Fourier (1).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

"SERIES DE FOURIER"

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

CURSO : MATEMATICA APLICADA

(CB-143 U)

PROFESOR : Ing. Paul Tocto Inga

ALUMNOS:

Alvarado Herrada Edgar

Abarca Urbano Rene

SERIES DE FOURIERUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................3

OBJETIVO.......................................................................................................................................4

SERIES DE FOURIER........................................................................................................................5

RESEÑA HISTORICA...........................................................................................................5

DEFINICION DE SERIES DE FOURIER..................................................................................5

Función ortogonal........................................................................................................................14

Introducción....................................................................................................................17

Una primera visita a las series de Fourier....................................................................................17

Aproximación por polinomios trigonométricos...............................................................17

Aplicaciones diversas de las series de Fourier…………………………………………………………………………..18

CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………..…………………………………23

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………..……………………………………………………25

Profesor:Paul Tocto Inga 1


DEDICATORIA

Principalmente dedicamos este trabajo a nuestra Facultad FIIS-UNI, puesto que nos

brindó conocimientos que ayudaron en el desarrollo del presente trabajo.

Al profesor Ing.Paul Tocto Inga que brinda su sabiduría en varios campos del

conocimiento orientándonos también en aspectos que requerimos para el desarrollo del

presente, porque siempre estuvo en los momentos que requerimos su ayuda, por

compartir su experiencia en el desarrollo del trabajo, y por transmitirnos sentimientos de

satisfacción y aliento pues nos deja muchas enseñanzas.

.



INTRODUCCIÓN

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función

periódica y continua por partes. Podemos decir que las series de Fourier constituyen una

herramienta matemática utilizada para analizar funciones periódicas a través de

descomponer dicha función en la suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más

simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una

herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta, análisis vibratorio,

acústica, óptica, ingeniería eléctrica, retoque fotográfico, mecánica cuántica,

econometría, procesamiento de imágenes, señales y compresión de datos. Para nuestro

caso ingeniería de sistemas, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a

través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se

puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo.

Así la modelación matemática se muestra como un eje medular en la predicción y/o toma

de decisiones.



OBJETIVO

Aprender esta herramienta matemática utilizada para analizar funciones periódicas a

través de descomponer dicha función en la suma infinitesimal de funciones senoidales

mucho más simples.

Estudiaremos a lo largo de esta investigación la Serie de Fourier, Ejercicios referentes

al seno y coseno, propiedades e interpretación.

Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de

"representación en frecuencia de una señal". Básicamente las series de Fourier se

encargan de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia,

de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal.

Las series tienen la forma:

dondean y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

y(x).



SERIES DE FOURIER

RESEÑA HISTORICA

Se sabe que las series de Fourier recibe su nombre en honor al francés Jean Baptiste

Joseph Fourier (1768-1830) quien fue un matemático, físico y astrónomo que inventó y

desarrollo las series y la presentó dentro de su teoría.

En diciembre de 1807 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), presento un

sorprendente artículo a la academia de ciencias en Paris. En el Afirmaba que cualquier

función puede escribirse en forma de serie trigonométrica, Contribuyo al estudio de las

series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonard Euler,

Jean le Rondd'Alembert y Daniel Bernoulli en el Fourier introdujo las series con el

propósito de resolver la ecuación en una lámina de metal publicando sus resultados en

1807 Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos.

Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones

de oscilación datan desde el siglo III a.C., cuando astrónomos antiguos propusieron un

modelo empírico de movimiento planetario con base en un epiciclo.

DEFINICION DE SERIES DE FOURIER

Las llamadas series de Fourier son desarrollos en los que cada término es una

función y por lo tanto el resultado de toda la sumatoria también lo será. Estas series

funcionales se utilizan para representar o expresar funciones periódicas.

Es necesario definir, entonces, qué es una función periódica. Es aquella función cuyos

valores se repiten conforme un determinado intervalo T.Este intervalo de repetición de

los valores de la función es justamente el periodo T que le da su nombre.

Analíticamente, las funciones periódicas son entonces las que cumplen:

f(x) = f(x + nT)

Donde n = 1, 2, 3, 4, 5,...

Por lo tanto para cualquier número entero de veces T, los valores de la función periódica se repiten.


f(x)

x

T


Gráficamente:

Estas funciones presentan interesantes propiedades, por ejemplo, dadas dos funciones periódicas, generalmente su suma lineal es también una función periódica.

Vale decir, dadas g(x) y f(x) periódicas, se comprueba que h(x) = a f(x) + b g(x) será también una función periódica.

Un ejemplo muy conocido de funciones periódicas son las funciones trigonométricas, para las cuales, en particular, el periodo vale T = 2π

Hay funciones periódicas que admiten un desarrollo en serie en base a funciones trigonométricas, vale decir que todos los términos de la serie son funciones de este tipo, por ejemplo:

F(x) = a0 + a1cos x + b1sen x + a2cos 2x + b2sen 2x + a3cos 3x + b3sen 3 xs +......

si se observa detenidamente, todos los términos responden a una ley de formación, lo que permite resumir el desarrollo en una serie, expresándolo en base a una sumatoria.

De este modo, resulta:

∞

f(x) = ∑ (ancosnx + bnsennx)

n = 0



y ésta es la que se denomina forma trigonométrica de la serie de Fourier. En la cual los valores (aibi) son los coeficientes de la serie.

Cada término de la serie tiene periodo T = 2π, aún el término independiente a0 porque al ser una constante cumple con la definición de función periódica dado que sus valores se repiten.

En realidad, se prefiere la siguiente expresión para la serie trigonométrica de Fourier:

∞

f(x) = a0 + ∑ (ancosnx + bnsennx) (1)

n = 1

que es totalmente equivalente a la anterior, pero es preferible que el coeficiente a0 aparezca separado porque su forma de cálculo es diferente de la del resto de los coeficientes ai

Para que esta forma trigonométrica de la serie de Fourier sea apta para desarrollar o representar una función periódica, lo que falta es obtener un método de cálculo o determinación de los coeficientes correspondientes.

CALCULO DE LOS COEFICIENTES:

Para evaluar los coeficientes, en la expresión (1) se puede integrar miembro a miembro, entre los extremos de integración -π y π, resultando:

πππ

⌠f(x) dx = ⌠a0 dx + ∑ ⌠ (ancosnx + bnsennx) dx

⌡ ⌡ ⌡

- π -π -π

Como los términos de la sumatoria son periódicos, y por lo tanto sus valores se repiten, es suficiente con calcular uno solo de ellos, por ejemplo para n = 1, por simplicidad.

Entonces:

∫ a1cos x dx + ∫ b1sen x dx entre los mismos límites de integración (-π y π)

resultará:

ππ

a1 [sen x] - b1 [cos x] = 0



-π -π

y por la periodicidad estos valores se repetirán para todo valor de n, por lo tanto la expresión anterior se reduce a:

∫ f(x) dx = ∫ a0 dx = a0 ∫ dx

y entre los límites de integración considerados, el resultado es:

∫ f(x) dx = 2π a0

por lo tanto, si se despeja el coeficiente:

a0 = 1/2π ∫ f(x) dx

Para calcular el resto de los coeficientes se puede seguir un procedimiento análogo, partiendo de la expresión (1), se multiplica miembro a miembro por cos mx y se integra entre los mismos límites:

∫ f(x) cos mx dx = ∫ a0cos mx dx + ∑ [∫ (ancosnxcos mx )dx + ∫ (bnsennxcos mx) dx]

De las tres integrales que han quedado en el segundo miembro, es fácil ver que la primera resultará nula entre –π y π; mientras que la tercera integral será siempre nula, para cualquier par de valores (n,m) por ortogonalidad de los conjuntos de funciones involucradas sennx y cos mx.

En cambio la segunda integral, será también nula por ortogonalidad, excepto en el caso que n = m, porque entonces quedaría:

∫ an (cos mx )2 dx = an ∫ cos2 mx dx



donde esta última integral es igual al cuadrado de la norma del conjunto [cos mx]; siendo:

||cos mx || = √π

por lo tanto:

∫ cos2 mx dx = ||cos mx ||2 = π

volviendo a la expresión:

∫ f(x) cos mx dx = πan

De modo que se puede despejar:

an = 1/ π ∫ f(x) cos mx dx entre –π y π

Con un procedimiento análogo, que se omite para mayor brevedad, si se hubiera multiplicado miembro a miembro por [sen mx] e integrado entre los mismos límites, resultaría:

bn = 1/ π ∫ f(x) sen mx dx entre –π y π

con lo cual ya se han obtenido los coeficientes que corresponden al desarrollo trigonométrico de la serie de Fourier de una función periódica.

Funciones de periodo arbitrario:

Podría suceder que la función periódica que se pretende desarrollar en serie de Fourier requiera de la utilización de términos periódicos de un periodo distinto a 2π.

Por ejemplo, una cierta función periódica:

f(t) = f(t +nT)

donde claramente T ≠ 2π

en ese caso debería establecerse la equivalencia entre cada variable con su respectivo periodo, a saber:



t/T = x/2π

lo cual significa: “t es a T como x es a 2π”

si se despeja de aquí, resulta:

t = (T/2π) x (1)

x = (2π/T) t

además, diferenciando esta última expresión:

dx = (2π/T) dt

utilizando la expresión (1) se observa que los nuevos límites de integración, para la variable t, serán:

si x = -π ; entonces:

t = (T/2π) (-π) = -T/2

en cambio, si x = π entonces

t = T/2

haciendo todos los reemplazos correspondientes, la forma trigonométrica para la función periódica de periodo arbitrario f(t) y sus coeficientes serán:

f(t) = a0 + ∑ (ancos n2πt/T + bnsen n2πt/T)

siendo los coeficientes:

a0 = 1/T ∫ f(t) dt

an = 2/T ∫ f(t) cos (n2πt/T) dt



bn = 2/T ∫ f(t) sen (n2πt/T) dt

todas estas últimas integrales efectuadas entre los extremos de integración -T/2 y T/2 respectivamente.

Serie de Fourier generalizada Supongamos que {Øn(x)} es un conjunto infinito

ortogonal de funciones en un intervalo [a, b]. Nos preguntamos: si y = ƒ(x) es

una función definida en el intervalo [a, b], ¿será posible determinar un conjunto

de coeficientes cn, n = 0, 1, 2, . . .,para el cual

(6)ƒ(x)=c0Ø0(x) + c1 Ø1(x) + ... + cn Øn(x) + ...?

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un

vector, también podemos determinar los coeficientes cn mediante el producto

interno. Al multiplicar la ecuación (6) por Øm(x) e integrar en el intervalo [a, b] se

obtiene

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación

es cero, excepto cuando m = n. En este caso tendremos

Entonces, los coeficientes que buscamos son



En otras palabras,

('7)

en la que (8)

La ecuación (7), en notación de producto interno (o producto punto), es

(9)

Vemos así que esta ecuación es el análogo funcional del resultado vectorial

expresado en la ecuación (5).

Función ortogonal

En matemática, se dice que dos funciones f y g son ortogonales si su producto

interno es nulo. Que dos funciones particulares sean ortogonales

depende de cómo se haya definido su producto interno. Una definición muy

común de producto interno entre funciones es:

con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado.

Véase también espacio de Hilbert para más detalles.

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde

pueden escribirse como una suma pesada de funciones solución ortogonales

(conocidas también como funciones propias).

Ejemplos de conjuntos de funciones ortogonales:



Polinomios de Hermite

Polinomios de Legendre

Armónicos esféricos

Funciones de Walsh

SERIE DE FOURIER

Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar

por la serie trigonométrica:

donde0 /T.=2

Una serie como la representada se llama serie trigonométrica de Fourier. Esta serie

también se puede representar así:

Ejemplo 1: Deducir la forma de

y expresar Cny n en términos de an t bn.

Se puede expresar así

se utiliza la entidad trigonométrica

donde



por consiguiente,

ó

También si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la

función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias.

La componente senosiudad de frecuencia se denomina la enésima armónica

de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la

componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y

se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes

Cny los ángulos n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase,

respectivamente.

Gráficamente las series de Fourier

Un polinomio trigonométrico de orden n es una función de la

forma donde son números

reales llamados coeficientes del polinomio. Aquí tienes algunos ejemplos de

polinomios trigonométricos y sus gráficas.





Como acabas de ver, los polinomios trigonométricos pueden tener gráficas con

muy distintos aspectos. Parece razonable conjeturar que, eligiendo los

coeficientes de forma adecuada, podremos conseguir una buena aproximación

de una función dada por medio de polinomios trigonométricos.

Recuerda que ya sabes cómo aproximar localmente funciones derivables por

sus polinomios de Taylor. El problema que nos planteamos ahora es parecido:

se trata de calcular el polinomio trigonométrico de orden n que aproxima mejor a

una función dada f.

Se impone precisar el tipo de aproximación que vamos a considerar. Teniendo

en cuenta que los polinomios trigonométricos tienen período 2π, trataremos de

aproximar la función f en el intervalo [-π, π ]. Supondremos solamente que f



es continua en dicho intervalo. Como puedes apreciar, a diferencia de los

polinomio de Taylor que permiten una aproximación local para una función que

tenga n derivadas, ahora queremos una aproximación global, válida en todo un

intervalo, para funciones continuas.

Todavía queda por aclarar lo más importante: ¿de qué manera vamos a medir la

aproximación entre la función fy un polinomio trigonométrico T? Pues bien,

vamos a considerar la aproximación en media cuadrática. Esto quiere decir

que entre todos los polinomios trigonométricos, T, de orden n vamos a calcular

aquél que haga mínima la cantidad . Dicho polinomio se

llama polinomio de Fourier de orden n de la función f.

Pongamos y

calculemos los coeficientes de Forma que sea mínima.

Desarrollando el cuadrado, tenemos que:

Teniendo en cuenta, como fácilmente puedes comprobar con Matemática, que

, y, para ,

. Y poniendo



, resulta

Expresión que, evidentemente, es mínima cuando , y

. Por tanto el polinomio de Fourier de orden n de f es el polinomio

trigonométrico cuyos coeficientes,

llamados coeficientes de Fourier de f, vienen dados por:

Los se llaman coeficientes coseno y los se llaman coeficientes seno. Es

importante que te des cuenta de que en ningún momento hemos usado la

supuesta continuidad de f y que lo único necesario para poder hacer los

cálculos anteriores es que las integrales que en ellos aparecen estén definidas,

para lo cual es suficiente que la función f sea integrable. En particular, tiene

perfecto sentido hablar de los coeficientes de Fourier de una función monótona

o de una función acotada con un número finito de discontinuidades.

APLICACIONES DE LAS SERIES DE FOURIER

Las series de Fourier son de gran importancia ya que tienen muchas aplicaciones dentro de los campos de la física y de la matemática entre otros. La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos. El poder extraordinario y la flexibilidad de las series de Fourier se ponen de manifiesto en la asombrosa variedad de aplicaciones que estas tienen en diversas ramas de la matemática y de la física matemática desde la teoría de números y geometría hasta la mecánica quántica.



Algunas de las más importantes aplicaciones de las series de Fourier son:

En la evaluación de cálculos matemáticos:

el problema isoperimétrico. evaluación de series no triviales. la desigualdad de Wirtinger. en resolución de ecuaciones diferenciales. Identidad de jacobi Formula de Poisson

En la resolución directa de problemas físicos:

• Determinación de la temperatura según la posición y el tiempo.

• Flujo del calor transmitido, energía disipada.

• Procesamiento digital de señales.

Todo esto, principalmente basado en la aplicación matemática de las series de

Fourier en las Ecuaciones de ondas. A continuación veamos de forma breva

algunas de estas de estas aplicaciones:

El problema isoperimétrico que es de carácter matemático afirma que si

C es una curva cerrada simple con un tipo de clase y de longitud unitaria,

entonces el área A encerrada por la curva satisface cierta desigualdad.

La desigualdad se satisface si y solos si C es una circunferencia. En

consecuencia entre todas las curvas cerradas simples de longitud unitaria

la que encierra mayor área es la circunferencia.

Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie. Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una función f periódica en el tiempo t y de periodo 1(un año). La temperatura y la profundidad en un tiempo y longitud respectivamente, mayores o iguales a cero son también periódicas. Bajo estas circunstancias la temperatura puede ser expandida mediante una serie de Fourier para cada valor x fijo.



Otra de las aplicaciones de la serie de Fourier es la evaluación de las series no triviales mediante la identidad de plancherel para calcular algunas sumas infinitas.

La desigualdad de wirtinger es una aplicación de tipo matemática de las series de Fourier para una función continua definida en un intervalo cerrado.

Tal vez una de las propiedades más importantes de las series de Fourier y en particular de las integrales de Fourier se presenta en la solución de ecuaciones diferenciales ya que transforma operadores diferenciales con coeficientes constantes en multiplicación por polinomios.

Otra de las aplicaciones importantes de la serie de Fourier y en este caso de la transformada de Fourier es el problema del flujo del calor. El planteamiento de este problema es similar al del problema anterior.

APLICACIÓN EN EL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES DE TODO TIPO

Dado el desarrollo importante de la electrónica en la actualidad, es importante considerar la aplicación de las series de Fourier en esta rama ya que estas sirven mucho por ejemplo, en el procesamiento digital de señales, la cual es una área de la ingeniería que se ha desarrollado rápidamente en los últimos 30 años Este rápido desarrollo es resultado de avances tecnológicos tanto en los ordenadores digitales como en la fabricación de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente rápidos han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas del procesado de señales que convencionalmente se realizaban analógicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, mas barato y a menudo más fiables. Nos parece importante que se tenga en cuenta la diferencia entre una señal analógica y digital para comprender mejor el procesamiento de señales, el nombre de una señal analógica se deriva del hecho de que es una señal análoga a la señal física que se representa .La magnitud de una señal analógica pude tomar cualquier valor, esto es, la amplitud de una señal analógica exhibe una variación continua sobre su campo de actividad. La gran mayoría de señales en el mundo que hay a nuestro alrededor son analógicas. Los circuitos que procesan estas señales se conocen como circuitos analógicos. Una forma alternativa de representación de señal es la de una secuencia de números, cada uno de los cuales representa la magnitud de señal en un instante determinado. La señal resultante se llama señal digital, esta a diferencia de la señal analógica es una señal que esta cuantizada en el



tiempo y cuantificada en magnitud. El procesamiento de señales se correlaciona con las series de Fourier ya que esta nos permite expresar una función periódica de tiempo como la suma de un numero infinito de senoides cuyas frecuencias están armónicamente relacionadas La importancia de esto radica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con señales, ya que para que nosotros podamos procesar estas señales es necesario expresarlas como una combinación lineal de los respectivos términos.

APLICACIONES EN LA MEDICINA

Diagnóstico automático: La ecografía permite registrar la vibración de cada una de las membranas del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de ordenador calcula los primeros términos de las sucesiones (coeficientes de Fourier). En el caso de la válvula mitral, son suficientes los dos primeros coeficientes de Fourier para diagnosticar al paciente. Esta forma de diagnóstico disminuye costes en el sistema sanitario y, sobre todo, evita al paciente los riesgos y molestias inherentes a las pruebas endoscópicas

APLICACIÓN EN LA DETERMINACION DEL CALOR SEGÚN LA POSICION Y EL TIEMPO

Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie.

Para eso, describamos la temperatura de la superficie terrestre como una función f periódica en el tiempo t y de período 1 (un año). La temperatura u (t; x) en el tiempo t = 0 y profundidad x = 0 es también periódica en t. Bajo estas circunstancias u (t; x) puede ser expandida mediante una serie de Fourier para cada 0 < x < 1 fijo como sigue:



Por otro lado, sabemos que la función de toda onda viene determinada por:



CONCLUSIONES

- Como se puede ver, las aplicaciones de las series de Fourier son tan variadas y prácticas en las diversas ramas de las ciencias que puede decirse que actualmente se ha convertido en una herramienta útil para simplificar los cálculos y obtener resultados aproximados fiables de manera práctica y sencilla que de otro modo requeriría de métodos muy engorrosos. Es así que gracias al desarrollo de estas series se puede encontrar una gama de aplicaciones en diversas ramas de las ciencias sean estas puras o aplicadas, y yendo más lejos, sociales o exactas.

- En el ámbito de la matemática pura, por ejemplo la aplicación de estas series se constituye en una forma práctica y común para resolver problemas de manera aproximada (por ejemplo, en el caso de la



resolución de algunas ecuaciones diferenciales) y la obtención de expresiones y formulas más sencillas (identidades de Jacobi y formulas de Poisson).

- En las ciencias físicas, es muy importante la aplicación de las series de Fourier para el estudio de sistemas o procesos de cierto grado de complejidad debido a la interacción y elevada constitución de componentes o sistemas con características dinámicas y con interrelaciones de intercambio o flujo respecto a su entorno como en el caso del estudio termodinámico de los procesos adiabáticos.

- También es muy útil en la descripción del comportamiento de los fenómenos de naturaleza ondulatoria los cuales a su vez repercuten de manera muy relevante en procesos y ramas que están involucrados con algunas ramas más aplicadas y sofisticadas, como la electrónica, la medicina o la ingeniería de telecomunicaciones, por ejemplo.

- Así, en la electrónica es una herramienta muy útil que permite entre otras cosas, al procesamiento digital de señales, los que tienen una implicancia muy amplia en las telecomunicaciones y los medios por los cuales se llevan a cabo como la difusión y generación de señales de radio y televisión.

- En la medicina las series de Fourier están relacionadas de manera indirecta al ser el principal método de cálculo del registro de algunas funciones del organismo las cuales pueden ser descritas como señales que están descritas en términos de ondas: es así que la medición del ritmo cardiaco (electrocardiogramas), de la frecuencia de emisión de ciertos tipos de ondas cerebrales (electroencefalogramas) o incluso de anormalidades del flujo sanguíneo puede ser plasmado de manera aproximada mediante aparatos electrónicos.

- Finalmente, en el desarrollo de matemática avanzada, la importancia que adquiere la aplicación de las formulas de Fourier es algo notable: ya que algunos sistemas de naturaleza compleja como los fractales puede ser relacionado y descrito con las series de Fourier.

- Por otro lado se ha visto que el uso de las series de Fourier no solo está restringido a las ciencias de naturaleza intrínsecamente matemática, pues se ha visto que estas permiten la simplificación y descripción del comportamiento de algunas ciencias de carácter más complejo, siempre



y cuando se adopten ciertos modelos preestablecidos que coadyuven a su análisis.

- Así pues, en el estudio de algunas ciencias sociales cono las económicas (por ejemplo, en los estudios macroeconómicos) algunos fenómenos pueden ser descritos y plasmados matemáticamente mediante la aplicación de las series de Fourier como en el caso de la interrelación entre la oferta y demanda agregada.

- Algunos fenómenos de naturaleza compleja, global u organizacional también pueden ser sujetos al análisis de Fourier mediante la adopción de modelos dinámicos que utilicen las variables requeridas para la descripción y desarrollo de estos caso de los sistemas dinámicos de enésimo orden, algo que esta últimamente en boga para la búsqueda de la optimización de procesos en las organizaciones.

BIBLIOGRAFÍA

[1] G. James, "Matemáticas avanzadas para ingeniería", Pearson Educación, segunda edición 2002, pp.99- 103

[2] Weisstein Eric, “ Fourier series” Mathworld Wolfram Research

[3] A. Vera, “Análisis Matemático”, tercera edición 2005, pp. 345- 361




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