Fungsi Bloch

8/17/2019 Fungsi Bloch

1/34

Fungsi Bloch


2/34

•Elektron Bloch pada Potensial Periodik

• Massa efektif elektron merupakan massa elektrodalam pita energi ketika mengalami gaya ataupercepatan. Potensial periodik diambil dari persaSchrodinger, sehingga masalahnya kembali pad

klasik elektron bebas


3/34

Dari persamaan gerak kita tahu bahwa perumusakecepatan elektron adalah;

apabila kecepatan grup ini kita turunkan terhadapmaka akan kita peroleh

atau dapat dituliskan dalam bentuk

dt dk

T d

dt

dVg 11 2

=

dt

dk

dk

T d

dt

dVg 2

21

=


4/34

dari persamaan gerak kita ketahui bahwa

dengan mensubstitusi persamaan gerak ini ke persamaan sebel

sehingga diperoleh

atau dapat ditulis menadi

dt

dk

dk

T d

dt

dVg 2

21

=

F

dt

k d =

F

dk

T d

dt

dVg 2

21

=

F dk

T d

dt

dVg 2

21

=


5/34

ruas kiri merupkan percepatan, dan ruas kanan merupakan

dikalikan gaya !. Berdasarkan hukum "" #ewton kita ketahui

sehingga dari persamaan tersebut di de$nisikanlah massa e

hubungan sebaran elektron Bloch menggunakan pendekatakuadratik %ektor gelombang. Pada kristal kubik, ketika padaminimum, maka titik simetri ko, pendekatan energi menadi

F dk

T d

dt

dVg 2

21

=

m

F a =

2

2

11*

dk T d

m

=


6/34

dengan koe$sien & dinyatakan sebagai

hubungan sebaran bentuknya sama seperti elektrbebas, tetapi massa electron diubah menadi

yang mana bergantung pada potensial periodik ddide$sikan sebagai

parameter ini disebut massa efektif pada elektron

2

0 )(0 k k at Tk k −+≈

*2

2

m A =

em *m

2

2

2

1

*

1

k

T

m

k

∂∂

=


7/34

Secara alamiah, massa efektif berbeda dari masselektron bebas, perbedaannya pada nilai masing'pita dan ika ada beberapa minimum dalam pita, bergantung pada kekisi (ona Brillouin. Massa efekberguna pada elektron ketika menenentukan sifat

kristal pada daerah pita dengan pendekatan kuadenergi telah diketahui. Pita pada logam atau pitakonduksi dan %alensi dalam semikonduktor merupcontoh yang terbaik. Dalam kasus ini system elekBloch pada massa elektron bebas diganti menad

efektif elektron.


8/34

)ristal yang bukan kubik, hubungan persebarannybukan simetri bola. *ika simetri secara lokal pada Brillouin ortorombik, maka bentuk energinya

watak'watak elektron dicirikan oleh tripletSehingga nilai harap energi sebuah +amiltonian Eadalah

2

0

2

0 )()(0 y x Azk k Ayk k AT T y x X K K +++−+≈

z

z

y

y

x

x

k k m

k k

m

k k

m

k k T T

zy y x

*2

)(

*2

)(

*2

)( 2

0

22

0

22

0

2

0

++

++

−≈

.*,*,* z m ym xm

∑ +∂∂∂

−= =

ji ji ji

k efektif r V x xm

T H ,

2

,

2

0 )(*

1

2


9/34

dengan ber%ariasi pada ruang riil, kemudian ener

elektron merupakan potensial gangguan yang dihdengan teorema massa efektif. Misalkan massa bpada potensial satu dimensi

dengan adalah parameter kekisi dan & adalah lupenghalang. Menurut teorema Bloch, fungsi gelomelektron dalam suatu potensial periodik dinyatakasebagai

∑ +∂∂∂

−= =

ji ji ji

k efektif r V x xm

T H ,

2

,

2

0 )(*

1

2

∑∞

∞→

−=n

nL x A xV )()( δ

)()exp()( xU ikx x =ψ

k )( xU


10/34

Sehingga memenuhi persamaan

dengan menyatakan turunan yang bergantung te- dan adalah nonrelati%istik energi elektron. Perluelektron Bloch dapat diterapkan untuk sistem rela

)()( xU nL xU =+

)()()()()(2

02

2

xU k T xU xV ik m

=

++∂+

−


11/34

Fungsional Energi ElektronBloch

Sistem yang diguanakan dalam kaian ini memendistribusi !ermi Dirac yang terdegenerasi, sehinggpeluang terdapatnya electron di daerah lebih bes)f adalah Sistem +amiltonian untuk elektron'elekBloch pada potensial periodik semikonduktor ada

k

m

mkk

m

mk

m

T T

x x

k k ..

*

...

*

.

2 3333

2

0

+=


12/34

k m

mkk

m

mk

mT T

x x

k k ..*

...*

.2 3333

2

0

+=


13/34

karena simetri komponen tensor yakni komponenkomponen yx , komponen yz komponen zy,kom xz komponen zx

rata'rata energi kinetik elektron dihitung

z y

yz

z x

xz

y x

xy

z

zz

y

yy

x

xx

k k m

mk k

m

mk k

m

m

k m

mk

m

mk

m

m

+

+

+

+

+

=

***

2

*

2

*

2

22

2*

( ) k m

mk T k ..

2

1*

=

( )∫ ∫ ∫ == =

= f

k

k dk k

m

mk k f

00

*

2

0

..

π

θ

π

ϕ

2


14/34

uraikan masing-ma

( )∫ ∫ ∫ == =

= f

k

k dk k

m

mk k f

00

*

2

0

..

π

θ

π

ϕ

( ) ( ) ( )

ϕ θ θ

θ ϕ θ

θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ

θ ϕ θ ϕ θ

π π

d dkd k

k m

m

k m

m

k m

m

k m

mk

m

mk

m

m

f k

yz

xz xy

zz yy xx

sin

cossinsin2

coscossin2sinsincossin2

cossinsincossin

2

0 0

2

0

2

*

2

*

2

*

2

*

2

*

2

*

∫ ∫ ∫

+

+

+

+

+

=

( )

( )

( )ϕ θ θ

ϕ θ ϕ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ θ

ϕ θ ϕ θ ϕ θ

ϕ θ θ θ

ϕ θ ϕ θ

ϕ θ ϕ θ

π

θ

π

ϕ

d dkd k

d dkd k m

m

d dkd k m

m

d dkd k m

m

d dkd k m

m

d dkd k m

m

d dkd k m

m

f k

k

yz

xz

xy

zz

yy

xx

sin

sincossin2

coscossin2

sinsincossin2

cossin

sinsin

cossin

2

0 0

2

0

34

*

24

*

34

*

24

*

234

*

234

*

∫ ∫ ∫ = = =

+

+

+

+

+

=


15/34

Setelah diuraikan diperoleh

( )ϕ θ ϕ θ π

θ

π

ϕ

d dkd k m

m

xx

k

k

f

234

*

0 0

2

0

cossin

= ∫ ∫ ∫

= = =

3

4

1 *

π f

xx

k m

m

=

xx f m

m

k

= *

1

4π

( )ϕ θ ϕ θ π

θ

π

ϕ

d dkd k m

m

yy

k

k

f

234

*

0 0

2

0

sinsin

= ∫ ∫ ∫

= = =


16/34

( )ϕ θ ϕ θ π

θ

π

ϕ

d dkd k m

m

yy

k

k

f

234

*

0 0

2

0

sinsin

= ∫ ∫ ∫

= = =

3

4

1 *

π f

yy

k m

m

=

yy

f m

mk

=

*

1

4π

( )ϕ θ θ θ π

θ

π

ϕ

d dkd k

m

m

zz

k

k

f

24

*

0 0

2

0

cossin

= ∫ ∫ ∫ = = =

3

4

1 *

π f

zz

k m

m

=

zz

f

m

mk

=*

1

4π

4π


17/34

zz

f m

mk

=

*

1

4π

ϕ θ ϕ θ ϕ θ π

θ

π

ϕ

d dkd k m

m

xy

k

k

f

sinsincossin2 34*

0 0

2

0

= ∫ ∫ ∫

= = =

0.3

4

12

* f

xy

k m

m

=

0=

θ ϕ θ θ

π

θ

π

ϕ

dkd k mm

xz

k

k

f

coscossin2 24*0 0

2

0

= ∫ ∫ ∫ = = =

0.

12

* f

xz

k m

m

=

0=


18/34

semua suku'suku tersebut diberikan oleh

dengan demikian fungsional energi kinetiknya

ϕ θ ϕ ϕ θ π

θ

π

ϕ

d dkd k m

m

yz

k

k

f

sincossin2 34*

0 0

2

0

= ∫ ∫ ∫

= = =

0.

12

* f

yz

k

m

m

=

0=

zz

f

yy

f

xx

f m

mk

m

mk

m

mk

+

+

=

*

*

*

1

4

1

4

1

4 π π π

+

+

=

zz yy xx

f m

m

m

m

m

mk

***

1

4π

+

+

+== zz yy xx

f kok

m

m

m

m

m

mk

m

T T ***

2

1

4.

2

π

d d iki f i l i ki ik


19/34

dengan demikian fungsional energi kinetiknya

Momentum !ermi untuk gas electron se

dalam sistem tak homogen, dimana kerapatan

merupakan fungsi posisi, diasumsikan bentuk funenergi kinetiknya sama, sehingga

sehingga bentuk fungsional energinya

+

+

+=

zz yy xx

f kok m

m

m

m

m

mk

mT T

***

2

1

4.

2

π

323 f k = ρ π

( )

∗+

∗

∗+=

zz yy xx

kok m

m

m

m

m

m

mT T 3

2

2

31

4.

2π

π

( ) ( )dr r m

m

m

m

m

m

mT T

zz yy xx

kok ∫

∗+

∗

∗+= 3

3

2

2

31

4.

2 ρ π

π

( ) ( ) ( )dr r m

m

m

m

m

m

mT F

zz yy xx

ko RR ∫

∗+

∗

∗+= 3

3

2

2

31

4.

2 ρ π

π ρ


20/34

dengan fungsional yang didapatkan, kita dapat menghitung

minimizer untuk beberapa potensial yang memenuhi syarat

( ) ( ) ( )dr r m

m

m

m

m

m

mT F

zz yy xx

ko RR ∫

∗

+

∗

∗

+= 3

3

22

31

4.

2 ρ π

π ρ


21/34

Model Kronig-Penney

Model kronig / Penney dalam satu dimensi adalahmerupakan suatu deretan potensial persegi denga, dipisahkan oleh penghalang energy yang lebardan tinggi 0o. uas penghalang b0o, berubah darberhingga sampai nol. Sebagian dari fungsi gelom

bergetar dalam sumur dan meluruh secara e-pon


22/34

Energi potensial dari sebuah elektronn dalam sebsusunan inti / inti atom yang positif dianggap berseperti sebuah susunan sumur potensial periodik periode a1b

Di dasar sumur, yaitu untuk 2 3 - 3 a, elektron d

berada disekitar sebuah inti atomSebaliknya, diluar sumur, yaitu untuk /b 3 - 3 2, potensial elektron dianggap sama dengan 0o

untuk menelaskan berbagai sifat penting dari tinlaku elektron diperoleh dari persamaan schroding

3 3


23/34

untuk kedua daerah yaitu daerah 2 3 - 3 a, dan db 3 - 3 2 sebagai berikut;

a. 4ntuk 23-3a

b. 4ntuk /b3-32.

*ika kita misalkan bahwa energi elektron lebih kecpada dan kita dide$nisikan dua besaran real dsebagai berikut;

( )( ) )0,(0

2022

2

==+ V bebaselektronuntuk x E m

dx

xd ψ

ψ

( )( ) 0)(

2022

2

=−+ xV E

m

dx

xd ψ

ψ

α β

( )22

02

2

2

2 E V

mdan E

m−==

β α

( )2


24/34

Maka persamaan'persamaan 567 dan 587 dapat ditmenadi

)arena energi potensial dari model )roning'Penneadalah periodik, maka fungsi'fungsi gelombang teharuslah berbentuk fungsi Bloch, yaitu;

( )( ) )0,(0

2022

2

==+ V bebaselektronuntuk x E

m

dx

xd ψ

ψ

( )( ) "0)(

2022

2

=−+ xV E

m

dx

xd ψ

ψ

( )( )

( )( ) x

dx

xd dan x

dx

xd ψ β

ψ ψ α

ψ 22

22

2

2

0 −=+

( ) ( ) xue x k ikx±=ψ


25/34

Dimana sekarang adalah sebuah fungsi perdalam - dengan perioda a1b, yaitu;

Sekarang marilah kita hitung turunan kedua terhadari persamaan 597, sebagai berikut;

Selanutnya coba kita subsitusikan persamaan 597ini kedalam persamaan'persamaan 57 dan 5


26/34

b. untuk /b 3 - 3 2

=ang mana u6 dan u8 masing / masing menyatakauk5-7 dalam inter%al 2 3 - 3 a dan /b 3 - 3 2. Sep

kita ketahui bahwa dari mekanika kuantum atau d$sika kuantum, solusi umum untuk persmaan /persamaan 5>7 dan 5627 di atas adalah

Dan

0)(2 2222

2

22

=++ uk dx

duik

dx

ud β !10"

xk i xk i !e Aeu )()(1+−− += α α 11"

xik xik "e#eu )()(2+−− += β β

12"

kiki )()( +αα 1"


27/34

=ang mana &,B,? dan D adalah tetapan / tetapanbiasa ditentukan oleh syarat batas berikut ini

Syarat batas yang ditunukkan oleh persamaan 56sesuai dengan syarat bahwa fungsi gelombang A turunan pertamanya 5dAd-7 dan uga u dengan dharuslah kontinyu

xk i xk i !e Aeu )()(1+−− += α α

xik xik "e#eu )()(2+−− += β β

1"

12"

)0()0(')0()0( 2121 ==== xuntuk dx

du xuntuk

dx

duuu 13"

)()(')()( 2122 b xuntuk dx

dua xuntuk

dx

dubuau −===−= 14"

Sebaliknya kondisi yang ditunukkan oleh persamaan 567 s


28/34

Sebaliknya, kondisi yang ditunukkan oleh persamaan 567 sdengan syarat bahwa uk5-7 adalah periodic. Dengan mengg

syarat'syarat batas ini dan mensubstitusikannya ke dalampersamaan'persamaan 5667 dan 5687, kita akan memperolepesamaan linier homogeny sebagai berikutC

& 1 B ? 1 D 6


29/34

sinh (b) sin (a) cosh (b) cos (a) +cosk (a b) 0 "1&!

4ntuk menyederhanakan persamaan 56>7 ini, )roig dan Pememilih kasus yang mana nilai 02 cenderung menuu tak

dan nilai b menuu nol, tetapi hasil kali 02b tetap terhinggademikian, potensial model )ronig dan Penney menadi popenghalang sebuah fungsi delta. Dalam keadaan seperti i)ronig'Penney ini dimodi$kasi menadi sebuah deret sumpotensial yang terpisahkan oleh sebuah potensial penghayang sangat'sangat tipis. )arena itu, hasil kali 02b 5untuk

disebut kekuatan penghalang 5 barrier strength7.

Pada saat b I 2, sinh 5Gb7 I Gb, dan cosh 5Gb7 I 6. Di samdari persamaan 5@7 ika kita menumlahkan F8 dan G8 kemmembaginya dengan 8FG maka kita akan memperoleh haseba ai berikutC

•

αβ

β α

2

22 +

2

22 0

2 αβ αβ

β α mV =

+"

Dengan menggunakan persamaan 82 ini dan kondisi dim


30/34

Dengan menggunakan persamaan 82 ini dan kondisi dimb 2

sinh dan cosh5b7 kita dapat menulis persammenadi

*ika kita defenisikan besaran P sebagai berikutC

maka menadi maka menadi

)( bβ bβ → ,1→

2

0

αβ

$m

)( bβ )cos()cos()sin( kaaa =+ α α

2

0

αβ

$m)cos()cos()sin( kaaa =+ α α !21"

2

0bam$a

% α

2

0

α bm$

#ilai P adalah sama dengan luas energy potensial penghala


31/34

g gy p p g

adi kita memperbesar nilai P berarti mengikat sebuah electsecara kuat pada sebuah sumur tertentu, sekarang coba kitsubstitusikan persamaan 88 ini ke dalam persamaan 86 +asilnya adalah sebagai berikutC

Persamaan 8@ ini merupakan syarat agar solusi untuk persgelombang itu ada. )ita ketahui bahwa nilai cos5ka7 terletakdan 16 sehingga ruas kiri dari persamaan 8@ itu harus me

sedemikian rupa sehingga nilai'nilai ruas kiri persamaanterletak dalam rentang '6 dan 16. nilai'nilai

yang menghasilkan nilai

"23!a % α

)cos()cos()sin( kaaa =+ α αα

cos()sin()-( aaa % α α α +


32/34

menarik 3 kesimpulan

*ika P , pita'pita energy dipersempit sedemikian r

•


33/34

*ika P , pita pita energy dipersempit sedemikian rsehingga menadi berbentuk garis'garis dan memsebuah spectrum garis. Dalam kasus seperti itu,persamaan 8@ akan memiliki solusi hanya ika s

5sebab ika sin 5 7 tidak sama dengan nol, persammenadi tak hingga, karena P 7. *adi agar persammemiliki solusi maka

Sin5 7 2

8

Diman n bilangan bulat. )arena itu, denganmenggunakan persamaan 8@ dan 8 energy dditulis sebagai berikutC


34/34

Documents

Fungsi Bloch