Fundamentos de la teoria Electromagnetica_-_reitz, milford christy

5/11/2018 Fundamentos de la teoria Electromagnetica_-_reitz, milford christy

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Fundamentos de lateoria electromaqnetlcaCUARTA EDICION

John R. ReitzResearch Laboratory,Ford Motor Company

Frederick J. MilfordBattelle Memorial Institute

Robert W. ChristyDarmouth College

Version en espafiol deCarlos Gerardo Martinez AvilaComision Nacional de Seguridad

Nuclear y SalvaguardiasMexico UNJVEIiSITAT m ; BARCELONA

Can la colaboracion tecnica deJo se L uis Sebastian FrancoUniversidad Complutense de Madrid, Espana

yJuan Antonio Flores Lira

Universidad Iberoamericana, Mexico

.~ AddIson-Wesley IberoamericanaA rg en tin a C hile C olomb ia E sp an aE sta do s U nid os . M ex ic o P ue rto R ico Venezuela


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INDICE GENERAL

* Las secciones y los capitulos indicados con asterisco pueden omitirse sin perder continuidad

1 Analisis vectorial 11.1 Definiciones 11.2 Algebra vectorial 21.3 Gradiente 51.4 Integraci6n vectorial 91.5 Divergencia II1.6 Rotacional 141.7 EI operador vectorial diferencial V 171.8 Desarrollos posteriores 191.9 Resumen 22

2 Electrostatica 26-~.).._ 2.1 Carga electrica 26

2.2 Ley de Coulomb 272.3 E1 campo electrico 312.4 EI potencial electrostatico 332.5 Conductores y aislantes 362.6 Ley de Gauss 37 42.7 Aplicacion de la ley de Gauss 402.8 El dipolo electrico 432.9 Desarrollo multipolar de campos

electricos 462.10 La fun cion delta de Dirac 482.11 Resumen 50

3 Resoluci6n de problemaselectrostaticos 563.1 Ecuacion de Poisson 563.2 Ecuacion de Laplace 583.3 Ecuacion de Laplace can una variable

independiente 603.4 Soluciones ala ecuacion de Laplace

en coordenadas esfericas: armonicosesfericos 60

3.5 Esfera conductora en un campo electricouniforme 63

3.6 Soluciones ala ecuaci6n de Laplaceen coordenadas cilfndricas: armonicoscilindricos 65

*3.7 Ecuacion de Laplace en coordenadasrectangulares 66

*3.8 Ecuaci6n de Laplace en dos dimensiones:solucion general 67

3.9 Imageries electrostatic as 683.10 Lfneas de'carga y lfneas imagen 743.11 Sistemas de conductores y coeficientes

de potencial 753.12 Solucion numerica de problemas

de electrostatica 763.13 Soluciones de la ecuacion de Poisson3.14 Resumen 92EI campo electrostatico en mediasdielectrleos 974.1 Polarizacion 984.2 Campo fuera de un media dielectrico4.3 E1campo electrico dentro de un

dielectrico 1034.4 Ley de Gauss en un dielectrico:el desplazamiento electrico 1064.5 Susceptibilidad electrica y constante

dielectrica 1094.6 Carga puntual en un fluido dielectrico4.7 Condiciones en la frontera para los

vectores de campo 1124.8 Problemas con valores en la fronteraen los que intervienen dielectricos 1

*4.9 Fuerza sobre una carga puntualsumergida en un dielectrico 118


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viii Indice general

4.10 Metoda de imageries para problemas en losque intervienen dielectricos 120

4.11 Resumen 1225 Teorfa microsc6pica

de los dlelectrlccs 1275.1 Campo molecular en un dielectrico 1275.2 Dipolos inducidos:

un modelo sencillo 1315.3 Moleculas polares:

la formula de Langevin-Debye 132*5.4 Polarizacion permanente:

ferroelectricidad 1365.5 Resumen 138

6 Energ faelectrcstatica 1416.1 Energfa potencial de un grupo de

cargas puntuales 1426.2 Energfa electrostatica de una

distribucion de cargas 1436.3 Densidad de energfa de un campo

electrostatico 1466.4 Energfa de un sistema de conductores

cargados: coeficientes de potencial 1496.5 Coeficientes de capacidad einduccion 1506.6 Condensadores 1516.7 Fuerzas y momentos de rotacion 1546.8 Resumen 157

7 Corriente electrica 1627 .1 Natural eza de la corrien te 163"J.2 Densidad de corriente: ecuacion de

continuidad 1657.3 Ley de Ohm: conductividad 1677.4 Corrientes estacionarias en medias

continuos 1707.5 Aproximaci6n a1equilibrio

electrostatico 1747.6 Redes de resi stencias y leyes de

Kirchhoff 1757.7 Teorfa rnicroscopica de la

conduccion 1817.8 Resumen 185

8 EI campo maqnetico de corrientesestacionarias 1908.1 Definicion de Ill. induccion

rnagnetica 1908.2 Fuerzas sobre conductores por los que

circula corriente 1938.3 Ley de Biot y Savart 1978.4 Aplicaciones elementales de 1a ley de

Biot y Savart 1998.5 Ley de circuitos de Ampere 2048.6 El potencial vector magnetico 2078.7 EI campo magnetico de un circuito

distante 2098.8 EI potencial escalar magnetico 212g.9 Flujo magnetico 2138.10 Resumen 2J3

9 Propiedades maqnetlcasde la materia 2199.1 Magnetizaci6n 2199.2 EI campo magnetico producido por un

material magnetizado 2239.3 Potencial escalar magnetico y densidad

de polos magneticos 2269.4 Fuentes .del campo magnetico:intensidad magnetica 2279.5 Las ecuaciones de campo 2289,6 Susceptibilidad ypermeabilidad

magneticas e histeresis 2309.7 Condiciones en la Frontera sobre los

vectores de campo 2369.8 Problemas de valores enla Frontera en

los que intervienen materialesmagneticos' '238

9.9 Circuitos de corriente que. contienenmedius magnetic os 243

*9.10 Circuitos magneticos 246*9.11 Circuitos magneticos que contienen

imanes permanentes 2499.12 Resumen 252

"10 Teorfa microsc6pica delmagnetismo 257

10.1 Campo molecular dentro dela materia 258


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10.2 Origen del diamagnetismo 260to.3 Origen del paramagnetismo 26210.4 Teorfa del ferromagnetismo 26410.5 Dominies ferrornagneticos 26610.6 Ferritas 26910.7 Resumen 269

11 lnducclcn electromaqnetlca 272~./) 11.1 Induccion electromagnetica 27211.2 Autoinductancia 278 ..11.3 Inductancia mutua 2~O11.4 La f6rmula de Neumann 28211.5 Inducrancias en serie y en paralelo 28211.6 Resumen 285

12 Energia magnetica 29012. l Energia magnetica de circuitos

acoplados 29112.2 Densidad de energia en eI campo

magnetico 29312.3 Fuerzas y momentos de rotacion en

circuitos rfgidos 295* 12.4 Perdida por histeresis 29912.5 Resumen 302

13 ccrrlentes que varian lentamente 317_...l... 13.1 Comportamiento transitorio y enestado estacionario 308

13.2 Leyes de Kirchhoff 30913.3 Comportamiento transitorio

elemental 31113.4 Comportamiento en estado estacionario

de un circuito en serie simple 31513.5 Conexi6n de irnpedancias en serie y en

paralelo 31713.6 Potencia y facto res de potencla 31913.7 Resonancia 320* 13.8 Inductancias mutuas en circuitos

de c.a. 323* 13.9 Ecuaciones de malIa y de nodo 327* 13.10 Impedancias de entrada.y funciones de transferencia 330

13.11 Resolucion de las ec uaciones de redes porcornputador 332

13.12 Resumen 338

Indice general

*14 Ffsica de plasmas 34414.1 Enfoques teoricos de la dinamica de

plasmas 34514.2 Neutralidad electrica en un plasma 3414.3 Orbitas de partfculas y movimiento

de deriva en un plasma 34714.4 Espejos magneticos 35214.5 Las ecuaciones hidromagneticas 35314.6 El efeeto de constricci6n 35614.7 Sistemas de confinamiento magnetico

para fusionterrnonuclear controlada 3514.8 Oscilaciones y movimiento ondulatorio

de plasmas 36114.9 Resumen 365

15 Propiedades electromaqnetlcas delos superconductores 368.

15.1 Historia de la superconductividad 36815.2 Conductividad perfecta y diamagnetismo

perfecto de superconcluctores 37315.3 Ejemplos en los que interviene la exclusion

perfecta del flujo 37515.4 Ecuaciones de London 37815.5 Resumen 387

16 Ecuaciones de Maxwell 39016.1 Generalizacion de la ley de Ampere.

corriente de desplazamiento 39016.2 Ecuaciones de Maxwell y sus bases

ernpfricas 39316.3 Energia electromagnetic a 39416.4 La ecuaci6n de onda 39816.5 Ondas monocromaticas 39916.616.716.8

Condiciones en la frontera 402La ecuacion de ondas con fuentesResumen 412

406

17 Propagacion de ondas electromagneticasmonocromaticas 41717.1 Ondas planas monocrornaticas en

medics no concluctores 41717.2 Polarizacion 42317.3 Densidad y f1ujo de energfa 42617.4 Ondas planas morrocromaticas en medios

conductores 429


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x Indice general

*17.517.6

Ondas esfericas 436Resumen 443

18 Ondas rncnocrcmatlcas en regioneslimitadas 44718.1 Reflexion y refracci6n en la superficie de

separacion de dos medios no conductores:incidencia normal 447

18.2 Reflexion y refracci6n en la superficie deseparacion de dos medios no conductores:incidencia oblicua 451

18.3 Angulo de Brewster: angulo crftico 45718.4 Coeficientes cornplejos de Fresnel:

reflexion desde un plano conductor 46018.5 Reflexi6n y transmisi6n par una capa

delgada: interferencia 46818.6 Propagaci6n entre placas conductoras

paralelas 47518.7 GUlas de onda 48018.8 Cavidades resonantes 48318.9 Resumen 485

19 Dispersion y campososcilantes enmedios dispersivos 491

19.1 Linealidad y causalidad 491*19.2 Respuesta en frecuencia y re1acionesde dispersion 497

19.3 Modelo del oscilador arrnonico deDrude-Lorentz 501

19.4 Absorcion por resonancia por cargasligadas 506

19.5 La teoria de los electrones libresde Drude 513

*19.6 Relajacion dielectrics 520*19.7 Campos oscilatorios en mediosdispersivos 52419.8 Resumen 528

20 Emisi6n de radiaci6n 53220.1 Radiacion de un dipolo oscilante20.2 Radiacion de una antena

de media onda 536532

20.3 Radiaci6n de un grupo de cargas enmovimiento 538

*20.4 Campos de la zona intermediay pr6xima 542

20.5 Amortiguamiento por radiacion: seccioneficaz de Thomson 544

20.6 Resumen 54821 Electrodinamica 55221.1 Potenciales de Lienard-Wiechert 55221;2 EI campo de una carga puntual que se

mueve uniformemente 55521.3 EI campo de una carga puntual

ace1erada 55821.4 Campos de radiacion para velocidadespequeiias 56121.5 Resumen 563

22 Lateorfaespecialde la relatividad 56522.1 La ffsica antes de 1900 56522.2 La transformacion de Lorentz y los

postulados de Einstein de Ia relatividadespecial 568

22.3 Geometria del espacio-tiempo 57322.4 La transformaci6n de Lorentz comouna transformacion ortogonal 57422.5 Forma covariante de las

ecuaciones electromagneticas 57622.6 Ley de transformaci6n para el

campo electrornagnetico 58022.7 EI campo de una carga puntual que se

mueve uniformemente 58122.8 Resumen 583Apendice I

Computadores y teoriaelectromagnetic a 586

Apendice IITransformaciones de coordenadas,vectores y tensores 602


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CAPfT ULO 1

1.1

Analisis vectorial

En el estudio de la electricidad y del magnetismo se puede evitar de una manera eficala complejidad de la notaci6n utilizando la notaci6n del analisis vectorial. Al proporcionar esta valiosa taquigraffa, el analisis vectorial tambien lleva a un primer plano loconceptos ffsicos contenidos en las ecuaciones. El proposito de este capitulo es duna exposicion breve pero autosuficiente del analisis vectorial basico y proporcionaun conocimiento mas bien utilitario de este campo, necesario para el tratamiento deelectricidad y el magnetismo. Los lectores que ya estan familiarizados can el analisvectorial encontraran este capftulo como un repaso util y una introduccion a la notacion del texto.

DEFINICIONESEn el estudio de la ffsica elemental se han encontrado varias clases de cantidades; eparticular, distinguimos entre vectores y escalares. Para nuestros propositos sera sufciente definir un escalar de la siguiente forma:

Un ETI:l f~r es una cantidad que esta completamente caracterizada porsu magnitud ..

Los ejemplos de escalares son numerosos: mas a, tiempo, volumen, etc. Una ampliaci6n sencilla de la idea de un escalar es un campo escalar, es decir, una funcion dposici6n que esta completamente determinada por su magnitud en todos los puntodel espacio,

Un vector puede definirse en la forma que sigue:


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2 1Analisis vectorial

1.2

Un ; :_e_c tQres una cantidad que esta caracteri~aJi~completamente por S_!!_l!!_ag_-nitud y direcci6n.

Como ejemplos de vectores citemos la posici6n a partir de un origen fijo, la velocidad,la aceleracion, la fuerza, etc. La generalizacion a un campo vectorial da una funcionde posici6n que esta determinada completamente por su magnitud y direccion en to-dos los puntos del espacio.

Estas definiciones pueden refinarse y ampliarse; de hecho, en el Apendice II sereemplazan por definiciones mas refinadas en terminos de propiedades de transfer-maci6n. Ademas, pueden definirse clases mas complicadas de cantidades, tales comotensores, Sin embargo, los escalares y los vectores seran suficientes para nuestrosprop6sitos hasta el capitulo 22.

ALGEBRA VECTORIALComo el algebra de los escalares es familiar al lector, esta se utilizara para desarrollarel algebra vectorial. Con el fin de continuar con este desarrollo es conveniente teneruna representacion de los vectores, para 10 cual introducirnos un sistema coordenadocartesiano tridimensional. Este sistema tridimensional se denotara con las tres varia-b~,_}', ~ 0, cuando sea mas conveniente, xl' x 2' x 3 " Un vector se especifi~scornponentes x, )', y z con respecto a este sistema coordenado. Par tanto, un vector'_yse especiflca por sus componentes V~z.' . donde ~ = IVIC~..01!_V)"= IVIcos < X z

V o := IVIcos C t 3 y donde las a son los angulos entre V y los ejes cSlQrdenad_o~orrespon-~. Elescalar IVI= JV' l ; +V] +Vl es la m~f!!.t~ 0 IOrlgitud del vectorV:-En ecaso de campos veCtoriales, ca a una de las componentes debe cQ!lSid.erarse..2!!louna funcion de x, }', z. En este punto debe hacerse enfasis en que introducimosuna representac16n de los vectores con respecto a un sistema de coordenadascartesianas s610 por sencillez y facilidad de comprensi6n; todas las definicionesy operaciones son, de hecho, independientes de cualquier eleccion especial decoordenadas.

La suma de dos vectores se define como el vector cuyas componentes son lasuma de las componentes correspondientes de los vectores originales. Asf pues, si C es.Ia suma de A y B, escribimos

C=A+B 0-1)0-2)

Esta definicion de suma vectorial es completamente equivalente a la conocida regiadel paralelogramo para la sum a de vectores.

* Las cantidades vectoriales se denotaran con sfmbolos en letra negrita.


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1.2 Algebra vectorial

La Testa de vectores se define en terminos del negativo de un vector, el cual esvector cuyas componentes son los negativos de las componentes correspondientesal vector original. De esta forma, si A es un vector, -A se define como

(-A)y = -A, (1-La operacion de resta se define entonces como Ia suma del negativo y se escribeA-8=A+(-8) (1-

Puesto que la su m a de mime ro s re ale s e s a so cia tiv a y conmutativa, se sig ue qla surna de vectores (y la resta) tambien es asociativa y conmutativa. En la notacicvectorial esto se ve como

A + (8 + C) = (A + 8) + C= (A + C) + 8 = A + 8 + C (1-

En otras palabras, los parentesis no son necesarios, como se indica en la ultima expresioPasando ahara al proceso de rnultiplicacidn, observaremos que el producto m

sencillo es el de un escalar por un vector. Esta operacion da como result ado un vectocada una de cuyas componentes es el escalar par la componente correspondiente dvector original. Si c es un escalar y A un vector, el produeto cA es un vector, B = cdefinido por

Bz = cA" (1-Esta claro que si A es un campo vectorial y c un campo escalar, entoneeses un nuevocamp;vectorial que no es necesa~iamente un multiplo del can~:original.- srdos vectores se multiplican entre sf, existen dos posibilidades eonoeidas comproducto vectorial y producto esealar. Considerando primeramente el producto esclar, notemos que el nombre proviene de la naturaleza escalar del producto, aunqueveces se Ie llama en forma alternativa producto interno 0 producto punto. La defincion de producto escalar, que s e exp re sa como A G , es

(1- Esta definicion es equivalente a otra, tal vez mas familiar, que es el producto de lmagnitudes de los vectores origin ales por el coseno del angulo que forman. Si A Yson perpendiculares entre sf, - ---

A . B = = 0 "'" In IIfr I i : - J .< jO,El producto escalar es conrnutativo. La longitud de A es

IAI = YAAEI :e_roductovectorial de dos vectores, como su nombre indica, es un vector. Tam

bien se Ie Ilam aproducto extemo y producto cruz. EI produeto vectorial se expresa pA x G. Si C es el producto vectorial de A y G, entonces


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4 1 Analisis vectorial

c = A X B, orC, = AyB" - A"By,Cz = AxBy - .'lyBx

0-8

Es importante notar que el produeto cruz depende del orden de los factores, ya que sse intercambia este se introduce un si no menos: _ 'rB x A = -A x B

Consecuentemente,A x A = O , , _ I~ , IIP LIt'.,

~Esta definicion equivale a la siguiente: el ]Jroducto vectorial es eI producto de.lasmagnitudes or el senDde.Langulo_qutUPnnan los vectQr.es_originaLes,con la direcciondada pOl'13regIa (kLt_QOliUQ_d_ea mana derecha.*EI producto vectorial puede recordarse facilmente en terrninos de un detenninan-t e o Si i,.i y k son vectores unitarios, es decir, vectores que tienen como magnitud lunidad, en las direcciones x, }'y z, respectivamente, entonces

j kAxB= Ax Ay Az (1-9

Bx By BzSi este determinante se evahia con las reglas usuales, el resultado cs precisamentenuestra definicion de producto cruz.

Las opcraciones algebraic as anteriores pueden combinarse de muchas formas. Lamayorta de los resultados asi obtenidos son obvios; sin embargo, hay dos productos triples10suficientemente importantes como para mencionarlos explfciramente, EI triple pro-ducto escalar D =A 8 xC se cncucntra hkilmente mediante el determinante

D=AiBxC= j., )

~'''''~./

( 1-10Ax Ay A"B< By Bze x C}' C"

-8 A x C

Este producto no yarra al intercambiar el punta y la cruz 0 por una pennutaci6n cfclica. de los tres vectores. Observe que los parentesis no son necesarios, puesto que el producto cruz de un cscalar y un vector no esta definido.

El otro producto de interes cs el triple producto cruz D=A x (B x C). La aplica-cion repetida de la definicion de producto cruz (Ec.I-8) da por resultado

D = A x (B x C) = B(A' C) - C(A' B) (1-11)

* Supcngamos que A gira hacia B en el menor anguloposible. Un tornillo de mano derecha girado ecsta forma avanzara en una direccton perpendicular tanto a A como a B; esta direccion es la direccionde A x B.


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1.3

1.3 Gradiente

que se denomina frecuentemente regia del factor media (back-cab). Debe observarse que en el producto cruz los parentesis son vitales; sin ellos, el.producto noesta biedefinido.

En este punto podrfamos preguntarnos sobre laposibil idad de la division vectoriaLa divisi6n de un vector por un escalar puede defiriirse, por supuesto, como la multiplicacion por el recfproco del escalar, Sin embargo, la divisi6n de un vector entre otrvector solo es posible si los dos vectores son paralelos. Porotra parte, es posi ble expresar soluciones generales de ecuaciones vectoriales y lograr en esta forma algo parecido a la division. Consideremos la ecuacron

c= AX (1-12donde c es un escalar conocido, A un vector conocido y X un vector desconocido. Unsolucion general de esta ecuacion es

cAX=--+BAA (1-13donde B es un vector de magnitud arbitraria y perpendicular a A, esto es, A B =O.Lque hemos hecho es muy semejante a dividir c entre A; en forma mas correcta, hemohallado la forma general del vector X que satisface Ia ecuacion (1-12). No hay soluci6n unica,- y este hecho explica la introducci6n del vector B. Del mismo modo podemas considerar la ecuacion vectorial

C=AxX (1-14donde A y C son vectores conocidos y X es un vector desconocido. La soluci6n general de esta ecuacion es

CxAX = A.A + kA (1-15donde k es un escalar arbitrario, Por tanto, X definido por la ecuacion (1-15) es mucercano a 1 cociente de C entre A; el escalar k tiene en cuenta la no unicidad del proceso. Si se pide que X satisfaga tan to (1-12) como (1-14), entoneesresultado es unico (sies que existe) y esta dado por

c x A cAX=--+--AA A,A (1-16

GRADIENTESe consideraran ahora las arnpliaciones de las ideas introducidas en las secciones anteriores para incluir la diferenciaci6n e integracion, es decir, el calculo vectorial. La masencilla de estas es la relaci6n de un campo vectorial particular can las deri vadas de ucampo escalar: Es conveniente introducir primero la idea de derivada direccionalde una funci6n de varias variables, que es justamente la _8z6n de cltmbio ~funci6n en una direccion determinada. La derivada direccional de una funcion_-----------_._----_ --_


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FIGURA 1.1Funcion q J ( x , y) = X2 + ):1representada graficamenteen funcion de x e y en elespacio tridimensional.

Y od y l X oOr--------=-'~-:---~ dx ( "= - Y o

escalar tp es representada generalmente por dcp lds ; debe entenderse que ds representa un desplazamiento infinitesimal en la direccion que estamos considerando,y que ds es la magnitud escalar de ds. Si ds tiene como componentes dx, dy, dzentonces

_drp = lfrn rp(x + ~,y + dy, Z+Z) - rp(x, y, z)ds ru_,.o ds

arp dx arp dy arp dz=--+--+--ax ds a y ds a z dsPara aclarar la idea de una deri vada direccional, considere una funcion escala

de dos variables. De esta forma, qi,x, y) representa un campo escalar bidimensional.Podemos hacer la grafica de c p en funcion de x e y como se ve en la figura 1.1 parafunci6n c p { x , y) = Xl + y2 . La derivada direccional en el punto xu ' Y o depende de l. direccion, Si escogemos la direccion correspondiente a dy/dx = -xo/Yo' entonces encontramos que

drp 1 = arpdx + CJrpdy = [2xo _ 2y o X o ] dx = 0ds .to. Yo a x ds C Jyds Yo dsAlternativamente, si escogernos dy/dx = Y d X o encontramos

(I-17a)

d 2 {;J;p Yo Xo 2 2-1 = (2to + 2 -) 2 2 = 2'lxo + Y ods Xo. }'O Xo Xo + Yo (l-17b)


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1.3Gradiente

puesto queds :=;~ (dx)2 + (dy)2 .Como tercera posibilidad escojarnos dyldx= a; entone

(l-17Si este resultado se deriva con respecto a y la derivada se iguala acero, entoncesencuentra el valor de a en el que la derivada es un maximo 0 un minimo. Cuanrealizamos estas operaciones, obtenemos a =yr!xo' 10 que significa simplemente qla direccion de la razon maxima de cambio de la funcion r p =x2 + y2 es la direcciradial. Si la direccion es radial hacia afuera, entonces el maximo es la razon maximde incremento; si es radial hacia dentro, es la raz6n maxima de decremento 0 lazon minima de incremento. En la direccion especificada par dyJdx = -xr!Yo' la razoncambio de x2 + y es cera. Esta direccion es tangente al circuJo x2 + y2 = x~ +Evidentemente, sobre esta curva, r p = X2 + Y no cambia. La direcci6n en la que drpse anula proporciona la direccion de la curva r p = constanie en el punta consideradEstas lfneas, que son circunferencias para la funci6n x2 + y 2 , son completarnenanalogas a las conocidas curvas de nivel 0 lfneas de altitud constante que aparecenlos mapas topograficos, La figura 1.2muestra la funci6n q J = x2 + y2 representadahora como un diagrama de curvas de nivel.

La idea de curvas de nivel puedegeneralizarse a una funci6n de tres variableen cuyo caso las superficies. q:\x,y. z) = constanie, se denominan s up e rf ic ie s d e nivesuper f ic ie s equipo tenc ia le s. EI analogo tridimensional de la figura 1.2 es la unica formpractica de representar graficamente un campo esc alar para un espacio tridimensionaEl gradiente de una funcion escalar puede definirse ahora en Ia siguiente forma:

El gradiente de una funcion escalar r p es un vector cuya magnitud es lamaxima derivada direccional en el punta considerado y cuya direcci6n esla direccion de la maxima derivada direccional en ese punto.

FIGURA 1.2Funci6n qJ(x , y) de lafigura 1.1 representadacomo diagramade curvasde nivel en dosdimensiones,


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FIGURA 1.3 nPartes de dos superficies denivel de la funcidnq :( x , ) " z). Igrad ip ! enP es igual al limite de6 .1 fJI PQ cuando PQ " " ' * 0 ydqid. s es, el lfmi tecorrespondiente de t : . r p Ips.

If > = I f > o

Es obvio que el gradiente tiene direccion normal ala superficie de nivel de r p en epunto considerado. Los sfrnbolos mas comunes para el gradiente son V y grad. * Enterminos del gradiente, la derivada direccional esta dada por

~ = Igrad tp I ' IXlS (J (1-18)donde () es el angulo entre Ia direcci6n de ds y Ia direccion del gradiente. Esteresultado es evidente de forma inmediata a partir de la geometrfa de la figura 1.3. Srepresentamos con ds eJ desplazamiento vectorial de magnitud ds, entonees (1-18)puede escribirse como

dip dsds = grad cp . ds (1-19)Esta ecuaci6n nos permite hallar la forma explfcita del gradiente en cualquier siste-ma de coordenadas en el que conozcamos la forma ds. En coordenadas rectangularessabemos que ds =idx + j dy + k dz; Sabemos tarnbien que

ocp ocp ocpdsp = -dx+ -d y + -dzo x oy 8zA partir de esto y de la ecuacion (1-19) se sigue que

8cp dx + 8cp dy + ocp dz = (grad cp)x dx + (grad cp ' dyoX oy ozAl igualar los coeficientes de los diferenciales de las variables independientes enambos miembros de Ia ecuacion, se tiene

* Ut il iz a re rno s e st a u ltim a n ota cio n p rin c ip al m e n t e.


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1.4 Integracion vectorial 9

FIGURA 1.4pDefinicion de la s

coordenadas polaresr, () y < p .

z

x

1 . 4

Bq ; aq; 8q;grad q; = 1- - +J- + k~-a x o y 8zen coordenadas rectangulares. En un caso mas complicado, el procedimiento es elmismo. En coordenadas polares esfericas, can r, e , q , definidos como en la figura1.4, tenemos

(1-20)

oq; 8q; orpdcp==-dr+- de+-dB r ae a 0-21)y

ds = = a, dr + a er de + 8 r sen e 0 1 >en coordenadas esfericas,

(1-23)

INTEGRACION VECTORIALAunque existen otros aspectos de la diferenciacion en los que intervienen vectores, esconveniente analizar primero la integraci6n vectorial. Para nuestros proposiros, pode-mos considerar tres clases de integrales: de lfnea, de superficie y de volumen, segrin lanaturaleza del diferencial que aparezca en Ia integral. El integrando puede ser unvector 0 un esc alar; no obstante, ciertas combinaciones de integrandos y diferencialesdan origen a integrales que no son de interes, Las de mayor interes aquf son la integralde lfnea escalar de un vector, la integral de superficie escalar de un vector y las integra-les de volumen tanto de vectores como de escalares,


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Si F es un campo vectorial, la integral de linea de F se escribe comor b F(r) dIla(C)

(1-2donde C es la curva sobre la cual se efectiia la integracion, a y bIos puntos inicialfinal de esta curva y dl un desplazamiento vectorial infinitesimal a 10 largo de la curC. Puesto que F dl es un escalar, esta claro que la integral de lfnea es un escalar,definicion de la integral de linea es muy semejante a la definici6n de Riemann deintegral definida. EI segmento de C entre a y b se divide en un gran mimero de pequfios incrementos ali; para cada incremento se escoge un punto interior y se hallavalor de Fen ese punto. Se encuentra elproducto escalar de cada incremento porcorrespondiente valor de F y se ealcula la surna de todos ellos. La integral de lfneadefine entonces como ellfmite de esta suma a medida que el numero de incrementollega a ser infinito, de tal manera que cada incremento tienda a cern. Esta definici6puede expresarse de forma compacta comor b F dl = lfm f F; . L\I;J a (C) N~" i~lEs importante observar que la integral de linea depende generalmente no solo deextremos a y b, sino tambien de la curva C sobre la que se efecuia la integraci6n,que la magnitud y direccion de F(r) y la direcci6n de dl dependen de C y de su tangete, respectivamente. La integral de !fnea alrededor de una curva cerrada tiene tanimportancia que se ha empleado una notacion especial para ella; esta es

(1-2La integral alrededor de una curva cerrada general mente es distinta de cera; el tipovectores para los que la integral de Ifnea alrededor de cualquier curva cerrada es cees de importancia considerable. Por esta razon a menudo se encuentran integraleslinea alrededor de trayectorias cerradas no especificadas. Por ejemplo,f F . dl (1-2Esta notaci6n es util 5 6 1 0 en aquellos casas donde la integral es independientecontorno C dentro de lfrnites bastantes amplios, Si hay posibilidad de ambiguedaconviene especificar el contorno. El enfoque basico para la evaluacion de integralde lfnea es obtener un parametro de descripcion de la curva y entonces usar edescripci6n para expresar Ia integral de linea como la suma de (res integraleunidimensionales ordinarias. En todos los casos, salvo los mas sencillos, este esprocedimiento largo y tedioso. Afortunadamente, muy poeas veces es necesario evluar las integrales de esta forma. Como veremos posteriormente, a menudo es posibdemostrar que la integral de linea no depende de la trayectoria entre los extremos. En eultimo case, se escoge una trayectoria sencilla para simplificar la integraci6n.

Si F es de nuevo un vector, una integral de superficie F se escribe comoL Fonda (1-2


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1.5 Divergencia

FIGURA 1.5R elacion de la norm al ncon una superficie y else n ti do de ree orri do en 1afrontera,

1.5

dondeS es la superficie sobre la eual se realiza la integration, da es un area infinitesimen S y n es un vector unitario normal ada. Existe una doble arnbiguedad al escogerque se elimina al considerar que n es la normal dibujada hacia afuera si S es usuperficie cerrada, Si S no es cerrada yes finita, entonces tiene una frontera y el sendo de la normal es importante s610 con respecto al sentido arbitrario positivo al atravsar la frontera. EI sentido positivo de la normal es Ia direcci6n hacia la cual avanzarun tornillo de mano derecha si se girara en la direccion del sentido positive sobrecurva limitadora, como se iustra en la figura 1.5. La integral de superficie de F sobuna superficie cerrada Sse denota a veces cont F n daComentarios completamente paralelos a los que se hicieron para la integral de lfnpueden hacerse para la integral de superficie. La integral de superfieie es c1aramenun esc alar; por 10 general depende de la superficie S y los casos en que no dependeella tienen particular importancia, La definici6n de la integral de superficie se haceun modo exactarnente comparable a la de la integral de linea. La formulacion detallda se deja para la seccion de problemas.

Si F es un vector y q > un escalar, entonces las dos integrales de volumen que ninteresan son

J = I v s p du K = I v Fdv (1-2Evidente.mente,J es un escalar y K es un vector. Las definiciones de estas integralese reducen rapidarnente a la integral de Riemann en tres dimensiones, excepto qen K se debe observar que hay una integral para cada cornponente de F. Estas intgrales son suficienternente conocidas, de modo que no st? neeesita hacer ningiiotro comentario.

DIVERGENCIAOtro operador importante, que esencialmente es una derivada, es el operador divegencia. La divergencia del vector F, expresada como div F, se define como sigue:


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La divergencia de un vector es el lfrnite de su integral de superficie porunidad de volumen a medida que el volumen encerrado par la superficietiende a cera. Esto esdiv F = lim .!.l F n dav-ovt

La divergencia es evidentemente una funcion escalar puntual (campo escalar), y sdefine en el punto limite de la superficie de integracion. Esta definicion anterior tienvarias propiedades: es independiente de cualquier eleccion especial del sistema dcoordenadas y puede utilizarse para encontrar la forma explfcita del operador divergencia en cualquier sistema particular de coordenadas.

En coordenadas rectangulares, el elemento de volumen fu: t.y t .z proporcionauna base conveniente para encontrar la forma expIfcita de la divergencia. Si un verticdel paraleleptpedo rectangular esta en el punto Xoo Y o , Z O ' entonces

JF ; , I; ,(x, Y o + Lly, z ) = F ;,(x , Y o, z ) + LlYa y X,Yo.zet; Iz ( X , y, Zo + Llz) = Fz(x , y, zo) + L lzaZ X.y.I"

( 1-29

donde los terminos de orden mayor en &, t.y Y t .z se han omitido: Puesto queelernento de area t.y t .z es perpendicular al eje x, t .z t.x es perpendicular al eje y&.y es perpendicular al eje z, la definicion de la divergencia resulta serdiv F = lfrn 1 { f Fx(xo, y, z ) dy dzv-,o Llx Lly L lz

+ L lx Lly Llz JPx + f Fy(x , Y o, z) dx dza x+ Llx Lly L lz a ; ; + f Fx, y, zo) dx dy+ Llx L ly L lz a : ; - J P x(x o, y, z) dy dz- f F; ,(x, Yo, z) dx dz - f Fz(x , y, zo) dx dY} (1-30

EI signo menos asociado a los tres ultimos terminos tiene en cuenta el hecho de quenormal trazada hacia afuera esta en el sentido negative de los ejes en estos casas. Elimite se toma facilmente, y se encuentra que la divergencia en coordenadas rectangulares es


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1.5 Divergencia 13

d F st; es; st ;lV =-+-+-a x a y a z ( 1 -31 )En coordenadas esfericas el procedimiento es semejante. El volumen ence-

rrado por los incrementos de eoordenadas ! :J . r, ! :J . e , ! : J . J se elige como el volumen dintegraci6n. Este volumen es r 2 sen B ! : J .r ! : J .B ! : J . . Como el area encerrada por loincrernentos de coordenadas depende de los valores de las coordenadas (1 0 queno es el easo con coordenadas rectangulares), es mejor escribir F . n ! : J . a en su formaexplfcita:

F n da = F,.r2sen () d8 !!.+ Fersene!!.!!.r +",r!!.rd() (1-32)

A partir de esta e xp re sio n e s evidente que r 2 F r sen e , en lugar de unicamente Fr , debedesarrollarse en serie de Taylor. De forma similar, en los o tr os t erm inos debe desarro-llarse el eoeficiente de los productos de los incrementos de eoordenadas. Haciendoestos desarrollos y empleandolos para calcul ar la integral de superficie en la definicionde divergencia, se tiene

div F = lfrn z 1 { . ! _ (F,.r2sene) !!.r!!.e !!.v.....r sene!!.r!!.() d a ra a }+ a8 (Fer sen e) !!.e !!.r d + o (F",r) d !!.r !!.e (1 -33)

Tomando ellf mite, se eneuentra que la forma explfci ta de la divergeneia en coordena-das esfericas es

. 1 0 2 1 0 1 o f , , ,div F = -~(r F.) + ---(sen8Fe) +---, 2 a r r r sen e ae r sen e a (1-34)Este metodo para hallar la forma explfcita de la divergencia es aplicableeualquier sistema de eoordenadas siempre y cuando se eonozcan las formas delos elementos de volumen y de superficie 0, alternativamente, los elementos delongitud.

EI significado fisico de la divergencia se puede ver de inmediato en un ejemplotornado de la mecanica de fluidos. Si V es la velocidad de un fluido, dada en funcionde la posicion, y p es su densidad, entonees P s pV . n da es evidentemente la cantidadneta de fluido por unidad de tiempo que sale del volumen eneerrado por S. S1el fluidoes ineompresible, la integral de superficie mide la fuente total del fluido eneerradopor la superficie, La definici6n anterior de la divergencia indica entonees que estapuede interpretarse como el lfrnite de la intensidad de la fuente por unidad de volu-men, 0 la densidad de la fuente de un fluido ineompresible.

Ahora puede enunciarse y demostrarse un teorema extremadamente importanteen el que interviene la divergencia.


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1.6

T eo rema d e la d iv er ge nc ia . L a integral de la divergencia de un vector sobreun volumen Ves igual a la integral de superficie de la componente normaldel vector sobre la superficie que limita V.Esto es,tdiv F dv = i F , n da

Considere que el volumen se subdivide en un gran mirnero de pequefias celdasSea L1Vi el volumen de la i-esima celda que esta limitada por la superficie S; Esclare que ~ t ,F . n da = t F n da (1- 3donde en cada integral de la izquierda, la normal se dirige hacia afuera del volumeconsiderado. Puesto que el sentido hacia afuera para una celda es eJ sentido hacdentro de la celda adyacente apropiada, todas las contribuciones dellado izquierdoIa ecuaci6n (1-35) se anulan excepto aquellas que provienen de la superficie S, yecuaci6n (1-35) queda esencialmente demostrada. El teorema de la divergenciaobtiene haciendo que el numero de celdas se aproxime a infinito, de tal modo quevolumen de cada celda tienda a cero.

J F. nda = lfm L { _ l _ J F n da} A V ;' f s o : v . - - o i A V ; T s , (1-36En el limite, la suma sobre i se convierte en una integral sobre V y la razon deintegral sobre Sf a t : .Vi se convierte en la divergencia de F . A sl,

1F . nda = J div F dv~. v (1-37que es el teorema de la divergencia. Tendremos t'recuentes ocasiones para utiIizar esteorema, tanto para el desarrollo de los aspectos teoricos de electricidad y de magnetismo como para el proposito practice de caicular integrales.

ROTACIONALEl tercer operador diferencial de interes es el rotacional. El rotacional de un vectodenotado con rot F, se define en la forma siguiente:

El rotacional de un vector es el lfmite de la raz6n entre la integral de suproducto vectorial con la normal trazada hacia afuera, sobre una superficiecerrada, y el valumen encerrado por la superficie cuando este volumen tien-de a cero. Es decir,

rot F = 11m.!. 1 . n x Fdav . .. ..o V 1 s (1-38)


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1.6 Rotacional 1

La sernejanza entre esta definicion y la definicion de la divergencia es bastanteevidente; en lugar del producto escalar del vector con la normal trazada hacia afue-ra, 'se tiene el producto vectorial. Par 10 dermis, las definiciones son las mismas.Existe una definicion distinta pero equivalente que resulta ser de mayor utilidad.Esta definicion es

La componente de rot Fen la direcci6n del vector unitario a es el limite deuna integral de lfnea par unidad de area, a medida que el area encerradatiende a cera, siendo esta area perpendicular a a. Esto es,

a' rot F = Ifm!,.( F dls~oS jcdonde la curva C, que limita Ia superficie S, esta en un plano normal a a.

(1-39)

Es facil ver la equivalencia entre las dos definiciones, considerando una curvaplana C y el volumen barrido por esta curva cuando se desplaza una distancia .; en ladirecci6n de la normal a este plano, como se muestra en la figura J .6. Si a es unanormal de este plano, entonces al tamar el producto escalar de a con la primera defini-cion del rotacional, ecuacion (1-38), se tiene

a rot F = lim _ ! _ 1 . a .n x FdaV~O V 1s

Como a es paralelo a la normal para toda la superficie limitadora excepto para labanda estrecha limitada por eye', s610 se necesita considerar la integral sabre lasuperficie. Para esta superficie observamos que a x n da es justamente ~ d1, donde des un desplazamiento infinitesimal sabre e. Puesto que, adernas, V ;;; ~ , el limite de lintegral de volumen es

(I-40)

l'a' rot F = lfm - J ~F . dlv . . . ..a s S j

FIGURA 1.6Volumen barrido aldesplazar la curva C en elseutido de su normal a. - 1

E1n


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que se reduce a la segunda forma de nuestra definici6n al eliminar las ~. Esta equivlencia puede demostrarse sin emplear el volumen especial utilizado aquf; sin embago, al hacerlo de ese modo se sacrifica mucho la sencillez de la demostracion daanterionnente.La forma del rotacional en varios sistemas coordenados puede calcularse demodo muy parecido al que se utilizo para la divergencia. En coordenadas rectangularees conveniente el volumen ax 6 .y c . z . Para la componente x del rotacional s610contribyen las caras perpendiculares a los ejes .y Yz. Si recordamos que j x k = -k x j = i,contribuciones que no se anulan de las caras del paralelepipedo a la componente xrotacional dan

1(rot F)x = ifm- ( [-Fy(x, y, z + Az ) + Fy(x , y, z ) ] ~x ~yV->O V

+ [Fz(x, y + ~y, z) - Fz(x , y, z)] 6.x ~z}Haciendo un desarrollo en serie de Taylor y tomando el lfmite se tiene(1-4

B f ' z a F ; ,( rot F)x = - - -a y a z (1-4para la componentexdel rotacional. Las componentes y y Z pueden encontrarse en uforma exactamente igual, Son

et; et;( rot F) = - - - IY Bz a x ot; et;(rotF) =---z a x o y (1-4La forma del rotacional en coordenadas rectangulares puede recordarse facilmentese observa que es justo el desarrollo de un deterrninante de tres par tres, es decir,

ro t F = (1-4j k

o a 0a x By o zr. t; r.

EI problema de hallar Ia forma del rotacional en otros sistemas coordenados es s610poco mas complicado y se deja para los ejercicios,

Como con la divergencia, nos encontramos con un teorema importante y ritil enque interviene eI rotacional, conocido como teorema de Stokes.

T eo rema d e S to ke s. La integral de linea de un vector alrededor de una cur-va cerrada es igual a la integral de la componente normal de su rotacional so-bre cualquier superficie limitada por Ia curva. Esto es,

T c F dl = L rot F n da (1-45)donde C es una curva cerrada que limita la superficie S.


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1.7

l.7 EI operador vectorial diferencial V 1

La demostraci6n de este teorema es bastante parecida ala demostraci6n del teorema de la divergencia. La superficieS se divide en un gran nurnero de celdas. Lsuperficie de la z-esima celda se denomina flSi Y la curva que la Iimita es CPuesto que cada una de estas celdas debe recorrerse en el mismo sentido, estclaro que la suma de las integrales de linea sobre C; es justamente la integral dlfnea alrededor de la curva limitadora; todas las demas contribuciones se canceIan. Asf pues,f c F .d l = ~ f e , F . dlS610 falta determinar ellimite a medida que el m:imerode celdas se vuelve infinito, de tmodo que el area de cada celda tienda a cero. El resultado de este proceso de Ifmite es

1 , F.dl = Ifm 2 : _ 1_1 F.d1.6,Sir c ll..S,--o i 6.Si r c ;= L rot Fnda

que es el teorema de Stokes. Este teorema, como el de la divergencia, es util tanto en edesarrollo de la teorfa electromagnetica como en el calculo de integrales. Tal vez valgla pena observar que ambos teorernas, el de la divergencia y el de Stokes, son esencialmente integraciones parciales.

EL OPERADOR VECTORIAL DIFERENCIAL VIntroduciremos ahora una notaci6n altemativa para los tres tipos de diferenciacionvectorial que se han analizado: el gradiente, la divergencia y el rotacional. Esta notacion utiliza el operador vectorial diferencial del, que esta definido en coordenadascartesianas par

. a . a aV=I-+J-+k-a x a y a zDel es un operador diferencial que se aplica solamente delante de una funcion d(x, y, z), que queda diferenciada; es un vector que obedece las leyes del algebravectorial. * En terminos de del, las ecuaciones (120), (1-31) y (1-44) se expresan como

(1-46

grad = V, a r p a r p a r pVrp=I-+J-+k-a x a y a z (1-20

* Es tam bien un vector en terminos de sus propiedades de transformacion, como se muestra enApendice II.


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div = V,(1-31

rot = V x, j ka a aVxF= a x a y a zr : F y r .

(1-44

Las operaciones expresadas con del son por sf mismas independientes de cualquierelecci6n especial del sistema de coordenadas. Cualquiera de las identidades que pueden probarse usando la representaci6n cartesiana es valida independientemente del sistema de coordenadas. Del puede expresarse en un sistema de coordenadas ortonormalno cartesiano (curvilfneo) de manera analoga ala ecuaci6n (1-46) can los elementosde distancia apropiados, pero al aplicarlo debe recordarse que los vectores unitarios etales sistemas coordenados son ya pOTsf mismos funciones de la posicion y tienen quser diferenciados. * Los importantes teoremas integrales, de acuerdo can las ecuaciones(1-19), (1-45) Y(1-37), son1 " VqJdl = r di p = ! p I " = ! P h ~ qJ " (1-47a (C) a aL V X F n da = f c F dl (1-45I v V. F dv = = iF, nda (1-37Estas nos dan la integral de una derivada de una funcion en una region de n dimensiones, en terminos de los valores de la propia funci6n en la frontera de (n - 1- dimensiones de la regi6n, para n = 1, 2, 3. Debido a que el operador del obedece lareglas del algebra vectorial, es conveniente usarlo en los calculos del analisis vectorialy de ahora en adelante expresaremos el gradiente, la divergencia y el rotacional eterrninos de V. Se observara que IVes un operador lineal

V(aqJ + b1 jJ) = = aVqJ + bV1jJV . (aF + bG) = aV . F + bV . GVx (aF + bG) = aV X F + bV x G

si a y b son escalares constantes,

* Pueden encontrarse resultados para coordenadas cilfndricas y esfericas en el apendice IV Un analisielemental se debe a H . T . Yang, Am er ic a n J ou rn a l o f P hy sic s, vel. 40, pag. 109, 1972.


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1.8

1.8 Desarrollos posteriores 19

DESARROLLOS,POSTERIORESLas operaciones del gradiente, la divergencia 0 el rotacional pueden repetirse enclases adecuadas de campos. Por ejemplo, tiene sentido tomar la divergencia delgradiente de un campo escalar, En realidad, esta operaci6n combinada es tanirnportante que tiene un nombre especial, el laplaciano. Sin embargo, no tienesentidotornar el rotacional de la divergencia de un campo vectorial debido a que estoimplica tomar el rotacional de un escalar, 10 cual no esta definido. Hay un total decinco operadores de segundo orden que tienen sentido, y dos de estes dan cero. Noobstante, los cinco son muy importantes en el estudio de campos electrornagneticos.

El primero de ellos es el operador laplaciano, que se define como la divergenciadel gradiente de un campo escalar, y que generalmente se escribe como V 2 . .

En coordenadas rectangulares,2 _ a 2 q ; a 2 q ; a 2 q ;Vrp--+-+-a x 2 a y 2 a z 2

Este operador es de gran importancia en electrostatica y se estudiara con detalle en elcapitulo 3.

El rotacional del gradiente de cualquier campo escalar es cero. Este enunciado severifica con mayor facilidad al expresarlo en coordenadas rectangulares. Si el campoesc alar es c p , entonees

(1-48)

j k8 a 8 = i ( a 2q ; _ a 2q ; ) + ... = 0x (Vrp)= a x a y 8z a y a z C 1 Z o yoq; e t q ; 8q;a x a y e t Z (1-49)

10 que verifica el enunciado original. En terminos del operador,Vxv=o

La divergencia de cualquier rotacional es tarnbien cero. Este resultado se verifica di-rectamente en coordenadas rectangulares al escribir

o ( ' 8Fz a F ; . )V(VxF)=- ---a x a y e t Z+ ~ ( a F : . _ a F z ) + ... = 0a y a z a x (1-50)


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20 1Analisis vectorial.

\Las otras dos posibles operaciones de segundo orden son tomar el rotacional drotacional 0 el grad iente de la divergencia de un campo vectorial. Se dej a como ejerccio demostrar que en coordenadas rectangulares

v x (V x F) = V(V . F) -:- V2F (I-51don de ellaplaciano de un ver tor es el vector cuyas componentes rectangulares son lolaplacianos de las cornponentes rectangulares del vector Original. En cualquier OtTsistema coordenado que no sea rectangular, el laplaciano de un vector esta definidp O T 1aecuaci6n (1-51).

Otra forma de ampliar 1a aplicaci6n de los operadores vectoriales diferencialeses aplicarlos a diferentes productos entre vectores y escalares. Las seis combinacio-nes posi bles de produ ctos y operadores diferenciales se encuentran en la tabla 1.Estas identidades pueden verificarse facilmente en coordenadas rectangulares,cual es suficiente para asegurar su validez en cualquier sistema de coordenadas.Una derivada de un praducto de mas de dos funciones, 0 una derivada de ordesuperior al segundo, puede calcularse mediante aplicaciones repetidas de las identidades de la tabla 1.1, que es, par tanto, exhaustiva, Las f6rmulas pueden recordarsefacilmcnte a partir de las reglas del algebra vectorial y la diferenciacion ordinariaLa un ica ambiguedad posi bIe se encuen tra eli la identidad (1.1.6), en Ia que aparecF V (no V . F).

Algunos tipos particulates de funciones aparecen con tanta frecuencia en la teorfelectrcmagnetica que merece.la pena mencionar ahora sus diversas derivadas, Parafuncion F = r,

V r = 3V x r = 0(G' V )r = GV~ = 0

(1-52

Para una funci6n que s610 depende de 1adistancia r = lrl = ~ . x 2 + l+;::2 ,TABLA 1.1ldcntidades del vectordiferencial

V V rp = 'i J 2rpVVxF=O.VxVrp=OV x (V X F) = V (V F) - V 2FV(rp1.jJ)= (Vrp)1.jJ+ rpV1.jJV (F G) = (F . V )G + F X (V X G) + (G . V )F + G X (V X F)V (rpF ) = (V rp) . F + rpV FV . ( F X G) = (V X F) . G - (V X G) . FV X (rpF) = (Vrp ) X F+ rpV X FV X (F X G) = (V G)F - (V F}G + (G . V )F - (F . V )G

(1.1.1)(1.1.2)(1.1.3)(1.1.4)(1.1.5)(1.l.6)(1.1.7)(1.1.8)(1.1.9)(1.1.10)


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1.8 Desarrollos posteriores 2

q;(r) or F(r): r dV =--rdr (1-5Para unafunci6n que depende del argumento escalar A r, donde A es un vector constan

dq;(A r) or F(Ar): V= A--d(A r) (1-5Para una funci6n que depende del argumento R = = r - r',donde r ' se considera uconstante,

V = V RV a . a aR = Iax +ay + k az

donde R = = Xi + Y j + Zk. Si r es considerada una constante, entonces tendrernos

(1-55

V = -V' (I-56donde

V, a . a a=I-+J-+k-ax ' ay' az'Hay varias posibilidades para la ampliaci6n del teorema de la divergen-

cia y del teorema de Stokes. La m as interesante de estas es el teorema de Greeque es

(1-5Este teorema se obtiene de la aplicacion del teorema de la divergencia al vector

F = tpV qJ - q ;V tp

TABLA 1.2 f n x V ip da =.!. tp dls 1 c (l.2.1)Teoremas de integralesvec to ri a le sI v V ip dv = Ipo da (1.2.2)I v V x Fdv = i n x Fda 0.2.3)I v (V G + G V)F dv = i F(G n) da (1.2.4)


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\

1.9

Utilizando esta F en el teorema de la divergencia, 0btenemosI v V r 1 j 1 V Q ? - Q ? V 1 J I ] d v = i ( 1 J 1 V c p - Q ? V 1 J 1 ) n d a (1-58)Empleando la identidad para la divergencia de un escalar por un vector (tabla 1.1) se tiene

(1-59)Al cornbinar (I-58) y (1-59) se obtiene el teorerna de Green. Algunos otros teorernasIiguran en la tabla 1.2.

Esto eonc1uye nuestra breve exposicion del analisis vectorial. Par razones de brevedad, las dernostraciones de muchos resultados se han dejado como ejercicios. No sha heeho ningun intento para lograr un alto grado de rigor. Todo el enfoque se habasado iinicamente en la utilidad, Lo que hemos desarrollado es 10 que necesitarernos;todo 10 demas se ha omitido.

RESUMENPueden expresarse tres diferentes clases de diferenciacion vectorial mediante el ope-rador vectorial diferencial del V, a saber, el gradiente, la divergencia y el rotacional:

a c p . a c p a c pV Q ? = 1- +J-. +k-a x a y a zet; et; aF zVF=-+-+-a x a y a z

j ka a aVxF= a x a y a zF . . p ; . F :

Del es un operador lineal. Su aplicacion repetida 0 su aplicacion a productos defunciones, produce f6rmulas que pueden obtenerse en coordenadas rectangula-

. res, pero que son independientes del sistema de coordenadas. Estas f6rmulas pue-den recordarse mediante las reglas del algebra vectorial y de la diferenciaci6nordinaria. Vale la pena conservar en la memoria las derivadas de algunas funcio-nes especiales. Los teoremas integrales mas import antes acerca de las derivadasson

( b V Q ? d l = c p I bJ~(e) aL V X F- D da = T c F . dl (Teorema de Stokes)


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Problemas

I v V . F dv = t F n da (teorema de la divergencia)Estas son generalizaciones del teorema fundamental del calculo.

PROBLEMAS = = 1.1 Los vectores desde el origen a los puntas A, B, C, D sonA=i+j+kB = 2i + 3jC = 3i + 5j - 2kD = k - j

Demuestre que las rectas AB y CD son paralelas y encuentre la razon entre sus magnitudes.1.2 Demuestre que los siguientes vectores son perpendiculares:

A = i+ 4j + 3k B = 4i + 2j - 4k1.3 Demuestre que los siguientes vectores constituyen los lados de un triangulo rectangulo

A=2i-j+k B = i-3j - 5k C = 3i - 4j - 4k1.4 Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuacion A =B - C e interpretando el restado geometr icamente , demuestre la "ley de los cosenos'',1.5 (a) Demuestre que los siguientes vectores son unitarios en el plano xy y que forman anlos rz , f 3 can el eje x:

A =icos Il" + j sen Il" B = icos (3 + j sen f J(b) Par media de un producto escalar, obtenga la formula para cos (a - [ 3 ) .1.6 Si A es un vector constante y r es el vector desde el origen al punta (x,y, z), demuestrela siguiente es la ecuacion de un plano:

(r - A) A = 01.7 Can A y r definidos como en el problema 1 .6, dernuestre que la siguiente es la ecuaci6nuna esfera:

(r - A) r = 01.8 Usando el produeto punto, encuentre el coseno del angulo entre la diagonal intema decuba y una de las aristas de este,1.9 Demuestre la ley de los senos para un triangulo mediante el usa del producto cruz devector can A + C =B.1.10 Si A, B, C son vectores desde el origen a los puntos A, B, C, demuestre que es perpendiclar al plano ABC.

(A X B) + (8 x C) + (C X A)


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I CAP iTULO 2

Electrostatica

En este capitulo se introduce el tema de Ja electricidad con los conceptos ernpfricos decarga y de la ley de fuerzas entre cargas (ley de Coulomb). Utilizaremos las herra-mientas matematicas del capitulo 1 para representar Ia ley de Coulomb con otras ex-presiones mas poderosas: la expresion del potencial electrico y la ley de Gauss; ambasseran de mucha importancia en desarrolJos posteriores de este tema.

2.1 CARGA ELECTRICALa primera observaci6n de Ia electrizaci6n de objetos por frotamiento se pierde en laantiguedad; sin embargo, es muy sabido que al frotar un peine de ebonita con unpedazo de lana, el peine adquiere Ia capacidad de levantar pequefios pedacitos depapel. Como resultado de fro tar los dos objetos (hablando estrictamente, como con-secuencia de ponerIos en contacto), tanto la ebonita como Ia lana adquieren una nue-va propiedad: se cargan. Este experirnento sirve para introducir el concepto de carga.Pero la carga, en sf misma, no se crea durante este proceso: la carga total, 0 sea, lasuma de las cargas de los dos cuerpos, es todavfa la misma que antes de laelectrizacion.A la luz de la ffsica moderna sabemos que las partfculas microscopicas cargadas,especfficamente los electrones, se transportan de la lana a la ebonita dejando la lanacargada positivamente y el peine de ebonita cargado negativamente.

La carga es una propiedad fundamental y caracterfstica de las partfculas elemen-tales que forman Ia materia. De hecho, toda la materia se compone fundamentalrnentede protones, neutrones y electrones, y dos de estas particulas tienen carga. Pero auncuando a escala microscopica Ia materia se componga de un gran mimero de partfculas. cargadas, las potentes fuerzas electricas asociadas con estas particulas quedan bastanteocultas a una observaci6n macroscopica, El motivo es que hay dos clases de carga,


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2.2

2.2 Ley de Coulomb 27

positiva y negative, y un fragmento cualquiera de materia contiene aproximadamentecantidades iguales de cada c1ase. Desde el punto de vista macroscopico, entonces, lcarga se refiere a la carga neta, 0 al exceso de carga. Cuando decimos que un objetoesta cargado, 10 que queremos decir es que tiene un exceso de carga, ya sea un excesode electrones (negativa) 0 un exceso de protones (positiva). En este capitulo y en losiguientes, la carga se representara general mente con el sfmbolo q.

Es un hecho experimental que la carga no puede crearse ni destruirse. La cargatotal de un sistema cerrado no puede carnbiar. Desde el punto de vista macroscopico,las cargas pueden reagruparse y combinarse en distintas formas; sin embargo, pode-mos establecer que en un sistema c~meAla_- : : -

LEY DE COULOMBHacia finales del siglo xvrrr las tecnicas de la ciencia experimental lograron suficienteperfeccionamiento como para hacer posible observaciones refinadas de las fuerzasentre cargas electricas, Los resultados de estas observaciones, que eran extremada-mente controvertidas en aquella epoca, pueden resurnirse en tres principios:1. Hay dos y solo dos c1ases de carga electrica, conocidas ahora como positiva y

negativa.2. Dos car~untuales ~j~fl!!1 entre sf fuerzas gJle acnian a 1 0 largo de la linea que

las une y quesonl1lVersamente roporcionales al cuadrado de la distancia que la~Pi!a.

3. Estas fuerzas son tambien proporcionaies al producto de las cargas, son repulsivasp~~s...y atractivas para ~~s.

Los dos ultimos principios, con el primero como preambulo, se conocen como kL4~mb en honor a Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), quien fue uno de loprincipales estudiosos de Ia e1ectricidad en el siglo XVIIT.

La ley de Coulomb para cargas puntuales puede formularse concisarnente con lnotacion vectorial del capitulo 1como

(2-1

donde F1_es la fuerza sobre I!!",,!!gaq J . ' rjles el vector que va de qj a q 2 : ! : . J Z es I;:!Ia$nitud de....!12C"es la constante de proporcionalidad de Iaque se hablara posterior-mente. En la ecuacion (2-1) se ha forrnado un vector unitario en la direccion de r1z..dividir r l-2_Qor!l_magnitud, artificio que se utilizara frecuentemente. Si ha de hallarsela fuerza sobre qz ' solo es necesario cambiar cada subfndice 1 por 2 y 2 por 1. Entender


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28 2 Electrostatica\ esta notacion es import ante, puesto que mas tarde proporcionara una tecnica para se-guirel rastro de las variables del campo y de la fuente. La Figura 2.1 muestra el vectorr12 con respecto a un origen arbitrario O. .La ley de Coulomb se aplica_!cargas Quntuale~. En el sentido macroscopico, una"carga puntual" es aquella cuyas dimensiones espaciales son rimy pequefias en com-parackin con cualquier otra longitud relativa al problema en consideracion: utilizare-mos el termino "carga puntual" en este sentido. Hasta donde sabemos, la ley de Coulombtambien se aplica a las interacciones de partfculas atomicas tales como protones yelectrones. La ecuacion (2-1) es valida para la repulsion electrostatics entre micleos adistancias mayores que 10-14 metros; a distancias menores dominan el panorama lasfuerzas nucleares, poderosas pero de corto alcance.

La ecuaci6n (2-1) es una ley experimental. Sin embargo, pruebas teoricas y expe-rimentales indican que la ley del inverso de los cuadrados es exacta, es decir, que eexponente de r l2 es exactamente 2. Mediante un experimento indirecto* se ha demos-trado que el exponente de r12Puede diferir de 2 en no mas de una parte en 1015 .La constante Cu de la ecuacion (2-1) requiere algun comentario, ya que con ellase determina el sistema de unidades. Las unidades de fuerza y distancia sonpresumiblemente las mismas que pertenecen a uno de los sistemas empleados enmecanica; el procedimiento mas directo en este caso seria fijar C" = 1, Y elegir launidad de carga de tal forma que la ecuaci6n (2-1) concuerde con el experimento.Este es eJ procedimiento adoptado por el sistema gaussiano de unidades, Tambienson posibles otros procedimietuos y pueden tener ciertas ventajas; por ejemplo, sepuede especificar por anticipado Ia unidad de carga. Giorgi demostr6 en 1901 quetodas las unidades electricas comunes, tales como el ampere, el volt, el ohm, el henry,etc., pueden combinarse con uno de los sistemas rnecanicos, llamado mks (sistema

FIGURA 2.1EJ vector rn se extiendede s d e el punto que sefialala punta d el v ec to r T2basta el punto que sefialala punta del vector r I'Obviamente, rl2 = = -r21

o

* E. R. Williams, 1. E. Faller y H. A. Hilf, Physical Review Leiters. vol. 26, pag, 721,1971. Experimentossirnilares se realizaron anteriormente. Maxwell establecio el exponente de 2 hasta una parte en 20,000.


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2.2 Ley de Coulomb 2

metro-kilogramo-segundo), can el fin de formar un sistema de unidades para todos losproblemas electricos y magneticos. Una ventaja de este sistema es que loresultados de los calculos de circuitos electricos se expresan en las mismas unidades electricas que se emplean eq el laboratorio. En este texto utilizaremos esistema de unidades mks racionalizado 0 sistema de Giorgi de unidades en lforma conocida como SI (Sistema Internacional). Como en este sistema q se miden coulombs (C), r en metros 't F en newtons (~), C debe tenerlas dimensiones________ . . .._ _ .u~de newtons metros2 por cou~

La magnitud de la unidad SI de carga, el coulomb, se establece a partir dexperimentos magneticos, Esta elecci6n de unidades hace que- Cu = 8.9874 X 10N m2/C2.* Para simplificar otras ecuaciones hacemos la aparentemente compli-cada sustituci6n C u = 1/4lrEo- La constante EO' que aparecera repetidamente, se conoce como permitividad del espacio libre y nurnericamente es igual a 8.85410-12 C2/N . m-.

En el sistema mks, la ley de Coulomb para las fuerzas entre dos cargas pun-tuales puede escribirse, por tanto, como

(2-1a)

En el Apendice III, las definiciones de coulomb, ampere, permeabilidadpermitividad del espacio libre se relacionan entre sf y con la velocidad de la luz euna forma logica; puesto que una formulacion logica de estas definiciones requiereconocimientos de los fenomenos magneticos y de la propagaci6n de ondas electromagnetic as, no es apropiado presentarlas ahora, En el Apendice III se analizan launidades del sistema ganssiano. Hasta el capitulo 4, toda formula puede cambiarseaunidades gaussianas simplemente sustituyendo EO por 1I4lr.

Si se tienen mas de dos cargas puntuales, las fuerzas mutuas se determinan par laplicacion repetida de la ecuacion (2-1). En particular, si se considera un sistema deN. cargas, la fuerza sobre 1ai-esirna carga esta dada por

(2-2

* El valor aproxim ado de C , '" 9 x 1() 9N . m 21 Cl e s q uiz a m as f ac il d e recordar,


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30 2 Electrostatica

dond e la sumatoria de la derecha se extiende a todas las cargas excepto a la i-esima. Laecuaci6n (2-2) es el principia de superposicion de fuerzas, que dice que la fuerza totalque actiia sabre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas individuales que acniansobre el,Una sencilla extension de la idea de la interacci6n entre N cargas puntuales es lainteraccion de una carga punrual con una distribucion continua de cargas, Hemos esco-gido esta configuracion deliberadamente para evitar algunas dificultades que puedenencontrarse cuando se considera la interaccion de dos distribuciones continuas de carga.

Antes de continuar, debe examinarse el significado de una distribucion continua deearga. Es bien sabido que la carga electrica se encuentra en nniltiplos de una cargabasica, la del electron. En otras pal abras, si se examina una carga detalladamente, severa que su magnitud es un multiple entero de la magnitud de 1acarga electronica. Paralos propositos de Ia ffsica macroscopica, el que la carga sea discreta no ocasiona dificul-tades, simplemente porque la carga electronica tiene una magnitud de 1.6019 x 10-1 9 C,que es extremadamente pequeiia. La pequefiez de la unidad basica significa que lascargas macroscopicas sc componen invariablemente de un numero muy grande decargas clectronicas; esto a su vez significa que en una distribucion macroscopica decarga, cualquier elemento pequefio de volumen contiene un gran numero de electrones.

Podemos ~r ~tonces una dlstrib-;_;-ci6n-d~carga_en termmos de umifun-0!_n de sif_nsjdad_df. canw. definida como _$:!J!wite de la sarga Q9r uniPl1Q__@oIl.!f!!_~a __me_dida_q_geel volumen se vuelve i_nfillitesimal. Sin embargo, debe tenersecuidado al aplicar esta clasede descripcion a problemas at6micQs, puesto que en~os s610 interviene un peq"UenO~ de electrones y el procedimiento detomar el limite no tiene sentido. Dejando a un lado estos casos atornicos, podemospro ceder como S1una porcion de earga pudiese subdividirse indefinidamente. Partanto, describimos la distribucion de carga mediante funciones puntuales.

Una densidad volumetrica de carga esta definida por6.qP = Ifm",v-o 6.V

y una densidad de carga superficial esta definida por(2-3)

6.qa = Iim< ' > S ->0 6.S (2-4)

De 10 que se ha dicho can respecto a q, es evidente que e_y_QJ;QD d_eQ~idadesde c_:~gneta 0 excesos d~ carg0ale la pena mencionar que en matcriales s61idos tipicosincluso una densidad muy grande de carga p implicara una variacion en la densidadlocal de electrones de solo una parte en IO~.

S1 la earga se distribuye en un volumen V con una densidad jry sobre unasupe!:fi9~:_SgueJimita a V con una densidad.!L_ entonees ~rza tf,iercij,apor esta


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2.3

2.3 EI campo electrico 3

distribucion de carga sobre una ~.r&LPJln_tual q, situ ada en r , se obtiene deecuaci6n (2-2) sustituyendo q. por p .dv. (0 por a . da . ) y procediendo luego a obtj j 1 .I jner el limite:

q J r - r'Fq = 4.1rE:o v Ir _ r'13 p(r') dv'q r r - r'+ 4] [10 0 J s I r _ r'I3 a(r') da' (2-

La variable r' se usa para Iocalizar un Qunto dentro de la distribucion.de c ...rgfl"eses, juega el papel del punto fuente r en Ia ecuacion (2-2). Puede parecer a primervista ~e si el punta r cae dentro de la distribucion de carga, Ia rimera i1Jtegral deecuacion (2-5) divergira, oem no es as). La regi6n de integracion en la vecindad decontribuye en una cantidad despreciable y la integral tiene buen comportamiento(vease el problema 2.5).

Esta claro que la fuerza sobre q, como se presenta en la ecuacion (2-5),proporcional a q, y 10 mismo es valido en Ia ecuaci6n (2-2). Esta observacion nconduce a introducir un campo vectorial que es independiente de q, la Hamada fueza par unidad de carga. Este campo vectorial, conocido como campo electrico,cstudia con detal1e en la siguiente seccion.

EL CAMPO ELECTRICOEl campo electrico e s i un punta se define operacionalmente como el lfrnite defuerza sobre una carga de prueba colocada en el punto can respecto a la carga decarga de prueba, tornandose ellfmite a medida que la magnirud de 1acarga de pruebtiende a cere, EI sfmbolo que se acostumbra emplear para el campo electrico es E

En notacion vectorial, la definicion de E se convierte enFE = Ifm _ _ _ C !q_,.O q (2-6)

JRgroeeso dillfI!!ite se incluxe en la definicion de E para asegurar ue1a cargde prueba no afecte 1a distribuei6n de~ a q~produce E. Si, por ~iemplo,distribuye earga positiva~sobre Ia supcrfi.cie dC_!,!1lcQl1ductor (un conductor es umaterial en el que la earga puede moverse Iibremente), entonees al acercar una carga dprueba a la vecindad del conductor, la carga sabre el conductor se redistribuira, Sicampo electrico ~l~alculado utilizand_o_laJ:azon_de_fuerza_a~cargi!.para uncarga de rueba finita, el campo obtenido serfa el debido ala carga redistribuida y n~rdebido a la distrib~ci6n original de carga. ----.______...----- --_. ~ _-


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32 2 Electrostatics

FIGURA 2.2Geometrfa de r, r: y r - r.

)EI vector r define elpunto de observacion(punta del campo) y r 'se extiende sabre ladistribucion de carga total,incluyendo las cargaspuntuales.

En el caso especial en que una de las cargas de la distribucion de carga puedeusarse como carga de prueba, no es necesario tomar el Ifmite. En este caso, el campoelectrico en la posicion de la carga de prueba sera el producido por todo el res to de ladistribucion de carga. No habra redistribucion de carga, ya que la distribucion apro-piada de carga se obtiene bajo laTnfluencia de la distribuei6n de earga total, incluidala earga que se esta empleando como carga de prueba. En algunos otros casas, parti-eu larmente en aquellos en que Ia distribucicn de carga esta especificada, la fuerzasera proporcional ala magnitud de la carga de prueba. En esos casas, tambien resultainnecesario ellfmite; sin embargo, si existe alguna duda, es mas seguro emplear siempreel proceso del limite.

Las ecuaciones (2-2) y (2-5) proporcionan formas sencillas de obtener una ex-presi6n del campo electrico debido a una distribuei6n de earga dada (vease la Fig.2.2). Sea una distribuci6n de earga tal que consista en N cargasl?untua~, qI' q2 ' ... ,qN ' localizadas en los puntas rl, r2, ... , rN, respectivamente, y . . una distrib.!:!..cj6volumetric a de carga especifieada par la densidad de carga per') en el volumen V----!!!a distribuci6n superficial caracterizada por la densidad superficial de carga a(r ')sobre Ia superfiei e S . Si una carga de prueba q se encuentra en el punto r, experimentauna [uerza F dada par -

q N r - r q J r - r'F =--2: q i '~ + - , : . ;p(r ')dv'4.7t() i~ 1 [r - r.] 4.n:EII vir - e Iq f r - r'+ -- a(r') da'4;:rE"o sir - r'I'

debida a la distribuci6n de carga dada. EI campo ciectrico en r es ellfmite de la razonentre esta fuerza y la earga de prueba q . Como la relaci6n es independiente de '1 , elcampo electrico en r es solo

(2-7)


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)

2 . 4

2.4 EI potencial electrostatico 3

1 N r - r- 1 J r - r'E(r) = - L qi '~ + -- ,J p(r ')dv'4l!En i= I r - ril 4l!En vir - r I1 J r - r' (r') d '+-- ,Jar a4l!En s [r - r 1 (2-

La eeuaci6n (28) es muy general; en la mayorfa de los casas no se necesitaran todlos terminos.

La cantidad que acabamos de definir, el campo electrico, puede calcularse en capunta del-espacio en la vecindad de un sistema de cargas a de una distribucion de cargDe este modo, E = E(r) es una funei6n vectorial puntual, 0 un campo vectorial. Escampo tiene muchas ptopiedades maternaticas interesantes que desarrollaremos ensiguientes secciones y en el siguiente capftulo. Como una ayuda para visualizar la estrutura del campo electrico asociado can una distribuci6n de carga particular, Michael Farad(1791-1867) introdujo el concepto de lineas de fuerza. Una Hnea de fuerza es una linimaginaria (0 curva) dibujada de tal manera que su direcci6n (0 tangente) en cualquipunto es la direccion del campo electrico en dicho punta.

Considere, por ejemplo, la estructura del cam~~ctri~o asociado can una socarga e_untualP~~ql . Las lineas de fuerza son ifneas radiales que se diri en bacafuera de q!. De modo semejante, las lfneas de fuerza asociadas can una carg!l.J,2unt~~~ aislada tambien son radiales, pero esta vez el sentido es hacia dentro (es decJi..'l.ciaa carga negativa). Estos dos ejemplos son extremadamente sencillos, pero ilustruna propiedad importante de las lineas de campo: las Hneas de fuerza te inan en lfuentes del campo electrico, es decir, en las cargas ~roducen el campo electrico.

La figura 2.3 ilustra varios campos electricos sencillos que se han trazado conayuda de lfneas de fuerza.

EL POTENCIAL ELECTROSTATICOComo se observe en el capitulo 1, si el rotacional de un vector se anula, entoncese~ puede expresarse como.el gradiente de un escalar. EI campo eJectrico dado pla ecuaci6n (2-8) satisface este criterio. Observemos que tamar el rotacional deecuaci6n (2-8) implica la derivaci6n con respecto a r. Esta variable aparece en la ecuci6n s610 en funciones de la forma (r - r')/Ir - r'P y, por tanto, sera suficiente demotrar que las funciones de esta forma tienen un rotacionaI cero. Utilizando la f6rmulaIa tabla 1.1 para el rotacionaI del producto (vector por escalar) se tiene

r - r'Vx----:;I r - r '1 3 I 1 ' 1 3 V x (r - r") + [V 1 3 J X [r - r']r - r - [r - r'l_ _ .. .... _ _ ..Jo~ . __'O

\ 7 'q~f) ~ \l~iF + V V X rUn calculo directo (vease el problema 1.19) demuestra que

(2-

V x (r - r') = 0 (2-1


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34 2 Electrostatica

FIGURA 2.3Trazado de un campo

) electrico con ayuda de1fn eas de tuerz a..

y (vease el problema 1.22) que1 r - r'V = -3-~""""

[r - r'13 [r - r'15Estos resultados, junto con l a observacion de que el producto vectorial de un vectorpar un vector paralelo es cero, son suficientes para demostrar que

(2-11)

r - r'Vx =0[r - r'f (2-12)Como cada contribucion de la ecuacion (2-8) al campo electrico es de esta forma,hernos demostrado que el rotacional del campo electrico es cera. La ecuacion (2- 12)indica que existe una funcion escalar cuyo gradiente es el campo electrico. Esto es,sabemos ahara que existe una funcion que satisface


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2.4 EI potencial electrostatico 3

- --~( .....(r) "" -VqJ(~}_ ) (2-13~ - - - - - - -ero aiin tenemos que hallar la forma de la funci6n < p o Debera observarse que pacon venia se incluye el signo menos en la ecuaci6n (2-13) y que a!p se Ie llama potencial el~trostatico.EI potencial electrostdtico debido a una.c.arga...puruual q] es- - - -~-1 q. 1qi(r) = - . _,4)t"EIJr~ r.l\. - -10qne-severifica mediante derivacion directa. Por tanto, elcorresponde al campo electrico de la ecuacion_(2-8)..es

(2-14)potencial que

1 i a{r')+ - da''..._ 4lCEu _ s _ l r . : r ' l j (2-15)1 0 que tambien se verifica facilmente por derivacion directa.

Puede parecer que las ecuaciones (2-14) y (2-15) se obtuvieron de modo arbitrarioSin embargo, puesto que todo 10que se exige de < p es que satisfaga (2-13), y como estya se ha verificado directamente, el medio por el cual se ha obtenido < p no importa.EI potencial electrostatico f{ J puede obtenerse directamente tan pronto como sestablezca su existencia, Puesto que se sabe que existe < p , podemos escribir

".._,-I( E(r') . dr' "" - V f{ J . ds'ref ref

(2-16donde~dica un ~erencia en el_guewes, cero. De 1adefinici6n de gradiente

V f{ J di' = dip (2-17AJ sustituir (2-17) en la ecuacion (2-16), esta se convierte en la integral de una diferen. cial perfecta, que se resuelve facilmente. EI resultado es- r Vcp' dr' "" -(per) "" f E(r') ds'

~f ~f(2-18

que es realmente la inversa de la ecuacion (2-13). Si e] campo electrico debido a una car..puntual se utiliza en la ecuacion (2-18) X el punto de referencia, 0 limite inferior deintegral, se considera en el infinito siendo ah f el potencial cero, el resultado es- - ---- ---- _-~-. " , , -(j/ / p C f) = = ~ ' _ i l

~(2-19


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36 2 Electrostatica

/

2.5

Este resultado es solo un caso especial.de la ecuaci6n (2- J 4), es decir, el casu en el que!J~o:_Este proceso p~ ampliarse paraobtener Ja ecuaci6n (2-15); sin embargo,el procedimiento es demasiado engorroso para incluirlo aquf.

Otro aspecto interesante y util del potencial electrostatico es su semejanza COilla energia potencial asociada con la fuerza electrostatica conservativa. La energfapotencial asociada con una fuerza conservativa arbitraria es

U(r) = - r F(r')' dr'ref

(2-20)donde U(r) es la energia potencial en r con respecto al punta de referencia en que laenergfa potencial se considera arbitrariamente cero. Como en el casu electrostaticoF = = qE, se sigue que si se escoge el mismo punto de referencia para el potencialelectrostatico y para la energfa potencial, entonces el potencial electrostatico essolo la energia potencial par unidad de carga. Esta idea se utiliza a veces parapresentar el potencial electrostatico; sin embargo, creemos que la presentacion pormedia de Ia ecuacion (2-13) resalta la irnportancia del potencial electrostatico aldetenninar eJ campo electrostatico. Por supuesto, no hay duda acerca de la equiva-lencia de los dos enfoques.

La utilidad del potencial electrostatico al calcular campos electricos puede ver-se al comparar las ecuaciones (2-8) y (2-15). La ecuacion (2-8) es una ecuaci6nvectorial; para obtener el campo electrico a partir de ella es necesario evaluar tressumas 0 tres integrales para eada terrnino. En el mejor de los casos, este es unprocedimiento tedioso; en otros, es casi imposible integrar. La eeuaci6n (2-15), encambio, es una ecuacion escalar e irnplica solo una suma 0 integral por termino,Adernas, los denominadores que aparecen en esta ecuacion son todos de la for-ma Ir - rl, 10 que haee que las integrales sean mucho mas sencillas que las de laecuacion (2-8). Esta simpliflcacion a veces es suficiente para establecer la diferenciaentre tener 0 no tener que efectuar las integrales, Puede objetarse que despues dehacer las integrales de la ecuacion (2-15) es min necesario derivar el resultado; estaobjecion se elirnina de inmediato observando que Ia derivaei6n siernpre puede Ue-varse a cabo si existen las derivadas, y, de heche, por 10 general, es mucho mas facilque la integraci6n. En el capitulo 3 se vera que el potencial electrostarico es aiin masimportante en aquellos problemas en los que no ~e especifica la distribucion de car-ga, sino que esta debe determinarse durante la resolucion del problema.

En el sistema mks, la unidad de energia es el newton-metro 0 joule. La unidad.de potencial es el joule/coulomb, pero esta unidad se presenta tan frecuenternenteque se le da el nombre especial de volt (V). La unidad del campo electrico es elnewton/coulomb 0 el volt/metro.

CONDUCTORES Y AISLANTESSegun su comportamiento electrico, los materiales pueden dividirse en des ca-tegorfas: conductores de electricidad y aislantes (dielectricos). Los conductores sonsustancias, como los metales, que contienen esencialmente un gran rnimero deportadores de carga libre. Estes portadores de carga (electrones en Ia mayoria de


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2.6

2.6 Ley de Gauss 3

los casas) tienen la libertad de moverse par todo el material conductor; respondencampos electricos casi infinitesimales y contimian su movimiento mientras expermenten un campo. Estes portadores libres llevan la corriente electrica cuandomantiene un campo electrico estable en el conductor mediant.e una fuente externde energia.

Los dielectricos son sustancias en las que todas las partfculas cargadas estrligadas muy fuertemente a las rnoleculas constituyentes. Las partfculas cargadas pueden carnbiar sus posiciones ligeramente como respuesta a un campo electricopero no se alejan de la vecindad de su s moleculas, Hablando estrictamente, esdefinici6n se aplica a un dielectrico ideal, esto es, aquel que no muestra conductividaden presencia de un campo electrico mantenido exteriorrnente. Los dielectricosffsicos reales pueden mostrar una debil conductividad, pero en un dielectricopica la conductividad es 1020 veces rnenor que Ia de un buen conductor. Como H)2es un factor tremendo, par 1 0 general es suficiente decir que los dielectric os nson conductores.

Ciertos materiales (semiconductores, electr6litos) tienen propiedades electricaintermedias entre los conductores y los dielectricos. En 10 que respecta a SU comportamiento en un campo electrico estatico, estes materiales se comportan casi comlos conductores, Sin embargo, su respuesta transitoria es algo mas lenta (es deciestos materiales necesitan mas tiempo para alcanzar el equilibrio en un campo esuitco).

En este capitulo y en los cuatro siguientes trataremos con materiales en campoelectrostdticos. La polarizacion dielectrica, aunque sea un fenorneno basicamentesencillo, produce efectos mas bien complicados; en consecuencia pospcndremosestudio hasta el capitulo 4. Par otra parte, los conductores pueden estudiarse cobastante facilidad en termi nos de los conceptos que ya hemos desarrollado.

Como 1acarga puede moverse librernente en un conductor, aun bajo la intluencia de campos electricos muy pequefios, los portadores de carga (electronesiones) se mueven hasta que encuentran posiciones en las que no experimentanfuerza neta. Cuando lIegan al reposo, el interior del conductor debe ser una regiodonde no existe campo electrico: esto debe suceder ya que la poblaci6n de portadorede carga en el interior del conductor de ningtin modo puede agotarse y, si persistiera un campo, los portadores continuarian moviendose. Asf pues, en condic~estaticas, el campo electrico en un cO[lductor se anula. Adernas, puesto que ~enun conductor, el potencial es el mismo en todos los puntos del material conductor. Eotras palabras, en condiciones estaticas, cada conductorforma una region equipotenciadel espacio.

LEY DEGAUSSExiste una importante relacion entre la integral de la cornponente normal del campelectrico sobre una superficie cerrada y la carga total encerrada por la superficie. Esrelacion, conocida como ley de Gauss, se analizara ahara con mas detalle. EI campelectrico en el punto r debido a una carga puntual q situada en el origen es


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38 2 Electrostatics

)

E(r) = _q_ _ ! _ (2-21)4JrEor3Considere Ia integral de superficie de la componente normal de este campo electricosobre una superficie cerrada (como la que se muestra en Ia Fig. 2.4) que encierra eorigen y , en consecuencia, a la carga q:

f . q f . r . nE . n da = _~ --3 da (2-22 )s 4JrEo s rLa eantidad (r/r) n da es Ja proyeccion de da en un plano perpendicular a r. Esta areaproyectada, dividida por F , es el angulo solido subtendido por da , que se expresa condD. . De la figura 2.5 esta claro que eI angulo solido subtendido POf da es el mismo quecl subtendido por da', un elernento del area superficial de la esfera S' euyo centro estaen el origen y cuyo radio es r'. Es posible entonces eseribir

f . r . n f . r' n-3-da = -,"l-da' = 4Jrs r s r:1 0 eual demuestra que

1 . E. nda = -q-4Jr = . ! ! _1 s 4.7tEo Eo (2-23)en el caso especial descrito antes. Si q esta fuera de S , se ve en la figura 2.6 que S puededividirse en dos areas.S. y S2 ' cada unade las cuales subtiende el rnisrno angulo solido conrespecto ala eargaq. Sin embargo, paraS2el sentido de la normal es haciaq, mientras quepara SI es alejandose de q. Por consiguiente, las contribuciones de SI y S2 a la integral desuperficie son iguales y opuestas, y laintegral total se anula.Asi pues, si la superficie rodeala carga puntual q,la integral de superficie de la componente normal del campo elecuicoes qIE() ' mientras que si q esta fuera de la superficie, la integral de superficie es cera. Eenunciado anterior se aplica a cualquier superficie cerrada, aun a las llamadas reentrancesEl estudio de la figura 2.7 es suficiente para verificar que, en efecto, asf es.

Si varias cargas puntuales q I'Q2' ... , qN estan encerradas por la superfieie S, entoncese 1 campo electrico total esta dado por el primer miembro de la ecuaci6n (2-8). Cada cargasubtiende un angulo solido completo (4n:),por 1 0 que la ecuaci6n (2-23) se convierte en

1 . 1 N1 . E . n da = - 2 : q;s EO'_1 (2-24)FIGURA 2.4Superficie cerradaimaginaria S que encierruuna carga puntual enelorigen.


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2.6 Ley de Gauss 39

FIGURA 2.5Construcci6n de lasuperficie esferica S'como ayuda para Inevaluacion del lingulasolido subtendido par da./

E

Este resultado puede generalizarse-de inrnediato al caso de una distribucion de cargacon ti nua caracterizada por una densidad de carga. Sicada elemen to de carga p dv seconsidera como una carga puntual, esta contribuye con p dvlEo a la integral de super-ficie de la componente normal del campo electrico, siernpre que este dentro de lasuperficie sabre la cual estamos integrando. La integral de superficic total es enton-ces la suma de todas las contribuciones de esta forma debidas a la carga que estadentro de la superficie, ~L

El miembro de la izquierda, la integral de la componente li{~tmal del campo. 1 "electrico sobre la superficie S, se llama a vecesflujo del campo electrico a traves de S.

Si S es una superficie cerrada que limita el volurnen V,l E .n da = _ ! _ J p dv1 ' s Eo v

10 que se concce como ley de Gauss.(2-25)

FIGURA 2.6Sup erfici e cerrad a Sdividida en dossuperficies, SlY S2' cadauna de las cuales subtiendeel mismo ungula solidocan rcspecto 0 q.


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40 2 Blectrostatica

FIGURA 2.7Elernento de angulo solidoque corta la superficie Sm as de una vez.(

2.7

La ley de Gauss puede expresarse aiin en otra forma ernpleando el teorema dedivergencia. El teorema de la divergencia (1-37) establece que

T . F .n da = f V F dvss vSi este teorerna se aplica a 1a integral de superficie de la componente normalE, tendremos

1 . E .n da = f V E dv1 's v (2-2que, cuando se sustituye en la ecuaci6n (2-25), da

( V E dv = _l ( p dvJ v Ell J v (2-2La ecuaci6n (2-27) debe ser valida para todos los volumenes, es deck para cuaquier eleccion del volumen V, La unica forma en que esto puede ser cierto es qulos integrandos del primer miembro y del segundo rniernbro sean iguales. Apues, la validez de la ecuaci6n (2-27) para cualquier eleccion de V implica que

1VE=-pEo (2-2Este resultado puede considerarse como la forma diferencial de la ley de Gauss.

APLICACION DE LA LEY DE GAUSSLa ecuacion (2-28) a, mas adecuadamente, una forma modificada de esta ecuaci6que se deducira en el capitulo 4, es una de las ecuaciones diferenciales basicaselectricidad y magnetisrno. Si bien la ecuacion (2-28) es importante en este sentidla ley de Gauss tambien tiene una utilidad practica. Lo practice de la ley consisprincipalmente en proporcionar una forma muy facil de calcular los campos electricossituaciones suficientemente simetricas, En otras palabras, en algunas situacione


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2.7 Aplicacion de la ley de Gauss 41

altamente sirnetricas de considerable interes Ifsico, el campo electrico puede calcu-larse empleando la ley de Gauss en lugar de utilizar las integrates dadas anteriormen-te 0 con los procedimientos del capitula 3. La utilizacion de la ley de Gauss permiteun gran ahorro de calculos,Para que la ley de Gauss sea util en el calculo del campo electrico, debe serposible elegir una superficie cerrada tal que el campo electrico tcnga una compo-nente normal que sea cera 0 un solo valor fijo en cada punta de la superficie. Comoejemplo, considerese una Ifnea muy larga de carga, can dens

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Fundamentos de la teoria Electromagnetica_-_reitz, milford christy