-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
1/34
E S I
T h e E r w i n S c h r o d i n g e r I n t e r n a t i o n a l
B o l t z m a n n g a s s e 9
I n s t i t u t e f o r M a t h e m a t i c a l P h y s i c s A
- 1 0 9 0 W i e n , A u s t r i a
T h e F u z z y S u p e r s p h e r e
H . G r o s s e
G . R e i t e r
V i e n n a , P r e p r i n t E S I 5 4 6 ( 1 9 9 8 ) J u n e 1
, 1 9 9 9
S u p p o r t e d b y F e d e r a l M i n i s t r y o f S c i e
n c e a n d T r a n s p o r t , A u s t r i a
A v a i l a b l e v i a a n o n y m o u s f t p o r g o p h e r
f r o m F T P . E S I . A C . A T
o r v i a W W W , U R L : h t t p : / / w w w . e s i . a c . a
t
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
2/34
m a t h - p h / 9 8 0 4 0 1 3
m p - a r c / 9 8 - 2 8 3
E S I 5 4 6
T h e F u z z y S u p e r s p h e r e
H . G r o s s e
a 1
a n d G . R e i t e r
b 2 3
a
U n i v e r s i t a t W i e n , I n s t i t u t f u r T h e o r
e t i s c h e P h y s i k , B o l t z m a n n g a s s e
5 , A - 1 0 9 0 W i e n , A u s t r i a
b
T e c h n i s c h e U n i v e r s i t a t G r a z , I n s t i t
u t f u r T h e o r e t i s c h e P h y s i k , P e -
t e r s g a s s e 1 6 , A - 8 0 1 0 G r a z , A u s t r i a
A b s t r a c t
W e i n t r o d u c e t h e f u z z y s u p e r s p h e r e a s
s e q u e n c e o f n i t e - d i m e n s i o n a l , n o n c o m m
u -
t a t i v e Z
2
- g r a d e d a l g e b r a s t e n d i n g i n a s u i t a b l
e l i m i t t o a d e n s e s u b a l g e b r a o f t h e
Z
2
- g r a d e d a l g e b r a o f H
1
- f u n c t i o n s o n t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s
u p e r s p h e r e . N o n c o m -
m u t a t i v e a n a l o g u e s o f t h e b o d y m a p ( t o
t h e ( f u z z y ) s p h e r e ) a n d t h e s u p e r - d e R h a
m
c o m p l e x a r e i n t r o d u c e d . I n p a r t i c u l a
r w e r e p r o d u c e t h e e q u a l i t y o f t h e s u p e r
-
d e R h a m c o h o m o l o g y o f t h e s u p e r s p h e r e
a n d t h e o r d i n a r y d e R h a m c o h o m o l o g y o f
i t s b o d y o n t h e \ f u z z y l e v e l " .
1 9 9 1 M S C : 1 7 B 5 6 , 1 7 B 7 0 , 4 6 L 8 7 , 5 8 A 5 0 ,
5 8 B 3 0 , 5 8 C 5 0 , 8 1 T 6 0
K e y w o r d s : S u p e r m a n i f o l d s , L i e s u p e r
a l g e b r a s , n o n c o m m u t a t i v e d i e r e n t i a
l
g e o m e t r y , f u z z y s p h e r e
1 I n t r o d u c t i o n
T h i n k i n g a b o u t s p a c e a n d t i m e n o n c o m m
u t a t i v e g e o m e t r y 7 ] o e r s a n e n o r m o u s g e n
e r a l
f r a m e w o r k f o r p h y s i c a l m o d e l b u i l d i n
g , b e c a u s e o n e c a n g e t r i d o f t h e c o n c e p t o
f p o i n t s . T h e
b a s i c i d e a o f n o n c o m m u t a t i v e g e o m e t r
y i s t o f o r m u l a t e r s t n o t i o n s o n d i e r e n t i
a b l e m a n i -
f o l d s i n t e r m s o f t h e i r c o m m u t a t i v e C -
a l g e b r a s o f d i e r e n t i a b l e , c o m p l e x - v a l
u e d f u n c t i o n s i n
o r d e r t o g e n e r a l i z e s u b s e q u e n t l y t h e
s e n o t i o n s , w h i c h d o n o t d e p e n d o n t h e c o m
m u t a t i v i t y
1
E - m a i l : g r o s s e @ d o p p l e r . t h p . u n i v i e
. a c . a t
2
R e s e a r c h p a r t l y s u p p o r t e d b y t h e \ F o n
d s z u r F o r d e r u n g d e r w i s s e n s c h a f t l i c h e
n F o r s c h u n g ( F W F ) " t h r o u g h
t h e r e s e a r c h p r o j e c t P 1 1 7 8 3 - P H Y \ Q u a
n t u m F i e l d T h e o r y o n N o n c o m m u t a t i v e M a n
i f o l d s " .
3
C o r r e s p o n d i n g a u t h o r : T e l . : + 4 3 3 1 6 8
7 3 8 6 7 0 , F a x : + 4 3 3 1 6 8 7 3 8 6 7 8 , E - m a i l : r e
i t e r @ i t p . t u - g r a z . a c . a t
1
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
3/34
t o a b s t r a c t , n o t n e c e s s a r i l y c o m m u t a
t i v e a l g e b r a s . S o i n g e n e r a l o n e w i l l l o s
e t h e n o t i o n o f
p o i n t s ( c o r r e s p o n d i n g i n o r d i n a r y g e
o m e t r y t o t h e s p e c t r u m o f t h e c o m m u t a t i v
e a l g e b r a o f
f u n c t i o n s ) a n d t h e r o l e o f g e n e r a l , n o
n c o m m u t a t i v e m a n i f o l d s i s p l a y e d b y a b s
t r a c t a l g e b r a s .
O f c o u r s e t h e r e i s n o c a n o n i c a l w a y h o w
t o a s s o c i a t e a n o n c o m m u t a t i v e a l g e b r a w
i t h s o m e
m a t h e m a t i c a l o r p h y s i c a l m o d e l o f s p a
c e t i m e , p h a s e s p a c e o r s o m e m o r e \ e x o t i c
" o b j e c t s a n d
o n e c a n c o n t r i v e l o t s o f d i e r e n t p r o c e
d u r e s . B e s i d e t h a t o f f u z z y m a n i f o l d s 3 9
, 2 4 , 2 3 , 2 6 ] ,
w h i c h i s i n t i m a t e l y r e l a t e d t o q u a n t i
z a t i o n a n d w h i c h w e w i l l f o l l o w i n t h e s e q
u e l , l e t u s a l s o
m e n t i o n ( w i t h o u t b e i n g c o m p l e t e ) a s i
m i l a r a p p r o a c h f o r t h e M i n k o w s k i s p a c e 1
2 ] , q u a n t u m
g r o u p m o t i v a t e d a p p r o a c h e s ( s e e f o r e
x a m p l e 4 0 ] ) a n d a p p r o a c h e s b a s e d o n p o s e
t s ( s e e f o r
e x a m p l e 1 ] ) . F u z z y m a n i f o l d s a r e n o t o
n l y C - a l g e b r a s b u t w h o l e s e q u e n c e s ( o r m
o r e p r e c i s e l y
d i r e c t e d s y s t e m s ) o f n o n c o m m u t a t i v e
C - a l g e b r a s , w h i c h a p p r o x i m a t e i n a v e r y
s p e c i c w a y
t h e c o r r e s p o n d i n g o r d i n a r y m a n i f o l d
s . E a c h o f t h e C - a l g e b r a s o f s u c h a s e q u e n
c e c a n b e i n t e r -
p r e t e d a s d e s c r i p t i o n o f t h e c o r r e s p o
n d i n g o r d i n a r y m a n i f o l d o n w h i c h l o c a l i
z a t i o n i s p o s s i b l e
o n l y u p t o a m i n i m a l l e n g t h . B y e m p l o y i
n g t h e t o o l s o f n o n c o m m u t a t i v e g e o m e t r y
a n d o f
m a t r i x g e o m e t r y 1 3 ] i n p a r t i c u l a r , i t
w a s p o s s i b l e t o i n t r o d u c e o n a s p e c i c f u z
z y m a n i f o l d ,
n a m e l y t h e f u z z y s p h e r e , ( s e c t i o n s o f
) v e c t o r b u n d l e s , a d i e r e n t i a l c a l c u l u s
, a n i n t e g r a l , e t c .
a n d t o u s e t h i s f o r t h e f o r m u l a t i o n o f e
l d t h e o r e t i c a l m o d e l s 3 9 , 3 8 , 2 1 , 2 2 , 2 5 ,
3 4 ] . W h e n
t h e s e m o d e l s a r e q u a n t i z e d a v e r y i n t e
r e s t i n g f e a t u r e s h o w s u p : T h e y a r e n i t e a
n d t h e f u z z i -
n e s s p l a y s t h e r o l e o f a n o n - p e r t u r b a t
i v e r e g u l a t o r , w h i c h d o e s n o t b r e a k t h e c
h a r a c t e r i s t i c
s y m m e t r i e s o f t h e c o r r e s p o n d i n g c o n t
i n u u m t h e o r i e s .
A l t h o u g h s u p e r m a n i f o l d s a r e t o s o m e e
x t e n d \ b a b y - n o n c o m m u t a t i v e g e o m e t r i e
s " t h e y a r e
t r e a t e d a n d i n t e r p r e t e d i n t h e s p i r i t
o f c l a s s i c a l d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c g
e o m e t r y . L o c a l -
i z a t i o n i s ( d e p e n d i n g o n t h e a p p r o a c h
t o s u p e r m a n i f o l d s ) m o r e o r l e s s p r e s e n t
a n d t h e t e r m
\ s u p e r " s h o u l d r a t h e r b e s e e n a s a d d i t
i o n a l s t r u c t u r e . N o n c o m m u t a t i v e g e n e r
a l i z a t i o n s s h o u l d
b e d e s c r i b e d b y Z
2
- g r a d e d a l g e b r a s o v e r a r i n g , t h a t d e p
e n d s o n t h e c l a s s o f s u p e r m a n i f o l d s
u n d e r c o n s i d e r a t i o n . W e w a n t t o m e n t i
o n , t h a t t h e r e e x i s t a l r e a d y s e v e r a l a r t
i c l e s a n d b o o k s
i n t h e l i t e r a t u r e d e a l i n g w i t h v a r i o u
s a s p e c t s o f Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a s , s u p e r s y m m e t r y a
n d
n o n c o m m u t a t i v e g e o m e t r y . W i t h o u t b e
i n g c o m p l e t e l e t u s j u s t m e n t i o n 3 1 ] , w h e
r e n o t i o n s
a s c y c l i c c o h o m o l o g y a n d F r e d h o l m m o d
u l e s a r e t r e a t e d i n t h e Z
2
- g r a d e d s e t t i n g , 1 4 , 3 3 ] ,
w h e r e a p o s s i b i l i t y o f g e n e r a l i z i n g m
a t r i x g e o m e t r y t o t h e Z
2
- g r a d e d f r a m e w o r k i s p r e s e n t e d
a n d 3 2 ] , w h e r e t h e c o n c e p t o f a s p e c t r a
l t r i p l e i s e x t e n d e d t o a l g e b r a s w h i c h c o
n t a i n b o s o n i c
a n d f e r m i o n i c d e g r e e s o f f r e e d o m .
O u r a i m i n t h i s a r t i c l e i s t o d e v e l o p r s
t a \ f u z z y v a r i a n t " o f t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o
n a l s u p e r -
s p h e r e a n d s u b s e q u e n t l y a n a n a l o g u e t
o t h e s u p e r - d e R h a m c o m p l e x o n e a c h o f t h e
r e s u l t i n g
Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a s . M o t i v a t e d b y t h e
w i s h t o n d a n a d e q u a t e l a n g u a g e f o r t h e d e
s c r i p -
t i o n o f t h e s p i n o r b u n d l e o n t h e f u z z y s
p h e r e o n e o f t h e a u t h o r s t o g e t h e r w i t h C .
K l i m c i k
a n d P . P r e s n a j d e r a l r e a d y s o l v e d t h e r
s t p r o b l e m 2 1 ] . H e r e w e w a n t t o e m b e d t h e d
e s c r i p -
t i o n g i v e n t h e r e a l i t t l e b i t m o r e i n t h
e l a n g u a g e o f s u p e r m a n i f o l d s i n t h e s e n s
e o f A . R o g e r s
4 7 , 4 8 ] a s w e l l a s t h a t o f g r a d e d m a n i f o
l d s 3 5 , 3 6 ] i n o r d e r t o h a v e a g o o d g u i d e l i
n e f o r t h e
d e v e l o p m e n t o f a Z
2
- g r a d e d d i e r e n t i a l c a l c u l u s l a t e r o n
.
M o r e p r e c i s e l y t h e a r t i c l e i s o r g a n i z
e d a s f o l l o w s . I n t h e r s t t w o c h a p t e r s w e d
e s c r i b e t h e
2
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
4/34
( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p h e r e a s H
1
- d e W i t t s u p e r - r e s p e c t i v e l y g r a d e d m
a n i f o l d a n d e s t a b -
l i s h o n i t s Z
2
- g r a d e d a l g e b r a o f c o m p l e x - G r a s s m a n
n - v a l u e d f u n c t i o n s a d d i t i o n a l s t r u c t u
r e s
s u c h a s a F r e c h e t t o p o l o g y , a n i n d e n i t
e s c a l a r p r o d u c t a n d a \ c o m p l e t e l y r e d u c
i b l e " g r a d e
s t a r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e o r t h o s y m p
l e c t i c L i e s u p e r a l g e b r a o s p ( 1 2 ) . T h e a r
t i c l e i s w r i t t e n
a s s e l f - c o n t a i n e d a s p o s s i b l e , b u t f o
r t h e b a s i c s o f t h e t h e o r y o f s u p e r m a n i f o
l d s w e r e f e r t h e
r e a d e r t o t h e a b o v e c i t e d o r i g i n a l a r t
i c l e s a s w e l l a s t o t h e e x c e l l e n t b o o k 2 ]
.
I n c h a p t e r 4 w e e n d o w e a c h e l e m e n t o f a s
p e c i c s e q u e n c e o f s u b m o d u l e s o f t h e o s p (
1 2 ) - m o d u l e
o f c o m p l e x - G r a s s m a n n - v a l u e d H
1
- f u n c t i o n s o n t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s
u p e r s p h e r e w i t h a n e w
Z
2
- g r a d e d p r o d u c t a n d d e n e b y t h i s t h e f u
z z y s u p e r s p h e r e . T h e g r a d e d - c o m m u t a t i
v e l i m i t
o f t h e s e p r o d u c t s i s p r o v e n . T h e b o d y o
f t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p h e r e i s t
h e o r d i n a r y
2 - s p h e r e a n d c h a p t e r 5 i s d e v o t e d t o e x
t e n d t h e c o r r e s p o n d i n g b o d y m a p t o t h e f u
z z y s e t t i n g .
I n c h a p t e r 6 w e d e n e o n e a c h o f t h e \ t r u n
c a t e d s u p e r s p h e r e s " ( i n t h e s e n s e e x p l a
i n e d a b o v e )
a n a n a l o g u e t o t h e s u p e r - d e R h a m c o m p l
e x b y t r a n s p o s i n g t h e i d e a o f d e r i v a t i o n
- b a s e d d i f -
f e r e n t i a l c a l c u l i 1 3 , 1 6 ] a n d i t s e x t e
n s i o n u s e d f o r t h e d e n i t i o n o f a d i e r e n t i
a l c a l c u l u s o n
t h e f u z z y s p h e r e 3 9 , 3 7 ] t o t h e Z
2
- g r a d e d s e t t i n g . T h e r e s u l t i n g c o m p l
e x i s n o t h i n g e l s e b u t
t h e c o m p l e x o f L i e s u p e r a l g e b r a s w i t h
c o e c i e n t s i n a n o n - t r i v i a l o s p ( 1 2 ) - m o d
u l e a n d i t i s
i n n i t e - d i m e n s i o n a l , a s i t i s u s u a l f o
r s u p e r m a n i f o l d s . T h e l a t t e r f a c t s h o w s
i n p a r t i c u l a r , t h a t
t h e c o m p l e x i s c o m p l e t e l y d i e r e n t t o t
h a t p r o p o s e d i n 1 4 , 3 3 ] . O u r c o n s t r u c t i o
n i s n a t u r a l i n
t h e s e n s e , t h a t t h e n o n c o m m u t a t i v e b o
d y m a p e x t e n d s - a s i t i s t h e c a s e f o r g r a d e
d m a n i f o l d s
- t o a c o c h a i n m a p f r o m t h e a l g e b r a o f s u
p e r f o r m s o n t h e t r u n c a t e d s u p e r s p h e r e t
o t h e a l g e b r a
o f f o r m s o n i t s b o d y .
T h e n a l c h a p t e r i s d e v o t e d t o t h e c a l c u
l a t i o n o f t h e c o h o m o l o g y c o r r e s p o n d i n g
w i t h t h e d i f -
f e r e n t i a l c o m p l e x . I n p a r t i c u l a r w e r
e p r o d u c e t h e e q u a l i t y o f t h e s u p e r - d e R h
a m c o h o m o l o g y
o f t h e s u p e r s p h e r e a n d t h e o r d i n a r y d e
R h a m c o h o m o l o g y o f i t s b o d y o n t h e \ f u z z y
l e v e l " .
L e t u s n a l l y m e n t i o n s o m e c o n v e n t i o n s
w h i c h a r e u s e d t h r o u g h o u t t h e a r t i c l e . W
h e n w e
s p e a k o f a l g e b r a s w e a l w a y s m e a n a s s o c
i a t i v e a l g e b r a s w i t h i d e n t i t y ; a l g e b r a
h o m o m o r p h i s m s
a l w a y s p r e s e r v e t h e i d e n t i t y . L e f t o r
r i g h t m o d u l e s o v e r a n a l g e b r a a r e a l w a y s
a s s u m e d t o b e
u n i t a l .
T h e r e w i l l a p p e a r l o t s o f Z
2
- g r a d e d o b j e c t s . I f t h e o b j e c t i s d e n o
t e d b y O i t s e v e n p a r t i s
d e n o t e d b y O
0
, i t s o d d p a r t b y O
1
I f e i s s o m e h o m o g e n e o u s e l e m e n t o f s u c
h a n o b j e c t i t s
d e g r e e w i l l b e d e n o t e d b y e . S p e a k i n g o
f g r a d i n g i n t h e c o n t e x t o f a n u n g r a d e d o b
j e c t w e
m e a n , t h a t t h e o b j e c t i s e n d o w e d w i t h i
t s t r i v i a l g r a d u a t i o n . M o r e o v e r a l e f t o
r r i g h t Z
2
-
g r a d e d m o d u l e o v e r a Z
2
- g r a d e d , g r a d e d - c o m m u t a t i v e a l g e b r
a i s a l w a y s a s s u m e d t o b e g i v e n
i t s c a n o n i c a l Z
2
- g r a d e d b i m o d u l e s t r u c t u r e .
T h e r e i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e
b e t w e e n r e p r e s e n t a t i o n s o f a L i e ( s u p e r
) a l g e b r a a n d i t s
u n i v e r s a l e n v e l o p i n g a l g e b r a : W e d o n
o t d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e s e r e p r e s e n t
a t i o n s a n d p a s s
f r e e l y f r o m t h e l a n g u a g e o f r e p r e s e n t
a t i o n s t o t h e l a n g u a g e o f m o d u l e s a n d v i c
e v e r s a .
3
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
5/34
2 T h e ( 2 j 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p h e r
e
I n t h i s p r e l i m i n a r y s e c t i o n w e i n t r o d
u c e t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p h e r e a
s H
1
- d e W i t t
s u p e r m a n i f o l d ( a n d b y t h i s a l s o a s g r a
d e d m a n i f o l d ) a n d c h a r a c t e r i z e t h e Z
2
- g r a d e d a l g e b r a
o f H
1
- f u n c t i o n s o n i t a s a s u i t a b l e q u o t i e n
t o f t h e a l g e b r a o f H
1
- f u n c t i o n s o n t h e ( 3 2 ) -
d i m e n s i o n a l v e c t o r s u p e r s p a c e . M o r e
o v e r w e e n d o w t h i s a l g e b r a w i t h a d d i t i o n
a l s t r u c t u r e s ,
s u c h a s a F r e c h e t t o p o l o g y a n d a n i n d e n
i t e s c a l a r p r o d u c t , w h i c h w e w i l l n e e d l a
t e r o n f o r
t h e f o r m u l a t i o n a n d p r o o f o f t h e \ g r a d
e d - c o m m u t a t i v e l i m i t " o f t h e f u z z y s u p e
r s p h e r e .
F o r L 2 N l e t B
L
d e n o t e t h e G r a s s m a n n a l g e b r a o v e r R
L
a n d C
L
t h e G r a s s m a n n a l g e b r a o v e r
C
L
. W e v i e w b o t h o f t h e m a s Z
2
- g r a d e d a l g e b r a s . F u r t h e r m o r e w e i n t
r o d u c e t h e s e t
I
L
: = f M = ( i
1
; ; i
p
) i
1
; ; i
p
= 1 ; ; L ; 1 p L w i t h i
1
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
6/34
( x
k
;
) ! ( ( x
k
) ) b y
r s
. B e s i d e t h e t o p o l o g y i n d u c e d b y t h e n o
r m ( 7 ) , t h e s o - c a l l e d n e
t o p o l o g y , t h e r e i s a n o t h e r i m p o r t a n t
t o p o l o g y o n t h e v e c t o r s u p e r s p a c e : t h e c
o a r s e o r d e W i t t -
t o p o l o g y . B y d e n i t i o n i t i s t h e c o a r s e
s t t o p o l o g y o n B
r s
L
s u c h t h a t t h e b o d y m a p
r s
i s
c o n t i n u o u s .
F o r a n a r b i t r a r y 2 R
+
w e d e n e t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p
h e r e S
o f \ r a d i u s " a s t h e
c l o s e d t o p o l o g i c a l s u b s p a c e ( w i t h r e
s p e c t t o t h e n e t o p o l o g y ) o f a l l p o i n t s o f
B
3 2
L
( L 2 ,
x e d ) f u l l l i n g
P
( x
k
;
) : =
3
X
i = 1
( x
i
)
2
+ 2
4
5
?
2
= 0 ( 8 )
S
c a n b e e n d o w e d w i t h t h e s t r u c t u r e o f a (
2 2 ) - d i m e n s i o n a l H
1
- d e W i t t s u p e r m a n i f o l d ( s e e
a l s o 3 , 5 , 9 , 5 3 ] ) . I n o r d e r t o d o s o o n e i
n t r o d u c e s t h e \ n o r t h " a n d \ s o u t h p o l e - -
b e r s "
F
: =
n
( x
k
;
) 2 S
3 2
( x
k
;
) = ( 0 ; 0 ; )
o
( 9 )
a s w e l l a s t h e i r o p e n c o m p l e m e n t s
U
: = S
n F
( 1 0 )
i n S
. T h e n t h e s u p e r s t e r e o g r a p h i c p r o j e c
t i o n s
h
: U
? ! B
2 2
L
( 1 1 )
( x
k
;
) !
x
3
( x
1
; x
2
;
4
;
5
)
f o r m a H
1
- d e W i t t a t l a s o n S
, b e c a u s e t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n s
h
h
? 1
( y
j
;
) =
2
( y
1
)
2
+ ( y
2
)
2
+ 2
3
4
( y
j
;
) ( 1 2 )
a r e H
1
- f u n c t i o n s B
2 2
L
n
? 1
2 2
( 0 ; 0 ) ? ! B
2 2
L
n
? 1
2 2
( 0 ; 0 ) o n t h e o n e h a n d a n d h
( U
) a r e c o a r s e
o p e n o n t h e o t h e r h a n d . T h e c o r r e s p o n d
i n g ( C
1
- ) b o d y m a n i f o l d c a n b e i d e n t i e d c a n o n
i c a l l y
w i t h t h e 2 - d i m e n s i o n a l s p h e r e S
o f r a d i u s e m b e d d e d i n R
3
a n d t h e b o d y p r o j e c t i o n
S
i s
t h e n s i m p l y g i v e n b y
S
=
3 2
S
( 1 3 )
L e t u s d e n o t e t h e s h e a f o f r e a l - a n d c o m
p l e x G r a s s m a n n - v a l u e d H
1
- f u n c t i o n s o n a H
1
-
s u p e r m a n i f o l d X b y H
1
( ? ; B
L
) a n d H
1
( ? ; C
L
) , r e s p e c t i v e l y . W e v i e w H
1
( ? ; B
L
) a s s u b -
s h e a f o f H
1
( ? ; C
L
) i n t h e n a t u r a l w a y . T h a t i s , f o r e v e r y
o p e n s u b s e t U o f t h e s u p e r m a -
n i f o l d X w e d e n e c o m p l e x c o n j u g a t i o n :
H
1
( U ; C
L
) ? ! H
1
( U ; C
L
) p o i n t w i s e a n d c h a r -
a c t e r i z e H
1
( U ; B
L
) a s t h e g r a d e d R - s u b a l g e b r a o f - i n v a r
i a n t e l e m e n t s . I t s h o u l d b e n o t e d ,
t h a t , i f X i s a H
1
- d e W i t t s u p e r m a n i f o l d w i t h b o d y X a n d
b o d y p r o j e c t i o n
X
, t h e p a i r
( X ;
X
H
1
( ? ; B
L
) ) , w h e r e
X
H
1
( ? ; B
L
) d e n o t e s t h e d i r e c t i m a g e o f H
1
( ? ; B
L
) b y
X
,
i s a g r a d e d m a n i f o l d 2 ] . C o n s e q u e n t l y
t h e m a p
X
f r o m t h e Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a H
1
( X ; C
L
)
t o t h e ( t r i v i a l l y Z
2
- g r a d e d ) C - a l g e b r a C
1
( X ; C ) o f s m o o t h c o m p l e x - v a l u e d f u n c t
i o n s o n X ,
d e n e d b y
(
X
( f ) ) (
X
( x ) ) : = f ( x ) ( 1 4 )
f o r a l l x 2 X , i s a s u r j e c t i v e h o m o m o r p h
i s m o f g r a d e d a l g e b r a s .
5
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
7/34
T h e s e t
I
S
: =
f 2 H
1
( B
3 2
L
; C
L
) f
S
= 0
( 1 5 )
o f a l l c o m p l e x - G r a s s m a n n - v a l u e d f u n
c t i o n s o n B
3 2
L
v a n i s h i n g o n t h e s u p e r s p h e r e i s a g r a d
e d
i d e a l i n H
1
( B
3 2
L
; C
L
) . W e w i l l i d e n t i f y H
1
( S
; C
L
) a n d H
1
( B
3 2
L
; C
L
) = I
S
a c c o r d i n g t o t h e
r s t p a r t o f t h e f o l l o w i n g r e s u l t .
L e m m a 1 T h e m a p : H
1
( B
3 2
L
; C
L
) = I
S
? ! H
1
( S
; C
L
) , d e n e d b y
( f ) : = f
S
; f 2 f ; ( 1 6 )
i s a n i s o m o r p h i s m o f Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a s . M o r e o v e r , f o r e v
e r y f 2 I
S
t h e r e e x i s t s a H
1
-
f u n c t i o n g 2 H
1
( B
3 2
L
; C
L
) , s u c h t h a t
f = P
g ( 1 7 )
i s f u l l l e d .
P r o o f : A n a l o g o u s t o ( 9 ) , ( 1 0 ) o n e i n t r
o d u c e s \ n o r t h " a n d \ s o u t h p o l e - - b e r s
"
~
F
: =
? 1
3 2
( 0 ; 0 ; R
0
) a s w e l l a s t h e i r o p e n c o m p l e m e n t s
~
U
: = B
3 2
L
n
~
F
i n B
3 2
L
. T h e n t h e m a p s
~
h
:
~
U
? !
? 1
3 2
( R
2
R
+
)
( x
k
;
) !
q
P
3
i = 1
( x
i
)
2
+ 2
4
5
q
P
3
i = 1
( x
i
)
2
+ 2
4
5
x
3
( 1 8 )
( x
1
; x
2
;
0
@
v
u
u
t
3
X
i = 1
( x
i
)
2
+ 2
4
5
x
3
1
A
v
u
u
t
3
X
i = 1
( x
i
)
2
+ 2
4
5
;
4
;
5
) ;
w h e r e t h e s q u a r e r o o t i s d e n e d v i a t h e Z
- e x p a n s i o n o f t h e o r d i n a r y s q u a r e r o o t ,
a r e \ s u b s u p e r -
m a n i f o l d c h a r t s " o f t h e v e c t o r s u p e r s
p a c e , w h i c h o n e c a n u s e t o c o n c l u d e f
S
2 H
1
( S
; C
L
)
O b v i o u s l y i s a n i n j e c t i v e , e v e n h o m o m
o r p h i s m o f Z
2
- g r a d e d a l g e b r a s a n d t h e s u r j e c t i v i t
y
o f f o l l o w s f r o m t h e e x i s t e n c e o f H
1
- p a r t i t i o n s o f t h e u n i t y o n c o a r s e o p e
n c o v e r i n g s o f B
3 2
L
2 ] .
U s i n g o n c e a g a i n s u c h a c o a r s e H
1
- p a r t i t i o n s o f t h e u n i t y o n e c a n c o n c l
u d e , t h a t i t i s e n o u g h
t o s h o w ( 1 7 ) o n
~
U
. T h e n e x t s t e p i s t o n o t e , t h a t t h e c o n d
i t i o n f
~
U
\ S
= 0 m e a n s
f
~
h
? 1
y
3
=
2
= 0 f o r t h e f u n c t i o n s f
~
h
? 1
2 H
1
(
? 1
3 2
( R
2
R
+
) ; C
L
) a n d t h a t i t i s e n o u g h t o
p r o v e
f
~
h
? 1
=
y
3
?
2
g
; g
2 H
1
(
? 1
3 2
( R
2
R
+
) ; C
L
)
B u t i f o n e e x p l o i t s t h e p r o p e r t i e s o f t
h e \ s u p e r e l d " a n d Z - e x p a n s i o n o n e r e d u c
e s t h e a b o v e
p r o b l e m t o t h e s a m e p r o b l e m o n t h e \ C
1
- l e v e l " , w h i c h c a n b e s o l v e d i n t h e u s u
a l w a y ( s e e
2 , 6 ] ) v i a i n t e g r a t i o n . 2
A n a l o g o u s t o t h e c a s e o f t h e s u p e r s p h e
r e w e c a n i d e n t i f y t h e C - a l g e b r a C
1
( S
; C ) w i t h t h e
C - a l g e b r a C
1
( R
3
; C ) f a c t o r e d b y t h e i d e a l I
S
o f a l l C
1
- f u n c t i o n s o n R
3
v a n i s h i n g o n t h e
o r d i n a r y 2 - s p h e r e S
. B e c a u s e o f ( 1 3 ) a n d
3 2
?
I
S
I
S
; ( 1 9 )
6
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
8/34
t h e \ a l g e b r a i c b o d y m a p "
S
: H
1
( S
; C
L
) ? ! C
1
( S
; C ) i s s i m p l y d e t e r m i n e d b y
S
( f ) = f ; ( 2 0 )
w h e r e w e i n t r o d u c e d t h e n o t a t i o n f f o r
t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f
3 2
( f ) f o r s o m e f 2 f
I n t h e s p i r i t o f t h e t h e o r y o f g r a d e d m a
n i f o l d s w e i n t r o d u c e t h e s e t V
g
( X ) o f c o m p l e x
g l o b a l s u p e r v e c t o r e l d s o n a H
1
- d e W i t t s u p e r m a n i f o l d X a s t h e s e t o f g
r a d e d d e r i v a t i o n s
D e r
g
C
( H
1
( X ; C
L
) ) o f t h e Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a H
1
( X ; C
L
) V
g
( X ) f o r m s i n a n a t u r a l w a y a
C - L i e s u p e r a l g e b r a a s w e l l a s a Z
2
- g r a d e d H
1
( X ; C
L
) - m o d u l e . I n a d d i t i o n o n e s h o u l d n o t e
,
t h a t t h e r e i s a s u r j e c t i v e L i e a l g e b r a
h o m o m o r p h i s m
~
X
f r o m V
g
( X )
0
t o t h e C - L i e a l g e b r a
V ( X ) o f c o m p l e x g l o b a l v e c t o r e l d s o n t
h e b o d y m a n i f o l d X g i v e n b y
~
X
( D )
X
( f ) : =
X
( D f ) ( 2 1 )
f o r a l l D 2 V
g
( X )
0
a n d a l l f 2 H
1
( X ; C
L
)
N o w l e t u s i n p a r t i c u l a r d e n o t e t h e p a r
t i a l d e r i v a t i v e s o f H
1
- f u n c t i o n s o n t h e v e c t o r s u p e r s p a c
e
B
3 2
L
b y @ = @ x
k
i n t h e c a s e o f e v e n c o o r d i n a t e s a n d b y @
= @
i n t h e c a s e o f o d d c o o r d i n a t e s .
I f N 2 N
3
0
i s a m u l t i i n d e x a n d K B
3 2
L
i s c o m p a c t t h e n
f
3 2
K n
: = m a x
( x
k
2 K
N n M 2 I
2
@
@ x
N
@
@
M
f
!
( x
k
;
) ( 2 2 )
f o r a l l f 2 H
1
( B
3 2
L
; C
L
) , w h e r e N d e n o t e s t h e l e n g t h o f t h e m u l
t i i n d e x N a n d w e u s e d t h e
s t a n d a r d n o t a t i o n f o r p a r t i a l d e r i v a
t i v e s o f h i g h e r o r d e r , d e n e s a s e m i n o r m o
n H
1
( B
3 2
L
; C
L
)
T h e f a m i l y o f a l l s e m i n o r m s f o r a l l c o m
p a c t s u b s e t s K B
3 2
L
a n d a l l n a t u r a l n u m b e r s n 2 N
0
i n d u c e s a l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g y o n
H
1
( B
3 2
L
; C
L
) s u c h t h a t H
1
( B
3 2
L
; C
L
) b e c o m e s a Z
2
-
g r a d e d C - F r e c h e t a l g e b r a 2 ] . F o r o u r l
a t e r c o n s i d e r a t i o n s i t i s i m p o r t a n t t o n
o t e , t h a t t h e
s u b s e t P ( B
3 2
L
) H
1
( B
3 2
L
; C
L
) o f a l l p o l y n o m i a l s i n t h e c o o r d i n a t e
p r o j e c t i o n s w i t h c o m p l e x
c o e c i e n t s f o r m s a d e n s e g r a d e d s u b a l g
e b r a o f H
1
( B
3 2
L
; C
L
) 2 , 3 5 , 5 4 ] .
T h e g r a d e d i d e a l I
S
i s c l o s e d i n H
1
( B
3 2
L
; C
L
) a n d c o n s e q u e n t l y H
1
( S
; C
L
) , e n d o w e d w i t h
t h e q u o t i e n t t o p o l o g y , i s a l s o a Z
2
- g r a d e d C - F r e c h e t a l g e b r a . T h e t o p o l
o g y i s a g a i n i n d u c e d
b y a f a m i l y o f s e m i n o r m s , w h i c h a r e g i v
e n e x p l i c i t l y b y
f
S
K n
: = i n f
f 2 f
f
3 2
K n
; f 2 H
1
( S
; C
L
) ( 2 3 )
T h e s e t o f a l l e q u i v a l e n c e c l a s s e s f 2
H
1
( S
; C
L
) h a v i n g a p o l y n o m i a l r e p r e s e n t a n t f o
r m s a
d e n s e g r a d e d s u b a l g e b r a o f H
1
( S
; C
L
) , w h i c h w e d e n o t e b y P ( S
)
C
1
( R
3
; C ) a n d C
1
( S
; C ) c a n b e e n d o w e d w i t h a C - F r e c h e t a l g
e b r a s t r u c t u r e i n a n a n a l o g o u s
w a y . T h e n t h e \ a l g e b r a i c b o d y m a p s "
3 2
a n d
S
a r e c o n t i n u o u s a n d t h e s u b a l g e b r a P (
R
3
)
o f p o l y n o m i a l s i n t h e c o o r d i n a t e p r o j
e c t i o n s w i t h c o m p l e x c o e c i e n t s a s w e l l a
s i t s i m a g e
P ( S
) i n C
1
( S
; C ) f o r m d e n s e s u b a l g e b r a s i n C
1
( R
3
; C ) a n d C
1
( S
; C ) , r e s p e c t i v e l y .
E v e r y f 2 H
1
( B
3 2
L
; C
L
) h a s b y d e n i t i o n a u n i q u e \ s u p e r e l d e x
p a n s i o n "
f = f
;
+ f
4
4
+ f
5
5
+ f
4 5
4
5
X
M 2 I
2
f
M
M
( 2 4 )
7
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
9/34
I n s p i r e d b y t h e c o r r e s p o n d e n c e o f d e l
t a f u n c t i o n s a n d F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o
n a n d t h e r u l e s o f
B e r e z i n i n t e g r a t i o n 6 , 1 1 ] w e d e n e
Z
d x d f ( x
k
;
)
3
X
i = 1
( x
i
)
2
+ 2
4
5
?
2
!
: = ( 2 5 )
=
1
2
Z
0
d # s i n #
2
Z
0
d '
@ f
;
@
( ; # ; ' ) +
1
f
;
( ; # ; ' ) ? f
4 5
( ; # ; ' )
;
f o r a l l f 2 H
1
( B
3 2
L
; C
L
) , w h e r e f
M
2 C
1
( R
3
; C ) a r e t h e i m a g e s o f f
M
2 H
1
( B
3 2
L
; C
L
) w i t h
r e s p e c t t o t h e m a p ( 1 4 ) e x p r e s s e d i n s p
h e r i c a l c o o r d i n a t e s . ( 2 5 ) i n d u c e s a c o n
t i n u o u s , e v e n
C - l i n e a r m a p H
1
( B
3 2
L
; C
L
) ? ! C , w h i c h v a n i s h e s o n I
S
a c c o r d i n g t o t h e s e c o n d p a r t o f
l e m m a 1 . C o n s e q u e n t l y t h e m a p I : H
1
( S
; C
L
) ? ! C ,
I ( f ) : =
Z
d x d f ( x
k
;
)
3
X
i = 1
( x
i
)
2
+ 2
4
5
?
2
!
; f 2 f ; ( 2 6 )
i s w e l l - d e n e d a n d a g a i n c o n t i n u o u s , e
v e n a n d C - l i n e a r . I n o r d e r t o i n t r o d u c e a
n i n d e n i t e
s c a l a r p r o d u c t w e d e n e a s e c o n d \ i n v o l
u t i o n " ( b e s i d e s ) : H
1
( B
3 2
L
; C
L
) ? ! H
1
( B
3 2
L
; C
L
)
v i a
f
0
@
X
M 2 I
2
f
M
M
1
A
: = f
;
+ f
4
5
? f
5
4
+ f
4 5
4
5
( 2 7 )
A p p a r e n t l y ( 2 7 ) i s a n t i l i n e a r a n d f u l
l l s
( f g )
= ( ? 1 )
f g
g
f
?
f
= ( ? 1 )
f
f ( 2 8 )
f o r h o m o g e n e o u s f ; g 2 H
1
( B
3 2
L
; C
L
) . B e c a u s e l e a v e s I
S
i n v a r i a n t , i n d u c e s t h e s a m e
k i n d o f \ i n v o l u t i o n " o n H
1
( S
; C
L
) , w h i c h w e a g a i n d e n o t e b y . U s i n g ( 2 6 )
a s w e l l a s w e
c a n d e n e a n e v e n s e s q u i l i n e a r f o r m o n
H
1
( S
; C
L
) b y
h f g i : =
2
I ( f
g ) ; ( 2 9 )
w h e r e t h e n o r m a l i z a t i o n h a s b e e n c h o s
e n s u c h t h a t h 1 1 i = 1 . I t i s c o n t i n u o u s i n b
o t h e n t r i e s ,
n o n - d e g e n e r a t e a n d f u l l l s
h f g i = h g f i
( 3 0 )
3 A c t i o n o f t h e ( 1 j 2 ) - d i m e n s i o n a l o r t
h o s y m p l e c t i c L i e s u p e r -
a l g e b r a
B e s i d e t h e a l g e b r a o f f u n c t i o n s o n a m a
n i f o l d i t s e l f t h e r e i s a n o t h e r i m p o r t a n
t i n g r e d i e n t f o r
t h e d e n i t i o n o f f u z z y m a n i f o l d s 2 4 , 2 6
, 3 9 ] : T h e a c t i o n o f a L i e g r o u p r e s p e c t i v
e l y a L i e
a l g e b r a o n t h e a l g e b r a o f f u n c t i o n s . T
h e r e a r e n a t u r a l g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n
s o f t h e ( 1 2 ) -
d i m e n s i o n a l o r t h o s y m p l e c t i c L i e s u p
e r a l g e b r a o s p ( 1 2 ) o n t h e Z
2
- a l g e b r a s o f H
1
- f u n c t i o n s o n
8
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
10/34
t h e ( 3 2 ) - d i m e n s i o n a l v e c t o r s u p e r s p
a c e a s w e l l a s o n t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u
p e r s p h e r e . T h e y
c a n b e s e e n a s t h e s u p e r - g e n e r a l i z a t i
o n s o f t h e a c t i o n s o f t h e o r d i n a r y a n g u l a
r m o m e n t u m o n
t h e a l g e b r a s o f C
1
- f u n c t i o n s o n t h e r e s p e c t i v e b o d i e s 1
0 ] . T h e s e g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n s a r e
r e d u c i b l e . W e g i v e t h e i r r e d u c t i o n i n
t o i r r e d u c i b l e s u b s p a c e s a n d i n t r o d u c e
s u p e r - a n a l o g u e s
o f t h e s p h e r i c a l h a r m o n i c s . I t s h o u l d
b e r e m a r k e d , t h a t t h e a b o v e m e n t i o n e d r e
d u c t i o n c a n
b e f o u n d m u t a t i s m u t a n d i s a l s o i n 2 1 ] a
n d t h a t s u p e r s p h e r i c a l h a r m o n i c s w e r e s
t u d i e d i n a
d i e r e n t f r a m e w o r k i n 1 0 ] .
B e f o r e a n a l y z i n g t h e a b o v e m e n t i o n e d
i n n i t e - d i m e n s i o n a l g r a d e d r e p r e s e n t a
t i o n s o f t h e o r -
t h o s y m p l e c t i c L i e s u p e r a l g e b r a l e t u
s r s t r e v i e w s o m e w e l l - k n o w n f a c t s o f t h i
s L i e s u p e r a l g e -
b r a a n d i t s n i t e - d i m e n s i o n a l , i r r e d u
c i b l e g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n s i n o r d e r t
o x n o t a t i o n s a n d
c o n v e n t i o n s .
T h e ( c o m p l e x ) o r t h o s y m p l e c t i c L i e s u
p e r a l g e b r a o s p ( 1 2 ) i s t h e ( 3 2 ) - d i m e n s i
o n a l Z
2
- g r a d e d
C - v e c t o r s p a c e s p a n n e d b y t h r e e e v e n b
a s i s e l e m e n t s J
k
; k = 1 ; 2 ; 3 ; a n d t w o o d d b a s i s e l e m e n t
s
J
; = 4 ; 5 ; t o g e t h e r w i t h t h e g r a d e d L i e b r
a c k e t d e n e d b y
J
i
; J
j
g
: = i
3
X
k = 1
"
i j k
J
k
J
i
; J
g
: =
1
2
5
X
= 4
(
i
)
J
( 3 1 )
J
; J
g
: =
1
2
3
X
i = 1
( i
2
i
)
J
i
;
w h e r e
k
a r e t h e P a u l i m a t r i c e s a n d "
i j k
i s 3 - d i m e n s i o n a l p e r m u t a t i o n s y m b o l
. I t i s a b a s i c c l a s -
s i c a l s i m p l e L i e s u p e r a l g e b r a o f t y p e
I 8 ] , w h o s e e v e n p a r t i s i s o m o r p h i c t o t h e
2 - d i m e n s i o n a l
c o m p l e x s p e c i a l l i n e a r L i e a l g e b r a s l
( 2 ) a c c o r d i n g t o ( 3 1 ) . T h e t r i a n g u l a r d e
c o m p o s i t i o n
o s p ( 1 2 ) = N
?
H N
+
( 3 2 )
o f o s p ( 1 2 ) , w h e r e H i s t h e C a r t a n s u b a l
g e b r a a n d N
a r e t h e n i l p o t e n t g r a d e d L i e s u b s u p e r
-
a l g e b r a s o f o s p ( 1 2 ) c o r r e s p o n d i n g w i
t h t h e p o s i t i v e r e s p e c t i v e l y n e g a t i v e r
o o t s , i s c h o s e n - a s
u s u a l 4 , 4 3 ] - a c c o r d i n g t o
H : = s p a n
C
f J
3
g
N
?
: = s p a n
C
f J
?
; J
5
g ( 3 3 )
N
+
: = s p a n
C
f J
+
; J
4
g
w i t h
J
: = J
1
i J
2
( 3 4 )
F u r t h e r m o r e t h e r e e x i s t t w o e s s e n t i a
l l y d i e r e n t g r a d e a d j o i n t o p e r a t i o n s
z
; = 0 ; 1 ; o n
o s p ( 1 2 ) 4 , 4 2 , 4 3 ] , w h i c h c o r r e s p o n d ,
w h e n r e s t r i c t e d t o t h e e v e n p a r t o f o s p ( 1
2 ) , w i t h t h e
c o m p a c t r e a l f o r m o f o s p ( 1 2 )
0
. E x p l i c i t l y t h e y a r e g i v e n b y
J
z
i
: = J
i
J
z
4
: = ( ? 1 )
J
5
( 3 5 )
J
z
5
: = ( ? 1 )
+ 1
J
4
9
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
11/34
A l l i r r e d u c i b l e g r a d e d r e p r e s e n t a t i
o n s o f o s p ( 1 2 ) o n n i t e - d i m e n s i o n a l Z
2
- g r a d e d C - v e c t o r
s p a c e s a r e h i g h e s t w e i g h t m o d u l e s s p e
c i e d b y a h i g h e s t \ w e i g h t " j 2
1
2
N
0
, t h e s o - c a l l e d
s u p e r s p i n , a n d a d e n i t e d e g r e e & 2
Z
2
o f t h e u n i q u e , 1 - d i m e n s i o n a l h i g h e s t
w e i g h t s p a c e .
B e t w e e n t w o i r r e d u c i b l e , n i t e - d i m e n
s i o n a l g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n s o f o s p ( 1
2 ) w i t h t h e s a m e
h i g h e s t w e i g h t j a n d t h e s a m e d e g r e e
& o f t h e h i g h e s t w e i g h t s p a c e t h e r e e x i
s t s a n i s o m o r p h i s m
o f g r a d e d o s p ( 1 2 ) - r e p r e s e n t a t i o n s ,
d e t e r m i n e d b y t h e r e q u i r e m e n t , t h a t t h e
h i g h e s t w e i g h t
v e c t o r s a r e m a p p e d o n t o e a c h o t h e r 2 9 ,
3 0 ] .
F o r x e d j 2
1
2
N
0
a n d & 2 Z
2
l e t u s d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g i r r e d
u c i b l e g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n
b y
( j )
, t h e n i t e - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i
o n s p a c e b y V ( j ; & ) a n d b y e
( j )
j ; j ; &
2 V ( j ; & )
&
t h e h i g h e s t
w e i g h t v e c t o r , s p e c i e d ( u p t o a c o m p l e
x c o n s t a n t ) v i a
J
( j )
3
e
( j )
j ; j ; &
= j e
( j )
j ; j ; &
J
( j )
+
e
( j )
j ; j ; &
= J
( j )
4
e
( j )
j ; j ; &
= 0 ( 3 6 )
a c c o r d i n g t o ( 3 2 ) , ( 3 3 ) . T h e n t h e e l e m
e n t s
e
( j )
l ; m ; & +
: =
s
4
2 ( j ? l )
? ( l + m + 1 )
? ( 2 j + 1 ) ? ( l ? m + 1 )
J
( j ) l ? m
?
J
( j )
5
e
( j )
j ; j ; &
( 3 7 )
o f V ( j ; & )
& +
, w h e r e t h e ( n o n - n e g a t i v e ) n u m b e r l i s
g i v e n b y l : = j ?
1
2
a n d t h e n u m b e r s
a n d m r u n t h r o u g h f 0 ; 1 g r e s p e c t i v e l y f
? l ; ? l + 1 ; ; l ? 1 ; l g , f o r m a h o m o g e n e o u s b a
s i s o f
V ( j ; & ) . U s i n g t h e g r a d e d c o m m u t a t i
o n r e l a t i o n s ( 3 1 ) o n e c a n d e d u c e t h e a c t i
o n
J
( j )
3
e
( j )
l ; m ; & +
= m e
( j )
l ; m ; & +
J
( j )
+
e
( j )
l ; m ; & +
=
q
( l ? m ) ( l + m + 1 ) e
( j )
l m + 1 & +
J
( j )
?
e
( j )
l ; m ; & +
=
q
( l + m ) ( l ? m + 1 ) e
( j )
l m ? 1 & +
J
( j )
4
e
( j )
j ; m ; &
= ?
1
2
p
j ? m e
( j )
j ?
1
2
m +
1
2
& + 1
( 3 8 )
J
( j )
4
e
( j )
j ?
1
2
; m ; & + 1
= ?
1
2
r
j + m +
1
2
e
( j )
j m +
1
2
&
J
( j )
5
e
( j )
j ; m ; &
=
1
2
p
j + m e
( j )
j ?
1
2
m ?
1
2
& + 1
J
( j )
5
e
( j )
j ?
1
2
; m ; & + 1
= ?
1
2
r
j ? m +
1
2
e
( j )
j m ?
1
2
&
o f t h e h o m o g e n e o u s b a s i s f J
3
; J
; J
g o f o s p ( 1 2 ) o n t h e h o m o g e n e o u s b a s i s e
l e m e n t s ( 3 7 ) .
( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) s h o w i n p a r t i c u l a r , t h a t
t h e e v e n a n d t h e o d d s u b s p a c e o f V ( j ; & )
c o r r e s p o n d t o
i r r e d u c i b l e s l ( 2 ) - m o d u l e s w i t h h i g h
e s t w e i g h t s l = j a n d l = j ?
1
2
a n d
d i m
C
V ( j ; & )
&
= 2 j + 1
d i m
C
V ( j ; & )
& + 1
= 2 j ( 3 9 )
d i m
C
V ( j ; & ) = 4 j + 1
N o w l e t u s i n t r o d u c e t h e g r a d e d d e r i v a
t i o n s
J
( 3 2 )
i
: = ? i
3
X
j k = 1
"
i j k
x
j
@
@ x
k
+
1
2
5
X
= 4
(
i
)
@
@
; i = 1 ; 2 ; 3 ;
1 0
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
12/34
J
( 3 2 )
: =
1
2
3
X
k = 1
5
X
= 4
i x
k
(
2
k
)
@
@
?
(
k
)
@
@ x
k
; = 4 ; 5 ; ( 4 0 )
o f H
1
( B
3 2
L
; C
L
) . T h e c o r r e s p o n d i n g C - l i n e a r m a p
( 3 2 )
: o s p ( 1 2 ) ? ! V
g
( B
3 2
L
) i s a g r a d e d
r e p r e s e n t a t i o n o f o s p ( 1 2 ) , t h a t l e a v
e s I
S
( a c c o r d i n g t o l e m m a 1 ) i n v a r i a n t . C o n
s e q u e n t l y ,
d e n i n g t h e a c t i o n v i a t h e a c t i o n o n r e p
r e s e n t a n t s ,
( 3 2 )
i n d u c e s a g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n
( S )
: o s p ( 1 2 ) ? ! V
g
( S
) a n d t h e l a t t e r i s a \ g r a d e s t a r r e p r e s
e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o z
1
" ,
t h a t i s ,
D
f J
( S )
A
g
E
= ( ? 1 )
J
A
f
D
J
z
1
( S )
A
f g
E
( 4 1 )
i s f u l l l e d f o r a l l h o m o g e n e o u s f ; g 2
H
1
( S
; C
L
) a n d A = 1 ; ; 5
( 3 2 )
a s w e l l a s
( S )
a r e r e d u c i b l e . I n o r d e r t o n d t h e i r d e c
o m p o s i t i o n i n t o i r r e d u c i b l e s u b s p a c e
s
w e n o t e , t h a t t h e e v e n p o l y n o m i a l s
Y
s j
j ; j ; 0
: =
p
? ( 2 j + 1 )
2
j
? ( j + 1 )
j + 2 s
3
X
i = 1
( x
k
)
2
+ 2
4
5
!
s
x
1
+ i x
2
j
; ( 4 2 )
f o r a l l j ; s 2 N
0
, a n d t h e o d d p o l y n o m i a l s
Y
s j
j ; j ; 1
: =
p
? ( 2 j + 1 )
2
j ?
1
2
? ( j +
1
2
)
j +
3
2
+ 2 s
3
X
i = 1
( x
k
)
2
+ 2
4
5
!
s
x
1
+ i x
2
j ?
1
2
x
3
4
+ ( x
1
+ i x
2
)
5
;
( 4 3 )
f o r a l l j 2 N
0
+
1
2
; s 2 N
0
, a r e h i g h e s t w e i g h t v e c t o r s o f
( 3 2 )
w i t h h i g h e s t w e i g h t j . S u c h h i g h e s t
w e i g h t v e c t o r s w i t h d i e r e n t s b u t t h e s
a m e j a r e m a p p e d u n d e r t h e c a n o n i c a l p r o j
e c t i o n o n t o
t h e s a m e e l e m e n t o f P ( S
) , w h i c h w e w i l l d e n o t e b y Y
j
j ; j ; 2 j
. T h e n o r m a l i z a t i o n i n ( 4 2 ) a n d
( 4 3 ) i s c h o s e n s u c h t h a t
D
Y
j
j ; j ; 2 j
Y
j
j ; j ; 2 j
E
= 1 ( 4 4 )
i s f u l l l e d . A s w e w i l l s e e , t h e g r a d e d o
s p ( 1 2 ) - s u b m o d u l e s
V
s j
: = U ( o s p ( 1 2 ) )
( 3 2 )
Y
s j
j ; j ; 2 j
V
j
: = U ( o s p ( 1 2 ) )
( S )
Y
j
j ; j ; 2 j
; ( 4 5 )
w h e r e U ( o s p ( 1 2 ) ) d e n o t e s t h e e n v e l o p
i n g a l g e b r a o f o s p ( 1 2 ) , c o n s t i t u t e t h e i
r r e d u c i b l e d i r e c t
s u m m a n d s o f t h e g r a d e d r e p r e s e n t a t i o
n s
( 3 2 )
a n d
( S )
L e m m a 2 T h e r e s t r i c t i o n o f
( 3 2 )
t o V
s j
i s a n i r r e d u c i b l e g r a d e d r e p r e s e n t a t
i o n w i t h h i g h e s t
w e i g h t v e c t o r Y
s j
j ; j ; 2 j
, h i g h e s t w e i g h t j a n d d e g r e e 2 j o f t h e h
i g h e s t w e i g h t v e c t o r . M o r e o v e r t h e
d e n s e g r a d e d s u b a l g e b r a P ( B
3 2
L
) H
1
( B
3 2
L
; C
L
) c a n b e d e c o m p o s e d a s Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) -
m o d u l e a c c o r d i n g t o
P ( B
3 2
L
) =
M
s 2 N
0
j 2
1
2
N
0
V
s j
( 4 6 )
P r o o f : L e t u s a s s u m e , t h a t t h e r e s t r i c
t i o n o f
( 3 2 )
t o V
s j
i s r e d u c i b l e . T h e n t h e r e e x i s t s a
g r a d e d s u b r e p r e s e n t a t i o n o f
( 3 2 )
o n a g r a d e d v e c t o r s u b s p a c e W V
s j
a n d a n o n - t r i v i a l
1 1
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
13/34
h o m o g e n e o u s w 2 W n V
s j
. B e c a u s e
( 3 2 )
i s s t a n d a r d - c y c l i c , w i s g i v e n e i t h e r
b y
w =
N
j
X
q = 0
q
J
( 3 2 ) q
?
Y
s j
j ; j ; 2 j
;
q
2 C ;
N
j
6= 0 ;
o r b y
w =
N
j
X
q = 0
q
J
( 3 2 ) q
?
J
( 3 2 )
5
Y
s j
j ; j ; 2 j
;
q
2 C ;
N
j
6= 0
U s i n g t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n s ( 4 0 ) ,
( 4 2 ) a n d ( 4 3 ) o n e n d s b y i n d u c t i o n N
j
2 j a n d
J
( 3 2 ) N
j
+
w =
j
Y
s j
j ; j ; 2 j
;
j
2 C n f 0 g ;
i n t h e r s t c a s e a n d N
j
2 j ? 1 a n d
J
( 3 2 ) N
j
+
J
( 3 2 )
4
w =
j
Y
s j
j ; j ; 2 j
;
j
2 C n f 0 g ;
i n t h e s e c o n d c a s e . I n a n y c a s e o n e h a s
Y
s j
j ; j ; 2 j
2 W i m p l y i n g t h e c o n t r a d i c t i o n W = V
s j
A p p a r e n t l y
( 3 2 )
d o e s n o t o n l y l e a v e P ( B
3 2
L
) i n v a r i a n t b u t a l s o t h e g r a d e d v e c t o r
s u b s p a c e s
P
n
( B
3 2
L
) P ( B
3 2
L
) o f p o l y n o m i a l s i n t h e c o o r d i n a t e p r o
j e c t i o n s w i t h c o m p l e x c o e c i e n t s o f
d e g r e e n 2 N
0
. C o n s e q u e n t l y w e h a v e V
s j
P
j +
3
2
2 j + 2 s
( B
3 2
L
) , w h e r e t h e s u m m a n d
3
2
2 j i s o f
c o u r s e t o b e u n d e r s t o o d a s 0 , i f j 2 N
0
, a n d a s
3
2
, i f j 2 N
0
+
1
2
. I n o r d e r t o s h o w ( 4 6 ) w e o n l y
h a v e t o p r o v e
P
n
( B
3 2
L
) =
M
j +
3
2
2 j + 2 s = n
V
s j
( 4 7 )
f o r a l l n 2 N
0
. U s i n g t h e f a c t , t h a t h i g h e s t w e i g h t v
e c t o r s o f V
s j
a n d V
s j
, w i t h s 6= s
0
; j 6= j
0
,
s u c h t h a t j +
3
2
2 j + 2 s = j
0
+
3
2
2 j
0
+ 2 s
0
= n , h a v e t o b e l i n e a r i n d e p e n d e n t b e c a
u s e t h e y
a r e h i g h e s t w e i g h t v e c t o r s t o d i e r e n t
h i g h e s t w e i g h t s , o n e n d s , t h a t t h e i n t e r
s e c t i o n o f V
s j
w i t h t h e s u m o f a l l o t h e r v e c t o r s p a c e s
V
s j
w i t h s 6= s
0
; j 6= j
0
s u c h t h a t j +
3
2
2 j + 2 s =
j
0
+
3
2
2 j
0
+ 2 s
0
= n i s f 0 g . C o n s e q u e n t l y
j +
3
2
2 j + 2 s = n
V
s j
i s a w e l l - d e n e d g r a d e d v e c t o r
s u b s p a c e o f P
n
( B
3 2
L
) . I n o r d e r t o s h o w e q u a l i t y i t i s e n o u g
h t o s h o w t h e e q u a l i t y o f d i m e n s i o n s .
B u t u s i n g ( 3 9 ) w e n d 2 n
2
+ 2 n + 1 f o r d i m
C
j +
3
2
2 j + 2 s = n
V
s j
b y i n d u c t i o n , w h i c h i s e x a c t l y
d i m
C
P
n
( B
3 2
L
) 2
A l t h o u g h t h e a b o v e r e s u l t a b o u t t h e r e
p r e s e n t a t i o n
( 3 2 )
i s n o t o f p r i m a r y i n t e r e s t f o r i t s e l f i
t
i s o f c e n t r a l i m p o r t a n c e f o r d e d u c i n g
t h e f o l l o w i n g r e d u c t i o n o f
( S )
P r o p o s i t i o n 1 T h e r e s t r i c t i o n o f
( S )
t o V
j
i s a n i r r e d u c i b l e g r a d e d r e p r e s e n t a t
i o n w i t h h i g h -
e s t w e i g h t v e c t o r Y
j
j ; j ; 2 j
, h i g h e s t w e i g h t j a n d d e g r e e 2 j o f t h e h
i g h e s t w e i g h t v e c t o r . M o r e o v e r
t h e d e n s e g r a d e d s u b a l g e b r a P ( S
) H
1
( S
; C
L
) c a n b e d e c o m p o s e d a s Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) -
m o d u l e a c c o r d i n g t o
P ( S
) =
M
j 2
1
2
N
0
V
j
( 4 8 )
1 2
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
14/34
P r o o f : T h e r s t s t a t e m e n t i s a c o n s e q u e
n c e o f t h e f a c t s , t h a t Y
j
j ; j ; 2 j
i s n o n - t r i v i a l a n d t h a t
t h e c a n o n i c a l p r o j e c t i o n H
1
( B
3 2
L
; C
L
) ? ! H
1
( S
; C
L
) i s a n s u r j e c t i v e , e v e n h o m o m o r p h i s
m
o f o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s .
B e c a u s e o f l e m m a 2 w e o n l y h a v e t o s h o w ,
t h a t t h e i n t e r s e c t i o n o f V
j
a n d t h e s u m o f a l l
o t h e r v e c t o r s u b s p a c e s V
j
i s t r i v i a l , i n o r d e r t o p r o v e ( 4 8 ) . B u t
t h i s i s a n e a s y c o n s e q u e n c e
o f t h e f a c t , t h a t V
j
a n d V
j
a r e i r r e d u c i b l e Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s w i t h d i e r e n
t h i g h e s t
w e i g h t s . 2
A c c o r d i n g t o p r o p o s i t i o n 1 a n d ( 3 7 ) t h
e e l e m e n t s o f V
j
P ( S
) H
1
( S
; C
L
)
Y
j
l ; m ; 2 j +
: =
s
4
2 ( j ? l )
? ( l + m + 1 )
? ( 2 j + 1 ) ? ( l ? m + 1 )
J
( S ) l ? m
?
J
( S )
5
Y
j
j ; j ; 2 j
; ( 4 9 )
w i t h l : = j ?
1
2
a n d 2 f 0 ; 1 g , m 2 f ? l ; ? l + 1 ; ; l ? 1 ; l g , f o r
m a h o m o g e n e o u s b a s i s o f
V
j
f o r a l l j 2
1
2
N
0
. W e w i l l c a l l t h e m s u p e r s p h e r i c a l h a r
m o n i c s . O f c o u r s e , t h e a c t i o n o f
o s p ( 1 2 ) o n t h e s u p e r s p h e r i c a l h a r m o n
i c s i s g i v e n b y ( 3 8 ) a n d u s i n g ( 4 1 ) a n d ( 4 4
) w e n d ,
t h a t t h e y a r e ( p s e u d o ) o r t h o n o r m a l i z
e d a c c o r d i n g t o
D
Y
j
l ; m ; 2 j +
Y
j
l m 2 j +
E
= ( ? 1 )
2 j 1
1
j j
m m
( 5 0 )
4 T r u n c a t i o n a n d t h e f u z z y s u p e r s p h e r
e
W e t r u n c a t e t h e d i r e c t s u m ( 4 8 ) o f g r a d
e d s u b r e p r e s e n t a t i o n s o f o s p ( 1 2 ) o n t h e
Z
2
- g r a d e d
a l g e b r a o f c o m p l e x - G r a s s m a n n - v a l u e
d H
1
- f u n c t i o n s o n t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s
u p e r s p h e r e a t
e a c h i n t e g e r s u p e r s p i n a n d e s t a b l i s h
a n e w , Z
2
- g r a d e d a s s o c i a t i v e p r o d u c t o n e a c h o
f t h e s e
t r u n c a t e d s u m s . I n t h i s w a y w e g e t t h e f
u z z y s u p e r s p h e r e , t h a t i s a w h o l e s e q u e n
c e o f n i t e -
d i m e n s i o n a l , n o n c o m m u t a t i v e Z
2
- g r a d e d a l g e b r a s p o s s e s s i n g a \ g r a d e
d - c o m m u t a t i v e l i m i t " .
T h e p r o c e d u r e d e s c r i b e d a b o v e w a s s t u
d i e d i n a s i m i l a r w a y i n 2 1 ] . H e r e w e h a v e s
l i g h t l y
d i e r e n t c o n v e n t i o n s a n d w e w i l l d i s c u
s s t h e g r a d e d - c o m m u t a t i v e l i m i t i n g r e a
t e r d e t a i l , w h i c h
i n c l u d e s t h e i n t r o d u c t i o n o f n o n c o m m
u t a t i v e s u p e r s p h e r i c a l h a r m o n i c s i n p a
r t i c u l a r .
L e t u s r s t f o r m u l a t e o u r a i m , t h a t i s t h
e b a s i c i d e a o f t h e c o n s t r u c t i o n o f f u z z y
m a n i f o l d s
a p p l i e d t o o u r c a s e . F o r e v e r y q 2
1
2
N l e t u s i n t r o d u c e t h e t r u n c a t e d d i r e c
t s u m
H
q
: =
M
j 2
1
2
N
0
j q
V
j
( 5 1 )
o f Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s . F o r s o m e i n
n i t e s u b s e t S
1
2
N
0
a n d e v e r y q 2 S w e w a n t
t o n d Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a s A
q
, w h i c h a r e a t t h e s a m e t i m e Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s
t o g e t h e r w i t h e v e n o s p ( 1 2 ) - m o d u l e i s
o m o r p h i s m s
q
: H
q
? ! A
q
. D e n o t i n g b y
q q
; q ; q
0
2
S ; q q
0
; t h e c a n o n i c a l i n j e c t i o n s H
q
? ! H
q
w e c a n i n t r o d u c e e v e n , i n j e c t i v e o s p (
1 2 ) - m o d u l e
h o m o m o r p h i s m s
q q
: A
q
? ! A
q
b y
q q
: =
q
q q
? 1
q
; ( 5 2 )
1 3
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
15/34
w h i c h f u l l l
q q
q q
=
q q
( 5 3 )
f o r a l l q ; q
0
; q
0 0
2 S ; q q
0
q
0 0
. C o n s e q u e n t l y ( H
q
;
q q
) a n d ( A
q
;
q q
) a r e i s o m o r p h i c d i r e c t e d
s y s t e m s o f Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s a n d t h e i r d i
r e c t l i m i t s c a n b e i d e n t i e d w i t h P ( S
)
( a s Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s ) . T h e c o r r e
s p o n d i n g h o m o m o r p h i s m s H
q
? ! P ( S
) a n d
A
q
? ! P ( S
) o f Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s a r e d e n o t e d
b y
q
a n d
q
, r e s p e c t i v e l y .
N o w l e t f a n d f
0
b e e l e m e n t s o f P ( S
) . T h e n t h e r e w i l l b e a n u m b e r p 2 S s u c h t
h a t ( o m i t t i n g
t h e c a n o n i c a l i n j e c t i o n s
p
a n d
q p
a s w e w i l l a l w a y s d o i n t h e s e q u e l ) f ;
f
0
2 H
q
f o r a l l q p
W e c a n n o t f o r m p r o d u c t s f f
0
i n t h e t r u n c a t e d s u m s H
q
, b u t w e c a n f o r m
q
( f )
q
( f
0
)
i n t h e i s o m o r p h i c o b j e c t s A
q
. A p r i o r i t h e s e p r o d u c t s a r e n o t c o n n e
c t e d w i t h t h e p r o d u c t
f f
0
2 H
1
( S
; C
L
) i n a n y w a y , b u t w e c a n m a p t h e m i n t o t h e
d i r e c t l i m i t a c c o r d i n g t o
?
f f
0
q
: =
q
?
q
( f )
q
( f
0
)
=
? 1
q
?
q
( f )
q
( f
0
)
2 P ( S
) H
1
( S
; C
L
) ( 5 4 )
a n d \ c o m p a r e " ( f f
0
)
q
w i t h f f
0
. M o r e e x a c t l y f ( f f
0
)
q
g
p q q 2 S
i s a s e q u e n c e i n H
1
( S
; C
L
) ,
w h o s e c o n v e r g e n c e t o f f
0
( w i t h r e s p e c t t o t h e F r e c h e t t o p o l o g y
) c a n b e i n v e s t i g a t e d .
D e n i t i o n 1 T h e d i r e c t e d s y s t e m ( A
q
;
q q
) i s s a i d t o p o s s e s s a g r a d e d - c o m m u t a t
i v e l i m i t i f
l i m
q ! 1
?
f f
0
q
= f f
0
( 5 5 )
i s f u l l l e d f o r a l l f ; f
0
2 P ( S
)
B e c a u s e o f t h e a l g e b r a i c s t r u c t u r e o f
e a c h A
q
, w e c a n v i e w e a c h A
q
a s \ n o n c o m m u t a t i v e H
1
-
s u p e r m a n i f o l d " ; t h e e x i s t e n c e o f t h e
g r a d e d - c o m m u t a t i v e l i m i t g u a r a n t e e s t
h e r e l a t i o n w i t h
t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p h e r e . W
e w i l l s h o w i n t h e s e q u e l , t h a t a d i r e c t e d
s y s t e m w i t h
g r a d e d - c o m m u t a t i v e l i m i t r e a l l y e x i
s t s .
W e c h o o s e S = N . F o r a l l q 2 N o n e n d s b y i n d
u c t i o n
d i m
C
H
q 0
= q
2
+ ( q + 1 )
2
d i m
C
H
q 1
= 2 q ( q + 1 ) ( 5 6 )
d i m
C
H
q
= ( 2 q + 1 )
2
;
f r o m w h i c h w e c a n c o n c l u d e , t h a t t h e r e
w i l l e x i s t i s o m o r p h i s m s o f Z
2
- g r a d e d C - v e c t o r s p a c e s
b e t w e e n H
q
a n d t h e Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) o f a l l e n d o m o r p h i s m s o f t h e Z
2
- g r a d e d
r e p r e s e n t a t i o n s p a c e o f t h e i r r e d u c i
b l e g r a d e d o s p ( 1 2 ) - r e p r e s e n t a t i o n w i t
h h i g h e s t w e i g h t
q
2
a n d o d d h i g h e s t w e i g h t v e c t o r .
O n e a c h o f t h e Z
2
- g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n s p a c e s V (
q
2
; 1 ) w e c a n i n t r o d u c e a s c a l a r p r o d u c t b
y
e
(
q
2
)
l ; m ; 1 +
e
(
q
2
)
l m 1 +
=
m m
( 5 7 )
f o r a l l ;
0
2 f 0 ; 1 g , m 2 f ? l ; ; l g , m
0
2 f ? l
0
; ; l
0
g , s u c h t h a t V (
q
2
; 1 ) b e c o m e s a Z
2
-
g r a d e d H i l b e r t s p a c e . W i t h r e s p e c t t o
t h i s s c a l a r p r o d u c t a n d t h e g r a d e a d j o i n
t o p e r a t i o n z
0
,
t h e i r r e d u c i b l e g r a d e d r e p r e s e n t a t i
o n
(
q
2
)
i s a g r a d e s t a r r e p r e s e n t a t i o n 4 , 4 3 ] .
E m p l o y i n g t h e
1 4
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
16/34
s u p e r a d j o i n t o p e r a t i o n z w i t h r e s p e c
t t o t h i s s c a l a r p r o d u c t a s w e l l a s t h e s u p
e r t r a c e T r
s
w e
c a n d e n e a s e s q u i l i n e a r f o r m h j i
q
2
: E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) ? ! C v i a
h f g i
q
2
: = ? T r
s
f
z
g
=
1
X
= 0
l
X
m = ? l
( ? 1 )
e
(
q
2
)
l ; m ; 1 +
f
z
g
e
(
q
2
)
l ; m ; 1 +
( 5 8 )
T h e n o r m a l i z a t i o n h a s b e e n c h o s e n s u c
h t h a t h I d
V ( q = 2 1 )
I d
V ( q = 2 1 )
i
q
2
= 1 h j i
q
2
i s e v e n , n o n -
d e g e n e r a t e a n d f u l l l s
h f g i
q
2
= h g f i
q
2
( 5 9 )
B e s i d e t h i s i n d e n i t e s c a l a r p r o d u c t ,
w h i c h h a s e x a c t l y t h e s a m e p r o p e r t i e s a s
( 2 9 ) , w e c a n
a l s o e s t a b l i s h a Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s t r u c t u r e o n
E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) i n a n a t u r a l w a y b y
d e n i n g a d
(
q
2
)
: o s p ( 1 2 ) ? ! D e r
g
C
( E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) ) p l ( E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) ) v i a
a d
(
q
2
)
J ( f ) : =
h
J
(
q
2
)
; f
i
g
( 6 0 )
f o r a l l J 2 o s p ( 1 2 ) , f 2 E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) . H e r e w e d e n o t e d b y p l ( E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) ) t h e g e n e r a l
l i n e a r L i e s u p e r a l g e b r a o f t h e Z
2
- g r a d e d C - v e c t o r s p a c e E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) a n d b y ;
g
i t s g r a d e d
L i e b r a c k e t . U s i n g t h e f a c t , t h a t
(
q
2
)
i s a g r a d e s t a r r e p r e s e n t a t i o n w i t h r e
s p e c t t o z
0
, w e c a n
d e d u c e , t h a t a d
(
q
2
)
i s a g r a d e s t a r r e p r e s e n t a t i o n w i t h r e
s p e c t t o z
1
T h e g r a d e d r e p r e s e n t a t i o n s a d
(
q
2
)
a r e r e d u c i b l e f o r a l l q 2 N . I n o r d e r t o n
d t h e i r r e d u c t i o n
i n t o i r r e d u c i b l e s u b s p a c e s w e p r o c e e
d a s w e d i d f o r t h e i n n i t e - d i m e n s i o n a l c a
s e . E m p l o y i n g
( 3 8 ) a n d t h e g r a d e d L e i b n i z r u l e w e c a n
c h e c k , t h a t t h e e v e n e n d o m o r p h i s m s
Y
(
q
2
) j
j ; j ; 0
: =
s
2
j
( 2 j ? 1 ) ! ! ? ( q ? j + 1 )
? ( j + 1 ) ? ( q + j + 1 )
J
(
q
2
) j
+
; ( 6 1 )
f o r a l l j 2 N
0
; j q , a s w e l l a s t h e o d d e n d o m o r p h i s m
s
Y
(
q
2
) j
j ; j ; 1
: =
1
q +
1
2
v
u
u
t
2
j +
7
2
( 2 j ) ! ! ? ( q ? j +
1
2
)
? ( j +
1
2
) ? ( q + j +
3
2
)
J
(
q
2
) j ?
1
2
+
J
(
q
2
)
3
?
3
4
J
(
q
2
)
4
+ J
(
q
2
)
+
J
(
q
2
)
5
; ( 6 2 )
f o r a l l j 2 N
0
+
1
2
; j q , a r e h i g h e s t w e i g h t v e c t o r s o f a
d
(
q
2
)
w i t h h i g h e s t w e i g h t j a n d
n o r m a l i z e d a c c o r d i n g t o
Y
(
q
2
) j
j ; j ; 2 j
Y
(
q
2
) j
j ; j ; 2 j
q
2
= 1 ( 6 3 )
T h e c o r r e s p o n d i n g g r a d e d o s p ( 1 2 ) - s u
b m o d u l e s
V
(
q
2
) j
: = a d
(
q
2
)
( U ( o s p ( 1 2 ) ) ) Y
(
q
2
) j
j ; j ; 2 j
( 6 4 )
a r e t h e d i r e c t s u m m a n d s w e a r e l o o k i n g
f o r .
P r o p o s i t i o n 2 T h e r e s t r i c t i o n o f a d
(
q
2
)
t o V
(
q
2
) j
i s a n i r r e d u c i b l e g r a d e d r e p r e s e n t a t
i o n o f
o s p ( 1 2 ) w i t h h i g h e s t w e i g h t v e c t o r
Y
(
q
2
) j
j ; j ; 2 j
, h i g h e s t w e i g h t j a n d d e g r e e 2 j o f t h e h
i g h e s t w e i g h t
v e c t o r . M o r e o v e r E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) c a n b e d e c o m p o s e d a s Z
2
- g r a d e d o s p ( 1 2 ) - m o d u l e a c c o r d i n g
t o
E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) =
M
j 2
1
2
N
0
j q
V
(
q
2
) j
( 6 5 )
1 5
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
17/34
P r o o f : T h e p r o o f o f i r r e d u c i b i l i t y c a
n b e t a k e n o v e r l i t e r a l l y f r o m l e m m a 2 : T h
e n u m b e r s N
j
c a n a g a i n b e d e t e r m i n e d b y i n d u c t i o n (
w i t h t h e s a m e r e s u l t a s i n l e m m a 2 ) b u t n o w
b y u s i n g
t h e e x p l i c i t e x p r e s s i o n s ( 6 1 ) , ( 6 2 ) .
T h e f a c t , t h a t w e a r e c o n s i d e r i n g o n l y g r
a d e d h i g h e s t w e i g h t
m o d u l e s w i t h d i e r e n t h i g h e s t w e i g h t s
g u a r a n t e e s t h a t t h e d i r e c t s u m i n ( 6 5 ) i s
w e l l - d e n e d
a n d t h e e q u a l i t y w i t h E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) r e s u l t s f r o m o u r d i m e n s i o n a l c o n
s i d e r a t i o n s ( 5 6 ) . 2
C o n s e q u e n t l y f o r e v e r y q 2 N a n d j q t h e e
l e m e n t s
Y
(
q
2
) j
l ; m ; 2 j +
: =
s
4
2 ( j ? l )
? ( l + m + 1 )
? ( 2 j + 1 ) ? ( l ? m + 1 )
a d
(
q
2
)
J
?
l ? m
a d
(
q
2
)
J
5
Y
(
q
2
) j
j ; j ; 2 j
( 6 6 )
o f V
(
q
2
) j
, w i t h l : = j ?
1
2
a n d 2 f 0 ; 1 g , m 2 f ? l ; ? l + 1 ; ; l ? 1 ; l g , f o r
m a h o m o g e n e o u s
b a s i s o f V
(
q
2
) j
. B e c a u s e o f t h e i s o m o r p h i s m s ( 6 8 ) d e n
e d b e l o w , w e w i l l c a l l t h e s e e l e m e n t s o
f
E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) n o n c o m m u t a t i v e s u p e r s p h e r i c a l
h a r m o n i c s a n d a n a n a l o g o u s c a l c u l a t i o n
w h i c h
y i e l d e d ( 5 0 ) s h o w s , t h a t t h e y a r e a g a i
n ( p s e u d o ) o r t h o n o r m a l i z e d a c c o r d i n g t
o
Y
(
q
2
) j
l ; m ; 2 j +
Y
(
q
2
) j
l m 2 j +
q
2
= ( ? 1 )
2 j 1
1
j j
m m
( 6 7 )
I n c o n s i d e r a t i o n o f p r o p o s i t i o n 2 w e c
a n i n t r o d u c e l o t s o f e v e n o s p ( 1 2 ) - m o d u l
e i s o m o r p h i s m s
q
: H
q
? ! E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) a n d w e c h o o s e e s p e c i a l l y f o r e v e r
y q 2 N t h e C - l i n e a r m a p d e n e d
b y
q
( Y
j
l ; m ; 2 j +
) : = Y
(
q
2
) j
l ; m ; 2 j +
( 6 8 )
f o r a l l j q ; 2 f 0 ; 1 g a n d m 2 f ? l ; ? l + 1 ; ; l ?
1 ; l g , b e c a u s e t h e c o r r e s p o n d i n g d i r e c t
e d
s y s t e m ( E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) ;
q q
) h a s t h e d e s i r e d p r o p e r t y .
P r o p o s i t i o n 3 T h e d i r e c t e d s y s t e m ( E n
d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) ;
q q
) c o r r e s p o n d i n g w i t h ( 6 8 ) p o s s e s s e
s
a g r a d e d - c o m m u t a t i v e l i m i t .
P r o o f : B e c a u s e t h e t o p o l o g y o n H
1
( S
; C
L
) i s i n d u c e d b y s e m i n o r m s ( 2 3 ) , s u p e r s
p h e r i c a l
h a r m o n i c s - o r d i n a r y a n d n o n c o m m u t a t
i v e a s w e l l - a r e ( p s e u d o ) o r t h o n o r m a l i z
e d a n d
( S )
a n d
a d
(
q
2
)
a r e g r a d e s t a r r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e
s a m e t y p e , i t i s e n o u g h t o s h o w
l i m
q ! 1
Y
(
q
2
) j
l ; m ; 2 j +
Y
(
q
2
) j
l m 2 j +
Y
(
q
2
) j
l m 2 j +
q
2
=
D
Y
j
l ; m ; 2 j +
Y
j
l m 2 j +
Y
j
l m 2 j +
E
( 6 9 )
f o r a l l j
0
; j
0 0
2
1
2
N
0
;
0
;
0 0
2 f 0 ; 1 g ; m
0
2 f ? l
0
; ; l
0
g ; m
0
2 f ? l
0
; ; l
0
g a n d j 2
1
2
N
0
; 2
f 0 ; 1 g ; m 2 f ? l ; ; l g w i t h j
0
? j
0 0
j j
0
+ j
0 0
; m = m
0
+ m
0 0
; = 2 j + 2 j
0
+ 2 j
0 0
+
0
+
0 0
N o w w e c a n i n t e r p r e t Y
j
l m 2 j +
a n d Y
(
q
2
) j
l m 2 j +
a s m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r s i n P ( S
) a n d
E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) , r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e s e t s f
Y
j
l m 2 j +
0
= 0 ; 1 ; m
0
= ? l
0
; ; l
0
g a n d
f Y
(
q
2
) j
l m 2 j +
0
= 0 ; 1 ; m
0
= ? l
0
; ; l
0
g a r e i r r e d u c i b l e o s p ( 1 2 ) - t e n s o r o p e
r a t o r s a n d w e
c a n a p p l y t h e o s p ( 1 2 ) - W i g n e r - E c k a r t
t h e o r e m 4 1 , 5 5 ] t o c o n c l u d e , t h a t w e c a n r
e s t r i c t o u r
a t t e n t i o n t o t h e c a s e s
0
=
0 0
= 0 ; m
0
= j
0
; m
0 0
= j
0 0
W e n d
Y
j
j j 2 j
Y
j
j j 2 j
= c
j j
Y
j + j
j + j j + j 2 ( j + j )
; j
0
; j
0 0
2
1
2
N
0
;
1 6
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
18/34
a s w e l l a s
Y
(
q
2
) j
j j 2 j
Y
(
q
2
) j
j j 2 j
= c
q
j j
Y
(
q
2
) j + j
j + j j + j 2 ( j + j )
; j
0
; j
0 0
2
1
2
N
0
;
w h e r e t h e c o e c i e n t s c
j j
; c
q
j j
2 R , w h i c h a r e a l s o d e t e r m i n e d b y t h e e x
p l i c i t e x p r e s s i o n s
( 4 2 ) , ( 4 3 ) a n d ( 6 1 ) , ( 6 2 ) , f u l l l
l i m
q ! 1
c
q
j j
= c
j j
f o r a l l j
0
; j
0 0
2
1
2
N
0
. B u t b e c a u s e o f ( 5 0 ) a n d ( 6 7 ) t h i s p r o v
e s t h e p r o p o s i t i o n . 2
C o n s e q u e n t l y w e h a v e s u c c e e d e d i n n d i
n g a s e q u e n c e o f Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a s t e n d i n g i n
t h e l i m i t d e s c r i b e d a b o v e t o t h e Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a H
1
( S
; C
L
) o f H
1
- f u n c t i o n s o n t h e
( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p h e r e S
. T r a n s p o s e d t o t h e l a n g u a g e o f n o n c o m
m u t a t i v e g e o m e t r y
t h i s m e a n s , t h a t w e h a v e a p p r o x i m a t e d
t h e ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l s u p e r s p h e r e b y a s
e q u e n c e o f
n o n c o m m u t a t i v e s u p e r m a n i f o l d s . B e c
a u s e o u r c o n s t r u c t i o n i s e x a c t l y t h e s a m
e a s t h e o n e
o f o r d i n a r y f u z z y m a n i f o l d s 2 4 , 2 6 , 3 9
] w e w i l l c a l l t h e d i r e c t e d s y s t e m ( E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) ;
q q
)
( ( 2 2 ) - d i m e n s i o n a l ) f u z z y s u p e r s p h e
r e . E a c h o n e o f t h e Z
2
- g r a d e d C - a l g e b r a s a n d g r a d e d
o s p ( 1 2 ) - m o d u l e s E n d
C
( V (
q
2
; 1 ) ) w e w i l l c a l l t r u n c a t e d ( ( 2 2 ) - d i m
e n s i o n a l ) s u p e r s p h e r e a n d
w e i n t r o d u c e t h e s h o r t e r n o t a t i o n S
q
f o r i t .
I t i s w o r t h w h i l e t o m e n t i o n t h e f o l l o w
i n g n i c e p r o p e r t y o f t h e i s o m o r p h i s m s
q
a n d t h e t r u n -
c a t e d s u p e r s p h e r e s S
q
: F o r a l l q 2 N w e n d
q
( x
k
) =
2
p
q ( q + 1 )
J
(
q
2
)
k
= : X
(
q
2
)
k
; k = 1 ; 2 ; 3 ;
q
(
) =
2
p
q ( q + 1 )
J
(
q
2
)
= :
(
q
2
)
; = 4 ; 5 ; ( 7 0 )
a n d c o n s e q u e n t l y
3
X
k = 1
q
( x
k
)
2
+
q
(
4
)
q
(
5
) ?
q
(
5
)
q
(
4
)
3
X
k = 1
X
(
q
2
)
k
2
+
(
q
2
)
4
(
q
2
)
5
?
(
q
2
)
5
(
q
2
)
4
=
2
I d
V (
q
2
1 )
; ( 7 1 )
b e c a u s e t h e l e f t h a n d s i d e i s 4
2
= ( q ( q + 1 ) ) t i m e s t h e r e p r e s e n t a t i o n o
f t h e s t a n d a r d s e c o n d -
o r d e r C a s i m i r o p e r a t o r 4 3 ] o f o s p ( 1 2 )
. T h a t i s , t h e d e n i n g r e l a t i o n o f t h e ( 2 2 )
- d i m e n s i o n a l
s u p e r s p h e r e i s f u l l l e d o n e a c h t r u n c a
t e d s u p e r s p h e r e .
5 T h e n o n c o m m u t a t i v e b o d y m a p
T h e e x i s t e n c e o f a b o d y a n d a n \ a l g e b r a
i c b o d y m a p " i s o f g r e a t s t r u c t u r a l i m p o r
t a n c e i n t h e
t h e o r y o f s u p e r m a n i f o l d s r e s p e c t i v e
l y g r a d e d m a n i f o l d s a n d o n e s h o u l d h a v e a
n f u z z y a n a l o g u e .
W e w i l l s e e , t h a t i t i s v e r y n a t u r a l t o i
n t e r p r e t t h e f u z z y s p h e r e a s \ n o n c o m m u t
a t i v e b o d y "
o f t h e f u z z y s u p e r s p h e r e . T h e c o r r e s p
o n d i n g n o n c o m m u t a t i v e b o d y m a p w i l l b e a
s u r j e c t i v e
h o m o m o r p h i s m o f d i r e c t e d s y s t e m s , b u
t n o n e o f t h e s i n g l e m a p s w i l l b e a n a l g e b r
a h o m o m o r -
p h i s m ( w h i c h w o u l d b e i m p o s s i b l e a s m a
p b e t w e e n s i m p l e a l g e b r a s o f d i e r e n t d i m
e n s i o n s ) .
T h e a l g e b r a h o m o m o r p h i s m p r o p e r t y w i
l l b e r e c o v e r e d i n t h e \ g r a d e d - c o m m u t a t
i v e l i m i t " .
1 7
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
19/34
L e t u s r s t d e s c r i b e t h e \ n o n c o m m u t a t i
v e b o d y " o f t h e f u z z y s u p e r s p h e r e , t h a t i
s t h e f u z z y
s p h e r e , i n a n a d e q u a t e l a n g u a g e ( s e e a
l s o 3 9 , 3 7 , 2 2 , 2 1 ] ) . T h e C - l i n e a r m a p
( 3 )
: s l ( 2 ) ? !
V ( R
3
) , d e n e d b y
J
( 3 )
i
: = ? i
3
X
j k = 1
"
i j k
x
j
@
k
; i = 1 ; 2 ; 3 ; ( 7 2 )
i s a r e p r e s e n t a t i o n o f s l ( 2 ) . I t l e a v e
s I
S
i n v a r i a n t a n d i n d u c e s a r e p r e s e n t a t i
o n
( S )
: s l ( 2 ) ? !
V ( S
) , w h i c h i s a s t a r r e p r e s e n t a t i o n w i t h
r e s p e c t t o t h e a d j o i n t o p e r a t i o n y c o r r e
s p o n d i n g
w i t h t h e c o m p a c t r e a l f o r m o f s l ( 2 ) a n d
t h e s c a l a r p r o d u c t h j i : C
1
( S
; C ) C
1
( S
; C ) ? ! C ,
d e n e d b y
h f g i : =
1
4
Z
0
d # s i n #
2
Z
0
d ' f ( ; # ; ' )
g ( ; # ; ' ) ; ( 7 3 )
w h e r e f ; g a r e r e p r e s e n t a n t s o f f a n d g ,
e x p r e s s e d i n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s . T h
e n o r m a l i z e d
( h i g h e s t w e i g h t ) s p h e r i c a l h a r m o n i c
s
Y
j
j
: =
p
? ( 2 j + 2 )
2
j
? ( j + 1 )
j
x
1
+ i x
2
j
; j 2 N
0
; ( 7 4 )
a r e h i g h e s t w e i g h t v e c t o r s o f
( S )
w i t h h i g h e s t w e i g h t j , t h e r e s t r i c t i o
n o f
( S )
t o t h e s l ( 2 ) -
s u b m o d u l e s
V
j
: = U ( s l ( 2 ) )
( S )
Y
j
j
( 7 5 )
i s i r r e d u c i b l e a n d t h e d e n s e g r a d e d s u
b a l g e b r a P ( S
) C
1
( S
; C ) c a n b e d e c o m p o s e d a s
s l ( 2 ) - m o d u l e a c c o r d i n g t o
P ( S
) =
M
j 2 N
0
V
j
( 7 6 )
T h e ( o r d i n a r y ) s p h e r i c a l h a r m o n i c s ,
g i v e n b y
Y
j
m
: =
s
? ( j + m + 1 )
? ( 2 j + 1 ) ? ( j ? m + 1 )
J
( S ) j ? m
?
Y
j
j
; ( 7 7 )
w h e r e m 2 f ? j ; ? j + 1 ; ; j g , a r e o r t h o n o r m
a l a n d t h e y f o r m a b a s i s o f V
j
f o r e v e r y x e d
j 2 N
0
A s i n t h e c a s e o f t h e s u p e r s p h e r e o n e e s
t a b l i s h e s o n e a c h t r u n c a t e d d i r e c t s u
m
C
q
: =
M
j 2 N
0
j q
V
j
; q 2 N
0
; ( 7 8 )
o f s l ( 2 ) - m o d u l e s a ( n o n c o m m u t a t i v e )
a s s o c i a t i v e p r o d u c t . I n o r d e r t o d o s o , l
e t u s d e n o t e
b y
(
q
2
)
: s l ( 2 ) ? ! E n d
C
( V (
q
2
) ) t h e i r r e d u c i b l e s l ( 2 ) - r e p r e s e n t a
t i o n w i t h h i g h e s t w e i g h t
q
2
, b y
f e
(
q
2
)
m
g
m 2 f ?
q
2
q
2
g
t h e c a n o n i c a l b a s i s o f V (
q
2
) c o r r e s p o n d i n g w i t h t h e w e i g h t s p a c e
d e c o m p o s i -
t i o n a n d b y h j i t h e s c a l a r p r o d u c t o n V
(
q
2
) x e d b y t h e r e q u i r e m e n t , t h a t f e
(
q
2
)
m
g
m 2 f ?
q
2
q
2
g
b e c o m e s a n o r t h o n o r m a l b a s i s . T h e n
h f g i
q
2
: =
1
q + 1
T r
f
y
g
=
1
q + 1
m =
q
2
X
m = ?
q
2
e
(
q
2
)
m
f
y
g e
(
q
2
)
m
( 7 9 )
1 8
-
7/30/2019 Fuzzy Super Spehere
20/34
i s a s c a l a r p r o d u c t o n E n d
C
( V (
q
2
) ) . M o r e o v e r , d e n o t i n g b y D e r
C
( E n d
C
( V (
q
2
) ) ) t h e C - L i e
a l g e b r a o f d e r i v a t i o n s o f t h e C - a l g e b
r a E n d
C
( V (
q
2
) ) , t h e r e p r e s e n t a t i o n a d
(
q
2
)
: s l ( 2 ) ? !
D e r
C
( E n d
C
( V (
q
2
) ) ) , d e n e d v i a
a d
(
q
2
)
J ( f ) : =
h
J
(
q
2
)
; f
i
( 8 0 )
f o r a l l J 2 s l ( 2 ) ; f 2 E n d
C
( V (
q
2
) ) , b e c o m e s a s t a r r e p r e s e n t a t i o n w i t
h r e s p e c t t o ( 7 9 ) .
F o r a l l q 2 N
0
a
