Folleto 3 Olimpiada 2009

1

“TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE CIENCIAS BÁSICAS”

Facultad de Ingeniería

Universidad de San Carlos de Guatemala 2009

2

Facultad de Ingeniería Universidad de San Carlos de Guatemala

Junta Directiva

Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos DECANO Inga. Glenda Patricia García Soria VOCAL PRIMERO Inga. Alba Maritza Guerrero de López VOCAL SEGUNDO Ing. Miguel Ángel Dávila VOCAL TERCERO Br. José Milton De León Bran VOCAL CUARTO Inga. Marcia Ivonne Veliz Vargas SECRETARIA

3

ÍNDICE

1. PRESENTACIÓN 01 2. TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA 02 DE CIENCIAS BÁSICAS

2.1 Antecedentes de actividades realizadas (Facultad de Ingeniería USAC) 02 2.2 Niveles de competencia 02 2.3 Pruebas 03 2.4 Inscripción 03 2.5 Premios 03 2.6 Financiamiento y patrocinio 04 2.7 Comisión organizadora 05 2.8 Colaboradores académicos 05

3. CONTENIDOS DE LAS PRUEBAS 09

3.1 Área de Matemática 09 3.2 Área de Física 09 3.3 Área de Química 10 3.4 Área de Biología 11

4. PRUEBAS Y SOLUCIONES 12

4.1 Matemática 12 4.2 Física 36 4.3 Química 55 4.4 Biología 83

5. PARTICIPANTES 93

5.1 Matemática 93 5.2 Física 100 5.3 Química 103 5.4 Biología 105

4

1. PRESENTACIÓN

La Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas es un evento académico programado para realizarse anualmente con la participación de estudiantes de las diferentes universidades del país, que competirían – en su tercera edición – en las áreas de Matemática, Física, Química y Biología.

Fundamentalmente busca generar incentivos para que los estudiantes universitarios en general, en especial los de carreras de orientación científica-tecnológica, se interesen en ampliar y profundizar sus conocimientos de Ciencias Básicas. Así mismo descubrir e identificar valores guatemaltecos, que con su educación y ejemplo estimulen a la juventud de Guatemala.

En esta actividad se involucran las distintas universidades privadas y públicas que tienen carreras técnico-científicas, para estrechar las relaciones académicas interinstitucionales, así como, la de los estudiantes de la capital y de los centros regionales en el interior del país. Cada año se va cambiando la sede para la realización de las pruebas en los campus de las universidades participantes.

La convocatoria y organización de este evento, como parte del avance y consolidación de la proyección de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala estuvo a cargo de la Comisión Organizadora, contando con la participación de profesionales de diferentes departamentos, facultades y universidades y el patrocinio de CONCYT y diversas empresas.

Este evento contribuye a la misión del Plan Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación 2005-2014 en el que se contempla como un punto fundamental “Apoyar la formación de recursos humanos de alto nivel académico y técnico”, así como incrementar el desarrollo de las Ciencias Básicas.

El presente documento incluye información general de esta actividad académica, así como las pruebas y las respectivas soluciones.

“ID Y ENSEÑAD A TODOS“

Inga. Glenda Patricia García Soria Coordinadora III Olimpiada

Interuniversitaria de Ciencias Básicas

5

2. TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE CIENCIAS BÁSICAS

2.1 Antecedentes de la actividad

En el año 2004 la Licenciatura en Matemática Aplicada organizó un certamen denominado Juego Matemático en el que participaron 60 estudiantes de las distintas carreras que se imparten en la Facultad de Ingeniería. El evento se organizó en tres niveles de participación que incluían un problema por nivel que debía ser resuelto usando calculadoras graficadoras Texas Instruments.

Posteriormente, en el 2006, la Dirección de la Escuela de Ciencias de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de San Carlos de Guatemala, con la colaboración de los departamentos de Matemática y Física y el respaldo del Decano, organizaron un certamen de Matemática y Física con el objetivo de promover el interés de los estudiantes de ingeniería por profundizar y mejorar el aprendizaje de la Matemática y Física, además de tener el fin de localizar a estudiantes con alta capacidad y conocimientos de estas ciencias.

En el año 2007 se amplió la convocatoria de todos los estudiantes de la USAC y de otras universidades del país, incluyendo la Química entre las áreas de la competencia, denominando al evento Primera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas.

En el año 2008 se decidió ampliar la convocatoria, incluyendo Biología entre las áreas de la competencia, denominando al evento Segunda Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas, con un incremento del 77% de participación en el evento.

Para el presente año 2,009, se ha extendido a las sedes departamentales y otras universidades, denominándolo Tercera Olimpiada Interuniversitaria de las Ciencias Básicas.

2.2 Niveles de competencia

La competencia se realizó en dos niveles en cada área, definidos de la siguiente manera:

Nivel 1: En él participaron únicamente los estudiantes que ingresaron a cualquier universidad nacional en los años 2008 ó 2009 (año actual y uno anterior) y estén cursando primero ó segundo año de la carrera.

Nivel 2: En él participaron los estudiantes universitarios que no hayan cerrado pensum en una carrera con el grado de licenciatura.

6

2.3 Pruebas

Las pruebas fueron escritas y se realizaron simultáneamente el 10 de octubre de 2009 a partir de las 8:00 horas en:

Campus de la Universidad Galileo, para la región central.

Facultad de Ingeniería CUNOC, para la región de Sur Occidente.

Facultad de Ingeniería CUNORI, para la región Nor Oriente.

Cada estudiante participó únicamente en un área (Matemática, Física, Química o Biología), en uno de los dos niveles indicados.

Cada prueba incluyó temas a desarrollar con una duración estimada de 2.5 horas, en esta tercera versión de la olimpiada, las pruebas incluyeron problemas de un nivel accesible a sectores amplios de la población estudiantil universitaria y otros que requieren de conocimientos y habilidades más desarrolladas.

Para efectos de calificación fue tan importante el razonamiento y procedimientos utilizados para resolver los problemas planteados como la forma en que se escribieron y estructuraron las soluciones propuestas por los participantes.

2.4 Inscripción

El estudiante que participó pudo inscribirse a través de la página de la Facultad de Ingeniería – USAC durante el período del 01/07/2009 al 03/10/2009

http://www.ingenieria-usac.edu.gt

http://mate.ingenieria-usac.edu.gt

2.5 Premios

A todos los estudiantes que participaron en la olimpiada se les otorgó un diploma de participación.

En cada uno de los niveles descritos para cada área se otorgaron medallas correspondientes al primer, segundo y tercer lugar. Mención honorífica al cuarto y quinto lugar de cada nivel.

Para cada nivel (I y II) de cada materia (Matemática, Física, Química y Biología) los premios fueron:

http://www.ingenieria-usac.edu.gt/

7

LUGAR NIVEL I NIVEL II

1o. Computadora + Impresora Computadora + Impresora

MATEMÁTICA 2o. Calculadora + 2 Libros Calculadora + 2 Libros

3o. Q. 250.00 + 3 Libros Q. 250.00 + 3 Libros

1o. Q. 1,000.00 + Impresora HP Computadora + Impresora FÍSICA 2o. Calculadora + 2 Libros Calculadora + 2 Libros

3o. Q. 250.00 + 3 Libros Q. 250.00 + 3 Libros 1o. Computadora + Impresora Q. 1,000.00 + Impresora HP

QUÍMICA 2o. Q. 500.00 + Impresora Q. 500.00 + Impresora


1o. Q. 1,000.00 + Impresora HP Q. 1,000.00 + Impresora HP BIOLOGÍA 2o. Q. 500.00 + Impresora Q. 500.00 + Impresora


2.6 Financiamiento y Patrocinio

SENACYT a través de la línea del fondo de apoyo a la ciencia y tecnología – FACYT- según contrato 024-2009

Universidad de San Carlos de Guatemala

Administrador Mercado Mayorista

CENGAGE Learning

Cervecería Centroamericana S.A.

Districalc

FUNSIN (premios en efectivo)

Maccaferry de Guatemala

Seguros Universales

Servicomp de Guatemala

8

2.7 Comisión Organizadora

Personas que participaron y contribuyeron en la organización e implementación de la Tercera Olimpiada Interuniversitaria de Ciencias Básicas.

Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos, Decano Facultad de Ingeniería USAC Inga. Glenda Patricia García Soria, Coordinadora de la Olimpiada Ing. Otto Miguel Hurtarte Hernández

Ing. Arturo Rodrigo Samayoa Dardón Inga. Casta Zeceña Zeceña Inga. Silvia Patricia Hurtarte Hernández Licda. Ana Fortuny Ing. Renato Giovanni Ponciano Sandoval Inga. Helen Rocío Ramírez de Reyes Srita. Clyda Susana González Girón

2.8 Colaboradores Académicos

Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática

Inga. Vera Gladis Marroquín Argueta Ing. Miguel Ángel Castillo Lic. Carlos Augusto Morales Santacruz Ing. José Alfredo González Díaz Ing. Oscar Alberto Martínez Lobos Ing. Oscar Humberto Montes Estrada Licda. Mayra Virginia Castillo Montes Ing. Juan Orlando López Orozco Ing. Carlos Alberto Garrido López Inga. Ericka Johanna Cano Díaz Br. José Milton De León Bran

Departamento de Física

Inga. Claudia Cecilia Contreras Folgar de Alfaro Ing. Edgar Darío Álvarez Cotí Lic. César Antonio Izquierdo Merlo Lic. Ricardo Enrique Contreras Folgar

Departamento de Química

Inga. Thelma Cano Ing. César Ariel Villela Rodas Ing. Byron René Aguilar Uck Ing. Alberto Arango Sieckavizza

9

Facultad de CC QQ y Farmacia

Dr. Oscar Cóbar Decano

Unidad de Difusión

DG. Laura González Cuellar

Br. Manuel Elías Tejax

Facultad de CC QQ y Farmacia

Dr. Oscar Cóbar, Decano

Licda. Maura Quezada

Lic. Oswaldo Martínez Rojas

Br. Raúl Arévalo

Universidades

Universidad Galileo

Ing. Rodrigo Baessa, Vicedecano Fissic

Lic. José Moreno Cámbara

Lic. Manuel Monroy

Ing. Antonio De Leon

Universidad Rafael Landivar

Ing. Álvaro Zepeda, Decano Facultad de Ingeniería

Lcda. Beatriz Cosenza

Ing. Edy Roldan Manzo

Inga. Miriam Chávez

Ing. Salvador Tuna

Universidad Del Valle

Dr. Adrian Francisco Gil Méndez, Decano Facultad de Ciencias y Humanidades

Universidad Mariano Gálvez

Ing. Rolando Torres, Decano Facultad de Ingeniería

Ing. Otto Miguel Hurtarte Hernández

Br. Rodolfo Estuardo Quiroa Meléndres

10

Br. Juan Merck

Universidad Francisco Marroquín

Dr. Federico Alfaro, Decano Facultad de Medicina

Dr. Raúl Batres

Dra. Rosa de Escobar

Universidad Del Istmo

Ing. Sergio Morales, Decano Facultad de Ingeniería

Colaboradores

Dra. Rosa María Amaya de Fabián Lic. Edgar Aguilar CONCYT

Ing. Luis Herrera Gálvez Administrador Mercado Mayorista Lic. Jorge Arias Lic. José Mena Cengage Learning Ing. Fernando Montenegro Castillo Ing. Mario Castillo Vásquez Cervecería Centroamericana S. A Lic. Tulio Villagrán DISTRICALC Ing. Elfego Vladimir Vásquez Fuentes FUNSIN Ing. Bernal Monge Suñol Maccaferry de Guatemala Inga. Astrid Gutiérrez de Erdmenger Seguros Universales S. A. Ing. Manglyo García Servicomp de Guatemala

11

12

13

3. CONTENIDO DE LAS PRUEBAS

Matemática: Nivel 1

Ecuaciones y desigualdades

Funciones y graficas

Geometría

Funciones polinomiales y racionales

Funciones exponencial y logarítmica

Funciones trigonométricas

Trigonometría analítica

Geometría analítica

Límites y derivadas

Reglas de derivación

Aplicaciones de la derivada

Matemática: Nivel 2

Integrales

Técnicas de integración

Aplicaciones de la Integral

Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y ecuaciones de las cónicas en polares

Sucesiones y series infinitas

Vectores y geometría analítica en el espacio

Funciones vectoriales y derivadas parciales

Integrales múltiples

Calculo vectorial

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Modelos matemáticos y métodos numéricos

Ecuaciones lineales de orden superior

Física: Nivel I, Mecánica

Física y mediciones

Vectores

Movimiento en una dimensión

14

Movimiento en dos dimensiones

Las leyes del movimiento

Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton.

Energía y transferencia de energía

Energía potencial

Cantidad de movimiento lineal y colisiones

Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Cantidad de movimiento angular

Equilibrio

Elasticidad

Gravitación universal

Mecánica de fluidos

Mecánica de fluidos dinámica

Movimiento oscilatorio

Energía de oscilador armónico simple

Física: Nivel II, Electricidad y Magnetismo

Ley de Coulumb

Campo eléctrico

Ley de Gauss

Potencial eléctrico

Capacitadotes y dieléctricos

Corrientes y resistencia

Circuitos eléctricos

Fuerza magnética

Ley de Ampere

Ley de Faraday y la ley de inducción

Inductancia

Química: Nivel 1

Ciencia y Medición

Teoría Atómica

Clasificación Periódica

15

Enlace Químico

Nomenclatura

Estequiometria

Gases

Química: Nivel II

Estequiometria de las reacciones

Soluciones

Cinética química

Equilibrio químico

Electroquímica

Termodinámica

Biología: Nivel I

Introducción al estudio de los seres vivos

Bases químicas de la vida

Las células

Procesos energéticos fundamentales

División y muerte celular

Genética

Mecanismos de la evolución

Biología: Nivel II

Introducción al estudio de los seres vivos

Bases químicas de la vida

Las células

Procesos energéticos fundamentales

División y muerte celular

Genética

Mecanismos de la evolución

Diversidad de los seres vivos

Estructura y función de los sistemas del cuerpo humano

Ecología

16

4. PRUEBAS Y SOLUCIONES

4.1 Matemática

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL I

Instrucciones: A continuación se le presenta una serie de problemas, resuélvalos correctamente en el cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 100 minutos.

Problema 1 (10 puntos)

Los tiempos que emplean dos pintores para pintar un metro cuadrado de superficie, difieren entre sí en un minuto. Trabajando juntos tardan una hora para pintar 27 metros cuadrados. ¿En cuánto tiempo pinta cada uno un metro cuadrado?


Con el objeto de realizar pruebas experimentales en el diseño de dos vehículos nuevos, los vehículos se sitúan en los puntos opuestos A y B de una carretera recta. Ambos pilotos salen al mismo tiempo viajando a velocidades constantes y se encuentran a una distancia de 4,500 metros del punto B. Al llegar al extremo de la carretera, ambos vehículos regresan al punto de partida y se encuentran nuevamente a una distancia de 3,500 metros del punto A. Si el tiempo transcurrido entre ambos encuentros es de 250 segundos, calcule la velocidad de cada auto y la distancia entre los puntos A y B.


Halle los valores de a y b tales que

3

30

sen3lim 0x

x ax bx

x


Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse 2 24 9 36x y que pasa

por el punto (0, 4) .

17


Dada la función: 1

( )1

xf x

x

a. Trace la gráfica de la función 1y x

b. Trace la gráfica de la función ( )f x .

c. Utilice la gráfica de la función ( )f x para determinar en qué puntos ( )f x no

existe.

d. Encuentre ( )f x .


Un fabricante de muebles de madera vende a un comerciante mesas a un precio Q90.00 cada una si la venta es de 300 mesas o menos. El fabricante ofrece hacer un descuento en cada mesa del pedido total, equivalente al 25% del número de mesas adicionales a las 300 mesas; si el pedido es mayor de 300 mesas. Calcule el número de mesas que el fabricante debe vender en un pedido, de tal forma que el ingreso por la venta del mismo sea máxima.


La figura muestra 3 círculos de radios R, x, y y, donde R x , R y Los círculos de

radios R y x tienen un diámetro en el mismo segmento y son tangentes entre sí. El círculo de radio y es tangente a los otros dos y también es tangente al diámetro común, como se muestra en la figura.

a. Si 10R y 6x , encuentre el área de la región interior al círculo de radio mayor y exterior a los otros dos círculos.

b. Demuestre que 2

4 ( )

( )

Rx R xy

R x

.

c. Si 10R , utilice calculo diferencial para obtener el valor de x para el cual y es máximo

18

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

PROBLEMA 1

Los tiempos que emplean dos pintores para pintar un metro cuadrado de superficie, difieren entre sí en un minuto. Trabajando juntos tardan una hora para pintar 27 metros cuadrados. ¿En cuánto tiempo pinta cada uno un metro cuadrado?

Solución

Los tiempos que emplean dos pintores para pintar un metro cuadrado de superficie, difieren entre sí en un minuto.

Sea x el tiempo en minutos que emplea el pintor más rápido para pintar un metro cuadrado, entonces 1x es el tiempo que se tarda el otro pintor por metro cuadrado.

1

x es la superficie en metros cuadrados que pinta el pintor más rápido en

un minuto y

1

1x es la superficie en metros cuadrados que pinta el otro pintor en un

minuto.

Al trabajar juntos la superficie que pintan cada minuto es 1 1

1x x

Como pintan una superficie de 27 metros cuadrados en un tiempo de 60 minutos, la ecuación que resuelve el problema es

1 1 271 60x x

Resolviendo la ecuación para obtener la solución del problema

2

2

1 9

( 1) 20

20(2 1) 9( )

9 31 20 0

( 4)(9 5) 0

x x

x x

x x x

x x

x x

Las soluciones de la ecuación anterior son 4x y 5

9x . Rechazando la

raíz negativa, se obtiene que el primer pintor se tarda 4 minutos por metro cuadrado y el segundo 5 minutos por metro cuadrado.

19

PROBLEMA 2

Con el objeto de realizar pruebas experimentales en el diseño de dos vehículos nuevos, los vehículos se sitúan en los puntos opuestos A y B de una carretera recta. Ambos pilotos salen al mismo tiempo viajando a velocidades constantes y se encuentran a una distancia de 4,500 metros del punto B. Al llegar al extremo de la carretera, ambos vehículos regresan al punto de partida y se encuentran por segunda vez a una distancia de 3,500 metros del punto A. Si el tiempo transcurrido entre ambos encuentros es de 250 segundos, calcule la velocidad de cada auto y la distancia entre los puntos A y B.

Solución

La siguiente figura muestra como se relacionan las distancias recorridas, suponiendo que el vehículo que parte del punto A tiene una velocidad

1v mayor que la velocidad 2v del vehículo que parte del punto B.

Suponiendo también que la distancia entre los puntos A y B es D.

D

A B

4,5003,500

1P2P

Cuando los vehículos se encuentran por primera vez, en el punto 1P , el

tiempo transcurrido es el mismo, es decir

1 2

4, 500 4, 500D

v v

(1)

El vehículo que parte del punto A, para llegar al segundo punto de encuentro recorre la distancia 4, 500 ( 3, 500) 1,000D D , por lo tanto se tiene que

1

1

250 1, 000

1, 000

250

v D

Dv

El vehículo que parte del punto B para llegar al segundo punto de encuentro recorre la distancia ( 4, 500) 3500 1000D D , de donde se obtiene la

relación

2

2

250 1, 000

1, 000

250

v D

Dv

Sustituyendo las expresiones obtenidas para 1v y 2v en la ecuación 1 y

despejando D, se obtiene

20

2

2

4, 500 4, 500

1, 000 1, 000

250 250( 4, 500)( 1, 000) 4, 500( 1, 000)

5, 500 4, 500, 000 4, 500 4, 500, 000

10, 000 0

( 10, 000) 0

D

D D

D D D

D D D

D D

D D

De donde la distancia D entre el punto A y el punto B es 10,000 metros.

La velocidad 1v es

1

1, 000 11, 00044

250 250

Dv

metros por segundo.

y la velocidad 2v es

2

1, 000 9, 00036

250 250

Dv

metros por segundo.

PROBLEMA 3

Halle los valores de a y b tales que 3

30

sen 3lim 0x

x ax bx

x

Solución

Cuando x se acerca a cero, el numerador 3sen 3x ax bx así como el

denominador 3x se aproximan a cero, por lo tanto se tiene que el límite

tiene la forma indeterminada 0

0, por lo que es factible aplicar la regla de

L’Hospital. Así derivando el numerador y el denominador se tiene:

3 2

3 20 0

sen 3 3 cos 3 3lim lim3x x

x ax bx x a bx

x x

Para poder aplicar nuevamente la regla de L’Hospital, se debe tener la forma

indeterminada 00

, cuando x tiende a 0. Para que el numerador sea cero, se

tiene

23 cos(0) 3 (0) 0

3 0

3

a b

a

a

21

Sustituyendo 3a y aplicando nuevamente la regla de L’Hospital se obtiene:

2

20 0

3 cos 3 3 3 9 sen 3 6lim lim63x x

x bx x bx

xx

la cual sigue teniendo la forma 00

, por lo que se aplica una vez más la regla

de L’Hospital, llegando a la expresión

0 0

9 sen 3 6 27 cos 3 6lim lim6 6

27 6

6

x x

x bx x b

x

b

Como el límite debe ser igual a cero

27 60

69

2

b

b

Concluyendo que los valores buscados son 3a y 9

2b .

PROBLEMA 4

Encuentre las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse 2 24 9 36x y que pasa

por el punto (0, 4) .

Solución

La siguiente figura muestra la gráfica de la elipse y las dos rectas tangentes que pasan por el punto (0, 4)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

22

Primero derivamos la ecuación de la elipse usando derivación implícita para obtener la pendiente en cualquier punto

2 24 9 (36)

8 18 0

4

9

d dx y

dx dxdy

x ydxdy x

dx y

Si ( , )a b es el punto en donde las rectas son tangentes a la elipse, entonces la

pendiente en ese punto es 4

9

am

b

. Por otro lado, ésta pendiente también

se puede encontrar utilizando la fórmula de pendiente entre dos puntos

4 4

0

b bm

a a

Igualando las pendientes se obtiene la ecuación

4 4

9

a b

b a

(1)

Como el punto ( , )a b está en la elipse se tiene

2 24 9 36a b (2)

Despejando 24a en las ecuaciones 1 y 2 e igualando, se obtiene la ecuación cuadrática

2

2 2

9 ( 4) 9 36

9 36 9 36

36( 1) 0

1

b b b

b b b

b

b

Para éste valor de b, se obtienen los dos valores 3 3

2a y 3 3

2a .

La pendiente de las rectas tangentes se puede calcular ahora fácilmente

3 3424 2 3

9 9(1) 3

am

b

Ahora se puede utilizar la ecuación punto pendiente para encontrar las ecuaciones de las rectas

2 34 ( 0)3

3 12 2 3

y x

y x

De donde las ecuaciones de las rectas tangentes son

2 3 3 12 0x y y 2 3 3 12 0x y

23

PROBLEMA 5

Sea 1

( )1

xf x

x

a. Trace la gráfica de la función ( ) 1g x x .

b. Trace la gráfica de la función ( )f x .

c. Utilice la gráfica de la función ( )f x para determinar en qué puntos ( )f x no

existe. d. Encuentre ( )f x .

Solución

a. Para trazar la gráfica de la función ( ) 1g x x , se puede construir

primero la gráfica de la función 1y x que se muestra en la siguiente

figura

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

x

y

El valor absoluto de la función mostrada en la gráfica anterior, nos da la

gráfica de la función ( ) 1g x x que se muestra en la figura siguiente

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

x

y

24

b. Para dibujar la gráfica de la función ( )f x se comenzará redefiniendo la

función de forma que no contenga valor absoluto. Redefiniendo primero la

función ( ) 1g x x se tiene que

1 si 1

1 si 1 01

1 si 0 1

1 si 1

x x

x xx

x x

x x

A partir de la expresión anterior se obtiene que la función ( )f x se puede

redefinir como

1si 1

11

si 1 0( )1

1 si 0 1

1 si 1

xx

xx

xf xx

x

x

La figura siguiente muestra la gráfica de la función ( )f x

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

x

y

c. La función no es diferenciable en 1x y en 0x porque ( 1, 0) y (0, 1)

son puntos angulosos. No es diferenciable en 1x porque la función es discontinua en 1x .

d. La derivada de la función está dada por

2

2

2 si 1( 1)

1 si 1 0( )( 1)

0 si 0 1

0 si 1

xx

xf xx

x

x

25

PROBLEMA 6

Un fabricante de muebles de madera vende a un comerciante mesas a un precio Q90.00 cada una si la venta es de 300 mesas o menos. El fabricante ofrece hacer un descuento en cada mesa del pedido total, equivalente al 25% del número de mesas adicionales a las 300 mesas; si el pedido es mayor de 300 mesas. Calcule el número de mesas que el fabricante debe vender en un pedido, de tal forma que el ingreso por la venta del mismo sea máxima.

Solución

Sea C el ingreso del fabricante y x el número de mesas vendidas, entonces la función que define el ingreso es

90 si 0 300( )

90 0.25( 300) si 300 660

x xC x

x x x

Simplificando la función anterior

2

90 si 0 300( )

165 0.25 si 300 660

x xC x

x x x

Calculando la primera derivada para obtener los valores críticos

90 si 0 300( )

165 0.5 si 300 660

xC x

x x

La derivada es cero cuando 330x y la derivada no existe cuando 300x , por lo que los valores críticos son 300x y 330x

Evaluando en los extremos del intervalo y en valores críticos

(0) 0

(300) 27, 000

(330) 27, 225

(660) 0

C

C

C

C

Respuesta: con 330 mesas vendidas por pedido el ingreso es máximo con valor de Q27,225.00.

26

PROBLEMA 7

La figura muestra 3 círculos de radios R, x, y y, donde R x , R y Los círculos de

radios de radios R y x tienen un diámetro común y son tangentes entre sí. El círculo de radio y es tangente a los otros dos y también es tangente al diámetro común, como se muestra en la figura.

a. Si 10R y 6x , encuentre el área de la región interior al círculo de radio mayor y exterior a los otros dos círculos.

b. Demuestre que 2

4 ( )

( )

Rx R xy

R x

.

c. Si 10R , utilice calculo diferencial para obtener el valor de x para el cual y es máximo

Solución

La siguiente figura muestra las relaciones entre los radios de los círculos

y

yy

xxR

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo pequeño, se obtiene que el cateto adyacente horizontal tiene una longitud de

2 2( )R y y . Al aplicar nuevamente el teorema de Pitágoras en el otro

triángulo rectángulo se obtiene la ecuación

2

2 2 2 2( ) ( ) ( )x y R x R y y y (1)

a. Sustituyendo Si 10R y 6x , en la ecuación 1 y luego resolviendo la ecuación para obtener el valor de y se tiene

27

2

2 2 2 2

2 2

(6 ) (10 6) (10 )

36 12 16 8 100 20 100 20

4 10 100 20

y y y y

y y y y y

y y

Elevando ambos lados al cuadrado y despejando y se obtiene que 15

4y

El área buscada es

2

2 2 15 225 799(10) (6) 100 364 16 16

A

b. Desarrollando cuadrados en la ecuación 1 y sumando términos semejantes

se obtiene

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( )

2 ( ) 2( ) ( ) ( )

( ) 2

x y R x R y y y

x xy y R x R x R y y R y y y

xy R Rx Ry R x R Ry

Elevando nuevamente ambos lados al cuadrado, se puede despejar y para obtener el resultado buscado

22 2 2

2 2 2 2

2

( ) 2

( 2 ) 4 4

4 ( )

( )

xy R Rx Ry R x R Ry

y R Rx x R x Rx

Rx R xy

R x

c. Sustituyendo 10R en la expresión para y se obtiene una función de una variable,

2

2 2

40 (10 ) 40(10 )

(10 ) (10 )

x x x xy

x x

El dominio para ésta función está formado por todos los números reales mayores que cero y menores o iguales que 10. Calculando la primera derivada y obteniendo los valores críticos

2

2 3

10 ) 400(10 3 )40

(10 ) (10 )x

x x xD y

x x

El único valor crítico en el intervalo [0,10] es 10

3x . Al evaluar y para ésta

valor y para los extremos del intervalo se obtiene que el valor máximo de y es

max 2

10 1040 103 3 5

10103

y

Por lo tanto el valor de x para el cual y es máximo es 10

3x

28


ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE MATEMÁTICA NIVEL II

Instrucciones: A continuación aparecen varios problemas, resuélvalos correctamente dejando clara constancia de los procedimientos que le permitieron resolverlos. El tiempo máximo para responder la prueba es de 2 horas.


Un cubo que pesa 4 libras y una soga de peso insignificante se usan para extraer agua de un pozo de 80 pies de profundidad. El cubo se llena con 40 libras de agua y se jala hacia arriba con una rapidez de 2 pies/seg, pero el agua se sale por un agujero que tiene el cubo con una rapidez de 0.2 lb/seg. Calcule el trabajo hecho al jalar el cubo hasta la boca del pozo.


Evalúe las integrales:

a.

3 2

2

3 3 3

1 3 3

x x x dxx x x x

b.

21

zze dzz


Encontrar xe

dxx

como una serie infinita, encontrando primero la serie de Maclaurin

de ( ) xf x e


Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo 2 ˆˆ ˆF yi xj z k

a

lo largo de la frontera de la superficie 2 21z x y que se encuentra arriba del

plano xy

29


Un estanque de 300 litros de capacidad contiene 50 litros de agua pura. En el instante 0t , comienza a entrar una solución que contiene 100 cm3 de alcohol por cada litro de

solución y lo hace a una velocidad de 5 litros por minuto. Este suministro solo se detiene al llenarse el tanque. Después de media hora ingresa al estanque una segunda solución de agua con alcohol, pero con un 20 % de alcohol por litro de solución y a una velocidad de 5 litros por minuto (la primera se mantiene hasta que se llena el tanque). Simultáneamente al ingreso de esta solución, se abre una llave en el fondo del estanque y a una velocidad de 6 litros por minuto, la solución perfectamente mezclada, sale del estanque. Determine el porcentaje de alcohol en el estanque cuando éste complete su capacidad. (1 litro = 1000 cm3)


Si ,z f u v donde u xy & y

vx

, f tiene derivadas parciales continuas de

segundo orden, pruebe que:

2 2 22 2

2 24 2z z z zx y uv v

u v vx y


Resuelva la ecuación diferencial 1 1 0y x dx x y dy

30

SOLUCIÓN DE LA PRUEBA

Problema 1

Un cubo que pesa 4 libras y una soga de peso insignificante se usan para extraer agua de un pozo de 80 pies de profundidad. El cubo se llena con 40 libras de agua y se jala hacia arriba con una rapidez de 2 pies/seg, pero el agua se sale por un agujero que tiene el cubo con una rapidez de 0.2 lb/seg. Calcule el trabajo hecho al jalar el cubo hasta la boca del pozo.

Solución

Como el peso del cubo es constante se necesita un trabajo de

4 * 80 320cW lb-pie.

Luego el cubo se eleva a razón de 2 pie/seg., como se sabe *x v t o bien

2x xtv

, luego a medida que el cubo se eleva su contenido de agua es

40 0.2t , o bien 2

40 0.2( )x , por lo tanto el trabajo requerido para elevar el

agua es:

80

2 800.102

0

(40 0.1 ) 40 3200 320 2880aW x dx x x lb – pie.

Por lo que el trabajo total requerido es

c aW W W

2880 320W 3200 .W lb pie

Problema 2

Evalúe:

a.

3 2

2

3 3 3

1 3 3

x x x dxx x x x

b.

21

zze dzz

Solución

a. Se resuelve utilizando fracciones parciales

Por lo que

3 2

22

3 3 31 3 31 3 3

x x x A B Cx Ddx dx dx dxx x x xx x x x

31

O sea que

3 2

22

3 3 31 3 31 3 3

x x x A B Cx Dx x x xx x x x

2 23 2

2 2

1 3 3 3 3 13 3 3

1 3 3 1 3 3

A x x x Bx x x Cx D x xx x x

x x x x x x x x

Al igualar los numeradores se tiene:

3 2 3 2 3 3 2 23 3 3 2 6 3 3 3x x x Ax Ax Ax A Bx Bx Bx Cx Dx Cx Dx

3 2 3 23 3 3 2 3 6 3 3x x x A B C x A B C D x A B D x A

De la igualdad anterior se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:

1

2 3 3

6 3 3

3 3

A B C

A B C D

A B D

A

con soluciones

1, 2, 2, 3A B C D

Por lo que:

3 2

22

3 3 3 1 2 2 31 3 31 3 3

x x x xdx dx dx dxx x x xx x x x

3 22

2

3 3 3 ln 2ln 1 ln 3 31 3 3

x x x dx x x x x cx x x x

2

3 2

22

3 33 3 3 ln( 1)1 3 3

k x x xx x x dxxx x x x

b. Para calcular

2

1

zze dzz

Resolviendo por integración por partes

;zu ze z zdu ze e dz

2;

1

dzdvz

1

1v

z

32

2

11 11

1

1 1

1

1

1

z zz z

zz

zz

zz

z

ze zedz ze e dzz zz

e zze dzz z

ze e dzz

ze e cz

e cz

Problema 3

Encontrar xe

dxx

como una serie infinita, encontrando primero la serie de Maclaurin

de ( ) xf x e

Solución:

Serie

xf x e 0 1f

' xf x e ' 0 1f

'' xf x e '' 0 1f

''' xf x e ''' 0 1f

2 3

3

1

1

1

1

0 1

11! 2! 3!

1!

1!

( 1) ( 1)

1 !

x

n

n

x n

n

n nx n

n n

x x xe P x

xn

e xx x n

xe xdxx n nn

33

Por la serie geométrica

1

0 0 0

( 1) ( 1)1 1 ( 1) ( 1) ln1 1

n nn n n

n n n

xx x x

x x n

1

0 1

( 1) ( 1)

1 !

n nx n

n n

xe xdxx n nn

Problema 4

Verifique el teorema de Stokes al calcular la circulación del campo 2 ˆˆ ˆF yi xj z k

a lo

largo de la frontera de la superficie 2 21z x y que se encuentra arriba del plano xy

Solución

c

S

SdFrdF

.

y

Curva cos ; sen

sen ; cos

0 ; 0

x t dx t dt

y t dy t dt

z dz

(0,1,0) (1,0,0)

z

x

34

Por integral de línea

Curva

2 2

2 2

0 0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsen cos 0 sen cos 0 sen costi tj k tdti tdtj k t t dt

22

0 0

1 2dt t

Entonces

c

rdF 2.

Por integral de superficie.

2

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ0 0 2

i j k

F i j kx dy z

y x z

2 2 2

ˆˆ ˆ (1 )

(1 )

xi yj z k

x y z

2 2 2

ˆ2(1 )

(1 )

z kF

x y z

22 2

22 2

2 1

ˆ 11

1S R R

zdydx dydxF dS F

zk x y z

x y z

1 22 1 2 22

0 0 0 0 00

2 1 22

Rxy

rdydx rdrd d d

De donde

2. cS

SdFrdF

35

Problema 5

Un estanque de 300 litros de capacidad contiene 50 litros de agua pura. En el instante t = 0, comienza a entrar una solución que contiene 100 cm3 de alcohol por cada litro de solución y lo hace a una velocidad de 5 litros por minuto. Este suministro solo se detiene al llenarse el tanque. Después de media hora ingresa al estanque una segunda solución de agua con alcohol, pero con un 20 % de alcohol por litro de solución y a una velocidad de 5 litros por minuto (la primera se mantiene hasta que se llena el tanque). Simultáneamente al ingreso de esta solución, se abre una llave en el fondo del estanque y a una velocidad de 6 litros por minuto, la solución perfectamente mezclada, sale del estanque. Determine el porcentaje de alcohol en el estanque cuando éste complete su capacidad. (1 litro = 1000 cm3)

Solución

Sea Q la cantidad de alcohol en el tanque.

Primero se analiza 0 30t minutos.

Al inicio se tienen 50 litros de agua, o sea que V0 = 100, luego durante los siguientes 30 minutos ingresan 5 litros por minuto, lo que da un total de 150 litros, éstos sumados a los 50 litros iniciales hacen un subtotal de 200 litros de solución en el estanque.

Además durante esos 30 minutos de los 150 litros que ingresan hay 100 cm3 de alcohol o sea (1/10) de litro de alcohol por cada litro haciendo un subtotal de 15 litros de alcohol en el estanque.

Ahora se analiza para 30 55t

Para llenar la capacidad del estanque se necesitan 100 litros más de solución, ya que ingresan 5 litros + 5 litros y egresan 6 litros, se tiene que el estanque gana 4 litros de solución por minuto, por lo que éste se llenará pasados otros 25 minutos.

Entonces:

V0 = 200 litros de solución

Q0 = 15 litros de alcohol, para 0t .

b = ingresan en una solución 110

litros de alcohol y en la otra 20% o

sea 15 litros de alcohol, lo que hace un subtotal de 310

litros de

alcohol.

e = ambas soluciones en b ingresan a la velocidad de 5 gal/min.

f = la solución bien mezclada sale a la velocidad de 6 gal/min.

Así se tiene que la ecuación diferencial que define la cambio de alcohol en el estanque viene dada por:

36

0 ( )

f QdQbe

dt V e e f t

Ec. 1.

Sustituyendo datos en 1 se tiene:

6 61 1 3(5)5 10 200 (5 5 6) 2 200 4

dQ Q Q

dt t t

o bien:

6 3200 4 2

dQ Q

dt t

,

Que es una ecuación lineal, se tiene que el factor integrante es:

1

6 3200 4 24

6 ln 200 4. . 200 4

tdt t

F I e e t

Por lo tanto se tiene:

3 32 2

52

3200 4 200 423 1 2 200 42 4 5

Q t t dt

t C

o bien:

32

3 200 420 200 4

CQ tt

Ec. 2

Sustituyendo 0, 15, 2t Q en , se tiene:

32

315 (200)2 200

C

de donde 3 32 2(15 30)200 15(200 )C , así:

323 200200 4 15

20 200 4Q t

t

Ec. 3

Para dar respuesta a la pregunta se debe sustituir 25t minutos en la ecuación 3, de donde se obtiene:

323 200200 100 15 36.8

20 200 100Q

litros de alcohol.

Ahora bien los 36.8 litros corresponden a: 10036.83 % 12.28 %300

.

37

Problema 6

Si ,z f u v donde u xy & y

vx

, f tiene derivadas parciales continuas de

segundo orden, pruebe que:

2 2 22 2


u v vx y

Solución:

2 2

y yz z u z v z z z zy yx u x v x u v u dvx x

2

2 3 2

2y yz z z z zyx x x u v x dvx x x

2 2 2 2 2

2 2 3 2 2

2y yz z u z v z z u z vyx v u x v u v x xx u x x v

2 2 2 2 2

2 2 2 3 2 2 2 2

2y y y y yz z z z z zy y y yv u v u vx u x x x x v x

22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

22

y yz z z z zx x y yv u x vx u x v

I

1z z u z v z zxy u y v y u v x

2

2

1z z z zxy y y u x y vy

2 2 2 2 2

2 2 2

1z z u z v z v z uxy v u y x y v u yy u v

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1z z z z zx x xx v u x x v uy u v

22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 22

yz z z zy x y yv uy u x v

II

38

Sumando I & II queda:

2 22 2

2 2

z zx yz y

22 2 22 2 2

2 2 2

22

y yz z z zx y yv u x vu x v

22 2 22 2 2

2 2 22

yz z zx y yv uu x v

2 2 22 2 2

2 2

24

yz z z zx y yu v x vz y

2 2 22 2


u v vz y

Problema 7

Resuelva la ecuación diferencial 1 1 0y x dx x y dy

Solución

( 1)1

y x

y

( 1))1

x y

x

Entonces es una EDO exacta

2( , )1 ( , ) ( )

2

F x y xy x F x y xy x g yx

2( , )

1 ( , ) ( )2

F x y yx y F x y xy y h x

y

Por lo anterior la solución es:

22

2 2

yxxy x y C

OTRA FORMA

Utilizando la sustitución:

&x u h y v k

La transformamos en una homogénea

1 1 0v k u h du u h v k dv

Obteniendo el sistema

1 0

1 0

k h

k h

39

Al resolver el sistema anterior se obtiene 1k y 0h

Sustituyendo éstos valores en la ecuación homogénea

1 0 1 0 1 1 0

0

v u du u v dv

v u du u v dv

Sea: u vz entonces du vdz zdv

Sustituyendo se obtiene

2 2 2

2 2

0

0

1 1 0

v vz vdz zdv vz v dv

v dz v zdz vzdv vz dv vzdv vdv

v z dz v z z z dv

Separando variables

22

10

1 2

z vdz dvvz z

2 2 1 2 1 12dww z z dw z dz z dz

Se obtiene la integral

2

1 02dw v dvw v

Integrando

21 ln 2 1 ln2

z z v K

21 ln 2 1 ln 12 1 1

x x y Ky y

Aplicando propiedades del logaritmo llegamos a la misma solución:

22

2 2

yxxy x y C

40

4.2 Física


ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE FÍSICA

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I

Problema No. 1

La forma más sencilla de realizar un viaje entre dos planetas del Sistema Solar es utilizando lo que se conoce como órbita de Transferencia de Hohmann, que es, desde el punto de vista energético, la más económica. En dicha transferencia el satélite recorre, en el ambiente interplanetario, un camino que es una semi-elipse, con el Sol en uno de los focos, entre el planeta interior en la posición más cercana al Sol (perihelio) y el planeta exterior en el punto más apartado de esa cónica (afelio) (Ver Figura adjunta). En nuestro caso, el de una supuesta misión satelital a Venus, se puede suponer que las órbitas de los planetas involucrados están en el mismo plano y pueden ser consideradas círculos perfectos. Además supondremos que es posible esperar la configuración ideal para la transferencia de Hohmann, donde la posición de Venus (a la llegada de la nave) es diametralmente opuesta a la posición en la que estaba la Tierra en el instante de la partida del satélite.

Determine el tiempo de vuelo de una misión desde la Tierra al planeta Venus en una trayectoria de Hohmann, considerando que el movimiento del satélite cumple con las mismas leyes que cualquier astro del sistema solar y despreciando las perturbaciones gravitatorias de todos los planetas.

41

Problema 2

En un proceso de impresión continuo, las prensas tiran del papel a una rapidez constante v. Denotando mediante r el radio del rodillo de papel en cualquier tiempo dado y por b el espesor del papel. a) encuentre una expresión para la aceleración angular del rollo de papel, b) determine el tiempo en el que el rollo de papel se desenrolla completamente.

Problema 3

Se desea construir un túnel para el transporte de carga que atraviese el centro de la Tierra. Si se supone que la Tierra tiene una densidad constante, demuestre que el movimiento del cuerpo es armónico simple, encuentre la ecuación diferencial correcta y

el período del movimiento. Considere el radio de la Tierra RT = 6.38106 m y su masa MT

= 5.971024 kg,

Problema 4

Dos barras idénticas AB y BC se sueldan entre sí para formar un mecanismo en forma de L, el cual se presiona contra un resorte en D y se suelta desde la posición indicada. Si el ángulo máximo de rotación del mecanismo en su movimiento subsiguiente es de 900 en contra del sentido de las manecillas del reloj determine a) la magnitud de la velocidad angular del mecanismo cuando pasa por la posición en la que la barra AB forma un ángulo de 300 con la horizontal. b) Encuentre una expresión para la aceleración del mecanismo y analice si es constante.

v b

tierra

móvil

R

t

r

A B

C

L = 20in

h

42

SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA NIVEL I

Problema No. 1

La forma más sencilla de realizar un viaje entre dos planetas del Sistema Solar es utilizando lo que se conoce como órbita de Transferencia de Hohmann, que es, desde el punto de vista energético, la más económica. En dicha transferencia el satélite recorre, en el ambiente interplanetario, un camino que es una semi-elipse, con el Sol en uno de los focos, entre el planeta interior en la posición más cercana al Sol (perihelio) y el planeta exterior en el punto más apartado de esa cónica (afelio) (Ver Figura adjunta). En nuestro caso, el de una supuesta misión satelital a Venus, se puede suponer que las órbitas de los planetas involucrados están en el mismo plano y pueden ser consideradas círculos perfectos. Además supondremos que es posible esperar la configuración ideal para la transferencia de Hohmann, donde la posición de Venus (a la llegada de la nave) es diametralmente opuesta a la posición en la que estaba la Tierra en el instante de la partida del satélite.

Determine el tiempo de vuelo de una misión desde la Tierra al planeta Venus en una trayectoria de Hohmann, considerando que el movimiento del satélite cumple con las mismas leyes que cualquier astro del sistema solar y despreciando las perturbaciones gravitatorias de todos los planetas.

Solución:

De acuerdo con la figura podemos observar que para la elipse:

Radio del perihelio: 6108.21 10p VenusR R km

Radio del apohelio: 6149.59 10a TierraR R km

Semi eje mayor: 6128.90 102

a p

sat

R Ra km

43

De manera que al aplicar la tercera ley de Kepler tenemos:

2 3 3

128.90 290149.59

sat satsat

Tierra Tierra

T aT días

T a

si utilizamos el período de la tierra como 363 díasTierraT obtenemos para

el tiempo de transferencia en la trayectoria de Hohmann:

1452sat

trnasferencia

TT días

Problema 2

En un proceso de impresión continuo, las prensas tiran del papel a una rapidez constante v. Denotando mediante r el radio del rodillo de papel en cualquier tiempo dado y por b el espesor del papel. a) encuentre una expresión para la aceleración angular del rollo de papel, b) determine el tiempo en el que el rollo de papel se desenrolla completamente.

Solución:

a) Consideremos primero el concepto de aceleración:

ddt

recordemos que v r

1vr

d d vrdt dt

1 2( )dv drr r vdt dt

2

v drdtr

(1)

Encontrando una expresión para drdt

:

v b

44

Cuando el cilindro da una vuelta es posible determinar que:

r b 2 2r rxv t

t t v

20 0 2rt tv

dr r b bvLím Límdt t r

(2)

Al sustituir la ecuación (2) en la (1) obtenemos para la aceleración:

2 2 2v dr v bvdt rr r

2

32

bv

r

b) Tomando la ecuación (2), el tiempo en que se desenrolla será cuando el radio sea cero, de manera que:

2dr bvdt r

0

02

t

R

bvrdr dt

2Rtbv

Problema 3

Se desea construir un túnel para el transporte de carga que atraviese el centro de la Tierra. Si se supone que la Tierra tiene una densidad constante, demuestre que el movimiento del cuerpo es armónico simple, encuentre la ecuación diferencial correcta y

el período del movimiento. Considere el radio de la Tierra RT = 6.38106 m y su masa MT

= 5.971024 kg,

tierra

móvil

Rt

r

45

Solución:

A medida que el móvil se acerca al centro de la tierra, existe menor cantidad de masa que lo atrae. Existirá únicamente atracción entre el móvil y la masa que se encuentre dentro de una esfera formada entre el móvil y el centro de la tierra, de manera que encontraremos la variación de la masa en función de la distancia.

( ) ( )M M r V r

34

3( )M r r (1)

La densidad (supuesta uniforme) viene dada por:

34

3

T

T

M

R

(2)

Si sustituimos la ecuación (2) en la (3) obtenemos para la masa en función de la distancia:

343 34

3

( ) T

T

MM r r

R

3

3( ) T

T

MM r r

R (3)

Si consideramos hacia arriba positivo, la sumatoria de fuerzas queda así:

yF ma

2

2 2

( )GM r m d rmr dt

(4)

Ahora al sustitir la ecuación (3) en la ecuación (4) tenemos:

3 2

3 2 2T

T

M r m d rG mR r dt

2

2 30T

T

GMd r rdt R

(5)

La ecuación anterior corresponde con la relación característica de un Movimiento Armónico Simple, con una frecuencia angular de:

2

3

3

T

T

T

T

GM

R

GM

R

46

Considerando que 2T , de la última ecuación obtenemos para el período:

3

2 T

T

GM

T R

, de donde

3

2 T

T

RT

GM

Problema 4

Dos barras idénticas AB y BC se sueldan entre sí para formar un mecanismo en forma de L, el cual se presiona contra un resorte en D y se suelta desde la posición indicada. Si el ángulo máximo de rotación del mecanismo en su movimiento subsiguiente es de 900 en contra del sentido de las manecillas del reloj determine a) la magnitud de la velocidad angular del mecanismo cuando pasa por la posición en la que la barra AB forma un ángulo de 300 con la horizontal. b) Encuentre una expresión para la aceleración del mecanismo y analice si es constante.

Solución:

a) Como únicamente existen fuerzas conservativas, la energía en los tres estados que se muestra es la misma.

B

C

L = 20in

h

A

B

C

h

A B C

A

B

C

A

NR

L/2

300

300

Estado 1 Estado 2 Estado 3

47

Como no poseemos datos del resorte igualamos energías en los estados 2 y 3:

2 2LE Mg

0 0 213 1 22 2 2

sen30 cos30 ( )L LE Mg Mg I I 211 2 3I I ML

2 3E E

0 0 2 212 2 3

sen30 cos30L LMg Mg ML

0 031 sen30 cos30

2

g

L

6.29 rads

b) La aceleración del sistema es variable y depende del ángulo de inclinación que posea cada barra. Por dinámica de rotación:

p I

2 2sen(90 ) sen 2L LMg Mg I

222 3cos senLMg ML

3

cos sen4

g

L

B

C

A

L/2

L/2

+900

Mg

Mg

48


ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE FÍSICA

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II

Problema 1

La figura-1 muestra dos pequeñas esferas de igual masa 𝑚 = 0.8 𝑔 e igual carga 𝑞 = +0.2𝜇𝐶 pueden deslizar sin rozamiento por dos barras no conductoras. Ambas barras están forman un ángulo 𝛼 = 30° respecto a la horizontal. En el instante que se muestra en la figura las pequeñas esferas están fijas y separadas una distancia 𝑟𝑜 =10 𝑐𝑚 a continuación se dejan en libertad y las esferas se repelen, calcular la atura

respecto de la posición inicial que subirán las esferas una vez alcanzado el equilibrio.

Figura 1

Problema 2

En un cuadrado de lado se sitúan en los vértices dos protones y dos positrones, como se observa en la figura 2. Si el sistema se deja en libertad calcular las velocidades de las partículas cuando estén muy separadas entre sí.

Masa del protón carga del protón

Masa del positrón carga del positrón

Figura 2

49

Problema 3

Un alambre largo que trasporta una corriente fuera del papel está situado en el origen y se extiende el eje . Calcular la magnitud del campo magnético a una distancia medida desde el centro del alambre, ver figura 3-a

Figura 3-a

Dos alambres largos paralelos en la dirección del eje z se encuentran uno en el punto (0,

a, 0) y transporta una corriente en dirección y el otro en el punto (0,-a, 0) y

transporta una corriente en la dirección . Si . Calcular por el principio de superposición el campo magnético en el punto siendo y

. Ver figura 3-b.

Figura 3-b

Problema 4

Una espira cuadrada hecha de alambre conductor tiene lado , resistencia eléctrica y

masa , se encuentra dentro de una región de campo magnético , ver la figura 4. La espira se lanza con una velocidad inicial horizontal , además de experimentar el campo magnético, experimenta el campo gravitacional terrestre. Si se observa que la espira se mueve con velocidad constante, encontrar la magnitud de esta velocidad constante.

Figura 4

50

SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE FÍSICA NIVEL II

Problema 1

La figura-1 muestra dos pequeñas esferas de igual masa e igual carga pueden deslizar sin rozamiento por dos barras no conductoras. Ambas

barras están forman un ángulo respecto a la horizontal. En el instante que se muestra en la figura las pequeñas esferas están fijas y separadas una distancia

a continuación se dejan en libertad y las esferas se repelen, calcular la atura respecto de la posición inicial que subirán las esferas una vez alcanzado el equilibrio.

Figura 1

Solución:

Las fuerzas que actúan sobre cada esfera como la gravitacional y de Coulomb son fuerzas conservativas, la fuerza normal es perpendicular al movimiento y no hace trabajo en el proceso y no hay fuerza de fricción.

La velocidad inicial de las esferas es cero y cuando alcanzan el equilibrio después de dejarlas en libertad su velocidad también es cero.

Es útil la conservación de la energía mecánica:

Considerando el nivel de referencia cero de la energía potencial gravitacional cero en la posición inicial de las esferas. En base a la figura-1a

51

Figura 1a

Despejando la altura

Problema 2

En un cuadrado de lado se sitúan en los vértices dos protones y dos positrones, como se observa en la figura 2. Si el sistema se deja en libertad calcular las velocidades de las partículas cuando estén muy separadas entre sí.

Masa del protón carga del protón

Masa del positrón carga del positrón

Figura 2

Solución:

Dado que la fuerza eléctrica (de Coulomb) que experimenta cada una de la cargas es una fuerza conservativa, se le asocia al sistema inicial de cargas una energía potencial eléctrica, de tal manera que en base a teorema de la

52

conservación de la energía se puede afirmar que un cambio en la energía potencial del sistema implica una cambio en su energía cinética.

Otra observación del sistema es la relación entre las masas del protón y positrón:

La masa del protón es 1833 veces mayor, por lo tanto en el momento en que las cuatro cargas estén libres de moverse, los positrones se separaran rápidamente del sistema tal que en un corto tiempo los positrones estarán lejos de los protones mientras que los protones están básicamente en su posición inicial iniciando su movimiento, desacuerdo con la siguiente figura 2a

Figura 2a

Se procede a calculando la energía potencial eléctrica del sistema:

En base a la figura-2

Considerando la figura 2a donde los positrones ya están lejos en lo que los protones se empiezan a mover la energía potencial mutua de los dos protones vale

53

Toda esta energía potencial se convertirá en energía cinética compartida en los dos protones:

La energía potencial de los positrones será la energía potencial del sistema menos la de los protones:

Toda esta energía potencial se convertirá en energía cinética compartida en los dos positrones:

En base a los resultados loa velocidad de los positrones es mucho mayor que la de los protones como era de esperarse según los comentarios iniciales.

Problema 3

Un alambre largo que trasporta una corriente fuera del papel está situado en el origen y se extiende el eje . Calcular la magnitud del campo magnético a una distancia medida desde el centro del alambre, ver figura 3a

Figura 3a

54

Dos alambres largos paralelos en la dirección del eje z se encuentran uno en el punto (0,

a, 0) y transporta una corriente en dirección y el otro en el punto (0,-a, 0) y

transporta una corriente en la dirección . Si . Calcular por el principio de superposición el campo magnético en el punto siendo y . Ver figura 3b.

Figura 3b

Solución:

La magnitud del campo magnético vale

Unidades Teslas (T)

Figura 3c

55

Calculo del campo debido al alambre en la posición (0, a, 0)

Calculo del campo debido al alambre en la posición

Por el principio de superposición:

56

Problema 4

Una espira cuadrada hecha de alambre conductor tiene lado , resistencia eléctrica y

masa , se encuentra dentro de una región de campo magnético ver la figura 4. La espira se lanza con una velocidad inicial horizontal , además de experimentar el campo magnético, experimenta el campo gravitacional terrestre. Si se observa que la espira se mueve con velocidad constante, encontrar la magnitud de ésta velocidad constante.

Figura 4

Solución:

Si la espira no experimentara un campo magnético, la espira tendría una trayectoria parabólica semejante al lanzamiento de una pelota atraída por la tierra con una aceleración g. Debido a la presencia del campo magnético el cual esta variando con la distancia vertical en la espira habrá una fem inducida la cual a su vez induce una corriente que circulara por la espira, esta corriente y la acción del campo magnético provocara una fuerza neta sobre la espira. Ahora como la condición del problema es que la espira se mueve con velocidad constante, entonces se impone la condición de que la fuerza neta en la dirección debe ser cero, de esta manera se puede encontrar la velocidad constante en la dirección .

Comencemos analizando el movimiento por el principio de superposición:

Movimiento en la dirección :

Como el campo magnético solo varía en la dirección en la dirección del eje permanece constante y la espira no experimenta una fem inducida, no hay una corriente y por lo tanto tampoco una fuerza resultante por lo tanto la espira se mueve con velocidad constante en la dirección del eje , igual a

.

57

Movimiento en la dirección :

En base a la figura 4-a se calcula el flujo neto a través de la espira en cierto instante de tiempo

La fem inducida vale con N=1

Siendo la resistencia e la corriente inducida en la espira.

La fuerza en cada sección de la espira está dada por:

Como el campo aumenta a medida que avanza la corriente circula de manera tal que disminuya el flujo y esto será cuando circule a favor de las manecillas de un reloj

58

La dirección de es negativa.

La fuerza neta es

Para que la velocidad sea constante la fuerza neta de l espira debe ser igual al peso de la espira

Sustituyendo la corriente inducida siendo la velocidad en

dirección del eje .

La velocidad de la espira es , siento su magnitud

59

4.3 Química


ESCUELA DE CIENCIAS, ÁREA DE QUÍMICA GENERAL

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I

Instrucciones

A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.

Primera Serie (50 puntos).

Consta de 19 preguntas de selección múltiple y una abierta, correspondiente a la parte teórica. En las de selección múltiple, subraye la respuesta correcta; en la abierta, conteste lo que se le pide de la forma más clara y concisa que pueda. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. La masa es una “propiedad interna” de la materia, tal como lo es la carga. Para dos partículas cargadas distintamente, la masa externamente se manifiesta como:

a. Atracción entre las partículas

b. Repulsión entre las partículas

c. Resistencia a la aceleración de las partículas

d. a y b son correctas

e. a y c son correctas

2. No existen elementos naturales que, en estado basal, tengan electrones en reempes j, pero si se excitaran electrones hasta esos estados energéticos, ¿cuántos electrones podrían albergar como máximo las reempes j de una determinada energía potencial eléctrica?

a. 5

b. 10

c. 22

d. 30

e. 34

60

3. En electrones que ocupan orbitales degenerados, cual número cuántico siempre debe tener el mismo valor.

a. Número cuántico principal

b. Número cuántico secundario

c. Número cuántico magnético

d. Número cuántico de spin

e. a y b son correctas

4. Los elementos representativos se agrupan en columnas de acuerdo con los números cuánticos:

a. n y l

b. l y m (ml)

c. m (ml) y ms

d. ms y S

e. S y C

5. ¿Cuál de los siguientes elementos tiene 6 electrones de igual energía potencial eléctrica?

a. Carbono

b. Nitrógeno

c. Oxígeno

d. Flúor

e. Neón

6. ¿Cuál elemento posee dos electrones despareados?

a. Boro

b. Nitrógeno

c. Oxígeno

d. Flúor

e. Ninguno

61

7. El elemento “Y” reacciona con oxígeno para formar un compuesto iónico con la formula YO. ¿a qué grupo pertenece el elemento “Y”?

a. Alcalinos

b. Alcalinotérreos

c. Familia del Carbono

d. Pnicógenos

e. Halógenos

8. “Es la doceava parte de la masa del núcleo de 12C”: definición de

a. Unidad de masa atómica

b. Unidad de masa elemental

c. Unidad de masa molar

d. Unidad de peso molecular

e. Ninguna de las anteriores es correcta

9. Considere un elemento A, cuya muestra representativa consta de los siguientes isótopos: 14 925 átomos de 54A, 927 de 55A y 2 433 de 56A. ¿Cuál es la masa media de A? (Use aproximación para estimar la masa de cada uno de los átomos).

a. 6 095 uma

b. 55 uma

c. 54.32 uma

d. 18.29 uma

e. Ninguna de las anteriores es correcta

10. Considere un elemento Ct, cuya muestra representativa consta de dos isótopos: 220Ct y 221Ct. Si la masa media de Ct es de 220.935 uma, ¿Cuál isótopo es más abundante? (No use aproximaciones para estimar la masa de cada uno de los átomos).

a. Ct 220

b. Ct 221

c. Los dos abundan igual

d. Ninguno de los dos

e. Ninguna de las anteriores

62

11. En la mayoría de casos, la carga nuclear efectiva determina la atracción de un núcleo hacia los electrones propios y ajenos. ¿Cuál de los siguientes átomos tiene mayor carga nuclear efectiva hacia los electrones propios pero no hacia los ajenos?

a. C

b. N

c. O

d. F

e. Ne

12. En una unión química, cuando la densidad de carga negativa se distribuye uniformemente (homogéneamente) en torno de dos núcleos, entonces el enlace se llama:

a. Iónico

b. Covalente polar

c. Covalente no polar

d. Covalente coordinado

e. Unión de London

13. Cuál de los siguientes pares tiene el enlace más polarizado:

a. C-C

f. C=C

g. C-O

h. C=O

i. C-H

14. ¿Cuál de los siguientes iones tiene mayor tamaño?

a. O2-

b. F-

c. Na+

d. Mg2+

e. No puede determinarse

63

15. Cuál es el estado de oxidación de Si en:

:O: :O:

—- .. || .. —- —- .. || .. —-

:O — Si — O: :O — Si — O:

¨ ¨ ¨ ¨

Al+3 Al+3

:O:

—- .. || .. —-

:O — Si — O:

a. -4

b. +4

c. 2

d. -2

e. 0

16. ¿Cuál es el estado de oxidación del azufre en el sulfito ácido de bario?

a. -2

b. +2

c. +4

d. -4

e. +6

17. Considere la siguiente reacción para la formación de caolinita (Al2Si2O5(OH)4) en el suelo:

NaAlSi3O8 + H2CO3 + H2O → NaHCO3 + Al2Si2O5(OH)4 + H2SiO3

Si en la ecuación química, el coeficiente estequiométrico del carbonato ácido de sodio es 8, ¿cuál debe corresponder a la caolinita?

a. 1

b. 2

c. 4

d. 6

e. 8

64

18. Para un sistema físico gas ideal, si la presión y la cantidad de partículas se mantienen constantes y se reduce el volumen:

a. La rapidez media de la partículas disminuye

b. La rapidez media de las partículas aumenta

c. La rapidez media de las partículas permanece constante

19. Considere los cuatro postulados del sistema hipotético Gas Ideal: 1. Las partículas que lo forman son puntos-masa; 2. Las partículas no interaccionan (no crean ningún campo); 3. Los choques de las partículas son elásticos (cada partícula conserva su energía cinética) y 4. La energía cinética de las partículas es igual (el genial postulado de Maxwell). Todos estos postulados contradicen la realidad (entendida según la ciencia); más aun: dos de esos postulados se contradice entre sí, ¿cuáles son?

a. El 1 y el 2.

b. El 2 y el 3.

c. El 3 y el 4.

d. El 4 y el 1.

e. El 1 y el 4.

20. Pregunta abierta: Explique si cada uno de los siguientes arreglos de números cuánticos es permitido o prohibido en su asignación a un electrón dentro de un átomo hipotético.

n l m s

a. 2 0 3 ½

b. 2 0 0 ½

c. 2 1 11/3

d. 4 2 3 ½

e. 5 6 1 ½

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

65

Segunda Serie. (50 puntos).

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada todo su procedimiento. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.

Problema 1. Conversiones.

El alcohol etílico se utiliza como fluido termométrico para establecer una escala de temperatura. A su punto de congelación se le asigna arbitrariamente el valor de -25; y a su punto de ebullición a 1 atm, el de 125. A la nueva escala se le llama Iris, y a cada raya de su graduación, grado Iris (°I). Si esos puntos de cambio de fase del etanol se miden con una escala de Celcius, al punto de congelación corresponde -114 °C; y al punto de ebullición, 78.3 °C (a presión de 1 atm). Halle una ecuación que convierta de °I a °C.

Respuesta: ____________________________________________________

Problema 2. Transición de e- del H.

Un haz de luz irradia radicales libres de Hidrógeno; y los electrones abandonan los núcleos con una velocidad de un milésimo la velocidad de la luz en el vacío. Si los electrones estaban en estado basal y el gasto de energía del haz de luz es de 13.88 kJ durante 3.000 s, ¿cuál es la corriente eléctrica (en A) generada por los electrones desprendidos? (Considere que todos los fotones tienen la misma longitud de onda. Desprecie el efecto relativista del aumento de masa. me = 9.11*10-31 kg, F = 96 485 C.mol-1).

Respuesta:_____________________________________________________

66

Problema 3. Enlace y Nomenclatura de compuestos.

Halle las fórmulas y nombres para las sales cálcicas del bromo. Dibuje las estructuras de Lewis. Describa el número de enlaces iónicos, covalentes y covalentes coordinados.

Respuesta:

Enlaces Enlaces Enlaces cov. Nombre Fórmula Iónicos Covalentes coordinados

Problema 4: Estequiometría.

En la fermentación alcohólica a partir de azúcar:

C12H22O11 C6H12O6 + C6H12O6 (Inversión de la sacarosa)

C6H12O6 C2H5OH + CO2 (Fermentación con S.c.)

En la combustión del etanol:

C2H5OH + O2 CO2 + H2O

En 2006, Brasil produjo casi 4.5 millones de galones de etanol. Calcule cuántos kg de dióxido de carbono se formaron en la producción y en la quema de etanol como combustible. (1 gal = 3.7854 L; ρ = 0.79 g/mL)

Respuesta:

CO2 en la

producción:_______________________________________________

CO2 en la quema:___________________________________________

Problema 5. Gases.

La atmósfera de un planeta muy, muy lejano, está compuesta por N2 y H2, y tiene una densidad de 0.9225 g/L a 15°C y 0.85 atm. ¿Cuál es el porcentaje molar de N2?

67

SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL I

Primera Serie:

1. e 2. d 3. e 4. c 5. c 6. c

7. b 8. a 9. c 10. b 11. e 12. c

13. d 14. a 15. b 16. c 17. c 18. a

19. a

20. De acuerdo con los valores que pueden tomar los números cuánticos de un electrón:

n = 1, 2, 3, …, ∞ l = 0, 1, 2, …, (n – 1)

m = ‐l,…, 0, …, +l s = ± ½

a) Prohibido. Si l = 0, el valor de m debe ser 0.

b) Permitido. Todos los números cuánticos tienen los valores adecuados.

c) Prohibido. El valor de s sólo puede ser ½ ó ‐½.

d) Prohibido. Si l = 2, el valor de m sólo puede ser ‐2, ‐1, 0, 1, 2.

e) Prohibido. Si n = 5, el valor de l sólo puede ser 0, 1, 2, 3 y 4.

Segunda Serie:

Problema 1.

El alcohol etílico se utiliza como fluido termométrico para establecer una escala de temperatura. A su punto de congelación se le asigna arbitrariamente el valor de -25; y a su punto de ebullición a 1 atm, el de 125. A la nueva escala se le llama Iris, y a cada raya de su graduación, grado Iris (°I). Si esos puntos de cambio de fase del etanol se miden con una escala de Celcius, al punto de congelación corresponde -114 °C; y al punto de ebullición, 78.3 °C (a presión de 1 atm). Halle una ecuación que convierta de °I a °C.

Solución:

Podemos establecer las escalas:

°I -25 i 125

_______________________________________________

°C -114 c 78.3

68

Entonces tenemos para convertir c a i:

Factor unitario: (125 -( -25))°I = (78.3 – (-114))°C

O sea: 1°C = 0.78°I

También es necesario considerar el desfase de las dos escalas, de modo que:

Con lo cual resulta:

i = 0.78c + 63.92

Generalizando : °I = 0.78*°C + 63.92

Otra forma: por punto y pendiente: si °I = f(°C)

Tenemos los puntos:

°C °I

-114 -25

78.3 125

Y entonces:

Resolviendo:

i = 0.78c + 63.926

como la vez anterior.

Respuesta: °I = 0.78*°C + 63.92

Problema 2

Un haz de luz irradia radicales libres de Hidrógeno; y los electrones abandonan los núcleos con una velocidad de un milésimo la velocidad de la luz en el vacío. Si los electrones estaban en estado basal y el gasto de energía del haz de luz es de 13.88 kJ durante 3.000 s, ¿cuál es la corriente eléctrica (en A) generada por los electrones desprendidos? (Considere que todos los fotones tienen la misma longitud de onda. Desprecie el efecto relativista del aumento de masa. me = 9.11*10-31 kg, F = 96 485 C.mol-1).

Solución:

Energía gastada en el desprendimiento de 1 e-:

69

Donde el primer término de la izquierda es la energía potencial y el segundo la energía cinética ganadas por el e-:

Et = Energía de transición del e-.

RH = 2.18018E-18 J (Cte. De Rydberg del Hidrógeno).

ni = 1 (Estado basal de energía potencial del e-).

nf = infinito (Estado final de energía potencial del e- desligado ya del núcleo.

m = 9.11E-31 kg (masa del e- en reposo: se desprecia el efecto relativista).

v = c / 1 000 : siendo c=3E8 m.s-1 (velocidad de la luz en el vacío).

Sustituyendo datos:

Como el e- obtiene la energía de un fotón:

Siendo Ef la energía del fotón:

Como tenemos la Energía total, podemos calcular cuántos fotones están involucrados:

Como el número de fotones es igual al de e-, tenemos 2.5E-3 mol e-

Con la constante de Faraday calculamos la carga neta que fluye:

Como esa carga fluye en 3 s, hallamos la intensidad de corriente eléctrica:

Respuesta: 80.4 A

70

Problema 3

Halle las fórmulas y nombres para las sales cálcicas del bromo. Dibuje las estructuras de Lewis. Describa el número de enlaces iónicos, covalentes y covalentes coordinados.

Solución:

Estados de oxidación de Br para formar peróxidos y luego oxisales: 1, 3, 5 y 7

Estos producen los siguientes compuestos:

Br1 + O-2 Br2O : Br2O + H2O HBrO: BrO- + Ca+2 Ca(BrO)2

Ácido hipobromito

hipobromoso de calcio

Br3 + O-2 Br2O3 : Br2O3 + H2O HBrO2: BrO2- + Ca+2 Ca(BrO2)2

Ácido bromito

bromoso de calcio


Ácido bromato

brómico de calcio


Ácido perbromato

perbrómico de calcio

Estructuras de Lewis:

Ca(BrO)2

.. .. —- —- .. ..

:Br — O: Ca+2 :O — Br:

¨ ¨ ¨ ¨

Ca(BrO2)2

.. ..

:O: :O:

| .. —- —- .. |

:Br — O: Ca+2 :O — Br:

¨ ¨ ¨ ¨

71

Ca(BrO3)2

.. ..

:O: :O:

.. | .. —- —- .. | ..

:O — Br — O: Ca+2 :O — Br — O:

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

Ca(BrO4)2

.. ..

:O: :O:

.. | .. —- —- .. | ..

:O — Br — O: Ca+2 :O — Br — O:

¨ | ¨ ¨ | ¨

:O: :O:

¨ ¨

Enlaces Enlaces Enlaces cov.

Nombre Fórmula Iónicos Covalentes coordinados

hipobromito de calcio

Ca(BrO)2

2 2 0

bromito de calcio

Ca(BrO2)2

2 2 2

bromato de calcio

Ca(BrO3)2

2 2 4

perbromato de calcio

Ca(BrO4)2

2 2 6

72

Problema 4

En la fermentación alcohólica a partir de azúcar:

C12H22O11 C6H12O6 + C6H12O6 (Inversión de la sacarosa)

C6H12O6 C2H5OH + CO2 (Fermentación con S.c.)

En la combustión del etanol:

C2H5OH + O2 CO2 + H2O

En 2006, Brasil produjo casi 4.5 millones de galones de etanol. Calcule cuántos kg de dióxido de carbono se formaron en la producción y en la quema de etanol como combustible. (1 gal = 3.7854 L; ρ = 0.79 g/mL)

Solución:

Ecuaciones químicas:

Producción:

C12H22O11 C6H12O6 + C6H12O6

C6H12O6 2 C2H5OH + 2 CO2

Combustión completa:

C2H5OH + 3 O2 2 CO2 + 3 H2O

Dióxido de carbono producido en la producción de etanol:

En la combustión:

Respuesta:

CO2 en la producción: 2.06E4 kg CO2

CO2 en la quema: 4.12E4 kg CO2

73

Problema 5

La atmósfera de un planeta muy, muy lejano, está compuesta por N2 y H2, y tiene una densidad de 0.9225 g/L a 15°C y 0.85 atm. ¿Cuál es el porcentaje molar de N2?

Solución:

Partimos de las siguientes ecuaciones:

Donde:

P: presión del sistema

V: volumen

n: cantidad de partículas (mol) totales

T: temperatura absoluta

R: constante universal de los gases ideales.

: densidad

m: masa

M: masa molar

yi: fracción molar del i-ésimo componente de la mezcla

ni: mol del i-ésimo componente

De (3):

Sustituyendo en (1):

Arreglando y comparando con (2):

74

En la ecuación (5) desconocemos la masa molar, M. Esta M se define como la masa de las partículas dividida entre los mol totales de partículas. Así que, de (3):

Entonces:

Y, con (4):

La suma de las fracciones es 1:

Sustituyendo en (6):

Sustituyendo este última ecuación en (5) y arreglando:

Despejando a yN2:

Sustituyendo datos:

R = 0.08206 atm.L.mol-1K-1

T = 15 + 273.15 = 288.15 K

MH2 = 2 g.mol-1

MN2 = 28 g.mol-1

Por tanto, hay 91% n/n de N2 en ese planeta.

Respuesta: El porcentaje molar de N2 es de 91%.

75

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTA DE INGENIERÍA

ESCUELA DE CIENCIAS, ÁREA DE QUÍMICA GENERAL

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II

Instrucciones. A continuación se le presentan dos series generales de problemas, con instrucciones y valor adjunto. Está permitido el uso de Tabla Periódica, factores de conversión, ecuacionario y calculadora. No está permitido el uso de celular.

Primera Serie (50 puntos).

Consta de 20 preguntas de selección múltiple, correspondiente a la parte teórica. Subraye la respuesta correcta. Si necesita razonar una respuesta, hágalo en la parte de atrás de la hoja, indicando el número de inciso que se razona.

1. En base a la tabla de datos que se presenta, la velocidad promedio de reacción entre 10 s y 20 s es en M/s para la reacción A → B:

Tiempo (en segundos) [A] (en mol/L) 0.0 0.200 5.0 0.140 10.0 0.100 15.0 0.071 20.0 0.050

a. 6.0 x 10-3

b. 8.0 x 10-3

c. 5.0 x 10-3

d. 200

e. 2.5 x 10-3

2. Cuál de los siguientes enunciados es incorrecto.

a. A mayor temperatura mayor solubilidad en las sales en los líquidos (agua)

b. A mayor presión mayor solubilidad de los gases en los líquidos (agua)

c. A mayor temperatura mayor solubilidad de los gases en los líquidos (agua)

d. Al subir la concentración de la solución esta se acerca más a la saturación con el soluto y la velocidad de disolución aumenta

e. c y d son incorrectas

76

3. ¿Cuál de los siguientes casos provocará un cambio en el valor de la constante de equilibrio?

a. Cambiar la temperatura

b. Agregar otra sustancia que no reaccione con ninguna de las especies involucradas en el equilibrio.

c. Variar la concentración inicial de los reactivos

d. Variar la concentración inicial de los productos

e. Todas son correctas

4. El peso de un equivalente gramo de KMnO4 es.

a. 158 g

b. 79 g

c. 52,66 g

d. 316 g

e. 70 g

5. Cuando la atracción de las moléculas de solvente por los iones de un sólido es mayor que la atracción entre los iones, el sólido debe ser.

a. Insoluble

b. Suspendido

c. Soluble

d. Hidratado

e. Ionizado

6. El coloide formado por un líquido en un gas se denomina

a. Emulsión

b. Aerosol

c. Solución

d. Espuma

e. Ninguno

7. Se logra equilibrio en todas las reacciones químicas reversibles cuando:

a. La reacción hacia adelante se detiene

b. La concentración de los reactantes y los productos se hace igual

c. La reacción opuesta se detiene

d. La velocidad de las reacciones opuestas es igual

e. La velocidad de la reacción hacia adelante es mayor.

77

8. En una reacción química, la diferencia que hay entre la energía potencial de los productos y la energía potencial de los reactantes se denomina.

a. Energía de activación

b. Energía cinética

c. Calor de reacción

d. Complejo activado

e. Energía

9. El sistema 2SO2 (g) + O2 (g) ↔ 2SO3 (g) está en equilibrio. a temperatura constante, el punto de equilibrio se desplaza a la derecha si hay.

a. Disminución en la presión

b. Disminución en la concentración de O2

c. Disminución en la concentración de SO3

d. Aumento en la concentración de SO3

e. Aumento en la presión

10. Cuando una reacción esta en equilibrio y se adiciona mas reactante al recipiente:

a. La velocidad de la reacción contraria disminuye

b. El avance de la reacción aumenta

c. La velocidad de la reacción disminuye

d. El equilibrio de la reacción no cambia

e. La velocidad de la reacción contraria aumenta

11. Para la reacción: 2A + 3B ↔ C + 2D, la velocidad de la desaparición de A es igual a la velocidad de.

a. Formación de D

b. Desaparición de B

c. Formación de C

d. Formación de C al cuadrado

e. e c y d son correctas

12. La energía de activación de una reacción puede ser disminuida por:

a. Disminución de la temperatura

b. Adición de un catalizador

c. Remoción de los productos a medida que se obtienen

d. Incremento de la presión

e. Ninguna

78

13. Para la reacción: 4NH3(g) + 502(g) ↔ 4NO (g) + 6H2O(g), la velocidad de desaparición del NH3 es igual a la velocidad de:

a. Desaparición de O2

b. Formación de H2O

c. Formación de NO

d. Desaparición de O2 y formación de H2O

e. Ninguna

14. Un catalizador:

a. Disminuye la energía de activación

b. Aumenta la frecuencia de las colisiones

c. Produce un efecto de orientación en las moléculas.

d. Incrementa la energía cinética de los reactivos.

e. Ninguna

15. En la electrolisis del CaCI2 fundido, la especie que reacciona con el electrodo negativo es:

a. Ca

b. Ca++

c. CI2

d. Cl-

e. Cl+5

16. Cuando el potencial estándar de un electrodo de hidrogeno es de 0,00 V, significa que:

a. El ion hidrogeno adquiere electrones de un electrodo de platino

b. Así se ha detectado por medidas de voltaje

c. Así se ha convenido

d. No hay diferencia de potencial entre el electrodo y la solución electrolítica

e. e) ninguna.

17. ¿Cuál de las siguientes transformaciones no puede llevarse acabo en el cátodo de una celda electroquímica?

a. NO → NO3-

b. CO2 → C2O42-

c. VO2+ → VO2+

d. H2AsO4 → H3AsO3

e. O2 → H2O2

79

18. Para depositar un equivalente de una sustancia, mediante un proceso electrolítico, se requiere:

a. 1 coulombio

b. 96,500 coulombios

c. 6,023 x 1023 coulombios

d. 0,000238 coulombios

e. 2,5 coulombios

19. En un proceso espontáneo:

a. El proceso inverso es también reversible.

b. La ruta entre reactivos y productos es reversible.

c. La ruta entre reactivos y productos es irreversible.

d. El proceso directo y el inverso ocurren a la misma velocidad.

e. El proceso inverso ocurre a una velocidad mayor que el proceso directo.

20. Cuando un acumulador de plomo se está descargando:

a. Se regenera el dióxido de plomo

b. Se consume el sulfato de plomo

c. Se consume acido sulfúrico

d. Se concentra el electrolito

e. Ninguna

Segunda Serie. (50 puntos).

A continuación encontrará 5 problemas. Resuélvalos correctamente en su cuadernillo de trabajo. Deje constancia escrita, objetiva, lógica, explícita y ordenada. Resalte sus resultados y ecuaciones más importantes de forma inequívoca y anote la respuesta específica en el temario.

Problema 1

Una solución de hidróxido férrico, Fe(OH)3 se preparó disolviendo 20 gramos de Fe(OH)3 en suficiente agua para preparar 360 cm3 de solución, determinándose que la misma tiene una densidad de 1.06 g/ cm3

a. Cuál es la molaridad de la solución?

b. Cuál es su molalidad?

c. Cuál es su fracción molar?

d. Cuál es el porcentaje en masa

80

e. Cuál es la normalidad de la solución, considerando que la solución será utilizada para una reacción de neutralización total.

Problema 2

Se preparo una solución disolviendo 3.75 g de un hidrocarburo puro en 95 g de acetona. se observo que el punto de ebullición de la acetona pura es de 55.95 grados centígrados y el de la solución de 56.50 grados centígrados. si la constante molal del punto de ebullición de la acetona es 1.71 °C/m, ¿cuál es el peso molecular aproximado del hidrocarburo?

Problema 3

A partir de los siguientes datos:

Calcule el cambio de entalpía para la reacción:

Problema 4

Cuanto tiempo en minutos se necesitara para depositar 1g de Níquel sobre cierto objeto metálico, si se emplea una solución de una sal de Níquel (II) y se pasa una corriente de 5A.

Problema 5

La descomposición de pentaoxido de dinitrogeno es una reacción de primer orden con una constante de velocidad de 5.1 X 10-4s-1 a 45°C.

2N2O5(g) → 4NO2(g) + O2(g)

a. Si la concentración inicial de N2O5 era 0.25 M, ¿cuál es la concentración después de 3.2 minutos?

b. ¿Cuánto le tomara a la concentración de N2O5 disminuir desde 0.25 M hasta 0.15 M? ¿Cuánto tiempo tomara transformar 62% del material inicial?

81

SOLUCIÓN DEL EXAMEN DE QUÍMICA NIVEL II

Primera serie:

1. c 2. e 3. a 4. a 5. c 6. b

7. d 8. c 9. e 10. b 11. a 12. b

13. c 14. a 15. d 16. c 17. a 18. b

19. c 20. c

Segunda serie

Problema 1

Una solución de hidróxido férrico, Fe(OH)3 se preparó disolviendo 20 gramos de Fe(OH)3 en suficiente agua para preparar 360 cm3 de solución, determinándose que la misma tiene una densidad de 1.06 g/ cm3

a. Cuál es la molaridad de la solución?

b. Cuál es su molalidad?

c. Cuál es su fracción molar?

d. Cuál es el porcentaje en masa

e. Cuál es la normalidad de la solución, considerando que la solución será utilizada para una reacción de neutralización total.

Solución:

El soluto en esta mezcla es el Fe(OH)3 y el disolvente el agua, los datos proporcionados se resumen de la manera siguiente:

masa de soluto = 20 gramos

volumen de solución = 360 cm3 = 0.360 litros

densidad de la solución = 1.08 g/ cm3

Para determinar el equivalente de 20 gramos de Fe(OH)3 en moles se obtiene:

20g Fe(OH)3 x 1 mol Fe (OH)3 = 0.19 Moles de Fe(OH)3

106.85 g Fe(OH)3

La molaridad por consiguiente será:

M = 0.19 mol/0.360 litros de solución = 0.53 mol / L solución

82

La molalidad de una solución se define como: m= moles soluto / kg disolvente.

Los moles de soluto ya se determinaron en el inciso a), siendo 0.19 moles, los kilogramos de disolvente (agua) se pueden determinar por la siguiente relación:

Masa de la solución = masa de soluto + masa de solvente (ec.1)

La masa de la solución se calcula relacionando el volumen de la solución con la densidad de la misma.

360 cm3 solución x 1.08 g de solución = 388.8 g de solución

1 cm3 de solución

al sustituir en la ecuación 1:

388.8 g = 20g + masa de solvente

masa de solvente = 368.8g de agua = 0.37 kg de agua

Con esta información, la molalidad será:

m = 0.19 mol / 0.37 kg disolvente = 0.52 mol / kg disolvente

la fracción molar de soluto y solvente se puede calcular a través de las relaciones:

xsoluto = moles de soluto (ec.2)

moles de soluto + moles de solvente

xsolvente = moles de solvente (ec.3)

moles de soluto + moles de solvente

Los moles de soluto son 0.19 mol, los de solvente (agua) se pueden determinar por medio de la masa de disolvente calculada en el inciso anterior, es decir, a partir de los 368.8g de agua.

368.8 g de agua x 1 mol de agua = 20.49 moles de agua 18g de agua

al sustituir los valores correspondientes en las ecuaciones 2 y 3 se establece que:

xsoluto = 0.19 mol __ = 0.009 (0.19 mol + 20.49 mol)

xsolvente = 20.49 mol ___ = 0.99 (0.19 mol + 20.49 mol)

El porcentaje en masa para la solución se calcula usando como relación:

% en masa de Fe(OH)3 = (20g de Fe(OH)3 / 388.8 g solución) x 100 = 5.14 % de Fe(OH)3

83

Para una reacción de neutralización total, el Fe(OH)3 suministra 3 iones OH- (acuoso) , por consiguiente el peso equivalente del Fe(OH)3 será igual a su peso formula dividido 3:

peso equivalente Fe(OH)3 = 106.85 g /mol = 35.62 g/equivalente-g 3 equivalentes gramo/mol

Por consiguiente, el numero de equivalentes gramo de soluto será:

20g x 1 equivalente gramo = 0.56 equivalentes-gramo 35.62 gramos

La normalidad de la solución finalmente es:

n = 0.56 equivalente-gramo/0.360 litros solución = 1.55 equiv-gramo / litro

Problema 2

Se preparo una solución disolviendo 3.75 g de un hidrocarburo puro en 95 g de acetona. se observo que el punto de ebullición de la acetona pura es de 55.95 grados centígrados y el de la solución de 56.50 grados centígrados. si la constante molal del punto de ebullición de la acetona es 1.71 °C/m, ¿cuál es el peso molecular aproximado del hidrocarburo?

Solución:

masa disuelta de hidrocarburo = 3.75 gramos

masa de disolvente (acetona) = 95 gramos

punto de ebullición para la acetona = 55.95 Celsius

punto de ebullición para la solución = 56.50 Celsius

constante de ebullición para la acetona = 1.71 °C / m

La expresión algebraica que relaciona el cambio de temperatura de la solución es:

∆T ebullición = (K ebullición acetona)( m SOLUCIÓN )

al sustituir la información proporcionada:

( 56.50 °C - 55.95 °C ) = ( 1,71 °C / m )( m SOLUCIÓN)

84

de donde m SOLUCIÓN = 0.3216 mol / Kg disolvente

ahora, la molalidad que se encontró puede interpretarse como:

m SOLUCIÓN = 0.3216 mol de hidrocarburo / 1000g disolvente (acetona)

Esta relación puede utilizarse como factor de conversión para obtener los moles de hidrocarburo disueltos en los 95 gramos de acetona (disolvente):

95 g disolvente x 0.3216 mol de hidrocarburo = 0.0306 mol de hidrocarburo

1000 g de disolvente

finalmente, al relacionar la masa y los moles de hidrocarburo disuelto se encuentra:

3.75 gramos de hidrocarburo / 0.0306 mol de hidrocarburo = 122.55 gramos /mol.

Problema 3

A partir de los siguientes datos:

Calcule el cambio de entalpía para la reacción:

85

Solución:

Aplicando la ley de Hess, se encuentra que la suma de las siguientes ecuaciones da la ecuación global deseada y su entalpía de reacción:

Así, el

Problema 4

Cuanto tiempo en minutos se necesitara para depositar 1g de Níquel sobre cierto objeto metálico, si se emplea una solución de una sal de Níquel (II) y se pasa una corriente de 5A.

Solución:

Primero debemos escribir la ecuación correspondiente a la reducción que tuvo lugar. como se parte de Níquel (II), es la siguiente:

Ni2+ + 2e- → Ni

Entonces:

( 1 mol Ni ) o, lo que es lo mismo, ( 2£ ) 2£ 1 mol Ni

Veamos ahora cuantas moles de Níquel fueron depositadas, sabiendo que la masa molar del Níquel es 58,7:

1g Ni ( 1 mol Ni ) = 0,017 moles Ni 58.7 g Ni

Utilizando el factor antes hallado podemos calcular el número de faradays requerido:

0.017 moles Ni ( 2 £ ) = 0,034£ mol Ni

Luego calculamos el número de culombios:

0,034£ ( 96.500 C ) = 3281 C = 3281 A.s 1£

86

Si dividimos esta cantidad de corriente por la intensidad en amperios, el cociente será el tiempo en segundos esto es:

3281 A. s = 656,2s 5A

Por último, convertimos estos segundos a minutos conforme lo pide el enunciado:

656,2s ( 1 min. ) = 10,9 min 60s

Problema 5

La descomposición de pentaoxido de dinitrogeno es una reacción de primer orden con una constante de velocidad de 5.1 X 10-4s-1 a 45°C.

2N2O5(g) → 4NO2(g) + O2(g)

a. Si la concentración inicial de N2O5 era 0.25 M, ¿cuál es la concentración después de 3.2 minutos?

b. ¿Cuánto le tomara a la concentración de N2O5 disminuir desde 0.25 M hasta 0.15 M? ¿Cuánto tiempo tomara transformar 62% del material inicial?

Solución:

Aplicando la ecuación:

Ln [ A ]o = kt [ A ] Ln 0.25 M = (5.1 x 10-4 s-1) ( 3.2 MIN x 60 s ) [ A ] 1 min

Resolviendo la ecuación, se obtiene

Ln 0.25 M = 0.098 [A ] 0.25 M = e0.098 = 1.1 [A ]

[ A ] = 0.23 M

87

Utilizando de nuevo la ecuación, se tiene

Ln 0.25 M = ( 5.1 X 10-4s-1) t 0.15 M

t = 1.0 x 103 s

= 17 min.

En un cálculo de este tipo, no se necesita saber cuál es la concentración real del material al inicio. si 62% del material inicial ha reaccionado, entonces la cantidad que resta después del tiempo t es (100% - 62% ) o 38%. por lo tanto, [A]/[A]o = 38%/100%, o 0.38. de la ecuación, se escribe.

t = 1 ln [ A ]o k [ A ] = 1 ln 1.0_ 1.1 x 10 -4s -1 0.38

= 1.9 x 103 s

= 32 min.

88

4.4 Biología

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y FARMACIA

ESCUELA DE BIOLOGÍA DEPARTAMENTO DE BIOLOGÍA GENERAL

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA

SOLUCION DEL EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL I

I SERIE Falso y Verdadero

Instrucciones:

A continuación se plantea una serie de afirmaciones. En la columna A escriba la letra V si la afirmación es verdadera o F si la afirmación es falsa. En las afirmaciones FALSAS subraye la frase o palabra que hace falsa la oración. En la columna B coloque la palabra o frase que haría verdadera la afirmación. Vea el ejemplo 0.

Valor de cada respuesta correcta 1.5pts. Total 60pts.

A B

0. La herpetología es la parte de la biología que estudia de los peces.

F Ictiología

1. Los seres vivos pueden estudiarse desde diversos niveles de organización; dichos niveles son los siguientes: átomos, moléculas, orgánulos, células, tejidos, órganos y sistemas orgánicos, organismos, poblaciones, comunidades, ecosistemas, biosfera.

V

2. La presencia de orgánulos membranosos es una de las características que distingue a los organismos procariontes.

F Eucariontes

3. Una teoría en el campo científico es una explicación que se basa en evidencias más sólidas y se mantiene vigente por mucho más tiempo que una hipótesis.

V

4. Los puentes de hidrógeno mantienen las moléculas da agua unidas entre sí y esta cohesión ayuda a succionar agua hacia arriba en los vasos microscópicos de las plantas.

V

89

5. Un isómero es una de las varias formas atómicas de un elemento, cada una de las cuales contiene un número diferente de neutrones, y por esa razón difieren en su masa atómica.

F Isótopo

6. Los oligoelementos son aquellos elementos requeridos por un organismo en cantidades muy bajas.

V

7. El término caloría se refiere a la unidad de calor que se necesita para elevar la temperatura de 1gr de agua en 1° C.

V

8. Los buffers o soluciones amortiguadoras maximizan los cambios de las concentraciones de H+ y OH- en una solución.

F minimizan

9. Los aminoácidos tienen fórmulas moleculares que son algún múltiplo de la unidad CH2O.

F Monosacáridos (carbohidratos)

10. La quitina y amilopectina son ejemplos de polisacáridos.

V

11. Las grasas son un grupo de moléculas perteneciente a los lípidos, un ejemplo de este grupo es el colesterol.

F Los esteroides

12. Una de las funciones de los fosfolípidos es formar membranas celulares.

V

13. La estructura secundaria de las proteínas está determinada por la secuencia de aminoácidos.

F Primaria

14. Entre las funciones de las proteínas se encuentran: transporte de sustancias, actividad enzimática, formación de membranas celulares, sostén.

V

15. El uracilo es una purina presente en el ARN. F Pirimidina

16. El aparato de Golgi es el organelo digestivo donde se hidrolizan las macromoléculas.

F Lisosoma

17. Cuando una célula vegetal es colocada en una solución acuosa y no sufre cambio aparente, lo más probable es que la solución es hipertónica respecto a su contenido celular.

F Hipotónica

90

18. La traducción, en relación al flujo de información genética en las células, es la síntesis de ARNm a partir de un segmento de ADN.

F Transcripción

19. TUU GCU GGC AUU, son los anticodones que se formarían a partir de la siguiente secuencia de bases en el ADN: ATT CGA CCG TAA.

F AUU GCA CCG UAA

20. El código genético posee 61 tripletes que codifican aminoácidos.

V

21. La ecuación general de la respiración celular es la siguiente: 6C6H12O6 + O2 6CO2 + 12H2O + energía (ATP + calor).

F C6H12O6 + 6O2 6CO2 + 6H2O + energía (ATP + calor).

22. Las moléculas que se obtienen como resultado de la glucólisis son Piruvato, ATP y NADH.

V

23. El ciclo de Calvin ocurre en el estroma del cloroplasto.

V

24. Las reacciones de la fase luminosa de la fotosíntesis abastecen al ciclo de Calvin con ATP y NADPH.

V

25. El oxígeno que se libera de la fotosíntesis proviene del CO2.

F H2O

26. La membrana tilacoidal posee dos tipos de fotosistemas; el fotosistema II y el fotosistema I.

V

27. El núcleo de las células somáticas humanas contiene 46 cromosomas.

V

28. La cromatina está formada solamente por ADN. F ADN y proteínas

29. La fase S es la parte del ciclo celular en la cual se duplica el material genético.

V

30. En la metafase se separan las cromátides hermanas. F Anafase

31. Durante la meiosis las células haploides forman gametos diploides.

F Diploides, haploides.

32. La ley de la distribución independiente afirma que cada par de alelos se segrega de manera independiente de los otros pares de alelos durante la mitosis.

F Meiosis

91

33. Si las frecuencias alélicas de una población permanecen constantes entre generaciones, se dice que ha ocurrido macroevolución.

F La población está en equilibrio génico.

34. La producción de un mayor número de individuos de los que el ambiente puede tolerar conduce a una lucha por la existencia entre los individuos de una población; esta fue una de las deducciones de Darwin.

V

35. La radiación adaptativa ocurre cuando algunos organismos se encaminan hacia nuevas áreas, generalmente alejadas, o cuando los cambios ambientales ocasionan numerosas extinciones y se abren nichos ecológicos para los sobrevivientes.

V

36. La teoría de la endosimbiosis plantea que las mitocondrias y los plástidos fueron en un principio procariontes pequeños que vivían dentro de células más grandes.

V

37. Si una variedad homocigota naranja de forma alargada de genotipo RREE se cruza con una variedad verde y redonda, toda la F1 es dihíbrida naranja alargada. Si dos miembros de la F1 se cruzan, la proporción esperada sería: 3/16 naranja, redondo : 9/16 verde, alargado : 1/16 verde, redondo : 3/16 naranja, alargado.

F 9/16 naranja alargada; 3/16 naranja redonda; 3/16 verde alargada; 1/16 verde redonda.

38. En los murciélagos, el color sepia es codificado por dos alelos codominantes (D1D2). El genotipo homocigoto para el alelo D1 produce un color café oscuro y el genotipo homocigoto para el alelo D2

produce un color beige. Si se cruzan dos murciélagos (ambos sepia), la proporción esperada de descendientes sería la siguiente:

½ sepia : ½ no sepia.

V

39. El color fucsia de las orquídeas depende de un alelo dominante (F) y el color blanco de las orquídeas depende de un alelo recesivo (f). Suponga que una muestra de 1,743 flores proporciona los siguientes datos: 199 blancas y 1,544 fucsia. Las frecuencias alélicas de esta población son 0.33 // 0.67

V

92

40. Fernando tiene tipo sanguíneo A, su esposa posee tipo sanguíneo B. Ellos podrían tener un hijo de tipo sanguíneo O, si fueran homocigotos para el gen que determina el tipo sanguíneo.

F Heterocigotos

II SERIE Desarrollo de temas

A continuación se le presentan cuatro temas, de los cuales usted debe escoger dos. Desarrolle cada uno de ellos en varios párrafos de forma sencilla y clara. Se le proporcionarán algunas palabras clave para el desarrollo de cada tema. La extensión máxima de cada tema es de una página. Cada tema tiene un valor de 20 puntos.

Tema No. 1. Relación entre el código genético y la síntesis de proteínas.

Palabras Clave: ADN, ARN mensajero, ARN de transferencia, Ribosomas, Núcleo, Nucleolo, Trascripción, Traducción, Codones, Anticodones.

Tema No. 2. Fotosíntesis y Respiración Celular, relación entre estos dos procesos.

Palabras clave: Glucosa, O2, H2O, reacciones lumínicas, ATP, NADPH, NADH, FADH2, CO2, reacciones oscuras, cloroplasto, luz, fosforilación oxidativa, ciclo del ácido cítrico (Krebs), glucólisis, mitocondria, ciclo de Calvin, catabólica, anabólica.

Tema No. 3 Reproducción y desarrollo, la relación entre mitosis y meiosis

Palabras clave: Ciclo celular, fases, haploide, diploide, reproducción sexual, reproducción asexual, variabilidad genética, importancia de los procesos.

Tema No. 4. Mecanismos de evolución, las ideas de Darwin y Wallace y su legado posterior

Palabras clave: Evolución, origen de las especies, selección natural, selección artificial, mutaciones, recombinación sexual, deriva genética, especiación.

93

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Y FARMACIA

ESCUELA DE BIOLOGÍA DEPARTAMENTO DE BIOLOGÍA GENERAL


SOLUCION DEL EXAMEN DE BIOLOGÍA NIVEL II

I SERIE (30 puntos)

Instrucciones: Responda de forma clara y concisa las siguientes preguntas:

1. De la siguiente lista de nombres, ¿quiénes consideraban que las especies eran fijas y quiénes pensaban que las especies podían cambiar? Coloque una x en la casilla correspondiente.

Nombre Consideraba a las especies fijas

Consideraba que las especies podían cambiar

Aristóteles x

Cuvier x

Charles Darwin x

Erasmus Darwin x

Lamarck x

Linneo x

2. ¿Cuál de los términos en la ecuación de Hardy-Weinberg (p2 + 2pq + q2 = 1) corresponde a la frecuencia de individuos con alelos para la fenilcetonuria?

2pq + q2

2pq representa los heterocigotos con un alelo de la fenilcetonuria y q2 representa los homocigotos con dos alelos para la fenilcetonuria.

3. ¿En qué forma produce variaciones la recombinación sexual?

Una población contiene un gran número de posibles combinaciones de apareamiento y la fertilización reúne a los gametos de individuos que tienen diferentes antecedentes genéticos. La reproducción sexual reordena los alelos en nuevas combinaciones en cada generación.

94

4. ¿Cuál es la diferencia entre selección intrasexual y selección intersexual?

La selección intrasexual (selección dentro del mismo sexo) es una competencia directa entre los individuos de un sexo para aparearse con sujetos del sexo opuesto. La selección intrasexual es, generalmente, más obvia en los machos.

En la selección intersexual (elección de pareja) los individuos de un sexo -por lo general las hembras- son exigentes, difíciles de satisfacer cuando eligen sus parejas del otro sexo. En muchos casos, la elección de la hembra depende de lo atractivo del aspecto o de la conducta del macho.

5. Las plantas normales de la sandía son diploides (2n=22), pero los criadores han producido sandías tetraploides (4n=44). Si las plantas tetraploides se hibridan con sus parientes diploides, producen semillas triploides (3n=33). Estos descendientes pueden producir rápidamente sandías sin semillas y se pueden seguir propagando mediante secciones. ¿Las plantas de sandía diploides y tetraploides son especies diferentes? Explique su respuesta.

Las sandías diploides y tetraploides son especies distintas. Sus híbridos son triploides y, como resultado, son estériles debido a problemas para llevar a cabo la meiosis.

6. ¿Qué significa el término pedomórfosis?

Heterocronía en la cual los caracteres juveniles de una forma ancestral son retenidos en el individuo adulto del descendiente.

Retención en un organismo adulto de las características juveniles de sus ancestros evolutivos.

7. ¿A qué Orden pertenecen dos individuos de las Familias Felidae y Canidae?

Al Orden Carnivora

8. ¿Cuál es la diferencia entre un clado monofilético y un agrupamiento parafilético?

Un clado monofilético es un grupo de especies que incluye una especie ancestral y todos sus descendientes.

Un agrupamiento parafilético está compuesto por una especie ancestral y algunos, pero no todos sus descendientes.

9. ¿Qué hipótesis probaron Miller y Urey en su experimento?

La hipótesis de que las condiciones en la Tierra primitiva posibilitaron la síntesis de moléculas orgánicas a partir de moléculas inorgánicas.

10. Un nucleótido está formado por tres componentes básicos:

a) un grupo fosfato b) una pentosa y c) una base nitrogenada

95

II SERIE (30 puntos)

Instrucciones: Complete los espacios en blanco.

1. Entre el período Triásico y Cretácico se ubica el período Jurásico.

2. A mediados del Mesozoico, Pangea se separó en dos masas terrestres:

al norte Laurasia y al sur Gondwana.

3. Las bacterias gram positivas contienen grandes cantidades de peptidoglucano en

su pared celular. 4. Las clamidias pertenecen al Dominio Bacteria. 5. Rhizobium es un género que vive dentro de las raíces de leguminosas, donde estas

bacterias convierten el nitrógeno atmosférico en compuestos que la planta puede utilizar para sintetizar proteínas.

6. El botulismo es producido por la exotoxina secretada por Clostridium botulinum.

7. Los episodios de crecimiento explosivo de la población de dinoflagelados

producen el fenómeno llamado marea roja.

8. El causante del paludismo es un protista del género Plasmodium. El vector de dicha enfermedad, que lo transmite de una persona a otra es el mosquito del género Anopheles.

9. Las algas rojas son rojizas debido a que poseen un pigmento accesorio llamado

ficoeritrina.

10. Las plantas no vasculares con frecuencia se denominan briofitas, a este grupo pertenecen musgos y hepáticas.

11. Ginkgo biloba es la única especie del Phylum Ginkgophyta.

12. Los hongos mutualistas y los parásitos forman hifas especializadas llamadas

haustorios que pueden penetrar las paredes celulares de los vegetales.

13. Los hongos que poseen esporas flageladas o zoosporas son los quitridios.

96

14. Las esponjas son animales sésiles que carecen de tejidos verdaderos, pertenecen al Phylum Porifera.

15. El cuerpo de los artrópodos está cubierto por un exoesqueleto formado por capas

de proteína y del polisacárido quitina.

III SERIE (10 puntos)

Elabore un listado de las actividades humanas que amenazan la biodiversidad en nuestro país y/o a nivel mundial.

Deforestación

Contaminación del agua

Contaminación del suelo

Contaminación de la atmósfera

Erosión

Producción de gases de efecto invernadero

Tráfico ilegal de flora silvestre

Tráfico ilegal de fauna silvestre

Caza y Pesca desmedidas, sin regulaciones que respeten la legislación que protege a las especies

Uso inadecuado de plaguicidas

Incendios forestales

Otros

IV SERIE (10 puntos)

Dibuje un ciclo viral lítico y explique brevemente lo que sucede en cada etapa.

V SERIE (20 puntos)

Instrucciones: En un espacio que no exceda dos páginas, desarrolle el tema: “La sangre, tejido clave de los sistemas circulatorio y respiratorio.” Deberá trabajar los siguientes subtemas: Composición y función de la sangre, plasma, elementos celulares, células madre y sustitución de los elementos celulares, coagulación sanguínea.

97

98

5. PARTICIPANTES

5.1 Matemática

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS

PARTICIPANTES DE MATEMÁTICA, NIVEL I

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

Amadeo José García Avila

Ana Luisa Gramajo Barrera

Angel Geovany Gómez García

Carlos Giovanni Coló Cabrera

Diego José Rendon Bollat

Douglas Ordoñez Simon

Edgar Andrés Luna Sandoval

Edgar Andrés Monterroso Urrutia

Edgar Antonio Castañeda López

Edgar Damián Ochoa Hernández

Edgar Emmanuel Culajay Flores

Edgar René Barrera Garzaro

Eduardo José Golón López

Edwin Geovanny Guzmán Caniche

Elvis Gerardo López Pineda

Enrique Antonio González Cifuentes

Erick Iván Fernando Orozco Ramírez

Evelin Maritza Monroy Mendez

Fatima Alejandra Moir Flores

Francisco Alberto Cajbon Santander

Guillermo José Pimentel Lemus

Gustavo Adolfo López Muñoz

Hector Andrés Mazariegos Molina

Hugo Damian Tomas Reyes

Iris Paola López Alvarez

Iván Ecoberto Flores Barrios

Jacobo Ariel García Avila

Jair Emanuel Carrillo Acevedo

Jim Kevin Cuestas Cifuentes

Jorge Alberto Vasquez Jorge David Top Raxón

José Alexander Vásquez Castro

99

José Eduardo López Villatoro

José Miguel Ruano Aguilar

Josué Emilio Castillo Estrada

Julio Alberto González Paniagua

Lenyn Ubaldo Girón Hernández

Leslie Arianne García Vargas

Luis Armando Diaz Ciraiz

Luis Rafael Alfaro Soto

Manuel Antonio Mazariegos Bámaca

María Alejandra Peláez Noriega

Marvin Haroldo Reinoso García

Oscar Eduardo Vásquez Requena

Oscar Estuardo Ardón Castillo

Pablo Andrés Aldana Véliz

Pablo Antonio Pasquier Batres

Pablo Enrique Barrios Rivas

Raúl Antonio Girón

Ricardo Alejandro Sicán Muñoz

Rolando Wladimir Figueroa Rodriguez

Romeo Antulio Tovar Jiménez

Silvio Alejandro Urizar Salazar

Víctor Manuel Carranza Mejicanos

Víctor Manuel de Jesús Moscoso Villagrán Walter Roberto Morales Quiñonez

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS – CUNOC

Alí Emmanuel Arana Magariño

Anfers Ageo de León Ruano

Antonio Baldemar Alvarado Chan

Armando Alberto Temaj López

Armando Alfredo Sánchez Herrera

Beatriz ELizabeth Racancoj Coyoy

Billy Jose Par Lorenzo

Byron Yossimar Poroj Chojolan

Carlos Alfredo del Cid Castillo

César Baldomero Antonio Basegoda

Claudia Alejandra Rodriguez Andreu

Cristian Adolfo Calderón Cifuentes

Damian Pedro López Morales

Daniel Antonio Orozco Orellana

Daniel Estuardo Son

Darío Alexander Az Yac

100

Delvin Ariel Hernández Puzul

Edilzar Vicente Hernández López

Emanuel Angel Ismael Cayax Ralda

Erick Estuardo Pérez Aguilar

Erick Sergio Armando García Chuc

Erwin Jesús Garcia Chuc

Fernando Marco Aurelio Alvarado

Francis Osfelino López y López

Francisco Isaías Maldonado Gomez

Guilmer Rodolfo Guox Capriel

Hernan Francisco Mérida Catalán

Jenifer Paola Magaly Tobar Perez

Jeremias Estuardo Itzep Ajxup

Jesser Fernando Orozco Soto

Jorge Francisco Fuentes Chávez

José Alfredo López Romano

José Gervacio García Velásquez

Juan Americo Calderon Mazariegos

Juan Francisco Hernandez Renoj

Juan José Loarca Tezó

Juan José Rivera Miranda

Juan Luis Angel Perez Bonilla

Julián Vladimir de Paz Pérez

Julio Alejandro Diaz Archila

Luis Antonio Ixcot Macario

Luis Javier Villatoro Classon

Marlon Javier Pu Coy

Marvin David Vásquez Hernández

Marving José Velasquez Rivas

Michael Cristian Velásquez Joachin

Milton Belisario Gómez López

Nery Abdiel Gonzalez Morales

Oscar Ilich Boj Alvarez

Osmar Dany Cardona Monzón

Pablo César Aguirre García

Pablo Maximiliano Rrecancoj Chiché

Roberto Natahan Cedillo Matom

Saul Wiliberto Garcia Tomás

101

UNIVERSIDAD GALILEO

Alicia Faviola Del Cid Portillo

Axel Josué Cortéz Morales

César Enrique Reyes Marroquín

Cinthia María Rodríguez Montepeque

Daniel Jhonatan Quezada Cujcuy

Diego Antonio Fión Carrera

Eliezer Arnulfo Diaz Turnil

Eric Natan Pinto Chavarria

Erick Steven Petersen Ramírez

Gustavo Adolfo Chang Villagran

Héctor David Mencos Castillo

Hugo Antonio Moran Rodriguez

Jazer Rigoberto Pinto Chavarria

Jose Gabriel Arriola Bonilla

Julio Ramiro Cuellar Marroquín

Kenneth Riveiro G.

Kevin Estuardo Brolo Torre

Lester Geovanny Batres Lemus

Lesther Fernando Vega Montenegro

María de los Angeles Berganza

Oscar Augusto Marroquín Herrera

Oscar Eduardo Maldonado Sánchez

UNIVERSIDAD DEL ISTMO

Elena María Díaz Aguilar

Laura Nineth Arreaga S. UNIVERSIDAD MESOAMERICANA- SUR OCCIDENTE

Axel Ademie Peláez Rosales

Carlos Alberto Vásquez González

Carlos Alexander Tax Velasquez

Carmen Amado de León Pojoy

Edgar Fidel Marcos Flores Barrios

Eduardo Estuardo Alfonso Torres

Jairo Alexander Fuentes Velásquez

Marvin Abel Calderon H.

Miguel Alfonso Bustamante Sanchez

Salvador Nery David Cajas Molina

102

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR

Alex Manuel Zuñiga Estrada

Alvaro Enrique Ruano Ixcaraguá

Carlos Alfonso Molina Monzón

Carlos F. Quijada

Cristian Estuardo Roldán Rodríguez

Daniel Alexander Guerra Archila

David Guillermo Escobar Avendaño

Erick Ronelly Castro Arriaga

Gustavo Adolfo Herrera Cardona

José Javier Tello Pérez

José Manuel Chacón Chavez

Josue David Palacios García

Juan Pablo Morales López

Julio Santizo

Rafael André Morales Cifuentes

Roberto García

Silvia Alejandra Ruiz Palma

Wilman Antonio García Marroquín

103

TERCERA OLIMPIADA INTERUNIVERSITARIA DE LAS CIENCIAS BÁSICAS

PARTICIPANTES DE MATEMÁTICA, NIVEL II


Alan Brayn Tercero Contreras

Ana Lucia Salguero Ucelo

Anibal Estuardo Sierra Morales

Claudio Javier Tzay Teleguario

David Echeverría Rodríguez

Eder Keith Paz Tiguila

Fernando Benjamín Martínez Marroquín

Héctor Antonio Muñoz Maldonado

Henry Daniel Higueros Picen

Jorge Raúl Contreras Rodríguez

José Daniel Cheley de León

José Daniel Gudiel de León

Josué David Hernández Hernández

Juan Luis Blanco Doucodray

Julio Antonio López Flores

Kelinton Ottoniel Sic Cajbon

Leonardo Vicente Pirir Martin

Oscar Oswaldo Cerna Fajardo

Paulo César Martínez Cerna

Wilber Ernesto Quezada Caballeros

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS - CUNOC

Alberto José Orozco Orellana

David Luis Ernesto Aguilar López

Josué Amilcar Itzep Ajxup

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA

José Eduardo Barrera Santos

104

UNIVERSIDAD GALILEO

José Miguel Peralta Segovia

UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ

Etan Antonio Girón Castañeda

José Fernando Salazar Colom UNIVERSIDAD MESOAMERICANA-SUR OCCIDENTE

Luis Eduardo Boquiax Goch


Osman Carrillo Soto


105

DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE FÍSICA, NIVEL I


Cristian Alfredo Raxón Soc

Pablo Andrés Contreras Rodrí juez


Erick Estuardo Valencia Rabanales

Yessica Marysol Tajiboy Síc

Lincoln Benjamín de León Velásquez

Mario Hugo Coyoy Cajas

Julio Roberto Rios Cuellar

Luis Pablo Samayoa Gallardo

Pablo César López Fuentes

Erick Wostbellí Vásquez López

UNIVERSIDAD DEL ISTMO

Augusto Valdez

Francisco José Sedano Illescas


Carlos Juan Manuel Rizzo Milián UNIVERSIDAD MESOAMERICANA SUR-OCCIDENTE

Vladimir Ovidio Santos Mazariegos


Densyl Alexander Malín Mansilla

Elmer Iván Barrios Cambran

Jorge Villatoro UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR-SUR OCCIDENTE

Diego Aniceto Balux Tambriz


106

DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE FÍSICA, NIVEL II


All Kenneth Cueto López

Bárbara Susete Yaeggy Alvarez

Carlos Alberto Alvarez Rosales

Carlos Jorge Valdez Bautista

Cleofas Josué Culajay Tuquer

Diego Fernando Rodríguez Hernández

Edwin Antonio Andino Paz

Herik Alexánder Suret Soyos

Hugo Leonel Pinillos Guevara

José Roberto Sampuel López

Juan Jacobo Girón Morales

Luis Raúl Velásquez Herrera

Manuel Alejandro Lepe Jolón

Mario Raúl Soto Gómez

Mauricio Valentino Rivera Tello

Ovidio Fernando García Oliva

Pablo Rodolfo Roesh Martínez

René Alexander Ramos Díaz

Rony Aureliano Jucup Solís

Sergio Francisco Prado González

Sergio Romeo Santos Revolorio


Gustavo Adolfo Fuentes Fuentes

UNIVERSIDAD GALILEO

Aldo Emmanuel Barillas Barillas

107

Andony Vinicio Noguera de León

Angel Francisco Méndez Lázaro

Byron David Carranza Gomez

Carlina Marithel Juárez Berdúo

Carlos Anibal Véliz Güitz

Diego Alejandro Zacarías Hernández

Estefanny Alejandra Martínez Soto

Jairo Marcos Cano Sacú

José Argueta Orellana Flores

José Carlos King Méndez

José Manuel Morilla Calderón

Juan Pablo Ramirez Stambuk

Julio Rodrigo Martínez Fuentes

Leslie Susan G. Maldonado Sánchez

Lizardo Rogelio Porres Villacorta

Ludwing Jacobo González Medina

Luis Fernando Díaz Avendaño

Mario Francisco Colindres Rodríguez

Pedro José Méndez Lázaro

Rodrigo Alejandro Ixcoy Baten


Denis Maroly Tirado Bautista

Esau Alejandro Cardona Cuevas

Luis Gerardo Soberanis Reyes


108

DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE QUÍMICA, NIVEL I


Ana Lucia del Rosario Paíz López

Bryant Barrientos Castellanos

Cesia Aleyda Xiquitá Argueta

Diego Enrique Rivera Ayala

Edwin José Saravia Cano

Enio Miguel Cano Lima

Esther Nohemí López Coloma

Fayver Manuel De León Mayorga

Francisco Maximiliano Estrada Martínez

Gerald Lenderssan Argueta Girón

Harlem Róterdan De León Natareno

José Carlo Figueroa Cerna

José Manuel Marroquín Quiñónez

Julio Alberto Ramos Paz

Karin Beatriz Corazón Tecú

Kevin Samuel Hernández Leal

Lester Iván Lemus Méndez

Zury Adamy Sagché Locón

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS - CUNORI

Jose Carlo Figueroa Cerna

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE GUATEMALA Andrea Licette Yat Cahueque

José Miquel Morales Santiago

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR Carmen Ovalle Osorio

Diego Andrés Montenegro de León

José Manuel García Estrada

Karla Gabriela Lainfiesta Rueda

Lilly Patricia Aguilar Smith

Ma. Sofía Morales Guzmán

Pedro Enrique Arriaza Aldana


109

DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE QUÍMICA, NIVEL II


Adelvy Esaí Mauricio Villatoro

Douglas David Gallo Cárdenas

Emilia Yesenia Arana Vicente

Eric Joselito Aldana

Gabriel Andrés Cifuentes Arguedas

José Francisco López Hernández

José Roy Morales Coronado

Luisa Fernanda Villatoro Alvarez

María Verónica Espinal Corrales

Nancy Karina Díaz Fulgan

Renato Martinez Rodas

Sofia Magnolia Marroquín Tintí

Vivian María Salazar de León


Luis Francisco Quiñónez Girón

UNIVERSIDAD FRANCISCO MARROQUIN

Freddy Duarte Lau

Juan Pablo Gomez Swingle

Kerby Anelis Avea Sandoval

Mishel Ponsa Ravachi


Marcell Arian Maldonado Gálvez


110

DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE BIOLOGÍA, NIVEL I

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Allan Kevin Divas Sanabria

Andrea Leonor Aguilera Rodas

Andrea María Cabarrús Melgar

Astrid Fernanda Tigüilá Cruz

Bárbara Isabela Escobar Anleu

Denis René Cuc Vásquez Erika Patricia Ciraiz Azurdia

Eunice Maricel Caná Aguilar Haniel Isaac Racanac Giron

Isa Neddari Marcela Sequén Ovalle

Julio Salvador Carrión Paniagua Ligia Argentina Palacios Muñoz

Lucio Valerio Callen Montuori

Paula Gabriela Echeverria Galindo

Sara Ester Barillas Aragón

Stephanie Roxana Pacheco Estrada


Katherine Mazariegos Vasquez

Pablo Basegoda de León


Ana del Carmen Rivadeneira Rodríguez

Byoung UK Park Jahir Alejandro Reyes Vides

María Marcela Colom Bickford

Zandy Andrea Lissette Pablo Martínez

UNIVERSIDAD MESOAMERICANA-SUR OCCIDENTE

Julio Alberto Citá Jeiva


111

DE LAS CIENCIAS BÁSICAS PARTICIPANTES DE BIOLOGÍA, NIVEL II


Andrea Margarita Escobar Barrios

Berta Alejandra Morales Mérida

Erick Alexander Estrada Martínez

Fernando Joel Chajón Ramírez

José Carlos Lisandro Cordero Ramos

Oscar Tecandhi Ochoa Hernández


Olga Alejandra Zamora Jerez


Martin Barrios Fernández


Manuel Alejandro Carrillo Soto

Documents

Folleto 3 Olimpiada 2009