FreeParticle.pdf

7/27/2019 FreeParticle.pdf

1/9

C h a p t e r 2

I n f o r m a l I n t r o d u c t i o n t o Q M : F r e e

P a r t i c l e

R e m e m b e r t h a t i n c a s e o f l i g h t , t h e p r o b a b i l i t y o f n d i n g a p h o t o n a t a l o c a t i o n i s g i v e n b y

t h e s q u a r e o f t h e s q u a r e o f e l e c t r i c e l d a t t h a t p o i n t . A n d i f t h e r e a r e n o s o u r c e s p r e s e n t i n

t h e r e g i o n , t h e c o m p o n e n t s o f t h e e l e c t r i c e l d a r e g o v e r n e d b y t h e w a v e e q u a t i o n ( 1 D c a s e

o n l y )

2u

x2 1

c22u

t2= 0

( 2 . 1 )

N o t e t h e f e a t u r e s o f t h e s o l u t i o n s o f t h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n :

1 . T h e s i m p l e s t s o l u t i o n s a r e h a r m o n i c , t h a t i s

u exp[i (kx t)]

w h e r e = c |k|

. T h i s f u n c t i o n r e p r e s e n t s t h e p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e o f p h o t o n s w i t h

e n e r g y

a n d m o m e n t u m k

.

2 . S u p e r p o s i t i o n p r i n c i p l e h o l d s , t h a t i s i f u1 = exp [i (k1x 1t)] a n d u2 = exp[i (k2x 2t)]

a r e t w o s o l u t i o n s o f e q u a t i o n 2 . 1 t h e n c1u1 + c2u2 i s a l s o a s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n 2 . 1 .

3 . A g e n e r a l s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n 2 . 1 i s g i v e n b y

u =

A(k)exp[i (kx t)] dk.

N o w , b y a n a l o g y , t h e r u l e s f o r m a t t e r p a r t i c l e s m a y b e f o u n d . T h e f u n c t i o n s r e p r e s e n t i n g

m a t t e r w a v e s w i l l b e c a l l e d w a v e f u n c t i o n s .

F i r s t , t h e w a v e f u n c t i o n

(x, t) = A exp[i(px Et)/]

8


2/9

r e p r e s e n t s a p a r t i c l e w i t h m o m e n t u m p

a n d e n e r g y E = p2/2m

. T h e n , t h e p r o b a b i l i t y

d e n s i t y f u n c t i o n P(x, t)

f o r n d i n g t h e p a r t i c l e a t x

a t t i m e t

i s g i v e n b y

P (x, t) = |(x, t)|2

= |A|2 .

N o t e t h a t t h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s i n d e p e n d e n t o f b o t h x

a n dt

.

A s s u m e t h a t s u p e r p o s i t i o n o f t h e w a v e s h o l d . T h e n t h e w a v e f u n c t i o n

(x, t) = A exp[i(p1x E1t)/] + B exp[i(p2x E2t)/]

r e p r e s e n t s a p a r t i c l e w i t h m o m e n t u m e i t h e r p1 o r p2 w i t h p r o p a b i l i t i e s |A|2 a n d |B|2

r e s p e c t i v e l y . E x t e n d i n g t h i s t o t h e w a v e f u n c t i o n

(x, t) =Nn=1

An exp[i(pix Eit)/]

r e p r e s e n t s a p a r t i c l e w i t h m o m e n t u m pi w i t h p r o b a b i l i t y |Ai|2 .

I n g e n e r a l , s i n c e

pi s a c o n t i n u o u s v a r i a b l e ,

(x, t) =12

A(p)exp[i(px Et)/] dp

r e p r e s e n t s a p a r t i c l e w i t h m o m e n t u m p

w i t h p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n |A (p)|2

.

E x a m p l e 1 . L e t

(x, t) =1

2exp[i(px Et)/] + 1

2exp[i(px Et)/] .

T h e p d f f o r n d i n g p a r t i c l e a t x

a t t i m e t

i s

P(x, t) = (x, t)(x, t)

= 1 + cos

2px

.

N o w t h i s p d f i s n o t w h a t o n e e x p e c t s i n c l a s s i c a l m e c h a n i c s . T h e r e a r e s o m e p o i n t s , i n t h e

v i c i n i t y o f w h i c h , t h e p r o b a b i l i t y o f n d i n g p a r t i c l e i s 0 !

N o w t h e w a v e f u n c t i o n o f a p a r t i c l e w i t h d e n i t e m o m e n t u m p r e s e n t s a p r o b l e m . T h e p r o b a -

b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n P(x, t)

i s n o t i n t e g r a b l e . T h u s t h e n e t p r o b a b i l i t y o f n d i n g a p a r t i c l e

s o m e w h e r e i s i n n i t e . O n e w a y t o l o o k a t t h i s i s t o s a y t h a t P(x, t)

r e p r e s e n t s t h e r e l a t i v e

p r o b a b i l i t y a n d n o t t h e a b s o l u t e .

R e a l l y s p e a k i n g , o n e d o e s n o t n d h a r m o n i c w a v e s i n n a t u r e . W h a t o n e e n c o u n t e r s a r e w a v e

t r a i n s o r w a v e p u l s e s . T h i n k o f w a t e r r i p p l e s w h e n a s t o n e i s d r o p p e d i n i t . T h i n k o f p a r t i c l e s

9


3/9

w h i c h m a k e t r a c k s i n b u b b l e c h a m b e r s . I t i s a l w a y s k n o w n t h a t p a r t i c l e s i s i n s o m e r e g i o n o f

s p a c e . T h i s c a n b e p u t i n m a t h e m a t i c a l t e r m s a s

P(x, t)dx <

o r

|(x, t)|2 dx <

H e r e a r e t h e r u l e s f o r t h e w a v e f u n c t i o n o f a f r e e p a r t i c l e .

1 . A f r e e p a r t i c l e w i l l b e d e s c r i b e d b y a s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n c a l l e d a s w a v e f u n c t i o n

o r p r o b a b i l i t y a m p l i t u d e . T h e a b s o l u t e s q u a r e o f t h e w a v e f u n c t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o

t h e p r o b a b i l i t y o f n d i n g t h e p a r t i c l e a t a l o c a t i o n a t a n i n s t a n t .

2 . T h e w a v e f u n c t i o n

(x, t) =12

A(p)exp[i(px E(p)t)/] dp

w h e r e A(p)

i s a s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n , r e p r e s e n t s a f r e e p a r t i c l e w i t h m o m e n t u m p

w i t h p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n

|A(p)|2a n d e n e r g y

E(p) = p2/2m.

W a v e P a c k e t s

T h u s , t h e p a r t i c l e s w i t h r e a s o n a b l y s h a r p l y d e n e d m o m e n t u m m a y b e d e s c r i b e d b y a p u l s e

l i k e w a v e f u n c t i o n s . C o n s i d e r a p a r t i c l e w i t h m o m e n t u m p0 w i t h u n c e r t a i n t y o f p0 ( p0) .

I f t h e w a v e f u n c t i o n o f t h e p a r t i c l e i s

(x, t) =12

A(p)exp[i(px E(p)t)/] dp

t h e n t h e f o r m o f A(p)

m u s t b e a s h a r p l y p e a k e d f u n c t i o n a b o u t p0 ( s e e g u r e ) . ( F o r p r e s e n t

a r g u m e n t , a s s u m e t h a t A(p)

i s r e a l . )

p0

p

C l a i m 2 . I fA(p)

i s a s h a r p l y p e a k e d f u n c t i o n a b o u t p0 w i t h u n c e r t a i n t y p0 , t h e n t h e w a v e

f u n c t i o n

i s a l s o l o c a l i z e d . ( s u c h w a v e f u n c t i o n s w i l l b e c a l l e d w a v e p a c k e t s ) .

1 0


4/9

T o j u s t i f y t h e c l a i m , r s t , l e t t = 0

. I t i s t h e b e h a v i o u r o f exp(ipx/)

t h a t m u s t b e i n v e s t i g a t e d

a s a f u n c t i o n o f p

n e a r p0 . N o w p e r i o d o f exp(ipx/) i s h/|x| .

C a s e 1 : W h e n |x| hp0 , t h e n p0 h/|x| . T h a t i s p0 i s v e r y l a r g e c o m p a r e d t o t h e p e r i o d o f

exp(ipx/). T h u s t h i s f u n c t i o n h a s h i g h l y o s c i l l a t o r y b e h a v i o u r n e a r p0a n d h e n c e

(x, 0) =12

A(p)exp[i(px)/] dp 0

C a s e 2 : W h e n |x| hp0 , t h e n p0 h/|x| . T h a t i s p0 i s v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e p e r i o d o f

exp(ipx/). T h u s t h i s f u n c t i o n i s n e a r l y c o n s t a n t n e a r p0 a n d h e n c e

(x, 0) =12

A(p)exp[i(px)/] dp

= 12

exp[i(p0x)/]

A(p)dp

T h u s

i s s i g n i c a n t l y n o n z e r o o n l y f o r |x| < h/p0 . T h u s xp0 h/2.

p0p

p0p

p0p

p0p

p0p

p0p

F i g u r e 2 . 1 : T h e t h r e e g r a p h s i n t h e r s t c o l u m n a r e t h a t o f A(p)

,cos(px/)

a n d t h e p r o d u c t o f

t h e t w o w h e n x h/p0 . T h e s e c o n d c o l u m n c o n t a i n s t h e s a m e g r a p h s , b u t f o r x h/p0 .

1 1


5/9

E x a m p l e 3 . L e tA(p) = 1/

p i f |p p0| < p/2. T h e n t h e w a v e f u n c t i n i s g i v e n b y

(x, t) =1

2

A(p)exp[i(px)/] dp

=2

p2

sin (px/)

px/

T h e p l o t s a r e s h o w n i n t h e g u r e .

p

Ap

x

x

T o a n a l y z e t h e w a v e f u n c t i o n (x, t)

, w h e n t = 0

, r e m e m b e r E

i s a f u n c t i o n o f p.

L e t =

(px Et)/b e t h e p h a s e o f t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . I f

c h a n g e s r a p i d l y , t h e n e x p o n e n t i a l

f u n c t i o n i s o s c i l l a t o r y . A l t e r n a t i v e l y i f

i s s t a t i o n a r y , e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i s n e a r l y c o n s t a n t .

T h u s , t h e p e a k o f t h e w a v e p a c k e t

i s a t x0 i f

p(p0) = 0

w h e n

x0 Ep

(p0) t = 0

T h i s m e a n s t h a t t h e p e a k o f t h e w a v e p a c k e t i s m o v i n g w i t h s p e e d

vg =E

p(p0) .

T h i s i s c a l l e d a s g r o u p v e l o c i t y a s a g a i n s t t h e p h a s e v e l o c i t y o f t h e w a v e w h i c h i s d e n e d a s

E/p0 . I n m a c r o s c o p i c l i m i t , t h e v e l o c i t y o f t h e p a r t i c l e i s p0/m, t h i s s u g g e s t s t h a t E(p) =p2/2m

. T h i s t s n i c e l y . N o w ,

E(p) = E(p0) + vg(p p0) + T h u s i f

ti s s u c i e n t l y s m a l l , t h e n

(x, t) = 12

ei(p0xE(p0)t)/

A(p)exp[i(p p0)(x vgt)/] dp

A n d c o m p a r e t h i s w i t h

(x, 0) =12

ei(p0x/)

A(p)exp[i(p p0)x/] dp

t h e w a v e p a c k e t j u s t m o v e s w i t h o u t c h a n g i n g s h a p e w i t h s p e e d vg .

1 2


6/9

G a u s s i a n W a v e P a c k e t s

N o w l e t

A(p) =

1p

12

exp (p p0)2

22p

.

N o t e t h a t t h i s f u n c t i o n i s n o r m a l i z e d t o 1 , t h a t i s ,

|A (p) |2dp = 1.

T h e w a v e p a c k e t i s

(x, 0) =12

1

p

12

exp

(p p0)

2

22p+ i

px

dp

=

p

12

exp

ip0x

exp

px2

22

( S e e f o o t n o t e

1

) T h e f o l l o w i n g g u r e s s h o w t h e p l o t o f G a u s s i a n w a v e p a c k e t .

x

Re

x

F i g u r e 2 . 2 : T h e l e f t g u r e s h o w s R e

a n d r i g h t h a n d g u r e s h o w s ||2

.

D i e r e n t i a l E q u a t i o n ( S c h r d i n g e r E q u a t i o n )

I f t h e w a v e f u n c t i o n a t t i m e t = 0

i s k n o w n , t h a t i s (x, 0)

i s k n o w n f o r a l l x

, h o w d o e s o n e

n d(x, t)

? R e m e b e r t h a t e m w a v e s a r e g o v e r n e d b y a d i e r e n t i a l e q u a t i o n c a l l e d a s w a v e

e q u a t i o n . W h a t i s t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r m a t t e r w a v e s ? H e r e o n e b o r r o w s t h e c l a s s i c a l

e n e r g y e x p r e s s i o n E = p2/2m

. T h e w a v e f u n c t i o n (x, t)

o f a f r e e p a r t i c l e i s

(x, t

) =1

2

A(p

)exp[i(px E

(p

)t)/]

dp.

T h e n i

t

(x, t) =

12

EA(p)exp[i(px E(p)t)/] dp

1

eu2

eu

du =

1/2

e2/4

1 3


7/9

a n d

2

2m

2

x2(x, t) =

1

2

p2

2mA(p)exp[i(px

E(p)t)/] dp

=12

EA(p)exp[i(px E(p)t)/] dp

s i n c e p2/2m = E

. T h u s , i

t

(x, t) =

1

2m

i

x

2(x, t).

T h i s i s c a l l e d S c h r d i n g e r e q u a t i o n . N o t e t h i s r s t o r d e r e d d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t

. T h u s

k n o w l e d g e o f (x, 0)

i s e n o u g h o b t a i n (x, t)

.

2

I t w a s i m p l i c i t l y a s s u m e d t h a t A(p)

i s t i m e - i n d e p e n d e n t . I n c l a s s i c a l c a s e , m o m e n t u m o f a

f r e e p a r t i c l e d o e s n o t c h a n g e i n t i m e . S i m i l l a r y , i n Q M , t h e p d f o f m o m e n t u m d o e s n o t c h a n g e

i n t i m e a n d s o d o e s

A(p). T h e n t h e r e i s a n o t h e r w a y t o n d

(x, t)f r o m

(x, 0):

1 . G i v e n (x, 0)

, c o m p u t e m o m e n t u m s p a c e w a v e f u n c t i o n :

A(p) =12

(x, 0)exp[i(px)/] dx

2 . T h e n

(x, t) =12

A(p)exp[i(px Et)/] dp

E x a m p l e 4 . A w a v e f u n c t i o n o f a f r e e p a r t i c l e a t t = 0, i s

(x, 0) =

B |x| < a0

o t h e r w i s e .

Bi s a r e a l c o n s t a n t . F i n d

(x, t).

F i r s t n o r m a l i z e t h e w a v e f u n c t i o n . aa

|(x, 0)|2 dx = 1

T h i s i m p l i e s t h a t

B = 1/

2a

. N o w t h e m o m e m t u m s p a c e w a v e f u n c t i o n i s

A(p) =12

(x, t)exp[i(px)/] dx

=

a

s i n c

pa

.

2

O f c o u r s e , o n e a l s o m u s t k n o w (, t), s i n c e i t s a s e c o n d o r d e r e d d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n x. F o r f r e e p a r t i c l e , t h e s q u a r e i n t e g r a b i l i t y r e q u i r e s t h a t (, t) = 0 .

1 4


8/9

N o w

(x, t) = (x, t) =12

a

s i n c

pa

exp

i

px p

2

2mt

/

dp

B u t t h i s i n t e g r a l i s n o t e a s y t o e v a l u a t e i n t e r m s o f s i m p l e f u n c t i o n s . B u t i t c a n b e n u m e r -

i c a l l y e v a l u a t e d a n d p l o t t e d . C l e a r l y t h e a v e r a g e m o m e n t u m i s z e r o , t h u s t h e p e a k o f t h e

w a v e f u n c t i o n r e m a i n s a t x = 0

. |

E x p e c t a t i o n V a l u e s

T h u s , i f t h e w a v e p a c k e t ( o r w a v e f u n c t i o n ) o f a p a r t i c l e i s k n o w n t h e n a l l o t h e r i n f o r m a t i o n

c a n b e o b t a i n e d . L e t (x, t)

i s t h e w a v e f u n c t i o n o f a p a r t i c l e .

P r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f o r n d i n g t h e p a r t i c l e a t

xi s

P(x, t) = |(x, t)|2

T h e a v e r a g e p o s i t i o n o f t h e p a r t i c l e o r e x p e c t a t i o n v a l u e o f

xi s

x(t) =

xP(x, t)dx

=

(x, t) [x(x, t)] dx

L e t

(p) =1

2

(x, t)exp[i(px E(p)t)/] dx.T h e n p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f o r n d i n g t h e p a r t i c l e w i t h m o m e n t u m

pi s g i v e n b y

P(p) = |(p)|2

T h e e x p e c t a t i o n v a l u e o f

pi s

p =

p |(p)|2 dp

=

(p) [p(p)] dp

N o w , n o t i c e t h a t

i x

(x, t) =12

[p(p)]exp[i(px E(p)t)/] dp

1 5


9/9

T h e n

p

=

1

2 dx dx

(x, t) i

x

(x, t) dp exp[i p(x x)/

=1

2

dx

dx(x, t)

i

x(x, t)

2(x x)

=

(x, t)

i

x

(x, t)

dx

E x e r c i s e 5 . S h o w t h a t

E =

(x, t)

i

t

(x, t)

dx.

1 6

Documents

FreeParticle.pdf