Fundamentos de Espectroscopía Manual de prácticas · 2 Tabla de contenido ... Am. J. Phys. 72 (6), June 2004, ... 2. Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Física, Volumen I, Mecánica

Fundamentos de espectroscopía (Clave 1309)

Manual de prácticas

Fundamentos de

Espectroscopía

Manual de prácticas Versión 1.3

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Este manual es de distribución gratuita para los alumnos de la materia Fundamentos de Espectroscopía (Clave 1309) de

la Facultad de Química, UNAM. Ciudad Universitaria 2016.



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Tabla de contenido

Reglamento Interno de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de Física del Departamento

de Física y Química Teórica ...................................................................................................................................... 3

Práctica 1. Ley de Hooke y movimiento armónico simple ........................................................................... 2

Práctica 2. El péndulo simple ................................................................................................................................... 4

Práctica 3. Ondas transversales en una cuerda ................................................................................................ 8

Práctica 4. Leyes de reflexión y refracción de la luz .................................................................................... 10

Práctica 5. Índice de refracción de líquidos .................................................................................................... 12

Práctica 6. Interferencia de Young ..................................................................................................................... 14

Práctica 7. La polarización de la luz ................................................................................................................... 17

Prácticas optativas .................................................................................................................................................... 20

Optativa 1. Movimiento armónico subamortiguado ................................................................................... 20

Optativa 2. Fenómenos ondulatorios en una cuba de ondas ................................................................... 23

Optativa 3. Determinación de la constante de Planck ................................................................................ 26

Optativa 4. Óptica sin lentes .................................................................................................................................. 28

Taller de simetría ....................................................................................................................................................... 30

I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetría ...................................................................... 30

Taller de simetría molecular ................................................................................................................................. 36

II. Algunas implicaciones de la simetría ........................................................................................................... 36

Taller de simetría molecular ................................................................................................................................. 41

III. Tablas de caracteres .......................................................................................................................................... 41



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Reglamento Interno de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de Física del Departamento de Física y Química Teórica

ARTÍCULO 1o. El presente reglamento es complementario del Reglamento de Higiene y Seguridad para los Laboratorios de la Facultad de Química de la UNAM y es aplicable a los laboratorios de Física de la propia Facultad. Su observancia es obligatoria para el personal académico, alumnos y trabajadores administrativos y no excluye otra reglamentación que resulte aplicable. ARTÍCULO 2o. Todas las actividades experimentales que se realicen en los laboratorios deberán estar supervisadas por un responsable, el cual será designado por la jefatura de la Sección de Física Experimental. ARTÍCULO 3o. El profesor deberá identificar los riesgos específicos

de cada práctica e indicar las medidas y procedimientos de seguridad adecuados, especialmente al usar equipo energizado y láser. ARTÍCULO 4o. Cualquier medida y/o procedimiento no considerado en el presente Reglamento queda sujeto a lo indicado en el Reglamento de Higiene y Seguridad para Laboratorios de la Facultad de Química. Manual de Seguridad para Trabajar en los Laboratorios de Física a) Utilizar instrumentos o herramientas provistas de cordones de potencia con tres alambres de conexión a tierra física. b) Cortar la fuente de alimentación antes de hacer conexiones y desconexiones. c) Revisar todos los cordones y terminales antes de emplearlos, verificando

que no estén dañados y en caso de que alguno lo estuviera informar a quien corresponda. d) Evitar pararse en pisos metálicos o húmedos al manejar equipo eléctrico. e) No manejar instrumentos eléctricos cuando la piel esté húmeda. f) No llevar ropa suelta ni cabello largo y suelto cerca de maquinaria en movimiento. g) Cuidar los cautines y soldaduras eléctricas cuando estén calientes. h) Cuidar siempre el último cable o punta de prueba al potencial más alto. i) No anular ningún dispositivo de seguridad mediante la instalación de corto circuito o fusibles de más amperaje al especificado por el fabricante.

Artículo Transitorio Único El presente Reglamento, una vez aprobado por el Consejo Técnico, entrará en vigor el día siguiente de su publicación en la Gaceta de la Facultad de Química. Aprobado por el H. Consejo Técnico el 28 de abril de 1994.



Práctica 1. Ley de Hooke y movimiento armónico simple

Fuente: Manual de prácticas para fundamentos de espectroscopía. Proyecto PAPIME PE10110.

Introducción

Algunos materiales se estiran cuando se les aplica una fuerza, tal es el caso de un resorte o de

una liga; sin embargo, no en todos los materiales elásticos el estiramiento es proporcional a la

fuerza. Cuando la proporcionalidad se cumple para un material, el movimiento puede

describirse clásicamente como un oscilador armónico simple, cuya ecuación puede expresarse

como:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑥 = 0 (Ec. 1)

donde la literal k corresponde a la constante de fuerza del resorte y m a la masa acoplada al

mismo. Debido al ángulo de fase 𝜙, la solución a esta ecuación puede expresarse en términos

de funciones seno o coseno.

𝑥 = 𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) (Ec. 2)

Cuyo término xm es la máxima amplitud de desplazamiento u oscilación, 𝜔 es la frecuencia

angular igual a 𝜔 = √k/m. Dado que esta función se repite después de un lapso de tiempo 2π/𝜔

definida como el período T en el que realiza una oscilación, ésta puede definirse como:

𝑇 =2π

ω= 2π√

m

k (Ec. 3)

Por lo que ésta depende de la masa acoplada al resorte. Cabe mencionar que las vibraciones de

las moléculas al analizarse por espectroscopía infrarroja pueden describirse a través de un

movimiento armónico simple. En el caso más simple de una molécula diatómica, ésta se puede

modelar como dos masas (una de mayor peso que la otra) unidas por un resorte cuya oscilación

será generada por una perturbación en el sistema.



3

Procedimiento

Establezca un sistema como el que se muestra en la figura 1 a fin de efectuar las mediciones de

elongación del resorte por cada masa acoplada, de acuerdo a la ley de Hooke, y período de

oscilación del mismo. Considere una amplitud de

oscilación pequeña para minimizar los efectos de

torsión del resorte durante su elongación. Recuerde que

dicha fuerza adicional produce efectos que no se han

considerado en la deducción del movimiento armónico

simple (Ec. 2).

Utilice al menos 10 masas distintas para efectuar la

medición de la elongación y posteriormente el período

de oscilación del resorte. Para la medición del período

de oscilación del resorte realice al menos 10 mediciones

del período para asociar una incertidumbre tipo A con

la estadística suficiente.

Tratamiento de datos

Realizar una gráfica de fuerza F (N) versus elongación x (cm) y determinar la constante de

restitución mediante un ajuste de mínimos cuadrados.

Construir una gráfica de período T(s) versus masa m (kg) y determinar si es una relación

lineal o no. Analizar la dependencia descrita en la teoría. Establecer el mecanismo por el

cual se puede linealizar la gráfica. Una vez que los pares de datos presentan una tendencia

lineal, realizar un ajuste por cuadrados mínimos a fin de obtener la constante de fuerza del

resorte.

Comparar los métodos por los que se ha obtenido la constante de fuerza del resorte y

comentar al respecto.

Referencias

1. Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane. Physics. John Wiley & Sons, Inc. Volumen

1, Cuarta Edición. 1992. p. 318.

2. Paul A. Tipler. Física. Tomo I, Segunda Edición. Editorial Reverte, S.A. 1991, p. 379.

3. Joseph Christensen, An improved calculation of the mass for the resonant spring pendulum,

Am. J. Phys. 72 (6), June 2004, p. 818

4. Ernesto E. Galloni and Mario Kohen, Influence of the mass of the spring on its static and

dynamic effects, Am. J. Phys. 47 (12), December 1979, p. 1076

5. Eduardo E. Rodríguez, Gabriel A. Gesnouin, Effective mass of an oscillating spring, The

Physics Teacher, Vol. 45, February 2007, p. 100

m

Figura 1. Sistema masa-resorte



4

Práctica 2. El péndulo simple


Introducción

Un ejemplo importante del movimiento periódico es el del péndulo simple. Si el ángulo formado

por la cuerda con la vertical no es demasiado grande, el movimiento de la “lenteja” del péndulo

es armónico simple.

Figura 1. Conjunto de fuerzas que actúan en un péndulo simple.

Considérese un objeto de masa m situado en el extremo de una cuerda de longitud L, como se

muestra en la figura 1. Las fuerzas que actúan sobre el objeto son la de la gravedad 𝑚�⃗� y la

tensión T⃗⃗⃗ de la cuerda. La fuerza tangencial es −𝑚�⃗�𝑠𝑒𝑛𝜃 y está en el sentido en el que

disminuye el ángulo . Sea s la longitud de arco medido desde el punto inferior del arco. La

longitud del arco está relacionada con el ángulo medido desde la vertical por:

𝑠 = 𝐿𝜃 (Ec. 1)

Donde la aceleración tangencial es d2s/dt2. La componente tangencial de ∑ 𝐹 = 𝑚�⃗� es ∑ 𝐹 =

−𝑚�⃗� 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑑2𝑠

𝑑𝑡2

Es decir

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2= −�⃗�𝑠𝑒𝑛𝜃 = −�⃗�𝑠𝑒𝑛 (

𝑠

𝐿) (Ec. 2)

Si s « L, el ángulo = s/L es pequeño y puede aproximarse sen ⋍ . Utilizando sen(s/L) ⋍ s/L

en la ecuación (2) se obtiene:



5

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2= −�⃗�

𝑠

𝐿 (Ec. 3)

Se ve que en el caso de ángulos pequeños para los cuales la aproximación sen ⋍ es válida, la

aceleración es proporcional al desplazamiento. El movimiento del péndulo es armónico simple

para desplazamientos pequeños. Si se escribe 2 en lugar de g/L, la ecuación (3) se transforma

en:

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2= −𝜔2𝑠 (Ec. 4)

La solución de esta ecuación es:

𝑠 = 𝑠0 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) (Ec. 5)

En donde s0 es el desplazamiento máximo medido a lo largo del arco de circunferencia. El

período del movimiento es

𝑇 = 2𝜋

𝜔= 2𝜋√

𝐿

𝑔 (Ec. 6)

El movimiento de un péndulo simple es armónico simple sólo si el desplazamiento angular es

pequeño de modo que sen ⋍. El movimiento de un péndulo simple en el caso de ángulos

grandes no es armónico simple. Sin embargo, el movimiento es periódico aunque el período ya

no sea independiente de la amplitud, como en el caso del movimiento armónico simple.

Cuando se tienen ángulos de oscilación grandes se sabe que sen <. La fuerza que acelera a la

masa hacia el equilibrio tiene por valor 𝑚�⃗�𝑠𝑒𝑛𝜃; este valor es menor que mg⃗⃗cosθ, que

produciría el movimiento armónico simple. Así pues la aceleración con ángulos grandes es

menor que la que se presentaría en el caso del movimiento armónico simple y el período resulta

ligeramente más largo. Omitiendo los detalles matemáticos y considerando ángulos de

oscilación grandes, el período puede expresarse como:

𝑇 = 𝑇0 [1 +1

22𝑠𝑒𝑛2 (

𝜃0

2) +

1

22

32

42𝑠𝑒𝑛4 (

𝜃0

2) + ⋯ ] (Ec. 7)

En donde 0 es el desplazamiento angular máximo y T0 = 2 (L/g)1/2 es el período

correspondiente al límite de ángulos pequeños.



6

Procedimiento

Construya un péndulo simple tal como se muestra en la figura 2. Aquí se utilizará una

fotocompuerta electrónica que hará la medición del período de oscilación del péndulo. Aunque

en la gráfica no se muestra, es conveniente utilizar un péndulo bifilar para mantener al péndulo

oscilando en un plano y no se impacte la “lenteja” en la fotocompuerta electrónica.

Para efectos de comparación entre los resultados experimentales y las predicciones de la teoría

conviene iniciar las mediciones con un ángulo menor o igual a 10°.

Utilice al menos 10 longitudes distintas para el péndulo (se sugiere longitudes mayores a 1 m)

y en cada caso registre 10 parejas de valores (L, T) para hacer una comparación con la teoría y

también comparaciones entre datos experimentales en una misma gráfica.

Considere que al efectuar las mediciones correspondientes a > 10° tendría que realizar otro

tipo de ajustes como la interpolación mediante splines cúbicos o interpolación de Lagrange,

pero dichos métodos numéricos están fuera del alcance de este curso.

Figura 2. Arreglo experimental para determinar el período de oscilación de un péndulo

simple.


Realice una gráfica del período T (s) versus la longitud de la cuerda, L (m) y determine si es

una relación lineal o no. Analice la dependencia descrita en la teoría. Establezca el

mecanismo por el cual puede linealizar la gráfica.

Determinar el valor de la aceleración gravitacional.



7

Referencias

1. Paul A. Tipler. Física. Segunda edición, Tomo I, Editorial Reverté, S. A., 1991, p. 387-393.

2. Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Física, Volumen I, Mecánica. Addison-Wesley

Iberoamericana, S. A., 1986, p. 366-369.

3. Salvador Gil, Eduardo Rodríguez. Física re-Creativa, Prentice Hall, 2001, p. 341-342.



8

Práctica 3. Ondas transversales en una cuerda


Introducción

Las oscilaciones que se presentan en una cuerda tensa que vibra se pueden estudiar si se

conocen algunas características como la tensión a la que está sometida y su densidad lineal de

masa (o masa por unidad de longitud).

Las ondas que se producen en una cuerda son ondas transversales que se propagan con una

velocidad dada por

𝑣 = √𝑇

𝜇 (3.1)

donde T es la tensión a la que está sometida la cuerda y µ es la densidad lineal de masa (o masa

por unidad de longitud. Si se miden estas variables es posible calcular la velocidad de

propagación.

Por otro lado, también es posible determinar la velocidad de propagación cuando se producen

ondas estacionarias y se utiliza la relación

𝑣 = 𝜆𝜈 (3.2)

donde ν es la frecuencia de oscilación y la longitud de onda. Debe notarse que la longitud de onda es dos veces la distancia entre nodos sucesivos. Véanse principalmente las referencias 2,

3, 6 y 7.

Procedimiento Experimental

En el almacén del laboratorio se dispone de un equipo con el que es posible generar ondas

estacionarias en una cuerda. Siga las instrucciones de armado del equipo para generar las

ondas.

Dado que el equipo no cuenta con un medidor de la frecuencia de oscilación de la cuerda, será

conveniente utilizar un estroboscopio para determinar dicha frecuencia.

También es conveniente fijar papel milimétrico sobre la mesa de trabajo y debajo de la cuerda para facilitar la lectura de la amplitud de oscilación de la cuerda. De ser posible, vale la pena

tomar fotografías de la cuerda estática y luego durante las oscilaciones.

La medición de la masa de la cuerda debe hacerse con una balanza analítica para determinar la

densidad lineal de masa.

Es conveniente variar la frecuencia de la corriente manteniendo una tensión fija. Después se

puede variar la tensión suspendiendo pesos distintos en un extremo de la cuerda y

manteniendo el otro fijo, como se ve en la figura 1.

Para cada tensión deben hacerse 10 cambios de frecuencia y cambiar 10 veces la tensión, por

lo menos.



9

Figura 1. La cuerda de longitud L se mantiene tensa al aplicar una masa m en uno de sus

extremos mientras el otro se mantiene fijo.

Tratamiento de datos y discusión

1. Analicé la relación de los modos de vibración con la longitud de la cuerda y con la tensión

de la cuerda.

2. Establezca el número de nodos para cada tensión y longitud, y diga a que armónico

corresponde.

3. Determine la longitud de onda, y la velocidad de propagación de la onda para cada caso.

4. Establezca la relación frecuencia-masa a través de una gráfica.

5. Realicé una gráfica de frecuencia al cuadrado versus masa para el primer, segundo y tercer

armónico observado, y determine la densidad lineal de la cuerda a partir de la pendiente.

Referencias

1. Experimentos de Física, Harry F. Meiners, Walter Eppenstein, Kenneth H. Moore,

Editorial Limusa, México, 1980, ISBN 968-18-0432-5, p. 317-320.

2. Wave Phenomena, Dudley H. Towne, Dover Publications, Inc., 1967, ISBN 0-486-65818-

X, p. 5-6 y 322-327.

3. Física, Volumen II, Mecánica, Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Addison-Wesley

Iberoamericana, S. A., 1986, ISBN 0-201-00279-5, p. 712-716.

4. Physics, Vol 1, Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, John Wiley & Sons, Inc.

1992, ISBN 0-471-55917-2, p. 423-424.

5. Física re-Creativa, Experimentos de Física, Salvador Gil y Eduardo Rodríguez, Prentice

Hall, 2001, Pearson Education S. A., p. 170-172.

6. Timothy C. Molteno, Nicholas B. Tufillaro, An experimental investigation into the

dynamics of a string, Am. J. Phys., 72 (9), September 2004, p. 1157

7. Michael Sobel, The Standing Wave on a String as an Oscillator, The Physics Teacher. Vol.

45, March 2007, p. 137



10

Práctica 4. Leyes de reflexión y refracción de la luz


Introducción

Cuando un haz de luz incide a un ángulo Ө1 con respecto a la normal de una superficie que

separa dos medios, parte de la misma se transmite y parte se refleja, como se observa

esquemáticamente en la figura 1. En cada uno de los medios, la luz se propaga con velocidades

diferentes.

Figura 1. Reflexión y refracción de la luz.

Como puede observarse, la fracción que se transmite a través de un medio con índice de

refracción n ’, experimenta una desviación con respecto a la dirección del haz incidente y se

transmite entonces a un ángulo Ө3 con respecto a la normal. A este fenómeno se le conoce como

refracción. Por otra parte, la fracción que se refleja lo hace a un ángulo Ө2 que se localiza en el

cuadrante opuesto al del ángulo de incidencia.

En este experimento se pretende establecer relaciones entre los ángulos de incidencia, reflexión

y refracción, de tal manera que sea posible efectuar predicciones al respecto.

Procedimiento

Utilizando una “D” como en la figura 2, haga incidir un haz de luz, de preferencia el de un láser,

con distintos ángulos de incidencia, empezando con -90° y terminando con 90° con respecto a

la normal al lado plano de la “D”, con incrementos de 5°. Para cada ángulo de incidencia mida

tanto el ángulo de reflexión como el de refracción.



11

Figura 2. Dispositivo experimental


Construir una tabla en la que la variable independiente sea el ángulo de incidencia y la

variable dependiente sea el ángulo de reflexión en un caso y el de refracción en otro.

Construir una gráfica con los valores obtenidos para la reflexión de la luz, y otra gráfica para

los datos correspondientes a la refracción.

Construir una tabla en la que la variable independiente sea la función trigonométrica seno

del ángulo de incidencia y la variable dependiente sea la función seno del ángulo de

reflexión en un caso y seno del ángulo de refracción en el otro.

A partir de las gráficas anteriores, establecer las relaciones matemáticas que relacionen al

ángulo de reflexión como función del ángulo de incidencia y al ángulo de refracción también

como función del ángulo de incidencia.

Utilizando el método de cuadrados mínimos, determinar el índice de refracción

correspondiente al material del que está hecho la “D”.

A partir del índice de refracción obtenido, indicar el posible material del que está hecha la

“D”

Actividad adicional (opcional)

Haciendo incidir la luz de un láser sobre la parte curva de la “D”, determinar el ángulo crítico

para el cual se presenta la reflexión total interna dentro del material que se está analizando.

Estas mediciones requieren de mucho cuidado para determinar apropiadamente el ángulo

crítico, ya que no resulta tan fácil distinguir en qué momento se presenta la reflexión total

interna.

Referencias

1. Eugene Hetch, Alfred Zajac. Óptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-105.

2. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,

Inc., 1992, p. 904-909.




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Práctica 5. Índice de refracción de líquidos

Autor(es): Ivonne Rosales Chávez, Elisa Collado Fregoso.

Introducción

El espectro de ondas electromagnéticas abarca una amplia gama de energías que van desde

ondas poco energéticas como las de radio, hasta ondas de alta energía como los rayos gamma.

El estudio del comportamiento y propiedades de una pequeña porción del espectro, la luz

visible, se lleva a cabo por la óptica. En un principio la óptica realizaba el estudio de algunos de

los fenómenos de la luz como la reflexión y refracción a través de modelos geométricos. En

dichos modelos la óptica geométrica describe la trayectoria de la luz como un rayo que se

propaga en línea recta, describiendo los fenómenos de reflexión y refracción de la luz como un

rayo el que al chocar con una superficie rebota o cambia de dirección al atravesar la superficie.

La figura 1 describe la reflexión de la luz, donde la línea DH

es normal a la superficie AC en el punto B. En tanto que θ

corresponde al ángulo entre el rayo incidente EB y la

perpendicular DB y θ‘ al rayo reflejado BF. En el caso de la

reflexión el ángulo θ equivale al ángulo θ‘(Ley de la

reflexión).

Para el fenómeno de la refracción su trayectoria se describe

por el cambio de dirección del rayo incidente EB, al pasar la

superficie cuyo ángulo ϕ corresponde a la inclinación del

rayo BG, siendo éste menor que θ.

La desviación de la luz al pasar del medio aire al agua (o de

cualquier otra sustancia líquida) se puede calcular por

medio de la ley de Snell al medir el ángulo de reflexión y

refracción de la sustancia (agua). La ley de Snell se basa en

la propiedad de un material, índice de refracción (n) de los materiales por los que pasa el rayo

de luz.

La ley de Snell establece la relación entre el rayo incidente y el rayo refractado:

𝑆𝑒𝑛𝜃

𝑆𝑒𝑛𝜙=

𝑣1

𝑣2=

𝑛2

𝑛1 (𝐸𝑐. 1)

donde θ es el ángulo incidente, ϕ el ángulo refractado, v1 y v2 la velocidad de la luz en los

materiales o medios, y n1 y n2 los índices de refracción de éstos. No obstante, la ley de Snell

considera la medición de los ángulos del rayo incidente y refractado. Para la determinación del

índice de refracción es posible calcular éste sólo considerando una serie de mediciones de

longitud y una aproximación de ángulo pequeño como lo refiere Newburgh et al.

Figura 1. Geometría de la

reflexión y refracción



13

La determinación del índice de refracción constituye una herramienta sencilla de identificación

de algunos materiales solidos o líquidos por medio de la trayectoria de un haz de luz que pasa

a través de éstos.

Procedimiento y tratamiento de datos

Consultar el artículo “Using the small-angle approximation to measure the index of refraction

of water”. En: http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/tpt/38/8/10.1119/1.1329088

Referencias

1. Gerald Rottman. The geometry of light. Galileo´s telescope, Kepler´s optics. Publicado por

Gerald Rottman, Baltimore, Maryland. 2008, p. 9-10.

2. Ronald Newburgh, Using the small-angle approximation to measure the index of refraction

of water, The Physics Teacher. 38 (2000) p. 478-479.

3. Nanoprofessor. Introducción a ciencia y tecnología de nanoescala. NanoInk, Inc. 2011, p. 96.

http://scitation.aip.org/content/aapt/journal/tpt/38/8/10.1119/1.1329088



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Práctica 6. Interferencia de Young


Introducción

El principio de propagación rectilínea de la luz ha sido fundamental para la descripción de los

fenómenos analizados en la óptica geométrica; gracias a ese principio se ha podido reemplazar

las ondas luminosas con los rayos que representan las direcciones de propagación de los frentes

de onda y obtener relaciones sencillas que dan cuenta, con buena aproximación, del

comportamiento de algunos sistemas ópticos.

Sin embargo, ya desde el siglo XVII Grimaldi había observado que la luz tenía la capacidad de

bordear obstáculos de la misma forma como lo hacen las ondas que se propagan sobre la

superficie de un estanque; este hecho contradecía el principio de propagación rectilínea y

reforzaba la teoría acerca de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Thomas Young, en el año 1803, realizó el primer experimento típicamente ondulatorio al

producir el fenómeno de interferencia entre las ondas generadas en dos rejillas.

Procedimiento

Interferencia producida por una rejilla.

a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromática sobre una rejilla.

b. Colocar una pantalla paralela a la rejilla, en donde se formará una franja iluminada que

puede interpretarse como la proyección geométrica de la rejilla.

c. Variar el ancho de la rejilla de más amplia a más estrecha de tal forma que pueda observar

los cambios que se producen en la serie de franjas que se proyectan en la pantalla. (El ancho

de la franja de mayor intensidad del patrón de difracción, disminuye según la rejilla se haga

más estrecha).

d. Localizar el ancho de la rejilla (muy estrecha), en donde la zona de iluminación se amplía

en lugar de disminuir, éste fenómeno es el llamado difracción y evidencia que la luz no se

propaga en forma rectilínea.

e. Determinar el ancho de la rejilla en que ocurre la difracción.

f. Realizar la medición del ancho de la franja más intensa a diez distancias de la pantalla a la

rejilla.

Interferencia producida por dos rejillas.

a. Hacer incidir luz procedente de una fuente puntual monocromática, sobre dos rejillas (S1 y

S2) las cuales deben tener anchos iguales.

b. Colocar una pantalla (P) paralela a las dos rejillas, lo suficientemente alejada de las rejillas,

figura 1.



15

Figura 1. Interferencia producida por dos rejillas, el punto indica la fuente de luz

monocromática, en tanto que S1 y S2 corresponden a las rejillas (Slits).

a) Medir la distancia entre los extremos más separados de las rejillas S1 y S2, y la distancia de

separación entre las rejillas y la pantalla (D), así como la distancia del centro de la pantalla

al punto (x), Figura 2.

Figura 2. Dos ondas que se superponen en el punto P viajando en líneas de propagación

paralelas.

Los caminos ópticos recorridos por las ondas paralelas generadas en las rejillas S1 y S2 para

llegar al punto P son, respectivamente, r1 y r2. La diferencia de fase depende únicamente de la

diferencia de caminos ópticos, o sea, la distancia entre S2 y el punto M, que puede estimarse

como: |r2 - r1| = S2M = d (Sen Ө), en dónde Ө es el ángulo entre el eje óptico del sistema, FO, y



16

la línea FP paralela a las trayectorias de las ondas, bajo ciertas condiciones, sen Ө ≅ tan Ө = x /

D.

b) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos brillantes.

c) Realizar las mediciones de: d, D y x, para diferentes puntos oscuros.

d) Medir el ancho de la franja más brillante para diferentes distancias de D.


Interferencia producida por una rejilla.

– Compare el ancho de la rejilla con de la longitud de onda de la luz incidente.

– Realice una gráfica distancia rejilla-pantalla versus ancho de la franja más intensa.

Interferencia producida por dos rejillas.

A partir de los valores de d, D y X para puntos brillantes y oscuros, determine las diferencias de

caminos ópticos para los diferentes puntos. ¿Qué relación existe entre las diferencias de

caminos ópticos y el tipo de interferencia que observa?

Referencias

1. Eugene Hetch, Alfred Zajac. Óptica. Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 64-105

2. David Halliday, Robert Resnick, Kenneth S. Krane. Physics, Volume 2, John Wiley & Sons,

Inc., 1992, p. 904-909.




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Práctica 7. La polarización de la luz


Introducción

Los polarizadores para ondas electromagnéticas tienen determinadas características de diseño,

según la longitud de onda de que se trate. En el caso de microondas con una longitud de onda

de unos pocos centímetros, un buen polarizador es una serie de alambres conductores paralelos

muy próximos entre sí y aislados unos de otros. Los electrones tienen libertad de movimiento

a lo largo de los alambres conductores, y se mueven en respuesta a una onda cuyo campo E⃗⃗⃗ es

paralelo a los alambres. Las corrientes resultantes en los alambres disipan energía por

calentamiento de I2R, En consecuencia, una onda que atraviese un filtro de esta naturaleza

quedará polarizada principalmente en la dirección perpendicular a los alambres [1].

El filtro polarizador más común para la luz visible es un material conocido por su nombre

comercial de Polaroid, el cual se utiliza extensamente en fabricación de lentes de Sol y filtros

polarizadores para lentes fotográficos.

Inventado originalmente por el científico estadounidense Edwin H. Land, este material contiene

sustancias que presentan dicroísmo, una absorción selectiva en la que uno los componentes

polarizados se absorbe mucho más intensamente que el otro. Un filtro Polaroid transmite el

80% o más de la intensidad de las ondas polarizadas paralelamente a cierto eje del material,

conocido como eje de polarización, pero sólo el 1% o menos de las ondas polarizadas

perpendicularmente a este eje. En cierto tipo de filtro Polaroid, unas moléculas de cadena larga

contenidas el filtro están orientadas con su eje perpendicular al eje de polarización; estas

moléculas absorben preferentemente la luz que está polarizada a lo largo de ellas, de forma

muy parecida a los alambres conductores de un filtro polarizador para microondas [1, p. 1263].

Procedimiento

En esta práctica se usará la luz proveniente de la pantalla de una computadora portátil como

fuente de luz ya polarizada, ver el diseño del sistema en la figura 1.



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Utilizar una computadora portátil y

ajustar el brillo a la máxima intensidad y el

máximo contraste (leer el manual de la

computadora para lograrlo). Como primer

ejercicio, utilizar cualquier programa (un

editor de texto o de imágenes puede ser

apropiado) de la computadora que

presente alguna región de la pantalla en

“blanco”.

Con el sensor de luz (light sensor) [2]

conectado a una interfase colectora de

datos Vernier Lab Pro [3] y ésta a una

computadora en la que tenga instalado el

programa Logger Pro 3.4.6 [3] para la

detección de la luz, colocar el detector en diferentes partes dela región en “blanco” sobre la

pantalla (procurar hacer la menor presión posible con el detector sobre la pantalla de la

computadora sobre la que se hará el análisis pues podría dañarla), ver la figura 2. Observar y

anotar el valor registrado por el detector en cada sitio en el que ha colocado la sonda de

detección.

A continuación interponer un filtro

polarizador entre la pantalla de la

computadora y el sensor de luz, registrar el

valor mostrado por el sensor y hacer una

rotación en el polarizador (se sugiere hacer la

rotación cada 5°), ver las figuras 3.

Figura 1. Arreglo experimental para efectuarlas mediciones del estado de polarización de la luz proveniente de la pantalla una computadora portátil

Figura 2. Se coloca el sensor de luz sobre la pantalla de la computadora, procurando evitar la entrada de luz de otras fuentes



19

Figura 3. (A) Entre la pantalla de la

computadora y el sensor de luz se interpone un

filtro polarizador para verificar el estado de la

polarización de la luz emitida por la

computadora. (B) Al rotar el polarizador se

pueden observar los cambios en la intensidad

de la luz transmitida a través del mismo.

En la figura 4 se muestra una sección de la pantalla en la

que aparece el valor de la intensidad luminosa

registrada por el sensor de luz.

Figura 4. En la parte inferior izquierda de la fotografía

puede verse la lectura de una de las mediciones hechas

con el sensor de luz. También puede apreciarse parte de

la pantalla del programa activo con el que se registran

las mediciones.


Analizar los datos obtenidos, trazar una gráfica y escribir las conclusiones correspondientes.

Referencias

1. Física Universitaria con Física Moderna, Sears, Zemansky, Young, Pearson Education Inc.

2. Vernier, usa un fotodiodo de silicio Hamamatsu 1133.

3. Introduction to Molecular Spectroscopy, G. M. Barrow, McGraw-Hill Book Company, Inc.,

1962, p. 61-82.

4. Wave Phenomena, Dudley H. Towne, Dover Publications, Inc. New York, 1967, p. 196-197.

5. Óptica, E. Hetch, A. Zajac, Fondo Educativo Interamericano, S. A., 1977, p. 44, 45, 91, 95, 485.

6. Ondris-Crawford R., Crawford G. P., Doane J. W., “Liquid Crystals, the phase of the future”,

Phys. Teach. 30, 332 (1992).

7. Fakhruddin H., “Some Activities with Polarized Light from a Laptop LCD Screen”, Phys.

Teach. 46, 229 (2008)

8. Ciferno T. M., Ondris-Crawford R. J., Crawford G. P., “Inexpensive Electro optic experiments

on Liquid Crystals Displays”, Phys. Teach. 33, 104 (1995).

(A) (B)



20

Prácticas optativas

Optativa 1. Movimiento armónico subamortiguado

Autor: Elizabeth Hernández Marín

Introducción

En la práctica 1 de este manual se estudió, en principio, el modelo de un sistema que oscila

únicamente bajo la acción de una fuerza restauradora lineal1, o considerando que el sistema es

afectado por alguna otra fuerza no conservativa (por ejemplo, fricción) despreciable dentro de

los límites temporales del experimento. Sin embargo, en ciertos sistemas oscilatorios se pueden

encontrar fuerzas que retardan el movimiento. Una consecuencia es que la energía mecánica

del sistema disminuye en el tiempo y se dice que el movimiento está amortiguado. 1

La ecuación de movimiento de un sistema oscilatorio bajo la influencia de una fuerza

retardadora puede expresarse como: 1

𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑘𝑥 + 𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0 (Ec. 1)

donde la literal k corresponde a la constante de fuerza del resorte y m a la masa acoplada al

mismo. Los primeros dos términos de la expresión del lado derecho de la ecuación 1

corresponden al movimiento armónico simple ya estudiado. Notar que se agrega el término

debido a la fuerza retardadora �⃗⃗� = 𝑏�⃗� donde b es una constante llamada coeficiente de

amortiguamiento. La solución a la ecuación 1 es

𝑥 = 𝑥𝑚𝑒−(𝑏 2𝑚⁄ )𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) (Ec. 2)

Cuyo término xm es la máxima amplitud de desplazamiento u oscilación. La frecuencia angular

𝜔 es igual a:

𝜔 = √𝑘

𝑚− (

𝑏

2𝑚)

2

= √𝜔𝑜2 − (

𝑏

2𝑚)

2

(Ec. 3)

es decir 𝜔o es la frecuencia de oscilación en ausencia de la fuerza retardadora.

En esta práctica se estudiará un movimiento armónico subamortiguado, es decir que el sistema

oscila con una amplitud que decrece lentamente en función del tiempo. 2

Procedimiento

Antes de llegar al laboratorio consiga cualquier aparato que le permita grabar video y asegúrese

de tenerlo a la mano al momento de desarrollar la práctica.



21

Es recomendable que lleve al laboratorio una laptop con el programa Tracker3 previamente

instalado y probado.

En el laboratorio establezca un sistema como el que se

muestra en la figura 1. El vaso de precipitados deberá

tener agua suficiente para cubrir la masa sujetada al

resorte cuando el sistema está en equilibrio.

Inicie la videograbación del movimiento oscilatorio

segundos antes del inicio de dicho movimiento..

Considere una amplitud de oscilación pequeña para

minimizar los efectos de torsión del resorte durante su

elongación. Una vez que el sistema deje de oscilar,

finalice la videograbación. Repita un par de veces el

experimento.

Descargue los videos a la laptop e inicie el análisis de

dicho video con el programa Tracker. Es posible

encontrar en internet varios tutoriales para usar

Tracker.

Figura 1. Sistema masa-resorte

La figura 2 muestra un ejemplo del estudio del video que viene incluido con la instalación del

programa (archivo ball_oil.mov).

Figura 2. Uso de Tracker para analizar el video ball_oil.mov que se incluye en la instalación del

programa.



22

Analice los videos que obtuvo para determinar con cuál de los experimentos se trabajará y

finalmente, importar los datos de desplazamiento como función del tiempo a una hoja de

cálculo


Con los datos obtenidos, realizar una gráfica de desplazamiento (y) versus tiempo (t).

Probablemente sea necesario borrar los primeros y los últimos datos para lograr una

representación adecuada del movimiento subamortiguado. La gráfica inicial de todos los

datos determinará los datos que no contribuyan al estudio.

Una vez determinado el intervalo de datos que se van a emplear, asegurarse de corregir el

tiempo para que la gráfica final inicie en t = 0 s.

Igualmente asegúrese de corregir los valores de desplazamiento y para lograr dentro de lo

posible que el movimiento oscile simétricamente alrededor de y = 0 cm (o mm).

Una vez que se tenga la gráfica final, determinar la frecuencia de oscilación del sistema. ¿Es

la frecuencia de oscilación constante durante todo el movimiento, o la frecuencia de

oscilación también disminuye con el paso del tiempo?

Realizar una nueva gráfica con puntos (y, t) correspondientes a las crestas del movimiento

oscilatorio. Confirmar si esta gráfica sigue un modelo del tipo 𝑥𝑚𝑒𝛾𝑡.

En caso de que la gráfica anterior sí se pueda modelar con el patrón exponencial, determine

el valor de 𝑥𝑚 y de 𝛾.

Se puede cambiar la viscosidad del líquido contenido en el vaso de precipitados para

estudiar el efecto en el término 𝛾.

Referencias

1. Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Física para ciencias e ingeniería. Physics. Volumen

1, Séptima Edición. Cengage Learning Editores, México, 2008. p. 436.

2. Paul A. Tipler, Gene Mosca. Physics for scientists and engineers. Volumen 1, Quinta Edición.

W. H. Freeman and Co. Nueva York, 2004, p. 445.

3. www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/



23

Optativa 2. Fenómenos ondulatorios en una cuba de ondas

Autor: Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.

NOTA. Para mayor información sobre el procedimiento a seguir en esta práctica consulte el

“Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994”.

Introducción

Una lente es un sistema que consiste en dos (o más) superficies refractoras, donde al menos

una es curva. Las lentes se encuentran su mayor aplicación en la óptica en la cual se usan para

determinar propiedades de la luz. Sin embargo, aunque en la óptica tienen su mayor utilidad no

son las lentes exclusivas de ella, así, existen lentes para microondas, ondas superficiales, ondas

de radio, etc. El estudio de las lentes se remonta a la época de Ptolomeo, ya que los griegos

conocían la magnificación (o aumento de los objetos) al ser vistos a través de esferas de vidrio

llenas de agua. Así como las lentes uno de los elementos ópticos que se conoce desde hace miles

de años son los espejos. Un espejo es más sencillo que una lente, su uso se basa en que con él se

puede reflejar una onda. Así como las lentes existen espejos para todo tipo de ondas, desde los

rayos X hasta las olas de mar, por ejemplo. Cabe resaltar que para conformar un espejo

únicamente se necesita de una superficie y para un lente se necesitan mínimo dos superficies

Tanto las lentes como los espejos tienen clasificaciones, para el caso de las lentes tenemos:

lentes convexas y lentes cóncavas. Y para los espejos se tienen convexos, cóncavos y planos.

Las lentes convexas tiene la propiedad de ser convergentes, esto es, de hacer que un haz de

ondas se concentre en un punto después de pasar por la lente. Las lentes convexas o

convergentes se clasifican principalmente en tres tipos: biconvexas, planoconvexas y concavo-

convexas.

Procedimiento

El primer paso de la práctica es nivelar la cuba de ondas, como se muestra en la figura 1, para

determinar el número Af. Primero colocar el pliego de papel e iluminar el área de trabajo

colocando la lámpara al centro de donde se requiere. Después se coloca el modelo de lente (o

espejo) en el centro, de tal forma que las ondas incidan paralelamente al eje transversal de la

lente, la lente queda cercana al perturbador y debe cubrirse con la barrera la zona exterior de

la lente, para evitar que el paso de ondas a la región de análisis como se muestra en la figura 2.



24

Figura 1. Alineamiento de la cuba de ondas.

Figura 2. Arreglo experimental con ondas planas.

Primero se tiene que generar un tren de ondas planas, para determinar el punto de

convergencia del tren al pasar por el lente. Se debe encontrar una frecuencia a la cual el proceso

se vea con claridad. Se determina la longitud de onda antes y después de la lente para sacar el

índice de refracción relativo; posteriormente, se localiza el punto de convergencia y se

determina su distancia desde el centro o eje.

El segundo consiste en colocar la lente a la distancia determinada en el punto anterior, y en ese

paso hacer incidir ondas circulares sobre el lente.



25


Comprender la acción de una lente.

Determinar la distancia focal de la lente.

Calcular el índice de refracción del medio y explicar de qué depende.

Comprender la acción de un espejo

Determinar las características del fenómeno de la reflexión

Se necesita determinar la longitud de onda a partir de fotografías tomadas al pliego de papel

cuando las ondas pasen a través del lente. A su vez, se debe determinar la distancia focal del

lente. Según la ecuación de la lente delgada. En el segundo paso, determinar qué pasa con

la distancia de convergencia del lente al hacer pasar ondas circulares a la distancia focal.

¿Cómo se llama el fenómeno que realiza el lente?

Para complementar los resultados obtenido y completar el análisis de recomienda que el

alumno revise la ley de refracción y la ecuación de los lentes delgados. A su vez el siguiente

cuestionario será útil para el análisis.

¿Explicar por qué se estima que el origen de emisión de ondas planas está situado en el

infinito? ¿Qué significa el hecho de que al pasar ondas planas por un lente convergen en un

punto y si por otro lado, al pasar ondas circulares (en el punto de convergencia) y en la

misma lente se transforman en ondas planas?

Referencias

1. Manual de Cuba de Ondas. Centro de Instrumentos UNAM. 1994.



26

Optativa 3. Determinación de la constante de Planck

Autor(es): Walls Pérez, Xavier, Jiménez López, Cristina

Introducción

Uno de los conceptos más estudiados y menos comprendidos en la historia de la ciencia ha sido

la luz. El estudio de la misma se remonta a los estudios de Isaac Newton y Christiaan Huygens

para determinar el comportamiento de la luz como onda o partícula. Sin embargo no fue hasta

los inicios de la mecánica cuántica que pudo determinarse la dualidad onda-partícula de la luz.

Los principales aportes a este descubrimiento se atribuyen a Max Planck al proponer la

ecuación de Planck, ecuación básica para la realización de la teoría cuántica y otras grandes

teorías, entre ellas el efecto fotoeléctrico, teoría descrita posteriormente por Albert Einstein.

Desde la formulación de la Ecuación de Planck toda la física posterior es llamada física moderna.

La ecuación de Planck resulta ser un concepto fundamental para la física, ya que esta estableció

el comportamiento cuántico de la luz. Para poder comprender esta ecuación es fundamental

conocer al agente principal de esta ecuación, que es la constante que lleva su nombre, es decir,

la constante de Planck.

Material

Fuente de poder

Cables banana-banana

Caimanes

Resistencia eléctrica

Multimedidor

Lámpara de luz halogenada

LED de color (se recomienda el uso de LEDs transparentes que emiten luz de color)

Computadora

Espectrofotómetro de película de difracción (será construido a partir de distintos

materiales de acuerdo al espectrofotómetro seleccionado)

Consultas recomendadas para la construcción del espectrofotómetro:

– http://makezine.com/projects/high-res-spectrograph/

– http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast161/Unit4/HandSpec/

Procedimiento

Para realizar este experimento y encontrar un valor para la constante de Planck armar el

siguiente sistema que se presenta en la figura 1, al cual se incorporará el multimedidor para

determinar la diferencia de potencial eléctrico.



27

Figura 1. Circuito eléctrico para la determinación de la constante de Planck.

Medir la diferencia de potencial eléctrico necesaria para encender el LED. Manteniendo la

diferencia de potencial eléctrico constante, se utilizará el espectrofotómetro construido para

medir la longitud de onda de la luz emitida por el LED. Para un correcto funcionamiento del

espectrofotómetro se recomienda utilizar el programa de recopilación de datos en:

http://spectralworkbench.org/


Determinar la energía eléctrica del sistema a partir de la diferencia de potencial eléctrico.

E = e∆V (Ec. 1)

Dónde 𝐸 representa la energía eléctrica, 𝑒 representa a la carga del electrón y Δ𝑉 representa

la diferencia de potencial eléctrico.

Determinar la frecuencia de la onda de luz a partir de la velocidad de la luz:

c = λ𝑓 (Ec. 2)

Dónde 𝑐 representa a la velocidad de la luz en el vacío, 𝜆 representa la longitud de onda y 𝑓

representa la frecuencia de onda.

Establecer la relación entre la energía eléctrica y la frecuencia de onda de la luz del LED con

lo cual es posible determinar la constante de Planck.

E = h𝑓 (Ec. 3)

Dónde 𝐸 representa la energía, ℎ representa a la constante de Planck y 𝑓 representa la

frecuencia de onda.

Referencias

1. The physics of vibrations and waves, Sextaedición, Pain, H.J. Wiley & Sons, 2005, p. 367-376.

2. Vibraciones y Ondas, Segundaedición, French, A.P. Massachusetts Institute of Technology:

MIT, 2002, p. 324-335.



28

Optativa 4. Óptica sin lentes

Autor(es): Ernesto Ladrón de Guevara.

Introducción

La distancia focal de una lente o de un espejo depende de su curvatura y del índice de difracción

del medio (para el caso de la lente). De esta manera se utilizará una lente plana convexa para

tomar fotos de objetos pequeños y determinar el poder magnificador de la lente al tomar fotos

de un objeto de tamaño conocido.

Material

Teléfono celular

Pizeta de agua

Jeringa

Rejilla de difracción

Soporte universal

Pinzas

Procedimiento Experimental

Se deberá montar el teléfono celular sobre un soporte que permita manipularlo y que la cámara

fotográfica se encuentre hacia arriba. Se le pondrá una gota de agua sobre la cámara fotográfica

y se buscará la distancia ideal a la cual las imágenes están enfocadas.

La cámara se deberá configurar con sensibilidad a la automática a la luz y en los siguientes dos

estados:

al mínimo aumento,

al máximo aumento.

Solo se deberá utilizar una sola resolución, de preferencia menor a 2 megapíxeles, para que las

imágenes sean fáciles de manipular.

Sobre un vernier se deberán poner 3 ó más muestras pequeñas pegada a la escala de pulgadas,

y se deberán tomar imágenes en foco de las muestras.

Para calibrar los aumentos de una lente se deberá tomar la foto de una rejilla de difracción. A

su vez, para conocer la separación entre las barras de la rejilla se deberá medir el patrón de

difracción con un láser (de longitud de onda conocida) y se deberá determinar la separación

que tiene cada línea de la rejilla por medio de la ley de difracción.



29

Demostración en el laboratorio.

A través de una gota (de agua de la llave) que cuelga de la punta de una jeringa, hacer pasar un

láser verde por la gota y proyectar imagen en una hoja blanca. Explique de qué depende la

magnificación que se observa en la pantalla.


El alumno deberá reportar:

Las imágenes tomadas por su cámara de varios objetos pequeños.

Las imágenes de una rejilla de difracción que le será entregada por el profesor.

La imagen del patrón de difracción de la rejilla proyectada sobre una superficie oscura.

El análisis del patrón de difracción que indique la separación de cada elemento de rejilla,

tabulado y con las incertidumbres del instrumento con el cual se determinó.

Sobre la imagen de la rejilla se deberá dibujar (in silico) una barra o cuadro del tamaño de

la separación, esta barra se debe copiar a las demás imágenes para determinar la

amplificación del lente.



30

Taller de simetría

Autor: Elizabeth Hernández Marín

I. Grupos puntuales, elementos y operaciones de simetría

Introducción

La simetría molecular es útil en la clasificación de moléculas, para simplificar cálculos de

mecánica molecular, determinar la presencia de ciertas propiedades moleculares tales como

polaridad y quiralidad, etc. La importancia de la simetría se hará evidente en cursos más

avanzados que contemplan tópicos tales como cristalografía de rayos X, la derivación de las

reglas de selección para diversas espectroscopías, entre otros.

Este taller no pretende ser una revisión detallada de los principios que rigen el estudio de la

simetría molecular, sino una introducción a algunos de los conceptos relevantes.

Luego de una exposición de los conceptos que se desea introducir, se incluyen ejercicios a

resolver durante la clase.

En esta sesión serán introducidos los conceptos básicos de simetría molecular.

I. Definición de grupo

Sea G un conjunto no vacío y "⦁" empleado para expresar una operación binaria en G. Entonces

G es un grupo bajo "⦁" sí y sólo sí se cumple lo siguiente:

i) Hay cerradura.

Para todo elemento gi y gj que pertenecen al conjunto, el producto de la operación gi ⦁ gj

también es un elemento del conjunto.

ii) Hay asociatividad.

Para todo elemento gi, gj, y gk que pertenecen al conjunto se cumple que:

gi ⦁ (gj ⦁ gk) = (gi ⦁ gj)⦁ gk

iii) Existe el elemento identidad o idéntico expresado con el símbolo "e" tal que:

gi ⦁ e = e ⦁ gi =gi

iv) Existe el inverso (gi-1) de cada elemento gi tal que:

(gi-1) ⦁ gi = e

donde gi-1 también debe pertenecer al conjunto.

Ejemplo. Sea el conjunto C = {1, -1}. Su tabla de “multiplicar” es entonces:



31

⦁ 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1

Notar que se cumple la cerradura porque todos los elementos de la tabla pertenecen al

conjunto C.

Adicionalmente, en este ejemplo, el elemento identidad es el número 1 porque:

1 ⦁ 1 = 1

1 ⦁ -1 = -1 ⦁ 1 = -1

También, cada número es su propio inverso:

-1 ⦁ -1 = 1

1 ⦁ 1 = 1

EJERCICIO 1

1. Sea A un conjunto tal que A = {1, -1}.

(a) Llene la siguiente tabla

⦁ 1 -1 1 -1

(b) Indique si el conjunto A es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea un

grupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.

2. Sea C el conjunto de los colores primarios, C = {verde, rojo, azul}.

(a) Llene la siguiente tabla

⦁ verde Rojo azul verde rojo azul

(b) Indique si el conjunto C es o no un grupo. Justifique la respuesta. En caso de que sea un

grupo, indique el elemento identidad y los inversos de cada elemento.



32

II. Elementos y operaciones de simetría Un elemento de simetría es una entidad geométrica tal como un punto, un plano o una línea con respecto al cual se llevan a cabo las operaciones de simetría. Una operación de simetría implica 'transformar' un objeto en el espacio, de tal forma que la apariencia de dicho objeto es indistinguible de la estructura original. La correspondencia entre los elementos y operaciones de simetría se muestra en la siguiente tabla:

Elemento Operación

- identidad (e)

punto inversión (i)

línea (eje) rotación (Cn)

plano reflexión o imagen (σ)

III. Operaciones de simetría (a) Identidad (e)

Consiste en la realización de ninguna acción.

(b) Rotación (Cn)

Esta operación se lleva a cabo alrededor de un eje de rotación. El objeto es rotado un ángulo de 2π/n radianes (n es un entero). Por ejemplo, para una molécula de agua la rotación es 2π/2 = π radianes o 180°.

Algunas moléculas tienen más de un eje de rotación, por ejemplo en la molécula que se muestra a continuación existe un eje C4 y otro C2 perpendicular a C4. La convención dicta que el eje principal con el valor mayor de n sea designado como el eje principal. En este ejemplo, el eje C4 es el eje principal.



33

Existen casos en que una molécula contiene más de una rotación sobre un eje. Por ejemplo, la molécula cuadrada plana XeF4 tiene un eje C4 que atraviesa al átomo de Xe y que es perpendicular al plano de la molécula. Si se llevan a cabo dos rotaciones consecutivas de 90°, es decir (C4)2 = C4 ⦁ C4, el equivalente sería realizar una rotación de 180º alrededor del mismo eje. De este modo, el eje C2 coincide con el eje C4.

En las moléculas diatómicas se puede realizar una rotación para cualquier valor de ángulo a través del eje internuclear. Este eje se llama C∞ y es el eje de rotación principal.

(c) Reflexión a través de un plano (σ)

Una reflexión se lleva a cabo en un plano de simetría (algunas veces llamado plano espejo). Los planos de reflexión pueden contener ejes de rotación o ser perpendiculares a un eje de rotación. Cuando un plano es perpendicular al eje principal, dicho plano se designa con el símbolo σh. Cuando un plano contiene al eje de rotación principal, dicho plano se denota como σv. De este modo, un σv se considera paralelo al eje de rotación.

Un caso especial es el plano diedral, denotado con σd. Este plano es paralelo al eje principal y bisecta el ángulo entre dos ejes C2 que son perpendiculares al eje principal.

(d) Inversión (i)

La inversión ocurre a través del centro de simetría, i. La operación de inversión transforma un punto (x,y,z) de la molécula en otro punto (-x,-y,-z). Notar por ejemplo que el agua no posee un centro de inversión, mientras que el XeF4 sí lo tiene.



34

(e) Rotaciones impropias (Sn)

Una rotación impropia consiste en la aplicación de dos operaciones sucesivas: 1) Una rotación de 2π/n radianes alrededor de un eje (llamado eje Sn) y 2) una reflexión en un plano que es perpendicular a Sn. En el ejemplo anterior el eje de rotación no es necesariamente un eje Cn de la molécula. (Notar que un rotación de 90° por sí sola no da como resultado a la molécula original). Entonces, la reflexión en un plano que pasa a través del carbono central, es necesaria para completar la operación de simetría.

IV. Grupos puntuales Un conjunto de operaciones de simetría particulares para una molécula cumple con los 'requisitos' para formar un grupo. De acuerdo a las operaciones de simetría contenidas en el grupo, es posible obtener una gran variedad de grupos. Las moléculas son clasificadas de acuerdo a los elementos de simetría que poseen (es decir, de acuerdo al grupo al que pertenecen). Existen dos sistemas de notación: el sistema Schoenflies (en el cual un grupo puntual es llamado, por ejemplo C4v y el sistema Hermann-Mauguin que se usa más en cristalografía.

EJERCICIO 2 Se le proporcionarán 5 moléculas, determine su grupo puntual siguiendo la nomenclatura de Schoenflies. Utilice el diagrama de flujo proporcionado en el Anexo 1.

Bibliografía sugerida 1. P. Atkins, J. de Paula, Physical Chemistry, 9a ed. 2010, Freeman and Company. Revisar el

capítulo titulado "Molecular Symmetry" (en esta o en ediciones anteriores). 2. F. A. Cotton, Chemical Applications of Group Theory, 1990, Wiley.



35

ANEXO 1. Diagrama de flujo para determinar el grupo puntual de acuerdo a la nomenclatura de Schoenflies.



36

Taller de simetría molecular

II. Algunas implicaciones de la simetría

Polaridad Una molécula polar tiene un dipolo eléctrico permanente, μ, el cual tiene una orientación específica en la molécula. Si una molécula tiene un eje de rotación, entonces el momento dipolar debe encontrarse a lo largo de dicho eje. Esto es porque el momento dipolar no puede cambiar bajo una rotación. Por ejemplo, el momento dipolar de una molécula de agua se encuentra a lo largo de su eje C2:

Si una molécula posee al menos un eje secundario o un plano perpendicular al eje de rotación principal, entonces no puede tener momento dipolar. Lo contrario implicaría que μ debería encontrarse a lo largo de todos los ejes de rotación y sobre todos los planos de reflexión. Esto no puede ocurrir y por lo tanto μ = 0. Por ejemplo, XeF4 tiene un eje principal C4 y un plano secundario C2, perpendicular al principal. Los momentos dipolares individuales a lo largo de cada enlace Xe-F se cancelan unos a otros y el resultado neto es μ = 0.

Siguiendo el mismo razonamiento, si una molécula tiene un centro de inversión entonces no puede tener momento dipolar. Entonces, moléculas cuyo grupo puntual es Oh e Ih no tendrán momento dipolar. Adicionalmente, moléculas bajo el grupo puntual Td tampoco tienen momento dipolar. Quiralidad

Si una molécula es quiral, es ópticamente activa. Una molécula es quiral cuando las imágenes especulares de la molécula no pueden ser superpuestas. Una molécula con rotaciones impropias no es quiral. Notar que la rotación impropia S2 (rotación C2, seguida de una reflexión a través del respectivo plano !h es la operación de inversión. Por lo tanto, si una molécula tiene un centro de inversión, y/o planos de reflexión no puede ser quiral. Moléculas que pertenecen a los grupos puntuales Dnd, Dnh, Td, y Oh no son quirales.



37

EJERCICIO 1 1. Indique si las moléculas que le son asignadas son polares y/o quirales. Justifique usando

argumentos de simetría.

Tablas de multiplicación de un grupo

Ya se ha mencionado que un conjunto de operaciones de simetría particulares para una

molécula forma un grupo. El número de elementos en un grupo se define como el orden del

grupo. Frecuentemente, el orden del grupo se denota con el símbolo h.

Por ejemplo, podemos llamar C2v a un conjunto que contiene las operaciones de simetría E, C2,

σ(xz) y σ’(yz), (es decir, la operación identidad, un eje de rotación C2 y dos planos de reflexión

σv). Por lo tanto, el orden del grupo puntual C2v es 4.

La operación de multiplicación dentro de un grupo se denota como A ⦁ B y puede 'leerse' como

"primero se lleva a cabo, sobre la molécula, la operación de simetría B. Enseguida, se realiza la

operación A. El resultado neto de la acción consecutiva es otra operación de simetría. Para

ilustrarlo, tomar al diclorometano orientado como en la siguiente figura:

Siguiendo el diagrama de flujo proporcionado anteriormente, se puede comprobar que al

diclorometano le corresponde el grupo puntual C2v.

La operación identidad, E, deja a la molécula sin cambios.

El eje C2 se encuentra a lo largo del eje-z. La operación C2 transforma la molécula de la siguiente

manera:

Llevar a cabo dos operaciones C2 consecutivas, es equivalente a haber aplicado la identidad:

C2 ⦁ C2 = E.

La molécula de diclorometano tiene dos planos de reflexión (ambos paralelos al eje C2). Uno de

los planos contiene a los átomos Cl-C-Cl. Llamaremos a este plano σ’(yz). El otro plano será



38

entonces σ(xz). La aplicación de la operación σ’(yz) intercambia la posición de los 2 hidrógenos

mientras los demás átomos no se mueven. Por otro lado, la operación σ(xz) permuta

únicamente a los átomos de cloro.

Si se aplica dos veces consecutivas la operación σ’(yz), encontramos que es lo mismo que

aplicar la identidad: [σ’(yz)]2 = σ’(yz) ⦁ σ’(yz) = E.

Lo que quiere decir que σ’(yz) es su propio inverso. Lo mismo ocurre con σ(xz).

Ahora, la multiplicación σ’(yz) ⦁ σ(xz) da como resultado:

Este resultado es equivalente a la aplicación de una rotación C2, entonces

σ’(yz) ⦁ σ(xz) = C2

EJERCICIO 2

(a) Muestre, con diagramas como los del ejemplo de arriba, que σ(xz) ⦁ σʼ(yz) = C2.

(b) Encuentre el resultado de la operación σʼ(yz) ⦁ C2:

(c) Utilizando diagramas como los anteriores, encuentre σ(xz) ⦁ C2 .

(d) Encuentre el resultado del producto C2 ⦁ σ(xz).

(e) A partir de los resultados anteriores y realizando las operaciones adicionales necesarias,

construya la tabla de multiplicación para el grupo C2v.



39

Algunas reglas para tener en cuenta:

1. Para la multiplicación, realizar primero la operación sobre la columna y luego la operación

sobre la fila.

2. En una fila o columna no se puede repetir ningún elemento del grupo.

C2v e C2 σ(xz) σʼ(yz) e e C2 C2 σ(xz) σ(xz) σʼ(yz) σʼ(yz)

Nota: La conmutatividad no es una condición necesaria para que un conjunto sea un grupo. Sin

embargo, la conmutatividad se puede cumplir en algunos casos.

El conjunto C2v contiene a la identidad y cumple la cerradura. Para que C2v sea un grupo, es

necesario que cada elemento del grupo tenga su inverso (que debe ser parte del conjunto) y se

debe cumplir también con la asociatividad.

EJERCICIO 3

(a) Recordando que gi-1 ⦁ gi = e, donde gi-1 es el inverso de gi, identifique al inverso de cada

elemento del conjunto C2v. Llene la siguiente tabla:

Operación Inverso e e C2

σ(xz) σʼ(yz)

(b) A partir de la tabla que construyó en el ejercicio 2, compruebe que para las siguientes

operaciones se cumple la asociatividad:

1. C2 ⦁ [σ(xz) ⦁ σ’(yz)] = [C2 ⦁ σ(xz)] ⦁ σ’(yz)

2. [σ(xz) ⦁ σ(xz)] ⦁ σ’(yz) = σ(xz) ⦁ [σ(xz) ⦁ σ’(yz)]

Ejemplo: E ⦁ [C2⦁σ’(yz)] = [E⦁C2]⦁σ’(yz)

lado izquierdo de la igualdad: E⦁[C2⦁σ’(yz)] = E⦁[σ(xz)] = σ(xz)

lado derecho de la igualdad: [E⦁C2]⦁σ’(yz)= [C2]⦁σ’(yz) = σ(xz)

Dado que en el lado derecho e izquierdo de la igualdad se llega al mismo resultado, la igualdad

se demuestra como verdadera.



40

TAREA OPCIONAL. Construya la tabla de multiplicar para el grupo puntual C3v.

La molécula de amoniaco corresponde al grupo puntual C3v. Esta molécula tiene un eje de

rotación C3 y tres planos de reflexión.

Para este ejercicio, se establece la siguiente convención: cada plano de reflexión será etiquetado

de acuerdo a la posición (1,2, o 3) que contenga a dicho plano. Por ejemplo la aplicación del

plano σ1 resulta en:

Notar que las etiquetas 1,2 y 3 no cambian y que el plano σ1 ocasiona el intercambio de los

hidrógenos denominados HB y HC.

Se puede mostrar que cada plano es su propio inverso y que (C3)3 = (C3)2 ⦁ C3 = C3 ⦁ (C3)2 =E,

y por lo tanto (C3)2 ⦁ es el inverso de C3.

Algunos ejemplos para ayudar a completar la tabla de multiplicar:

* C3 ⦁ C3 = (C3)2

*σ2 ⦁ σ3 = C3

* σ1 ⦁ C3 = σ2



41

Con la información proporcionada, se puede comenzar a llenar la tabla de multiplicar para C3v.

C3v e C3 (C3)2 σ1 σ2 σ3 e C3 (C3)2 e

(C3)2 σ1 σ2 e σ2 e C3 σ3 e

Algunas reglas para tener en cuenta:

1. La rotación C3 va en contra de las manecillas del reloj.

2. Para la multiplicación, realizar primero la operación sobre la columna y luego la operación

sobre la fila.

3. En una fila o columna no se puede repetir ningún elemento del grupo.

Taller de simetría molecular

III. Tablas de caracteres

Introducción

Cuando una molécula tiene simetría, es posible hacer uso de esa simetría para clasificar a los

orbitales atómicos y moleculares correspondientes. Esto resulta importante para simplificar el

cálculo de algunas propiedades moleculares tales como momentos dipolares. También facilita

la evaluación de reglas de selección para transiciones electrónicas.

La simetría molecular es una herramienta valiosa al clasificar el movimiento vibracional de una

molécula y es útil en la predicción de transiciones vibracionales permitidas.

Las operaciones de simetría estudiadas anteriormente también se pueden aplican a los

orbitales atómicos:



42

Notar que al aplicar una rotación C2 sobre un orbital s, no hay cambio de signo sobre dicha

función.

La misma operación sobre uno de los orbitales p, digamos el py, causa un cambio en el signo

respecto a la función original.

El enlace químico se puede describir en términos de la distribución electrónica sobre los

orbitales de una molécula. Estos orbitales moleculares (OM) pueden ser escritos como una combinación lineal de orbitales atómicos (CLOA). A continuación se presentan un par de

diagramas de OM para la molécula de H2 y el ión H2+, respectivamente.

De acuerdo a la representación esquemática de arriba, es posible escribir cada uno de los

orbitales moleculares (σ y σ*. No confundir con el símbolo para planos de reflexión) como una

combinación lineal de dos orbitales atómicos 1s centrados en cada uno de los átomos de

hidrógeno.

Denominando a cada uno de los hidrógenos como HA y HB, la combinación de enlace σ es:

ψ = 1/2 (1sA + 1sB)

Mientras que la combinación de antienlace σ* es:

ψ = 1/2 (1sA - 1sB)

La descripción anterior de la distribución electrónica en las moléculas se basa en la teoría del

orbital molecular. Y expresar a los orbitales moleculares como una combinación de orbitales

atómicos es parte del método MO-LCAO (molecular orbital- linear combination of atomic

orbitals).

En esta sesión se pretende mostrar cómo el uso de simetría permite derivar y leer tablas de

caracteres que ayudaran en la aplicación del método MO-LCAO.



43

Transformaciones

En sesiones anteriores se trabajó con las operaciones de simetría (rotaciones, reflexiones, etc.)

sobre los átomos de una molécula. Ahora, a cada uno de los átomos se les asociará un conjunto

de objetos (por ejemplo, orbitales atómicos, o un sistema coordenado) y se estudiará el efecto

de la aplicación de las operaciones de simetría (transformación) sobre esos objetos.

Por ejemplo, agregar un sistema coordenado a cada uno de los átomos en una molécula de SO2

que se localiza sobre el plano yz:

donde xS es el eje-x asociado con el átomo de azufre, xA es el eje-x asociado con el átomo de

oxígeno A, xB es el eje-x asociado con el átomo de oxígeno B, etc.

La molécula de SO2 pertenece al grupo puntual C2v. Dicho grupo contiene 4 elementos, a saber,

las siguientes operaciones de simetría: E, C2, σv(xz) y σv’(yz).

Ahora, considerar el efecto que tiene sobre los ejes coordenados sobre cada átomo, cada uno de

las operaciones del grupo C2v. Es claro que la identidad E deja cada eje coordenado sin cambio.

Para el plano σv’(yz) tenemos lo siguiente:

eje-x Cambio de signo para todos los ejes-x de cada átomo (la coordenada +x pasa a -x).

eje-y No hay cambio de signo para ningún eje de ningún átomo.

eje-z No hay cambio de signo para ningún eje de ningún átomo.

Los resultados pueden escribirse como:

σv’(yz) xS = -xS σv’(yz) yS = yS σv’(yz) zS = zS

σv’(yz) xA = -xA σv’(yz) yA = yA σv’(yz) zA = zA

σv’(yz) xB = -xB σv’(yz) yB = yB σv’(yz) zB = zB

Se podría representar a todas las coordenadas como un vector de 9 componentes y cada

transformación como una matriz de 9x9. Sin embargo, esto puede llegar a ser complicado

conforme aumenta el número de átomos. Pero hay que notar que los ejes-x siempre se

transforman a ejes-x, los ejes-y a ejes-y y los ejes-z a ejes-z. Esto reduce entonces la posibilidad

de representar la transformación con matrices de 3x3.



44

Entonces, para la reflexión debido a σv’(yz) se tiene:

𝜎´𝑉(𝑦𝑧)(𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) = (𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) (−1 0 00 −1 00 0 −1

)

𝜎´𝑉(𝑦𝑧)(𝑦𝑆, 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) = (𝑦𝑆 , 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) (1 0 00 1 00 0 1

)

𝜎´𝑉(𝑦𝑧)(𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) = (𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) (1 0 00 1 00 0 1

)

Se puede ver que cada línea en la matriz representa el valor del signo de la transformación, así

como la posición en el espacio de cada eje.

Ahora, para la rotación C2:

eje-x Cambio de signo para todos los ejes-x de cada átomo.

Notar también que los átomos OB y OA intercambian posiciones.

eje-y Cambio de signo para todos los ejes-y.

Los átomos OB y OA intercambian posiciones.

eje-z No hay cambio de signo para ningún eje-z.

Los átomos OB y OA intercambian posiciones.

Los resultados pueden escribirse como:

C2 xS = -xS C2 yS = -yS C2 zS = zS

C2 xA = -xB C2 yA = -yB C2 zA = zB

C2 xB = -xA C2 yB = -yA C2 zB = zA



45

y en términos de matrices:

𝐶2(𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) = (𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) (−1 0 00 −1 00 0 −1

)

𝐶2(𝑦𝑆, 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) = (𝑦𝑆 , 𝑦𝐴 , 𝑦𝐵) (−1 0 00 0 −10 −1 0

)

𝐶2(𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) = (𝑧𝑆, 𝑧𝐴 , 𝑧𝐵) (1 0 00 0 10 1 0

)

Todas las matrices reflejan tanto el cambio (o no cambio) de signo, como el intercambio de las

posiciones A y B (prestar atención sobre todo en la segunda y tercera líneas de cada matriz).

La transformación de los orbitales px debida al plano σv(xz) queda de la siguiente manera:

𝜎𝑉(𝑥𝑧)(𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) = (𝑥𝑆, 𝑥𝐴 , 𝑥𝐵) (1 0 00 0 10 1 0

)

Nuevamente, las matrices reflejan el cambio de posiciones A y B.

EJERCICIO 1 Escribir las transformaciones a las que son sujetas los orbitales py y pz al aplicar el plano σv(xz). Escriba también las matrices asociadas a dichas transformaciones.

Ahora, considerando todas las transformaciones debidas a las operaciones de simetría para los

orbitales px (xS, xA,xB), se tienen 4 matrices que representan todas las operaciones de simetría

evaluadas anteriormente:

𝐷(𝑒) = (1 0 00 1 00 0 1

) 𝐷(𝐶2) = (−1 0 00 0 −10 −1 0

)

𝐷(𝜎𝑣 (𝑥𝑧)) = (1 0 00 0 10 1 0

) 𝐷(𝜎′𝑣 (𝑦𝑧)) = (−1 0 00 −1 00 0 −1

)



46

Las 4 matrices anteriores forman una representación (reducible) del grupo C2v. De hecho, estas

matrices reproducen el efecto de las operaciones de simetría.

Cada conjunto de objetos sobre los átomos (sistema coordenado u orbital atómico) produce

una matriz. Ahora, si colocáramos un orbital px sobre cada átomo se generarían las mismas

matrices que las anotadas anteriormente.

EJERCICIO 2 Escribir las 4 matrices (D(e), D(C2), D(σvʼ(xz)), D(σvʼ(yz)) que representan las transformaciones de los orbitales py sobre cada átomo.

Es posible tener varias representaciones matriciales diferentes, y mientras más elementos tenga el grupo puntual, más matrices son generadas. Entonces, es más sencillo trabajar con una cantidad más invariante -la traza de la matriz-. La traza es la suma de los elementos diagonales de una matriz. Por ejemplo, las trazas de las matrices de la página anterior son:

TrD(E) = 3, TrD(C2) = -1, TrD(σv(xz)) = 1, TrD(σv’(yz)) = -3. La traza de la matriz se llama el carácter de la representación. Entonces, para la representación definida por (xS, xA,xB) se tiene la representación reducible г (es decir, г es un símbolo que denota a una representación reducible):

C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) г 3 -1 1 3

Una ventaja de usar caracteres, es que las trazas de matrices que representan elementos en la misma clase son idénticas. Por ejemplo, en el caso del grupo puntual C3v, se incluyen operaciones del tipo C3 y (C3)2. Estas operaciones pertenecen a la misma clase y entonces se espera que las trazas de sus matrices sean similares. Regresando a las matrices relacionadas con (xS, xA,xB), se observa que dichas matrices pueden ser subdivididas:

𝑫(𝐸) = (1 0 00 1 00 0 1

)

De este modo, es posible separar 4 matrices de 1x1 para el átomo S y 4 matrices de 2x2 para los átomos de oxígeno OA y OB. Para S:



47

TrD(e) = 1, TrD(C2) = -1, TrD(σv(xz)) = 1, TrD(σv’(yz)) = -1. Para A y B:

𝐷(𝑒) = (1 00 1

) 𝐷(𝐶2) = (0 −1

−1 0 ) 𝐷(𝜎𝑣 (𝑥𝑧)) = (

0 11 0

) 𝐷(𝜎′𝑣 (𝑦𝑧)) = (

−1 00 −1

)

Traza = 2 0 0 -2

Entonces, se ha logrado reducir la representación matricial de 3x3 a una representación

matricial 1-dimensional y una representación 2-dimensional. De este modo la matriz de 3x3 es

una representación reducible. La matriz unidimensional no puede ser simplificada más por lo

que se dice que es una representación irreducible. En la Tabla 1, esta representación irreducible

se presenta con el símbolo Г1.

Tabla 1. Representación reducida Г1.

C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) Г1 1 -1 1 -1 Г2 2 0 0 -2

EJERCICIO 3 Usando las matrices del Ejercicio 1, encontrar los caracteres de las representaciones reducibles para los orbitales py. Llenar la siguiente tabla:

C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) Г Г1 Г2

El número de representaciones irreducibles es igual a número de clases. En el grupo puntual C2v hay 4 clases, una por cada operación de simetría. Por lo tanto en C2v deben existir 4 representaciones irreducibles. Hasta el momento sólo se ha identificado una, con sus caracteres (trazas) asociados. Pero una vez formadas todas las representaciones irreducibles, es posible crear una tabla de caracteres del grupo puntual. La tabla de caracteres de C2v se muestra a continuación:

C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) h=4 A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2 A2 1 1 -1 -1 Rz xy B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz B2 1 -1 -1 1 Y, Rx yz

La fila inicial indica el grupo puntual y las operaciones de simetría. La primera columna contiene el nombre de las representaciones irreducibles (4 en este caso). La nomenclatura que se sigue para nombrar a las representaciones irreducibles es la siguiente: A y B se usan para



48

indicar que el caracter de la rotación principal es 1 o -1, respectivamente. Cada representación irreducible es unidimensional porque el caracter de la operación E es 1. Si la traza (el caracter) fuera 2, entonces la representación sería una matriz bidimensional. Si el caracter fuera 3, se tendría una matriz de 3x3. El orden del grupo (h) se encuentra al sumar los cuadrados de los caracteres de cada clase. En las dos últimas columnas se indica qué funciones en un punto fijo son transformadas de acuerdo a la representación irreducible. Por ejemplo, la coordenada x y el orbital px sobre un átomo que queda fijo se transforma como la representación irreducible B1. El producto xy se transforma como A2. Los términos Rx, Ry, Rz se refieren a operadores tales como los del momento angular. Si se compara Г1 de la Tabla 1 con las representaciones irreducibles de la tabla de caracteres para C2v, se puede notar que Г1 corresponde con B1. Esto es porque el átomo S se encuentra en un punto fijo del grupo puntual. También se vio que xA y xB, forman una matriz bidimensional. Esto implica que Г2 en la Tabla 1 es reducible.

EJERCICIO 4 Siguiendo el ejemplo dado en clase, determinar la representación irreducible de la combinación [pxA - pxB].

Se ha visto que para la molécula de SO2, el orbital px del azufre transforma como B1 (Г1, Tabla 1). También se ha visto que existe una combinación lineal de los orbitales px del oxígeno que transforma como B1. Entonces, los orbitales px de azufre y oxígeno se pueden combinar de dos maneras:

a pxS + b(pxA + pxB) -a pxS + b(pxA + pxB)

La primera combinación representa un orbital molecular π de enlace, la segunda combinación es un orbital de antienlace π*.

Algunas aplicaciones

Una aplicación de la teoría de grupos se encuentra en el cálculo de valores esperados y reglas de selección (espectroscopía). Producto directo. Se obtiene al multiplicar los caracteres de cada representación irreducible involucrada en el producto.



49

Se encuentra que el resultado del producto A2xB1 es similar a la representación irreducible B2. Por lo tanto A2xB1 = B2.

C2v e C2 σv(xy) σ’v(yz) A1 1 1 -1 -1 B1 1 -1 1 -1

A2xB1 1 -1 -1 1 Estados moleculares. Es posible determinal es estado molecular de un sistema al tomar el producto directo de las representaciones irreducibles de cada orbital molecular ocupado por un electrón. Para capas cerrradas (todos los electrones apareadas), el resultado es la irreducible totalmente simétrica (es decir, aquella cuyos caracteres son todos 1). Por ejemplo, en en grupo puntual C2v, la irreducible totalmente simétrica es la A1. Los estados excitados se obtienen usualmente al excitar uno o más electrones a orbitales vacios. Suponer que en una molécula, un electrón se excita de un orbital π (por ejemplo, la combinación B1 del ejemplo con SO2) a un orbital π* (también B1). Entonces, el estado excitado sería B1xB1 = A1. Valores esperados. Sea O un operador cualquiera. De este modo, una integral (elemento de matriz) se define como <ψ|O|Θ> cuando ψ = Θ se tiene el valor esperado si la función de onda está normalizada. Para que esa integral sea diferente de cero, no debe cambiar ante ninguna operación de simetría. Asumiendo que ψ se transforma como Гψ que también es irreducible, y que O se transfroma como la irreducible Г0 y finalmente ( se transforma como ГΘ. Entonces es posible calcular el producto directo:

Гψ x Г0x ГΘ

Si el resultado es, o contiene a la representación totalmente simétrica, entonces la integral será diferente de cero. Por ejemplo, el operador de momento dipolar μ es

μ = -e (xi + yj + zk) Este operador es relevante para determinar la probabilidad de que ocurra una transición electrónica. En el ejemplo de SO2, el estado basal se transforma como A1, y de acuerdo a la tabla de caracteres, las coordenadas x transforman como B1. Ya se ha calculado que uno de los estados excitados transforma como A1. Para que la transición sea permitida, al menos uno de los productos Гψ x Г0x ГΘ debe ser la irreducible totalmente simétrica. Entonces, si se irradia luz polarizada únicamente en la dirección x, se tiene que:

Гψ x Г0x ГΘ = A1 B1 A1 = B1



50

Por lo tanto, la transición π ⟶ π* con luz polarizada únicamente en la dirección x no es permitida.

EJERCICIO 5 Siguiendo el ejemplo anterior, determine si la transición π ⟶ π* es permitida cuando se irradia con luz polarizada en la dirección y ó z. Es decir, resuelva los siguientes productos:

Гψ Гy ГΘ = Гψ Гz ГΘ =

y determine si en alguno de los dos casos anteriores se obtiene como resultado la representación A1. Recuerde que Гψ = A1 (estado basal), ГΘ = A1 (estado excitado), y que Гy y Гz

(dirección de la luz polarizada) se puede encontrar en la tabla de caracteres.

EJERCICIO 6 Para las 3 vibraciones normales de la molécula de agua (también perteneciente al grupo puntual C2v), determinar la representación irreducible de cada una de dichas vibraciones normales. (Revisar el ejercicio 4)

Nota: Taller de Simetría Molecular, partes I, II y III están basadas principalmente en "Chemistry 373: Quantum Mechanics and Symmetry. Laboratory Manual", Department of Chemistry, University of Calgary, Fall 2007, pags. 17-29.

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