FUENTES DE CAMPO MAGNETICOEn este captulo se le va a dar nfasis especial a las corrientes elctricas como fuentes de campo magntico. En 1819 Oesterd descubri que, cuando colocaba una brjula cerca de un alambre conductor, la aguja se desviaba cuando pasaba una corriente elctrica por el alambre.De esta forma se supo que la corriente elctrica era la fuente de un campo magntico capaz de producir un torque sobre la aguja de una brjula.Esta observacin de Oesterd era la primera experiencia que indicaba una conexin entre la electricidad y el magnetismo, que antes de esta experiencia se haban considerados como eventos separados, sin ninguna relacin.Inmediatamente despus de que Oesterd descubriese que la corriente elctrica es una fuente de campo magntico, los experimentos que llevaron a cabo AndrMarie Ampre (1775-1836), Jean Baptiste Biot (1774-1862) y Felix Savart (1791-1841) dieron lugar a lo que en la actualidad se conoce como la ley de Biot-Savart, que determina el campo magntico creado en un punto del espacio por una corriente elctrica o por distribuciones de corrientes elctricas.En este capitulo con el formalismo de Biot-Savart y el principio de superposicin se calculan diversos campos magnticos para diferentes geometras. Luego, se muestra como determinar la fuerza entre dos conductores y por ultimo llegar a la ley de Ampre y aplicarla a diferentes configuraciones simtricas de corriente.

LEY DE BIOT-SAVART.A partir del estudio experimental de los campos magnticos en la proximidad de circuitos de diversas formas, los fsicos franceses Biot y Savart dedujeron, una formula que permite calcular, salvo dificultades matemticas el campode un circuito cualquiera.El campo magntico producido por un elemento de corriente de un circuito de forma arbitraria como el de la figura 9.1, se puede concebir dividido en elementos de longitud dl, uno de los cuales se ha representado en la figura.Por el momento el resto del circuito puede ser de forma cualquiera, pues un nico elemento de corriente aislado no existe en una corriente estacionaria; la carga debe entrar por un extremo y salir por el otro.Las cargas mviles del elemento crean un campo en todos los puntos del espacio y, en un punto P dado, el campo del circuito completo es el resultante de los campos infinitesimales de todos los elementos del circuito.

La direccin y sentido del campo, creado en los puntos P y Q por el elemento de longitud dl, se muestra en la figura,apunta hacia afuera del papel en P que se representa comoy hacia adentro del papel en Q que se representa como.El vectorse encuentra en un plano perpendicular a dl y es asimismo perpendicular al plano determinado por el vector, dirigido en la direccin de la corriente y el vectorque une a dl con el punto P o con el punto Q.La ley de Biot-Savart para el campo producido por el elemento infinitesimal es

La direccin est dada por el producto vectorialy su sentido dado por la regla de la mano derecha.Es decir, cuando los dedos de la mano derecha se curvan desde el vectorhacia el vector unitario, el dedo pulgar seala la direccin de.En magnitud el valor de dB es

dondeqes el ngulo que forma el vectorcon el vector.La constantese conoce como la constante depermeabilidad magntica del vacoy es anloga aen la electrosttica.Debido a la conexin entre electricidad y magnetismo,yestn relacionados entre si.El valor deen unidadesSIes.

La ecuacin debe ser integrada a lo largo de la lnea que sigue la distribucin de corriente.Por tanto, el campo magntico en un punto P cualquiera es la superposicin lineal de las contribuciones vectoriales debidas a cada uno de los elementos infinitesimales de corriente, y se da como:

FUERZAS ENTRE CONDUCTORES PARALELOS.La figura a) y b)muestran una porcin de dos alambres largos conductores,rectilneos y paralelos, separados por una distancia d, y que transportan corrientes cuyas intensidades respectivas son I1y I2, ambas del mismo sentido.

Puesto que cada conductor se encuentra en el campo magntico creado por el otro, experimenta una fuerza.La figura 9.9 muestra alguna de las lneas de campo creada por la corriente I1y que pasa por el alambre que transporta la corriente I2.El valor del camposobre el alambre de corriente I2como se muestra en la figura b), y de acuerdo con la ecuacin es

En virtud de la ecuacin,la fuerza ejercida sobre la porcin de alambre de longitudLque lleva la corriente I2, es

El resultado indica que la corriente I1atrae a la corriente I2con una fuerza por unidad de longitud deSi se considera el caso contrario, o sea,la fuerzaproducida por el campo del alambre que lleva la corriente I2sobre el alambre que lleva la corriente I1da como resultado una fuerza de igual magnitud y direccin, pero de sentido opuesto y, nuevamente, representa atraccin.Por tanto, se encuentra que conductores paralelos que conducen corrientes en la misma direccin se atraen entre s con una fuerza inversamente proporcional a su separacin, como resultado de su interaccin magntica, en tanto que conductores paralelos que conducen corrientes en direcciones opuestas se repelen entre s.

La atraccin o la repulsin entre dos conductores rectos y paralelos por los que circulan corrientes es la base de la definicin oficial delampereen el SI.Un ampere es la corriente que al pasar a la vez por dos alambres largos (infinitos), rectos y paralelos, separados una distancia de 1m, produce sobre cada una fuerza por unidad de longitud de exactamente 2x10-7Nm-1.Como consecuencia de la definicin de la unidad de corriente podemos dar una nueva definicin de la unidad de carga: Se define el culombio como la cantidad de carga que pasa en un segundo por un punto de un circuito en el que existe una corriente estacionaria de un amperio.Este procedimiento de medir y definir primero la unidad de corriente y a partir de all definir la unidad de carga, se debe a que resulta experimentalmente mucho ms fcil y fiable medir la fuerza magntica entre corrientes que la fuerza elctrica entre cargas.El instrumento completo capaz de medir corrientes con un alto grado de precisin se conoce como balanza de corriente.LEY DE AMPERE.Poco despus de los descubrimientos de Oesterd,de Biot y de Savart, Ampre encontr una relacin til entre las corrientes elctricas y los campos magnticos.Esta relacin se puede aplicar en situaciones de unaalta simetrapara encontrar el campo magntico con ms facilidad que haciendo los clculos con la ley de Biot-savart.En cualquier caso, el resultado es el mismo.A este respecto, utilizar la ley de Ampre es algo semejante a encontrar el campo elctrico usando la ley de Gauss mejor que la ley de Coulomb.En casos de la falta de simetra apropiada, la ley de Ampre no es fcil de aplicar.Siempre es vlida, aun cuando la ley de Biot-Savart es necesaria algunas veces para clculos del campo magntico.La ley de Ampre se puede deducir para el caso especial del campo creado por uno o ms conductores paralelos.La figura 9.11 muestra un plano normal a un alambre conductor largo que transporta una corriente de intensidad I.

El vector campo magnticoen un punto cualquiera est en el plano de la figura y es perpendicular al vectorque va desde el conductor al punto.El valor deen magnitud debido al alambre conductor en ese punto y dado por la ecuacin 9.5 es

El vectorforma el nguloqcon un elementode una trayectoria cerrada que rodea al conductor, y la componente deen la direccin dees.

S se considera el pequeo triangulo rectngulo cuya hipotenusa es dl, se deduce que,o bien,.Por tanto,

La integral curvilnea dea lo largo de la trayectoria cerrada de la figura es

ya que el ngulojse incrementa en 2pcuando se recorre una vez la trayectoria.

PARA UN SOLENOIDE.Una importante configuracin de corriente es la de unsolenoide, el cual es un enrollado helicoidal que lleva una corriente I. En la figura 9.16 se ilustra el campo alrededor de un solenoide enrollado flojamente y su comportamiento es similar al del dipolo magntico.El campo magntico del solenoide es la suma vectorial de los campos debido a cada espira casi circular que comprende el solenoide.Cuando la bobina est bien comprimida, el solenoide se asemeja a una corriente que fluye en forma cilndrica.A medida que el solenoide se enrolla ms apretadamente y su longitud se hace grande se tiene el caso de unsolenoide ideal.En este caso, el campo magntico en el interior es uniforme y paralelo a su eje, y en el exterior el campo es aproximadamente cero.

Para hallar la magnitud del campo magntico dentro de un solenoide ideal se aplica la ley de Ampre.En la figura 9.17 se ilustra un corte de un solenoide muy largo y una lnea amperiana dada por la trayectoria rectangularabcd.

La integral a lo largo de este camino cerrado es igual a la suma de las integrales a lo largo de cada una de esos segmentos rectos:

Las integrales a lo largo de los segmentosbcydason cero por seryvectores perpendiculares entre si.A lo largo de la trayectoriacd, que incluye la parte del rectngulo que est fuera del solenoide, la integral es cero puesto quevale cero para todos los puntos exteriores de un solenoide ideal.Por lo tanto

Para un solenoide con n espiras por unidad de longitud, el nmero de espiras encerradas es nh.Como cada una de estas lleva una corriente I, la corriente neta encerrada por la trayectoria rectangular es

Por lo tanto

o sea,y es independiente de la posicin dentro del solenoide.Es decir, cerca del centro de un solenoide largo el campo magntico es uniforme.En ocasiones tambin se utiliza el solenoide toroidal, otoroide, formado por una bobina de longitud finita doblado en forma de rosca que consta de N espiras como en la figura. El campo magntico que crea un toroide ideal es cero en el exterior y por simetra, las lneas de campoen su interior son lneas concntricas.

Para hallar el campoen su interior se aplica la ley de Ampre a una trayectoria circular de integracin de radio r como en la figura.

o sea,

De la expresin anterior se despejaEn contraste con el solenoide,no es constante en toda la seccin transversal del toroide.Si la seccin transversal del toroide es lo suficientemente pequea, se pueden despreciar las variaciones de r y considerar acomo la longitud del toroide, de dondees el nmero de espiras por unidad de longitud.Resulta as,

semejante al campo de un solenoide ideal.El solenoide (toroide) es una manera prctica de establecer un campo magntico uniforme conocido para experimentar, as como un condensador de placas paralelas es una manera prctica de producir un campo elctrico uniforme conocido.

LEY DE GAUSS DEL MAGNETISMO.El flujo magntico a travs de una superficie cualquiera est dada porLa unidad SI de flujo magntico es elweber(Wb), de manera que.Experimentalmente se ha mostrado que no puede haber monopolos magnticos en la naturaleza. La formulacin magntica de este hecho se conoce como la ley de Gauss para el magnetismo, que se escribe comoLa ecuacin establece que el flujo magntico a travs de cualquier superficie cerrada es siempre cero.Se nota la semejanza de esta ecuacin con la ley de Gauss para la electricidad dada por

La forma de la ley de Gauss muestra que en electrosttica la carga elctrica es la fuente del campo elctrico.De hecho, la fuente ms simple de campo elctrico es una carga puntual.La ecuacin muestra que no hay contrapartida magntica a la carga elctrica.Si existiese a lo que se podra llamar una carga magntica, esta correspondera a unmonopolo magntico, es decir un polo magntico aislado (por ejemplo un polo norte magntico aislado). Por ahora no se ha confirmado la existencia de tales monopolos.Si los monopolos magnticos no existen, las fuentes ms simples de campo magntico son los dipolos magnticos.

La inexistencia de cargas magnticas puede tambin ser ilustrada mediante las lneas de campo magntico.Las lneas que representan el campo magnticosiempre se cierran sobre s mismas, de forma que no tienen ni principio ni final.Una barra de imn como la figura 9.19, que posee un momento dipolar magntico, tiene un polo norte en uno de sus extremos y un polo sur en el extremo opuesto.

En la figura se representan las lneas de campo del imn, y se observa que las lneas se cierran sobre si mismas, as que el flujo magntico a travs de cualquier superficie que encierre el imn ser cero.CORRIENTES DE DESPLAZAMIENTO Y LA LEY DE AMPERE.El uso de la ley de Ampre, dada por la ecuacin 9.14, ha estado limitada hasta ahora a condiciones de rgimen constante.En realidad existen otros tipos decorrientes que no presentan rgimen constante y no se pueden contemplar en la forma dada por la ley de Ampre, por lo que esta debe ser modificada para darle un carcter ms general.Esta generalizacin fue descubierta por el fsico escocs James Clerk Maxwell(1831-1879).Para ilustrar por qu es necesaria esta modificacin se puede considerar el siguiente ejemplo.Se carga un condensador con una corriente I, como se muestra en las figuras 9.20.Se aplicala ley de Ampre a la trayectoria indicada por L.En el lado derecho de la ecuacin 9.14, I es la corriente que cruza el rea semicircular S1limitada por Lcomo se ve en a).Por otro lado,como se muestra en la figura b) si se construye una superficie plana S2, entonces la corriente I=0 (ningunacorriente pasa a travs de ella).Esto es por supuesto una contradiccin: el lado derecho de la ecuacin de la ley de Ampre no debe depender de las superficies escogidas.

Figura 9.20Obviamente, esta dificultad se debe a que la corriente no escontinua, esta termina bruscamente en la placa izquierda del condensador y comienza de nuevo en la placa derecha. Conforme se carga el condensador hay una acumulacin de carga en la placa que esta encerrada por las superficies S.Por conservacin de la carga, la rapidez con que se acumula la carga en la placa del condensador es igual a la corriente que atraviesa la superficie S1, por lo que la corriente enlazada por el camino cerrado parece depender de la superficie elegida.La modificacin de Maxwell a esta inconsistencia,consiste en considerar una corrienteimaginaria equivalente que atraviesa la superficie S2, de manera que la corriente encerrada por el camino cerrado sea igual para cualquiera de las superficies limitadas por este.En la figura c) se muestra el campo elctrico en la regin entre las placas.Se supone que el espacio entre ellas es vaco y no se presentan deformaciones de las lneas de campo elctrico.Entonces

El valor de la carga Q que est en la superficie de la placa, se expresa en trminos del flujo del campo elctrico a travs de la superficie S2, como

Como el campo elctrico existe nicamente en la regin entre las placas, este flujo es.Por lo tanto Q es

La derivada de esta expresin respecto del tiempo da la corriente I, la cual est relacionada con la derivada respecto del tiempo del flujo del campo elctrico a travs de la superficie S2como:

La corriente I es la corriente que atraviesa la superficie S1y el flujo elctrico es a travs de la superficie S2.A esta corriente I se le conoce comocorriente de desplazamientoIddefinida como

Se debe recalcar que la corriente I atraviesa la superficie S1de la figura b), mientras que la de desplazamiento lo hace a travs de S2, por lo que resulta que I=Id.Con este nuevo termino Idse puede expresar la forma generalizada de la ley de Ampre comoEcuacin algunas veces llamada de Ampre-Maxwell.El hecho central de esta ecuacin es que los campos magnticos son producidos tanto por corrientes de conduccin I como por variaciones del flujo elctrico en el tiempo.En el capitulo anterior se supuso que no haba campos elctricos cambiantes, de tal manera que el terminoen la ecuacin 9.21 es cero.En la discusin que se acaba de hacer se supone que no hay corrientes de conduccin entre las placas del condensador, pero si un campo elctrico debido a las cargas en las superficie de las placas conductoras.As pues, el trmino I en la ecuacin 9.21 es cero.Por lo tanto cada situacin es un caso especial.