Formula Rio

5/13/2018 Formula Rio - slidepdf.com

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Productos Notables y Factorizaci6n.

a(b +c) =ab +ac

ax +by +bx +ay = a(x +y)+b(x +y) =(a +b)(x + y)

(a +b)2 =a2 +2ab +b2

(a - b)2 =a2 _ 2ab +b'

(a+b)'=a'+3a'b+3ab'+b'

(a - b)3 =a' _ 3a 'b+3ab' _ b'

(a2 _ b')=(a - b)(a +b)

(a' +b3)=(a +b)(a' - ab +b')

(a' - b3)=(a - b)(a' +ab +b')

(a4 _ b4)=(a_ b)(a' +a'b+ab' +b ')

(as +b5) =(a +b)(a 4 _ a 'b +a 'b2 _ ab 3 +b4)

(a" - b") = (a - b)(a "., +a'" 2b +a ".3b2 + .. +ab "-2 +b"·')

Para (an +b'"), si n es impar:

(a" +b")=(a+b)(a"·'- a"·'b+a"·'b2 - ... - ab"·' +b"·')

B in orn io d e N ew to n.

(a +b)" =a" +~a"·'b+ n(n - I) ."·'b' + n(n - I)(n - 2) a"·'b' +I' 2! 3!

... + 0(0 - 1)(0 . 2) ..(0 - r + I) a '·'b' + ... + b"0' = I (por definici6n) r!

I!=I, 2!=2xl, 3!=3x2xI, 4!=4x3x2xl, etc.

n! = (0) (n - 1)(0 - 2) ... (3) (2) (I)

Triangulo de Pascal.

(a+b)" I

(a +b}'

(a +b)' 2

(a +b)3

(a +b)4 4 6 4

(. +b)5 10 10

Algebra

(a+b+c)' =a2+b'+c2+2ab +2ac +2bc

(a + b - c)2 = a 2 + b' +c' + 2ab - 2ac - 2bc

(a+b+c)(a +b- c)=(a+b)' _ c'

(a + b - c)(a - b - c) = (a _ c)' _ b2

(a- b- c)(-a - b- c)=(b+c)' _ ,,'



Exponentes y Radicales.

aO ~ I

a 1 =a

am all= am +n

(a l l 1 ) 1 1 =anm =(an ) 1 1 1

(ab)" ~an bn

_I_~a-n a ",0n '

a

ma m-=a

a na-n =am-n

a n

bn

Ecuaci6n Cuadratica,

ax 2 +bx +c ~O x-b±~

2a

b2

_ 4ac > ° => Rakes reales

b2• 4ac < ° c> Raices complejas

b2

- 4ac = 0 : : : : : > Dos raices iguales

Vertice de una funcion cuadratica.

bx=--

2a UI a c - O

'1fili = '< i a %

~ = ' T I J I / a1

Q , / a = a~

~ = ( '< i a ) m = a n

1 1

~~~= (~ y ~a~

b"

p . , J a±

q ., J a ~(p ±

q ) . , J a

a ,,0

v (x,y) con

_4ac _b2 I n

---- I \4a

Sia<O

Progresiones Aritmetlcas

Matematicas Financieras.

u ~a +(0- l)ru- ar=--

n- 1

a=u-(n-1)r u- an=--+1

r



Progresiones Geornetricas

u =aro-1 _a(rn-IJ_ru-a ri'ls - -r---I- ---r:T

Series geometricas infinitas.

a _ ar n

s=---

1- r

Si r < 1, entonees

a = Primer termino de 1a sene.

n = Lugar que ocupa el enesimo termino.

11 = Termine enesimo de la sene.

r = Razon de cambia

s = Suma de terminos,

Lcgaritmos.

log, I= alog. a =

log x = loglo x

In x = log ,«

y = log, x significa a Y = x

log. (xy) = log. x + log. y

log. ~ = log, x -Jog, yy

Interes Simple.

i= (C)(t)(n)

i = Interes Simple.

C= Capital.

T =Tasa a tanto par ciento.

Interes Compuesto.

M=C(I+t)"

t = n j J f -M =Manto compuesto.

as = ~ para n grande

log a x" =n log, x

log W n = ::: log xn

In a = 2.3 log a

e = 2.71828 ...

Tt=-

100

M =Mento.

t = Tanto par uno.

n = Tiempo en afios.

C=~(I+f}"

n = log M - log C

log(I+t)

n = Numero de periodos.



b

A nualidades e lmposiciones.

Ana lis is Co rn b in a to rio .

a ~ ei(l+i)t

(I+i)' -I

I~ ei

(l+rl-(I+i)

Ordenaciones de n objetos de orden f. o(n, r) ~ _n_ ! -(n , r)!

O rd en ac ion es c on repeticion. ORen, r)=nf

p in , r)~ o In , r) ~ _n_!\ \ (n - r)!

Pennutaciones de n objetos tomadas de n en n

Pennutaciones de n objetos tomadas de ren r Pn =O(n,n) = (n~!n)! =Pn(n,n) =n!

Permutaciones con repeticion. PRn

=OR(n, n) =nn

C om binaciones de n objetos tornados de r objetos e r n , r) ~ _0_1_

rj(n - r)!

Combinaciones can repericion CR(n, r)~C(n +r- Lr)

T eorem a de Pitagoras,

c2=a2+b2

TrigonornetriaB

n"C

para A

a=c. o.

b =C. 8.

C ~ hip.

para B

b~c. o.

a = C. 8.

c= hip.

Funciones e Identidades

sene =~= __ I_

h esc B

cos g =~= __ I-

h sec B

19B ~~~ __ I-

c.a. erg 8

eta e =~= __ I-

o c.o. tg e

sec B ~ _ _ I : _ ~ _ _ 1-

C.B. cos e

esc e ~ _ _ I : _ ~ _ _ 1_

c.o. sene

Pitagoricas,

sen 2 e + cos' 8 ~I

sec'8 - tg2 8 ~ I

esc 2 8 _ cot 2 e ~ I

Reciprocas

(sen B) (CSC B) ~ I(cos B) (sec B) ~ I

(tg B) (etg B) ~ I

tgB ~ sen8

cos 8

eos8clg8 ~ sen 8



Para la suma y diferencia de angulos.

sen(a+b)=sena cosb+ cos a senb

sen(a-b) =sena cosb - cos a sen b

cos (a + b)= cos a cos b - sen a senb

cos Ia= bj e cos a cos b + sen a sen b

tg(a+b )=tg a + tg b

I-tga tgb

tg (a - b) =tga-Igb

1+lga tgb

ctg (a + b) =ctg a ctg b-1

ctg a + ctg b

erg (a - b ) =ctg a ctg b+ I

ctg b - ctg a

Para angulos dobles.

sen(2a) = 2 sen a cos a

cos(2a)= cos 2a - sen 2a

Para media angulo.

a ~sen " 2 =±~~--2--

a ~ l+cos acos-=± ---2 2

a l-cosatg-=± ---2 I+cos a

sen (- a) = -sen a

cos (- a) = cos a

tg (-a)=-tga

erg (- a) =- ctg a

8ec(-a)= sec a

csc(-a)=-csca

Cuadrantes.

II Isen(+) sen(+)

cos(- ) cos(+)

Ig(- ) tg(+)

III IV

sen(- ) sen(- )

cos(- ) cos(+)

tg(+) tg(- )



P rod uc tos d e senos y cosenos.

Suma y difereucia de senos

y cosenos.

Triangulos Oblicuangulos.

Ley de senos

b

sen A sen 8 sen C

Ley de los cosenos

a2 =b2+c2_ 2bc cos A

b2 =a 2 + C 2 _ 2ac cos B

c' ~a'+b2_ 2ab cos C

sen a COSb=± [sen(a+b) +sen (a-b)]

cos a sen b = + [sen (a + b) - sen (a - b)]

cos a cos b ~ f [cos (a + b) + cos (a - b)]

sen a sen b =-+ [cos (a - b ) - cos (a + b ) ]

sen a +sen b =2 sen + (a+b) cos + (a-b)

sen a - s e n b = cos + ( a + b ) sen + ( a - b )

cosa+cosb=2cos f(a+b) cos

+ ( a - b )cos a - cos b ~-2 seof (a+b) sen f (a-b)

Ley de las tangentes.

tg_!_(A- B)a- b _?£- _

a +b Itg2(A+B)

b-ctg_!_(B- C)

2

b+ctg_!_(B+C)

2

I

c - atg2(C- A)

c +atg_!_(C+A)

2rea de triangulos.

A ~~ (base ) (a ltura )~ ~ be sen A~~ac sen B ~~ab sen C

a1senB senC

2 sen AA

A ~ ~s(s - ales - b)(s - c)

b 2 : sen C sen A c2 sen A sen 8

2 sen B 2 sen C

s~~(a+b+c )



Otras funciones importantes

sen(3a) = 3sen a - 4sen3 a cos(3a) = 4cos3 a - 3C08a ( )Ltg a . tg3•

tg 3. = ,1- 3tg-.

Relaciones entre funciones.

sen a cos a tg a co t a sec a esc a

~l- cos 2atg a ~sec 28 - 1

sen a

~l+tg2a ~1+cot2a sec a esc a

~I- sen 2acot a ~csc 28 - I

cos a

~1+tg2. ~1+cot2a sec a esc.

sen a ~l- cos 1a~g a

~l- sen 2a ~csc 28 - 1os a cot a

~ cos a~ot a

J l - cos 28 ~en a tg a

~1+tg2a~1+cot2a esc a

sec a

~1- sen 2a

~os a cot a

~1+tg2a~i +cot 2a

sec aesc a

~l- cos1a ~en a tg a

sen. = sen[. + k(2p)] cos. = cos[. + k(2p)]

esc a = csc[a + k(2p)] sec a = sen[a + k(2p)]

tg a = tg(a +kp)

ctg a =ctg(a +kp)

Circulo unitario.

(cos, sen)

(0, I)

(cos, sen)(-1,0)

(cos, sen)(1,0)

(cos, sen)

(0, -I)



Funciones trigonometricas de angulos notables.

sen a cos a tga cot a sec a esc a

0° 0 0

30° I .J 3 J _ .J 3.J3

2 2.J3

2" 2.J3-- T3~-3-

45°~ ~ *~ ~*~ ~

60°.J3 _ I_ .J3 I .J3 2 2.J32 2 .J3~- 73~3

90· 0 O C)

Transfurmacien de grados a radianes.

Ang 0° 15° 30° 45° 60° 90° 180° 2700360°

rr rr rt rr rr 3rrRad 0

6IT 2 1 1 :

12 4 2 2

Arco 0 0.26 0.52 0.78 1.05 1.57 3.14 4.71 6.28

Geometria Analitica.

Distancia entre dos puntas P ,(x" y,) y p ,(x" y,)

D istancia entre dos p untas XI Y X2

D ivision de un segmento

en una razon dada ( r )x = x l +rx 2

I+r

y~y,+ry2

J+r

x =X\+X2

m 2

x- xlr~---

X2 - x

Y~ y, +Y 2

m 2Coordenadas del punta media (r ~ I)

Lugar es Geometricos.

Simetria can el eje "x", f (x, y) ~ f (x, -y)

Simetria con el eje "y", f (x, y) ~ f (-x, y)

Simetria can el origen f(x, y) ~ f(-x, -y)

Intersecciones con el eje "x", y = 0

Intersccciones con el eje "y", x = 0

Extension: Valores rea les p ara "x" e "y" que satisfacen la e xpres i6n.

P ara e l e je "x", re cibe e l no mbre de dom inic .

Para el eje ;'y", recibe el nombre de rango.



Ecuacion de la recta pendiente ordenada al origen. y=rnx+b

Asintotas: Son los valores en "x" e "y" con los cuales la expresion se indetermina,pueden ser de tres tipos:

Asintotas verticales: Se despeja 1avariable "y", se obtienen las indeterminaciones.

Asintotas horizontales: Se despeja la variable "x", se obtienen las

indeterminaciones.

Asintotas oblicuas: No son paralclas a los ejes "x" 0 "y"

Linea Recta.

Pendiente de una recta In=tan aPendiente de un segmento de recta m = Y 2 - Y l = Y l - Y 2 xl 7; X2

Xl - Xl Xl - Xl

Condicion de paralelismo entre dos rectas. 111)=!TI2

Condicion de perpendicularidad entre dos rectas. fil = - = - - ! _ 0 mffi2= - Im2

Angulo de inclinacion de una recta con el eje "x". e =arc tg In, e = arc rg (Y 2 - Y l)(x2 - xl)

Ecuacion genera 1de la recta. Ax +By +C = 0

Ecuacion de Ia recta punta - pendiente

y- Yo =m(x - xo) Po = (xo, Yo ); pendiente: m

Ecuacion de la recta dados dos puntas.

Ecuacion de la recta en forma simetrica .

. . ! : + r= I 1 1 1 = . : . .. .Q _ Donde: "a" es la interseccion con el eje "x"

a b a "b" es la interseccion con el eje "y"

Ecuacion de la recta en su forma normal. x cos $ + y sen $ -p =0

A S C----==_:_ x + y + 0) A2 +S2 = r

±)A2+S2 ±)A2+S2 ±)A2+S2

Si C * " 0, r es de signo contrario a C

Si C = 0 y S * 0, r y S tienen el mismo signa

Si C ::::B ::::;, r y A tienen el mismc signa



Menor distancia de un punta a una recta. dAx+By+C

±1A2 +B2

donde m]Il12 : # . - 1

Tres puntas colineales.

1 x I

Y I

: 1=0x2 Y 2

xJ Y 3

Tres r ec tas concurrentes. Area de un polig ono y de un tria ng u lo.

I AI

BI

CI I x I Y IA2 82 C2 =0

1 x IY I

: 1

A J BJ C3 A=- ' -x 2 Y 2

A=~ x22

Y 2

x3 Y Jxn Yn

X b =~ (X I+X 2 +X 3 )

Circunferencia.

Circunferencia can centro en el origen (0, 0) x2 + y2 = r2

Circunferencia can centro en (h ,k) (x- h)2 + (y_ k)2 = r2

Ecuacion general de la circunferencia, x 2 + y2 + Dx + By + F = 0

Angulo entre dos rectas. q =afC tg012 - ffi]

1 + m ] 1 1 1 2

Ecua cion de 10 recta da dos dos puntos,

Baricentro de un triangulo.

D= - 2h

Indicador N = D 2 + E2 - 4F

Si N > 0 Circunferencia rea l can: c ( - ~ _ ~ )2' 2

s: N =0 un punta en: p (_ ~ _ ~ )

2' 2

Si N < 0 ningun lugar geometrico ~

Centro en:W -

E =-2k

Centro en C (h , k)



Parabola.

+~

+~directriz x = h - P C

directriz x =h +P ~

Vertice en el origen (0, 0), y eje focal el eje "x".

/ =4px foco (P ,O) directriz x+p= O

l=-4px foco (-p,O) directriz x-p=o

Vertice en el origen (0, 0), y eje focal el eje "y".

x ' =4py

x' = -4py

foco (O,p) directriz y+p=o

foco directriz0, -p) y-p =0

Vertice en (h, k), y eje focal paralelo al eje "x",

(y_k)2 =4p(x -h) foco (h+p,k)

(y - k)2 = -4p(x - h) foco (h-p,k)

Vertice en (h, k), y eje focal paralelo al eje "y".

(x- 11)' =4p(y - k) foco (h,k+p)

foco (h,k-p)

directriz y=k -p Udirectriz y=k+p n

Ecuaci6n general: AX' +Cy' + Ox + Ey + F = 0

Parabola COil eje paralelo al el eje "x" Cy' + Ox + Ey + F = 0 x = ay' + by + c

Parabola con eje paralelo al el eje "y". AX' + Ox + Ey + F = 0 Y= ax' +bx + c

Longitud dellado recto = i4Pi

Excentricidad = e = I

P = Oistancia del vertice al foco 0 del vertice a la directriz.

(x - h)' = - 4p(y - k)



Elipse.

Centro en el arigen (0, 0) y eje focal en el eje "x"

_£+L = I a >b v(±a,O)

a 2 bl f(±c,O)

Centro en el origen (0, 0) y eje focal en el eje "y"

xl / a> b v(O,±a)

b2+~ =1 f(O,±c)

Centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje "x",

(x _ b)2 + (y _ k)2 = Ia2

b2

a >b v(b±a,k)f(b±c,k)

Centro en (h, k) y eje focal para lela al eje "y"

(x - h)2 + (y _ k)2 = I

b2 a 2

Langitud del eje mayor = 2a

Langitud del eje menor = 2b

Distancia entre focos =2c

a >bv(h,k ±a)

f(h,k±c) oLongitud dellado recto = 1L

a

Excentricidad = e = £. = ~a 2 - b2

< Ia a

Directrices. CCO,O)a

x=±-e

CCb,k)=±~e

Ecuacion general: Ax2 +Cy2 +Dx + Ey +F = °Indicador N = CD2 + AE2 - 4ACF

Elipse can eje paralelo al eje "x" a eje "y".

A" 0, C ,,0, A YC del mismo signa, N > °Un punta N = 0, (punta elipse)

x-h=±~e

Ningun lugar geometrico N < O.



Hiperbola,

v(±a,O)

f(±c,O)

Asintotas

by=±-x

a

Centro en el origen (0, 0)

y eje focal el eje "x",

Ce ntro e n e l orige n (0, 0) r _ _ x2= 1

y eje focal el eje "y". a 2 b2v(O,±a)

f(O,±c)

Asintotasa

Y~±bx

Centro en (h, k) Y eje focal paralelo al eje "x",

e x - h)2 _ (y- k)2 ~ I v(h±a,k) f(h±c,k)

a 2 b2

Centro eo (h, k) Y eje focal paralelo al eje "y".

(y- k)2 _ (x- b)2 ~I v(h,k±a) f(h,k±c)

. z b2

2b2

Longitud del lade recto ~ -

a

Asintotas

y- k~±~-(x- h )Asintotas

y- k~±Hx- h )

. . c ~a2+b2Excentricidad ~ e ~ - ~ --_ > I

a aLongitud del eje conjugado =Zb

Longitud del eje transverso ~ 2aEcuaci6n general: Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F ~ 0

Distancia entre focos ~ 2c, e 2~ a 2+ b 2, c ~ ~ a 2 + b 2

Indicador N ~ CD2 + AE2 - 4ACF

Hiperbola con eje paralelo al eje "x" 0 al eje "y".

A" 0, C ,,0, A Y C de signo contrario; N" 0

Dos rectas que se intersecan en un p unto.

A" 0, C" 0, A Y C de signo contrario; N ~ 0



du

d . . / u _ dx

~ - 2 - J U

Formulario de Derivadas.

~ = 0, con c : :: :con stan tedx

dx =1dx

_i_ (u + v _ w ) = du + dv _ dwdx dx dx dx

_i_ (ev) = c dvdx dx

_i_ (uv) = u dv + v dudx dx dx

_i_ ( x n ) = nx 11 - I

dx

d ( n ) n - I dv- v =nv -dx dx

du dvv--u-

dx dxd ( U )dx v

du

_ i _ ( " , - ) = dx _ j_ kdx v c c edx

~=~~dx dv dx

Con y = y (v)

v= v (x)

_ < ! _ ( s e n v ) =C08 v d vdx dx

_ < ! _ ( c o s v ) = - s e n v ~dx dx

d () ,dv- tgv =sec r v e->

dx dx

d () ,dv-ctgv =-csc v-dx dx

d () dv- sec v =se.cv tgv-dx dx

_i_ (esc v) = _ esc v ctg v dvdx dx

_i_ (vel's \) = sen v ~dx dx

dv

_ < ! _ ( arc sen v) = dxdx ~

du

d'll/u _ dx _ I duy ----------

dx m~ mu~ dx

_i_(uvz)=uv dz +uz dv +vz dudx dx dx dx

dv

_i_ ( I n v)= dx =_!_dvdx v v dx

d (I )_ loge dudx ogu--u- dx

_i_ ( a v ) = a v In a dvdx dx

_i_(ev) =ev~

dx dx

d ( v ) v- 1 du V I dvdxu=vu dx+unudx

~ = _ !_ siendo y = f(x)dx dx

dy dv

_i_ ( arc cos v) =_ dxdx ~

dv

_i_ (aretgv) = "&dx I+v'

dv

_i_ (areetgv) =_ "&dx I+v'

dv

_i_ (arc sec v) = dx

dx v~

dv

_i_ ( arc esc v) = _ ____dx__d x v~v2_1

dv

_ < ! _ ( a r c v e r s v ) =____dlL_

dx ~



f erg v dv=111 sen v+C

f sec v dv=ln (sec v +tg v) +C

f esc vdv=ln (esc v -etgv)+C

f dv J vv2 +.2 =;;-arc tg;+C

f ~=_!._In ~+C\,2_a2 2a v+a

f dv I a +v.2_v2 =Z;111 ~+C

Formulario de Integrales Inmediatas.

f (du +dv - dw) = f du + f dv - f dwf a dv=af dv a =ete.

f dx=x+Cx n + 1f x'ldx =--+cn+1

vO+if v"dv =--+cn+1

f ~=ll1v+C=lnv+II1C=II1Cvv

'IV

fa'dv=-'-+C

111a

f eVdv=eV+C

J sen v dv = - cos v + c

f cos v dv = sen v + Cf sec2vdv= tg v + C

f esc 2v dv = - ctg v + C

J sec v tg v dv =secv+C

f esc v erg v dv = - esc v +Cf tg v dv =-In cos v+Cr= ln sec v+C

f __ d_v_=arc sen ~+C~a2_v2 a

f~=ln(v+~v2±a2)+C""v2±a2



e sen (}

Ig - co. 0

sec S • . . . ! "cos IJ

ldentidades Trigonometricas:

s~ne , .n B - + [ c o s (e-p)- c o . ( ( ) - > I I ) ]

co. 9 co. p. + [co, (0 -13) - > cos ( a + P) 1s o n 2 0 +co.20.1

C9C2 0 _ cIg20-1

sec 10 _lg2 9 • I

sen 2 0 - ~ ( I - C O S 2 e )

co,2 e - ~ ( I +00. 2 e )

1- cos 0 - 2B." 1 ..!.. 92

1+ co,9-2co,' . . !. . e2

I± sen e -I±co, ( + 1 t - O )

CIS a _ co. 0 __ 1_

SOil 0 I S e

, e 1 1 0 ca,e· + , c 1 1 2 0

sen 0 oo,ll.+[,ol1(O- f l ) + sen ( a + p ) 1

csc B 1-

'Oil

e

Sustituciones Trtgonometricas

Purn,,~l5iil COli 0, IlnSlise u"nlicn9

P o r n . . ~ I I i I A H O C S , I l u g a l t e u eu l a n O

P tU 'O " ~ «u h1 l1 0, !-ILlg.uR C U -II seeS

Por Partes:

JUdv3uv-Jvdu

Fracciones Parciales

Ca so I Fuctores L inea les Di,lintos,ABC

-- + -- +x·a x+b

Ca se 11 1Fa ctorcs

Ax+B

8x 2+bx+c

Caso IV Factor es Cuad ra ticos lg ua les,_~ + A 2x+13 2

ox 2 +bx +C (IIX 2 +bx +C)2

Slendo A, Bye coosta ntes a dcterminar ,

Caso II Factores L inea les lg uulcs,

=~+~+ +~ax +b (a x +b)' '" (a x +b)"

uadr6ticos Distintos.

+ A,x+B 2

ax 2 +bx+c

Integrales Definidas:

Jb •"f(x ) dx = "(b ) - F(a)

A x+B

+ '" + (llx1+bx+c)tl

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