Ejercicio 2.2 Una cantidad física x ∈ R está distribuida acorde a
una distribución de Gauss, de tal forma que su densidad de
probabilidad es
P(x) = (2πσ 2)−1/2e−(x−x)
2/(2σ2). (2.14)
Recordar que esto significa que la probabilidad de encontrar un
valor de x que esté en el intervalo (x,x+dx) viene dada por
P(x)dx.
1. Comprueba que P(x) está normalizada, i.e. ∫
∞
−∞ P(x)dx = 1.
2. Evalúa la media de x 3. Evalúa la varianza de x definida
por
Var(x) ≡ ∫
≡ ⟨ x2⟩−x2 . (2.15)
4. ¿Cuál es la probabilidad P(|x−x| ≤ kσ) de que al tomar un valor
de x al azar, este se encuentre dentro del intervalo (< x
>−kσ ,< x >+kσ)?
5. Si x= N/2 y σ = √
N/4 ¿cuánto vale √
2 ± k √
N/4 con N = 2× 1024. Haz una tabla con los valores{ k √
N/4,P(|x−x| ≤ k √
Nota: Se define la función error Erf(x) como
Erf(x) = 2√ π
∫ ∞
0 duuNe−u,∀N >−1. Muestra que para N 1 se tiene
ln(Γ(N +1))≈ N ln(N)−N + 1 2
ln2πN, N 1
Para concluir el resultado puedes seguir los siguientes
pasos:
Muestra que la función uNe−u tiene un máximo en u = N Representa
gráficamente la función para valores crecientes de N. Si se escribe
uNe−u = eNh(u,N) se sigue Nh(u,N) = −u+N ln(u). Desarrolla N ln(u)
hasta órdenes cuadráticos en el entorno del punto u = N. Con la
aproximación de Nh(u,N) que has obtenido tienes una aproximación de
uNe−u. Emplea el resultado anterior y obtén la aproximación de Γ(N
+1) =
28 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
Figura 2.2: Dominio de integración. Ejercicio 4
∫ ∞
0 duuNe−u ≈ NNe−N √
2.2 Gas ideal clásico. Análisis Cinético 29
2.2 Gas ideal clásico. Análisis Cinético Estudio del gas ideal
clásico mediante argumentos cinéticos que se debe a D.
Bernoulli
(1738) 1 2. La presión que ejerce un gas sobre las paredes del
recipiente V que lo contiene puede
entenderse como el momento lineal que intercambian las N moléculas
que lo componen al impactar con las paredes del recipiente por
unidad de tiempo y área del mismo.
Ejercicio 2.4 Calcular la presión p y demostrar que
p = 2 3
nε (2.16)
Ejercicio 2.5 — Aplicación del teorema del virial. a También se
puede derivar el resultado anterior de un modo alternativo.
Sea f (t) una función dependiente del tiempo. Se define, si existe,
el promedio temporal de dicha función y se denota por
f (t) ≡ lm t→∞
0 dt ′ f (t ′). (2.17)
Deduce la ley 2.16 considerando el promedio temporal de la derivada
en el tiempo de la cantidad
N
pi(t) · ri(t), (2.18)
con pi,ri ∈ R3.
aR. Kubo y col. Statistical mechanics(An Advanced course with
problems and solutions). North- Holland publishing company,
1971
R La cantidad −1 2 ∑i pi · ri se denomina virial. Puedes consultar
el teorema del Virial en
el siguiente enlace a Wikipedia.
"https://en.wikipedia.org/wiki/Virialtheorem”
1D. Bernoulli. Hydrodynamica: sive de viribus et motibus fluidorum
commentarii. 1738 2R. Kubo y col. Statistical mechanics(An Advanced
course with problems and solutions). North-Holland
publishing company, 1971
30 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
2.3 Distribución de Maxwell Uno de los resultados más interesantes
de la Física Estadística lo sintetiza la deno-
minada distribución de Maxwell de velocidades. Supongamos que se
tiene un gas en equilibrio térmico. Las partículas que lo
constituyen tendrán diferentes velocidades. En un instante
determinado se congelan todas las partículas y se registran todas
sus velocidades{
vx,i,vy,i,vz,i }
con i ∈ {1, · · · ,N}. Con todas las velocidades se construye un
histograma y se normaliza. De tal forma se tiene la distribución de
velocidades del sistema para la muestra estudiada. Dicha
distribución será la misma si la muestra se toma a cualquier otro
tiempo siempre que el estado de sistema sea de equilibrio. Llamemos
a dicha distribución P(vx,vy,vz). Si se considera que el sistema es
isótropo respecto a las velocidades no habrá una dirección
preferente por lo tanto P(vx,vy,vz) debe ser función de cantidades
invariantes asociadas a v, en este caso v ·v, se sigue entonces
que
P(vx,vy,vz) = f (v2 x + v2
y + v2 z ). (2.19)
Adicionalmente es razonable pensar, y así lo supondremos, que las
distintas componentes de la velocidad son estadísticamente
independientes lo que implicaría que
P(vx,vy,vz) = f (v2 x + v2
y + v2 z ) = g(v2
x)g(v 2 y)g(v
2 z ). (2.20)
Si se toma vy = vz = 0 se sigue que f (v2 x) = g(0)2g(v2
x) y f (0) = g(0)3 de donde
f (v2 x + v2
Introduzcamos la función h(x) = f (x) f (0) que verifica
h(x+ y) = h(x)h(y). (2.22)
∂xh(x+ y) = h(y)∂xh(x) h′(y) = h′(0)h(y),
(2.23)
h(y) = eh′(0)y (2.24)
P(vx,vy,vz) = N eh′(0)(v2 x+v2
y+v2 z ), (2.25)
∫ ∞
2.3 Distribución de Maxwell 31
Por lo tanto la distribución de velocidades es gaussiana en las
tres componentes de la velocidad. Se interpreta la distribución de
tal forma que P(vx,vy,vz)dvxdvydvz es la pro- babilidad de
encontrar una partícula en un elemento de volumen dvxdvydvz
centrado en (vx,vy,vz).
La constante α puede determinarse empleando la relación derivada
para el gas ideal en la sección 2.2, i.e.
pV = NkBT = 2 3
⟩ Tiempo
= 3 2kBT derivada en la sección 2.2, donde los promedios se
hicieron en el tiempo. Ahora podemos hacer el promedio de
cantidades que dependen de las velocidades ya que tenemos como
están distribuidas (ecuación 2.26). Vamos entonces a evaluar⟨
1 2
y + v2 z )P(vx,vy,vz), (2.28)
∫ ∞
α = m
2kBT , (2.29)
de modo que finalmente la función de distribución de velocidades
(de Maxwell) se escribe
P(vx,vy,vz) =
( m
2πkBT
kBT . (2.30)
A partir de la distribución de Maxwell se pueden evaluar los
promedios sobre observa- bles que solo dependen de las componentes
de la velocidad. A modo de ejemplo se puede computar el promedio
del modulo de la velocidad |v|= (v2
x + v2 y + v2
|v|= √
2.3.1 Ejercicios
Ejercicio 2.6 Haz una tabla con las velocidades |v| en m/sec para
los siguientes gases; H2, N2, CO2, He y vapor de agua. Toma T =
300K.
32 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
Ejercicio 2.7 Obtén la distribución de momentos lineales P(px, py,
pz) a partir de la distribución de Maxwell de velocidades.
Ejercicio 2.8 Fuente [Kub+71] Se tiene una cavidad que contiene un
gas a alta temperatura. A través de una pequeña
ventana se observa con un espectrómetro una línea del espectro de
las moléculas del gas. La línea observada se ensancha debido (entre
otras causas que no consideraremos) al efecto Doppler. Demostrar
que la relación entre la intensidad de la línea espectral y la
longitud de onda λ está dada por;
I(λ ) ∝ exp ( −mc2(λ −λ0)
) . (2.33)
Donde T es la temperatura de la cavidad, c es la velocidad de la
luz, m es la masa de una molécula dentro de la cavidad, y λ0 es la
longitud de onda de la línea espectral cuando las moléculas están
en reposo.
Bibliografía
[KJ71] J. Kestin y D. J.R. A course in statistical thermodynamics.
Academic Press, 1971.
[Kub+71] R. Kubo, H. Ichimura, T. Usui y N. Hashitsume. Statistical
mechanics(An Advanced course with problems and solutions).
North-Holland publishing company, 1971.
[LL80] L. Landau y E. Lifshitz. Statistical Physics: Course of
Theoretical Physics, Vol.5. Pergamon, 1980.
[Rei93] F. Reif. Física Estadística. Volumen 5. Reverté,
1993.
[FTRP96] C. Fernandez Tejero y J. Rodriguez Parrondo. 100 problemas
de Física Estadística. Alianza Editorial, 1996.
[DFL99] D. Dalvit, J. Frastai e I. Lawrie. Problems on Statistical
Mechanics. Graduate student series in physics. Institute of Physics
Publishing, 1999.
3. Descripción estadística
3.1 Introducción La Física Estadística descansa en la base de que
la materia está compuesta por cons-
tituyentes fundamentales como pueden ser los átomos o las
moléculas. La dinámica de dichos objetos están regidos por las
leyes de la Física Cuántica. En particular, en el caso no
relativista, un sistema del que se tiene la máxima información
posible, sería tal que se le podría asignar una función de ondas
cuya evolución estaría gobernada por la ecuación de Schrodinger
[Sch26]. En este contexto de la Física Cuántica la longitud de onda
de de Broglie λdB de una partícula de masa m, está relacionada con
la magnitud de su momento lineal a través de la constante de Planck
h de modo que
λdB = h p
con h = 6.626070040(81)×10−34Js(kgm 2 s−1). (3.1)
Debido al valor de la constante universal de Planck, si p = mv, con
v la velocidad de la partícula, para valores típicos en objetos
macroscópicos se puede constatar que los efectos de la coherencia
cuántica (interferencias) son difíciles de observar para dichos
objetos. No obstante hay un notable esfuerzo para observar efectos
cuántico en objetos macroscópicos.
Ejercicio 3.1 Estima “tu” longitud de onda λdB cuando estás dando
un paseo. ¿Interfe- rirás cuánticamente con otros viandantes?
En general los efectos cuánticos son medibles para objetos pequeños
y bajas tempera- turas, que es el caso en el que λdB es comparable
a la distancia media entre partículas. En equilibrio térmico se
puede relacionar λdB con la temperatura ya que se verifica
p ∼ √
34 Capítulo 3. Descripción estadística
donde T es la temperatura a la que se encuentra la partícula
y
kB = 1.38064852(79)×10−23JK−1(kgm 2 s−2 K−1)
es la constante de Boltzmann, central en la Física Estadística. Se
deduce de la discusión precedente que los efectos cuánticos son
relevantes para un
sistema de N partículas confinado en un volumen V si
λdB ∼ h√
)1/3
. (3.3)
Es decir, cuando λdB es mayor que la distancia media entre
partículas. De igual forma la física quedará bien descrita en
términos clásicos si
λdB ∼ h√
)1/3
. (3.4)
En este caso emergen las trayectorias clásicas asociadas a las
ecuaciones de Newton, o de forma equivalente, las que se derivan en
las formulaciones de Lagrange o Hamilton de la Mecánica Clásica.
Para los sistemas con propiedades electromagnéticas habrá que tener
en cuenta la descripción electrodinámica de la materia.
Se constata que la Física Estadística está presente en la interfase
de la descripción microscópica y macroscópica de los sistemas donde
aparecen teorías tales como la Termo- dinámica, fluidos y
superfluidos, teoría de la elasticidad en sólidos, materia
condensada en las que describen propiedades de conducción
eléctrica, superconductores, magnetismo, dieléctricos, teoría de
sistemas complejos, biosistemas, cristales líquidos, sistemas
sociales, redes complejas, etc...
Ejercicio 3.2 Un cálculo más refinado nos llevaría a λdB = h√
2πmkBT que se suele
denominar longitud de onda térmica. Calcula su valor para las
siguientes moléculas: H2,N2,O2,Cl2.
Ejercicio 3.3 Considérese un gas de bosones formado por N = 6× 1022
átomos de He4, cuya masa es 6,65× 10−27 kg, confinados en un
volumen de un litro. A bajas temperatura los efectos cuánticos son
muy importantes, tanto que aparece una forma de fluido denominada
superfluido en el que el medio no manifiesta viscosidad. Estima la
temperatura en la que el sistema se comporta cuánticamente. Emplea
λdB = h√
2πmkBT . Se define la temperatura de Bose como aquella a partir de
la cual todos los bosones
están excitados. Para el sistema propuesto dicha temperatura es
aproximadamente 0,0617K.
La base fundamental es que los sistemas están constituidos por
elementos fundamenta- les que evolucionan acorde a leyes dinámicas,
bien clásicas o cuánticas. Comenzemos por los sistemas
clásicos.
3.2 Sistemas clásicos Como se ha mencionado anteriormente en el
dominio clásico, cuando se dan las
condiciones 3.4, la dinámica de las partículas que constituyen los
sistemas siguen las leyes
3.2 Sistemas clásicos 35
de Newton. La dinámica de dichos sistemas comienza por la
especificación del conjunto de coordenadas y momentos de todas las
partículas y su evolución temporal. Sea
Γ≡ (r1, p1,r2, p2, · · · ,rN , pN) ∈M , (3.5)
un punto del espacio de fases M con ri, pi ∈ Rd , con d la
dimensión del espacio. El movimiento de los puntos del espacio de
fases y las ecuaciones que lo rigen pueden derivarse a partir de la
función de Hamilton que representa la energía de las partículas
como función de sus coordenadas y momentos. Dichas ecuaciones de
movimiento están dadas por
dri
i = 1, · · · ,N (3.6)
Una solución Γt = (r1(t), p1(t), · · · ,rN(t), pN(t)) con condición
inicial Γ0 existe y es única si el las partes derechas de 3.6
tienen las suficientes condiciones de regularidad (condición de
Lipschitz). Dicha solución es una trayectoria del sistema. Nótese
que dicha solución es función de las condición inicial. Se asocia
un flujo Φt que actúa en el espacio de fases de modo que dado un
punto Γt0 en dicho espacio a tiempo t0 se le hace corresponder otro
Γt a tiempo t de modo que
Γt = Φ t−t0(Γt0). (3.7)
Example 3.1 La solución de la ecuación de movimiento de un
oscilador armónico unidimensional, con condición inicial x(t = 0) =
x(0), p(t = 0) = p(0) y Hamiltoniano H = p2/(2m)+mω2x2/2 esta dada
por
x(t) = x(0)cos(ωt)+ p(0)sin(ωt)/(mω)≡Φ t 1(x(0), p(0)) (3.8)
p(t) = −mωx(0)sin(ωt)+ p(0)cos(ωt)≡Φ t 2(x(0), p(0)), (3.9)
de donde se identifica el flujo Φt = (Φt 1,Φ
t 2).
Una propiedad importante del conjunto de trayectorias clásicas es
que si
Γt = (r1, p1, · · · , rN , pN)
y ∇Γ = (∂r1,∂p1, · · · ,∂rN ,∂pN )
entonces
∂ ri∂ pi
) = 0. (3.10)
Se puede interpretar Γ como la “velocidad” en el espacio de fases,
siendo ∇Γ es el operador nabla en dicho espacio. Es estos términos
el campo de velocidades Γt es de divergencia nula. De modo que el
movimiento de un conjunto de puntos en el espacio de fases se
comporta como un fluido incompresible.
El resultado 3.10 se relaciona con la preservación del volumen del
espacio de fases para sistemas conservativos.
36 Capítulo 3. Descripción estadística
Un observable dinámico del sistema es una función A que toma
valores en el espacio de fases y que eventualmente depende del
tiempo de modo que
A = A(r1(t), p1(t), · · · ,rN(t), pN(t), t). (3.11)
Su evolución temporal viene dada por
dA dt
∂ t , (3.14)
donde en la última línea se ha definido el corchete de Poisson.
Relevante en la descripción estadística de los sistemas son las
constantes de movimiento,
especialmente aquellas relacionadas con simetrías continuas. Las
constantes de movimiento determinan en buena medida las cantidades
observadas a escala macroscópica.
De forma general las leyes de conservación están relacionadas a
través de un teorema debido a Emmy Noether1 a las invarianzas del
sistema frente a la aplicación de grupos continuos de simetría
(grupos continuos de Lie). En particular, cuando un sistema es
invariante ante las transformación temporal t 7→ t +T , esto
implica que si su Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo
(∂H/∂ t = 0) su derivada total en el tiempo es nula (dH/dt = 0), ya
que {H,H}= 0. Es decir que el Hamiltoniano es una constante de
movimiento.
Otra posible transformación corresponde al grupo de traslaciones en
las que r 7→ r+R. Si un sistema es invariante frente a estas
trasformaciones, entonces se conserva el momento lineal total P =
∑i pi y {P,H} = 0. Finalmente, si un sistema es invariante frente a
rotaciones en el espacio se conserva el momento angular total L =
∑i Li y {L,H} = 0. Nótese que tanto la energía total como el
momento lineal y angular total son constantes de movimiento
aditivas.
Adicionalmente pueden haber otras cantidades conservadas como el
número de partí- culas de las diferentes especies que componen el
sistema.
3.2.1 Función de Hamilton En el caso de un sistema de N partículas
no relativistas y sin considerar el espín, un
Hamiltoniano típico adopta la forma
H = N
∑ k=1
p2 k
u(2)(rk,rl)+ ∑ 1≤k≤l≤n≤N
u(3)(rk,rl,rn)+ · · · , (3.15)
donde rk, pk ∈ R3,k = 1, · · · ,N. El primer término es la energía
cinética. El segundo representa la energía potencial debida a
fuerzas externas, que pueden por ejemplo modelizar el confinamiento
del sistema o por ejemplo la acción de un campo eléctrico sobre las
partículas. El tercer término da cuenta de la energía potencial
debida a fuerzas que actúan
3.2 Sistemas clásicos 37
entre pares de partículas. El cuarto término describe la
interacción a tres cuerpos y así sucesivamente.
Si el sistema es invariante frente a traslaciones en el espacio, la
conservación del momento lineal total implica que
uext = ct. (3.16) u(2) = u(2)(rk− rl)
u(3) = u(3)(rk− rl,rk− rn) ...
Por último, si ademas el sistema es invariante bajo rotaciones,
entonces
u(2) = u(2)(rk− rl= rkl) (3.17)
u(3) = u(3)(rk− rl= rkl,rk− rn= rkn) ...
38 Capítulo 3. Descripción estadística
3.2.2 Necesidad de una descripción estadística La Física
Estadística considera un conjunto de sistemas equivalentes sobre
los que
se realizan promedios que tengan confirmación experimental y
carácter predictivo. En los ejemplos tratados en la introducción se
enfatizaron estos aspectos. Especialmente ilustrativa es la
descripción de la evolución del número de partículas en una
subregión del volumen disponible en el que la densidad a tiempos
largos alcanza un valor medio bien definido y fluctuaciones
relativas a la media muy pequeñas. Si se está interesado en
cantidades como la energía y las coordenadas de trabajo
termodinámico, no se necesita suministrar todos los detalles del
estado microscópico. En el caso clásico, no es necesario precisar
todas las posiciones y momentos de las partículas.
Otro motivo para considerar una descripción estadística la
encontramos en la presencia de caos dinámico en los sistemas
clásicos. En ellos dos condiciones inicialmente próximas en el
espacio de fases, digamos a distancia δΓ0 en el instante inicial,
se separan local- mente a un ritmo exponencial de tal forma que si
δΓt es la separación de las trayectorias a tiempo t entonces
λ = lm t→∞
> 0. (3.18)
A λ se le denomina exponente de Lyapunov y que su valor sea no nulo
es indicio de que la dinámica del sistema es caótica.
Si el error inicial en la localización de la condición inicial es
ε0 = δΓ0, error que puede atribuirse por ejemplo al error
experimental inherente a los aparatos de medida, y se desea una
precisión ε a tiempo t, esto podrá lograrse siempre que
t ≤ tmax = 1 λ
ln ε
ε0 . (3.19)
De hecho a partir de tmax se ha perdido la precisión deseada en la
trayectoria. Por ejemplo si se quiere extender tmax a ktmax, será
necesario básicamente multiplicar por k el número de dígitos en la
prescripción de la condición inicial. El crecimiento exponencial en
dicha precisión hace inviable una descripción en términos de
trayectorias y demanda un trata- miento estadístico en el que lo
relevante es definir la distribución de condiciones iniciales y
hacer predicciones estadísticas empleando la evolución de dicha
distribución inicial acorde a las leyes de movimiento.
3.2.3 Ecuación de Liouville Las distribuciones de puntos en el
espacio evolucionan en el tiempo acorde a la llamada
ecuación de Liouville, que pasamos a derivar. Para ello considérese
un conjunto de sistemas (el colectivo), cada uno con una
trayectoria solución de las ecuaciones de Hamilton 3.6, i.e se
considera el conjunto {
Γ (1) t ,Γ
} . (3.20)
Se introduce la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad
de volumen fásico) de encontrar a un miembro del colectivo en un
punto fásico Γ a tiempo t como
ρt(Γ) = lm N→∞
∫ M
3.2 Sistemas clásicos 39
La introducción de un colectivo estadístico permite definir los
valores medios de cantidades observables, que en Física Clásica, se
representan por funciones que toman valores en el espacio de fases
M (ver 3.11). Dicho valor medio se define como
At = lm N→∞
∫ A(Γ)ρt(Γ)dΓ, (3.22)
con dΓ = dr1d p1 · · ·drNd pN . En el último paso se ha efectuado
el cambio de variables Γ = Φt(Γ0), de modo que
ρt(Γ) = ρ0(Γ0)det∂Φt
. (3.23)
Nótese que debido al teorema de Cauchy el flujo clásico es
invertible, i.e Γ0 = Φ−t(Γ). El denominador de 3.23 contiene el
Jacobiano de la transformación entre las coordenadas fásicas a
tiempo inicial y tiempo t, (det ∂Γ
∂Γ0 ). La ecuación 3.23 expresa la conservación
local de la probabilidad en el espacio de las fases a través de la
ecuación de continuidad. Fe hecho, si V es un dominio en el espacio
de fases, S = ∂V su superficie y dS un vector normal a la
superficie, con sentido hacia el exterior del recinto V y módulo
|dS| entonces∫
V ∂tρt dΓ =−
∂tρt +div ( Γρ ) = 0. (3.24)
Esta ecuación expresa la conservación de la probabilidad en todo el
espacio de las fases ya que
dt
∫ M
ρt(Γ)dΓ = 0. (3.25)
La ecuación (3.24) se le suele denominar ecuación de Liouville que
se puede escribir como
∂tρt = Lρt , (3.26)
donde se ha definido el operador de Liouville L{∗} = −div ( Γ∗ ) .
Si el sistema es inde-
pendiente del tiempo la integración formal de la ecuación de
Liouville con dato inicial ρ0 es
ρt = etL ρ0. (3.27)
Al operador P = etL se denomina operador de Perron-Frobenius. De
especial relevancia son los sistemas hamiltonianos conservativos
que en su evo-
lución preservan el volumen en el espacio de fases. Para dichos
sistemas se verifica quedet∂Φt
∂Γ
= 1 por lo que
ρt(Γ) = ρ0(Φ −t(Γ)). (3.28)
De hecho, en estos sistemas el teorema de Liouville [LL70] es
consecuencia de la anulación de la divergencia de Γ. De hecho
∂tρt = Lρt ≡ {H,ρt} , (3.29)
o de forma equivalente dtρt = ∂tρt + Γ ·∇ρt = 0, (3.30)
que implica que la densidad probabilidad se conserva en el tiempo a
lo largo de una trayectoria como afirma el teorema. Ver ejercicio
(3.5).
3.2.4 Constantes de movimiento Si el sistema de interés se
encuentra confinado en un volumen genérico V dejarán de
conservarse tanto el momento lineal total como el angular, la única
cantidad conservada será la energía de modo que LH = 0. Puede que
hayan otras cantidades conservadas que eventualmente habría que
considerar.
Si un sistema se encuentra en un estado de equilibrio su densidad
de probabilidad (en breve densidad) será estacionaria, es decir,
sin dependencia explícita del tiempo, de modo que
Lρeq = 0. (3.31)
Esto permite pensar que en el equilibrio el densidad es función de
H, es decir
ρeq = f (H). (3.32)
Si se da el caso que se conserva el momento lineal y angular total
entonces
ρeq = f (H,P,L). (3.33)
Si hubiesen constantes de movimiento adicionales entonces la
densidad en el equilibrio podría ser función de dichas
cantidades.
3.2.5 Ejercicios
Ejercicio 3.4 — Divertimento matemático. En el ejercicio 3.5 se
emplea la siguiente relación entre el determinante de una matrix A
y su traza
lndetA = TrlnA. (3.34)
Demuestra esta relación. Adicionalmente, si 1 es la matriz
identidad comprueba la ecuación siguiente hasta el orden t3
det(1+ tA) = 1+ t TrA+ t2
2! ( (TrA)2−TrA2)
3! ( (TrA)3−3(TrA)(TrA2)+2TrA3)+O(t4). (3.35)
En general para una matrix A ∈Mn×n habrá términos hasta orden n.
Formalmente pueden escribirse términos de orden superior aunque
serían nulos. Por ejemplo si se considera la matriz
A =
Donde vemos que el término de orden tres (y los superiores, aunque
no los hemos escrito explícitamente) se anulan.
Ejercicio 3.5 — Ritmo de cambio del volumen fásico en el tiempo.
Considérese las ecuaciones diferenciales
xµ = fµ(x1,x2, · · · ,xn) con µ = 1, · · · ,n. (3.38)
Sea un dominio R(t +dt) con volumen V (t +dt) definido por
V (t +dt) = ∫
R(t+dt) dx1(t +dt) · · ·dxn(t +dt). (3.39)
donde ∏µ dxµ(t +dt) es el elemento de volumen. Probar que
dtV (t) = ∫
R(t) ∇ · f dx1(t) · · ·dxn(t). (3.40)
con f = ( f1, f2, · · · , fn). Obsérvese que un sistema para el que
la divergencia del campo f es nula el volumen se preserva en la
evolución temporal.
NOTA: Emplea los dos primeros términos de la expresión 3.35.
Ejercicio 3.6 En el ejemplo 3.1 se tienen las soluciones a las
ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico unidimensional.
Evalúa el determinante
det ∂ (x(t), p(t)) ∂ (x(0), p(0))
. (3.41)
¿Qué conclusión se deduce del resultado?
Constantes de movimiento Las constantes de movimiento juegan un
papel importante en la dinámica de los
sistemas. Considérese un sistema con coordenadas generalizadas (q,
p). Una constante de movimiento C(q, p, t) es una cantidad cuya
derivada total en el tiempo es cero, i.e.
dC(q, p, t) dt
∂C(q, p, t) ∂qi
qi + ∂C(q, p, t)
∂ pi pi = 0. (3.42)
Por lo tanto C(q(t), p(t), t) es constante a lo largo de toda la
trayectoria. En este sentido el teorema de Liouville equivale a
decir que ρ(q(t), p(t), t) es una constante de movimiento
42 Capítulo 3. Descripción estadística
(ver la ecuación 3.30).
Ejercicio 3.7 Ejemplos.
1. Comprueba que en el caso de una partícula libre con función del
Hamilton H = p2/2 la función C(q(t), p(t), t) = q(t)− p(t)t es una
constante de movimiento.
2. Comprueba que en el caso de un oscilador armónico de masa unidad
con Hamil- toniano H = (p2 +ω2q2)/2, las cantidades
C(q(t), p(t), t) = q(t)cosωt− (p(t)/ω)sinωt y, (3.43) C(q(t), p(t),
t) = arctan(ωq(t)/p(t))−ωt
son constantes de movimiento.
Nótese que en los casos anteriores las funciones constantes de
movimiento dependen explícitamente del tiempo.
De especial importancia son aquellas constantes de movimiento que
no dependen explícitamente del tiempo y por lo tanto su corchete de
Poisson con el Hamiltoniano es cero i.e.
∂C/∂ t = 0 y (3.44) {C(q, p),H (q, p)}= 0
Ejercicio 3.8 Demuestra que si una función de distribución ρ lo es
sólo de constantes de movimiento que no dependen explícitamente del
tiempo, entonces es estacionaria i.e. ∂ρ/∂ t = 0.
Sistema que no preserva el volumen fásico. Sistema disipativo Un
péndulo amortiguado de masa unidad está descrito por un ángulo θ (
que se supone
pequeño) y su momento conjugado p. Las ecuaciones de movimiento de
este sistema son:
θ = p
θ , (3.45)
con γ,g/l > 0.
Ejercicio 3.9 Analiza las siguientes cuestiones: 1. Si el ángulo y
momento inicial son θ0, p0, ¿cuáles son las soluciones θ(t), p(t)
a
tiempo t? 2. Empleando lo que has aprendido en la demostración del
teorema de Liouville,
evalúa el volumen V (t) a tiempo t de un dominio cuyo volumen a
tiempo t = 0 era V (0). Ver expresión (3.40).
H = mω2q2
2m , (3.46)
donde p,q son el momento y la posición del oscilador
respectivamente. En este caso el espacio de fase tiene dos
dimesiones.
1. Si la energía suministrada asociada a la condición inicial es E
en que curva del espacio de fases se encuentra la trayectoria del
sistema.
2. Se contruye una función densidad ρ(q, p)≡ ρ(mω2q2
2 + p2
Ejercicio 3.11 — Elemento de volumen en el espacio de fases:
Coordenadas polares. Se tiene una partícula en dos dimensiones. En
coordenadas cartesianas el elemento de volumen en el espacio de
coordenadas es dxdy y en el espacio de momentos es d pxd py. Por lo
tanto el elemento de volumen en el espacio de fases de la partícula
es dΓ = dxdyd pxd py.
Se considera un cambio a coordenadas polares definido por
x = r cosθ (3.47) y = r sinθ .
Prueba que
dxdy = rdr dθ y (3.48) d px d py = (1/r)d pr d pθ
y que por lo tanto dxdyd px d py = dr dθ d pr d pθ . Se muestra así
que ante el cambio de coordenadas efectuado el jacobiano de
la
transformación en la unidad
