ARTICLE IN PRESSG ModelRIMNI-168; No. of Pages 7

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KPTDHO

0d

Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015;xxx(xx):xxx–xxx

www.elsev ier .es / r imni

Revista Internacional de Métodos Numéricos paraCálculo y Diseño en Ingeniería

m método híbrido de elementos finitos aplicado a deslocamentosiscíveis em meios porosos heterogêneos�

.R. Núneza, C.O. Fariab, A.F.D. Loulac e S.M.C. Maltac,∗

ICEX/UFF, Rua Des. Ellis Hermidio Figueira 783, CEP 27255-125, Volta Redonda-RJ, BrasilIME/UERJ, Rua São Francisco Xavier 524, CEP 20550-900, Rio de Janeiro-RJ, BrasilLNCC/MCTI, Av. Getulio Vargas, 433, CEP 25651-075, Petropolis-RJ, Brasil

nformação sobre o artigo

istorial do artigo:ecebido a 6 de julho de 2015ceite a 7 de outubro de 2015n-line a xxx

alavras-chave:eios porosos

quac ão do transporteei de Darcyétodos híbridos de elementos finitos

rocessos de recuperac ão de reservatórios

r e s u m o

Estudamos o escoamento de fluidos miscíveis incompressíveis em meios porosos homogêneos com razãode mobilidade adversa com o objetivo de entender a influência desses parâmetros em processos derecuperac ão de reservatórios de petróleo. O problema é modelado matematicamente por um sistemaacoplado de equac ões diferenciais parciais não-lineares. Através de um esquema de diferenc as fini-tas atrasadas no tempo, um algoritmo sequencialmente implícito, que desacopla o sistema em cadaiterac ão, é definido. Em seguida, um método misto híbrido dual estabilizado é utilizado no cálculodas aproximac ões dos campos de pressão e velocidade, a partir das leis de conservac ão de massa e deDarcy. Finalmente, o método Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) é empregado para aproximara equac ão da concentrac ão da mistura. O bom desempenho da abordagem proposta é verificado viasimulac ões numéricas onde é analisada a influência da permeabilidade e da mobilidade na recuperac ãode reservatórios de petróleo.

© 2015 The Authors. Publicado por Elsevier España, S.L.U. em nome da CIMNE (Universitat Politècnicade Catalunya). Este é um artigo Open Access sob a licença de CC BY-NC-ND

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

A hybrid finite element method applied to miscible displacements inheterogeneous porous media

eywords:orous Mediaransport Equationarcy’s lawybrid finite element methodsil reservoir recovery processes

a b s t r a c t

We study incompressible miscible displacements in heterogeneous porous media with adverse mobilityratios in order to understand the influence of these parameters on the oil reservoir recovery processes.This problem is mathematically modeled by a coupled system of nonlinear partial differential equations.Through a backward finite difference scheme in time, a sequentially implicit time-stepping algorithmthat uncouples the system at each time-step is defined. A Stabilized Dual Hybrid Mixed (SDHM) methodis employed for computing velocity field and pressure approximations, involving the conservation ofmass and Darcy’s law. Finally, the SUPG (Streamline Upwind Petrov-Galerkin) is used to approximate

the concentration equation. The good performance of the proposed approach is verified via numericalsimulations where it is analyzed the influence of the properties of porous media on the oil reservoirrecovery.

© 2015 The Authors. Published by Elsevier España, S.L.U. on behalf of CIMNE (Universitat Politècnicade Catalunya). This is an open access article under the CC BY-NC-ND license

Como citar este artigo: Y.R. Núnez, et al. Um método híbrido de elemenheterogêneos, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015. http://

� Fully documented templates are available in the elsarticle package on CTAN.∗ Autor para correspondência.

Correio eletrónico: smcm@lncc.br (S.M.C. Malta).

http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.10.002213-1315/© 2015 The Authors. Publicado por Elsevier España, S.L.U. em nome da CIMNEe CC BY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

1. Introduc ão

tos finitos aplicado a deslocamentos miscíveis em meios porososdx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.10.002

Dentre as mais importantes aplicac ões na modelagem de esco-amentos miscíveis em meios porosos destacamos os processosde recuperac ão terciária, em particular, as injec ões de trac adore contínua. Os fluidos injetados provocam reac ões que alteram

(Universitat Politècnica de Catalunya). Este é um artigo Open Access sob a licença

ING ModelR

2 mér. c

opdcceafogictpdm

vrpitgalnpfi

gdsdmiidcbdm

ntecpsdtdcAcpcrse

zemaSa

�cn+1 − cn

+ un · ∇cn+1 − div (D(un)∇cn+1) + f ncn+1 = gn+1 em �,

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Y.R. Núnez et al. / Rev. int. métodos nu

comportamento do fluido residente, afetando diretamente aroduc ão do reservatório. Na injec ão de trac ador ambos os flui-os possuem a mesma viscosidade e o principal objetivo é aaracterizac ão do reservatório. Esse tema não será abordado aqui,ontudo, contribuic ões dos autores em problemas relacionadosncontram-se em [1–5]. Por outro lado, deslocamentos miscíveisdvindos da injec ão contínua com razão de mobilidade adversarequentemente resultam em oscilac ões espúrias, sensibilidade àrientac ão da malha e surgimento de dedos viscosos (viscous fin-ers). Quando um desses fingers atinge o poc o produtor o fluidonjetado passa a priorizar os caminhos percorridos, conhecidosomo caminhos preferenciais e a extrac ão do óleo fica comprome-ida, já que a mistura agora move-se rapidamente para o poc orodutor através desses caminhos preferencias, não se propagandoe forma adequada no reservatório, deixando assim grandes volu-es de óleo nos locais onde o deslocamento não ocorreu [6,7].Outra questão importante no estudo da recuperac ão de reser-

atórios decorre das características geológicas complexas doeservatório. As falhas geológicas, comuns nas formac ões porosas,odem gerar grandes descontinuidades em propriedades físicas de

nteresse, tais como a porosidade e a permeabilidade. Dentre osrabalhos que tratam da modelagem de campos de permeabilidadeerados aleatoriamente, com o intuito de simular meios porososltamente heterogêneos, podemos citar [8,9], onde as permeabi-idades são geradas a partir de uma func ão espacial randômicaormalmente distribuída [10,11]. Nesse caso o valor do campo deermeabilidades varia, em cada elemento, em torno de um valorxado a partir da permeabilidade média do meio.

O transporte de fluidos miscíveis em meios porosos tem sido, emeral, representado matematicamente por um sistema de equac õesiferenciais parciais não-linear e acoplado, consistindo de um sub-istema elíptico, envolvendo velocidade e pressão (subsistemae Darcy), e de uma equac ão do tipo convecc ão-difusão predo-inantemente convectiva expressando a conservac ão do fluido

njetado (equac ão do transporte da concentrac ão) [6]. Por fornecernformac ões sobre quanto da produc ão é influenciada pela injec ãoe um fluido, ou seja, quanto de óleo passa a ser recuperado aoncentrac ão é a variável de maior interesse na resoluc ão do pro-lema. Porém, especial atenc ão tem sido dada ao cálculo do campoe velocidades, visto que esse é o responsável pelo transporte daistura, presente explicitamente na equac ão da concentrac ão.Neste trabalho o subsistema elíptico de Darcy é aproximado

umericamente pela aplicac ão de um método de elementos fini-os híbrido estabilizado denominado de método misto híbrido dualstabilizado (MHDE), introduzido em [5,12]. O método MHDE éaracterizado pela continuidade entre os elementos via um multi-licador de Lagrange, identificado como trac o da pressão, definidoobre as arestas dos elementos, combinado com a adic ão de termose estabilizac ão de resíduos de mínimos quadrados [13] e, nas ares-as dos elementos, para o multiplicador. Na resoluc ão da equac ãoe transporte é empregado um algoritmo sequencialmente implí-ito no tempo combinado com o método SUPG no espac o [4].

eficiência dessa metodologia é atestada via simulac ões numéri-as para o problema do transporte miscível no domínio de 5 poc osara cenários altamente heterogêneos, onde é analisada a influên-ia da permeabilidade e da razão de mobilidade na recuperac ão doeservatório. Um estudo completo do método MHDE, considerandoua robustez em relac ão a outros métodos da literatura, pode serncontrato em [12].

O trabalho está organizado como segue. Na Sec ão 2 introdu-imos o modelo matemático que descreve o processo físico doscoamento de um fluido em um meio poroso rígido para fluidosiscíveis incompressíveis. A seguir, na Sec ão 3 são apresentadas

s aproximac ões para o campo de velocidades e a concentrac ão.

Como citar este artigo: Y.R. Núnez, et al. Um método híbrido de elemenheterogêneos, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015. http://

imulac ões numéricas são exibidas na Sec ão 4 e, na Sec ão 5,presentam-se as conclusões.

PRESSálc. diseño ing. 2015;xxx(xx):xxx–xxx

2. Modelo matemático para o deslocamento miscível

Seja � ⊂ Rd (d = 2 ou 3) um domínio aberto limitado de contorno

regular ∂�, e T > 0 um número real fixo. Assim, o escoamento deum fluido newtoniano incompressível em um meio poroso rígidoé representado por uma equac ão do tipo convecc ão-difusão pre-dominantemente convectiva para a concentrac ão da mistura dosfluidos, denotada por c(x, t), descrita pela equac ão do transporte

�∂c

∂t+ u · ∇c − div (D∇c) + f c = g em � × (0, T), (1)

com as seguintes condic ões iniciais e de contorno

c(x, 0) = c0(x) em �, (2)

D∇c · n = 0 sobre ∂� × (0, T). (3)

A velocidade de Darcy u = u(x, t) é dada pela soluc ão do subsis-tema elíptico:

div u = f em � × (0, T), (4)

u = −K(x, c)∇p em � × (0, T), (5)

u · n = 0 sobre � = ∂� × (0, T), (6)

composto pelas equac ões de conservac ão de massa (4) e de Darcy(5). Aqui, p representa a pressão hidrostática e � = �(x) é a poro-sidade efetiva da rocha. Além disso, K = K(x, c) é o tensor decondutividade hidráulica, dado por K(x, c) := K(x)

�(c) , ∀x ∈ � ondeK(x) é o tensor de permeabilidade absoluta e �(c) a viscosidade damistura dos fluidos. As func ões f , f, e g r epresentam os termosde fonte e sumidouro e n = (n1, n2) denota a normal exterior à fron-teira ∂�. Além disso, o tensor de dispersão-difusão D( · ) é definidopor D = D(u) = ˛molI + |u|

{˛lE(u) + ˛tE

⊥(u)}

com E(u) = 1|u|2 u ⊗

u, E⊥(u) = I − E(u), onde a norma |u| é tal que |u|2 = u2

1 + u22 +

. . . + u2d, ⊗ é o produto tensorial e ˛mol, ˛l e ˛t são os coeficientes

de difusão molecular e de dispersão longitudinal e transver-sal, respectivamente. Em geral, a dispersão longitudinal (˛l) émaior do que a transversal (˛t) [6,14], onde supomos 0 < ˛mol ≤ ˛l;˛l ≥ ˛t > 0; e 0 ≤ � ≤ 1. Adotamos ainda lei empírica [15,16] para a

viscosidade da mistura �(c) = �res[1 − c + M14 c]- 4, c ∈ [0, 1],

onde M denota a razão de mobilidade que, para escoamentos mis-cíveis, é definida como sendo a taxa entre as viscosidades do fluidoresidente, �res, e a do injetado, �inj, (M = �res/�inj). Quando M »1(razão de mobilidade adversa) o fluido injetado é altamente viscoso,o problema estudado torna-se fortemente não-linear e acopladoexigindo métodos numéricos robustos que busquem de formaprecisa e com baixo custo computacional resolver os complexosfenômenos físicos envolvidos.

3. Problema aproximado

Para introduzir as aproximac ões numéricas seguimos a meto-dologia de primeiro discretizar no espac o e depois no tempo(método de Rothe); portanto, sejam �t > 0, tal que N = T/�t e t� =��t, � ∈ R e Ih = {0 = t0 < t1 < . . . < tN = T} uma partic ão do inter-valo I = [0, T] e fazemos �t = max n�tn, com �tn = tn − tn−1. O termoque envolve a derivada temporal da concentrac ão, ∂c

∂t(x, t), é aproxi-

mado usando diferenc as finitas atrasadas, ou seja, ∂c∂t

(x, tn) = ∂cn

∂t∼=

cn+1−cn

�t . Assim, para o problema modelo (1)-(6), temos o seguintealgoritmo sequencialmente implícito de avanc o no tempo: paran = 0, 1, . . ., N − 1 achar cn+1 satisfazendo

tos finitos aplicado a deslocamentos miscíveis em meios porososdx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.10.002

�t(7)

ING ModelR

mér. c

c

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p(sdcKgodmad

d

K

o

sRrco

c

Mi

casmcdd

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Y.R. Núnez et al. / Rev. int. métodos nu

0(x) = c0(x) em �, (8)

(un)∇cn+1 · n = 0 sobre ∂�, (9)

nde un é dado por

n = −(K(x)/�(cn))∇pn em �, (10)

iv un = f n em �, (11)

n · n = 0 sobre ∂�. (12)

Em (7)–(12) tem-se um método sequencialmente implícito queombina as vantagens de métodos explícitos e completamentemplícitos [14,17] ao tornar o sistema original parcialmente desa-oplado e adicionar estabilidade por meio de uma aproximac ãomplícita da concentrac ão.

Visando calcular de forma eficiente a aproximac ão dos cam-os de velocidade e pressão, soluc ão do problema semidiscreto10)–(12) foi introduzido o método MHDE em [5]. A seguir, apre-entamos o Problema MHDEh para a discretizac ão espac o temporalo subsistema elíptico (10)–(12). Essa formulac ão consiste de umonjunto de problemas locais, definido no nível de cada elemento

da discretizac ão de elementos finitos, acoplado a um sistemalobal, calculado somente sobre os multiplicadores de Lagrange,s quais são identificados como o trac o da pressão na interfaceos elementos (uma escolha natural no contexto estudado). Ter-os de estabilizac ão são adicionados para gerar uma formulac ão

djunta consistente e simétrica, permitindo uma maior flexibili-ade na escolha das func ões bases dos espac os de aproximac ão.

Problema MHDEh: achar unh

∈ Umh , pn

h∈ Ql

h e o multiplicador

e lagrange nh

∈ Msh tal que ∀vh ∈ Um

h , qh ∈ Qlhe �h ∈ Ms

h∑K ∈ Th

[(K−1un

h, vh)K − (pnh, div vh)K +

∫∂K

nh(vh · nK)ds

+ı1(‖K−1‖∞(div unh

− f ), div vh)K + ı2(‖K‖∞(K−1unh

+ ∇pnh), K

−1vh)K

+ı3(‖K‖∞(∇ × K−1un

h), ∇ × K

−1vh)K

]= 0,

(13)

∑K ∈ Th

[− (div un

h, qh)K + (f, qh)K + ı2(‖K‖∞(K−1unh + ∇pn

h), ∇qh)K

+∫

∂K

‖K‖∞ˇ(pnh − n

h)qhds

]= 0,

(14)

∑ ∈ Th

[∫∂K

�h(unh · nK)ds +

∫∂K

‖K‖∞ˇ(nh − pn

h)�hds

]= 0, (15)

nde Umh = {v ∈ Uı : v|K ∈ Rm × Rm ∀K ∈ Th}, Ql

h = {q ∈ Qı :q|K ∈ Rl ∀K ∈ Th} e Ms

h = {� ∈ M : �|e ∈ Ps ∀e ∈ E0h}

ão os espac os lagrangianos descontínuos de dimensão finita,r é o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a

quando K é um triângulo, ou menor ou igual a r em cadaoordenada quando K é um quadrilátero (r = l ou m), e Ps é

conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a s sobre

ada aresta e. Aqui, Uı =∏K

(H1(K) × H1(K)), Qı =∏K

H1(K) e

ı = {� ∈ L2(e), ∀e ∈ E0h}, onde E0

h é o conjunto das arestasnteriores, resultante da discretizac ão do domínio.

O Problema MHDEh é resolvido através de uma estratégia conhe-ida como técnica de condensac ão estática, que consiste em separar

resoluc ão do problema em 2 etapas. Na primeira etapa, umistema global para obtenc ão dos multiplicadores de Lagrange é

Como citar este artigo: Y.R. Núnez, et al. Um método híbrido de elemenheterogêneos, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015. http://

ontado e resolvido. Na segunda etapa, com o valor do multipli-ador já conhecido nas interfaces, é possível calcular as variáveise interesse (no nosso caso, velocidade e pressão), em cada sub-omínio. Uma das vantagens dessa metodologia é a reduc ão na

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dimensão do sistema global, envolvendo agora apenas os graus deliberdade associados com os multiplicadores, levando à diminuic ãodo custo computacional [18]. Assim, o tempo necessário para resol-ver todos os problemas locais é desprezível em relac ão àqueleempregado na resoluc ão do sistema global. Seguindo as análisesapresentadas em [12,13] fazemos as seguintes escolhas para parâ-metros de estabilizac ão ı1 = ı3 = 0, 5, ı2 = −0, 5 e ˇ0 = 0, sendo quepara essa última, considerando-se ainda aproximac ões lagrangia-nas de igual ordem para todos os campos (r = l = m = s), demonstra-sea conservac ão local do método. Além disso, ressaltamos que ométodo MHDE é consistente e fornece taxas ótimas de convergênciapara as aproximac ões de todos os campos, i.e, pressão, velocidadee o multiplicador [12,18].

4. Resultados numéricos

Analisamos aqui resultados das simulac ões numéricas referen-tes ao problema de injec ão contínua em um meio poroso isotrópico(reservatório) com tensor de permeabilidade K(x) = kI, onde I é otensor identidade, representado pela configurac ão (arranjo) de 5poc os. Por razões de simetria o domínio é definido como um qua-drado de lado L = 1.000 ft, correspondendo a um quarto do arranjo,com um poc o injetor e um poc o produtor alinhados na diagonalprincipal [6], como ilustrado na figura 1(a), denotado por Cenáriohomogêneo, com permeabilidade constante k = 103 mD e porosidade�1 = 0, 1. Além disso, consideramos um Cenário heterogêneo com2 regiões de permeabilidades distintas, k1 = 103 mD (cor clara) ek2 = 10 mD (cor escura), ver figura 1(b). A partir desses 2 cenáriosgeramos os cenários 1 e 2 onde o campo de permeabilidades variade elemento para elemento, de forma aleatória, de acordo com aseguinte equac ão:

ke = k(1 + (−1)e ∗ rand( · ) ∗ fator), e = 1, . . ., Nel (16)

com rand(·) a func ão que retorna um valor aleatório entre 0 e 1,fator ∈ [0, 1] e Nel o número de elementos. Para efeito de ilustrac ão,são exibidos nas figuras 1(c) e 1(d), respectivamente, os cenárioscorrespondentes a um fator de flutuac ão (fator) igual a 0,5. Alémdesses, são também considerados nas simulac ões fator = 0,01; 0,1e 0,2.

Nas definic ões dos espac os de aproximac ões do MHDE sãoempregadas func ões de interpolac ão lagrangianas descontínuas deordem igual a um, isto é, elementos quadrilaterais bilineares paraa velocidade, pressão e concentrac ão, e lineares para o multiplica-dor. Para o método SUPG tem-se ıK ≈ 0, 92 (correspondente a umnúmero de Péclet igual a 12, 5). Além disso, admite-se uma injec ãocontínua durante um total de 2.000 dias com �t = 2,5 dias, a umataxa de 200 ft2/dia, com ˛mol = ˛t = 0,0 ft e ˛l = 1,0 ft.

Nas subsec ões seguintes são apresentadas simulac ões numé-ricas com o objetivo de entender a influência de 2 importantesparâmetros, a razão de mobilidade e a heterogeneidade do meio,para o transporte da concentrac ão da mistura na recuperac ãode reservatórios considerando-se os cenários definidos anterior-mente. Todas as simulac ões estão em t = 1.500 dias após o iníciodo processo, isto é, minutos após o breakthrough. Os resultadossão mostrados na forma de mapas de concentrac ão e curvas deisoconcentrac ão da mistura para os valores 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 e 1,0,com uma malha fixa de 80x80 elementos quadrilaterais bilineares.

4.1. Influência da razão de mobilidade

Na figura 2 são plotados os mapas de concentrac ão para o cená-rio homogêneo, onde o campo de permeabilidade é uniforme evaria-se a razão de mobilidade, tornando, matematicamente, o pro-

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blema altamente não linear e acoplado. Com o objetivo de ilustrara robustez da metodologia proposta, na linha superior tem-se oscampos de velocidade calculados via a aplicac ão do método deGalerkin usual, enquanto na linha inferior emprega-se o MHDE.

Como citar este artigo: Y.R. Núnez, et al. Um método híbrido de elementos finitos aplicado a deslocamentos miscíveis em meios porososheterogêneos, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015. http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.10.002

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4 Y.R. Núnez et al. / Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015;xxx(xx):xxx–xxx

YY

xx

1000ft

500ft 300ft 200ft

k = 1.000mDk1 = 103mD

Φ = 0,1Φ1 = 0,1

k2 = 10mDΦ2 = 0,1

1000

ft

237,

5 ft

312,

5 ft

450

ft

Permeabilidade1.500

1.250

1.000

750

500

250

5

Permeabilidade1.500

1.400

1.200

1.000

800

600

500

a) b)

c) d)

Figura 1. Ilustrac ões dos meios porosos estudados: (a) cenário homogêneo, (b) cenário heterogêneo, (c) cenário 1 e (d) cenário 2.

Concentração1

0,80,60,40,2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.000X 0 100

200300

400500

600700

800900

1.000

Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.000X

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.000

X 0100

200300

400500

600700

800900

1.000

Y

0

0,2

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1

Concentração1

0,80,60,40,2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.000

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600700

800900

1.000

Y

0

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0,4

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0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.000X 0

100200

300400

500600

700800

9001.000

Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9001.000X 0

100200

300400

500600

700800

9001.000

Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

a) b) c)

d) e) f)

Figura 2. Mapas de concentrac ão. Cenário homogêneo: método de Galerkin (linha superior) e MHDE (linha inferior) para M = 1, 41 e 1.000, da esquerda para direita.

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2.4002.2002.0001.8001.6001.4001.2001.000800600400 2.4002.2002.0001.8001.6001.4001.2001.000800600400

Time (days)

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

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900,00

100.000

Inje

cted

vol

ume

(ft3 )

M 1=M 10 =M 20 =M 41=M 300 =

Tempo (dias)

Vol

ume

inje

tado

(ft

3 )

M 1=M 10 =M 20 =M 41=M 300 =

a) b)

Figura 3. Curvas de produc ão variando a razão de mobilidade (M). (a) Cenário homogêneo e (b) cenário heterogêneo.

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X100

200300400500

600700800900

1.000 Y

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

0 100200300

400500600700800

9001.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X100

200300400

500600

7008009001.000

Y

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

0 100200300

400500600700800

9001.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X0 100

200300400500

600700800900

1.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X100

200300400500

6007008009001.00.0

Y

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

a) b) c)

d) e) f)

F nha inp

NuGl(npcan

igura 4. Mapas de concentrac ão. Cenário 1 com M = 1 (linha superior) e M = 41 (liara a direita.

ota-se que para o caso mais singular, M = 1.000, o MHDE produzma soluc ão mais estável do que aquela exibida pelo método dealerkin (ver figuras 2[c] e 2[f]). Com o aumento do valor da mobi-

idade é esperado fisicamente o aparecimento dos fingers viscososcomo pode ser verificado nos resultados da figura 2), levando aovas trajetórias (caminhos) para o transporte da mistura entre os

Como citar este artigo: Y.R. Núnez, et al. Um método híbrido de elemenheterogêneos, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015. http://

oc os injetor e produtor e, consequentemente, a uma perda no pro-esso de recuperac ão do reservatório. Desse modo, na figura 3 sãopresentadas as curvas de recuperac ão para os cenários homogê-eo e heterogêneo para M = 1, 10, 20, 41 e M = 300. Nota-se que para

ferior), variando a permeabilidade do meio com fator = 0,01;0,1 e 0,2, da esquerda

os mesmos valores da razão de mobilidade, a heterogeneidade domeio (região de menor permeabilidade, k2 = 10mD) leva a um picode produc ão menor, ver figura 3 (b).

4.2. Influência da permeabilidade

tos finitos aplicado a deslocamentos miscíveis em meios porososdx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.10.002

Finalmente, visando ilustrar o efeito da permeabilidade do meiona recuperac ão do reservatório são exibidos nas figuras 4 e 5mapas da concentrac ão para os cenários 1 e 2, tomando M = 1 eM = 41. Para M = 1 (linhas superiores nos 2 cenários) a variac ão na

ARTICLE IN PRESSG ModelRIMNI-168; No. of Pages 7

6 Y.R. Núnez et al. / Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015;xxx(xx):xxx–xxx

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

0100

200300

400500

600700

800900 1.000

Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

0100

200300

400500

600700

800900

1.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

0100

200300

400500

600700

800900

1.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

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200300

400500

600700

800900

1.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

0100

200300

400500

600700

800900

1.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Concentração1

0,80,60,40,2

0100

200300

400500

600700

800900

1.000

X

0100

200300

400500

600700

800900

1.000Y

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

d) e) f)

a) b) c)

Figura 5. Mapas de concentrac ão. Cenário 2 com M = 1 (linha superior) e M = 41 (linha inferior), variando a permeabilidade do meio com fator = 0,01;0,1 e 0,2, da esquerdapara a direita.

2.8002.6002.4002.2002.0001.8001.6001.4001.2001.000800600400

Time (days)

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

900,00

100.000

Inje

cted

vol

ume

(ft3 )

factor = 0,01factor = 0,1factor = 0,2

3.0002.8002.6002.4002.2002.0001.8001.6001.4001.2001.000800600400

Time (days)

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

45,000

50,000

55,000

60,000

Inje

cted

vol

ume

(ft3 )

factor = 0,01factor = 0,1factor = 0,2

a) b)

idade

pepcfibaci

Figura 6. Curvas de produc ão variando a permeabil

ermeabilidade leva a uma alterac ão imperceptível no transportentre os 2 poc os, como pode ser observado nas curvas de produc ãolotadas na figura 6 (a), referentes ao cenário 1. Porém, quando seonsidera uma razão de mobilidade adversa (M = 41) a recuperac ãoca bastante afetada, como pode ser observado nos resultados exi-

Como citar este artigo: Y.R. Núnez, et al. Um método híbrido de elemenheterogêneos, Rev. int. métodos numér. cálc. diseño ing. 2015. http://

idos (linhas inferiores nos 2 cenários) e, ainda mais evidente,través das curvas mostradas na figura 6 (b), onde, comparando-seom M = 1, é possível observar a queda na recuperac ão do volumenjetado.

do meio (fator). Cenário 1 com (a) M = 1 e (b) M = 41.

5. Conclusões

Neste trabalho analisamos o deslocamento miscível incompres-sível considerando campos de permeabilidade gerados aleatoria-mente e razões de mobilidade adversas no estudo de reservatórios

tos finitos aplicado a deslocamentos miscíveis em meios porososdx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.10.002

de petróleo em meios porosos heterogêneos. Na aproximac ãonumérica do problema modelo combinamos o método MHDE, oqual é caracterizado pela continuidade entre os elementos via ummultiplicador de Lagrange, identificado como trac o da pressão,

ING ModelR

mér. c

dcd

encdàfpp

sv

A

r

B

[

[

[

[

[

[

[

[

SEG/SIAM/SPE Conference, 1985, pp. 85–107.

ARTICLEIMNI-168; No. of Pages 7

Y.R. Núnez et al. / Rev. int. métodos nu

efinido sobre as arestas dos elementos, com um algoritmo sequen-ialmente implícito no tempo onde o método SUPG é utilizado naiscretizac ão espacial da equac ão do transporte.

Nas simulac ões numéricas apresentadas foi observada aficiência do método proposto na captura dos efeitos das heteroge-eidades do meio poroso na recuperac ão do reservatório (injec ãoontínua). De fato, constatou-se que o aumento das heterogeneida-es leva ao aparecimento dos fingers viscosos e, consequentemente,

diminuic ão na produc ão da mistura. Ao captar o comportamentoísico esperado, conclui-se que o método proposto é uma boa opc ãoara a simulac ão computacional de problemas na área do trans-orte de escoamentos em meios com fortes singularidades.

Dentre os desenvolvimentos futuros dessa proposta pretende-e empregar malhas não estruturadas a fim de analisar uma possíel influência da discretizac ão espacial nos resultados obtidos.

gradecimentos

Os autores agradecem à FACC, CAPES, CNPq e FAPERJ o apoioecebido para o desenvolvimento deste trabalho.

ibliografia

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