Gas de Bose en cables multifilamentosbqmc.upc.edu/pdfs/doc889.pdf · Gas de Bose en cables multi lamentos Efectos de la variaci on de la densidad de part culas Efectos de la variaci

Gas de Bose en cables multifilamentos

M. C. Grecia Guijarro GamezPosgrado en Ciencias Fısicas

Universidad Nacional Autonoma de Mexico

Dr. Miguel Angel Solıs AtalaDirector de Tesis

Instituto de Fısica, UNAM


Contenido

Motivacion

Bosones confinados en tubos multifilamentos

Propiedades Termodinamicas

Energıa internaCalor especıficoPoblacion del estado base

Resultados

Tubo semi-infinitoTubos multifilamentos. Casos isotropicos y anisotropicosEfectos de la variacion de la densidad de partıculasCriterios para una temperatura de condensacion

Conclusiones

M. C. Grecia Guijarro Gamez (PCF) September 29, 2016 1 / 34


Motivacion

Bosones atrapados en redesopticas

Superconductores

Condensacion de Bose-Einstein

I. Bloch, Nature Physics 1, 23 (2005).

M. Bretz, Phys. Rev. Lett. 31, 1447 (1973).



Planteamiento del problema

Descripcion detallada de los efectos de confinamiento en las propiedadestermodinamicas de un gas ideal de Bose en cables multifilamento

Gas ideal de Bose libre vs. Gas ideal de Bose confinado.

(Reference system T0, λ0)M. C. Grecia Guijarro Gamez (PCF) September 29, 2016 3 / 34



Estudiamos N bosones que no interaccionan entre sı confinados enfilamentos de seccion transversal rectangular finita y de longitud infinita,que estan unidos ordenadamente para formar un cable de paredesimpenetrables.

Mi numero de potenciales delta, Li = (Mi + 1)aiai distancia entre dos barreras,vi intensidad del potencial, i = x y y.M. C. Grecia Guijarro Gamez (PCF) September 29, 2016 4 / 34



Potencial de deltas de Dirac,

V (x, y) =

Mx∑mx=1

vxδ(x−mx ax) +

My∑my=1

vyδ(y −my ay),

Ecuacion de Schrodinger para cada boson de masa m en el sistema[− ~2

2m∇2 + V (x, y)

]Ψ(x, y, z) = εkΨ(x, y, z)

Condiciones de frontera

Ψ(0, y, z) = Ψ (Lx, y, z) = 0

Ψ(x, 0, z) = Ψ(x, Ly, z) = 0

Ψ(x, y, 0) = Ψ(x, y, Lz)




La ecuacion de Schrodinger es separable en cada direccion tal queεk = εkx + εky + εkz .

En la direccion z la energıa esta dada por

εkz =~2k2z2m

con kz = 2πnz/Lz, nz = 0,±1,±2, ...

Las energıas de las partıculas en direcciones x y y

Pi0ai0sin(αiai)

αiai+ cos(αiai) = cos

(niπ

Mi + 1

)con ni = 1, 2, ...,Mi + 1

con i = x, y, ai0 ≡ ai/λ0, Pi0 ≡ mviλ0/~2, α2i ≡ 2mεki/~2




La ecuacion de Schrodinger es separable en cada direccion tal queεk = εkx + εky + εkz .

En la direccion z la energıa esta dada por

εkz =~2k2z2m

con kz = 2πnz/Lz, nz = 0,±1,±2, ...

Las energıas de las partıculas en direcciones x y y

Pi0ai0sin(αiai)

αiai+ cos(αiai) = cos

(niπ

Mi + 1

)con ni = 1, 2, ...,Mi + 1

con i = x, y, ai0 ≡ ai/λ0, Pi0 ≡ mviλ0/~2, α2i ≡ 2mεki/~2



Espectro de energıas

Espectro de energıas en unidades de~2/2ma2i como funcion de laintensidad del potencial Pi0.

11 niveles de energıa por banda.

las lıneas negras indican elprimer y ultimo nivel de energıade cada banda.

Cuando Pi0 →∞ los paquetesde energıas permitidas colapsanen un solo nivel que es elcorrespondiente al de unapartıcula en una caja de anchoai.


Gas de Bose en cables multifilamentos Propiedades termodinamicas

Propiedades termodinamicas

Para un gas de bosones el Gran Potencial Termodinamico Ω(T, V, µ) estadado por

Ω(T, V, µ) = U − TS − µN = kBT∑k

ln[1− e−β(εk−µ)]

de donde se obtienen las propiedades termodinamicas usando las relaciones

N = −(∂Ω

∂µ

)T,V

; U = −kBT 2

[∂

∂T

(Ω

kBT

)]V,z

; CV =

(∂U

∂T

)N,V

,

donde z ≡ eβµ es la fugacidad.

U Energıa interna; T Temperatura: S Entropıa; µ Potencial quımico; N Numero de partıculas; kB Constante de Boltzmann;

β = 1/kBT ; V Volumen.



Numero de partıculas

N =∑k

1

eβ(εk−µ) − 1

En el lımite termodinamico hacemos la densidad de nuestro sistema igual

a la densidad del gas ideal libre de bosones

ρ =N

V=

(mkBT02π~2

)3/2

ζ(3/2) =ζ(3/2)

λ30

El potencial quımico µ se obtiene implıcitamente de la siguiente expresion

1 =∑kx,ky

T 1/2g1/2(z0)

a0xa0yζ(3/2)(Mx + 1)(My + 1)

donde z0 ≡ e−β(εkx+εky−µ), gν(z0) la funcion de Bose, T ≡ T/T0.M. C. Grecia Guijarro Gamez (PCF) September 29, 2016 9 / 34


Energıa interna

U(T, V ) se encuentra a traves de la relacion

U(V, T ) =∑k

εkeβ(εk−µ) − 1

Expresion adimensionalizada#

"

!

U −Nε0NkBT

=1

a0xa0yζ(3/2)(Mx + 1)(My + 1)

∑kx,ky

[T 1/2

2g3/2(z0)

+1

T 1/2(εkx + εky − ε0)g1/2(z0)

]

con µ y ε en unidades de kBT0.



Calor especıfico

Calor especıfico isocorico

CV =

(∂U

∂T

)V

Expresion adimensionalizada'

&

$

%

CVNkB

=1

a0xa0yζ(3/2)(Mx + 1)(My + 1)

∑kx,ky

[3

4T 1/2g3/2(z0)

+1

2T 1/2

(2εkx + 2εky + T

∂µ

∂T− µ

)g1/2(z0)

+1

T 3/2(εkx + εky)

(εkx + εky + T

∂µ

∂T− µ

)g−1/2(z0)

]



Otras propiedades termodinamicas

Primera y segunda derivada de µ

1

kB

∂µ

∂T;

T0kB

∂2µ

∂T 2

Numero de partıculas en el estado base

N0 =1

eβ(ε0−µ) − 1

con ε0 ≡ ε0x + ε0y, ya que ε0z = 0.

T

N0

∂N0

∂T=β(ε0 + T ∂µ

∂T − µ)eβ(ε0−µ)

eβ(ε0−µ) − 1


Gas de Bose en cables multifilamentos Gas ideal de bosones libre

Gas ideal de bosones libre. T0, λ0

0.01 0.1 1 10 1000

0.5

1

1.5

2

CV

Nk

B

T T0

¬ 1.925

—–

—–

—–

—–


Gas de Bose en cables multifilamentos Tubo semi-infinito

Tubo semi-infinito

Partıculas bosonicas en un tubo semi-infinito de seccion transversalcuadrada a2, longitud infinita y paredes impenetrables.Mx = My ≡M = 0, Lx = Ly ≡ a.



Calor especıfico



Segunda derivada del potencial quımico






El comportamiento para temperaturas altas es facil de obtener

N0 =1

e1

kBT(ε0−µ) − 1

(1)

Para T/T0 1 nuestro sistema se comporta clasicamente. El potencialquımico de un sistema clasico esta dado por

µ = kBT ln

[ζ(3/2)

(T

T0

)−3/2]

De sustituir la expresion anterior en la Ec. (1) se obtiene

N0 =1

eε0kBT

[ζ(3/2)

(TT0

)−3/2]−1

− 1

≈ 1

[ζ(3/2)]−1(TT0

)3/2− 1

≈ ζ(3/2)

(T

T0

)−3/2



Negativo de la derivada del numero de partıculas en elestado base


Gas de Bose en cables multifilamentos Tubos multifilamentos. Casos isotropicos.

Tubos multifilamentos. Casos isotropicos.

Caso isotropico, Px0 = Py0, Mx = My ≡M y para diferentes valores de laseparacion entre las deltas ax0 = ay0.






Calor especıfico



Calor especıfico


Gas de Bose en cables multifilamentos Tubos multifilamentos. Casos anisotropicos.

Calor especıfico. Sistema anisotropico ax 6= ay.

0.01 0.1 1 10 100 10000

0.5

1

1.5

2

2.5C

V

Nk

B

axΛ0=0.1,

ayΛ0=0.3

ax,yΛ0=0.3

ax,yΛ0=0.1

P0 = 100, M = 10

T T0


Gas de Bose en cables multifilamentos Efectos de la variacion de la densidad de partıculas

Efectos de la variacion de la densidad de partıculas en laspropiedades termodinamicas

ρ = rρ00 con ρ00 =ζ(3/2)

1000a3

Para densidades grandes el efecto de la estructura interna de filamentossobre los bosones se atenua y que es notoriamente importante laestructura conforme se disminuye la densidad.


Gas de Bose en cables multifilamentos Efectos de la variacion de la densidad de partıculas

Efectos de la variacion de la densidad de partıculas en laspropiedades termodinamicas

ρ = rρ00 con ρ00 =ζ(3/2)

1000a3

Para densidades grandes el efecto de la estructura interna de filamentossobre los bosones se atenua y que es notoriamente importante laestructura conforme se disminuye la densidad.


Cirterios para una temperatura de condensacion Efecto de la dimension en Cv

Efecto de la dimension en el calor especıfico de un gas deBose en cables multifilamentos Condensacion Bose-Einstein (BEC)

En sistemas infinitos la BEC toma lugar a una temperatura crıticabien definida, Cv tiene un pico en:— T0 para bosones libres— Tc < T0 para bosones confinados, temperatura crıtica de BEC.

Para sistemas semi-infinitos y finitos la correspondiente transicion seextiende sobre un intervalo finito de temperaturas, alrededor de T0.

Explorar los efectos de tamano finito en arreglos periodicos de filamentos



Efecto de la dimension en el calor especıfico de un gas deBose en cables multifilamentos Condensacion Bose-Einstein (BEC)

En sistemas infinitos la BEC toma lugar a una temperatura crıticabien definida, Cv tiene un pico en:— T0 para bosones libres— Tc < T0 para bosones confinados, temperatura crıtica de BEC.

Para sistemas semi-infinitos y finitos la correspondiente transicion seextiende sobre un intervalo finito de temperaturas, alrededor de T0. Explorar los efectos de tamano finito en arreglos periodicos de filamentos



Calor especıfico para diferentes numeros de filamentos



Calor especıfico para diferentes numeros de filamentos



Criterios para identificar condensacion en sistemassemi-infinitos

La condensacion de Bose-Einstein (BEC) (1924-1925) se observo en 1995en una serie de experimentos con vapores de rubidio y sodio.

Pajkowski and Pathria (1977), el maximo del calor especıfico

Noronha (2014), Tκ para la cual la fraccion del condensadoN0/N = κ con κ 1



Tmax la temperatura a la cual elcalor especıfico es maximo.

Tmin la temperatura a la cual lasegunda derivada del potencialquımico presenta un mınimo.



Tmax la temperatura a la cual elcalor especıfico es maximo.

Tmin la temperatura a la cual lasegunda derivada del potencialquımico presenta un mınimo.



TmaxT0

=1.15 +1.6

(a/λ0)2;

TminT0

= 1.37 +0.36

(a/λ0)2+

0.2

a/λ0

λmaxλ0

=

(TmaxT0

)−1/2



TmaxT0

=1.15 +1.6

(a/λ0)2;

TminT0

= 1.37 +0.36

(a/λ0)2+

0.2

a/λ0

λmaxλ0

=

(TmaxT0

)−1/2


Cirterios para una temperatura de condensacion Conclusiones

Conclusiones

Para temperaturas menores que T0 el potencial quımico tiendeasintotica y monotonamente a la energıa del estado base, sin embargosu segunda derivada muestra una estructura que usaremos paraidentificar el tipo de condensado existente.

Cuando T/T0 → 0 el numero de partıculas en el estado base N0 crececomo (T/T0)

−1. Para temperaturas tales que T/T0 1 vemos queN0 decrece como (T/T0)

−3/2.

Las curvas del calor especıfico como funcion de la temperatura,muestran al menos dos maximos y un mınimo que puede llegar a seruna meseta.

Preambulo de BEC. El primer maximo, de menor a mayortemperatura, refleja el preambulo de la aparicion de una condensacionBose-Einstein. La temperatura de este maximo es mas pequenaconforme el area de la seccion transversal de los filamentos o laimpenetrabilidad de las paredes crece.



Conclusiones

Comportamiento 3D. El segundo maximo marca el umbral delcomportamiento 3D del sistema. Regularmente aparece atemperaturas tales que la longitud onda de de Broglie λ ' 0.8a.

Transicion espacial de 3D a 1D. El mınimo y/o la meseta reflejanla tendencia del sistema a comportarse en 1D. El mınimo aparece atemperaturas tales que λ ' 2a extendiendose a temperaturas menoresen el caso de la meseta que se presenta para impenetrabilidades talesque P0 > 100.

Este mınimo se asocia a la captura de partıculas entre planos, esto secorroboro con el caso anisotropico.



ConclusionesSe compararon tres sistemas formados por diferentes numeros defilamentos.– Los maximos presentes en el calor especıfico del sistema infinitotambien aparecen en el sistema semi-infinito de 121 filamentos, perolos maximos se desplazan hacia temperaturas mas altas debido alefecto de tamano finito.– Cuando se tiene un arreglo periodico mas grande que 11 × 11filamentos con a/λ0 = 0.5 la diferencia es observable solo en la formadel maximo en la temperatura crıtica del sistema infinito.Se analizaron diferentes criterios para definir una temperatura deinicio de la BEC para sistemas semi-infinitos y finitos.– Tmax y Tmin no son buenos criterios para definir una temperaturade BEC.T0.5 cumple que al disminuir la seccion transversal de los filamentosse va a cero como esperarıamos para un sistema que se estacomportando cada vez mas como un sistema unidimensional. T0.5 essiempre menor que T0.


Gracias

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