IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

USANDO EL DIAGRAMA DE BODE Determinación de la función de transferencia de lazo abierto de un sistema a partir de la curva asintótica de magnitud del Diagrama de Bode. Determinación del error estacionario de un sistema de lazo cerrado. Se puede determinar el tipo del sistema, la ganancia de lazo abierto y las frecuencias de cruce de lazo abierto. Sistema Tipo 0

Lm, dB

a

0

Tj1K

)j(Gω+

=ω

aT/1

-20dB/dec 20 log K0

Para K0 > 1

0

En aT

1<ω Lm G(jω) = 20 log K0

En aT

1=ω frecuencia de cruce

⇒ Pendiente de la curva de magnitud logarítmica es cero por debajo de la frecuencia de cruce y -20dB/dec por encima de la frecuencia de cruce. Para un sistema Tipo 0, las características son:

1. La pendiente a bajas frecuencias es cero. 2. La magnitud a bajas frecuencias es de 20 log K0. 3. La ganancia K0 es el coeficiente estático de posición.

Sistema Tipo 1

)Tj1(jK

)j(Ga

1

ω+ω=ω

1a

KT1

>

ω1 ω = 1

20logK1

-40

-20dB/dec

ω1

ωx=K1

ω = 1 20logK1

En aT

1<ω LmG(jω) = Lm K1 – Lm

En ω = K1 LmG(jω)ω=K1 = 0 En ω = 1 LmG(jω)ω=1 = 20 log K

Para un sistema Tipo 1 las característ

1. La pendiente a bajas frecuencia2. La interceptación de la pendien

eje a 0 dB ocurre en la frecuenc3. El valor de la pendiente de –20

ω = 1 es igual a 20 log K1. 4. La ganancia K1 es el coeficient

ω

1a

KT1

<

ωx=K1

dB/dec

jω pendiente de -20dB/dec

gráfica de ωj

K1 cruza 0 dB en ω = K1

1 frecuencia ωx < ó > 1 dependiendo si K1 < ó > 1.

icas son:

s es de -20dB/dec. te de –20 dB/dec (o su extensión) con el ia ωx, donde ωx = K1. dB/dec (o su extensión) en la frecuencia

e estático de velocidad.

ω

Lm, dB

0

Lm, dB

0

Sistema Tipo 2

)Tj1()j(K

)j(Ga

22

ω+ω=ω

ωω1

ω ω

-40dB/dec

0

2a

KT1

> 22

y K=ω

20logK2

y

-60dB/dec

En aT

1<ω LmG(jω) = Lm K2 – Lm (jω

En ω2 = K2 LmG(jω) = 0 La interc

40dB/deocurre e

En ω = 1 LmG(jω)ω=1 = 20 log K2 Esto

ω

SiSi

Para un sistema Tipo 2, las características

1. La pendiente a bajas frecuencias es2. La interceptación de la pendiente

eje a 0 dB ocurre en la frecuencia ω3. El valor de la pendiente a baja frec

en la frecuencia ω = 1 es igual a 204. La ganancia K2 es el coeficiente es

0

Lm, dB

Lm, dB

ω = 1

2a

KT1

<

1 y

20logK2

)2 pendiente de

eptación de la pc (o su extensión la frecuencia ω

e punto ocurre esu extensión,

a1 T

1= es mayor

K2 > 1, 20 log K K2 < 1, 20 log K

son: de -40dB/dec. de -40dB/dec (o

y, donde ωy2 = K

uencia de -40dB log K2. tático de acelera

ω = 1

22

y K=ω

-40dB/dec

endiente inicialn) con el eje ay ω⇒ y

2 = K

n la pendiente independiendo d

o menor que K

2 > 0 2 < 0

su extensión) c2. /dec (o su exten

ción.

ω

ω

de - 0dB 2

icial e si

2

on el

sión)

RELACION ENTRE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE LAZO CERRADO Y LA RESPUESTA FRECUENCIAL DE LAZO CERRADO

Sistema estable y bien amortiguado

Sistema estable pero oscilatorio

Sistema marginalmente estable

Sistema inestable

FRECUENCIA DE RESONANCIA (ωR) Y VALOR PICO DE RESONANCIA

2

nnjj21

1)j(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+ωω

ξ+

=ω

2

n

2

2n

221

1)j(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

ξ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω

ω−

=ω

Para ξ < 1 el Ln⏐G(jω)⏐ tiene un valor pico Se produce valor pico de ⏐G(jω)⏐ cuando

( ) ( ) MINIMO142121)(g 222

2n

22n

22

n

2

2n

2→ξ−ξ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ω

ξ−ω−ω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

ξ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω

ω−=ω

Valor mínimo se produce en )707.00(21 2nr ≤ξ≤ξ−ω=ω

212

1max)j(GMrξ−ξ

=ω=

Ángulo de fase en la frecuencia de resonancia

21

21

2

n

n1

1sen90

21tan

1

2tan

ξ−

ξ+°−=

ξξ−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−

ωω

ξ−=φ −−−

Máximo pico de resonancia de un sistema de 2do orden a lazo cerrado

RESPUESTA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

SUBAMORTIGUADOS

Frecuencia:

2r

2nr

12

1M

21

ζ−ζ=

ζ−ω=ω

ωr es real sólo cuando ξ<0,707 Tiempo:

1.5

Mp

1

0.9

0.5

0.1

0

tr tp 1 2 3 4

tc

trn

=+ +( . .1 0 6 015 2ξ ξ

ω) t t tc

n= − =

+ +90% 10%

21 11 14. .ξ ξω

t pn d

=−

=π

ω ξ

πω1 2

ts =3

ξω ts =

4ξω

( ) ( )

( ) 100e100c

ctc%M

21/pp ×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×

∞

∞−= ξ−πξ−

• ωr es indicativo de la velocidad de respuesta de un sistema.

↓ξ ↑ωr ↑ωd ↓tr ⇒ sistema más rápido. ξ → 0 ⇒ Mr → ∝ Mp → 1

ωc (odb) > ωn > ωr También se cumple que la ωr’ > ωr donde ωr’ es la de lazo cerrado.

• Mr es un indicativo de estabilidad del sistema. Comportamiento satisfactorio se obtiene cuando:

1 < Mr < 1,4 ó (0db<Mr<3db)

el cual corresponde a:

0,4 < ξ < 0,7

Gráficas de Mr

en función de ξy de Mp en función de ξ

Mas grandes son los valores de Mp y Mr

Cuando ξ → 0 Mr → ∝ Mp → 1

Cuando ξ > 0.4 Relación estrecha entre Mr y Mp

ANCHO DE BANDA

Se define como la frecuencia a la cual la magnitud de la FTLC cae 70,7% de su nivel a bajas frecuencias o 3 db por debajo de la ganancia a cero db.

db Da una

↑Sfá ↓

Obtenc

--

0 -3

BW

ω

medida de la respuesta en tiempo

BW ⇒ tr rápido ⇒ sistema rápido igue mejor la perturbación al sistema pero produce ↑ Mp y pasa cilmente los ruidos

BW ⇒ tr lento ⇒ sistema lento

ión

Se puede obtener gráficamente Se puede obtener igualando la magnitud de la FTLC = 0,707 y

despejar

Para un sistema de 2° orden

( ) 24421BW 242n +ξ−ξ+ζ−ω=

De la gráfica de respuesta transitoria

Si ↑ξ ↑tr ⇒ sistema más lento

De la gráfica de respuesta Ancho de Banda

Si ↑ξ ↑tr ↓ BW⇒ sistema más lento Si ↓ξ ↓tr ↑ BW⇒ sistema más rápido

( ) 24421t

4BW 242

ss+ξ−ξ+ξ−

ξ=

( ) 244211t4BW 242

p+ξ−ξ+ξ−

ξ−=