ������� �%���/��� ∗ �� ����& ����(��& ��%�A = {a, b, c, d} &�9�&� �� %������&� ������&-

Page 40: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"� ���� � �4%'

∗ a b c da a b b cb c d b cc d b d cd c a b a

<�� 5� �&� �� ������&� �������� c ∗ b' ���� %����Æ�&� ���&��� c �%��� ������ .� ��� ����� ��������� ������0 � ���&��� b � %�7�� ��� .����� 5����������� ������0 � � %����� ��� � ����� ������� ��� ���&��� c � ������ � ����� � ������ ��� ���&��� b %��(�7��&� �������� c∗b' ���&��� b� @��� ��������� � %�������� ��(��%�������,� ������� �%���/��� �� ��%� A �� ��&��� �� ����(��%��� ���������- a ∗ a = a' a ∗ b = b'���

*�(�� �����,� ������� �%���/��� �� ����& ��%� X ������& �� ���� %���7��� ��� ��% X �&� ����(�� ���� ���&������

1����,� ������� �%���/��� �� ����(��& ��%� X ������& %�&� � � ��&�� �������&� �� %���,�- ������ �����(���5 �������5 �%���/��� &�9�&� ��%7����� �� ����& ����(��& ��%� X) <�� ��% X �&� m ���&����� %���&�������' ��� � %���5����& %��&���' � m ���&����� � ��� � m ���&����� �������� 4����' ��� ������ � ��&� ����9�&� �������� �%���/��� �� �� ���&����.��� %���� ����� ��� � ����� ������0 �&� m · m = m2 %���� .8�������� ���+�& ������ ������ �&� 42 = 16 %��� �� %��,� ����������0 8��� ��%��� %�%���&� ���&����&� %�&������� ��%� X �� ����� ��(��' ���� ����7��&� ����� ������� �%���/��� �� ��%� X� � ������ �� ��� �� � %���&�9�&� ����� ����� �� 4 ���&���� ��%� A' ��� ������ &�9�&� %�%����� ��416 = 442

��(���� 4����' �� ��%� A �� ������� %����� 416 = 442�����(���5

�������5 �%���/���' � ��+� ������� �%���/��� ��������� � ����� ������ ���&� ����� �� ,�5� � �%+��& ��(���' �� ��% X � m ���&�����' �� ��� %���&�9�&� �� ���&� ���� �� m ���&����� ��%� X' ��� �&�&� m &��� ���� ��%�%�,��,� ���� %���� 4����' ��(��� �� %�%�,��,� ������ �&�&� mm2

'%� �� ���� �����(���5 �������5 �%���/��� �� ��%� X � m ���&����� ������mm2

� 3�/�&� � �� �����(���5 �%���/��� ��9��� n �� ��%� X � m ���&������&� mmn

� 2��� ���� �������5 �%���/��� �� ��%� X' ���� mm2' ���� � ����

���� �%���/��� ��9��� �' ��� ��(�� ���� �� n = 2�

��������� ��������

<�� 5� �&� �� ��9�&� +�� �� �� ����/��� ��� �%���/��� %������� ��& �� ��%�&���&� � ���� ��%� *��&�' %�� �������,� ����/��� ��� �%���/��� %���&�&� ��%' %� ����& �� ,����& ���&����&� ������+�&� ����/���' �������%���/���� <�� �&�&� ���� ��%����� ��% X � �� ���&����&� ��� ��%� ���������(��� �%���/��� .&�9�� � �&� �����0 ∗' �' ◦ � •' ���� ��9�&� �� �����% � �� �%���/��� (��� ����� ��������' ���� ���&� ��������� ��������

Page 41: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"�

� ����(��&� (X, ∗, �, ◦, •)� ��9�&� ��%����� � �������� ���� (��� ��%X' ���� ����/��� ��&�Æ� ,����5 ���&�����' �� %��&�� ρ � σ' � ���� �%�7��/��� �� ,����& ���&����&�' �� %��&�� ∗' � � •� 2��� �������� ���&�����/����7�%���/���� ��������' (X, ρ, σ, ∗, �, •)� L��� � ��% X ��� ���(��������� ��� ����/����7�%���/���� ��������� *� %��&��' (N, >,+, ·) ������� ����/����7�%���/���� �������� � ���(�& ��%�& %�������5 ������N' �������& ����/���& > � �������& �%���/���&� + � ·�

� ��!� � ��!����" � ���� �� �� �� � � ��!�"

������

� ������ � %���&��� ������ %�&����� &� %����� ��� ��(���/�' ������>���� � ��(���/� ���� �&��� ������� ������' ��� �� ���� �&� &��� %�7���� �� �� � ������� ��� ��9�� .���������0� *�%�&���&� �� �� %����������� � �� �� ���� ��������' ��� &� �&� ��� ��5��(�� ���&��' ���� ������ �'�� ��������� ����� ������� ��9���

6��&��� ����� %�������� ������ �-

.�0 *�� �� '��� �� � �� � .�� ����

.�0 $� � 9 �� � ��� � �� ���� : � %�

."0 1���)� ��� �� � ���� � ������)��

.�0 �� ���� ��� ��� �� � ���� �� �� ��(� � −1�

.�0 4�� � %;% �� ��������� �� � ������

. 0 $� � < �� ��(� � �� �� :=�

.#0 -��� 0 ��� ��( �� ������ ���� ��.� �� .���>�

.!0 - � �� )� �� � � �� �� ������ ��������� x + 2 = 0�

.�0 ����� ��7��� ����> ���� �� ����� ����

��� ��& �����&� ������� � ����� .�0' .�0' .#0' .!0 � .�0' � ����� .�0'."0' .�0 � . 0 � ��9���

4������&� � �� ���� ������������ ��%���,� ����� ����(��&� ���&�p' q' r'��� 4����' ���� ��%�+�&� ��� p �� ���(� �� �� ,����& &��� &�9������� &� ���� ��������� �����

������

@� ����� %���&� ���' ��9����� ����� %�&� � ������' ���� ���&� ����(������/�� :���(�� ����/� �- �������A ���������A �� ���� ��� ���A �����A ����� � �� �� ���� 8��� �&�&� �� ����� p � q' ���� �� %�&� ' �� %��&��' ������ ���%���&� ��� ���� p ��� q� L�& ���&���&� ��� ����' � ��+�& ��(������� p ��� q' %����� � ����9���� %���,�- �� �� �� ��� ��� ���� ������

Page 42: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

" ���� � �4%'

��� ��9��) >������ ������� ��9�����5 ����� ������� � %� %���/�%�������� ����/���������' ��� ������� ������ ��9�����5 ����� ������ ����� p � q' ��� ����(��� ������ %�&� � ��� �� ���&���� ��� ��� ����.� ��+�& %��&��� ������ ���0 � �� �� (��� �������

6������&� �� ����(�� ������ � �������&� �� %���,� � �������������� ���� � �������� %�&� � ��5 �������

�5 6��(��&�( 7����� �8

6�������&� ����-

?��� 0����( �� �� ���� � ������

@�� +�� ��& ��%+��� ��� ���� &�9�&� �� � � �����& ���� (��� ������� %������ ������& �-

?��� 0����( �� �� ���� � ?��� 0����( �� �� ������

8������/��� ����� p � q �� ����-

p � q�

1� ����� � ������ � %����� �&��� ∧' ���� � ��� � �������/��� .���� �& ����0� ����� ���� p � q ��%����&�

p ∧ q.

F����� � �� ����� %�������5 ������� � %�������& ������ ���� p � q �������� �&� ��� � ��� ����� p � q �������� >�� � �9��� � �� ����p ∧ q�

>��� p ∧ q �� ������ ��� �� p ������ � q �� ������'� ��9�� �� ���-.�0 p �� ������ � q �� ��9��'.�0 p �� ��9�� � q �� ������'."0 p �� ��9�� � q �� ��9���4����' ���� p∧q �� ������ �&� � ��(��� ���� � ��� ����� p� q �������' � ��9�� �� ��� �� ��� ����� �� ����� p � q ��9���

�5 '��(��&�( 7����� ���8

4�����/��� ����� p � q �� ����-

p ��� q�

1� ����� ��� ������ � %����� �&��� ∨' ���� � ��� � ������/���.��� � �& ����0� ����� ���� p ��� q ��%����&�

p ∨ q.

>��� p ∨ q �� ������ ���-.�0 p �� ������ � q �� ������'.�0 p �� ������ � q �� ��9��'."0 p �� ��9�� � q �� ������'

Page 43: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"#

� ��9�� �� ��� p �� ��9�� � q �� ��9���4����' ���� p ∨ q �� ������ ��� �� ��� ����� �� ����� p � q������' � ��9�� ������ � ��(��� ���� � ��� �� ����� ��9���

>�����&� �� � %�������& ������ %����� �� ��(��� ����+ ��� ���������� 6�������&� ����-

*�� �� ��� ����� ��� �����

@�& �����& � ��%+��� ��� +�� � �����&-

*�� �� ��� ����� ��� *�� �� ��� �����

4����' �&�&� �� ����� %������ ������& ���� 2�� ���� �� ��������� �� ����� �� �� �� ����� ������' � ������ �� � ��� � ��� ������������� @� ��� ������ ��� ��� � ��������� .����0 ���� 6�������+ ����� ����� ���' %��/������ ��(��� ����� ���"���' ���� � ������������ .����0 ���� *��&�' ��� ��9�&�-

*�� �� ��� ��� ����� ��� �����

���� �� ��� ���� ������ �&� ��� �� ������ ����� �� �����-

*�� �� ��� ������

*�� �� ��� �����

<�� � ��� �� ����� �������' �� �� ��9��� �����&' � %�������&������ %������' ��� ������� �� �&��� ��' ����� ��� � ������ �&��������� ���"���� 6�������&� ���� � ����-

*�� �� �� � �� � � ��� �� ������� � ������)��

� ��& ����� �%��������� �� �&� ����� ���' � ��%+��� ��& �� � ������� +�� � ��%+��� %�&� � ������ ���"���� 4����' ��& ��(���/�&�� ��(���-

*�� �� �� ��� � �� � � ��� �� ������� � ������)��

:���(�� ����� ∨ ���� &� ��� ��������� �� ����� ��� �� %�������5������ � ���&� �� ��+ ��������� .���� ����(���' ����0 ������/����

6����� � ����(�� ����� ���� ������� ������ ���"��� � ���&� ����������� .���� ����(���' ����0 ������/���� 2�� ����(�� ����� %���7��� �&� %�&� � �����5 ������ .����� ������ �����0' ��� �� ,����� �&� ������ %����� �&����

)5 ��0 �&�( 7����� ������� ������8

>&%����/��� ����� p � �����& q .��& ����&0 �� ����-

�� p� ��� q�

1� ����� �� ���� ������ ������ � %����� �&��� ⇒' ���� � ��� ��&%����/��� .��� � �& ����0� ����� ���� �� p� ��� q ��%����&�

p ⇒ q.

Page 44: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"! ���� � �4%'

>�����&� �� �� �9�� ������� ���Æ�,� ����� p � q %������& ���&�7��,� ����� p ⇒ q� � �&%����/��� p ⇒ q ���� p �� ����/����' � ���� q�� �������� ��9�&� ������� � � �&%����/��� ����� q � �����& p���� ����- �� q' ��� p� 1� �&%����/���

�� p� ��� q � �� q� ��� p

��9�&� �� � ����� ������ ��������

F�9��� ����� �� p� ��� q �� � ��&� +�� &���� &���&���(�� ���,��&��� ��� ������ *� %��&��' (���� 6��������� �����&� � ���&���+�� ��& ������-�� �� �� ��� ��� ����� ��� �� ������ �������� ��� ��� � � +� ��"

��� � ������� ����� ������ �������� ��� ��� ��� ���������

&��� �9� � ������� �&%����/���� 3�/�&� �� ��& �������� �������&%����/���- �� p� ��� q � ���& ���(�,�& � �%���������� � �����-

.�0 q �� ����)� ��� ����� p

.�0 p ����� q

."0 �� p ���� q

.�0 �� �� q� � � � �� �� �� p

.�0 p ����)��� q

. 0 p �� � � �� �� � �� q

.#0 q �� ����� �� � �� p

.!0 q �� ������ �� � �� p

.�0 q �� �� + ��� �� � �� p

.��0 p� �� �� q

.��0 q� �� p

$�� � ��(� ��������� ����� p ⇒ q �&�&� ���� ��

>��� p ⇒ q �� ������ ���-.�0 p �� ������ � q �� ������'.�0 p �� ��9�� � q �� ������'."0 p �� ��9�� � q �� ��9��A� ��9�� �� ��� p �� ������ � q �� ��9���4����' ���� p ⇒ q �� ��9�� �&� � ��(��� ���� �� ���� p �7�����' � ���� q ��9��� � �& �����& ��(����&� �� �������

>&��� � �� �&� ������ � � ��� %�������5 ������ �������� �������/���p ∧ q � ������/��� p ∨ q �' �� ���� ��9�&�' %������� � �(������� ��7Æ���& ���� ���� � �������+ � ����� p ⇒ q� *��&�' &� &� � %�����7��& ������ ������ �� � ��(���/� ������ �� p� ��� q %����� ������� .����(��7%�����(��0 ��&�Æ� %���%����� p � %�����/� q' ��� �� q����� ���� �� p� <��' � ��& ���&����& ��(��� ���Æ�,� �����' ������ &��� �� ����� *� %��&��' &��� � %�&������ ����� ������-

Page 45: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

"�

4� �� 1 = 0� ��� �� .��� ��� �� �������

4� �� 1 �= 0� ��� �� .��� ��� �� �������

4� �� 1 = 0� ��� �� ����� ��� �� .����

� ��& �����&� ��� +�� ��%+��� ���� p ��&� ������ ��� � ���79���& ����� q� 6� ���&� ���� &� &� ���� �������� �&%����/���' ���� ������� ����� � ��������

�5 9��&�( 7����� � 7���88

� %�������& ������ %����� &���� ��(��� �� � ������ ����/��� ����������� 6�������&� ����-

*�� ���� ������ ���� .������

2�� ���� �� � ���� ����/��� �����-

*�� �� ������ ���� .������

� %�������& ������ ��������� �� ��������� ����/��� ��� ����� ���7&������ ����-

*��� *�� �� ������ ���� .������

6��5������� �� �� �� � ����-

*��� ���� �� �� *�� ������ ���� .������

E��&���� ��(�� ������,� ����� ����� �� ����,� ��(� �� �%��� ���������

����� �� ����/��� ����� p ����-

�� p�

1� ����� �� ������ � %����� �&��� ¬' ���� � ��� � ����/��� .��� ��& ����0� 1��� ���� �� p ��%����&�

¬p.

>��� ¬p �� ������ ��� �� ���� p ��9��' � ��9�� ��� �� ����p �������

�5 3��� ��&�( 7����� ��� � �� � ���8

6�������&� �����-

4� �� ��� ��� �� � �� �� � ;&� ��� �� � �� �� � � % � � <�

4� �� ��� ��� �� � �� �� � % � � <� ��� �� � �� �� � ;&�

< ��� %�������&� ���� ���� �&� ��� ���(�,� ��� �� �� ����� �������-

-��� ��� �� � �� �� �� � ;& �� � �� �� �� �� �� � % � � <�

;������/��� ����� p � q �� ����-

p �� � �� �� q�

��� ��� �- p ��� q�

Page 46: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

1� ����� �� � �� �� ������ � %����� �&��� ⇔' ���� � ��� ��������/��� .��� � �& ����0� ����� ���� p �� � �� �� q ��%��7��&�

p ⇔ q.

���(�� �&%����/��� � �� �������/��� p ��� q %����� ����� ��(�������(��� ����9��,� ���-

.�0 �� �� p ����� �� � � � � �� �� q

.�0 p �� ������ � � � �� �� � �� q

."0 �� �� p ���� �� � � � � �� �� q

.�0 p �� ����� � � � �� �� � �� q

.�0 �� �� p �� + �� �� � � � � �� �� q

. 0 p �� �� + ��� � � � �� �� � �� q

.#0 p �� ������������ � q

.!0 �� �� p� ��� �� q � �����

>��� p ⇔ q �� ������ ��� ��-.�0 p ������ � q �� ������'.�0 p ��9�� � q �� ��9��'� ��9�� �� ���-.�0 p �� ������ � q �� ��9��'.�0 p �� ��9�� � q �� �������4����' ���� p ⇔ q �� ������ �&� � ��(����&� ���� � �������� p � q ������� ��� ��� ����� p � q ��9���

:5 ����� 7����� �8 � $ 7����� ⊥8F����/� ∧' ∨' ⇒ � ⇔ � ������� ����/�' ��� %������ �� ������ F�����¬ �� ������' %��&�,��� � �� ����� ����� 6����� � ������� ����/�-����� �' ��� ����� � ⊥' ��� ��9 .�������0�

#������ ��!���" ������ �" ���������"

� &���&���/� � �� �&� � �&����&� �%���/��� +' ·' −'���A �&����&� ����/�7��- <' ='���A �&����&� �� ��%������- x' y'���A �&����&� �� ��%� %�������5������- 0' 1' 2'��� 8�9�&�' �� �&���� %��%����� &���&���(��& ������� 2������� � ���(� ���& ���� �& � %��/����+ �� 4���� %��&�� ������ � ��&�������������&� �� ���� ���� %�����&�� ������ <�� �� (�����/ � �����+,�&+�����,� �(�� ����& ����� %�����&�� �����' %��&���� �� � ������& %��7/����+ � � ��������� ����/� �������' %��%�����&�' %�����&� ��� �������6��/����� � ���� � ����& � �� ����/� �������� (��� �5' &�9�&� �� �' ��7���(���& �� %�������5 ������� *��&�' ������� � ��9���� %�������5 ������

Page 47: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��

�&��� ���� �� � �� �+� ��(��� .����� ��%+� ��� &�,� ��%�0 ��%+������� �����&�/���� � ����� �����' �� ������ %������ ����� �� �+����(7���� � �����&�/�� *�%��/����� � �+����(��� �� %����� � ����/�&� �������&� ���&���� ����/� � ����&� %��%����� � &���&���(�� ����� � %�����&7�� ����/�� *�����(������ ������������� ���&����5 ������ �� ���� � &��� ���%�� %��/������ � �������,� ��(� ��� ������ .��� ���&� ���� (��� ��������0�

8�� +�� &� � %�&����� � ������ � %���&��� ������ � ������ �&� �����&���� ������ � ��� �,��� ���(�� �&� ��� ������ ���� � ��� ������������ %� �&� �%������ ���&���� ����� ������ ������� E��&���� �����%��������� ������ �� %��+���,� ���&����� ������ ������ �������

8��� �����&� ����� ���&���� �����) 6�� �������&� �&����' ���� ����������� &����&� �������&� *� %��&��' p0 &�9� ���� �&���' %�� (�&� �&� p� �&� 0 �� &��� ���� �&����� �� �&���� (��� ��% �&����' ��� ������������ ����(�� ��� �&���� ����� �������� �� ����� ��( ��� ��& ��������&�*�� �&���� &�9� ���� � %�����' ��� ��� &�9� �� ��&� ������� �&���' � ������ �� %����� ��(� ����� � ����� �� ������/��� ������ ��� ��& ��������&�G���� �� ���� ��% ��(� ��� %�&������& ��������&� >�����&� �� ������� &����� �� (��� � ��(� ��� ��& ��������& � �&� ����� ����&������(�' �����&� �5 ''�����= ��(� .�7��(�0� 4����' ����� �� %����% �5 ��(���� ��& ��������&� 1� ��� ������� %��/���� ������+�&� ���� � �� �������(�' ��� ���� ��(� (��� ����� ��� ��& ��������&� 6�������&� ���� � %��&���

������ � 6�&�����&� ������� A = {�� �� �� � � �}� 3�(� �����& ��������& �����&� �� �&���� �' �' �' ' � �� �� �� �&����� ��(� � �� ��9��� �' ��� ��& ��������&� >&�&� � %����� ��(� ���� �&����� ;� ��+ �������� ��(� ��� ��������& A- � � ������� ��� � �� � ��� ���� �� ���� ���� � ����� ��� � �

����� ��� �� ���� �� ���� ��� �'��� �����&' ����� �����& ��������& (��� �&� ''�����= ��(� .�7��(�0- � � ��� � �� ���� ���� �� ���� ���� � ���� �� ��� �� ��� � � � �� � � �

���� ���� �� '���� ��& %��&��� %�&���&� ��+ ���� %��&�� ����� �� ��(� ��� ����&��������&� 6��&���&� �� � ��������,�& ����� ��(� �� ����� .�����%���,�& ����� ��(� %��� �����0 ������ ��� ��(� *� %��&��'��� �� ��( ��� �����9�&� ��( ��& ����& ������&� ��� ��(-��� ��� ���& ��������& A� 1� ��(� ��� � �� � �&� ��� %����(� ��(� ��� � <�� � ��(� � �� � � �� ��� � �%����(� ��(� ��� � ��%+��' ���� ��( r1 �� %����( ����� ��(� r2

��� %����� ��(� r3 � r4 ���� �� � r2 � r3r1r4 ��� ��� �&����' +����%����&� r2 = r3r1r4� *� %��&��' ��( r1- �� �� %����( ��(� r2-��� ��� %����� ��(� r3- � � r4- ���� �� �� r3r1r4 ��( ��� �>�� ���� � � �� %����( ��(� ��� ' ��� �� r3 %����� ��(' � r4 ���� � G��� �� �� � �7��(� �&��� ��� %����(�� ��� �& %�7���(�&� ���� �7��(� �9�� � �&� ��� ���� � � �&� �7��(�' ���

Page 48: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

��� ���� %��%����� ������� *� %��&��' ��( ���� � �&� %����(����� �� ���� ��� � � ��� � ���� � ��� � �� � ���� � ������ �&� � %����(� �� � � ��� � � �� � ���� ���� � ���� ��7��(��6�&���&� �� �� �� ���� ��( �9�� ������9��� ���� ����,� ����5,���5 %����(�� *� %��&��' � ��(� � ��� �� ,��� %����( � ��&� �� ����,�� � �%+��& ��(���' ���� %����( r1 ��(� r �&��+� �� ������ ����,� � r ��� ��( r &�9�&� �� ��+(����&� ���+� �����(���5 ��(��� � �� ��� ��� ����� %����( ������&� r1' ����� �� ��( r � ,��� %����( r1 �9�- r = r2r1r3 = r4r1r5 � r2 �= r4�� ��+�& %��&���' r �� � ��� ��' ,��� %����( � �� ����,�r1 �� � � � �&�&�- r2 �� � r3 �� �� ��' ��� � r4 �� � �� � r3

�� �' %� &�9�&� r ��%���� �� �� ��(���- r2r1r3 : � ��� �� �r4r1r5 : � ��� �� � r2 �= r4� � �7��(�&� �9�� �� ���� ����,�,���5 %����(� ���� � �7��(�� *� %��&��' �7��( ���� � �&� ������,� ,��� %����(� ���� �� �7��(�

>��(��,� ���&����� ������ &�9�&� �%������� � ���(��,�& ����� ���7��� ������' �� %��&�� ��(���� � ���& ����& ���(��,� �&�&� �� ������-����� ���� ���(��&� ���� � ��� ������ �����' � ����� ����� �� ��&� � ����+7,��' ���(�� ��� ������ ����� � ,��� ���&� &��������� 4����' � ��+�&%��&��� ��(�� �� ������ �����' � �%�� �� &��������� 8��� &� � ������� ������� � ������ ��� ��������& A = {�� �� �� � � �} ��� ����� �� ��������� �����' � ��+� ���&����,� � ���� �� &���������� >�����&� �� &�� %�������,� %��&� %����( �������� �&���� r' r1' r2' r3' r4 � r5 ������� �&���� ������ ������ .��� �� �&���� �� %��%����� �������� A0' ���� ��&���� &���������� M�5 5���&� ��� %��&����� ��� 5�&� �� (��� &�������&� �����(��� ��(� ��� ��������& A�

8��� %���(��&� ���� ���&���� �����' ���� �� ������ ����� ��� ���&���������� 1��� � � ���&���� ����� ������ ������' ���&���� ����� ���� �� %���7&�� ��+�� ���(��,�' ���� ������ ������ ��������� � ���� �%�� ����� �' ���5� �&� �� ����&� ��+ %��/����' ,�&� � ���� ������ ��+ � ���� ��5��(�� �&���&���(�� ���&����

F����&� � �(�,� ��(��� ������� 2� �(�,� &�9� ���� ����������� ������ � ��(��� 6�� ��&� � �%������ � �&����&� .�� � ��� ��(��� ��7������0 %�&� � ����5 � %�+� .��� � ����9�&� �&� �� %��,� ��(�0 ��(� ���������� 1���& �� ��& ��%+���� ���� � �� ��5 �&���� %��� ����� ��(�' ��(����� (��� ������ ���������� ��(���' ��� �� ������&� ���� +������ %� ����&�%���&� ��(� ���� %��%����� ������� 1� � %������� ������ ��� ���&�����%�� �� ���(��,� %����� �������,� ��(���/� � ��& ����/�&� ����� �������� 4����' %�&����� ��(�� ����,� ��(��& ������& �� ���(��,� ��7���� ��(��� ������� 6�+�� ���(�&� �� %�+�&� ��(� ��(��� ������' ���� ��&�� ����� ���(�,�& ��5 ��(�� 8��� � � ����& %�������& ������ ���&� ���(�7,�&� ,����5 ��(� � ��(���/�' ���� � ���&� �&������& ��� ������� *���7

Page 49: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�"

��' � %��/�� �(�,� ����� %�������� ������ ������ � �&������ ��� �������'��� �(�,�& ��%�� ��(� � ��(���/� ��&�5 �(�&� � ,�5�� ���(�,��

$�� � ��(� ����� ���&����� ������ �������,� �������� � ��(��� %����7,� ��(� ��� ������ %��%��� ,����� ������� @�����,� .�������,�0 ���(�7,� ��& ��(�&� �� �&������ ��� ���&����� ������� 6�� � &����� �����������(�,� �&���� ,����� �������� ��� �����(��� ��(��� �� �&���� � &����������%��������� 8��� ���&� ���(�,� �&���� ���� � ���� %��/���� %���7�� ���� � ������� ���(�,� ��(� ��� ������ � ������� �� �����%����/���.���(�,�0 �&���� ���� (��� �� ��(� 6�������&� ���� � %��&���

������ � 6�&�����&� ������� B (��� �&���� � a, b � ∗ � �&�&���+ � %�&� �� �&���� ��� � ���� �������� *��� ��(� ��� ��&��������& �- a' b' aba∗' a∗∗bba∗' (a∗b)'��� G���� ��� ��& ��������&(��� �7��(� ���� ������+�&� ���� �& ���������& ������/���&-

.�0 a � b � �7��(�A

.�0 ��� � R � P �7��(�' ���� �� � (R ∗ P ) �7��(A

."0 �7��(� � &��� ������� �&� ����(��& %��&���& ����� .�0 � .�0�� ������/����

>�����&� �� � R � P �&���� &��������� �&��� ����5 ����&���������� ��(� ��� %�&������& ��������&� 4����' �7��(� �- a'b' (a ∗ b)' (b ∗ a)' ((a ∗ b) ∗ a)' ((a ∗ b) ∗ (b ∗ b))' ((b ∗ (a ∗ a)) ∗ a)'��� G���������%����/��� ��� ������ �� �� �&��� a ���(� /�� ���� −1' �&���b �&� ���(�,� /�� ���� 1' � �&��� ∗ �� ������� �%���/��� &��9�,��� ��%� {−1, 1}-

· −1 1−1 1 − 1

1 −1 1

6�&� �� �&���� ��� � ���� ������� �&��� ����(�� �����������/��� � ��&��� �����%����/��� ��� ����� �&����� � ��� ��7���%����/��� ������ ��� ��������& B ���(�,� ���� �7��(� ������&������ 1��(�,� �7��(� a �� −1' � �7��(� b �� 1� <�� �&�&� �7��((R ∗ P ) � ���� z1 �� ���(�,� �7��(� R � ���� z2 �� ���(�,� �7��(�P ' ���� ���(�,� �7��(� (R ∗ P ) �� %������ ������ z1 � z2- z1 · z2��������� ��(���' ��+� �7��(� � �����%�������� ��� ������ � ��7��&� � &��9� ������ −1 � � � ���(�,� ��� �7��(� &�9� ���� ���−1 ��� ��G��� �� �� ��� ����� &�9� �&��� �+� �����%����/���� 6���9�&���+ ����� �����%����/��� ������ ��� ��������& B� ��&��� a �� 0'�&��� b �� 1 � �&��� ∗ �� ������� �%���/��� &���&�&� �� ��%�{0, 1}-

min 0 10 0 01 0 1

Page 50: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � �4%'

> � ��+�& ���(��,� ���&����� ������ ������ ������ &� �&� � ��7��� ������& � �&������& ��� ������� ��&���� �������� ���&����� ������������ ������ &�9�&� %������� � �� ��%���� G���� ��%��� (��� �&����� �����& ���(�,�&' ���� &� %�&����� � ������ � %���&��� ������' ����(������/� ∧ .�������/���0' ∨ .������/���0' ⇒ .�&%����/���0' ¬ .����/���0' ⇔.�������/���0' � .�����0 � ⊥ .��90� 4���� ��%��� (��� �&���� ���� �%��&����� +�� � ��(� ���(�,��

Page 51: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

����� �

��� �� �����

� ��� ���� ���(�� �&� ������ ������� � %��& ���� %������ �&� ���7&���� ����� ������ ������ � ���� � %��/���� ��(�� %����,� ������5���&���' ��� ��� �&� � ������& ���&����� ������ ������ ������� ������& ���� %������ �&� �&������ ������ ������� *��&�' ����� �&� ����(�,� ������5 ���&���' ��� %������ �&� ����� �����%����/��� ���7&����� ������ ������ ������� ���� ������ ���&��� �&� � �&� ����� ���� ���(�,�- ������� ��� ��9�� .���������0� � ��� �& ���� ������� �&��������� ���(����5 ���������5 ��������' �� ����5 ���(�&� ����� ��������*� �����' � (�����& ����' ���(�� �&� ���� ������' %������ �&� �9�����&� ������5 ���&���' ����������� � ���������� ���&���� ���&�' �%����� �&� � ���� ��� ��&�� �������

$"% ������ � � ��!�� ������

����� ����� ������ � ��

<������ ���&����� ������ ������ ������ �� %�������' ��%����� ��% �&7�����

!�'������� ��'�(��� ������� ��)���

<������ S ������ ������ ����� � �� ���� � ��� ��%�-� %��������� ��%� ������5 ���' ��%� P' (��� � ���&���� p0'q0' r0' p1' q1' r1'���' pn' qn' rn'���A

��

Page 52: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

� ��%� ����(��5 ������ {∧' ∨' ⇒' ⊥}' ��� � ∧' ∨ � ⇒ �����������/�' � ⊥ ������� �����A� ��%� %�&� ��5 �&���� {(, )}�

����� !��� ������ � ��

@� �5 ��(� ��� ��������& ������ ������' ����� ����&���� ��(� � ���������&���� 4����' ����� ������ ������ (��� ������ ���&����

!�'������� ������� '�����

.�0 >����� ��� � ����(�� ����� ⊥ � ������ ���&����

.�0 <�� � A � B ������ ���&���' ���� � � (A ∧ B)' (A ∨ B) �(A ⇒ B) ������ ���&����."0 >����� ���&��� � &��� ������� �&� ����(��& %��&���& ��7��� .�0 � .�0 �� ������/����

6��&���&� �� �� �� ��������� ������/���� � ,���& ���� .�0 ����7����� � �������������� ������ ���&���' ������ ��� � ������� ����(������� ⊥' � ,�5 �&� ���� ���&�� ������ ���&���� � ���� .�0 ����������� ���� � ��� ��9����� ������ ���&��� ������ %�����,�& � %����� �5.� ��%������50 ������5 ���&��� ����& ����(��& ������& ∧' ∨ ��� ⇒�4�� ."0 ���(� �� �� ��( � ������ ���������� ������/���� ���� ���������������/��� � �&��� ����� ���� ���' %� �&� �� ����� � %������&�����

>����� ���&��� ��� � �&� ���� ���&��� ��� ������ ���% �5 ���7&��� ������ ������ ����(�� �&� � F �

������ � *��� ���&�� ������ ���&��� � p1' q4' r3' p5' ⊥ �r56� 6��&��� ��9�����5 ������5 ���&��� �- ((p1 ∨ ⊥) ⇒ q5)'(⊥ ⇒ ⊥)' (p1 ∨ p2)' (r1 ⇒ (p32 ∧ q2)) � ((p4 ∧ q1) ∨ r8)� *� �����' ���������� ����� �&���� �������� ������ ������ ���� ��� ���������&���- (p1 ∧ ∨)' ⇒' (p5⊥q6) � (p1q1 ⇒)�

%������� � ������/��� ������ ���&��� �%�������� &� ��� A � B ����%��%����� &��������� � ��� �&���� �������� ������ ������� > ������'��� A' B' C'���' F '���' A1' A2'���' B1' B2'���' C1' C2'���' F1' F2'��� �� � �&����&���������' ��� 5�&���� ��� �� &��� ����5 &�9�&� ����� ���� ���������&���� *� %��&��' �� �� &��� ��� F ���� ���&��� ((p1 ∨ p2) ⇒ q1)��%��� �&�- F = ((p1∨p2) ⇒ q1)� <�� � ���&��� A � B ������� ������(��.������� ��� ����� �&���� �������� ������ ������0' ���� �&� �� ��%����A = B� 4���' A ∧ B' A ∨ B � A ⇒ B � 5�&�' � ����&� �� &��� �����&���� &��������� A � B ����&� ���� ������ ���&��� � %������ � �5����& ����/�&� ∧' ∨ � ⇒ ������&� ��� ������ ���&���� >�� ����' (��� �&� �������� ��� p' q' r'��� �� &��������� ��� 5�&���� ��� �� &�������5 ����&� ������ ��� �������� ������ �������

Page 53: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��9=�6�� ��6��93 ;%<�63 �#

8��� &� ������� � ���&����& ����/�&� ����� &� �� �� �9�� ����7����� ����� ����&���� ��(� .������ &� �5 �7��(�0 ��� ��������& � ���� ��(� (��� ������ F�9�� %��&�� ����� �� ���� �7��( �- %����( ���� ��� �&� �7��( � ���� ����,� ����5 %����(� � ��� �7��(� .����� ������ � ������� � ���&����& ����/�&�0� *�+� �7��(� � ������ ���&���� 6����(������ ������ ���&���' ���� � � �&� ������ ���&���' �� �&� %�����&���'� �� � ��& �9�� � ���� ,�5��5 ����,� � ������� ���&����

������ � 6�&�����&� ���&��� (((p1 ∨ p2) ⇒ p5) ∨ (p7 ∧ p4))�6��&���&� �� � ���� ,��� �����' �� %��&�� (p1∨p2)' p5' (p7∧p4)� ((p1 ∨ p2) ⇒ p5) � �&� ������ ���&���� 2� ���&��� �&� ����%�����&��� %������ ���&��� (((p1 ∨ p2) ⇒ p5) ∨ (p7 ∧ p4))�

4����' ��� ��� ������ ���&��� �����&� ��� ����� ��( ������ ������������' ���� �� ��� ,��� %����(' ���� �� � �&� ������ ���&���' ����� %����7�&��� �� ���&���� < ��� ������+�&� ��% �5 %�����&��� ���� ���&����

!�'������� ���� ���'����� ���� '�����

���% �5 %�����&��� ���&��� F ' ��% Pf (F )' ��������� ������7+�&� �� ���� � ��(��-.�0 �&� ���&��� F %��%��� ��%� Pf (F )A.�0 ��� �� (A ∧ B) ∈ Pf (F )' ���� �� A ∈ Pf (F ) � B ∈ Pf (F )A

��� �� (A ∨ B) ∈ Pf (F )' ���� �� A ∈ Pf (F ) � B ∈ Pf (F )A��� �� (A ⇒ B) ∈ Pf (F )' ���� �� A ∈ Pf (F ) � B ∈ Pf (F )�

���% %�����&��� ���&��� �� ������� � �� ��%-

{p1' p2' p4' p5' p7' (p1 ∨ p2)' (p7 ∧ p4)' ((p1 ∨ p2) ⇒ p5)' (((p1 ∨ p2) ⇒ p5) ∨ (p7 ∧ p4))}�1� ���� ���&��� F � ��� ,��� %�����&��� A ����� �&� � � ����,�

%�����&��� A � ���&��� F � >����� ���&��� � ��(� ������ ������ ������'%� �+� ����,� %�����&��� A � ����� ���&��� F ������+� � ��� �+�����,� %����(� A � ��(� F �

6�������&� ��� ���&��� � ���� �& %��&����

������ � >&�&� ���&��� F =(((p1⇒p2) ∧ p4) ∧ ((p1⇒p2)⇒p6))�@� ���&��� �&� �� ����,� ,���5 %�����&���- (p1 ⇒ p2)' p1 �p2' � ��% �5 ,���5 %�����&��� �� ��%-{p1' p2' p4' p6' (p1 ⇒ p2)' ((p1 ⇒ p2) ∧ p4)' ((p1 ⇒ p2) ⇒ p6)' F}�

� ������ � ���&� �� ��% �5 %�����&��� ���� ���&��� F �� ���������&�/��� � ��&� ������ %��� � ���� %�����&��� ���� � ���&��� F �4� ��&� &���� �� ��& �5 %�����&��� ���� ���&��� F ������9�&� � �����,� ��5 %�����&���' %���&� ��� �� ���&��� F �

Page 54: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�! ���� �� ��6��9� ;%<�6�

4�� ���&��� F �� ������� � ��-

p6(p1 ⇒ p2)

p2p1

p4(p1 ⇒ p2)

p2p1

(((p1 ⇒ p2) ∧ p4) ∧ ((p1 ⇒ p2) ⇒ p6))

((p1 ⇒ p2) ⇒ p6)((p1 ⇒ p2) ∧ p4)

� ����� ���&��� F ������9��� � � ����,� %�����&��� (p1 ⇒ p2)' p1

� p2 � ��� ���&���' ��� � � ����,� �5 �����5 %�����&��� ���&��� F �< �� � %��/���� ������/��� ����� ���� ���&����

!�'������� ������ ���� '�����

.�0 <�� �� F ���&�� ���&��� .��� F �� ���� ������ ��� ��� ⊥0'���� �� ��� ���&��� F ' D(F )' (�� � ��&� �� �&� ���&��� F �.�0 <�� �� ���&��� F ������ (A ∧B)' (A ∨B) ��� (A ⇒ B)' ���� ����� ���&��� F ' D(F )-

F

D(B)D(A)

��� �� D(A) ��� %�����&��� A � D(B) ��� %�����&��� B�

4������&� � �� ������' %�� %����,� ��9���5 ���&���' �� %�+�&���& %���+,� �������� *� %��&��' ���&��� (A ∧ B)' (A ∨ B) � (A ⇒ B)%�� �&� ����& A ∧ B' A ∨ B � A ⇒ B�

6��&���&� �� ������� ������ ������ S �� ���9� � ������ ������%�&� � ����5 &� ������� ������ *�������- ������� �����⇔' ������ �����¬ � ������� ����� �� 2� ������ ������� �&� %�&� � ������ ���� %��7%����� �������� S �� ���� � ��(��-

A ⇔ B =def (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)¬A =def A ⇒ ⊥� =def ⊥ ⇒ ⊥

$"$ ��������� � ��!�� ������

� %���5����& ������ %��/���� &� ��������� %���%�� ����,� ������5���&���� � ��& ������ �&� ������� � ���(�,� ��5 ���&���' ��� %���7��� �&� ����� �����%����/��� ���&����� ������ ������ �������

Page 55: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 ��

����� �������� ��"����� �������# ������

>����� ���&��� � ����� ���� �&��� �&� ����� ������� ������' ��� �&����&� ����� �� ���� � �� ���(�,�- .�0 ������� ��� .�0 ��9�� .���������0�

F��� ��&�Æ� ������5 ���&��� F � ,�5��5 ���(�,� &�9�&� �� %���7���&� ��� %�����,� ���&����� ���� � �� ��%�- ��%� ������5 ���7&��� F � ��%� ���(�,� ���� (��� �&� �� ���&����- � .�����0 � � .��9'�������0� *��&�' ������� �&� ����/��� �� ��%� F � ��% {0, 1}' ����/���v : F → {0, 1}� G����& ����& ����/���& ��� ������ ���&��� ����������� ������� ������- ������� �� ��� � ���� � �' � ��9�� �� ��� ����� � �� 2� ����/��� ���������� ���� � %���/�%' %���/�% �����������/���������- ������� ������ ��9��� ���&��� &��� �� ���� ���������5 ������� ,���5 %�����&���' ��� ����(��� ������ %�&� � ������� ���&����� �� ���&��� � �� �� (��� ������� 2� ���(� �� ������� ���������� ���&��� F ' ���� �&� ����� �� ���� �5 ������- A ∧ B' A ∨ B' A ⇒ B'A ⇔ B ��� ¬A' &��� �� ���� �� �������5 ������� ���&��� A � B ���,���5 %�����&��� � ����& ������ ∧' ∨' ⇒' ⇔ � ¬� @�&�5 � ��&� � %���,�-�� �� ������� ������� ���&��� A ∧B' A ∨B' A ⇒ B' A ⇔ B � ¬A ������ �������5 ������� ���&��� A � B ��� ��� +�� ������� ���������9���5 ����� p∧ q' p∨ q' p ⇒ q' p ⇔ q � ¬p ���� �� �������5 ������������ p � q .����� ������ � ����/�&�0) @����� ��- ��� 4� ��&� %��/�����%���� �� ������' %�&� � � ��& ���� � �%���/��� �� ��%� I = {0, 1}�6������&� %�� (����� ������� �%���/��� �� ��%� I = {0, 1}-

∧ 0 10 0 01 0 1

∨ 0 10 0 11 1 1

⇒ 0 10 1 11 0 1

⇔ 0 10 1 01 0 1

6��&���&� �� � �� ������� �%���/��� ����& ���� � ����/���-∧ : I × I → I' ∧(a, b) = min(a, b)A∨ : I × I → I' ∨(a, b) = max(a, b)A⇒: I × I → I' ⇒ (a, b) = max(1 − a, b)A

⇔: I × I → I' ⇔ (a, b) ={

1, a = b0, a �= b.

1���& %������&� ������ �%���/���-

¬0 11 0

���� �� ����/���-¬ : I → I' ¬(a) = 1 − a�

*� �����' %������&� � �� ������� �%���/��� �� I = {0, 1}-.⊥0 ������� �%���/��� �� ��%� I ���� ������ ���&��� �A.�0 ������� �%���/��� �� ��%� I ���� ������ ���&��� ��

4����' �� ����/��� ���� %������ ������ ���&��� � ,�5��& �������&�������&�' ����/��� v : F → {0, 1}' ����� �� �9� ���� �-

v(A ∧ B) = min(v(A), v(B))

Page 56: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

v(A ∨ B) = max(v(A), v(B))v(A ⇒ B) = max(1 − v(A), v(B))v(⊥) = 0v(¬A) = 1 − v(A)v(�) = 1v(A ⇔ B) = 1 ��� �� v(A) = v(B)' ���(� v(A ⇔ B) = 0�

������ � 6�&�����&� ���&��� F = p1 ∧ (p2 ⇒ p3)� @�����&�������� ������ �� ���&���' ������ v(p1 ∧ (p2 ⇒ p3))� *����� �������5 ����� ����/��� v �&�&�-

v(p1 ∧ (p2 ⇒ p3)) = min(v(p1),max(1 − v(p2), v(p3)))�4����' �� ��&� �������� ������� ������ ��+� ���&���' ���7��� v(p1 ∧ (p2 ⇒ p3))' &���&� �� ���&� ������� ������� ,���5������5 ���' ��� ������� v(p1)' v(p2) � v(p3)�

>� ������� � ���&� �� �� &�9�&� �� ������&� ������� ������ ���7&��� F ��� �� ���&� ������� ������ ,���5 ������5 ���� 1����' ��&����� ������� ������� ���� ������ ���&��� � ������� ������� �5������5 ��� ���� � � ,�� %�������� $��� ������� ��&�� �������5 ���7���� �5 ������5 ���&���' �5 ���&����� ��%� F ' ��� ������� ���7���� �5 ������5 ���' �5 ���&����� ��%� P' %����%� ��%� F � 1��� �&� %�&������ ��% ������5 ��� P � ������� �&� ����/��� �� P � {0, 1}���� � ������& ���&� ��������� ������� ��������

!�'������� �������� �������* �����

E���/��� vP �� ��%� ������5 ��� P � ��% {0, 1}' vP :P→{0, 1}'����� � ����/��� ������5 ��� ��� ��� � ����(�� ����/����

���� ����(�� ����/��� vP : P → {0, 1} ����Æ��� ��(�� ����� ����/���������5 ���&��� v' v : F → {0, 1}' �� ���� � ��(��- �� ��� ������ ���p ������ v(p) � %����%� � �����+ � ��� ��� ����(��& ����/���& vP '��� v(p) = vP(p)' � %����� ������/��� ���� � ����Æ��� ������� ���������9�����5 ���&��� � ������� �� �������5 ������� ,�5��5 %�����7&���� ;� �� ������/��� ����/����

!�'������� �������� �������* '�����

1� ���� ����/��� ������5 ��� vP ' vP :P→{0, 1}' ������+�&�����/��� v' v : F→{0, 1}' �� ���� � ��(��-

� v(p) = vP(p) �� ��� p �� ��%� ������5 ��� P' P ⊂ F A

� v(⊥) = 0A

� v(A ∧ B) = min(v(A), v(B))A

� v(A ∨ B) = max(v(A), v(B))A

� v(A ⇒ B) = max(1 − v(A), v(B))�

Page 57: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 ��

@��� ��������� ����/��� v �� ����� ����/��� ������5 ���&����1� ��� ������ ���&��� F ������ v(F ) �� �&� ������� ���7��� .��� ��� �' ������0 ���&��� F ����/���& v�

@�&�5 %���9�&� ���� �&� �� ���� ����/��� v �������� ������� ���7��� ���&��� �' ¬A � A ⇔ B� E��&��� � �� ��&��� �� ���&��� ⊥ ⇒ ⊥' %������� � ������/��� ����/���' ������&�-

v(�) = v(⊥ ⇒ ⊥) = max(1 − v(⊥), v(⊥)) = max(1 − 0, 0) = 1�� ������& �� �� �� �� ���&��� ¬A ��&��� �� ���&��� A ⇒ ⊥ �&�&�-

v(¬A) = v(A ⇒ ⊥) = max(1 − v(A), v(⊥)) = max(1 − v(A), 0) = 1 − v(A)�*� ��(�� ��(��' ������ � ������/��� ����/��� � ������/��� �� �� A ⇔ B��&��� �� ���&��� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)' &�9� � %������� �� ��-

v(A ⇔ B) = 1 ��� �� v(A) = v(B)' ���(� v(A ⇔ B) = 0�6�������&� ��� ��+� ���&��� p1∧(p2 ⇒ p3) �� ������� �� <�� �� ����/���

v1 ���� �� �� v1(p1) = v1(p2) = 0 � v1(p3) = 1' ���� ��-

v1(p1 ∧ (p2 ⇒ p3)) = min(v1(p1), v1(p2 ⇒ p3))= min(v1(p1),max(1 − v1(p2), v1(p3)))= min(0,max(1 − 0, 1)) = min(0, 1) = 0�

<�� ��&�&� ����/��� v2 ���� �� �� v2(p1) = v2(p2) = v2(p3) = 1' ���� ������v2(p1∧(p2 ⇒ p3)) ��(���&� �� ��� ��(�� ��� � v1(p1∧(p2 ⇒ p3))' ��� � �����&�������& �������&� ������5 ���' %� �&�&�-

v2(p1 ∧ (p2 ⇒ p3)) = min(v2(p1), v2(p2 ⇒ p3))= min(v2(p1),max(1 − v2(p2), v2(p3)))= min(1,max(1 − 1, 1)) = min(1, 1) = 1�

1����(���&� �� �� �� ����/��� v1 ������ v1(F ) ������� �' ��� ���&��� F ����9��' � �� ����/��� v2 ������ v2(F ) ������� �� �' ��� ���&��� F �� ��������

1� ��� ���&��� F � ����/��� &�9�&� �������� �� �� �����- �������� ����� �&�&� ����/��� �� ���� �� ���&��� F �������' � �� ����������� ����/��� �� ���� �� ���&��� F ��9��� 6����� � ���� � %���,�-�� �� %����� ���&��� ���� � �� ��� ����/��� �� ��%� F � ��% {0, 1}�������) @����� ��- ��� 2��� �� �� %��&��' ���&��� p1 ⇒ p1� >&�&� �� ��� ��� ����/��� v ������ v(p1 ⇒ p1) ��(��� �� ���� � ��(��-

v(p1 ⇒ p1) = max(1 − v(p1), v(p1)).>����� ��� p1 ����& ����/���& v &�9� �&���- ��� ������ � ��� �������� <�� �� v(p1) = 0' ���� �� v(p1 ⇒ p1) = max(1 − 0, 0) = 1' � ��� �� v(p1) = 1'���� �� v(p1 ⇒ p1) ������� max(1−1, 1) = 1� 1����(���&� �� �� �� � ����/������&��� p1 ⇒ p1 �������� E��&��� ���� �&��� �� ������ ��� � ������������

!�'������� ������)���

>����� ���&��� F �� ����������� ���� �� ��� ����/��� v ���7��� v(F ) �� 1� 4� �� ���&��� F ����������� ��%����&� |= F �

� ����� �����' %����� � ���&��� ���� � ��9�� �� � ����/���� 2����&��� ���&� ���������/��� .��� %������(����0� *� %��&��' ���&���

Page 58: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

p2 ∧ (p2 ⇒ ⊥) �� ���������/���� <�� � ���&� �� �� ��&��� �� ���&��� p2 ⇒ ⊥���&��� ¬p2' ���� �� ���&��� p2 ∧ (p2 ⇒ ⊥) � ���� p2 ∧ ¬p2 � ��� �� �����9��� 6�����&� �� ����Æ��,�& ������� v(p2 ∧ (p2 ⇒ ⊥))� >����� ���p2 ����& ����/���& v &�9� �� �&� ��� ������ � ��� ������ �� <�� ��v(p2) = 1' ���� �� v(p2∧ (p2 ⇒ ⊥)) = min(1,max(1−1, 0)) = min(1, 0) = 0� <�� ��%��' v(p2) = 0' ���� �� v(p2 ∧ (p2 ⇒ ⊥)) = min(0,max(1 − 0, 0)) = min(0, 1) = 0�4����' �� � ����/��� ���&��� p2 ∧ (p2 ⇒ ⊥) �� ��9���

!�'������� ������������� ���������+������

>����� ���&��� F �� ���������/��� .%������(���0 ���� �� �������/��� v ������ v(F ) �� 0�

*�����' ��% ���&��� F ������ ������ �� (��� �&� ����������� � ���7������/���� *� %��&��' ��+� ���&��� p1 ∧ (p2 ⇒ p3) �� ������� � ���� ������������� �� ���������/���� 4����' ��% ������5 ���&��� F (��� ���7��������' ���������/��� � ��� � ��� ���&��� ���� ��� �� ����������� �����������/���� >%��' /�������� &��� �����&��� ������������ ��9�&� �� ��� �� ��+ ����9���� ������� �� ������&� �� �� �� ���� ���&��� F ' ����%�&����&�' ����������� ��� ����� 3�+��,� ��� ������� ���� �� ��������� ���� � %���,�- �� �� %����� ��� ����� &����� ����& &�9�&� ������� ��%�������� ���&��� F �� �� �� ����������� ��� ����) @����� �� �� %���,���- ��' %����� �+� ����5 &������ ��9�� ���%�������� �� �5 ��5 &����� ��&����� �������5 �����/�� 2� &����� �&� %�������� � ���� �& %��&����

������ � 4��� �� ���&��� F = (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q� 1� ���&���F %���&� ������� �����/� �� ���� � ��(��� 6�� �� � %��7���&��� ���&��� F ��%���&� ������' � ����& �� %�����&��� ����� ������ ��� .��� �� � ������ ��� ���� � %������� � ������&���0 ��%����&� � &��� � ����/��� .� ��+�& %��&��� �&�&�(����� ��� �����(���5 ����/���0-

p q p ⇒ q p ∧ (p ⇒ q) (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q1 11 00 10 0

� ���� ��� .��� ���& ���� �����/�0' ������ � ������/�������/���' �������&� ������� �����5 %�����&��� %�&���������&��� F � *� %��&�� � %��& ���� �&�&� v1(p) = 1 � v1(q) = 1'%� ������ � ������/��� ����/��� ������&�-

v1(p ⇒ q) = max(1 − v1(p), v1(q)) = max(1 − 1, 1) = max(0, 1) = 1'v1(p ∧ (p ⇒ q)) = min(v1(p), v1(p ⇒ q)) = min(1, 1) = 1�*� �����' ����Æ���&� ������ v1((p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q)-max(1 − v1(p ∧ (p ⇒ q)), v1(q)) = max(1 − 1, 1) = 1�*� ��� ��(�� %�%�,��&� � � ����� ����� ��%������ �����/�� ������&� %�%�,��� �����/�-

Page 59: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 �"

p q p ⇒ q p ∧ (p ⇒ q) (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q1 1 1 1 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 1

@����� �� %���,�- �� �� �� %�&������ ���&��� F �����������'(���&� �� �����/� � ������ ���� ������� ��� ���&���� <�� � ���� ������ �&� ������/�' ���� �� ���&��� F ������������ 4����'��+� ���&��� (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q ���� ������������ *�%�&���&��� ���������/��� %��%������&� ���� +�� �� �& &���&� � /���������� ���&��� F ������&� �' � ���&��� ���� ���� �� ������������� ���������/��� � ���� ������ �&� � ������/� � �����

< ��� ���&����&� %���,� ����� �����(���5 .�����50 ����/���� <�� %����7��&� ������� �����/� ���� &� ��%����� � ��+�& ������ �' ���&� �� &��%������ ������ ���&��� F �� (����� ����/���� 6������� �� ��%����� �-���� &� ����� �� �� ���&��� F %����� (����� ����� ����/��� vj ' 1 ≤ j ≤ 4'� �� � �� ��� ����� ����/��� v : F → {0, 1} ������ v(F ) ���� ������������ �� vj(F )' 1 ≤ j ≤ 4) 6��%��� �� ���� �� �� ����Æ��,� ������� v(F )��%+�� ��� �9�� ������� ����/���& v ������5 ��� ���� � �� %�������� ���&��� F � 1� ���� ����/��� v ��&� � %������� �&� ������� �������������5 ��� ���� � %������� � ��� ���&��� F � *��� � p1'���' pn .n ≥ 10� ������ ��� .&�Æ����� �����(���0 ���� � %������� � ���&��� F � 1���� ����/��� v ��&� �� %������� �&� ������/��� �� ����/��� v �� %����%{p1, ..., pn} ��%� P' ������/��� v|{p1,...,pn}� 6�������&� � &��� � ����/���v : F → {0, 1}� G��� �� �� ��� � �� ����/��� v1 � v2 %����%��� �� ��%�{p1, ..., pn}' ���� � � ������� ���&��� F ����/���&� v1 � v2 �������' ���

��� �� v1|{p1,...,pn}= v2|{p1,...,pn}' ���� �9� v1(F ) = v2(F )�1��� �� %�������� ���&��� F � &��� � ����/��� �������&� %� ��&��� �� �&��� ������� ������/��� �� ��%� ������5 ��� ���� � %������� ����&��� F �

%������� E��&���,� �����(���5 ��� �5 &��� �5 ����/���' ���� &���� %��������' ��&� � ��& ���� � %���,�- �� �� &�9�� ��& %���%��&%���&� ���� ���� ����/��� �������/���) @����� ��- ��� 2� �����(������ ����/��� � ���� �������/��� ���� � ����/��� �������/��� ρ ����%� �5 ����/���-

v1 ρ v2 ���� v1|{p1,...,pn}= v2|{p1,...,pn}�

G��� �� �� � ��� �� ���� ���� ����/��� ��� ������� ��� ��&����������(��5 ���&������ 6���&� �- ������ ����5 ���� ����/��� �&� ��%�������� ���&��� F) 2� ���� �� ����� �����(���5 ������5 ��� ����� %������� � %�&������� ���&��� F � <�� � � ���&��� F %������� n .n ≥ 10������5 ���' p1'���' pn' ���� �� ���� ���9���5 ���� ����/��� 2n� 6���9�&��� �� ��������� ������� ����� ������5 ���� *��� � � ���&��� F %�7������ �&� ����� ������ ���' ������ ��� p' ��� n = 1� ���� ����&

Page 60: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

����/���& v ������ ��� p &�9� ������ ��� ������ 0 ��� ������ 1� 2����(� �� � ����/��� &�9�&� �������� � �� ����' ��� �� 2n = 21 = 2� ������� ���� � ��� �� ���� �� ������ ��� p ������� 1' � � ������ � ��� ������ �� ������ ��� p ������� 0�

������ � 6�������&� ���&��� p ∨ (p ⇒ (p ⇒ ⊥)) ���� �&� ����������� ���� �� &��� � ����/��� �������&� � �� ���� �������� �����/� �� ���&��� �&� �&� �� ����/���' � �� ������� %�� ���� v1(p) = 1' � ����� �� ����� ���� v2(p) = 0-

p ⊥ p ⇒ ⊥ p ⇒ (p ⇒ ⊥) p ∨ (p ⇒ (p ⇒ ⊥))1 0 0 0 10 0 1 1 1

6��&���&� �� �� ���&��� p ∨ (p ⇒ (p ⇒ ⊥)) ������������

����� � ��(�� �� ���� � � ���&��� F %������� �� �����(��� ��������� ��� � ������ � � ���� �&�&� 22 = 4 ���� ����/��� � ���& %���7����/�&� ���� &� ����� � ��& %��&����

<�� ���&��� F �&� ��� �����(��� ������ ���' �� %��&�� p1' p2 � p3 .���� ������ �0' ���� �&�&� 23 = 8 ���� ����/��� � ���& %�������/�&����� �����&� � �����&� �����/� �%�� ������5 ���� >������ �����/����&��� p1 ∧ (p2 ⇒ p3) �� ������� � ��-

p1 p2 p3 p2 ⇒ p3 p1 ∧ (p2 ⇒ p3)

1 1 1 1 1

1 1 0 0 0

1 0 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 1 1 0

0 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

>� ,� ���&� �� ���&��� p1∧(p2 ⇒ p3) ���� �� ����������� �� ���������/����

4����' � �%+��& ��(���' ��� � � ����� ���&��� F %������� n .n ≥ 10�����(���5 ������5 ���' �� %��&�� p1, ..., pn' ���� � ��% �5 &��� �5����/��� ���� �� 2n ����� >� ��� �� ���� ���&�&� ����� ����/��� ���,���� %��������� � ���� �� ��� �� ��5 ����/��� ����Æ���&� ���������&��� F � 2� ���(� �� ������� �����/� ���&��� F ' � ����� � %������� n�����(���5 ������5 ���' �&� 2n �����' ��� ���� �� %�&�����5 ����/���'%��������� ����� ���� ����/���' ������� ����� ��� � �����/��

Page 61: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 ��

@�� ������ �&� ���+��� �����& %���& ������������ 8����� �9���� �(�,� &����� �������5 �����/� �� �� � ��& &�����& %���9� �� ����� ���&��� �� ��� %��� ���� ������������ @� ����������� �&� ��������� &����� (�+ �,�' ��+ ������ &����� �� �%����,� �� �� �� ���� ���&��������������' ���� �&� %�������� � ������ ����"� *�%�&���&� � �� �� �&� ������������&� ���� ���� �������� ���&��� � ��� ��&��� �� ���&��� ⊥ ⇒ ⊥'���&��� ¬p ��� ��&��� �� ���&��� p ⇒ ⊥ � ���&��� A ⇔ B .�� ���� ���&���A � B0 ��� ��&��� �� ���&��� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)�

2����������

.�0 (p ∧ �) ⇔ p .�0 (� ∧ p) ⇔ p ."0 (p ∧ ⊥) ⇔ ⊥ .�0 (⊥ ∧ p) ⇔ ⊥

.�0 (p ∨ �) ⇔ � . 0 (� ∨ p) ⇔ � .#0 (p ∨ ⊥) ⇔ p .!0 (⊥ ∨ p) ⇔ p

.�0 (p ⇒ �) ⇔ � .��0 (� ⇒ p) ⇔ p .��0 (p ⇒ ⊥) ⇔ ¬p .��0 (⊥ ⇒ p) ⇔ �

.�"0 (p ⇔�) ⇔ p .��0 (� ⇔ p) ⇔ p .��0 (p ⇔ ⊥) ⇔ ¬p .� 0 (⊥⇔ p)⇔ ¬p

.�#0 ¬� ⇔ ⊥ .�!0 ¬⊥ ⇔ �> � �������& ������,� �� �&� %�&������ �&� ���&��� ���� � �����Æ���%�&� � ����(��5 ������ �� ��%� ������ �������� ������ ������' ��%�{∧,∨,⇒,⊥}' � � ���&��� ��%������ %�&� � �����5 ����(��5 ������' �&�7�� � �� �&� ,�5�� ������/��� %�&� � ������ �� ��%� {∧,∨,⇒,⊥}�

����� $���� ���������

� ��& ������ ������� �&� %���%�� ������&�� ��&��� .�%����/���0 �������& ���&���&� � �������� ���� ���� ���� �&� �������� �� %���7����,� &����� (�+ �,��

������ 6�&�����&� ���&��� F = (((p ∧ q) ∨ r) ∧ p) ⇒ p� $�����(� ������&�� ��&����� ������ ��� p ���&���& C � ���&���F) 2� ���(� �� � ��� ����,� ������� ��� p � %�&����������&��� F ��&��� ���&���& C� 3������� �� ��&��� �� ���&���F1 = (((C ∧ q) ∨ r) ∧ C) ⇒ C�

4�����+�&� ��� %���%�� ������&�� ��&���' %��/�����

!�'������� ��'����� ������ ������������

������&�� ��&��� .�%����/���0 ������� ��� p ������& ���7&���& C � ����� ������� ���&��� �� ��%� ������5 ���&��� F ������� ����/��� p

C : F → F��������� ��������� �� ���� � ��(��-

Page 62: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

.�0 .���0 �� ���� ������ ��� q- qpC =

{C, q = pq, q �= p

.���0 �� ������� ����� ⊥- ⊥pC = ⊥

.�0 .���0 �� ���� ������ ���&��� A ∧ B-

(A ∧ B)pC = Ap

C ∧ BpC

.���0 �� ���� ������ ���&��� A ∨ B-

(A ∨ B)pC = Ap

C ∨ BpC

.��"0 �� ���� ������ ���&��� A ⇒ B-

(A ⇒ B)pC = Ap

C ⇒ BpC

������ � 6�&�����&� %���� ���&��� �� ������� ' ���&���F = (((p ∧ q) ∨ r) ∧ p) ⇒ p' � �����&� ���� �������- ��&���&����&���& C �&� ���� ����,� ������� ��� p � ���&��� F ' ��%��&�� ,���� %�� � ����� ����,� ��� �� ����� 3������� ����&��� �� ���&��� F2 = (((C ∧ q) ∨ r) ∧ C) ⇒ p�

6���&� �- �� �� �� ��&��� �&� ����5 ����,� ������� ��� p &�9�&��%���� %�&� � ������&�� ��&���) @����� ��- ��� 2�� %���%�� %���9�&��� ���&��� F �� ������� � 6�� %���%�� ��&��� �&� %��� � ������ . ����� ����0 ����,� ������� ��� p � ���&��� F ����&� � ''����� �����= �����&��� F = (((s∧q)∨r)∧s) ⇒ p � ����� � ����,� ������� ��� p �� ���&���F ���� 5� �&� �� ��&���&� ���&���& C %��������� ������& ���& ����� �� ���� � F ' ���& s' � ��� ����,� ������� ��� p �� ���&��� F ������ �&� �� ��&���&� � ����� ������ ��� p� E��&��� F &�9�&� ��������� �����&� %���5����/� ���&��� F �� %��&��� ��&��� �&� ����5 ����,�

������� ��� p� ���� %�&����&� ���&��� F � >&�&� �� �� ��+� %���������&��� F �������� ����� ������&�� ��&��� � ���&��� F ' ��� F �� F

s

p' �

���9��� ���&��� F2 �� �������� �%�� ����� ������&�� ��&��� � ���&��� F '��� F2 �� F

s

C � 4����' � ����� ���&��� F ��&��� %��������& ���&���& C �&�����5 ����,� ��������� ������� ��� p �� � ���� ����� ������&�� ��&���� ���&��� %���5����/� ���&��� F ' ���&��� F ' � ����� � ����,� ���������� p' ���� ����� �� ���� ��&�,���' ������ ���& ������& ���&�

���� �&� ��������� �9�� ���� ���� &�9� %������� ������ ���7&���' ����������� ���&���' � ���� �&� ��&� ���(���� ����� � %���%/�&���&����

!�'������� ������������* '�����

4� ������ ���&��� A � B � ����(�� ���������� .��� ��� �'����������0 ���� �� ���&��� A ⇔ B �����������' ��� |= A ⇔ B�

< �� � ����5 ����� ����������5 ���&����

Page 63: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 �#

������� � 6���9�&� ���� � ���� ����������5 ���&���-���&��� A � B � ���������� ��� � �&� ��� �� ��� ����/���v �9� v(A) = v(B)�6���%����&� �� � ���&��� A � B ����������� 2� ���(� �� ��A ⇔ B �����������' ��� �� ��� ����/��� v �9� v(A ⇔ B) = 1� *����� ������/��� ����/���' �� v(A ⇔ B) = 1' ���� v(A) = v(B)�� ����� �����' ��� �� ��� ����/��� v �9� v(A) = v(B)' ���� %�������/��� ����/��� �� ��� ����/��� v �&�&�- v(A ⇔ B) = 1�4����' ���&��� A ⇔ B �� �����������' ��� ���&��� A � B � ���7��������

������� � *� ��%� �5 ������5 ���&��� F ������+�&� ����7��� ����/��� ≡ �� ���� � ��(��-

A ≡ B ���� ���&��� A � B � �����������

6���9�&� �� �� ≡ ����� ����/��� �������/��� �� ��%� F �3���������� E��&��� A ⇔ A �� �����������' %� �9�- A ≡ A���&����(���� 4� �� �9� ������- ��� �� A ≡ B' ���� �� B ≡ A)6� ������/��� ����/��� ≡ ������� �� �� %�����&� �� �� �9����� � ������- ��� �� |= A ⇔ B' ���� �� |= B ⇔ A' ��� �� �� �������/��� v �9�- ��� �� v(A) = v(B)' ���� �� v(B) = v(A)� 2� �9��� ���� �&����(���� ����/��� ���������' %� �����(���&� �� ������/��� ≡ �&����(���2����������� 4� �� �9�- ��� �� A ≡ B � B ≡ C' ���� �� A ≡ C)6� ������/��� ����/��� ≡ �� ���(� �� �%�����&� �� �� �9� ����7 � ������- ��� �� |= A ⇔ B � |= B ⇔ C' ���� �� |= A ⇔ C'��� �� �� ��� ����/��� v- �� v(A) = v(B) � v(B) = v(C) ����v(A)=v(C)� 2� �9� �� ���� ������������ ����/��� ���������'%� �����(���&� �� �� ����/��� ≡ �����������4����' ����/��� ������������ ���&��� ≡ ���� ����� ����/����������/��� �� ��%� �5 ������5 ���&��� F �

*����� �&� (��� �� ���� ���������� ���&��� A � B ������� � A �� ��7�������� ���&��� B� >�����&� �� ���������������� ���� �������/�������/���≡� G���� �� ���� ���&���� ���� (��� � ���&��� ���������� ���7&��� �� 4����' ���� ���&��� � (��� � ������������ 4���� ���� �� �������&��� ⊥' ���� ����� %��%����� � ���������/����

6���9�&� ��� ���� �9�� ������ ���� �&��� ���������� ���&����

���� � ����� � ���� ��������� ��

��� ,�� �� |= A ⇔ B& ���� �� |= ¬A ⇔ ¬B-

��� ,�� �� |= A ⇔ B& ���� �� �������.� '���� C ����/

�∧�� |= (C ∧ A) ⇔ (C ∧ B) � �∧�� |= (A ∧ C) ⇔ (B ∧ C)A�∨�� |= (C ∨ A) ⇔ (C ∨ B) � �∨�� |= (A ∨ C) ⇔ (B ∨ C)A�⇒�� |= (C ⇒ A) ⇔ (C ⇒ B) � �⇒�� |= (A ⇒ C) ⇔ (B ⇒ C)A�⇔�� |= (C ⇔ A) ⇔ (C ⇔ B) � �⇔�� |= (A ⇔ C) ⇔ (B ⇔ C)�

Page 64: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�! ���� �� ��6��9� ;%<�6�

����

>� ����������� |= A ⇔ B ������&� �� � ���&��� A � B ����7������� ����� �� ��� ����/��� v �9�- v(A) = v(B)�.�0 6������� �� %������� �� �� �� ��� ����/��� v ������ v(¬A)������� ������� v(¬B)� 6� ������/��� ����/��� �� ��� ���7�/��� v �&�&�-

v(¬A) = 1 − v(A) � v(¬B) = 1 − v(B)�8��� �� ��� ����/��� v �9� v(A) = v(B)' ���� �&�&�-

v(¬A) = 1 − v(A) = 1 − v(B) = v(¬B)�4����� &� �� �� ��� ����/��� v �9�-

v(¬A) = v(¬B)�4����' ���&��� ¬A � ¬B � ����������' ��� �9�-

|= ¬A ⇔ ¬B�

.�0 4����� �&� ����� .∧�0 � .⇔�0� 4���� .∧�0' .∨�0' .∨�0' .⇒�0� .⇒�0 � �������� �������� ��� ��� .∧�0' � ��� .⇔�0 ��� ��� .⇔�0�*��� �� C %�������� ���&����

.∧�0 6� ������/��� ����/��� �� ��� ����/��� v �&�&�-

v(C ∧ A) = min(v(C), v(A)) � v(C ∧ B) = min(v(C), v(B))�6�+�� �� ��� ����/��� v �9� v(A) = v(B)' ���� ������&�-

v(C ∧ A) = min(v(C), v(A)) = min(v(C), v(B)) = v(C ∧ B)�4����' �� ��� ����/��� �9�- v(C ∧ A) = v(C ∧ B)� ����� ����&��� C ∧ A � C ∧ B ����������' ��� �9�-

|= (C ∧ A) ⇔ (C ∧ B)�

.⇔�0 �� ����/��� &�9�&� %������� � �� ��%���� � ������ �����/��� v �� ���� � ������� v(A)=v(B) � v(C) �������' � � ���7��� � ����/��� v �� ���� � ������� v(A)=v(B) � v(C) �����(����1� ����/��� v �� ���� � ������� v(A) = v(B) � v(C) �������' %�������/��� ����/��� �&�&�-

v(C ⇔ A) = 1 � v(C ⇔ B) = 1�1� ����/��� v �� ���� � ������� v(A) = v(B) � v(C) �����(���'%� ������/��� ����/��� �&�&�-

v(C ⇔ A) = 0 � v(C ⇔ B) = 0�4����' � ��� ��(��� &� ������-

v(C ⇔ A) = v(C ⇔ B)'%� �����(���&� �� � �� ��� ����/��� v ������� v(C ⇔ A) �v(C ⇔ B) �������' ��� �9�-

|= (C ⇔ A) ⇔ (C ⇔ B)�♦

���� �&� ���&������ ��&� �9�� �����&�' �����&� � ��&��� ����������'���� ��������� %������� �9��� ����������5 ���&��� � %���%�� ��&����

Page 65: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 ��

������ � � ������ � ���� ��������� ��

�� �������.�� '����� C& D � F � ���� ������� ����� p ����/

��� �� |= C ⇔ D& ���� �� |= F pC ⇔ F p

D-

6�� ���� +�� ����9�&� ������ � ���� ��������� �' %�������&� +����& ��� ����� >&�&� ���&��� F ' ���� ������ ��� p � &������ ����7������ ���&��� C � D� @� ���&��� F ������&��& ��&���& ������� ��� p���&���& C ������&� ���&��� F p

C � ������&��& ��&���& ���� ��� p ���7&���& D ������&� ���&��� F p

D� 6���&� �- � ����� � ��� ���&��� F pC � F p

D)*� ���� ������ � ���� ��������� � �&�&� �� � �� �� ���&��� ��7��������� 4����(��� ��(���' ����������� ���&��� C � D � ������&��&��&���& %������ �� ���&��� F p

C � F pD�

���� ������ � ���� ��������� �

6�&�����&� %�������� ���&��� F � 2����&� �&� �������� ��7���/���& %� ����� �������5 ����(��5 ������ � ���&��� F �

���� �����/���' F �&� � �������5 ������' ��� F �� ��� ⊥ ��� ���������� ����<�� �� F ���&��� ⊥' ���� �� F p

C = ⊥pC = ⊥ � F p

D = ⊥pD = ⊥' %� �9�

|= F pC ⇔ F p

D�<�� �� F ������ ��� q �����(��� �� p' ���� �� F p

C = qpC = q �

F pD = qp

D = q� 4����' ���&��� F pC ⇔ F p

D �� ����������� q ⇔ q' %��9� |= F p

C ⇔ F pD�

<�� �� F ��+ ������ ��� p' ���� �&�&� �� �� F pC = pp

C = C �F p

D = ppD = D� 8��� �9� |= C ⇔ D' �� ���(� �� �9�- |= F p

C ⇔ F pD�

>����/���� %���%�����- �����&� �9� �� ��� ���&��� F �����&� &�,� �� n �������5 ����(��5 �������

4���9�&� �� �����&� �9� � �� ���&��� ���� �&� n �������6�&�����&� ���&��� F ���� �&� n �������5 ������� E��&��� F&�9� �&��� ����� �� ���� �5 ������-

A ∧ B' A ∨ B ��� A ⇒ B�

��� ������ �� �� ���� �� ��� ������� ������ �&� ���&��� F ,���%�����&��� A � B �&��� ��� ����� ����� &�,� �� ���&��� F ' %��� ,�5 �9� �����/���� %���%�����' ��� �&�&� �����������-

|= ApC ⇔ Ap

D � |= BpC ⇔ Bp

D�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∧ B�*� ���� ������/��� ����/��� ������&�� ��&��� �&�&�-

F pC �� ���&��� Ap

C ∧ BpC � F p

D �� ���&��� ApD ∧ Bp

D�

1� ����������� |= BpC ⇔ Bp

D � ���&��� ApC �9� ��� .∧�0 ���� �

���� ��������� �-

|= (ApC ∧ Bp

C) ⇔ (ApC ∧ Bp

D)'

Page 66: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

%� � ���&��� ApC ∧ Bp

C � ApC ∧ Bp

D ����������� >�� ����' ������������� |= Ap

C ⇔ ApD � ���&��� Bp

D �9� ��� .∧�0 ���� �

���� ��������� �-

|= (ApC ∧ Bp

D) ⇔ (ApD ∧ Bp

D)'

%� � ���&��� ApC ∧Bp

D � ApD ∧Bp

D ����������� *� ���� ������7������ ����/��� ≡ �� ������������ ���&��� Ap

C∧BpC � Ap

C∧BpD

� ������������ ���&��� ApC ∧ Bp

D � ApD ∧ Bp

D ������&� ����7������� ���&��� Ap

C ∧ BpC � Ap

D ∧ BpD�

4����' �&�&� ����������� |= (ApC∧Bp

C) ⇔ (ApD∧Bp

D)' ��� �����������|= F p

C ⇔ F pD�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∨ B�*� ���� ������/��� ����/��� ������&�� ��&��� �&�&�-

F pC �� ���&��� Ap

C ∨ BpC � F p

D �� ���&��� ApD ∨ Bp

D�

1� ����������� |= BpC ⇔ Bp

D � ���&��� ApC �9� ��� .∨�0 ���� �

���� ��������� �-

|= (ApC ∨ Bp

C) ⇔ (ApC ∨ Bp

D)'

%� � ���&��� ApC ∨ Bp

C � ApC ∨ Bp

D ����������� 1� �����������|= Ap

C ⇔ ApD � ���&��� Bp

D �9� ��� .∨�0 ���� � ���� �����

����� �-

|= (ApC ∨ Bp

D) ⇔ (ApD ∨ Bp

D)'

%� � ���&��� ApC ∨Bp

D � ApD ∨Bp

D ����������� *� ���� ������7������ ����/��� ≡ �� ������������ ���&��� Ap

C∨BpC � Ap

C∨BpD

� ������������ ���&��� ApC ∨ Bp

D � ApD ∨ Bp

D ������&� ����7������� ���&��� Ap

C ∨ BpC � Ap

D ∨ BpD�

4����' �&�&� ����������� |= (ApC∨Bp

C) ⇔ (ApD∨Bp

D)' ��� �����������|= F p

C ⇔ F pD�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ⇒ B�

*� ���� ������/��� ����/��� ������&�� ��&��� �&�&�-

F pC �� ���&��� Ap

C ⇒ BpC � F p

D �� ���&��� ApD ⇒ Bp

D�

1� ����������� |= BpC ⇔ Bp

D � ���&��� ApC �9� ��� .⇒�0 ���� �

���� ��������� �-

|= (ApC ⇒ Bp

C) ⇔ (ApC ⇒ Bp

D)'

%� � ���&��� ApC ⇒ Bp

C � ApC ⇒ Bp

D ����������� >�� ������ ����������� |= Ap

C ⇔ ApD � ���&��� Bp

D �9� ��� .⇒�0 ���� �

���� ��������� �-

|= (ApC ⇒ Bp

D) ⇔ (ApD ⇒ Bp

D)'

%� � ���&��� ApC ⇒ Bp

D � ApD ⇒ Bp

D ����������� *� ���������������� ����/��� ≡ �� ������������ ���&��� Ap

C ⇒ BpC

� ApC ⇒ Bp

D � ������������ ���&��� ApC ⇒ Bp

D � ApD ⇒ Bp

D

������&� ����������� ���&��� ApC ⇒ Bp

C � ���&��� ApD ⇒ Bp

D�

Page 67: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 �

4����' �&�&� ����������� |= (ApC ⇒ Bp

C) ⇔ (ApD ⇒ Bp

D)' ��� ���7�������� |= F p

C ⇔ F pD�

4�����+� �� ������ �9� �� ��� ���&��� F � n �������5������' &� &� �������� �� �9� �����/���� �����' %� �����7(���&� �� �� %�������� ���&��� F .��� ���&��� � %��������&�����& n �������5 ������0 � ������ ��� p �� |= C ⇔ D ����|= F p

C ⇔ F pD�

6��� ������ ������ � ���� ��������� � �����&� ����� ��%�(��%��&�� %��&��� �� �����&��

������ 6�&�����&� ���&��� F -

(r ⇒ (p ∧ �)) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �)))'

,��� %�����&��� p ∧ � � ,�� ���������� ���&��� p .�� ��������������� .�0 (p ∧ �) ⇔ p �� ������ �����0� 6��&���&� �� �%�����&��� p∧� ���� �� %��� � ���&��� F ' ��� �&� �� ����,�� ���&��� F � ��&� ����� ����,� %�����&��� p∧� � F ' %�� ���'��&�,���&� ,�� ����������& ���&���& p � ������&� ���&��� F1-(r ⇒ p) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �)))� 3��Æ���&� ����- ���&��� p ∧ � � p �����������' %� �� ���� ������ � ���� ��������� �

���&��� F � (r ⇒ p) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �))) � ����������'��� ���&��� F ⇔ ((r ⇒ p) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �)))) �� ������������

���(�� �����(��,� � � (��� %�������� � ��+�& ����& ����7��,� � ���� �� �&� ������� � ������� ����+,��,� � �%�����,���� �����(��,�� @�� �&� ����������� � ��������� �%���������� �����(��,�� $�� &� &� � ���� �������) 8����� ������������ ���&��� p ∧ � � p' ����� ����,� ���&��� p ∧ � ����&��� F &� ��&����� ���&���& p� 2���&� �� �� ���� ���

���� � ���� ��������� � &�9�&� �����(��� �� �� ���� ����7���� ���&���' ���&��� F1 = (r ⇒ p) ⇒ (q∨(¬(p∧�)))' �������������&��� F � >�� ��&��� %�����&��� p ∧ � ���&��� F ,�� ����7������& ���&���& p ����' ���� &� �� ����' %���5����/� ���&���F � F1' ���&���

(r ⇒ s) ⇔ (q ∨ (¬(p ∧ �)))

� ����� �� ����,� %�����&��� p ∧ � ���� 5� �&� �� ��&���&� ''���7���= %�����& ������& ���& s� 4����' &� � ���� %�&����&����&��� (r ⇒ s) ⇔ (q ∨ (¬(p ∧ �)))' ,��� ������ ��� s � ���7�������� |= (p ∧�) ⇔ p' %� �� ���� ������ � ���� ���������

� � ������&�-

|= ((r ⇒ s) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �))))sp∧� ⇔ ((r ⇒ s) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �))))s

p

��� ������&�-

|= F ⇔ ((r ⇒ p) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �)))).

Page 68: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

4����' ��+ �����(�� �� � ���&��� F � (r ⇒ p) ⇒ (q ∨ (¬(p ∧ �)))���������� �� �%���� � ���� ������ �� ������ � ����

��������� ��

� ������,� ���� ���� &� �&� � ��(����&� ��� +�� �� ��� �%��� ������� ������� � %��&��� ������ � ���� ��������� �' � � ������ � ���� %��&��� ���� � ,��� %�����/��

��������� � ���������� ������ � ���� ��������� ��

%��� �� F �������.�� '�����& � '����� A ����� 0��� ���'�����- ,�� �� '����� F ���� ���.�0� ���'�����A ������ ����� '������B �������������'����� A& ��(��� �� '����� F1 ���� �� ������������ '����� F & ��- ����/

|= F ⇔ F1-

8��� � ������ �� ��������� � ������ �� ������ � ���� ���������

� �' �%���� �� � ������ �� ��������� ���&��� F �

����% ���"� ��&'(�

@�&�5 �� %�(���� ������ %������&� &����� (�+ �,� �� �����& �����7����& %��&����

������ " ������& (�+ �,� �%����&� �� �� �� ���&��� (p∨q) ⇒ p������������ ������ (�+ �,� �� ���� � %���%��� 6�����&� �����&��� (p∨ q) ⇒ p' ����&� ����� ������ ��� ���� � %������� ���� ���&���' �� %��&�� p' %���&� ���� � ���&���-

((p ∨ q) ⇒ p)p� = (� ∨ q) ⇒ � � ((p ∨ q) ⇒ p)p

⊥ = (⊥ ∨ q) ⇒ ⊥� ���&���&� ���-

(p ∨ q) ⇒ p

(� ∨ q) ⇒ � (⊥ ∨ q) ⇒ ⊥

� �������& ������ %�&����&� ���&��� (� ∨ q) ⇒ � � ���&���(⊥ ∨ q) ⇒ ⊥ � �%�� ����&� ���� ������ ��� ��5 ���&���� @���&��� �&� ����� ������ ���' ��� q' %� &�9�&� �������� �������� ������ ���� ���� �� ��5 ���&��� � ����� �� �� ���&������� �� �� � ������ q ��&�,��� � �' � � ������ �� q ��&�,��� � ⊥� ������&� ���-

Page 69: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 "

(� ∨�) ⇒ � (� ∨⊥) ⇒ � (⊥ ∨�) ⇒ ⊥ (⊥ ∨⊥) ⇒ ⊥

(p ∨ q) ⇒ p

(� ∨ q) ⇒ � (⊥ ∨ q) ⇒ ⊥

*� �����&� ��� ����� ������ &� ���&��� � ����&� ��&� ����7��5 ���� � %����,�& ������ ��� �� ��5 ���&��� %������&� �,�� ����������& ���&���&' �����& �� ���&��� ⊥ ��� �� 3����7��� ��� %���%�� �� ���-

(� ∨�) ⇒ �

(� ∨⊥) ⇒ �

(⊥ ∨�) ⇒ ⊥

(⊥ ∨⊥) ⇒ ⊥

(p ∨ q) ⇒ p

(� ∨ q) ⇒ � (⊥ ∨ q) ⇒ ⊥

@�& ������& %���%�� %����,� ����� �� ���+�� � ��� %�&�7���&� ����� ��� ������ 4� &� �� �& �����&� ������ ���7&��� �' �����(��� ��&� �� �� ��+� %������ ���&��� (p ∨ q) ⇒ p������������ ��Æ���&' �� �����& ���� �� ���&��� ⊥' %� �����(�7��&� �� ���&��� (p ∨ q) ⇒ p ���� ������������

8��� &����� (�+ �,� ������� �� %�������� ���&��� F) 6�����&� �����&��� F ' ����&� ����� ������ ��� ���� � %������� � ��� ���&���' ��%��&�� p' � �+�&� �����,� �� ���&��� F .��� � ������ "0' ��� %���&� ���7&��� F p

� .���� +�� � ���&��� F ��� ����,� ������� ��� p ��&�,���&����&���& �0 � ���&��� F p

⊥ .���� +�� � ���&��� F ��� ����,� ���������� p ��&�,���&� ���&���& ⊥0� 1���& ����&� ���� � ������ ��� ���7&��� F ' �� %��&�� q' � �+�&� �����,� ��� �� ���&��� F p

� � F p⊥ ��� ��7

���� � ���&��� F p� %���&� ���&��� (F p

�)q� � (F p

�)q⊥' � ������ � ���&���

F p⊥ %���&� ���&��� (F p

⊥)q� � (F p

⊥)q⊥� 6���%�� ������&� ������& ����

������� ��� ���&��� F .�����(���� �� p � q0 � �����,�& ���&��� (F p�)q

�'(F p

�)q⊥' (F p

⊥)q� � (F p

⊥)q⊥� D����(�� �� &�9�&� �� %������&� ���� �& ���7

��&-

(F p�)q

... ...

(F p�)q

... ...

(F p⊥)q

... ...

(F p⊥)q

... ...

F

F p� F p

6���%�� �����,� � ���+�� ���� � .%��&�,��� � ��&��� ������5 ������&���&� � � ⊥0 ������ ���&��� � ����&� ��&� ������5 ���� 6����,�

Page 70: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

����� �� �� ��%���&� �����' ��� �� ��� �� ��5 ���&��� %��9�&� � ���&�� ���&��� � ��� ⊥ ����� �� �� ���&��� ����������� 4����' �� �����&������ ���� ������&� �%����& %���%��& &��� � �������� �&� ���&��� �� ⊥� 6�����&� � �� ��& &�����& �%�����&� �� �� �� ���� ���&��� F ' ������& �� ����' ������������ 1��� ���� ��%���&� ���� ���' ���� � ��������� ���� ���� ���&��� � ������ �� ,����& �����&�' �����(���&� �� �� ��%������ ���&��� F ����������� ��� ����� <�� � �� �& �����&� ���������&��� �' ���� �� %������ ���&��� F ������������ <�� � �� �& �����&������� ���&��� ⊥' ���� �� ���&��� F ���������/���� <�� � �� �����&�%������� ��� ���&��� � � � ⊥' ���� �� ���&��� ���� �� ����������� �� ���7������/����

6�� ���� +�� ����9�&� �� �� ���� �����(��,� �%����' %�������&� ��+�� ��������� %��&����

������ # 6���9�&� �� �� ���&��� p ⇔ p ������������ � ������&��� %������� � �&� ������ ��� p' ���� %���&� ���&���(p ⇔ p)p

� = � ⇔ � � (p ⇔ p)p⊥ = ⊥ ⇔ ⊥-

p ⇔ p

� ⇔ � ⊥ ⇔ ⊥

� ��& ���������& %��&��� � &� %��& ������& �����,� ��7���� ���&��� � ����&� ��&� ������5 ���� 6������� ��& ����%���&� �����' ��� ���&��� � ⇔ � %��9�&� � ,�� ����7������& ���&���& � � ��� ���� ���&��� ⊥ ⇔ ⊥ %��9�&� � ,������������& ���&���& �-

� �

p ⇔ p

� ⇔ � ⊥ ⇔ ⊥

*� �& �����&� &� ������ ���&��� � � �����(���&� �� �� ���7&��� p ⇔ p ������������

������ 1 6���9�&� �� �� ���&��� p ∧ ¬p ���������/���� 8�� �� %���5����& %��&��� ������ ��� p ��&�,���&� ���&���&� � �⊥ � ������&� ���-

⊥ ⊥

p ∧ ¬p

� ∧ ¬� ⊥ ∧ ¬⊥

Page 71: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 �

*� �& �����&� &� ������ ���&��� ⊥ � �����(���&� �� �� ���7&��� p ∧ ¬p ���������/����

6��� ��5 ���������5 %��&��� %�������&� �� (�&� � ����� &����� (�7+ �,�� 6�����&� �� ���� ���&��� F � %�������& %���%��& %���&� ��� ��(���& �����&� &��� ���� �&� ⊥ ��� �� <�� &� �� �& �����&� ���������&��� �' &� ����&� �� �� %������ ���&��� ������������ 2� �����(��,��%�����&� ���� �& ����& �� %�������� ���&��� E .���� �&� �������������0- ���&��� E �� ����������� ��� � �&� ��� � ���&��� Er

� � Er⊥

������������ 4����' ��� � �� �����&� ��� ����� ����������� �' %�(�,�&��� � �� ����� �� �&� �� ��+�� %������� ���&��� F � � ���& �������� �,� &� %������&� � ����5 ���&��� Er

� � Er⊥ �� ���&��� E � ������&�

��� ��� %�&������ ����- ��� � ���&��� Er� � Er

⊥ �����������' ���� �� ����&��� E ������������ � %����,�& ������ �� �,� ������&� �� ����� %������&� � ����������� F p

� � F p⊥ �� ���&��� F � �����(���&� �� �� ��+�

%������ ���&��� F ������������4� %�&����� ���� �9� ���� ������� �����&��

������ �

2����� F �� ������)��� ��� � ���� ��� � '����� F p� � F p

⊥ ������)���-

6�� ���� +�� ����9�&� �� �����&� %�������&� ����� %��&���

������ �3 6�&�����&� ���&��� F �� ������� �' ���&���(p∧ (p ⇒ q)) ⇒ q� 1� ���� ���� ����/��� v ������ v(F ) ��(���&��� ���� � ��(��-

v(F ) = max(1 − v(p ∧ (p ⇒ q)), v(q))

= max(1 − min(v(p), v(p ⇒ q)), v(q))

= max(1 − min(v(p),max(1 − v(p), v(q))), v(q)).

< ��� %�������&� ���&���

F p� = (� ∧ (� ⇒ q)) ⇒ q � F p

⊥ = (⊥ ∧ (⊥ ⇒ q)) ⇒ q�

1� ���� ���� ����/��� v ������ v(F p�) ��(���&� �� ��� ��(��

��� v(F ) �&� +�� �&��� v(p) ����&� v(�)-

v(F p�) = max(1 − min(v(�),max(1 − v(�), v(q))), v(q)).

>�� ����' ������ v(F p⊥) ��(���&� �� ��� ��(�� ��� v(F ) �&�

+�� �&��� v(p) ����&� v(⊥)-

v(F p⊥) = max(1 − min(v(⊥),max(1 − v(⊥), v(q))), v(q))�

*�+ %�� ������� �� �� �� %�������� ����/��� v ������ � ���&�7�� F ' ������&� v(F p

�) � v(F p⊥)� <�� 5� �&� �� ������&� v(F p

�)' �������&�&� %�������� ����/��� v1 � ������& �� � ,�& ��������� p ���� � �' ��� v1(p) = 1 = v(�)' � �� �����& ������&���&� ���&��� F �� ����/��� � %����%� � v� � ��+�& %��&���

Page 72: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �� ��6��9� ;%<�6�

���&��� F ��& p �&� ��+ �&� ������ ��� q' %� ���&�&� ���7�/��� v1 �� ���� �� v1(p) = 1 � v1(q) = v(q) � ������&�-

v(F p�) = max(1 − min(v(�),max(1 − v(�), v(q))), v(q))

= max(1 − min(v1(p),max(1 − v1(p), v1(q))), v1(q)) = v1(F ).

<������� ��&�' ���� ��(���&� ������ v(F p⊥) &�9�&� ����� %���7

����� ����/��� v2 � ������& �� p ���� � �' � �� �����&������& ���&� � %����%� � v � �� ,� �9�-

v(F p⊥) = v2(F ).

4���� ������� �� �� �� ���� ����/��� v ����(���&� ������ v(F )'������ � ������� v(F p

�) � v(F p⊥)� F�9�� �� ������ ��� p ��&

����/���& v� <�� �� v(p) = 1' ���� �� v(p) = v(�) � �&�&�-

v(F ) = max(1 − min(v(p),max(1 − v(p), v(q))), v(q))

= max(1 − min(v(�),max(1 − v(�), v(q))), v(q)) = v(F p�)�

< ��� �� v(p) = 0' ���� �� v(p) = v(⊥) � �&�&�-

v(F ) = max(1 − min(v(p),max(1 − v(p), v(q))), v(q))

= max(1 − min(v(⊥),max(1 − v(⊥), v(q))), v(q)) = v(F p⊥)�

@����� ���� &� %������� � ������ �3 �9� � � �%+��& ��(���� 6�&�7���&� %�������� ����/��� v � ���&��� F � ����� � ��& ������� ��� p%������� ��+ � ������ ��� p1' ���' pn' ��� ���� ��5 ��� &�9� ���� � �����<�� �� v1 ����/��� ���� �� ��� p ���� � �' ��� v1(p) = 1' � �� �& �7����& ������& ���&� ���&��� F .��� �� ��� %�����0' ������& ���&�p1'���'pn' � %����%� � ����/���& v' ��� v1(pi) = v(pi)' 1 ≤ i ≤ n' ���� �&�&�-

v(F p�) = v1(F )�

<�� �� v2 ����/��� ���� �� ������ ��� p ���� � �' ��� v2(p) = 0' � ���& �����& ������& ���&� ���&��� F .��� �� ��� %�����0' ������&���&� p1' ���' pn' � %����%� � ����/���& v' ��� v2(pi) = v(pi)' 1 ≤ i ≤ n'���� �&�&�-

v(F p⊥) = v2(F )�

� ����� �����' �� %�������� ����/��� v ������ v(F ) ��(���&� ����-��� �� v(p) = 1' ���� �� v(F ) = v(F p

�)A��� �� v(p) = 0' ���� �� v(F ) = v(F p

⊥)�8����� � �� ����' ����9�&� ������ ��

���� ������ �

*��� � � ���&��� F ��& ������� ��� p ������ � ������ ���p1'���' pn' ��� ���� ��5 ��� &�9� ���� � �����4���� ����- <�� �� F �����������' ���� � � F p

� � F p⊥ ������������

<�� �� %�������� ����/��� v-F → {0, 1} %���9�&� �� �� v(F p�) = 1

� v(F p⊥) = 1 �� � ���(��� �� � �� ���&��� ������������ 4���9�&�

�� �� v(F p�) = 1� ��&�&� ����/��� v1 ���� ������ ��� p ���� �

�' ��� v1(p) = 1' � �� �& ������& ���&� p1'���' pn .��� �� ���

Page 73: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 #

%�����0 � %����%� � ����/���& v' ��� v1(pi) = v(pi)' 1 ≤ i ≤ n�>&�&� .��� � ������ �30 �� �9�-

v(F p�) = v1(F )�

E��&��� F �� �����������' %� �� � �� ����/��� v1 �������' ��� �9�v1(F ) = 1� ����� �� v(F p

�) = v1(F ) � v1(F ) = 1 ������&� v(F p�) = 1�

4����' %������� &� �� �� %�������� ����/��� v �9� v(F p�) = 1�

2� ���(� �� �� ���&��� F p� ������������ .4���� �� �� ���&��� F p

⊥����������� �� �������� ��& �������04���� ����- <�� � F p

� � F p⊥ �����������' ���� �� � F ������������

�� ����/��� &�9�&� �������� �� ��� ���� ������ ��� p ������� � � ��� ���� p ������ � ��1 1� ��� ����/��� v ����& � ������ ��� p ���� � �' ��� v(p) = 1.��� � ������ �30' �9�-

v(F ) = v(F p�)�

E��&��� F p� �� �����������' %� �&�&� v(F p

�) = 1� >� v(F ) = v(F p�) �

v(F p�) = 1 ������&� v(F ) = 1�

2 1� ��� ����/��� v ����& � ������ ��� p ���� � �' ��� v(p) = 0.��� � ������ �30' �9�-

v(F ) = v(F p⊥)�

E��&��� F p⊥ �� �����������' %� �&�&� v(F p

⊥) = 1� >� v(F ) = v(F p⊥) �

v(F p⊥) = 1 ������&� v(F ) = 1�

4����' �� ��� ����/��� v �9�- v(F ) = 1� 1����(���&� �� �����&��� F ������������

������ �

,�� �� p �������.�� ������� ����� ���� '����� F � '����� F �� ������)���&���� �� �� �������.� '���� C � '����� F p

C ������)���-

����

<�� �� ��� ����/��� v : F → {0, 1} %���9�&� �� �� ���&��� F pC

�������' ��� �� �� v(F pC) = 1' �� � ���(��� �� �� �� ���&��� ���7

��������� F������ v(C) &�9� ���� ��� � ��� ��1 <�� �� v(C) = 1' ���� �� v(C) = v(�)' %� �&�&� �� �� v(F p

C) �������v(F p

�)� E��&��� F �� �����������' %� �� ���� ������ � � ���&���F p� �� �����������' ��� v(F p

�) = 1� >� ���� ���� �� �� v(F pC) = 1�

2 <�� �� v(C) = 0' ���� �� v(C) = v(⊥)' %� �&�&� �� �� v(F pC) �������

v(F p⊥)� @%�� �� ���� ���� +�� �� ���&��� F ����������� ��7

���� � ������ �' ������&� �� �� ���&��� F p⊥ �����������' %� ��

�%�� v(F pC) = 1�

4����' ������ &� �� �� ���&��� F pC ������� �� ��� ����/���

v' %� �����(���&� �� �� ���&��� F pC ������������

Page 74: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

! ���� �� ��6��9� ;%<�6�

@�& �����&�& ��� ����������� %�����' ������� ��(���' ����� 5�&��� %����,� ���5 ����������� ���� �� � ,�� ��� ������ ��� &�9� ������&�,��� %��������& ������& ���&���& � ��& ��&���& � ������ ��� ���7��������� *� %��&��' ����������� p ⇒ p � ������ � ��& �&��� ���� %����7,� ���� �5 �����������-

A ⇒ A' ��� �� p ��&�,��� � AA(A ⇒ C) ⇒ (A ⇒ C)' ��� �� p ��&�,��� � A ⇒ C' � ���� �����

>�� ����' ����������� (p∧(p ⇒ q)) ⇒ q' �� ���� ������ �' ���� �����������-((p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q)p

A = (A ∧ (A ⇒ q)) ⇒ q�2� ��� ����������� �� ���� ��� �����&� ���� �����������-

((A ∧ (A ⇒ q)) ⇒ q)qB = (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B�

6��&���&� �� �� ����������� (A∧ (A ⇒ B)) ⇒ B � ���� ���&��� �������� ������������� (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q' ���� � �� ������ ��� p � q ��&�,��� ����&���&���&� A � B' ��� (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B �� ���&��� (((p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q)p

A)qB �

2� ���� �� %��������� ���� �& %�����/�& ������ ��

��������� � ���������� ������ ��

,�� �� '����� F ������)��� � p1, ..., pn �n ≥ 1� 0��� ������� �����& ���� ���������.�� '����� C1, ..., Cn � '����� F p1...pn

C1...Cn�� ������)���-

� �������& %��&���&� %��&��� �&� &����� (�+ �,� �� ��������' �� �5���� �����&�' %������5 ������������ 6�� ���� %�������&� %���� ���&��� ��������� "� *� ��& %��&��� %���9�&� ���� %���%�� (�+ �,�' ���� &� � �%����' &�9�&� �������' ������ � ����������� �� %��� � ������ ����� � ������ �� *���� %��� �����,� ������ &� ���&��� (�∨q) ⇒ � � (⊥∨q) ⇒⊥��&��� �� �����&� �����,� ��&���&� ������� ��� q � � � ⊥' ����� �&����� �� 8����� � ����������� .�0 (p ⇒ �) ⇔ � � ����������� .!0 (⊥∨p) ⇔ p'�� ���� ������ �' ������&� ����& �����������-

((p ⇒ �) ⇔ �)p�∨q = ((� ∨ q) ⇒ �) ⇔ � � ((⊥ ∨ p) ⇔ p)p

q = (⊥ ∨ q) ⇔ q�

>� ����������� ((� ∨ q) ⇒ �) ⇔ � ���� �� �� ���&��� (� ∨ q) ⇒ � �� ��������� ���������� ���&��� �� >� ����������� (⊥∨q) ⇔ q' �� ���� ������

� ���� ��������� �' ������&� �� �� ���&��� (⊥∨ q) ⇒ ⊥ �� ����� ��������������� ���&��� q ⇒ ⊥� 1��� ��� %����9��&� ���� +�� (� ∨ q) ⇒ �%������&� � �' � (⊥ ∨ q) ⇒ ⊥ � q ⇒ ⊥� @���� ��& ��+ �����,� ���&���q ⇒ ⊥ � ������&� ��� ���� �� ����������� �� ����� �� ������� "-

� q ⇒ ⊥

� ⇒ ⊥

⊥ ⇒ ⊥

(p ∨ q) ⇒ p

(� ∨ q) ⇒ � (⊥ ∨ q) ⇒ ⊥

> � �& �������& %��&���&�' %�� %������ � ���&��� � �����& (���.%���5������0 �� ���&��� � ����& ,����& ���������' ����� �&� ���� �-

Page 75: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 �

���� %�����&��� ���&��� �� %���5������ ��&�,���&� ,�&� ����������&���&���&� � ������&� ���&��� � ���������� ;���������� ��� �� %��7���&��� � ��� ���&��� ����& �� ��&�,���&� �%������ �� ����& �� �����������'���(�+ � ���5 �������5 � ������ ����� .����� � ������� � (��� %��&����� �&� ���/���0� E��&��� � ���������' ���� �� �������� ��5 ��&���' ����7������ �� ���&��� � %���5������ �� ���� ������ � ���� ��������� ��8��� ����&� �� ���� ��� � �� ����� ������� � ���� � ����� ����� �������� �� � � ������� �� ��� � ���� ����� �� ������ �� ���� ��� ������

������ �� 4� ������� �����- (¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q)�

6���&� ���-

(¬�) ⇔ (⊥ ∧ ¬ q)

⊥ ⇔ ⊥

(¬ q) ⇔ (� ∧ ¬ q)

¬ q ⇔ ¬ q

(¬(p ∨ q)) ⇔ (¬ p ∧ ¬ q)

(¬(� ∨ q)) ⇔ (¬� ∧ ¬ q) (¬(⊥ ∨ q)) ⇔ (¬ ⊥ ∧ ¬ q)

6��& �����,�& ��%����� &� ���&���-((¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q))p

� = (¬(� ∨ q)) ⇔ (¬� ∧ ¬q)((¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q))p

⊥ = (¬(⊥ ∨ q)) ⇔ (¬⊥ ∧ ¬q)�

4������ �&� �������9��� ���� &� ��%����� ����� (���� �������� ��� ������ .6����,� ,���� ���� ����� � ����� � �����7��& %��&���&� �� � ���� ���� ������� �������9����06�� �����- �� (¬(�∨q)) ⇔ (¬�∧¬q) ������,� (¬�) ⇔ (⊥∧¬q)� *����� ����������� . 0 � ������ � ���&��� � ∨ q �� �������������&��� �' %� �� �� ���� ������ � ���� ��������� � ���7&��� (¬(� ∨ q)) ⇔ (¬� ∧ ¬q) ���������� (¬�) ⇔ (¬� ∧ ¬q)� *����� ����������� .�#0 ���&��� ¬� �� ���������� ⊥' %� �� �� �7��� ������ � ���� ��������� � ���&��� (¬�) ⇔ (¬� ∧ ¬q)���������� ���&��� (¬�) ⇔ (⊥ ∧ ¬q)�4���� �����- �� (��� (¬�) ⇔ (⊥ ∧ ¬q) ������,� (��� ⊥ ⇔ ⊥�*� ���� ����������� .�#0 ���&��� ¬� �� ���������� ⊥' %� �� ������ ������ � ���� ��������� � ���&��� (¬�) ⇔ (⊥∧¬q)���������� ���&��� ⊥ ⇔ (⊥ ∧ ¬q)� *� ���� ����������� .�0� ������ � ���&��� ⊥ ∧ ¬q �� ���������� ���&��� ⊥' %� �� ������ ������ � ���� ��������� � ���&��� ⊥ ⇔ (⊥ ∧ ¬q)���������� ���&��� ⊥ ⇔ ⊥�2�� � �����- �� (��� ⊥ ⇔ ⊥ ������,� ���� �� *� ���� ���7�������� �� ������� # � ������ � ���&��� ⊥ ⇔ ⊥ �� �������������&��� ��� ����� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .!0 � .�!0A .�0A �� ������� #�

Page 76: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

#� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

������ �� 4� ������� �����- (¬(p ∧ q)) ⇔ (¬p ∨ ¬q)�6���&� ���-

(¬ q) ⇔ (⊥ ∨ ¬ q)

¬ q ⇔ ¬ q

(¬⊥) ⇔ (� ∨ ¬ q)

� ⇔ �

(¬(p ∧ q)) ⇔ (¬ p ∨ ¬ q)

(¬(� ∧ q)) ⇔ (¬� ∨ ¬ q) (¬(⊥ ∧ q)) ⇔ (¬⊥ ∨ ¬ q)

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .�0 � .�#0A .!0A �� ������� #' � � ,����� ����� ������������� &� ����&' %� ����/�&�' �����������- .�0 � .�!0A .�!0 �. 0A .�"0�

������ �� 1���� ��&��� �&%����/���- (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)�6���&� ���-

q ⇔ (⊥ ∨ q)

q ⇔ q

� ⇔ (� ∨ q)

� ⇔ �

(p ⇒ q) ⇔ (¬ p ∨ q)

(� ⇒ q) ⇔ (¬� ∨ q) (⊥ ⇒ q) ⇔ (¬⊥ ∨ q)

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .��0 � .�#0A .!0A �� ������� #' � � ,����� ����� ������������� &� ����&' %� ����/�&�' �����������- .��0 � .�!0A . 0A.�"0�

������ � 1���� ����� ����/���- (¬¬p) ⇔ p�6���&� ���-

(¬⊥) ⇔ �

� ⇔ �

(¬�) ⇔ ⊥

⊥ ⇔ ⊥

(¬¬ p) ⇔ p

(¬¬�) ⇔ � (¬¬⊥) ⇔ ⊥

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .�#0A .�!0A .�"0' � � ,����� ����� ����� �������� &�����&' %� ����/�&�' �����������- .�!0A .�#0A �� ������� #�

Page 77: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 #�

������ �� 1���� ������%���/���- (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)�6���&� ���-

q ⇔ (¬ q ⇒ ⊥)

q ⇔ ¬¬ q

� ⇔ (¬ q ⇒ �)

� ⇔ �

(p ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬ p)

(� ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬�) (⊥ ⇒ q) ⇔ (¬ q ⇒ ¬⊥)

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .��0 � .�#0A .��0A �� ������� �� � ����� ����� ������������� &� ����&' %� ����/�&�' �����������- .��0 � .�!0A .�0A.�"0�

������ � 1���� ������������ ∨ � ����� �� ∧-((p ∧ q) ∨ r) ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))�

6���&� ���-

� ⇔ �

(p ∧ q) ⇔ (p ∧ q)

((p ∧ q) ∨ r) ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))

((p ∧ q) ∨ �) ⇔ ((p ∨ �) ∧ (q ∨ �)) ((p ∧ q) ∨ ⊥) ⇔ ((p ∨ ⊥) ∧ (q ∨ ⊥))

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .�0 � .�0A .�"0A � � ,����� ����� ����� �������� &�����&' %� ����/�&�' �����������- .#0A �� ������� #�

���� ����&� %��� ����������� � ��&� � %���� � %�&�����5 ����������������� ��+ ���� ���(���� ����������� ���� �&� �������� � ����& ������,��1���� ����������� �� �&%����/���- p ⇒ p

1���� ����(�,� ��� ��- p ∨ ¬p

1���� ��%������(����- ¬(p ∧ ¬p)1���� ����� ����/���- ¬¬p ⇔ p

6��� �����- ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p

1���� ��&��� �&%����/���- (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)1���� ��&��� �������/���- (p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))1���� ������������ �� �&%����/���- (p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r))1���� ������������ �� �������/���- ((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r)1���� ������,� �&%����/���- (¬(p ⇒ q)) ⇔ (p ∧ ¬q)1���� ����� �Æ�,� �� %������(���- ((¬p) ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ p

Page 78: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

#� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

1����� ��&��������� �� ∧ � ∨- (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) � (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)1���� ��/��������� �� ∧- ((p ∧ q) ∧ r) ⇔ (p ∧ (q ∧ r))1���� ��/��������� �� ∨- ((p ∨ q) ∨ r) ⇔ (p ∨ (q ∨ r))1����� �%��%/���- (p ∨ (q ∧ p)) ⇔ p � (p ∧ (q ∨ p)) ⇔ p

1���� ������������� ∧ � ����� �� ∨- ((p∨ q)∧ r) ⇔ ((p∧ r)∨ (q∧ r))1���� ������������� ∨ � ����� �� ∧- ((p∧ q)∨ r) ⇔ ((p∨ r)∧ (q∨ r))���� %���� .modus ponens0- (p ∧ (p ⇒ q)) ⇒ q

4� ������� �����- (¬(p ∧ q)) ⇔ (¬p ∨ ¬q)4� ������� �����- (¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q)1���� ������%���/���- (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

� �������� �����&� %������ �&� ��+ ����� ��� ���� %����� ��&�� ���7&��� F � ���&��� F p

� � F p⊥' ��� �� p ���� ������ ��� ���&��� F �

������ �

�� �������.� '���� F � ���� ������� ����� p ���� �� �� F ������������'����� (p ⇒ F p

�) ∧ (¬p ⇒ F p⊥)& ��- '����� F ⇔ ((p ⇒ F p

�) ∧ (¬p ⇒ F p⊥)) ��

������)���-

����

2���� %������� �� �� �� ��� ����/��� v : F → {0, 1} ������v(F ⇔ ((p ⇒ F p

�) ∧ (¬p ⇒ F p⊥))) ������� �� *� ���� ������/���

v �� ���&��� ������ A ⇔ B' �� ���(� �� ����� %������� �� ��v(F ) ������� v((p ⇒ F p

�) ∧ (¬p ⇒ F p⊥))� 6� ������/��� ����/��� v

������ v((p ⇒ F p�)∧(¬p ⇒ F p

⊥)) ��(���&� ��� &���&�& v(p ⇒ F p�)

� v(¬p ⇒ F p⊥)' � �� ������� ��(���&� ����-

v(p ⇒ F p�) = max(1 − v(p), v(F p

�))v(¬p ⇒ F p

⊥) = max(1 − v(¬p), v(F p⊥))�

1� ���� ��(���,� ���%5���� ��& �� ������ ������� ��� p ���7�/���& v� 1� ��� ����/��� v ������ v(p) �� ��� � ��� ��

1 <�� �� v(p) = 1' ���� �&�&� �� �� v(F ) = v(F p�)�

@�����&� ��+ v((p ⇒ F p�) ∧ (¬p ⇒ F p

⊥))� >&�&�-

v(p ⇒ F p�) = max(1 − 1, v(F p

�)) = max(0, v(F p�)) = v(F p

�)�

v(¬p ⇒ F p⊥)) = max(1 − 0, v(F p

⊥)) = max(1, v(F p⊥)) = 1�

>� ���� ����- v((p ⇒ F p�) ∧ (¬p ⇒ F p

⊥)) = min(v(F p�), 1) = v(F p

�)�4����� &� �� � ��� ������� v(F ) � v((p ⇒ F p

�) ∧ (¬p ⇒ F p⊥))

������� v(F p�)' %� � ������� &�������

2 <�� �� v(p) = 0' ���� �&�&� �� �� v(F ) = v(F p⊥)�

*� ��� ��(�� ��� � 1 ������&� �� �� v((p ⇒ F p�) ∧ (¬p ⇒ F p

⊥))������� v(F p

⊥)�

Page 79: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 #"

4����' �&�&� �� � ��� ������� v(F ) � v((p ⇒ F p�) ∧ (¬p ⇒ F p

⊥))������� v(F p

⊥)' %� � ������� &�Æ������

>� 1 � 2 �����(���&� �� �� ��� ����/��� v �9�-v(F ) = v((p ⇒ F p

�) ∧ (¬p ⇒ F p⊥)),

���v(F ⇔ ((p ⇒ F p

�) ∧ (¬p ⇒ F p⊥))) = 1.

4����' ���&��� F ⇔ ((p ⇒ F p�) ∧ (¬p ⇒ F p

⊥)) �� ������������

� �������& ������� �&� �� ���� ���&��� %������� �� � ����������� � ��&�����& (�+ �,��

������� �

(1.1) 6������� �� �� ���&��� p ⇒ (q ⇒ p) ������������

6���&� ���-

q ⇒ �

p ⇒ (q ⇒ p)

� ⇒ (q ⇒ �) ⊥ ⇒ (q ⇒ ⊥)

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .��0 � .�0' � � ,����� ����� ����� �������� &� ���7�������� .��0�

(1.2) 6������� �� �� (p ⇒(q ⇒ r))⇒((p ⇒ q)⇒(p ⇒ r)) ������������

6���&� ���-

(q ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r)

� ⇒ (� ⇒ �)

� ⇒ �

(p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r))

(� ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((� ⇒ q) ⇒ (� ⇒ r)) (⊥ ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((⊥ ⇒ q) ⇒ (⊥ ⇒ r))

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .��0 � ���������� �&%����/���' � � ,����� ���������� �������� &� ����&' %� ����/�&�' �����������- .��0A .��0� .�0�

(1.3) 6������� �� �� ���&��� ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p ������������

Page 80: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

#� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

6���&� ���-

� (� ⇒ ⊥) ⇒ ⊥

⊥ ⇒ ⊥

((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p

((� ⇒ q) ⇒ �) ⇒ � ((⊥ ⇒ q) ⇒ ⊥) ⇒ ⊥

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����������� .�0' � � ���������� ����&' %� ����/�&�' �����������- .��0A .��0 � .��0�

(1.4) 6������� �� �� ���&��� p ⇒ (q ⇒ (p ∧ q)) ������������

6���&� ���-

q ⇒ (� ∧ q)

q ⇒ q

p ⇒ (q ⇒ (p ∧ q))

� ⇒ (q ⇒ (� ∧ q)) ⊥ ⇒ (q ⇒ (⊥ ∧ q))

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .��0A .�0 � ���������� �&%����/���' � � ����� ���7�������� .��0�

(1.5) 6������� �� �� ���&��� (p ∧ q) ⇒ p ������������

6���&� ���-

� ⊥ ⇒ ⊥

(p ∧ q) ⇒ p

(� ∧ q) ⇒ � (⊥ ∧ q) ⇒ ⊥

� ����� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .�0 � .��0' � � ���� ����������� .�0�

(1.6) 6������� �� �� ���&��� (p ∧ q) ⇒ q ������������ 6���%�&��������� ��� � (1.5)�

Page 81: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 #�

(1.7) 6������� �� �� ���&��� p ⇒ (p ∨ q) ������������

6���&� ���-

� ⇒ �

p ⇒ (p ∨ q)

� ⇒ (� ∨ q) ⊥ ⇒ (⊥ ∨ q)

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- . 0 � .��0' � � ����� ����������� .��0�

(1.8) 6������� �� �� ���&��� q ⇒ (p ∨ q) ������������ 6���%�&��������� ��� � (1.7)�

(1.9) 6������� �� �� (p ⇒ r) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ ((p∨q) ⇒ r)) ������������

6���&� ���-

� ⇒ (� ⇒ �)

� ⇒ �

¬ p ⇒ (¬ q ⇒ ¬(p ∨ q))

¬� ⇒ (¬ q ⇒ ¬(� ∨ q))

⊥ ⇒ (¬ q ⇒ ¬�)

¬⊥ ⇒ (¬ q ⇒ ¬(⊥ ∨ q))

� ⇒ (¬ q ⇒ ¬ q)

¬ q ⇒ ¬ q

(p ⇒ r) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r))

(p ⇒ �) ⇒ ((q ⇒ �) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ �)) (p ⇒ ⊥) ⇒ ((q ⇒ ⊥) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ ⊥))

� ���� ����� ��� ����� �������� &� ����&' %� ����/�&�' ���7��������- .�0A .��0A .�0� � ����� �� ������ �� (��� � ��&� �� ���7&��� ¬p ⇒ (¬q ⇒ ¬(p∨ q)) �������� &� ����������� .��0� � ������ (���& (��� �� ���&��� ¬� ⇒ (¬q ⇒ ¬(� ∨ q)) �������� &�����&' %� ����/�&�' �����������- .�#0 � . 0A .��0A � � ����� � (���&(��� �� ���&��� ¬⊥ ⇒ (¬q ⇒ ¬(⊥ ∨ q)) �������� &� ����&' %�����/�&�' �����������- .�!0 � .!0A .��0A ���������� �&%����/����

(1.10) 6������� �� �� ���&��� ⊥ ⇒ p ������������

6���&� ���-

⊥ ⇒ p

8������� &� ����������� .��0�

Page 82: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

# ���� �� ��6��9� ;%<�6�

������� 6�&�����&� ����������� �� ������� �� >� ��5 ���7��������' �� ���� ������ �' ������&� ����& ���� � �����������-.���0 A ⇒ (B ⇒ A).���0 (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)).��"0 ((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A.���0 A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B)).���0 (A ∧ B) ⇒ A.�� 0 (A ∧ B) ⇒ B.��#0 A ⇒ (A ∨ B).��!0 B ⇒ (A ∨ B).���0 (A ⇒ C) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ ((A ∨ B) ⇒ C)).����0 ⊥ ⇒ A

��� � A' B � C %�������� ���&����

1� ���� ���&��� F1'���' Fn .n ≥ 10 ��%+���� �������/���'∧n

i=1 Fi' ������7+�&� ��������� �� ���� � ��(��-

(1)∧1

i=1 Fi = F1

(2)∧n+1

i=1 Fi = (∧n

i=1 Fi ∧ Fn+1)

*� %��%��� ��� ��(�� � ������+� ��%+���� ������/���∨n

i=1 Fi� *� %��&��

�� ���� ���&��� F1' F2' F3 � F4 �&�&�∨4

i=1 Fi = (((F1∨F2)∨F3)∨F4) � ���� ���%��,� ���&��� ����&�����&� ���� %���� ������� �� ��%+���� ������/����� ���&��� ((F1 ∨ F2) ∨ F3) ∨ F4�

8����� � ������/��� ��%+���� �������/��� � ������/���' ���&���+�&���%+���� ������ ������������� � ��%+���� 4� �������� ������ ���� �������������

������� � 6������� �� � ���� � ���&��� .n ≥ 20-

��%+���� ����� ������������� ∧ � ����� �� ∨-

((n∨

i=1

Ai) ∧ C) ⇔ (n∨

i=1

(Ai ∧ C))

��%+���� ����� ������������� ∨ � ����� �� ∧-

((n∧

i=1

Ai) ∨ C) ⇔ (n∧

i=1

(Ai ∨ C))

� ��%+���� 4� �������� ������-

(¬(n∨

i=1

Ai)) ⇔ (n∧

i=1

¬Ai)

(¬(n∧

i=1

Ai)) ⇔ (n∨

i=1

¬Ai)

������������ .1� n = 1 � �� ���&��� � ������ F ⇔ F ' %� �������������0

Page 83: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 ##

>����/���& %� ����� ���&��� A1, ..., An %���9�&� �� ��%+���� ��7��� ������������� ∧ � ����� �� ∨ ���� ������������ .> ������& ���&���&� � %���%� ���������0���� �����/���' n = 2' %�&������ ���&��� �� ������

((A1 ∨ A2) ∧ C) ⇔ ((A1 ∧ C) ∨ (A2 ∧ C))'� �� �� ����������� ����� ������������� ∧ � ����� �� ∨�>����/���� %���%����� �� �� ���&���

((n∨

i=1

Ai) ∧ C) ⇔ (n∨

i=1

(Ai ∧ C))

���� ������������6���9�&� �� �� ����������� � ���&���

((n+1∨i=1

Ai) ∧ C) ⇔ (n+1∨i=1

(Ai ∧ C))

*� ���� ������/��� ��%+���� ������/��� �&�&�∨n+1i=1 Ai = (

∨ni=1 Ai ∨ An+1)' ���� �� ���&���

((n+1∨i=1

Ai) ∧ C) ⇔ ((n∨

i=1

Ai ∨ An+1) ∧ C)

������������ *� ���� ������ ������������� ∧ � ����� �� ∨-((B ∨ D) ∧ C) ⇔ ((B ∧ C) ∨ (D ∧ C)),

��� �� B ���&���∨n

i=1 Ai' � D ���&��� An+1 �&�&� �����������-

((n∨

i=1

Ai ∨ An+1) ∧ C) ⇔ (((n∨

i=1

Ai) ∧ C) ∨ (An+1 ∧ C)).

*� �����' �� ���&��� ���� �� ����������� %� �����/����� %���7%���/� � ���&��� An+1 ∧ C' �� ���� ���� .∨�0 ���� � ����

��������� �' �&�&� �� �� ���&���

(((n∨

i=1

Ai) ∧ C) ∨ (An+1 ∧ C)) ⇔ ((n∨

i=1

(Ai ∧ C)) ∨ (An+1 ∧ C))

������������ 6�&�����&� � ������� ������������ ���� �� ,�5���� ����������� ���&��� ���� � � ,�� %������ ������& ⇔������ �� ���� ������������ ������������ �&�&� �� �� ���7&��� (

∨n+1i=1 Ai) ∧ C �� %�� ����������� ���������� ���&��� ��

%����,�' ���&��� (∨n

i=1(Ai ∧C))∨ (An+1 ∧C)� *� ���� ������7/��� ��%+���� ������/��� �� �� ���&��� �9�-

(n∨

i=1

(Ai ∧ C)) ∨ (An+1 ∧ C) =n+1∨i=1

(Ai ∧ C).

4����' ���&��� (∨n+1

i=1 Ai) ∧ C �∨n+1

i=1 (Ai ∧ C) � ����������' ����&�&� �����������-

((n+1∨i=1

Ai) ∧ C) ⇔ (n+1∨i=1

(Ai ∧ C)).

Page 84: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

#! ���� �� ��6��9� ;%<�6�

����) !�& � ����� ���������

6�������&� ����������� modus ponens'|= (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B

� %��(����&� �� ��� �� ��� %������� ����� %���%�� �����(��,�-

��� �� ������� A � ��� �� ������� �� �� A ���� B'���� �����(���&� �� �� � B ��������

8����� � ��� ��(�� �����(��,� &�9�&� �� %������5 ����������� �� %���&���� ������������ 2� ���� �&� �������� � �������� �����&�' ���� �&� .����modus ponensa0 ������ ������ MP�

������ � � ������ MP�

,�� � '����� A � A ⇒ B ������)���& ���� �� � '����� B ������)���-����

E��&��� A � A ⇒ B � �����������' %� �� ��� ����/��� v �9�-v(A) = 1 � v(A ⇒ B) = 1� � ����� �����' �� ���� ������/��� v'������ v(A ⇒ B) ��(���&� ����-max(1 − v(A), v(B))=max(1 − 1, v(B))=max(0, v(B))=v(B)� 4����'�&�&� �� �� v(A ⇒ B) = 1 � v(A ⇒ B) = v(B)' %� �����(���&� �� ��v(B) ������� � �� ��� ����/��� v' ��� ���&��� B �� ������������

@�&�5 %���9�&� ����� %��&��� ������ MP� *��&�' ��&� ��������� �&� �������� ���� � ���� ��������� � ��� %�����/� ������ MP� 6��%��+���&� ��+ %��� %������5 ����������� ���& �����������&� �� ���� &�9�7&� �� � �� %������ ����� ⇔ � �����& ����/�&��

������� 6���9�&� �� �� %�������� ���&��� A' B � C �9�-

.2�¬0 |= (A ⇔ B) ⇒ (¬A ⇔ ¬B)A

.2�∧0 |= (A ⇔ B) ⇒ ((C ∧ A) ⇔ (C ∧ B)) �

|= (A ⇔ B) ⇒ ((A ∧ C) ⇔ (B ∧ C))A

.2"∨0 |= (A ⇔ B) ⇒ ((C ∨ A) ⇔ (C ∨ B)) �

|= (A ⇔ B) ⇒ ((A ∨ C) ⇔ (B ∨ C))A

.2�⇒0 |= (A ⇔ B) ⇒ ((C ⇒ A) ⇔ (C ⇒ B)) �

|= (A ⇔ B) ⇒ ((A ⇒ C) ⇔ (B ⇒ C))A

.2�⇔0 |= (A ⇔ B) ⇒ ((C ⇔ A) ⇔ (C ⇔ B)) �

|= (A ⇔ B) ⇒ ((A ⇔ C) ⇔ (B ⇔ C))�

6����� �&� �&� �� �� ����� ���&��� �� ���� .2�∧0 ������������1� ���� ���� ����/��� v ������ v(A ⇔ B) &�9� ���� ��� � ����� 8��� �� v(A ⇔ B) ������� �' ���� �9� v(A) = v(B)' %� ������&�-v(A ∧ C) = min(v(A), v(C)) = min(v(B), v(C)) = v(B ∧ C)� 4����'

Page 85: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� �3��9=�6� ��6��93 ;%<�63 #�

v((A ⇔ B) ⇒ ((A ∧ C) ⇔ (B ∧ C))) = 1� <�� �� v(A ⇔ B) = 0' ������&�5' �� ���� ������/��� ����/��� v' ������&� �� �� ������v((A ⇔ B) ⇒ ((A ∧ C) ⇔ (B ∧ C))) ������� �� 4����' %������� &��� �� ���&��� (A ⇔ B) ⇒ ((A ∧ C) ⇔ (B ∧ C)) ������������ �������& ���&���&� %���%�&� ��(�� ��� � ��& ���&���&�

< ��� �� ������ ���� � ���� ��������� ��

���� ���� � ���� ��������� � ��� ��������� ������ MP

>&�&� �� �� %���%����� ���� � ���� ��������� � �����������|= A ⇔ B � ��+ %�&����&� %�������� ���&��� C�4���9�&� ��� .�0� >� ����������� |= A ⇔ B � ����������� .2�¬0|= (A ⇔ B) ⇒ (¬A ⇔ ¬B) �� ������� ' �� ���� ������ MP'������&� ����������� |= ¬A ⇔ ¬B�$�� � ��(� ���� .�0' ������ �&� �&� ��(�� (∧2)' � ����� ��(�7��� � �������� ��������� >� ����������� |= A ⇔ B � �����������|= (A ⇔ B) ⇒ ((A ∧C) ⇔ (B ∧C)) �� ������� ' �� ���� ������

MP' ������&� ����������� |= (A ∧ C) ⇔ (B ∧ C)�

*� ����� ��� ������' %���9�&� ��+ ����� %�����/� ������ � ����

��������� �� 2� �� ������ ���� ����� � ��� ����������5 ���&��� � ��7�����5 �������

������� " <�� �� |= A ⇔ B � |= C ⇔ D'

���� �� .1∧0 |= (A ∧ C) ⇔ (B ∧ D)A

.2∨0 |= (A ∨ C) ⇔ (B ∨ D)A

."⇒0 |= (A ⇒ C) ⇔ (B ⇒ D)A

.�⇔0 |= (A ⇔ C) ⇔ (B ⇔ D)�

*����� �� �� ������ &�9�&� �������� �� ���� � ��(��- ��7���� � %���%����� |= A ⇔ B � |= C ⇔ D' ����� �&� �� ����� �������5 ���&��� �� ��� ����/��� v �&� ������ �� <��&� �&� �� ������ �������� ��� %�����/� ������ � ����

��������� �� 2�(����' %����� �&� �&� ��� .2∨0' ��� �� �9�|= (A ∨ C) ⇔ (B ∨ D)' � ����� ��(���� � �������� ���������1� ���&��� p ∨ C � ����������� |= A ⇔ B ������ � ���� ���

������� � ���� ���� � �����������- |= (p ∨ C)pA ⇔ (p ∨ C)p

B ' ���|= (A ∨ C) ⇔ (B ∨ C)� 1� ���&��� B ∨ p � ����������� |= C ⇔ D ������ � ���� ��������� � ����- |= (B ∨ p)p

C ⇔ (B ∨ p)pD' ���

����������� |= (B ∨ C) ⇔ (B ∨ D)�>� ����������� |= (A∨C) ⇔ (B∨C) � |= (B∨C) ⇔ (B∨D) ������&�����&- A∨C ≡ B∨C � B∨C ≡ B∨D� *� �����' ������ � ������7����� ����/��� ≡' ������&� A∨C ≡ B∨D' ��� |= (A∨C) ⇔ (B∨D)�

Page 86: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

!� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

$"& '����� ����(�

� ��& ������ %������ �&� �������� ��&� �9��5 ���������5 ���������6�����+�� ��& �� ����� ��%����� ��% B � ���& ���&����&�� 6�&���� �&����� �%���/��� ��� ��& ��%�&' ��5��� �&� �����(��� ������ �� �� �%���/���� �� ��� ��(�� ������� �����(��� ��������� @�&�5 ��/�&� �� � ��%���/����� %����,� ��5 �������� ���� %�������� ��% ����� ��%������ ��%� X'��% P(X)' � ���& ���&����&�- %����%��&� �� X' ����� %������ �%���/����� ��%��&�- %����' �����' ��&%��&��� � ������ ����5 �� ��5 �%���/���- ��7&��������' ��/�������� � ��� 2� ��� ���� ��� %����� ��&�� ������7/��� ���� �������� � ���������� %��&��� �� �������� %������ �&� � �����7��& ���������& %��&����

������ � 4�����+�&� ����� �������� �� ���� � ��(��- ������������ �������� � ��&�������& �%���/���& � �� ,���& ���7(� �� ����� �7��������� @�&�5 � %���&�- �� �� %����� %��&������ ��������) > ������ ��- %������ 1� ���� ��% X' ,���%�������� ��% P(X) � �%���/��� %���� ��%�� (��� ����� �7�������� (P(X),∩)� >&� ��+ %��&���- ��% %�������5 ������� �%���/��� �����,�' (N,+)' %� ��% /���5 ������ � �%���/���&��9�,�' (Z, ·) � ��� ���� %�&����&� %��&�� �7�������� (P(X),∩)� %���&� �- ���� ��+ ������ �&� �%���/��� %���� ��%��) *�%��&�� �� %�������� ���&��� Y �� P(X) �9�- Y ∩ Y = Y � 2������� �%���/��� ∩ ��& �� ��%���/��� �� ������+�&� ��� �����������' �������� � ��%�& B' �������& �%���/���& ∩ �� �����9� ��&�������� � �� ��� ���&��� b �� B �9� b ∩ b = b�@�&�5 ���&� �� �� ����� %��&�� �� ��� �������� (P(X),∩)� 4��� � (N,+) � (Z, ·) %��&��� � �� ��� ��������) @����� ��- ���@������9�,� �� �������� (N,+) �� ���� �- �����,� ���� ��7&������� �%���/���' ��� �� %�������� %������� ���� n �� �9�n + n = n�

���� ���� &� �%������ �� ��� ��&�� ������/��� �����(���5 ��������� ���������5 %��&��� ��5 �������� %������ �&� ���� ��&� ���(���� ����7����� ���������

��%�� ��*

6�� ���� +�� ��&� ������/��� �������� ���� �&� ���� &��9�' %�������&�%�� ����� %��&���

������ � 6�&�����&� %�������� ����(�� ��%����� ��% X �,��� %�������� ��% P(X)� 1���& �� ��%� P(X) %�&�����&�%������ �%���/��� ����� � %����� G��� �� �� �� ���� ���� �� %��7��%� A � B ��%� X' ��� ���&���� ��%� P(X) �9�- A∪B � A∩B

Page 87: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� � #�;%43 �;<3#>3 !�

� %����%�� ��%� X � %��%����� ��%� P(X)� @�& ����' �� �������� ��� ���&���� A' B � C ��%� P(X) �9� � ���� � ������-

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) � (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)A ∩ B = B ∩ A � A ∪ B = B ∪ A

A ∩ A = A � A ∪ A = AA ∩ (B ∪ A) = A � A ∪ (B ∩ A) = A

��������� ���� � ����� �� ��%������ ��%� � �� ������� �%�7��/��� �� ��& ��%� � �������& ������&� �� ����� &��9�� 4����'(P(X),∩,∪) �� %��&�� ����� &��9��

*����&� ��� ������/��� &��9��

!�'������� �����

*��� �� B %�������� ��%����� ��% � ∩ � ∪ �� ������� �%���/������������ �� ��& ��%�� ��������� B = (B,∩,∪) �� &��9� ����

�� �%���/��� ∩ � ∪ � %�������� ���&���� a' b � c ��%� B �9����� � ������-

��/��������- (a∩b)∩c = a∩(b∩c) (a∪b)∪c = a∪(b∪c)

��&��������- a ∩ b = b ∩ a a ∪ b = b ∪ a

���&%��������- a ∩ a = a a ∪ a = a

������ �%��%/���- a ∩ (b ∪ a) = a a ∪ (b ∩ a) = a

��9�&� ��� ����& ��%�& B %�&������ �&� ����� ������� �%���/���� ������&� �������& � ������/��� &��9�� 2��� �������� ����� �%���&��9��

!�'������� ��������

*��� �� B %�������� ��% � ∩ ������� �%���/��� ��������� ����& ��%�� ��������� B = (B,∩) �� %���&��9� ���� �� �%���/���∩ �9� ��/��������' ��&�������� � ���&%���������

6��&���&� �� ��� &��9� B = (B,∩,∪) (��� �� %���&��9� B1 = (B,∩)� B2 = (B,∪) � ��+ �&�&� ������� ���� ���� %������ �%���/��� ∩ � ∪' ����� �� �%���/��� �9� ������ �%��%/����

������� � 6�&�����&� ����� &��9� B = (B,∩,∪)� 6���9�&� ���� ������� ����/��� ≤ �� ��%� B ��������� �� ���� � ��(��-

a ≤ b ���� a ∩ b = a (∗)����� ����/��� %��/������� ���Æ�,��4� �� �� ����/��� ≤ ���������' ��� �� �� �� a ≤ a) � ����%���,� ��- �� �� �9� a ∩ a = a) @����� �� ��� 4����' �9������������4� �� �� ����/��� ≤ ����������' ��� �� �� �9�- ��� �� a ≤ b

Page 88: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

!� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

� b ≤ c' ���� �� a ≤ c) 6� ������/��� ����/��� ≤ �� ���(� ���%�����&� �� �� �9� ���� � ������- ��� �� a ∩ b = a � b ∩ c = b'���� �� a ∩ c = a� 6� %��� %���%���/� �&�&�- a = a ∩ b� � ������������' ������ � ����� %���%�����' b ��&�,���&� � b ∩ c �������&� a = a∩ (b∩ c)� 1���& ������&� ��/�������� �%���/���∩ � ������&� a = (a ∩ b) ∩ c� *� ���� %�� %���%����� a ∩ b�� ������� a' %� � (a ∩ b) ∩ c ��� a ∩ b ��&�,���&� � a � ������&�-a = a ∩ c� 4����' �9� a ≤ c' ��� ����/��� ≤ �� �����������4� �� �� ����/��� ≤ �����&����(��' ��� �� �� �9�- ��� �� a ≤ b� b ≤ a' ���� �� a = b) 6� ������/��� ����/��� ≤ �� ���(� ���%�����&� �� �� �9� ���� � ������- ��� �� a ∩ b = a � b ∩ a = b'���� �� a = b� *� ���� ��&��������� ∩ �&�&� a ∩ b = b ∩ a�4����' a = b� 2� ���(� �� �� ����/��� ≤ �����&����(���4����' ����/��� ≤ �� ����� %��/������ ���Æ�,� �� ��%� B�

6�������&� ��+ ����� ��(�� �������,� ����/��� ≤ �� ��%� B �� ����&��9� B = (B,∩,∪)-

a ≤ b ���� a ∪ b = b (∗∗)� ���� �& ������� ��� �&� �� ����/��� ���� ������/���& .NN0 � ����/���

���� ������/���& .N0 � ������� � %��������� ��� ����/��� %��/�����������,��

������� � 6���9�&� �� � ���� &��9� B = (B,∩,∪) �� %�����������&���� a � b �9�- a ∩ b = a ��� � �&� ��� a ∪ b = b�<�� �� a∩b = a' ���� %����� � �� a∪b ���&��� a ��&�,���&� � a∩b �������&� a∪b = (a∩b)∪b� ����' ������ � ��&�������� �%���/���∪' �&�&� a∪ b = b∪ (a∩ b)� 8���(��' ����� �%��%/��� b∪ (a∩ b) = b'���� a ∪ b = b� � ����� �����' ��� �� a ∪ b = b' ������ � ����& ��������' ��&�������� �%���/��� ∪ � ����� �%��%/���' ������&�-a ∩ b = a ∩ (a ∪ b) = a ∩ (b ∪ a) = a�

@����� �%���/��� ����� � %����� ��%��' ���� �9� �� ���&���� ��%�P(X) &��9� (P(X),∩,∪)' �� � ��& ��%���/��� �� �������,� � �����5 ����7���� ��������5 �� &��9�� 1��� � ����&� ��+�& %��&��� &��9� (P(X),∩,∪)� %�����&� � �� �� �%���/��� %����� � ����� ��%��' �%���/��� ∩ � ∪' �9�� ������ �������������� ����� � � %��������� &��9� (B,∩,∪) &�9�&��%����� �� �� �� ,��� �%���/��� ∩ � ∪ �9� ����������� ������� <�� �9�'���� �&� ���� &��9� ���� ����������� &��9��

!�'������� ������(����� �����

���9� B = (B,∩,∪) �� ����������� &��9� ���� �� �%���/���∩ � ∪ %���� ������ ���� �� ,�5 �9� � &��9�' �9� � �������������������-

(a ∩ b) ∪ c = (a ∪ c) ∩ (b ∪ c) � (a ∪ b) ∩ c = (a ∩ c) ∪ (b ∩ c)�� %�������� ���&���� a' b � c ��%� B�

Page 89: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� � #�;%43 �;<3#>3 !"

2��� �� �� %�������� ��%����� ��% X �������� (P(X),∩,∪) ����� ��7��������� &��9��

��%�� +��� � ��

6�&����&� %�������� ��%����� ��% X � ,��� %�������� ��% P(X)� <��5� �&� �� ������+�&� ��������� �������� ���� ��� �� %��&�� �&� %����7���� ��% P(X)' � ��%��� �%���/��� .%����' ����� � ��&%��&���0 � ������ �������� �� �9�� ���&���� ��� ��%�' %����� ��% � /�� ��% X' ������ �������� ������+�&� �� ���� � ��(���

!�'������� ����� ��)�(��

*��� �� B = (B,∩,∪) ����� ����������� &��9�� *� ��%� B �&�&���+ � ����� ������ �%���/��� − � �� ������� �%���/���- �����������&���� 0 � 1� <�� �� %�������� ���&��� a ��%� B � �%���/���∩,∪,− , 0 � 1 �9� ���� � ������-

a ∩ 0 = 0 a ∪ 1 = 1a ∩ a = 0 a ∪ a = 1

���� �� �������� B = (B,∩,∪,− , 0, 1) ����� ��������

6�� ���� +�� ��&� %��&��� �����5 �������' %���9�&� ��&�5 ��+ ���������� ���� �9� �� �%���/��� ����� ��������

������� � � ������/��� ����� ������� �&�&� �� �� a ∩ 0 = 0' ����� � %����� %���,� (�&� �� ������� a∪0) 8����� � a∩ a = 0 �a∪ 0 ���� ��&�,���&� � a∩a � ������&� a∪0 = a∪(a∩a)� *� ������&��������� ∩ � �%��%/��� �&�&�- a ∪ (a ∩ a) = a ∪ (a ∩ a) = a�4����' a ∪ 0 = a�� ������/��� ����� ������� �&�&� �� �9� a ∪ 1 = 1' � %���,��� (�&� �� ������� a ∩ 1) 8����� � �������� a ∪ a = 1 � a ∩ 1������/� ��&�,���&� � a ∪ a � ������&� a ∩ 1 = a ∩ (a ∪ a)' � ������ ��&��������� �%���/��� ∪ � ������ �%��%/��� ����� ����� ����� ��������� �� ������ a� 4����' a ∩ 1 = a�6���9�&� �� �� 0 = 1 � 1 = 0� 1� a = 0 �������� a ∪ 0 = a ��0∪ 0 = 0� @�& ����' �� a = 0 �������� a∪a = 1 �� 0∪ 0 = 1� 4����'0 = 1� >�� ����' a ∩ 1 = a �� a = 1 � a ∩ a = 0 �� a = 1 ���� 1 = 0�

< �� � �������� %��&��� �����5 ������� � %��������& ��%�& �������%� X � �%���/���&� �� ��& ��%� P(X)�

������ � >&�&� ��% {∅} � ,��� %�������� ��% P({∅}) = {∅, {∅}}�<�� � �%���/��� ∩ � ∪ ����(����� ��%��� �%���/��� ����& %��7�� � �����' � ������ �%���/��� − �� �%���/��� ��&%��&��� ��%�-∅ = {∅} � {∅} = ∅' ���� �� �������� .P({∅}),∩,∪,− , ∅, {∅}0 �����

Page 90: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

!� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

����� �������� >�����&� �� �� �������� .P({∅}),∩,∪,− , ∅, {∅}0���&�,� &��� � ����� ������� ���� �&� �&� �� ���&����' %� ���� ����� ������� ��

������ 6�&�����&� ��% �� �� ���&�����' ��% {0, 1}� M�7�� %�������� ��% P({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} �&� (����� ���7&����� @%�� �&�&� ����(����� �%���/��� %����� � ����� �� ��%�P({0, 1})' � �� ���� � ��(�� ������+�&� ��������� �%���/��� ��&7%��&���- {0} = {1}' {1} = {0}' ∅ = {0, 1} � {0, 1} = ∅� 4�����&� ���� �������� .P({0, 1}),∩,∪,− , ∅, {0, 1}0 ����� ����� ������� � ������� ������� � .��� �&� (����� ���&����0�

������ � 6�&�����&� %�������� ��% X � ,��� %����������% P(X)� F� &� ����� �� �� �������� .P(X),∩,∪0 ����� ��7��������� &��9�� $���+�' �������� .P(X),∩,∪,− , ∅,X0 �� ���������� �������� <�� ��% X �&� n ���&�����' ���� ���&� �� ��%P(X) �&� 2n ���&������

���� �&� �� �����' &�9�&� �� �' �����(�� ��(�� %�&������ ������ ���7&��� � %�������� ��&� ���(���� %��&�� ����� ��������

������ ;���������� ����

6�&����&� ��% �5 ���&��� ������ ������' ��% F � 6�������&� �� �� ����������� ���&���' ����/��� ≡' ����� ����/��� ��7�����/��� �� ��%� F � 2� ����/��� ������� ��% F �� ���� ��7�����/���� 6�������� ���� �������/��� �� ����/���' �������� ���&��� A' ���9� � ���&��� C ���������� ���&��� A'A ≡ C' ��� � ���&��� C �� ���� �9� |= A ⇔ C� 8��� �������7/��� ���&��� < ����(�� �&� [A]� 1��&� �� �� ���� �������/������� ����/��� �������/��� ρ ��� ����& ��%�& X � �� �����(������&���� x � y ��� ��%� �9�- ��� � x � y � ����/��� ρ' ���� �,�5�� ���� �������' � ��� x � y ��� � ����/��� ρ' ���� � ,�5������ ���������� � ��+�& ��(��� �� ���(� �� �� �� %�����������&��� A � B ��%� F �9�-

��� �� |= A ⇔ B' ���� �� [A] = [B] �

��� �� �9� |= A ⇔ B' ���� �� [A] ∩ [B] = ∅�����&� � � �� &� %����� �������� ���� �������/��� ���&���� � ⊥� 8��� [�] �� ��% �5 �����������' � ���� ���&��� ⊥' ����[⊥]' (��� � ���������/�������� %�&�����&� ��% [F ] (��� � ���&���� ���� �������/����5 ������5 ���&��� ��%� F � *� ��& ��%� ������+�&� ��7����� �%���/��� ∧ � ∨ � ������ �%���/��� ¬� <�� � [A] � [B]%�������� ���&���� ��%� [F ]' ����-

[A] ∧ [B] =def [A ∧ B]

Page 91: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� � #�;%43 �;<3#>3 !�

[A] ∨ [B] =def [A ∨ B]

¬[A] =def [¬A]

��� �� ���� �� ���� [A ∧ B]' [A ∨ B] � [¬A] (��� � ���&��� C ������ �9� ����& |= (A ∧ B) ⇔ C' |= (A ∨ B) ⇔ C � |= (¬A) ⇔ C�2���� %������� �� �� � �� ������/��� ��������� 6����� �&���������� �&� ������/���

[A] ∧ [B] =def [A ∧ B]'

� %����� ���������� ����� �� ������/��� � ���� ��(��� ����&�%������� �� �� ���� ���� ���&��� C �� [A] � ���� ���� ���&��� D�� [B] �9� [A∧B] = [C∧D]' ��� �� ������ �%���/��� ∧ �� ����&�[A] � [B] �� ���� �� ������ ���&����� �� ��5 ����� >� C ∈ [A] �D ∈ [B] ����& �&�&� |= A ⇔ C � |= B ⇔ D� @�����' �� ���� ����.�∧0 ������� " �� ������ �����' ������&� |= (A ∧ B) ⇔ (C ∧ D)' ���[A ∧ B] = [C ∧ D]�

��������� ([F ],∧,∨,¬, [⊥], [�]) �� ����� ����� �������' � �� � ����7���� ��� :��������&�� ��������

6���9�&� �� ([F ],∧,∨,¬, [⊥], [�]) ����� ���� ����� �������' ���%�����&� �� �� �� ���&���� ��%� [F ] � �%���/��� ∧' ∨' ¬' [⊥] �[�] ��������� �� ��& ��%�' �9� ������ �� ������/��� �������������<�/��������- 1� %�������� ������ ���&��� A' B � C' %� ����7��/��� �%���/��� ∧ �� [F ]' ���� ([A]∧[B])∧[C] �� ���� [(A∧B)∧C]�E��&��� (A ∧ B) ∧ C �� ���������� ���&��� A ∧ (B ∧ C)' ���|= ((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))' %� �� ���� ������/��� ���� ��[F ] �&�&� [(A∧B)∧C] = [A∧ (B ∧C)]� � ����� �����' %� ������7/��� �%���/��� ∧ �� ��%� [F ]' �&�&� �� �� [A] ∧ ([B] ∧ [C]) ����[A ∧ (B ∧ C)]� 4����' ([A] ∧ [B]) ∧ [C] = [A] ∧ ([B] ∧ [C])� @�����([A] ∨ [B]) ∨ [C] = [A] ∨ ([B] ∨ [C]) � �������� ���������8�&��������- 1� %�������� ������ ���&��� A � B' %� ����7��/��� �%���/��� ∧ �� ��%� [F ]' ���� [A] ∧ [B] �� ���� [A ∧ B]�E��&��� A∧B � B∧A � ����������' ��� |= (A∧B) ⇔ (B∧A)' %��� ���� ������/��� ���� �� [F ] �&�&� [A∧B] = [B ∧A]� � ����������' %� ������/��� �%���/��� ∧ �� ��%� [F ] �&�&� �� �� [B]∧ [A]���� [B∧A]� 4����' [A]∧[B] = [B]∧[A]� @����� [A]∨[B] = [B]∨[A]� �������� ���������>��&%��������- 1� %�������� ������ ���&��� A' %� ������7/��� �%���/��� ∧ �� ��%� [F ]' ���� [A]∧ [A] �� ���� [A∧A]� E��7&��� A ∧ A �� ���������� ���&��� A' ��� |= (A ∧ A) ⇔ A' %��� ���� ������/��� ���� �� [F ] �&�&� [A ∧ A] = [A]� 4����'[A] ∧ [A] = [A]� @����� [A] ∨ [A] = [A] � �������� ���������1����� �%��%/���- 1� %�������� ������ ���&��� A � B' %� ����7��/���&� �%���/��� ∧ � ∨ �� ��%� [F ]' ���� [A] ∨ ([B] ∧ [A]) ������ [A ∨ (B ∧ A)]� E��&��� A ∨ (B ∧ A) �� ���������� ���&���

Page 92: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

! ���� �� ��6��9� ;%<�6�

A' ��� |= (A ∨ (B ∧ A)) ⇔ A' %� �� ���� ������/��� ���� �� [F ]�&�&� [A ∨ (B ∧ A)] = [A]� 4����' [A] ∨ ([B] ∧ [A]) = [A]� @�����[A] ∧ ([B] ∨ [A]) = [A] � �������� ���������4�����������- 1� %�������� ������ ���&��� A' B � C' %�������/���&� �%���/��� ∧ � ∨ �� [F ]' ���� ([A] ∧ [B]) ∨ [C] ������ [(A ∧ B) ∨ C]� E��&��� (A ∧ B) ∨ C �� ���������� ���7&��� (A∨C)∧ (B ∨C)' %� �� ���� ������/��� ���� �� [F ] �&�&�[(A∧B)∨C] = [(A∨C)∧ (B ∨C)]� � ����� �����' %� ������/���&��%���/��� ∧ � ∨ �� ��%� [F ]' �&�&� �� �� ([A]∨[C])∧([B]∨[C]) ����[(A∨C)∧ (B ∨C)]� 4����' ([A]∧ [B])∨ [C] = ([A]∨ [C])∧ ([B]∨ [C])�@����� ([A]∨[B])∧[C] = ([A]∧[C])∨([B]∧[C]) � �������� ���������@���� ������ ����� �������-6� ������/��� �%���/��� ∧ �� ��%� [F ] ���� [A] ∧ [⊥] �� [A ∧ ⊥]�E��&��� A ∧⊥ �� ���������� ⊥' ��� |= (A ∧⊥) ⇔ ⊥' %� �� ����������/��� ���� �� [F ] �&�&� [A∧⊥] = [⊥]� 4����' [A]∧ [⊥] = [⊥]�@����� [A] ∨ [�] = [�] � �������� ���������6� ������/��� �%���/��� ∧ � ¬ �� ��%� [F ] ���� [A] ∧ ¬[A] ��[A ∧ ¬A]� E��&��� A ∧ ¬A �� ���������� ⊥' ��� |= (A ∧ ¬A) ⇔ ⊥'%� �� ���� ������/��� ���� �� [F ] �&�&� [A ∧ ¬A] = [⊥]� 4����'[A] ∧ ¬[A] = [⊥]� @����� [A] ∨ ¬[A] = [�] � �������� ���������1����(���&� �� �������� ([F ],∧,∨,¬, [⊥], [�]) ���� ����� �������������

$") � ��!������

��)�� +�� ������

*�+� ������/��� �������� ������ ������ �� ������ ����� �� ������ ∧' ∨' ⇒� ⊥ �������� ��� �����' � %������� ����/�' ����/� ⇔' ¬ � �' ���������� %�&� � �����5 ���� �& ������/���&�-

p ⇔ q =def (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)' ¬p =def p ⇒ ⊥ � � =def ⊥ ⇒ ⊥�� ��& ������/���&� ����� �&���� � ��� ����� =def .&�Æ� ����&� ����� �&��� �� �����0 � ��&��� �� ��� �&���� � ���� ����� =def ����(��� �&���� �������� ������ ������ � ���� �� ������ ���&���� ��9�&�%������ %���,�- ��+�� &� ������ ⇔' ¬ � � %�������� %�&� � �����5������ ��+ ��& ���&���&�) @����� �� �� � �� ������/��� ��%�������&������& ������ ������� *��&�' ���� &� ��������� ������� ������������ &� &� &���� �� �� ����� ������ �������&� � %������ ������'��� �� �� ��% ����(��5 ������ �������� ������ ������ ��&�&� /�� ��%{∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥}� 2��� �� ��&� �&��� %������ �� ������+�&� ������ ⇔'¬ � �' ��� ��&� &����� � �����%����/��� ������ �� ������&� ���� �%���/����� ��%� I = {0, 1} ��������� ��& ����/�&�� *����� �� �� �� ���� ��+

Page 93: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� !#

��������� � �%���/��� ⇔' ¬ � � �� ��%� I = {0, 1} %��������� � ������������ 2�& �����%����/���& ���&��� p ⇔ q' ¬p � � �� ���� ���������� ����&���&���&� (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)' p ⇒ ⊥ � ⊥ ⇒ ⊥� ;���������� ��5 ���&����� ������ �� ������� ������/��� ������ ⇔' ¬ � ��

F����&� � �������� � �����& ����/�&� ∧' ∨' ⇒ � ⊥ � ��/�&� ��+��� ������ ����5 ������/��� ������ ⇔' ¬ � �� 4������,� ���5 ������%������&�� ���� �- %����,� ���� ���� �&����' � ��&� � %������� �������� � ������ ��� ���� �� %������' ��� ��&��� �� ���� ������ ���&���� ����� � %������� ����/� ∧' ∨' ⇒ � ⊥ � ������ ���� *� %��&��' �������/���-

p ⇔ q =def (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)���&��� p ⇔ q � ���& ������& ⇔ � ������& ���&� p � q ��&�,������&��� (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) � ����� � %������� ��� ������ ��� p � q �����/� ⇒ � ∧�

*�&� � � %���,�- �� �� ��% {∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥} �&� ��+ ���� %���%����% .��& {∧,∨,⇒,⊥}0 � ������& �� � ����� ,���� ����/� &������������ %�&� � ������ ��� %����%� � �� ���� �� �� ������/��� %������&�Æ����� ���������� ���&���) @����� ��- ��� � �������& ����/�&�%������ �&� %����%�� ��%� {∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥} � ��& ������&�

������� � 6���9�&� �� �� ������ ��%� {∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥} &���7 � ��������� %�&� � ������ ��%� {∨,¬}� .6��&���&� �� ����&� ⇔ � � � ��������� %�&� � ������ ��%� {∧,∨,⇒,⊥}' ������ ���� ������ �� �&� ∧' ⇒ � ⊥ ������+�&� %�&� � ∨ � ¬�0.������ ∧0 8����� � ������ �� ��� �� ���&��� C ⇔ D �����������'���� �� � ¬C ⇔¬D �����������' �� |= (¬(p∧ q)) ⇔ (¬p∨¬q) .4� ��7����� �����0' ������&� �����������- |= (¬¬(p ∧ q)) ⇔ (¬(¬p ∨ ¬q))'��� �9�- ¬¬(p ∧ q) ≡ ¬(¬p ∨ ¬q)� >� |= (¬¬(p ∧ q)) ⇔ (p ∧ q) .���������� ����/���0' ������&�- ¬¬(p ∧ q) ≡ p ∧ q� 4����' �� �����&����(���� � ������������ ≡ ������&�- ¬(¬p ∨ ¬q) ≡ p ∧ q������ ����� ∧ ������+�&� �� ���� � ��(��-

p ∧ q =def ¬(¬p ∨ ¬q) (∧def )

.������ ⇒0 2����������& |= (p ⇒ q) ⇔ (¬p∨q) .����� ��&��� �&%��7��/���0' ����� ⇒ �� %�������� %�&� � ∨ � ¬� 4����' ����� ⇒������+�&� �� ���� � ��(��-

p ⇒ q =def ¬p ∨ q (⇒def )

.������ ⇔0 E��&��� p ⇔ q �� ��&��� �� (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)� F������⇒ � ∧ &� � ��������� %�&� � ������ ∨ � ¬� 8����� � ��������/���' ������&�-

p ⇔ q =def ¬((¬(¬p ∨ q)) ∨ (¬(¬q ∨ p))) (⇔def )

.������ �0 *� ���� ������ ����(�,� ��� ��' |= p ∨ ¬p' ���&���p ∨ ¬p �� �����������' ��� ���������� �� ���&��� �� 1��� ������ ������+�&� �� ���� � ��(��-

Page 94: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

!! ���� �� ��6��9� ;%<�6�

� =def p ∨ ¬p (�def )

.������ ⊥0 >&�&� �� � ���&��� p∨¬p � � ����������� 8�� +��&� %�������' ���� � � ,�5�� ����/���' ���&��� ¬(p ∨ ¬p) � ⊥'����������- ¬(p ∨ ¬p) ≡ ⊥� 4����' ������/��� ������ ⊥ ��-

⊥ =def ¬(p ∨ ¬p) (⊥def )

������� � 6���9�&� ��� �� �� %�&� � ������ ��%� {∧,¬} &��� ���������� ����� �������.������ ∨0 1��&� �� ��� �� ���&��� C ⇔ D �����������' ���� �� �¬C ⇔ ¬D �����������' %� �� |= (¬(p∨ q)) ⇔ (¬p∧¬q) .4� ������������0' ������&� �����������- |= (¬¬(p ∨ q)) ⇔ (¬(¬p ∧ ¬q))' ���¬¬(p ∨ q) ≡ ¬(¬p ∧ ¬q)� >� |= (¬¬(p ∨ q)) ⇔ (p ∨ q) .����� ���������/���0' ������&�- ¬¬(p ∨ q) ≡ p ∨ q� 1���&' �� ���� �&����(7���� � ������������ ≡' �&�&�- ¬(¬p∧¬q) ≡ p∨q� 4����' �����∨ ������+�&�-

p ∨ q =def ¬(¬p ∧ ¬q) (∨def )

.������ ⇒0 >&�&� ����������� |= (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q) .����� ��&����&%����/���0� F����� ∨ &� � ��������� %�&� � ������ ∧ � ¬�8����� � �� ������/���' ������&�- |= (p ⇒ q) ⇔ (¬(¬¬p∧¬q))� >������������ |= ¬¬p ⇔ p .����� ����� ����/���0 �� ���� ������

� ���� ��������� � ������&� |= (p ⇒ q) ⇔ (¬(p ∧ ¬q))' ���p ⇒ q ≡ ¬(p∧¬q)� 4����' ����� ⇒ ������+�&� �� ���� � ��(��-

p ⇒ q =def ¬(p ∧ ¬q) (⇒def )

.������ ⇔0 E��&��� p ⇔ q �� ��&��� �� (p ⇒ q)∧ (q ⇒ p)� F����� ⇒&� � ��������� %�&� � ������ ∧ � ¬� 8����� � �� ������7/���' ������&�-

p ⇔ q =def (¬(p ∧ ¬q)) ∧ (¬(q ∧ ¬p)) (⇔def )

.������ ⊥0 E��&��� p ∧ ¬p �� ���������/���' %� �&�&�-

⊥ =def p ∧ ¬p (⊥def )

.������ �0 F����� � ������+�&� �� ���� � ��(��-

� =def ¬(p ∧ ¬p) (�def )

*� ���� �� ��% {⇒,¬}�

������� � 6���9�&� �� �� %�&� � ������ ��%� {⇒,¬} &��� ���������� ����� �������.������ ∧0 8�����&� ������ �� ��� �� ���&���C ⇔ D �����������'���� �� � ���&��� ¬C ⇔ ¬D �����������' %� �� 4� ��������� ��7���� |= (¬(p∧q)) ⇔ (¬p∨¬q) ������&�- |= (¬¬(p∧q)) ⇔ (¬(¬p∨¬q))'��� ����������� ���&���- ¬¬(p∧q) ≡ ¬(¬p∨¬q)� *� ���� ���������' �� ����������� |= (p ⇒ ¬q) ⇔ (¬p ∨ ¬q) .������ ��&���

Page 95: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� !�

�&%����/���0' ������&�- |= (¬(p ⇒ ¬q)) ⇔ (¬(¬p ∨ ¬q))' %� �9�¬(p ⇒ ¬q) ≡ ¬(¬p∨¬q)� 1���� ����� ����/��� |= (¬¬(p∧q)) ⇔ (p∧q)��& ���� ����������� ���&��� ¬¬(p∧q) � p∧q- ¬¬(p∧q) ≡ p∧q�>� ¬¬(p∧ q) ≡ ¬(¬p∨¬q)' ¬(p⇒¬q)≡¬(¬p∨¬q) � ¬¬(p∧ q) ≡ p∧ q'������ � �&����(��� � ����������� ����/��� ≡' ������&�-¬(p ⇒ ¬q) ≡ p ∧ q� 4����' ������/��� ∧ ��-

p ∧ q =def ¬(p ⇒ ¬q) (∧def )

.������ ∨0 � |= (¬p ⇒ q) ⇔ (¬¬p ∨ q) .����� ��&��� �&%����/���0���&��� ¬¬p ��&�,���&� ,�� ����������& ���&���& p � �� �7��� ������ � ���� ��������� � ������&� �����������-|= (¬p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q)� 4����' ����� ∨ ������+�&�-

p ∨ q =def (¬p ⇒ q) (∨def )

.������ ⇔0 E��&��� p ⇔ q �� ��&��� �� (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)� F����� ∧&� � ��������� %�&� � ������ ⇒ � ¬� 8����� � �� ������7/���' ������&�-

p ⇔ q =def ¬((p ⇒ q) ⇒ (¬(q ⇒ p))) (⇔def )

.������ ⊥0 F����� ⊥ ������+�&� �� ���� � ��(��-

⊥ =def ¬(p ⇒ p) (⊥def )

.������ �0 F����� � ������+�&� �� ���� � ��(��-

� =def p ⇒ p (�def )

*� ����� �&�&� ��% {⇒,⊥}�

������� 8����� � %���5���� �������' ������� �' � ��&� &�%�&� � ������ ⇒ � ¬ ��������� ����� ������' � ������ �������/��� ������ ¬ �� �� ���&��� ¬p ��&��� �� p ⇒ ⊥ ������&�-

p ∧ q =def (p ⇒ (q ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥ (∧def )

p ∨ q =def (p ⇒ ⊥) ⇒ q (∨def )

p ⇔ q =def ((p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ p) ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥ (⇔def )

¬p =def p ⇒ ⊥ (¬def )

� =def p ⇒ p (�def )

6��� �������� ��(����5 ��%�� %�&� � (���5 ������ ������+�&� �7���� ������ ��%� {∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥}' ��&� � � ���� � %���,�- �� �� �����/� ��� ��%� &��� ���� ��������� �&� %�&� � ������ ������) @�������- ��' ��� �� ���� ������� �� ������ �� ��� ��%�� 2� �&� &� � �� �����&�%�&� � ���� � �� ��� ������' ���� ���&� +������� ����/�� @� �����������%������&� ���� �& �������& �%���/���&� �� ��%� I = {0, 1}-

↑ 0 10 1 11 1 0

↓ 0 10 1 01 0 0

Page 96: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

� &�9�&� �5 � ��������� %�&� � %������5 ������ �� ���� � ��(��-

p ↑ q =def ¬(p ∧ q)p ↓ q =def ¬(p ∨ q)

2���&� �� � ����/� ��%� {∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥} &��� ���� %����������&� %�&� � ������ �� ������ ↑ � ↓� 8��� �&� �� %�������) 4����� �� ��� ������ ������ �� ��%�� �� �������� �4 %������&� %�&� � ������ ↑'������ ������ ↓�

������� � 6���9�&� �� � ����/� ��%� {∧,¬} &��� %��������%�&� � ������ ↑�>������ �����/� �� ���&��� p ↑ p � (p ↑ q) ↑ (p ↑ q) � ����&-

p p ↑ p1 00 1

p q p ↑ q (p ↑ q) ↑ (p ↑ q)1 1 0 11 0 1 00 1 1 00 0 1 0

4����' �&�&� ¬p ≡ p ↑ p � p ∧ q ≡ (p ↑ q) ↑ (p ↑ q)� 1��� �&�&����� � ������/��� ������ ¬ � ∧ %�&� � ������ ↑-

¬p =def p ↑ p (¬def )

p ∧ q =def (p ↑ q) ↑ (p ↑ q) (∧def )

� ������ � &� %������� �� ������ ∨' ⇒' ⇔' ⊥ � � &�9�&� %���7����� %�&� � ∧ � ¬' %� ������ � �� ������/���' � ������ ��{∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥} &�9�&� %�������� �&� %�&� � ������ ↑�

������� 6���9�&� �� � ����/� ��%� {∨,¬} &��� %��������%�&� � ������ ↓�>������ �����/� �� ���&��� p ↓ p � (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) � ����&-

p p ↓ p1 00 1

p q p ↓ q (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)1 1 0 11 0 0 10 1 0 10 0 1 0

4����' �&�&� ¬p ≡ p ↓ p � p ∨ q ≡ (p ↓ q) ↓ (p ↓ q)� 1��� �&�&����� � ������/��� ������ ¬ � ∨ %�&� � ������ ↓-

¬p =def p ↓ p (¬def )

p ∨ q =def (p ↓ q) ↓ (p ↓ q) (∨def )

>� ������� � �&�&� �� � ����/� ∧' ⇒' ⇔' ⊥ � � &��� %��������%�&� � ∨ � ¬' ���� � ������ �� {∧,∨,⇒,⇔,¬,�,⊥} &�9�&�%�������� �&� %�&� � ������ ↓�

*� ��%� I = {0, 1}' ��& �%���/��� �� ������ ����� � �%���/��� ↑ � ↓' %�7���� � ����� �%���/���� ���� �� ,�5 &�9� ���� �����%����/��� ����� ����(���

Page 97: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� ��

������ ���� &�9�&� ������ %����� �& ��%� ������ �������� ������ �������4����' �� ��� �%���/��� ��9��� n �� I = {0, 1} .�� ���� %������� ���� n0&�9�&� ��������� ����� ����� ��9��� n ���� ������&� ��%� ������ ����7���� ������ ������ � (��� �����%����/��� �� �� �%���/���� 6���&� �' �� ��%����� ��% ���� (��� �&� ���� ����(�� ����/� .�� �0 ���� �� �&� ���� �����- %�&� � ������ ��� ��%� &��� � ��������� � &��� � ����/�' �������/� �5 ��9���) @����� ��- ��' %����� ���� ��%�� ������� 2�����%�� ������ ���&� ����/������� %��%��� ��%�� ������ ��� ���� ����7��' � �� ,�5�� ���� �� ����/������� %��%����� @������&� ��&�5 � ��%���,�- �� �� � ��%�� ������ ���� &� %�&������ � %���5����& ����/�&����� ������) @����� ��- ��� 4� ��&� �� %������� ������ �� �� �� ������� ��5 ��%�� %���9�&� �� �� ���� ������� 2� �&� ������� �� ��% {⇒,⊥}�6�� ���� � �������& ������� %���9�&� +�� � �� � &��� � ����/��

������� " 6�� ��� %�����&� � �� �� ��%� I = {0, 1}' ���� �&��� ���&����' �5 �%���/��� ��9��� n .�� ���� %������� ���� n0�&� 22n

� < ��� %������&� ����(�� ������ (��� �����%����/���� �%���/��� �� ��%� I = {0, 1}�6�� � �� ���� ������� ����/�' ����/� ��9��� �� *������5 �%�7

��/��� �� ��%� I = {0, 1} �&� 220=2� 2� � �� �%���/��� ���� ��

��%� I = {0, 1} �������� ���&��� � � ���&��� � � ��� � �����7%����/��� � %������5 �������5 ����(��5 ������ ����& ⊥ � ������� � � �� ���� ������ ����/�' ����/� ��9��� �� @%���/���

��9��� � �� ��%� I = {0, 1} �&� (�����' 221= 4' �� ����5 �� �����

��&� � %������' � �� �� ¬� 4����' �� ��%� I = {0, 1} �&�&� ¬ ���+ ��� ������ �%���/��� α1

1' α12 � α1

3 .��� ���,� ����� ����� ���9��� �%���/���0-

¬0 11 0

α11

0 11 1

α12

0 01 1

α13

0 01 0

<������ ������ ������ &�9�&� %��+����� � ��� ������ ������α1

1' α12 � α1

3' (��� � �����%����/��� ����& �%���/��� α11' α1

2 � α13 ��

��%� I = {0, 1}� 4� �� &�9�&� �� ������ �� ������+�&� %�&� �%������5 ������) 6������� � ��& ���� ���&��� � ����&� � %�7������ %������ ����/� � ����� ������ ���' � (��� ������������/� � %����%� � �����/�& �%���/��� α1

1' α12 � α1

3� 2� � ��7��& ���&��� p∨¬p' p � p∧¬p� ����� ������+�&� ������ ����(�������� α1

1' α12 � α1

3 �� ���� � ��(��-

α11p =def p ∨ ¬p α1

2p =def p α13p =def p ∧ ¬p

���� � �� ���� ������� ����/�� �������5 �%���/���' �%���/���

��9��� �' �� ��%� I = {0, 1} �&� 222= 16� 2� �%���/��� %�������7

&� �����/�& ���� &�9� �&��� ����� �� ���� � �� ������-

Page 98: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

α1 11 00 10 0

α 0 110

@� �������5 �%���/��� � ��& %������- ∧' ∨' ⇒' ⇔' ↑ � ↓� >�����7&� �� � ������� �%���/��� &�9�&� %������� � �� ��%���� ������� ��%��� �� ! �%���/���' � ����� (��� %�������5 ! �%���/���'%�� (�&� �� ��� �� ,�5 ����/��� ���� �%���/��� �� %�� ��%����6������&� �� ���� �& ������&�

α21 ∨ α2

3 ⇒ ↑ α26 α2

7 α28

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

α′21 ↓ α′2

3 α′24 ∧ α′2

6 α′27 ⇔

� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �

*�� ������� ����(�� ������ ������+�&� �� ���� � ��(��-

p α21 q =def (p ⇒ p) ∧ (q ⇒ q) (α2

1)

p α23 q =def q ⇒ p (α2

3)

p α26 q =def p ∧ (q ⇒ q) (α2

6)

p α27 q =def q ∧ (p ⇒ p) (α2

7)

p α28 q =def ¬(p ⇔ q) (α2

8)

p α′21 q =def ¬(p α2

1 q) (α′21)

p α′23 q =def ¬(p α2

3 q) (α′23)

p α′24 q =def ¬(p ⇒ q) (α′2

4)

p α′26 q =def ¬(p α2

6 q) (α′26)

p α′27 q =def ¬(p α2

7 q) (α′27)

6��&���&� �� �� ����� α28 ���������� .����0 ������/��� ���� &�

%�&�,��� � ������ � ����/�&��4� ��� &� %������� �� �� � ������ ��9��� �' � � � &��� �%�������� %�&� �' �� ���� ��9�&�' %������5 ����(��5 �������2� ���(� �� ������ �' ⊥' ¬' α1

i .i ∈ {1, 2, 3}0' ∧' ∨' ⇒' ⇔' α2j

.j ∈ {1, 3, 6, 7, 8}0 � α′2j .j ∈ {1, 3, 4, 6, 7}0 &�9�&� ��������� %�&� �

������ �������� ������ ������- ∧,∨, ⇒ � ⊥�

Page 99: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� �"

*� ���� � �������� ����/�' ����/� ��9��� "� 2�������5 �%�7

��/��� �� ��%� I = {0, 1} �&� 223= 28 = 256� @�� � � %�������

%�����& ����,� �5 ��5 �%���/��� � %�����& %������,� ���� � ��� �������� ����� &�9� %�������� %�&� � %������5�������

6����� �� � ��� ����� %�������� ��9��� n .�� ��� %������� ����n0 &�9� %�������� %�&� � %������5 ������ ���� ��& ���� � �����&��

������ � � ������ � ���������� �� ���� � ����� {⇒,⊥}��� ����� ������ αn ����� n& )�� �� n �������� (���& ������� '����� F ������� ���.�� ���� ���(��� p1, ..., pn& ⇒ � ⊥& ����� �� �� ������������ '�����αn(p1, ..., pn)& ��- �� ����/

|= αn(p1, ..., pn) ⇔ F.����

4���� � ���� �����/���& %� ��9��� n ������ αn�

���� �����/���- αn �� ������� �����- n = 0�6�&����&� � ������� ������' � �� � ����/� � � ⊥� 1� ��� ����5 ������ ���9�&� ���������� ���&��� F �� �������� ������������ (��� ��% ������ �� ��% {⇒,⊥}� 1� ���&��� ⊥ ���9������&��� F �� �&� ���&��� ⊥� 1��&� �� �9�- |= � ⇔ (⊥ ⇒ ⊥)'%� �� �� ���&��� � ���9��� ���&��� F ���&��� ⊥ ⇒ ⊥�

>����/���� %���%�����- �����&� �9� �� ��� ����� ��9���n- �� ��� ����� αn ��9��� n %����� ���&��� F � ����� � �������&� �&���� p1, ..., pn' ⇒ � ⊥' ���� �� ��-

|= αn(p1, ..., pn) ⇔ F.

4���9�&� ��� �� �����&� �9� � �� ����� ��9��� n + 1�4����' �� %�������� ����� αn+1 ��9��� n + 1' ����� %������� ��%����� ���&��� F � ����� � ������ �&� �&���� p1, ..., pn, pn+1'⇒ � ⊥' ���� �� ��-

|= αn+1(p1, ..., pn, pn+1) ⇔ F.

���� ����& ����/���& v ������ ��� pn+1 &�9� �&��� ��� ���7��� � ��� ������ �� 2� ���(� �� � ,���� ������ ���& ���7�/���& v %����%� ��� � �������& �����+ � ���&��� � .����� v(pn+1) = 10 ��� � �������& �����+ � ���&��� ⊥ .��� ��v(pn+1) = 00� <�� � ���&��� αn+1(p1, ..., pn, pn+1) ������ ���pn+1 ��&���&� � � � ⊥' ������&� ����& ���&��� αn+1(p1, ..., pn,�)� αn+1(p1, ..., pn,⊥)' (��� ������ ��� � p1, ..., pn� 6�&� � ��5���&��� ������+�&� �� ������ ��9��� n-

βn(p1, ..., pn) =def αn+1(p1, ..., pn,�)�

γn(p1, ..., pn) =def αn+1(p1, ..., pn,⊥)�

Page 100: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

1� ��� ����� ��9��� n' %� � �� ������ βn(p1, ..., pn) � γn(p1, ..., pn)'�9� �����/���� %���%�����' ��� %����� ���&��� F ′ � F ′′ � ��7��&� � ������ �&� �&���� p1, ..., pn' ⇒ � ⊥ � �� ,�5 �9�-

|= βn(p1, ..., pn) ⇔ F ′

�|= γn(p1, ..., pn) ⇔ F ′′

��� �� ���� ������/��� ������ βn � γn' �9�-

|= αn+1(p1, ..., pn,�) ⇔ F ′

�|= αn+1(p1, ..., pn,⊥) ⇔ F ′′�

4����' �&�&� ����������� ���&��� αn+1(p1, ..., pn,�) � F ′' � ��7��������� ���&��� αn+1(p1, ..., pn,⊥) � F ′′-

αn+1(p1, ..., pn,�) ≡ F ′ � αn+1(p1, ..., pn,⊥) ≡ F ′′�

� ����� �����' �� ���� ������ � .������ ����"0' �� ���&���αn+1(p1, ..., pn, pn+1) � ,��� ������ ��� pn+1 �&�&� ���� � ���7��������-

αn+1(p1, ..., pn, pn+1)⇔((pn+1⇒αn+1(p1, ..., pn,�)) ∧ (¬pn+1⇒αn+1(p1, ..., pn,⊥)))�

<�� � ��� ����������� ���&��� αn+1(p1, ..., pn,�) � αn+1(p1, ..., pn,⊥)��&���&� ,�&� ����������& ���&���&� ����& F ′ � F ′′' ������ ���� ������ � ���� ��������� � ������&� �������������&��� ��� ������������ 4����' ������&� �����������-

|= αn+1(p1, ..., pn, pn+1) ⇔ ((pn+1 ⇒ F ′) ∧ (¬pn+1 ⇒ F ′′))�

6�&�����&� ���&��� (pn+1 ⇒ F ′) ∧ (¬pn+1 ⇒ F ′′)� � ,���& %��7���&���&� F ′ � F ′′ � ������ �&� �&���� p1, ..., pn' ⇒ � ⊥' %������ ��+ ������ ¬ � ∧ .���� ���&� � ��%�� ���&���0 %��������%�&� � ⇒ � ⊥� 8�����&� ������/��� ������ ¬ %�&� � ⇒ � ⊥ �������&� �� �� ¬pn+1 ⇒ F ′′ ��&��� �� (pn+1 ⇒ ⊥) ⇒ F ′′' %� ��%����,� ����������� ������&� �����������-

|= αn+1(p1, ..., pn, pn+1) ⇔ ((pn+1 ⇒ F ′) ∧ ((pn+1 ⇒ ⊥) ⇒ F ′′))�

@���� ��+ �� ����� ∧ %������&� %�&� � ⇒ � ⊥� >&�&� �� �����&��� A ∧ B ��&��� �� (A ⇒ (B ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥' %� �� ���&���(pn+1 ⇒ F ′) ∧ ((pn+1 ⇒ ⊥) ⇒ F ′′) ' � ��&� � αn+1(p1, ..., pn, pn+1)'���������� ���&���

((pn+1 ⇒ F ′) ⇒ (((pn+1 ⇒ ⊥) ⇒ F ′′) ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥�

4����' ���9��� ���&��� F �� ���� �9�

|= αn+1(p1, ..., pn, pn+1) ⇔ F

� � ����� � %������� �&� �&���� p1, ..., pn, pn+1' ⇒ � ⊥ �� ���&���-

((pn+1 ⇒ F ′) ⇒ (((pn+1 ⇒ ⊥) ⇒ F ′′) ⇒ ⊥)) ⇒ ⊥�

*� ��� ��(�� &� �������� �� �9� �����/���� �����' %� �����(�7��&� �� � ��� ����� αn %�������� ��9��� n &�9� ���������%�&� � ������ ⇒ � ⊥�

Page 101: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� ��

@�& �����&�& &� �������� ����/������� %��%���� ��%� {⇒,⊥}' ���%������� &� �� �� ��% {⇒,⊥} ����� ���� ������� 6�+�� &� �� � �������%�� ���� &� ��� %��������' ��%�� {∧,∨,⇒,⊥}' {∨,¬}' {∧,¬}' {⇒,¬}'{↓} � {↑}' %������� �� � %�&� � ,�5��5 ������ &��� ��������� ����/����� {⇒,⊥} �����(���&� �� � � �� ��%�� ���� �������

��)�� ,�� �������� � ��� �������� ������� �����

@�� ������ � ����/�&� ������5 ���&��� ���� � ��� ���������� � ��7��������� ���&���� ���&� %�(� �&� �����& %��&���&�

������ � 6�&�����&� ���&��� F = (¬((p ⇒ q) ∧ p)) ∨ q� *�+/�� �� �� ��%���&� ���&��� ���� �� ���������� ���&��� F ' ����� �� � ����������� ���&����� ���&�' ��� ��(�,��� �� �� ����5���&��� A1, ..., Am .m ≥ 10' ���� � %������ ������/���&�' ����� ��� �� ���&��� A1, ..., Am ��(�,��� �� ������5 ��� � ��7��/��� ������5 ��� %������5 �������/���&�� � %���%�� ��7��& ������&� �� ���� ���&��� %�� ����� �� �� ��%���&� ���7&��� ���� �� ���������� ��+�� ���&��� F ' � � ����� � %��������&� ����/� ∧' ∨ � ¬� 1��� � ���&��� F %�����&��� p ⇒ q��&�,���&� ,�� ����������& ���&���& ¬p∨q � ������&� ���&���F1 = (¬((¬p ∨ q) ∧ p)) ∨ q� *� ���� ������ � ���� ���������

� � ���&��� F � F1 � ���������� ���&���� ����� � ����� ���� ���&��� F1 ��&���&� ����������& ���&���& � ����� �����¬ ���� �&� �� ������ ���� *� ���� 4� ��������� ������'|= (¬(A ∧ B)) ⇔ (¬A ∨ ¬B)' %�����&��� ¬((¬p ∨ q) ∧ p) ���&���F1 �� ���������� ���&��� (¬(¬p ∨ q)) ∨ ¬p' � �%�� �� ���� ���

���� � ���� ��������� � ���&��� F1 �� ���������� ���&���F2 = ((¬(¬p∨q))∨¬p)∨q� ���� ������&� ����� 4� ������� �����'|= (¬(A ∨ B)) ⇔ (¬A ∧ ¬B)' � ������&� �� �� %�����&��� ¬(¬p ∨ q)���&��� F2 ���������� ���&��� ¬¬p ∧ ¬q' %� �� �� ���� ���

���� � ���� ��������� � ���&��� F2 ���������� ���&���F3 = ((¬¬p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q� *� �����' ����� � ������ ����/���'|= ¬¬A ⇔ A' ���� ����������� ���&��� ¬¬p � p' � ������ �

���� ��������� � ���� ���&��� F3 .� ��&� � %������� ���&���F 0 ���������� ���&��� F4-

((p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q�

E��&��� F4 �� ������ (A1∨A2)∨A3' ��� �� A1 %�����&��� p∧¬q' A2

�� ¬p � A3 �� q� 4����' ���&��� F4 ���� � ����������� ���&��������&��

���� �&� �� �����&� � ������/��� ���&��� � ����������� ���&��������&�' ��� %�� ���� ����&� %���& ��������� :������ �� ������ ���&������� �� ��� ������ ��� ��� ����/��� ������� ���� �� p �&� ����(������������ p � ¬p' ��� �� p ���� ������ ����

Page 102: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

!�'������� ����������� �������� '����

*��� �� ��� �� ���&��� A1, ..., Am .m ≥ 10 ��(�,��� �� ��������%������5 �������/���&�� E��&��� ���� (��� ���&��� A1, ..., Am %�7����� ������/���&� �� ���&��� � ����������� ���&����� ���&�.4*E0 � �� ���&��� ����(��&�-

A1 ∨ ... ∨ Am,

� ���&��� A1, ..., Am ���&� ��������� <�� � p1, ..., pn .n ≥ 10�������� �� ����5 �� ��(�,��� ���� �� ���&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m' �����&��� Ai �&� ����(����- p1 ∧ ... ∧ pn�

4����� � ������+� ���&��� � ������������ ���&����� ���&�� *��&�'���� ���&��� �� ��(�,��� �� ���&��� ���� � %������ �������/���&�' � ����� ��5 ���&��� (��� �������� %������ ������/���&��

������ � 6����&� ��5�� �� ��%���&� ���&��� ���� �� � ��7���������� ���&����� ���&� � ���� �� ���������� ���&��� ��������� �' ���&��� F = (¬((p ⇒ q) ∧ p)) ∨ q� 4� ��&� �� �������&�9�&� %�&������ ���&��� �� ������� � ���������� ���&���F ' ���&��� F4 = ((p ∧ ¬q) ∨ ¬p) ∨ q' ��(���� ,�� ���������� ���7&��� .�� ���� ��/��������� �� ∨0- (p∧¬q)∨ (¬p∨q)� *� ���������� ������������� ∨ � ����� �� ∧ �&�&� �� �� �� ���&������������� ���&��� F5 = (p ∨ (¬p ∨ q)) ∧ (¬q ∨ (¬p ∨ q))� 4����'���&��� F �� ���������� ���&��� F5� E��&��� F5 �� � �������7����� ���&����� ���&�' ��� �� ���&��� �� ������ A1 ∧ A2' ��� ��A1 %�����&��� p ∨ (¬p ∨ q) � A2 �� %�����&��� ¬q ∨ (¬p ∨ q)�

< ��� ����&� ������/��� ���&��� � ������������ ���&����� ���&��

!�'������� ����������� �������� '����

*��� �� ��� �� ���&��� A1, ..., Am .m ≥ 10 ��(�,��� �� ��������%������5 ������/���&�� E��&��� ���� (��� ���&��� A1, ..., Am %�7����� �������/���&� �� ���&��� � ������������ ���&����� ���&�.8*E0 � �� ���&��� ����(��&�-

A1 ∧ ... ∧ Am'

� ���&��� A1, ..., Am ���&� ���������� <�� � p1, ..., pn .n ≥ 10�������� �� ����5 �� ��(�,��� ���� �� ���&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m' �����&��� Ai �&� ����(����- p1 ∨ ... ∨ pn�

6�&�����&� ���&��� A1, ..., Am ��(�,��� �� �������� %������5 �������/�7��&�' ��� �� m � � �� �� 6�����&� ��� ��&�� ��%�� ��%+���� ������/��� ���%�� ���&��� � 4*E� *� %��&�� �� m = 4 � ���&��� A1' A2' A3 � A4 �&�&��� �� ��%+���� ������/���

∨4i=1 Ai = ((A1 ∨A2)∨A3)∨A4' ��� ������� � � ���

���&��� ��/����� ������ *� ���� ������ ��/��������� �� ∨ �� ���&����� ���������� ���&���&� (A1∨A2)∨(A3∨A4) � A1∨((A2∨A3)∨A4) � ����&�� ������� �����(��� ��%���Æ���� �� &� 4*E ��������� ���� �� ��& ����

Page 103: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� �#

����� ��%���� ������� � �� � �������' &�Æ����� ���������� ���&���'��9�&� �� � ��(�,��� �� ���&��� A1' A2' A3' A4 %������5 ������/���&�'��� �� ,�5 &�9�&� �� ������&� ������ A1 ∨ A2 ∨ A3 ∨ A4� >�� �9� � ����%+���� �������/��� � 8*E� < ��� %�������&� ���� � %��&���

������ � >&�&� ���&���F = (p ∧ (¬q ∧ r)) ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ (¬r ∧ (q ∧ s)))�

E��&��� F �� � 4*E' ��� ���&��� F �� ������ A1∨(A2∨A3)' �� ���7&���- A1 = p∧ (¬q∧ r)' A2 = p∧¬q � A3 = ¬r∧ (q∧ s)� 6�&�����&����&��� B1 = (p ∧ ¬q) ∧ r' ���� �� ��%+���� �������/��� � �&� ����������� ��� ���&��� A1 � �� %���Æ��� ���& ����&' ��� B1 ���������� �� A1 �&� %��&�+��,�& �������� >�� �9� �� ���&���B2 = p ∧ ¬q � A2 .��� � ������(��0A � ���&��� B3 = (¬r ∧ q) ∧ s �A3� *� ���� ������ ��/��������� �� ∧ �&�&�-

|= A1 ⇔ B1' |= A2 ⇔ B2 � |= A3 ⇔ B3�

>� ��5 �����������' �� ���� ������ � ���� ��������� �'������&� �����������-

|= (A1 ∨ (A2 ∨ A3)) ⇔ (B1 ∨ (B2 ∨ B3))'

%� �9� A1 ∨ (A2 ∨A3) ≡ B1 ∨ (B2 ∨B3)� *� ���� ������ ��/���7������ �� ∨ �&�&�-

|= (B1 ∨ (B2 ∨ B3)) ⇔ ((B1 ∨ B2) ∨ B3)'

��� B1 ∨ (B2 ∨ B3) ≡ (B1 ∨ B2) ∨ B3' %� ����������� ����/��� ≡����-

|= (A1 ∨ (A2 ∨ A3)) ⇔ ((B1 ∨ B2) ∨ B3)�

4����� &� �� �� F ���������� ���&��� F1 = (B1 ∨ B2) ∨ B3�E��&��� F1 �� � 4*E' �&� ��� �������� ��� � ���&��� F � �� ���i' 1 ≤ i ≤ 3' ��������� � �������� ���&��� F � F1' �������� Ai �Bi' � ��(�,��� �� ���5 �������� �������5 ���& ����&' �&� � �,�&� ������� �����(��� %�������� E��&��� F1 �� %�/���(�� %���&� +�� �� ��%+���� ������/��� � � ,��� �������� � ��%+�����������/����

> �� %�������� ���&��� ���� �� � 4*E' ���� ���&��� F = A1 ∨ ... ∨ Am

.m ≥ 10' %����� ���������� ���&��� ���� �� � 4*E � ��%+���� ������/���'� (��� �������� � ��%+���� �������/��� ���� � �� A1'���'Am ��������� �&�%� ��%����� �������� >�� �9� � �� ���� ���&��� � 8*E' ���� ���&���F = A1 ∧ ... ∧ Am .m ≥ 10� *��&�' �� ���� ������ ��/��������� �� ∨��� ���&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m' ���������� �� ���&��� Bi' ���� �� ��%+����������/��� �������� �� ���&��� Ai %���Æ���5 ���& ����& ��� � Ai� *����� ������ ��/��������� �� ∧ ���&��� F �� ���������� ��%+����� ��7�����/��� ���&��� Bi' 1 ≤ i ≤ m ���� �� ��� ����� ���&��� � 8*E�

6���9�&� ��� �9�� ������ ���&��� � 8*E � 4*E� <�� �� ���&��� �8*E ���� &�9�&� ��&� ��������� �� %�����&� �� �� �� ��� ������������6�������&� ���&��� � 8*E' ���&��� A1∧ ...∧Am .m ≥ 10' ��� � � ���&���

Page 104: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�! ���� �� ��6��9� ;%<�6�

A1, ..., Am ��(�,��� �� �������� %������5 ������/���&�� 4� �� ���&���A1 ∧ ... ∧ Am ���� ������� &��� ���� ������� ��� �� ���&��� A1, ..., Am�6���&� �- ��� ������ ����� �� ���� �� ���&��� A1, ..., Am �� �� ���� ��������� ���� ���� ������� ������� ,�5��5 ������5 ���' ��� �� ���� ��������/���) 4����� �� �� � � ���� �� ��5 ���&��� A1, ..., Am ��� ���������� ��� p � ,���� ����/��� ¬p� 1� ��� ����/��� v ����� �� �������v(p) � v(¬p) &��� ���� �' %� ���� � ���&��� A1, ..., Am ��(�,��� �� ��������%������5 ������/���&�' �&�&� �� �� ������� ������ ��� �� A1, ..., Am

������� � �� ��� ����/���� ����� ��� �&�&� ���&��� A1 ∧ ...∧Am � 8*E �� ���� �� ���&��� A1, ..., Am � ���� ���� ������ ��� � ,���� ����/���'���� ���&� �� �� ���&��� A1 ∧ ... ∧ Am ������������ F�9� � �������- ��� �����&��� A1 ∧ ... ∧ Am .m ≥ 10 � 8*E �����������' ���� � � ���� ���&���Ai' 1 ≤ i ≤ m' ���� ���� ������ ��� � ,���� ����/���' � �� �&� %�������� �������& �������' ������ #�

E��&��� F5 = (p∨(¬p∨q))∧(¬q∨(¬p∨q)) �� ������� � �� %��&�� ���&��� �8*E � ��� �� ������ A1∧A2� � ���&��� A1 ���� � ������ ��� p � ,��������/��� ¬p' � � ���&��� A2 ���� � ������ ��� q � ,���� ����/��� ¬q�4����' ���&��� F5 ���� ������������ E��&��� F = (¬((p ⇒ q) ∧ p)) ∨ q ������������ ���&��� F5' %� �����(���&� �� �� � ���&��� F ������������

������� # 6���9�&� �� �9� ���� � ������-���&��� A1∧...∧Am .m ≥ 10 � 8*E �� ����������� ��� � �&� ��� �� ���� Ai .1 ≤ i ≤ m0 ���� ���� ������ ��� � ,���� ����/����4�� �� ���&��� �%����� ������ ���� ����������� � &� ���������@���� �� ����9�&� ����� ��� ��Æ�,�- �� ��� ����������� � 8*E&��� ���� �%����� ������� 6���%����&� �� &�Æ� ���&���&�A1'���' Am %����� ���� ���&��� Al � ������& �� � � ,�� �� %�7������ ���� ������ ��� � ,���� ����/���� 6�&�����&� ��%�5 ������5 ��� ���� � �������� ���&��� Al' ��% {p1, ..., pk}'� ��% �5 ������5 ��� (��� ����/��� � �������� ���&��� Al'��% {q1, ..., qj}' ��� ���� �� ��5 ��%�� &�9� ���� � %������ G����� �� �� ���� ������ ���&��� Al ��%�� {p1, ..., pk} � {q1, ..., qj}��&��� �������(��5 ���&������ ���� %�&����&� ����/��� v ������ �� v(pi) = 0' 1 ≤ i ≤ k � v(qi) = 1' 1 ≤ i ≤ j� >&�&� �� �� ���&���Al �(�,��� �� �������� p1'���' pk' ¬q1'���' ¬qj %������5 ������/�7��&�' � ������� ������ ����/���& v ���� ��� �������� �� ��4����' v(Al) = 0� @�����' �� ���� ������/��� v' ������&� �� ��v(A1 ∧ ... ∧ Am) = 0' +�� �� ��&��� � ��� �� ���&��� A1 ∧ ... ∧ Am

������������ 1����(���&� �� � � ���� ���&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m'&��� ������ ���� ������ ��� � ,���� ����/����

< ��� %�������&� +�� ��& ���� 4*E� <�� �� ���&��� � 4*E' ���� ���� ��������� %������ �� �� �� ��� ���������/���� 6�������&� ���&���� 4*E' ���&��� A1 ∨ ...∨Am .m ≥ 10' ��� � � ���&��� A1, ..., Am ��(�,����� �������� %������5 �������/���&�� 4� �� ���&��� A1 ∨ ...∨Am ���� ���7������' &��� ���� ��������� ��� �� ���&��� A1, ..., Am� F������ ��� ��

Page 105: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� ��

���&��� A1, ..., Am �� ��� � ��� � � ,�� ���� ���� ������ ���' �� %��&��p' � ,���� ����/��� ¬p� 1� ��� ����/��� v ����� �� ������� v(p) � v(¬p)&��� ���� �' %� ���� � ���&��� A1, ..., Am ��(�,��� �� �������� %������5�������/���&�' �&�&� �� �� ������� ������ ��� �� A1, ..., Am ������� ��� ��� ����/���� 8��� �� ������� ������ ��� �� ���&��� A1, ..., Am

������� � ���� �� � ������� ������ ���&��� A1 ∨ ... ∨ Am ������� ��4����' �� ���&��� � 8*E ���� �� %������� �� �� �� �����������' � �� ���7

&��� � 4*E �� �� �� ���������/���� 1��� ��5 ����� %�����&� %���,�-�� �� �� ��� ������ ���&��� F %����� ���&��� � 4*E � ���&��� � 8*E���� � ,�� ����������) @����� ��- ��' � �� �&� � ���������

������ � � ������ � �� � ���

�� ���� '���� F ������� (�� ����� '����� F k ������������ ���������'���� � (�� ����� '����� F d ������������ ��������� '����& ����� �� ��/

|= F ⇔ F k � |= F ⇔ F d�

����

6�&�����&� %�������� ���&��� F � <�� � � ���&��� F %�7������ ����/� ���� ��� �� ��%� {∧,∨,¬}' ���� ������ � %��7���� ��� ��&�Æ� ����(��5 ������ %���&� ���&��� �������������&��� F � ����� � %������� �&� ����/� �� ��� ��%�� �����&�&� �� %���%����&� �� �� F ���&��� � ����� ������' ��� ����&��� F � %������� �&� ����/� ∧' ∨ � ¬� 2����&� ��������&������/���& %� ����� ������ ���&��� F ' ����� n�

���� �����/���' ���&��� F ��&� ������' n = 0� 2� ���(� �� �����&��� F ���� ������ ���' �� %��&�� ������ ��� p� 2��9������&��� F k � F d � �&� ������ ��� p�

>����/���� %���%�����- �����&� �9� �� ��� ���&��� F �����&� &�,� �� n ����(��5 �������

4���9�&� �� �����&� �9� � �� ���&��� ���� �&� n �������6�&�����&� ���&��� F ���� �&� n ������� E��&��� F &�9��&��� ����� �� ���� �5 ������-

A ∧ B' A ∨ B ��� ¬A�

��� ������ �� �� ���� �� ��� ������� ������ �&� ���&��� F ,���%�����&��� A � B �&��� ��� ����� ����� &�,� �� ���&��� F ' %��� ,�5 �9� �����/���� %���%�����- %����� ���&��� Ak � Bk ������������� ���&����� ���&� � ���&��� Ad � Bd � ��������������&����� ���&�' ���� �� ��-

|= A ⇔ Ak' |= A ⇔ Ad � |= B ⇔ Bk' |= B ⇔ Bd�

*� ���� ������ � ��/��������� �� ∧ � ∨ � ����������������/��� ������������ ���&���' &�9�&� %���%������ �� �� ���&���&� Ak' Bk' Ad � Bd � ������� ��/����� ������ 4����'���&��� Ak � Bk � ��%+���� �������/��� ����& D1∧...∧Dm .m ≥ 10� D′

1 ∧ ... ∧ D′l .l ≥ 10 �� ���� ���&��� D1, ...,Dm,D′

1, ...,D′l' ���� �

Page 106: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

��%+���� ������/��� ��������� E��&��� Ad � Bd � ��%+���� ��7����/��� ����& C1 ∨ ... ∨ Ck .k ≥ 10 � C ′

1 ∨ ... ∨ C ′j .j ≥ 10 �� ����

���&��� C1, ..., Ck, C ′1, ..., C

′j ���� � ��%+���� �������/��� ���������

8����� � �� ���&���' ��%���&� ���&��� F k � F d�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∧ B�

*�%���&� %�� ���&��� F k�>� |= A ⇔ Ak � |= B ⇔ Bk ������ � ���� ��������� � ����-

|= (A ∧ B) ⇔ (Ak ∧ Bk)'

��� � ���&��� Ak � Bk � ������������ ���&����� ���&�� ����� ��� ���&��� Ak∧Bk � ������������ ���&����� ���&�' %� �� ���9������&��� F k ��+ ���&��� Ak ∧ Bk�*�%���&� ��� ���&��� F d�>� |= A ⇔ Ad � |= B ⇔ Bd ������ � ���� ��������� � ����-

|= (A ∧ B) ⇔ (Ad ∧ Bd)'

��� F �� ���������� ���&��� Ad∧Bd- F ≡ Ad∧Bd' ��� �� ���&���Ad∧Bd ������ (C1∨...∨Ck)∧(C ′

1∨...∨C ′j)� <�� %�����&��� C ′

1∨...∨C ′j

���&��� Ad ∧ Bd ����(�&� � C ′' ���� �� ���&��� Ad ∧ Bd ������-(C1 ∨ ... ∨ Ck) ∧ C ′� *� ���� ��%+����� ������ �������������∧ � ����� �� ∨ �&�&� �����������-

|= ((C1 ∨ ... ∨ Ck) ∧ C ′) ⇔ ((C1 ∧ C ′) ∨ ... ∨ (Ck ∧ C ′))'

��� �� ���&��� ���� �� ⇔' ���&��� F1-

(C1 ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j)) ∨ ... ∨ (Ck ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j))

��%+���� ������/��� ���&��� Ci∧(C ′1∨...∨C ′

j)' 1 ≤ i ≤ k� 4����'

���&��� Ad ∧Bd �� ���������� ��� ���&��� F1� 8����� � �������&��������� �� ∧ � ��%+���� ����� ������������� ∧ � ������� ∨ ������&� �����������-

|= (C ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j)) ⇔ ((C ∧ C ′1) ∨ ... ∨ (C ∧ C ′

j))'

%� �&�&�- C ∧ (C ′1∨ ...∨C ′

j) ≡ (C ∧C ′1)∨ ...∨ (C ∧C ′

j)� ����� �� ����� � ��������5 %�����&��� ���&��� F1' 1 ≤ i ≤ k' �&�&�-

Ci ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j) ≡ (Ci ∧ C ′1) ∨ ... ∨ (Ci ∧ C ′

j)�

���� � ���&��� F1 ��� ,��� %�����&��� Ci ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j)'1 ≤ i ≤ k' ��&�,���&� ,�� ����������& ���&���& � ������&����&��� F2-

((C1 ∧ C ′1) ∨ ... ∨ (C1 ∧ C ′

j)) ∨ ... ∨ ((Ck ∧ C ′1) ∨ ... ∨ (Ck ∧ C ′

j)),

��� � ���&��� C1'���' Ck' C ′1'���' C ′

j (��� �������� ���� � %�������������/���&�� 2� ���(� �� �� ���&��� F2 � ����������� ���&��7��� ���&�� *� ���� ������ � ���� ��������� � ���&���F1 .� ��&� � Ad ∧Bd0 �� ���������� ���&��� F2� 4����' ���9������&��� F d �� ���&��� F2�

Page 107: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� ���

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∨ B�

� ��& ��(��� �� ����������� ���&����� ���&��� F d�>� |= A ⇔ Ad � |= B ⇔ Bd ������ � ���� ��������� � ����-

|= (A ∨ B) ⇔ (Ad ∨ Bd)� ���&��� Ad � Bd � � ����������� ���&����� ���&�� ����� �� ����&��� Ad ∨ Bd � ����������� ���&����� ���&�' %� �� ���9������&��� F d ��+ ���&��� Ad ∨ Bd�1� ����9�,� ���&��� F k �� ���&��� A∨B %���%�&� �������� ���� ��(��� ����9�,� ���&��� F d �� ���&��� A ∧ B�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ ¬A�

>� |= A ⇔ Ak � |= A ⇔ Ad ������ � ���� ��������� � ����-

|= (¬A) ⇔ (¬Ak) � |= (¬A) ⇔ (¬Ad)'��� F ≡ ¬Ak � F ≡ ¬Ad� *�%���&� ���&��� F d�1� �� �&� �������� ���&��� Ak ���� �� � ������������ ���&��������&�� E��&��� Ak �� ������ D1 ∧ ... ∧ Dm' %� �� ���&��� ¬Ak

������ ¬(D1∧ ...∧Dm)� *� ���� ��%+����� 4� ��������� �������&�&� �����������-

|= (¬(D1 ∧ ... ∧ Dm)) ⇔ (¬D1 ∨ ... ∨ ¬Dm)'��� �� ���&��� ¬D1 ∨ ...∨¬Dm ��%+���� ������/��� ���&��� ¬Di'1 ≤ i ≤ m� 4����' ¬Ak ≡ ¬D1 ∨ ... ∨ ¬Dm' ��� F ≡ ¬D1 ∨ ... ∨ ¬Dm����� ���&��� Di' �� 1 ≤ i ≤ m' ���� ��%+���� ������/��� ��7������ � ��� ���&��� Di �&� si ��������' �� si ≥ 1� 4����'%�������� ���&��� Di' �� 1 ≤ i ≤ m' ���� ��%+���� ������/���pi1 ∨ ...∨ pi

si' ��� � pi

1'���' pisi

���� ��������� ����� �� ��� ���&���¬Di .1 ≤ i ≤ m0 ������ ¬(pi

1 ∨ ... ∨ pisi

)� @%�� ������ � ��%+����4� ������� �����' �&�&� �����������-

|= (¬(pi1 ∨ ... ∨ pi

si)) ⇔ (¬pi

1 ∧ ... ∧ ¬pisi

)� ������&� �� �� ��� ���&��� ¬Di .1 ≤ i ≤ m0 �������������&��� ¬pi

1∧ ...∧¬pisi� .*�%�&���&� �� ��� �� � ¬pi

1∧ ...∧¬pisi

����������� pi

t ������ ¬r �� ���� ������ ��� r' ���� ¬pit %����� .����

����� ����/���0 ������� r�0 <�� � ���&��� ¬D1 ∨ ... ∨ ¬Dm ������&��� ¬Di .1 ≤ i ≤ m0 ��&���&� ,�� ����������& ���&���&¬pi

1∧...∧¬pisi������&� ���&��� F2 ���� �� � ����������� ���&�����

���&� � �� ����' �� ���� ������ � ���� ��������� �' �9�-¬D1 ∨ ... ∨ ¬Dm ≡ F2� F� �&�&� �� �� F ≡ ¬D1 ∨ ... ∨ ¬Dm' %� ������ ������������ ����/��� ≡' �&�&� F ≡ F2' ��� ���&��� F2

�� ���9��� ���&��� F d �� ���� �9�-|= F ⇔ F d�

1� ����9�,� ���&��� F k ������&� ���&��� Ad � %���%�&� �����7��� ��� � ��(��� ����9�,� ���&��� F d�4����' �������� &� �����/���� �����' %� �����(���&� �� �� %���7����� ���&��� F %����� ���&��� � 8*E � 4*E' ����& ���&���F k � F d' ���� � ,�� ����������� ♦

Page 108: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

��)�% ,������ ������ ∧ � ∨� ��& ������ ����� �&� � ����&� ���� %������ ������ ∧ � ∨�

6�����&� � ������ ��������������1���� ������������� ∧ � ����� �� ∨-

|= ((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))� ����� ������������� ∨ � ����� �� ∧-

|= ((p ∧ q) ∨ r) ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))�F���&� �� � ���&��� (p ∧ q) ∨ r � (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ���� � %������� � �����&�����������& ������ �������� �� ���&��� ���� � %������� � %��& ��7���������& ������' ����& ���&��� (p ∨ q) ∧ r � (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)' ���� +��� ����/� ∧ � ∨ ��&����� &���� ��9�&� �� � �� �� %��& �����������&������& ���� ����������� �� ���&���' ���&��� (p∨q)∧r � (p∧r)∨ (q∧r)'� �� ����� ����������� ����� ���� ����������� ���&��� ���� � ���������� �� �� ���&��� ���� +�� � ����/� ∧ � ∨ ��&����� &���' ��������������&��� (p ∧ q) ∨ r � (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)�

2� ��&��� ������ ∧ � ∨ %��/������ �&� ��������� ����/���& δ �� ��%��5 ������5 ���&��� F � ��&� � ��& ������ �&��� ��%� ����(��5 ������{∧,∨,⇒,⊥} � �������� ������ ������ ������ �&� ��% {∧,∨,¬}� *� �7��� ��+�� ������,� � ����&� ������ ���� �� �� �� ��� ������ ���&��� F&�9�&� �� ��%���&� ���������� ���&��� �� �������� (��� �� ��% ��������% {∧,∨,¬}�

E���/���& δ %�������� ���&��� F ���� � � ���&��� ���� �� ������������ +�� � %������� ���&��� F �&��� ������ ∧ ���&� ∨' � �&��� ∨ ���&�∧� 4�����+�&� ����/��� δ : F → F ��������� �� ���� � ��(��-

.�0 �� ���� ������ ��� p- pδ = pA

.�0 .���0 �� ���� ������ ���&��� A ∧ B- (A ∧ B)δ = Aδ ∨ BδA

.���0 �� ���� ������ ���&��� A ∨ B- (A ∨ B)δ = Aδ ∧ BδA

.��"0 �� ���� ������ ���&��� ¬A- (¬A)δ = ¬Aδ�

8��� %�Æ�&� �� ���&��� F � %��&���&� %���%�� ��&��� ∧ � ∨' � ∨ �∧ ������&� ���&��� F δ� <�� ��� �� ���&��� F δ %��&���&� ��� %���%��� ��%���&� ���&��� (F δ)δ' ���� �&� � �� %�(����' ��� ���&��� (F δ)δ ��%������ ���&��� F � 2� �� � %������� � �������& ��������

������� 1 6���9�&� �����/���& %� ����� ������ � ���&��� ���� ��� ������ ���&��� F �9�- (F δ)δ = F �<�� �� F ���� ������ ��� p' ���� �� (F δ)δ = (pδ)δ = pδ = p = F �<�� �� ���&��� F ������ A ∧ B' A ∨ B ��� ¬A' ���� ���&��� A� B �&��� ��� ����� ����� &�,� �� ���&��� F ' %� �� ,�5 �9������/���� %���%�����- (Aδ)δ = A � (Bδ)δ = B� 6���9�&� �������� �9� � ��(��� ���� �� ���&��� F ������ A ∧ B� >&�&�-(F δ)δ = ((A ∧ B)δ)δ = (Aδ ∨ Bδ)δ = (Aδ)δ ∧ (Bδ)δ� � ������& �� ���� �� (Aδ)δ = A � (Bδ)δ = B' �����(���&� �� �� (F δ)δ ������� A∧B'��� (F δ)δ = F � >�� � %���%� � � �����& ��(����&��

Page 109: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� ��"

8����� � ����/��� δ � ����� ������������� ∧ � ����� �� ∨'|= ((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))'

����� ������������� ∨ � ����� �� ∧ &�9�&� ��%���� ����-|= ((p ∨ q) ∧ r)δ ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))δ�

6��&���&� �� �' ������ � %������ �����������' ���� &�9� �������� �� �9�-��� �� ((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r)) �����������'���� �� � ((p ∨ q) ∧ r)δ ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))δ ������������6���&� �- �� �� �� ������ �9� �� %�������� ���&���) @����� ��- ���2� �%��� ���� ������� �����&�' �����&� � �������� ������ ∧ � ∨�

������ � � ������ � ������ � ����� ∧ � ∨�%��� � D � E �������.�� '�����-,�� �� '����� D ⇔ E ������)���& ���� �� � '����� Dδ ⇔ Eδ ������)���-

4� ��&� �������� �� �����&� &���&� %�� ���� �� ����9�&� ����������&�� @�& ���� %������� �� ��������� ��+ ����� ����/��� �� ��%� �5������5 ���&��� F � E���/��� ∗ : F → F �� ��������� ��������� �� ��7�� � ��(��-

.�0 �� ���� ������ ��� p- p∗ = ¬pA

.�0 .���0 �� ���� ������ ���&��� A ∧ B- (A ∧ B)∗ = A∗ ∨ B∗A.���0 �� ���� ������ ���&��� A ∨ B- (A ∨ B)∗ = A∗ ∧ B∗A.��"0 �� ���� ������ ���&��� ¬A- (¬A)∗ = ¬A∗�

���� �

�� ���� '���� F '����� ¬F ⇔ F ∗ �� ������)���-

����

:�&� �&� �������� �����/���& %� ����� ������ ���&��� F �

���� �����/���- ���� ������ �� �' ��� ���&��� F �� ���� ��������� p� � ��& ��(��� ���&��� ¬F �� ¬p � ���&��� F ∗ = p∗ �� ¬p'%� %�+�� �9� |= ¬p ⇔ ¬p' �� �9�- |= ¬F ⇔ F ∗�

>����/���� %���%�����- �� ��� F � &�,� �� n ������ �9�-|= ¬F ⇔ F ∗�

4���9�&� �� ��&� �9� � �� ���&��� ���� �&� n �������6�&����&� ���&��� F ���� �&� n ������� E��&��� F &�9� �&�������� �� ���� �5 ������-

A ∧ B' A ∨ B ��� ¬A�

��� ������ �� �� ���� �� ��� ������� ������ �&� ���&��� F ,���%�����&��� A � B �&��� &�,� ���� ������ ���� ���&��� F ' ������ ,�5 �9� �����/���� %���%�����-

|= ¬A ⇔ A∗ � |= ¬B ⇔ B∗�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∧ B�>&�&� �� �� ¬F = ¬(A∧B) � F ∗ = (A∧B)∗ = A∗∨B∗� *� ���� ��7���/���� %���%����� � ������ � ���� ��������� �' �&�&�-

|= (¬A ∨ ¬B) ⇔ (A∗ ∨ B∗)'

Page 110: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

%� ������&�- ¬A∨¬B ≡ A∗ ∨B∗� *� ���� 4� ��������� ������'|= (¬(A ∧ B)) ⇔ (¬A ∨ ¬B)' ������&� ��+ ����� %�� ����������5���&���- ¬F ≡ ¬A∨¬B� ����' �� ���� ������������ ����/���≡' �&�&� ¬F ≡ A∗ ∨ B∗' ��� �&�&� �����������-

|= ¬F ⇔ F ∗�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∨ B�*� %��%��� ��� ��(�� ��� � %���5����& ��(��� ������&� �� �9�|= (¬(A ∨ B)) ⇔ (A∗ ∧ B∗)� 4����' |= ¬F ⇔ F ∗�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ ¬A�E��&��� ¬F �� ¬¬A' � ���&��� F ∗ �� ¬A∗� *� ���� �����/����%���%����� �&�&� |= ¬A ⇔ A∗� ����&� � ���� .�0 ���� � ����

��������� �- �� |= C ⇔ D ���� |= ¬C ⇔ ¬D� 6��&���& ������� �� |= ¬A ⇔ A∗ ������&�-

|= ¬¬A ⇔ ¬A∗' ��� |= ¬F ⇔ F ∗�

���� �

%��� �� F �������.�� '����� � ���� �� ��� �������* ����� ���� �� �����.� ���'����� ������ ���� {p1, ..., pm}- 5��� ���� �� �� '����� (F ∗)p1...pm

¬p1...¬pm⇔ F δ

������)���-

����

:�&� �&� �������� �����/���& %� ����� ������ ���&��� F �

���� �����/���- ���� ������ �� �' ��� ���&��� F �� ���� ��������� p� 2��� ��-

F ∗ = ¬p' (F ∗)p¬p = (¬p)p

¬p = ¬¬p � F δ = pδ = p�

8��� �9� |= ¬¬p ⇔ p' ������&� |= (F ∗)p¬p ⇔ F δ�

>����/���� %���%�����- �� ��� F � &�,� �� n ������ �9�-

|= (F ∗)p1...pm¬p1...¬pm⇔ F δ�

4���9�&� �� ��&� �9� � �� ���&��� ���� �&� n �������6�&����&� ���&��� F ���� �&� n ������� E��&��� F &�9� �&�������� �� ���� �5 ������-

A ∧ B' A ∨ B ��� ¬A�

��� ������ �� �� ���� �� ��� ������� ������ �&� ���&��� F ,���%�����&��� A � B �&��� ��� ����� ����� &�,� �� ���&��� F ' %��� ,�5 �9� �����/���� %���%�����-

|= (A∗)p1...pm¬p1...¬pm⇔ Aδ � |= (B∗)p1...pm¬p1...¬pm

⇔ Bδ�

6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∧ B�>� �����/���� %���%�����' �� ���� ������ � ���� �����

����� �' ������&� �����������-

|= ((A∗)p1...pm¬p1...¬pm

∨ (B∗)p1...pm¬p1...¬pm

) ⇔ (Aδ ∨ Bδ)�

Page 111: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

���� % 43�9�?��� ���

6���9�&� �� �� �� ����������� |= (F ∗)p1...pm¬p1...¬pm⇔ F δ� *� ����

������/��� ������&�� ��&��� � ������/��� ����/��� ∗ � δ �� ���7&��� F = A ∧ B �&�&�-

(F ∗)p1...pm¬p1...¬pm

= ((A ∧ B)∗)p1...pm¬p1...¬pm

= (A∗)p1...pm¬p1...¬pm

∨ (B∗)p1...pm¬p1...¬pm

� F δ = (A ∧ B)δ = Aδ ∨ Bδ�

4����' ����� �&�&� �����������-

|= (F ∗)p1...pm¬p1...¬pm⇔ F δ�

���(���� ���� �� F ������ A ∨ B � ¬A �������� � ���������

���� ����9�&� �����&� � �������� ∧ � ∨�

���� ������ � ������ � ����� ∧ � ∨6���%����&� �� �� ���&��� D ⇔ E ������������ @��� �� �� ���7��������' �� ���� ���� �� ��� �9� |= A ⇔ B' ���� �� �9�|= ¬A ⇔ ¬B' ������&� �����������-

|= ¬D ⇔ ¬E'

%� �9� ¬D ≡ ¬E� G�+ �&�&�' �� ���� ���� �' �� �� ���&��� D� E �9�-

|= ¬D ⇔ D∗ � |= ¬E ⇔ E∗'

��� ¬D ≡ D∗ � ¬E ≡ E∗� >� ��5 ������������ � ������������¬D ≡ ¬E' �&����(��� � ����������� ����/��� ≡ ���� D∗ ≡ E∗'��� �����������-

|= D∗ ⇔ E∗�

>� �� ����������� �� ���&��� D∗ ⇔ E∗' ,��� ������ ��� p1, ..., pm

� �� ���&��� ¬p1, ...,¬pm' �� ���� ��������� ������ � �� ����������"' ������&� �����������-

|= (D∗ ⇔ E∗)p1...pm¬p1...¬pm'

� �� ��' �� ���� ������/��� ������&�� ��&��� � ��� ��&��������' �����������-

|= (D∗)p1...pm¬p1...¬pm⇔ (E∗)p1...pm¬p1...¬pm

'

��� �9� (D∗)p1...pm¬p1...¬pm≡(E∗)p1...pm¬p1...¬pm

� � ����� �����' ���� � ����-

|= (D∗)p1...pm¬p1...¬pm

⇔ Dδ � |= (E∗)p1...pm¬p1...¬pm

⇔ Eδ'

%� �9� (D∗)p1...pm¬p1...¬pm

≡ Dδ � (E∗)p1...pm¬p1...¬pm

≡ Eδ� ���� �%�� ������ �

�&����(��� � ����������� ≡' ������&� Dδ ≡ Eδ' ��� ������&������������-

|= Dδ ⇔ Eδ.

Page 112: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� �� ��6��9� ;%<�6�

� �������� ��&� %����� �&� �� �9� � ������� �� ���� +�� ���� ������

� ������ � ����� ∧ � ∨' ��� �� �9�- ��� �� ���&��� Dδ ⇔ Eδ �����������'���� �� � ���&��� D ⇔ E ������������

���� �

%��� � D � E �������.�� '�����-,�� �� '����� Dδ ⇔ Eδ ������)���& ���� �� � '����� D ⇔ E ������)���-

����

8��� �� Dδ ⇔ Eδ �����������' �� ���� ������ � ������ �

����� ∧ � ∨ �&�&� �� �� � ���&��� (Dδ)δ ⇔ (Eδ)δ ��������������Æ���&' �� ���� ������ ����/��� δ �� ������� 1 �&�&� �� ��'(Dδ)δ = D � (Eδ)δ = E' %� �� �� ����������� � ���� �����������D ⇔ E�

>� ������ � ������ � ����� ∧ � ∨ � ���� � �&�&� ���� � �����(���

��������� �

%��� � D � E �������.�� '�����-2����� D ⇔ E �� ������)��� ��� � ���� ��� �� '����� Dδ ⇔ Eδ ������)���-

Page 113: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

����� �

������� ������

&"% *�� �� �� ������� ������+

6�� ���� +�� �������&� �� %���,� +�� �� �� ���&���� �������' ������7&� ����� ������������� ���� ���&���� �������' ��(���� (���� &���&������4����' ��� �������,� ���� ����9���� ������������� &���&������ *� ����������/��� ������- /��� � � � ' ''&���&����� � �� �=- � ����@

���� &���&���(�� ����� �� ����� ��������� �����(��,� � %�(�� �� %�7�����& %���%�����&� � %�����&� %� ����&� � �� ��5 %���%����� �������� ���,�� 8����� � �&���� &���&���(��� ������ � ������ ������' �&�&�&��� ��� �� �&��� � ������& %��&��&�' ��� +�� � ��(���/� %��������������' ����&� � ���&���&�� *� ��� ��(�� ����� ����� &���&���(��� ���7,� &�9�&� �� ���&� �� %���%�� ����& � �� ����5 %������5 ���&���' ��7���� � ���� %����� �����(��,�' �������� ��� ���&���� 6�������&� �������������� %��&���

������ � 6����&� ���� � %���,�- �� �� �� a ≤ b' b ≤ c � c ≤ d���� a ≤ d) ;� ������ ������-�� a ≤ b �� %���%�����A�� b ≤ c �� %���%�����A"� a ≤ c �����(���&� �� %���%����� �� � �� ������ � ������ ���� ����/��� ≤ ����������' ��� �� ��� �� x ≤ y � y ≤ z' ���� �� x ≤ zA�� c ≤ d �� %���%�����A�� a ≤ d �����(���&� �� "� � �� �%�� ������ � ������ �� �� ��7��/��� ≤ �����������

��#

Page 114: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��! ���� � *%>��;93 =3%>��3

1������ ���&����� ������ ������ �� �� ������� &���&���(�� ������� %���7�� �� ����� ���&���' ������+� %������ ���&��� � ������+� %����� ����7,� %�&� � ����5 � � ������� .��������0 ��� ���&����

���� &���&���(�� ����� �&� ��� %������ %��&��� @�& ����' �&� ���������' ��������� ������ �� ���� �� ���9�&� ������ ������ G���������� �(�������� ��5 ������ � ���������&� %� ����&� ��� %����� %������ �7���� �� ������� *� ���� %������5 �����' ������ � %���%�� ���������������(��,�' �������� .�����' ��������0 � ��� ���� ���� �9� � ��� &���7&���(��� ������� 1���&' ������ � � �������� ����' ��������&� ������� � �� ��� ��(�� �������' ���� � ��� ��������� �� ������' ���� ������ ��� �� ��9� � %������ %���,� +�� �� � ��� ������,� &���&���(��5������ ����� ��� ����� �������/��� �� ���� � ����' � ������� �� �������� � &�������� ������ �� ������ ����,�' &��� ��%����� ���� �����(������,� ��� +�� � ���&������' �������' �����&����� � ��� 2� %������ ���7����/���' �������/��� ���� �� �������(�� �� � &���&���(�� �������' ����%���& ���&���� ������� ��� ���&����� ���&�� 6���& ���&���� ������� ��%������ ��&� +����� ���� �� ��� ����� ������� &���&���(�� ����������� ����� %����� ���&���� ��������

8��� ��9�&� ���&���� ������� T ' +�� %�� ��& %������&��&�) 6��'�&�&� ��% �����5 �&���� .�������0 �� ������� T ' ��% S(T )� @� ��5 �&7���� %��� � � &��� � ��(� .����(�� ����� �&����0 ��� ��& ��������&�>� ��� ��%� ��(� ������&� ��(� ����Æ���� ������ ���� ���&� ���&���� E��7&��� (��� ����� �9�� ��� �� ���&���� �������- ��% ���&��� ������� T ' ��%F(T )� 1���& �� ��%� �5 ���&��� ������&� ����� ,��� %����% (��� ���7&���� ���&� ����&� ���&���� ������� T ' ��% A(T )' � �� �� ��� � ���� *������' ��� (����� ���' �&�&� ����(�� ���� %����� ���Æ�,� ������� T %�&� �����5 �� ����&� � �� � ��������5 ��Æ�,� �����&� .��������&�0 ��� ��7Æ�,�� 2� %����� ���Æ�,� (��� ��% R(T )� ���� %����� ���Æ�,� �� ���������/��� �� ��%� ���&��� ���� � �& ���&����& �������&�� *��&�' ��� �� ρ����� %����� ���Æ�,� ��9��� n+1' ���� &� ���� ���� ���&��� A1, ..., An, B%����� �������� %���%�� �� ����(��,� �� �� � ����& ���&��� A1'���'An'B � ����/��� ρ ��� ���� <�� � ����& ���&��� A1, ..., An, B � ����/��� ρ'���� %�+�&�

A1, ..., An

� ��9�&� �� � ���&��� A1, ..., An %��&�� .��� ���,� ���&���0' � ���&���B �����(�� .��� ��,� ���&���0 ��� %����� ���Æ�,� ρ�

6�� ������/��� ���&���� �������' ����&� ����� %��&���

������ � 6������&� ����� ���&���� �������' ������� T1����% �����5 �&���� �� S(T1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}����% ���&��� F(T1) (��� � &��� � ��(� ��� ��%�& �&����S(T1)� 6��&��� ��(� �- �' ���' ��' �"��' ��"���'���3�(� 1' 2' 3' 4 � 5 � ����&� �� �������' %� �� ��% ����&� A(T1)��% {1, 2, 3, 4, 5}�

Page 115: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� -=� �3 =% *%>��;9� =3%>���. ���

*� �����' ���&���� ������� T1 �&� �&� ����� %����� ����,�-a b

a0bR0� 6����� R0 �� �� ���&��� a � b %��� ��� � ���� +��

�� %�� ���&��� ��������� �����' ������ � ��&�� ,�5 �&����� ������ ����� �' %����� R0 �� ����� ����/��� ��9��� " � ��%����� �� ������ ���&��� ��%� %����� ����,� R(T1)��� �� (����� ��%� ���&���� ������� T1 �� %��%��� ��������

< �� � ������/��� ���&���� ������� .���&����� ���&�0�

!�'������� '������� ������� �'�������) �������� TE��&���� ������� .���&���� ���&0 T �� ����� (������ ��������

(S(T ),F(T ),A(T ),R(T )), ��� ��-

� S(T ) ��% �����5 �&���� ��� �������A� F(T ) ��% ���&���' ���� �� %����% ��%� �5 ��(� ��� ����7����& S(T )' ��� ��%� �5 ����(��5 ����� �&���� �� S(T )A� A(T ) ��% ����&�A� R(T ) ��% %����� ����,��

���� ����&� ������/��� ������(������ ������������� ���&���� �������'������/��� ������ .����,�' �����/���0 � ����� ���&����� ������� T �

!�'������� ������ ������0�& ��������� '�������� ������� T� 4���� .����,�' �����/���0 � ���&����� ������� T �� ����� ����(7�� ���' �� (���& �����&� � ������ ����&�' � ��� �����,� �������� �� �%������ ����& %�����& ����,�' ���� +�� � � ���,�&(����&� ��� �����,� ������ %��&�� %�����' � � ,����& ��,�&(��� �� �����(�� ��� %������ <�� � � ������ ��� ����� ���������&��� F ' ���� �� �� ����� ���&��� F � .6��&���&� �� �� ���������&� ��� � �����& (���& .����� � ���0 � ��&� �� �&� ������&��0

� @�& ��� ��� ����� .���Æ�,�' �����/���0 � &�9� ��������� ���� ����(�� ��� ���&��� .n ≥ 10

F1' ���' Fn,��� �� ��� ���&��� Fi' 1 ≤ i ≤ n' �9�-��� Fi �� ����&���� Fi �� �����(�� ����� %����� ���Æ�,� ������� T ' � %��&����� %����� ���Æ�,� � ���� �� ���&��� �� ���� F1'���' Fn' ������&�,�� �� i�1� ����� F1, ..., Fn ��9�&� �� �� ����� ���&��� Fn�

<�� �&�&� ����� ����� ��� ��� ��� ���&��� F1' ���' Fn .n ≥ 10' ���� ��� �����&�9�&� %�������� ����(��& �����& � (���& ������ � ������ ���&��� Fn'� �� ,����& �����&� � � ����&� �� ���� F1, ..., Fn� ���� �����,� ���& ����� �� �%������ ����& %�����& ���Æ�,�' ���� +�� � � ��,�& (���

Page 116: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

������ �����(�� ��� %�����' ���� �� ���� ���&��� Fi �� ���� F1, ..., Fn' � ����,�& (����&� ��� �����,� � %��&�� ��� %�����' ���� � ���&��� ������ F1, ..., Fn � ������& &�,�& �� i�

������ � 6�������&� ��� � (���& (����&� � ���&��� ���7&���� ������� T1 �� ������� �-

403

34

5

5040301

150403

4� �� �� �� ��� ����� ����� � ������� T1) *� �����&� �������� � ����&� 4' 3' 5 � 1� >&�&� ��� �����,� � � ��� �%� ������& %����� ����,� ������� T1' %����� R0� *� %��&��'%�������&� �����,� � (���& ��,�& (��� �� ���&��� 50403� � ���7,�& (����&� ��� �����,� � ���&��� 5 � 403' � 50403 ���� ��7���(�� %����� R0 �� %��&�� 5 � 403� 4����' %�&������ ������� ����� ����� � ������� T1 � �� �� ����� ���&��� ���� �� � ,����&������' ���&��� 5040301� *� ������ ���&��� 5040301 %���9�&� ����� ������ &�9�&� ��%���� � �� ���� � ��(��-

5

4 3

403

50403 1

5040301

@�� ����� &�9�&� %�������� � ����(��& ����& ���&���- F1 = 4'F2 = 3' F3 = 403' F4 = 5' F5 = 50403' F6 = 1 � F7 = 5040301� E��7&��� F1' F2' F4 � F6 � ����&� ������� T1A F3 �� �����(�� %�����R0' ��� � %��&�� ��� %����� ���&��� F1 � F2A F5 �� �����(��%����� R0' ��� � %��&�� ��� %����� ���&��� F3 � F4A � F7 �������(�� %����� R0' � %��&�� ��� %����� � ���&��� F5 � F6�

6�+�� &� � �%������ � %��&�& ������' &�9�&� ���� ������/��� �����&����&���� ������� T �

!�'������� ������� '������� ������� T����&����� ������� T ���&��� F �� �����&� ���� %����� ��� ���������� ���&��� F � ������� T � 4� �� ���&��� F �����&� ������� T����(��&� � �T F .��� � F ��� ���&� � ����� ���&����� ��������� ��(0' � �� ��� ����� ���&��� F ��9�&� �� �� ����� ����� �����&�F � ������� T �

4���� ���&��� F �� ��%� 5�%����� Φ � ���&����� ������� T �� ����� ����7(�� ��� � (���& ������ �� ���&��� F ' � �� �& ,����& �����&� ������

Page 117: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

� ��� ����&� ��� ���&��� ��%� Φ� ���� �����,� ��� ����� �� �%����������& %�����& ���Æ�,� �� �������' ���� +�� � � ��,�& (��� ��� �����,������� �����(�� %�����' � � ,����& ���,�& (����&� � %��&�� ��� %��7���� 4����(��� ��(���' %����� ��� ���&��� ���� � ��� ����&� ��� ���&�����%� Φ ��� �����(/� %����� ���Æ�,� (��� %��&�� � ���� � ����������&��� ��� ����' � %����,� ���&��� �� ���&��� F � E��&��� ��%� Φ ���&�5�%�����&� ��� ������� 4� %����� ����� ���&��� F �� ��%� 5�%����� Φ ����&����� ������� T ����(��&� � Φ �T F .��� Φ � F 0 � ��9�&� �� �����&��� F %�����/� ��%� ���&��� Φ�

� ����� ��� ������ ������,� � ���&����& �������&� %������&� ��� �9�� ���� ���&����5 �������- ����(��� � ��%������(���� <��%����� �������� %���%�� .%��/�����0 %�&� � ����� �� ��� ���&��� ����%� ���&��� ������� T ' ��%� F(T )' &�9�&� ������� �� �� �� �����&�������� T ��� ����' ���� �� ������� T ��9�&� �� �� ����(��� E��&���� �������T �� ��%������(�� ��� %����� ��� ����� ���&��� �� ������� ���� ���� �����&��� %������&' ������� T �� %������(���

%�������- >�����&� �� � � �������,� ���� ���&���� ������� %������� ����� �����&�� 6����� �����&� ���� � ��� ���&���� ������� ������� �� ,���5����&� �� %�&� ,���5 %����� ����,� � %����� �����&� �� &���������'&��������&�' � ����&� � ����� � ����&� %�&������ ���&���� ��������

&"$ � ��!�� ������ ��� ������� ������

� ����/�&� ���' ��� � ��� ���(���� &� ������ ������ ��� ����� /����� ������������ ,��� ������ � ,��� �&������� � ��& ���(��,�&� &� �������������� ��� ���� ���� ��& ���� �&���� � ���� ��& �&��� �� �� %��/����.�� ��5 �&����0 ���&���&� ������ ���&���� � ������ ����� �� %�� �����&������ ��� &� � ����� ���(�,�&� ������5 ���&��� .��� ������� �����9��0� � ��& ������ �&� ������ ������ %�������� ��� ����� ���&������������ 6�&������ ������ ������ ��� ���&���� ������� ���(� �� ��9�+���������� ,��� ������� O�������� &��� �����&��� �����&� �� ������� ���� ��������� ���&����� �����(��,� .������0 �� %�����5 ���&��� .����&�0 ������ ����5 %����� ����,�� � ��& %��/��&� %����,� �����&� ������������ �� �&� � ����� �������+ � ��5 ���&���� >%��' �� ����� ������ �&� %������ �����&� ������ ������' ��� ���&��� ���� � %������ %���������,� �� ����&�' � �����������' ��� ���&��� ������ ������ ���� � ����������� 6����� �&� �� � ��% �����&� ������ ������ � ��% ������������������ ��%���

<�� %�� ���� &���&� %�������� ������ ������ ��� ���&���� �������� �� �&� ������� �� �� ��(���� *��&�' %������ �&� ���&���� ���&%������� �����/���' ���&���� ���& N ' � 5��������� ���&���� ���&'���&���� ���& L�

Page 118: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

%���� -����� ����Æ(� �����"� ""����

��9� � �� � �� � ������ � %�������� �����/��� ������9� ���������& 5�7��,� ������ � �������,�� � %�������� �����/��� ����� �� � ������ ������� (���& �����&� � 5�%����� .%���%�����0 �� ����5 %�����&�' � ���,���� �����,� �� %� ����& %����� ����,�' ���� +�� � � ,����& ���7,�& (����&� %��&��' � � ��,�& (��� �� �����(�� ��� %������ 2� ���� ����� � ����,�& ���&��� ���� �� � ,����& ������� F�9�� ���������7���� %������� �����/��� �� �� � %���%�� ����,� ���� 5�%����� &��� ������������ .��9�&� %��/�����0� 8��� ����&� %�������� %����� ����,��� �&� ������� ��������' � ��� ����&� �&� ��/� ��� %���%��� *��&�' &�%�����&� �� ����5 5�%�����' %��&�,���&� ���� %����� ����,�' ������&�,��� �����(��' �%�� %��&�,���&� ���� %����� ����,� � ���� �����&� ���������,�� � %�������� �����/��� %����� %����� ����,� ����' �� �� � ����&����,� ���� %��&�,���' ������ ���� �� 5�%����� ��� ����,�� 8��� ����� %����� %��&��� � ����� ,��� �����(��' 5�%����� ���� � �����+7 ��� %��/����� �� <�� �&�&� ����� ����,� ���� ���&��� F ' ���� ��9�&� ���� ���&��� F ������� �� 5�%����� ���� � �� �����&� ��� ����,� � %��%����,� ��� ����,� ��� %��/�����' ��� �� ��%��/�����5 5�%������

>�����&� ��� ����� �������(�� ������������� %����� ���Æ�,� %�����7�� �����/���� �%��+ ��� ��(���' %����� ���Æ�,� %������� �����/��� %�����7�� ��& ���� � �� %����� �5 ������ �� %�&� ����(��5 ������ %��� ��������� F����/� ∧' ∨' ⇒' ⇔ � ¬ ���� � ��� ����& � ���&���&� A ∧B' A ∨B'A ⇒ B' A ⇔ B � ¬A � ����� ����/� ��5 ���&���� 1� ��� ����(������� %����� �� %����� ���Æ�,� %������� �����/���- %����� ��Æ�,� �%����� ���&���/���� � �& %�����&� ��Æ�,� �����' �� ���� � %����������' ���� ����� ����� �����(�� ��� %����� ��Æ�,�' ��(���� �����(���� ��%����� %�&� � ��� ������ � %��&�� %������ *� %��&��' %����� ��7Æ�,� ������ ∧ ��9� �� ��� %����� ���� ����� D1 �� ���&��� A � ���� �����D2 �� ���&��� B' ���� %����� ����� .��(�,�� �� D1 � D20 �� ���&��� A∧B-

D1

A

D2

B

A ∧ B

� ��& %����� ����� ∧ � ���� � �����(�� %�����' � ���&��� A ∧ B' ��������(�� �� ��%����� %�&� � ������ ∧ � %��&�� ��� %����� .���&��� A �B0� $�� � ��(� ����� %����� ���&���/���' ����� �� ���� � %����� ������� ����� ����� � ������ �� ,����5 %��&��' � �����(�� �� ���� %�����&����� %��&�� ��� ���� ����� ���&���� 8�� %��&�� ������ %����� ���&���/���������' ���+ �&� %����� ���&���/��� ������ ⇒� >�%���/��� �� �� %��7��� �� ����������� modus ponens- ��� %����� ���� ����� D1 �� ���&��� A ⇒ B� %����� ���� ����� D2 �� ���&��� A' ���� %����� ����� .��(�,�� �� D1 �D20 �� ���&��� B-

D1

A ⇒ B

D2

A

B

Page 119: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��"

� %����� ���&���/��� ������ ⇒' ��� ����� �� ����� ����� � %��&��'���&��� A ⇒ B' � �����(�� %����� �� %�����&��� �� ���&���' ���&��� B�

� �������& ������ �� �&� ������/��� ���&� %������� �����/��� � ����7��/��� ������ � ��& ���&�� ���� �&� �&� �����&���� %�������� %���������,� %������� �����/���� 6�� �����&� ����&���� %������

,���������� �������

<�� �� A ���&���' ���� ��A

����� �� A � ,���� ��%��/����� 5�%����� �� A�

< ��� %������&� %����� ����,� �� �������

�5 /��� ���Æ�" � � ����&�(� ����� ∧6�������&� %��&�� ������ ����� �(������� ������

������ � 4���9�&� �� �9�- 1 <√

2 < 2�1�%��& 1 <

√2 < 2 ���� � �� �����������- 1 <

√2 �

√2 < 2�

1��� &���&� �� ����9�&� �� �9� ��� ������������4���9�&� �� �� 1 <

√2� 1��&� �� �9� 1 < 2� 8����� ����/���

f(x) =√

x �� ���� � ����/���' %� �� ������ � � � ����� &�,�������'

√1' �� &�,� �� ������ � �� �����'

√2' ���

√1 <

√2�

���� ����9�&� �� ��√

2 < 2� >� 2 < 4' �%�� ������ � �� ������/��� f(x) =

√x ���� �' ������&�-

√2 <

√4' ���

√2 < 2�

3������� %���,� ������ 1 <√

2 � ������√

2 < 2 �� ����� ���7,�- 1 <

√2 �

√2 < 2�

@�&�5 ��/�&� �� �� ��& ������& �%���� %������������/���� %�������Æ�,� ������ ∧� <�� 1 <

√2 ����(�&� � A' �

√2 < 2 ����(�&� �

B ���� �� ������� �� ������� �- �������� A ∧ B� � ������ � &� ���������� ��+��� �� ���� � ��(��- ��%����� &� ����� �� A' ��%�����&� ����� �� B � �����(��� &� �� �� �� ������ %�����' ��� ����� ��A ∧ B�

������� ��Æ�0� ������� ∧<�� �

D1

A�

D2

B

������ ����& �� A � �� B' ���� ��D1

A

D2

B

A ∧ B(∧U)

����� �� A∧B � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�����5�%����� ������ D1 � D2�

Page 120: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

>��� ���&� �&� ����� %������������/���� %�����' &�9�&� %�����%������������/���� ������� *��+ �&� �� %������������/���� ������� ����&� �&� %�������� ���� ������������� ����5 �������

������ � *��� � � ����� D1 � ����� D2 �� ������/��� %���7�� (∧U) �&� ���&��� A' ���� %�����& (∧U) ������&� �����

A A

A ∧ A∧ U

�� ���&��� A ∧ A� E��&��� A ���� � %������� � ��& ������� 5�%����� ��� ������ � �� � �&� �� �� �� ����� �� ��%�5�%����� {A}� 6��&���&� ��' %�+�� �����&� � ��%� 5�%�����'�� �����&� ��%�� 5�%����� A' � �&� �����%���

>�����&� �� � %����,� ��9������ ������ &�9�&� �������� �������� ����� �+� %���� � %����,� ������ �� A∧A � ������ � �� %����� ����+ �� ����� ���� (��� �&� ���&��� A' � &���� �� ���� �������� %���� F� &� %�&����� �� %����� ���� %����� ���Æ�,� %������������/��� .�� %��&��' ��Æ�,�⇒' ���&���/��� ∨' ��Æ�,� ¬0 � ���� �&������&- ���� � � ������ %��&��� ����� �� ��5 %�����' ���� � ������ %����� �5 5�%����� ���+�' ��� %������& %��&��� ��� %����� ����5�%����� � ��& ������ ���� %��/������ 1��� � ���& ������ �������7��&� %��/����� � ��%��/����� 5�%����� ��� ������� *�%��/����� 5�%����������� �� ������� � �� ���&��� A� 6�������&� ��+ ����� %��&���

������ � *��� � ������ D1' D2 � D3 ����& ���&��� A' B �C' ���� %���&� �����-

A B

A ∧ B∧ U

C

(A ∧ B) ∧ C∧ U

*�%��/����� 5�%����� ������ D1' D2 � D3 � ����& A' B � C'%� �� {A,B,C} ��% ��%��/�����5 5�%����� ��� �������

6������&� ��� %����� ���&���/��� ������ ∧� 2� %����� � ������� ���� �& �%����& �����(��,�- ��� %����� ����� D �� ���&���A ∧ B' ���� �� &��� � �������� � �&� ���&��� A � �&� ���&��� B�

������� ����������� ������� ∧<�� ��

D

A ∧ B

����� �� A ∧ B' ���� �D

A ∧ B

A(∧E1)

D

A ∧ B

B(∧E2)

������ ����& �� A � �� B � ��%��/����� 5�%����� ��� �� ������� ��%��/����� 5�%����� ������ D�

Page 121: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

�5 /��� ���Æ�" � � ����&�(� ����� ⇒6������&� � %����� ��Æ�,� � ���&���/��� ������ ⇒� 2� %�����7��,� %�(��&� �����& %��&���&�

������ 4���9�&� �� �9� ������-�� �� x ������ �� �� ��� �� x2 + 2x ≥ −1�

6���%����&� �� �� x ������ ����� ����� �� � x+1 ������ �����1� ��� ������ ���� �9� �� �� ,��� ������ � � �� ���� ��������� ����� 1��� �� (x+1)2 ≥ 0' ��� x2+2x+1 ≥ 0� @����&�,�&������/� � ��� ����� ����������� ������&�- x2 + 2x ≥ −1�4����' �9� ��Æ�,�- �� �� x ������ �� �� ��� �� x2 +2x ≥ −1�6��&���&� �� ��� ����� &�9�&� %�&������ ��� ����� ���������� � ����� ���� � ������ ��+ �����' &�,� ������ ��,������ �&� 5�%����� x �� ������ �� � � �����(���- x2 + 2x ≥ −1�� �����& ������ ������ � ��� &�,� ����� � ������ �- �� �� x ������ �� �� ��� �� x2 + 2x ≥ −1' � x �� ������ �� � ����5�%����� ������ �������

<�� � ��& ��+�& %��&��� x �� ������ �� � ����(�&� � A' � x2 +2x ≥ −1� B' ���� &��� ����� �������� B �� 5�%����� A � �� � ������ � �����&������' ���� �� ����� �� A ⇒ B' � ���� ��&� 5�%����� A� @� �� �%�%����� ��Æ�,� ������ ⇒�

������� ��Æ�0� ������� ⇒<�� ��

D

B

����� �� B � A �� ���� ���&���' ���� ��

��AD

B

A ⇒ B(⇒ U)

����� �� A ⇒ B � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�7���� 5�%����� ������ D' ��& &�9�� A�

6�� ��/�&� �� � ������ D ���&��� B �� &��� �� %����� 5�%����� A�

@����� ��A ���(� �� �� 5�%����� A' ��� ��� %�����' �����+ ���' ��� %��7/�����' � ���&��� A ���� 5�%����� ������ ���&��� A⇒B� 6�����&� +��� �������� ������/��� ���(�- ��& &�9�� A� 6������& ����� %��&���%����� (⇒U) &�9�&� %��/����� ����� ��� �������� 5�%����� A' ���&�9�&� � �� �� %��/���&� ������� 5�%����� A � ��' ��� ������ �� �������� &� 5�%����� A %��/����� %�����& (⇒U)' �����(�&� ���&���A ⇒ B� ���� �&� ����� �������� ������ � ����&� � %������� %�����(⇒U)� � %��& ������ �&� %�������� ����� %��&��� %����� (⇒U)

Page 122: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � *%>��;93 =3%>��3

���� ��&� %��/����� 5�%����� � ����� %��&��� %����� (⇒U) ���� �&�%��/����� 5�%������ ;� ��� ������-

��B1

A ⇒ B⇒ U

B ⇒ (A ⇒ B)1 ⇒ U

3�/�&� �� � ������ %������� �����/��� ���& %�������& �����& n %����7

��&� � ���&���' ���� � %��/����� 5�%����� .��An0' � %�����& ρ (���&

%��&���& � �� 5�%����� %��/����� .nρ0� � ��+�& ������ %�� %�����(⇒ U) ��&� %��/�����5 5�%����� A � ,��� �����(�� �� A ⇒ B� 4����� ������ ���� � ���+�� ���&���& A ⇒ B �&� ����� ��%��/�����5�%����� B� 1���& � ��� ����� ������ �����& %�����& (⇒ U) �����&� ����� %��/����� 5�%�����' ���&��� B' � �� %����� �� � %��/�����&5�%�����& %������ �����& �� 4����' /�� ��+ ����� ��&� ��%��/�����55�%������ � �������& ������ %������ �&� ��+ ����� &��� ��� ����%��9� %����� (⇒U)� 6�&�����&� �����-

��A1

A ⇒ A⇒ U

A ⇒ (A ⇒ A)1 ⇒ U

6��&���& %��� %����� (⇒ U) ��&� %��/����� ������� 5�%����� A'&��� ���� 5�%����� %������ M� &� ��� %��/����� 5�%����� �����7���� � �����& %����� (⇒U)� 6��&���&� �� &� � ��& ������ &������ ����&� � ��&� �� �� %����� (⇒U) �&� ��������� ���&��� A��� 5�%�����' ��� ��� ����� %����� ���� ��&� %��/�����5 5�%�����' ���%����� � ���� � ����� ���&��� A ⇒ (A ⇒ A)-

��A1

A ⇒ A1 ⇒ U

A ⇒ (A ⇒ A)⇒ U

���� �� �� ���� %����� ���&���/��� ������ ⇒ ���� &� � %�&�,����

������� ����������� ������� ⇒<�� �

D1

A ⇒ B�

D2

A

������ ����& �� A ⇒ B � �� A' ���� ��D1

A ⇒ B

D2

A

B(⇒ E)

����� �� B � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�����5�%����� ������ D1 � D2�

;� ������ ������ %������� �����/��� � ��&� � ������ �&� %�������Æ�,� � ���&���/��� ������ ⇒-

Page 123: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��#

��A ⇒ (A ⇒ B)2

��A1

A ⇒ B⇒ E

��A1

B⇒ E

A ⇒ B

(A ⇒ (A ⇒ B)) ⇒ (A ⇒ B)2 ⇒ U

1 ⇒ U

@�� ����� ���&��� (A ⇒ (A ⇒ B)) ⇒ (A ⇒ B) ��&� ��%��/�����55�%������ 4� 5�%�����' �� ���&��� A' %��/����� � %��&���& %���%����� (⇒U) � ,�5 � ��& %�����& %������ ���� �� 4���� %�����(⇒U) �&� �&� ����� %��/����� 5�%�����' ���&��� A ⇒ (A ⇒ B)' � ��%����� �� � %��/�����& 5�%�����& %������ �����& ������' ����� � (����� %����� ���Æ�,�' &�9�&� %����� � ��9�����%������������/���� �������

������� � *�%���&� ����� ��� ��%��/�����5 5�%����� �����&��� (A ∧ B) ⇒ (B ∧ A)�

��A ∧ B1

B∧ E2

��A ∧ B1

A∧ E1

B ∧ A

(A ∧ B) ⇒ (B ∧ A)1 ⇒ U

∧ U

<������� ��& ������' &�9� � ��%����� ����� ��� ��%��/�7����5 5�%����� �� ���&��� (B ∧ A) ⇒ (A ∧ B)�

������� � *�%���&� ����� ��� ��%��/�����5 5�%����� �����&��� (A ∧ (B ∧ C)) ⇒ ((A ∧ B) ∧ C)�

��A ∧ (B ∧ C)1

A∧ E1

��A ∧ (B ∧ C)1

B ∧ C∧ E2

B∧ E1

A ∧ B∧ U

��A ∧ (B ∧ C)1

B ∧ C∧ E2

C∧ E2

(A ∧ B) ∧ C

(A ∧ (B ∧ C)) ⇒ ((A ∧ B) ∧ C)1 ⇒ U

∧ U

<������� ��& ������' &�9� � ��%����� ����� ��� ��%��/�7����5 5�%����� �� ���&��� ((A ∧ B) ∧ C) ⇒ (A ∧ (B ∧ C))�

)5 /��� ���Æ�" � � ����&�(� ����� ∨6�� �&� %�������� %����� ��Æ�,� ������ ∨� <�� %����� ����� ��A' ���� ������ %����� ����� �� A∨B' � ��� ����' ��� %����� ����� ��B' ���� %����� ����� �� A∨B� 2� ���Æ��,� %��������� �� %�����&��Æ�,� ������ ∨�

Page 124: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��! ���� � *%>��;93 =3%>��3

������� ��Æ�0� ������� ∨<�� �

D1

A

D2

B

������ ����& �� A � �� B' ���� �

D1

AA ∨ B

(∨U1)

D2

BA ∨ B

(∨U2)

�� ������ �� A∨B � ��%��/����� 5�%����� ��5 ������ � ����&��%��/����� 5�%����� ������ D1 � D2�

6����� ���&���/��� ∨ �&� �������� ������& � ���� �& %��&����

������ � 4���9�&� �� �9� ������-

�� ���� ������ �� � x �������� � ���� ����8x2−2|x|+1

|x| ≥ 0�

6���%����&� �� �� x ������ ���� �����(�� �� ����� 2� ���(��� �� ������ ���� x �9�- x > 0 ��� x < 0 .� ���� �9���� x > 0 ��� x < 0 ��� �� %��/����� ��& �� ��� %��&������ ������0� 1��� �&� � ������ �� ������ %�&������ ����(���' ���� �� x > 0 � ���� �� x < 0�6�� ��(��- %���%����&� �� �� x > 0� 2��� �� |x| = x' %��&�&� x2 − 2|x| + 1 = x2 − 2 · x + 1 = (x − 1)2 ≥ 0� 4����' ��

x2 − 2|x| + 1 ≥ 0 � |x| > 0 ������&�- x2−2|x|+1|x| ≥ 0�

4���� ��(��- %���%����&� �� �� x < 0� 2��� �� |x| = −x' %��&�&� x2 − 2|x| + 1 = x2 − 2 · (−x) + 1 = (x + 1)2 ≥ 0� 4����' ��

|x| > 0 � x2 − 2|x| + 1 ≥ 0 ������&�- x2−2|x|+1|x| ≥ 0�

6�+�� � ��� ��(��� �9� x2−2|x|+1|x| ≥ 0' �����(���&� �� ��

������ �9� �� ��� ������ ���� x �����(�� �� �����

*�(�� ���&�+��,� ���� �� ����+ �� � ������ �� ������� � �� � ��5�%����� ���&���/��� ������ ∨� *��&�' ��� �&�&� ����� �� ���&���A∨B � ��� %����� �� ������' ���� �� � &�9�� &�Æ� 5�%�����&� �������� ,�5 ������ ���&��� A' � &�Æ� 5�%�����&� ������ ������ ���&���B � ��� �&��� ��� �����(�� C' ���� %����� � �� ��� ������ &�9�&������(��� C� ;� %����� ���&���/��� ������ ∨�

������� ����������� ������� ∨<�� �

D1

A ∨ B

D2

C�

D3

C

������ ����& �� A ∨ B � �� ������ �� C' ���� ��

Page 125: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

D1

A ∨ B

��AD2

C

��BD3

C

C(∨E)

����� ����� �� C � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ �- ��%��/�7���� 5�%����� ������ D1' ��%��/����� 5�%����� ������ D2' ��&&�9�� A' � ��%��/����� 5�%����� ������ D3' ��& &�9�� B�

6��&���& ��� %����� .��� � %����� ��Æ�,� ������ ⇒0 &�9�&� %��7/����� ���� 5�%������ *��&�' ��� ������ D2 � D3 �&��� ����& 5�%�����A � B' ���� �� 5�%����� &��� ���� %��/����� %��&���& %����� (∨E)�>�����&� �� �����& %��&���& ��� %����� &�9�&� %��/����� �������'����� ��� �������� 5�%����� A � B����� ���&� %����� ���Æ�,� %������� �����/��� �� ������ ∧' ⇒ � ∨' %������&� ����� %������������/���� ����� � ��&� � ������ �� %������

������� � *�%���&� ����� ��� ��%��/�����5 5�%����� �����&��� ((A ∨ B) ∨ C) ⇒ (A ∨ (B ∨ C))�

��(A ∨ B) ∨ C3

��A ∨ B2

��A1

A ∨ (B ∨ C)∨ U1

��B1

B ∨ C∨ U1

A ∨ (B ∨ C)∨ U2

A ∨ (B ∨ C)1∨E

��C2

B ∨ C∨ U2

A ∨ (B ∨ C)∨ U2

A ∨ (B ∨ C)

((A ∨ B) ∨ C) ⇒ (A ∨ (B ∨ C))3 ⇒ U

2∨E

<������� ��& ������' &�9� � ��%����� ����� ��� ��%��/�7����5 5�%����� �� ���&��� (A ∨ (B ∨ C)) ⇒ ((A ∨ B) ∨ C)�

�5 /��� � � ����&�(� ����� ⊥>� ��+� ���� ������ ������ ������ {∧,∨,⇒,⊥} ����� ��& ��+ �� %���7���&� %����� ���Æ�,� �� ����� ⊥� 1� ��� ����� %����� �&� �����%����� ���Æ�,�' %����� ���&���/��� ������ ⊥�

������� ����������� ������� ⊥

<�� �� D

⊥����� �� ⊥' ���� ��

D

⊥A

(⊥E)

����� �� A' ��� �� A %�������� ���&����

4����' ��& %�����& �� ⊥ �����(���&� %�������� ���&��� A�

Page 126: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

�5 /��� ���Æ�" � � ����&�(� ����� ⇔@�& �� ������ ���� {∧,∨,⇒,⊥} � %�������� �����/��� %����� %�������Æ�,� � ���&���/��� �� ����� ����(�� ������� ����&� � ������/����� �� A ⇔ B ��&��� �� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)� 1��� � %����� ��Æ�,� ����&���/��� �� ⇔ ���� ����& ��Æ�,� � ���&���/��� �� ∧ ���� �� A ��+A ⇒ B' � B ��+ B ⇒ A� 6�������&� ���� � ��������� %��&���

������ 4�������- x = 2 ��� � �&� ��� x − 2 = 0�4���� � ����� �� �� �����4���� ��� �� ����- ��� �� x = 2' ���� �� x− 2 = 2− 2 = 0' ����9� x − 2 = 0�4���� ���� �� ���- ��� �� x − 2 = 0' ����' �����,�& 2 ���� ����� ���������' ������&�- x − 2 + 2 = 0 + 2' ��� x = 2�

6����� ��Æ�,� ������ ⇔ �� %��������� ������& � ������ �

������� ��Æ�0� ������� ⇔<�� �

D1

A ⇒ B�

D2

B ⇒ A

������ ����& �� A ⇒ B � �� B ⇒ A' ���� ��

D1

A ⇒ B

D2

B ⇒ A

A ⇔ B(⇔ U)

����� �� A ⇔ B � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�7���� 5�%����� ������ D1 � D2�

< �� � %����� ���&���/��� ������ ⇔�

������� ����������� ������� ⇔<�� ��

D

A ⇔ B

����� �� A ⇔ B' ���� �

D

A ⇔ B

A ⇒ B(⇔ E1)

D

A ⇔ B

B ⇒ A(⇔ E2)

������ ����& �� A ⇒ B � �� B ⇒ A � ��%��/����� 5�%����� ��5������ � ��%��/����� 5�%����� ������ D�

8����� � ������ �� �������� �4� � %����� ��Æ�,� ������ ⇔' ��%��7� �&� ����� ��� ��%��/�����5 5�%����� �� ���&���-

(A ∧ B) ⇔ (B ∧ A)((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C))�

Page 127: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

������� 4���� �� (A ∧ B) ⇒ (B ∧ A) �� ������� � ����(�&�� D1 � ����� �� (B ∧ A) ⇒ (A ∧ B) .�� ���� &� ����� �� ���������� ������ D10 ����(�&� � D2� 8����� � ������ D1 � D2

� %����� (⇔ U)' ������&� ���� � %������������/���� �����-D1

(A ∧ B) ⇒ (B ∧ A)

D2

(B ∧ A) ⇒ (A ∧ B)

(A ∧ B) ⇔ (B ∧ A)⇔ U

8��� ������ D1 � D2 ��&��� ��%��/�����5 5�%�����' �� � �������� ��&� ��%��/�����5 5�%������

4���� �� (A∧ (B∧C)) ⇒ ((A∧B)∧C) �� ������� � ����(�&� �D3 � ����� �� ((A∧B)∧C) ⇒ (A∧(B∧C)) .�� ���� &� ����� ���� �������� ������ D30 ����(�&� � D4� 8����� � ������ D3 �D4 � %����� (⇔ U)' ������&� %������������/���� �����-

D4

((A ∧ B) ∧ C) ⇒ (A ∧ (B ∧ C))

D3

(A ∧ (B ∧ C)) ⇒ ((A ∧ B) ∧ C)

((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))⇔ U

8��� ������ D3 � D4 ��&��� ��%��/�����5 5�%�����' �� � �������� ��&� ��%��/�����5 5�%������

*� %��%��� ��� ��(��' ������ � ������ �� ������� � � %�������Æ�,� ������ ⇔' %��� � ����� ��� ��%��/�����5 5�%������� ���&��� ((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C))�

:5 /��� ���Æ�" � � ����&�(� ����� ¬6���&� � ���� &�9�&� �������� ����/��� � %��/��&� �����(��,�)����&� � �� &� ����/��� ��������� %�&� � ������ ⇒ � ⊥ �� ���� ���(��- ¬A �� ��&��� �� A ⇒ ⊥� �������� ��(���' ���� 5� �&� �� ��9�&��� ��+�� ���� ��(�� .�� ���� A0 ��9�&� �� ��� �� �9�' ���� ���� �����%+��%������ ������� .�� �� A' ��� ⊥0� ;� %��&���- �%+��%�������� �� �� 0 = 1 �������� 1��� �� ��(���/�&- �� ��

√2 ��� ��� �� �� ���

�� 0 = 1 �� �����(��� ��(�� ��%+���� ������-√

2 ���� ��� ��� �� ��@�� ��(�� �����(��,� �� %�������� � %����� ��Æ�,� ¬�

������� ��Æ�0� ������� ¬<�� ��

D

⊥����� �� ⊥ � A �� ���� ���&���' ���� ��

��AD

⊥¬A

(¬U)

����� �� ¬A � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�����5�%����� ������ D' ��& &�9�� A�

Page 128: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

> �� �� %����� �9� �� ����� D �� &��� �� �&� 5�%����� A � �� �����&%��&���& ��� %����� &�9�&� %��/����� �������' ����� ��� ��������5�%����� A� 3�/�&� �� � �� %�����' %����� ��Æ�,� ������ ¬' ������ %����� �Æ�,� �� %������(��� .reductio ad absurdum0� 6��&���&��� ��� � %����� ��Æ�,� ������ ¬ ���&��� ¬A ��&���&� � A ⇒ ⊥'���� ������&� %����� ��Æ�,� ⇒ ���� �� ���&��� B ��+ ⊥-

��AD

⊥A ⇒ ⊥ ⇒ U

>�� ����' %����� ���&���/��� ������ ¬ � ���� � ���� %��������&���/��� ������ ⇒ ���� �� ���&��� B ��+ ⊥-

D1

A ⇒ ⊥D2

A

⊥ ⇒ E

;� %����� ���&���/��� ������ ¬�

������� ����������� ������� ¬<�� �

D1

A

D2

¬A

����� ����& �� A � �� ¬A' ���� ��

D1

A

D2

¬A

⊥ (¬E)

����� �� ⊥ � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�����5�%����� ������ D1 � D2�

���� &� ��������� %����� %������� �����/��� �� � ������' %���%���&� ��+ ���� %������������/���� ������

������� � *�%���&� ����� ��� ��%��/�����5 5�%����� �� ���7�������� (¬(A ∨ B)) ⇔ (¬A ∧ ¬B) .4� ������� �����0� 6����%���&� ����� �� ���&��� (¬(A ∨ B)) ⇒ (¬A ∧ ¬B)-

��A1

A ∨ B∨ U1 ��¬(A ∨ B)

3

¬A1¬U

¬E

��B2

A ∨ B∨ U2 ��¬(A ∨ B)

3

¬B2¬U

¬E

¬A ∧ ¬B

(¬(A ∨ B)) ⇒ (¬A ∧ ¬B)3 ⇒ U

∧ U

Page 129: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��"

;� ��� ������ �� ���&��� (¬A ∧ ¬B) ⇒ (¬(A ∨ B))-

��A ∨ B2

��A1 ��¬A ∧ ¬B

3

¬A∧ E1

⊥¬E

��B1 ��¬A ∧ ¬B

3

¬B∧ E2

⊥¬E

⊥1 ∨ E

¬(A ∨ B)

(¬A ∧ ¬B) ⇒ (¬(A ∨ B))3 ⇒ U

2¬U

<�� ����� �� ���&��� (¬(A∨B)) ⇒ (¬A∧¬B) ����(�&� � D1'� ����� �� ���&��� (¬A ∧ ¬B) ⇒ (¬(A ∨ B)) ����(�&� � D2'���� ������&� ���� � %������������/���� �����-

D1

(¬(A ∨ B)) ⇒ (¬A ∧ ¬B)

D2

(¬A ∧ ¬B) ⇒ (¬(A ∨ B))

(¬(A ∨ B)) ⇔ (¬A ∧ ¬B)⇔ U

���� �� ����� �� ���&��� (¬(A ∨ B)) ⇔ (¬A ∧ ¬B) ��� ��%��/�7����5 5�%������

<������� ��& ������' &�9� � ��%����� ����� ��� ��%��/�7����5 5�%����� �� ����������� (¬(A ∧ B)) ⇔ (¬A ∨ ¬B)�

,5 /������ 0��� �

E��&���� ���& %������� �����/��� ���� %������� ������ ������'��& %����� ���,� � ���&���/��� �� ����(�� ������' �&� ��+ �����%����� ����,�' 6���� %������

������� �������

<�� ��A ⇒ B

D

A

����� �� A' ���� ��

��A ⇒ B

D

A

A(Pers)

����� �� A � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�����5�%����� ������ D ��& ���&��� A ⇒ B�

>�����&� �� �� 6���� %����� �9� �� 5�%����� A ⇒ B �� &�����%�������� � ��& ��(����&� 6���� %����� �� ���������' ��� ��

������D

A �����(���&� �%�� A�

4����' %�������� &� � %����� ����,� ���&� %������� �����7/��� �� ������ ������� *� ����� %������&� ��+ ����� %����� ���� ��'������� ��(���' ��� ��(��� ��� 6���� %�����' %����� ����� ��,�

Page 130: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

�� %������(���� *��&�' �9� �� ��� ��%� ���� (��� %����� ����7,� �� ����(�� ������ ����&� ���� ���� �� �� �� %����� ���� �&� ������&���� ���&' ���&���� ���& ������ �������

������� ����) ����0� �� ��������+���� ����� reductio ad absurdum�

<�� ��¬A

D

⊥����� �� ⊥' ���� ��

��¬A

D

⊥A

(RAA)

����� �� A � ��%��/����� 5�%����� ��� ������ � ��%��/�����5�%����� ������ D ��& ���&��� ¬A�

> �� �� %����� �9� �� 5�%����� ¬A �� &����� �� %������ � ��&��(����&� %����� ����� �Æ�,� �� %������(��� �� %����� (⊥E)� <��� %���9�&� �� � 6���� %����� � %����� RAA ��� ��(���' �������(��� ��(���' �� � &�Æ����� �����������

������� 6���� %����� � RAA � &������ ����������%������

>&�&� �����

A ⇒ B

D

A� 6��&���& 6����� %����� �� %����,�

���&��� ��� ������' ���&��� A' ������ ��&� ��� �����(�����&��� A � ���&��� A ⇒ B �� ���� %��/����� 5�%������ ���&�&� �� ��%�����,� %����� ���Æ�,� �� � ������ � %��7��� RAA � &���&� �� ��%���&� ����� � ���& �����(��& �� ���& ��%�& ��%��/�����5 5�%����� ��� �� &� �� ����� D%��&����� 6���� %������ ;� ��� ������-

��A1

��¬A2

⊥ ¬E

B⊥E

A ⇒ B1 ⇒ U

D

A ��¬A2

⊥ ¬E

A2RAA

4����' ��� ����� �� ��&��� �� 6���� %������ 8�9�&� �� &�6���� %����� ����� �� %����� RAA ���� +�� � �����%����� ����,� ����� ��' ,�5 ��� �&�&� �� ��%�����,��@���� �� %����� RAA �����&� �� 6����� %������ >&�&�

Page 131: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

�����

¬A

D

⊥ � 6��&���& %����� RAA �� %����,� ���&��� ���������' ���&��� ⊥' ������ ��&� ���&��� A � ���&��� ¬A�� ���� %��/����� 5�%������ �� ���&��� ¬A ��&�,���&� �A ⇒ ⊥' �&�&� �� ��%�����,� ��� �����' � %����� ���Æ�,��� ����(�� ������ � 6���� %����� � %���&� ����� � ���&�����(��& � � ���& ��%�& ��%��/�����5 5�%����� ��� �� &��� ����� D %��&����� %����� RAA-

��A ⇒ ⊥1

D

⊥A

⊥E

A1Pers

*� ��� ��(�� &� %������� �� � %����� RAA &�9� ����� ��6����� %������

4����' �� ������� ���� �� � 6���� %����� � %����� ����� �Æ�,��� %������(��� &�Æ����� ���������� %�����' ��� ��� ��%� ����(��� %����� ���Æ�,� �� � ����(�� ������ ����&� ���� ���� �� ���� %����� ������&� ��� ���&���� ���& .���&���� ���& ������������0�*� ����� ��� ������ %������&� ����� �� ���&��� A ∨ ¬A � ��&� ������� %����� ����� �Æ�,� �� %������(���� G��� ��' �� ����������� ' �� � &�9� ��%����� ����� �� �� ���&��� � ��&� � ������6���� %������

������� " 1� ���&��� A∨¬A %����� ����� ��� ��%��/�����55�%������;� ������ ����� ������-

��¬A1

A ∨ ¬A∨ U2

��¬(A ∨ ¬A)2

⊥¬E

A

A ∨ ¬A∨ U1

1RAA

��¬(A ∨ ¬A)2

⊥A ∨ ¬A

2RAA

¬E

%���� -����"�� ""���� �. ����� N���� �&� ��������� ����� ���&���� ���& %������� �����/���' ���&�������& N � 8�� � ��� ���&���� ���& � ���& N %��%��� �� ������ ���� (����� ����- ��%�& �����5 �&���� S(N )' ��%�& ������5 ���&���F(N )' ��%�& ����&� A(N ) � ��%�& %����� ����,�R(N )� ���% �����5

Page 132: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � *%>��;93 =3%>��3

�&���� ���&� N ' ��% S(N )' ���� ������� ������ ������ �������� ������� ����� � ������& %�&� ��& �&����& ��

6�� �������* ���(��� ������� N & ��� S(N )

���% �����5 �&���� ���&� N ' ��% S(N )' ����� � �� ���� ���� ��%�-� %��������� ��%� �����5 ���' ��%� P' (��� ���&���� � p0' q0'r0' p1' q1' r1'���' pn' qn' rn'���A� ��%� ����(��5 ������ {∧,∨,⇒,⊥}' ��� � ∧,∨ � ⇒ �����������/�' � ⊥ ������� �����A� ��%� %�&� ��5 �&���� {(, ),�}�

>����� ���&��� ���&� N � ������ ���&��� ��������� � ������ �����'��� �%�� %����&� ,�5�� ������/����

!�'������� ������� '����� ������� N.�0 >����� ��� � ����� ⊥ � ������ ���&��� ���&� N �.�0 <�� � A � B ������ ���&��� ���&� N ' ���� � � (A ∧ B)'(A ∨ B) � (A ⇒ B) ������ ���&��� ��� ���&��

F����/� ⇔' ¬ � � � ��������� ��� � ������ ������> � ���&�N %�+����&� ������ �� %�� %��,� ������5 ���&��� �����7

��&� ��& %���+,� ��������

6�� '����� ������� N & ��� F(N )

���% ���&��� ���&� N ' ��% F(N )' (��� ������ ���&��� ������&� N �

8���(�� ��%�� ������5 ���&��� ����(�� �&� � Γ' Δ' Λ'���' Γ1' Δ1'Λ1'���' Γ′' Δ′' Λ′'��� 1� �������,� ��%� ����&� � ��%� %����� ���Æ�,����&� N ' ��%�� A(N ) � R(N )' ������ �&� ������' ���� %���&� �� ���7&����� ��%� �&���� S(N )� ������ �� ����� ���� �� ������- Γ � A' ��� �� Γ����(�� ��% ���&��� ���� &�9� ���� � %����� ��%� 1� ����(�� ��% Γ' ��%��&�� Γ = {B,C,D}' %�� �&� B,C,D � A' � ��� �� Γ %����� ��%' ���� �&���������� ∅ � %�� �&� �&� � A�

F�9�� �� �� � �� ��% ����&� ���&� N �� � (����� ���� ���&���' ���� � %����� ����,� ���� ����/��� ��&�� ���&���� � ���&� N �' �� ������9�&�' � ������ ����� ���� ������� ;� ��� �� ���� ���&����� ���&�N ' ��%� ����&��

6�� ������� ������� N & ��� A(N )

<���&� ���&�N � ������ %������ ������� 2�(����' ����&��7�� ����� ���&� N �� ������

A � A' ��� �� A %�������� ���&����

Page 133: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��#

<���&���� ����� ������� ����&����& %����� ���� &� %��������� �����&����& �%�� %������� �����/���� >�����&� �� &� ������/���&����&����� ������ A � A � ���� ���� ����� 5�&� �� %����,� ����&��7��5 �������' ���� +�� �� &��� A &�9� ���� %�������� ���&���� *�%��&��' ������ C�C' A ⇒ C�A ⇒ C' C∨(A∧D) � C∨(A∧D) � B∧D � B∧D� ����&���� �������

L����� ��� ���&����� ���&� N �� ��% %����� ����,� ��� ���&��2� %����� &� � %�������� � �����&����& �%�� %������� �����/��� ���%����� ���,� � ���&���/��� ����(��5 �������

6�� ������� �����0� ������� N & ��� R(N )

6����� ���Æ�,� � ���&� N � ���� ����/��� ��&�Æ� �����������% %����� ���Æ�,� ���&�N ' ��%R(N )' (��� %����� ���&�7��/��� � %����� ��Æ�,� �� ��� �� �������5 ������ ∧' ⇒ �∨A %����� ���&���/��� �� ������� ����� ⊥A � 6���� %������4����' ��% R(N ) (��� ���� � %����� ���Æ�,�-

%����� ���&���/��� %����� ���,�

(∧�1)Γ � A ∧ B

Γ � A(∧�2)

Γ � A ∧ B

Γ � B(∧U)

Γ � A Δ � B

Γ ∪ Δ � A ∧ B

(⇒�)Γ � A ⇒ B Δ � A

Γ ∪ Δ � B(⇒U)

Γ1 � B

Γ � A ⇒ B

(∨�)Γ � A ∨ B Δ1 � C Θ1 � C

Γ ∪ Δ ∪ Θ � C(∨U1)

Γ � A

Γ � A ∨ B(∨U2)

Γ � B

Γ � A ∨ B

(⊥E)Γ � ⊥Γ � A

6���� %�����

(Pers)Γ ∪ {A ⇒ B} � A

Γ � A� %����� (⇒U ) ��% Γ &�9� ���� ��% Γ1 ��� ��% Γ1 \ {A}� �%����� (∨A ) ��% Δ &�9� ���� ��% Δ1 ��� ��% Δ1 \ {A}' � ��%Θ &�9� ���� ��% Θ1 ��� ��% Θ1 \ {B}�

8�� � ����&���� ������ � %����� ����,� &����&� 5�&�&��

%������� 6��&���&� �� � ���&� N ��&�&� %����� ���Æ�,� �� ������⇔� ¬' ��� �� ���� ��� ��&�Æ� ������' �� %����� &�9�&� ����� �� %��������&� N �

����' %�+�� &� ��������� � (����� ���� ���&����� ���&� N ' ����7��+�&� %���& ������ � ��& ���&�� � ���&� N �&� ��������� ������'��� %��� �&� ������ �� ������� 1��� ������+�&� ����� � ���&� N ������ ���� (��� �������

!�'������� ������ �������� ������ N� ���&� N ����� ������ à � F �� ����� ����(�� ��� � (���&������ �� ��+ ��� ����� à � F ' �� ���& ���� �� ����� ����&��7

Page 134: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��! ���� � *%>��;93 =3%>��3

�� �����' � ��� �����,� �� �%������ ����& %�����& ����,����&� N � .6��&���&� �� �� ����� ����&����� ������ ��� ������& (���& .����� � ���0 � ��&� �� �& ��� ������0

<�� %����� ����� � (���& ������ �� ����� à � F ' ���� ��9�&� �� �� �����

à � F ������ � ���&� N � *��� ����� D ������ à � F ��%��� �&�D

Γ � F�

6��9�&� ��� ������ � ��+�& �����&����& �%�� %������� �����/��� �������� "���� � ������ � ���&� N � 4���� � �����&����& �%�� %������������/��� � (���& �� ������ ���&��� F ' � � ��%��/����� 5�%����� �� ��7���&� ��� ����� (��� ��% Γ �� ����� ������ Γ � F � 4���� � �����&����&�%�� %������� �����/��� ���� ��&� ��%��/�����5 5�%�����' � � (���& �������� ���&��� F �� ����� ������ � F � 6����� ���Æ�,� ���&� N � %��������Æ�,� �� ������ ∧' ⇒' ∨ � ⊥ � 6���� %����� ���� &� %�������� ������� "����' �&� ��%���� �����(���� *� %��&��' %����� ��Æ�,� ������⇒ �� �����&����� �%�� ������� %����� (⇒U) ���&� N � *��&�' � ������"���� � %����� ��Æ�,� ������ ⇒ �&��� &� ����� ���&��� B (��� �� ��%

��%��/�����5 5�%����� ��% Γ1' �����D

B� � ���&� N �� �� ����� ������

Γ1 � B� 6��&���& %����� ��Æ�,� ������ ⇒ �� ����� D ������&� ��������&��� A ⇒ B' (��� ��% ��%��/�����5 5�%����� �� ��% Γ1' ��& &�9�����&��� A� 2� ���(� �� ��% Γ1 &�9� ��� � �� &��� �� ���9� ���&��� A� �+�' �� ���� Γ1 ���9� ���&��� A �� ���&��� �� &��� �� ���� %��/�����5�%����� %��&���& %����� ��Æ�,� ������ ⇒� �� �� &��� ���� ���� � �%�����& (⇒U) ���&� N � � ���&� N %��&���& %����� (⇒U) �� ����������� Γ1 � B ������&� ����� ������ Γ � A ⇒ B � �&�&�-

.�0 <�� ��% ��%��/�����5 5�%����� Γ1 ������ D ���9� ���&��� A' �����&�&� �� ��(���- ��� A ���� %��/����� 5�%����� %����� ��Æ�,� ������⇒ ������&� ����� ���&��� A ⇒ B � ��%�& ��%��/�����5 5�%����� Γ1 \ {A}'� �� �� � ���&� N ����� ������ Γ � A ⇒ B � ��&� �� Γ = Γ1\{A}A ��� A ����%��/����� 5�%����� %����� ��Æ�,� ������ ⇒' ���� �&�&� ����� ���&���A ⇒ B � ��%�& ��%��/�����5 5�%����� Γ1' � � ���&� N �� �� ����� ������Γ � A ⇒ B � ��&� �� Γ = Γ1�

.�0 <�� ��% ��%��/�����5 5�%����� Γ1 ������ D �� ���9� ���&��� A' ����%��&���& %����� ��Æ�,� ������ ⇒ ������&� ����� ���&��� A ⇒ B ���%�& ��%��/�����5 5�%����� Γ1' � � ���&� N �� �� �%�� ����� ������Γ � A ⇒ B � ��&� �� Γ = Γ1�

������ " *�%���&� ����� ����������� (A∧(A ⇒ B)) ⇒ B .modusponens0 ��%���� � �� �� �����&���� ��(�� %������ � ������ "�����

��A ∧ (A ⇒ B)1

A ⇒ B∧ E2

��A ∧ (A ⇒ B)1

A∧ E1

B⇒ E

(A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B1 ⇒ U

Page 135: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

@� �� ����� ��� ��%��/�����5 5�%������ < ��� ��%���&� ����������� � (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B � ���&� N �

A ∧ (A ⇒ B) � A ∧ (A ⇒ B)

A ∧ (A ⇒ B) � A ⇒ B∧ E2

A ∧ (A ⇒ B) � A ∧ (A ⇒ B)

A ∧ (A ⇒ B) � A∧ E1

A ∧ (A ⇒ B) � B

� (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B⇒ U

⇒ E

*� �����&� � ����&���� ������ A∧ (A ⇒ B) � A∧ (A ⇒ B)'� ��� �����,� �� �%������ ����& %�����& ���Æ�,� ���&� N �� ������ �� ����� � (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B' %� ��9�&� �� �� �������� ������ � ���&� N �

*������ ������/��� � ��& �� � +�� � �� �����&� ���&� N �

!�'������� ������� ������� NE��&��� F �� �����&� ���&� N ���� �� ����� � F ������ ����&� N �

4����' ����������� modus ponens' (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B' �� ������� " �������&� ���&� N �

������ # 8����� � ������ �� �������� �4� � ������� " �� ������"���� ���� � � ���&� N &��� ��%����� ������ �� ������-

.�0 � (A ∧ B) ⇔ (B ∧ A)'

.�0 � ((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))

."0 � ((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C))

.�0 � (¬(A ∨ B)) ⇔ (¬A ∧ ¬B)

.�0 � (¬(A ∧ B)) ⇔ (¬A ∨ ¬B)

. 0 � A ∨ ¬A

*� ���� ������/��� �����&� ���&� N ������&� �� � ���&���� �������& ������&� �����&� ���&� N �

6��&���&� �� � �����&� ���&� N �� ������� " � ������� # ������������� �������& ����/�&� �&� �� ��+ �������� ����������� .����������� �� ������� � ������ ����" � ����������� ������0 �������� �� � �����&� ���&� N �

������� # E��&��� A ⇒ (B ⇒ A) �� �����&� ���&� N �

A � A

A � B ⇒ A⇒ U

� A ⇒ (B ⇒ A)⇒ U

Page 136: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�"� ���� � *%>��;93 =3%>��3

������� 1 E��&��� (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)) �������&� ���&� N �

A ⇒ (B ⇒ C) � A ⇒ (B ⇒ C) A � A

A ⇒ (B ⇒ C), A � B ⇒ C⇒ E

A ⇒ B � A ⇒ B A � A

A ⇒ B, A � B⇒ E

A ⇒ (B ⇒ C), A ⇒ B, A � C

A ⇒ (B ⇒ C), A ⇒ B � A ⇒ C

A ⇒ (B ⇒ C) � (A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)

� (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C))⇒ U

⇒ U

⇒ U

⇒E

������� �3 E��&��� ((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A �� �����&� ���&� N �

(A ⇒ B) ⇒ A � (A ⇒ B) ⇒ A A ⇒ B � A ⇒ B

(A ⇒ B) ⇒ A, A ⇒ B � A⇒ E

(A ⇒ B) ⇒ A � A

� ((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A⇒ U

Pers

������� �� E��&��� A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B)) �� �����&� ���&� N �

A � A B � B

A, B � A ∧ B∧ U

A � B ⇒ (A ∧ B)

� A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B))⇒ U

⇒ U

������� �� E��&��� (A ∧ B) ⇒ A � (A ∧ B) ⇒ B � �����&� ���&� N �

A ∧ B � A ∧ B

A ∧ B � A∧ E1

� (A ∧ B) ⇒ A⇒ U

A ∧ B � A ∧ B

A ∧ B � B∧ E2

� (A ∧ B) ⇒ B⇒ U

������� �� E��&��� A ⇒ (A ∨ B) � B ⇒ (A ∨ B) � �����&� ���&� N �

A � A

A � A ∨ B∨ U1

� A ⇒ (A ∨ B)⇒ U

B � B

B � A ∨ B∨ U2

� B ⇒ (A ∨ B)⇒ U

������� � E��&��� (A ⇒ C) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ ((A ∨ B) ⇒ C)) �������&� ���&� N �

A ∨ B � A ∨ B

B ⇒ C � B ⇒ C B � B

B, B ⇒ C � C⇒ E

A ⇒ C � A ⇒ C A � A

A, A ⇒ C � C⇒ E

A ⇒ C, B ⇒ C, A ∨ B � C∨ E

A ⇒ C, B ⇒ C � (A ∨ B) ⇒ C

A ⇒ C � (B ⇒ C) ⇒ ((A ∨ B) ⇒ C)⇒ U

� (A ⇒ C) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ ((A ∨ B) ⇒ C))⇒ U

⇒ U

Page 137: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� �"�

������� �� E��&��� ⊥ ⇒ A �� �����&� ���&� N �

⊥ � ⊥⊥ � A

⊥E

� ⊥ ⇒ A⇒ U

������� � E��&��� ((A∨B)∧C) ⇔ ((A∧C)∨ (B∧C)) �� �����&����&� N �4����� �&� �� � ������ � ((A ∨ B) ∧ C) ⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) �� ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) ⇒ ((A ∨ B) ∧ C) ������� � ���&� N �6�� %������&� ����� �� � ((A ∨ B) ∧ C) ⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))'����� D1' � ��&� �� � F ����(��� ���&��� (A ∨ B) ∧ C�

F � F

F � A ∨ B∧ E1

A � A

F � F

F � C∧ E2

A, F � A ∧ C

A, F � (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)∨ U1

∧ UB � B

F � F

F � C∧ E2

B, F � B ∧ C

B, F � (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)∨ U2

∧ U

(A ∨ B) ∧ C � (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

� ((A ∨ B) ∧ C) ⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))⇒U

∨ E

< ��� �� ������ �� ����� � ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) ⇒ ((A ∨ B) ∧ C)' ����� D2'� ��&� �� � E ����(��� ���&��� (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)�

E�E

A∧C�A∧C

A∧C�A∧E1

A∧C�A∨B∨U1

B∧C�B∧C

B∧C�B∧E1

B∧C � A∨B∨U2

(A∧C)∨(B∧C) � (A∨B)∨E

E�E

A∧C � A∧C

A∧C � C∧E2

B∧C � B∧C

B∧C�C∧E2

(A∧C)∨(B∧C) � C∨E

(A∧C)∨(B∧C) � (A∨B)∧C

� ((A∧C) ∨ (B∧C))⇒((A∨B)∧C)⇒U

∧U

� ���&� N ' ������ � D1 � D2 � %����� ∧U ' %���&� �����-D1

� ((A ∨ B) ∧ C) ⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))

D2

� ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) ⇒ ((A ∨ B) ∧ C)

� (((A ∨ B) ∧ C) ⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))) ∧ (((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) ⇒ ((A ∨ B) ∧ C))∧U �

4����' �� ���� %������5 ��� ��&�Æ� ������' �&�&� �� �� ������� �� ���&��� ((A ∨ B) ∧ C) ⇔ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))' ��� �� ������������� ����� ∧ � ����� �� ∨ �����&� ���&� N �

%���% /��������� �����. ����� L� ��& ������ ������� �&� ��+ ����� ���&���� ���& ������ ������' 5��7������� ���&' ���& L�

6�� �������* ���(��� ������� L& ��� S(L)

���% �����5 �&���� ���&� L �� ��% �����5 �&���� ���&�N ��� %�&� ��� �&���� ��

Page 138: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�"� ���� � *%>��;93 =3%>��3

>����� ���&��� ���&� L � ������ ���&��� ���&� N �

6�� '����� ������� L& ��� F(L)

���% ���&��� ���&� L' ��% F(L)' (��� ������ ���&��� ������&� L' ��� ��% F(L) �� ������ ��%� F(N )�

8���(�� ��%�� ���&��� ���&� L ����(�� �&� ��� � ���&� N � ����'� ��%�& ����&� � ��%�& %����� ����,�' �%��� � � ������� ��&�����&� N � L� <���&� ���&� L � %����� ���&���� ��%� F(L)' ��� ���������� ���&���' � %����� ����,� ���&� L �� ����� ����/��� ��9��� " ����%� F(L)�

6�� ������� ������� L& ��� A(L)

(A1) A ⇒ (B ⇒ A)

(A2) (A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C))

(A3) ((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A

(A4) A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B))

(A5) (A ∧ B) ⇒ A

(A6) (A ∧ B) ⇒ B

(A7) A ⇒ (A ∨ B)

(A8) B ⇒ (A ∨ B)

(A9) (A ⇒ C) ⇒ ((B ⇒ C) ⇒ ((A ∨ B) ⇒ C))

(A10) ⊥ ⇒ A

��� � A' B � C %�������� ���&����

F�9�� �� ��� � �� &� ��%�&���& �� A' B � C &��� ���� %�����������&��� � ���� ����� �� ������� ����&� %��������� 5�&� ����&�� *�%��&��' ��� � ��� 5�&� (A1) �� &��� ���&��� A ���&� ���&��� B ⇒ C' ��� &��� ���&��� B ���&� ���&��� A ∧ D' ���� ������&� ����&� ���&�L- (B ⇒ C) ⇒ ((A ∧ D) ⇒ (B ⇒ C))�

6�� ������� �����0� ������� L& ��� R(L)

����& L �&� ����� %����� ���Æ�,�' %����� modus ponens-A A ⇒ B

BMP

��� � A � B %�������� ���&����

!�'������� ������ ������ L4���� � ���&� L �� ����(�� ��� ���&��� .n ≥ 10

F1, ..., Fn'

Page 139: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� �""

��� �� ��� ���&��� Fi' 1 ≤ i ≤ n' �9�-��� Fi �� ����&���� �� Fi �����(�� %����� MP .modus ponens0 (��� %��&�� ����� �� ���&��� �� ���� F1, ..., Fn ������ &�,�� �� i�1� ����� F1, ..., Fn �&� �� � �� �� ����� ���&��� Fn� ���� ���&������� � %������� � ��& ������' ���� n' �� �&� ��9���& ��� �������

�� �&� ������ ���&� L %��������� � � ������ ������ *��&�' �������� F1'���'Fn � ���&� L &�9�&� %�������� �����& �����& � (���& �������� ���&��� Fn' �� �����&� � � ���&��� ��� ������ .���� F1'���'Fn0 ���� �����&�' � ��� �����,� ��� ����� �� �%������ %�����& ����,� MP ����+�� � � ��,�& (��� ��� �����,� ������ �����(�� %�����' ���� ���&��� Fi'� � ���,�& (����&� � %��&�� ��� %�����' ���� ���&��� �� ���� F1, ..., Fn

������ &�,�� �� i�

!�'������� ������� ������� L� ���&� L ���&��� F �� �����&� ���� %����� ��� ����� ��������&��� F � ���&� L� 4� �� ���&��� F �����&� ����(�� �&� ��L F ��� � F ' � ��� ����� �� ����� ����� �����&� F � ���&� L�

� �������& %��&��� %������ �&� ����� ����� �����&� � ���&� L������� 1 6���9�&� �� �� ����������� ���������� �&%����/���'B ⇒ B' ����� �����&� ���&� L� 6���&� ���� � ���-

B ⇒ ((B ⇒ B) ⇒ B)Ax2

B ⇒ B

B ⇒ (B ⇒ B)(B ⇒ (B ⇒ B)) ⇒ (B ⇒ B)

��� �� Ax2 ���&��� (B ⇒ ((B ⇒ B) ⇒ B)) ⇒ ((B ⇒ (B ⇒ B)) ⇒ (B ⇒ B))�

;� ��� ������ � ������ �����

�� (B ⇒ ((B ⇒ B) ⇒ B)) ⇒ ((B ⇒ (B ⇒ B)) ⇒ (B ⇒ B))

���� �� ���� � �� ���� A �� B� B �� B ⇒ B � C �� B�

�� B ⇒ ((B ⇒ B) ⇒ B)

���� �� ���� � �� ���� A �� B � B �� B ⇒ B�

�� (B ⇒ (B ⇒ B)) ⇒ (B ⇒ B)

����� ����� MP �� �� � ���

�� B ⇒ (B ⇒ B)

���� �� ���� � �� ���� A �� B � B �� B�

�� B ⇒ B

����� ����� MP �� �� � ���

4����' ���&��� B ⇒ B �� �����&� ���&� L' ��� �L B ⇒ B�

Page 140: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�"� ���� � *%>��;93 =3%>��3

���� �&� %������� ���� ���� ������ � ���&� L�

������ �

� ������ L ����/

��� ,�� �� Γ � A � Γ ⊆ Δ& ���� �� Δ � A-

��� 7��� Γ � A ��� � ���� ��� ������� ����+�� ������ Δ ���� Γ ����� ��

���� Δ � A-

��� ,�� �� Γ � A � �� ���� '���� B �� ���� Γ ���� Δ � B& ���� ����

Δ � A-

����

Γ � A ���(� �� � ���&� L %����� ����� ���&��� A �� ��%�5�%����� Γ .������ "��0' ��� �� %����� ��� ���&��� F1'���' Fn ������ �� Fn ���&��� A' � �� ��� ���&��� Fi' 1 ≤ i ≤ n' �9�- ����� Fi ����&� ��� �� Fi �� ��%� Γ' ��� �� Fi �����(�� %����� MP(��� %��&�� � ���� �� %���5���� ���&��� ��� �����.�0 8��� �9� Γ ⊆ Δ' ��&�5 �&�&� �� �� ��� ���&��� �� ����F1'���' Fn ��� ����&� ��� ���&��� �� ��%� Δ .��� �� Γ ⊆ Δ0 ��������(�� %����� MP �� ���� �� %���5���� ���&��� ��� �����4����' �&�&� ����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Δ' ��� Δ � A�.�0 6�� ���- %���%����&� �� �9� Γ � A� *��� �� Δ ��% ��(�,���� �5 ���&��� �� ���� F1'���' Fn ���� %��%����� ��%� Γ� 4�����&��� �� Δ ����(�� %����% ��%� Γ' � ��� ���&��� �� ���� F1'���' Fn

�� ��� ����&�' ��� %��%��� ��%� Δ ��� �� �����(�� %����� MP '��� �9�- Δ � A� 4���� ���- %���%����&� �� %����� ����(��%����% ��%� Γ' ��% Δ' �� ���� �9� Δ � A� ����� �� ���������� �� ���� .�0 ������&� Γ � A�."0 6�+�� �� ��� ���&��� B �� ��%� Γ �9� Δ � B' �� ���(� �� ����� �� ���&��� %����� ����� �� ��%� 5�%����� Δ� <�� � ���������&��� A �� ��%� 5�%����� Γ' ������ F1'���' Fn' ��� ���&��� B���� %��%��� ��%� Γ ��&���&� ,���& ������& �� ��%� 5�%�����Δ .���� �� ���� ��� ���&���0' ���� ������&� ��� ���&��� ���� ����+�� ���&���& A � � ��&� �� ��� ���&��� ��� ����&� ������&��� ��%� Δ ��� �����(�� %����� MP �� ���� �� %���5�������&��� ��� ����� 2� ���(� �� �� �� ����� ����� ���&��� A �� ��%�5�%����� Δ' ��� �9� Δ � A�

*� ����� ���� ������' � ��&� �� %�������� ���& L' ������ �&� ���(���������� ���&� L' �����&� �����/����

������ � � ������ ����������

�� �������.�� '����� A � B � ���� ��� '����� Φ ����/

��� �� Φ ∪ {B} � A& ���� �� Φ � B ⇒ A-

Page 141: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� �"�

6�� ������ ������ ������ ��������� �� �&� �����' &�,� ���&����'����� �� �����&� � ��&� � ������ %��������� ��� ����(�� ������4���� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Φ∪{B} �� ����� ��� ���&���� *��� � ���7&��� A1, ..., Ak � ����&� ���� � %������� � ��& ������' ���&��� F1, ..., Fm

� ���&��� �� ��%� Φ ���� � %������� � ��& ������ .��� k � m &��� ���� �00 � ��+ ���&��� B � %������� � ��& ������� @� ��� ������ &�9�&� ��%���7�� ����� ����(�� ��� � �� ���� � ��(��� 8���� ��� ����� �� ���&��� A�*� �����&� � ���&��� A1, ..., Ak' F1, ..., Fm � B' � ��� �����,� �� �%��7���� %�����& MP ' ��� � ���& (��� ���� ���� ��� �� ���� ���&��� E � �(����&� ��&�5 ����� ,� � ���&��� ������ D � D ⇒ E' �� ���� ���&���D� ���� �+�&� ���� � �������&�/��� ��� ����� ��6�� �����- ��� ���&��� F ���� � %������� � ����� � ��&�,���&� ���&�7��& B ⇒ F � 2� ���(� �� �� � ������ ���� ����� ���&��� B⇒A� *� ,����&�����&� &�9� � %������ ����� �� ���� �5 ���&���- ��� B⇒Aj ' 1 ≤ j ≤ k'��� �� �� ���� ����� ����� ���� ����&� Aj A ��� B ⇒ Fi' 1 ≤ i ≤ m' ��� �� ������ ����� ����� ���� 5�%����� Fi �� ��%� ΦA ��� B ⇒ B' ��� �� �� ��������� ����� ���� 5�%����� B� *� �����' ��� �����,� .�� ����� �����0 �(���& ��,�& (��� �� ���� ���&��� E %��� �������&�/��� �&� �����-

B ⇒ E

′′

B ⇒ D

B ⇒ (D ⇒ E)

.N0

��� � �′ � �′′ ����� ���� ����� ����� ����& ���&��� B ⇒ (D ⇒ E) ����&��� B ⇒ D�4���� �����- � ���& (��� ���� ���� ��� �����,� �� ������ .N0 � ���� �%��7���� %�����& MP ' ���� ��� ��� ��/�&� � �� ,���� &��� ����&�-

B ⇒ (D ⇒ E)

�′

(B ⇒ (D ⇒ E)) ⇒ ((B ⇒ D) ⇒ (B ⇒ E))

B ⇒ E

�′′

B ⇒ D(B ⇒ D) ⇒ (B ⇒ E)

��� �� ���&��� (B ⇒ (D ⇒ E)) ⇒ ((B ⇒ D) ⇒ (B ⇒ E)) ����&� ���&�L � � �����,� � �%������ %�����& MP � *� ��� �� ����� ����� �'� ������� �� ���&��� ���� �� �� ��& ����' ����&�&� ���� ���� *� ������ B ⇒ Aj ' 1 ≤ j ≤ k' ������ ����&�&� ���� � ���-

B ⇒ Aj

AjAj ⇒ (B ⇒ Aj)

�� (���& �����&� � ����&� Aj � Aj ⇒ (B ⇒ Aj)' � �����,� �� �%������%�����& MP � *� ��� ��� B ⇒ Fi' 1 ≤ i ≤ m' ������ ����&�&� ���� ����-

Page 142: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�" ���� � *%>��;93 =3%>��3

B ⇒ Fi

FiFi ⇒ (B ⇒ Fi)

�� (���& �����&� � 5�%����� Fi �� ��%� Φ � ����&� Fi ⇒ (B ⇒ Fi)' ������,� �� �%������ %�����& MP � *� ��� ��� B ⇒ B ������ ����&�&������ �����&� B ⇒ B �� ������� 1 �� (���& �����&� � ����&�' � ������,� � �%������ %�����& MP � 6��/� �������&��,� %������� ����������� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Φ ∪ {B} �� ���+��� 4����� &� ��� �(���& ������ �� ���&��� B ⇒ A' � �����,� � �%������ %�����& MP � �������&� ��� ����� � ��� ����&� ���&� L ��� ���&��� ��%� Φ� 4����'�� ��� �� ����� ���&��� B ⇒ A �� ��%� 5�%����� Φ � ���&� L�

< ��� �� � ������ �������

���� ������ ���������

2����&� �&� �������� �����/���& %� ��9��� ������ ���&��� A�� ��%� 5�%����� Φ ∪ {B}����� �����/���- ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Φ ∪ {B} ����9��� �� 2� ���(� �� � ��� ����� ����� �&� �� ����� ���&��� ��� &��� ���� ���&��� A�<�� �� A �� ��%� Φ ��� ��� �� A ����&� ���&� L' ���� ������ ���� �����' ���� (��� ���&��� A' � ����&� A⇒ (B⇒A) %���&����� � ����� ���&��� B⇒A �� ��%� 5�%����� Φ-�� A .��� 5�%����� �� ��%� Φ ��� ����&�0�� A ⇒ (B ⇒ A) .����&�0"� B ⇒ A .�����(�� MP �� �� � ��0<�� �� A ���&��� B' ���� �� %������� %������� �� %����� ��������&��� B ⇒ B �� ��%� 5�%����� Φ� � ������ 1 &� %��������� �� ���&��� B ⇒ B �����&� ���&� L' ��� �9� � B ⇒ B' %� ��∅ ⊆ Φ' �� ���� ���� .�0 ������ �' �9� Φ � B ⇒ B�

>����/���� %���%�����- �� %�������� ���&��� A � B � ��%���&��� Φ- ��� %����� ����� A �� ��%� 5�%����� Φ∪ {B} ��9���&�,� �� n' ���� %����� ����� ���&��� B ⇒ A �� ��%� 5�%����� Φ�

4���9�&� �� �����&� �9� � �� %�������� ���&��� A � B � ��%���&��� Φ � ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Φ ∪ {B} ��9��� n-��� %����� ����� A �� ��%� 5�%����� Φ∪{B} ��9��� n' ���� %���7�� ����� ���&��� B ⇒ A �� ��%� 5�%����� Φ�*��� �� C1'���'Cn ����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Φ ∪ {B}��9��� n� 8��� �� �� ����� ���&��� A' ���� �� ���&��� Cn � ����A' ��� ��� ����� �� ���- C1'���'Cn−1' A� 1� ���&��� A' ��� ���&������� � %������� � ��& ������' %����� ���� � (����� &��� ����-

.�0 A �� ����&�A

.�0 A �� ���� 5�%����� �� ��%� Φ ∪ {B} ���� ���� BA

."0 A �� 5�%����� B �� ��%� Φ ∪ {B}A

Page 143: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� �"#

.�0 A �� �����(�� %����� MP ' ��� %����� ���&��� Ci � Cj ��������� .��� � i � j &�,� �� n0 ���� �� �� Cj ������ Ci ⇒ A�

� ��(����&� .�0' .�0 � ."0 %���%�&� ��(�� ��� � ���� �����/���� ������&� �� %����� ����� ���&��� B ⇒ A �� ��%� 5�%����� Φ�� ��(��� .�0 %�&����&� ���� � ����� ������ C1'���'Cn−1' A- ���C1'���' Ci � ��� C1'���' Cj � �� ���&��� ��5 ����� � ����&�'5�%����� �� ��%� Φ ∪ {B} ��� �����(/� MP ' ��� �� ����� � ��7���� ����& ���&��� Ci � Cj �� ��%� 5�%����� Φ∪{B}� 4�9��� ��5������ � ����& i � j' ��� ,�5�� ��9��� � &�,� �� n� 6��&�,���&������/���� %���%����� �� ���&��� Ci � Cj ���� �&��� ����� ����%� 5�%����� Φ∪ {B} ��9��� &�,� �� n- %����� ������ �� ��%�5�%����� Φ �� ���&��� B⇒Ci � B⇒Cj ' ��� �� Cj ������ Ci⇒A' ���%����� ������- D1' ���' Dm = B⇒Ci � E1' ���' El = B⇒(Ci⇒A) .��m, l > 00� *�������,�& ��5 ������ ������&� ���- D1'���' Dm−1'B⇒Ci' E1'���' El−1' B⇒(Ci⇒A) (��� ���&��� � ��� ����&� ������&��� �� Φ ��� �����(/� %����� MP � 2�� ��� ������&�' ��7���� � ���� � ���&���- (B ⇒ (Ci ⇒ A)) ⇒ ((B ⇒ Ci) ⇒ (B ⇒ A)).����&�0' ����& �����(�� %����� MP �� �� ����&� � �� ���7&��� B ⇒ (Ci ⇒ A)- ���&��� (B ⇒ Ci) ⇒ (B ⇒ A) � �� ����� ��7���(�� MP �� �� ���&��� � �� ���&��� B ⇒ Ci- ���&��� B ⇒ A�*�%������ ��� ���&��� (��� ���&��� �� ����5 �� ��� ��� ��7��&� ��� 5�%����� �� ��%� Φ ��� �� �����(�� %����� MP ��%���5����5 ���&��� ����' ��� �� �� ����� ����� ���&��� B ⇒ A ����%� 5�%����� Φ � ���&� L�

%���) 0����������� ������ N � L� ��& ������ �&� �������� �� � ���& N � ���& L ����������' ������ ���&��� ���� �� �����&� ���&� N ��� �� �����&� � ���&� L � ��������2� ���(� �� � �� �� ���&� �� ���������� ��(��� �����,� .%�����7��,�0 ������ ������ ��� ���&���� �������� 6�� �&� �������� ����� �����&�� ������ ������� ���&� N � ������ �� 5�%����� ���&� L�

������ �

,�� �� ������� Γ � A ������� ������N & ���� ������ L ������� ����� '�����A �� ���� *������� Γ-����

*� %�(���� %��5���&� ���� � ������- ���� ����&� ������� ���&� �� %����� ���� ����� ���&��� C �� ��%� 5�%����� Λ � ���&�

L ���� �&� ��� ��� ������ %��������Λ

C���

Λ

|C

Page 144: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�"! ���� � *%>��;93 =3%>��3

2����&� �&� �������� �����/���& %� ��9��� ������ D ������Γ � A � ���&�N ' ��� ��9��� ������ ������+�&� ��� ���� %��������Æ�,� � ��& �������

���� �����/���' ����� ������ Γ � A �&� ��9��� �' ��� ��� �������&� �� ����� %����� ���Æ�,�� 2� ���(� �� �� ����� Γ � A ���7�&���� ����� A � A� � ���&� L �� �� ����� ���&��� A �� ��%�5�%����� {A} � ,��� (��� �&� ���&��� A�

>����/���� %���%�����- �����&� �9� �� ��� ������ ��������&� N (��� ����� �&� ��9��� &�,� �� n�

6���9�&� �� �����&� �9� �� ����� (��� ����� �� ��9��� n�6�&����&� ����� D ������ Γ � A ���� �� ��9��� n� 6����,�%����� ��� ������ &�9� ���� ���� ���� %����� ���Æ�,� ρ ���&�N ' ��� ����� D �� ������-

D′

Γ′ � A′D′′

Γ′′ � A′′D′′′

Γ′′′ � A′′′

Γ � Aρ

��� ���� �� ������ D′' D′′' ��� D′′′' &��� �� �� %������ D��,������� %����� ρ' ������ Γ′ � A′' Γ′′ � A′′ � Γ′′′ � A′′′' �������� � ���&� N � ,�5�� ������ �&��� ����� %����� ���7Æ�,� &�,� ���� ����� ������ Γ � A� ����� � �� ,�5 �9��������/���� %���%������ >&�&� �+� ��(���� � ������� ������ ���� �� %����,� %����� ���Æ�,� ������ D ������ Γ � A�

6����,� %����� ������ D �� ��Æ�,� ∧' %� �� ����� D-

D′

Λ � B

D′′

Δ � C

Λ ∪ Δ � B ∧ C∧ U

� ����� Γ � A �� Λ ∪ Δ � B ∧ C� 2���� %������� �� � ���&� L%����� ����� ���&��� B ∧ C �� ��%� 5�%����� Λ ∪ Δ� *� ���������/���� %���%����� � ���&� L %����� ����� ���&��� B ����%� 5�%����� Λ � %����� ����� ���&��� C �� ��%� 5�%����� Δ�8����� � �� ������ � ���&� L %���&� ���-

B

Λ

B ⇒ (C ⇒ (B ∧ C))

B ∧ C

Δ

CC ⇒ (B ∧ C)

:���� ��� ����� � ����� �����Λ

B� �����

Δ

C.�� ����&�

� ��� ����&� ��� ���&��� �� ��%� Λ' ������ Δ0 � ��� �� ��&��� ����&� B ⇒ (C ⇒ (B ∧ C))� @���� (���� ���� ����� �

Page 145: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� �"�

(���� .���� ��� �����0 �����Λ

B� �����

Δ

C� �� (��� �

����&� � ���&��� B ∧C � C ⇒ (B ∧C)' � � ���& �� ��5 (������ �����(�� ����� %��&��� %����� MP � 4����' �� ��� ��� ��������� ����� � ���&� L ���&��� B ∧ C �� ��%� 5�%����� Λ ∪ Δ�

6����,� %����� ������ D �� ���&���/��� ∧' �� %��&�� (∧E1)�4����' ����� D ��-

D′

Γ � A ∧ B

Γ � A∧ E1

2���� %������� �� � ���&� L %����� ����� ���&��� A �� ��%�5�%����� Γ� *� ���� �����/���� %���%����� � ���&� L %�7���� ����� ���&��� A∧B �� ��%� 5�%����� Γ� 8����� � ��� �����%���&� ���-

A

Γ

A ∧ B(A ∧ B) ⇒ A

:���� ��� ����� � ����� �����Γ

A ∧ B.�� ����&� � ��� ��7

��&� ��� ���&��� �� Γ0 � ��� �� ��&� �� ����&� (A ∧ B) ⇒ A�@���� (���� ���� ����� � (���� .���� ��� �����0 �����Γ

A ∧ B� (�� � ��&� �� ���&��� A' � � ���& �� ��5 (���� �� ��7

���(�� ����� %��&��� %����� MP � 4����' �� ��� ��� ���� ���������� � ���&� L ���&��� A �� ��%� 5�%����� Γ� � ��(��� ������ (∧E2) %����,� %����� ������ D %���%�&� ���������

6����,� %����� ������ D �� ��Æ�,� ⇒' %� �� ����� D-

D′

Γ1 � C

Γ � B ⇒ C⇒ U

� ����� Γ � A �� Γ � B ⇒ C� 2���� %������� �� � ���&� L%����� ����� ���&��� B ⇒ C �� ��%� 5�%����� Γ� *� ���������/���� %���%����� � ���&� L %����� ����� ���&��� C ����%� 5�%����� Γ1� ����� �� ���� ���� .�0 ������ �' %���������� ���&��� C �� ��%� 5�%����� Γ1∪{B}� >� ������/��� %���7�� (⇒ U) �� ��% Γ �&�&�- Γ = Γ1 ��� Γ = Γ1\{B}� 4����' � �����(��� �&�&� �� � ���&� L %����� ����� ���&��� C �� ��%�5�%����� Γ ∪ {B}� 4����' �� ���� ������ ���������' � ���&�L %����� ����� ���&��� B ⇒ C �� ��%� 5�%����� Γ�

Page 146: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

6����,� %����� ������ D �� ���&���/��� ⇒' %� �� ����� D-

D′

Λ � B ⇒ A

D′′

Δ � B

Λ ∪ Δ � A⇒ E

� ����� Γ � A �� Λ ∪ Δ � A� ����&� %������� �� � ���&�L %����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Λ ∪ Δ� *� ���������/���� %���%����� � ���&� L %����� ����� ���&��� B ����%� 5�%����� Δ � %����� ����� ���&��� B ⇒ A �� ��%� 5�%�����Λ� 8����� � �� ������ %���&� ��� ���-

A

Δ

B

Λ

B ⇒ A

:���� ��� ����� � ����� �����Δ

B� �����

Λ

B ⇒ A.�� ��7

��&� � ��� ����&� ��� ���&��� �� ��%� Δ' ������ Λ0� ������� (���� ���� ����� � (���� .���� ��� �����0 �����Δ

B� �����

Λ

B ⇒ A� (�� � ��&� �� ���&��� A' � � ���& �� ��5

(���� �� �����(�� ����� %��&��� %����� MP � 4����' �� ������ ���� ����� ����� � ���&� L ���&��� A �� ��%� 5�%�����Λ ∪ Δ�

6����,� %����� ������D �� ��Æ�,� ∨' �� %��&�� (∨U1)� 4����'����� D ��-

D′

Γ � B

Γ � B ∨ C∨ U1

� ����� Γ � A �� Γ � B ∨ C� @���� �� %���9�&� �� � ���&�L %����� ����� ���&��� B ∨ C �� ��%� 5�%����� Γ� *� ���������/���� %���%����� � ���&� L %����� ����� ���&��� B ����%� 5�%����� Γ� 8����� � ��� ����� %���&� �� ���-

B ∨ C

Γ

BB ⇒ (B ∨ C)

:���� ��� ����� � ����� �����Γ

B.�� ����&� � ��� ����&�

��� ���&��� �� ��%� Γ0 � ��� �� ��&� �� ����&� B ⇒ (B∨C)� ������� (���� ���� ����� � (���� .���� ��� �����0 �����Γ

B� (�� � ��&� �� ���&��� B ∨ C' � � ���& �� ��5 (���� ��

�����(�� ����� %��&��� %����� MP � 4����' �� ��� ��� ��������� ����� � ���&� L ���&��� B ∨ C �� ��%� 5�%����� Γ� ���(��� ���� �� (∨U2) %����,� %����� � D %���%�&� ���������

Page 147: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

6����,� %����� ������ D �� ���&���/��� ∨' %� �� ����� D-

D′

Λ � B ∨ C

D′′

Δ1 � A

D′′′

Θ1 � A

Λ ∪ Δ ∪ Θ � A∨ E

� ����� Γ � A �� Λ ∪ Δ ∪ Θ � A� 2���� %������� �� � ���&� L%����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Λ ∪ Δ ∪ Θ� *� ���������/���� %���%����� � ���&� L %����� ����� ���&��� B∨C�� ��%� 5�%����� Λ' %����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Δ1

� %����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Θ1� ����� �� �������� .�0 ������ �' %����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%�����Δ1 ∪ {B} � %����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Θ1 ∪ {C}�>� ������/��� %����� (∨E) �� ��%�� Δ � Θ �&�&�- Δ = Δ1

��� Δ = Δ1\{B}A � Θ = Θ1 ��� Θ = Θ1\{C}� 4����' � �&��& ��(����&� �&�&� �� � ���&� L %����� ����� ���&��� A ����%� 5�%����� Δ∪{B} � %����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%�����Θ ∪ {C}� >� �� �� ������' �� ���� ������ ���������' �&�&��� � ���&� L %����� ����� ���&��� B ⇒ A �� ��%� 5�%����� Δ� %����� ����� ���&��� C ⇒ A �� ��%� 5�%����� Θ� 8����� � ��������' %���&� ���-

C ⇒ A

Θ

(C ⇒ A) ⇒ ((B ∨ C) ⇒ A)

B ⇒ A

Δ

Ax9

A

Λ

B ∨ C(B ∨ C) ⇒ A

��� �� Ax9 : (B ⇒ A) ⇒ ((C ⇒ A) ⇒ ((B ∨ C) ⇒ A)) .����&� .<�00� :�7

��� ��� ����� � ����� �����Δ

B ⇒ A' �����

Θ

C ⇒ A� �����

Λ

B ∨ C.�� ����&� � ��� ����&� ��� ���&��� �� ��%� Δ ∪ Θ ∪ Λ0

� ��� �� ��&� �� ����&� (B ⇒ A) ⇒ ((C ⇒ A) ⇒ ((B ∨ C) ⇒ A))� ������� (���� ���� ����� � (���� .���� ��� �����0 �����Δ

B ⇒ A' �����

Θ

C ⇒ A� �����

Λ

B ∨ C� (���� � ����&� � ���&���-

(C ⇒ A) ⇒ ((B ∨ C) ⇒ A)' (B ∨ C) ⇒ A � A' � � ���& �� ��5(���� �� �����(�� ����� %��&��� %����� MP � �����' �� ������ ���� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Δ ∪ Θ ∪ Λ � L� 6����,� %����� ������ D �� ���&���/��� ⊥' %� �� ����� D-

D′

Γ � ⊥Γ � A

⊥E

Page 148: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

2���� %������� �� � ���&� L %����� ����� ���&��� A �� ��%�5�%����� Γ� *� ���� �����/���� %���%����� � ���&� L %�7���� ����� ���&��� ⊥ �� ��%� 5�%����� Γ� 8����� � ��� �����%���&� ��� ���-

A

Γ

⊥⊥ ⇒ A

:���� ��� ����� � ����� �����Γ

⊥ .�� ����&� � ��� ��7

��&� ��� ���&��� �� ��%� Γ0 � ��� �� ��&� �� ����&� ⊥ ⇒ A��� ����� (���� ���� ����� � (���� .���� ��� �����0

�����Γ

⊥ � (�� � ����& �� ���&��� A' � � ���& �� ��5 (����

�� �����(�� ����� %��&��� %����� MP � 4����' �� ��� ���� ���������� � ���&� L ���&��� A �� ��%� 5�%����� �

6����,� %����� ������ D �� 6���� %�����' ��� ����� D ��-

D′

Γ ∪ {A ⇒ B} � A

Γ � APers

2���� %������� �� � ���&� L %����� ����� ���&��� A �� ��%�5�%����� Γ� *� ���� �����/���� %���%����� � ���&� L %�7���� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� Γ ∪ {A ⇒ B}� >� ���%����,�� ������' �� ���� ������ ���������' �&�&� �� � �7��&� L %����� ����� ���&��� (A ⇒ B) ⇒ A �� ��%� 5�%����� Γ�8����� � ��� ����� %���&� ��� ���-

A

Γ

(A ⇒ B) ⇒ A((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A

:���� ��� ����� � ����� �����Γ

(A ⇒ B) ⇒ A.�� ����&� �

��� ����&� ��� ���&��� �� Γ0 � ����&� ((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A�@���� (���� ���� ����� � (���� .���� ��� �����0 �����

Γ

(A ⇒ B) ⇒ A� (�� � ����& �� ���&��� A' � � ���& �� ��5 (����

�� �����(�� ����� %��&��� %����� MP � 4����' �� ��� ��� ��������� ����� � ���&� L ���&��� A �� ��%� 5�%����� �

1����(���&�- �� ��� ������ ����� ���&� N ' ���� �����à � A' � ���&� L %����� ����� ���&��� A �� ��%� 5�%����� �

Page 149: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��"

������ �

2����� F �� ������� ������� L ��� � ���� ��� �� F ������� ������� N -

����

���� ���-

,�� �� '����� F ������� ������� L& ���� �� F ������� ������� N -

����

6�� ����� �������� �� � � ����&� ���&� L �����&� ���&�N � 4����(��� ��(���' �� ��� ����&� A ���&� L ����� %��������� �� ����� � A ������ � ���&� N � 2� &� &� � %������� ��������� #4�� ������ "����� 4����' � ����&� ���&� L � ���7��&� ���&� N � @���� ��+ ��' ������ � �� ������' %���9�&��� �� � %�������� �����&� ���&� L �����&� ���&� N � *��� �����&��� F �����&� ���&� L� � ���&� L %����� ����� ���&���F � <�� ��� ����� %������&� ��� ���' ���� �� �� ����(�� ��� �(���& ������ �� ���&��� F ' �� ���& ���� ��� ����� �� ���� ��7��&� ���&� L � ��� �����,� �� �%������ %�����& ���Æ�,�MP � *� ��& ����� ��%���&� ���� � ��&���-.�0 �� ���& ���� ����(��� ����&� A ��&���&� �����& ������������ � A �� ���&� N ���� &� ��%����� � �������� #4�� �.�0 � ���& (��� ����(��� ���&��� D ��&���&� ������& ������� D' %� � � ������ ��� ����� ���&��� F ��&���&� ������& � F �4����� &� ��� ���� 6���&� � �� �� �� �� ��� ����� ����� � �7��&� N ) 6��' � ����� ��� ����� � ����� ������ ���&�N �� �������� #4��' ���(� �� ,�&� � ����&���� ������� @������+ �� %�����&� (�&� � �%������ �����,� � ��& ������ <���� �� �����,� � ���� ����� ���� � ���+�� ������& � A' ����� A ���� ����&� ���&� L .�� �� �����,� ����� �� ������ %���7������5 � �������� #4��0' ���� �� ��� �%������ ����& %�����&���Æ�,� ���&� N � <�� �� �� �����,� � ���� ����� ���� �� %�7������ � ����� ������ ���&��� F � ���&� L .� ��&� �%������%�����& MP0' ���� �� � ���&� N �� �����,� �%������ %�����&���&���/��� ������ ⇒' %�����& (⇒E)� 1����(���&� �� � �� ��7���&� ���� ����� ����&���� ������' � ��� ,���� �����,��� �%������ ����& %�����& ���Æ�,� ���&� N ' %� �� ��� ��������� ����� � ���&� N � (���& �� ������ ����� � F � ����� ��7���(���&� �� �� ����� � F ������ � ���&� N ' ��� ���&��� F���� �����&� ���&� N �

����� ���-

,�� �� '����� F ������� ������� N & ���� �� F ������� ������� L-����

8��� �� ���&��� F �����&� ���&� N ' �� ���(� �� �� ����� � F������ � ���&� N � *� ���� ������ �' � ���&� L %�����

Page 150: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

����� ���&��� F �� ��%� 5�%����� ���� �� %����� ��%� 2� ���(��� �� ���&��� F �����&� ���&� L�

;���������� ���&����5 ���&� N � L ���(� �� ������ &�9�&� �����7���� ������� � ������� ����/� � �����&�&� ������ ������ �� %��/������� ��� �� &���&� �� ���& N ��� ���& L� @�& ����' ��� %�� ���� 5� �&� �������&� �� �� �� ���� ������ ���&��� F �����&� ������ ������ �� &�9�&�������� ���� +�� ��%���&� ����� �� ���&��� � ���&� L ��� ����� ������� F � ���&� N �

%���1 -�������� ������ � ��

� ��������� "41 � �������� #4� �� ������ "���� %������� &� �� � ��������������� �����&� ���&� N ' ��� ���&� L� *�&� � � ���� � %���,�-�� �� � �� ����� ����������� �9� �� � �����&� ������ ������) @�������- ��� F�9� � �+�' � �� �� �� ��&� �����5 �����&� ������ ������ ��&�����������' ��� ��� �����&� ������ ������ &��� ���� ����������� � �������'��� ����������� �� �����&� ������ ������� 4����(��� ��(���' �9� ���� �������-

���&��� F �� �����&� ������ ������ ��� � �&� ��� �� ���&��� F �����������'

��� �� ��� ���&��� F ������ ������ �9�-

� F ��� � �&� ��� |= F �

@� ������ � ��� %��%���� � +���& &���� 4��-

��� �� ���&��� F �����&� ������ ������' ���� �� F � �����������'���

��� �� � F ' ���� �� |= F

�� ������ �������' � ���

��� �� ���&��� F �����������' ���� �� F �����&� ������ ������'���

��� �� |= F ' ���� �� � F

�� ������ %��%�����' ��� %��%���� � �9�& &����

4���9�&� %�� �� �9� ������ ��������

������ � ������� �

,�� �� '����� F ������� ������� ��)���& ���� �� '����� F � ������)���-

����

� ������ ������ ������� ������ ������ �&� %�������� �7��&�& L� � %���5����& ����/�&� %������� &� ���� �-(1) � ������ ������ ����" �� ��� ����&� ���&� L %�������

Page 151: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

&� �� �� ������������ 4����' �9� �� � � ����&� ���&� L������������(2) � ������ ����� �������� &� ������ MP ���� ��& %������� ��%����� MP (�� �����������' ��� �� �9�- ��� � A � A ⇒ B ���7��������' ���� �� � B ������������>� ��5 ��������� ���� ������ �������� *��&�' ��� �� ���&���F �����&� ������ ������' ��� ���&� L' ���� � ��& ���&� %���������� � ������ ����� �� (���& �����&� � ����&� ���&� L' � ��& �����& (����&� � �����(/� %����� MP � >� .�0 �&�&� ��� �� �& �����&� ��� ����� �����������' � �� .�0 �� � � � �&�����& (����&� ������������ 4����' � �& (����&� ���������&��� F � �����������' %� � ���&��� � ,����& ������' ���7&��� F � 1����(���&� �� ��� �����&� ������ ������ &��� ���������������' ��� �� �9� ������ �������-

��� �� � F ' ���� �� |= F �

@���� �� ����9�&� �� �9� ������ %��%������

������ � ��� ���� �

,�� �� '����� F ������)���& ���� �� '����� F � ������� ������� ��)���-

6�� ����9�&� ���� ��������� ������ ���� �9� �� �����&� ������ ��7����' � ���� ����+���� ��� � ,�&��

������ �

�� ������� ������� ��)��� ����/��� ��� �� '����� A ∧ B �������& ���� � � '����� A � B �������8��� ��� � '����� A � B �������& ���� �� � A ∧ B �������8��� ��� �� A �������& ���� � ��� ��� '���� C� � A ∨ C � C ∨ A �������8�� ��� �� '����� A ∨ B �������& ���� �� � B ∨ A �������8��� '����� A ⇔ B �� ������� ��� � ���� ��� � A ⇒ B � B ⇒ A �������8� � (A ∨ B) ∨ C �� ������� ��� � ���� ��� �� A ∨ (B ∨ C) �������8�"� ��� � '����� A ⇔ B � B ⇔ C �������& ���� �� � A ⇔ C �������-

����

�� �� ������ �� ���+� �������� � ���&� N � 8�����&� ������7/��� �� �� C �����&� ���� � ���&� N %����� ����� ������ � C�.�0 � ���&� N %����� ����� D ������ � A ∧ B� 8����� � ���

�����' %���&� ���� � ������-

D� A ∧ B

� A∧ E1 �

D� A ∧ B

� B∧ E2� 4����'

���&��� A � B � �����&� ������ �������

Page 152: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � *%>��;93 =3%>��3

.�0 � ���&� N %����� ������ D1 � D2 ����& ������ � A � � B�

8����� � �� ������' %���&� ���� � �����-

D1

� A

D2

� B

� A ∧ B∧ U � 4����'

���&��� A ∧ B �� �����&� ������ �������

."0 � ���&� N %����� ����� D ������ � A� 8����� � ��� �����'

%���&� ���� � ������-

D� A

� A ∨ C∨E1 �

D� A

� C ∨ A∨E2� 4����' ���&���

A ∨ C � C ∨ A � �����&� ������ �������

.�0 � ���&� N %����� ����� D ������ � A ∨ B� 8����� � ��������' %���&� �����-

D� A ∨ B

A � A

A � B ∨ A∨ U2

B � B

B � B ∨ A∨ U1

� B ∨ A∨ E� 4����' ���&��� B ∨ A ��

�����&� ������ �������

.�0 8��� A ⇔ B ��%�+�&� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)' ���� �� ��� ���%�����/� ����� .�0 � .�0� *��&�' ��� �� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) ���7��&� ������ ������' ���� � ���&� N %����� ����� D ������� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)� 8����� � ��� �����' %���&� ������-

D� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

� A ⇒ B∧ E1 �

D� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

� B ⇒ A∧ E2 4����' ���&���

A ⇒ B � B ⇒ A � �����&� ������ ������� � ����� �����' ��� ����&��� A ⇒ B � B ⇒ A �����&�' ���� � ���&� N %����� ������������� � A ⇒ B � � B ⇒ A' ����& D1 � D2� @� ,�5 %���&�

�����-

D1

� A ⇒ B

D2

� B ⇒ A

� (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)∧ U � 4����' A ⇔ B ���� �����&��

. 0 E��&��� ((A∨B)∨C) ⇔ (A∨ (B∨C)) �� �����&� ������ ������

.������ # �� ������ "����0' %� �� ���� .�0' ������&� �� � �����&�� ((A ∨ B) ∨ C) ⇒ (A ∨ (B ∨ C)) � (A ∨ (B ∨ C)) ⇒ ((A ∨ B) ∨ C)'��� � N %����� ������ ������� � ((A ∨ B) ∨ C) ⇒ (A ∨ (B ∨ C))� � (A ∨ (B ∨ C)) ⇒ ((A ∨ B) ∨ C)' ����& D1 � D2� <�� �� ���&���(A ∨ B) ∨ C �����&�' ���� � ���&� N %����� ����� D ������� (A ∨ B) ∨ C� 8����� � ��� ����� � ����� D1' %���&� �����-

D1

� ((A ∨ B) ∨ C) ⇒ (A ∨ (B ∨ C))

D� (A ∨ B) ∨ C

� A ∨ (B ∨ C)⇒ E

4����' A ∨ (B ∨ C) �� �����&� ������ ������� � ����� �����' ����� ���&��� A∨ (B∨C) �����&�' ���� � N %����� ����� D′ ������� A ∨ (B ∨ C)� ���(�� %���5����& ��(���' ������ � ������ D′ �D2 � %����� (⇒ E)' %���&� ����� ������ � (A ∨B)∨C� 4����'(A ∨ B) ∨ C �� �����&� ������ �������

Page 153: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��#

.#0 <�� � ���&��� A ⇔ B � B ⇔ C �����&�' ���� �' �� �������� .�0' �����&� � ���&��� A ⇒ B' B ⇒ A' B ⇒ C � C ⇒ B� 2����(� �� �� ������ � A ⇒ B' � B ⇒ A' � B ⇒ C � � C ⇒ B%����� ������ � ���&� N � 8����� � ������ ������� � A ⇒ B� � B ⇒ C ����& D1 � D2' %���&� ����� ������ � A ⇒ C-

D2

� B ⇒ C

D1

� A ⇒ B A � A

A � B⇒ E

A � C

� A ⇒ C⇒ U

⇒ E

*� ��(�� ��(��' ������ � ������ ������� � B ⇒ A � � C ⇒ B'&�9�&� ��%����� ����� ������ � C ⇒ A� 4����' �&�&� �� ����&��� A ⇒ C � C ⇒ A �����&�' %� �� ���� ���� (5) ������&��� �� � ���&��� A ⇔ C �����&� ������ �������

@����� �����&� ������ ������ ���� ��� ���� � ��(�� ������&� ���7�������� ��������& � %���5����& ����/�&�� 4����(��� ��(���' &� &� � �������� �&����(�� ������ ����5 ������ ������5 ���&���' � ��� �&��������� � ������� ������ ��5 ������� 6�� ���� ������ �� ������%��������� � ������ MP � ������ ������ �������� ������ ������ MP

�� ���� � ���,��

������

,�� � A � A ⇒ B ������� ������� ��)���& ���� �� � B ������� ������� ��)���-

����

� ������& �� �� �� � ���&��� A � A⇒B �����&� ������ ������' ��7���(���&� �� %����� ���� ������ A1'���'Am = A � C1'���'Cn = A⇒B�4���� ���&��� B � ���&� L %���&� ��������,�& %����� �5������- A1'���'Am = A' C1'���'Cn = A ⇒ B � �����,�& ���&��� B'��� �����(�� %����� MP ' (��� %��&�� � ���&��� Cn = A ⇒ B �Am = A� 4����' ���&��� B �&� ����� � ���&� L' %� �� ���&���B �����&� ������ �������

����� � �����&� ������� ���� � ���� ��������� � �� ������ ������

������ !

� �������� ��)��� ��� �� A ⇔ B ������� � C �������.�� '�����& ���� ����/��� '����� ¬A ⇔ ¬B �� �������8��� '����� (A ∧ C) ⇔ (B ∧ C) � (C ∧ A) ⇔ (C ∧ B) � �������8��� '����� (A ∨ C) ⇔ (B ∨ C) � (C ∨ A) ⇔ (C ∨ B) � �������8�� '����� (A ⇒ C) ⇔ (B ⇒ C) � (C ⇒ A) ⇔ (C ⇒ B) � �������8��� '����� (A ⇔ C) ⇔ (B ⇔ C) � (C ⇔ A) ⇔ (C ⇔ B) � �������-

Page 154: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��! ���� � *%>��;93 =3%>��3

����

6���9�&� �&� �� �� ���&��� (A∧C) ⇔ (B∧C) �� ���� .�0 �����&��*� ���� ���� .�0 ������ � %�+�� �� ���&��� A ⇔ B �����&�'���� � � ���&��� A ⇒ B � B ⇒ A �����&�� 2� ���(� �� � ���&�N %����� ���� ������ D1 � D2 ����& ������ � A ⇒ B � ������� B ⇒ A� 8����� � ����� D1' %���&� ���� � �����-

D1

� A ⇒ B

A ∧ C � A ∧ C

A ∧ C � A∧ E1

A ∧ C � B⇒ E

A ∧ C � A ∧ C

A ∧ C � C∧ E2

A ∧ C � B ∧ C

� (A ∧ C) ⇒ (B ∧ C)⇒ U

∧ U

*� ��(�� ��(��' ������ � ����� D2' &�9�&� ��%����� ����������� � (B ∧C) ⇒ (A∧C)� 4����' ���&��� (A∧C) ⇒ (B ∧C) ����&��� (B ∧C) ⇒ (A∧C) � �����&� ������ ������' %� �� �������� .�0 ������ �' � ���&��� (A∧C) ⇔ (B∧C) �� �����&� ������������� 4����� �� � ����� ���&��� %��� � �� ��(�� ��(���

����� � �����&� �� ������� ������ ������ � ���� ��������� � �������� ������ 1� ����� �� �����&� &�9�&� ������� �� � �� �� ����� ������

� ���� ��������� � � ��&� �� ��( ����������� ��&�,��� ��(�� �����&�� 2������&� �&� ���&������ �� ���& L ������ �������

������ �"

� ������ L �� �������.�� '����� C& D � F � ������� ����� p ����/��� �� � C ⇔ D& ���� �� � F p

C ⇔ F pD-

����

6�&�����&� %�������� ���&��� F � 2����&� �&� �������� ��7���/���& %� ����� �������5 ����(��5 ������ � ���&��� F �

���� �����/���' ���&��� F �&� � �������5 ������' ��� F �� ���⊥ ��� ���� ������ ���� <�� �� F ��+ ⊥' ���� �� F p

C = ⊥pC = ⊥

� F pD = ⊥p

D = ⊥� 4����' ���&��� F pC ⇔ F p

D �� �����&�� <�� ��F ������ ��� q � q �� �����(��� �� p' ���� �� F p

C = qpC = q �

F pD = qp

D = q� 4����' ���&��� F pC ⇔ F p

D �� �����&� q ⇔ q' %� �9�� F p

C ⇔ F pD� <�� �� ���&��� F ��+ ������ ��� p' ���� �&�&�

�� �� ���&��� F pC = pp

C = C � ���&��� F pD = pp

D = D� 8��� �9�� C ⇔ D' �&�&� � � F p

C ⇔ F pD�

>����/���� %���%�����- �����&� �9� �� ��� ���&��� F �����&� &�,� �� n �������5 ����(��5 �������

4���9�&� �� �����&� �9� � �� ���&��� ���� �&� n �������6�&�����&� ���&��� F ���� �&� n ������� E��&��� F &�9��&��� ����� �� ���� �5 ������-

A ∧ B' A ∨ B ��� A ⇒ B�

Page 155: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

��� ������ �� �� ���� �� ��� ������� ������ �&� ���&��� F ,���%�����&��� A � B �&��� ��� ����� ����� &�,� �� ���&��� F ' %��� ,�5 �9� �����/���� %���%�����' ��� �&�&� �����&�-

� ApC ⇔ Ap

D � � BpC ⇔ Bp

D�

�� �&� �������� �&� ��(�� ���� �� ���&��� F ������ A ∧ B����(���� ���� �� F ������ A∨B ��� A ⇒ B �������� � ���������6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A∧B� *� ���� ������/�������/��� ������&�� ��&��� �&�&�-

F pC �� ���&��� Ap

C ∧ BpC � F p

D �� ���&��� ApD ∧ Bp

D�

1� � BpC ⇔ Bp

D � ���&��� ApC �9� ��� .�0 ������ !-

� (ApC ∧ Bp

C) ⇔ (ApC ∧ Bp

D)�

>�� ����' �� � ApC ⇔ Ap

D � ���&��� BpD �9� ��� .�0 ������ !-

� (ApC ∧ Bp

D) ⇔ (ApD ∧ Bp

D)�

E��&��� (ApC ∧ Bp

C) ⇔ (ApC ∧ Bp

D) � (ApC ∧ Bp

D) ⇔ (ApD ∧ Bp

D) ������&�' %� �� ���� ���� .#0 ������ �' ������&� �� �� � ���&���(Ap

C ∧ BpC) ⇔ (Ap

D ∧ BpD) �����&�' ���

� F pC ⇔ F p

D�

*�����' ��� � � �&����(��� ������ ���(�+ � %��&��� ������ �" ������ �� ������-

��� �� ���&��� C ⇔ D �����&� ������ ������' ��� � C ⇔ D'� � ����� ���&��� F ���� ����,� ,��� %�����&��� C ��&���&� � D'���� ������&� ���&��� F ′ ���� �� �� F ⇔ F ′ �����&� ��� � F ⇔ F ′�

� �������& ������� %������ �&� ������ �� � ����������� ��%+���� ��7���� ������������� ��� � ��%+���� 4� �������� ������ �����&� �������������

������� �" E��&�����%+���� ������ �������������-

((∨n

i=1 Ai) ∧ C) ⇔ (∨n

i=1(Ai ∧ C)) � ((∧n

i=1 Ai) ∨ C) ⇔ (∧n

i=1(Ai ∨ C))

� ��%+���� 4� �������� ������-

(¬(∨n

i=1 Ai)) ⇔ (∧n

i=1 ¬Ai) � (¬(∧n

i=1 Ai)) ⇔ (∨n

i=1 ¬Ai)

� �����&� ������ �������4���� �� %�� ���&��� �� �������� ������ �� �� �� ���&��� ���7�������� .�� ������� � � ������ ����"0� ���� �����/���- ����� ��7����������� ∧ � ����� �� ∨ �� �����&� .������� � �� ������"�����0 >����/���� %���%�����- ((

∨ni=1 Ai)∧C) ⇔ (

∨ni=1(Ai ∧C))

�� �����&�� *� ���� ������ �� �� ����� ������������� ∧ ������ �� ∨ �����&�' �&�&� �����&�

Page 156: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

((∨n

i=1 Ai ∨ An+1) ∧ C) ⇔ (((∧n

i=1 Ai) ∧ C) ∨ (An+1 ∧ C)).

E��&��� ���� �� �����&� %� �����/����� %���%���/� � ���&���An+1 ∧ C' �� ���� ���� ."0 ������ !' ���� �����&�

(((∨n

i=1 Ai) ∧ C) ∨ (An+1 ∧ C)) ⇔ ((∨n

i=1(Ai ∧ C)) ∨ (An+1 ∧ C)).

>� ��5 �����&�' �� ���� ���� .#0 ������ �' ������&� �����&�

((∨n+1

i=1 Ai) ∧ C) ⇔ (∨n+1

i=1 (Ai ∧ C))�

���(�� � %���%� � � ������&� �� ����� ��%+���� �������

6������� ��& �� � ������� ������ ������ � �� � ��� 2� ������ ����� ���&������ �� ���& L ������ ������ ��� � ���� ����� �� ���������� ����� ������ � �� � �� � ��&� � �&��� ����������� %�+� �����&�'��� �&��� ����� |= %�+�&� � � �&��� ������ �� � ��%+���� ������ �������7������ � ��%+���� 4� �������� ������ ����������� ������&� ������ ��������� �" �� � ��� �����&��

������ ��

� ������ L �� ���� '���� F ������� (�� ����� '����� F k ��������������������� '���� � (�� ����� '����� F d ������������ ��������� '����& ������� ����/

� F ⇔ F k � � F ⇔ F d�����

6�&�����&� %�������� ���&��� F � <�� � � ���&��� F %�7������ ����/� ���� ��� �� ��%� {∧,∨,¬}' ���� �5 ������ �������/��� ������ ��&�,���&�' ����/�&� �� ��%� {∧,∨,¬}� �����&�&� �� %���%����&� �� �� F ���&��� � ����� ������' ��� �,�� � %������� �&� ����/� ∧' ∨ � ¬� 2����&� ��������&� �����7/���& %� ����� ������ ���&��� F ' ����� n�

���� �����/���' ���&��� F ��&� ������' n = 0� 2� ���(� �� �����&��� F ���� ������ ���' �� %��&�� ������ ��� p� 2��9������&��� F k � F d � �&� ������ ��� p�

>����/���� %���%�����- �����&� �9� �� ��� ���&��� F �����&� &�,� �� n ����(��5 �������

4���9�&� �� �����&� �9� � �� ���&��� ���� �&� n �������6�&�����&� ���&��� F ���� �&� n ������� E��&��� F &�9��&��� ����� �� ���� �5 ������-

A ∧ B' A ∨ B ��� ¬A�

��� ������ �� �� ���� �� ��� ������� ������ �&� ���&��� F ,���%�����&��� A � B �&��� ��� ����� ����� &�,� �� ���&��� F ' %��� ,�5 �9� �����/���� %���%�����- %����� ���&��� Ak � Bk ������������� ���&����� ���&� � ���&��� Ad � Bd � ��������������&����� ���&�' ���� ��-

� A ⇔ Ak' � A ⇔ Ad � � B ⇔ Bk' � B ⇔ Bd�

Page 157: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

�� �&� ��� ���� ����� �����&� �&� � ��(��� ���� �� ���&���F ������ A ∧ B� 6���%����&� �� �� ���&��� F ������ A ∧ B �������&� %�� ���&��� F k�>� � A ⇔ Ak � � B ⇔ Bk' �� ���� ������ �"' �&�&�-

� (A ∧ B) ⇔ (Ak ∧ Bk)'��� � ���&��� Ak � Bk � ������������ ���&����� ���&�� ����� ��� ���&��� Ak∧Bk � ������������ ���&����� ���&�' %� �� ���9������&��� F k ��+ ���&��� Ak ∧ Bk�@�����&� ��� ���&��� F d�@� ���&��� Ad � Bd � ����������� ���&����� ���&�' ������ ������� ��/��������� �� ∧ � ∨ .��� %��&�+���� � �������0' &�9�&����&����� ���&��� Ad

1 � Bd1 � ����������� ���&����� ���&� ����

� ����& ��%+���� ������/��� C1 ∨ ... ∨ Ck .k ≥ 10 � C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j

.j ≥ 10' ��� �� ��� ���&��� Ci' 1 ≤ i ≤ k' � ��� ���&��� C ′i'

1 ≤ i ≤ j' ��%+���� �������/���� 8��� � ������ ��/��������� ��∧ � ∨ �����&� .����� ������ #0' ���� �� ���� ���� .#0 ������

� �9�-� Ad ⇔ Ad

1 � � Bd ⇔ Bd1 '

� ������' �� ���� ������ �"' �&�&�-

� (Ad ∧ Bd) ⇔ (Ad1 ∧ Bd

1 ).>� � A ⇔ Ad � � B ⇔ Bd' �� ���� ������ �"' �&�&�-

� (A ∧ B) ⇔ (Ad ∧ Bd).4����' �� ���� ���� .#0 ������ � �&�&�-

� (A ∧ B) ⇔ (Ad1 ∧ Bd

1 ).E��&��� Ad

1 ∧ Bd1 �� (C1 ∨ ... ∨ Ck) ∧ (C ′

1 ∨ ... ∨ C ′j)� <�� %�����7

&��� C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j ���&��� Ad1 ∧ Bd

1 ����(�&� � C ′' ���� �� Ad1 ∧ Bd

1

���&���- (C1 ∨ ... ∨ Ck) ∧ C ′� *� ���� �����&� ��%+���� ������������������ ∧ � ����� �� ∨ .����� ������� �"0' �&�&� ���7��&�-

� ((C1 ∨ ... ∨ Ck) ∧ C ′) ⇔ ((C1 ∧ C ′) ∨ ... ∨ (Ck ∧ C ′)).E��&��� � ���� ����� ������ ⇔ � ��� �����&� �� ������-

(C1 ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j)) ∨ ... ∨ (Ck ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j)).��� �� C ′ ���&��� C ′

1 ∨ ... ∨ C ′j0 � �� ���&��� �&� ����(��� � F1�

>&�&� �� � ���&��� F1 ����� �� %�����&���

Ci ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j)' 1 ≤ i ≤ k'%������5 ������/���&�� >� �����&� ��%+���� ����� �������7������ ∧ � ����� �� ∨' �� ���� ������ ��&��������� �� ∧'�&�&� ���� � �����&�-

� (Ci ∧ (C ′1 ∨ ... ∨ C ′

j)) ⇔ ((Ci ∧ C ′1) ∨ ... ∨ (Ci ∧ C ′

j))�� ��� i' 1 ≤ i ≤ k� � F1 ��� %�����&��� Ci ∧ (C ′

1 ∨ ... ∨ C ′j)'

1 ≤ i ≤ k' ��&�,���&� ���&���& (Ci ∧C ′1)∨ ...∨ (Ci ∧C ′

j) � ������&����&��� F2-

Page 158: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

((C1 ∧ C ′1) ∨ ... ∨ (C1 ∧ C ′

j)) ∨ ... ∨ ((Ck ∧ C ′1) ∨ ... ∨ (Ck ∧ C ′

j))

� �� ���&��� �� � ����������� ���&����� ���&�� *� ���� ���

���� �"' �&�&�-� F1 ⇔ F2�

���� �� � (A ∧ B) ⇔ (Ad1 ∧ Bd

1 )' � (Ad1 ∧ Bd

1 ) ⇔ F1 � � F1 ⇔ F2' ������ ���� .#0 ������ �' ������&� �����&�-

� (A ∧ B) ⇔ F2�

4����' ���9��� ���&��� F d �� ���&��� F2�

8��� �� F ������ A ∨ B ��� ¬A ����� �� �������� ��& �������

*� ����� �� ������� ������ ������ � �� ������ ����"�

������ ��

,�� �� '����� F ������� ������� L& ���� �� ���� ������� ����� p '����� F ��������.� ������ '���� C � '����� F p

C �� ������� ������� L-����

<�� �� ���&��� F �����&� ���&� L' ���� %����� ����� ���&��� F� ��& ���&�- F1'���' Fn .n ≥ 10' ��� �� Fn ���&��� F � <�� � ������ ���&��� Fi' 1≤i≤n' ������ ��� p ��&���&� ���&���& C' ����������&� ��� ���&��� F1

pC '���' Fn

pC � ���&��� Fn

pC �� F p

C � :��� ���� �� �� ��� ��� ����� ����� � ���&� L � %����,�& ���&���&F p

C � 4����' ���&��� F pC ���� �����&� ���&� L�

� ������ ������ %��%�����' ��� �� �� ��� ����������� �����&� ������������' ������ �&� ������ �� �� ��� ����������� � 8*E �����&� �������������

������ ��

%��� �� '����� F 9%2-,�� �� '����� F ������)���& ���� �� F ������� ������� ��)���-

����

>����� ������ �&� %�������� ���&�& L� 6�+�� �� ���&���F � 8*E ��� �� ������ A1 ∧ ... ∧ Am' �� ���� %������� ���� m ≥ 1'��� � � ���&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m' �(�,��� �� �������� %������5������/���&�� E��&��� F �� �����������' %� �� ���� ������� #�� ������ �����' � ���� �� ���&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m' &��� �� � �������� ������ ��� p � ,���� ����/��� ¬p� 2� ���(� �� �� ��� ���7&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m' &�9�&� %��&�+��,�& ,���5 �������� .����+7 �,�& ������ ��&��������� � ��/��������� �� ∨0 ������ ���7&��� A′

i' 1 ≤ i ≤ m' ������ (p∨¬p)∨A′′i ' ��� �� p ������ ��� ���� �

������� � ���& ����/���& ¬p ���� � Ai � ���&��� A′′i �� ��(�,�7

�� �� %�������5 �������� ���&��� Ai %������5 ������/���&�� �

Page 159: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��"

������ # �� ������ "���� %������� &� �� �� %�������� ���&��������� A ∨ ¬A �����&� ������ ������� 4����' ���&��� p ∨ ¬p �������&� ������ ������' ��� �L p ∨ ¬p� ����� ��� �� ���&��� A′

i'1 ≤ i ≤ m' ���� ������/��� ����� �����&� � ���� ���&��� A′′

i ' %��� ���� ���� ."0 ������ �' ������&� �� �� ��� �� ��5 ���&���A′

i' 1 ≤ i ≤ m' �����&� ���&� L� 8��� &� �� ��� i' 1 ≤ i ≤ m'���&��� A′

i ������ �� Ai %��&���& ������ ��&��������� � ��7/��������� �� ∨ ��' �� ���� ����� .�0 � . 0 ������ �' �&�&��� �� � ��� ���&��� Ai' 1 ≤ i ≤ m' �����&� ���&� L-

�L A1' � � � ' �L Am.

8����� � �� �����&�' �� ���� ���� .�0 ������ � ������&� �� �����&��� A1 ∧ ... ∧ Am = F �����&� ���&� L' ��� �L F �

���� ������ � ����� �� ���� ��

� ������ ������ %��%����� ������ ������ �&� %�������� �7��&�& L� 6���%����&� �� �� ���&��� F �����������' ��� |= F �6������� �� �������� �� �� ���&��� F �����&� ������ ������� 1����&��� F ' �� ���� ������ ��' %����� ���&��� F k � 8*E ������ �9�-

�L F ⇔ F k (∗)

*� ���� ������ �' ��� ������ �������' �����&� F ⇔ F k �� ������������- |= F ⇔ F k�

4����' �&�&� �� � ���&��� F � F k ����������' F ≡ F k' � �� �����&��� F �����������' %� �����(���&� �� �� F k ������������ ������� ���� ������ ��' ������&� �� �� ���&��� F k �����&� ������������- �L F k�

>� (∗) �� ���� ���� .�0 ������ �' �&�&� �����&� �L F k ⇒ F �

8���(��' �� �L F k � �L F k ⇒ F ' �� ���� ������ ' ������&��L F ' ��� ���&��� F �� �����&� ������ ������� 1����(���&� ����� ����������� &��� ���� �����&� ������ ������' ��� �9� ��7���� %��%�����-

��� �� |= F ' ���� �� � F �

%���2 �"������� � ������������� ������ � ��

8����� � ������ �� �� ������ ���&��� �����&� ������ ������ ��� � �&���� �� �����������' ������ �&� �� �� ������ ������ ����(�� � ��%������(�����&���� ��������

Page 160: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ���� � *%>��;93 =3%>��3

������ ��

2������� ������ ������� ��)���& ������ L& �� ���+��-

����

1� ��� ������ ���&��� F &�9� � �������� %������� �� �� ������������� .�� %��&��' &�����& (�+ �,�0� 8��� �� ������ ���7&��� �����&� ������ ������ ��� � �&� ��� �� �����������' ���� ��� �� ��� ������ ���&��� F &�9� �������� %������� �� �� �������&� ���&� L� 4����' ���& L �� ����(��

������ ��

2������� ������ ������� ��)���& ������ L& �� ����������+��-

����

8��� �� ������ ���&��� �����&� ������ ������ ��� � �&� ����� �����������' ���� �� ��� ���&��� ���� ���� ����������� ������ �����&� ���&� L� 4����' %�+�� �&� ���&��� ���� ��� ���7��������' ���� �� ���&��� ��� �� �����&� ���&� L' ��� ���& L�� ��%������(���

%���3 ����������� ��������� ������ � ��

��9�&� � %����� ���� �- ���� ���& ������&� ��� %��+���&� ���&������ ������ L ����& ���&���&' ��� ��� ��%���&� ���& ���� ��� ��7��&� �&� ����&� ���&� L � ��+ ���� ���&��� ���� ���� �����&� ���&�L) @����� �� �� %���,� �� �� � � ���� ��������& ���&� .��� ������ �� ������ �� �� ������ ���&���0 � ������ ���&��� �����&��

@%�+�&� %�� %��%��� %��/���� +�� ���(� %��+����� ���� ���&�������& S ����& ,����& ���&���& F � 2� ���(� �� ���&���&� ��� ���&S ′ � ���& ��%�& �&����' ���&��� � %����� ���Æ�,� ��� � ���& S�&� �� ��% ����&� ���&� S ′' ��% A(S ′)' ��% ����&� ���&� A(S) �������& ���&���& F ' ��� A(S ′) = A(S) ∪ {F}� F�9�� �� ��� � �� � %����& �����,�& ���&��� F %������&�� �� �� F ����� 5�&� ����&�� <��' ��%��&��' ���& L %��+���&� ���&���& F = (A ∨ B) ⇒ (A ⇒ B)' ��� � A �B %�������� ���&���' ���� �� � ((D ∧A)∨ (A ⇒ C)) ⇒ ((D ∧A) ⇒ (A ⇒ C))����� ����&� ���&� L′ ��� �� �� ���&��� ���� ������ ��� F � ����� �� A���&��� D ∧ A' � B ���&��� A ⇒ C� E��&���� ���& S ′ ���� �� �� �%������(�� ��%����� �� ���&� S �� �&� %��+���,� ���&� S ���&���& F �

4� �� �� ���� ���&���� ���& S �������(�� %��%�� ���� �� ,����5%��+���,� �����(���& ���&���&�� ;� ������/��� �������(�� %��%�������&��

Page 161: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ���

!�'������� ��������+�� ������) '�������) �������

*��� �� S ����� ���&���� ���&� <�� �� ��� ���&��� F ���&�S' ���� ���� �����&� ��� ���&�' �9� �� � � %��+���,� ���&� S��& ���&���& F ' ���&� SF ' � ���&��� �����&�' ���� �� ���&S �������(�� %��%�� ���&�

6����� �&� �� �� ���& ������ ������ L �������(�� %��%�� ���&� 6�7&�����&� ���&���� ���& ������ ������' ���& L� *�%���&� ���& L′

���� �� %��+���,� ���&� L ���&���& A ���� ���� �����&� ���&� L� 1����&� L � L′ �9� ���� �-(i) �� �����&� ���&� L &����� ���� �����&� ���&� L′� *��&�' ��� �� �������&��� F �����&� ���&� L' ���� %����� ����� �� ���&��� (��� ��� ���7&��� �� ��� ����&� ���&� L ��� �����(�� %����� MP �� %���5����5 ���7&���� <���&� ���� � %������� � ��& ������ � ����&� � ���&� L′ � MP�� %����� ���Æ�,� ��� ���&�� 1��� ��� ����� ���� ����� � � ���&� L′' %��� ���&��� F �����&� � ���&� L′�(ii) @����� ���� � %��������� � �������� ���� �� ���& L �9� � �����& L′� � ������&� ������ ���� ����9���� ����&��� �� �� �� %����� �5�����&� %�&������� ���&����� ���&� �� %�&� %����� ���Æ�,� %���&���� �����&� ��� ���&����� ���&�' � ���&� L � L′ �&��� ��� %��������Æ�,��

8����� � �� ���� ����9�&� �� �� ���& L �������(�� %��%���

������ ��

2������� ������ ������� ��)���& ������ L& �� ��������+�� �����-����

6�&����&� ���&��� A ���� ���� �����&� ���&� L� *��� �� �7��& L′ %��+���,� ���&� L ���&���& A� � ���&� L' �� ���� ������ ��' �� ���&��� A %����� ���&��� Ak � ������������ ���7&����� ���&� ���� �� �9�-

�L A ⇔ Ak�E��&��� Ak �� ������ B1 ∧ ... ∧ Bm' �� ���� %������� ���� m ≥ 1'��� � � ���&��� Bi' 1 ≤ i ≤ m' �(�,��� �� �������� %������5������/���&�� E��&��� A ���� �����&� ���&� L' %� �� ���������� %��%�����' ���� ������������ E��&��� A ⇔ Ak ���� ���7��&� ���&� L' %� �� � �����������- |= A ⇔ Ak� 4����' �&�&� �� ����&��� A � Ak ���������� � �� A ���� �����������' %� �����(�7��&� �� ���&��� Ak ���� ������������ 2� ���(�' �� ���� ������� #�� ������ � �����' �� &�Æ� ���&���&� B1, ..., Bm %����� ���� ���7&��� � ����� � �� ������ �������� q � ¬q �� �� ����� ������ ���q .��� ��� � ���� ���� ������ ��� q' ���� � �� ���� ¬q' � ���7����0� *��� �� �� ���&��� Bj ' �� ���� j ��&�Æ� 1 � m�F����&� � ��� � ���& L′� � ���& ���&����& ���&� ����&���� ���&� � � ,���� �����&�' ���� �� � ����&� A ���&� L′

�����&� ��� ���&�- �L′ A� >&�&� �� �� ���&��� A ⇔ Ak �����&�

Page 162: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

�� ���� � *%>��;93 =3%>��3

���&� L' %� �� ��&� .�� ���� (i)0 �����&� � ���&� L′' ��� �9�-�L′ A ⇔ Ak� >� �� �����&�' �� ���� ���� .�0 ������ � .�� ���&L′0' ������&� �����&�- �L′ A ⇒ Ak� ���� �� �L′ A ⇒ Ak � �L′ A ������ ������ .�� ���& L′0' ������&� �� �� Ak �����&� ���&�L′-

�L′ Ak.

>� ���� +�� �� Ak �����&� ���&� L′' �� ���� ���� .�0 ������ �

.�� ���& L′0 ������&� �� �� ��� ���&��� Bi .1 ≤ i ≤ m0 �����&����&� L′� 4����' � ���&��� Bj �� �����&� ���&� L′-

�L′ Bj .

*�+ /�� �� �� %���9�&� �� �� ���� ���� ������ ��� p �9�- �L′ p�4� ��&� �� %������� %������� �� �������� �� �9�- �L′ Bj ⇔ p�*� ���� ������ ���&��� Bj ' ��% ������5 ��� ���� � ������7�� � ���&��� Bj � ��% ������5 ��� (��� ����/��� � ��������� ���&��� Bj � ��������� ��%��� 1��� � ���&��� Bj &�9�&����+��� ���� ��&���- ��� ������� ���� �� ���� ������ �����&�,���&� ������& ���& p' � � ���& �������� ���� �� ����/�������� ������� ��� �� ������ ��� ��&�,���&� � ¬p� .4� %������������(�� ���&��� r %�&�����5 ��%��' ��� �� � � r � ¬r ������� Bj ' �� ��&� &���� �� �����&� �� ��&���' ��� ��&� &����� �� r��&���&� � � p � � ¬p�0 3������� ��5 ��&��� �� ���&��� B ��(�7,��� �� p � ¬¬p %������5 ������/���&��.*� %��&��' ��� �� ���&��� Bj ������ (s∨¬q)∨(r∨¬p)' ���� ��������� s � r ��&�,���&� ������& ���& p' � q � p ��&�,���&� � ¬p� �������� �� ���&��� B- (p ∨ ¬¬p) ∨ (p ∨ ¬¬p)�08����� � ���� �� � L .� %� (i) � � ���&� L′0 �9� � ¬¬p ⇔ p� � (p ∨ p) ⇔ p' �+�&� ���� � ��&����� ���&��� B ��� ,��� %�����&��� ¬¬p ��&�,���&� � p � ��7����&� ���&��� C� E��&��� C (��� ����,� ������� ��� p%������ ������/���&� .l ����,� ��� p �� ���� l' l ≥ 10�.� ��+�& %��&��� ���&��� C �� (p ∨ p) ∨ (p ∨ p) � l = 4�0���� � ���&��� C ����� ,��� %�����&��� p ∨ p ��&�,���&� � p�*� ��� ��(�� ������&� ���&��� ���� ������ ��� ���&��� C �����&� l − 1 ����,� ������� ��� p� *����&� �� %���&� ������&��� .�&� �5 ���%�� l−10 � ��� �� ������&� ���&��� � �����&����,�& ������� ��� p' ���&��� p�.� ��+�& %��&��� %��& ��&���& p ∨ p � p � ���&��� C ������&����&��� (p ∨ p) ∨ p' ����& p ∨ p � �� ����� p� >&�&� ��� ��������&���' ��� l − 1 = 4 − 1 = 3�0*� ���� ������ �" .�� ���& L′0' �&�&�- �L′ Bj ⇔ B' �L′ B ⇔ C� �L′ C ⇔ p' %� �� ���� ���� .#0 ������ � .�� ���& L′0' �&�&��L′ Bj ⇔ p� 4����' �� ���� ���� .�0 ������ � .�� ���& L′0'������&� �L′ Bj ⇒ p� 8���(�� �� �L′ Bj � �L′ Bj ⇒ p' �� ���� ������ .�� ���& L′0' ������&�-

�L′ p�

Page 163: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

��� ��6��9� ;%<�6� 6�% *%>��;9� =3%>��� ��#

>� �L′ p �� %�������� ������ ���&��� D' �� ���� ������ ��

.�� ���& L′0' ������&� �L′ ppD' ���

�L′ D�

4����' %�������� ������ ���&��� D �� �����&� ���&� L′�1����(���&� �� �� ���&���� ���& L �������(�� %��%���

Page 164: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens
Page 165: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

����������

I�J ������' �� !�� � ���� ����������' *����' �������' ��#"�

I�J ��9� ' ��' F��� ' ��1���������� � ���� � ���������� ��� � ����'*��(�� �,���' �������' ��!��

I"J F���+�� ' �� 1���������� � ����' O>4' 6������/�' ��� �

I�J Gentzen, G. Untersuchungen uber das logische Schließen. MathematischeZeitschrift 39, 176-210, 405-431 (English translation in The Collected Papersof Gerhard Gentzen, Szabo, M.E. (ed.), North-Holland, 1969)

I�J 4�+��' 8� Logic' �- The Language of Science, Polimetrica, Monza' �� � ��7������ (http://www.mi.sanu.ac.rs/ kosta/Logic.pdf)

I J Zach, R. Completeness before Post: Bernays, Hilbert, and the development ofpropositional logic, The Bulletin of Symbolic Logic, vol. 5, no. 3, (1999), pp.331-366.

I#J G���(� ' 6�1���������� � ���� � ����������' ����&���(�� ��������� �������� .Skripta Internacional0' �������' �����

I!J 8���' <� 5 ����' ���������� � �������� .1��� �� �����(�� ��5����2�5����+��7&�����+��� ���������0' �������' ���!�

I�J Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand Reinho Co.,1964.

I��J �������� ' K�' ������ ' 1� � 4�+��' 8� B������ �� � ����� �

� ����' 1��� �� �C������ � ������ �����' �������' ��! �

I��J Prawitz, D. Natural Deduction, Almquist and Wiksell, Stockholm, 1965.

I��J 6��+� ' �� A������� ����������� � ����' *��(�� �,���' �������'��!��

���

Page 166: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� � ����������

I�"J 6��+� ' �� � �� #� � � ����������� � ����' ����&���(�� �������'�������' ��#��

I��J Frege, G. The Foundations of Arithmetic, translated by Austin, J. L., Harperand Brothers, New York 1953.

I��J Chiswell, I. and Hodges, W. Mathematical Logic, Oxford University Press, 2007.

Page 167: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

����� �����

��������� ��������' "�������� ������ ������' �������&����(�� ����/���' ����/������� �%���/���' ""

���� ������' ������(�� ����/���' ��������(�� ���' �#�����/���' � ������� �%���/���' "�������� ����/���' �#������� ���' �"����� �������' !"

����/���' �������� ������ ������' �������/�' "�

�����' �������,�' �"

4������ %������' � ������/���' ������������ ���&���� ���&�' � ����������� &��9�' !������ �� ��%� 5�%�����' �������� ������ � ���&� N ' ��!����� � ���&� L' �"������ � ���&����� �������' ������' ����� ���&���' �!

���������� ���&���' �

������� ����/���' ����������� ������/���' �������/���' �

����' "������� ���&���' � ������� ������' ��

����,� %����(�' ������,� %�����&���' �#

���������� ����' ������ �������/���' ������(��(�� ��%' ����&%��&��� ��%�' ����&%���/��� ����/���' �#��&������� �%���/���' ""����(�� ���' �#����(�� ���' �"����������� ���&���� ���&�' � ���������/���' ��

���' �"�������' ��

&���&���(�� �����/���' �&��9�' !�

��%������(�� ���&���� �������' ���������� �%���/���' "�

����(�� ���&���� �������' ���

%�������� ��%' ��%��/������ ����,�' ��6���� %�����' ��"%����(' ��%����%' �"%���&��9�' !�%�����/� ��%� ���&���' ���%��%��� �����/���' �

� �

Page 168: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

� � ������ ������

%��%���� ������ ������ � �9�& &���'���

%��%���� ������ ������ � +���&&���' ���

%�����&���' �#%��� %����%' ��%����� ����,� ���&� N ' ��#%����� ����� ��,� �� %������(7

���' ���%����� modus ponens' �"�%������� ��%' �#%�������,�' ��%���� ��%��' ��%���/�% ������� ����/���������'

��%������(�� ���&���� �������' ���

������� ��%��' ��3���� %������' ������/���' � ����/��� �������/���' ������/����7�%���/���� ��������' "���������� ����/���' �!

�&������' �"�&����(�� ����/���' ��������' �"�������(�� %��%�� ���&���� �7

��&' ������& L' �"����& N ' �����%' ����% ����&� ���&� L' �"���% %�����&���' �#�����/���' �

�����������' �������&� ���&� L' �""�����&� ���&� N ' ��������&� ���&���� �������' ������������� ����/���' ��

������ �%���/���' "������� ����/���' �#����� ��%��' ��

������&�� ��&��� .�%����/���0'��

������ %��' �

���&���� �������' ������&���� ����/�' ������/���' ������/������� %��%����' ������/������� %��%�� ��% ������'

��

(��' ��

+������� ����/�' !�

Page 169: GCLC - MOM filozofijamom.rs/.../2015/10/Borisavljevic-Mirjana-Uvod-u-logiku-I-deo.pdf · 4% ' Æ ,0 ( % 9 ' & %& 9 & % & /& ( 5 % ' ( & && 5 % 1 ( ( & & /& 6& & % ( % ' % modus ponens

'���,�� � �����

������� �������� ��%��&����� �� �� ����&���(��& ��������� �����7������ � �������� �� &��� &���&���(�� �������� � %��&���� @� ��������� ���� ����� ������ ������� �� �� ����������� � <&�����&� .Institutefor Logic, Language and Computation, University of Amsterdam0� *� ����&�7��(��& ��������� ����������� � �������� &���������� �� ����� ������' ������������ ���#� �������

@� ����� ������ ���� �� ������ ����& ��������� � ��������� � &��������� ������ �������� �� � ��,� �������� %������� ������ ����� ����������� �9� ���(�� ����� ����&������ @� ������� ����� ������ �� ;����&��&��������� � �������� ����9���� �� ��� ������� �� %���&��� �����������@� ������� ���"� ������ �� E��������& ��������� � ��������' �� @����,��� ����������' ����9���� �� �� ������� %���&�� ���������� .���� �!� �

"�#�$�"�!� ����������0� *� ���& �����,� �����&�� ������ ���!P�� ��9����� ��� ������� *� &��� >����&����� F���� <����&��� �� �%��&��� ���"��� �%��&��� ���#� ������ %������� �� %���&�� ���������� % .���� ��&�����������0� 8������ �� �� ������ ���������

@� ����� ������ ����9���� �� ��� ����9��(7������� �� ���(��& %��7�����&� ����&���(��� �������� �<*�� � ����� ���(�� ������ &���&���(��������' ��� � �������& ������� �� ���(��& ��%+��,�&� �(������ �� ���+� ��&� �5 � &���������5 ���(��5 ��%��� � ��&� �& � &���������&(��%��&� ������� �� �+� ���(��5 ������

� "