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Funciones: Visualización y pensamiento matemático

Book · January 2001

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Ricardo Cantoral

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Gisela Montiel Espinosa

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FUNCIONES:VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

FuncionesVisualización y pensamiento matemático

RICARDO CANTORAL

GISELA MONTIEL

Contenido

Presentación ................................................................................................................7

Capítulo 1. Sobre la visualización y el arte de graficar ................................................

Capítulo 2. Una introducción a las funciones y sus gráficas ........................................

Capítulo 3. Método de la tabulación .............................................................................

Capítulo 4. Método de las transformaciones .................................................................

Capítulo 5. Método de las operaciones .........................................................................

Capítulo 6. Método del análisis matemático .................................................................

Capítulo 7. Síntesis metódica: un paseo por las gráficas..............................................

Referencias bibliográficas .............................................................................................

5

Presentación

La escuela es un sitio privilegiado para la diversidad, ya sea de opiniones, de tendencias, de crite-rios o de creencias. Una de éstas, que consideramos ampliamente difundida entre alumnos ymaestros, señala que existe una relación unidireccional entre la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas. Se asume que los conocimientos se transfieren simplemente desde la enseñanza hacia elaprendizaje: se considera, por ejemplo, que el alumno “graba” lo que se le comunica por medio de laenseñanza, tal vez con algunas pérdidas de información. Quizá por ello aún predomina en las aulas dematemáticas una enseñanza retórica y reiterativa. Sin embargo, hoy en día se ha mostrado medianteinvestigaciones en matemática educativa, la fragilidad de este punto de vista, pues se ha puesto en evi-dencia que los alumnos construyen conocimiento con cierta independencia del discurso de la enseñanza.Con frecuencia, construyen explicaciones inadecuadas e inclusive erróneas desde un punto de vistamatemático, a la vez que descubren profundas relaciones entre piezas del saber matemático, sin que esohaya sido parte explícita de su enseñanza.

Consideramos que estos conocimientos son el fruto de la interacción con su entorno; con sus com-pañeros, con sus historias de vida o con su ambiente académico y cultural, entre otros. De modo que laexperiencia nos muestra que el conocimiento matemático de las y los estudiantes no es el fruto exclusivode la atenta escucha que tengan para con la cátedra de su profesor.

Nuestra propuesta incluida en este libro, trata de un tema de la enseñanza contemporánea que haresultado de mucha utilidad para el cambio de paradigmas en la enseñanza, al llevar al tratamientoescolar, del excesivo tratamiento algebraico de las funciones hacia otro en el que la visualización juegaun papel más preponderante en la formación de conceptos y procesos matemáticos. De este modo,trataremos con la visualización en matemáticas y más particularmente, con el análisis de las funciones

7

El área de un círculo vista por Kepler, 1615.(Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.)

8 VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

reales de variable real a través de sus gráficas. En este sentido, este libro presenta una serie de diseñoseducativos, secuencias didácticas con las que pretendemos que los profesores y sus alumnos profundi-cen su propio proceso de comprensión y entendimiento de los conceptos y procesos matemáticos relati-vos a las funciones. Creemos que esta propuesta contribuirá a desarrollar entre los profesores sus propiasprácticas de enseñanza utilizando las ideas de visualización. El diseño de estas secuencias fue realizadocon base en un análisis de carácter múltiple que ha sido desarrollado a lo largo de los últimos diez añosen el grupo de investigación del Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educati-va del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional en México.

Una tesis teórica que ha orientado la labor de nuestro grupo de investigación ha sido la de conside-rar que la matemática se ha constituido socialmente, en ámbitos no escolares, y en consecuencia suintroducción al sistema de enseñanza le obliga a una serie de modificaciones que afectan directamentesu estructura y su funcionamiento; de manera que afectan también, por ejemplo, las relaciones que seestablecen entre los estudiantes y su profesor. Este proceso de incorporación de los saberes al sistemadidáctico plantea una serie de problemas teóricos y prácticos no triviales, que precisan para su estudio deacercamientos metodológicos y teóricos adecuados. El desarrollo de tales aproximaciones se realizamediante estudios que nos permiten entender los mecanismos de adaptación del saber a las prácticas deprofesores y estudiantes. Como hemos dicho, nos interesa esclarecer las condiciones del aprendizajede ideas complejas.

En este libro proponemos en consecuencia una forma de tratamiento escolar de las funciones conbase en resultados de la investigación contemporánea, que nos permiten augurar efectos positivos en losprocesos de aprendizaje de los alumnos.

La ordenación temática que trataremos se centra en la visualización de las funciones reales devariable real. El libro se divide en capítulos y secciones:

El capítulo 1, Sobre la visualización y el arte de graficar, discute la importancia de la graficación ydel uso de la tecnología. Se define una postura profesional al respecto.

La introducción sigue el esquema: ¿Cómo se enseña usualmente la graficación? ¿Cuál es el efectode esta enseñanza? ¿Qué proponemos como alternativa de graficación? ¿Qué propone el lector al res-pecto de la graficación?

Los seis capítulos siguientes definen un método y dotan de una postura académica a la propuestaque encarna este libro.

Cada capítulo debe desarrollarse con apego a un método y habrá de tener una estructura como lasiguiente:

a) ¿Cómo funciona el método? Presentar un ejemplo que muestre el uso del método propuesto,habrá que favorecer el uso de la tecnología cada que nos sea factible.

b) ¿Por qué funciona el método? Explicar visual y analíticamente la razón por la cual el métodopropuesto opera. Discutir su significado.

c) ¿Qué es un programa? Explicar la construcción de un programa elemental aplicado al tema encuestión.

PRESENTACIÓN 9

d) ¿Cuáles actividades son recomendadas? Mostrar un amplio abanico de actividades escolaresque puedan resultar útiles en una clase. Quizá se pueden proponer mediante una clasificación:tareas, proyectos, problemas, ejercicios, etcétera.

El capítulo 2, Una introducción a las funciones y sus gráficas, introduce al lector en el manejo de laspropiedades más características de las funciones, como su paridad, su crecimiento y sus diversas repre-sentaciones.

El capítulo 3, Método de la tabulación, localiza en el plano los puntos; tabula y puntea; puntea ygrafica; tabula, puntea y grafica; programas, ejercicios y actividades.

El capítulo 4, Método de las transformaciones, localiza en el plano las regiones; tabula y bosqueja;bosqueja y grafica; tabula, bosqueja y grafica; programas, ejercicios y actividades.

El capítulo 5, Método de las operaciones, interpreta en el plano las operaciones; suma, resta, multipli-ca, divide, compone, etc.; bosqueja los términos; bosqueja el resultado; programas, ejercicios y actividades.

El capítulo 6, Método del análisis matemático, construye la anatomía de la gráfica; opera con ellas ycon sus regiones; de la fórmula a la gráfica; de la gráfica a la fórmula; programas, ejercicios y actividades.

El capítulo 7, Síntesis metódica: un paseo por las gráficas es una colección de métodos que sinte-tizan los usados en los capítulos 2 al 6 y que muestran algunas nuevas funciones y nuevas presentacionesde temas matemáticos convencionales.

OBJETIVOS DEL LIBRO

Objetivo general de aprendizaje

• Profundizar y compartir el conocimiento sobre visualización de las funciones reales devariable real, con el fin de favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de losestudiantes y de ayudar a los profesores en la toma de decisiones relativas a la elabora-ción y análisis de actividades de aprendizaje en el campo de la matemática escolar paraser utilizado en clase.

Objetivos específicos de aprendizaje

• Valorar los usos de la visualización de las funciones en matemáticas, tanto al nivel de los obje-tos didácticos como en el ámbito de su vida cotidiana.

• Apreciar el aporte educativo que plantean las distintas alternativas de tratamiento de la graficaciónen la matemática escolar.

• Enriquecer la variedad de enfoques educativos que se derivan de atender la visualización de lasfunciones.

• Diseñar situaciones de enseñanza apoyados en la aproximación teórica del pensamiento mate-mático.

• Evaluar su propia práctica de enseñanza.

10 VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

El libro que aquí presentamos tiene una orientación novedosa, pues aunque trata con gráficas defunciones reales de variable real, no se ocupa de la graficación como una mera técnica, sino por elcontrario se centra en la graficación como una forma particular de visualización de procedimientos yconceptos matemáticos, la visualización entendida como un proceso del pensamiento matemático.

Cada que usamos una estrategia de graficación, ya sea para construir, para interpretar o para trans-formar una forma gráfica, estamos al mismo tiempo desarrollando en el lector una manera particular depensamiento matemático. Por ejemplo, al discutir el efecto sobre la gráfica de un factor (x – a)2, estamosdesarrollando una noción relativa con la forma de contacto entre curvas suaves.

De modo que los ejemplos, los ejercicios y los argumentos que proponemos en este libro, sontambién medios para ser usados en la clase de matemáticas. Cada capítulo tiene entonces una intenciónespecífica y el conjunto de ellos también.

El capítulo 2 está destinado a brindar una visión panorámica del tratamiento de las funciones desdela perspectiva de la visualización. En él hemos incluido una serie de métodos para tratar con las funcio-nes a un nivel introductorio, cada uno de ellos, de alguna manera, se verá reforzado en el cuerpo deltexto. Nos interesa que con la lectura de este libro, particularmente de este capítulo, pueda desarrollar laidea de que la noción de función no es solamente la gráfica, ni la tabla, ni la fórmula, ni la descripciónverbal, ni..., sino por el contrario, la noción de función evoluciona con el tiempo en la historia de lahumanidad y en la mente de los que la usan y la estudian. Para nosotros, la noción de función serádesarrollada con todas esas formas de verla, buscando usarla de diferentes maneras y sobre todo, inter-pretándola y reinterpretándola continuamente. De modo que este segundo capítulo, le permitirá teneruna introducción a la noción de función desde una perspectiva múltiple.

En los siguientes capítulos, hemos desarrollado un aspecto principal que es indicado desde el título,se busca en cada capítulo proponer una forma de análisis de las funciones mediante el empleo de unatécnica particular de graficación, que a su vez es apoyada por una estrategia para el desarrollo del pen-samiento matemático. El capítulo 4, por ejemplo, se ocupa del método de las transformaciones buscan-do, de este modo, ayudar a construir un universo de formas gráficas en la mente de los lectores. Lasformas gráficas no sólo son el resultado de las técnicas específicas de graficación, sino por el contrario,son verdaderas entidades conceptuales que permiten analizar e intervenir en múltiples tareas matemáti-cas, de modo que las formas gráficas adquieran un significado propio. Dicho significado debe ser desa-rrollado por los estudiantes en su tarea escolar. Por eso, el capítulo 3, trata la gráfica a través de suspuntos. En este capítulo, esperamos que, en la misma medida en que se avance en la lectura del libro, sevaya haciendo de la gráfica un objeto numérico, es decir, un objeto sobre el cual es posible desarrollar elsentido de la proporción de la forma gráfica. Así como también, este capítulo permite fortalecer unaorientación espacial en el plano cartesiano. Nociones como más grande que o menor que, entre losnúmeros, adquieren un sentido visual interesante, como por ejemplo, encima de o por debajo de. Estecapítulo inicia con un tratamiento de las formas gráficas que van y vienen de las tablas numéricas.

En los capítulos siguientes, 5 y 6, nos ocupamos de desarrollar el sentido de la gráfica como unatotalidad, es decir, la curva representativa de una función es susceptible de operaciones sucesivas, prime-ro por sus partes y luego como una entidad completa. De ahí pasamos a las operaciones con funciones enel capítulo 5 para dar lugar al análisis de la forma por la naturaleza de sus componentes en el capítulo 6.En este sentido, dicho capítulo permite introducir a las funciones a través de sus aproximaciones analí-ticas.

PRESENTACIÓN 11

Finalmente, en el capítulo 7 hemos realizado un extenso recorrido por diversos tipos de funciones yde familias de gráficas. Es aquí donde se presentan a un nivel inicial funciones trascendentes, como lasfunciones circulares e hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas. Asimismo, presentamos una síntesisde los métodos que hemos empleado para resolver uno de los problemas que suele resultar más compli-cado, el de proponer una expresión analítica a una forma gráfica dada. Con esto esperamos que sesinteticen no sólo los métodos que se han trabajado a lo largo del libro, sino que se estructuren lasdiferentes formas de análisis mediante la visualización en un todo sistémico. Para ello, mostramos dosejemplos que consideramos descriptivos de nuestra propuesta. El primero, inusual en los textos escola-res, discute el sentido visual de la composición de funciones reales de variable real siguiendo una técni-ca de punteo y, el segundo, construye los polinomios de Lagrange desde un enfoque novedoso fuerte-mente apoyado con el acercamiento que fue desarrollado a lo largo del libro.

Este libro resume la exploración desarrollada a lo largo de algunos años sobre el diseño y laimplementación de un curso preparatorio para la matemática avanzada, siguiendo estrategias de visuali-zación. A veces fue tratado como un seminario sobre graficación de funciones, mientras que en otrasocasiones fue discutido como el sentido visual de teoremas del análisis matemático o de las ecuacionesdiferenciales. Finalmente ha sido usado como un curso preparatorio al cálculo o de precálculo, como lesuelen llamar en la tradición anglosajona, en el cual el sentido visual es desarrollado.

Los autores agradecemos toda sugerencia o comentario sobre la implementación de este material enclase. Pues como toda obra, ésta requiere retroalimentación y de ensayos sucesivos. Queremos señalarque hemos incluido intencionalmente en esta versión del libro, el manejo de las calculadoras con capa-cidad gráfica pues brindan condiciones técnicas adecuadas para llevar adelante nuestra propuesta. Ennuestra opinión, estos modelos de calculadoras resultan un medio eficaz para conducir una propuestaeducativa como la que presenta este libro.

Gisela Montiel y Ricardo CantoralCiudad de México, julio del 2001

SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 13

CAPÍTULO 1

Sobre la visualizacióny el arte de graficar

Una revisión de la literatura especializada sobre el tema de visualización y graficaciónde funciones reales de variable real, nos permite extraer que, en esencia, son dos las formasclásicas de entender la enseñanza de la graficación de las funciones de ℜ en ℜ; una, la más

difundida en el medio educativo, asume que la graficación es una técnica o conjunto de técnicas quepermiten bosquejar la gráfica de una función particular, y otra, menos difundida, que entiende a lagraficación como una forma de interpretar el sentido y significado de las funciones y de sus propieda-des desde una perspectiva cognitiva. Existen sin embargo, posturas intermedias, al nivel de propuestasde enseñanza, en las que se acepta que esas dos visiones están estrechamente relacionadas. Ello obede-ce quizá al hecho de que los niveles del desarrollo del pensamiento matemático requieren de la visua-lización en distintos grados y en esa medida la graficación de funciones se torna un medio adecuadopara lograrla. Adicionalmente ello se ve fomentado en los tratamientos curriculares del precálculo,pues éstos requieren de la graficación como medio de control del significado de objetos matemáticoscomo definiciones, teoremas, explicaciones de clase, entre otras.

De manera que si pensamos en la graficación como una forma de tratamiento del universo de formasgráficas asociadas a las funciones, podremos ocuparnos de contestar algunas preguntas que permiten descri-bir cómo es que los jóvenes y los adultos perciben dicho universo, o bien, saber cuáles códigos usan paradescifrar y procesar la información visual que éstos contienen. Estas preguntas han preocupado a los inves-tigadores de la matemática educativa desde hace algunas décadas. Estos acercamientos planteaban la nece-sidad de construir nociones nuevas que dieran cuenta de la forma en que las personas se relacionan con suespacio y surgen así nociones como visualización y percepción espacial. Ello condujo a explorar la clase dehabilidades visuales que se necesitan para aprender geometría o análisis matemático, por ejemplo.

13

Escrito original de Isaac Newton, 1676.(Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.)

14 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Desde la perspectiva desarrollada por Jean Piaget, al explorar la concepción de espacio que desa-rrollan los niños, así como la noción de geometría que evoluciona entre ellos, se describen las activida-des representacionales del espacio, entendiendo a la imagen mental del espacio real en el cual los niñosactúan, mediante una reconstrucción activa de un objeto en un nivel simbólico, donde las representacio-nes mentales no son solamente evocadas por la memoria. En este sentido las investigaciones estuvieroninteresadas en las transformaciones mentales del espacio real en el espacio de representaciones delniño, en aquellos atributos de los objetos reales que son invariantes bajo esas transformaciones y cómoellos cambian con la edad. De acuerdo con la teoría de Piaget, las primeras transformaciones del niñoson aquellas que conservan los atributos topológicos de los objetos tales como interior o exterior de unconjunto, frontera de un conjunto, conexidad o apertura y cerradura de curvas. Sólo después, según lasinvestigaciones piagetianas, el niño está capacitado para transferir a su espacio representacional atribu-tos euclidianos de los objetos, tales como longitud de las líneas o tamaño de los ángulos. Es ahí dondese presentan ideas sobre la conservación de la longitud, el área o el volumen de los objetos geométricos.

A diferencia del acercamiento de Piaget, la teoría de los profesores Van Hiele combina geometríacomo ciencia del espacio y geometría como una herramienta que permite demostrar la estructura mate-mática.

Una cuestión importante ligada a la percepción espacial que no sólo se reduce a la geometría, trata dela visualización en las matemáticas. Generalmente se entiende por visualización a la habilidad para repre-sentar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. En este sentido se tratade un proceso mental demasiado útil en diversas áreas del conocimiento matemático y científico.

En matemáticas se utilizan diferentes representaciones que requieren de la visualización, por ejem-plo las propiedades de inclusión en la teoría de conjuntos suele hacerse con el uso de dibujos como el dela figura 1.1, para describir el caso en que el conjunto A queda contenido en el conjunto B.

FIGURA 1.1. A contenido en B, A ⊆ B.

En el análisis de las funciones por su parte, es usual tratar con representaciones visuales del con-cepto para describir propiedades como la paridad f (x) = f (–x), la periodicidad f (x) = f (x + k), o la trasla-ción de funciones y = f (x + a), y = f (x – a), etc. En estos casos, el apoyo de recurso gráfico permitecaracterizar propiedades que jugarán un papel en los resultados posteriores, como puede verse en elcuadro 1.1.

Hace algunos años se publicó el libro de visualización en la enseñanza y el aprendizaje en mate-máticas (Zimmermann y Cunningham, 1991), en el cual se discute desde diversas posturas teóricassobre el papel que la visualización podría llegar a tener en la formación matemática de los estudiantes.Un artículo en particular llamó en su momento poderosamente nuestra atención, pues se analizaba laresistencia a visualizar por parte de los estudiantes. En nuestras investigaciones desde años atrás ha-

B A

SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 15

Caracterización analítica Ejemplo de una Caracterización gráficade una función par: particular función par: de una función par:

f (x) = f (–x) f (x) = x2 (x2 – 1)

Estas caracterizaciones de la paridad de una función, se utilizan para deduciry explicar resultados teóricos posteriores. Por ejemplo, si f es una función

par definida sobre [–a, a], entonces

∫∫ =−

aa

adxxfdxxf

0

)(2)(

Caracterización analítica Ejemplo de una Caracterización gráficade una función impar: particular función par: de una función impar:

f (x) = – f (–x) f (x) = x(x2 – 1)

Estas caracterizaciones de la imparidad de una función se utilizan para deducir y explicar resultadosteóricos posteriores. Por ejemplo, si f es una función impar definida sobre [–a, a], entonces

0)( =∫−

a

adxxf

CUADRO 1.1. Caracterizaciones visuales y analíticas de la paridad e imparidad de funciones.

bíamos encontrado una fuerte correlación entre la habilidad para procesar información visual con lacapacidad de analizar información analítica relevante en el campo del cálculo y el análisis matemático.Al respecto nuestro grupo produjo algunas investigaciones que en su momento fueron reportadas por elgrupo de investigación del AES, DME/Cinvestav, IPN.

Estuvimos interesados en analizar la manera en que los estudiantes abordan problemas como lossiguientes:

1. Considere a las variables reales x e y. Suponga que ambas variables representan números posi-tivos. Demuestre entonces que la ecuación xy = yx tiene una infinidad de soluciones reales, pero

16 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

que sólo tiene dos soluciones enteras (es decir, donde tanto x como y sean enteros), tales que(x

1, y

1) ≠ (x

2, y

2).

2. Considere la recta que aparece en la gráfica A siguiente. Imagine que el origen de coordenadasfunciona como un pivote que permite a la recta “girar” sobre ese punto. Suponga que gira a larecta en sentido contrario a las manecillas del reloj y mide el ángulo que puede girar sin quedeje de representar a una función respecto de x. Digamos que si la recta gira menos de 45º,entonces seguirá siendo una función de x. La pregunta es ahora, hasta cuánto podría girar laparábola que aparece en la gráfica B en el mismo sentido contrario a las manecillas del reloj,pero de manera que siga siendo una función de x.

GRÁFICA A. GRÁFICA B.

3. ¿Por qué es obviamente incorrecto el siguiente cálculo: 21

1

1

2−=∫

−

dxx

?

4. ¿Qué entiende por visualización en matemáticas?

En todos los casos, encontramos una serie de regularidades al estudiar el tipo de respuestas de losestudiantes.

Una propuesta de exploración con estudiantes fue presentada en el artículo de Zimmermann yCunningham (1991), donde se muestra un examen en el que, se afirma, la mayoría de los estudiantespresentan dificultades al intentar resolverlo. Hemos querido reproducirlo a continuación con el fin deque usted mismo intente resolverlo. Invitamos al lector que proponga a sus alumnos o a sus colegas estaactividad adaptándola al nivel escolar en el que se encuentre:

UN TEST DONDE LA MAYORÍA DE LOS ESTUDIANTES DE CÁLCULO FALLAN

(Tomado de Visualization in teaching and learning mathematics,editado en 1991 por W. Zimmermann y S. Cunninghamen las notas de la MAA con el número 19, pp. 25-26.)

1. Suponga que la recta L es tangente a la curva y = f(x) en el punto (5, 3) como se indica abajo.Encuentre f(5) y f′(5).

4

2

–6 –4 –2

00

0 2

–2

–4

6x

y

4

4

2

–6 –4 –2

00

0 4

–2

–4

6x

y

2

SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 17

2. ¿Por qué 21

1

1

11

1

1

1

1

1

11

1

2

1

1

2−=

−−−−=

−=

−

==−−

−

−

−

−∫∫ x

xdxx

x

dx es obviamente incorrecta?

3. Encuentre la pendiente máxima de la gráfica de y = – x3 + 3x2 + 9x – 27.

4. Evalúe ∫−

+3

3

2dxx .

5. Usando la gráfica de dy/dx = f′(x) = (x – 1) (x – 2)2 (x – 3)3, bosqueje la gráfica de la funcióny = f(x).

6. Si f es una función impar sobre [–a, a], evalúe ( )( )( ) .dxxfba

a∫−

+

7. Sea ( )

>++≤

=11

12 xxbx

xaxxf encuentre a y b tales que f sea derivable en 1.

8. En el diagrama P, Q y R son puntos sobre la gráfica de f. Para todo x, –1 < x < 0, f′′(x) < 0 y paratoda x, 0 < x < 1, f′′(x) > 0. Si la derivada de f en [–1, 1] existe, ¿cuál de lo siguiente debe sercorrecto?

a) f′(0) = 0.

b) f tiene un máximo en x = 0.

(0, 1)

(5, 3)

y f x= ( )

Ly

x

y

x

Q

R

P–1

f’’ < 0 f’’ > 0

1

18 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

c) f tiene un mínimo en x = 0.

d) Existe un número c, –1 < c < 0 para el cual f tiene un máximo.

e) Existe un número d, 0 < d < 1 para el cual f tiene un máximo.

9. Dada f una función derivable, tal que f(–x) = – f(x). Entonces para cualquier a:

a) f′(–a) = –f′(–a).

b) f′(–a) = f′(a).

c) f′(–a) = –f′(a).

d) Ninguna de las anteriores.

10. Suponga que f es una función continua. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta?

a) ( ) ( ) .∫ ∫−

−

=−b

a

kb

ka

dxxfdxkxf

b) ( ) ( ) .dxkxfdxkxfb

a

b

a∫∫ +=− .

c) ( ) ( )dxxfdxkxfkb

ka

b

a∫∫+

+

=− .

d) ( ) ( )∫∫+

+

+=−kb

ka

b

a

dxkxfdxkxf .

e) Ninguna de las anteriores.

En este libro abordaremos estrategias que permitan desarrollar la visualización en matemáticasparticularmente referidas a la construcción y análisis de las gráficas de funciones reales de una variablereal. Como se puede advertir, el desarrollo del pensamiento matemático entre los estudiantes requiere deprocesos temporalmente prolongados y que suelen ser mayores a los que la escuela ofrece. Supone, poruna parte, de una maestría en el dominio de la matemática y de los procesos del pensamiento asociados,pero exige simultáneamente de rupturas con estilos del pensamiento previo.

Para acceder a un desarrollo de la visualización en matemáticas se requiere entre otras cosas, delmanejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte de quien aprende. Elconocimiento superficial de la recta y la parábola no son suficientes para desarrollar las competenciasesperadas en los cursos.

Desde el punto de vista del sistema de enseñanza, tradicionalmente los cursos de precálculo (o de

SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 19

preparación al cálculo) se conforman por un repertorio de procedimientos y algoritmos provenientesesencialmente del álgebra y de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio delconcepto de función, habitualmente entendido en el sentido de la definición de Dirichlet-Bourbaki. Suenseñanza tiende a sobrevalorar los aspectos analíticos y los procedimientos algorítmicos, dejando delado los argumentos visuales o los enfoques numéricos.

Desde nuestra perspectiva, diremos que la naturaleza del concepto de función es en extremo com-pleja, su desarrollo se ha hecho casi a la par que evoluciona la cultura humana, pues encontramos vesti-gios del uso de correspondencias mediante tablas en la antigüedad, y actualmente se debate sobre lavigencia, en el ámbito de las matemáticas, del paradigma de la función como un objeto analítico. Comose señala en Cantoral y Farfán, 1999, el concepto de función devino protagónico hasta que se le concibecomo una fórmula, es decir hasta que logró la integración de dos dominios de representación: el álgebray la geometría. La complejidad del concepto de función se refleja en las diversas concepciones y repre-sentaciones con las que tratan los estudiantes y profesores. Una extensa lista de obstáculos epistemológicosrelativos al concepto de función se encuentra en el artículo de Ana Sierpinska publicado en Dubinsky yHarel, 1992.

Desde el punto de vista de las funciones cognitivas, los objetos inmersos en el campo conceptual delanálisis son particularmente complejos en este nivel pues, como en el caso que nos ocupa, la presenta-ción habitual de la noción de función se realiza como un procedimiento que se aplica a unos ciertosobjetos llamados números; este mismo concepto, el de función, deviene en objeto al ser operado bajootro proceso como la diferenciación o la integración y así se sigue hasta nociones aún más avanzadas.De modo que al iniciar un curso de análisis, el estudiante debe concebir a la función como un objeto ypor ende deberá estar sujeta a las operaciones que otro procedimiento efectúe sobre ella. De otro modo,¿qué significa operar un proceso? En nuestras experiencias con profesores en servicio en la educaciónmedia y superior y con sus estudiantes hemos constatado que en caso de que se logren incorporar ele-mentos visuales como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, entonces se suele mane-jar a la función no sólo como objeto, lo que ya es un gran logro, sino que además pueden transitar entrelos contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad; en otras pala-bras, en caso de tener un dominio del contexto visual tanto en la algoritmia, la intuición, así como en laargumentación, será posible entonces el tránsito entre las diversas representaciones. El problema didác-tico en consecuencia, estriba fundamentalmente en la dificultad cognitiva para adquirir maestría en elcontexto geométrico, por ejemplo, en el plano de la argumentación es mucho más fácil mostraralgebraicamente que geométricamente la existencia de una raíz doble, razón por la que en la enseñanzase acude al refugio algorítmico con facilidad.

La hipótesis central entonces, después de un análisis socioepistemológico a profundidad comoel que se desarrolla en Farfán, 1997, consiste en asumir que: previo al estudio del cálculo se requierede la adquisición de un lenguaje gráfico que posibilite, esencialmente, la transferencia de camposconceptuales virtualmente ajenos a causa de las enseñanzas tradicionales, estableciendo un isomor-fismo operativo entre el álgebra básica y el estudio de curvas, mejor aún, entre el lenguaje algebraicoy el lenguaje gráfico.

Esta hipótesis ha sido desarrollada tomando las dos siguientes directrices; en primer término sepresenta la posibilidad de operar gráficas en analogía con los números o las variables, dando sentido aoperaciones fundamentales como las que enunciamos a continuación:

20 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

–f(x) y f(–x) Reflexión respecto del eje x y del eje y respectivamente.

f(x + a) y f(x – a) Traslación en la dirección del eje x.

f(x) + a y f(x) – a Traslación en la dirección del eje y.

af(x) Contracción o dilatación respecto del eje y.

f –1(x) Reflexión respecto de la recta y = x.

1/f (x) Invierte ceros en asíntotas y viceversa, las regiones donde |y | > 1

se mandan hacia |y | < 1 y viceversa, dejando intactos a los puntos

sobre las rectas y = 1 e y = –1.

|f(x) | y f( |x| ) Respectivamente reflexión de las imágenes negativas al simétrico

positivo respecto del eje x y reflexión de sustitución del lado

de la gráfica con ordenadas negativas por la reflexión

del lado de la gráfica con ordenadas positivas.

El segundo aspecto relevante lo constituye la posibilidad de construir un universo amplio de funcio-nes a partir de tres funciones primitivas de referencias:

• La función identidad, f(x) = x.

• La función exponencial, f(x) = ax.

• La función sinusoidal, f(x) = sen x.

Todas ellas son la base para construir las funciones elementales en el sentido de Cauchy. Respecti-vamente ellas sirven para construir gráficamente, operando a las gráficas, a las funciones algebraicas,logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.

En este acercamiento ha resultado importante plantear situaciones-problema que involucren enun-ciados algebraicos que favorezcan el uso del lenguaje gráfico, por ejemplo la tarea, resuelve la desigual-

dad kxaxbx

bxax≤

+++−+−

que con las estrategias tradicionales para la resolución de desigualdades sería

muy complicada, es ampliamente desarrollada como estrategia de enseñanza en Farfán, 2001. Para todoello es necesario operar algebraicamente con el fin de obtener la gráfica de las funciones involucradaspara que finalmente sean comparadas y estar en condiciones de resolver de este modo los sistemas de

SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 21

ecuaciones a que haya lugar. Asimismo, para buscar los extremos de funciones como la siguiente; bax

x

+2

tomando a y b positivos, logramos avanzar en la construcción del puente entre contextos, pues la tareaen el contexto gráfico sirve de guía a la sintaxis algebraica, de modo que ésta refuerza su significado.

Veamos otro ejemplo de los problemas que hemos planteado sobre visualización y desarrollo delpensamiento y lenguaje variacional. Diseñamos un conjunto de cuatro tareas relacionadas unas conotras. Les proponemos una colección de cuatro gráficas idénticas, como la que se muestra enseguida, yles pedimos que utilicen una gráfica para cada inciso, de modo que deben marcar sobre la gráfica laporción en la que se cumpla sólo uno de los siguientes cuatro incisos:

1) f(x) > 0

2) f′(x) > 0

3) f′′(x) > 0

4) f′′′(x) > 0

Esperamos que sus respuestas nos indiquen las estrategias variacionales que utilizan y las formas encómo argumentan su elección frente a sus compañeros de clase. Claramente, como hemos comprobado, lapregunta más compleja para ellos resulta ser la última, pues es ahí donde se exige el uso de estrategiasvariacionales como única posibilidad de solución del problema.

PREGUNTA 1

Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con lacondición f(x) > 0.

En este caso, los estudiantes suelen recordar, basados en su enseñanza previa, que la ubicación enlos cuadrantes I, II, III y IV determina el signo de la imagen de la función; de modo que las ordenadaspositivas estarán en los dos primeros cuadrantes, mientras que las negativas en los restantes. De ahí quecontesten esta pregunta con relativa facilidad.

–3 –2

–1

–1

–2

2

1 2 3

1

22 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

PREGUNTA 2

Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con lacondición f′(x) > 0.

Los estudiantes, en esta oportunidad, confunden con frecuencia el signo de la derivada con el de lafunción, o en otro caso, recuerdan que las pendientes de las tangentes a la curva determinan el signo dela derivada, de modo que se tendrá para pendientes positivas correspondientes derivadas positivas. Estecambio de registro, la pregunta planteada en el contexto simbólico con apoyo visual, y la respuestaconstruida en el contexto visual, resulta mucho más complicado para los estudiantes y ello se expresa endos sentidos, por un lado la proporción de respuestas acertadas es baja y, por otro, las explicaciones queutilizan son escasas y evidentemente escuetas.

PREGUNTA 3

Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con lacondición f′′(x) > 0.

–3 –2

–1

–1

–2

2

1 2 3

1

–3 –2

–1

–1

–2

2

1 2 3

1

SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 23

Como podíamos prever, ahora la situación resultaría más compleja. Pues exige de niveles progresi-vos de abstracción. El recurso dominante en las respuestas de los alumnos, resulta ser la memoria.Puesto que ellos suelen recordar que la segunda derivada positiva se corresponde con la concavidadhacia arriba, en tanto que la concavidad hacia abajo está asociada con la segunda derivada negativa.Aunque no dispongan de explicación alguna para confirmar su razonamiento, pueden contestar a lapregunta. A juzgar por el análisis que hemos hecho de sus respuestas no se desprende la existencia dealgún otro argumento que permita enfrentar la situación planteada. De hecho, es usual entre los alumnosdisponer de un método mnemotécnico para establecer estas correspondencias, “es cóncava hacia arribaentonces retienen más agua, si lo es hacia abajo retendrá menos agua, de hecho tirará el agua”. Este símilcon una cubeta llena de agua puede aparecer como una estrategia para refrescar la memoria. Por supues-to, ello no parece implicar estrategias propiamente variacionales.

La última de las cuestiones ponía en evidencia este hallazgo, pues se trata de una situación en la cualno es posible recordar algún conocimiento previo, pues el tema no ha sido tratado en su enseñanzaconvencional.

PREGUNTA 4

Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con lacondición f′′′(x) > 0.

Esta pregunta suele plantear un reto especial, tanto a los estudiantes como a los profesores, puesaunque entienden efectivamente el enunciado del problema, no pueden construir una respuesta que lesparezca convincente. Esta dificultad se agudiza si en la pregunta elevamos el orden de la derivadainvolucrada, dado que carecen de elementos cognitivos y didácticos que les permitan construir unarespuesta adecuada. Consideramos que es hasta este momento en que ellos se encuentran en situación deaprendizaje, ya que la serie de tareas anteriores les permite, aunque fuese sólo con recursos mnemotécnicos,dar una respuesta a las preguntas planteadas. Empero, la cuarta pregunta plantea una problemática noprevista por ellos, el éxito en la pregunta radica en poder descifrar los códigos variacionales y articular-los en signos variacionales, pues la respuesta habrá de ser construida. En este momento, los estudiantes

–3 –2

–1

–1

–2

2

1 2 3

1

24 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

y los profesores suelen entrar en una situación de aprendizaje muy rica. Sólo quienes han dominadoalgunas de las estrategias del pensamiento y el lenguaje variacional pueden abordarla eficazmente. He-mos concluido, en este sentido, que el manejo simultáneo y coordinado de las derivadas sucesivas pare-ce ser una condición sin la cual la formación de la idea de derivada y en consecuencia de la noción depredicción deviene inevitablemente frágil. Para ello es que hemos propuesto y explorado el siguientetratamiento didáctico.

Ahora bien, algunas de las actividades de este libro retoman esta filosofía y esos resultados de lainvestigación contemporánea, para ello hemos elegido a la calculadora Casio modelo Algebra FX 2.0pues resulta adecuada a nuestros fines didácticos, por esa razón, hemos incluido en esta sección algunasindicaciones para el empleo de la calculadora con capacidad gráfica de modo que éste resulte sencillo ybreve.

Para tener acceso a los diferentes modos de funcionamiento de la calculadora Algebra FX 2.0 en-cienda el equipo presionando la tecla AC/ON ; al encender la calculadora, se muestra el menú principalen forma automática o la última de las pantallas en las que se trabajó, en tal caso oprima la tecla MENUpara acceder a la imagen que mostramos en la pantalla 1.1.

PANTALLA 1.1. Pantalla principal de la calculadora Algebra FX 2.0.

Para tener acceso al modo RUN MAT, aquel destinado a las operaciones aritméticas con el finde realizar una gama amplia de cálculos, oprima, estando en el menú principal, la tecla de núme-ro 1 , o desplace el cursor con las flechas hasta colocar la señalización en la primera ventana, RUNMAT , del menú, y oprima entonces la tecla EXE . La imagen que se muestra en la pantalla 1.2 esla siguiente:

PANTALLA 1.2. Pantalla del menú RUN MAT.

Para realizar cálculos básicos, ingrese los datos del mismo modo en que se escriben sobre el papel,de izquierda a derecha y siguiendo la misma lógica de las operaciones matemáticas. Por ejemplo, siquiere calcular la raíz cuadrada de cuatro, debe teclear la sucesión de teclas SHIFT √ 4 EXE paraobtener el 2 como resultado. La pantalla mostrará entonces lo siguiente:

SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 25

PANTALLA 1.3. Pantalla de cálculos √4 = 2.

Para graficar funciones o elaborar tablas de valores, use la ventana tres GRPH-TBL, del menúprincipal. Una vez ubicado en el menú principal, elija el submenú gráfico y de tabla presionando la teclaEXE una vez posicionado en GRPH-TBL como se muestra en las pantallas 1.4 y 1.5.

PANTALLAS 1.4 y 1.5. A la izquierda, menú principal GRPH-TBL, a la derecha el menú de gráficas.

Para introducir una función en el menú de gráficas, oprima las respectivas teclas de las variables ylas operaciones en el mismo orden en el que lo haría al escribir la fórmula en una hoja de papel. Porejemplo, para introducir la función f(x) = x(x2 – 1), debe oprimir las teclas X,θ,T ( X,θ,T X2 – 1..) , en ese orden. En tal caso obtendrá en la pantalla lo siguiente:

PANTALLA 1.6. Menú de gráficas, función f(x) = x(x2 1).

Al oprimir la tecla EXE , la función queda registrada en la memoria de la calculadora como Y1, yla pantalla se muestra como sigue:

PANTALLA 1.7. Menú de gráficas con Y1 seleccionada y en espera de Y2.

26 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

F1 F2 F3 F4 F5 F6

SHIFT CTRL OPTN MENU

ALPHA VARS ESC

REPLAY

ab c X2 ( ) ,7 8 9

4 5 6

1 2 3

0 EXP

DEL

X, , Tq log In sin cos tan

—+

( – ) EXE

AC ON

=

´

Oprima F5 que corresponde a la instrucción DRAW para trazar la gráfica de la función en la panta-lla de la calculadora. De este modo la gráfica, quedará como sigue:

PANTALLA 1.8. Gráfica de Y1 = X(X2 1).

La ventana que elegimos para lograr esa vista de la gráfica es la que aparece en la pantalla 1.9.Recuerde que las ventanas se eligen con anterioridad y conviene hacer un cierto número de ensayos conel fin de dominar el proceso de elección de la ventana adecuada.

PANTALLA 1.9. Ventana de visualización.

FIGURA 1.2. Vista del teclado de la Algebra FX 2.0.

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 27

27

CAPÍTULO 2

Una introduccióna las funciones y sus gráficas

♦ OBJETIVO

n Familiarizarse con las funciones que describen ciertos fenómenos.

n Introducir algunas nociones de base: curva representativa, sentido de variación, paridad eimparidad, crecimiento y decrecimiento, máximo y mínimo.

n Realizar lecturas sobre las gráficas de funciones.

2.1. PRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES

Llamamos función de una magnitud variable, a una cantidad que es compuesta de cualquier manera posible de

esa magnitud variable y de constantes.

(John Bernoulli, 1718)

Si ahora para cualquier x existe una única correspondiente, y finita, ... entonces y es llamada función de x para

ese intervalo... Esta definición no requiere de una regla común para las diferentes partes de una curva; uno

puede imaginar la curva como compuesta de las más heterogéneas componentes o como trazada sin seguir

ninguna ley.

(Dirichlet, 1837)

Y

X

Tomado de: Historia de las matemáticas a través de la imagen,Somprocyt/IPN/Año Mundial, IES Salvador Dalí, España

28 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

El concepto de función es fundamental en matemáticas, ciencia y tecnología. El concepto de fun-ción se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas contemporáneas, razón por la que el conceptoes de gran generalidad. Nos permite modelar la evolución de fenómenos naturales y sintetizar procedi-mientos en matemáticas, permite modelar la distribución de temperaturas en cada punto de una superfi-cie, a la vez que nos sirve para estimar el valor de un producto comercial en función de la inflaciónesperada en unos meses. Gracias al concepto de función, podemos saber cuál es la dosis adecuada demedicamento que habrá de tomar un paciente enfermo. De este modo, las funciones nos permiten estu-diar las relaciones que se establecen entre variables, particularmente en este libro trabajaremos confunciones reales de una variable real, es decir, pondremos el énfasis en el estudio de correspondenciasentre dos variables reales.

Como sabemos, las funciones reales y = f(x) de una variable real x fueron, desde Descartes, laherramienta fundamental para el estudio de curvas geométricas y, desde Galileo, para los cálculos mecá-nicos y astronómicos. La palabra functio fue propuesta por Leibniz y por John Bernoulli, mientras que elsímbolo f fue introducido por Euler (1734). En la época de Leibniz, Bernoulli y Euler, las funcionesreales fueron pensadas como expresiones compuestas por entidades algebraicas. Durante el siglo XIX ,principalmente bajo la influencia de la teoría analítica del calor de Fourier y el estudio que hicieraDirichlet de las series de Fourier, se edificó una noción de función aún más amplia según la cual, unafunción podría ser entendida como “cualquier curva libremente trazada” o “cualquier asociación devalores de y definidos en dependencia de los valores asignados a la x”. A continuación se muestran dosde las definiciones que suelen presentarse en los libros de texto contemporáneos, ambas aunque equiva-lentes, son usadas con propósitos diversos.

Limitaremos nuestra atención a funciones de una clase muy particular, funciones reales de variablereal. Pensemos como punto de partida que una función puede entenderse como una regla que asigna acada uno de ciertos números reales un número real, por ejemplo, ilustremos esto con frases como lassiguientes:

• La regla que asocia a cada número real su cuadrado.

• La regla que asocia a cada número real su mayor entero menor o igual que él.

• La regla que asocia a cada número real no negativo, su raíz cuadrada.

• La regla que asocia a cada número real x entre –1 y 1, el número real .1 2x−

• La regla que asocia a cada número real el número de veces que aparece el 2 en los primeros 10dígitos de su expansión decimal.

• La regla que asocia a cada número racional el 1, y a cada número irracional el 0.

• La regla que asocia a cada número real diferente de 1, el número π, y al 1 le asocia el númeroreal que usted quiera.

• La regla que asigna a todo número real x ≠ 1 y x ≠ –1, el número .1

132

24

−+−

x

xx

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 29

Es importante observar que las funciones no necesariamente están dadas por fórmulas algebraicas,como acaba de constatar, sin embargo, aquellas funciones que están dadas por fórmulas son de muchautilidad en diversos campos de las matemáticas y de las ciencias; por ello es que resultan objeto deestudio en cualquier currículo contemporáneo. El conjunto de números a los cuales se aplica una fun-ción recibe el nombre de dominio de la función.

Definición de función como relación entre variables

Una función es una relación entre variables tal que a cada valor de la primera variable (variable dependiente) le

corresponde sólo un valor de la segunda variable (variable independiente). Si x representa a la variable depen-

diente, y describe a la variable independiente; esto se suele escribir como y = f(x) con el fin de representar el

hecho de que la variable y está en función, depende, de la variable x.

Definición de función como correspondencia entre conjuntos

Una función f: A → B consiste en dos conjuntos, el dominio A y el rango B. Esta correspondencia es denotada

por y = f(x) o x → f(x). La expresión f(x), representa entonces al valor de f en x, o también llamada la imagen

de x bajo f.

Estas definiciones, como la gran mayoría de las que usan en matemáticas, son el producto de pro-fundas síntesis que suelen ser realizadas por generaciones enteras de científicos. De modo que solemosdecir, “la noción de función del siglo XIX”, o “la noción de función de la escuela euleriana”. Sin embar-go, para quienes estamos interesados en los aprendizajes, sabemos que los conceptos no se puedenreducir a su definición, pues de hacerlo, corremos el riesgo de no producir aprendizajes entre las y losestudiantes. Por esa razón mostramos a continuación diversos procedimientos que favorecen el desarro-llo del sentido de función entre las y los estudiantes. En este capítulo entonces, tratamos el concepto defunción desde el punto de vista de su aprendizaje, es así que hemos optado por desarrollar y proponer allector una serie de actividades matemáticas que permiten desarrollar habilidades para el tratamiento delconcepto de función.

Aunque la definición moderna del concepto de función que domina en la literatura escolar, aquellaconocida como la definición Dirichlet-Bourbuaki, que trata la correspondencia entre conjuntos sin espe-cificar la naturaleza de éstos, nosotros trataremos exclusivamente con conjuntos de números reales ymás particularmente con intervalos o reuniones finitas de intervalos. En nuestra opinión, es en estostipos de conjuntos que puede desarrollarse, en su etapa inicial, el sentido de función antecediendo a unageneralización mayor. Adicionalmente, el tratamiento que seguimos en este libro pone particular aten-ción en distintas representaciones del concepto de función, de modo que con frecuencia hablaremos dela función como una regla de correspondencia, como una fórmula explícita, una curva representativa,una tabla de valores, una correspondencia arbitraria y una relación de dependencia.

Iniciamos este capítulo con la clasificación de las funciones que diera Euler en 1748. Es importantesaber que dicha clasificación sigue siendo válida hoy día y puede ayudarnos a entender algunos aspectos

30 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

importantes de las funciones. De hecho, en este libro, siguiendo la terminología de Euler, trabajaremoscon funciones algebraicas y trascendentes. La mayor parte del tratamiento la haremos con funcionespolinomiales y con funciones racionales. En la parte final del libro haremos una introducción de algunasde las funciones trascendentes más usuales en la enseñanza.

CUADRO 2.1. Clasificación de las funciones. Euler, 1748.

Una función polinomial de x en los reales, tiene una expresión algebraica como la siguiente,f(x) = a

n xn + a

n–1 xn – 1 + ... + a

2x2 + a

1x + a

0, con a

0, ..., a

n números reales. Si a

n ≠ 0 se dice que la función

polinomial es de grado n. Según la clasificación euleriana, un polinomio es entonces una función algebraicaracional entera. Por ejemplo, la función dada por la fórmula f(x) = 5x6 + 3x – 1 es una función polinomialde grado seis.

Una clase más amplia de funciones son las racionales, de hecho ellas incluyen a las funcionespolinomiales o polinómicas, pues una función racional es una que se expresa como el cociente de dosfunciones polinómicas. Expresiones como las siguientes representan funciones racionales:

• .13

325)(

4

3

−−+=

x

xxxf

• .1

)(x

xf =

• .1)( += xxf

Esta última función también es racional, ¿por qué?

Una función que a cada x real, le asocia un número real c, es decir, que a cada x le asocia el mismonúmero c, se denomina función constante. Por ejemplo las funciones f(x) = 5/3, f(x) = 1, f(x) = –3 of(x) = √5 son funciones constantes. Asimismo, se conoce como función lineal aquella para la cual, acada real x le asocia el número ax + b, con a y b reales, y a diferente de cero. Función cuadrática por

fraccionaria

función

algebraica

trascendente

racional

irracional

entera

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 31

su parte, es aquella que asocia a cada real x, el número real ax2 + bx + c, donde a, b y c son reales ya no cero; la cúbica, cuártica, etc., tienen natural y respectivamente asociadas expresiones algebraicasde grado tres, cuatro, etc. Dichas notaciones fueron establecidas con el paso del tiempo, por ejem-plo en el siglo XVII , Newton tenía la necesidad de aclarar el sentido de sus notaciones. Por ejemplo,decía:

Aquí será propio observar, que hago uso de x-1, x-2, x-3, x-4, etc., para x

1,

2

1

x,

3

1

x,

4

1

x, etc.; de

2

1

x, 2

3

x, 2

5

x,

3

1

x,

3

2

x, etc. para x , 3x , 5x , 3 x , 3 2x , etc...

Newton, 1671

2.2. CÓMO SE INTERPRETA A UNA FUNCIÓN

Mediante una fórmula explícita

Pensemos, por ejemplo, en la expresión f(x) = x – x2. Esta permite asociar a cada número real x, elnúmero x – x2. Así por ejemplo, para x = 1, se asocia el número 1 – 12 = 1 – 1 = 0, y se dice entonces que0 es la imagen del 1 bajo la función f. De manera general, se dice que x, tiene a x – x2 por imagen bajo f.

♦ Ejemplos:

• f(x) = x – 3x2 + 0.7x3.

• f(x) = x1/3 + 1.

• f(x) = 2x2 + 1.

• f(x) = x2 – 1.

• f(x) = 1/x.

• f(x) = (x – 3) (x – 5)2.

• f(x) = (x – 3)2/(x + 1)3.

•12

)(2

−+=

x

xxxf .

Con la ayuda de instrucciones de una calculadora

Por ejemplo, la tecla √ permite asociar a todo número positivo, su raíz cuadrada. Esta tecla está ligadaa la función f definida sobre el intervalo [0, ∞) mediante la fórmula conocida f(x) = √x. De modo que lasecuencia de teclas

32 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Da por resultado el número 3, como se puede apreciar en la siguiente pantalla:

PANTALLA 2.1. Menú MAT.

Consideremos ahora una secuencia de teclas como la siguiente:

Ésta presenta a la función dada por la fórmula (x2 + 2)/x. De modo que si antes asigna a la xel valor de 2, la sucesión de teclas dará como resultado (22 + 2)/2 = 3. Es decir, produce el valorf(2) = (22 + 2)/2 = 3.

♦ Ejemplo:

Esta secuencia produce como resultado la expresión (x2 + 2)/x. En caso de que esto se haga en elmenú de gráficas, produce la función Y1 = (x2 + 2)/x. En otro caso, estando en el menú de operacionesmatemáticas, asigne un valor particular para la variable x, y éste quedará guardado en la memoria, porejemplo si asigna previamente a la memoria el número 10, tendrá por resultado al presionarEXE , al número 10.2; esto a causa de que la función en cuestión evalúa como sigue:

f(10) = (102 + 2)/10 = 102/10 = 10.2,

y de este modo f(10) = 10.2.

Con la ayuda de una secuencia de teclas

Ejemplos de funciones introducidas por secuencias de instrucciones en una calculadora. Consideremoslas siguientes secuencias de instrucciones. En el menú de gráficas describa a qué expresión da lugar yasigne algún valor de x en la memoria para evaluar a la función en dicho punto.

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 33

Con el auxilio de una tabla de valores

Sobre el menú de tablas, calcule las imágenes de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... bajo la funciónf(x) = x2 – 2x + 1.

x y

0 1

1 0

2 1

3 4

4 9

5 16

6 25

7 36

8 49

9 64

Arithmetica

D E

Numeri continue Logarithmi rationales

10 1,000

31622,77660,16837,93319,98893,54 0,50

17782,79410,03892,28011,97304,13 0,25

13335,21432,16332,40256,65389,308 0,125

11547,81984,68945,81796,61918,213 0,0625

10746,07828,32131,74972,13817,6538 0,03125

10366,32928,43769,79972,90627,3131 0,01562,5

... ...

34 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Localice el valor de 0 en la fila de las x y lea el valor correspondiente en la fila de y. De modo que sila x = 0, y = 1. Esto se escribe de la manera siguiente: f(0) = 1. Equivalentemente, f(2) = 1, f(3) = 4,etc. En el caso de la tabla de Briggs, se tiene que el 10 se corresponde con el 1, mientras que√ 10 + 3.162,277,660,168,379,331,998,893,54 se corresponde con ½ = 0.5.

♦ Ejemplos:

FIGURA 2.1. Original de los cálculos de las raíces cuadradas sucesivas del 10 y de sus logaritmosrespectivos en la base 10 de Briggs, 1624.

(Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.)

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 35

Mediante el trazo de una curva

La curva C, que ve en la figura siguiente, permite asociar a cada valor de x entre 0 y 5, el númeroy = f(x). De este modo tiene a la función definida sobre el intervalo [0, 5].

En tal caso tiene:

f(0) = 0.

f(1) = 3.1.

f(4.75) = f(1) pues 1 y 4.75 tienen la misma imagen.

♦ Ejemplos:

y

x

0 1 2 3 4 5

y

x

y

x

36 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Por una relación de dependencia

Es usual encontrar relaciones de dependencia en diferentes campos del conocimiento, por ejemplo engeometría, en las ciencias naturales y sociales, así como en diversos campos de la tecnología. Vea algu-nos ejemplos:

• En un lugar determinado de la superficie terrestre, la temperatura está en función de la altitud.

• El área de un círculo está en función de su radio r. A(r) = πr2.

• El precio de un producto está en función de la demanda.

Mediante correspondencias arbitrarias

Una función es una colección de pares de números con lasiguiente propiedad. Si (a, b) y (a, c) pertenecen a la co-lección, entonces debe ser b = c. La correspondencia en-tre variables o entre elementos de un conjunto, puede es-tablecerse en términos de elecciones arbitrarias. Por ejem-plo, podemos tener una función construida como sigue:coloque una cuerda sobre una mesa, fije sus extremos conun clavo, algo así como la cuerda de una guitarra movién-dose sobre un plano. Hágala vibrar, y a los diez segundosdetenga, hipotéticamente, su vibración. Cada punto del

y

x

y

x

FIGURA 2.2.

x

y

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 37

intervalo [a, b] tendrá asociado el valor correspondiente a la ordenada de la curva en ese instante. Esefenómeno determina una función real de variable real.

Otros ejemplos del mismo tipo pueden encontrarse en la teoría de las probabilidades o en las cien-cias experimentales, del mismo modo que en matemáticas podemos decir, “sea f una función creciente”,esto, no sé de cuál función en particular se está hablando, pero en cambio sé cuál es la propiedad quecumple. Esta generalización del concepto de función tuvo lugar a lo largo de siglos, gracias, por unaparte, a los procesos de matematización de la ciencia, como a la propia extensión del aparato teórico y desus fundamentos en matemáticas. Por ejemplo, las siguientes funciones no tienen una forma típicamenteescolar del bachillerato, pero son funciones matemáticas legítimas.

•

∈∈

=Qx

Ixxf

0

1)( , función propuesta por Dirichlet (1829).

• ∑∞

=

=1

2

2 )(sen)(

n n

xnxf , función propuesta por Weierstrass (1872).

•

=

≠=00

0)1

(sen)(x

xx

xxf , función propuesta por Cauchy (1821).

•

<−

=

>

==∞→

02

00

02

)arctan(lím)(

x

x

x

nxxfn π

π

.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

Definición

Sea f una función definida sobre A. Cuando la variable x recorre el intervalo A, el conjunto de todos lospuntos M de coordenadas (x, f(x)) constituye la representación gráfica de la función f, o también llamadala curva representativa C

f de f. Sintéticamente podemos llamarle la gráfica de f, y la simbolizamos como

Gf. Ahora bien, si M(x, y) es un punto de C

f esto significa que x pertenece al conjunto A y que la y es la

imagen de x bajo f, es decir, está dada por la expresión y = f(x).

Coloque los puntos y visualice la curva

Consideremos f definida sobre [–1, 3] por f(x) = x – x2. A partir de la tabla de valores podemos inferir elaspecto de su curva representativa:

38 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

x –1 –0.5 0 0.5 1 2 3

f(x) –2 –0.75 0 0.25 0 –2 –6

La tabla de valores anteriores permite colocar los siete puntos correspondientes de la curva representa-tiva C

f como se muestra enseguida:

GRÁFICA 2.1. Gráfica de f(x) = x x2.

El trazo puede ser obtenido a mano completando los espacios entre puntos mediante una curva lisao suave (se entiende como una curva sin picos).

¿Cómo saber si el punto M(2, –4) pertenece a la curva Cf?

Directamente, se calcula en la expresión f(x) = x – x2 el valor que toma f(2) = 2 – 22 = –4. En conse-cuencia el punto M pertenece a la curva C

f .

En el caso de que un punto, digamos el N(2, 3), no satisfaga la expresión f(x) = x – x2 indica que noestá sobre la curva C

f. Efectivamente, en este caso f(2) = 2 – 22 = –4 ≠ 3, así que la respuesta es que el

punto N no pertenece a la curva.

ALGUNAS NOCIONES QUE LE SERÁN UTILES A LO LARGO DEL LIBRO

Sentido de variación

Cuando la curva Cf, en el sentido en el que x crece, sube, decimos que la función es creciente; y cuandobaja, decimos que la función es decreciente. Veamos el caso siguiente. Pensemos en la función dadapor f(x) = –x 2 + 1 definida entre –1 y 1. Este crecimiento de f sobre [–1, 0] traduce el hecho de que, en[–1, 0], si x aumenta, entonces f(x) aumenta, es decir, se x ≤ x′, entonces la imagen crece, pues vade f (x) a f(x′), y estos valores cumplen con f(x) ≤ f(x′). Después del cero, en cambio, cuando x crece, laf decrece.

y

x

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 39

GRÁFICA 2.2. Gráfica de f(x) = x2 + 1.

Definición

Sea f una función definida sobre un intervalo I. Se dice que f es creciente sobre I cuando, para todos losvalores reales x y x′ de I que cumplen con x ≤ x′, se tiene que f(x) ≤ f(x′).

Se dice que f es creciente sobre I cuando, para cualesquier x y x′ de I que cumplen con x ≤ x′, setiene en consecuencia que f(x) ≤ f(x′)

Estudiar el sentido de variación de una función es precisar los intervalos donde ella es creciente yaquellos donde es decreciente. Estos resultados pueden ser resumidos como sigue:

♦ Ejemplos:

• Variaciones de f: [0, ∞) → ℜ , dada por la fórmula x

xfx1

)( =a .

Como sabemos si 0 < x ≤ x′, entonces 0 < 1/ x′ ≤ 1/x. De ahí que f(x′) ≤ f(x), entonces lafunción f es decreciente sobre [0, ∞).

• Variaciones de la función dada por la regla f(x) = x3 + 1 definida en el intervalo (-∞, ∞). Sean xy x′ números reales, es decir, x, x′ + ℜ, tales que x ≤ x′, entonces x3 ≤ x′3. De modo que lafunción es creciente en todo ℜ = (-∞, ∞).

Sobre una calculadora gráfica

Haga el tratamiento sobre la función 2x – x3, para ello tecleamos en la calculadora la sucesión deteclas:

1.2

1

0.8

0.6

0.4

00

0.2

0.2 0.4 0.6 0.8–0.8 –0.6 –0.4 –0.2

–0.2

y

x

40 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Trace la curva representativa, oprima la tecla F5 la cual corresponde a DRAW.Regresr a la pantalla inicial mediante la sucesión de teclas CTRL F5 (G ↔ T) o bien con la

tecla ESC .

PANTALLA 2.4. y = 2x x3.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

Funciones: definiciones diversas

Por una fórmula explícita (ejercicios 1 a 3)

1. La función f asociada al número real x, está dada por la fórmula: f(x) = (x – 3)2 + 2.

Calcule f(0), f(3), f(–3), f(11/5) y f( √3).

¿Cuál es la imagen de 1, de 1.2 y de –1/3?

Encuentre dos números reales que tengan la misma imagen.

En los ejercicios 2 y 3, encuentre el dominio de definición de la función. Es decir, encuentreel intervalo o la reunión de intervalos tal que la función esté definida sobre ellos y no fuera.

2. a) f(x) = 2 – 1/x.

b) f(x) = 8/(x – 3).

c) f(x) = (x + 3)/(2x + 1).

3. a) f(x) = 2 + √x.

b) f(x) = √(x + 1).

c) f(x) = √(4 – x).

d) f(x) = 1/√x.

Con la ayuda de una calculadora (ejercicios 4 y 5)

4. Un número real x está guardado en la memoria de la máquina, ejecute la sucesión de teclassiguiente:

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 41

Secuencia

Secuencia

a) Ejecute esas dos secuencias para diferentes valores de x.

b) Explicite la función definida en los dos casos, después intente explicar los resultadosobtenidos en el inciso anterior).

5. Escriba una sucesión de máquina asociada a la función:

9

13)(

2 −+=

x

xxf .

xxxf

1)( −= .

Con la ayuda de una tabla

6. La tabla de una función cuadrática se obtuvo al evaluarla en los números que están en la fila 1,y se obtuvieron los resultados correspondientes en la fila 2. Defina una función mediante unafórmula explícita.

1 0 1 2 –2 3 5

2 –5 –4 –1 –1 8 20

Mediante el trazo de una gráfica

7. La curva que aparece a continuación representa la trayectoria de un proyectil. Para cada valorde x en metros, 0 ≤ x ≤ 80, 0 ≤ a(x) ≤ 30 es la altura correspondiente en metros.

Gráfica de a(x).

a) Analice la información gráfica.

1 1+ EXE SHIFT ) EXE

2 X, , Tq EXE ( – ) X, , Tq ( X, , Tq + 1 ) EXE

42 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

1) El dominio de a(x).

2) Cuáles son los valores a(0), a(10), a(20), ..., a(70), a(80).

b) Interprete los resultados anteriores con base en la situación enunciada.

Por una relación de dependencia (ejercicios 8 a 10)

8. En electricidad.

En un circuito, la resistencia R es equivalente a las dos resistencias r1 y r

2 puestas en para-

lelo, en ese caso se cumple la relación siguiente:

21

111rrR

+= .

Exprese R en función de r1 y r

2 .

Exprese r1 en función de R y de r

2 .

9. En termodinámica.

La presión P de un gas en un volumen constante V0 está en función de su temperatura T, y se

expresa por la relación:

T = PV0

Exprese la presión P en función de la temperatura T y del volumen V.

Exprese el volumen V en función de la presión P y la temperatura T.

10. En física.

En la superficie de los océanos, la presión media es aquella que posee normalmente la at-mósfera (1.033 kg/cm2), mientras que la presión aumenta con la profundidad a una razón de1 kg/cm2 por cada 10 m.

a) ¿Cuál es la presión a una profundidad de 6,000 metros?

b) Defina mediante una fórmula explícita la presión como una función de la profundidad.

11. En geometría.

Sobre la siguiente figura, se tiene que A(2, 1) y M(x, 0). Si se denota por f(x) a la pendiente dela recta AM,

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 43

Determine los valores de f(–1), f(0), f(1) y f(3). ¿Cuál es el dominio de la función f?

Gráficas de las funciones

12. La curva siguiente es la representación gráfica de una función f.

a) Sobre qué intervalo está f definida.

b) Aproxime el valor de las imágenes de f para los números siguientes:

–1; –0.5; 1; 1.9; 2 + 1/8.

13. Sea Cf la curva representativa de la función que asigna a cada real x el real

1)(

2

−=

x

xxf .

a) ¿Cuál es el dominio de definición de f?

b) ¿Cuáles, de entre los puntos siguientes, pertenecen a Cf?

A(0, 0), B(2, 4), C(1, 0), D(1/2, 1/3).

c) ¿Cuál es la abscisa del punto de ordenada 3? ¿Cuál es de ordenada 100?

14. Asociación de la gráfica con la fórmula.

Considere a las cuatro funciones siguientes:

f(x) = 1 + x – x2 ; g(x) = abs (x – 1) + 1; –1 = x h(x) ; –1 = x k(x).

44 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

a) Determine las imágenes de 0 y 1 para cada función.b) Teniendo las cuatro curvas representativas de las funciones anteriores, asocie a cada función su curva.

15. ¿Verdadero o falso?

a) La población mundial es una función creciente del tiempo.

b) En un balón, la presión es una función decreciente del volumen.

c) Para un rectángulo de área 10 cm2, el ancho es una función decreciente del largo.

d) Cuando un vehículo frena, la distancia de frenaje es una función creciente de la velocidad.

16. Diseñe una tabla de variaciones para cada una de las funciones representadas gráficamente enlos ejercicios 7 a 11.

17. Las dos curvas siguientes son las representaciones gráficas de dos funciones f y g definidassobre [–3, 3].

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 45

a) Complete la tabla de variaciones de f y de g.

b) ¿Permite la tabla de variaciones conocer de qué función se trata?

18. De acuerdo con la siguiente tabla de variación de una función f:

x –5 –3 2 4

f(x) 6 4

1 0

trace tres posibles gráficas diferentes de f que cumplan con la anterior tabla de variaciones.

19. Determine el sentido de variación de:

a) f(x) = √x en [0, + ∞).

b) f(x) = x2 + 1 sobre [0, + ∞) y luego sobre (–∞, 0].

c)x

xf4

1)( += sobre [0, + ∞) y luego sobre (–∞, 0].

20. En el plano xy, se tienen los puntos A(2, 1) y M(x, 0). Diseñe la tabla de variaciones de lasfunciones siguientes sobre [-5, 5]:

a) l(x) = longitud de AM.

b) a(x) = área del triángulo OAM.

c) p(x) = pendiente de la recta AM.

î ì î

46 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

PARIDAD

Estudie la paridad de una función, significa precisar si f es par o impar, o bien ni par ni impar.

21. En la siguiente figura se muestra una parte de la curva representativa de una función f definidasobre ℜ. Complete el trazo suponiendo que:

a) f es par.b) f es impar.c) f no es par ni impar.

22. La gráfica de una función f definida sobre [–4, 4] está parcialmente representada en la siguientefigura.

a) ¿La función f puede ser impar?

b) Complete el trazo suponiendo que es par.

En los ejercicios 23 a 25, explore la paridad de las funciones.

23.a) f(x) = x3 + 2.

b) .1

)(2x

xxf

+=

UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 47

c) f(x) = x2 – x.

d) f(x) = (x – 3)2 + 3x.

24.

a)x

xf7

)( −= .

b)x

xxf1

)( 2 += .

c)2

2 1)(

xxxf += .

25.

a) f(x) = (x + 2)2 .

b) f(x) = (x + 3)2 – (x – 3)2 .

26. Estudie la paridad de la función distancia D(x), la cual representa a la longitud del segmentoAB que une los puntos A(0, 2) y B(x, 0) en el plano cartesiano.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

En los ejercicios 27 y 28 considere la función f definida sobre [-3, 3] y representada gráficamente en lafigura N.

27.a) Construya la tabla de variaciones de f, después determine su máximo y su mínimo

sobre cada uno de los intervalos [–1, 3], [1, 3] y [–1, 2].

b) ¿Cuál es el mínimo en el intervalo [–1, 1.34]?

48 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

28. ¿Verdadero o falso?

Sobre el intervalo [0, 2.6], f alcanza su máximo en un solo punto de este intervalo.

29. La función dada por la relación x

x1

a admite sobre el intervalo (0, + ∞), ¿un máximo?, ¿un

mínimo?

30.a) Considere a la función f definida por la fórmula f(x) = (x + 2)2 + 3.

Muestre que, para todo x, f(x) ≥ 3.

Determine los valores de x tales que f(x) = 3.

Deduzca que f admite el valor 3 como mínimo sobre ℜ, y que ese mínimo es alcanzadoen el valor –2.

b) Con el método empleado en el inciso anterior, muestra que cada una de las funciones si-guientes admite un mínimo y sobre ℜ y precice los puntos donde este mínimo es alcanzado.

32

)31

( 2 −−xxxa .

21 +−xxa .

3−xxa .

TRABAJO CON LA CALCULADORA

31. Considere una ventana en la calculadora dada por [–5, 5] por [–3, 3], esto es que los valores dex están entre –5 y 5, mientras que los de y están entre –3 y 3. Más específicamente, –5 ≤ x ≤ 5,mientras que los de y están entre –3 ≤ y ≤ 3. ¿Cuáles de los puntos siguientes están en laventana de visualización?: (–6, 2); (5, 5), (3, 5), (–2, 2), (0, 0), (125, 34), (–10/2, 9/3).

32. Grafique la función y = x2, en distintas ventanas de su calculadora: [–0.5, 0.5] por [–0.5, 0.5];[–1, 1] por [–1, 1]; [–2, 2] por [–2, 2]; [–10, 10] por [–5, 5]; [0, 3] por [0, 9]; [1, 1] por [2, 4];[2, 2] por [3, 3].

33. Elija una ventana en la que no se vea la gráfica de la función y = x3.

34. ¿Cuáles de los siguientes puntos son simétricos entre sí, respecto del eje y?: (1, 2); (3, 4); (–1, 2);(–1, 1); (0, 1); (3, –4); (–3, –4); (–2, 2), (2, 2).

35. ¿Cuáles de los siguientes puntos son simétricos entre sí, respecto del origen?: (1, 2); (3, 4);(–1, 2); (–1, 1); (0, 1); (3, –4); (–3, –4); (–2, 2); (2, 2); (0, –1).

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 49

49

CAPÍTULO 3

Método de la tabulación

Alo largo de su historia, los seres humanos han generado una cantidad impresionante de infor-mación y una de sus tareas principales ha sido organizarla. Podemos observar cómo diversasramas científicas se han encargado de mantener un orden, principalmente mediante los textos.

Hoy, gracias a la tecnología de la información podemos organizar y almacenar una vasta cantidad de ellamediante archivos y acceder a los detalles de manera inmediata. Pero la finalidad de este trabajo, quehoy día facilita la tecnología, es la de analizar dicha información de manera que podamos utilizarla enotras tareas, por ejemplo en la predicción de fenómenos.

En matemáticas, la tabulación es una forma humana de organización de la información. Su tareaentonces, será la de analizar, entender y utilizar dicha información en otros contextos, tanto matemáticoscomo sociales.

3.1 TABLAS, GRÁFICAS Y FÓRMULAS

El primer acercamiento significativo de los estudiantes al concepto de función es, sin duda, mediantela elaboración de tablas. El método de la tabulación es una poderosa herramienta para la elaboraciónde conjeturas y principalmente para el bosquejo de formas gráficas que sintetizan la información.Una tabla que muestre los valores de la variable independiente x y de la variable dependiente y, puededarle razón del comportamiento de una función, o bosquejo de su gráfica. Observe por ejemplo unatabla, los puntos que representa en el plano de coordenadas y la gráfica de su función, en el intervalo–2 ≤ x ≤ 2:

Tomado de: Historia de las matemáticas a través de la imagen,Somprocyt/IPN/Año Mundial, IES Salvador Dalí, España

50 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

X Y

2 3

1 0

0 1

1 0

2 9

Sin embargo, como muchas herramientas, la tabulación tiene sus limitantes. ¿Qué pasa si para lafunción anterior el alumno sólo hace una tabla con valores de x positivos mayores que cero?, en muchoscasos somos los profesores quienes definimos la tabla, de tal manera que orillamos al alumno a aceptaralgo y no a explorar sobre sus conjeturas. Además, hemos hecho rutinario el paso de una tabla a unagráfica, pero, ¿qué podemos analizar en una tabla que nos brinde una idea de cómo se comporta lagráfica de la función antes de graficarla? Analice el caso anterior con el siguiente ejemplo:

X Y

2 3

1 0

0 1

1 0

2 9

Aquí tiene un ceroentre dos valoresnegativos, lo cual

supone que la gráficade la función no cambia

de cuadranteen esta zona.

Aquí tiene un ceroentre un valor negativoy uno positivo, lo cualsupone que la gráfica

de la función cruza el eje x y pasadel 4º al 1er. cuadrante

en esta zona.

–2 –1 1 2

10

8

6

4

2

–2

–4

–2 –1 1 2

10

8

6

4

2

–2

–4

Si hace una exploración alrededor de (1, 0) notará que antes del puntola función es creciente y después de él es decreciente.

Si explora alrededor de (1, 0) , notará que la función es creciente antesy después del punto. Si la función es decreciente después de (1, 0)

y creciente antes de (1, 0) quiere decir que hay un extremode la función en el intervalo (1, 1).

Si explora con valoresde x menores de 2, la función

decrece infinitamente.Si explora valores mayoresque 2, crece infinitamente.

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 51

Observe que los valores de la tabla 1 describen la función que para cada valor de la variable inde-pendiente x la variable dependiente “Y

1” toma el mismo valor. Dicho en otras palabras Y

1 = x, y la gráfica

que representa esta correspondencia es la siguiente:

Ahora bien, ¿existe alguna relación entre los valores de “Y2” y los valores de “Y

1”? (Observe que los

valores para x son los mismos.) Si la relación existe, ¿cuál es? En este caso es necesario hacer exploracionesnuméricas que permitan conjeturar sobre esta relación y llegar a los siguientes resultados:

• Los valores “Y2” son los valores de “Y

1” multiplicados por 4. O dicho en su forma analítica es

Y2 = 4Y

1 = 4X.

3.1.1. La recta

La exploración numérica es una herramienta de base entre los estudiantes, es quizá su estrategia másconfiable al abordar problemas nuevos. Por esta razón el tratamiento de tablas constituye una faseimportante en el desarrollo del concepto de función. Su labor ahora es dotar de significado a estas tablas,comience por explorar las funciones lineales por medio de tablas.

X Y1

X Y2

X Y3

X Y4

X Y5

X Y6

–3 –3 –3 –12 –3 –1.5 –3 6 –3 –2 –3 –6

–2 –2 –2 –8 –2 –1 –2 4 –2 –1 –2 –5

–1 –1 –1 –4 –1 –.5 –1 2 –1 0 –1 –4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 –3

1 1 1 4 1 .5 1 –2 1 2 1 –2

2 2 2 8 2 1 2 –4 2 3 2 –1

3 3 3 12 3 1.5 3 –6 3 4 3 0

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5 Tabla 6

Y1

4

2

–2

–4

–4 –2 2 4X

52 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

• Los valores de “Y3” son los valores de “Y

1” multiplicados por 0.5, que en lenguaje analítico

sería Y3 = 0.5Y

1 = 0.5X.

• Los valores de “Y4” son los valores de “Y

1” multiplicados por –2, o dicho en su forma analítica

es Y4 = –2Y

1 = –2X. (En este caso es necesario destacar el cambio de signo que provoca –2 en

los valores de Y2.)

• Los valores de “Y5” son los valores de “Y

1” más una unidad, que en lenguaje analítico es

Y5 = Y

1+1 = X+1.

• Los valores de “Y6” son los valores de “Y

1” menos 3 unidades, o dicho en su forma analítica es

Y6 = Y

1 – 3 = X – 3.

La base fundamental de este análisis es la exploración numérica que nos permita conjeturar sobre laforma de la función, aun cuando hasta ahora no quede claro el papel de los coeficientes de la funciónlineal y = mx + b.

♦♦♦♦♦ Actividad

1. Ingrese al menú STAT de su calculadora Algebra FX 2.0 (pantalla 1).

2. En la pantalla de la calculadora (pantalla 3.2) aparecerán varias listas. Utilizando las tablasanteriores introduzca en la columna List 1 los valores de “X”; en la columna List 2, los de“Y1”; en la columna List 3, los de “Y2”, y así sucesivamente. Entonces, a cada valor de List 1le corresponde un valor de las otras listas.

PANTALLA 3.1. PANTALLA 3.2.

3. Para ver la gráfica correspondiente a cada “Y” oprima la tecla [F1] (cerciórese que la opciónGRPH esté por encima de la tecla, de lo contrario oprima la tecla [F6] hasta que aparezca), sedesplegará un menú (pantalla 3.3), oprima el número 5 (Set) y aparecerá la pantalla 3.4.

PANTALLA 3.3. PANTALLA 3.4.

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 53

En la pantalla 3.4 va a definir las características de la gráfica. Es posible definir tres gráficas,al posicionarse en la primera fila (StatGraph1) se despliega un menú en la parte inferior de lapantalla con las tres opciones. La fila XList define qué columna representa el eje de las “x” yYList el eje de las “y”. En el caso de querer cambiar de lista posiciónese en la fila adecuaday presione F1, proporcione el número de la lista que desea y presione EXE . La opciónGraph type debe ser Scatter y la opción Frequency debe ser siempre 1.

4. Una vez que esté correcta la información, oprima EXE . Va a volver a la pantalla 3.2, presione denuevo la tecla F1 (opción GRPH) y oprima el número 1 (S-Grph1) para ver la gráfica 1.Enseguida verá los puntos en la gráfica. Relacione lo que ve en su gráfica con lo que ha anali-zado de las tablas:

PANTALLA 3.5.

5. Realice la gráfica de cada tabla.

6. Ya que hizo un análisis numérico, ingrese al menú GRPH– TBL de su calculadora (pantalla 3.6)

7. Defina las funciones Y1 = X, Y2 = 4X, Y3 = 0.5X, Y4 = –2X, Y5 = X + 1, Y6 = X – 3(pantalla 3.7).

8. Para ver las tablas correspondientes (pantalla 3.8) de cada función oprima la tecla F5 (sólocerciórese que arriba de la tecla esté la opción TABL , de lo contrario oprima la tecla F6 hastaque aparezca). Puede editar los valores de X, sólo posiciónese en alguno de ellos, introduzcael que usted desee y oprima la tecla EXE . Si quiere aumentar el número de valores oprima latecla F2 (cerciórese que arriba de la tecla se encuentre la opción R-INS, de lo contrario oprimala tecla F6 hasta que aparezca).

PANTALLA 3.6. PANTALLA 3.7.

54 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

PANTALLA 3.8.

9. Observe que obtiene distintas coordenadas (X,Y1), (X,Y2), (X,Y3), (X,Y4), (X,Y5) y (X,Y6).¿Cuántas funciones tienen dos puntos?

10. Oprima la tecla ESC para volver a las fórmulas (pantalla 3.7), ahora oprima la tecla EXE yobservará las gráficas correspondientes (pantalla 3.9). En la parte posterior izquierda irán apare-ciendo las fórmulas correspondientes a la recta que se vaya dibujando. Pregúntese de nuevo:¿cuántas rectas pasan por dos puntos?

Pantalla 9.

Numérica y gráficamente es claro que dados dos puntos, solamente una recta pasa por ellos. Refuer-ce esta conjetura con el siguiente análisis. Sabemos que la ecuación de una recta es:

(y – y1) = m(x – x

1),

donde m es la pendiente de la recta y es igual a:

( )1.312

12

xx

yym

−−=

por lo tanto la ecuación de la recta es:

( )112

121 xx

xx

yyyy −

−−=− ,

y

y2

y1

(y – y2 1)

( –x x2 1)

x

x1 x2

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 55

esto apoya el hecho de que por dos puntos pasa sólo una recta, ya que de hecho son los puntos los quedefinen la recta. Ahora bien, en la pantalla 3.9 podemos observar distintas rectas, algunas que pasanpor el origen pero tienen distinta inclinación y pendiente positiva, otras que no pasan por el origenpero cruzan el eje de las x en algún punto y otras con pendiente negativa. Cruzar el eje de las x es unacaracterística de todas las rectas. Este cruce con el eje equivale a decir que y = 0, entonces puedensuceder dos casos:

II. Que la recta comience por debajo del eje x, lo cruce y continúe por arriba de él (figura 3.1).II. Que la recta comience por arriba del eje x, lo cruce y continúe por abajo de él (figura 3.2).

FIGURA 3.1. Recta con pendiente FIGURA 3.2. Recta con pendientepositiva. negativa.

Para el caso I (figura 3.1) tenemos la recta que pasa por los puntos (–3, –2) y (3, 4), cuya pendiente,usando la fórmula 3.1, es igual a 1. Esto quiere decir que para este caso la pendiente es positiva y larecta es:

y – (–2) = x – (–3)

y + 2 = x + 3

y = x + 3 – 2

y = x + 1

Para el caso II (figura 3.2) tenemos la recta que pasa por los puntos (–3 ,4) y (3, –2), cuya pendiente,usando la fórmula 3.1, es igual a –1. Esto quiere decir que para este caso la pendiente es negativa y larecta es:

y – (4) = –[x – (–3)]

y – 4 = –[x + 3]

y – 4 = –x – 3

y = –x – 3 + 4

y = –x + 1

Analicemos el caso I en la tabla:

Y

4

2

–2

–4

–4 –2 2 4X

Y

4

2

–2

–4

–4 –2 2 4X

56 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

X Y

–5 –4

–4 –3

–3 –2

–2 –1

–1 0

0 1

1 2

2 3

3 4

Actividad complementaria. Realice diversas exploraciones usando la calculadora. Recuerde quela variedad de ejemplos dependerá de las fórmulas que le dé a la calculadora y posteriormente losvalores de x que edite en la tabla. Recuerde los siguientes puntos:

• Introducir en la calculadora las fórmulas de las rectas (pantalla 2).• Manipular las tablas variando el valor de la variable independiente x (pantalla 3).• Observar las características de las tablas y vincularlas con las gráficas.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Con papel y lápiz localice los siguientes puntos en el plano de coordenadas y bosqueje lagráfica:

X Y

0 –3

1 1

–1 –7

2 5

–2 –11

3 9

2. Proponga una función que crea describe la tabla del ejercicio 1. Compruebe su conjetura en lacalculadora, haciendo una sucesión análoga a los pasos 7 a 10 de la actividad anterior.

3. Usando los valores de la tabla del ejercicio 1, elabore la tabla y el bosquejo de gráfica de cadauna de las siguientes funciones: Y

1 = 0.5Y, Y

2 = 3Y

1, Y

3 = Y

2 + 2, Y

4 = 2Y

3 – 1.

Por debajodel eje x

Por arribadel eje x

Cruce con el eje x

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 57

4. Grafique las funciones del ejercicio 3 y explique el comportamiento de cada función respectode la anterior.

5. Deduzca las fórmulas que dan origen a las siguientes tablas. Compruebe sus conjeturas en lacalculadora (introduzca las fórmulas en el Menú GRPH–TBL , oprima F6 F5 , edite losvalores x que aquí se le presentan y compruebe con los valores de y que le proporciona lacalculadora).

X Y X Y X Y

–3 4.5 –3 0.6 –5 10.5

–2 5 –2 0.9 –3 6.5

–1 5.5 –1 1.2 –1 2.5

0 6 0 1.5 0 0.5

1 6.5 1 1.8 1 –1.5

2 7 2 2.1 3 –5.5

3 7.5 3 2.4 5 –9.5

3.1.2. La parábola

La parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Tiene características muy específi-cas, que quizá sean más claras en sus gráficas. Parta del caso más característico:

X Y

3 9

2 4

1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

En esta tabla puede observar las siguientes características:

• No importando el valor que tome x el valor de y siempre es positivo.• El valor de y es igual para x y –x. Esto provoca que la gráfica sea simétrica respecto del eje y.

y

10

8

6

4

2

–3 –2 –1

–2

1 2 3x

y

10

8

6

4

2

–3 –2 –1

–2

1 2 3x

58 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

• y = 0 sólo cuando x = 0. Esto significa que la gráfica tocará tangencialmente al eje x en el punto(0, 0).

• La función es decreciente en el intervalo (–∞, 0), es creciente en el intervalo (0, ∞) y tiene unacota mínima en y = 0.

En este caso trabaje numérica y gráficamente con la función y = x2. Recuerde que las característicasantes mencionadas son exclusivas de esta función y son claramente observables en la fórmula.

• (–x)2 > 0 y x2 > 0.• (–x)2 = x2.• y = x2 = 0 si x = ±√ 0 = 0.

En las parábolas existen diversos casos, que se pueden obtener moviendo la gráfica de la funcióny = x2 a través del plano cartesiano y/o reflejándola respecto del eje x, esto es:

I. Parábolas que abren hacia arriba y:

a) Cruzan el eje x (figura 3.3).

b) No cruzan el eje x (figura 3.4).

c) Tocan tangencialmente al eje x (figura 3.5).

II. Parábolas que abren hacia abajo y:

a) Cruzan el eje x (figura 3.6).

b) No cruzan el eje x (figura 3.7).

c) Tocan tangencialmente al eje x (figura 3.8).

FIGURA 3.3. Parábola abierta hacia FIGURA 3.4. Parábola abierta hacia arriba con dos cruces en el eje x. arriba sin cruces en el eje x.

2

4

6

8

10

12

14

y

x–3 –2 –1 1 2 3 4

y

x

5

2

1

–1

–2

–3

–1 1 2 3 4 5

3

4

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 59

FIGURA 3.5. Parábola abierta FIGURA 3.6. Parábola abiertahacia arriba con un toque tangencial hacia abajo con dos cruces

en el eje x. en el eje x.

FIGURA 3.7. Parábola abierta hacia FIGURA 3.8. Parábola abierta haciaabajo sin cruces en el eje x. abajo con un toque tangencial

en el eje x.

De aquí que en las tablas observe comportamientos (crecimientos) diversos, un intervalo de decre-cimiento, una cota inferior, un intervalo de crecimiento para las parábolas que abren hacia arriba; y paralas parábolas que abren hacia abajo hay un intervalo de crecimiento, una cota superior y un intervalo dedecrecimiento. Por ejemplo:

• La figura 3.3 sería el reflejo de una tabla cuyos valores de y cambiaran de positivos decrecien-tes a negativos decrecientes hasta llegar a un punto mínimo y convertirse en negativos cre-cientes que cambien a positivos crecientes (esto conforme x crece). Observe que justo el puntoen el que cambia de positivo a negativo, o viceversa, y es igual a cero.

3

2

1

–1

–2

–3

1 2 3 5–1x

y

4

1

2

–1

–1

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4 5

y

x

2

–2

–4

–6

–1 1 2 3 4 65

y

x

x

2.5

–2.5

–5

–7.5

–10

–12.5

–15

–2 2 4 6

y

60 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

X Y

–3 36

–2 15

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

6 15

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Dadas las siguientes tablas:

a) Identifique a qué caso pertenece (I.a., I.b, ..., II.c.), mediante un análisis numérico, como elanterior.

b) Introduzca los valores de las tablas en la calculadora (de forma análoga a los pasos 1 a 4 dela sctividad propuesta).

c) Proponga funciones cuadráticas que crea pasen por los puntos de cada tabla, introdúzcalasen la calculadora y observe, qué tanto se acerca (los pasos son análogos a los pasos 6 a 10de la actividad propuesta).

d) Dadas sus características, ¿al menos y a lo más por cuántos cuadrantes pasa una parábola?Proporcione ejemplos gráficos.

X Y1

X Y2

X Y3

X Y4

X Y5

X Y6

–6 16 –3 –7 –2.5 –.025 –3.5 –12.5 –.5 30.25 –3 12

–4 4 –1 1 –1 –1 –2.5 –7 0 25 –1 0

–2 0 0 2 0 –4 –1 –2.5 2 9 0 –3

1 9 2 –2 1.5 –12.25 0 –2 4 1 2 –3

3 25 3.5 –10.25 3 –25 1.25 –4.1875 7 4 4 5

7 81 4.25 –16.0625 5 –49 2 –7 8.5 12.25 6 21

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5 Tabla 6

Valores positivosdecrecientes

Valores positivoscrecientes

Cruce con el eje x

Valornegativo

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 61

2. En su calculadora realice los siguientes pasos:

a) Menú GRPH-TBL.Borre cualquier función en la pantalla Graph Func. Oprima las teclas SHIFT OPTN

para definir el tamaño de la ventana, oprima F3 para obtener la ventana estándar con inter-valo de (–10, 10) para los ejes x e y, a una escala de 1. Oprima EXE para volver a lapantalla Graph Func.

Define la función Y1 = (x – 5)2 + 2. Oprima EXE para ver su gráfica.

b) ¿En cuántos cuadrantes se encuentra la parábola?

Ahora cambie la ventana. Oprima SHIFT OPTN , introduzca los siguientes valo-res:

Xmin: –30 EXE

max: 30 EXE

scale: 5 EXE

dot: 0.5 EXE

Ymin: –5 EXE

max: 60 EXE

scale: 5 EXE

EXE

¿En cuántos cuadrantes se encuentra la parábola? Nota: una forma más rápida de verla gráfica en otras zonas es usando la tecla circular REPLAY que tiene flechas haciaarriba, abajo, a la izquierda y a la derecha. Sin embargo, puede perder visión en otraszonas.

3. Dados dos puntos, ¿cuántas parábolas pasan por ellos?

4. En su calculadora, introduzca las siguientes funciones por grupos (menú GRPH TBL, con laventana del ejercicio 2.b). ¿Qué observa en cada grupo?

a) y = (x – 3)2 – 3, y = –x2 + 4.

b) y = x2 + 4x – 2, y = .3x2 + .6x – 3.7.

c) y = (x – 4)2 + 3, y = –(x – 4)2 + 5, y = –3(x – 4)2 + 7.

62 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

5. ¿Cuántos puntos como mínimo definen una parábola?

6. En la calculadora introduzca las siguientes parábolas y observe sus listas (de forma análoga alos pasos 7 a 10 de la actividad propuesta). Conforme observe una lista, edite los valores que sele piden para cada fórmula y observe sus características (si es positivo, negativo o cero). Porúltimo grafique y vincule las características de las tres representaciones, la analítica, la numé-rica y la gráfica.

a) Y = (x + 2)(x – 2), editar en lista x = –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.

b) Y = – (x + 6)(x – 1), editar en lista x = –7, –6, –5, 0, 1, 2.

c) Y = (x + 2)(x + 2), editar en lista x = –3, –2, –1.

d) Y = – (x – 3)(x – 6), editar en lista x = 2, 3, 4, 5, 6, 7.

3.1.3. La cúbica

Como ya observó una recta cruza una vez al eje x provocando que haya un punto donde y sea igual a 0,la parábola puede cruzar al eje x provocando que en dos puntos y sea igual a 0 o puede no cruzarlonunca, provocando que la y nunca sea igual a 0. ¿Qué pasa ahora con la función cúbica? De nuevo, partade un caso clásico:

X Y

3 27

2 8

1 1

0 0

1 1

2 8

3 27

La tabla de este caso tiene valores negativos de Y cuando X es negativa, Y = 0 cuando X = 0 yvalores positivos de Y cuando X es positiva; justo igual que la tabla 1 de la sección “La recta”, quedescribía una recta. Pero la diferencia con esta tabla es la forma en la que crecen los valores de Y, lo cualse refleja en la forma de las gráficas. Observe ambas gráficas en el intervalo [–4, 4], en este caso tratecon la función cúbica y = x3 y la recta y = x.

30

20

10

–10

–20

–30

–3 –2 –1 1 2 3

30

20

10

–10

–20

–30

–3 –2 –1 1 2 3

y

x

y

x

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 63

Gráficamente la diferencia es clara. Pero la gráfica de una cúbica puede tomar formas mucho másvariadas. Quizá ésta sea la razón por la cual no tiene un nombre como gráfica, es decir, la gráfica de unpolinomio de primer grado recibe el nombre de recta, la gráfica de un polinomio cuadrático recibe elnombre de parábola; pero la gráfica de un polinomio de tercer grado, en la mayoría de los textos, notiene un nombre como tal. Algunos la han llamado parábola cúbica, pero aquí la llamaremos simple-mente cúbica, al igual que su función. Otra razón de este fenómeno puede radicar en el origen de estascurvas, tanto la recta como la parábola son elementos de la geometría analítica, rama que en el sigloXVII

surgió del estudio de las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Laspuertas a esta rama fueron abiertas por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. FueNewton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra “Enumeración de las curvas de tercerorden”, donde la modelación dio un sentido distinto a las funciones con grado mayor a dos.

Vea en la siguiente tabla1 las formas gráficas que presentan las funciones cúbicas:

En Comportamientola tabla alrededor del cero Gráficas

3 ceros 3 cambios depositivo a negativoo negativo a positivo.

∴ en la gráfica hay 3 cruces con el eje x.

y

x

4

2

–2

–4

4

2

–2–4

1 Para estas gráficas se usaron los ejes de coordenadas como referencia, pero su punto de intersección no es necesariamente

el punto (0, 0).

64 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

En Comportamientola tabla alrededor del cero Gráficas

2 ceros 1 cambio de positivoa negativo o negativo a positivo y 1 permanencia de signo positivo(decreciente a creciente)o negativo(creciente a decreciente).

∴ en la gráfica hay 1 crucey 1 toque tangencial con el eje x.

1 cero 1 cambio de positivoa negativo, o de negativo a positivo.

∴ en la gráfica hay 1 cruce con el eje x.

Esta tabla responde a la pregunta, ¿qué puedo observar en la tabla de una función cúbica y cómo setraduce esto en una gráfica? Pues bien, en la tabla puede encontrar tres, dos o un cero (columna 1); peroen caso de no haberlos explícitamente se pueden observar ciertos comportamientos que se den a sualrededor (columna 2). Las características que muestran estas dos columnas se ven reflejadas en lasformas gráficas de la columna 3.

Nota: En el último caso (1 cero) se dibujaron sólo cuatro posibles gráficas. En dicho caso pudoencontrarse la primera gráfica tratada en esta sección, que a propósito no se colocó por tener una carac-terística distinta a las cuatro dibujadas, ¿cuál cree que sea esta característica?

Por ejemplo, en el caso de la siguiente tabla:

y

x

y

x

y

x

y

x

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 65

X Y

0.3 –8.092

0.5 –4.5

0.8 –1.152

1.1 0.324

1.3 0.588

1.5 0.5

1.9 0.036

2.3 0.468

2.5 1.5

tenemos tan sólo en un pequeño intervalo características suficientes para analizar y ver la forma deuna función cúbica. Tomemos en consideración que:

• Estos puntos están definidos sobre el eje x positivo, lo cual no significa que no haya gráfica enla parte negativa del eje.

• Del punto (0.3, –8.092) al punto (0.8, –1.152) observamos una función negativa creciente.• Del punto (0.8, –1.152) al punto (1.1, 0.324) observamos que la función tiene un cambio de

signo. Esto nos habla de una gráfica que cruza con el eje x, es decir, que existe una x entre lospuntos anteriores que provoca que y sea igual a cero.

• Del punto (1.1, 0.324) al punto (1.3, 0.588) observamos una función positiva creciente, pero de(1.3, 0.588) a (1.9, 0.036) la función es decreciente y se mantiene positiva. Lo anterior hablade una cota superior en un intervalo. Sin embargo, cuando observamos que de (2.3, 0.468) a(2.5, 1.5) la función permanece positiva y es creciente estamos pensando en una cota inferioren otro intervalo.

Entonces, para esta tabla tenemos el caso de una gráfica que cruza una vez al eje x (con un cambiode negativo a positivo) y un toque tangencial al eje (donde permanece positiva). La gráfica que define adicha función es la siguiente:

FIGURA 3.9. Cúbica con un cruce y un toque tangencial en el eje x.

66 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Es claro que al hacer un punteo sobre el plano la tarea final es unir dichos puntos para bosquejar lagráfica, pero siempre es importante analizar todos los datos que puedan darnos información sobre cómose comporta la función. Por ejemplo, en el caso de ésta y muchas gráficas cúbicas, hay un intervalodonde su crecimiento es variado, crece, decrece, vuelve a crecer, etc., pero fuera de ese intervalo siemprehay un comportamiento constante. Es decir, en este caso la gráfica viene de –∞ creciendo hacia elintervalo mencionado y después la gráfica crece hacia ∞.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Inventa funciones cúbicas que dibujen en la calculadora gráficas como las mostradas en la tabla,analice sus comportamientos en las tablas respectivas y clasifíquelas según sus cruces con el eje x.

2. Sea F(x) = x3 la función que produce la siguiente tabla de valores:

x F(x)

–3 –27

–2 –8

–1 –1

0 0

1 1

2 8

3 27

¿qué funciones Fn(x) producen las siguientes tablas?:

x F1(x) F

2(x) F

3(x)

–3 –20 –1 –54

–2 –1 0 –16

–1 6 1 –2

0 7 8 0

1 8 27 0

2 15 64 16

3 34 125 27

MÉTODO DE LA TABULACIÓN 67

3. Edite las siguientes tablas en su calculadora (Menú STAT) y grafíquelas:

x F4(x) x F

5(x) x F

6(x)

–2 0 –5 0 –4 –112

–1 8 –3 21 –2 –20

0 6 0 0 0 0

2 –4 2 21 2 –4

3 0 4 16

4 18 6 108

Una vez graficados los puntos, oprima F5 (Def G) y defina una expresión de la formaAx3 + Bx2 + Cx + D que se aproxime a los puntos.

4. Tabule las siguientes expresiones para los valores de x que usted desee. Analice dónde, oalrededor de qué valores, la función es igual a cero.

a) y = x3 + x2 + x.

b) y = 0.5x3 –2x2 + x.

c) y = –2x3 + x2 + 6x – 3.

d) y = x3 + x2 –x.

e) y = x3 + x2 + x –3.

5. Grafique por parejas las funciones anteriores con la gráfica de su parte lineal (por ejemplo,y = x3 + x2 + x y y = x), ¿en qué zona son semejantes?, ¿a qué cree que se deba? Tabulealrededor de esa zona y discuta el crecimiento de cada pareja de funciones.

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 69

69

CAPÍTULO 4

Métodode las transformaciones

En el capítulo anterior analizamos las características numéricas y gráficas de tres funciones quenos servirán de punto de partida en la construcción de muchas otras gráficas. En este capítuloharemos un análisis de estas mismas funciones a través del plano cartesiano, usando

solamente operaciones con constantes. Cordero y Solís, 2001, trabajaron con la transformación de di-versas “situaciones de enseñanza y aprendizaje” para contenidos del cálculo, utilizando la transforma-ción Y = C[f(ax + c)] + D, con la finalidad de construir un argumento gráfico que estableciera relacionesentre funciones. En este capítulo el objetivo de usar dicha transformación será el establecer un vínculo entrelas distintas representaciones de una función usando la calculadora gráfica en forma dinámica. Al igualque en el capítulo anterior analizaremos las funciones y = x, y = x2, y = x3, pero con la perspectiva de lastransformaciones con el fin de obtener las gráficas de estas mismas funciones desplazadas y/o alargadaso comprimidas en el plano de coordenadas.

A lo largo de nuestra formación matemática, hemos visto en diversas áreas el uso del plano decoordenadas; es muy común escuchar términos como “eje de las abscisas” y “eje de las ordenadas”, o“eje x” y “eje y” o “el eje positivo (negativo) x” y el “eje positivo (negativo) y”, etc. Como recordatorio,veamos el plano de coordenadas y sus etiquetas usuales en la figura 4.1.

Un objetivo ahora es que las funciones ya analizadas en el capítulo anterior se exploren gráfica-mente en el plano a través de operaciones con la fórmula y viceversa. Observe que la transformaciónY = C[f(ax + c)] + D supone sólo operaciones con números a partir de las funciones básicas y = x, y = x2,y = x3. Éste será el motivo por el cual, para el caso de la recta y la parábola, encontraremos todas lasformas gráficas posibles, pero no así para la cúbica, cuya variación de formas se obtiene generalmentecon otro tipo de operaciones.

70 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

4.1. LA RECTA

Comencemos analizando la función f(x) = x. Si tenemos la transformación Y = C[f(ax + c)] + D, lafunción queda de la siguiente forma:

Y = C[ax + c] + D

Y = Cax + Cc + D

Sea A = Ca y B = Cc + D, la función queda:

Y = Ax + B.

Entonces, los parámetros que vamos a variar para construir distintas rectas son A y B. Comiencevariando el parámetro B, observe en la calculadora la gráfica de la función f(x) = x ejecutando lossiguientes pasos:

1. Ingrese al menú MENU de gráficas GRPH TBL .

2. Oprima las teclas SHIFT OPTN para ingresar a la pantalla View Window. Oprima la teclaF3 para definir la ventana estándar. Oprima EXE hasta llegar a la pantalla Graph Func paradefinir las funciones.

3. Introduzca la función Y1:X. Oprima la tecla EXE hasta que aparezca la gráfica de la función(pantalla 1).

FIGURA 4.1. Plano de coordenadas y sus etiquetas usuales.

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 71

PANTALLA 4.1.

Ya en el capítulo anterior analizó numéricamente esta función, así que está familiarizado con sugráfica y su localización en el plano, esto es, la gráfica de la función f(x) = x está localizada en doscuadrantes, el primero y el tercero. Veamos ahora qué pasa cuando le sumamos una constante B.

En su calculadora ejecute los siguientes pasos:

1. Ingrese al menú .MENU. DYNA (gráficas en movimiento).

2. Defina la función Y1:X + B (la B la obtiene oprimiendo las teclas .ALPHA. log). Oprima .EXE.hasta que aparezca la pantalla 4.2.

PANTALLA 4.2.

Puede aparecer un valor distinto de B = 0, no importa. El valor que aparezca es el últimovalor en una aplicación anterior.

3. Oprima la tecla F2 para definir el rango en que se moverá el parámetro B, aparecerá lapantalla 4.3.

PANTALLA 4.3.

4. Edite los valores que aparecen en la pantalla anterior Start: –5 y End: 5 definen el intervalo enel que se moverá B, o sea [–5, 5]. Pitch: 1 será el tamaño de paso, es decir, B será igual a –5,

72 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 (si el tamaño de paso fuera 0.5, B sería igual a –5, –4.5, 4,...).Oprima EXE hasta que aparezca una barra de avance y posteriormente las gráficas. En laparte superior izquierda de la pantalla aparece la función que se está graficando y en la parteinferior izquierda aparece el valor de B que va cambiando. Aquí en el texto no se puede apre-ciar el dinamismo de las gráficas, pero observará tres casos, donde B = –5, 0, 4 en las pantallas4.4, 4.5 y 4.6, respectivamente.

PANTALLA 4.4. PANTALLA 4.5. PANTALLA 4.6.

Si quiere detener las gráficas oprima la tecla .AC/ON. , aparecerá la pantalla 4.7, donde puede tomarla opción de manipular el dinamismo, es decir, que cambie de gráfica cuando oprima una tecla.

PANTALLA 4.7.

Oprima la tecla F1 y aparecerá una gráfica fija. Oprimiendo la tecla EXE cambiará la gráfica.Gracias a este dinamismo podemos observar el efecto gráfico que tiene el parámetro B al sumarlo a

la función f(x) = x, el cual podemos resumir en la siguiente tabla:

Efecto al sumarlo GráficaValor de B a f(x) = x (f(x) = x es la que pasa por el origen)

B > 0 Desplazamiento hacia arriba

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 73

Efecto al sumarlo GráficaValor de B a f(x) = x (f(x) = x es la que pasa por el origen)

B < 0 Desplazamiento hacia abajo

Si hablamos de las regiones que recorre la gráfica de la función f(x) = x cuando le sumamos unaconstante, diríamos que al sumarle una constante la gráfica que estaba en el primer y tercer cuadrantesahora está en el primero, segundo y tercer cuadrantes, y cuando le restamos una constante, la gráfica queestaba en el primer y tercer cuadrantes, ahora está en el primero, tercer y cuarto cuadrantes.

Ahora analice el efecto del parámetro A en f(x) = Ax, conforme varía la secuencia. De nuevo ingreseal menú DYNA y defina la función Y1: AX (la A la obtiene oprimiendo las teclas ALPHA X,θ,T ).Oprima EXE hasta que aparezca la pantalla para definir A. El procedimiento para estas gráficas es igualque el anterior. Sin embargo, aquí es importante resaltar lo siguiente:

a) Qué pasa con los números positivos y los negativos.

b) Qué pasa con los números que están en el intervalo (–1, 1).

Así que haremos la siguiente secuencia:

1. Defina la función Y1 = AX según la pantalla 4.8:

PANTALLA 4.8.

Si las gráficas no se mueven es porque la pantalla está en el último modo utilizado, es decir, elmanual, así que oprimiendo EXE comienza a cambiar la gráfica. ¿Cuál es el efecto del parámetro A?,veamos la secuencia de gráficas:

74 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

PANTALLA 4.9. PANTALLA 4.10.

PANTALLA 4.11. PANTALLA 4.12.

Como puede observar, el parámetro A está afectando la inclinación de la recta, conforme el parámetroaumenta la recta se pega al eje y, o es más inclinada. Esto suena lógico si piensa en el coeficiente queacompaña a la x como la pendiente de la recta. La pregunta ahora es, ¿qué necesito para que la recta sepegue mucho al eje x? Una respuesta común en el alumno es “multiplicar por un número negativo”.Definamos al parámetro A con valores negativos, tal y como lo muestra la pantalla 13.

PANTALLA 4.13.

Vea una secuencia de gráficas:

PANTALLA 4.14. PANTALLA 4.15. PANTALLA 4.16.

Observemos que tiene el mismo efecto que cuando es positivo, si hablamos del valor absoluto de A,cuando éste es grande, sigue pegando la recta al eje y, sólo que ahora la inclinación de la recta es distinta,la recta es decreciente.

Veamos qué pasa si el parámetro A varía en el intervalo [–1,1], tal como se define en la pantalla 4.17.

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 75

PANTALLA 4.17.

Una secuencia de gráficas podría ser:

PANTALLA 4.18. PANTALLA 4.19.

PANTALLA 4.20. PANTALLA 4.21.

Entonces, lo que necesitamos para pegar la recta al eje x es un valor muy pequeño de A, por ejemploA = 0.1 nos da la siguiente gráfica, que casi no se distingue para valores muy pequeños de x.

PANTALLA 4.22.

Concluyamos en una tabla el efecto del parámetro A al multiplicarlo a la función f(x) = x:

76 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Efecto al multiplicarlo a GráficaValor de A f(x) = x (f(x) = x tiene una inclinación de 45º)

1 < |A| Mayor inclinación (pegue la gráfica def(x) = x al eje y).Si el signo de A es negativola recta se refleja respecto del eje x.

A = –5, 1, 5

|A| < 1 Menor inclinación(peuea la gráfica def(x) = x al eje x).Si el signo de A es negativola recta se refleja respecto del eje x.

A = –0.5, 1, 0.5

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. ¿Por qué la recta y = –x – 6 nunca pasa por el primer cuadrante?

2. Describa el cambio de región de la gráfica al variar ambos parámetros de la fórmulaY = Ax + B.

3. Proponga funciones para las siguientes gráficas. Nota: Observe la escala.

FIGURA 4.2. FIGURA 4.3.

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 77

FIGURA 4.4. FIGURA 4.5.

FIGURA 4.6. FIGURA 4.7.

4. Haga un “bosquejo” de la gráfica de cada una de las siguientes rectas. No realice cálculosnuméricos ni grafique con la calculadora, sólo incline y desplace de manera correcta la rectaprototipo Y = x.

a) Y = –5x + 3.

b) Y = –0.9x – 13.

c) Y = 6x – 9.

d) Y = 8x + 3.

e) Y = 0.05x + 10.

5. Qué valor deben tomar los parámetros y = Ax + B para que la recta sólo pase, de ser posible, por:

a) El primer y tercer cuadrantes.

b) El primer, segundo y tercer cuadrantes.

c) El primer, segundo y cuarto cuadrantes.

d) Todos los cuadrantes.

6

2

4

–2

–6 –4 –2 2

y

x

y

x

54321

–1–2

–2–4 2 4

78 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

4.2. LA PARÁBOLA

Utilizando la transformación Y = C[f(ax + c)] + D la parábola f(x) = x2 puede expresarse de la siguienteforma:

Y = C(ax + c)2 + D.

Y = Ca2(x + c/a) + D.

Si hacemos dos cambios de variable en los que A = Ca2 y B = c/a se tiene la función:

Y = A(x + B) + D.

Comencemos con el análisis de los parámetros, realizando la siguiente secuencia de actividades:

1. Introduzca en su calculadora, en el menú MENU DYNA la función Y1:A(x + B)2 + D. Oprimala tecla EXE hasta que aparezca la pantalla 23, donde editará todos los parámetros con valorcero.

PANTALLA 4.23.

2. Posiciónese en el parámetro A y oprima la tecla F1 para seleccionarla. De esta forma nuestrafunción será Y:AX2 . Oprima la tecla F2 para definir el rango en el que se moverá el parámetroseleccionado. Pidamos entonces que su valor inicial (Start) sea –10 y su valor final (End) sea 10a un paso (pitch) de 1. Oprima EXE hasta que aparezca una barra de avance y posteriormentelas gráficas. Es probable que no haya dinamismo en las gráficas, quizá esté en modo manual,así que oprima EXE para que comience a ver las gráficas en movimiento.

3. Ésta es una secuencia de gráficas:

PANTALLA 4.24. PANTALLA 4.25.

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 79

PANTALLA 4.26. PANTALLA 4.27.

Algo que observamos a simple vista es que para valores positivos de A la parábola abre hacia arriba ypara valores negativos abre hacia abajo. Conforme el valor de A se incrementa, tanto positivo comonegativo, la parábola se cierra. Por el contrario, si el valor se hace pequeño (en valor absoluto) la parábo-la se abre. Quizá esta característica se observe mejor, en la misma ventana pero con el parámetro Amoviéndose en el siguiente intervalo:

PANTALLA 4.28.

Observemos ahora qué pasa al variar el parámetro B. Posiciónese en la pantalla 23 y seleccione lavariable B. Para esta ocasión el valor de A será 1 y el valor de D será 0, de tal forma que nuestra funciónserá Y:(X + B)2. Defina el intervalo con un valor inicial (Start) de –5 y un valor final (End) de 5 a un paso(pitch) de 1.

A continuación se muestra una secuencia de gráficas:

PANTALLA 4.29. PANTALLA 4.30.

PANTALLA 4.31. PANTALLA 4.32.

80 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Como observó en la secuencia gráfica el parámetro B desplaza horizontalmente a la parábola, hacia laderecha si es negativo y hacia la izquierda si es positivo. Vale la pena señalar que la parábola se mantienetangente al eje x, pero al desplazarse cambia el punto de tangencia.

Por último, y utilizando la misma lógica de acción, analice el parámetro D y su efecto en la gráficade la parábola. De nuevo posiciónese en la pantalla 4.23 y seleccione la variable D. Para esta ocasión elvalor de A será 1 y el valor de B será 0, de tal forma que nuestra función será Y:X2 + D. Defina elintervalo con un valor inicial (Start) de –5 y un valor final (End) de 5 a un paso (pitch) de 1.Observe la secuencia de gráficas:

PANTALLA 4.33. PANTALLA 4.34.

PANTALLA 4.35. PANTALLA 4.36.

Vea ahora que el parámetro D desplaza a la parábola verticalmente. Si D es negativa la desplazahacia abajo y si es positiva la desplaza hacia arriba. Cabe señalar que al desplazarse hacia abajo, laparábola cruza al eje x en dos puntos, y si se desplaza hacia abajo nunca cruza el eje.

Concluyamos con una tabla los efectos de los parámetros A, B y D de la función Y = A(x + B)2 + D,en la gráfica de Y = x2:

Parámetro Descripción Ejemplo

A Abertura de la parábola(si |A| es grande se abre la parábolay si |A| es chica se cierra la parábola)

A = 10, 1, 0.5

y

x

10

8

6

4

2

–4 –2 2 4

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 81

Parámetro Descripción Ejemplo

B Desplazamiento horizontal(hacia la derecha si B < 0y hacia la izquierda si B > 0)

B = –2, 0, 2

D Desplazamiento vertical(hacia abajo si D < 0y hacia arriba si D > 0)

D = –2, 0, 2

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Proponga las funciones que crea correspondan a las siguientes gráficas. Observe cuidadosa-mente las escalas.

FIGURA 4.8. FIGURA 4.9.

y

x

10

8

6

4

2

–4 –2 2 4

y

x

10

8

6

4

2

–4 –2 2 4

–2

y

x

10

8

6

4

2

–1 1 2 3 4 5 6

4

4

2

2–4

–4

–2

–2

y

x

82 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

FIGURA 4.10. FIGURA 4.11.

FIGURA 4.12. FIGURA 4.13.

2. Haga un “bosquejo” de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No realice cálculosnuméricos ni grafique con la calculadora. Con base en la gráfica de Y = x2 realice los cambiosadecuados:

a) Y = –5(x + 3)2 – 2.

b) Y = 0.7(x – 9)2 + 8.

c) Y = –15x2 – 10.

d) Y = –0.06(x + 6)2 + 12.

3. ¿Qué valores deben tomar los parámetros A, B y D en la función Y = A(x + B)2 + D para quealrededor de cero se parezcan a las siguientes funciones? Grafique en la calculadora con unaventana cerca del origen (0, 0):

–2

–4

–6

–8

–10

–4 –2 2 4

y

x

y

x

10

5

–5

–10

–15

–20

–10 –8 –6 –4 –2–12 2

10

5

–5

–10

y

x–6.5–6 –5.5 –5

7.5

2.5

–2.5

–7.5

1

2

3

4

5

–1

–2–4–6 2

y

x

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 83

a) Y = 3.

b) Y = 2x – 1.

c) Y = –5x.

4. ¿Cómo es el cambio en cuanto a regiones en el plano que provocan los parámetros en la fun-ción Y = A(x + B)2 + D respecto de la gráfica Y = x2? Analice de forma individual y combinada.

5. Completando el trinomio cuadrado perfecto escriba las siguientes funciones en su formaY = A(x + B)2 + D y realice un bosquejo de su gráfica usando sólo las transformaciones:

a) Y = x2 – 8x + 16.

b) Y = 4x2 – 8x + 16.

c) Y = x2 + 7x + 8.

d) Y = 6x2 – 18x + 15.

4.3. LA CÚBICA

Como ha observado en los casos anteriores, los parámetros de la transformación Y = AF(x + B) + Drealizan tres tipos de cambios en la gráfica. Sin embargo, para los casos anteriores esas transformacionessí eran suficientes para obtener todas las formas gráficas posibles, en el caso de la cúbica no es así.Observe la siguiente tabla que muestra los efectos de los parámetros:

Parámetro Descripción Ejemplo

A Alargamiento de la parábola(si |A| es grande se alarga la gráfica y si |A| es chica se comprimela gráfica).

A = 10, 1, 0.5

y

x

4

2

–3 –2 –1 1 2 3

–2

–4

84 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Parámetro Descripción Ejemplo

B Desplazamiento horizontal(hacia la derecha si B < 0y hacia la izquierda si B > 0).

B = –2, 0, 2

D Desplazamiento vertical(hacia abajo si D < 0y hacia arriba si D > 0)

D = –2, 0, 2

Como ya se había mencionado, estas transformaciones no provocan todas las formas gráficas deuna función cúbica, ¿cuál cree que sea la razón? Observe que para los casos anteriores la gráfica de lafunción siempre cruza una vez el eje x, sin embargo, el parámetro D tiene un efecto sobre este cruce,¿cómo describiría la diferencia de los cruces?

4

2

–2–4 2 4

–2

–4

y

x

MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 85

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Proponga las funciones que crea correspondan a las siguientes gráficas. Observe cuidadosa-mente las escalas:

FIGURA 4.14. FIGURA 4.15.

FIGURA 4.16. FIGURA 4.17.

FIGURA 4.18. FIGURA 4.19.

y

x

4

2

–2 2 4

–2

–4

y

x

4

2

–2

–4

–6

–1–2–3–4–5

4

2

–1–2–3–4–5 1 2

–2

–4

–6

y

x

y

x1 2 3 4 5–1

–5

10

5

15

12.5

7.5

2.5

–2.5

y

x

20

15

10

5

–1–2–3–5

–10

–15

1 2 3

10

20

15

5

–10 –5

–10

–5

–15

105

y

x

86 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

2. Haga un “bosquejo” de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No realice cálculosnuméricos ni grafique con la calculadora. Con base en la gráfica de Y = x3 realice los cambiosadecuados:

e) Y = –5(x + 3)3 – 2.

f) Y = 0.7(x – 9)3 + 8.

g) Y = –15x3 – 10.

h) Y = –0.06(x + 6)3 + 12.

3. ¿Cómo es el cambio en cuanto a regiones en el plano que provocan los parámetros en la fun-ción Y = A(x + B)3 + D respecto de la gráfica Y = x3? Analícelos de forma que considere cadaparámetro por separado y después de forma simultánea.

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 87

87

CAPÍTULO 5

Método de las operaciones

En los capítulos anteriores hemos mostrado cómo bosquejar gráficas, a partir de un análisis numé-rico (capítulo 3) y a partir de gráficas prototipo y sus transformaciones (capítulo 4), sin embargo,hay otra forma de tratar a las funciones que nos permite bosquejar gráficas a partir de un análisis

visual más amplio que involucra simultáneamente herramientas analíticas y numéricas. Un punto claveahora será el que partiremos exclusivamente de las funciones y = x, y = x2 y y = x3, junto con algunas delas transformaciones antes vistas para operar gráficamente y obtener de este modo las gráficas de otrasfunciones. En este momento es importante apuntar que lo desarrollado aquí no son sólo técnicas degraficación, no son recetas o pasos a seguir para que el lector grafique de manera correcta. Uno de nues-tros objetivos es propiciar la relación entre objetos matemáticos aparentemente disjuntos, esto es, quere-mos vincular y transitar entre diversas representaciones de la función.

5.1. SUMA

Antes de comenzar el desarrollo de este capítulo es necesario aclarar que el operar gráficamente, en elsentido que veremos a continuación, es una forma de llamar a las operaciones entre gráficas. En realidadhacemos referencia a operaciones entre funciones, pero con un análisis gráfico. Para hacer este análisispartiremos del criterio de sumar imágenes (alturas en este caso), por ejemplo en la siguiente suma:

Escrito original de Newton, 1671.(Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.)

88 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

FIGURA 5.1. Suma gráfica de dos alturas.

El resultado en x0 sería la suma de dos alturas. En el caso de las operaciones gráficas existen puntos

clave que pueden darnos idea del resultado global, se trata de lo que llamamos el análisis local de lospuntos en donde las gráficas cruzan al eje x, es decir aquellos donde los valores de la función se hacenigual a cero.

Partamos del caso más sencillo, la suma de dos rectas. Diremos recta + recta en un sentido genérico,pues sabemos bien que estamos en realidad sumando números, aquellos que provienen de evaluar a lasfunciones lineales en un mismo punto.

5.1.1. Recta + recta

En el capítulo anterior estudiamos lo que sucede al sumar una constante con una expresión funcional, loanalizamos viéndolo como una transformación. Sin embargo, cuando hacemos y = F(x) + k, con kconstante, podemos interpretarlo como la suma de una función F más la función g(x) = k. Esta g repre-senta gráficamente a una recta horizontal. Entonces si tenemos la función Y

1 = x y Y

2 = 3, la suma gráfica

Y = Y1 + Y

2 dará como resultado la siguiente forma gráfica:

Y observaríamos el mismo efecto, es decir, la gráfica de la función Y1 se desplaza verticalmente tres

unidades hacia arriba.

Y = Y + Y1 2

Y =1 x

Y = 32

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 89

Sumemos ahora las expresiones Y1 = x y Y

2 = x. Dado que las funciones representan dos rectas

idénticas, son de hecho la misma recta en el plano coordenado, veremos sólo una línea al graficar, y loque haremos será entonces sumar su misma altura en dos puntos diferentes para unir finalmente lospuntos obtenidos:

FIGURA 5.2. Suma de recta Y1 = x + recta Y2 = x.

Bajo el criterio de la suma de alturas y con un análisis local, podremos realizar la suma de cuales-quier dos gráficas. Por ejemplo, para dos rectas arbitrarias, su suma podría graficarse utilizando lospuntos donde ambas rectas cruzan al eje x. Esto es, en el punto en el que una de las rectas cruza el ejex (o su altura es igual a cero) la suma es igual a la altura de la otra recta, veámoslo gráficamente:

FIGURA 5.3. Suma de recta + recta.

Hagamos ahora un estudio analítico de lo anterior. Observemos que el resultado de sumar gráficamen-te dos rectas, da como resultado una gráfica cuya inclinación y posición es distinta. Entonces, si tenemos:

90 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Y1 = ax + b y Y

2 = cx + d

su sumaY

1 + Y

2 = ax + b + cx + d = (a + c)x + (b + d)

donde (a + c) es el coeficiente de x y por lo tanto determina, como se sabe, la pendiente de la recta,mientras que (b + d) determina la ordenada al origen.

En estos casos no es difícil descubrir que la suma de dos rectas es una recta, tanto gráfica comoanalíticamente, pero es necesario partir de los casos más sencillos, para tener herramientas útiles enoperaciones posteriores más complejas.

5.1.2. Recta + parábola

Comencemos con el caso donde Y1 = x y Y

2 = x2 .

Y1 = x, Y

2 = x2 Y

3 = Y

1 + Y

2 = x + x2 Y

1, Y

2, Y

3

Observe el último plano en una ventana más pequeña:

FIGURA 5.4. Suma de recta + parábola.

3

2

1

–3 –2 –1

–1

–2

–3

1 2 3

y

x

1

2

–2 –1 1 2

–1

–2

1.5

0.5

–0.5

–1.5

y

x

1

2

–2 –1 1 2

–1

–2

1.5

0.5

–0.5

–1.5

y

x

1

–1

–1

0.75

0.5

0.25

–0.25

–0.5

–0.75

–0.5 0.5 1

y

x

Y = +32x x

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 91

Lo que notamos en este caso es que de manera local, alrededor del punto (0, 0), la parábola secomporta como la recta. Como si la gráfica de la función Y

2 = x2 descansara sobre la recta y se inclinara

hacia la izquierda. Veamos qué pasa cuando sumamos x2 + ax + b. En la calculadora, busque el menú conla tecla MENU GRPH-TBL introduzca las siguientes tríadas de funciones y grafique siguiendo lasindicaciones de las ventanas de la tabla 5.1:

TABLA 5.1. Suma de recta + parábola.

Ventana Funciones Gráficas

92 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Es probable que en el texto no distinga con claridad alguna de las gráficas, pero en su calculado-ra aparece en la parte superior izquierda la expresión de la función que se está graficando en esemomento.

En este punto podemos decir que cuando a una recta le sumamos la parábola y = x2, la suma secomporta localmente, alrededor de x = 0, como la recta misma, aunque mantiene la forma de parábola.Con la calculadora puede hacer un análisis, como el que hicimos en la tabla 5.1, para la suma de cual-quier recta más la parábola y = –x2. ¿Qué observa ahora?

Analíticamente lo que tenemos al sumar cualquier recta con una parábola Y1 = x2 es una pará-

bola con término lineal, esto es F = x2 + ax + b cuya recta tangente en el punto (0, b) es precisa-mente Y

2 = ax + b, por eso es que su comportamiento es tan parecido en esa zona. Sin embargo,

algo muy distinto sucede al sumar Y1 = ax + b con Y

2 = c(x + d)2 + e, ya que la parábola anterior ya

tiene una parte lineal implícita en su fórmula. Para este caso se puede hacer un análisis como elutilizado en la suma de rectas. Es decir, sumar las alturas tomando como puntos de referencia loscruces con el eje x.

FIGURA 5.5. Suma de recta + parábola.

Entonces, la “parábola suma” es la que pasa por los tres puntos.

5.1.3. Recta + cúbica

Analizaremos este caso justo como hicimos con el anterior. Comencemos con una tabla que muestredistintos casos de la suma Y

1 = ax + b más Y

2 = cx3.

La suma sigue comportándose localmente, alrededor de x = 0, como la recta. Sin embargo, hay doscasos en los que la forma de la cúbica cambia, y justo son los casos donde los coeficientes de x y x3 sonde signo contrario. Esta forma gráfica de la cúbica ya se había mencionado en el capítulo 3, pero no pudoser construida con las transformaciones que vimos en el capítulo 4.

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 93

TABLA 5.2. Suma de recta + cúbica.

Ventana Funciones Gráficas

94 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Para estudiar la suma gráfica de las funciones Y1 = ax + b y Y

2 = c(x + d)3 + e utilizaremos el análisis

de la suma de las alturas, tomando como puntos de referencia los cruces con el eje x.

FIGURA 5.6. Suma de recta + cúbica.

La gráfica suma es entonces aquella que pasa por los cuatro puntos marcados.

5.1.4. Parábola + parábola

“Sumar” dos parábolas tiene el mismo sentido que “sumar” dos rectas. Hagamos para ello primeramenteun análisis analítico. Pensemos en dos parábolas.

Y1 = a(x + b)2 + c y Y

1 = d(x + e)2 + f.

Si F = Y1 + Y

2 entonces

F = [ax2 + 2abx + ab2 + c] + [dx2 + 2dex + de2 + f]

F = (a + d)x2 + 2 (ab + de)x + (ab2 + c + de2 + f).

Esto quiere decir que la suma es una parábola con posición y abertura distinta. La suma gráfica sepuede hacer con el análisis de suma de alturas, aunque recordemos que como en ocasiones las parábolas nocruzan el eje x los puntos de referencia serán otros. Por ejemplo, el caso de la suma de las siguientes dosparábolas que no cruzan el eje x:

Suma de parábolas que no cruzan el eje x.

4

2

–4 –2 2 4

–2

–4

y

x

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 95

En este caso tomemos como punto de referencia aquel donde se cruzan ambas parábolas, es decir, dondeambas tienen la misma altura. La suma será entonces, el doble de la que marca la altura del cruce. Ahorabien, observemos que ambas parábolas están por encima del eje x, por lo tanto la suma será una parábolapor encima del eje x, y naturalmente será siempre mayor que sus sumandos. El que la suma sea mayorque sus sumandos la ubica en la región sombreada (recuerde que estamos sumando alturas, y al sumardos alturas positivas siempre obtendremos una altura mayor que cada una de ellas).

Zona donde se encontrará la suma.

Observemos en una ventana de visualización a las dos parábolas y su suma:

Parábolas y su suma.1

Sólo recuerde que las alturas que están por debajo del eje x tendrán valores negativos de la funcióny se toman en consecuencia como una resta de las alturas.

Como podrá darse cuenta, para el bosquejo de estas gráficas se necesitaron distintos argumentos,tales como aquel que proviene del contexto gráfico, o del numérico e incluso del analítico. Esto es, eneste momento la visualización está tomando un lugar muy importante en el desarrollo de estructurasmentales para el conocimiento de las formas gráficas.

5.1.5. Parábola + cúbica

Analicemos en la tabla 3 como hicimos anteriormente, el efecto de sumar distintas parábolas con lagráfica de la función Y = x3.

Queremos reiterar que es posible que en la impresión del texto no se distinga con claridad alguna delas gráficas, pero en su calculadora, se muestra en la parte superior izquierda la función que se estágraficando en ese momento. Para el caso que nos ocupa, el de esta suma de una función cúbica con unacuadrática, a lo que genéricamente hemos llamado “parábola más cúbica”, observamos un patrón dondela parábola parece incrustarse en la gráfica de la función cúbica, aunque se vea muy tenue, y con ello

1 Esta gráfica se obtuvo graficando las desigualdades Y1 ≥ a (x + b)2 + c y Y2 ≥ d(x + e)2 + f.

96 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

obtenemos formas cúbicas distintas a las que obtuvimos en capítulos anteriores. De este modo, si traba-jamos una función cúbica de la forma Y = Ax3 + Bx2 + Cx + D notará que contiene de forma explícita auna parábola. Más aún podemos decir que es la suma de una cúbica (Ax3) con una parábola (Bx2)con una recta (Cx) desplazada verticalmente D unidades. Al analizarlo de esa manera, podemos bos-quejar la gráfica sin necesidad de tabular, usando solamente gráficas de funciones prototípicas: y = x,y = x2 y y = x3.

TABLA 5.3. Suma de parábola + cúbica.

Ventana Funciones Gráficas

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 97

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Realice la suma gráfica en los siguientes casos:

A) B)

C) D)

2. Realice la suma gráfica de las siguientes funciones. Compruebe sus bosquejos en la calcu-ladora.

a) Y = Y1 + Y

2 + Y

3 con Y

1 = x3, Y

2 = x2 y Y

3 = x.

b) Y = Y1 + Y

2 + Y

3 con Y

1 = 0.5x3, Y

2 = 0.5x2 y Y

3 = 0.5x.

c) Y = Y1 + Y

2 + Y

3 con Y

1 = 4x3, Y

2 = –2x2 y Y

3 = x.

d) Y = Y1 + Y

2 + Y

3 con Y

1 = –2x3, Y

2 = 0.5x2 y Y

3 = –3x.

3. Considerando que la función Y = Ax3 + Bx2 + Cx + D puede verse como una suma de funciones(como en el ejercicio anterior), determine qué funciones al sumarse dan origen a las siguientesgráficas:

y

x–5 –4 –3 –2 –1

–2

–4

4

2

1

y

x

2

1

–2

–1

1 2 3 4 5–0.5

–1.5

1.5

0.5

98 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

A) B)

C) D)

E) F)

4. Realice las siguientes sumas de manera gráfica:

a) 5x3 – 3x2 + x.

b) 0.5x3 + x2 – 2.

c) x2 + 2x + 3.

d) –x3 + 2x – 1.

e) x2 + 2x –2.

10

8

6

4

2

–2

–3 –2 –1 1 2

y

x

–10

10

5

–3 –2 –1 1 2 3–2.5

–5

–7.5

7.5

2.5

y

x

y

x

10

–10

–5

5

–1 1 2

7.5

2.5

–0.5–2.5

–7.5

0.5 1.5

10

–10

–10 –5 5 10

5

–5

–2.5

–7.5

7.5

2.5

y

x

y

x

2

–2

–2

–4

–6

–8

–10

2 4 6

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 99

5. Relacione la función con la gráfica que le corresponda:

Funciones Gráficas

a) y = x3 + x2 + x

b) y = 2x3 – 0.5x2 + x –2

c) y = –x3 + x2 – x

d) y = –5x3 – 0.5x + 10

e) y = 1.5x2 – 6x + 2

4

2

0

–2

–4

–2 –1 0 1 2

6

4

2

0

–2

–4

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3

4

2

0

–2

–4

–4 2 0 2 4

4

2

0

–2

–4

–2 –1 0 1 2

1.

4.

3.

2.

4

2

0

–2

–4

–2 –1 0 1 2

5.

100 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

5.2. MULTIPLICACIÓN

5.2.1. Raíces de una función

Antes de comenzar con la multiplicación gráfica de funciones, es necesario hacer una pausa para anali-zar ciertas características que se han mostrado, pero no se han hecho explícitas en los capítulos anterio-res. Hasta ahora, hemos trabajado con funciones prototipo de la forma y = xn con n = 1, 2, 3, y con baseen transformaciones hemos obtenido variaciones gráficas de las mismas. Un punto importante ahoraconsiste en señalar que si n > 3, las gráficas no cambian su forma, sólo la rapidez de su crecimiento.Analicemos esto con gráficas en movimiento. Comencemos el análisis para n par. Para ello, debe confi-gurar su calculadora de acuerdo con las siguientes pantallas:

1 2

Oprima EXE . Oprima EXE .

3 4

Oprima F2 para establecer Oprima EXE . el rango de A.

5 6

Oprima F2 para establecer Oprima F1 para seleccionarla velocidad del dinamismo. la opción de cambio manual.

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 101

7 8

Si en su ventana no logra verclaramente los cambios puede

ser por la escala.Defina la escala según

Oprima EXE hasta que aparezca la siguiente ventana SHIFT OPTNla gráfica. En cuanto suceda

oprima EXE para ver las otras gráficas. Recuerde que el valor de A

aparece en la parte inferior izquierdade su pantalla.

A continuación se muestra la sucesión de gráficas:

1 2 3

Oprima EXE . Oprima EXE . Oprima EXE .

4 5

Oprima [EXE].

con el dinamismo de la calculadora se puede ver el cambio en la parábola. Ahora observe todas lasgráficas juntas en dos intervalos distintos:

102 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Ventana Gráfica

Conforme se dibujan las gráficas su función correspondiente aparece en la parte superior izquierda.De modo que podemos ver que en el intervalo de [–5, 5] mientras más grande sea el exponente, másrápido crecen las ordenadas de la parábola. Sin embargo, en el intervalo [–1, 1], mientras más grande seael exponente, la parábola se pega más al eje x, es decir, es más pequeño su crecimiento. Esto último es loque explica que la parábola se aplane en el intervalo dado, en la medida que el exponente crece.

Para analizar el caso y = xn con n impar, podemos hacer una secuencia como la anterior definiendoal parámetro A según se muestra en la siguiente pantalla:

De tal manera que la sucesión de gráficas queda como sigue:

1 2 3

Oprima [EXE[. Oprima [EXE]. Oprima [EXE].

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 103

4 5

Oprima [EXE].

Ahora observe todas las gráficas juntas en dos intervalos distintos:

Ventana Gráfica

Al igual que con n par, la función y = xn con n impar, más rápido crecen las ordenadas de lafunción en la media en que más grande sea el exponente. Aunque en el intervalo [–1, 1] la que crecemás rápido es y = x3.

¿Qué pasa ahora con la función y = a(x + b)n? Como hemos visto anteriormente, el parámetroa abre o cierra la gráfica cuando se trata de n par, y la estira o la comprime cuando se trata de nimpar. En cuanto al parámetro b lo que provoca es un desplazamiento horizontal de la gráfica paracualquier n. Esto quiere decir que la gráfica sigue tocando el eje x de la misma manera que y = xn,veámoslo gráficamente:

104 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

y = 0.5x2. y = (x – 2)2. y = 2(x + 1)2.

En caso de que n fuera cualquier otro número entero ocurriría exactamente lo mismo, compruébelograficando algunos casos en su calculadora.

Lo importante aquí es ver cómo cortan o cruzan el eje x estas gráficas. Por ejemplo, para unafunción F su gráfica se puede analizar de la siguiente manera:

FIGURA 5.7. Raíces de una función.

Si F(x) es una función cualquiera y a un valor constante que satisface F(a) = 0, a recibe el nombrede raíz de la función F(x). Esto es:

F(x) = P(x) (x – a),o dicho de otra forma:

F(a) = P(a)(a – a) = 0.

Sin embargo, a podría ser raíz de P(x) y en este caso tendríamos:

Corte como= (x + )

con impary mayor que 1

y a b

n

nCorte como

= (x + )con 1y a b

n =

n

Corte como= (x + )

con pary a b

n,

n

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 105

P(x) = (x – a) Q(x)y entonces

F(x) = (x – a)(x – a) Q(x)

= (x – a)2 Q(x)

lo cual querría decir que a es una raíz de multiplicidad 2 ni Q(a) ≠ 0. Pero podría darse el caso de quea fuera también raíz de Q(x) y entonces la función F se definiría así:

F(x) = (x – a)3 R(x).

Así, podríamos seguir con la multiplicidad n de la raíz a, pero ya hemos visto que las característicasde las raíces de la función F(x) = (x – a)n dependen de la paridad de n. Sin embargo, no podemos olvidarlas funciones P, Q y R que se encuentran multiplicando a F en los distintos casos. Es ahora cuandocomenzamos a analizar la multiplicación gráfica de funciones.

5.2.2. Recta ××××× recta

La función y1 = x2 puede obtenerse por medio de una multiplicación, es decir, interpretándola como

y1 = x • x. Pensemos en la gráfica de la función y

2 = x:

Si en el primer cuadrante la función y2 es positiva y la multiplicamos por sí misma, el resultado será

positivo. Por otra parte, en el tercer cuadrante la función y2 es negativa, y al multiplicarse por sí misma,

el resultado será positivo. Por lo tanto nuestra función y1 se encontrará en el primer y segundo cuadran-

tes, además, si pensamos en y1 = x • x, tenemos una raíz de multiplicidad 2 en el punto (0, 0). Con lo

anterior, es claro que la gráfica es de la siguiente forma:

y

x

4

2

–4 –2

–2

–4

2 4

Ojo autor:

¿Es correcta esta afirmación?

106 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Pensemos ahora en rectas de la forma y = ax + b. Por ejemplo para graficar Y = (x – 2)(x – 4),comenzamos por graficar las rectas en el plano, analizar ciertas regiones, y por último hacer un bosquejode la gráfica multiplicación.

FIGURA 5.8. Análisis por regiones.

Una vez que grafiquemos las rectas por separado, localizamos sus raíces y podemos marcar líneasperpendiculares al eje x (como en la figura) para marcar las regiones de análisis. Podemos resumir elanálisis en los siguientes puntos:

• Hasta antes de la raíz x = 2 ambas rectas están por debajo del eje x, por lo tanto su productoestará por arriba del eje x. Se sombrea la parte positiva.

• Entre las raíces x = 2 y x = 4 las imágenes de una recta son positivas y las otras son negativas,por lo tanto su producto es negativo. Se sombrea la parte negativa.

4

2

–2

–4

1 2 3–1–2–3

y

x

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 107

• Después de la raíz x = 4 ambas rectas están por encima del eje x, por lo tanto su producto espositivo. Se sombrea la parte positiva.

• Tanto la raíz x = 2 y x = 4 son de multiplicidad 1, por lo tanto su cruce con el eje x es como elde una recta.

Un bosquejo de la gráfica producto sería:

FIGURA 5.9. Multiplicación de dos rectas mediante el análisis de regiones.

Miremos otro ejemplo gráfico.

FIGURA 5.10. Multiplicación mediante análisis de regiones.

En estos ejemplos es importante analizar las características analíticas de las funciones involucradas.Por ejemplo, en el primer caso se multiplicaron dos rectas con pendiente positiva y como resultado

2 4

Y = ( – 2) ( – 4)x x

Y = ( – 2)1 x

Y = ( – 4)2 x

x

Y

f

g

Y=f g

108 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

obtuvimos una parábola que abre hacia arriba. En el segundo caso una de las rectas tiene pendientenegativa y provoca que el resultado sea una parábola que abre hacia abajo. ¿Cómo será la parábolaresultante de una multiplicación de dos rectas cuya pendiente es negativa?, puede hacer pruebas en lápizy papel, y posteriormente en calculadora, con el fin de comprobar sus hipótesis.

5.2.3. Recta ××××× recta ××××× recta

El análisis por regiones se puede usar en cualquier tipo de multiplicación. Veamos ahora la “multiplica-ción gráfica de tres rectas”.

FIGURA 5.11. Multiplicación gráfica de tres rectas mediante el análisis de regiones.

Pero multiplicar tres rectas equivaldría a multiplicar una parábola por una recta. Esto es, multiplica-mos dos rectas y obtenemos una parábola, y posteriormente multiplicamos por la recta restante.

5.2.4. Recta ××××× parábola

FIGURA 5.12. Multiplicación recta × parábola mediante el análisis de regiones.

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 109

En este caso hay una recta (una raíz) y una parábola con dos raíces distintas, además ninguna de lasraíces de la parábola es igual a la raíz de la recta, por lo tanto la gráfica producto será una cúbica contres raíces distintas. Esta forma cúbica no se había obtenido con el método de las transformaciones,ahora sabemos cuál es una de las operaciones que la propicia.

Pero, ¿qué pasaría si una raíz de la parábola fuera la misma que la raíz de la recta, o la parábolatuviera raíz de multiplicidad 2? Observemos los siguientes ejemplos:

FIGURA 5.13. FIGURA 5.14.

5.2.5. Generalización

Este criterio para multiplicar la gráfica de varias funciones es el mismo para cualquier función. Sólo hayque poner atención en los siguientes aspectos:

• Cruces de la gráfica de la función con el eje x. Es decir, en las raíces de la función.• Multiplicidad de las raíces.• Zonas en el plano. Es decir, si es positiva o negativa.

Sin embargo, si hemos de graficar una función definida de la forma Y = ¦(x – a)o (x – b)p (x – c)q

(x – d)r ... no es necesario hacer gráficas por separado y multiplicar posteriormente. Si después de hacertantas multiplicaciones gráficas hemos logrado tener una visualización de dicho proceso sabremos quelo importante es identificar las raíces y su multiplicidad. Por ejemplo, en el siguiente caso:

Raíz multiplicidad 1 Raíz multiplicidad 3

Y = (x – 2)(x – 3)2(x – 5)3

Raíz multiplicidad 2

x

YY

x

110 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Tenemos la gráfica de la forma:

FIGURA 5.15 a). Multiplicidad de las raíces.

observemos entonces, que lo que da forma a la gráfica son las raíces y su multiplicidad. Observemosahora esta función, pero con multiplicidades distintas a las anteriores:

Raíz multiplicidad 1 Raíz multiplicidad 5

Y = (x – 2)(x – 3)4(x – 5)5

Raíz multiplicidad 4

La gráfica queda de la siguiente forma (observe que el intervalo es el mismo que el anterior):

FIGURA 5.15 b). Multiplicidad de las raíces.

Quizá ahora, después de estudiar ejemplos de cómo tratar una función gráficamente, sin dejar delado el aspecto numérico y analítico de dicho objeto, queda claro que la visualización es un proceso quepermite vincular, relacionar y transitar entre distintas representaciones del concepto función. Aunqueaún queda una operación más, ésta provocará la aparición de nuevos conceptos.

y

x

4

2

–2

–4

2 3 4 5 6

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 111

♦ Ejercicios

1. Realice la multiplicación gráfica de las siguientes funciones:

A) B) C)

D) E) F)

G) H) I)

J) K) L)

4y

3

2

1

–1

–2

0

1 2 3 4 5 6x

4y

3

2

1

–1

–2

0

1 2 3 4 5 6x 1

2

3

4y

x–2

–1

–2

2 4 6

4

3

2

1

–1

1 2 3 4 5 6

y

x

4

2

–1–2–3–4–5–6

–2

1

y

x

–4

4

2

–2

–4

–4 –3 –2 –1 1

y

x

y

x

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–1 1 2 3 4

3

2

1

–1

–2

–1 1 2 3 4 5

y

x

y

x–5 –4 –3 –2 –1

2

1

–1

–2

1.5

0.5

–0.5

–1.5

6

4

2

–2 2 4 6

–2

–4

y

x–3 –2 –1

4

2

–2

–4

–6

1 2 3

y

x

112 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

2. Bosqueje las siguientes funciones sin hacer operaciones gráficas. Compruebe sus conjeturas enla calculadora.

a) (x – 2)2(x – 4)3.

b) (x + 1)3(x – 2).

c) x(x + 1)(x – 2)2.

d) –x2(x + 4)(x – 2)2.

e) 0.5x2(5 – x)(4 – x).

f) x3(3 – x)(x + 2).

g) –0.5x(x + 6)(x – 2).

3. Proponga una fórmula para cada una de las gráficas siguientes. Compruebe sus conjeturas en lacalculadora.

A) B) C)

D) E) F)

4. Elabore una guía para construir la gráfica de la función y = (x – a)m(x – b)n(x – c)p ...5. Elabore una guía para construir la fórmula de una función de la forma y = (x – a)m(x – b)n(x – c)p

...a partir de su gráfica.

y

x

6

4

2

–3 –2 –1–2

–4

–6

1 2 3

10

5

–5

–10

–4–2 2 4

y

x

2

1

–1–1

–2

–3

–4

–5

1–1.5 –0.5 0.5 1.5

y

x

y

x

10

5

1 2 3–1–2–3

–5

–10

15

–15

–1 –0.5

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

1 20.5 1.5 2.5

y

x

4

2

–2

–4

–1–2–3 1 2

y

x

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 113

5.3. DIVISIÓN

En esta sección no haremos un análisis tan sistemático como en los casos anteriores, analizaremos lascaracterísticas más importantes de la operación división y haremos entonces una generalización detalla-da. Sin embargo, es conveniente empezar, como en las secciones anteriores, por los casos sencillos.

Por ejemplo, el caso de la división de dos rectas. Comencemos tomando las rectas Y1 = 1 y Y

2 = x y

su cociente Y = Y1/Y

2. Si analizamos las dos funciones gráficamente tenemos:

FIGURA 5.16.

Para obtener el cociente de estas gráficas podemos utilizar el criterio de las regiones para averiguaren qué zona del plano se encontrará el cociente. Por ejemplo, en el caso anterior para x < 0 la funciónconstante Y

1 = 1 es positiva (de hecho siempre lo es) y la función Y

2 = x es negativa, por lo tanto el

cociente será negativo. Para x > 0 en cambio, ambas funciones son positivas, por lo tanto su cociente serápositivo. En esta operación es fundamental localizar las raíces del denominador, en tanto que sabemosque la división entre cero produce una indeterminación y por consiguiente se provocará una asíntotavertical, cuando no ocurra que en el mismo punto también hay un cero del numerador. Veamos el cocien-te del ejemplo:

FIGURA 5.17. Cociente Y = 1/x.

114 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

No debe olvidar que aun cuando esté operando gráficamente, la exploración numérica es una herra-mienta poderosa para establecer comportamientos gráficos. En este ejemplo, una exploración numéricade Y = 1/x alrededor de cero le da cuenta del comportamiento asintótico de la función.

Vea ahora lo que pasa con los distintos cocientes Y = 1/xn para n = 2, 3, 4, 5 y encontremos un patrón:

Y = 1/x2. Y = 1/x3 .

Y = 1/x4. Y = 1/x5.

Sin embargo, el cociente puede ser de la forma F(x) = A/(x + B)n. Entonces, lo que podemos hacer estransformar, como en el capítulo 4, las primitivas que identificamos anteriormente. Ahora bien, estospueden ser los cocientes más sencillos. Pensemos en el cociente como una función racional de la forma:

)Q()P(

)F(xx

x =

.)Q(:y

)P(:donde

01

1

01

1

bxbxbx

axaxaxm

mm

m

nn

nn

+++=

+++=−

−

−−

L

L

Comencemos con un ejemplo sencillo y analicémoslo con el criterio de las regiones.

2

2

)3)(1(

)2(

−+−=xx

xxY .

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 115

Primeramente localizaremos, por medio de las gráficas, las raíces del numerador (gráficas de líneacontinua), que se convertirán en raíces del cociente y las raíces del denominador (gráficas de líneaachurada) que se convertirán en asíntotas verticales del cociente.

FIGURA 5.18. Gráficas del numerador (línea continua) y denominador (línea achurada).

Veamos ahora la gráfica del cociente:

FIGURA 5.19. Función racional con dos asíntotas.

Veamos otro ejemplo, analicémoslo, al igual que el anterior, de manera local a través de sus raícesy asíntotas, para posteriormente generalizar algunas de sus características y hacer entonces un análisisglobal. En el siguiente ejemplo tenemos:

3)–1)((

2)–(3)()F(

32

xx

xxxx

++= .

Grafiquemos el numerador por partes, es decir, primero la función Y1 = x, después Y

2 = (x + 3)2 y,

por último, Y3 = (x – 2)3 . Posteriormente hagamos lo propio con el denominador:

–4 –2 2 4 6x

–4

–2

2

4

y

116 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

FIGURA 5.20. Funciones que componen FIGURA 5.21. Numerador.el numerador.

Aquí es importante señalar que las raíces de esta función seguirán siendo las raíces del cociente. Noasí, las raíces del denominador, como ya se había mencionado. Observe ahora la gráfica de las funcionesque conforman al denominador y la gráfica del denominador:

FIGURA 5.22. Funciones que componen FIGURA 5.23. Denominador.al denominador.

En el caso del denominador, sus raíces se convierten en asíntotas verticales en el cociente, debido ala no existencia de la división entre cero, como ya se había mencionado.

Observemos ahora la gráfica del cociente:

FIGURA 5.24. Gráfica del cociente.

150

125

100

75

50

–4 –3 –2 –1 1 2 3

–25

25

y

x

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 117

Observemos cómo las raíces del numerador se mantienen (x = –3, x = 0 y x = 2) cada una con sumultiplicidad, y las raíces del denominador se convierten en asíntotas verticales (líneas rectas verticalesen x = –1 y x = 3).

Hasta ahora hemos analizado algunas características locales de funciones racionales, producto de ladivisión de dos polinomios. Sin embargo, tienen un comportamiento global diverso. Observemos lassiguientes gráficas:

FIGURA 5.25. FIGURA 5.26. FIGURA 5.27.

2

22

1 )3)(1(

)2()2(

−+−+=

xx

xxy

2

23

1 )3)(1(

)2()5(05.0

−+−+=

xx

xxy

2

33

1 )3)(1(

)2()5(005.0

−+−+=

xx

xxy

gráfica achurada y2 = x gráfica achurada y2 = 0.05x2 gráfica achurada y2 = 0.005x3

Observemos que la gráfica se comporta de manera global, o en sus extremos, de formas muy signi-ficativas. Esto tiene que ver con los grados de ambos polinomios, el numerador y el denominador. Porejemplo, en el primer caso tenemos un numerador de grado cuatro y un denominador de grado tres, porlo que al efectuar la operación división obtendremos un cociente de grado uno. Esto es, a la larga, haciael infinito (negativo o positivo), la gráfica de la función se comportará como una función lineal.

Si observamos cuidadosamente, el comportamiento de la gráfica de la función racional no es idénticoal de la gráfica achurada, sin embargo, nos permite tener una aproximación en el bosquejo de gráficas.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Realice un bosquejo de gráficas para las siguientes funciones. Compare sus bosquejos con lasgráficas de la calculadora, en caso de tener diferencias significativas exprese sus conjeturas alrespecto.

x

xyb)

xx

xxya)

1

)5()84(

)1()2(522

43

−=

−+−+= .

.

118 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

32

232

)2()2)(3(

)1()1()1(

2)1(

−+−++−=

−−=

xxx

xxxxyd)

x

xxyc)

2. Partiendo de las funciones primitivas (y sus gráficas antes vistas)

32

111

xxx

realice bosquejos de gráficas de las siguientes funciones a través de sus transformaciones:

5)2(

5.0)(

)4(3

1)(

366

1)(

4

5)(

)2(

1)(

3

2

2

++

=

−=

−+

=

−=

+=

xxfe)

xxfd)

xxfc)

xxfb)

xxfa)

3. Analice las siguientes familias de funciones en su calculadora, proponiendo distintos valores an. Explique el efecto local y global de dicho parámetro en cada función:

n

n

n

x

xxy

x

xxy

x

xxy

)2(

)1(

)2(

)1(

)2(

)1(

−−=

−−=

−−=

.

.

, ,

.

.

.

.

.

.

.

.

MÉTODO DE LAS OPERACIONES 119

Sugerencia: puede utilizar las gráficas dinámicas, con una ventana adecuada, para quepueda apreciar de forma más clara dicho efecto.

4. Indique cuáles de las siguientes gráficas pueden corresponder a una gráfica de una funciónracional y cuáles no. Explique sus razones.

GRÁFICA 5.1. GRÁFICA 5.2. GRÁFICA 5.3.

GRÁFICA 5.4. GRÁFICA 5.5. GRÁFICA 5.6.

5. Construya una expresión analítica cuya gráfica pueda corresponder con cada una de las si-guientes gráficas:

10

8

6

4

2

–4 –2 2 4

–2

y

x

y

x

30

25

20

15

10

5

–5

–4 –2 2 4 6

y

x

4

2

–4 –2

–2

–4

2 4

y

x

3

2

1

–1

–4

–3

–2

51 2 3 4

–5

120 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Función racional 1.

Función racional 2.

Verifique sus conjeturas en la calculadora.

y

x

5

4

3

2

1

–1

–2

2 4 6

5

–4

–5

–10

10

x2

y

4–2–6

15

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 121

121

CAPÍTULO 6

Método del análisis matemático

Como hemos visto en los capítulos precedentes, es posible reconocer patrones en los comportamientos de las gráficas de las funciones. Particularmente, hemos estudiado una amplia gama defunciones algebraicas; nos hemos centrado más en las funciones polinomiales y en las funciones

racionales. La intención ha sido, como se señaló en su oportunidad, la de construir un universo de formasgráficas en los lectores. La idea siempre ha sido, que la visualización adquiera un nivel adecuado parapermitir interpretar conceptos y procesos matemáticos del cálculo, precálculo y análisis matemático.

En este capítulo buscaremos cerrar el ciclo que abrieron los anteriores, al ocuparnos de estudiar lasgráficas de funciones algebraicas desde una perspectiva novedosa, mirar a las funciones algebraicascomo compuestas con monomios de la forma f(x) = axn, para n natural; o bien como formadas porfactores del tipo A(x – b)j. El propósito es aproximarnos, mediante la visualización, a las funcionesanalíticas.

Como sabemos, las funciones analíticas son aquellas que pueden expresarse mediante una serie depotencias, es decir, si consideramos que la función f está definida sobre un dominio Ω ⊆ ℜ, decimos quef es analítica sobre Ω, si para todo a ∈ Ω, existe una vecindad U de a en Ω, y una sucesión a

n de

números reales tales que para todo x ∈ U, la serie

∑∞

=

−0

)(i

ii axa

converge a f(x). En tal caso decimos que ∑∞

=

−=0

)()(i

ii axaxf sobre Ω.

122 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Este resultado teórico se presenta en los cursos de análisis matemático y en los de cálculo avanzado;sin embargo, el tratamiento habitual inhibe aspectos de la visualización de las funciones analíticas. Porejemplo, cuestiones sobre ¿cómo se conforma la serie?, ¿qué papel juegan los coeficientes de lossumandos?, ¿qué significado se asocia a los monomios involucrados? O bien, ¿qué significado visualtiene la convergencia de la serie? Con estas cuestiones y otras más, pretendemos plantear a lo largo deeste capítulo una reflexión de corte didáctico para las funciones analíticas. Lo haremos desde una pers-pectiva novedosa, pues se apoya en resultados recientes de la investigación sobre procesos de aprendiza-je y enseñanza de las matemáticas como éstos suelen ser abordados en la matemática educativa.

Como dijimos anteriormente, las funciones analíticas son aquellas que pueden expresarse medianteuna serie de potencias. Esto, para el caso particular de a = 0, significa que f es analítica en una vecindada = 0, si la serie

∑∞

=

−0

)(i

ii axa

converge hacia f(x) en una vecindad de a. Decimos en tal caso que ∑∞

=

−=0

)()(i

ii axaxf

Empecemos entonces con el estudio de funciones de la forma f1(x) = x, f

2(x) = x2, f

3(x) = x3,...,

fn(x) = xn para n = 1, 2, 3,..., que son aquellas que componen la serie anterior. Todas ellas, como se ha

visto a lo largo de este libro, tienen curvas representativas cualitativamente semejantes entre sí; porejemplo, si centramos la atención en las regiones del plano que ocupan sus gráficas, veremos que alter-nativamente pasan de los cuadrantes 1 y 3 a los cuadrantes 1 y 2. La forma global de las gráficas tambiénmanifiesta una regularidad, pues se observa que son alternativamente funciones pares y funcionesimpares.

Para mostrar las gráficas e iniciar con su estudio, elegimos una misma ventana de visualización,tomando por ejemplo los valores de (x, y) que están en el rectángulo –4.1269841 ≤ x ≤ 4.12698412,–2.2177419 ≤ y ≤ 2.78225806. Esta elección la mostramos en la columna de la derecha del cuadro 6.1.

f1(x) x

f2(x) = x2

CUADRO 6.1. Gráficas de funciones de la forma xn.

.

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 123

f3(x) = x3

f4(x) = x4

f5(x) = x5

fn(x) = xn

si n es par

si n es imparmayor que uno

CUADRO 6.1. Continuación.

Si utilizamos la opción de gráficas dinámicas que se incluye en la calculadora Algebra FX 2.0,podremos mirar la secuencia de gráficas de la familia f

n(x) = xn, variando la n sobre los naturales, del 1

hasta el 10. Elija ahora la ventana de visualización siguiente:

PANTALLA 6.1. Ventana de visualización: 4 ≤ x ≤ 4, 3 ≤ y ≤ 3.

124 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

En el menú principal, tome la opción 4 que representa al menú dinámico con el fin de producir unafamilia de funciones en secuencia y discurrir, entonces, sobre las propiedades gráficas que se conservany aquellas que se modifican con la variación de las potencias.

PANTALLA 6.2. Menú principal, para elegir la ventana 4, DYNA.

Escriba la función en el menú de funciones dinámicas; como sabe este menú permite desplegar unasecuencia de gráficas construidas por una fórmula general, y graficar una familia finita de funciones.

PANTALLA 6.3. Escritura de la función f(x) = xn.

Establezca una variación para la potencia N de la función dada por la fórmula xn, desde 1 hasta 10,aumentando de uno en uno como se muestra en la siguiente pantalla. Es importante señalar que alconservar la misma ventana y controlar la variación de N, es posible distinguir propiedades que conser-van las gráficas de la familia de funciones, y que nos permitirán explicar aspectos de la naturaleza visualde las funciones analíticas.

PANTALLA 6.4. Determinación del rango de variación de la potencia A.

Después de las elecciones adecuadas para el rango y para la variación del parámetro N, nos restaahora correr la secuencia de gráficas para constatar que el conjunto de formas posible para las gráficasde la familia f

n(x) = xn, con N variando del 1 al 10, sólo produce en esencia tres formas gráficas

distintas.La ventana previa a la graficación de la secuencia es la siguiente:

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 125

PANTALLA 6.5. Ventana del rango de variación de la potencia N.

Elija en este caso la opción DYNA, oprimiendo la tecla F6 ; a continuación, la máquina prepara lasdiferentes gráficas y pide una pausa con el fin de concluir con sus cálculos; finalmente se produce unasecuencia de gráficas que en forma estática reproducimos enseguida. La importancia de este menú, en lamáquina y no en el papel, es que permite centrar la atención, gracias al dinamismo que la calculadoraimprime, en las regularidades visuales que se conservan y en aquellas que, por el contrario, se modifican.

Dispondremos a continuación las gráficas en una tabla de tres columnas (cuadro 2); en la primerasólo colocamos la gráfica de la función dada por la fórmula y = x, en la segunda columna están lasgráficas de las funciones de potencia par, x2, x4, x6, x8 y x10, y finalmente, en la columna tercera las gráfi-cas de las funciones dadas por las fórmulas x3, x5, x7 y x9, es decir, aquellas con potencia impar.

y = x1 y = x2 y = x3

y = x4 y = x5

y = x6 y = x7

CUADRO 6.2. Colección de gráficas de la forma fn(x) = xn, n = 1, 2,..., 10.

126 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

y = x8 y = x9

y = x10

CUADRO 6.2. Continuación.

Algunas observaciones sobre el comportamiento de la familia de funciones fn(x) = xn, n = 1, 2,... han

sido discutidas en el capítulo anterior. Por ejemplo, arribamos a la conclusión de que las funciones cuyafórmula esté dada por monomios de la forma x2 son funciones pares y, en consecuencia, sus gráficasserán simétricas respecto del eje y, mientras que las funciones de la forma x2 + 1 son impares y su gráficaes, por tanto, simétrica respecto del origen.

Señalamos también que esas gráficas tenían particulares formas de contacto con el eje x, y en con-secuencia obtuvimos una caracterización de la naturaleza múltiple de sus raíces. Así, por ejemplo, lasfunciones y = x, y = x2, y = x3, tienen respectivamente una, dos y tres raíces en x = 0.

Este resultado permite argumentar sobre el porqué, aunque todas las gráficas se intersecan con el ejex en un punto, todas lo hacen de manera completamente diferente:

y = x y = x2 y = x3

La recta cruza al eje x. La curva toca al eje x. La curva toca y cruza al eje x.

x + [–5, 5], y + [–3, 3] Y1 = x, Y2 = x2, Y3 = x3 Gráficas simultáneas.

Ventana de visualización. Menú de funciones. Pantalla de gráficas.

CUADRO 6.3. Imagen visual de la naturaleza de las raíces de la función y = xn.

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 127

Solución x = 0 Solución x = 0 Solución x = 0

Raíz simple en cero. Raíz doble en cero. Raíz triple en cero.

CUADRO 6.3. Continuación.

En general, una función cuya fórmula esté dada por f(x) = x2n, tendrá 2n raíces en x = 0, esto es, tieneuna raíz en cero de multiplicidad 2n. Equivalentemente, f(x) = x2n + 1, tiene 2n + 1 raíces en x = 0, o dichode otro modo, tiene en cero una raíz de multiplicidad 2n + 1.

De modo sintético, diremos que las curvas representativas que provengan de graficar las funcionesf(x) = xn tienen una forma particular de contacto con el eje x, diremos que tienen un contacto de orden 1si cruzan al eje en un punto como la hace la recta y = x. Decimos que tienen un contacto de orden 2 sitocan el eje x como lo hace la parábola y = x2; y el contacto será de orden 3, si la curva toca el eje x comolo hace la curva y = x3.

Contacto de orden 1. Contacto de orden 2. Contacto de orden 3.

FIGURA 6.1. Naturaleza del contacto entre el eje x y la curva y = xn.

Por otra parte, como vimos en los capítulos anteriores, los coeficientes an de los monomios a

nx2n

afectan a la forma de su gráfica en dos sentidos: en términos de la orientación de la curva respecto del ejex y en relación a la “abertura” de la curva. Así, mientras que x es una función creciente, la función –x esdecreciente. Veamos esto en una representación gráfica:

y = x y = –x

FIGURA 6.2. Efecto del parámetro A sobre la curva y = Ax.

128 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Equivalentemente, las parábolas f(x) = x2 y g(x) = –x2 tienen entre sí gráficas simétricas en relación conel eje x, lo cual se puede verificar analíticamente, pues f(x) = –g(x).

Gráfica de f(x) = x2. Gráfica de g(x) = –x2.

FIGURA 6.3. Efecto del parámetro A sobre la curva y = Ax2.

De modo que una expresión de la forma f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 no es sino la suma de monomios 2x3, x2,–x, 1, luego entonces podremos discutir la forma de su gráfica al saber las formas de las gráficas de sussumandos, ¿puede hacerlo? En nuestra opinión, la visualización permite justamente responder afirmativa-mente a cuestiones como la anterior. Veamos esto a través de la siguiente tabla. A la izquierda están lasgráficas de las funciones de la forma axn, mientras que, a la derecha, la suma de dichas funciones. Nos interesaen este momento analizar visualmente las propiedades de la función particular f(x) = 2x3 + x2 – x + 1.

y = 2x3

y = x2

f(x) = 2x3 + x2 – x + 1.

y = – x

y = 1

FIGURA 6.4. Visualización de los sumandos y de la suma f(x) = 2x3 + x2 x + 1.

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 129

GRÁFICA 6.1. Visualización de f(x) = 2x3 + x2 x + 1 como f(x) = g(x) + 1.

Centremos la atención en el comportamiento de la gráfica cerca del cero, así como en elpapel que desempeña en la suma el factor y = 1, es decir, analicemos el aspecto de la gráfica de fpara valores de x próximos a 0. El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de f, basta evaluar la fun-ción para saber que ello es así:

f(0) = 2(0)3 + (0)2 – (0) + 1 = 1,

la curva cúbica está “sobre” el punto (0, 1), esto se debe a la contribución del factor y = 1 en la sumade los términos; así f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 se puede mirar como f(x) = g(x) + 1, donde, naturalmente,g(x) = 2x3 + x2 – x. Si ahora centramos la atención en el factor lineal de f(x), esto es, la suma de lostérminos –x y 1, y = –x + 1, y lo graficamos en el mismo sistema coordenado que utilizamos para graficara la función f, tendremos:

GRÁFICA 6.2. Visualización de f(x) = 2x3 + x2 x + 1 como f(x) = h(x) x + 1.

Como se puede apreciar, ahora la recta y = fx + 1 sirve de “apoyo” a la gráfica de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1;ambas tienen en común al punto (0, 1) y además la recta es tangente a la curva en dicho punto. En estostérminos, la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 se puede escribir como f(x) = h(x) – x + 1, donde h(x) = 2x3 + x2.Si continuamos de esta manera, veremos que en la medida en que agregamos términos, primero fue el 1,luego el –x + 1, enseguida seguirá el x2 – x + 1 y finalmente la expresión completa 2x3 + x2 – x + 1. En cada

130 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

caso se presentan fenómenos similares y se tiene una gráfica que sirve de “apoyo” a la gráfica de lafunción completa. Veamos esto en la siguiente gráfica:

GRÁFICA 6.3. Visualización de f(x) = 2x3 + x2 x + 1 como f(x) = k(x) + x2 x + 1.

En cada caso, el punto (0, 1) = (0, f(0)) ha sido el pivote sobre el cual se apoyan las sucesivasgráficas que hemos construido; del mismo modo, la recta, y = –x + 1, fue la recta pivote sobre la cual seconstruye la función f, y la curva y = x2 – x + 1 es la parábola sobre la cual se construye la función f. Así,la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 puede escribirse como f(x) = k(x) + x2 – x + 1, donde k(x) = 2x3. Sicontinuamos de esta manera, veremos que en la medida en que agregamos monomios, primero el 1,luego –x + 1, enseguida x2 – x + 1 y finalmente 2x3 + x2 – x + 1, en cada ocasión tendremos comporta-mientos similares, pues una gráfica sirve de “apoyo” a la gráfica de la función completa.

Lo que hemos podido ver en este ejemplo constituye un poderoso resultado en análisis matemático,que consiste en afirmar que si una función arbitraria f es analítica, entonces tendrá asociada una sucesiónde funciones polinomiales cuyas gráficas estarán cada vez más cerca de la gráfica de la función entorno de un punto, y sus términos servirán de “apoyo” a ésta en las proximidades de dicho punto.

El ejemplo anteriormente desarrollado analizó el comportamiento gráfico de los sumandos 2x3, x2,–x, y 1 de la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. Cada elemento influyó de alguna manera en la forma final dela gráfica de f. Esta misma situación la tendríamos si trabajamos sobre una función polinomial arbitrariaf(x) = a

nxn + ... + a

1x + a

0, pues la curva representativa de f se apoyará en el origen, como se vio en el

ejemplo anterior, en el punto (0, a0), es decir, en el punto (0, f(0)). A continuación, al incrementar

el grado del polinomio de apoyo, tendremos que la curva representativa de la función f se apoyará en larecta y = a

1x + a

0 en las proximidades del 0. Siguiendo con este patrón, la gráfica de f se apoyará en

la parábola y = a2x2 + a

1x + a

0, y así sucesivamente.

Este resultado puede generalizarse para funciones no polinomiales, de modo que las curvas repre-sentativas de las funciones racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, directase inversas, pueden ser obtenidas mediante secuencias adecuadas de curvas polinomiales simples. Aquíradica la potencia del método analítico de análisis de las funciones, pues casi cualquier función de lasque se trabajan en el ámbito escolar, tendrá asociada una sucesión de funciones polinomiales que laaproximan adecuadamente en una cierta vecindad. La importancia práctica de este resultado salta ala vista, pues en vez de trabajar directamente con la función f, lo haremos mediante sus aproximacionespolinomiales.

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 131

Con el ejemplo anterior, pudimos visualizar el efecto que tienen los monomios de una expresiónpolinomial en la forma final de la gráfica. El caso elegido trató con la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1, en estecaso, todos los términos que componen al polinomio son factores monomiales de la forma a

nxn, es decir,

la función f es la suma de los monomios 2x3, x2, –x, 1. De ahí que se pudiera discutir su forma gráfica alestudiar las respectivas formas de las gráficas de sus sumandos. Como dijimos, la visualización permitejustamente responder afirmativamente a esas cuestiones, y proponemos ahora hacer una extensión deeste resultado: mostraremos que este análisis no sólo se hace sobre el punto (0, f(0)), sino que se puederealizar sobre cualquier punto (a, f(a)) que se encuentre en el dominio de definición de la función.Tratemos esta situación a través del estudio de un ejemplo particular. Partamos de la consideración deque toda expresión de la forma f(x) = a

nxn + ... + a

1x + a

0 puede reescribirse como una suma de potencias

de Ak (x – a)k, es decir, desarrollamos la serie en torno de x = a, en vez de x = 0 como se hiciera en el

ejemplo anterior.De esta manera, con el fin de ejemplificar lo que estamos diciendo, tomemos como punto de partida

la misma función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 que tratamos en el ejemplo anterior, sólo que, en lugar dedesarrollarla alrededor del 0 como hicimos hace un momento, lo haremos ahora, por ejemplo, en tornodel 1 (es decir, en esta ocasión tendremos a = 1). El problema se inicia entonces con la pregunta: ¿Cuálesson los valores de A, B, C y D tales que 2x3 + x2 – x + 1 = A(x – 1)3 + B(x – 1)2 + C(x – 1) + D?

Una forma de responder, sería mediante la resolución de un sistema de ecuaciones que se obtiene aldesarrollar las potencias del lado derecho de la igualdad anterior: A(x – 1)3, B(x – 1)2, C(x – 1) y D, eigualarlas con las expresiones del lado izquierdo, es decir con 2x3 + x2 – x + 1. En los libros de álgebra sepresentan técnicas más sintéticas con las que se obtienen los mismos resultados. En virtud de que almomento sólo nos interesa usar el resultado, diremos que los valores adecuados de A, B, C y D en estecaso son respectivamente: 2, 7, 7 y 3.

Es decir, que la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3. Conviene verificaresta afirmación algebraicamente antes de proseguir con la explicación. De modo que la expresión 2(x –1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 es igual la original 2x3 + x2 – x + 1, pero con la ventaja de que ha sido escritaen potencias sucesivas del factor x – 1.

Iniciemos ahora con el análisis gráfico de la situación planteada. El punto será ahora no el (0, 1)como hace un momento, sino el (1, 3). Recuerde que hace un momento graficamos la función f y loca-lizamos el punto sobre el eje y por el que cruzaba la gráfica de f.

Ahora, en cambio, localizamos el punto sobre la recta paralela al eje y que pasa por x = 1. Comoanalizamos en los párrafos anteriores, el punto (0, 1) proviene de considerar el punto de la gráfica(0, f(0)), ya que la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1, así f(0) = 2(0)3 + (0)2 – (0) + 1 = 1. Mientras que el punto(1, 3) proviene de evaluar la función en x = 1, esto es f(x) = 2x3 + x2 – x + 1, así f(1) = 2(1)3 + (1)2 – (1) +1 = 2 + 1 – 1 + 1 = 3. O bien, equivalentemente f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, de donde f(1)= 2(1 – 1)3 + 7(1 – 1)2 + 7(1 – 1) + 3 = 3. En síntesis, (0, 1) = (0, f(0)) y (1, 3) = (1, f(1)).

Ahora estudiemos la descomposición en factores lineales de la forma (x – 1) de la misma funciónf anterior. A la izquierda se presentan las gráficas de las funciones de la forma a

n(x – 1)n, mientras que,

a la derecha, la suma de dichas funciones. Como dijimos en el ejemplo anterior, son los monomios ysus combinaciones los que darán la forma final de la gráfica de f. En este momento nos interesaestudiar visualmente las propiedades que tiene la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 +7(x – 1) + 3.

132 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Gráfica de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. Gráfica de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1.

Recta vertical en x = 0. Recta vertical en x = 1.FIGURA 6.5. Gráfica de f.

y = 2(x – 1)3.

y = 7(x – 1)2.

f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3.y = 7(x – 1).

y = 3.

FIGURA 6.6. Visualización de los sumandos y de la suma f(x) = 2x3 + x2 x + 1.

2

–2

0

0

2 4 6–6 –4 –2

y

x

2

–2

0

0

2 4 6–6 –4 –2

y

x

–6 –4 –2 2 4 6

–2

2

0

0

y

x

–6 –4 –2 2 4 6

–2

2

0

0

y

x

–3 –2 –1 1 2 3

–2

2

0

0

y

x

–3 –2 –1 1 2 3

–2

2

0

0

y

x

–6 –4 –2 2 4 6

–2

2

0

0

y

x

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 133

GRÁFICA 6.4. Visualización de f(x) = 2(x 1)3 + 7(x 1)2 + 7(x 1) + 3,como f(x) = g(x) + 3.

Centremos la atención en el comportamiento cerca del uno y en el papel que desempeña en la sumael factor y = 3, es decir, analicemos el aspecto de la gráfica de f para valores de x próximos a 1. El punto(1, 3) pertenece a la gráfica de f, pues si evaluamos la función tendremos:

f(1) = 2(1)3 + (1)2 – (1) + 1 = 3,

de modo que la curva cúbica está “sobre” el punto (1, 3). Ello se debe a la contribución del factor y = 3en la suma de los términos; así f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 se puede mirar como f(x) = g(x)+ 3. Donde, naturalmente g(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1). Si ahora centramos la atención en elfactor lineal de f(x), esto es, la suma de los términos 7(x – 1) y 3, y = 7(x – 1) + 3, y lo graficamos enel mismo sistema coordenado que utilizamos para graficar la función f, tendremos:

GRÁFICA 6.5. Visualización de f(x) = 2(x 1)3 + 7(x 1)2 + 7(x 1) + 3como f(x) = h(x) + 7(x 1) + 3.

Como podemos apreciar, ahora la recta y = 7(x-1) + 3, sirve de “apoyo” a la gráfica de f(x) =2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, ambas tienen en común al punto (1, 3) y además la recta es tangentea la curva en dicho punto. En estos términos, la función f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 puede

2

–2

0

0

2 4 6–6 –4 –2

y

x

y x= 7( – 1) + 3

134 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

escribirse como f(x) = h(x) + 7(x – 1) + 3, donde h(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2. Si continuamos de estamanera, veremos que en la medida en que agregamos términos a la expresión anterior, primero el 3,luego el 7(x – 1) + 3, enseguida el 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 y finalmente la expresión completa 2(x – 1)3 +7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, tendremos aproximaciones polinomiales de las funciones. En cada caso sepresentan fenómenos similares, pues se tiene una gráfica que sirve de “apoyo” a la gráfica de la funcióncompleta. Veamos esto en la siguiente gráfica:

GRÁFICA 6.6. Visualización de f(x) = 2(x 1)3 + 7(x 1)2 + 7(x 1) + 3como f(x) = k(x) + 7(x 1)2 + 7(x 1) + 3.

En cada caso, el punto (1, 3) = (1, f(1)) ha sido el pivote sobre el cual se apoyan las sucesivasgráficas que hemos construido; del mismo modo, la recta, y = 7(x – 1) + 3 es la recta pivote sobre la cualse construye la función f, y la curva y = 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 es la parábola sobre la cual se construyela función f. Así, la función f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 puede escribirse como f(x) = k(x)+ 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, donde k(x) = 2(x – 1)3. Si continuamos de esta manera, veremos que en lamedida en que agregamos monomios, primero el 3, luego 7(x – 1) + 3, enseguida 7(x – 1)2 + 7(x – 1) +3 y finalmente 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, en cada ocasión tenemos fenómenos similares, puesuna gráfica sirve de “apoyo” a la gráfica de la función completa.

Lo que hemos podido ver en este y en el anterior ejemplo constituye un poderoso resultado enanálisis matemático, que consiste en afirmar que si una función arbitraria f es analítica, ésta tendrá unasucesión de funciones polinomiales cuyas gráficas estarán “cada vez más y más cerca” de la gráfica dela función, y sus términos servirán, como hemos dicho en este apartado, de “apoyo” a la gráfica de lafunción.

El ejemplo particular que ha sido objeto del desarrollo anterior, sirvió para analizar el comporta-miento gráfico de los sumandos 2(x – 1)3, 7(x – 1)2, 7(x – 1), y 3 de la función f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2

+ 7(x – 1) + 3. Cada elemento influyó en la forma final de la gráfica de f. La misma situación tendríamosal tomar una función polinomial arbitraria f(x) = a

n(x – a)n + ... + a

1(x – a) + a

0, pues la curva represen-

tativa de f se apoyará en el origen, como en el ejemplo anterior, en el punto (a, a0), es decir, en el punto

de coordenadas (a, f(a)). A continuación, al incrementar el grado del polinomio de apoyo, tendremosque la curva representativa de la función f se apoyará en la recta y = a

1(x – a) + a

0 en las proximidades del

número a. Siguiendo con este patrón, la gráfica de f se apoyará en la parábola y = a2(x – a)2 + a

1(x – a) +

a0, y de este modo sí aumentamos el grado del polinomio de apoyo.

2

–2

0

0

2 4 6–6 –4 –2

y

x

y x – x += 2 1

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 135

♦ Actividades y ejercicios propuestos

Actividad 1

Realice un análisis semejante al mostrado en los dos últimos ejemplos, según los cuales se graficaba lafunción y cada uno de sus sumandos en la misma pantalla de su calculadora con capacidad gráfica, conel fin de analizar la manera en que la gráfica de los sumandos va configurando progresivamente lagráfica de la suma.

Intente en cada caso elegir la opción ZOOM para confirmar que cada una de las aproximaciones seaproxima, efectivamente, cada vez más a la gráfica de la función polinomial original. El punto sobre elcual habrá que analizar el comportamiento está dado en cada ejercicio.

f(x) = –x, en x = 0.

f(x) = x + 2, en x = 0 o en x = –2.

f(x) = –3x + 3, en x = 0.

f(x) = –3(x – 1) + 3, en x = 1.

f(x) = –3(x – 2) + 3, en x = 2.

f(x) = –3(x – 3) + 3, en x = 3.

f(x) = x2 – 2x + 0.5, en x = 0.

f(x) = 5(x – 1)2 – 7(x – 1) + 3, en x = 1.

f(x) = 2(x – 1)2 – 2(x – 1) + 2, en x = 1.

f(x) = –3x2, en x = 0.

f(x) = –3x2 + 2x, en x = 0.

f(x) = –3x2 + 2x + 1, en x = 0.

f(x) = 2(x – 4)2 – (x – 4) + 5, en x = 4.

f(x) = 2(x – 2)3 + 7(x – 2)2 + 7(x – 2) + 3, en x = 2.

f(x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 3, en x = 0.

f(x) = 2(x – 1)3, en x = 1.

f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2, en x = 1.

f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1), en x = 1.

f(x) = 2(x + 1)3 + 7(x + 1)2 + 7(x + 1) + 3, en x = 1.

136 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

f(x) = 3(x – 1)3 – (x – 1)2 + 7(x – 1) – 3, en x = 1.

f(x) = (x + 2)3 – (x + 2)2 + (x + 2) – 1, en x = –2.

f(x) = x, en x = 0.

f(x) = x + 1, en x = 0.

f(x) = x2 + x + 1, en x = 0.

f(x) = x3 + x2 + x + 1, en x = 0.

f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, en x = 0.

f(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, en x = 0.

f(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, en x = 0.

Actividad 2

La mecánica de trabajo será la siguiente. Piense individualmente estos problemas, plantee una soluciónfactible y procure construir diversas soluciones, algunas de ellas apoyadas en la visualización. Formuleuna versión escrita de sus intentos.

1. Considere la función primitiva y = x. Identifique a la recta anterior como la bisectriz del ángulorecto ∠ΙOJ del plano cartesiano. Sólo con operaciones gráficas, construya la gráfica de la fun-ción y = x2. Demuestre con argumentos puramente algebraicos que su gráfica es una parábolacóncava hacia arriba.

2. Grafique la función y = x3 de dos maneras distintas. Una, como la multiplicación gráfica de lasfunciones y = x, y = x e y = x; y la otra, como el producto de y = x con y = x2. Demuestre que lafunción cúbica es creciente y cambie su concavidad en el origen. Muestre que es cóncava haciaarriba en los positivos y cóncava hacia abajo en los negativos.

3. Construya un bosquejo de las gráficas de la familia y = xn, considerando los casos en que n = 1,n sea par y n sea impar.

4. Bosqueje las gráficas de la familia yn = xn, considerando los casos en que n sea par y n sea impar.

Actividad 3

Se recomienda discutir los problemas en grupo y formular una versión escrita de las soluciones construi-das. Para ello se propone formar equipos.

Ojo autor: ¿escorrecto?

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 137

1. Utilizando la información sobre la multiplicidad de las raíces de un polinomio que hemosdiscutido en los capítulos anteriores, construya una representación gráfica de la función que seindica en cada inciso:

i) f(x) = x (x – 1) (x – 2).

ii) f (x) = x2(x – 1) (x – 2).

iii) f (x) = x(x – 1)2 (x – 2).

iv) f(x) = x(x – 1) (x – 2)2.

v) f(x) = x2(x – 1)2 (x – 2);

vi) f(x) = x2(x – 1) (x – 2)2.

vii) f(x) = x(x – 1)2 (x – 2)2.

viii) f (x) = x2(x – 1)2 (x – 2)2.

ix) f(x) = x(x – 1)2 (x – 2)3.

x) f(x) = x(x – 1)3 (x – 2)2.

2. Si f(x) = (x – 1)3 (x – 3)4 justifique el porqué:

i) 0)1(

)( →−xxf

, cuando x → 1.

ii) 0)1(

)(2

→−x

xf, cuando x → 1.

iii) 16)1()(

3→

−x

xf, cuando x → 1.

iv) 03)( →

−x

xf , cuando x → 3.

v) 0)3(

)(2

→−x

xf, cuando x → 3.

vi) 0)3(

)(3

→−x

xf, cuando x → 3.

vii) 8)3(

)(4

→−x

xf, cuando x → 3.

138 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

3. Generalice el resultado anterior. Suponga que f(x) = g(x)h(x) y que a es una raíz de multiplici-dad par de g, pero no es raíz de h. Mientras que b es una raíz de multiplicidad impar de h, queno es raíz de g. En consecuencia a ≠ b. Justifique visualmente cada una de las siguientes afirma-ciones:

i) a y b son raíces de f de multiplicidad par e impar, respectivamente.

ii ) La gráfica de f en las proximidades de a es parecida a la de g, salvo por un factor constante,en las proximidades de a. Equivalentemente, las gráficas de f y h son parecidas entre sí enlas proximidades de b. Verifique este resultado visualmente.

iii ) )()()(

ahxg

xf → cuando x → a, pero 0)(

)( →− jax

xf para toda j natural tal que j < n. Donde n

es el orden de multiplicidad de a como raíz de f.

iv) )()()(

bgxhxf → cuando x → b, mientras que 0

)(

)( →− jbx

xf , para j < n. Donde n es el orden

de multiplicidad de b como raíz de f.

v) una versión de la regla de L’Hôpital usando los resultados obtenidos en los incisos (iii ) y(iv) anteriores. Establezca cuáles son las hipótesis que se pueden cumplir en esta versiónde la regla.

Actividad 4

Es conveniente que discuta los problemas con sus compañeros y compañeras y que formule una versiónescrita de las soluciones construidas en grupo, no deje de pensar en forma individual las diversas solucio-nes. Le proponemos formar equipos de trabajo con el fin de desarrollar de mejor manera esta actividad.

1. Construya un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. Use las curvasy = 1, y = x, y = x2 e y = x3. Explique en cada caso el papel que juegan los coeficientes delpolinomio en cuestión.

f(x) = x3 + x2 + x + 1.

g(x) = x3 + x2 + x – 1.

h(x) = x3 + x2 – x + 1.

i(x) = x3 – x2 + x + 1.

j(x) = x3 + x2 – x – 1.

k(x) = x3 – x2 + x – 1.

,

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 139

l(x) = x3 – x2 – x + 1.

m(x) = x3 – x2 – x – 1.

Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones:

f1(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6.

f2(x) = x3 + 2x2 – x – 2.

f3(x) = x3 – 2x2 – x + 2.

f4(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6.

2. ¿Encuentra alguna relación entre el número de cambios de signo que tienen los coeficientes delas funciones y el número de raíces positivas del polinomio?

Actividad 5

La mecánica de trabajo será la siguiente. Reflexione en forma individual cada uno de estos problemas,plantee enseguida una solución factible y procure construir diversas soluciones discutiéndolas. Use pre-ferentemente estrategias de visualización.

1. Construya las gráficas de las funciones y = x, y = x – 1, y = x – 2 y determine las regionesdonde son positivas, negativas o cero. Construya con esa información la gráfica de la funcióny = x(x – 1)(x – 2). Generalice este resultado para un producto de factores lineales de la formay = Π (x – α

i).

2. Bosqueje las gráficas de las funciones y = x, y = x – 2, y = x + 1 y determine las regiones en lasque sean positivas, negativas o cero. Construya con esa información la gráfica de la función

1)1(

+−=

x

xxy . Generalice este resultado para un cociente de factores lineales de la forma

∏∏

−

−=

)(

)(

j

i

x

xy

β

α.

3. Construya las gráficas de las funciones y = x – 1, y = (x – 1)2, y = (x – 1)3 de dos maneras distintas,por regiones y por la naturaleza de la multiplicidad de sus raíces.

4. Generalice el problema anterior y construya un bosquejo de las gráficas de la familia de funcio-nes y = (x – a)n, considerando los casos en que n = 1, y en general que n sea par y n impar.

140 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

5. Construya un bosquejo de las gráficas de la familia nax

y)(

1

−= , considerando los casos en que

n sea par y en que sea impar.

Actividad 6

La mecánica de trabajo será la siguiente. Durante una hora, resuelva en forma individual los problemascon sus incisos. Escriba sus respuestas, incluyendo dudas. Posteriormente, durante la siguiente hora,discuta en equipos de tres personas sus dudas y sus soluciones y elabore una sola versión de las solucio-nes por equipo.

1. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones.

• f(x ) = x(x + 1)3 (x – 3)2 – 1.

• f(x) = x6 + x5 – x4 – x3 .

•24

23

)2()1(

)3()1()(

−−−+=

xx

xxxxf .

• Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cuáles falsas y cuáleseventualmente podrían ser verdaderas.

• Si f es una función racional, entonces el límite de f cuando x tiende a infinito es infinito.

• Si f es una función racional, entonces el límite de f cuando x tiende a más infinito es 3 ycuando tiende a menos infinito es cero.

• No existe valor de k para el cual la gráfica de f(x) = x2 + kx sea tangente a y = 5.

2. Suponga que f es una función impar definida en los reales. Demuestre, visual y analíticamente,que f′(–x) = f′(x).

3. Resuelva, gráfica y analíticamente, la desigualdad 4x < 7x + 1 ≤ 3x – 2.

4. Para cada una de dichas gráficas, construya al menos una expresión analítica que represente ala gráfica respectiva.

Actividad 7

1. Grafique las siguientes funciones usando las opciones de graficación de su calculadora. Con-viene que las grafique en la misma pantalla en forma secuencial. Discuta las razones por las quedichas gráficas están próximas entre sí.

MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 141

• f(x) = ex.

• f(x) = 1 + x.

•2

1)(2x

xxf ++= .

•322

1)(32

×+++= xx

xxf .

•432322

1)(432

××+

×+++= xxx

xxf .

2. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cuáles falsas y cuáles podríanser eventualmente verdaderas.

• Si f es una función polinomial, entonces ella misma es la mejor aproximación polinomialhasta el orden del mismo grado del polinomio.

• Si f es una función polinomial de la forma f(x) = ΣaiXi, entonces sus coeficientes tienen una

relación específica con las derivadas de f en el cero.

• No existe valor de k para el cual la gráfica de f(x) = x2n + kx sea tangente a y = k.

3. Compare las funciones exponenciales y sus desarrollos en serie de potencias hasta el orden 3.Decida si son iguales hasta el orden 1, 2 y 3, respectivamente. Grafique las funciones parasostener sus propias conjeturas.

Actividad 8

Es conveniente que discuta los problemas en colectivo y que formule una versión escrita de las solucio-nes construidas en grupo, no deje de pensar en forma individual diversas soluciones. Le proponemosformar equipos con el fin de desarrollar de mejor manera esta actividad.

1. Construya un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones:

f(x) = senx.

f(x) = x.

!3)(

3xxxf −= .

142 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

!5!3)(

53 xxxxf +−= .

!7!5!3)(

753 xxxxxf −+−= .

a) ¿Encuentra alguna relación entre el número de cambios de signo que tienen los coeficien-tes de las funciones polinomiales y el número de raíces positivas de los polinomios encuestión?

b) ¿Qué relación guardan estas raíces con las respectivas raíces de f?

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 143

141

CAPÍTULO 7

Síntesis metódica:un paseo por las gráficas

7.1. UNA APROXIMACIÓN VISUAL A LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Un ejemplo adecuado para hablar de visualización en el sentido que trata este libro, es la forma enque se puede estudiar la composición de funciones, noción que consideramos se aborda muysomeramente en el ambiente escolar y se le reduce a la mera aplicación de una función evaluada

en otra . Sin embargo, consideramos que se trata de una noción que puede explorarse desde diversasmiradas. Juega un papel preponderante en la regla de la cadena en cálculo diferencial y cálculo avanzadoy es la clave de la noción de cambio de variable en la teoría de integración. En el caso de la composiciónde funciones reales de variable real, podemos ejemplificar nuestro punto de vista como sigue:

Definición

La composición de f con g, denotada por f ° g y que se lee “f círculo g” o “ f composición g”, es lafunción cuyo dominio consta de los elementos x ∈ D

g tales que g(x) ∈ D

f y cuya regla de correspon-

dencia está dada por:

( ) ( ))()( xgfxgfx =oa .

Numéricamente esto significa que, por ejemplo: si la función f = (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6) y lafunción g = (0, – 3), (3, 2), (4, 1), entonces f ° g = (3, 4), (4, 3).

144 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Aquí lo que tenemos que encontrar es aquella x del par ordenado (x, g(x)) cuya g(x) sea igual a la xdel par ordenado (x, f(x)). En nuestro ejemplo tenemos:

f = (1, 3), 2, 4), (3, 5), (4, 6) .

g = (0, –3), (3, 2), (4, 1).

Una vez identificados los pares ordenados, conformamos el par ordenado de la composición de funcio-nes con la x del par ordenado (x, g(x)) y con la f(x) del par ordenado (x, f(x)).

Si observamos esta composición como una correspondencia o mapeo, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, algo que en el ámbito escolar no se explora profundamente es la representación gráficade la operación de composición. De manera general, podemos definir esta operación, en su forma gráfi-ca, de la siguiente forma:

FIGURA 7.1.

–3

g

f 1 2

430

3 4

3 4 5 6

f go

( ( ), ( ( )))g x f g x

( ( ), ( ))g x g x

( , ( ( )))x f g x

( , 0)x

( , ( ))x g x

f

g

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 145

Si f y g son funciones reales de variable real, entonces la gráfica f ° g puede construirse partiendo delas gráficas de f y g. Tome un número x cualquiera que pertenezca al dominio de definición de la funcióng, es decir, x ∈ D

g, se traza la recta vertical que pasa por (x, 0) y se llega hasta (x, g(x)), en ese punto se

proyecta una recta horizontal hasta la recta (x, x) | ∈x+R en el punto (g(x), g(x)). Si x ∈ Df • g

entoncesg(x) ∈ D

f y la recta vertical que pasa por (g(x), g(x)) intersectará a la gráfica de f en el punto (g(x),

f(g(x))). Entonces, el punto (x, f(g(x))) se obtiene como el punto de intersección de la recta horizontalque pasa por (g(x), f(g(x))) y la recta vertical que pasa por (x, 0).

¿Por qué es claro que para entender este concepto se necesita del desarrollo de la visualización y delpensamiento matemático? Puede ser tan simple como pensar en poder trabajar con sus distintas repre-sentaciones, vincularlas unas con otras, transitar de una a otra comprendiendo la relación entre suselementos, etc. Todo lo anterior tiene la finalidad de proporcionar un significado a una noción, con elobjetivo de enfrentar nuevos problemas con un repertorio de herramientas mucho más amplio. Por ejem-plo, comprender la operación composición, sus elementos, características y representaciones, para en-tender lo que es la derivada de la función compuesta y no quedarnos al nivel de la algoritmia.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Realice la composición f • g y la composición g • f para cada uno de los siguientes casos:

a) f = (–5, 4), (–2, 1), (0, 0), (3, 2), g = (–10, –5), (1, –2), (2, 0), (4, 2), (6,3).

b) f = (–2, 2), (–1, 0), (0, 3), (4, –1), g = (0, –1), (1, 1), (2,4), (3, 5).

c) f = (0, 0), (2, 4), (4, 16), (8, 64), g = (0, 0), (1, 1), (2,2), (3, 3), (4, 4).

d) f = (0, 4), (2, 0), (3, –2), (6, 3), g = (–2, 0), (–1, –2), (0, 2), (2, 6), (8, 5).

e) f = (–7, –3), (–5, 0), (–2, 3), (0, 0), g = (–3, –5), (0, –7), (3, 0), (6, – 2), (7, 0).

2. Realice la composición f • g y la composición g • f para cada uno de los siguientes casos:

a) f = x2 + x – 2, g = x – 3.

b) f = 2x3 + x2 + 3x, g = 0.5x2 – x.

c) f = x2 + 5, g = x2 – 5.

d) f = – 0.5x2 + 3x – 2, g = x + 2.

e) f = – 2x3 + x2 + x, g = – 5x2 – 3.

3. Asigne f y g a cada gráfica y realice las composiciones que se indican.

Ojo Autor:¿Cuál es la correcta?

146 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

f•g g•f

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 147

7.2. GUÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES

Después de las distintas formas gráficas que hemos trabajado a lo largo del libro, podemos resumir en lasiguiente tabla, dos de los elementos básicos para un análisis local en el bosquejo de las gráficas.

TABLA 7.1. Multiplicidad de las raíces y asíntotas.

(x – a)n En el numerador, como raíces En el denominador, como asíntotas

n par

n impar

La información de la tabla puede servirnos ahora como guía en el bosquejo de gráficas, sin dejar delado el análisis numérico y analítico que éste conlleva.

Para hacer un análisis de cómo construir la gráfica de una función racional o cómo encontrar unaposible expresión analítica correspondiente con una gráfica de una función racional, partimos de unejemplo que nos permita desmenuzar todas las características importantes para abordar dicha tarea. Deeste modo, si tenemos

32

22

)2()2)(1(

)4()3)(1(

+−++−−=

xxx

xxxxy .

–4 –2 0 2 4

–1

0

1

2

3

4

5

- 4 - 2 0 2 4

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

- 6 - 4 - 2 0 2

0

2

4

6

–2 –1 0 1 2 3 4 5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

0 1 2 3 4 5–4

–2

0

2

4

0 1 2 3 4 5

–2

0

2

4

–4 –2 0 2 4

–4

–2

0

2

4

–4 –2 0 2 4

–4

–2

0

2

4

–4 –2 0 2 4

–4

–2

0

2

4

148 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Comenzaremos por analizar el papel del numerador en la conformación de la gráfica de la función, puescomo sabemos, éste es el que determina las raíces de la función. Observe que el factor (x2 + 4) no cruzael eje x. ¿Por qué?

x (x – 1) (x – 3)2

Tiene una raíz Tiene una raíz Tiene una raíz de multiplicidad 1, de multiplicidad 1, de multiplicidad 2,por lo tanto produce por lo tanto produce por lo tanto produceun cruce con el eje x. un cruce con el eje x. un toque tangencial con el eje x.

Ahora, analicemos al denominador, que produce las asíntotas verticales:

1/(x + 1) 1/(x – 2)2 1/(x + 2)3

Ahora bien, como el polinomio del numerador tiene grado 6, al igual que el polinomio del denomi-nador, entonces el cociente de ambos polinomios se comporta como para valores grandes de x en valorabsoluto, como un polinomio de grado cero, es decir, tenderá a ser una constante. Esto se verá reflejadoen el comportamiento de la gráfica cuando x vaya hacia ∞ o hacia –∞.

Si bosquejamos esta función, con base en la información anterior, tendremos:

GRÁFICA 7.1.

- 6 - 4 - 2 0 2

- 4

- 2

0

2

4

- 2 0 2 4 6

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

–4 –2 0 2 4

–200

–100

0

100

200

300

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 149

Para ver su comportamiento en los extremos, cuando la x es grande en valor absoluto, graficamos en laventana que –100 ≤ x ≤ 100 y –10 ≤ y ≤ 10.

GRÁFICA 7.2.

Para realizar el proceso inverso, el de obtener una expresión analítica a partir de una forma gráfica, esnecesario identificar los elementos antes discutidos (tabla 1) y reconocer los siguientes aspectos principales:

• Localizar las raíces y distinguir su multiplicidad.• Localizar las asíntotas y estudiar el comportamiento de la función cerca de ellas.• Con los valores de las raíces factorizar en binomios para el numerador, colocando el exponente

correspondiente a la multiplicidad de raíces, y con los valores de las asíntotas construir binomiospara el denominador, colocando el exponente correspondiente al comportamiento de la funciónalrededor de la asíntota.

• Visualizar el comportamiento a larga distancia (cuando la x es grande) y con base en elloobtener la diferencia entre el grado del numerador y el grado del denominador. Por ejemplo, siel comportamiento en el largo plazo es como el de una asíntota horizontal, esto quiere decir quela diferencia de los grados es cero.

Por ejemplo, veamos la siguiente gráfica:

GRÁFICA 7.3.

10

7.5

2.5

5

0

–2.5

–5

–7.5

–60 –40 –20 0 20 40

10

7.5

5

2.5

0

–2.5

–5

–7.5

–10 –5 0 5 10 15

150 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Observemos las siguientes características:

• Raíz x = 0 con multiplicidad impar, mayor que 1.• Asíntota vertical en x = 2. Alrededor de la asíntota la función es positiva, por lo que suponemos

un término (x – 2)n con n par.• Asíntota vertical en x = 5. Antes de la asíntota la función es positiva, después es negativa, por lo

que suponemos un término (x – 2)n con n impar.• Raíz x = 6 con multiplicidad par.• Asíntota vertical en x = 7. Antes de la asíntota la función es negativa, después positiva, por lo

que suponemos la existencia de un término de la forma (x – 7)n con n impar.

Si construimos tentativamente la expresión analítica siguiente:

)7()5()1(

)6(32

23

−−−−=

xxx

xxy ,

sólo faltaría observar el comportamiento de la gráfica cuando x crece (va hacia ∞) o decrece (va hacia– ∞). La función que proponemos tiene un numerador de grado 5 y un denominador de grado 6, por loque suponemos que nuestra función, para valores muy grandes o muy pequeños, se comportará como la

función x

y1= . Observemos si esto se confirma visualmente:

GRÁFICA 7.4.

Efectivamente, la conjetura es cierta. En caso de no ser así, habrá que hacer ajustes con los exponen-tes, tanto de numerador como de denominador, ya que, por ejemplo, si se tiene una raíz de multiplicidadpar, ésta puede ser doble o cuarta, y así podremos acercarnos bastante bien al diseño buscado.

7.3. UNA APROXIMACIÓN VISUAL A LOS POLINOMIOS DE LAGRANGE

Nuestro problema ahora es un tanto más novedoso. Pensemos en construir una función polinomial quepase por ciertos puntos. La herramienta que descubriremos será la de los polinomios de Lagrange; sin

10

7.5

5

2.5

0

–2.5

–5

–7.5

–10 –5 0 5 10 15

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 151

embargo, sería muy simple enunciar la fórmula y comentar algunos ejemplos. Por el contrario, tratare-mos de construir dicha función a partir de las concepciones formuladas en los capítulos anteriores.

Comencemos por construir un polinomio que pase por un punto, y pensemos que el punto estácolocado exactamente sobre el eje x. Esto significa que en dicho punto la función será igual a cero,veámoslo en el siguiente diagrama:

Sin embargo, por ese punto pueden pasar infinidad de funciones polinomiales, pues simplementenecesitan cumplir que f(x

i) = 0. ¿Cómo construimos una función polinomial que al tomar el valor de x

i

sea cero? Pensemos en las funciones primitivas f(x) = x, f(x) = x2 y f(x) = x3 y en sus gráficas:

GRÁFICA 7.5. GRÁFICA 7.6.

GRÁFICA 7.7.

Sabemos bien que con la transformación f(x – a) la gráfica se desplaza horizontalmente y provocaque el punto de intersección con el eje x, para el caso de las funciones anteriores, sea (a, 0). Entoncespodemos usar esta información para construir funciones polinomiales que pasen por un punto arbitrariox

i. Esto es f(x) = (x – x

i)n con n ≥ 1. Por ejemplo, pensemos en el punto (2, 0), y en n = 1, 2, 3. Entonces

las funciones polinomiales que pasan por ese punto serían f(x) = (x – 2), f(x) = (x – 2)2 y f(x) = (x – 2)3,cuyas gráficas, en un mismo plano, son:

152 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Aproximación polinomial a un punto:

Pero también, como vimos anteriormente, la transformación Af(x) provoca cambios en la gráficaque no modifican el punto donde cruza el eje x. Por lo tanto, nuestra función polinomial podría estable-cerse de la siguiente forma:

f(x) = A(x – xi)n,

donde el valor xi determinará el punto de intersección con el eje x, y su raíz, en este caso, será de

multiplicidad n.Por ejemplo, para A = –1, 1, 2, x

i = 3 y n = 1, 2, 3, tenemos las siguientes gráficas:

n = 1. n =2. n =3.

Ahora bien, pensemos en una función que pase por dos puntos, y que éstos estén sobre el eje x.

2

1.5

1

0.5

0

–0.5

–1

–1.5

–1 0 1 2 3 4 5 6

- 1 0 1 2 3 4 5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 153

Si construimos una función polinomial de primer orden, la recta que pasa por ambos puntos es, taly como se observa en la gráfica, el eje x mismo; o dicho en otras palabras f(x) ≡ 0, función que inclusopasa por sobre todos los puntos (x

i, 0).

Ahora bien, si construimos una función polinomial de segundo orden, podemos partir de la estruc-tura que se ha manejado hasta ahora; es decir, si x

1 y x

2 son dos raíces de la función, los puntos (x

1, 0) y

(x2, 0) son aquellos por donde pasa la gráfica de la función. Como sabemos que la transformación Af(x)

no afecta a las raíces, la función queda de la siguiente forma:

f(x) = A(x – x1)(x – x

2).

Por ejemplo, si tenemos los puntos (–1, 0) y (2, 0), la función quedaría de la siguiente forma:

f(x) = A(x + 1)(x – 2),

si graficamos para A = – 1, 1, 2, tenemos las siguientes gráficas:

Aproximación polinomial a dos puntos.

Pero también, del mismo modo, podremos construir la función de tercer orden que pase por esospuntos. Recordemos que en el capítulo 3 conocimos las formas gráficas de la función cúbica, y sabemosque ésta puede pasar sólo por dos puntos (x

1, 0) y (x

2, 0) en el eje x; en tal caso, tenemos dos posibilidades:

1. Que x1 sea raíz de multiplicidad 1 y x

2 sea raíz de multiplicidad 2.

2. Que x1 sea raíz de multiplicidad 2 y x

2 sea raíz de multiplicidad 1.

Para tales posibilidades tendríamos las siguientes expresiones:

f(x) = A(x – x1)( x – x

2)2.

f(x) = A(x – x1)2( x – x

2).

–4 –2 0 2 4

–4

–2

0

2

4

154 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Por ejemplo, para los puntos (–1, 0) y (2, 0) con A = – 1, 1, 2, tenemos las siguientes gráficas:

A = 1 A = 1 A = 2

Posibilidad 1.

A = 1 A = 1 A = 2

Posibilidad 2.

Así podríamos seguir buscando funciones polinomiales que crucen n veces el eje x. Sin embargo,podríamos tener algunos de los puntos fuera del eje x, y en tales casos queremos también construir unafunción polinomial que una todos los puntos. Estos casos requerirán de otro tipo de análisis.

Pensemos, por ejemplo, en construir una función que pase por los puntos (x1, 0) y (x

2, y

2), como se

muestra en la siguiente ilustración:

Si pensamos en una recta que pase por ambos puntos, indudablemente pensaríamos en la fórmula

10

7.5

5

2.5

0

–2.5

–5

–7.5

–3 –2 –1 0 1 2 3

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 155

)()( 112

121 xx

xx

yyyy −

−−=− , y como y

1 = 0, la expresión queda de la forma )( 1

12

2 xxxx

yy −

−= . Observe-

mos aquí que cuando x = x1 la función es 0)( 11

12

2 =−−

= xxxx

yy , pero cuando x = x

2 la función es:

21212

2 )( yxxxx

yy =−

−= , y se cumple en este caso que la función pasa por ambos puntos.

Por ejemplo, la función lineal que pasa por los puntos (2, 0) y (4, 3) es )2(23 −= xy y su gráfica es

la siguiente:

Aproximación polinomial a dos puntos.

¿Qué pasa si ahora tenemos dos puntos que crucen el eje “x” y uno que no lo haga?, tal como semuestra en la figura siguiente:

Sabemos ahora que cruzar dos veces el eje “x” en (x1, 0) y (x

2, 0) quiere decir que la función tiene

dos raíces x1 y x

2, de tal forma que la función puede ser, y = (x –x

1) (x – x

2); sin embargo, debe pasar

156 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

por otro punto, entonces cuando x = x3 la función y será igual a y

3, entonces dividimos nuestra función

entre (x3 – x

1) (x

3 – x

2) – para que la función valga 1 cuando x = x

3 – y multiplicamos por y

3 para que

nuestra función efectivamente pase por el punto (x3, y

3). Nótese que, en este caso, aplicar la transfor-

mación Af(x) sí afectará el hecho de que pase por el punto (x3, y

3). La función quedaría de la forma:

32313

21

))((

))((y

xxxx

xxxxy

−−−−= .

Por ejemplo, si tenemos los puntos (2, 0), (4, 0) y (6, 2) la función polinomial sería de la forma:

)86(41

)4)(2(41

2)46)(26()4)(2( 2 +−=−−=

−−−−= xxxx

xxy .

Y su gráfica será de la siguiente forma:

Aproximación polinomial a tres puntos.

Propongamos ahora construir una función que pase por un punto (x1, 0) que cruza el eje “x” y los

puntos (x2, y

2) y (x

3, y

3) que no lo hacen, como se muestra en la siguiente figura:

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 157

Comencemos por construir la función que cruza por el primer punto. Para tal caso tenemos la

función )( 1xxy −= . Ahora bien, si queremos que cuando x = x2 la función sea igual a y

2 construimos

la siguiente fórmula: 212

1

)(

)(y

xx

xxy

−−= , pero tenemos que tomar en cuenta que cuando x sea igual a x

3 la

función debe ser igual y3, para tal caso ya no podemos hacer nada a la función anterior, ya que su término

provocará solamente el paso por el punto (x1, x

2). Añadimos entonces un término a nuestra función, de

tal forma que queda de la siguiente forma: 313

12

12

1

)(

)(

)(

)(y

xx

xxy

xx

xxy

−−+

−−= .

Ahora bien, cuando x = x2 el segundo término se debe anular; y cuando x = x

3, el primer término se

debe anular, de tal suerte que nuestra función quedaría de la siguiente forma:

313

212

12

31

)(

))((

)(

))((y

xx

xxxxy

xx

xxxxy

−−−+

−−−= .

Sin embargo, observemos ahora que cuando x = x2 el primer término ya no vale y

2, sino (x

2 – x

3)y

2,

y cuando x = x3 el segundo término ya no vale y

3, sino (x

3 – x

2)y

3; para evitar esto dividiremos al primer

término por (x2 – x

3) y al segundo por (x

3 – x

2). Finalmente la función queda de la siguiente forma:

32313

212

3212

31

))((

))((

))((

))((y

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

−−−−+

−−−−=

Si, por ejemplo, tenemos los puntos (2, 0), (4, 3) y (6, 2), la función queda de la siguiente forma:

75.45.0

)86(4

1)128(

4

32

)46)(26(

)4)(2(3

)64)(24(

)6)(2(

2

22

−+−=

+−++−−=−−−−+

−−−−=

xx

xxxxxxxx

y

Y su gráfica se ve así:

.

.

.

158 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Este análisis tiene el objetivo de dar un significado a la construcción de funciones, utilizando lasnociones trabajadas a lo largo del libro, de tal forma que llegar a la generalización sea, más que conoceruna fórmula, conocer el significado de cada uno de sus términos, conocer su construcción y el porqué escorrecta.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Construya el polinomio que pase por tres puntos fuera del eje “x”.

2. Con base en los ejemplos anteriores construya la fórmula general de un polinomio que pase porn puntos fuera del eje “x”, es decir, el polinomio de Lagrange.

3. Construya el polinomio que pase por los siguientes puntos:

a) (2, 4) y (5, 3).

b) (–6, 4) y (2, 5).

c) (–2, 0) y (4, 0).

d) (1, 5) y (5, 1).

e) (0, 0) y (2, 8).

f) (–1, 2), (2, –4) y (5, 3).

g) (–3, 4), (–1, –2) y (0, –5).

h) (–2, 0), (0, 4) y (5, 3).

i) (–5, 3), (0, 2) y (3, –5).

j) (–5, 5), (–2, 0), (1, 3) y (5, 8).

k) (–2, 5), (0, 0), (2, 8) y (4, –2).

l) (–5, 5), (–3,0), (–1, –5) y (1, 3).

m) (–4, 0), (–2, 0), (0, 0) y (4, 8).

4. Realice los siguientes pasos para cada uno de los incisos del ejercicio anterior:

Paso 1) Ingrese al Menú STAT de su calculadora:

PANTALLA 7.1.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 159

Paso 2) Edite los puntos, en la Lista 1, introduzca los valores de “x” y en la Lista 2 los valoresde “y”. Por ejemplo:

PANTALLA 7.2.

Paso 3) Oprima la tecla [F1]; se desplegará el siguiente menú:

PANTALLA 7.3.

Paso 4) Elija la opción 5. La configuración de la gráfica debe ser de la siguiente forma:

PANTALLA 7.4.

Paso 5) Oprima [EXE] para volver a la tabla, oprima [F1] de nuevo, pero ahora escoja laopción 1 para ver los puntos graficados de la siguiente forma:

PANTALLA 7.5.

160 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Paso 6) Oprima la tecla [F5] (DefG) para definir la función que pase por los puntos (y que yaobtuvo en el ejercicio anterior). En este caso, tenemos:

PANTALLA 7.6.

Paso 7) Oprima la tecla [F6] (DRAW) para que vea si efectivamente la gráfica pasa por lostres puntos.

PANTALLA 7.7.

5. Siga estos pasos para cada uno de los incisos del ejercicio 3.

Paso 1) Ingrese al menú STAT de la calculadora:

PANTALLA 7.1.

Paso 2) Edite sus listas:

PANTALLA 7.2.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 161

Paso 3) Oprima la tecla [F2] (CALC), escoja la opción 3 (REG):

PANTALLA 7.3.

Paso 4) Si tiene dos puntos, escoja la regresión lineal; si son tres puntos, escoja la regresióncuadrática, y si tiene cuatro puntos, escoja la regresión cúbica. Para nuestro ejemplo, to-maremos la regresión cuadrática:

PANTALLA 7.4.

Paso 5) Oprima [EXE] para obtener lo siguiente:

PANTALLA 7.5.

Esta última pantalla muestra los valores de los parámetros de la función. Ésta es una forma deverificar si el polinomio que construimos es correcto.

162 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

7.4. UN PASEO POR ALGUNAS FUNCIONES TRASCENDENTES

7.4.1. Funciones trigonométricas o funciones circulares

Medidas de ángulos

Uno de los puntos de interés más antiguos de la geometría fue la medida de los ángulos con propósitosdiversos. Se sabe que en la cultura babilónica medían los ángulos dividiendo el círculo en 360 partes, alas que ahora llamamos grados y denotamos con el símbolo °, de modo que cada una de esas partesproducía un giro de 1°. El círculo era dividido en 360° como se muestra en la siguiente figura:

FIGURA 7.2. Transportador graduado.

Según algunos autores, las limitaciones tecnológicas para medir giros hizo necesario que se suplierala lectura de los giros por la medida de los segmentos, y con ayuda de tablas se podría deducir el valor delos ángulos. De este modo, fueron las cuerdas de un círculo, y no los ángulos que la determinan, losobjetos que sirvieron para medir los giros.

Es así que la función seno se relaciona con la cuerda mediante la relación

sen α = ½ cuerda (2α).

Esta función seno, originalmente llamada sinus rectus (es decir, seno vertical), está mucho mejoradaptada para los cálculos con triángulos que la función cuerda.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 163

FIGURA 7.3. FIGURA 7.3.

Consideremos un triángulo rectángulo como se muestra en la siguiente figura. Como sabemos denuestros cursos de trigonometría, las definiciones del seno de un ángulo agudo se obtienen al considerarlas medidas de los lados de dicho triángulo mediante cocientes adecuados.

De este modo, el BC

AB=)(senα , BC

AC=)cos(α , AC

AB=)tan(α . Aunque también, la tangente de

un ángulo α se obtiene mediante la relación )cos()(sen

)tan(ααα = , la cotangente de α como

)tan(1

)(sen)cos(

)cot(αα

αα ===AB

AC .

Si este triángulo está inscrito en un círculo de radio uno (círculo unitario), entonces las funcionesseno, coseno, tangente y cotangente se pueden ver como las longitudes de los segmentos que se señalanen la siguiente figura.

Este acercamiento suele ser usual en los cursos de trigonometría; de hecho, el origen etimológicodel término significa “la medida de figuras con tres esquinas”, de modo que las definiciones de lasrelaciones trigonométricas se hacen sobre triángulos.

B

C A

164 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Normalmente se tienen tres formas distintas para medir los ángulos, como puede verse en la si-guiente pantalla de una calculadora científica:

PANTALLA 7.3. Pantalla de selección de ángulo.

Los grados (en inglés degree) son muy usados en la trigonometría de la educación básica. Se partede dividir una circunferencia en 360 partes iguales, de manera que un giro de 360° sea equivalente a ungiro que lleva al segmento a regresar sobre sí mismo. Un giro de 180° es media vuelta completa, etc. Losradianes por su parte, son de mayor uso en el bachillerato a causa, quizá, de que permiten, en formaadecuada, el tránsito de los grados a los radianes y de ahí a los reales, y en consecuencia posibilitan elhablar propiamente de las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real.

Para definir el radián, se toma un círculo unitario, como el que se exhibe a continuación, y se define aun radián como el ángulo que se produce al tomar sobre la circunferencia una longitud de arco igual a 1.

FIGURA 7.5. Definición de radianes usando el círculo unitario.

cot(a )

sen( )a

tan( )a

cos( )a

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 165

C A

B

a

De este modo, se establecen equivalencias como las siguientes:

360° equivale a 2π radianes.180° equivale a π radianes.90° equivale a π/2 radianes.45° equivale a π/4 radianes.

Esto en virtud de que un radián equivale a 180°/π.

7.4.2. Las funciones seno y coseno

Como dijimos, tanto el seno como el coseno trigonométrico se definen a partir de las relaciones entrecatetos e hipotenusa del triángulo rectángulo, o en su defecto como segmentos en un círculo unitario.

Con estos elementos, se pueden obtener las medidas del seno, coseno, tangente, cotangente paramuchos ángulos. Si tomamos los ángulos en radianes, sen(0°) = 0, cos(0°) = 1, sen(90°) = 1, tan(45°) = 1,etc., incluso podríamos deducir algunas de las propiedades de las funciones trigonométricas, por ejem-plo, tenemos que:

• sen(x) = – sen(–x).• cos(x) = cos(–x).• sen(x + 2π) = sen(x).• cos(x + 2π) = cos(x).• sen2(x) + cos2(x) = 1.

En párrafos anteriores, consideramos al círculo unitario para definir las funciones seno y coseno, demanera que, usando esa información, sabemos que el punto sobre el círculo unitario tiene coordenadas(senx, cosx) cuando x representa al ángulo de giro, pues la hipotenusa del triángulo mide uno. Sinembargo, dichas coordenadas han sido dadas en razón de nuestra definición de seno y cosenotrigonométrico, es decir, han sido funciones definidas sobre giros, y por tanto se evalúan en grados o enradianes. Sin embargo, dado que en los cursos de precálculo y de cálculo diferencial e integral se trabajacon funciones reales de variable real, no podemos usar las definiciones trigonométricas que hemosdescrito anteriormente, hasta que no estén propiamente definidas sobre números reales.

Triángulo ABC.

166 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

La cuestión de interés radica en establecer un mecanismo que permita pasar del giro a su medida engrados o en radianes y de ahí a los números reales, pues de otro modo no podríamos realizar operacionescomo las siguientes:

1)(sen

0=

→ x

xlímx

.

La x del denominador estaría dada en grados, mientras que la función trigonométrica estaría deter-minada por un segmento sobre el círculo unitario y el resultado tendría que ser un número real sindimensiones físicas. Para salvar este asunto, se requiere establecer la forma de conversión entre grados,radianes y reales.

Como vimos anteriormente, hemos establecido una equivalencia entre grados y radianes muy ade-cuada, tal que 360° = 2π radianes; ahora sólo falta elegir si en la función trigonométrica tomaremos elvalor numérico del ángulo en grados o en radianes.

Supongamos que tomamos la convención de que la función seno se define como se indica a conti-nuación. El ángulo ∠CAB lo medimos en radianes, digamos que su medida sea de x radianes, entonces(y aquí es donde está la convención) tomamos la función seno definida como sen: ℜ → ℜ, de modo talque a cada x real se le asigna el número real sen(x).

sen: ℜ → ℜ)(senxxa

Esto es, la medida del ángulo ∠CAB en radianes es x radianes; luego tomamos el número real x y loasociamos al número real sen(x). De este modo, se evita el tratar con medidas físicas y se puede porcompleto tratar con números reales. Una pregunta que no abordaremos en este libro, pero que salta a lavista, es la siguiente: ¿Por qué no tomar el número de grados en vez del de radianes? La respuesta tiene

que ver con el cálculo de las derivadas y el hecho de que al tomar radianes tenemos )cos()(sen

xdx

xd = ,

mientras que si tomamos grados, tendríamos )cos()(sen

xkdx

xd = , y de este modo las derivadas sucesivas

tendrían factores de la forma kn.Una de las bondades de las calculadoras con capacidad gráfica es que permiten analizar informa-

ción visual como de la que ahora estamos hablando, incluso en aquellos casos en los que el tratamiento

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 167

analítico presupondría un manejo adicional de otros conceptos. Por ejemplo, grafiquemos la funciónsen(x) de dos maneras distintas, una tomando a x medida en grados y la otra medida en radianes. Elija-mos la misma pantalla de visualización:

PANTALLA 7.14. Ventana de visualización.

Estando en el menú de funciones y gráficas de la calculadora, oprima simultáneamente las te-clas CTRL y F3 para obtener el menú siguiente:

PANTALLA 7.15. Ventana de configuración.

Elija en ella la opción Deg para la medida en grados y Rad para la medida en radianes. En un caso, engrados, se obtiene la gráfica de la pantalla 7.17, mientras que en otro, en radianes, se obtiene la de lapantalla 7.18. En ambos casos introducimos la misma función como se ve a continuación:

PANTALLA 7.16. Y1 = sinX.

PANTALLA 7.17. Gráfica de PANTALLA 7.18. Gráfica dey = senx en grados. y = senx en radianes.

168 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Esto es lo que explica el que la derivada sea distinta, pues las rectas tangentes en ambos casos tienenpendientes diferentes.

Con esto en mente, tomamos la gráfica de la derecha pues por convención hemos decidido pasar deradianes a reales y no de grados a reales. En tal caso, la curva representativa de la función seno es lamisma que propuso en Alemania Alberto Durero, en 1525.

FIGURA 7.6. Durero, 1525.

De este modo, tendremos que la función seno ha sido definida sobre la recta real, de manera que sudominio constará de todos los números reales y su imagen se reducirá al intervalo cerrado [ –1, 1].

La gráfica del seno es la siguiente:

GRÁFICA 7.8.

Es posible observar que crece y decrece periódicamente, alcanza sus máximos a la misma altura y lomismo ocurre con sus mínimos. Como la función seno cumple con las siguientes propiedades se diceque es una función impar y periódica:

• Imparidad: sen(x) = – sen(–x).• Periodicidad: sen(x + 2π) = sen(x).

Para verificar estas afirmaciones, grafiquemos las funciones f(x) = sen(x) y la función g(x) = sen(–x) yh(x) = – sen(–x) en la pantalla de la calculadora:

y = sen(x)

y

x

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 169

PANTALLA 7.19. Gráfica de f(x) = sen(x).

PANTALLA 7.20. Gráfica de g(x) = sen(x).

PANTALLA 7.21. Gráfica de h(x) = sen(x).

Ahora bien, de la misma manera que la función seno se ha definido sobre la recta real, la funcióncoseno tiene por dominio a los números reales y su imagen se encuentra contenida en el intervalo cerra-do [ –1, 1], es decir, –1 ≤ cosx ≤ 1.

Como podrá comprobar, la gráfica del coseno es la siguiente:

GRÁFICA 7.9.

y = cos(x)

y

x

170 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Es posible observar, a partir de su gráfica, que la función coseno crece y decrece periódicamente,alcanza sus máximos a la misma altura y lo mismo ocurre con sus mínimos, en 1 y – 1, respectiva-mente. Como la función coseno cumple con las siguientes propiedades se dice que es una función par yperiódica:

• Paridad: cos(x) = cos(–x).• Periodicidad: cos(x + 2π) = cos(x).

Para verificar estas afirmaciones, graficamos las funciones f(x) = cos(x) y la función g(x) = cos(–x),así como la función h(x) = cos(x + 2π) en la pantalla de la calculadora:

PANTALLA 7.22. Gráfica de f(x) = cos(x).

PANTALLA 7.23. Gráfica de g(x) = cos(x).

PANTALLA 7.24. Gráfica de h(x) = cos(x + 2π).

Lo que comprueba nuestras afirmaciones.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Construya las curvas representativas de las siguientes funciones:

f(x) = sen(x).

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 171

g(x) = sen(x + π).

h(x) = sen(x + 2π).

j(x) = sen(x – π).

k(x) = sen(x – 2π).

f(x) = cos(x).

g(x) = cos(x + π).

h(x) = cos(x + 2π).

j(x) = cos(x – π).

k(x) = cos(x – 2π).

f(x) = tan(x).

g(x) = tan(x + π).

h(x) = tan(x + 2π).

j(x) = tan(x – π).

k(x) = tan(x – 2π).

¿Cuáles de ellas son iguales?, ¿cuáles son diferentes?, y, finalmente, ¿en qué difieren?

2. Pasemos ahora a estudiar las relaciones entre la función seno y la función coseno. Ambastienen un comportamiento bastante similar entre sí; de hecho, como podrá confirmar por lassiguientes actividades, la gráfica de una se obtiene trasladando a la de la otra. Explore paradiferentes valores de x, las igualdades siguientes y verifique si se cumplen.

• sen(x + π/2) = cos(x).

• cos(x + 2π) = cos(x).

• sen2(x) + cos2(x) = 1.

3. Grafique las siguientes funciones:

• F(x) = cos(x).

• G(x) = sen(x + π/2).

• H(x) = cos(x + 2π).

• I(x) = sen2(x) + cos2(x).

172 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

A continuación describa verbalmente los aspectos que juzgue más relevantes.

4. Convierta de grados a radianes la medida de los siguientes ángulos:

• 0°

• 1°

• 15°

• 36°

• 72°

• 60°

• 30°

• 45°

• 90°

• 270°

• 180°

• 360°

• 750°

• 9°

• 60°

• 36°

• 720°

5. Convierta de radianes a grados las medidas de los siguientes ángulos:

• π/2 radianes

• π/4 radianes

• π/8 radianes

• π/3 radianes

• 2π/3 radianes

• 8π/3 radianes

• π/45 radianes

• 2π radianes

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 173

• 3π radianes

• 3.5π radianes

• 4π radianes

• 16π radianes

• 5π/12 radianes

6. En el sistema coordenado iniciado en el eje x, dibuje el ángulo cuya medida se da a continuación:

45°

π rad

90°

π/3 rad

11π/2 rad

540°

7. Con auxilio de su calculadora, encuentre los valores de las siguientes expresiones trigonométricas:

• sen(π/2 rad).

• sen(36°).

• cos(90°).

• cos(π/2).

• tan(45°).

• sen(2π + π/2 rad).

• sen2(π/2 rad) + cos2(π/2 rad).

• sen2(π/4 rad) + cos2(π/4 rad).

• sen2(π/2 rad) + cos2(π/2 rad).

8. Encuentre el valor del ángulo en radianes si el valor del seno, coseno o tangente es conocido:

• sen α = 1, 0 < a < 2π.

• cos α = 3/5, 0 < a < 2π.

174 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

9. Grafique las funciones f y g y compruebe las identidades trigonométricas usuales.

• cos(π/2 – x) = sen(x).

• sen2x + cos2x = 1.

• sen(π – x) = senx.

• (sen x + cos x)2 = 1 + sen(2x).

10. Complete las tablas de variación siguientes:

Si utilizamos la lectura de gráficas para determinar el sentido de variación de las funcionesanteriores, como vimos en el capítulo 1, tendremos que sen(x) crece entre –π/2 y π/2, decrecedesde π/2 y 3π/2, y continúa periódicamente con un periodo 2π. Equivalentemente, la funcióncoseno decrece del 0 a π, y crece de π a 2π, de manera que podría completar sus tablas devariación en el siguiente ejercicio: Complete las tablas de variación siguientes:

Función seno y = sen(x).

Entre – π/2 y 0 Entre 0 y π/2 Entre π/2 y π Entre π y 3π/2 Entre 3π/2 y 2π

Función coseno y = cos(x).

Entre – π/2 y 0 Entre 0 y π/2 Entre π/2 y π Entre π y 3π/2 Entre 3π/2 y 2π

11. Utilizando los acercamientos que presentamos en el capítulo de transformaciones, convieneaplicar esos patrones para saber cómo es la gráfica de las siguientes funciones. Una nota determinología: a las funciones de la forma f(x) = Asen(Bx + C) + D se les nombra funcionessinusoidales.

Asen(Bx + C) + D, para diferentes valores de A, B, C y D.

Acos(Bx + C) + D, para diferentes valores de A, B, C y D.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 175

12. Relacione las gráficas de la derecha con las fórmulas de la izquierda:

y = senx

y = cosx

y = –cosx

y = sen(x + π)

y = –senx

176 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

13. Construya por el método de las operaciones la gráfica de la función tangente, la cual se definecomo el cociente del seno entre el coseno. Determine su dominio de definición y su periodo:tan(x) = sen(x)/cos(x).

14. Construya por el método de las operaciones la gráfica de la función tangente, la cual se definecomo el cociente del seno entre el coseno. Determine su dominio de definición y su periodo:tan(x) = sen(x)/cos(x).

15. Construya con el método de las operaciones la gráfica de las funciones secante, cosecante ycotangente.

7.4.3. Funciones trigonométricas inversas

Como hemos visto, las funciones trigonométricas se definen por un ángulo o un arco x en un círculounitario. Así las funciones trigonométricas inversas definen al arco x como una función de sen(x), cos(x),o tan(x).

Considere un triángulo rectángulo con hipotenusa 1. Si x denota la longitud del lado opuesto alángulo sobre el origen del triángulo rectángulo, arcsen(x) es la longitud del arco como se muestra en lasiguiente figura:

FIGURA 7.7.

En forma similar, si x representa el cateto adyacente al ángulo A, tendremos que arccos(x) está dadopor la longitud del arco sobre el círculo unitario que determina el valor de x. Veamos esto en la siguientefigura:

FIGURA 7.8.

Finalmente, el arctan(x) se define como la medida del arco sobre el círculo unitario cuando la xmide el lado opuesto, tangente al círculo. En el siguiente diagrama se aprecia este hecho:

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 177

FIGURA 7.9.

A causa de la periodicidad de las funciones trigonométricas, las funciones trigonométricas inversastendrían que ser multivaluadas, de modo que sólo tomaremos la llamada rama principal a efecto deconservar con la definición de función como una regla que asocia a un elemento del dominio, un únicoelemento del contradominio. De este modo, las funciones trigonométricas inversas toman los dominiossiguientes:

y = arcsen(x) ⇔ x = sen(y) para –1 ≤ x ≤ 1, –π/2 ≤ y ≤ π/2.

y = arccos(x) ⇔ x = cos(y) para –1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.

y = arctan(x) ⇔ x = tan(y) para –∞ < x < ∞, –π/2 < y < π/2.

Las gráficas de las funciones trigonométricas inversas son las siguientes:

Gráfica de y = arcsen(x).

Gráfica de y = arccos(x).

Gráfica de y = arctan(x).

178 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

7.4.4. Funciones logarítmica y exponencial

Las funciones exponenciales definidas en ℜ son expresiones de la forma y = ax, cuando a > 0. De estemodo, las funciones exponenciales están definidas para todos los números reales y su imagen está en losreales positivos. Particularmente la función y = 2x, va asociando a cada número x, el resultado de elevar2 a la potencia x. Así, por ejemplo, la tabla de valores siguiente describe cómo se comporta la funciónpara enteros entre 0 y 5:

Tabla de valores de y = 2x.

Tabla de valores de y = 2x.

Estos cálculos pudieron realizarse directamente a causa de que la tabla de valores estuvo construidapara x enteros. Es decir, 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, etc., pero a qué será igual por ejemplo 2√2, o 2π o 21/3. Sihacemos esos cálculos en la calculadora tendremos por resultado aproximaciones decimales de los valo-res verdaderos, es decir, por ejemplo 2π es aproximadamente 8.824977827, de modo que no podremossaber por estos métodos el valor exacto. ¿En tal caso, cómo construir su gráfica?

2π ≈ 8.824977827.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 179

La gráfica de la función y = 2x, en la pantalla de visualización [–5, 5] por [–3, 3] es:

Pantalla de visualización [5, 5] por [3, 3].

Ventana de funciones, y = 2x.

Gráfica de y = 2x.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Grafique las funciones:

y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 64].

y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 8].

y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 16].

y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 32].

y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 64].

y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 64].

180 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

2. Bosqueje la gráfica de las funciones en la misma ventana de visualización:

y = 2x.

y = 3x.

y = 4x.

y = 5x.

y = 6x.

3. A partir del problema anterior, ¿cuáles valores de x cumplen con la relación

2x > 3x > 5x?

4. Equivalentemente, ¿cuándo se cumple que 2x < 3x < 5x?

5. ¿Cuándo se cumple que 2x = 3x = 5x?

6. ¿Para qué valores se cumple que 2x = 4x?

7. Construya las gráficas de y = 0.5x, 0.1x, (1/3)x, 2 – x, 3 – x, 5 – x.

8. Utilizando el menú dinámico, grafique la familia de funciones y = Ax para valores de A enterosdesde A = 1 hasta A = 10.

9. Utilizando el menú dinámico, grafique la familia de funciones y = A – x para valores de A enterosdesde A = 1 hasta A = 10.

10. Utilizando el menú dinámico, grafique la familia de funciones y = (1/A)x para valores de Aenteros desde A = 1, hasta A = 10.

11. ¿Qué diferencias y similitudes encuentra entre las respuestas de las tres preguntas anteriores?

12. Complete la tabla de valores para de n

n

+ 11 para valores de n que vayan de 1 hasta 100.

13. Complete la tabla de valores para la suma n××

++××

+×

++K

K

21

4321

321

21

1 para valores

de n que vayan de 1 hasta 100.

14. Compare los resultados de las dos tablas de valores.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 181

15. Euler definió en el siglo XVIII al número e, en honor a su nombre, como el número que es ellímite de ambas sucesiones tratadas en los ejercicios 12 y 13. Es decir:

n

n nlíme

+=

∞→

11 o bien, como ∑

=∞→

=n

in ilíme

0!1

.

16. Construya la gráfica de y = ex.

17. Grafique con un menú de gráficas simultáneas, las curvas y = 2x, y = 3x, y = ex.

18. La siguiente es una actividad didáctica realizada por Javier Lezama y reportada en Lezama, 1999.

Actividad. Un estudio de expresiones exponenciales

Es muy probable que al hojear un libro introductorio de álgebra elemental encontremos tablas como lasque a continuación se muestran y que corresponden a un libro tomado al azar:

Exponentes enteros y sus leyes (resumen)

Definición de ap: Leyes de los exponentes n y m son enteros,p es un entero y a es un número real a y b son números reales

1. Si p es un entero positivo, aaaap ...•= 1. nmnm aaa += .

p factores a, 2. ( ) mnmn aa = .

Ejemplo: 3333335 ••••= , 3. ( ) mmm baab = .

2. Si p = 0 donde 1=pa 0≠a , 4. m

mm

b

a

b

a =

.

Ejemplo: 130 = . 5. mn

nmm

m

aa

b

a−

− == 1 .

3. Si p es un entero negativo,

pp

aa −= 1

0≠a

Ejemplo: 4)4(

4

3

1

3

13 == −−

− .

182 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Además podemos encontrar las siguientes definiciones:

Definición de raíz n-ésima

Para un número natural n

a es la raíz n-ésima de b, si: an = b

Número de raíces n-ésimas reales de un número real b

n par n non

b positivo dos raíces n-ésimas reales una raíz real

b negativo ninguna raíz real una raíz real

Para todas las expresiones b1/n

n par n non

b positivo b1/n es la raíz n-ésima b1/n es la raíz positiva de b n-ésima real de b

b negativo b1/n no es un número real b1/n es la raízn-ésima real de b

Además se agrega:

01/n = 0 para todos los números naturales.

Notación para la raíz n-ésima

Para un número n, mayor que 1, y cualquier número real b:

nn bb1

=

La presentación de tablas como las mostradas arriba, constituye un recurso eficaz para lograr quelos estudiantes puedan localizar las propiedades de los exponentes y las puedan emplear de maneracorrecta. Una consulta rápida puede lograr que el estudiante adquiera información que redundará en unaaplicación correcta de las reglas de los exponentes cuando se están manejando procedimientos algebraicosque utilizan expresiones con exponentes.

La eficacia se logra en el contexto de la aplicación correcta de las propiedades de los exponentes,pero cuando el estudiante se esfuerza en dar significado a tales propiedades, fácilmente incurre en erro-

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 183

res y contradicciones que le impiden organizar dichas propiedades en contextos que estén más allá de looperativo.

Este hecho lo muestran investigaciones realizadas en el contexto del estudio de la función exponencial(Aguilar, P., 1997).

Nuestro interés era conocer las concepciones que de esta función se tienen en el medio escolar, paralo cual hacemos una exploración preliminar a través de un cuestionario con el siguiente propósito:“Tener un primer acercamiento con las concepciones que los estudiantes tienen sobre la función 2x”.

Las respuestas más importantes dadas por los estudiantes las hemos agrupado de la siguientemanera:

• 2x es una operación sólo para los enteros, ya que interpretan 2x como multiplicar 2 por sí mismo“x veces”.

• Cuando x < 0 no hay una interpretación uniforme para 2x como lo muestran las siguientesrespuestas: 2–3 = .002, 2–3 = (–2) (–2) (–2) = – 8, 2–3 = 1/23.

• Si x no es entero, 2x es solamente una notación ( ...,22;22 33

1

2

1

etc== , 2π es un número que

no se puede calcular, ya que carece de un algoritmo para hacerlo y sólo se puede obtener unaaproximación con el auxilio de la calculadora.

Ante esta realidad proponemos el desarrollo de las siguientes actividades que permitirán al estu-diante interactuar con la noción de exponente, en un contexto más amplio en el que integrará la nociónde función, su representación gráfica, así como algunas nociones de geometría.

La secuencia

a) Objetivos:

• Proporcionar un proceso geométrico de construcción de puntos de la gráfica de la función2x, así como identificar y analizar regularidades propias de la función.

• Confrontar la concepción espontánea de que 2x es evaluable sólo cuando x es entero.

b) Podemos esperar de los estudiantes:

• Los estudiantes evaluarán a 2x, cuando x no sea entero, asociándola con magnitudes.

c) La actividad se compone de dos etapas.

Nota: Se propone el desarrollo de las actividades en cada una de las etapas; formar equipos de nomás de cuatro estudiantes.

184 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Primera etapa

Proporciona los conocimientos geométricos para obtener raíces y productos.ESTA ETAPA CONSTITUYE UNA FASE DE ACCIÓN PREPARATORIA.

Estudio de la función 2x

I. INTRODUCCIÓN

A través de la siguiente secuencia de actividades se pretende familiarizarnos con algunas propiedades ycaracterísticas de la función exponencial 2x. Para lo cual recurriremos a construcciones geométricasmediante regla y compás, así como a la observación de regularidades.

El desarrollo de las actividades deberá ir acompañado de su respectivo reporte, en ésta ocasiónprescindiremos del uso de la calculadora con el fin de restringirnos al uso de la regla y el compás.

Comencemos

Actividad 1: Recuerde que si se inscribe un triángulo en una semicircunferencia y uno de sus ladoscoincide con el diámetro, como se muestra en la figura:

se tiene que el triángulo es rectángulo. Elabore argumentos para convencerse de que dicho triángulo esrectángulo.

Actividad 2: Al trazar la altura del triángulo correspondiente a la hipotenusa como se muestra en lafigura:

la altura divide a la hipotenusa en dos partes. Si suponemos que una de ellas mide la unidad y la otra unacantidad “a”, se obtiene que la altura mide √a. Convénzase de la veracidad de esta afirmación.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 185

Actividad 3: Utilizando el resultado anterior, construya para cada caso un segmento de magnitud√2, √3 y √5.

Asimismo, recuerde que: el producto de dos magnitudes se puede obtener mediante un criteriogeométrico, basado en semejanza de triángulos. El cual se desarrolla en la siguiente actividad:

Actividad 4: Dados dos números a,b > 0; su producto se puede obtener geométricamente como semuestra en las figuras, siendo a y x segmentos paralelos. Verifique que el producto de a y b sea elsegmento x en cada caso (b > 1, b < 1).

Actividad 5: Empleando el procedimiento geométrico de semejanza descrito anteriormente, cons-truya para cada caso un segmento de magnitud (√2)(√3), (√3)(√5).

Comentarios:

En esta etapa identificamos los siguientes elementos que son relevantes para su desarrollo.

• Las actividades propician que los estudiantes entren en acción, dibujando las figuras corres-pondientes.

• Puede haber dificultades con la noción de semicircunferencia y el hecho de inscribir en ella untriángulo.

• El acto de validar que el triángulo es rectángulo puede constituirse en dificultad para algunosestudiantes.

• Pueden algunos estudiantes analizar sólo unos casos particulares y formular generalizacionessin llegar a una justificación.

• En la construcción de segmentos de longitud √2, √3, √5, es posible que empleen distintossegmentos como unidad.

186 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

• Puede no recordarse la noción de semejanza y el hecho de que los lados homólogos son propor-cionales.

• Es posible que no puedan hacer uso de la semejanza para obtener los productos: (√2 √3)(√5 √3).

• Algunos estudiantes se darán cuenta que el método estudiado no sirve para obtener raícescúbicas, quintas, etc.

• Como los resultados y técnicas desarrollados en esta etapa son fundamentales para el desarro-llo de la siguiente etapa, es particularmente importante la discusión en grupo de los trabajos delos equipos. Es conveniente que en esta actividad de institucionalización se resuelvan todas lasdudas.

Segunda etapa

En donde se aplican los conocimientos adquiridos en la etapa anterior para construir seis puntos de lagráfica de la función 2x en el intervalo [0, 2].

II. CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA

Actividad 6: En el dibujo siguiente, se han trazado los segmentos de magnitudes 20, 21 y 22; quesirven para localizar los puntos de coordenadas (0, 20), (1, 21) y (2, 22).

El problema a resolver consiste en localizar los puntos (½, 2½), (¼, 2¼), (¾, 2¾) y (5/4, 25/4). Para esto,deberá localizar los segmentos de magnitudes 2¼, 2½, 2¾ y 25/4, empleando únicamente procedimientosgeométricos. Recuerde que 23/4 se puede expresar como 21/4 21/2.

Actividad 7: ¿Cómo localizaría el punto (1/8, 21/8)? Explique.¿Es posible obtener más puntos siguiendo el procedimiento discutido anteriormente? Explique

ampliamente.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 187

Comentarios:

En esta etapa identificamos los siguientes elementos que son relevantes para su desarrollo:

• Puede haber dificultad para identificar la unidad.

• La construcción de los segmentos solicitados puede hacerse sobre los ejes cartesianos (es lorecomendable), o aparte, pero se corre el riesgo de que modifiquen la unidad en cada trazo.

• Tiene especial dificultad la obtención de los segmentos 2¾ y 25/4.

• Puede ser que algunos estudiantes intenten localizar los segmentos al tanteo.

• Algunos estudiantes harán un trazo continuo.

• Algunos estudiantes contestarán las preguntas con un sí o un no, sin justificación.

• Algunos estudiantes harán explícito el que solamente se pueden obtener segmentos correspon-

dientes a números de la forma q2

p .

Es importante por parte del profesor, provocar y fomentar una discusión entre los estudiantes con elfin de que clarifiquen los aspectos matemáticos trabajados en la actividad, así como tomar nota de losaspectos nuevos que abran la discusión de los estudiantes.

Es muy importante que los profesores hagan la actividad y la discutan entre ellos identificando lasdificultades que crean presentarían sus estudiantes al efectuarla.

Las lecturas recomendadas en la bibliografía les permitirá conocer en el contexto de una investiga-ción como vivieron algunos estudiantes la secuencia y los resultados obtenidos.

La función logaritmo como la inversa de la función exponencial

Los logaritmos tienen una evolución histórica muy interesante, han estado presentes de múltiples formasa lo largo de la evolución humana. A veces, se les encuentra como una forma de establecer correspon-dencias entre progresiones aritméticas y geométricas,

La definición actual de logaritmo de números positivos suele provenir de tres tipos de acercamientosdidácticos. Por una parte, es la extensión de las propiedades entre las progresiones aritméticas ygeométricas que fueron desarrolladas mucho tiempo atrás entre los antiguos calculadores. En esta aproxi-mación, la relación entre las progresión aritmética: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... y la progresión geométrica 1, 10,100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000,... se establece al corresponder una con la otra a través de lasucesión de potencias: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106,... De este modo, tenemos que log

10100 = 2 y

log10

[100 × 1 000] = 2 + 3.Por otra parte, suele presentarse a los logaritmos en el terreno analítico, ya sea como la integral de

la hipérbola equilátera en la rama positiva o como la inversa de la función exponencial. Quizá la mássocorrida sea dada por la integral siguiente:

.

188 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

∫ >=x

e xt

dtx

1

.0,)(log

Finalmente, una presentación menos usual, pero que conviene señalar es la estructuralista. Se diceque F es logarítmica si cumple con lo siguiente:

F(xy) = F(x) + F(y) para todos x e y reales no nulos.

Estas tres presentaciones corresponden a épocas y circunstancias diferentes. La primera está fuerte-mente conectada con necesidades sociales de cómputo veloz y preciso. La segunda se orienta a desarro-llar una teoría de funciones, entendida la función como entidad capaz de modelar, representar matemá-ticamente a la naturaleza. Finalmente la tercera, es propuesta al momento de concebir a la matemáticacomo una gran estructura lógica deductiva.

En nuestro caso usaremos la idea de que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial.Como vimos anteriormente, la función exponencial y = ax con a > 0, produce gráficas genéricas del tiposiguiente:

Gráfica de y = ax, con a > 1.

Gráfica de y = ax, con a = 1.

Gráfica de y = ax, con 0 < a < 1.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 189

Como la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial, ésta estará definida paralos casos en que a > 0, pero a ≠ 1. ¿Por qué considera que se excluye al 1?

Diremos que la función logaritmo de base a, a > 0, pero a ≠ 1, es y = logax, si y solamente si, x = ay.

Por tanto sus gráficas son como sigue:

Gráfica de y = logax, con a > 1.

Gráfica de y = logax, con 0 < a < 1.

El hecho de que estas gráficas sean las inversas de las gráficas de y = ax, se representa como que sonrespectivamente simétricas respecto de la recta y = x. Esto es:

y = logax con 0 < a < 1. y = ax con 0 < a < 1.

y = ax e y = logax con 0 < a < 1. y = x, y = ax e y = log

ax con 0 < a < 1.

190 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

y = ax con 1 < a. y = logax con 1 < a.

y = ax e y = logax con 1 < a. y = x, y = ax e y = log

ax con 1 < a.

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Grafique las funciones:

f(x) = log2x.

f(x) = log3x.

f(x) = log4x.

f(x) = log5x.

f(x) = log1/2

x.

f(x) = log1/3

x.

f(x) = log1/4

x.

2. Resuelva gráficamente las siguientes ecuaciones:

log2x + log

2(4 – x) = 0.

log10

x + log10

(3 – x) = 0.

ex + e – x = 3.

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 191

3. Determine el dominio y el rango de las funciones:

f(x) = log3 (x – 4).

f(x) = log4 (x – 2).

f(x) = log3 (x + 4).

f(x) = log4 (x + 2).

4. Utilizando las capacidades gráficas de la calculadora, muestre que tomando a > 0 y a ≠ 1,entonces:

loga1 = 0.

logaa = 1.

a logax = x para todo x real positivo.

logaax = x para todo número real x.

5. Utilizando la pantalla dinámica, elija valores de B diferentes y explore las siguientes identida-des. Conviene que tome Y1 como la función de la izquierda de la igualdad y la función Y2como la función que se tiene a la derecha de la igualdad.

logaBx = log

aB + log

ax.

logaB/x = log

aB – log

ax.

logaxB = B log

ax.

7.4.5 Funciones hiperbólicas

Así como trabajamos con funciones circulares, también es posible hablar de funciones hiperbólicas.Éstas como aquéllas, provienen de buscar relaciones entre variables asociadas a curvas, particularmentecon hipérbolas. Al igual que en las circulares, estas funciones están definidas sobre reales.

Foncenex en 1759 y Lambert en 1770 propusieron tratar con una hipérbola en vez de un círculo ycon un área en vez de un ángulo. Para una x dada, sea P el punto sobre la hipérbola u2 – v2 = 1 tal que elárea sombreada en la figura de la siguiente página, es igual a x/2. De este modo, las coordenadas dedicho punto denotan los valores del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico como sigue:

(cosh(x), senh(x)).

192 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

A. Pruebe a partir de esta definición, que:

2)cosh(

xx eex

−+= .

2)(senh

xx eex

−−= .

B. Verifique que senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y)

cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y).

C. Las funciones inversas del seno hiperbólico y coseno hiperbólico son, entonces, las funcionesáreas, mismas que están definidas como sigue:

y(x) = arcsen(x) ⇔ x = senh(y) para –∞ < y < ∞.

y(x) = arcosh(x) ⇔ x = cosh(y) para 0 ≤ x < ∞, 1 ≤ y < ∞.

arcsen(x) = ln[x + √(x2 + 1)].

arcosh(x) = ln[x + √(x2 – 1)].

Como vimos, las funciones hiperbólicas están definidas de forma similar a las funcionestrigonométricas, de manera que con las identidades anteriores, tendremos:

v

0

senh( )x

cosh( )x2

x/2 u

SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 193

2)(senh

xx eex

−−= .

2)cosh(

xx eex

−+= .

xx

xx

ee

ee

x

xx −

−

+−==

)cosh(

)(senh)tanh( .

xx

xx

ee

ee

x

xx −

−

−+==

)(senh

)cosh()coth( .

xx eexx −+

== 2)cosh(

1)(sech .

xx eexx −−

== 2)(senh

1)(csch .

♦♦♦♦♦ Ejercicios

1. Determine el dominio de cada una de estas funciones.

2. Bosqueje la gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas que definimos anteriormen-te, utilice una ventana [ –5, 5] por [ –10, 10].

3. Establezca una ventana en la que la función senh(x) no tenga ninguna parte de su gráficaincluida.

4. Construya la gráfica de la función h

xhxxf

)(senh)(senh)(

−+= para h = 0.1, 0.01 y 0.001.

5. Grafique la función g(x) = cosh(x). ¿Qué relación encuentra entre esta gráfica y las queconstruyó en el problema anterior?

6. ¿Es la función senh(x) siempre positiva? ¿Por qué?

7. Resuelva la ecuación cosh(x) = – 1.

8. Construya la gráfica de la función h(x) = senh2(x) – cosh2(x).

9. ¿Es la función 2

233)(

−+=−xx

xf negativa para todo x ∈ ℜ?

10. Explique sobre la ventana de visualización que muestre las gráficas del senh(x) y del cosh(x),el porqué senh(x) + cosh(x) = ex.

194 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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