Formalismo de Integral de camino en Teorias de Campos

Alumno: Matıas Leoni Olivera

Profesor: Gustavo Lozano

Departamento de Fisica, Universidad de Buenos Aires

Resumen

La motivacion de este trabajo es extender lo estudiado en el curso “Introduccion a la

teoria de Campos”. En el curso mencionado se estudio la cuantizacion de diversas teorıas

de campos en el contexto de la cuantizacion canonica. En este trabajo se introducen los

metodos de cuantizacion a traves del formalismo de la integral de camino.

Indice

1. Introduccion y Motivacion historica 3

1.1. Formalismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Sugerencia de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Construccion de Feynman 6

2.1. Nucleo de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Integral de Camino en la primera cuantizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Realizacion explicita de la conjetura de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Productos ordenados temporalmente y funciones de N puntos . . . . . . . . . . 132.5. Amplitud de persistencia del vacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Generalizacion a Teorias de Campos 19

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Herramientas para calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1. Campos Euclideos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2. Integrales Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3. Desarrollo en serie de W [J ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Cuantizacion de teorıas bosonicas 27

4.1. Campo escalar libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Teorıa λφ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Cuantizacion de teorıas fermionicas 37

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Algebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3. Campo de Dirac Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6. Teorema de Noether 50

6.1. Teorema de Noether clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2. Teorema de Noether cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

Nota Bibliografica: Independientemente de las referencias bibliograficas aisladas a lo largode este trabajo, el mismo, esta basado fundamentalmente en los textos de W. Greiner [1], J.J.Sakurai [2] y F. Schaposnik [3].

2

1. Introduccion y Motivacion historica

1.1. Formalismos

Las primeras construcciones matematicas consistentes del proceso que llamamos cuanti-zacion son aquellas que se deducen de los esbozos desarrollados por Erwin Schrodinger [4] yWerner Heisenberg [5] alrededor del ano 1926. Estas formulaciones fueron posteriormente es-tructuradas en un conjunto de postulados en los que la idea principal es elevar las variablesclasicas de un sistema a operadores y establecer, en analogıa a los corchetes de Poisson clasi-cos, un algebra de anticonmutacion de estos operadores. Las magnitudes fisicas son pues losautoestados de los operadores hermiticos que describen los observables fisicos.

La diferencia entre la formulacion de Heisenberg y la de Schrodinger esta en la distincionde cual es el objeto que evoluciona en el tiempo. En ambas formulaciones existe un estado quedescribe todo aquello que podemos conocer del sistema (Interpretacion de Copenhaguen) que enla representacion de Schrodinger evoluciona en el tiempo y en la representacion de Heisenbergno. Por otra parte, los operadores estan fijos en el tiempo en Schrodinger y varian en el tiempoen Heisenberg.

El mismo ano en el que Schrodinger formula la mecanica ondulatoria, demuestra [6] laequivalencia entre esta y la mecanica matricial de Heisenberg. Este hecho, una vez establecidoel formalismo de Dirac de la mecanica cuantica en el espacio de estados, resulta bastanteevidente como repasaremos mas abajo.

1.2. Sugerencia de Dirac

Todos tenemos una aunque mas no sea simple idea de que la formulacion a traves de laintegral de camino es bastante diferentes a las formulaciones antes mencionadas. Sabemos agrandes razgos hay que calcular una suma sobre todas las trayectorias posibles del sistema,pesada la suma con una fase exponencial que contiene la accion clasica. Pero, ¿de donde vieneesto? ¿Como se dio cuenta Feynmann? ¿Que relacion hay?

Sucede que R. Feynmann se detuvo a pensar algunas observaciones no muy precisas hechaspor P. Dirac en su libro de Mecanica Cuantica, segun relata Sakurai [2]. Veamos cual es elrazonamiento de Dirac mas en detalle. Supongamos que tenemos la funcion de onda en larepresentacion de Schrodinger:

ψ(q, t) = 〈q|ψ(t)〉S (1)

3

Sin perdida de generalidad podemos escribir ψ de la siguiente forma:

ψ(q, t) = A(q, t)ei~φ(q,t) (2)

Donde A y φ son funciones reales. La idea es ahora introducir la funcion de onda en estanueva forma funcional dentro de la ecuacion de Schrodinger. Supongamos un hamiltoniano dela forma H = −~

2

2m∇2 + V (q, t), entonces la ecuacion queda:

−i~

me

i~φ~∇φ.~∇A−

~2

2me

i~φ∇2A−

i~

2me

i~φA∇2φ+

1

2me

i~φA|~∇φ|

2+ V (q, t)e

i~

φA =

= −∂φ

∂te

i~φA + i~e

i~φ∂A

∂t(3)

Si eliminamos las exponenciales queda:

−i~

m~∇φ.~∇A−

~2

2m∇2A−

i~

2mA∇2φ+

1

2mA|~∇φ|

2+ V (q, t)A = −

∂φ

∂tA+ i~

∂A

∂t(4)

Si ahora tomamos el limite cuando ~ tiende a cero nos queda:

1

2m|~∇φ(q, t)|

2+ V (q, t) +

∂φ(q, t)

∂t= 0 (5)

Vemos que esta ecuacion es la misma que satisface la accion clasica en la ecuacion deHamilton-Jacobi:

H(~q,∂S(q, t)

∂~q) +

∂S

∂t= 0 (6)

Esto nos dice que, en el limite clasico la fase de la funcion de onda es la accion clasica comofuncion de las coordenadas. Entonces esto nos sugiere que cuanticamente, estos objetos estanrelacionados. Por otra parte como sabemos que la trayectoria clasica es aquella que minimizala accion, pero que cuanticamente la trayectoria no tiene sentido alguno entonces la relacioncuantica entre la accion clasica y la fase de la funcion de onda debe darse teniendo en cuentano solo la trayectoria clasica sino que todas las trayectorias posibles.

De ahı que Dirac realiza la siguiente sugerencia:

4

ψ(q, t) ∼∑

trayectorias

exp(i

~S) (7)

Esto es solo una sugerencia, pero R. Feynmann se dio cuenta como llevar esto a un formalis-mo para calcular en mecanica cuantica y como ese formalismo es equivalente al los formalismosde Schrodinger y Heisenberg. Su trabajo original [7] era en teorias cuanticas no relativistas y deprimera cuantizacion, pero este formalismo fue luego extendido a teorias de campos relativistas.

5

2. Construccion de Feynman

2.1. Nucleo de Feynman

Antes de hacer la contruccion repasemos un poco la descripcion de Schrodinger y Heisenbergen el espacio de estados. El estado en la representacion de Schrodinger depende del tiempo yen el tiempo considerado como inicial, es igual al estado en la representacion de Heisenberg:

|φ(t)〉S = U(t, t0)|φ(t0)〉S = U(t, t0)|φ〉H (8)

Donde U es el operador de evolucion en el tiempo que lleva al sistema del tiempo t0 al tiempot.

Los autoestados de los observables fısicos forman una base completa del espacio de Hilbert.En la representacion de Schrodinger los autoestados y autovalores estan fijos. En la repre-sentacion de Heisenberg los autoestados evolucionan en el tiempo:

AS|ai〉S = ai|ai〉S entonces U−1ASUU−1|ai〉S = aiU

−1|ai〉S

AH(t)|ai(t)〉H = ai|ai(t)〉S donde U−1ASU = AH(t) y U−1|ai〉S = |ai(t)〉H (9)

De esta manera los valores medios de los observables y la probabiladad de observar el esta-do del sistema con un determinado valor de una magnitud fisica son equivalentes en ambasformulaciones:

〈A〉S = 〈φ(t)|AS|φ(t)〉S = 〈φ|AH(t)|φ〉H

Pai= 〈φ(t)|S|ai〉〈ai||φ(t)〉S = 〈φ|H|ai(t)〉〈ai(t)||φ〉H (10)

Tomemos el operador posicion en la representacion de Heisenberg. Como decıamos antes, losautoestados de los observables forman una base completa y ortonormal del espacio de Hilbert.Esto implica que:

〈q(t)|q′(t)〉 = δ(q − q′) y 1 =

∫

dq|q(t)〉〈q(t)| (11)

Entonces observemos que, utilizando la segunda identidad de la formula (11) la funcion deonda satisface lo siguiente:

φ(q′, t′) = 〈q′, t′|φ〉H =

∫

dqφ(q, t)〈q′, t′|q, t〉 (12)

6

Esta ecuacion nos dice que si conocemos la funcion de onda en un tiempo inicial, podemosestudiar su evolucion mientras conozcamos 〈q′, t′|q, t〉 que se denomina “Nucleo de Feynman”.Es decir que en vez de utilizar la ecuacion de Schrodinger o la de Heisenberg para estudiar laevolucion temporal del sistema, alcanza con conocer el nucleo. Este es el punto de partida parala construccion de Feynman.

Por otra parte, el nucleo de Feynman tiene una interpretacion clara en el contexto de laformulacion canonica: Es la amplitud de probabilidad de encontrar el sistema en la posicion q′

a tiempo t′ si se encontraba en q a tiempo t.

2.2. Integral de Camino en la primera cuantizacion

A continuacion obtendremos una expresion del nucleo de Feynman a partir de una integralfuncional. La novedad de esto, es que veremos que en el calculo ya no va a ser necesario hablardel espacio de estados y de operadores. Independientemente del poder que se pueda alcanzar conesta nueva formulacion, en cuanto a la posibilidad para obtener predicciones fisicas de la teorıay la capacidad de hacer analisis del contenido matematico de la misma, esta nueva formulacionabre las puertas a otra manera de pensar los contenidos interpretativos de la teorıa. Es decir,que ademas de la riqueza matematica que posee la nueva formulacion, nuevas interpretacionesfisicas de las situaciones que se presentan son posibles con este formalismo. A pesar de que lasinterpretaciones no son consecuencias logicas objetivas de la teorıa, las mismas son la fuente deinspiracion para la creacion y reformulacion de nuevas teorıas fısicas.

Tomemos el intervalo t′ − t y dividamoslo en N intervalos de tamano ε. Entonces utilizandola completitud de los autoestados del operador posicion en la representacion de Heisenbergvarias veces, podemos escribir:

〈q′, t′|q, t〉 = 〈qN , tN |q0, t0〉 =

∫

dq1..dqN−1〈qN , tN |qN−1, tN−1〉...〈q1, t1|q0, t0〉 =

=

∫ N−1∏

i=1

dqi

N−1∏

n=0

〈qn+1, tn+1|qn, tn〉 (13)

La interpretacion de esta ecuacion es clara si observamos la figura 1, tipica para iluminar estepunto. Las integrales realizan la suma de las amplitudes de probabilidad sobre todas las posiblestrayectorias que unen los extremos que estan fijos. Es decir, que la amplitud de probabilidad deir de q, t a q′, t′ es el producto de las probabilidades intermedias sumadas sobre todos los posibles

7

Figura 1: Amplitud de probabilidad en un camino particular

caminos que unen los puntos q y q′. Esta descomposicion es razonable solo si la evaluacion esmas sencilla en las amplitudes intermedias. Como veremos, este es el caso si los intervalos soninfinitesimales. Cada una de las amplitudes intermedias se denomina transferencia. Estudiemosuna en particular y despues volvemos a (13). Para esto llevemos los brackets a los vectores basede la representacion de Schrodinger. Cada una de las amplitudes es de la forma:

〈qn+1, tn+1|qn, tn〉 = 〈qn+1| exp(−i

~Hε)|qn〉 = 〈qn+1|1 −

i

~Hε|qn〉 +O(ε2) (14)

Ahora analizemos la parte del hamiltoniano e insertemos una relacion de completitud.

〈qn+1|H|qn〉 =

∫

dp

2π~〈qn+1|pn〉〈pn|H(p, q)|qn〉 (15)

8

Evaluar el elemento de matriz del hamiltoniano no es trivial. Si los terminos del hamiltonianofueran sumas de terminos con p y q independientes entonces nos quedarıa:

〈pn|H(p, q)|qn〉 = H(pn, qn)〈pn|qn〉 (16)

Pero podrıa suceder que el hamiltoniano tuviera terminos con combinaciones de p y q. Poresto, tenemos que asumir algo respecto al hamiltoniano. La suposicion mas simetrica es pensarque los terminos combinados aparecen como la suma de las permutaciones de los productos delos operadores p y q (ordenamiento de Weyl). Se puede probar (ver [1], pag 347) que en esecaso el elemento de matriz da lo siguiente:

〈pn|H(p, q)|qn〉 = H(pn,qn+1 + qn

2)〈pn|qn〉 (17)

Para seguir las dos posibilidades definiremos qn de manera que puede ser igual a qn o aqn+qn+1

2segun querramos. Utilizando esta definicion y volviendo a (14) tenemos que:

〈qn+1, tn+1|qn, tn〉 =

∫

dpn

2π~exp(

i

~(qn+1 − qn)pn)(1 −

iε

~H(pn, qn)) (18)

Insertemos esto en (13):

〈q′, t′|q, t〉 = lımN→∞

lımε→0

∫ N−1∏

i=1

dqi

N−1∏

n=0

∫

dpn

2π~exp(

i

~(qn+1 − qn)pn)(1 −

iε

~H(pn, qn)) (19)

Ahora vamos a usar la siguiente propiedad de la exponencial:

lımN→∞

(

1 +x

N

)N

= ex (20)

Cuya generalizacion, para una sucesion es:

lımN→∞

N−1∏

n=0

(

1 +xn

N

)

= exp

(

lımN→∞

1

N

N−1∑

n=0

xn

)

(21)

9

Entonces si identificamos xn = −[i(t′− t)/~]H(pn, qn) podemos aplicar la identidad en (19):

〈q′, t′|q, t〉 = lımN→∞

lımε→0

∫ N−1∏

i=1

dqi

∫ N−1∏

n=0

dpn

2π~exp

[

iε

~

N−1∑

n=0

(

pn(qn+1 − qn)

ε−H(pn, qn)

)

]

(22)

En el lımite cuando N → ∞ los puntos qn y pn pueden pensarse como constituyendo unared que tienden a las funciones continuas q(t) y p(t); de esta manera los valores qn y pn son losvalores de muestreo en el tiempo de las funciones continuas: q(tn) = qn. Para tomar el lımitetenemos las siguientes consideraciones:

(qn+1 − qn)

ε→ q(tn) , ε

N−1∑

n=0

f(tn) →

∫ t′

t

f(τ)dτ

∫ N−1∏

n=0

dqn

∫ N−1∏

n=0

dpn

2π~→

∫

Dq

∫

Dp (23)

Entonces la expresion para el nucleo de Feynman queda:

〈q′, t′|q, t〉 =

∫

Dq

∫

Dp exp

(

i

~

∫ t′

t

(pq −H(p, q))dτ

)

(24)

La integral aquı construıda se denomina integral funcional o integral de camino. La mismase extiende sobre todas las funciones p(τ) y las funciones q(τ) que cumplen que q(t) = q y queq(t′) = q′. Vale la pena remarcar que la funcion obtenida en el exponente, a pesar de ser similaral Lagrangiano, no lo es, ya que la variable p fue introducida como una variable independiente.

En 1925 N. Wiener introdujo una integral funcional para describir un proceso de difusion, enun problema conocido como “caminata al azar”. La diferencia en ese caso es que la exponencialposeıa un argumento real negativo lo que aseguraba la convergencia. Nuestra integral funcionalno posee ese beneficio; sin embargo es posible usar un artificio de extender analıticamente eltiempo a los complejos de manera de poder calcular la integral (Rotacion de Wick).

10

2.3. Realizacion explicita de la conjetura de Dirac

Vamos ahora a suponer una forma particular (bastante usual) del Hamiltomiano.

H =p2

2m+ V (q) (25)

Entonces, a primer orden, la amplitud infinitesimal entre dos puntos es:

〈qn+1, tn+1|qn, tn〉 =

∫

dpn

2π~exp

[

iε

~

(

pn(qn+1 − qn)

ε−pn

2

2m− V (qn)

)]

=

=

∫

dpn

2π~exp

[

iε

~

(

pnqn −pn

2

2m− V (qn)

)]

(26)

Ahora completamos cuadrados para poder realizar la integral Gaussiana:

〈qn+1, tn+1|qn, tn〉 =

∫

dpn

2π~exp

[

iε

~

(

m2qn2 − (pn −mqn)2

2m− V (qn)

)]

(27)

Luego hacemos el cambio de variables: p′n = pn −mqn y nos queda:

〈qn+1, tn+1|qn, tn〉 = exp

[

iε

~

(

mqn2

2− V (qn)

)]∫

dp′n2π~

exp

(

−iε

~

p′n2

2m

)

(28)

Ahora hacemos la integral Gaussiana usando la formula:

∫ −∞

∞

dx e−zx2

=

√

π

z, Re(z) > 0 (29)

Nuestra integral tiene Re(z) = 0 ya que el argumento es imaginario puro. Sin embargoutilizamos la formula (29) pensando en una continuacion analıtica. Por lo tanto:

〈qn+1, tn+1|qn, tn〉 = exp

[

iε

~

(

mqn2

2− V (qn)

)]

( m

2πiε~

)1/2

(30)

11

Insertando esto en 13 y tomando el lımite:

〈q′, t′|q, t〉 = lımN→∞

( m

2πiε~

)N/2∫ N−1∏

n=1

dqn exp

[

iε

~

(

mqn2

2− V (qn)

)]

= η

∫

Dq exp

[

i

~

∫ t′

t

dτ

(

mq2

2− V (q)

)

]

= η

∫

Dq exp

(

i

~

∫ t′

t

dτL(q, q)

)

= η

∫

Dq ei~

S[q,q] (31)

El valor de la constante de normalizacion η no esta bien definido en el liminte cuandoN → ∞, sin embargo lo que interesa de la integral funcional es la dependencia funcional y nosu valor explıcito.

En la formula (31) vemos explıcitamente realizada la conjetura de Dirac. No es la funcion deonda sino el nucleo de Feynman el que se puede calcular haciendo una suma (integral funcional)sobre todas las trayectorias pesada con una fase cuyo argumento es la accion clasica.

Por otra parte podemos tambien entender como recuperar el lımite clasico de la cuantizacion.Cuando ~ es pequeno comparado con S[p, q] entonces el argumento de la exponencial oscilafuertemente y todas las contribuciones se cancelan excepto las de aquellas trayectorias dondela accion no varıe, donde es estacionaria: δS = 0. Justamente la trayectoria clasica es aquellaque hace estacionaria a la accion.

El desarrollo hasta ahora realizado fue hecho para un solo grado de libertad en el espacio deconfiguracion. Sin embargo extenderlo a varios grados de libertad es una cuestion casi trivial.Ademas vale la pena aclarar que la formula (31) es menos general que (24). Para llegar de unaa otra asumimos la dependencia cuadratica de los momentos del hamiltoniano, con coeficientesconstantes. Si la dependencia hubiera sido mas complicada, tambien hubiera sido posible llegarde una formulacion a la otra. Por ejemplo, supongamos que el Lagrangiano es de la forma:

L(~q, ~q) =1

2~q

tM(q)~q − V (~q) (32)

En este caso el Hamiltoniano sera cuadratico en el momento con coeficientes que dependerande las coordenadas. Con un poco mas de cuidado, tambien en este caso se puede ir de (24) a(31). Hay que remarcar que en el caso general no siempre hubiera sido posible.

12

2.4. Productos ordenados temporalmente y funciones de N puntos

Nos interesa calcular el valor de espectacion del operador posicion q(ti) de la representacionde Heisenberg utilizando la integral funcional. Supongamos que t′ > ti > t, entonces:

〈q′, t′|q(ti)|q, t〉 =

∫

dq1...dqN−1〈qN , tN |qN−1, tN−1〉...〈qi+1, ti+1|q(ti)|qi, ti〉...〈q1, t1|q0, t0〉 =

=

∫

Dq

∫

Dp q(ti) exp

(

i

~

∫ t′

t

(pq −H(p, q))dτ

)

(33)

Ahora tomemos el producto de dos operadores posicion en diferentes tiempos: q(ti)q(tj).Primero supongamos que ti > tj y que ambos tiempos estan contenidos en el intervalo [t, t′],entonces:

〈q′, t′|q(ti)q(tj)|q, t〉 =

∫

dq1...dqN−1〈qN , tN |qN−1, tN−1〉...〈qi+1, ti+1|q(ti)|qi, ti〉...

...〈qj+1, tj+1|q(tj)|qj, tj〉...〈q1, t1|q0, t0〉 =

∫

Dq

∫

Dp q(ti)q(tj) exp

(

i

~

∫ t′

t

(pq −H(p, q))dτ

)

(34)

Si hubieramos dicho que tj > ti entonces la cuenta que hicimos recien no hubiera tenidosentido ya que la particion del intervalo [t, t′] la hicimos de forma ordenada de derecha a izquier-da. Pero, por otra parte, si invertamos el orden de los operadores, entonces la cuenta hubieradado lo mismo. Vemos entonces, que la nocion de orden temporal, ya viene automaticamenteincorporada a la integral funcional, entonces:

〈q′, t′|T [q(ti)q(tj)]|q, t〉 =

∫

Dq

∫

Dp q(ti)q(tj) exp

(

i

~

∫ t′

t

(pq −H(p, q))dτ

)

(35)

Generalizando esta nocion, tenemos que el valor de expectacion del producto ordenadotemporalmente de n operadores q es:

〈q′, t′|T [q(t1)...q(tn)]|q, t〉 =

∫

Dq

∫

Dp q(t1)...q(tn) exp

(

i

~

∫ t′

t

(pq −H(p, q))dτ

)

(36)

13

Ademas, si el Hamiltoniano es cuadratico en el momento, se puede llevar esta expresion ala forma de Feynman:

〈q′, t′|T [q(t1)...q(tn)]|q, t〉 = η

∫

Dq q(t1)...q(tn) exp

(

i

~S[q, q]

)

(37)

Donde la accion es la integral temporal del Lagrangiano en el intervalo [t, t′].Ahora queremos estudiar el valor de expectacion de vacio de un producto ordenado de

operadores:G(t1, t2) = 〈0|T [q(t1)q(t2))]|0〉 (38)

Cuando estudiamos el formalismo canonico de teorıas de campos en el curso, vimos queestas funciones son utiles en el estudio de la matriz S y representan los propagadores de lasdistintas teorıas. Para hacer esto, tomamos una base de los autoestados del Hamiltoniano enla representacion de Schrodinger:

H|n〉 = En|n〉 tal que 1 =∑

n=0

|n〉〈n| (39)

Entonces tenemos que:

|q, t〉 = ei~Ht∑

n=0

|n〉〈n|q〉 =∑

n=0

ei~Entψ∗

n(q)|n〉 (40)

Aplicamos esto ultimo en el lado izquierdo de (35) y nos queda que:

〈q′, t′|T [q(t1)q(t2))]|q, t〉 =∑

n,n′=0

ei~(Ent−En′ t′)ψn′(q′)ψ∗

n(q)〈n′|T [q(t1)q(t2)]|n〉 (41)

Ahora queremos tomar el lımite cuando t′ → ∞ y cuando t→ −∞ para quedarnos solo conun termino de la suma en (41). En principio esto parecerıa erroneo porque todos los exponentesoscilan. Pero vamos a usar el artificio matematico que ya nombramos antes, que consiste en rotaral tiempo en el plano complejo. Definimos: τ = eiδt y τ ′ = eiδt′. En la figura 2 se esquematiza larotacion. Cuando tomemos el lımite en vez de hacer τ ′ → eiδ∞ y τ → −eiδ∞, haremos τ ′ → ∞

14

Figura 2: Rotacion en el plano complejo del tiempo

y τ → −∞. Esto es valido asumiendo que el valor de expectacion es una funcion analıtica de ty t′. Es decir que lo que estamos haciendo es una continuacion analıtica. Tomaremos como valorδ = π/2. En este caso y en el lımite mencionado todas las exponenciales son decrecientes, porlo tanto solo dejamos aquella que predomina en el lımite, es decir, la del estado fundamental(asumiendo que no esta degenerado). Entonces nos queda:

lımτ ′→∞ τ→−∞

〈q′,−iτ ′|T [q(t1)q(t2))]|q,−iτ〉 = e−E0~

(τ ′−τ)ψ0(q′)ψ∗

0(q)〈0|T [q(t1)q(t2)]|0〉 (42)

Ademas observemos que el termino que acompaa al valor de expecacion de vacıo es igual alnucleo de Feynman en el mismo lımite recien explicado. Entonces tenemos que:

〈0|T [q(t1)q(t2)]|0〉 =lımτ ′→∞ τ→−∞〈q′,−iτ ′|T [q(t1)q(t2))]|q,−iτ〉

lımτ ′→∞ τ→−∞〈q′,−iτ ′|q,−iτ〉(43)

Ahora hacemos la continuacion analıtica de este lımite pero girando hacia atras:

〈0|T [q(t1)q(t2)]|0〉 =lımt′→∞ t→−∞〈q′, t′|T [q(t1)q(t2))]|q, t〉

lımt′→∞ t→−∞〈q′, t′|q, t〉(44)

15

Expresando esto en terminos de las integrales de camino, tenemos que:

〈0|T [q(t1)q(t2)]|0〉 =

∫

Dq∫

Dp q(t1)q(t2) exp(

i~

∫∞

−∞(pq −H(p, q))dτ

)

∫

Dq∫

Dp exp(

i~

∫∞

−∞(pq −H(p, q))dτ

) (45)

Y ademas puedo generalizar a un producto de mas operadores:

〈0|T [q(t1)...q(tn)]|0〉 =

∫

Dq∫

Dp q(t1)...q(tn) exp(

i~

∫∞

−∞(pq −H(p, q))dτ

)

∫

Dq∫

Dp exp(

i~

∫∞

−∞(pq −H(p, q))dτ

) (46)

Por otra parte si el Hamiltoniano satisface lo discutido en la seccion anterior podemos llevaresta expresion a la forma:

〈0|T [q(t1)...q(tn)]|0〉 =

∫

Dq q(t1)...q(tn) exp(

i~

∫∞

−∞L(q, q)dτ

)

∫

Dq exp(

i~

∫∞

−∞L(q, q)dτ

) (47)

Al denominador de esta expresion, muchas veces se lo llama, en analogıa con la Mecanicaestadıstica, funcion de particion.

2.5. Amplitud de persistencia del vacio

Vamos a estudiar ahora que sucede si perturbamos a un sistema con una fuente externaJ(t) acoplada en la forma −J(t)q que varıa en el tiempo. Supongamos que la fuente se prendeen t1 y se apaga en t2 de manera que t < t1 < t2 < t′. Calculemos el nucleo de Feynman enpresencia de esta fuente.

〈q′, t′|q, t〉J =

∫

Dq

∫

Dp exp

(

i

~

∫ t′

−t

(pq −H(p, q) + J(τ)q)dτ

)

(48)

16

Como hicimos al final de la secion anterior, vamos a buscar magnitudes fısicas relevantesestudiando el lımite cuando t′ → ∞ y t→ −∞. Teniendo en cuenta que en los intervalos [t, t1]y [t2, t

′] la fuente esta apagada, entonces podemos escribir que:

〈q′, t′|q, t〉J =

∫

dq1dq2〈q′, t′|q2, t2〉〈q2, t2|q1, t1〉J〈q1, t1|q, t〉 (49)

Por otra parte, los bra-kets que estan afuera de la perturbacion J(t) satisfacen que:

〈q′, t′|q2, t2〉 = 〈q′|e−i~

H(t′−t2)|q2〉 =∑

n=0

ψn(q′)ψn∗(q2)e

− i~

En(t′−t2)

Y ademas 〈q1, t1|q, t〉 = 〈q1|e− i

~H(t1−t)|q〉 =

∑

n=0

ψn(q1)ψn∗(q)e−

i~En(t1−t) (50)

Introduciendo esto en (49) nos queda que:

〈q′, t′|q, t〉J =∑

n,n′

ψn∗(q)ψ′

n(q′)e−i~(En′ t′−Ent)

∫

dq1dq2ψn(q1, t1)ψn′∗(q2, t2)〈q2, t2|q1, t1〉J (51)

Ahora usamos el mismo “truco” de rotar el tiempo y tomar el lımite y quedarnos con laexponencial predominante:

〈q′,−iτ ′|q,−iτ〉J → ψ0∗(q)ψ0(q

′)e−1

~E0(τ ′−τ)

∫

dq1dq2ψ0(q1, t1)ψ0∗(q2, t2)〈q2, t2|q1, t1〉J =

= ψ0∗(q)ψ0(q

′)e−1

~E0(τ ′−τ)

∫

dq1dq2〈0|q2, t2〉〈q2, t2|q1, t1〉J〈q1, t1|0〉 (52)

Excepto por el termino frente a la integral, el resto se podrıa interpretar como la amplitudde probabilidad de que el estado de vacıo no se modifique a lo largo de la perturbacion J(t).Utilizando esta interpretacion definimos la “Amplitud de persistencia del vacio”:

W [J ] = 〈0|0〉J =

∫

dq1dq2〈0|q2, t2〉〈q2, t2|q1, t1〉J〈q1, t1|0〉 (53)

Pero con lo que ya desarrollamos podemos evaluar W [J ] como:

W [J ] = lımτ ′→∞ τ→−∞

〈q′,−iτ ′|q,−iτ〉Jψ0

∗(q,−iτ)ψ0(q′,−iτ ′)= lım

τ ′→∞ τ→−∞

〈q′,−iτ ′|q,−iτ〉J〈q′,−iτ ′|q,−iτ〉

=

17

= lımt′→∞ t→−∞

〈q′, t′|q, t〉J〈q′, t′|q, t〉

= η

∫

Dq

∫

Dp exp

(

i

~

∫ ∞

−∞

(pq −H(p, q) + J(τ)q)dτ

)

(54)

Donde η queda determinado por la condicion W [0] = 1. Como siempre si el sistema tieneun Lagrangiano cuadratico en las velocidades, entonces se puede llevar a la forma de Feynman:

W [J ] = η′∫

Dq

∫

exp

(

i

~

∫ ∞

−∞

(L(q, q) + J(τ)q)dτ

)

(55)

La construccion de esta seccion fue hecha para un grado de libertad unicamente. Sin em-bargo, la generalizacion para un numero arbitrario de grados de libertad es inmediata. En esecaso, la perturbacion entrarıa al Lagrangiano como

∑

qaJa(t):

W [J1, ..., Jd] = η

∫

∏

a

Dqa∏

a

Dpa exp

[

i

~

∫ ∞

−∞

(

∑

a

paqa −H +∑

a

Ja(τ)qa

)

dτ

]

=

= η′∫

∏

a

Dqa exp

[

i

~

∫ ∞

−∞

(

L+∑

a

Ja(τ)qa

)

dτ

]

(56)

Donde la ultima ecuacion solo vale para el caso del Lagrangiano con dependencia cuadraticaen las velocidades.

Observemos que sucede si tomamos derivadas de la W [J ] respecto de J

δnW [J ]

δJ(t1)...δJ(tn)= η

(

i

~

)n ∫

Dq

∫

Dp q(t1)...q(tn) exp

(

i

~

∫ ∞

−∞

(pq −H(p, q) + J(τ)q)dτ

)

(57)

Por lo tanto vemos que si evaluamos en J = 0 obtenemos el valor de expectacion de vacıodel producto ordenado temporalmente de operadores:

〈0|T [q(t1)...q(tn)]|0〉 =

(

~

i

)nδnW [J ]

δJ(t1)...δJ(tn)

∣

∣

∣

∣

J=0

(58)

18

3. Generalizacion a Teorias de Campos

3.1. Introduccion

Hasta ahora estuvimos desarrollando el formalismo de la integral de camino en el contextode la primera cuantizacion, es decir, en teorıas con un numero de grados de libertad finitos yque en particular no eran relativistas. Por otra parte muchos de los desarrollos los hicimos parasistemas con un solo grado de libertad y dijimos que generalizarlos a muchos era una cuestionformalmente trivial.

Sabemos ademas que las teorıas de campos cuanticas las podemos pensar como teorıas dela mecanica cuantica ordinaria pero con un numero infinıto (continuo) de grados de libertad.Podemos pensar al espacio como una red de M cubos de tamao ∆V y que el campo en cadauno de los cubos toma un valor: φ(xl, t) = φl(t). De manera que podemos pensar a este sistemacomo uno ordinario de la mecanica cuantica con M grados de libertad, donde haremos tendera M a infinito y ∆V a 0.

Por ahora estudiaremos una teorıa de campos, donde el campo en cuestion es un escalar(relativista). Despues generalizaremos a teorıas mas complicadas.

Volviendo a la analogıa antes mencionada, la generalizacion de la integral de camino a unateorıa de campos, es inmediata. Veamos como queda. En el formalismo canonico el campo pasaa ser un operador:

φ(x, t) → φ(x, t) (59)

Este operador tiene una conjunto de autoestados:

φ(x, t)|φ, t〉 = φ(x)|φ, t〉 (60)

Estos autoestados son los vectores base que varıan en el tiempo de manera que:

|φ, t〉 = ei~Ht|φ〉 (61)

Entonces la generalizacion del nucleo de Feynman sera:

〈φ′, t′|φ, t〉 = 〈φ′|ei~H(t−t′)|φ〉 =

=

∫

D[φ]

∫

D[π] exp

[

i

~

∫ t

−t

dt

∫

d3x (π∂0φ−H)

]

(62)

19

Ademas, si la densidad Lagrangiana (L = L(φ, ∂µφ)) es una funcion cuadratica de ∂0φentonces la integral funcional se puede llevar a la forma de Feynman:

〈φ′, t′|φ, t〉 = N

∫

D[φ] exp

[

i

~

∫ t

−t

dt

∫

d3xL(φ, ∂µφ)

]

(63)

Esta condicion (de velocidades cuadraticas) es mas que comun en el contexto de teorıas decampos. En particular, la teorıa del campo escalar con autointeracciones es:

L =~2

2∂µφ∂

µφ−1

2m2φ2 − V (φ) =

~2

2(∂0φ)2 −

~2

2|~∇φ|2 −

1

2m2φ2 − V (φ) (64)

que satisface el requisito para llegar a la integral funcional de Feynman.Analogamente, la amplitud de vacio del producto ordenado temporalmente de operadores

de campo es de la forma:

〈0|T [φ(x1), ..., φ(xn)]|0〉 =

∫

D[φ] φ(x1)...φ(xn) exp(

i~

∫

d4xL(φ, ∂µφ))

∫

D[φ] exp(

i~

∫

d4xL(φ, ∂µφ)) (65)

Donde los lımites de la integral en el tiempo van de −∞ a ∞ y para lograr la convergenciase puede hacer la rotacion de wick.

De la misma forma, la insercion de una fuente externa acoplada al campo nos llevara a laamplitud de persistencia del vacio. Esta vez, la fuente depende del tiempo y el espacio:

W [J ] = N ′

∫

D[φ] exp

[

i

~

∫

d4x (L + J(x)φ)

]

(66)

Y, por ultimo, a partir de W [J ] podemos construir los valores de expectacion de vacıo delproducto ordenado temporalmente de operadores de campo:

〈0|T [φ(x1), ..., φ(xn)]|0〉 =

(

~

i

)nδnZ[J ]

δJ(x1)...δJ(xn)

∣

∣

∣

∣

J=0

(67)

20

3.2. Herramientas para calcular

Para poder empezar a hacer explicitemente alguna cuenta necesitamos tres herramientasimportantes:

Campos Euclideos: Es la realizacion explicita de la rotacion de Wick previamenteexplicada.

Integrales Gaussianas: Una forma generalizada de ellas es escencial para hacer lascuentas en teorıas de campos.

Desarrollo en serie de W [J ]: Como sucedıa en el formalismo canonico, las teorıas coninteraccion solo pueden ser estudiadas en forma perturbativa. Por lo tanto necesitamosentender como hacer cuentas en una teorıa no trivial.

3.2.1. Campos Euclideos

La idea ya fue previamente esbozada. Para evitar que las expresiones esten matematicamentemal definidas se realiza una rotacion en el plano complejo del tiempo. Esto permite que lasexponenciales no oscilen solamente, sino que tambien decaigan para hacer que las integralessean convergentes. La eleccion mas elegante es rotar el tiempo en un cuarto de giro en sentidohorario. Esta eleccion es la “rotacion de Wick”. La justificacion matematica para poder haceresto se basa en la analiticidad de todas las expresiones que estamos analizando en la variabledel tiempo. En los casos de teorıas libres, se puede probar explicitamente que esta analiticidades cierta, pero en casos mucho mas generales resulta ser cierta tambien.

Al hacer esta rotacion del tiempo, la signatura de la metrica de Minkowski cambia. Elespacio-tiempo pasa a tener una estructura euclideana. Definamos las nuevas coordenadas carte-sianas xEµ = (xE1, xE2, xE3, xE4)de la siguente manera:

xE4 = ix0 y ~xE = ~x (68)

Por ahora no habrıa nada de original en este paso, ya que ese cambio de variables nonecesitarıa justificacion si el nuevo tiempo adquiriera un valor siempre imaginario puro. Lo queintroduce una nocion perturbante (pero correcta por la anliticidad) es que de ahora en mastomaremos el nuevo tiempo xE4 como un numero real. Ahora si, con esta nocion tenemos unespacio-tiempo euclideando en el que definimos el producto escalar:

xEµxEµ = xE1xE1 + xE2xE2 + xE3xE3 + xE4xE4 ,

21

y en particular xEµxEµ = (xE1)2 + (xE2)

2 + (xE3)2 + (xE4)

2 = −xµxµ = −x2 (69)

Notemos ademas que la distincion de vector covariante y contravariante ya no tiene sentido.Como vamos a utilizar transformadas de Fourier, necesitamos definir el cudrimomento euclideopEµ = (pE1, pE2, pE3, pE4):

pE4 = −ip0 y ~pE = ~p (70)

Veamos como queda entonces la transformada de Fourier de una funcion que es cuadraticaen el momento:

g(x) =

∫

d4p

(2π)4e−ip.xf(p2) = i

∫

d4pE

(2π)4e−i(p4x4−~pE .~xE)f(−pE

2) =

= i

∫

d4p′E(2π)4

e−i(p4x4+~p′E

.~xE)f(−p′E

2) = i

∫

d4pE

(2π)4e−ipE .xEf(−pE

2) (71)

Donde usamos que d4p = id4pE. En la transformada inversa hubieramos tenido que: d4x =−id4xE . Esto ultimo lo necesitamos para escribir la forma de la integral funcional de la teorıapara el campo escalar con autointeraccion. El lagrangiano cambia de la siguiente forma:

L =~2

2(∂0φ)2 −

~2

2|~∇φ|2 −

1

2m2φ2 − V (φ) = −

[

~2

2((∂4φ)2 + |~∇φ|2) +

1

2m2φ2 + V (φ)

]

(72)

Con todo esto, tenemos que amplitud de persistencia de vacıo queda:

WE[J ] = N ′E

∫

D[φ] exp

[

−1

~

∫

d4x

(

~2

2∂Eµφ∂Eµφ+

1

2m2φ2 + V (φ) − J(x)φ

)]

(73)

3.2.2. Integrales Gaussianas

Para realizar algunos calculos en teorıas de campos necesitaremos ciertas generalizacionesde la famosa integral gaussiana, cuya version mas simple es:

+∞∫

−∞

dx e−zx2

=

√

π

z(74)

La generalizacion es la siguiente proposicion, cuya demostracion omitimos (ver [1] pag. 353).

22

Proposicion 1. Sean x e y dos vectores D-dimensionales y A una matriz real simetrica definida

positiva de DxD dimensiones. Entonces se cumple que:

1.∫

dDx exp(

−12xTAx

)

= (2π)D/2 exp(

−12Tr lnA

)

2.∫

dDx exp(

−12xTAx+ yTx

)

= (2π)D/2 exp(

−12Tr lnA

)

exp(

12ytA−1y

)

Notemos que exp(Tr(lnB)) = detB. Ahora haremos una generalizacion mas abstracta deestas integrales. Los vectores y matrices involucrados en la proposicion 1 son de dimension finitay discreta. ¿Que pasarıa si la dimension fuera continua y no acotada (i.e infinita)? Para esto,definamos un producto escalar del espacio de funciones de R4 de la manera usual:

(f, g) =

∫

d4xE f(xE)g(xE) (75)

La segunda ecuacion de la Proposicion 1 nos daba el resultado para:

∫

dDx exp

(

−1

2(x,Ax)c + (y, x)c

)

(76)

donde (, )c es el producto escalar usual de RD. Entonces, lo que hacemos ahora es generalizaresta ultima integral con la analogıa del producto escalar. Es decir:

∫

dDx exp

(

−1

2(x,Ax)c + (y, x)c

)

−→

∫

D[φ] exp

(

−1

2(φ,Aφ) + (ρ, φ)

)

(77)

donde A es algun operador integral. En el resultado de esta integral que estamos analizandono aparece ninguna referencia a la dimension excepto en el factor 2π que a nosotros no nos vaa importar en nuestras integrales funcionales. Por lo tanto tenemos que:

∫

D[φ] exp

(

−1

2(φ,Aφ) + (ρ, φ)

)

= (detA)−1

2 e1

2(ρ,A−1ρ) (78)

23

3.2.3. Desarrollo en serie de W [J ]

Para el siguiente desarrollo utilizaremos la teorıa del escalar con autointeracciones solo poruna cuestion de simplicidad.

Trabajemos con el siguiente Lagrangiano:

L = L0 + Lint =~

2

2∂µφ∂

µφ−1

2m2φ2 − gV (φ) (79)

El funcional generatriz esta dado por:

W [J ] = N

∫

D[φ] exp

(

−i

~

∫

d4x gV (φ)

)

exp

(

i

~

∫

d4x (L0 + Jφ)

)

(80)

Donde hemos escrito el termino de interaccion por separado. La idea es tratar de sacarese termino fuera de la integral. Si pudieramos hacer eso, entonces nos habrıa quedado escritola amplitud de persistencia del vacio de la teorıa libre. Lo que podemos hacer es usar un“truco” analogo al que usabamos para obtener el valor de expectacion de vacio del productode operadores a partir del funcional W [J ]. Observemos que:

δ

δJ(x)exp

[

i

~

∫

d4x′(L + Jφ)

]

=i

~φ(x) exp

[

i

~

∫

d4x′(L + Jφ)

]

(81)

Entonces, mientras estemos operando a izquierda del segundo multiplicando de (80), pode-mos hacer la asociacion:

φ(x) −→~

i

δ

δJ(x)(82)

Insertando esto en la dependencia en φ que tiene el termino de interaccion V (φ) podemossacar entonces fuera de la integral funcional ese termino y nos queda:

W [J ] = N exp

(

−i

~

∫

d4x gV

(

~

i

δ

δJ(x)

))

W0[J ] (83)

El factor de normalizacion queda determinado por la condicion W [0] = 1:

N−1 = exp

(

−i

~

∫

d4x gV

(

~

i

δ

δJ(x)

))

W0[J ]

∣

∣

∣

∣

J=0

(84)

24

Ahora si, podrıamos hacer una expansion en serie de la exponencial en potencias de g. Elproblema es que el factor N tambien depende de g. Esto trae una complicacion pero que sepuede solucionar. Escribamos la serie en potencias de g de la siguiente manera:

W [J ] = W0[J ](1 + gw1[J ] + g2w2[J ] + ...) (85)

Ademas proponemos un desarrollo analogo para el termino de la exponencial:

exp

(

−i

~

∫

d4x gV

(

~

i

δ

δJ(x)

))

W0[J ] = W0[J ](1 + gu1[J ] + g2u2[J ] + ...) (86)

De la expansion de taylor de la exponencial nos queda:

u1[J ] = W0[J ]−1

(

−i

~

∫

d4x V

(

~

i

δ

δJ(x)

))

W0[J ]

u2[J ] = W0[J ]−1 1

2!

(

−i

~

∫

d4x V

(

~

i

δ

δJ(x)

))(

−i

~

∫

d4y V

(

~

i

δ

δJ(x)

))

W0[J ]

u3[J ] = ... (87)

Por lo tanto la funcion generatriz sera:

W [J ] = W0[J ]1 + gu1[J ] + g2u2[J ] + ...

1 + gu1[0] + g2u2[0] + ...= W0[J ]

∞∑

k=0

gkuk[J ]

∞∑

k=0

gkuk[0](88)

Para obtener los funcionales wK [J ] necesito poder dividir las dos series:

∞∑

k=0

gkwk[J ] =

∞∑

k=0

gkuk[J ]

∞∑

k=0

gkuk[0](89)

25

Si paso la suma que esta dividiendo y realizo la multiplicacion de las series, obtengo:

uk[J ] =

k∑

i=0

wk−i[J ]ui[0] (90)

Utilizando como datos que u0[0] = 1, u0[J ] = 1 y w0[J ] = 1 puedo realizar una recurrenciacon la ecuacion (90) para obtener todos los funcionales wk[J ] en funcion de los uk[0] y los uk[J ].Los primeros ordenes son:

w1[J ] = u1[J ] − u1[0]

w2[J ] = u2[J ] − u2[0] − u1[0](u1[J ] − u1[0])

w3[J ] = u3[J ] − u3[0] − [u2[J ] − u2[0] − u1[0](u1[J ] − u1[0])]u1[0] − (u1[J ] − u1[0])u2[0] (91)

26

4. Cuantizacion de teorıas bosonicas

4.1. Campo escalar libre

Ahora vamos a trabajar explicitamente con el funcional WE0 [J ] para el campo escalar sin

interacciones:

WE0 [J ] = NE

∫

D[φ] exp

[

−1

~

∫

d4x

(

~2

2∂Eµφ∂Eµφ+

1

2m2φ2 − Jφ

)]

(92)

La integral de camino debe calcularse y despues hacer la rotacion inversa de Wick para volvera Minkowski. Para calcular esta integral usamos las formulas Gaussianas que desarrollamos enla seccion anterior.

La formula que habıamos obtenido decıa que:∫

D[φ] exp

(

−1

2(φ,Aφ) + (ρ, φ)

)

(93)

entonces identificamos a A y ρ de la siguiente manera:

A(x′E , xE) =1

~(~2∂Eµ∂

′Eµ +m2)δ4(x′E − xE)

ρ(xE) =J(xE)

~(94)

Usamos el producto interno usual del espacio de funciones y el producto matricial(integral) demanera que:

(φ,Aφ) =

∫

d4x′E d4xE φ(x′E)A(x′E , xE)φ(xE) (95)

Con todo esto, y usando las formulas gaussianas, tenemos que:

WE0 [J ] = NE(detA)−

1

2 exp

[

1

2~2

∫

d4x′E d4xE J(x′E)A−1(x′E , xE)J(xE)

]

=

= exp

[

1

2~2

∫

d4x′E d4xE J(x′E)A−1(x′E , xE)J(xE)

]

(96)

donde en el ultimo paso use que WE0 [0] = 1 para fijar NE.

27

Ahora necesitamos A−1. Observemos que por la definicion de multiplicacion matricial (in-tegral) tenemos que A−1 cumple que:

∫

d4xE A−1(x′E , xE)A(xE , x′′E) = δ4(x′E − x′′E) (97)

En el espacio de los momentos el operador A es multiplicativo, entonces su inversa esta dadapor:

A−1(pE) =~

p2E +m2

(98)

Lo que en el espacio de las cordenadas se obtiene transformando Fourier:

A−1(x′E , xE) =

∫

d4pE

(2π~)4e

i~pE .(x′

E−xE) ~

p2E +m2

(99)

Definimos el propagador de Feynman euclideano:

∆EF (x′E − xE) =

1

~A−1(x′E , xE) =

∫

d4pE

(2π~)4

ei~pE .(x′

E−xE)

p2E +m2

(100)

Si ahora lo llevamos a la cordenada temporal de Minkowski nos queda:

∆EF (x′E − xE) = i

∫

d4p

(2π~)4

ei~p.(x′−x)

p2 −m2= i∆F (x′ − x) (101)

Donde recuperamos la expresion del propagador de Feynman que habıamos obtenido conel formalismo canonico. La integracion en el tiempo debe hacerse esquivando los polos que hayen la recta real de la manera razonable que surge cuando se hace la rotacion de Wick inversa.Esta manera coincide con la prescripcion de Feynman.

El resultado final de nuestra cuenta es que el funcional W0[J ] es:

W0[J ] = exp

[

−i

2~

∫

d4x′ d4x J(x′)∆F (x′ − x)J(x)

]

(102)

28

Ahora que tenemos una expresion para el funcional W podemos tomar derivadas paraobtener las funciones de Green. Tomemos la primer derivada:

~

i

δW0[J ]

δJ(x1)= −

[∫

d4x J(x)∆F (x− x1)

]

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(103)

Cuando evaluamos esta expresion en J = 0, la misma se anula. Es decir que G(1)0 (x1) = 0.

Ahora tomo la segunda derivada:(

~

i

)2δ2W0[J ]

δJ(x1)δJ(x2)= −

~

i

[

∆F (x1 − x2) −i

~

∫

d4x J(x)∆F (x− x1)

∫

d4x J(x)∆F (x− x2)

]

×

× exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(104)

Tomando J = 0 nos queda la funcion de Green de dos puntos. La misma es igual al propa-gador de Feynman a menos de una constante:

G(2)0 (x1, x2) =

(

~

i

)2δ2W0[J ]

δJ(x1)δJ(x2)

∣

∣

∣

∣

J=0

= i~∆F (x1 − x2) (105)

Ahora tomamos la tercera derivada:(

~

i

)3δ3W0[J ]

δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)=

~

i

[

∆F (x1 − x2)

∫

d4x J(x)∆F (x− x3)+

+∆F (x1 − x3)

∫

d4x J(x)∆F (x− x2) + ∆F (x2 − x3)

∫

d4x J(x)∆F (x− x1)

−i

~

∫

d4x J(x)∆F (x−x1)

∫

d4x J(x)∆F (x−x2)

∫

d4x J(x)∆F (x−x3)

]

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(106)

Cuando tomamos J = 0 esta expresion se anula. Entonces tenemos que G(3)0 (x1, x2, x3) = 0.

Por ultimo, tomamos la cuarta derivada. Esta vez, ya se puede ver cuales son los terminos quevan a anularse cuando evaluemos en J = 0 entonces esos terminos no los desarrollamos:

(

~

i

)4δ4W0[J ]

δJ(x1)δJ(x2)δJ(x3)δJ(x4)=

(

~

i

)2 [

∆F (x1 − x2)∆F (x3 − x4)+

29

+ ∆F (x1 − x3)∆F (x2 − x4) + ∆F (x2 − x3)∆F (x1 − x4) + ...

]

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(107)

Si evaluamos esta expresion en J = 0 obtenemos la funcion de Green de 4 puntos.

G(4)0 (x1, x2, x3, x4) = (i~)2

[

∆F (x1 − x2)∆F (x3 − x4) + ∆F (x1 − x3)∆F (x2 − x4)+

+ ∆F (x2 − x3)∆F (x1 − x4)

]

(108)

Estas dos funciones de green que obtuvimos tienen una representacion grafica en lo que seconoce como diagramas de Feynman. A cada termino i~∆F (x1 − x2) se le asigna una linea queune los puntos x1 con x2. Entonces tendrıamos:

G0(2)(x1, x2) = x1 x2 (109)

G0(4)(x1, x2, x3, x4) = x1

x3x2

x4 + x1

x3x2

x4 + x1

x3x2

x4 (110)

El hecho de que en la funcion de cuatro puntos aparezcan tres graficos tiene que ver conla indistinguibilidad de las particulas. Se puede probar asi mismo que todas las funciones deGreen con un numero impar de puntos se anulan. Por otra parte todas las funciones de greencon un numero par de puntos van a ser sumas de productos de propagadores de Feynmann.

Podemos observar ademas que las funciones de Green a partir de la segunda seran siempreredundantes ya que tendran graficos desconectados como lo vimos en la funcion de cuatropuntos. Para evitar este tipo de contribuciones se define el funcional generatriz para funcionesde Green irreducibles Z[J]:

W [J ] = ei~Z[J ] (111)

Las funciones de Green conectadas se obtienen haciendo:

G(n)c (x1, ..., xn) =

(

~

i

)n−1δnZ[J ]

δJ(x1)...δJ(xn)

∣

∣

∣

∣

J=0

(112)

30

Volviendo en particular a la teorıa que estabamos estudiando, le tomamos el logaritmo aW0[J ] para obtener:

Z0[J ] = −1

2

∫

d4x′ d4x J(x′)∆F (x′ − x)J(x) (113)

De manera que tomando las derivadas tenemos que:

G(1)0c (x1) =

δZ[J ]

δJ(x1)

∣

∣

∣

∣

J=0

= 0 ,

G(2)0c (x1, x2) =

~

i

δ2Z[J ]

δJ(x1)δJ(x1)

∣

∣

∣

∣

J=0

= i~∆F (x1 − x2) y ademas

G(n)0c (x1, ..., xn) = 0 ∀n > 2 (114)

El hecho de que todas las funciones de Green conectadas sean nulas para n > 2 tiene sentidoya que no es posible construir un grafico conectado con mas de dos patas externas.

4.2. Teorıa λφ4

Ya desarrollamos una teora libre utilizando el formalismo de integral de camino. Ahoravamos a tomas una teorıa con interacciones. En particular tomaremos la teorıa del campoescalar con autointeracciones cuyo Lagrangiano es:

L = L0 + Lint =~2

2∂µφ∂

µφ−1

2m2φ2 − gV (φ) (115)

En particular tomaremos la autointeraccion:

gV (φ) =g

4!φ4 (116)

En la seccion anterior desarrollamos una teorıa perturbativa para calcular el funcional W [J ]a partir del funcional de la teorıa libre. Para eso necesitamos calcular u1[J ]:

u1[J ] = W0[J ]−1

(

−i

~

∫

d4x V

(

~

i

δ

δJ(x)

))

W0[J ] =

31

= W0[J ]−1 −i

4!~

∫

d4x

(

~

i

δ

δJ(x)

)4

W0[J ] (117)

Donde la funcion generatriz la conocemos explicitamente de la sub-seccion anterior.

W0[J ] = exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(118)

Tomando las sucesivas derivadas tenemos que:

~

i

δ

δJ(x)exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

= −

∫

d4y ∆F (x− y)J(y) exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(119)

La segunda derivada es:

(

~

i

δ

δJ(x)

)2

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

=

[

−~

i∆F (0) +

(∫

d4y ∆F (x− y)J(y)

)2]

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(120)

La tercera derivada es:(

~

i

δ

δJ(x)

)3

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

=

[

3~

i∆F (0)

∫

d4y ∆F (x− y)J(y)−

(∫

d4y ∆F (x− y)J(y)

)3]

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(121)

Y la cuarta derivada entonces queda:

(

~

i

δ

δJ(x)

)4

exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

=

[

3

(

~

i

)2

(∆F (0))2 − 6~

i∆F (0)

(∫

d4y ∆F (x− y)J(y)

)2

+

(∫

d4y ∆F (x− y)J(y)

)4]

×

32

× exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(122)

Estas formulas se pueden representar mediante diagramas de Feynman. Vamos a identificaral igual que antes i~∆F (x − y) con una linea que une los puntos x e y. Los terminos deFuentes i

~

∫

d4x J(x) los identificamos con una linea que termina en un circulo pequeno vacıo.Los “Loops” i~∆F (0) los identificamos con un circulo cerrado. Cada interaccion φ4 que vieneacompanada por − i

~

∫

d4x la representamos con un vertice de cuatro patas. Usando este lenguajetenemos que:

u1[J ] =1

4!

(

3 + 6 +)

(123)

y ademas:

u1[0] =3

4!(124)

De la teorıa de perturbaciones que desarrollamos en la seccion pasada sabemos que a primerorden:

W [J ] = (1 + g(u1[J ] − u1[0]) + ...)W0[J ] (125)

Por lo tanto tenemos que a primer orden:

W [J ] =(

1 +g

4!( 6 + ) + ..

)

e1

2 (126)

Que explicitamente es:

W [J ] =

[

1 −ig

4!~

∫

d4x

(

6i~∆F (0)

∫

d4y1d4y2∆F (x− y1)∆F (x− y2)J(y1)J(y2)+

+

∫

d4y1d4y2d

4y3d4y4∆F (x−y1)∆F (x−y2)∆F (x−y3)∆F (x−y4)J(y1)J(y2)J(y3)J(y4)+ ...

)]

×

× exp

(

−i

2~(J,∆FJ)

)

(127)

33

Ahora podemos tomar las derivadas de la funcion W[J] para obtener las funciones de Green.Observemos que tomar derivada respecto a J(x) es lo mismo que cambiar la terminacion co-rrespondiente a la fuente y poner una terminacion de una coordenada:

~

i

δ

δJ(xi)= xi (128)

Para realizar la cuenta solo hay que usar la regla del producto y la regla de la cadena alderivar. La primera derivada nos queda:

~

i

δW [J ]

δJ(x1)=

=[ g

4!(6 · 2 x1 + 4 x1

) +(

1 +g

4!(6 + )

)

x1

]

e1

2 =

=

[

x1 +g

4!

(

12 x1 + 4 x1+

+ 6 x1 + x1

)]

e1

2 (129)

Todos los terminos poseen una pata con una fuente externa, por lo tanto al hacer J = 0 laderivada primera se anula:

G(x1) =~

i

δW [J ]

δJ(x1)

∣

∣

∣

J=0= 0 (130)

Ahora hacemos la derivada segunda:

(

~

i

)2δ2W [J ]

δJ(x1)δJ(x2)=

[

x1 x2 + x1 x2 +

+g

4!

[

12x1 x2+ 12x2 x1 +6 x1 x2+ 12x1 x2 +

34

+4 x2x1 + 4 x1

x2 + x1 x2+ 12 x1

x2 +

+ 6 x1 x2 + x1 x2

]]

e1

2 (131)

Cuando ponemos J = 0 solo dos terminos sobreviven, entonces la funcion de Green de dospuntos sera:

G(x1, x2) = x1 x2+g

2x1 x2+ O(g2) (132)

O bien en forma algebraica:

G(x1, x2) = i~∆F (x1 − x2) −g~2

2∆F (0)

∫

d4x∆F (x1 − x)∆F (x− x2) + O(g2) (133)

La expresion ∆F (0) es divergente. Este problema proviene del grafico que contiene el loopy se soluciona con el metodo de renormalizacion. En particular las correcciones a esta funcionde Green tienen que ver con la renormalizacion de la masa.

Para seguir encontrando funciones de Green de mas puntos hay que seguir derivando laW [J ] y evaluar sucesivamente en J = 0. La funcion de tres puntos sera evidentemente nula.La funcion de cuatro puntos se obtiene siguiendo el proceso de derivacion ya desarrollado. Elresultado es:

G(x1, x2, x3, x4) =

(

x1

x3x2

x4 + x1

x3x2

x4 + x1

x3x2

x4

)

+

+g

2

(

x2

x1x4

x3 + x1

x2x3

x4 + x1

x3x2

x4 +

+ x4

x2x3

x1 + x2

x1x3

x4 + x3

x2x4

x1

)

+ g (134)

Vemos entonces que la funcion de Green de cuatro puntos esta caracterizada por los propa-gadores de la teorıa libre, mas correcciones de la masa, mas un unico termino de interaccionreal que es el vertice con forma de cruz.

35

Por ultimo, calculemos la Funcion generatriz conectada que definimos en la seccion anterior:

i

~Z[J ] = lnW [J ] = ln exp

(

1

2

)

+ ln[

1 +g

4!(6 + )

]

+ O(g2) (135)

Desarrollando el segundo logaritmo a primer orden nos queda que:

i

~Z[J ] =

1

2+g

4!(6 + ) + O(g2) (136)

Al derivar dos veces obtenemos la funcion de Green conectada de dos puntos:

G(2)c (x1, x2) = x1 x2+

g

2x1 x2+ O(g2) (137)

Esta, coincide con la funcion de Green comun, como tambien sucedıa en la teorıa libre.La tarea de derivar cuatro veces para encontrar la funcion de Green de cuatro puntos

conectada es ahora mucho mas sencilla ya que al no tener mas la exponencial solo va a sobrevivirel vertice cruz al derivar cuatro veces. Por lo tanto:

G(4)c (x1, x2, x3, x4) = g (138)

El resto de las derivadas de la funcion generatriz conectada son todas nulas a primer orden.Entonces:

G(n)c (x1, ..xn) = 0 ∀n > 4 (139)

Hecho que topologicamente es razonable ya que no es posible construir un grafico con unsolo vertice de cuatro patas con mas de cuatro patas externas.

36

5. Cuantizacion de teorıas fermionicas

5.1. Introduccion

En la seccion anterior estudiamos la cuantizacion de una teorıa del campo escalar. Vimoscomo la formulacion a traves de la integral de camino lleva a los mismos resultados que lacuantizacion canonica. Ademas vimos que este formalismo lleva naturalmente a la estadisticacorrecta de un campo bosonico. El problema que nos compete ahora es desarrollar el formalismode la integral funcional para un campo fermionico. En el formalismo canonico los camposfermionicos satisfacıan las relaciones de anticonmutacion:

{

ψ(x, t), ψ†(y, t)}

= δ3(x− y)I y

{

ψ(x, t), ψ(y, t)}

={

ψ†(x, t), ψ†(y, t)}

= 0 (140)

Sin embargo es imposible volver de los operadores a c-numeros y seguir teniendo campos conla simetrıa de Fermi-Dirac ante el intercambio de partıculas. Por otra parte, independientementede que en la naturaleza observamos que los fermiones siguen esa estadıstica, en el curso tambienvimos que al intentar cuantizar una teorıa de campos fermionicos sin la antisimetrıa ante elintercambio de particulas obtenıamos una teorıa con un vacıo inestable. Con lo cual ni siquieracomo modelo de juguete servirıa una teorıa asi.

Por estas razones, para formular una teorıa consistente de fermiones en el formalismo dela integral de camino, necesitamos abandonar el espacio de c-numeros y utilizar numeros queanticonmutan.

5.2. Algebra de Grassmann

Se puede definir un conjunto de numeros que anticonmutan. A estos se los denomina vari-ables de Gassmann. Al conjunto de todos los numeros que anticonmutan se lo denomina Algebrade Grassman o algebra exterior (esto tiene tambien conexion con la nocion de formas diferen-ciales). Cada uno de los elementos de esta algebra se los puede expresar como una combinacionlineal de productos de los generadores θi (el analogo en formas es el diferecial dxi). El indicei va desde 1 hasta n, donde n es la dimension del algebra. Definimos un producto entre lasvariables de Grassmann de manera que los generadores anticonmuten:

{θi, θj} = 0 ∀i, j = 1, ...n (141)

37

Como consecuencia de esta propiedad el cuadrado de cualquier generador es nulo:

θ2i = 0 (142)

Por lo tanto cada elemento del algebra de Grassmann se puede desarrollar de la siguienteforma:

G(θ) = g(0) +∑

i=0

g(1)i θi +

∑

i<j

g(2)ij θiθj +

∑

i<j<k

g(3)ijkθiθjθk + ...+ g(n)θ1...θn (143)

Esta es una suma finita de terminos ya que no puedo multiplicar mas de n generadores sinque se repitan terminos. Por otra parte las sumas las escribimos ordenadas de manera de norepetir productos de generadores. El numero de productos de p generadores es n!

p!(n−p)!por lo

tanto el numero total de productos de cualquier numero de generadores es:

n∑

p=0

n!

p!(n− p)!= 2n (144)

Para poder desarrollar el formalismo de integral de camino vamos a necesitar desarrollar al-gunas herramientas del analisis matematico como las operaciones de derivar e integrar. Tratare-mos de definir la derivacion e integracion haciendo la mayor posible analogıa con las definicionesde los c-numeros (salvando las distancias). Empecemos con n = 2. Los generadores son θ1 y θ2.Definimos:

d

dθi

1 = 0 yd

dθi

θj = δij (145)

d

dθi

θ1θ2 = δi1θ2 − θ1δi2 (146)

Observemos que en la segunda ecuacion aplicamos la regla de Liebnitz de la derivacion. Sinembargo en el segundo termino hay un signo menos ya que definimos que cuando la derivadapasa por delante de un generador se cambia el signo. Por eso, volviendo a un algebra de ngeneradores, la derivada de un producto de m de ellos es:

d

dθaθj1 ...θjm

= δaj1θj2 ...θjm+ ..+

38

+ (−1)p−1δajpθj1 ...θjp−1

θjp+1...θjm

+ ... + (−1)m−1δajmθj1 ...θjm−1

(147)

Como consecuencia de esto podemos obtener las relaciones de anticonmutacion de los ope-radores de derivacion.

{

d

dθa, θb

}

= δab (148)

{

d

dθa,d

dθb

}

= 0 (149)

En particular:d2

dθa2 = 0 ∀a (150)

Lo cual es bastante razonable ya que cualquier funcion es a lo sumo lineal en cada uno delos generadores.

Ahora procedemos a definir unıvocamente la operacion de integrar. Vamos a definir laintegral como un mapa entre funciones de variables de Grassman y c-numeros. Le pedimos a laintegral tres propiedades. La primera es que sea una operacion lineal:

∫

dθ (af(θ) + bg(θ)) = a

∫

dθ f(θ) + b

∫

dθ g(θ) (151)

La segunda propiedad que le pedimos es que la integral tenga invarianza traslacional, esdecir:

∫

dθ f(θ + η) =

∫

dθ f(θ) (152)

Observemos que estas dos propiedades son propiedades que poseen las integrales ordinariasdefinidas en toda la recta real. Por ultimo postulamos un valor por convencion de normalizacion:

∫

dθ θ = 1 (153)

Con estas tres propiedades alcanza para poder definir unıvocamente la integral. Observemosuna consecuencia de la propiedad (152). Tomemos como f(θ) = a+ bθ. Entonces:∫

dθ f(θ+ η) = a

∫

dθ 1+ b

∫

dθ θ+ bη

∫

dθ 1 =

∫

dθ f(θ)+ bη

∫

dθ 1 =

∫

dθ f(θ) (154)

39

∫

dθ 1 = 0 (155)

Observando (153) y (155) podemos ver que la integracion es igual a la derivacion.La generalizacion a algebras de Grassmann de dimension n es inmediata. En ese caso pos-

tulamos:∫

dθi 1 = 0 y

∫

dθi θi = 1 (156)

De aquı podemos sacar las reglas de anticonmutacion para los diferenciales.

{dθi, dθj} = 0 y {dθi, θj} = δij (157)

Que son las mismas reglas que para la derivacion ya que como decıamos antes la derivacionproduce los mismos resultados que la integracion.

Otro punto a tener en cuenta es lo que sucede cuando hacemos un cambio de variables deGrassmann en la integracion. Empecemos con un ejemplo en una dimension:

θ′ = η + aθ (158)

Para una integral en la variable primada encontramos que:

∫

dθ′ g(θ′) = g(1) (159)

Por otra parte, utilizando de nuevo el desarrollo (143) tenemos que:

∫

dθ g(θ′) =

∫

dθ(g(0) + g(1)θ′) =

∫

dθ(g(0) + g(1)η + g(1)aθ) = g(1)a (160)

De aquı deducimos que:

∫

dθ′ g(θ′) =

∫

dθ

(

dθ′

dθ

)−1

g(θ′(θ)) (161)

40

Observemos que el Jacobiano de la transformacion entra inverso respecto de la regla detransformaciones de las integrales ordinarias. La generalizacion de esto a dimension arbitrariadel algebra tiene una forma analoga:

∫

dθ′n...dθ′1 g(θ

′) =

∫

dθ′n...dθ′1

[

det

(

dθ′

dθ

)]−1

g(θ′(θ)) (162)

Para desarrollar el formalismo de la integral de camino, vamos a necesitar poder resolverintegrales Gaussianas. Queremos resolver la siguiente integral Gaussiana:

In =

∫

dθ1...dθn e− 1

2θT Aθ (163)

El exponente posee la forma bilineal:

θTAθ =∑

i,j

θiAijθj (164)

Donde asumimos el caracter antisimetrico de la matriz A. Para resolver esto podrıamoshacer el desarrollo de Taylor de la exponencial. En ese caso podemos ver que el unico terminoque sobrevivirıa es aquel en el que hay n generadores para integrar (que, en particular deberianser todos diferentes), sino la integral se anula. En particular esto es solo posible cuando n espar. Cuando n es impar In = 0. Entonces, los terminos que sobreviven a esta restriccion vienendados por:

In =1

(n2)!

∫

dθ1...dθn

(

−1

2θTAθ

)n2

(165)

Sucede que de todos los productos de la forma bilineal que sobreviven a la integracion hacenque quede la suma de productos antisimetricos de los elementos de A

1

2 . Entonces el resultadoes:

∫

dθ1...dθn e− 1

2θT Aθ = (detA)

1

2 (166)

Ahora que vemos el resultado confirmamos aquello de que esta integral es nula para n imparya que el determinante de una matriz antisimetrica de dimension impar es nula.

41

La generalizacion de esta integral es la siguiente:∫

dθ1...dθn e− 1

2θT Aθ+ρT θ = (detA)

1

2 e−1

2ρT A−1ρ (167)

Donde ρ es un vector de n componentes que son variables de Grassmann.

Teniendo en cuenta la formulacion de los campos de Dirac, necesitamos introducir la nocionde variables de Grassmann complejas. Tomamos dos conjuntos de generadores de Grassmann:θ1, ..., θn y θ∗1, ..., θ

∗n. Tomados los dos juntos estos forman un algebra de Grassmann de dimension

2n ya que establecemos las siguientes relaciones de anticonmutacion:

{θi, θj} = {θ∗i , θ∗j} = {θ∗i , θj} = 0 (168)

La forma de relacionar estos dos conjuntos es a traves de la operacion de conjugacion: ∗.Postulamos las siguientes propiedades de la misma:

(θi)∗ = θ∗i

(θ∗i )∗ = θi

(θi1θi2 ...θim)∗ = θ∗im ...θ∗i2θ∗i1

(aθi)∗ = a∗θ∗i (169)

Donde tomamos a ∈ C. Independientemente de la relacion a traves de la conjugacion, desdeel punto de vista de las operaciones de derivar e integrar, las θi y θ∗j son independientes.

La integral Gaußiana que nos interesa ahora es:∫

dθ∗1...dθ∗ndθ1...dθn e

−θ†Aθ = detA (170)

El hecho de que el determinante no tiene mas una raiz cuadrada se debe a que esta vezestamos integrando en 2n variables. La generalizacion de esta integral es:

∫

dθ∗1...dθ∗ndθ1...dθn e

−θ†Aθ+θ†ρ+ρ†θ = detAe−ρ†A−1ρ (171)

42

Hasta ahora desarrollamos los conceptos de las variables de Grassman para algebras deGrassman de dimension finita. Para formular las integrales de camino de las teoras de camposfermionicas necesitamos extender este desarrollo a dimension infinita. Para esto, hacemos elpaso al continuo:

θi → Θ(x) (172)

Tomaremos las propiedades ya desarrolladas pero generalizadas a un continuo. Las relacionesde anticonmutacion seran igual que antes:

{Θ(x),Θ(y)} = 0 ∀x, y (173)

En la diferenciacion tipicamente remplazamos la delta de Kronecker por una delta de Dirac:

δΘ(x)

δΘ(x)= δ4(x− y) (174)

Y los nuevos anticonmutadores de las operaciones de derivada funcional son:{

δ

δΘ(x),Θ(y)

}

= δ4(x− y)

{

δ

δΘ(x),

δ

δΘ(x)

}

= 0 (175)

Cualquier elemento del algebra de Grassman se puede expandir de la siguiente forma:

g(Θ(x)) = g(0)+

∫

dx1 g(1)(x1)Θ(x1)+ ...+

∫

dx1...dxn g(n)(x1, ..., xn)Θ(x1)...Θ(xn)+ ... (176)

Donde los coeficientes g(i) son antisimetricos ante el intercambio de sus argumentos.En cuanto a la integracion de los campos postulamos al igual que lo hicimos en el caso

discreto que:∫

dΘ(x) 1 = 0

43

∫

dΘ(x) Θ(x) = 1 (177)

Una vez que definimos la integracion, ya podemos construir la integral de camino de lasvariables de Grassmann. En el capitulo siguiente tomaremos como variable de Grassmann deun algebra de Grassman de dimension infinita al campo de Dirac ψ(x) mismo. En ese casovamos a necesitar extender la integral Gaußiana al caso continuo. La extension de las formulasque desarrollamos antes, pero para el caso continuo es:

∫

DψDψ exp

[

−

∫

d4x′d4x ψ(x′)A(x′, x)ψ(x) +

∫

d4x(ψ(x)ρ(x) + ρ(x)ψ(x))

]

=

= detA exp

[∫

d4x′d4x ρ(x′)A−1(x′, x)ρ(x)

]

(178)

5.3. Campo de Dirac Libre

Utilizaremos los resultados de la sub-seccion anterior para aplicarlos en la teoria del campode Dirac. La accion libre de este campo es:

S0[ψ, ψ] =

∫

d4x ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x) (179)

Las relaciones de anticonmutacion que se postulan en el contexto del formalismo canonicoson:

{ψ(x, t), ψ(y, t)} = {ψ†(x, t), ψ†(y, t)} = 0

{ψ(x, t), ψ†(y, t)} = Iδ3(x− y) (180)

Las funciones de Green de interes en esta teorıa son:

G(2n)(y1, ..., yn; x1, ...xn) = 〈0|T(

ψ(yn)...ψ(y1)ˆψ(x1)...

ˆψ(xn))

|0〉 (181)

Estas funciones son antisimetricas ante el intercambio de corrdenadas:

G(2n)(y1, y2..., yn; x1, x2, ...xn) =

44

= −G(2n)(y2, y1..., yn; x1, x2, ...xn) = −G(2n)(y1, y2..., yn; x2, x1, ...xn) (182)

Es decir que si queremos aplicar el formalismo de integral funcional para esta teorıa, va-mos a necesitar que las funciones de Green tengan esa propiedad. La forma de lograr esto esproponiendo que los campos son campos de Grassman.

Al igual que en el caso bosonico, a partir de un funcional generatriz podremos obtener lasfunciones de Green. En el caso bosonico uno performaba derivadas al funcional respecto de unafuente externa acoplada al campo de interes. En este caso tendremos que agregar dos terminos.Una fuente acoplada a ψ: ηψ y otra fuente acoplada a ψ: ψη.

Por lo tanto el funcional generatriz para la teorıa del campo de Dirac libre es:

W0[η, η] = N

∫

D[ψ]Dψ exp

[

i

~

∫

d4x

(

ψ(x)(iγµ∂µ −m)ψ(x)+

+ η(x)ψ(x) + ψ(x)η(x)

)]

(183)

Las fuentes η y η son campos de Grassman que anticonmutan y respecto a las transforma-ciones de Lorentz, son espinores de Dirac. Tanto las fuentes como los campos de Dirac, por sercampos de Grassmann cumplen que:

{ψ(x, t), ψ(y, t)} = {ψ(x, t), ψ(y, t)} = {ψ(x, t), ψ(y, t)} = {ψ(x, t), η(y, t)} =

= {ψ(x, t), η(y, t)} = {ψ(x, t), η(y, t)} = {ψ(x, t), η(y, t)} =

= {η(x, t), η(y, t)} = {η(x, t), η(y, t)} = {η(x, t), η(y, t)} = 0 (184)

Las reglas para la diferenciacion funcional respecto de las fuentes es:

{

δ

δη(x), η(y)

}

=

{

δ

δη(x), η(y)

}

= δ4(x− y)

{

δ

δη, η

}

=

{

δ

δη, η

}

=

{

δ

δη,δ

δη

}

=

{

δ

δη,δ

δη

}

= 0 (185)

45

Para obtener las funciones de Green tenemos que tomar derivadas del funcional respecto deambas fuentes y evaluar η = 0 y η = 0.

G(2n)(y1, y2, ..., yn; x1, x2, ...xn) =

(

~

i

)2nδ2nW [η, η]

δη(xn)...δη(x1)δη(y1)...δη(yn)

∣

∣

∣

∣

η=η=0

(186)

Por las propiedades que enunciamos de las derivadas funcionales, las funciones de Greenobtenidas de esta manera seran antisimetricas respecto al intercambio de sus argumentos. Esterequisito es necesario por la simetrıa ante el intercambio de partıculas que caracteriza a losfermiones.

Para calcular el funcional generatriz de la teorıa del campo de Dirac libre utilizaremos laformula de la integral Gaußiana (178). Para hacer esto, utilizando la misma notacion, identifi-camos:

ρ(x) =i

~η(x) , ρ(x) =

i

~η(x)

y A(x′, x) = −i

~(−i~γµ∂µ −m)δ4(x′ − x) (187)

Los signos relativos que aparecen dentro del primer parentesis en la expresion de A(x′, x)parecen extranos pero son consecuencia de un cambio de variables. Veamos:

∫

d4x′d4x ψ(x′)[(−i~γµ∂µ −m)δ4(x′ − x)]ψ(x) =

=

∫

d4x′d4x ψ(x′)[(i~γµ∂µ −m)ψ(x)]δ4(x′ − x) =

=

∫

d4x ψ(x′)[(i~γµ∂µ −m)ψ(x)] (188)

Con estas identificaciones tenemos que el funcional es:

W0[η, η] = exp

[

−1

~2

∫

d4x′d4x η(x′)A−1(x′, x)η(x)

]

(189)

46

Para encontrar una forma cerrada de la inversa del funcional buscamos su transformada deFourier. Para hacer esto, utilizamos la representacion de Fourier de la delta de Dirac y operamoscon lo que esta a izquierda de la delta:

A(x′, x) = −i

~(−i~γµ∂µ −m)

∫

d4p

(2π~)4e−

i~p·(x′−x) =

= −i

~

∫

d4p

(2π~)4e−

i~p·(x′−x)(γµpµ −m) (190)

Por lo tanto, lo que esta dentro de la integral es la transformada de Fourier:

A(p) = −i

~(γµpµ −m) (191)

Entonces, como en el espacio de FourierA es multiplicativo, facilmente obtenemos su inversa:

A−1(p) = i~1

γµpµ −m(192)

Volviendo al espacio de las coordenadas:

A−1(x′, x) = i~

∫

d4p

(2π~)4e−

i~

p·(x′−x) 1

(γµpµ −m)(193)

Para darle un sentido unıvoco a la integral, le agregamos una masa imaginaria y negativainfinitesimal a la expresion. De esta forma, la inversa de A coincide con el propagador deFeynman de las particulas de spin 1/2 a menos de una constante:

A−1(x′, x) = i~SF (x′ − x) (194)

Con esto escribimos el funcional:

W0[η, η] = exp

[

−i

~

∫

d4xd4x′ η(x′)SF (x′ − x)η(x)

]

(195)

47

Ahora que tenemos el funcional W [J ] podemos construir las funciones de Green como es-pecificamos mas arriba. La derivada primera es:

δW0[η, η]

δη(y)= −

i

~

∫

d4x′ SF (y − x′)η(x′)e−i~(η,SF η) (196)

La derivada segunda entonces es:

δW0[η, η]

δη(x)δη(y)= −

i

~SF (y − x)e−

i~(η,SF η)−

(

i

~

)2(∫

d4x′d4y′ SF (y − x′)η(x′)η(y′)SF (y′ − x)

)

e−i~(η,SF η) (197)

Evaluando esta expresion en η = 0 y η = 0 obtenemos la funcion de Green de 2 puntos:

G(2)0 (y; x) =

(

~

i

)2δ2W0[η, η]

δη(x)δη(y)

∣

∣

∣

∣

η=η=0

= i~SF (y − x) (198)

Para obtener la funcion de cuatro puntos debemos derivar primero dos veces respecto a η yluego dos veces respecto a η:

G(4)0 (y1, y2; x1, x2) =

δ4W0[η, η]

δη(x2)δη(x1)δη(y1)δη(y2)

∣

∣

∣

∣

η=η=0

(199)

Al realizar las derivadas y evaluar en cero obtenemos:

G(4)0 (y1, y2; x1, x2) = (i~)2[SF (y1 − x1)SF (y2 − x2) − SF (y2 − x1)SF (y1 − x2)] (200)

Observemos el signo menos entre los dos graficos. Este, tiene que ver con que las particulasde Dirac siguen la estadıstica de Fermi.

Si representaramos graficamente asociando:

i~SF (y − x) = y x (201)

48

Entonces podrıamos escribir las funciones de Green como:

G0(2)(y, x) = y x (202)

G0(4)(y1, y2, x1, x2) = y2

y1x2

x1 − y2

y1x2

x1 (203)

Las Funciones de Green de mayor orden seguiran dando graficos similares con combinacioneslineales de productos de propagadores con los signos adecuados para respetar la simetrıa.

De la misma forma en la que antes desarrollamos el funcional generatriz de una teorıa coninteracciones a partir del funcional generatriz sin interacciones, en las teorıas con fermiones sepuede hacer exactamente lo mismo.

49

6. Teorema de Noether

Dejando un poco de lado las aplicaciones directas a teorıas particulares que estudiamos eneste trabajo utilizando el formalismo de la integral de camino, vamos a explorar ciertos resul-tados de caracter general de las teorias de campos que se pueden manejar muy elegantementecon este formalismo.

En particular estudiaremos la generalizacion cuantica del Teorema de Noether; es decir,veremos como son afectadas las simetras clasicas cuando se somete una teorıa a la cuantizacion.

6.1. Teorema de Noether clasico

El teorema de Noether es un resultado bastante general que se aplica a un gran conjun-to de teorıas fısicas que poseen un principio de accion del cual se derivan las ecuaciones demovimiento de la teorıa. El mismo fue formulado en el ano 1918 por Emmy Noether [8], unamatematica que trabajaba en temas que no estaban relacionados con el teorema. En esos aos, larelatividad general ya habıa sido formulada en su forma final. A algunos cientıficos de la epoca,como Hilbert, Klein y Einstein, les preocupara el hecho de que en la relatividad general no seconservaba la energıa localmente. Fue entonces que Hilbert solicito ayuda de Emmy Noetherpara clarificar estas cuestiones [9]. En ese contexto Noether publica el trabajo con el Teoremaque resuelve el Problema de la energıa en la relatividad General pero que ademas establece unaconexion profunda entre las simetrıas y las leyes de conservacion de la fısica.

Repasemos una version de este teorema en la notacion actual. Por simplicidad en el formuleoconsideraremos una teorıa de campo escalar:

L = L(φ, ∂µφ) (204)

Dada una transformacion de los campos S:

φ(x) → φ′(x) = φ(x) + δSφ(x) (205)

Diremos que S es una simetrıa de la teorıa si las ecuaciones de movimiento son invariantesante la transformacion S. Pedir esto es lo mismo que pedir que la variacion de Lagrangianoante esta transformacion sea una derivada total. En una teorıa covariante (por ejemplo las delas secciones 4 y 5) esto es pedir:

δSL = ∂µΛµ(φ, ∂µφ) (206)

50

Esto deberıa ser cierto independientemente de las ecuaciones de movimiento. Si este es elcaso entonces el cambio producido por la transformacion en la accion es:

S ′ = S + δSS (207)

δSS =

∫

M

d4x ∂µΛµ =

∫

∂M

ΛµdSµ (208)

Como las ecuaciones de movimiento se obtienen variando los campos y las derivadas bajola condicion:

δφ|∂M = 0 (209)

Entonces las ecuaciones de movimiento de S ′ y S seran las mismas ya que la diferencia entreambas acciones es una expresion integral en el borde de alguna funcion de los campos.

Con estos conceptos podemos enunciar el Teorema: Para cada simetrıa del Lagrangianoexiste una corriente jµ que satisface:

∂µjµ = 0 (210)

Para demostrar esto partimos de (206):

∂µΛµ = δSL =∂L

∂φδSφ(x) +

∂L

∂(∂µφ)δS∂µφ(x) (211)

Ahora usaremos las ecuaciones de movimiento:

∂L

∂φ− ∂µ

∂L

∂(∂µφ)= 0 (212)

Entonces nos queda:

∂µΛµ = ∂µ∂L

∂(∂µφ)δSφ(x) +

∂L

∂(∂µφ)∂µδSφ(x) (213)

51

∂µΛµ = ∂µ

(

∂L

∂(∂µφ)δSφ(x)

)

(214)

Entonces definimos la corriente:

jµ = Λµ −∂L

∂(∂µφ)δSφ(x) (215)

Que satisface segun (214) que∂µj

µ = 0 (216)

6.2. Teorema de Noether cuantico

Vimos en la seccion anterior que para cada simetrıa continua existıa una corriente conser-vada. La pregunta ahora es: ¿Se conservara (al nivel de los valores medios) esa corriente en lamisma teorıa pero cuantizada? Es decir:

〈∂µjµ〉

?= 0 (217)

No vamos a contestar esta pregunta en general, pero vamos a analizar un tipo de simetrıasparticulares. Consideremos la teorıa del campo escalar compleja:

L =1

2∂µφ

∗∂µφ− V (φ∗φ) (218)

Tenemos que el Lagrangiano es invariante δεL = 0 ante la transformacion U(1) global:

φ→ φ′ = eiεφ (219)

Con global nos referimos a que ε es constante. Usando el desarrollo de la subseccion anteriorpodemos obtener la corriente conservada:

jµε = −

1

2∂µφδφ

∗ −1

2∂µφ

∗δφ (220)

52

Que, utilizando las transformaciones infintesimales a las que sometimos a φ:

δφ = iεφ y δφ∗ = −iεφ∗, (221)

nos permite escribir la corriente conservada como:

jµ =i

2(φ∗∂µφ− φ∂µφ

∗) (222)

Donde extrajimos el factor ε al redifinir la corriente.Por supuesto, esta corriente se conserva a nivel clasico. ¿Como hacer para ver si vale (217)?

Utilizaremos el metodo conocido como metodo de Noether. Consideremos la funcion de particionde la teorıa:

Z =

∫

D[φ]∗D[φ] exp

(

−

∫

d4x L

)

(223)

La idea es, en vez de tomar la transformacion global, promoverla a una transformacion localde las coordenadas de la integracion funcional:

φ′ = φ+ iε(x)φ (224)

φ′∗ = φ∗ − iε(x)φ∗ (225)

Entonces calculemos la variacion de el Lagrangiano ante esta transformacion:

δL =∂L

∂(∂µφ)δ(∂µφ) +

∂L

∂(∂µφ∗)δ(∂µφ

∗) =

=1

2∂µφ∗(i∂µεφ+ i∂µφε) +

1

2∂µφ(−i∂µεφ

∗ − i∂µφ∗ε) = ∂µε(x) j

µ (226)

Donde jµ es la corriente que clasicamente se conservaba. Hay otra cosa que puede cambiaren la funcion de particion, que es la medida de integracion. Llamamos J [ε] al jacobiano de latransformacion. Entonces:

J [ε]D[φ′]∗D[φ′] = D[φ]∗D[φ] (227)

53

Y ahora reescribimos la funcion de particion en terminos de las nuevas variables:

Z =

∫

J [ε]D[φ′]∗D[φ′] exp

(

−

∫

d4x L −

∫

d4x ∂µε(x) jµ

)

(228)

Y haciendo una integral por partes:

Z =

∫

J [ε]D[φ′]∗D[φ′] exp

(

−

∫

d4x L +

∫

d4x ε(x) ∂µjµ

)

(229)

Por otra parte, Z no puede depender del parametro ε del cambio de coordenadas funcionalque realizamos. Por eso su derivada respecto de ε es nula. Entonces aprovechamos eso y tomamosla derivada funcional del logaritmo de Z y ponemos ε(x) = 0:

0 =1

Z

δZ

δε(x)

∣

∣

∣

∣

ε=0

= 〈∂µjµ(x)〉 +

δ log J [ε]

δε(x)

∣

∣

∣

∣

ε=0

(230)

Por lo tanto:

〈∂µjµ(x)〉 = −

δ log J [ε]

δε(x)

∣

∣

∣

∣

ε=0

(231)

Arribamos entonces a la condicion que hace que una corriente conservada clasicamente sesiga conservando al cuantizar la teorıa: Si tengo una simetrıa global, la conservacion sobrevivela cuantizacion si el Jacobiano de la transformacion local asociada es trivial.

Esto quiere decir que si una simetrıa clasica se pierde al cuantizar la teorıa la culpa es dela medida de la integral de camino.

Para ser mas claros en este punto y en las complicaciones que surgen en este punto vamos atomar otra teorıa y a tratar de calcular explicitamente J [ε]. Tomemos un fermion de spin 1/2sin masa. Combinandolo con una fuente externa acoplada al fermion como un campo-vector,podemos construir la funcion Generatriz:

Z[A] =

∫

D[ψ]D[ψ] exp

[

−

∫

d4x ψ(iγµ∂µ + qγµAµ)ψ

]

(232)

54

Las “funciones de Green” que podemos obtener derivando respecto a Aµ son los valores deespectacion de vaciıo de las corrientes. Por ejemplo:

〈jµ(x)〉 =1

Z

δZ

δAµ(x)

∣

∣

∣

∣

A=0

(233)

El Lagrangiano es invariante ante las transformaciones globales U(1):

ψ′ = eiαψ y ψ′ = ψe−iα (234)

Entonces clasicamente se conserva la corriente asociada a esta simetra:

jµ = iψγµψ , ∂µjµ = 0 (235)

Por lo tanto podemos desarrollar la misma idea que formulamos mas arriba. El metodo deNoether nos dice que consideremos la simetrıa global:

ψ′ = eiα(x)ψ y ψ′ = ψe−iα(x) (236)

Si calculamos como cambia el Lagrangiano ante esta transformacion obtenemos:

δαL = iψγµψ∂µα = jµ∂µα (237)

Observamos que A no varıa ya que es una fuente externa y no participa de la transformacionde Gauge. Introduciendo este cambio de variables funcionales en el funcional generatriz tenemosque:

Z[A] = J [α]

∫

D[ψ]D[ψ] exp

[

−

∫

d4x(

ψ(iγµ∂µ + qγµAµ)ψ + jµ∂µα)

]

(238)

Integrando por partes el ultimo termino de la exponencial:

Z[A] = J [α]

∫

D[ψ]D[ψ] exp

[

−

∫

d4x(

ψ(iγµ∂µ + qγµAµ)ψ − ∂µjµα)

]

(239)

55

De la misma forma que antes, como sabemos que Z[A] no puede depender del parametro αde la transformacion, lo derivamos y ponemos A = 0. De aquı obtenemos al igual que con elcampo escalar:

〈∂µjµ(x)〉 = −

δ log J [α]

δα(x)

∣

∣

∣

∣

α=0

(240)

Por otra parte, antes de hacer el cambio de variables, si escribimos la corriente en terminosde los campos tenemos que:

Z[A] = J [α]

∫

D[ψ′]D[ψ′] exp

[

−

∫

d4x ψ′(iγµ∂µ + qγµAµ + γµ∂µα)ψ′

]

= (241)

= J [α]

∫

D[ψ′]D[ψ′] exp

[

−

∫

d4x ψ′(iγµ∂µ + qγµAα(x)µ )ψ′

]

= (242)

= J [α] det(iγµ∂µ + qγµAα(x)µ ) (243)

Donde definimos:

Aα(x)µ = Aµ +

1

q∂µα(x) (244)

Pero por otra parte sabemos que Z[A] = det(iγµ∂µ + qγµAµ). O sea que tenemos que:

Z[A] = det(iγµ∂µ + qγµAµ) = J [α] det(iγµ∂µ + qγµAα(x)µ ) (245)

Es decir que en principio podrıamos calcular el Jacobiano como el cociente de los dosdeterminantes. Observemos por otra parte que:

e−iα(x)(iγµ∂µ + qγµAµ)eiα(x) = (iγµ∂µ + qγµAα(x)µ ) (246)

Por lo tanto, con la propiedad cıclica del determinante, tendrıamos que:

det(iγµ∂µ + qγµAµ) = det(iγµ∂µ + qγµAα(x)µ ) (247)

56

Lo que implicarıa que:J [α] = 1 (248)

Sin embargo hay que tener cuidado, ya que los operadores a los que les estamos tomandodeterminante no son matrices finitas. Son operadores no acotados y por lo tanto hay que usar al-guna prescripcion para regularizarlos. Solo si uno encontrara una prescripcion de regularizacionen la que la propiedad cıclica se pudiera aplicar, entonces (248) serıa cierto y la conservacionasociada a la simetrıa de Gauge sobrevivirıa a la cuantizacion.

Referencias

[1] W. Greiner, J. Reinhardt, “Field Quantization”, Springer, (1996).

[2] J.J. Sakurai, “Modern quantum mechanichs”, Addison-Wesley, (1994).

[3] F. Schaposnik, “Path Integrals”, no publicado (2004).

[4] E. Schrodinger, Ann. Phys., 79, p. 489-527, (1926).

[5] W. Heisenberg, Zeitschrift fr Physik, 33 , 879-893, (1925).

[6] E. Schrodinger, Ann. Phys., 79, p. 734-756, (1926).

[7] R.P. Feynman, “The principle of least action in quantum mechanics”, Ph.D. Thesis, (1942).

[8] E. Noether, Nachr. d. Konig. Gesellsch. d. Wiss. zu Gottingen, Math-phys. Klasse, p.235-257 (1918).

[9] N. Byers, Israel Mathematical Conference Proceedings, Vol. 12, (1999).

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