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8/10/2019 From Fundamentals to Applications.pdf

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C T M E C H N I C S I N I C A E n g l i s h S e r ie s ) 2 0 0 2

u p o n t h e r e l at i v e d e n s i t y o f t h e f o a m a n d , o f c ou r se , o n t h e m a t e r i a l o f w h i ch i t i s m a d e ;

s i m p l e m i c r o m e c h a n i c a l m o d e l s h a v e b e e n f o r m u l a t e d t o e s t i m a t e t h e s e p r o p e r ti e s f r o m t h e

u n d e r l y i n g m i c r o s t r u c t u r e . R e c e n t l y , a r a n g e o f c l o s e d c e ll m e t a l f o a m s h a v e b e e n m a n u f a c -

t u r e d b y A L C A N ( no w l ic en se d to C y m a t i n C a n a d a ) , H y d r o A l u m i n u m i n N o r w a y ( no w

o w n e d b y C y m a t ) , S h i n k o W i r e in J a p a n ( t r a d e n a m e A l p o r a s ) , M e p u r a- S l o v ak i a i n A us -

t r i a ( t r a d e n a m e A l u l i g h t ) i n a d d i t i o n to t h e o p e n -c e ll e d f o a m s p r o d u c e d b y E R G i n U S A

( t r a d e n a m e D u o c e l ) a n d P o r v a i r i n U S A . S e v e r a l o f t h e e n g i n e e r i n g p r o p e r t ie s o f m e t a l l i c

f o a m s a r e s u p e r i o r t o t h o s e o f p o l y m e r i c f o a m s : t h e y a r e s t i ff e r b y a n o r d e r o f m a g n i t u d e

( Y o u n g s m o d u l u s f or a l u m i n u m E = 7 0 G P a , a s c o m p a r e d w i t h E o f a b o u t 1 ~ 1 0 G P a f or

e n g i n ee r in g p o l y m e r s ), t h e y h a v e a h i g h e r m e l t i n g t e m p e r a t u r e ( e u t ec t i c t e m p e r a t u r e f or

A 1 -S i i s 5 5 7 ~ a s c o m p a r e d w i t h a s o f t e n i n g t e m p e r a t u r e b e l ow 2 0 0 ~ f o r t h e m o p l a s t i c s s u c h

a s P V C a n d H D P E ) , t h e y d i s s i p a te h e a t e f fi c ie n tl y w h e n s u b j e c t e d t o c o n v e c t io n ( t h e rm M

c o n d u c t i v i t y f o r a l u m i n u m is k = 2 0 0 W / ( m . K ) , a s c o m p a r e d w i t h k - - (0 .1 ~ 1 ) W / ( m . K )

f o r p o l y m e r s ) , t h e y p o s s e s s s u p e r i o r f i r e r e s i s t a n c e a n d d o n o t i n v o l v e t o x i c f u m e s i n a f i r e .

A t t h e m i c r o s t r u c t u r M l e v e l , m e t a l l i c f o a m s a r e d r a m a t i c a l l y d i f f e r e n t f r o m p o l y m e r i c

f o a m s : p o l y m e r i c f o a m s g e n e r a l l y h a v e a r e g u l a r m i c r o s t r u c t u r e , w h e r e a s m e t a l l ic f o a m s a re

h i g h l y d i s o r d e r e d w i t h a w i d e d i s p e r s i o n o f c e ll s iz e a n d c e ll s h a p e . I t i s t h o u g h t t h a t t h i s

d i s o r d e r m a r k e d l y d e g r a d e s t h e s t i f fn e s s a n d s t r e n g t h o f m e t a l li c f o a m s , a n d d i s p r o p o r t i o n -

a t e l y r e d u c e s t h e h y d r o s t a t i c s t r e n g t h a s c o m p a r e d w i t h t h e d e v i a t o r i c s t r e n g t h , a l t e r i n g

t h e s h a p e o f t h e y i e l d s u r f a c e i n e f f e c ti v e s t r e s s v e r s u s m e a n s t r e s s s p ac e[ 2] ; o n t h e o t h e r

h a n d , t h e i m p e r f e ct i o n s w i ll en d o w t h e m e t a l l ic f o a m w i t h t h e b e n e fi c ia l p r o p e r t y t h a t t h e

p e a k s t r e n g t h i n a d y n a m i c t e s t i s n o t r a i s ed a s c o m p a r e d w i t h t h e s t a t i c s t r e n g t h u n t i l

h y d r o d y n a m i c e f fe c t s se t i n a t i m p a c t v e l o ci ti e s o f a b o u t 1 00 m / s [3] . T h e o b j e c t i v e o f t h i s

p a p e r i s t o r e v ie w t h e p r e s e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e t h e r m o - m e c h a n i c a l - a c o u s t i c a l p r o p e r t i e s

o f m e t a l f o a m s a n d t o d e v e lo p t h e r e l a t io n s h i p b e t w e e n t h e m a n d m i c r o s t r u c t u r e , i n c l u d in g

p r o c e s s in g i n d u c e d d e f e c t s o r d is o r d e r . T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o ll o w s . I n S e c t i o n 2, t h e

e f fe c t s o f v a r i o u s m a n u f a c t u r i n g i n d u c e d m o r p h o l o g i c a l i m p e r f e c t i o n s o n t h e m e c h a n i c a l a n d

t h e r m a l p r o p e r t i e s o f c lo s e d- a s w e ll a s o p e n - ce l l m e t a l f o a m s a r e p r e s e n t e d . A p h e n o m e n o -

l o g ic a l m o d e l f o r p la s t i c y i e l d in g is p r e s e n t e d i n S e c t i o n 3 f o r m e t a l f o a m s w i t h a n d w i t h o u t

g e o m e t r i c a l i m p e r f e c t i o n s . S e c t i o n 4 is d e v o t e d t o t h e c r a c k g r o w t h r e s is t a n c e a n d n o t c h

s e n s i t i v i t y o f m e t a l f o a m s . I n S e c t i o n 5 , t h e p o t e n t i a l o f o p e n - c e ll e d m e t a l f o a m s a s c om -

p a c t h e a t e x c h a n g e r s i s e x p l o r e d , w i i il s t th e a p p l i c a t i o n o f m e t a l f o a m s a s s o u n d a b s o r b e r s

i s r e v i e w e d i n S e c t i o n 6 .

E F F E C T S O F G E O M E T R I C I M P E R F E C T I O N S

2 . 1 Y i e l d i n g

I d e a l i z e d f o a m s s u c h a s t h e h e x a g o n a l h o n e y c o m b a r e k n o w n t o p o s s e s s a h i g h r a t i o o f

h y d r o s t a t i c s t r e n g t h t o d e v i a t o r i c s t r e n g t h : u n d e r h y d r o s t a t i c l o a d i n g t h e i r ce ll w a l ls d e f o r m

b y s t r e t c h i n g w h e r e a s u n d e r d e v i a t o r i c l o a d i n g t h e y y i e l d a t l o w e r s t re s s l e v el s b y c e l l w a l l

b e n d i n g [1 ]. E x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o n m o s t c o m m e r c i a l l y a v a i la b l e f o a m s re v e a l t h a t

t h e i r d e v a i to r i c s t r e n g t h i s d e g r a d e d b y a n o r d e r o f m a g n i t u d e a n d t h e i r h y d r o s t a t i c s t r e n g t h

i s c o m p a r a b l e t o t h e i r d e v i a t o r i c s t r e n g t h [4 ~6 ]. T h i s k n o c k - d o w n i n y i e l d s t r e n g t h h a s b e e n

a t t r i b u t e d t o v a r i o u s p r o c e s s i n d u c e d m o r p h o l o g i c a l d e f e c ts s u c h a s w a v y c el l w a l ls , m i s s in g

c e ll s, n o n - u n i f o r m w a l l t h ic k n e s s , c e l l w a l l m i s a l i g n m e n t s , b r o k e n c e ll w a ll s, a n d a r a n d o m

d i s p e r s i o n o f c e ll s iz e ( F i g . l ) . T o u n d e r s t a n d h o w t h e y i e l d s t r e n g t h o f a m e t a l l i c f o a m h a v i n g


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Vo1.18 No .5 Lu Tianj ian: Ul t ra l ight Porous Me tals 459

a) Wav iness

c ) F r ac tu r ed ce l l wa l l s

e ) Vorono i s t r uc tu r e

b ) Non -un i fo rm wa l l t h i ckness

d) Cel l-wall misal ign me nts

f) Miss cells

F ig .1 S ix d i f f e ren t t ypes o f geom et r i c imper f ec t ion

e i t h e r c l o s e d o r o p e n c e ll s i s w e a k e n e d b y t h e p r e s e n c e o f t h e s e m o r p h o l o g i c a l d e f e c ts a n d

w h e t h e r t h i s i n v o lv e s a c h a n g e o f y i e l d i n g m e c h a n i s m f r o m c e l l- w a ll s t r e t c h i n g t o c e l l -w a l l

b e n d i n g u n d e r h y d r o s t a t i c l o a d i n g , a n a n a l y t i c a l a s w e l l a s n u m e r i c a l s t u d y o n t h e b i a x i a l

y i e l d r e s p o n s e o f tw o - d i m e n s i o n a l m e t a l l ic f o a m s w e a k e n e d b y v a r i o u s m o r p h o l o g i c a l d e f e c ts

h a s b e e n c a r r i e d o u t [ 2 ].

B y u s i n g a u n i t c e l l m o d e l f o r p e r i o d i c h e x a g o n a l h o n e y c o m b s , t h e e f fe c t s o f p e r i o d i c

i m p e r f e c t i o n s - - c e l l w a l l w a v in e s s a n d n o n - u n i f o r m w a l l t h i c k n e s s - - i n a l t e ri n g t h e s h a p e a n d


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4 6 0 A C T A M E C H A N I C A S I N I C A ( E n g li sh S e rie s ) 2 0 0 2

s iz e o f t h e y i e l d s u rf a c e c a n b e e x a m i n e d a n a l y t i c a l ly . I t is f o u n d t h a t w a v y i m p e r f e c t i o n s

r e d u c e s i g n i fi c a n tl y t h e h y d r o s t a t i c y i e ld s t r e n g t h b u t h a v e o n l y a m i n i m a l i n fl u e n ce o n

t h e d e v i a t o r i c s t r e n g t h ; n o n - u n i f o r m w a l l t h i c k n e s s, o n t h e o t h e r h a n d , r e d u c e s s li g h t ly t h e

h y d r o s t a t i c y i e ld s t r e n g t h a n d i n c r e a s es s l i g h t ly t h e d e v i a t o r i c s t r e n g t h [ 2].

R a n d o m i m p e r f e c t i o n s , i n t h e f o r m o f c e l l- s iz e v a r i a t i o n s , f r a c t u r e d c e l l w a l l s, c e l l- w a l l

m i s a l i g n m e n t s , a n d m i s s in g c el ls , c a n b e a d d r e s s e d b y u s i n g t h e f i n it e e le m e n t m e t h o d . C e ll -

w a l l m i s a l i g n m e n t s a r e f o u n d t o i n d u c e c e ll w a l l b e n d i n g u n d e r h y d r o s t a t i c l o a d i n g a n d l e a d

t o a l a r g e r e d u c t i o n o f h y d r o s t a t i c s t r e n g t h [2] . S i m i l a r l y , t h e r e m o v a l o f a s m a l l n u m b e r o f c e ll

w a l ls c o u ld l ea d t o ce l l w a l l b e n d i n g a n d t o p r o n o u n c e d w e a k e n i n g . A r a n d o m d i s t r i b u t i o n

o f c e ll s iz e (~ a n d F V o r o n o i s t r u c t u r e s ) c a n l e a d t o a r e d u c t i o n o f h y d r o s t a t i c y i e ld s t r e n g t h

b y a f a c t o r o f 2 t o 3 i n c o m p a r i s o n w i t h t h a t o f a p e r f e c t h o n e y c o m b , b u t t h i s t y p e o f

i m p e r f e c t i o n i s n o t s u f f i c i e n t l y d i s p e r s e d i n c e l l s i z e t o s w i t c h t h e d e f o r m a t i o n r e s p o n s e

f r o m c e ll w a l l s t r e t c h i n g t o c e l l w a l l b e n d i n g u n d e r h y d r o s t a t i c l o a d in g . C o n s e q u e n t l y , t h e

h y d r o s t a t i c s t r e n g t h o f t h e V o r o n o i m o d e l s s c a le s li n e a r l y w i t h t h e r e l a t i v e d e n s i t y w h e r e a s

t h e i r d e v i a t o r i c s t r e n g t h s c a le s q u a d r a t i c a l l y w i t h t h e r e l a t i v e d e n si t y . T h e y i e ld s u rf a c e o f

r a n d o m 2 D f o a m s , w h e n p r o j e c t e d o n t o a s p a c e o f e q u iv a l en t d e v i a t o r i c s tr e ss a n d m e a n

s t re s s , is m u c h l e ss e l o n g a t e d t h a n t h a t o f r e g u l a r h o n e y c o m b s .

C h e n e t a l . [2] f o u n d t h a t f r a c t u r e d c e ll e dg e s p r o d u c e t h e l a r g e s t k n o c k - d o w n i n y i e l d

s t r e n g t h o f 2 D f o a m s , f o l lo w e d i n o r d e r b y m i s s i n g c e ll s, w a v y c e l l e d g e s , c e ll e d g e m i s a l i g n -

m e n t s , in V o r o n o i c el ls , 6 V o r o n o i ce l ls , a n d n o n - u n i f o r m w a l l t h i c k n e s s . T h e n e a r l y c i r c u l a r

y i e ld s u r f a c e s p r e d i c t e d f o r h o n e y c o m b s w i t h e i t h e r f r a c t u r e d c e ll e d g e s o r c el l- e d ge m i s a l ig n -

m e n t s w h e n p l o t t e d i n c o m b i n e d d e v i a t o r i c a n d m e a n s t re s s s p a c e ( F i g .2 ) a r e c o n f i r m e d b y

e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s b y D e s h p a n d e a n d F l e c k [6].

0 .0 30 . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . . .

1 pe r f ec t honeycomb

2 /~ Voronoi mod el

3 honeycomb w i th ~ = 0 .4

4 /~ V o r ono i w i t h 5 f r ac t u r ed ce ll edges

0.015

_ ~ - - - - - 1

, . . . 2 . . . . . . . . . .[ .

o

--0 .03 -0 .0 2 - -0 .01 0 .00 0 .01 0 .02 0 .03

drrn/O y

F i g .2 T y p i c a l e ll i p ti c a l y i e l d s u r f a ce s o f F d i s t r i b u t e d V o r o n o i s t r u c t u r e s w i t h a n d w i t h -

o u t f r a c t u r e d c e l l e d g e s ( 5 ) a n d p e r f e c t h o n e y c o m b s w i t h a n d w i t h o u t c e l l -e d g e

m is a l ignm en ts ( c~ = 0 .4 ). Th e r e l a t ive den s i ty o f the foam s is fixed a t p = 0 .15

T h e s e n s i t i v i t y o f t h e s t i ff n e ss a n d s t r e n g t h o f 2 D f o a m s ( h o n e y c o m b s ) t o t h e p r e s e n c e

o f i n c l u s i o n s a n d h o l e s is a n a l y s e d b y C h e n e t a l . [7] w i t h t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . F o r

b o t h p e r f e c t a n d i m p e r f e c t h o n e y c o m b s , r i g id i n c lu s i o ns a r e f o u n d t o h a v e o n l y a s m a l l

e f f e c t o n t h e s t i f f n e ss a n d s t r e n g t h . I t i s c o n c l u d e d t h a t t h e m a i n e f f e c t o f r i g i d in c l u s i o n s

i n m e t a l l i c f o a m s is t o i n c re a s e m a s s , a n d t h e r e b y t o r e d u c e t h e s p e ci fi c p r o p e r t i e s . F o r

i n i ti a l ly p e r f e c t h o n e y c o m b s , t h e p r e s e n c e o f h o l es c a u s e s a s u b s t a n t i a l k n o c k - d o w n i n t h e


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Vo i .1 8 No .5 L u T ia n j ia n : U l t r a l ig h t Po r o u s M e t a ls

461

b u l k m o d u l u s a n d h y d r o s t a t i c y i e l d s t r e n g t h d u e t o i n d u c e d c e l l- w a ll b e n d i n g . T h e s t if fn e s s

a n d s t r e n g t h d e p e n d u p o n b o t h t h e v o l u m e f r a c ti o n o f h o le s a n d u p o n t h e r e l a t iv e d e n s i ty

o f t h e h o n e y c o m b ; t h e s i ze e f f e c t o f h o le s i s n e g l ig i b le i f t h e h o l e s i ze r e l a t i v e t o t h e c e ll

s iz e e x c e e d s 20 . F o r i m p e r f e c t h o n e y c o m b s c o n t a i n i n g a s m a l l n u m b e r f r a c ti o n o f r a n d o m l y

b r o k e n c e l l w a l ls , t h e k n o c k - d o w n i n s ti ff n e ss d u e t o t h e p r e s e n c e o f h o l e s c a n b e e s t i m a t e d

b y a s s u m i n g t h a t t h e m a i n e f f e c t o f t h e h o l es is t o r e d u c e t h e o v e r a l l r e l a t i v e d e n s i t y o f t h e

h o n e y c o m b . O n t h e o t h e r h a n d , t h e k n o c k - d o w n i n s t r e n g t h i s c o n s i s te n t w i t h a n e t s e c t io n

s t r e n g t h c r i t e ri o n . B o t h H a s h i n - S h t r i k m a n b o u n d s a n d s e l f- c o n si s te n t e s t i m a t e s a r e fo u n d

t o d e s c r i b e c l o s el y t h e e l a s t i c m o d u l i o f p e r f e c t a n d i m p e r f e c t h o n e y c o m b s c o n t a i n i n g e i t h e r

r i g id i n c l u si o n s o r ho l es . T h e s e r e s u l t s c a n b e u s e d t o g u i d e t h e p r o c e s s i n g o f c o m m e r c i a l

f o a m s w i t h i m p r o v e d p r o p e r t i e s , a n d t o e s t i m a t e t h e r e s i d u a l s t if f ne s s a n d s t r e n g t h o f a s -

r e c e i v e d f o a m s c o n t a i n i n g o p e n h o l e s o r r e d u n d a n c y i n c l u s i o n s .

2 2 E f f e c t iv e T h e r m a l C o n d u c t i v i ty

T h e e f f e c ti v e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y k o f a l o w d e n s i ty m e t a l f o a m d u e t o c o n d u c t i v e a s

w e l l a s r a d i a t i v e h e a t t r a n s f e r i s g i v e n b y Is]

]g = k c ~ - ]g r - -- - C p k s ~ - ~ c o ' T 3 1 1 )

w h e r e k c a n d k r ar e th e a p p a r e n t f o a m t h e r m a l c o n d u c t i v i t y d u e t o s o li d c o n d u c t i o n a n d

r a d i a t i o n , r e s p e c t iv e l y , p is t h e r e l a t i v e d e n s i t y ( d e f in e d a s t h e r a t i o o f t h e d e n s i t y o f t h e

f o a m t o t h a t o f t h e s o li d o f w h i c h t h e f o a m is m a d e ) , k s i s t h e s o l id c o n d u c t i v i t y , ~ is t h e

e f f ic i e n c y c o e f fi c ie n t t h a t a c c o u n t s f o r t h e t o r t u o u s s h a p e o f t h e c e ll w a l ls , e i s th e e m i s s i v i t y

o f t h e c e l l -w a l l s u r f a c e , l is t h e c e l l s i ze , ~r i s t h e S t e f a n - B o l t z m a n n c o n s t a n t , T m is t h e m e a n

t e m p e r a t u r e o f t h e f o a m , a n d ~ is a d im e n s i o n le s s p a r a m e t e r . T h e c o n t r i b u t i o n o f g a s eo u s

c o n d u c t i o n t o k i s n e g l ig i b le f o r m e t a l f o a m s , a n d s o is t h e e f f e c t o f n a t u r a l c o n v e c t i o n w i t h i n

t h e c e il s as t h e c e ll s iz e in m o s t c o m m e r c i a l m e t a l f o a m s i s l es s t h a n 1 0 r a m .

F o r s i m p l e c e ll m o r p h o l o g i e s , t h e c o e f f i ci e n t ~ c a n b e d e t e r m i n e d a n a l y t i c a l ly . F o r

2 D f o a m s , ~ t a k e s a v a l u e o f 1 / 2 f o r b o t h r e g u l a r h e x a g o n a l a n d s q u a r e c e i ls , 0 .4 3 3 f o r /

d i s t r i b u t e d V o r o n o i c e ll s, a n d 0 . 4 7 7 f o r 5 d i s t r i b u t e d V o r o n o i c e l ls Is] . A s i n t h e c a s e o f p l a s t i c

y i e l d i n g , t h e e f f e c t s o f p e r i o d i c a n d r a n d o m g e o m e t r i c a l i m p e r f e c t i o n s a s s h o w n i n F i g .1 o n

k c a n b e s t u d i e d b y u s i n g a n a l y t i c a l a n d f i n i te e l e m e n t m o d e l s . C e l l- w a ll m i s a l i g n m e n t s

o n l y h a v e a r e l a t i v e l y s m a l l k n o c k - d o w n e f f e c t o n c o n d u c t i v i t y , a s k/ko = 0 . 88 e v e n w h e n

t h e m i s a l i g n m e n t i s l a r g e . H e r e , k0 = 1/2)pks i s t h e r e f e r e n c e c o n d u c t i v i t y o f a r e g u l a r

h o n e y c o m b i n t h e a b s e n c e o f d e f e ct s . R a n d o m l y d i s t r i b u t e d b r o k e n c e ll w a ll s, o n t h e o t h e r

h a n d s , h a v e a la r g e e ff e c t o n k . W i t h f b d e n o t i n g t h e n u m b e r f r a c t i o n o f b r o k e n c e ll w a i ls ,

i t i s f o u n d t h a t

k/ko

= 1 ( 1 0 / 3 ) f b ( 2 )

w h e r e f b < 0 . 1 5 is r e q u i r e d .

3 C O N S T I T U T I V E M O D E L L I N G

U n d e r s t r e s s in g , m e t a l l i c f o a m s a r e t y p i c a l l y e la s t i c -p l a s t i c a n d e x h i b i t s t r o n g d e p e n -

d e n c e u p o n h y d r o s t a t i c p r e s su r e . U s i ng a m e c h a n i s m - b a s e d m i c r o m e h a n i c s m o d e l f o r o p e n -

c e U e d r ig i d p o l y m e r i c f o a m s , G i b s o n e t a l. [9] d e r i v e d a y i e l d s u r f a c e


6/23

4 6 2 A C T A M E C H A N I C A S I N I C A E n g lis h S e rie s ) 2 0 0 2

where ae and ( : Jrm a re , r e s p e c t i v e l y , t h e M i s e s e f f e c ti v e s t r es s a n d m e a n s t re s s , a s i s t h e y i e l d

s t re s s o f t h e c e l l w a l l m a t e r i a l , a n d A i s a m a t e r i a l c o n s t a n t t o b e d e t e r m i n e d f r o m u n i a x ia l

l o a d in g . F o r m o s t m e t a l l ic f o a m s , h o w e v e r , b e c a u s e o f t h e c o m p l i c a t e d f a i lu r e m e c h a n i s m s

a s s o c i a t e d w i t h t h e i r r e g u l a r a n d i m p e r f e c t i o n - p r o n e m i c r o s t r u c t u r e s , i t is d i f f ic u l t t o d e r i v e

u s e r - f r ie n d l y y i e ld f u n c t i o n s fr o m m i c r o m e c h a n i c s s t u d y . A p h e n o m e n o l o g i c a l a p p r o a c h

h a s t h e r e f o r e b e e n w i d e l y u se d t o f o r m u l a t e c o n s t i t u t i v e m o d e l s f o r b o t h p o l y m e r i c a n d

m e t a l f o a m s . F o r e x a m p l e , t h e a n a l y t i c a l r e s u lt s o f G i b s o n e t a l. a xe f i t te d b y P u s o a n d

G o v i n d j e e [1 ~ w i t h a s i n g l e e l l i p t i c a l y i e l d s u r f a c e w h i c h i s g i v e n , i n t h e C r e- am s p a c e , b y

2 1 2 h 2

= 0 4 )

w h e r e R a n d h a x e m a t e r i a l p a r a m e t e r s . T h i s m o d e l is e x t e n d e d b y Z h a n g e t a l .[ 11] t o s t u d y

t h e y i e l d i ng b e h a v i o r o f p o l y m e r i c f oa m s , w i t h a n a d d e d p a r a m e t e r t o d e f in e t h e c e n t e r o f

t h e y i e l d lo c u s , a s

O - e + [ O m - X 0 ( ~ m p ) ] 2 < 1 ( 5 )

b m p ) a m p ) - -

w h r C ro p i s t h e p l a s t i c v o l u m e t r i c s t r a in , a n d X 0 , a a n d b a r e m a t e r i a l p a r a m e t e r s t o b e

d e t e r m i n e d f r o m u n i a x i a l c o m p r e s s io n , s i m p l e s h e a r, a n d h y d r o s t a t i c c o m p r e s s i o n t e s ts .

A s c o m p a r e d w i t h r i g id p o l y m e r i c f o am s , t h e y i e ld i n g o f m e t a l f o a m s i s c o m p l i c a t e d

d u e t o t h e p r e s e n c e o f v a r i o u s m o r p h o l o g y i m p e r f e c t i o n s a s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t io n .

W h i l s t E q . ( 3 ) s u g g e s ts t h a t t h e h y d r o s t a t i c y i e l d s tr e n g t h o f a p e r f e c t f o a m i s g o v e r n e d b y

c e ll w a l l s t r e t c h i n g a n d t h a t i t s u n i a x i a l y i e ld s t r e n g t h i s d o m i n a t e d b y c e ll w a l l b e n d i n g ,

a s m a l l d e g r e e o f g e o m e t r i c i m p e r f e c t i o n s s u f f ic e s t o i n d u c e c e l l w a l l b e n d i n g u n d e r a ll

m a c r o s c o p i c s t re s s s t a te s , r e d u c i n g t h e h y d r o s t a t i c s t r e n g t h t o t h e s a m e l ev e l a s t h e u n i a x i a l

s t r e n g t h . B a s e d u p o n t h e e l l i p t ic a l y i e l d f u n c t i o n ( 4 ) , D e s h p a n d e a n d F l e c k [6] p r o p o s e d

t w o p h e n o m e n o l o g i c a l c o n s t i t u t i v e m o d e l s f o r m e t a l l i c f o a m s : t h e s e l f- s im i l ax m o d e l a n d t h e

d i f f e r e n t ia l h a r d e n i n g m o d e l . I n t h e f i r s t m o d e l , t h e a s p e c t r a t i o R o f t h e e l l ip s e i s a m a t e r i a l

c o n s t a n t w h i l e h d e p e n d s n o t o n l y u p o n t h e a c c u m u l a t e d p l a s ti c s t r a i n b u t a l s o u p o n t h e

s t r e s s s t a t e a n d i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e u n i a x i a l a n d h y d r o s t a t i c c o m p r e s s i v e s t r e s s v e r s u s

s t r a i n c u r ve s . T h e m o r e c o m p l i c a t e d d i ff e r e n ti a l h a r d e n i n g m o d e l i s d e v e l o p e d t o c a p t u r e

t h e e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v e d e v o l u t i o n o f t h e s h a p e o f t h e y i e l d s u r f a ce i n m e t a ll i c f o a m s .

H e r e , b o t h R a n d h a xe t a k e n a s s tr a i n a n d s t r e ss s t a t e s d e p e n d e n t , w i t h f o u r m a t e r i a l

p a r a m e t e r s r e q u i r e d t o f u l ly c h a r a c t e r i z e h a r d e n i n g . A l t h o u g h a n i m p r o v e d a c c u r a c y is

o b t a i n e d b y u s i n g t h e d i f fe r e n ti a l h a r d e n i n g m o d e l , d e t a i le d t e s t d a t a o n t h e i n it ia l y ie l d

s u r f a c e a n d i t s e v o l u t i o n m u s t b e p r o v i d e d t o d e t e r m i n e t h e f o u r m a t e r i a l p a r a m e t e r s .

A u n i f i e d f r a m e w o r k o f c o n s t r u c t i n g p h e n o m e n o l o g i c a l c o n s t i t u ti v e m o d e l s f o r a b r o a d

c l as s o f e l a s t i c - p la s t i c m a t e r i a l s e x h i b i t i n g e i t h e r p l a s t i c i n c o m p r e s s i b i l i t y ( e . g. , g r e y c a s t

i r o n ) o r p l a s t i c c o m p r e s s i b i l i t y ( e .g . , m e t a l f o a m s ) i s e s t a b l i s h e d r e c e n t l y b y C h e n a n d L u [12].

T h i s c o n s t i t u t i v e f r a m e w o r k a l s o e n a b l e s d i f f e r e n t y i e l d i n g b e h a v i o r s u n d e r t e n s i o n a n d

c o m p r e s s i o n a s w e ll a s d if f e r e n t i a l h a r d e n i n g a l o n g d i f f e r e n t l o a d i n g p a t h s t o b e a c c o u n t e d

f o r i n a r e l a t i v e l y s i m p l e f a s h i o n . T h e r e s u l t i n g p l a s t i c i t y m o d e l d o e s n o t r e q u i r e t h e d i f fi c u lt

t a s k o f e x p e r i m e n t a l l y p r o b i n g t h e i n it ia l y i e ld s u r f a c e a n d i t s s u b s e q u e n t e v o l u t i o n - - i t is

c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d f r o m a s e t o f a s f ew a s t w o d i s t i n c t i v e s t r e s s v e r s u s s t r a i n c u r v e s

m e a s u r e d a l o n g c h a r a c t e r i s t i c l o a d i n g p a t h s


7/23

V o 1 .1 8 , N o . 5 L u T i a n j i a n : U l t r a l i g h t P o r o u s M e t a l s 4 6 3

I n t h i s g e n e r a l f r a m e w o r k , a c h a r a c t e r i s t i c s t r e s s ~ a n d t h e c o r r e s p o n d i n g w o r k c o n j u -

g a t e g , t h e c h a r a c t e r i s t i c s t r a i n , a r e i n t r o d u c e d a s

~ + / 3 2 . ~ ) ~ / 2 ~ = ~ + / 3 2 ) ( 0 )

w h e r e e ~ i s t h e M i s e s e f f e c t i v e s t r a i n , S v i s t h e v o l u m e t r i c s t r a i n , / 3 i s a p a r a m e t e r r e l a t e d

t o t h e P o i s s o n r a t i o o f t h e m a t e r i a l b y

[ 9 I

- 2 ~ , ) 1 1 / 2

/ 3 = L T - I ~ - - ~ J 7 )

N o t e t h a t , w i t h t h e i n t r o d u c t i o n o f ~ a n d g , t h e e l a s ti c c o m p l e m e n t a r y e n e rg y , W , c a n b e

s e p a r a t e d i n to d i s t o r t io n a l a n d v o l u m e t r i c p a r ts , a s

w = _ 1 ~ + / 3 2 ~ m ) S )

2 E

w h e r e / ~ = 3 E / 2 1 + v ) . A y i e ld fu n c t i o n in t e r m s o f ~ a n d g is t h e n p r o p o s e d a s

= ~ + c ~ ) , , ~ - y ~ ) = o 9 )

w h e r e C g ) a n d Y g ) a r e m a t e r i a l p r o p e r t i e s t o b e d e t e r m i n e d b y t w o c h a r a c t e r i s t i c t e s t s .

T h e o r e t i c a l l y , s t r e s s v e r s u s s t r a i n c u r v e s a l o n g a n y t w o d i s t i n c t i v e l o a d i n g p a t h s c a n b e

u s e d t o e v a l u a t e C ~ ) a n d Y g ) . I n o r d e r t o i n c r e a s e t h e p r e d i c a t i v e p o w e r o f t h e c o n s t i t u -

t i v e m o d e l , h o w e v e r , i t i s s u g g e s t e d t o f o l l o w c h a r a c t e r i s t i c l o a d i n g p a t h s e . g . , h y d r o s t a t i c

l o a d i n g t o g e t h e r w i t h s i m p l e s h e a r o r u n i a x i a l c o m p r e s s i o n ) . I t i s p r o p o s e d t o u s e ~ 5 i n

c o n j u n c t i o n w i t h t h e a s s o c i a t e d f l o w r u l e t o g i v e t h e t o t a l s t r a i n r a t e a s

O ~

~ i j = A O o j

10)

w h e r e t h e p r o p o r t i o n a l i t y f a c t o r A is d e t e r m i n e d f r o m t h e c o n s i s te n c e c o n d i t io n o f p l a s ti c it y

a s

0~---~j~ j + 0 5 = 0 1 1 )

F r o m t h e m e a s u r e d s t r e s s v e r s u s s t r a i n c u r v e s u n d e r u n i a x i a l c o m p r e s s i o n a n d h y d r o -

s t a t i c c o m p r e s s io n , t h e t w o m a t e r i a l p a r a m e t e r s C ~ ) a n d Y g ) c a n b e e a s il y d e t e r m i n e d

a s

d . 2 c - 2

O u c

c g ) = ~ L / 9 + / 3 2 ) - ~ 2 / / 3 ~

~ c , 1 2 )

y g ) = - 2 - 2 1 / 9 + / 3 2 ) - 1 1 3 3 2

~ h c ~ . r ) ~ 2 / / 3 ~

hc

w h e r e O h c is t h e c r it ic a l v a lu e o f t h e m e a n s t re s s u n d e r h y d r o s t a t i c c o m p r e s s i o n w h e r e a s

q ur i s t h e c r i t i c a l v a l u e o f t h e u n i a x i a l s tr e s s u n d e r u n i a x i a l c o m p r e s s i o n . T o g e t h e r w i t h

t h e a s s o c i a t e d f lo w r u l e 1 0 ) a n d c o n s i s t e n c e c o n d i t i o n 1 1 ) , t h e y i e l d f u n c t i o n 9 ) c a n n o w

b e u s e d t o s t u d y t h e c o n s t i t u t i v e b e h a v i o r s o f m e t a l f o a m s h a v i n g e i t h e r c lo s e d o r o p e n

c e ll s. S t r e s s v e rs u s s t r a i n c u r v e s u n d e r s e v e r a l d i f fe r e n t p r o p o r t i o n a l l o a d i n g p a t h s a r e

r e p o r t e d i n d e t a i l b y D e s h p a n d e a n d F l e c k [6] f o r a h ig h d e n s i t y c l o s e d c e ll a l u m i n u m f o a m


8/23

4 6 4 A C T A M E C H A N I C A S I N I C A E n g lis h S e rie s ) 2 0 0 2

( A l p o r a s f o a m f ro m S h i n k o W i r e , J a p a n ) a n d f o r a l o w d e n s i t y o p e n c e l l a l u m i n u m f o a m

( D u o c e l f o a m f r o m E R G , U S A ) . G o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e m o d e l p re d i c ti o n s a n d t h e

e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s o f D e s h p a n d e a n d F l e c k [6] w a s r e p o r t e d b y C h e n a n d L u [12] . L u

a n d O n g [13] u s e d t h e s a m e m o d e l t o s t u d y t h e d e f o r m a t i o n b e h a v i o r o f tw o d i ff e re n t t y p e s

o f a l u m i n u m a l lo y fo a m u n d e r u n i a x i a l te n s i o n , u n i a x i a l c o m p r e s s io n , s h e a r a n d h y d r o s t a t i c

p r e s s u r e , o n e w i t h c l o s e d c e l l s p r o c e s s e d v i a b a t c h c a s t i n g a n d a n o t h e r w i t h s e m i - o p e n

c e ll s m a n u f a c t u r e d f r o m n e g a t i v e p r e s s u r e i n f il t ra t io n . T h e p r e d i c t i o n s a g r e e w e ll w i t h t h e

e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s u n t i l c r ac k i n g ( a n d h e n c e s o ft e n in g ) o c c u r s in t h e f o a m s .

4 C R A C K G R O W T H R E S I S T A N C E

F o r b r i t t l e e l a s t ic m a t e r i a l s , t h e i n i t i a t i o n o f c r a c k g r o w t h i s g o v e r n e d b y G r i f f i t h 's

e n e r g y re l e a s e r a t e c r i t e r i o n G = G c , o r , e q u i v a l e n t l y , b y t h e c r i t ic a l s tr e s s i n t e n s i t y f a c t o r

c r i t e r i o n K = K c . F o r d u c t i l e m a t e r i a l s u n d e r e v e n s m a l l -s c a l e y i e l d i n g ( S S Y ) , h o w e v e r , i t is

f o u n d t h a t t h e c r i t ic a l e n e r g y re l e as e r a t e G c a n d t h e f r a c t u r e to u g h n e s s K c i n c re a s e s w i th

c r a c k e x t e n s i o n ( i . e . , t h e R - c u r v e p h e n o m e n o n ) , d u e t o n o n - p r o p o r t i o n a l s t r e s s i n g w i t h i n

t h e p l a s t i c z o n e a t t h e c r a c k ti p . A c o h e s i v e z o n e m o d e l e m b e d d e d i n a y o n M i s e s s o l id

w a s u s e d b y T v e r g a a r d a n d H u t c h i n s o n [14] t o s t u d y t h e r o l e o f p l a s t i c i t y i n M o d e I c ra c k

i n i t ia t i o n a n d g r o w t h u n d e r t h e c o n d i t i o n o f S S Y i n p l a n e s tr a i n . T h e c o h e s iv e z o n e m o d e l

i s s p e c i fi e d t h r o u g h a c r a c k b r i d g i n g l a w , w i t h t h e p e a k b r i d g i n g s t r e ss ( to a n d t h e w o r k

o f s e p a r a t i o n p e r u n i t a r e a F o a s t h e p r i m a r y p a r a m e t e r s . T h e c o h e s iv e z o n e m o d e l w a s

l a t e r e x t e n d e d t o s t u d y t h e e f f ec t o f c r a c k t i p c o n s t r a i n t , i . e ., t h e T - s t r e s s e f f e c t, a n d i t

w a s s h o w n t h a t t h e m o d e l c a n c a p t u r e t h e o b s e r v e d T - s t r e s s e f f e ct r e a li s ti c a ll y i n a y o n

M i s e s m a t e r i a l [1 5]. T h e s e a u t h o r s c o n c l u d e t h a t t h e c o h e s i v e z o n e m o d e l i s a p r o m i s i n g

p r e d i c t i v e t o o l f o r n o n - l i n e a r f r a c t u r e m e c h a n i c s a n a l y s i s , a n d i s e q u a l l y a p p l i c a b l e i n S S Y

a n d l a r g e - s c a l e y i e l d in g s i t u a t i o n s , f o r b o t h s t a t i o n a r y a n d g r o w i n g c r ac k s . C r a c k - b r i d g i n g

c o n c e p t s h a v e b e e n a p p l i e d b y S u o e t a l . [16] t o c a l c u l a t e t h e d e l a m i n a t i o n R - c u r v e s o f f ib r e -

r e i n f o r c e d c e r a m i c - m a t r i x c o m p o s i t e s , a n d b y S o u t i s e t a l. [17] a n d B a o a n d S u o [ls ] t o s t u d y

t h e t o u g h n e s s , s t r e n g t h a n d n o t c h - d u c t i l i t y o f m e t a l s , c o m p o s i t e s a n d , i n fa c t , a n y m a t e r i a l

w h o s e f r a c t u r e p r o c e s s m a y b e c h a r a c t e r i s e d b y a D u g d a l e - t y p e b r i d g i n g l aw .

R e c e n t l y , C h e n e t a l. [19] u s e d t h e c o h e s i v e z o n e m o d e l t o p r e d i c t t h e c r a c k g r o w t h

i n i t i a t i o n a n d r e s i s t a n c e c u r v e s o f m e t a l f o a m s f r o m p r e - e x i s t i n g c r ac k s a n d h o l e s . T h e

l i n ea r s o f te n i n g b r id g i n g i s i n t r o d u c e d t o m o d e l t h e f r a c t u r e p r o c es s , a n d a p h e n o m e n o l o g i c a l

a p p r o a c h i s a d o p t e d : t h e h e t e r o g e n e o u s m e t a l l i c f o a m i s r e p l a c e d b y a c o m p r e s s i b l e e l a s t i c -

p l a s t i c p o w e r - l a w h a r d e n i n g s o l i d , w i t h a n i n d e p e n d e n t l y v a l i d a t e d e l l i p t i c a l y i e l d s u r f a c e i n

y o n M i s e s s t r e s s v e rs u s m e a n s t r e s s s p a c e . I n th i s m o d e l , t h e y i e l d f u n c t i o n 9 i s a s s u m e d

t o b e

= ~ - Y = 0

0 3 )

w h e r e Y i s t h e u n i a x i a l y i e l d s t r e n g t h a n d & i s t h e e f f ec t iv e s t r e s s , d e f i n e d b y

6 _

1 + (c~/3) 2 (a2 + ~2a2m) (14)

H e r e , a d e f in e s t h e a s p e c t r a t i o o f t h e e l l ip t i c a l y i e l d s u rf a c e i n t h e v o n M i s e s s t r e s s a e

v e r s u s m e a n s t r e s s a m s p a c e . D e s h p a n d e a n d F l e c k [6] s h o w t h a t a i s r e l a t e d t o t h e p l a s t i c


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466 ACTA MECHANICA SINICA English Series) 2002

r a t e o f he a t r e m ova l o r t r a n s f e r unde r e x pe r im e n t a l c ond i t ions . So ma ny a pp l i e d r e se a r c he s

ha ve be e n c a r r i e d ou t , a pp ly ing me ta l f oa m in un ique de s igns i n r a d i a to r s a nd a dva nc e d

reactors[3].

S tud i e s ha ve be e n c a r r i e d ou t t o de sc r i be t he r ma l t r a n spo r t i n me t al l i c foa ms on a ba s ic

an d applied basis. You nis and Cal midi an d M aha jan [22] studied the solid-to-fluid therm al

transport f rom a heated metal plate brazed to alum inu m metal foam. Results indicate a

significant contribution of the ther mal transport resulted fr om solid plate to fo am contact

an d su bseq uent fluid-to-foam the rmal transport. Hig h quality joints are indicated as being

im por ta nt to effective th erm al transport. In a similar study Ki m et al. 25] ex am in ed me tal

foam thermal transport bet ween two isothermal plates. A lumi num foam filled the space

be twe en the plates whi ch were heate d wit h flowing water. Pr essure drop friction factor an d

a modified Colbu rn J-factor were measured and comparisons were made with conventional

louv ered fins for overall per for man ce. Results indicate that the foa m mater ial offers better

heat transfer per for man ce as com pa red to a louvered array but at a greater pressure drop.

Lu et al. 21] devel oped a mod el describing metal foam-assisted heat transfer whe re the

fo am was m ode le d as inter-connected cylinders. Th e analysis wa s extend ed to electronics

cooling and multi-layer heat exchan gers with good per for man ce predicted. Bas tar ows [24]

studie d single side heat ing of a foam-filled chan nel for an electronics cooling application. Th e

experimental meth od utilized both conductive epox y bo ndin g and brazing of the metal foam

to a heat ed plates. Results indicate that braz ed fo am materials are muc h mo re effective for

heat removal than epox y-bo nded samples. M easu red heat excha nge perfo rmanc e indicates

3 times m ore heat remov al capability as com par ed to a conventional fin-pin array.

5 . 1 C e l l u l a r M o r p h o l o g y

Th e m e ta l f oa m s t r uc tu r e , shown in F ig .3 , c ons i st s o f l i ga me n t s f o r ming a ne twor k o f

i n t e r - c onne c t e d dode c a he d r a l - l i ke c e l l s . The c e l l s a r e r a ndomly o r i e n t e d a nd mos t l y homo-

ge ne ous i n s iz e a nd sha pe ( F ig .3 ( a ) ), a r e su l t o f t he m a nuf a c tu r i ng me tho d u se d t o c r e a t e

the m e t a l f oa m p r e c u r so r ma t e r i a l . The t r i a n gu l a r - sha p e d e dge s o f e a c h ce l l a r e ho l low

( F ig .3 ( b ) ) , a r e su l t o f t he m a nuf a c tu r i ng t e c hn ique . Po r e s i ze ma y be va r i e d f r om a pp rox i -

ma t e ly 0 .4 mm to 3 mm , a nd t he ne t de ns i t y f r om 3 t o 15 o f t he so li d c e ll wa l l ma t e r i a l .

Al loys and s ing le -e lement mater ia l s a re read i ly ava ilab le . Co m mo n mater ia l s inc lude cop-

pe r , a l uminum, s t a i n l e s s s t e e l , a nd h igh t e mpe r a tu r e i r on - ba se d a l l oys ( e . g . , Fe Cr A1Y a nd

nickel) .

(a) Cellular mor pholo gy (b) Cross-sectional shape of cell stru t

Fig.3 Porva ir open-celled foam


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Vol .18 No .5 Lu Tianj ian: Ul t ra l igh t Porous Metals 467

5 2 M e t a l F o a m F a b r i c a t i o n a n d C a p a b i l i ti e s

M e t a l l i c s i n t e r i n g , m e t a l d e p o s i t i o n t h r o u g h e v a p o r a t i o n , e l e c t r o d e p o s i t i o n o r c h e m i c a l

v a p o r d e p o s i t i o n C V D ) , a n d i n v e s t m e n t c a s t i n g a m o n g n u m e r o u s o t h e r m e t h o d s ) a r e u s e d

t o c r e a t e o p e n c e l l f o a m s . I n t h e f o a m c r e a t i o n t h r o u g h m e t a l s i n t e r i n g , m e t a l l i c p a r t i c l e s

a r e s u s p e n d e d i n s l u r r y a n d c o a t e d o v e r a p o l y m e r i c f o a m s u b s t r a t e . T h e f o a m s k e l e t o n

v a p o r i z e s d u r i n g h e a t t r e a t m e n t a n d t h e m e t a l l i c p a r t i c l e s s i n t e r t o g e t h e r t o c r e a t e t h e

p r o d u c t . T h i s m e t h o d i s t h o u g h t t o b e t h e m o s t c o s t - e f f e c t i v e a n d t h e m o s t a m e n a b l e t o m a s s

p r o d u c t i o n . T h e C V D m e t h o d u t i l i z e s c h e m i c a l d e c o m p o s i t i o n o f a r e a c t i v e g a s s p e c i e s i n a

v a c u u m c h a m b e r t o d e p o s i t m a t e r i a l o n t o a h e a t e d s u b s t r a t e p o l y m e r o r c a r b o n / g r a p h i t e ,

d e p e n d i n g u p o n t h e t e m p e r a t u r e o f t h e d e p o s i t i o n p r o c e s s ) . P r o d u c t i o n r a t e s a r e l i m i t e d i n

t h i s m e t h o d b y t h e r a t e a t w h i c h m a t e r i a l i s d e p o s i t e d o n t h e s u b s t r a t e . H i g h l y r e f r a c t o r y

m e t a l s a n d c e r a m i c s m a y b e c r e a t e d w i t h t h i s m e t h o d w i t h h i g h q u a l i t y . M o l t e n m e t a l

i n f i l t r a t i o n i s u t i l i z e d t o m a k e a l u m i n u m a n d c o p p e r f o a m m a t e r i a l s [ 2 s ] . W i t h t h i s m e t h o d ,

a f o a m p r e c u r s o r i s c o a t e d w i t h a c e r a m i c c a s i n g a n d p a c k e d i n t o c a s t i n g s a n d . T h e c a s t i n g

a s s e m b l y i s h e a t e d t o d e c o m p o s e t h e p r e c u r s o r a n d h a r d e n t h e c a s t i n g m a t r i x . M o l t e n

m e t a l i s t h e n i n f i l t r a t e d i n t o t h e c a s t i n g u n d e r p r e s s u r e , f i l l i n g t h e v o i d s o f t h e o r i g i n a l

m a t r i x . A f t e r s o l i d i f i c a t i o n , t h e m a t e r i a l i s b r o k e n f r e e f r o m t h e m o l d . T h e m e t h o d h a s

t h e a d v a n t a g e o f b e i n g c a p a b l e o f p r o d u c i n g a p r o d u c t o f h i g h l y u s e f u l m a t e r i a l s a n d a l l o y s

s u c h a s a l u m i n u m ) , w i t h s o l i d s t r u t s . H o w e v e r , t h e p r o c e s s r e q u i r e s s e v e r a l p r o c e s s i n g s t e p s

a n d s p e c i a l i z e d e q u i p m e n t , a n d d o e s n o t l e n d i t s e l f t o r a p i d p r o d u c t i o n p r o c e s s e s .

O f t h e m e t h o d s s u i t a b l e t o p r o d u c e m e t a l f o a m m a t e r i a l s , t h e m e t a l s i n t e r i n g m e t h o d

o f f e r s a m o s t p r o m i s i n g m e t h o d t h a t i s c a p a b l e o f e c o n o m i c a l l y p r o d u c i n g m i l l i o n s o f c o m -

p o n e n t s a n n u a l l y . T h e p r o c e s s i s s i m i l a r t o t h e p r o d u c t i o n o f c e r a m i c f o a m m a t e r i a l s t h a t

a r e u s e d i n m o l t e n m e t a l f i l t r a t i o n , e x c e p t i n t h e h e a t t r e a t m e n t p r o c e s s . H e a t t r e a t m e n t

n e e d s , h o w e v e r , a r e i d e n t i c a l t o t h o s e r e q u i r e d i n p o w d e r m e t a l i n d u s t r y f o r s i n t e r i n g p r e s s e d

a n d i n j e c t i o n m o l d e d m a t e r i a l s , w h i c h a r e m a s s - p r o d u c e d r o u t i n e l y . P r o d u c t i o n - d e s i g n e d

e q u i p m e n t m a y b e u s e d e f f e c t i v e l y w i t h a u t o m a t e d l i n e s , e l i m i n a t i n g t h e n e e d f o r h a n d l i n g

i n t h e p r o c e s s , a n d y i e l d i n g h i g h - q u a l i t y , l o w - c o s t m e t a l f o a m m a t e r i a l s f o r u s e i n a v a r i e t y

o f a p p l i c a t i o n s .

T o e f f e c t i v e l y u s e m e t a l f o a m m a t e r i a l s i n h e a t e x c h a n g e d e v i c e s , i t i s n e c e s s a r y t o

c o m b i n e t h e m a t e r i a l w i t h t u b e s a n d s h e e t s f o r f l o w c o n t r o l a n d h e a t t r a n s f e r . D e v e l o p m e n t

e f f o r t s h a v e t a k e n u p a t P o r v a i r U S A ) t o s u c c e s s f u l l y c o m b i n e a v a r i e t y o f m e t a l f o a m

m a t e r i a l s w i t h s o l i d s t r u c t u r e s . S e v e r a l c o m p o n e n t s h a v e b e e n c o n s t r u c t e d c o m b i n i n g t u b e s

a n d o t h e r s o l i d m a t e r i a l s t o c o n s t r u c t a d v a n c e d , m u l t i f u n c t i o n a l h e a t e x c h a n g e d e v i c e s f o r

a v a r i e t y o f c u s t o m e r s . A n i m p o r t a n t c o n s i d e r a t i o n i n t h e f o r m a t i o n o f t h e a d v a n c e d h e a t

e x c h a n g e r s i s t h e q u a l i t y o f t h e b o n d j o i n t b e t w e e n f o a m a n d s o l i d m a t e r i a l t h r o u g h w h i c h

h e a t i s t r a n s f e r r e d [ 24 ]. F i g u r e 4 a ) i s a p h o t o g r a p h o f a d e v e l o p m e n t a l c o m p o n e n t c o n s i s t -

i n g o f t u b e s i m b e d d e d i n a m e t a l f o a m m a t r i x , g e n e r a t i n g a n a d v a n c e d h i g h - t e m p e r a t u r e

r a d i a t o r . M e t a l l u r g i c a l b o n d i n g b e t w e e n t h e t u b e w a l l a n d t h e f o a m m a t r i x i s a c h i e v e d b y

s i n t e r i n g d u r i n g m a t e r i a l h e a t t r e a t m e n t F i g . 4 b ) ) .

5 3 E x p e r i m e n t s

T h e e x p e r i m e n t a l a p p a r a t u s m a i n l y c o n s is t s o f f o u r s e c t io n s : c o o l a n t s u p p l ie r , t e s t

s e c t io n , t e s t m o d e l , a n d d a t a a c q u i s it i o n s y s te m . A p h o t o g r a p h o f t h e t e s t r ig w i t h a s a m -

p l e F i g . 5 a ) ) i n s e r t e d i n i ts t e s t s e c t i o n is s h o w n i n F i g . 5 b ) . A i r is u s e d a s a c o o l a n t

a n d i s f o r c e d t h r o u g h t h e c h a n n e l i n l e t b y a s u c t i o n t y p e a i r b l o w e r . A t o t a l o f f o u r


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468 ACTA MECHANICA SINICA English Series) 2002

a)

Metal foam compact heat exchanger

Fig.4

b) Co-sintering metallic bond be-

tween tube surface and cel l s t rut

a) Metal foam heat s ink

b) Heat t ransfer experimental set-up

Fig.5

s t a t i c p r e s su r e t a p s a r e p l a c e d a long t he f l ow d i r e c t i on on t he uppe r c op pe r sk in . An a sym-

me t r i c a l i sof l ux c ons t a n t wa l l he a t f l ux ) bou nda r y c ond i t i on is impose d on t he l owe r c oppe r

sk in by a he a t i ng e l e me n t s i l i cone - r ubbe r e t c he d f o il f r om Wa t low T M I nc .) . F ive t h in f oi l

e a c h 0 .05 mm th i c k) T - typ e c opp e r - c on s t a n t a n t he r moc oup l e s f r om Rho po in t I nc . ) a r e

in se r t e d on t he l owe r sk in a long t he f low d i r e c t ion . The r e a r e two a dd i t i ona l T - typ e t he r -

moc oup l e s , pos i t i one d s e pa r a t e ly a t t he i n l e t a nd ou t l e t o f t he t e s t s e c t i on to me a su r e t h e

c oo l a n t t e m pe r a tu r e a t e a c h l oc a t ion . A t e mpe r a tu r e s c a nne r w i th r e a d ing re so lu t i on o f

:E0.1 K i s u se d t o r e c o r d a n d a na lyz e t e m pe r a tu r e r e a d ings f r om a ll t he r moc oup l e s s imu l t a -


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Vol.18 No.5 Lu Tian j ian: U ltral igh t Porous Metals 471

i s t h e

local

N u s s e l t n u m b e r a t p o s i t i o n x . H e r e , q i s t h e a p p l i e d h e a t f l u x , T in i s t h e c o o l a n t

i n l e t t e m p e r a t u r e , a n d k f i s t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e c o o la n t . T h e o v e r a ll N u s s e l t

n u m b e r a s a f u n c t i o n o f t h e R e y n o l d s n u m b e r i s p r e s e n t e d i n F i g s . 7 (a ) a n d 7 ( b ) fo r F e C r A 1 Y

a n d c o p p e r s a m p l e s , r e s p e c ti v e l y . T h e r e s u l t s f o r F e C r A 1 Y f o a m s s h o w t h a t , i n g e n e r a l, t h e

o v e r a l l h e a t t r a n s f e r i n c r e a s e s w i t h i n c r e a si n g r e l a t i v e d e n s i t y a n d d e c r e a s i n g c e ll s iz e , a n d

i n c r e a s i n g t h e r e l a t i v e d e n s i t y is m o r e i m p o r t a n t t h a n r e d u c i n g t h e c e ll s iz e f o r h e a t t r a n s f e r

e n h a n c e m e n t . I n o t h e r w o r d s , v a r i a t i o n s in th e c e ll s iz e i n fl u e nc e t h e p r e s s u r e d r o p m o r e

t h a n t h e h e a t t r a n s f e r , w h i l st t h e h e a t t r a n s f e r is m o r e s e n s i ti v e t o t h e v a r i a t i o n s in t h e

r e l a t i v e d e n si ty . O n t h e o t h e r h a n d , t h e o v e r a l l h e a t t r a n s f e r o f a c o p p e r s a m p l e is n o t a s

s e n s i t i v e t o t h e r e l a t i v e d e n s i t y a s t h a t f o r a F e C r A 1 Y s a m p l e , w h e r e a s t h e c e l l s i ze e f f e c t

500

400

300

I:~

200

100

80

3 000

FeCrAIY

9 S - I $

+ S - 2 _ ~ # *

9 s - 3

, , z .

9 S - 4 _ * e ~

9 S-5 _

4 a A @ < > < >m

o

r

+ @ a i l ~ ~m

o S - 7 ~. * . , ~ ' .

. ~ o A~-c~~''" e6 *

@ 0 ~D) 9 A A ~ 9 Q

9 o 0

- A

2 ' < ~ m - " - - "

.

o * * o O

, , ~ ' L ~ ~ ***.0

9 ~ o A ~ ~ - ' "

*

O ~ 9 9

,o9 9

t t t t i i i

5 000

i

eoh

2

(a) FeCrA1Y

600

500

400

300

200

i

50

copper

0 0

W o

o

@ @ o 0 q

@

O ' y 9

O 0

o ~ ~ v 1 ~ v r : ~ ~

9 S-9

9 S-10

9 S-11

9 S-12

~ S-13

o S-14

100 0 2 000 4 000 6 000 10 000 20 000

ReDh

( b ) C o p p e r s a m p l e s

F i g .7 O v e r a l l N u s s e l t n u m b e r p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f R e y n o l d s n u m b e r


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472 ACTA ME CHAN ICA SINIC A Engl ish Series) 2002

o n h e a t t r a n s f e r o f t h e c o p p e r s a m p l e i s s l ig h t ly m o r e s i g n i fi c a nt t h a n t h a t f o r t h e F e C r A 1 Y

s a m p l e .

F o r F eC r A 1 Y s a m p l e s , t h e s o li d t h e r m a l c o n d u c t i v i t y (k s) is a r o u n d 2 0 W / ( m . K ) , s o

t h e t h e r m a l r e s i s t a n c e a t t h e s o l i d s i de is r e l a t iv e l y l a r g e . C o n s e q u e n t l y , i n c r e a s i n g t h e

r e l a ti v e d e n s i t y o f t h e s e f o a m s m a y c a u s e a s i g n if ic a n t r e d u c t i o n o f t h e t h e r m a l r e s is t a n c e i n

t h e s o l id p h a s e , r e s u l t i n g i n a s t r o n g e f f ec t o n t h e o v e r a l l h e a t t r a n s f e r . F o r c o p p e r s a m p l e s ,

h o w e v e r , t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y ( k s ) i s a p p r o x i m a t e l y 3 0 0 W / ( m . K ) , i m p l y i n g t h a t t h e

t h e r m a l r e s i s t a n c e i n t h e s o l id p h a s e i s r e l a t i v e l y s m a l l a n d t h e r e s i s t a n c e i n t h e f lu i d p h a s e

i s r e l a t i v e l y la r g e . T h e r e f o r e , i n c r e a s i n g t h e r e l a t i v e d e n s i t y o f a c o p p e r s a m p l e w o u l d n o t

l e a d t o a d r a m a t i c e f f ec t o n t h e o v e r a l l h e a t t r a n s f e r , w h e r e a s r e d u c i n g t h e c e ll s iz e c o u l d t o

a c e r t a i n e x t e n t e n h a n c e t h e o v e r al l h e a t t r a n s f e r d u o t o t h e r e d u c t i o n o f t h e r m a l r e s i s ta n c e

i n t h e f l u i d p a r t .

M E T A L F O A M S A S S O U N D A B S O R B E R S

C e l l u l a r m e t a l s w i t h c l o s e d c e l l s a r e , i n g e n e r a l , p o o r s o u n d a b s o r b e r s , o w i n g t o t h e

d i f f ic u l t y o f s o u n d g e t t i n g a c c e s s t o t h e i n t e r i o r c e l l u l a r s t r u c t u r e . T h e s o u n d a b s o r p t i o n

p e r f o r m a n c e o f cl o se - ce l le d m e t a ll i c f o a m s c a n n e v e r t h e le s s b e m u c h e n h a n c e d b y p a r t i a l l y

f r a c t u r i n g t h e c e l l w a l l s v i a ro ll in g[ 27 ,2 s] : t h e r e s u l t i n g s m a l l b u t s h a r p - e d g e d c r a c k s o n t h e

c e ll f a c e s b e c o m e p a s s a g e w a y s f o r t h e i n - a n d - o u t m o v e m e n t o f a ir p a r t ic l e s , r e s u l t i n g i n

s o u n d a b s o r p t i o n i m p r o v e m e n t . H e r e , t h e d i s s ip a t i o n o f s o u n d e n e r g y i s r e a li z e d m a i n l y

t h r o u g h v i s c o u s a n d t h e r m a l l o ss e s; o t h e r e n e r g y d i s s i p a t i n g m e c h a n i s m s a l s o e x i s t i n a

c e l lu l a r m e t a l, i n c lu d i n g H e l m h o l t z r e s o n a t o r s , v o r t e x s h e d d i n g f r o m s h a r p l i ga m e n t s a n d

s t r u c t u r a l v i b r a t i o n , b u t t h e i r e f fe c ts o n s o u n d a b s o r p t i o n a r e l ik e ly t o b e s m a l l a s c o m p a r e d

t o v i s c o us a n d t h e r m a l f o r c es [27] O n e t y p e o f s u c h a l u m i n u m f o a m w i t h t r a d e n a m e A l p o ra s ,

h a s b e e n d e v e l o p e d b y S h in k o W i r e f o r u s e a s s o u n d a b s o r b i n g m a t e r i a l ; i t h a s b e e n in s t a l l e d

a s s o u n d p r o o f i n g in s id e f a c t o r i e s / s h o p p i n g m a i ls , a l o n g th e s id e o f a r o a d / t u n n e l , u n d e r n e a t h

a n e x p re s s w a y , a m o n g s t m a n y o t h e r a p p l i c a ti o n s ( e .g ., u n d e r w a t e r s o u n d a b s o r p t i o n ) . I n

a d d i t i o n t o i t s a t t r a c t i v e s o u n d a b s o r b i n g p r o p e r t y [27], t h e a l u m i n u m f o a m is s t a b le a n d

d o e s n o t g e n e r a t e t o x i c g a s es i n t h e p r e s e n c e o f a f la m e , h a s h i g h d u r a b i l i t y a n d r e s i s t a n c e

t o w e a t h e r i n g , a n d c a n s h ie l d a g a i n s t e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s . C o n s e q u e n t l y , it m a y b e

i m p l e m e n t e d i n h a r s h c o n d i t i o n s s u c h a s t h e d i s c h a rg e c h a m b e r o f a h i g h r e p e t i t i o n r a t e

e x c i m e r l a s e r u s e d i n o p t i c a l l i t h o g r a p h y w h e r e s o u n d m a y r e a c h a l e v e l a s h i g h a s 1 9 0 d B .

S i n c e t h e la s e r c h a r g e c h a m b e r i s f il le d w i t h 9 9 n e o n a n d 1 f l u o r in e g a s , b o t h b e i n g

c h e m i c a l l y e x t r e m e l y a g g r e s s i v e , a n A 1 a l l o y f o a m s o u n d a b s o r b e r w o u l d b e s u i t a b l e .

A s s h o w n i n t h e p r e v i o u s s e c t io n , o p e n - c e l le d a l u m i n u m f o a m s a r e w i d e l y u s ed a s

c o m p a c t h e a t e x c h a n g e r s f o r h ig h p o w e r e l e c tr o n i c s d u e t o t h e i r l o w r e l a t i v e d e n s i ty , s u p e r i o r

s u r f a c e a r e a d e n s i t y a n d h i g h t h e r m a l c o n d u c t i v i t y o f t h e c e l l e d g e s. T o m i n i m i z e fl o w

r e s i s t a n c e d u e t o r e s t r i c t i o n s o n p u m p i n g p o w e r , a h i g h o p e n p o r o s i t y w i t h c e l l s iz e s l a r g e r

t h a n 1 m m i s u s u a l ly r e q u i r e d . E x p e r i m e n t a l l y , it is fo u n d t h a t t h e s e f o a m s a r e p o o r s o u n d

a b s o r b e r s . T h i s i s e x p e c t e d , a s W a n g a n d L u [29] h a s p o i n t e d o u t , b y u s i n g a n a n a l y t i c a l

m o d e l , t h a t t h e c e ll s o f a n o p e n - c e l l e d f o a m m u s t h a v e s i z e s o f t h e o r d e r o f 1 0 - 1 m m f o r

t h e f o a m t o b e a g o o d s o u n d a b s o r b e r . H o w e v e r , t h e c a p a b i l i t y o f a c e l lu l a r f o a m t o a b s o r b

s o u n d d o e s n o t a l w a y s i n cr e a s e w i t h d e c r e a s i n g ce ll s i z e - - t h e f o a m b e c o m e s a p o o r s o u n d

a b s o r b e r a g a i n i f i t s c e ll s iz e fa i ls b e l o w 0 . 1 m m b e c a u s e m o s t o f t h e s o u n d i s h e n c e r e f l e c te d

b a c k t o t h e s o u r c e .


17/23

Vo1 .1 8 N o .5 /u T ia n j ia n : U l t ra l igh t Porous Me t a ls 47

S o u n d a b s o r p t i o n i n p o r o u s m a t e r i a l s h a s b e e n a s u b j e c t o f s i g n i f i c a n c e i n m a n y p r a c -

t i c a l a p p l i c a t i o n s , a n d h a s b e e n s t u d i e d e x t e n s i v e l y i n t h e p a s t . D e l a n y a n d B a z l e y [ 3 ~

d e v e l o p e d e m p i r i c a l p o w e r - l a w r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n f u n d a m e n t a l a c o u s t i c p r o p e r t i e s ( i. e. ,

c h a r a c t e r i s t i c i m p e d a n c e a n d p r o p a g a t i o n c o n s t a n t ) a n d t h e r a t i o o f s t a t i c f l o w r e s i s t i v i t y

t o f r e q u e n c y . D e s p i t e t h e i r p o p u l a r i t y a n d s u c c e s s f u l a p p l i c a t i o n i n a l a r g e n u m b e r o f s o u n d

a b s o r b e r s , t h e D e l a n y - B a z l e y e q u a t i o n s c a n n e v e r t h e l e s s l e a d t o p h y s i c a l l y u n r e a l i s t i c p r e -

d i c t i o n s , e s p e c i a l l y a t l o w f r e q u e n c i e s . A l s o , b e c a u s e t h e s e e q u a t i o n s a r e p h e n o m e n o l o g i c a l ,

t h e y c a r / n o t b e u s e d t o s t u d y t h e e f f e c t o f m i c r o s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s o n s o u n d a b s o r p t i o n .

S i m i l a r l y , a l t h o u g h t h e M o r s e - l n g a r d m o d e l [ 3 1] i s b a s e d o n p h y s i c a l l y s o u n d p r i n c i p l e s , i t i s

n o t d i r e c t l y a p p l i c a b l e t o a p o r o u s m a t e r i a l w i t h a p a r t i c u l a r m i c r o s t r u c t u r e . B a s e d o n t h e

g e n e r a l f r e q u e n c y d e p e n d e n c e o f t h e v i s c o u s f o r c e s d e r i v e d b y J o h n s o n e t a l . 3 2 ], A l l a r d a n d

C h a m p o u x [ 3 3 ] d e v e l o p e d a n e w e m p i r i c a l r e l a t i o n s h i p f o r h i g h l y p o r o u s r i g i d - f r a m e d f i b r o u s

m a t e r i a l s . H e r e , t w o p a r a m e t e r s a r e n e e d e d , o n e b e i n g r e l a t e d t o t h e p o r e g e o m e t r y a n d t h e

o t h e r b e i n g t h e r a t i o o f t w o l e n g t h s c a l e s a s s o c i a t e d , r e s p e c t i v e l y , w i t h v i s c o u s a n d t h e r m a l

d i s s i p a t i o n p r o c e s s e s . A n o t a b l e f e a t u r e o f A l l a r d a n d C h a m p o u x s a p p r o a c h i s t h a t c o r r e c t

p r e d i c t i o n s b o t h a t l o w a n d h i g h f r e q u e n c i e s a r e o b t a i n e d . O n t h e o t h e r h a n d , Z w i k k e r

a n d K o s t e n [ 3 4 ] a n d B i o t [ 3 5 ] o b t a i n e d d i f f e r e n t b u t e q u i v a l e n t s o l u t i o n s f o r u n i f o r m , c i r c u l a r

t u b e s t h a t l a y t h e f o u n d a t i o n o f a n o t h e r t y p e o f p o p u l a r t h e o r y . T o e x t e n d t h e s e s o l u t i o n s

f o r c i r c u l a r t u b e s t o m o r e c o m p l i c a t e d p o r e g e o m e t r i e s , A t t e n b o r o u g h [ 3 6 ], A l l a r d e t a l . 3 7 ] ,

a n d S t i n s o n a n d C h a m p o u x [ 3 s ] i n t r o d u c e d p o r e s h a p e f a c t o r s t o a c c o u n t f o r t h e d i s c r e p a n c y

b e t w e e n t h e c r o s s - s e c t i o n a l g e o m e t r y o f a n a c t u a l p o r e a n d t h a t o f a c i r c u l a r t u b e . A n o t h e r

t h e o r e t i c a l a p p r o a c h f o r s o u n d p r o p a g a t i o n t h r o u g h p o r o u s m e d i a i s W i l s o n s [ 3 9 ] r e l a x a t i o n -

m a t c h e d m e t h o d b u i l t u p o n t h e p r e v i o u s w o r k o f J o h n s o n e t a ] . [ 3 2 ] . I n c o n t r a s t t o m o d e l s

b a s e d o n m a t c h i n g l o w - a n d h i g h - f r e q u e n c y a s y m p t o t i c b e h a v i o r s , W i l s o n s r e l a x a t i o n - t y p e

m o d e l i s p h y s i c a l l y m o r e r e a l i s t i c f o r a l l f r e q u e n c i e s . I t i s b a s e d o n t h e c o n c e p t o f m o d a l

w a v e m o d e s a n d t h e d o m i n a n c e o f a p a r t i c u l a r m o d e i n t h e d e s c r i p t i o n o f c o m p l e x d e n s i t y

a n d c o m p r e s s i b i l i t y . T h r e e p a r a m e t e r s a r e n e e d e d i n t h e r e l a x a t i o n m o d e l , i . e . , t h e s t a t i c

f l o w r e s i s t a n c e a n d t w o r e l a x a t i o n t i m e s c h a r a c t e r i z i n g t h e p r o c e s s o f w a v e f i e l d s t o e s t a b l i s h

e i t h e r v i s c o u s o r t h e r m a l e q u i l i b r i u m i n t h e m a t e r i a l .

L u e t a l . 4 ~ p r e s e n t e d a c o m b i n e d e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l s t u d y o n a l u m i n u m

f o a m s w i t h s e m i - o p e n c e l l s a s a s o u n d a b s o r b e r . T h e f o a m i s m a d e b y i n f i l t r a t i n g m o l t e n

a l u m i n u m a l l o y u n d e r a c o n t r o l l e d h i g h p r e s s u r e i n t o t h e p o r e s o f a p r e f o r m c o n s i s t i n g o f

w a t e r - s o l u b l e p a r t i c l e s . T h e c e l l s o f t h e f o a m a r e i n t e r c o n n e c t e d b y s m a l l c i r c u l a r o p e n i n g s

w i t h s i z e s a d j u s t a b l e b y v a r y i n g t h e i n f i l t r a t i o n p r e s s u r e , p a r t i c l e s i z e , s u r f a c e t e n s i o n o f

m o l t e n a l l o y , a n d w e t t i n g a n g l e b e t w e e n m o l t e n a l l o y a n d p a r t i c l e . N o r m a l s o u n d a b s o r p t i o n

c o e f f i c i e n t a n d s t a t i c f l o w r e s i s t a n c e a r e m e a s u r e d f o r s i x s a m p l e s h a v i n g d i f f e r e n t g r a d e s o f

p o r o s i t y , p o r e s i z e a n d p o r e o p e n i n g . A s o u n d a b s o r p t i o n c o e f f i c i e n t l a r g e r t h a n 0 . 8 i n t h e

f r e q u e n c y r a n g e o f 8 0 0 ~ 2 0 0 0 H z i s o b t a i n e d i n s e l e c t e d s a m p l e s . N o a p p a r e n t c o r r e l a t i o n

b e t w e e n s o u n d a b s o r p t i o n a n d p o r o s i t y o r c e l l s i z e i s o b s e r v e d , w h i c h m a y b e a t t r i b u t e d t o

t h e l i m i t e d p a r a m e t e r r a n g e e x p l o r e d . H o w e v e r , t h e r e e x i s t s a n e x c e l l e n t c o r r e l a t i o n b e t w e e n

s o u n d a b s o r p t i o n a n d p o r e o p e n i n g s i z e , w i t h s o u n d a b s o r p t i o n i n c r e a s i n g a s p o r e o p e n i n g

d e c r e a s e s . S i m i l a r l y , a r e l a t i v e l y h i g h s t a t i c f l o w r e s i s t a n c e i s b e n e f i c i a l f o r s o u n d a b s o r p t i o n .

F o r t h e s a m p l e s c o n s i d e r e d , t h e s t a t i c f l o w r e s i s t a n c e d e c r e a s e s a s t h e p o r e o p e n i n g s i z e i s

i n c r e a s e d .

A t h e o r y , b u i l t u p o n t h e a c o u s t i c i m p e d a n c e o f c i r c u l a r a p e r t u r e s a n d c y l i n d r i c a l c a r -


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19/23

Vol .18 No.5 Lu Tianjian: Ul t ra l ight Poro us M eta ls 475

d a r e a s s u m e d t o b e e q u a l t o t h e p o r e s i ze a n d t h e p o r e o p e n i n g o f a r e a l p o r o u s m e t a l

m a d e f r o m p a r t i c le s o f s iz e D ; c o n s e q u en t ly , t h e m o d e l m a t e r i a l a n d t h e r e a l m a t e i a l h a v e

i d e n t i c a l p o r e c o n n e c t i v i t y . F u r t h e r m o r e , i t i s a s s u m e d t h a t t h e m o d e l m a t e r i a l a n d r e a l

m a t e r i a l h a v e i d e n ti c a l p o r o s i ty . U n d e r t h e s e a s s u m p t i o n s , a n d w i t h r e f e re n c e t o t h e u n i t

c e l l o f F i g . 8 ( c ) , t h e p o r o s i t y Y2 o f t h e m o d e l m a t e r i a l c a n b e c a l c u l a t e d a s

/ 2 = 1 - [ 3/ )2 + 2 ( 3 V ~ / ) 2 / 8 ) - 8 ( 7r d2 /4 )] ( t / 2 )

3 v / 3 D 3 / 8

1 9 a )

O n t h e o t h e r h a n d , b i s c h o s e n s u c h t h a t t h e v o l u m e o f t h e u n i t c e l l , 3 v/- 3/~ )3 /8 , i s e q u a l t o

t h e v o l u m e o f a s p h e r i ca l p a r t i c l e o f d i a m e t e r D , r e s u l ti n g i n

= 0 . 9 3 1 D 1 9 b )

F r o m ( 1 9 a) a n d ( 1 9 b) , w e o b t a i n

t ~ (1 - g2)D

3 - - 4 I 2 ( 1 9 c )

w h e r e I =

d / D

is t h e p o r e c o n n e c t i v i ty o f a p o r o u s m e t a l m a d e w i t h s p h e r i cM p a r ti c le s

o f s iz e D . I n s u b s e q u e n t c M c u l a t io n s , t h e p o r o s i t y J ? o f t h e m o d e l m a t e r i a l i s t a k e n t o b e

i d e n t i c a l t o t h a t o f t h e r e a l m a t e r i M .

T h e a i m i s t o f o ll ow th e m o t i o n o f t h e a i r, i n i t ia l l y a t r e s t, w h e n t h e s y s t e m is s u b j e c t e d

t o a g l o b a l p r e s s u r e g r a d i e n t i n t h e f o r m V p e i ~ ( w h e r e i = v/-L --1, w i s a n g u l a r f r e q u e n c y ,

a n d t is ti m e ) , a n d t o d e t e r m i n e t h e f r a c t i o n o f s o u n d e n e r g y t h a t is a b s o r b e d b y t h e m o d e l

s e m i - o p e n f o a m a s a f u n c t i o n o f f r e q u e n c y , f o a m t h i c k n e s s , p o r o s i t y , p o r e c o n n e c t i v i t y , a n d

p o r e s iz e . I t i s a s s u m e d t h a t t h e s t i m u l u s i s s u f f i c ie n t l y s m a l l t o r e n d e r a l i n e a r a n a l y si s

a d e q u a t e . T h u s , t h e m e t a l s k e l e t o n is e s s e n t i a l ly m o t i o n l e s s , g i v e n i t s l a r g e d e n s i t y a n d

s t if f n e s s a s c o m p a r e d t o t h o s e o f M r. I n a d d i t i o n , t h e w a v e l e n g t h o f t h e s o u n d t r a v e l l i n g

i n a ir is a s s u m e d t o b e m u c h l a r g e r t h a n b ( w h i ch , i n t h e a c o u s t i c r a n g e o f i n t e r e s t - -

f < 4 0 0 0 H z - - i s a l w a y s t h e c a s e ) , a n d t h a t t h e s o u n d w a v e i s n o r m a l l y im p i n g i n g u p o n

t h e f o a m s u r f a c e ( i. e. , t h e i n c o m i n g w a v e i s t r a v e l l i n g a l o n g t h e n e g a t i v e d i r e c t i o n o f z - ax i s ) .

C o n s i d e r f i rs t a m o d e l f o a m o f t h i c k n e s s L = / ) , i .e ., w i t h o n l y o n e c e ll i n z - d i r e c t i o n

( F i g . 9 ( a ) ) . T h e a c o u s t i c a l s y s t e m m a y b e m o d e l l e d , f o ll o w i n g t h e p r i n c i p l e o f e l e c t r o -

a c o u s t i c a n a l o g y , b y a n e q u i v a l e n t e l e c t r i c a l c i r c u i t d e p i c t e d i n F i g . 9 ( b ) . T h r e e l e v e ls o f

a c o u s t i c i m p e d a n c e a r e c o n s i d e r e d : i n t e r n a l r e s i s t a n c e o f a i r

poco Po

a n d c o a r e t h e d e n s i t y

o f a i r a n d s o u n d s p e e d i n a i r, r e s p e c t i v e ly ) , th e i m p e d a n c e o f a p e r t u r e s Z 0 = R 0 + i M 0 ,

a n d t h e i m p e d a n c e o f a ir i n si d e t h e c e l l ZD -ipococot w[9/co) ( f o r s i m p l i c i t y , a d d i t i o n a l

i m p e d a n c e d u e t o v i s c o u s r e s i s t a n c e a l o n g c e l l w a l l s a n d t h e r m o e l a s t i c d i s s i p a t i o n i s n e -

g l e c t e d ) . H e r e , t h e h e x a g o n a l p r i s m a t i c p o r e is m o d e l l e d b y a c i r c u l a r c y l i n d r i c a l p o r e o f

e q u a l c r o s s - s e c t i o n a l a r e a , a n d , b e c a u s e i n g e n e r a l

wD/co


20/23

4 7 6

A C TA M E C H A N IC A S IN IC A E n g lis h S e r ie s ) 2 00 2

D

0

I poco

9

Ro Mo

z [

a ) M o d e l m e t a l li c f o a m w i t h o n e b ) E l e c t r o a c o u s t ic a n a l o g y

ce l l i n t he th i ckness d i r ec t ion

backed by r ig id wa l l

F ig .9

F o r s o u n d p r o p a g a t i o n i n a i r - s a t u r a t e d c i r c u la r a p e r t u r e s i n a m e t a ll ic m a t e r i a l u n d e r

s t a n d a r d c o n d i t io n s o f t e m p e r a t u r e a n d p r e s s u re , L u e t a l. [4~ f o u n d t h a t

R 0

3 ~ 7 t

Ro

poco

- = p o t { 1 + ( 9 + 2 12 ) - / 2 +

0 8 s d / t }

2 0 a )

20b)

w h e r e t h e l e n g t h s c a le s d a n d t a r e b o t h e x p r e s s e d i n m m , f i s e x p r e s s e d i n H z , a n d

13 = ~ d/2 .

N o t e t h a t t h e d i m e n s i o n le s s p a r a m e t e r /3 is re l a t e d t o t h e q u o t i e n t o f

t w o s t re s s es c a u s e d s e p a r a t e l y b y s o u n d p r e s s u r e a n d v is c o si ty , a n d i s c o m m o n l y k n o w n a s

t h e a c o u s t i c R e y n o l d s n u m b e r . F i n a ll y , o n c e Z 0 is d e t e r m i n e d , t h e a c o u s t i c i m p e d a n c e o f

t h e a c o u s t i c s y s t e m F i g . 9 a ) ) is s i m p l y g i v e n b y Z = Z 0 + Z D = R + i M , f r o m w h i c h t h e

n o r m M s o u n d a b s o r p t i o n c o e f fi c ie n t i s c a l c u l a t e d a s

4R/poco

21)

= 1 +

R / p o c o ) 2 + M / p o C o ) 2

I f t h e n u m b e r o f c e ll s = L/JD) i n z - d i r e c t i o n i s l a r g e r t h a n o n e , t h e s o u n d a b s o r p t i o n

c o e f fi c ie n t o f t h e m o d e l f o a m b a c k e d b y r i g i d w a l l o r a i r c a v i t y is s t il l c a l c u l a t e d a c c o r d i n g

t o E q . 2 1 ) , e x c e p t t h a t i ts a c o u s t i c i m p e d a n c e Z m u s t n o w a c c o u n t f o r t h e i m p e d a n c e o f

a d d i t i o n M c e l l s a n d a i r c a v i t y . T h i s c a n b e a c h i e v e d s t r a i g h t f o r w a r d l y b y u s i n g t h e e l e c t r o -

a c o u s t i c a n a l o g y . F o r i n s t a n c e , i n t h e c a s e o f t w o c e l ls a c ro s s t h e f o a m t h i c k n e s s w i t h r i g id

w a l l b a c k i n g , w e h a v e

1

Z = Zo + 1 / Zr , + 1 / Zo + Zr ,) 22)

F o r f o a m s h a v i n g m o r e t h a n 2 c e ll s a c r o s s t h e t h i c k n e s s d i r e c t i o n , a s i m p l e F o r t r a n p r o g r a m

is w r i t t e n t o p e r f o r m t h e i t e r a ti o n .


21/23

V o i . 1 8 , N o . 5 L u T i a n j i a n : U l t r a l i g h t P o r o us M e t a l s

477

F i g u r e 1 0 p r e s e n t s t h e p r e d i c t e d a n d m e a s u r e d n o r m a l s o u n d a b s o r p t i o n c o e f fi c ie n t

v e r s u s f r e q u e n c y c u r v e s f o r t h r e e 2 0 m m t h i c k p a n e l s , a l l b a c k e d b y a r i g id w a l l. G o o d a g r e e -

m e n t b e t w e e n t h e o r e ti c M p r e d i ct i o n s a n d e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s i s o b s er v e d. G i v e n

t h e i d ea l iz e d n a t u r e o f t h e m o d e l , t h is a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d m e a s u r e m e n t s i s q u i te

r e m a r k a b l e . S u b s e q u e n t p a r a m e t e r s t u d i e s [4~ r e v e a l t h a t t h e r e e x i s t s a n o p t i m a l p o r e s iz e,

a n o p t i m a l p o r e o p e n i n g s iz e a n d a n o p t i m a l p o r e c o n n e c t i v i t y fo r b e s t s o u n d a b s o r p ti o n ;

s o u n d a b s o r p t i o n i s e n h a n c e d b y i n c r e a s in g t h e t h i c k n e s s o f t h e f o a m p a n e l , b u t i s o n l y

s l i g h t l y a f f e c t e d b y v a r y i n g t h e f o a m p o r o s i t y .

s o u n d a b s o r p t i o n c o e f f i c i e n t s o f 20 mm th i c k p a n e l s

1 .0 - i - s a m p l e a ( e xp ) I ' . . . . ' ~ ' ~ - ' -

- o - s a m p l e b ( e x p ) I

- A - s a m p l e c ( e x p ) | / , ~ ~ ' m ~ m ~ l ll ., O o S -

0 .8 - - sam p le a ( the ory ) ~ f '

- - - sam p le b ( the ory ) | j ~

o

0:6

. . . . s a m p l e c ( t h e o r y )

I

~ r

/ f .

~

0.4

~ 0.2 ~,

~ . - ~ - - - ~ - . ~ - - ~ I , , , , I , , , , [ , , , ,

0 = =

0 500 1 000 1 500 2 000

freq ue ncy /H z

F i g . 1 0 M e a s u r e d a n d p r e d i c t e d n o r m a l s o u n d - a b s o r p t i o n c o e f f i c i e n t

v e r s u s f re q u e n c y f o r 2 0 - m m - t h i c k s a m p l e s b a c k e d b y r i g i d w a l l

A c k n o w l e d g e m e n t T h e a u t h o r w i sh e s t o t h a n k C . C h e n, T . K i m , C . Y . Z h a o, a n d X .

W a n g f o r a s s is t a n ce i n e x p e r i m e n t s a n d a n a l y t i c a l / n u m e r i c a l m o d e l i n g .

R E F E R E N E S

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H e i n e m a n n , 2 0 0 0

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Voi .18 No.5 Lu Tianj ian: Ul t ra l igh t Po rous Meta ls 479

3 3 A l l a r d J F , C h a m p o u x Y . N e w e m p i r i c a l e q u a t i o n s f o r s o u n d p r o p a g a t i o n i n ri g i d f r a m e f ib r o u s

m a t e r i a l s . J A c o u s t S o c A m , 1992, 91(4) : 3346~ 3353

3 4 Z w i k k e r C , K o s t e n C W . S o u n d A b s o r b i n g M a t e r i a ls . N e w Y o rk : E l s e v i e r , 19 49

3 5 B i o t M A . T h e o r y o f p r o p a g a t i o n o f el a s ti c w a v e s i n a f l u id - s a t u r a t e d p o r o u s s o li d: I . L o w

f r e q u e n c y r a n g e . J A c o u s t S o c A m , 1956, 28(5) : 168~ 178

3 6 A t t e n b o r o u g h K . A c o u s t i c a l c h a r a c t e r is t i c s o f r i g id f ib r o u s a b s o r b e n t s a n d g r a n u l a r m a t e r i a l s .

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3 7 A l l a r d J F , D e p o l l i e r C , N i c o l a s J , e t a l . P r o p r i e t e s a c o u s t i q u e s d e s m a t e r i a u x p o r e u x s a t u r e s

d ' a i r e t t h e o r i e d e B l o t . J Acous t , 1990, 3(1) : 29~38

3 8 S t i n s o n M R , C h a m p o u x Y . P r o p a g a t i o n o f s o u n d a n d t h e a s s i g n m e n t o f s h a p e f a c t o r s in m o d e l

p o r o u s m a t e r i a l s h a v i n g s i m p l e p o r e g e o m e t r i e s . J A c o u s t S o c A m , 1992 , 91 (11 ): 685~ 695

3 9 W i l s o n D K . R e l a x a t i o n - m a t c h e d m o d e l i n g o f p r o p a g a t i o n t h r o u g h p o r o u s m e d i a , i n c lu d i n g f r a c -

t a l p o r e s t r u c t u r e . J A c o u s t S o c A m , 1993, 94(8) : 1136~11 45

4 0 L u T J , C h e n F , H e D P . S o u n d a b s o r p t i o n o f c e l l u la r m e t a l s w i t h s e m i - o p e n ce ll s.

J Acous Soc

A m ,

2000, 108(4): 1697~ 170 9

R E T R A C T I O N

B y t h i s n o t ic e t h e E d i t o r a n d P u b l i s h e r o f A c t a M e c h a n i c a S i n ic a r e t r a c t f r o m p u b l i c a t i o n

o f t h e f o l lo w i n g a r t i c l e :

D y n a m i c B e h a v i o r o f P i l e s E m b e d d e d i n T r a n s v e r se l y Is o t ro p i c L a y e r e d M e d i a , Z h e n g

T i e s h e n g , A c t a M e c h a n i c a S i n ic a , V o l u m e 1 3, N o . 3 , A u g u s t 1 9 97 , p p . 2 4 2 ~ 2 5 2

T h e r e a s o n o f t h i s a c t i o n i s t h a t t h e i n t e l l e c t u a l p r o p e r t y o f t h e a r t ic l e d o e s n o t b e l o n g t o

t h e a u t h o r c i t ed . R a t h e r i t w a s ta k e n w i t h o u t p e r m i s s i o n f r o m a n e a rl ie r a r ti c le D y n a m i c

R e s p o n s e o f S i ng l e P i le s E m b e d d e d i n T r a n s v e r s e l y Is o t r o p i c L a y e r e d M e d i a a u t h o r e d b y

W e i m i n g L i u a n d M i lo s N o v a k t h a t w a s p u b li s h e d i n E a r t h q u a k e E n g i n e e ri n g a n d S t r u c t u r a l

D y n a m i c s , V o l u m e 2 3 , 1 9 94 , p p . 1 2 3 9 ~ 1 2 5 7 .

T h e E d i t o r a n d t h e P u b l i s h e r o f A c t a M e c h a n i c a S i n ic a r e g r e t th e o c c u r r e n c e o f t h i s u n -

f o r t u n a t e i n c i d e n t a n d a c k n o w l e d g e s e v e r a l r e a d e r s o f t h e j o u r n a l w h o b r o u g h t o u r a t t e n t i o n

t o th i s m a t t e r . A re c e n t e d i t o r i a l b o a r d m e e t i n g a p p r o v e d t h e d e c l i n a t io n f o r a n y a rt i c le s

i n th i s j o u r n a l f r o m t h e a u t h o r Z h a n g T i e s h e n g w i t h i n a p e r i o d o f t h r e e y e a r s e f fe c t iv e f r o m

t h e c u r r e n t i s s u e .

Documents

From Fundamentals to Applications.pdf