Frank M. Whithe Cap 3

8/7/2019 Frank M. Whithe Cap 3

1/90

~.

. . -

Pe lo ta d e ten is d e m esa su sp end id a pa r un cho rro d e a ire . E l p rin c ip io d eco nserv ac io n d e can tid ad d e m o vim ien to d el v olu m en d e co ntro l, es tu diad o ene s t e capi tu lo , im p l i c a l a e x is te n c ia d e u na fu erz a p ara c a m b i a r la d ire cc io n d e u nfiu jo . E l ch orro d e a ire se d ef ie c ta a lred ed or d e la p elo ta , y la f ue rz a r es ulta n teco rnpen sa e l p e so de la p e lo ta . [Pa r c o r t e s i a d e P a ul S ilv er m an /F u nd am e n ta lP h o t o g r a p h s, ]

. '."


2/90

3--- - - = - - - : - - : : - : _ - - = : : - - : : - _ : -: :- = -_ - ~ ~ : : : - = : : : : : - = - ~ ~ ~ n . . .nesin t e s r a l e s .L , . .__............ . , e - - - - , . _ .

p a r a u n v o l u m e n d e c o n t r o l

- - - - ._ -~----- - -

3 .1 . L e y e s b a si c a sd e 1 3 M e c a n ic a d e F lu id o s

M ot iv a c io n . E l m o vim ie n to d e u n f tu id o p ue d e a n al i z a r s e d e s d e d o s p un to s d e v is ta :(1) r e a l iz a n do u na d es c r ip cio n d eta lla d a d el f lu jo e n c a da p un to (x , y, z ) d el c am p of l u i d o , 0 (2 ) t ra b a Ja n 0 c on u n a r e gio nn ru ta -d e l e sp ac io , r e al iz an do u n ba la nc e e n tree l f lu id o qu e e n tr a y qu e s a le d e e l la , y d ete rr n in an do lo s e f e c to s n eto s, c o m o la fu er z ao e l m om en ta s o br e u n c u e r p o 0 e l c am b io d e e n e rg ia to ta l . La s e gu nd a te c n ic a s ec on o ce c om o a na lis is in te gr al 0 d e " v o l u r n e n d e c o n tro l" , y e s e l o bje to d el p re s e n te c a -p itu lo . La p rim e ra e s e l a na lis is " d ife re nc ia l" , qu e s e d es ar ro lla ra e n e l C ap itu lo 4 .

E n p rim e r lu ga r a na li z ar e m o s e l c on ce pto d e v o lu m e n d e c on tr o l, a l igu a l qu e s e h ac ee n u n c u rs o d e te rm o d in am ic a , y d e te rm in arem o s la v ar ia c io n p or u n id ad d e t i em p od e la s p ro pie da de s d el f tu id o , o bte n ie nd o c o m o re s u lta do e l d en om in ad o te or em a d e ltr a n sp or te d e R e yn o ld s. A c on tin u a cio n a pl ic ar e m o s e ste te o re m a a la m a sa , la c an tid add e m o v im ie n to , e l m o m en ta c in et ic o y la e n e r g f a , o bte n ie nd o a s! 1a s c u a tr o r e la c io n e sba s ic a s d e la M ec a nic a d e Flu id os p ar a u n v o lu m en d e c on tro l. E l c a p itu lo t e r r n in a c onu na r e la cio n e sp ec ia l p ar a e l f lu jo n o v is co so , s in a dic io n d e c alo r n i t r a ba jo m e c a nic o:la e cu a cio n d e B er no ul l i . La e c ua cio n d e Be rn ou ll i e s u n m a gn if ic o re su lta d o d e gra nim p o r t a nc ia h is to ric a , p e r o e s e xtre m a d am e n te r es tr ic tiv a y s ie m p re d ebe a p l ic ar se c u i-d a d o s am e n t e y c o n e sc e pt ic is m o al m o v im i en to re al (v is c os o) d e lo s f lu id os .

E s e l m o m e n to d e a bo rd ar s er ia m en te e l a na lis is d e lo s f lu jo s. La s a p l ic ac io n e s f lu id o s -ta tic a s d el Ca p itu lo 2 e r a n , a l m e no s e n o p in io n d el ' a u to r, m a s d iv er s io n qu e tr a ba jo .Lo s p ro blem a s e sta t ic os s o lo re qu ie r e n , ba si c am e n te , c on oc e r la d en sid ad d el f lu id oy la p o sic io n d e la s u pe r f ic i e l ib r e ; s in em ba rgo , e n la m a yo rfa d e lo s p ro blem a s c o nf tu jo s e s n ec es ar io a na liz ar u n e sta do a rb i t r a rio d e m o v im i en to d e l f tu id o d ef in id o p o rla ge om e tn a, la s c o nd ic io ne d e c o n to rn o y la s le ye s d e la rn ec a n ic a . E s t . c a p i tu lo ylo s d os s igu ie n te s p ~~~n !a n la s ~s _!e cn ic a s ba si~a s d el a na lis is d e lo s p ro blem a s d ef lu j o s a r bi tr a ri o s :1. V olu m e n d e c on tr o l , 0 a na lis is in te gr al a gr an e sc al a (C ap itu lo 3).'2. D ife r e n cia l , 0 a na lis is a p equ e f ia e sc a la (C ap itu lo 4).3 . E xp er im e n ta l, 0 a n al is is d im e n s io n a l (C ap itu lo 5 ). '. '

137


3/90

138 Ca pi tu lo 3. R ela cio ne s in te gr a le s p ar a u n v olu m en d e c on tro l

Lo s tre s rn e to d o s so n a p ro xim ad am en te igu a le s e n im po r ta n c ia , p e ro e l a n a lis is c a n" v o h im en e s d e c o n tro l, t ra ta d o e n e s te c a p itu lo , e s v a l id o p a ra c u a lqu ie r f lu jo , a u nqu e .a m e nu do se ba s a e n p ro pie d ad e s "u nid im en sio na le s " 0 p rom ed iad a s e n e l c o n to rn o ,I-------------~ ado.una he r r am ien t a muy , yal iosa p ara e l in ge n ie ro d e c a ra a l an al is is d e lo s f lu jo s':':__jE n p rin cip io , la desc r i pc ion d ife rc n ci al d el Capitu lo 4 tam bie n p ued e se r u ti liz a d a p arac u a lqu ie r p ro blem a; p e ro e n la p ra c t ic a so lo exis ten so lu c io n e s exa c ta s p a ra a lgu n o s - _.p o c o s p ro blem a s , c om o e l f lu jo en c o n d u c to s re c to s . N o o bs ta n te , la s e c u a c io n e s d ife -re n c ia le s p u e d e n re so lv e rs e d e fo rm a n um e r ic a , y e l f lo re c ie n te c am p o d e la Mec an ic a .d e Flu id os Co m p uta cio na l (C FD , C om p uta tion a l F lu id D yn a m ics) [8] p ro po rc io na en laa ctu al id ad bu en as e stim a cio ne s c as i p ara c ua lqu ie r ge om e tr ia . P ara te rm in ar , e l a na lis isd im en s io n a l d e l Ca p itu lo 5 se p u e d e ap l ic a r a c u a lqu ie r p ro blem a , ya s e a a n a li tic o ,n ume r i c o e xp er im e nta l. E sta a pro xim a cio n e s p ar tic ula rm e nte u ti l p ara re du cir e l c os -te d e la e xp e rim en ta c i6n . E l an a l is is d ife re n c ia l c om en z o co n E ule r y La gr an ge e n e t~---s iglo XVII I , y e l a n alis is d im e n sio na l d io su s p rim e ro s p aso s c o n lo rd Rayle igh a f in ale s Id e l s igl o XIX , p e ro e l m eto d o d e l v o lum en d e c o n tro l, a u n qu e fu e p ro p u e s to p o r E ule ry u t il iz a d o m as ta rd e p o r O sbo rn e Reyn o ld s a f in a le s d e l s iglo XIX , n o se d es a rro lloso bre u n a ba se r igu ro sa c om o u n a h e r ram ien ta a n a lf tic a h a s ta la d e c a d a d e 1940 .

S i s te m a s f re n t e a v o h im e n esd e c o n t r o l

T od as la s le ye s d e la m e ca nic a e sta n e sc ri ta s p ara s is temas, qu e s e d ef in en c om o c an tid a-d es a rbi t ra r ia s d e m a sa d e id en tid ad fi ja . T od o 1 0 e xte rn o a l s is te m a c on st itu ye e l en to r -n o, d e l qu e e l s is tem a e s ta s e p a ra d o p o r su f ron tera 0 co nto rn o. La s le ye s d e la m e ca nic ae s t ab le c en 1 0 qu e o c u rre c u a n d o h ay u n a in te ra c c io n en tre e l s is tem a y su e n to rn o .

P rim ero , e l s is tem a e s u n a c a n t id a d fi ja d e m asa , qu e d e s ign a rn o s c o n m . P a r e l lo ,la m asa d e l s is tem a se c o n s e rv a y n o c am b ia . "Esta le y d e la m e ca n ic a tie n e u n a exp re -s io n m a tem a tic a m u y s im p le , d en om in ad a con se rv a cion d e la m asa :

msist = c te dm = 0d t (3.1)E sto e s ta n o bv io e n lo s p ro blem as d e la m eca n ic a d e s6 l id o s qu e a m en u d o n o s o lv id a -m a s d e e llo . E n M ec a n ic a d e Flu id os d ebem o s p re s ta r m u ch a a te n cio n a la c o ns e rv ac i6nd e la m asa y a segu ram os qu e s e c um p le e n n u e s tro a n a lis is ,

S egu n d o , s i e l en tom o e je rc e u n a fu e rz a re su l ta n te F so bre e l s is tem a , la s e gu n d ale y d e N ew to n exp re s a qu e la m asa s e a ce le ra . '

dV dF = ma= m= -(mY) (3.2)d t d tE n la E cu a c io n (2.8) v im o s c om o se a p l ic a ba e s ta re la c io n a u n e lem en to d ife re n c ia l d eu n f lu id o v isc o so e in c om p re s ible . E n Mec an ic a d e Flu id o s , la s e gu n d a le y d e N ew to ns e d e n om in a le y d e c o n s e rv a c io n d e la c a n tid a d d e m ov im ie n to , a a l tem at iv am en te ,e c u a c i6n d e la c a n tid a d d e m ov im ie n to . N o te s e qu e se tra ta d e u n a le y v e c to r ia l qu eir np lic a tr es e cu ac io ne s e sc ala re s: F = rn a , F = m a y F = m a .r .t. Y .y t eT e rc e ro , s i e l e n tom o e je rc e u n m em en to re su lta n te M re sp e c to a l c e n tro d e m as a sd el s is tem a , h abra u n e fe c to d e ro ta c i6n :

M = dHd t (3.3)

IE sta m os su po nie nd o qu e n o h ay re a c cio ne s n uc le are s, d on de la m a sa se p ued e co nv ertir e n en ergfa .2 E stam o s su pon ie n d o qu e n o h ay e fe c to s re la tiv is ta s , e n c u yo ca so h abn a que m od if ic a r la le y d eNew t on .


4/90

3.1. L e y c s b a s ic n s d l u M c H i n d 1 - ' ! L 1 l 1 i I I)d o n d e H = L (r XV)O m e s e l m em en to c in e t ic o , 0 m om en to d e la c a n t id a d d e m o-v im ie n to , d e l s is tem a c o n re s p e c to a su c e n tro d e m asa s . Aqu t d e n om in a rem ola E cu a c i6 n (3.3) le y d e c o n s e rv a c i6 n d e l m om e n ta c in e t ic o , 0 a l t e r n a t i v amen t e ,e c ua c io n d el m o m en to c in et ic o. N 6te se qu e s e tr a ta ta m bie n d e u na e c ua c i6 n v ec to ria l---~-==-__ ~--- -1que - imp l i c a tres e cn ac io ne s e sc ala re s d e la fo rm a M. - dR/dt.P a r a u n a m asa y u n mornen to a rb i t r a r io s , H e s m uy c om p l i c- a ~d - o -y -c - o -n - ti '- e n -e - n -u - e v ete rm in os (v ea se , p or e je m p lo , la R efe re n cia 1). E n d in am i c a e le m en ta l s o lo s u ele c on -s id er a r s e la ro ta c io n c o m o s6 l id o r igid o a lre d e d or d e u n e je x f i jo , e n c u yo c a s o , 1aE cu ac io n (3.3) s e re d uc e a

dM x = t,d /w x)d o n d e ta e s la v elo cid ad a n gu la r d el c ue rp o e I e s s u m o m en to d e in erc ia m a s ic o c o n_ x xr e sp ec to a l e je x. D es gra cia da m en te .Io s s is te m as f iu id os n o so n r igid o s y ra ra m en te s ep u ed en a p l ic a r r ela cio n es ta n s im p le s , c o m o v erem o s e n la S e c c i6 n 3.5.

Cu a r to , s i s e c o m u n ic a u n c a lo r o Q a l s is te m a 0 e ste re al iz a u n tra ba jo o W s ob r es u e n to rn o , la e n ergia d el s is te m a d ebe c a m bia r e n u na c a nt id ad dE d e a c u e r d o c o n lae cu ac i6 n d e c on se rv ac i6 n d e la e ne rgia , 0 p rim e ra le y d e la te rm o d in am i ca :

(3.4)

8Q - o W = dE. - dEQ::-: .W:: ;_- dt

Igu al qu e la c on se rv ac io n d e la m a sa , E cu ac io n (3.1), e sta e s u na re la cio n e sc ala r qu es olo t ie ne u na c om p o ne nte .F in a lm e n te , la s egu nd a le y d e la te rm o d in am i c a re la cio na lo s c am b io s d e en t r op f a

d S c o n e l c alo r a fia did o oQ y la te m p era tu ra a bso lu ta T :d S ; : : : o Q (3 .6 )

T

o --- -- - - --- (3.5)

E sta r e la cio n tam b ie n e s v al id a p ara u n s is tem a y p ue d e exp re s a r s e p ara u n v olu m en d ec on tr o l, p ero n o t ie n e a p en as a p lic ac io ne s p ra ct ic a s e n M ec a nic a d e Flu id os , e xc ep top ara a n al iz a r lo s d eta l le s d e la s p erd id as p or f r ic c io n e n lo s f iu jo s (v ea se S ec c io n 9 .5).T od as e sta s le ye s in clu ye n p ro pie da d es te rm o d in am i c as y p or ta n to d ebe n s e r c o m -

p lem e nta da s c on la s e c ua c io ne s d e e s ta d o p = pep, T) y e = e (p, T) p ara e l f lu id o p ar -t ic u la r qu e s e e s tu dia , c o m o s e m u es tra e n la S e c c io n 1.8 . Au nqu e la T erm o din am ic an o e s la m a te r ia p r in c ip a l d e e s t e l ibro , s u im p o r ta n c ia e s e s e n c ia l p a ra e l e s tu d ioge n er a l d e la M ec an ic a d e Flu id os . E n p ar t ic ula r, la T erm o d in am i c a e s c ru cia l p ar a lo sf iu jo s c o m pre s ible s , C a p itu lo 9 . P or e l lo , e I le c to r d ebe r ia re p as a r la p rim e ra le y d el a T e rm o d i n am i c a y la s e c u ac io ne s d e e s ta d o, c o m o se tra ta e n la s R e fe r e n cia s 6 y 7.E l p ro po si to d e e ste c ap itu lo e s a p l ic ar n ue str a s c ua tro le ye s ba sic as a v oh im e n es d ec on tro l, a pro p ia do s p ar a e l a na lis is d e lo s f lu jo s a e sc ala m a c ro sc op ic a:

1. Co nse rv ac i6n d e la m a sa (S ec ci6 n 3.3).2 . Co nse rv ac i6n d e la c a n tid ad d e m o vim iem o (S e c c i6 n 3.4).3. Co nse rv ac i6 n d el m o m en to c in et ic o (S ec ci6 n 3.5).4 . E cu ac io n d e la e n ergia (S e c c i6 n 3.6 ).S iem p re qu e s e a n ec es a r io p ara c om p le ta r e l a na lis is , in tro du cire m os u na 0 m a s re la -c io ne s d e e s ta d o d el t ip o d e la e c u ac i6 n d e lo s ga s e s p e r fe c to s.

La s E cu ac io ne s (3.1) a (3.6 ) s e a pl ic a n ta nto a s is te m as s6 l id os c om o f lu id os . S onid ea le s p ara la m e ca nic a d e s o lid os , e n la qu e s egu im o s s ie m pre a l m i sm o s is tem a , qu ere pre se n ta e l o bje to qu e e sta m o s d is e fia nd c 0 c on stru ye nd o . P o r e je m p lo , s e gu im o s a


5/90

--- - - --._ _ ---_

I '

.

140 Cap itu lo 3. R ela cio ne s in te gra le s p ara u n v olu m e n d e c on tro l

F I u jo v o I um e tr ic oy f lu jo m a s ic o

r .. ,

Figura 3 .1 . F lu j o v o lum e t ri coa tr a ve s d e u na su pe rf ic ie :(a ) a r e a i n fi n it e sim a l dA sobrel a s u p er fi ci e; (b ) e l v o l umenba rr id o a tra ve s d e dA e s igu a la V d t dA co s 8.

E n to do s lo s a na lis is d e e ste c ap itu lo e s n ec esa rio e va lu ar e l f iu jo v olu m etr ic oo c au da lQ 0 e l f lu jo mas i co m qu e a tra vie sa u na s up erf ic ie (im a gin ar ia ) d ef in id a e n e l f l u jo .Su po nga m os qu e la super f ic ie S d e la Figu ra 3.la e s algun t ip o d e m a li a (im a gin a-

r ia ) a t r aves d e la cu a l e l f iu ido p asa s in re s is te n cia . ~em i l e s e l v o lum en de f l u idoqu e p a sa a t r a v e s d e S p o r u n id ad d e tiem po ? S i, c om o su ele o cu rr ir , V v a r ia c o n lap o s ic io n , n e c es it am o s integrar sob re S l a s 's u p e rf ic i es e l em e n t a l es dA d e la Figu ra 3. la .T a m b i e n s ue le o cu rr ir qu e V p a sa a t r a v e s d e dA fo rm a nd o u n a n g u l o ( J co n su n orm a l.S i lla m a m o s n a l v ec to r u nita rio n orm a l a dA , la c an tid ad d e f lu ido qu e a tr av ie s a dA ene l t i empo d t e s e l v olu m en d el p ara le le pip ed o re pre se nta do e n la Figu ra 3.Ib:

d" l f = V d td A co s 8 = (V' n) dA d t f ...

N o rm a l u n it ar ia nn

.y

.~ la v iga a m ed id a qu e s e d e fo rm a p o r a c c i6n d e u n a c a rga . Segu im os a u n p is to n en su. '" m ov im ien to o sc ila to rio . S egu im o s a u na so nd a e sp ac ia l c am in o d e M arte .

P ero lo s s is tem as f iu id os n o d e m a n d a n e sa a tenc ion c o n c e n t r a d a . E s m uy ra ro qu e-t--------:--------!1.o s in te re se_seg~a -traye c to r ia d e . un a p a r tfc u la f iu id a co n c re ta . E n lu ga r d e e s to , e s

m u y p ro ba ble qu e e i f lu id o se a e l e n to rn o d e n ue stro o bje to y qu e d es ee m os c o n o c e r ++la in te racc ion m u tu a. E n lo s tre s e je m plo s c ita do s a nte rio rm e nte , d ese ar ia m os cono-c er la s c arga s 0 fu erz as d el v ie nto so bre l a v iga , la p re s io n d el f lu id o so bre e l p i s tony la sus ten tac ion y re sis te n cia d e la s o nd a e sp ac ia l. E sto requ ie re qu e la s le ye s basicasse a n re e sc r ita s p ara p od er la s a p lic a r a u na reg ion especf f ica en la s p ro xim id ad e s d en ue stro o bje to . E n o tra s p ala bra s, 1 0 qu e le s o cu rre a la s p ar tic u la s f lu id as d el v ie n tole jo s d e la v iga e s d e m uy p o co in te re s p a ra e l p ro ye c tis ta d e la v iga . E s e l p u n ta d ev is ta d el u su ar io e l. qu e de t e rm ina la n e c e s id a d d e l analisis d e v o lum en d e co n tro l'" .. - _ . . . . . _ . _ .. ..,_. .. -.d e e ste c ap itu lo .Al a n a l i z a r u n v o lu men d e co n tro l, a c om od am os la s Ieye sd e u n s is tem a p a ra a p li-

c ar la s a u na re gio n espec i f ica qu e e l s is tem a p ued e o cu pa r e n u n in sta n te d ete rm in ad o,c on in de pe nd en cia d e qu e e l s is te m a p erm a ne zc a 0 n o en e sa regio n. La s leye s ba s ic a ss e re fo rrn ula n p ara se r a plic ad as a e sta re gio n p ar tic ula r, d en om in ad a v olu m en d e c on -t ro l. T o do 1 0 qu e se n e c e s ita sabe r e s e l c am po flu id o en e sa regio n y a m en u d o ba s-ta c o n a lgu na s im p lif ic a c io n, c o mo la d e f iu jo u nifo rrn e a la e n tra d a 0 a la sa lid a. La sc o nd ic io n es d e l f lujo le jo s d el v olu m en d e c on tro l so n e nto nc es ir re le va nte s. La t ecn ican ec es ar ia p ara h ac er e ste ana l i s i s lo ca l e s e l o bje to d el p re se nte c ap itu lo .

y

(a) (b )


6/90

Q = i (V " n) dA = i VndAr s

r e e m p l a b a r V . n por-su. . equTIla lentL~esja c o m p o n e n t e . d o rro gon _adA , pe ro e l u so d el p ro du c to e sca la r p e rm ite a so c ia r u n s ign o a Q qu e d is tin gu e e ntr elo s ftu jo s qu e en tran y sa le n. P or c on ve nc i6n , e n e ste libro se co nsid era p os itiv o e l v ec-to r u nita rio n n orm a l h a cia fu er a. De e s ta fo rm a, V . n re p re sen ta un fiu jo d e sa lid a s ie s p os itiv o y u n f lu jo d e en tra d a s i e s n ega tiv o. E sta c on ven ci6n se ra extrem adam en teu til cu and o se c a lc u le n lo s flu jo s v olu me tr ic o s y m as ic o s e n la s se cc io n es s igu ie n te s .

M ultip lic an do e l f iu jo v olu m etr ic o p or la d en sid ad o bte ne m os e l f lu jo 0 ga sto m a sic or h o S i la d en s id ad v ar ia sobre la sup erf ic ie , d ebe se r p ar te d e la in tegra l, 1 0 qu e c on du -

Supe r f i c i ed e c o nt ro l

" Figu ra 3.2. Vo him en es d e co ntro l i---L--l--i jo s, m 6 vile s y d ef or m able s: Supe r f i c i e(a) v olu men d e c on tro l f ijo p ara 1 d e c o n tr o l1e l an alis is d e fu erzas so bre u na 'I1tobera; (b ) v olu m en d e c on tro l - ..,V E J ' \m ov il co n e l ba rco p ara a na liz ar \. 1 ,1 I"s u resistencia; (c ) vo l umen I ..0-'1 11 .1 "e co ntro l d efo rm able d en tro d e I1 ' 1 IIu n c ilin dro p ara a na liz ar 1 1 . . L . . / I1 _ _ _ _ _ _ - - 't ra n si to ri os d e p re si on . (a) (b ) (c )

. . ~,.

.t' ..

3 .2 . I e o r e m a d e l t r a ns p o r ted e R e y n o ld s

3.2. Teo rem a d e l tra n sp o r te d e Reyno ld s 141

La in te gra l d e d'Vldt e s e l f iu jo v olu m etr ic o 0 c aud a l Q qu e a tra vie sa la s up erfic ie S :(3.7)

cea:m = I P (V' n) dA = iP Vn dA '

s sS i tan to la v elo cid ad co mo la d en sid ad son co ns tan te s sobre la su pe rf ic ie S , se obtien eu na e xp re sio n m u y s en cilla :A pr o xi m a ci 6n u n id im e n s io n a l: m = p Q = p A Y

--_._------ -P ara c on ve r tir e l an alis is d e u n sis tem a e n e l a na lis is d e u n v olu m en d e c on tro l, d ebem o su til iz ar n ue stra s m a te m atic as p ara p od er a plic ar la s le ye s ba sic as a re gio ne s e sp ec ff ic ase n lu ga r d e a m asas c o nc re ta s . E sta co nv e rs io n se co ns igu e m ed ian te e l llam ado teore-rn a d el tra nspor te d e Re yn old s y se p ue de a plic ar a to da s la s le ye s ba sica s. E xa min an doe s ta s leye s ba s ic a s , (3.1) a (3.3) y (3.5), v em os qu e to d as se re f ie ren a d e r iv a d as tem -p ora le s d e p ro pie da de s f lu id as m , V . ' H y E . P o r ta nto , 1 0 qu e n ec es ita m os e s re la cio na rla d eriv ad a tem po ra l d e u na p ro pied ad d el s is tem a co n la v a r iac io n d e d ich a p ro pie d add en tro d e u na re gio n c on cre ta .La fo rm ula d e con v e rs io n d ifie re lige ram en te segiin se tra te d e vo h im ene s f ijo s , .

mov i l e s 0 d efo rm ables . La Figu ra 3.2 ilu stra lo s tre s c a so s . E l v o lum en de con tro l f ijod e la Figu ra 3.2a en cie rra u na regi6n es ta c io na r ia , d e in te re s p a ra e l p roye c tis ta d e lato be ra . La su p e rf ic ie d e co n tro l e s un co n c ep to abs tra c to y n o obs tru ye d e n in gun afo rm a a l f lu jo . Co rta a l c h o rro qu e sa le d e la tobe ra , la ro d e a y co rta d e n u ev o p o r lo sto rn illo s d e su jec io n y po r e lf tu id o qu e c irc u la p or e l in te rio r d e aque lla .


7/90

Capi tu lo 3 . R ela cio ne s in te gra le s p ar a u n v olu m en d e c on tr ol

V o lu m en d e c o n t r o l f i j oa r b i t r a r i o

Figura 3.3. U n vo lu men d ec on tr ol f ijo c on u n a c on figu ra ci6 nd e ft uj o a rb it ra ri o.

Co ns id erem o s u n v olu m en d e c on tro l f i jo a tr a ve sa do p or u na c on figu ra ci6n d e f lu joa rbit r a r ia c o m o m u es tra la Figu ra 3.3. La iin ic a c om p lic a c i6n a d ic io na l e s qu e h ayz on as d e e ntra da y sa lid a v ar ia ble s a 1 0 la rgo d e la s up erf ic ie d e c on tro l.

E ste v o lu m e n d e c on tro l p ar tic ula r re sa lta lo s e sfu er zo s d e lo s to rn il lo s d e s uje cio n ,. ~ r ea c c io ne s qu e fo rm an p ar te d e la s fu erz a s a p lic a d as e n la e c u ac i6n d e ca n tid ad d em o vim ie n to . E n e s te s e n tid o, e l v olu m en d e c o ntro l r e eu erd a a l e o nc e p to d e cuerpo

= -------------i .ibr .e ,-qu e_:-s e -a p l ic a a . lo s s is tem as e n m ec a n ic a d e s6 l id o s .La F igu ra 3.2b m u es tra u n v olu m en d e c o ntro l m o vil . Aqu i e i in te re s s e c en m ie n

e l ba rc o , n o en e l o ce a n o, d e - fo rm a qu e e l v o lum en d e c o n tro l se m u e v e c o n e l ba rc oa la v elo cid ad d e e ste v . E l v olu m en d e c on tro l t ie ne v olu m en f ijo , p ero h ay qu e te ne re n c u en ta e l m o v im ien to re la tiv o e n tre e l a gu a y e l ba rc o . S i V e s c on sta nte , e stem o v im i e nto r el ati vo t en d ra u n a e on fi gu ra ci6 n e sta ci on ar ia , 1 0 e u al s im p l if i ca e l anal i-s is .' S 1 V e s v aria ble , e l m o v irn ie nto r ela tiv o s en t n o e sta eio na rio , d e fo rm a qu e h abr ad e pe nd e nc ia te m p o ra l e n l os r es ul ta d os , y e n la e c u ac i6n d e c a n tid ad d e m o vim ie n toa p ar ec er an c ie rto s t er m in o s qu e r ef l eja ra n e J c a ra ct er n o i ne rc ia l (a ce le ra d o) d e l s is te m a __ _ ._.d e r e fe r en c ia .La Figu ra 3.2c m u es tra u n v olu m en d e c on tro l d efo rm a ble . H a d e te ne rs e e n c ue nta

la v ar ia c i6n d el m o vim ien to re la tiv o e n e l c o nto rn o, y tam bie n d ebe ra en tra r en e la na lis is e i c am bio d e fo rm a d el v olu m en d e co ntro l. Co m en za re m os p or e s tu dia r e l c a-so d el v olu m en d e c o ntro l f i jo y c on sid era re m os m a s a de lan te lo s o tro s c om o tem a sa v a n z a d o s .

. .Sis tem a en e lins t an te t + d t B- ,Sis tem a en

e l i n s ta n t e t n, n o rm a l u n i ta r iaa d .A hac i a f ue ra

Vo l um end e c o nt ro lfijo V C

Supe r f i c i ed e c o nt ro l

'arbitraria f i jaSC/

d Y e n t = V e n t dA e n t c 0 S B c n td t=-y. n dA d t ~a J = l{al dAsa l co s Bsal d t= v , n dA d t

J U n tu ne l d e v ie nto c on un m aque ta fi ja s im ula e l fiu jo a lred edo r d e u n cu erp o en m ov im ien to e n e l sen od e un fiu id o . U n c a n a l h idrod inc imico 0 un tanqu e d e a rra s tre u sa un m ode le en m o-v im ie n to p a ra s im ula r lam i sm a s ir u ac i6 n .


8/90

-------

. ,3.2. T eo re m a d e l tr an sp o rte d e R eyn o ld s 143

E n ge ne ra l, c a da a re a d ife re nc ia l d A d e la su p e rf ic ie te n d ra u n a v e lo c id ad V qu efo rm a u n angulo 8 c o n la di recc ion lo ca l n orm a l a d A . A lgu na s d e la s a re as e le m en ta le st endran u n ftu jo d e e ntra da (V A co s8)emd t, y e n o tr as , e l f lu jo s ali en te valdra (V A co s8)Sa ld t, c om o se i lu stra e n la Figu ra 3 .3. P a rt e d e l as s up er fic ie s p o dr ia n c o rr es po n de r a l ineas:.1 '8 "if' -l~dn.o.....LlL.,.ln_' I . a l i eu e - c omen t e \6 = ;; ) 0 a p a re . .c~--=n"'-'oJn\-.-= VI SH1-ujo .enr ran te .o ,s n te


9/90

144 Cap itu lo 3. Relac iones in te gra le s p ara u n v olu m en d e c on tro l

La segu nd a a lte rn at iv a o fre c e la s v en ta ja s d e la e lega nc ia y la c om p a c i d a d , Si de f i -. p im o s n com o 'e l v e c to r u n ita r io n o rm a l h acia e l e xte rior e n cu a lqu ie r p u n to d e la. . . up er f ic ie d e c on tro l, e nto n ce s V . n = V n p ara e l f iu jo sa lie n te y V . n = - V : , pa r a

--------------t> -,l-!l l l j0 -@ tra n te .-}?o r-ta n t9 ,_)o s __ep n in o s d e l f lu jo s e p ue d e n re p re s e n ta r p o r med i od e in te gra le s s im p le s qu e i nc luyen a V . n ta nto p ar a f l u jo s s a li en t es p o s it iv Q s -c om oe n tr an te s n e ga ti ve s:

_._--- . . . ._- --.....

V o lu m e n d e c o n t r o l m o v i e n d o sea v e lo c id a d c o n st a n te

,.~

. .. \. , .V o lu m e n d e c o n t r o l d e f o rm ac o n s ta n te p a ra v e lo c id a dv a r i a b l e '

Te rm i no s d e f lu jo = 1 (3p(V n ) d AscLa fo rm a co m pa c ta d el te o rem a d e l tra n sp or te d e Reyn old s e s , p ue s ,

(3.11)

.(312) .. . _. . .E sta exp re s io n e s m uy e lega n te p e ro so lo e s i i t i l e n o c a s io n e s , c u a n d o e l s is tem a d e

co ord en ad as e sta a d ap ta d o id ea lm e nte a l v olu m en d e co ntro l e s c o gid o. P o r o tra p ar te ,lo s c a lc u lo s so n m as se n c il lo s c u a n d o sum am os lo s f lu jo s s a l ie n te s d e B y re sta -m o s lo s f iu jo s e n tra n te s , c o mo en (3.10) 0 (3.11).E l te rm in o d e d er iv ad a tem p ora l p ued e s e r e sc ri to e n s u fo rm a e qu iv ale n te :

! ! . . . . ( 1 ( 3 p d C V ') = 1 i{ 3 p ) d r yd t vc vc a t (3.13)p ara . u n v olu m en . d e c o ntro l .f i jo , ya qu e lo s e lem en to s d e v o lum en ~o v a r ia n c o n e lt i em p o .

S i e l v olu m en d e c o n tro l s e m u e v e co n v elo cid ad u nifo rm e V , c o m o en la Figu ra 3.2b ,su n o bs erv ad o r f i jo a l v o lu m e n d e c on tro l v era a l f l .u id o a tra ve sa r la s up er :f ic ie d e c on tro lc o n u na v elo cid ad re la t iv a V , d ef in id a p orr

V, = V - Vs (3.14)d on d e V e s la v elo cid ad d el f lu id o re s p e c to a l m ism o s is tem a d e re f e re n c ia p ara e l qu ela v elo cid ad d el v olum en d e co ntro l e s Vs' N 6te se qu e en la E cu a c io n (3.14) h a y u n ad ife re nc ia d e v ec to re s. Lo s te rm in os d e f lu jo se ra n p ro po rc io na le s a V r, p ero la in te gra ld e v o lu m e n " de la E cu ac io n (3.12) p erm an ec e igu a l p orqu e e l v o lu rn e n d e c o n tro l s em u ev e s in d efo rm a rse . E I te ore m a d el tra nsp or te d e R eyn old s e n e ste c aso d e m o v im ie ntou nifo rrn e d el v olu m en d e c on tro l qu ed a:

d d (Bsist) = ! : _ ( 1 f 3 p d ry ) + 1 ( 3 p ( V r n) d At d t vc sc (3.15)qu e se re d u c e a la E cu a c i6n (3.12) s i Vs = = O.

S i e l v olu m en d e co ntro l s e m u ev e c on u na v elo cid ad Vs(t) , p ero c on se rv an do su fo rm a ,lo s e lem en to s d e v o lum en n o c am bia ra n c o n e l t iem po , a u n qu e la v e lo c id a d re la t iv aVr = V(r , t) - V/,) qu ed a a lgo m a s c om p lic ad a . La E cu ac io n (3.15) s igu e s ie nd o v alid ap ara e s te c a so , a u nqu e e l c a lc u lo d e la in te gra l p ued e se r m uy la bo rio so .

4 E sta s ec ci6 n p ue de s er o m itid a s in p er did a d e c on tin uid ad .


10/90

V o lu m en d e c o n tr o l c o nd e fo rm a c i6 n Y m o v i m ie n toa r b i t r a r i o s5

3.2. Teo rem a d el tra n sp orte d e Reyn old s 145

La s itu ac io n m a s ge ne ra l. s e p re se nta c ua nd o e l v olu m en d e c on tro l s e m u ev e y d e f o rm aa rbitra ria m en te , c om o ilu stra la Figu ra 3.4. E l f lu jo d e v olu m en a tra ve s d e la su pe rfic ied e c o n tro l e s d e n u ev o p ro p o rc io n a l a la v e lo c id a d re la t iv a n o rm a l V r' n , c om o e n laE cu ac i6n (3.15). S in e m ba rgo , c om o la su pe rf ic ie d e c on tro l s e d efo rm a , c on v elo cid adV ---V (r , t) , la v e l o d d a d fe la t iva V - v\r, I) v i r , l) p u e c e se r u n a ru n c iO ns s sc om p lic ad a, a un qu e la in te gra l d el f lu jo se a la m ism a qu e e n la E cu ac i6 n (3.15), P o r o trap ar te , d ebe te n ers e e n cu en ta qu e lo s e lem en to s d e v olu m en d e la in tegra l d e v olu m en d ela E cu ac i6n (3.15) se d is to rs io na n c on e l t ie m po . P o r e llo , la d er iv ad a te m po ra l d ebe se rt om a d a de spue s d e la in tegra c io n. P ara u n v olu m en d e co ntro l d efo rm able , e l te o rem ad el tra n sp or te a d op ta la fo rm a :

d j) ' d (r f. ' d ' < '< 1 '\ \ . f ' . , V . J . i t..._t,.,)-= -. " J -p'IJ" 't '''+. -""1~"PI" ", n "":" 'I) -d . \1S t . d i' I" J t-' \ /' I t. ,tt \ YC , ,I .;" " s . c " . , ' (3.16)E ste e s e l c a so m as gen e ra l , qu e p o d em os com pa ra r c o n la fo rm a co r re sp on d ie n te p a rau n v o lum en d e co n tro l f i jo :

d d ( B s is t) = i ~ ( { 3 p ) d 'V + i {3p(V ' n) d A ( 3 . 1 7 )t v c a t s c_ _ La_.E cu a c i6n _(3.16)_ d e l v o l um e n d e co n tro l m 6v il y d efo rm able s610 co ntie n e d os

c o m plic a c io ne s: (1) la d er iv ad a tem p ora l d e la in tegra l tr ip le d ebe se r to m ad a fu era d el a i nt eg ra l, y (2) la s egu n da in te gra l in v olu cra v elo cid ad es re la t i vas V r e ntre e l f lu id oy la su pe rf ic ie d e c on tro l. E sta s d ife re nc ia s y la s s ut i le za s m a te m atic as s e e nte nd era nm e jo r c o n e jem p lo s . ., .. '. .

Figu ra 3.4. E fe c to s d e la sv e lo c id a de s r el at iv a s e nt ree l s is tem a y e l v olu mend e co ntro l c u an do am bo ss e m u ev en y e d efo rm a n.La fro nte ra d el s is tem a se m uev ec o n v elo cid ad V y l a s u p er fi ci ed e c on tr ol 1 0 h a ce co n v e lo cid ad V .s

VC e n e l in sta nte t + d t S is tem a e n e li n s t an t e t + d t

S i s t emayVCe n e l i ns ta n te t

Id f s a l = (V r n ) d A d td ' V e n t =-(Vr n ) dA d t

5 E sta s e cc i6n p ue d e s e r o m it id a s in p erd id a d e c on tin uid ad .


11/90

146 Cap i tu lo 3. Re la c io ne s in te gra le s p ar a u n v olu m en d e c on tr o lSe cc io n 2:

V 2 , A 2 , P 2 ' P 2 ' " u n i f o rme s SC -i.:,

P ara to da s ec cio n i:V I ap r o x imad amen t en o rm a l a i a r e a Ai

------------------,-/-_- ---_._------_-

Figu ra 3.5. V olu m end e c on tro l c o n e ntra d as y s a l i d a su n i d im en s i o n a l e s .

A p r o x im a c io n e s u n id i m e n s i o na le sa J t e rm i n o d e B u j o

__...II v c

II...,_II---------'E3.1

- -5

E n m u c h a s a p lic a c io n e s , e l f lu jo qu e a t ra v ie s a la su p e r f ic ie d e c o n tr o l e n c ie r ta s e n t ra -d a s y s alid as e s a pro xim a d am e n te un i d imen s i ona l ; e s to e s , la s p ro p ie d a d e s d e l f lu joso n c a s i u n ifo rm es a t r a ve s d e la s s e c c io n e s tra n sv e rs a le s d e e n t ra d a y sa lid a . P a ra u nv o lum en d e co n t ro l f i jo , la in tegr a l d e supe r f i c i e d e la E cu a c i6n (3.12) se re d u c e au n a sum a d e p ro d u c to s p o s i t iv o s (s a lid a ) y n ega tiv o s (e n tr a d a ) d e la s p ro p ie d a d e s d ec ad a s ec ci6 n:

E n o p in io n d e l a u to r , e s ta e s u n a fo rm a a tr a c t iv a d e l le v a r a c a bo u n ana l i s i s d e v olu m end e c on tro l s in u til iz ar la n o ta c i6n d e l p ro d u c to e s c a la r . U n e jem p lo d e f lu jo s u n id im e n -s i ona l e s s e p re s e n ta e n la F ig ur a 3 .5 . Hay f l u j o s d e e n t ra d a e n la s s e c c io n e s 1 y 4 y d es a lid a e n la s s e c c i o n e s 2, 3 y 5. E n e s te p ro blem a p a r tic u la r , la E c u a c i6n (3.18) s e r ia

~ (B sist) = : r ( L c f 3 dm ) + f 3 2 ( p A V h + f 3 3 ( pA V ) 3 + f 3 s ( p A V ) s- f 3 1 ( p A V h - f 3 4 ( p A V ) 4 (3.19)

s in c o n t r ibu c io n d e n in gu n a o t ra p a r te d e la su p e r f ic ie d e c o n tro l , d o n d e n o h ayf l u jo .

E JEMPLO 3.1' ",U n v o lum en d e c o n tro l f i jo tie n e tre s s e c c io n e s u n id im en s io n a le s e n e l c o n to rn o , c om o s em u e s tr a e n la .Figu r a E 3.1. E l f iu jo e s e s ta c io n a r io 'd e n tr o ~e l v o lum en d e c o n tr o l. La s p ro -p ie d a d e s d e l f iu jo e n c a d a s e c c io n e s ta n ta bu la d a s a c c n t in u a c io n . De te rm in e la v a r ia c i6ntem po ra l d e e n e rgfa d e l s is tem a qu e o c u p a e n e s te in s ta n te e l v o lum en d e c o n tr o l .

---------


12/90

12. T(!urcl l Iu ,Id (1IIIISpOI (t II I ynokl I f7

Secc i6n T lpo p . kg /m 'r En t ra da 8 0 0 5 .0 2 . 0 3 0 02 En t ra da 8 0 0 8 . 0 3 .0 1 0 0,. S a lid a - , " 8 0 0 - ' : . , 1 7 . 0

S o l u c i 6 n

D iag ram a de l sistem a: La Figu ra E 3.I" p r e s e n t a do s ftu jo s d e e n trad a, 1 y ' 2; y un o d e s a l i -d a ,3. ",' . C on si de ra ci on e s: Flu jo e s tac io na rio , v olu men d e c o ntro l f i jo y -f lu jo s d e e ntra da y s a U d i ".. " - u r i id f in en s io n a le s .- . " _.,_ ... . ,. ." , ._. _ .. - -_.. " '-"-'. -, -_., ._... . " "-.

P r oC 'e d im i ~m t o: Ap lic am o s la E cu ac i6 n (3.18), 'to m an d o ia eneigio: c o m o p ro p ie d ad , donde -B = E y f 3 7 ;= d E ld m '::'" . U s a m o s la a p r o x i m a c i o n d e flu jo u n i d i m e n s i o n a l - e in t rod~~iIDosl o s - v a l o r e s n u m e r i c o s d e 1a t a b l a , . . " ~

R eso lu ci on : La sa lid a. 3 tien e u na co ntr ibu cio n p osW v a y l as e nt ra d as ly , 2 ;: n eg at tv a . L a 'fo rm a ap ro p ia d a d e la E cu ac i6n (3..12) e s ", _ ' . , " , .( ~ ) . ~ ! _ fr;~ + ~;;;;'- ' 1 ' " I - , : ' , " , ' : ' ' : , : ; : ' ~~. t,51St ~ I-'~ ,U ) ,,' " .", '.~ ,.~~-'----""'------ --._--.. _ ' . _ - - _ . -' ., Co mo e l f iu jo e s e s tac io n ario , e}' t e r m i n o d e d eriv ad a tem po ra l "d ~ l a : i n te g r a l d e v 61u m ~n

e s n u lo . In tro du cie nd o (pA V ) i co mo e l gru po flu jo mas ico , o bten em os ;" I I . . . . . . 1 . : t.

( ~ E ) , = _:'eIPIA I V I - ' e 2 P 0 ; V 2 + e j ' p ; A ; V 3 ' - ; , :t 51St

..I I.

In tr od u ci en d o lo s va lo re s n u m e r i c o s 'd ~ l a t ab la ;. 'q u ed a :( ~ E ) : = "':(~OOf l kgX800 kglm 3)(2 m2)(5 ~s) -100(800)(3)(8') + 150 (800)(2 )( 17 )\ . '~ t SISt[I

= (~2 ,40 0,OOO -'1,9 20 ,0 00 '+ 4,0 80 ,0 00 ) 11s '= -240,000 l i s = -02A,MJ/s ,

Vem os qu e e l s is tem a es ta p erd ie n do en ergfa a u n ri tm o d e 0.24 M J /s : : :0.2~ MW . Co m o h e~'m o s t e n i d o en cu en ta to do s lo s t e r m i n o s d e e n e r g f a qu e a t ra v i es a n e l c o n t o m o , la p r i m e r a ley ,d e la te rin od in am ica n os in dica qu e-d ebe : h abe r p erd id a d e.ca lo r.a tra ve s d e la s p are de s d e las up e rf ic ie d e c o ntr ol, 0 qu e e l s is te m a e sta re al iz an d o tra ba jo p or m ed io d e a lglin d is po si tiv e. . . ~,,, ~qu e n o ap are ce en Ia figu ra . N ote se , que e l u s o ~ ~' u n i d ad e s. de i. Sl 'c o n d hc e a : u n re su lta do ",co ns is ten te en ju lio s p or segu nd o, s in n in gtin fac to r d e co nv ers io n, E n e l Cap itu lo Lya a d~e r..

, , ~ 1: ' ~,t i r n o s qu e a s f o cu rr ir ia . _",;: " '" _, -" C om e nta rio s: E~ te , p r o b~ em~ s e, r e fi er e a I I I e ne rgia , p ero su p on ga m os _:qu e qu ere m os h ac 7 r.t a m b i e n u n ba la nce d e m a sa . E n t o n c e s B = m a s a m y ' B = dmldm = 1. D e n u ev o , la in te gr al" d e . v o lum en se a n u la p o r se r u r i f lu jo . e sta c io n a ric .y la E cu ac i6n 0 .1h se red uce ' a ', '.. ,. . ' . ( ~ ) " " . ~L p(V 0 ) d A ~ -P l~ :V I .~ M ; V , < ' p,A,Vj. . .- . ... _.-,--=' : " ' ( g O O ' k g ; ; ; 3 ) ( 2 -~2)(5;i;)= - 800(3)(8) '+'-8'00(17)(2)

= (-8000 - 19 ',200 + 27,200),kg/s = 0 kgls "_ _ '' '' . 1 , .

La m asa d e l s is tem a n o c am bia ; 1 0 eu al exp re sa co rrec tam en te .la ley d e co nse rv ac io n d ela m asa , E c u ac io n (3.1).' " -;_


13/90

C ap itu lo 3. R ela cio n es in te gr ale s p ar a un v olu m en d e c on tro l

. -;.. i,.: E l globo d e la Figu ra E 3.2 se llen a a trav es d e la secc i6n 1, d e a rea A I' d on de la v elo cid ad esV y la d en sid ad d el f lu id o P I' La d en s id a d m ed ia d e l globo es P b ( t ) . Obt en ga u n a e xp r es i6 n---- -1', '!.---~:7_~!...--+t-1 -';_p'!"ar:!_a;:la:" 'Y:' :a::;r i=ac: ' : io='n-=t=-emporale -fa m asa-d e i s is tem a d en tro d e l globo . _._._ _

Den sidad /m e d i a : P b ( t ) /\ I


14/90

3.3. Co nse rv ac i6n d e la m a sa 1 49

~ . E s ta e s la fo rm a in te gra l d e 11co n se rv a c i6n d e la m as a p a ra u n v o lum en d e c o n tro l d efo rm a ble . Cu an do e l v olu m en d e c on tro l e s' f ijo , te ne m osI ~ d 'V + I . p(V' n) dA = 0 (3.21)S i e l v olum en d e co ntro l t ie n e s6 lo u n c ie r to m im e ro d e s a lid a s y e n tr ad a s u n id im e n -s io n ale s, p o de m o s e sc ribir :

(3.22)

T am bie n p ue d en d ar se o tro s c a se s e s p ec ia le s .. S up o ngam o s qu e e l f lu jo .e n e l in te r io rd el v olu m en d e c o nt ro l e s e s ta c io na r io ; e n to nc e s ~p / a t = = 0 , y l a E cu ac i6n (3.21) s er ed uce a

I . p(V' n ) d A = 0s c (3.23)E sta e xp re s i6n in dic a qu e e n f iu jo e s ta c io na r io lo s f lu jo s m a s ico s qu e e n tr a n y s a l e nd el v olu m en d e c on tro l d ebe n c om p en sa rs e id en tic am e nte ." S i , a de m as , la s e ntra da s y

- - s alid as .so n . u n id im e n sio na le s, e n f iu jo e sta cio na rio te nd re m o s:~(P iAY)en t = ~ (P iAY)saJi (3.24)

. .. . . . . ",.'E s ta a pro xim a c i6n s im p le s e u ti l iz a f re cu en te m en te e n a na li s is d e in ge nie ria . P or e je rn -

p lo , v olv ie n do a la Figu ra 3.5, s i e l f lu jo en e se v olu m en d e c o ntro l e s e s ta c io na r io , lo sf iu jo s m a s ic o s d e la s tr e s sa lid as e qu il ibra n a lo s d e la s d os e n tra d as :

F lu jo s a lie n te = F lu jo e n tr an te(3.25)

La c an tid a d pAVes e l f lujo 0 g a sto m asico m qu e p a s a a tra v e s d e u n a s e c c i6 n tra n s -v e r sa l u n i d im e n s io n a l y t ie n e u n id a de s d e k.i lo gr arn o p o r s egu n d o (0 s lu gs p o r s egu n d o)c u an d o s e u ti l iz a e l S I (0 e l s i s tem a in gle s ). La E cu ac i6n (3.25) s e p ued e e s c r ibira bre via da rn en te e n la fo rm a-.. .. . _ . . - .. . (3.26)y e n ge ne ra l, la r e la c i6 n (3.23) d e. c o nse rv ac i6n d e la m a sa p ara u n f iu jo e sta c io na r iose p ue d e e s c r ibi r c o m o

(3.27)S i la s e ntr a da s y la s sa lid as n o so n u nid im e n sio na le s, m d ebe se r o bte nid o m e dia nte

m = f p(V. n) dA (3.28)e n la s e cc i6n "S" c on sid era da . E I E je m plo 3.4 ilu str a e ste c as o .

6 A 10 l argo ' d e e sta s ec ci6 n c on sid er are m os qu e n o e xis te n fu en te s n i s um i de ro s d e m a sa e n e l v olu m end e c on tr ol. L as E c u ac io n es (3,20) y (3.21) s e p ue de n m o d if ic ar fa cilm e nte p ara te ne rlo s e n c ue nta , a un qu er a ra m e n te s e n e c es it a.

I

" I


15/90

IS O Capftulo 3. Re la cio ne s in te gra te s p ara u n v olu m en d e c on tro l

~llujo n c o m p r e s i b l e L a s e c u ac i o n e s p u e d en s im p li f i c ar s e a u n m a s e n e l c as o i n co m p r e s i b le , 1 0 q u e e q u iv a lea d es p r e c i a r l a s v a r i a c i o ne s d e d en s i d ad . e n l a e c u ac i 6 n . d e c o n s e r v a c i 6 n d e l a m a s a . '

: " C o m o v im o s e n e l C a p i t u l o 1 , t o d o s l o s l i q u i d o s s o n p r a c t i c a m e n t e i n c o m p r e s i b l e s ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ._ ..L .. : : : l o ~ s . . . : . f l ~ u ~ j o ~ s _ :d : : : : e ~ g ~ a s ~ e : : : : s ~ s ~ e _ .: c ~ o : . : . : .m J P o r t a nv e c e s c o m o s i 1 0 f u er a n , p ar t i c u l a r m e n t e s i l a

v e l o c i d a d d e l g a s e s m e n o r q u e a i r e d e d o r d e l 3 0 % d e la d e l s o n i d o . .C o n s i d er e m o s d e n u ev o e l v o l u m en d e c o n t r o l f i j o . S i e l f lu id o e s c a s i i n c o m p re s i b le ,

e l t e rm i n o a p l a t e s d es p r e c i a b l e , y l a i n t e g r a l d e v o l u m e n d e l a E cu ac i 6 n ( 3 .2 1 ) s e p u ed es u p o n e r n u l a . E n e s e c a s o , l a d e n s i d a d p u e d e s a l i r f u e r a d e l a i n t e g r a l d e s u p e r f i c i e yd e s a p ar e c e r , y a q u e e s d is t i n ta d e c e ro , 1 0 q u e c o n d u c e a l a s i g u i e n t e s im p li f i c ac i6 n :; ( J ' d u ) + 1 p (V 0 n) d A = 0 = 1 p (V 0 0) d A = p 1 (Y o 0) d Ao f (V , n)dA = 0 (3.29 )

s cS i l a e n tr a d a y l a s a l i d a s o n u n i d im e n s i o n a l e s,

( 3 . 3 0 )

od o n d e Q j = ~Ai e s e l f iu jo v ol um e t ri co 0 c au d a l q u e a t r a v ie s a l a s e c c i6 n .D e n u e v o , s i s e u ti l i z a n u n i d ad e s c o n s i s t e n te s , Q = V A t e n d r a u n i d ad es d e m e t r o sc u b i c o s p o r s e g u n d o ( S 1 ) 0 p i e s c i i b i c o s p o r s e g u n d o ( s i s t e m a i n g l e s ) . S i l a s e c c i o nt r a n sv e r s a l n o e s u n i d im e n s i o n a l , d eb em o s i n t e g ra r

Q = 1 (V 0 n ) d AL a E c u a c i 6 n ( 3 .3 1 ) n o s p e rm i t e d ef i n i r u n a v elo cid a d m e d ia V r n e d q u e , m u l t i p li c ad a p o re l a r e a d e I a s e c c i o n , n o s d a e l f i u j o v o l u m e t r i c o :

( 3 . 3 1 )

Q I f: = - = - (V, n ) c iAm ed A A ( 3 . 3 2 )E s t a v e l o c i d ad s e p u ed e d en o m i n a r v e l o c i d a d m e d ia v o l u m e t r i c a . S i J a d e n s i d a d v a ri as o b r e L a s e c c i o n , p o d e m o s d e f i n i r u n a d e n s i d a d m e d i a d e l a m is m a f o rm a :

Pm e d = ~ f c iA ( 3 . 3 3 )P e r o e l f t u j o m a s i c o c o n t i e n e e l p r o d u c t o d e l a ~ e n s i d a d p o r l a v e l o c i d a d , y l a m e d i ad e l p r o d u c t o ( P V ) m e d t e n d ra e n g e n e r a l u n v a l o r d if e r e n t e d e l p r o d u c t o d e l a s m e d ia s :

1 f 'PV)med = A p(V' n ) c iA ::: : :Pm e d V m ed ( 3 . 3 4 )7 A d v i e rt a se q u e e st a d e fi n ic io n d e i n c o m p r e si b il i d a d e s s ub je ti v a . L o s o c ea n o g ra fo s c o n s i d e ra n s ig n if i-c a t i v a u n a v a r i a c i 6 n d e d e n si d a d d e u n 0 .1 % , r n ie n t r a s l o s a er o d in am i c o s d e s p re c i a n a v e c es v a r i a c i o n e s d e

d e n s i d a d e n f l u jo s d e g a s a lt a m en te c om p re si b le s. i n c l u s o h ip e r s 6 n ic o s . E s l a b o r d e c ad a a n a li s ta j u s t i f ic arl a a p ro x im a c i o n de i n c o m p re si b le c u a nd o s e h a c e .


16/90

, . , - - ,. - V i '"

E3.3

r= Rr

u = 0 ( si n d e s li z am i e n t o)E3.4

'011, 'I V I '1 1 1 \ I I II 11'1 I I ~ Illu s tra rem os e s to en e l E jem plo 3.4. A m en udo p d em o d e p rec ia r e s tn s d lf W I! .j I , 0 ,s i f ue ra n e ce sa ri o, u ti li za rn o s u n fa c to r d e c o rre cc i6n en tre m ed ia s m s ic a s y m 'd iu ' v o -l ume t r i cas .

E JE M P L O 3 .3, ,E sc riba la e cu ac i6n d e co nse rv ac i6n d e la m asa p ara e l f lu jo e sta c io na rio p or e l in te r io r d e u n-

tu ba d e c or rie nte (f l.u jo p ar ale lo a Ii i.p ar ed es e n to d o p u n t o ) c on u n a-e ntr ad a-u n id im e ns io n alV 2 en I . ,Y sa lid a u nid im e nsio na l e n 2 (Fi g. E3 .3) ,

S o J u c i 6 n'" .,. ".:., .~

Pa ra e l f lu jo e sta cio ~a rio a plic am o s la E cu ac i6 n (3.24) 'con una - sa l ida y . u n a e ntr ad a:m =, p ,AIf ; '= P ~2 V 2 = c te '

., "'" '"Asi, en e l f iu jo e s ta c ion ario en un tuba de c o r r i e n t e e l gasto m as ico e s con stan te a trav es d ecu alqu ie r se cc i6n d e d ich o n ibo . S i 1a d en sid ad e s co nstan ce" ten em o s en to nce s:~ ., ~., ' A "v : - - V '~ "2 - A . l.2'o

, : t '"Enel ' f l 'u j o~es t a 'c i ona i i 6-e ' ir i c ompre s ib l e , en .un tubo d e.c or rie nte , e l f lu jo v o lu m etr ic o e s:~ ~n s-tan te a trav es d e cu alqu ie r se cc io n. d e . d ich o tube Y la v elo cid ad : aum en ta cu an do d ism inu ye ,la se cc i6n . E sta re la c i6n fu e o bten id ap or Leo na rd o d a Vinc i en 1500 . .

E J E M P L O 3 : 4 , , ' , , 'E n e l f lu jo e sta cio na rio v isc ose p or u n tu ba c irc ula r (Fig, E 3.4);' e l p erf il d e ~e Io cid ad ' lo ngk;,tu d in a l v ien e dad o ap ro xim adam en te po r .. '" :

'( )' If!~ r I o , 1 - I:I " R "

, ,,' ' 'f ,,. , 'd e fo rm a que u v a ria d e ce ro en la p a red (r = R ), co nd ic i6n d e n o d es1iz am ien to , h astau n m a xim o ; u : = , U ~ ,en e1 e je d eh tubo t ( r = ' 0). Cuan do ' e l , #u jo e s muy v is co se ~Ja m in ar), ~'m ' " r , r n ie n tr a s!q u e s ie s i m i y p o co v is co so (turbulento), ml';' . ! . Calc u le l a v e lo c id a d.m e d ia2 1 J' 7 , 'I Is i la d en sid ad e s co nstan te .S o l u c i 6 nr . : ~. ve lc cid a d. m e d ia . e st a d e fin id a e n , 1 ~, Ec u ac i6 n (3;32 ) . .E n .e st e c as o , ~V = ' i u y n ~ i ; 'y' po r .t an t o , V - . n = ' u: C om o ' e l flujo e s s im e tr ic o, e 1 d i fe re nc ia l d e a re a' c or re sp o nd e; a "u n a' c or on a-

, c ircu la r d A = 2 nr d r. La E cuac i6n (3.32) qu eda : '

o , Z 'V -u 'm ed - 0 (1 + m)(2 + m ) Resp.


17/90

_152 Cap itu lo 3. Re la c io n e s in tegra le s p a ra u n vo lum en d e co ntro l

.1 ' ' -En'la aproximac ion d e f lu jo l am i n ar , m '" },'.y ime d", 0.53 U o7(La t eor fa lam in ar exac ta d el.Cap itu lo 6 d a V me d = 0.50 U o ') E n f i u j o t u rbu l e n t o , m '" i y V m ed '" 0.82 U o ' (No h ay t e e r f a- : : - e::x:.:::a~ct~aKpar=a~la~tu:' :r~b~ul~e~nc~ia:>. , . . . :::deo d o qu e a c e p tam os e s ta ap roxim ac i6n .) E l p erf il d e v elo c id ad

en regim en tu rbu len ro es m as un ifbrm ea tra v es d e la s e c c i6n . y po r e lla la v e lo c id ad m ed iaqu ed a s610 lige ram en te p o r d e ba jo d e l m ax~m o._ _A r e a d el t a n q u e A t

..

IP c . III

S C f ijaE3 .5 Ap ar ta d o (a )

A pa rta do (b)

E JE M P L O 3 .5E l d ep 6s ito d e la Figu ra E 3.5 se es ta l l e nando CO R agu a a t r a v e s d e d os e ntra da s bid im e n-s io n a le s . E n la p a r te . su p e r io r d e l d ep6sito v a qu ed and o a ire a tr a p ad o . La a ltu ra d e l agu a

.. e s h . (a) Obte iiga u n a exp re s io n ' p a ra la v a r ia c io n tem po ra l d e la a ltu n r -d e l"agu a dhldt , 'T---(b ) Calcule dhldt s i RI ~ 1 in , D 2 = 3 , i n , ,v l = ~ f t/s, V 2 = 2 f t ls y A ; = 2 f t 2 ; s upon i e ndo qu ee l agu a e s ta a 20C.S o l u c i 6 nE I v o lum en d e con tro l qu e se su gie re en c ie rr a el depos i t o y co rta la s d o s en tr a d a s . E l f iu jo ;e n su in te r io r e s n o e s ta c io na r io y te n em os qu e ap lic a r la E cu a c i6n (3.22) co n do s en tra d a sy n in gu na sa lid a:

! ! _ ( . J P d 'V ). _ ' p I A l V I . . 'P 2A 2 V 2 = 0d t vc "Aho ra bien , s i A t e s e l a re a tra n sv ers a l d el d ep o s ito , 'e l te rm in o U0 e s t a c i ona r i o S ~ - 'P 4 ;d ~.c a le u la r d e la s igu ie n te fo rm a:

_ .(2 )' .

E l te rm in o con P d e sap a re c e p o rqu e rep re sen ta e l c am bio d e m asa d e a ir e y es ' c e ro , ya q u e ._e l a ir e qu ed a a tra p ad o. Su stitu yen do (2) en (1), h allam os :d h P I A l V I + P 2 A 2 V 2-= P w A , 'fl. R e s p . \ a Jd t

, -P a ra e l agu a , P i = - P 2'= P w ' y e l rc su lta d o an te r io r s e -re d u c e ad t _ : A :.._'._ t._ I;"

Q I = A ] V j = hr(~ f t i ( 3 ftls) = 0.016 f~/sQ 2 = A 2 V 2 = ~ 7 T ( ~ ft/(2 f t / s ) = 0.098 t r 3 / s -

P o r ta n to , d e la E cu a e i6n (3),

d h (0.016 + 0.098) f ~ / s 0 f- = = .057 tisd t , 2f2 R e s p . ( b )Suge renc ia: Rep ita e l p ro blem a co n e l d ep6sito abie r to p o r a r r iba .


18/90

3.4 . Co ns e rv ac i6 n d e la c a n tid a d d e m o v im ie n to 153

..

E l ba la n c e d e m asa c o n u n v o lum en d e c o n tro l d e fo rm able h a s id o m os tra d o e n e lE je m plo 3.2.La s e c ua c io ne s d e c o nse rv ac i6n d e la m a sa , E cu ac io ne s (3.20) 0 (3.21), so n fu nd a-

m e n ta le s e n to do s lo s a n alis is d e f lu jo s y s610 a fe c ta n a la v elo c id a d y a la d e n s id a d .~. _ . ..ba s d ire cc io ne s d e lo s v ec to re s n o in flu ye n m a s qu e p ara d ete rm in ar la v elo cid ad n orm a le n la s up er f ic ie d e c on tro l y s abe r s i e l f lu jo e s sa l i e n t e 0 en t ran t e . -Aunque u n a n al is is

d ete rm i na do p ue da re fe ri rs e a fu erz as , m o m e nto s 0 e ne rgia , s ie m pre s e d ebe c om p ro ba r,c om o p ar te d e e s te a n a l is is , e l ba la n c e d e m a sa s ; s i n o s e c um p lie s e , lo s re su lta d o s n os en an re alis ta s y p ro ba ble m e nte e sta rfa n e qu iv o ca do s. E n lo s e je m p lo s s igu ie nte s v er e-m o s c6m o la c o n se rv a c i6n d e la m a sa s e c o m pru e ba c o n sta n tem e n te m ie n tra s s e e s ta na na liz an d o o tr as p ro p ie da de s f lu id as .

3 .4 . C o n s e r v a cie ud e la c a n tid a d d e m o v im i e n to

. E n la s egu nd a le y d e N ew to n; E cu ac io n (3.2), la p ro pie d ad qu e se ' d e r iv aba e ra la c a n ti-d ad d e m o vim ie nto m Y . P or ta n to , la v ar ia ble m u d a e s B = m V y { 3 = dB l dm = V, Y l aa plic ac i6 n d el te ore m a d el t ra ns po rte d e R eyn old s p ro po rc io na la e cu ac i6n d e c an tid add e m o vim ie n to p ara u n v olu m en d e c o ntro l d efo rm a ble :

d ( ~ )-d (mV) .h t . =. I.F =:; - I V P e f t ! . + ) 1 Vp(V , ' n) dAd t dt ''Ie . . s c '. ' 1,', .'" (3.35)Debem os h a c e r e sp e c ia l e n fa s is e n lo s s igu ie n te s p u n to s qu e c o n c ie rn e n a e s ta re -l a c i 6n :

1. E l te rm in o V e s la v e lo c id a d d e l f tu id o re sp e c to a u n s is tem a d e c o o rd e n a d a s

i nerc ia l (s in a c e le ra c i6n ). E n o tro c a so , la ley d e N ew to n d ebe se r m o dif ic a da p arain c1u ir lo s te rm i no s d e a ce le ra cio n n o in erc ia le s (v ea se e l f in al d e e sta s ec ci6 n).

2. E l te rm in o L F e s e l v e c t o r . sum a d e to d a s la s fu e rz a s qu e a c n ia n so bre e l v o lu -m en d e c o n tro l m a te r ia l c o n s id e ra d o c om o c u e rp o libre ; e s to e s , in c lu ye to d a s. la s fu erz a s d e su pe r f ic ie e je rc id as p o r to do s lo s f lu id o s Y s6 lid o s c o rta d o s p or las up erf ic ie d e c on tro l m a s to d as la s f ue rz as d e v o lu m e n (gra vi ta to ria s y e le ctr om a g-n e t ic a s) qu e a c n ia n so bre la s m a sa s c o n te n id as e n e l v o lu m en d e c o ntro l.

3. La e c u a c i6n c om p le ta e s u n a re la c i6n v e c to r ia l. Am ba s in tegra le s so n v e c to re sd ebid o a l te rm i no V d e lo s in te gra nd o s . La e cu ac i6n t ie ne , p ue s, t r e s c om p o ne nte s.S i s610 qu erem o s u n a d e e lla s , p or e jem p lo la x, la e c u a c i6n se re d u c e a

, , /,J I

(3.36)

y d e fo rm a a na lo ga , IF y L F 56 10 te n d rf an v y W ; r es pe ctiv am e n te . E l fa llo d e n o te ne re n c ue nta e l c ara cte r v e~to ria l (d e la e cu ac i6 n d e c an tid ad d e m o v im ie nto (3.35) e s p ro -bablem en te la fu en te d e e rro re s m a s c om u n en e l a n alis is d e v ol tim en e s d e c o n tro l .P ara u n v olu m en d e c o ntro l f i jo , la v elo cid ad re la t iv a Vr = = V, y la E cu ac i6n (3.35)

tom a la fo rm a

(3.37)

De n uev o re c a lc am o s qu e e s ta e s u n a re la c io n v ec to ria l y qu e V d ebe e s ta r re fe r id aa u n s is te m a in erc ia l. La m a yo r p ar te d e lo s a n alis is d e c a n tid ad d e m o vim ie n to d e e s telibro s e re f ie re n a la E cu ac i6n (3.37).


19/90

15 4 Capitulo 3 . Relaciones i n t e g r a l e s para un volumen de control~ 'I uj o u n id im e n s io n a l d e c a n ti da dd e m o v im i e nto

Por analogia con el termino de fiujo mdsico de la Ecuaci6n (3.28), la integral de super-f icie de la Ecuaci6n (3.37) se denomina flujo de cantidad de movimiento, Si M es la__ --t. ..._." cantidad de movimiento, entonces

---------------- ------M-=-r- Vp(V'n)dAJsec

R es ulta nte d e la s fu erz as d ep re sio n s obr e u n a s up er fic ied e c o ntr ol c er ra d a

Figura ~,6.Calculo d las fuerzasde presi6n sustrayendouna presi6nuniforme: (a) presi6n uniforme,F = =p.; J n dA = = 0;(b) presi6n no uniforme,F = - J (p - P a )n d A .

(3.38)Debido al producto escalar, el resultado sera negativo en las entradas de cantidad demovimiento y positive en las salidas. Si la secci6n se comporta como unidimensional,V y p son uniformes y el resultado de la integraci6n es

(3.39)en las salidas y - m iVi en las entradas. Asi, si el volumen de control tiene iinicamenteentradas y s a l i d a s unidimensionales, Ia E c u a c i o n (3.37) se reduce a ..

(3.40)

Esta es una aproximaei6n m u y usada en i n g e n i e r f a . Es crucial constatar que estamostratando can sumas de v e cto re s. L a Ecuaci6n (3 .40) indica que e l vector fuerza r e s u l -tante sobre un volumen de control fijo es igual a la variaci6n temporal de la cantidad demovimiento que hay dentro del volumen mas el vector suma de los flujos de cantidadde movimiento en la salidas menos el vector suma en las entradas.

En t e r m i n o s generales, se puede decir que las fuerzas de superficie sabre un volumende control se deben a (1) fuerzas que aparecen en el corte de cuerpos s6lidos que pe-netran a traves de la superficie de control, y (2) fuerzas debidas a presi6n y viscosidaden el fluido del contorno. El calculo de las fuerzas de presi6n es relativamente sencillo,como muestra la Figura 3.6. Recuerdese del Capitulo 2 que la fuerza de presion sabre

n

P m an = 0

(a) (b)


20/90

u na s u pe rf ic ie e s p erp en d ic ula r a e sta y d i r ig id a h ac ia e lla . C om o e sta m o s d ef in ie nd oe l v ec to r n orm a l u n ita r io n h a cia e l e xte rior , e s c r i b i r emo s

Fpres = J p ( -n) dA~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~~ (3.41)S i la p r e s io n t ie n e u n v a lo r u n if o r r n e P, s o br e to d a la s u p e r f ic ie , c o m o e n la F igu -r a 3 .6a , l a r e su lta n te e s n u la :

Fp u = fp a ( -n ) d A = -P a f n d A = = 0 (3.42)d on de e l s u bfn dic e P U in dic a p re s i6 n u ni f o rm e . E ste r e s u lta d o e s in depe n die n te d e Laform a d e. la su pe r fic ie s s iem p re qu e e s ta s e a c e r r a d a, y to do s n ue s t ro s v oh im e ne s d ec o n t r o l 1 0 so n . P or e l lo , u n p ro b lem a a p a r e n tem e n te c o m p l ic a d o e n c u a n to a fu e r z a sd e p re s io n, s e p ue d e s im p li f ic a r r e s ta n do u na p re s i6 n u ni f o rm e a d e c u ad a P, y t r ab a -ja n do d es p ue s c o n la p re s io n m a n om e tr ic a r e s u lta n te , c o m o in dic a la F igu ra 3 .6b . As f ,la E cu ac i6 n (3 .41) e s e qu iv ale nte a :

Fpres = i (p - p )( -n )d A = i Pman( -n)dAsc scE ste t r u co p ue d e a h or r a r t ie m p o d e c a lc u lo .

. , . .. . . " . , ,. - -.. ",U n v olu m en d e c on tr o ld e u na to be ra , t ie ne p re sio ne s a bso lu ta s d e' '40 Ibf /in 2 e n l ~ ' se c ci on ..1 . Y ' d e ' IS lbf /in " e n Ia s e c c io n 2 Y .. e n .l .~ p a re d ~s ,'la te ra le se xte rio re s, c o m o in d ic a ia F ig u-hE3.6a . C alc u l e la . re su lta n te d e ' la s f ue rz as de -p re s i on s i D \ : : ;;3 in .y Di;" l' ill. - . , .

"1J '

:' ,. D ia gr am a ~ d e l s i s t ema: H I v o lu ~e n d e c o nt ro l e s t~ f~ rm a d o p o~ e l con tomo 'd e la to be ra" m a s l a s s ec cio n e s (1) y (2). Au n q u e aquf s e d es pre ci a n, ta m bie n d ebe rf a I ia be r es fue tzossO ,~ r e la p a r e d d ~ la 'to be r a e n la s e c c io n 1. La s p r e s io n e s qu e a c n ia n e n e l v o lum en d ec on tr o l s e p re se nta n e n la Figu ra E3.6a . L a F ig ur a E3.6b ' m u es tr a - la s p re sio ne s d es pu es ,d e qu e s e h aya n r e sta do la s ,15 ' lb f /in " d e.la p re sio n a tm o sf e r ic a e nto da s la s s u pe rf is ie s.E n es te c a s o so lo ca l c u lam o s la fu e r z a n e ta . ' '

I, tiI~I

. ~ - -

'0 I bf /i fi 2 m a n

' C DE3.6 (a)

81,P ue de d em o str a rlo ? E s u na c on se cu en cia d el te ore m a d e G au ss d el a na lis is v ec to ria l.


21/90

._-----156 Cap i tu lo 3 . R ela cio ne s in te gra le s p ar a u n vo l um e n d e c o nt ro l

C on si de ra ci on e s: Co n o c em os la p r e s i6n , qu e s e m ue s tra e n la f igu r a , s o bre to d a s la s su p e r- f ic ie s d e l v o lum en d e c o n tro l . ,. '

, P roced im ien to: Com o h a y tre s s u p e r f ic ie s e n la s qu e p = 15 lb f/i n ', h ay qu e r e s ta r e s tac a n t id a d e n to d a s p a r te s p a ra qu e e n dichas s u pe rf ic ie s l a " p re si on m a n om e tr ic a" s e r ed u zc a-------------a -c e -r-o .E s to p u e o e n a c e rs e gra c iaS -a 1 ii 'E c u a c io n (3 :42).

R es ol uc io n : Con la d is t r ibu c i6n d e pre s iones m o d if ic ad a , F ig ur a E3.6b , s6 lo s e n ec es i ta nlo s d a to s d e la s e c c i6n '1 p a r a o bte n e r la re s u lta n te d e la s . fu erz as d e pre s ion:

. ..~

C o n d ic io n d e p r e s i o n a J a s a li d ad e u n c h o r r o

Figu r a 3.7. F u er za r es u lt an t es o bre u n tu ba d e c o rr ie n teu nid im e ns io na l c on f iujoe s t a c ion a r io : (a ) tu be d e c or r ie ntec o n f l. uj o e s ta c io n a ri o ;(b ) d ia gra rn a v ec to ria l p arae l c alc ulo d e la re su lta nte .

. .-. .1

,/".r.. :!.

.,Resp .

C om e nta rios: E ste a r ti f ic io d e "s u s t ra c c io n u nifo rm e ", qu e e s to ta lm en te le ga l, s im p l i f ic anotablemente e l c al~~!< ?d e la s fu ~~a sd e p re si6n . Nota : Hem os o p e ra d o d e forma i n f o rma l 'a l m u lt ip l ic a r Ia p re s i6n e n IibraS -fu e rz a p o r - p u l g ~ a a . c ? a d r a d a - i ; a T e l ~ea ' enpu Igadas- -c ua dra da s . Au nqu e s e o btie n e e l re s u l ta d o c o rre c to e n l ibra s -fu erz a, h ubie ra s id e m a s . fo r -m a l h abe r t ra n sfo rrn ad o to do s lo s d ato s a u nid a d es in gle s a s . No ta a d ic io n al : A d e m a s dela re s u l ta n te d e Ja s fu e rz a s d e pre s ion F r e s ' e n e s te f iu jo aparecen o tra s fu e rz a s , c om o la sP ' . ., ... 'd e bid a s a lo s e s f u e r z o s d e te n s i6n e n la p a r e d d e la to be ra : 0 al' p e s o d e l f iu id o e n e l i n t e r i o rd e l v o l u m e n d e c o n t r o l .

La Figu ra E 3.6 ilu stra u na co nd ic i6n d e co nto m o co rm in m en te u ti l iz a da p ara lo s p ro -blem as d e sa lid a d e ch o r ro s . Cu an d o u n f lu id o aban d o n a e l c o n d u c to qu e 10 co n f in ay s a le a la "a tm o sfe ra " am bie nte , su s u pe rf ic ie libre qu ed a exp ue s ta a e sta a tm 6sfe ra .P or ta n to , e l p ro pio c h orro e s ta ra tam bie n a la p re s io n a tm o s fe r ic a . E sta c o n dic io n s eu s6 tam bien en la se c c i6n 2 d e la Figu ra E 3.6 .

S610 d os e fe c to s p ued en m a nten er u na d ife re nc ia d e p re si6n en tre la a tm 6sfe ra y e lc ho rro libre . E l p rim e ro e s la te ns i6n su pe rf ic ia l, E cu ac i6n (1.31), qu e n orm a lm e nte e sd esp re c ia ble . E l se gu nd o e fe c to s e p re sen ta en ch oIT OSs up e rs o n i co s , qu e p u ed en e s-ta r separados d e la a tm 6sfe ra p o r o n da s d e exp a n s i6n y c om p re s i6n (Cap itu lo 9) .. Sinem ba rgo , p a ra la m ayo rfa d e la s e xp lic a c io ne s , p on d rem o s c om o c o n dic i6n d e sa lid al a a tm o s f e ri ca .

E J E M P L Q . 3 JUn yo 14!D .e n .d e c on tro l d e u n tu ba d e cor r ien te . en ~u jo es tac iona r io t i en e u na en t r ad~; un i- .f o r m e (P J .' A I' V I) Y u n a . s a l ida -uni forme ( p 2 ' A 2 , V 2 ), t o m o m u e st ra l a' F ig ur a 3 . T . Calcule la .f u e rz a r e si il ta n t e, sabr e e l v olu m en d e c o n tro ls '.V n=O'

Vol ur n en d e ,con t ro l f i jo

(a ) (b )


22/90

,

3 . 4 . Co nserv ac i6n d e la c an tid ad d e m o vim ie nto 1 5 7

S . o l u d o nApl ic an d o l a E c ua ci 6n ( 3 . 4 0 ) c on u na e ntra da y u n a s ali da :

_ ~ _ . ~ ~ _ _ " _ - _ . _ "- _ . _ - - _ ~ _ . _ . . . . . 2 : F ~ = _ ~ . . . : : . . - V . : _ . 2 _ : : ,, _ m . . :. . IV - - -, Ic - = _ . . :: .. . (p . : _ .2 A . . :: .. 2 _ : : . 2 ) o . . . . V _ , , _ 2 _ - _ ; ( p : : . . . . ! : _ A . ! . _ 1 V . ! ; J ) _ V . . ! . . . . . 1_ ~_c.......... __

Ap a r ta d o (a ) . E I - v o lum e n . de .c o n tr o l e s co gi qo e ii -l a .. fi gu ra -3. 8 ~c o rt a.a ' t ra v es . d e . l a e n tr ad a !'Y I la sa lid sd e ] .chor re y . a tra v e s d e l so po rte d e l a labe , d on ce se m ues tra la fu e rza F: Com o n o hay co rte a :.t ra v e s d e .l a. in te rf as e , a la be -c h o rr o .Ja fr ic c io n .e n tr e amb os .e s u n a -f ii er za .i nt er n aqu e s e c a nc e la ,en e l ba l~~'~e fu e rz as . La ,futI:lJl ge p re sio n e sn ula e n a tm o sfe ra u nifo rm e . De sp re cia m ose l p es o' d el a ia be y d el f lu id o c on t e n i do - e n e l vo lum en d e co ntro l. E n-es te c a so , fa E 'c u a c i6n '

I " , I f:.. . " 1 " . \ ', E 3 .4 0 ) , - s e r e d u c e - a . ' . " ' , ' . . ' ,- ' . \ \~-. , ,.... ' "t, "1t

\\.\ -----\- . ._ '-

. . . "

Fi gu ra 3.8. Fu er za r es ul ta n tes abr e u n a la be d e fl ec to r:

, (a ) ge om e tr fa d el a la be y d e lc ho rro d e a gu a d ef le cta do ;(b ) d ia gr am a v e ct or ia ld e l a r es ul ta n te .

E I t e rm ino d e la in tegra l d e v olum en ha d esap a re c id o p or se r e l fiu jo e s tac io n ario ; p or o trap a rte , d e la ecu a c io n d e co n se rv a c i6n de la m asa d e l E jem plo 3.3, v em os que

m } = m 2 = m = c te ~P or ta nto , ~ l r e s u l t a d o tom a la fo rm a s im p le :

'2 : F = m ( V 2 - V I ) R esp .. N . _ _ , ' . , _ , ' . __

S e tra ta d e u na re la ci6n v e c tor i a l , e squ e m ati za da e n la Figura 17b . E l te im in oE F rep re se ntaf a f ue rz a r es ul!~~e qu e ,a ct4a s obr e e l v o lu m e n d e c o nt ro l c om o c o ri se cl ie I.1C i~,.d ~o d as la sc au sas ; e s n ec esa ria p ara c or rip en sa r lo s c am bio s 'e n la c an tid ad d e m o vim ie nto - p or e l giro yla dece le rac ion de l flu jo a med i d a qu e c i r cu la - p o r e l v olu m en d e c on tro l.

, . u

- E JE M P L O 3 .8U n a la be f i jp de f lec ta u n c ho r r o d e agua d e a rea A unangu lo e s in c am b ia r l it m a gn itu d de .su v elo cid ad , c om o se ~u es tra \e n la Figu fa ' 3 ,8a. 'B I f lu jo e s es tac iona r io j . l a . pre s ion es [ 1 0 . en .to d as p ar te s Y ' la f r icc i6n so bre e l a la be es d esp re cia ble . ( a J ' C alc u le la s c o m pp n en te s Fot - yF d e la fu erza a plic ad a a 1 aIaJJe . 'Cb)"Dete rmine :e i"m6du lo d e ~ra,"fue~~aF . y -e l~ugu lo e ' q~~Y I. ~ '.. ,Ie sta fo rm a co n Ia h or iz on ta l. Dibu je e lre su lta do e n fim c i6n de e : . '" ~~ ," , ",,(, '. I ;. ; ,., ,,I , I ""

Y " 'L x 1

. ,


23/90

I S H Capf t u l o 3. R e la c io n es in te gr a le s p a ra u n v olu m e n d e c o ntr o l

S egu n s e in d ic a, VI = V2 = V , y la c o n s e rv a c io n d e la m as a e n e l tu bo d e c o r r ie n te h a c e qu e. ~ m , = m 2 = m = p A Y . E l d i ag rama v ec to ri a l d e la f ue rz a y d e la v a r ia c i6n d e la c an tid ad d emov im i e n t o e s u n t ria ngu lo i s o sc e le s c on la do s m V y ba s e F, s egiin s e in d ic a e n la Figu -

c- r~a~3~.8Ly ._Q!J . . l . PQn i !n t e s -t!_la Ju e rz ~s e p u ed en c alc u l ar f a c i lmen t e a p ar t i r d e e ste d ia gr am a :F .. = m V ( c o s ( J - 1)

d o n d e m V = p A V 2, qu e e s e l re s u lta d o p e d id o .F y = m V senf Re sp. (a )

Apartado (b) E l m od u lo d e la f u e r z a s e o bt ie ne d el a pa rta do (a):F = ( F ; + F;)1I2 = n iV[ s e n 2f) + ( c o s f) - 1)2JI/2 = 2n iVs e n~ R esp. (b )

E3 . 8

2. 0

Fm V

.~. 'r ~

De I a g eom e t rf a d e Ia Figu ra J .8b , t e n e m o sI," '~1.. . I

. R e sp.(b ) ,

E sta s o pe ra cio ne s a pa re ce n d ibu ja da s e n fu nc i6 n d e f) e n Ia F igu ra E 3.8 . H a y d o s c a s o s e s p e -c ia les d e in te re s, P rim e ro , e l m ax im o d e fu e rz a c o r r e s p o n d e a ( J = 1,8 0 , e s to e s, al g ir o t ot al :d el c ho rr o c on re gre so e n, d ir e cc i6n e pu es ta , c on , in ve rs io n to ta l d e la c an tid ad d e m o vim ie nto .E s t a f ue rz a v a l e 2 m . V y a cn i a ba cia la i z q u i e r d a , e s t o e s, < /> = l80 . Segundo , c o n angu los d ede f l ex io m uy peque f i o s (8 < : 10)" o b t e n em o ap ro xim a d am en te : '

,'" I" ~ ,!. ..; F . ~ m V ( J c P o " "' . 9 . 0 . .La fu er z ae s d ir e cta m en te p ro po rc io na l a l ~n gl i lo d e,d ef ie xi6 n.y~e sta d ir igid a p er pe nd ic ula rr , ..m e n te a l c bo r r o . E ste e s e l p r in oip io d e l a la be s u ste n ta d or 0': p er fi l ; q ue ' p ro d uc e 'u n a p equ e f ia ~. d ef le xio nd e la c or r ie nte in cid en te y .c re a. u na f u e r za d e s us te n ta c i6 n p er pe nd ic u la r a 1 f l u jo ._ . ~,.~ .

.E JE M P L O '3 .9U n c h o rr o d e a gu a d e v e lo cid a d -V . in c id e p erp en d ic u la rm en te a u n a p la c a p la n a qu es e m u e v e ' J r h a c i a la d ere cba a v elo cid ad V e , c o m o m u e s tra la F igu r a 3 .9a . qtIc ule la f u er z a n ec es ar iap a r a m an te n e r la p la c a e n m ov im ie n to a v e lo c id a d c o n s ta n te s i la d e n s id a d d e l c h o r r o e s10 00 kg/m " , la s e c c i6n d e l c h o r ro e s 3 e rn ' y ~ y Ve s o n 20 y 15 m i s, r es pe ct iv a m en te ;D e sp re c ie e l p e s o d e l c h o r r o y d e la p la c a y s u p o n ga qu e e l c h o r ro s e d iv id e e n d o s c h o r r o sigu ale s, u no ba cia a rr iba y o tr o ba cia a ba jo .


24/90

"

F ig u r a 3 .9 . F u er z a s o b r eu n a p l a c a q u e s e m u e v e c o nv e l o ci d ad c o n s ta n te : (a ) c h o r r oq u e i nc id e p e rp e n d ic u l a r r n en tea I a p la ca ; (b ) v o l u m e n d e c o n tr o lf i j o a l a p la ca .

3 . 4 . C o n s e r v n c i 6 n d e I n c a n r ld n d d m o v i m i ' l 1 l 1 5 9

S o I u c i 6 nE I v o l u m en d e c o n t r o l q u e s e s u g i e r e e n l a F ig u ra 3 . 9 a c o rt a a t r a v e s d e l s o p o rt e d e l a p la c a ,p a r a r e s a lt a r l a s f u e rz a s R y R p ed id a s . E s t e v o l u m e n d e c o n t r o l s e m u e v e a v e l o c i d a d V yx y ce s t a , p o r t a n to , f i j o a l a p la c a , c o m o , s e . i n d i c a e n l a F ig u r a 3 . 9 b . D e b em o s e x p r e s a r l a c o n -

- - - .. ..' e rv a c i 6 r n l e i c r m : a : s a - r d e i n : a T I t td a d - u c ' iT I V , ;ll~C;UL~' } ' . .rat~vrrfrguraCI611 ' c s t a d :om r r i - a~dc - l a -F i g u r a 3 . 9 b . H a y d o s s a l i d a s y u n a e n tr ad a , y a p l i c an d o l a E c u a c i6 n ( 3 .3 0 ), t e n e m o s:

o (1 )S u p on em o s q u e e l a g u a e s i n co m p r e s i b l e , 'P I = P 2 , = P j" Y q u e . A I = A 2 = r~ . o r t a n t o , l aE c u a c i 6 n (1 ) s e ' r e d u c e a . .

.' V I + V i = 2(Y . - V )". . J.. C ,~ 'f, ' ( 2 )', , . . - . . I , , ! . .

E s t r i c ta m e n te h a b la nd o , e st o e s t o d o 1 < ;>u e l a .c o n se rv a e io n d e l a m a sa n o s puede . de c i r , S i ne m b a rg o , d e I ~ s im e tr f a d e I b s c h o rr o s d e f l e ct a d o s y . p o r h a b e r d e s p re ci a d o e l'p e s o d e l f l u id b ,c o n c l u im o s q u e l a s v e lo c id a d e s V I Y V 2 o eb .e n s e r i g u a l e s , l u eg o ( 2 ) d a ' r . '.. " ~ .~, '. ~.. " "

' ( 3 ). ''. E s t a : i g t ia l a 'a d T a m 5 i e b .T e - p u e a e - p ie d e c if i ri e d ia n t e 1 3 .e c u a c i6 n : a e ' B e r r i o u l l i' d e Ia S ' e c c i o r r 3 . 7 .

C o n l o s v a l o re s n um e ri c o s d a d o s : c'' v =. V = 207'15. = .5m /s ...,.:' ' .' "",2.. ... ""'.:,' ; ..

.A h o r a p o d em o s c a i c u l a r R x y R y a 'p a r t i r d e l a s d o s 'e o m p o n e o re s d e l a e c u a c i o n d e can t i d add e m o v im i e n to . L a E c u a c i o n ( 3 .4 0 } n o s d a r r . ' . ' ~ ,

.. I ;' ~,

"J

~ F 7 =R, ~ mlu l f i n ; , U 2 - m j ~ } (4 ?d on de h em o s p ue sto , se giin Iii e cu ac io n .d e-co ntin uid ad , m l = m 2 = ~ m j = f p jA J (~ - Vc).I n tr o d u c ie n d o a h o ra 1 a d i r e c c i 6 n d e l f lu j o e n 'c a d a s ec c i o n : u 1 = U , = 0 Y It. = V . ' - V ' = 5 ' m J s .- J J CE n to n c e s l a E c u a c i6 n ( 4 ) q u e d a ra

(5 )

I. ' foo

, ,

t. . ' 1: . C D At . ; " ,IAj

r-.---.-------..,'SCi ' II II' .1

t' I'"''

(a ) (b ) "\

It :,

!I t

i'

I'r, , t

/ , 1 [ 'II/ '1 1.1 'I 'I'',l:1 1 ''1I . , ',!~' ' ' I '' ,l o l lI ' l l1 "1I'1 1 1-


25/90

- .

Figu ra 3.9 . Fu erz a so breu n a p la ca qu e se m uev e canv e lo c id a d c o n st an t e: (a) cborroq ue i n ci d e p e rp e n di cu l ar m e nt ea Ia p la ca ; (b ) v olu men d e con tro lf ijo a la p lac a .

3 .4 . C o n s e r v ac i c n d e I n c an ti d a d d o rnovtml I I I 1 5 9

S o l u c i 6 nE I vo lum en d e c o n t r o l qu e se su giere en la Figu ra 3 . 9 a co rta a tra ve s d e l so p o rte d e la p la ca ,P a ra re sa lta r la s fu er za s R y R ped id a s. E ste vo lum en d e con tro l se m uev e a v e lo c idad V yx y ce st a , p a r tan to , f ijo a la p l ac a , c o m o . s e. i n d ic a en l a Figura 3 . 9 b , Debemos e x p r e s a r la co n-

~ --:-s er v ac i6 r. dd c rm c r sc r-r d e-t a c a nt rd a d u e - l l i V ' ; W ; C ; U L ~ 'p c : U ' 4 t a : i: v r r f t g u r a c i 6 u 'esladomuiu~dcla---- -Figura 3 . 9 b , Hay do s sa lid a s y un a en trad a , y ap lican do la E cu ac i6n (3.30), t e nemos :

o (1 ). .'Sup on em os qu e e l agua es in co mp res ible , 'P I = P 2 . = P j I ' Y que , A I = A 2 = t A i' P a r ta nto , IaEcuac i6n (1) s e re d u ce a '. .' '.....:.. ' _. ~ ,. .,. .. . r ~" .l . '; :. .. .. ..f" ~, .... " '" ,

, v I + V i = 2 (V j' - V c )I

( 2 )",

E stric tam en te h abla nd o, es to .e s to do 1 0 qu e la co n~e rVac i6n d e la m ~sa ' n os p ued e.d ec ir , S inem ba rgo , d e la s irn etrfa d e its c ho rro s d efte cta do s y v or h aber d es p re ciad o e l'p eso .d el flu id o,c on c!u im o s qu e la s v e l o c i d a d e s V I Y V 2 d ebe n se r igu aIe s, l u eg o ( 2 ) d a.. . . . . . , .' ~ .. , (3 ).. . .. , ".' -. -, ,.,V1 = : V ~,= V j' '" 7 V ;. ,. "- E s t a i gt ia lo 'i id T ar ii 5i en :-f e-p u e oe -p i eo e ci f-m e d i an te f a e c ua c lo n :(f e B er ii o ii ll id e I a S ' e c C i o r i 1 , 7 .Con los v a lo re s n um er ico s d ados : ' .

'v = V = 20 ~'15 = :5In /s. . '" 1' ," .. . ~~. 2 . ~ . 'I"" _ , ''\ :" ~,V'

Ah ara p od em o s c a1c ula r R y R a 'p artir d e 'la s d os ' 'c om p on en te s d e Ia e 'c u'a ci6 ~ d e' c an tid ad ' ,~ y .,. -j 1, , d e m ov im ien to . La E cu ac i?n :(3.40), n o s d a , ' .~"~' . , '. ," ..

(4~, ,~ '\ I

2 : F f =R, = = mlul ~ f n 2 U2" - m p ldO~l~e 'h em o s p u es to , s egiin la e cuac ion . d e -con t i nu i d ad , m l = m 2 = ~ m j = f p jA P i - V c)In tro du cien do ah ora Ia d irec c i6n d el flu jo en cad a sec c io n: ul= U, = 0 y u , = V : - V = 5 m fs . J J CE nto nce s Ia E cu ac i6n (4) qu ed ara

" (5 )

(a ) (b )

I,..i


26/90

3.4. C o n s e rv a c i6 n d e la c a n t id a d d e m o v ir n ie n to 16 1

. . . . . - - - - ,ve ,----i,,___--iUl', "

~F::.'

., -

E3 . 10 b ' t '=OS u po nga f lu jo e sta c io na rio in co m pre sib l e , s in v ar i a c io ne s e n la d ir e cc io n t r a ns v er s a l . d e a n -c h o b , E l ba la n c e d e m a s a e n t r e la e n t r a d a y s a l i d a s e es c r ibe : '. " ;.. - , . , - , -- - - m = ' p V i h 1 b = i?V2H2~- 'b"-- 'V2 = Vj-(h[1h 7 ) "",,,:, - _._..:_ , ~ ,~. ,."-, .:-'

J .'S e p u e d e n u s a r p r e s i o n e s m an om e t r ic a s p o r c o n v e n ie n c ia , ya qu e u n a p r e s io n u n if o rm e C Iaa tm o sf e ric a, e n e ste c as o) n o c au sa r e su lta nte n eta , c orn o-s e m u es tr a e n Ia .F igu ra 3 ,6 , T om a nd oI i i . c t i r e c c i 6 n x p os it iv a h ac ia l a d er e ch a e -igu ala nd o-Ia re su lta it te , h o r iz on ta l a f a v ar ia ci6 n d e-c an tid ad d e m o v im ie nto e n la : d i r e c ci6 n x : ' ." .~ I. " p . , ' - P " '; . ' .' Z Fx = -FCOIDP+ ~ gh L(h ib ) - ,-g Ii2(h 2b ) = m (V 2 - V I), '" 2 2 .. '. ."._--'_" -De s p e j a n d o Fcomp y u ti l iz an do c on tin u id ad p ar a e li In in a r . \, :.s e o bt ie ne e l r e su lt a do p ed id o :

" ;; I I .i

~. .

".

E ste e s u n im p o rta n te r e s u l ta d o o b te n id o ii t r a v es d e u n a n al i s i s , r e l a t i v am e nte s im p le . M as :a d e la n te , e n la Se c c i o n 10 ,4 . s e o bte 'n dr a eV ,f l u jo m a sic o e n in nc i6 n d e I a p r o fu n d id a c r'd ~ l i';a g u a y . : la p o s ic i6 n d e Ia c o m p u e r ta . :

E J E M P L O , 111' -r- ..E l E je m p lo ~3.9 c o n sid e r a ba : e ~ p ro ble m a d e u n f lu jo qu e in c id e p e rp e n d ic u la rm e n te a ', .u n~p l a ~a . E n la F igu ra 3.1 0 , p ~a c a y c h or ro s o n' p a ra le lo s . La c o r r ie n te n o e s ' u n c h o r r o s in o u n r io a nc ho , 0 u n a c or ri en t e f ib r e, 'd e v e lo c id ad u n if ,q rm e rV '7 Uoi. S e s u p o n e qu e la p r e s io n e s ,im if o rm e y qu e p e r ta n to n o d a r e su l t an t e n et a so b.n i la p la ca . E s t a n o blo qu e a a l f iu jo c o m oe n la F igu ra 3,9" d e m o d o qu e e l i in i c o e f e c to e s e ] d e b id o a la f r ic c io n , qu e s e d e sp r e c io e n - .e l e 1~ ;n p lb p re ce de n te . L a co i i d i c i on . d e" n o d es llz kh le b. to e n ' la p a r ed , o bl ig a al f iu id o a . te ne r v e lo c id a d.n u la e n .e sta , y e sta s p ar t f c ula s qu e's e m u ev ~n l en t ame i i t e v an d ec ele r a nd o.a s u s v e-. c in a s ; d e - m od o qu e a l f in a l d e la p la c a r h a y' u n a c a p a d e ' e o r ta d u ra 'c o n ;, il u jo 'n o i u n i f o rm e ., . ~ .{. ~ .t _. ' 1 0 ,r e t a r d a d o . u ~ a , c a p a ' I imi t e , d e e sp es o r Y = 8 ' , , : Lo s e s fu e r z o s v is c o s o s s o br e la p a r e d , s e s u m an /p a r a -d ar u na fu er z a d e r e s i s te n cia s o br e la op la c a , E sto s e f e c to s .e s ta n i lu s t r a d o s, e n l a E igp .-r a 3)O ; :. ~o ~ ll i', se . tr a ta , d e r e al iz e r . .~ ~. ~ a If ~i s-m t e g ra l q u e , n o s p e r r i r i t a 'h a l l a f 'l a ' r e s ! s te n .C 'i a 'D ' .e n f a nc io n de .Ia sr pr op ie da de s d eL ,t lu jo p, - r z o y:~"'y:9Ina':l d im e ns io ne s d ~ fa p 'l~c a L,'y-fJ:fo, I, ~ 'j I II,. 4. \ f'l~ > ;j: ~.j_ ,l" I .~ ~,~r' I!.

I I

+.Com o e n Ia r n a yo r p a r te d e lo s c a so s p ra c t ic e s , e s te p ro ble m a requiere: e l u s o d e l ,a s e c u a -c io ne s d e c on tin u id ad y c an tid ad d e m o vim ie nto : E s . e s e nc ia l s e le cc io na r a d ec ua d am e nte e l'I : ........ , r , . " , . . . ' \ ~ . ; . .i lo", ".~_: l.,,,,, ",~ .: t~": ... ~ ' f .. _{ ..

10 E I a n al is is ge n er a l 'd e e s to s p ro blem a s . d en om in ad o teoria de Lacapa limite, s e p re s e n ta e n la S e c -c i6 n 7.3 :


27/90

.~

I f l2 Cap itu lo 3. Re la cio ne s in tegra te s p ara u n v a lum en d e co ntro l

Figura 3 .1 0. A n al is isd e la re sis te n cia d e fr ic c i6n so breu n a p la c a p la n a c an ayu d ad e u n vo lum en d e c o n tro l .81 v o lum en d e c o n tro l e s tal im i ta do p or la s s e cc io ne s 1, - ,2,3 y 4.

.P=P a 'H. J = = f-v I----..t+ y L in e a d e c o rr ie n tej u s t o p or fu e ra d e_-------------------' --Ia 'c a p a 'v is c o s aCo r r i e n t eace r c an do s ep a r a l e l ame n t e ~-...!a la p la ca

_ __ __ ._ H... , ... ,," , .. ' 0 , ..

v olu me n d e c on tro l, y aqu f e sc oge rem os la r egio n d e 0 ' a h a 0 a L y v ue lta a r 'o r ige r i,Q , 'qu e s e m ue s tra e n la Figu ra 3.10 . S{ h ubie se ~o s c or ta do h or iz on ta lro en te a u na a ltu ra y , = h ,h abr fam o s co rta d o a tra ve s d e la c ap a d e co rta d ura .y te n drfam o s e sfu e rz o s d es co no c id os , E nluga r d e e s to , s egu im o s la l in e a d e c o r r ie n te q'u e p a s a p o r (x, y)::; (0 , h Y , j u s t a p o r fu e ra ~e ,1a c a pa d e c or ta du ra , a tra v es d e la . cu al a de ma s ' ta mp ocO lh ay flujo m ~ito '. La s cu atro ' ~a raS 'd e l v o lum e n d e c o n tro l s o n : " "~ ', '_', . , '- , ."" ., . . . . . , . ,:d .~,~. .. .-.1. De (0",0) a (0 , h ): e n tr a da u n id im e n s io n a l, V " n ,= -U o '2. De (0, h ) a (L , 8): l in ea d e co rr ie n te , 's in c or ta du ra ; V ~ D f' 0 :'3 . D e ( L , 8) a ( L ; ' O ) : s a l id a b i d im en s i 6~a1 ,"V :' :" n '; ; fU ( y' ) ' , '" " _ " ' : . .:. ..4. De (L, 0) a (0 , 0 ): u na l in ea d e yqJr ie n te ju sto ", p~r en cim a ,d e ta .p la ca , V':, D,' = ,O d a s

,fu er za s d e fr ic ci6 n e xis te nte s d im , u n a ,r es is te nc ia :,:V i, qu e'a ctu a, e n 'd ire cc io n"p ara le la ' Y " ~s e n t id o o p u e s to a l ' f iu jo in ic ia l. "" .. " ',

La p re s io n e s u nifo rm e y p or e l lo 'n o h ay re su l ta n te d e la s fu erz as d e p re sio n. Co m o.s up on e- ,m os qu e e l f iu jo e s in co mp re sible Y e s ta c io na r io , a p lic am o s Ia E cu ac io n (3,37), s in te rm i n os ,n o e s ta c io n a :r io s y f lu jo u n ic am en te en la s se c c io n e s 1 Y 3: ' '., ~.

' 2 : E x = - ~ = p f u(O, y . ) ( V n) dA + P .J u (L" Y ) (V .~) dA.' 3 .= P r U o ( - U o) b d y + p r ~ ( L,: y) [ + u ( L, y ) ' ] b d y,

0, : ,0 "ICa lcu l~d o la p r im e ra in tegra l y re agru ~an do ; te nem o s, .J>. ~ . . ~.~" .::," ... ~;J ., 1 . . . f- ~ ~ . " ~ ' ~ , ' : :- - ' ; . : pU~~h.__p ; . r : ; ~ ~ i~ ~ L . . G l)

" 'r~.".f,~ '-.',r ,..... '~.... -,:-.....,.:i.f" 0, ,11 , '~ 'Ii ""-~r;'L I." .......E sto p od rfa c o ns id e ra rs e fa re sp ue s ta a l t>~o olem a , p ero n o e s' u t H p orqu e la ' iu tu ra h e s d es -:

, . e o no c id a . La p od em o s d ete rm i na t e n f un C i6 t l: d e 8 co n la e cu a c io n d e co n tin u id ad ;' Y i . : qu e ' e l ' -v o lum e n d e co n tro l fo rm a un tu bod e ,c o rr ie n te : . , .. - 1 ' , ; - , ,. ,

o, (2)


28/90

3 .4 . Conservac ion d e In c an tid ad d e rn ov lm l n to L63

qu e s e o bt ie n e s up ri rn ie n do b y p y e a le u la n d o l a p ri m e ra in te gr al . In tr od u ei en d o e l. va lo r d eh e n .l a E e u ae i6 n (1), t e n emo s

.. D . , : = _ P b ( u ( U o 77 i : ) I ) dy 1 . t = L R e s p . ( 3 )" . .E ste re su lta do fu e o bte nid o p or T heo do re v on K arm an e n 1921. 1 1 R e la c io n a la r es is te n ci a'd e f rie ci6n so bre u na e ara d e la p la ea co n la in tegra l d el de fe cto d e can tid ad de m ov im ien top u ( U o - u ) a tra ve s d e la s e ec i6n final d e la p la ca . . Co m o U o - u tie nd e a c ero al a umen t a r y,la in te gra l tie ne u n. v alo r f in ito . La E cu ac i6n (3)e s u n e je m plo de a pl ic ac io n d e la s metodos

. i n s eg r a le s 2a r~. la e ap a l im i te , qu e s e tra ta n e ll~e l C ap itu lo 7 , . .

F a c to r d e c o r r e cc i6 n d e l f tu jod e c an tid ad d e m o v im i e n to

E n e l flu jo e n u n co nd u cto , la v e lo cid ad axia l e s gen era lm en te n o u n ifo rm e , co mo en e lE je m plo 3.4, E n e ste c aso , e l c a lcu lo s im p lif ic ad o d el f iu jo d e c an tid ad d e m o vim ie ntof u p ( V ' n) d A = m V = p A V 2 tie ne u n lige ro e rro r y d ebe ria s er c orre gid o p ara qu ed ar( 3 p A V 2 , d o n d e (3 e s u n fa cto r d e c or re cc i6n a dim e ns io na l, (3 ~ 1.E l fa c to r (3 tie n e e n c u e n ta la s v a ria c io n e s d e u 2 a t r a v e s d e la se cc i6n . E sto e s,c alc ula m os e l f lu jo exac to y 1 0 igu ala m os a l f lu jo ba sa d o en la v e lo c id a d m ed ia e n e lc o n d u c t o :-- - - - p J u~- = ( 3 m V med = ( 3 p A V ~ e do I J ( U ) 23-- - d AA V med (3.43a}

Lo s v a lo re s d e (3 se p u e d e n c a lc u la r , p a ra p e rf i le s d e v e lo c id ad e s t fp icos , d e fo rm as im i la r a l E je m plo 3.4. Lo s re su lta do s s on :Fl uj o l am i n a r: 4(3=- 3 (3 .43b)

F lu j o t u rb u le n to : 1 1-$m$-9 5(I + m)2 ( 2 + m i

(3 = 2 (1 + 2 m )(2 + 2m ) (3.43c)

Lo s fa cto re s d e c or re c ci6n tu rbu len to s tien en e l s igu ien te ran ge d e v alo re s:

h', " I.' _ ... F lu j o t u rb u le n to :m 15 16 I 18 19 '

1.037 1.027 1.020 ' I 1.0'I'6 1.013- -E sto s fa c to re s d e co rre cc i6n so n ta n p r6xim os a la u n id a d qu e n o rm alm en te n o se

in clu ye n. E n o ca sio ne s, la c or re c ci6n la m in ar p ue de se r im p or ta nte .

I) La au to bio gra fia d e es te gran p ro fe so r e in gen ie ro d el s iglo xx [2] es reco m en dad a p or su p ersp ec tiv ah is t6 r ica y c ien t f f ica .


29/90

N 6te s e qu e lo s p aram e tre s bas icos y e l c a ra c te r v e c to r ia l d e l re su lta d o n o se a lte ra np or e sta c or re cc i6n .

164 Cap itu lo 3. R e la c io ne s in te g ra le s p a r a u n v o lum en d e c o n tr o lICom o ilu s t ra c io n d e l u so d e e s to s fa c to re s d e c o r re c c io n , la so lu c io n d e l E jem p lo

,';-3.8 , c on v elo c id a de s n o 'u n if or m e se n ' l a s s e c c i o n e s 1 "y-2, v en dr fa d ad a p or

D e t a ll e s d e f a e cu a c i e nd e c an ti d a d d e m o v im i en to Lo s e jem p lo s a n te r io re s d e ja n c la ro qu e la e cu a c io n d e c a n t id a d d e m ov im ien to e s m as - .d if fc il d e m an e ja r qu e la s e e u a c io n e s e s c a la r e s d e c o n s e rv a c io n d e la m asa y la e n e rgfa .

Lle gad os a e s te p un to , e s c o nv en ie n te re c o rd ar c ie r to s d e ta l le s :

I'

I) La e c u a c io n d e c a n tid a d d e m ov im ie n to e s vector ia l . Lo s te rm in o s d e fu e rz a s ym om en to s tie n e n tr e s c om po n e n te s . U n e s q u ema d e e sto s v ec to re s e s in d is pe ns ablep ara re aliz ar e l a na lis is c or re cta m en te .

Lo s te rm in o s d e f lu jo d e c a n t id a d d e m ov im ie n to , 'c om o fV(pV . n ) d A , i n vo lu c r and os c r i te r io s d e s ign o , p o r 1 0 qu e e s im p re s c in d ible m an e ja r lo s c o n c u id a d o . E np r im e r lu ga r , la v a r ia ble v e c to r ia l V te n d ra u n s ign o qu e d e p en d e ra d e su d i r e c c i on ,E n segu n d o lu ga r , e l te rm in o d e f lu jo m as ic o (p V . n ) te n d ra u n s ign o + 0 - d e p e n -d ie n do d e qu e s a lga 0 e n t re . P or e jem p lo , e n la Figu ra 3.8 , la s c o m po n en te s x d e V 2y VI' u 2 Y u l ' so n p os it iv a s , e s d ee ir , a c n ia n am ba s ba c ia la d e re c h a, m ien tra s qu e e lf lu jo m as ic o e n (2) e s p o s i t iv o (ba c ia fu e ra ) y en (1) e s n e ga tiv o (h a c ia d e n t ro ).

La a pr oxi m a ci on u n id im e n si on a l, E eu ac i6n (3.40 ), e s m u y t i t i l , p ~r qu e la s d is tr ibu -c io n e s d e v e lo c id a d n o u n i fo rm es re qu ie re n u n a in tegra e i6n m uy la bo r io s a , c om oin d ic a la E cu ac i6n 3.11. De e s ta fo rm a , e l em p le o d e fa e to re s d e c o r re c c io n { 3 d e lf lu jo d e c a n t id a d d e m ov irn ie n to so n m uy u t ile s p a ra e v ita r e s ta s in te gra e io n e s ,e sp e c ia lm en te en e l c a so d e f lu jo s e n c o n d u e to s .

>i Las fu er z a s a p lic a d as L:F a c n ia n so bre tod os los e lem en tos q u e e ste n en e l volu -m en de con trol,' e sto e s , la s su pe rf ic ie s (p re si6n y e sfu erz os d e c or ta du ra ), s opo r t e sso lid os qu e 1 0 a t ra v ie s e n y e l p e so d e la s m asa s d e su in te r io r . Lo s e s fu e rz o s qu ea c n ia n so bre la s p a r te s s i tu a d a s e n e l in te r io r d e l v o lum en d e c o n tr o l s e c a n c e la n ,p o r 1 0 qu e d ebe n ign ora rs e.

S i e l f lu id o d e s c a rga c o n v e lo c id a d su bso n ic a a la a tm o s fe ra , la p re s i6n e n la s a l id as e ra la a tm o sfe r ic a .

' . Do n d e s e a p o s ible , la s su p e r f ic ie s d e e n tra d a y sa lid a s e d e be n e le gi t perpend icu la -r es a l f lu jo, d e fo rm a qu e la p re s i6n s e a la fu e rz a d om in a n te y la v e lo c id a d n o rm als e a igu a l a la v e lo e id a d to ta l .

-. .

1 Co n to d o s e s to s d e ta lle s , qu ed a c la ro qu e la a p l ic a c i6n c o r r e c ta d e la e c u a c i6n d e c a n - ..t id ad d e m ov im ie n to e xige d e u n a gra n p ra c tic a ,

- '. . . .S i s te m a d e r e fe re n d an o in e rc i a l" T od os lo s e jc m plo s y d c d u c c io n e s an te r io re s p re su p o n e n qu e e l s is tem a d e c o rd e n a d a s -e s i ne rc ia l, 0 s e a , qu e e s ta en r ep o so 0 m o vie n do se a v elo cid ad c o ns ta n te . E n e s te c a so ,

1a d e r iv ad a su sta n cia l d e la v elo cid ad e s igu al a la a c e le ra c io n a bs o lu ta d el s i s tem a , y las e gu n d a le y d e N ew to n e s a p lic a ble d ire c tam en te e n la fo rm a d a d a p o r la s E cu ac io n e s(3.2 ) y (3 .3 5).

E n m u c h o s c a so s e s c o n v e n ie n te u t i1iz a r u n s is tem a d e c o o rd e n a d a s n o in er cia l 0a e e le r a d o . U n s is tem a d e c o o rd e n a d a s f ijo a u n c o h e te d u ra n te su d e sp e gu e s e rv i r fa d e

12 E sta se cc io n p ue de o m it ir s e s in p erd id a d e c on tin uid ad .


30/90

- -

F ig u ra 3 .1 1. S i s t em a sd e c o or de n ad a s i ne rc ia ly n o i ne rc ia l.

to

3.4 . Co nse rv ac i6n d e la c a nt id ad d e m o vim ie n to 165

yPart icula r.L.i - ' ------ V =4!ar r d t

x.Q S is te m a d e r ef er en ci a

m 6 vil r ota to rio , n o in er cia ly

z

.f

z referenciainerc ia le je m plo . U n s e gu nd o e jem p lo s e p re s e nta a l a n al iz ar c ua lqu ie r f lu jo s o bre la s u pe rf ic ied e la T ie rra , la c ua l p re se nta a ce le ra cio ne s r e

Documents

Frank M. Whithe Cap 3