FLEXION VARIABLE

Comencemos analizando el comportamiento de una barra

alternativa 1 (sección maciza) alternativa 2 ( 3 tablas)

L

d

bL

d/3b

Aplicamos una carga P y observemos las deformaciones en c/u.

En la barra conformada por 3 tablas se aprecia un “escalonamiento”

Cada barra tiene 2 tensiones + s y s- Una fibra se alarga y la contigua se acorta

P P

Desplazamiento relativo entre fibras Produce el “escalonamiento”

Determinemos el máximo valor de P en ambas casos

alternativa 1 (sección maciza)

L

+

Mmax = P.L / 4

M-

+

d

x

-

+

x

sadm ≥ smax = Mmax . ymax / Jy

smax =P.L / 4 . d / 2

b d / 123

=12 P.L

8.b d2

PM = sadmL

b d2

alternativa 2 ( 3 tablas)Planteamos un modelo matemático

Cada tabla recibe 1/3 de P

by

smax =(P/3).L / 4 . (d/3)/.2

b (d/3) / 123 =

9 P.L

2.b d2

L

P

+Mmax = (P/3).L / 4

+++

3

2PT = sadm

L

b d2

9

2

¿Cuál barra se comporta mejor a flexión?

La barra maciza, porque para una misma acción soporta 3 veces más carga

¿Cómo logro una barra maciza cuando tengo 3 tablas separadas?

Pegando dichas tablas Vinculando dichas tablas

Al poner vínculos estamos en presencia de fuerzas (reacciones de vínculos)

Son vínculos continuos entre las tablas, aparecen tensiones tangenciales

Tensiones tangenciales de resbalamiento

Teoría de JOURAVSKIAnalicemos una viga simplemente apoyada

Qz+-

dxL

q

+ My

z

x

y

Separemos una rebanada elemental para su análisisVista lateral de la rebanada

dx

Qz+dQz Qz

MyMy +dMy

q

Planteemos las ecuaciones de equilibrio

∑Fy= Qz – (Qz + dQz) + qy dx = 0

qy= - dQz / dx

∑My = -(Qz + dQz).dx + qy dx/2 – My +(My +dMy) = 0G 2

Despreciamos infinitésimos de 2do. orden

Qz= dMy / dx

z

xy

dxQz+dQz

My +dMy

My

Qz

q

G

Analicemos las tensiones normales Cortamos una rebanada paralela a xy

dx

x

++

x = x + dx =(My + dMy) . z

JyMy . z

Jy

z

F2F1

dHdH

dx

Qz+dQz Qz

MyMy +dMy

q

x

z

- -

++

x = x + dx =(My + dMy) . z

JyMy . z

Jy

z

xyG

F2

F1

dHdH

F*

z

xyG

Determinamos F1 y F2 fuerzas dadas por el volumen de sx sobre el área F*

F1 = ∫ sx .dF F2 = ∫ ( sx + dsx ) .dF dH = F2 - F1

z

xyG

dx bz

F* F*

Destaquemos este concepto :

si no hay Flexión Variable no hay Corte

F1 ≠ F2es decir, dMx ≠ 0

dMx ≠ 0 genera dH (Reacción de Vínculo Interno entre las partes que hemos separado)

dsx ≠ 0

Qz =dMx

dx

Desarrollemos matemáticamente Jouravsky

∑Fx = 0 dH = F2 - F1 ∫ ( sx + dsx ) .dF - ∫ sx .dFF*

dH =F*

dH = ∫ dsx .dF = ∫ F*

dMy

Jyz. dF Flexión considerando a y como LN (línea neutra) y como

EPI (eje principal de inercia). De no cumplirse esta condicióndeberá usarse la solución general propuesta por Timoshenko

dH =dMy

Jy

F*

∫F*

z. dF a lo largo de la rebanada dMy ≡ cte y Jy ≡ cte

SLNF* Momento estático de la sección F* (sección que tiende a resbalar)

con respecto a la Línea Neutra

dH =dMy

JySLN

F*

Hipótesis Simplificativa de Jouravsky

dx bz

xy dH

F* Jouravsky, al ver que se desconoce las leyes de

variación de t en el área dx . bz (donde actúa dH)

supuso t uniforme

t uniforme = t media en el área dx .bz

dH = tzx . bz . dx = dMy

JySLN

F*

dMy

Jy

SLNF*

tzx = dx

1

bz

Qz

tzx = txz =

F*Qz . SLN

Jy . bz

z

y

z

x

zx

xzPor Cauchy tzx = tzx

Expresión clásica de Jouravsky

tzx = txz =

F*Qz . SLN

Jy . bz

Barra de Sección Rectangular

txz = Qz . SLN

Jy . bztxz =

Qz . b. ( d/2 – z) . [ z + (d/2 – z )/2 ]

b . db12

3

txz =12.Qz . ( d/2 – z) ( z + d/4 – z/2 )

b . d 3

12.Qz . ( d/2 – z) . (d/4 + z/2 )

b . d 3=

txz =6.Qz ( d/2) – z 2[ ]

b . d3

Ecuación Cuadrática de 2° Grado – Distribución parabólica

Para z = d/2 txz = 0 Verifica Cauchy

Para z = 0 txz = 6.Qz

4.b.d= 3.Qz

2 .F

z

xy

G

b

d

z

z

zy = LN dG

d/2 - Z

max Q/F

50 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t = Q / F

Jy . bztxz = Qz . SLNtxz =

Jy . bztxz = Qz . SLN

Jy . bztxz =

Analicemos como establecemos el signo de la tensiones

Q

b

d

1. Sobre la sección actúa un corte

Q

dx

Q

dx

Q

dM

QdM

b

d

5. Separamos una rebanada 6. La integración de las tensiones normales generadas por el dM sobre el F* dan un dF7. Las tensiones de resbalamiento equilibran el dF8. Por Cauchy aparecen las tensiones sobre la cara sombreada

2. En la cara de posterior de la rebanada elemental actual un corte igual pero de signo contrario3. Se genera una cupla entre ambos cortes4. Se equilibra con el dM

F*

dx b

ddF

xz

zx

z

y G

Limitaciones de la fórmula de Esfuerzo Cortante

En la línea 1-1 suponemos tensiones t uniformes

La distribución real de las tensiones se originan en una solución de la Teoría Matemática de la Elasticidad

Para barras esbeltas h >> b podemos aceptar t uniforme.

Para h > 2.b tmáx es un 3% mayor t uniforme (Jouravsky)

P

h

b = 4.h

h

b = 4.h

P

(LN)prom(LN)máx

(LN)prom

h

b = 0,5.h

(LN)máx

(LN)prom

h

b = 0,5.h

(LN)prom

Efecto de la forma transversal

Sección Simétrica de Contorno Curvilíneo

A B

Qz

Analizamos un cubo elemental en el punto A

tn = 0 porque es una superficie exterior libre de esfuerzos

t

nn = 0

t

t debe ser considerada una tensión componente

t resultante tiene que resultar tangente al contorno

Adoptamos una ley de variación lineal para txy, lo que equivale a que las tensiones resultantesconcurren al punto M

Qz

A B

M

xy

Determinamos las tensiones en la línea AB

Qz . SLN

La tensión calculada t admite una componente

tangencial al contorno tt y una normal tn

Por Cauchy aparecen tensiones en las restantes caras del cubo

Jy . bztxz =

Sección circular

z

y

zRbz

A Bxz

xy

bz 2 R2

z2

z

y

zbz

db

dSy b d Jy R

44

Syz

R

b

dz

R

2 R2

z2

d

Sy2

3R

2z

2 3

2

xz

Q2

3 R2 z2

3

2

2 R z( )

1

2 R44

xz

Q Sy

bz Jy

xz4Q R

2z2

3 R4

max4Q

3 R2

4

3

Q

F

33,3 % mayor que haber considerado una distribución uniforme t = Q / F

Las tensiones halladas son resultantes únicamente para z = 0 Para otro z ≠ 0 existe la componente txy que muestra la figura

Efecto de la longitud de la viga

Alabeo de la sección solicitada a flexión y corte

Perfil doble TDeterminamos las tensiones tangenciales

Q Sn

b Jn t en el alma

z

y = LN G

b

Qz

d

e

t

z

dx

Q

dM

Q

dx. dFzx. b. dx

zx

Qz

e JnSn

Sn b td

2

t

2

d

2t z

e z1

2

d

2t z

txz es parabólica

para z = d/2 - t

para z = 0 max

Qz

e Jnb t2

d t( )d

2t

2

e

xz

Qz

e Jnb t2

d t( )

z

y G

Qz

max

xy

Sn b td

2

t

2

d

2t

2

z2

e

para z = d/2 - t

para z = 0

txz es parabólica txz es parabólica txz es parabólica txz es parabólica

Si extendemos la validez de la expresión txz en las alas

El salto que se observa es proporcional a la relación entre el ancho del ala b y el ancho del ala e

A lo largo de toda la fibra A-A, tendremos t → por

Cauchy en la cara inferior del ala aparecen t → Incompatible

Las tensiones txz en las alas varían en forma parabólica,anulándose en el borde superior e inferior

Para el resto del ala podemos adoptar una aproximación lineal

z

y G

Qz

max

xz

eA A

+

z

y

Qz

max

xz

Determinamos las t en el ala

xy

Qz

t JnSndx

QdM

Q

dx.dFyx.b.dx

Sn tb

2y

d

2

t

2

para y = b/2

txy es lineal

xy 0

z

y = LNG

b

Qz

d

t

y

b/2 - y

d/2 - t/2

Adoptamos una variación lineal

para y = e/2 max

El momento estático de ½ figura respecto de la LN es 0

z

y = LN

-+

-+

xy

z

y = LNG

Flujo cortante f = . t e El flujo cortante de las dos mitades del ala superior

es igual al flujo entrante en el alma y viceversa

Aparece concentración de tensiones en el cambio de dirección

Verificamos las ecuaciones de equivalencia

Qy = ∫ txy . dF = 0 Qz = ∫ txz . dF

Calculando integrales parciales en la sección transversal del perfil, obtenemos:

Qz

∫

∫

Qy ≈ H1t – H1t + H2t – H2t = 0

Qz ≈ He= ∫ txz . dF

Aproximado por la superposición de áreas

Calculamos el Momento Torsor Baricentrico

Mx = ∫ (txy . z – txy . y) . dF = 0

xyH H = .dF1t 1t

t

db

H2t H

Ft/2

GxzH = .dFe Fe

e

dh

Se cumple las ecuaciones de equivalencia

Ejercicio n°1

L = 4m

P = 5000 kg

2500 kg2500 kg

x

zy

+- 2500 kg

2500 kg Qy

+

5000 kg.m

Mx

Datos: sadm = 1400 kg/cm2

M = 5000 kg.m

W nec = 500000 kg.cm/1400 kg/cm2 = 357 cm 3

De la tabla Wx = 354 cm3

S11 = (10 . 2 . 11 + 10 .1 . 5) cm² = 270 cm²

PN N° 24

2°) Verifico al Corte

Qz . SLN

Jy . bztxz =

t = 13,1 mm

e = 8,7 mm

b = 106 mm

Gn nJnn = 4250 cm²

1 1

Rectificamos el perfil(simplificamos)

12 cm

10 cm 2 cm

1 cm

2 2

3

3

S33 = 4,5 . 2 . 11 cm² = 99 cm²

S22 = 10 . 2 . 11 cm² = 220 cm²

t = 2500 kg / 4250 cm4 . SLN / bz

t = 0,6 kg/cm4 . SLN / bz

1°) Dimensiono a Flexión con un perfil

12 cm

10 cm 2 cm

1 cm1 1

2 2

3

3

S11 = 270 cm²

S33 = 99 cm²

S22 = 220 cm²

t = 0,6 kg/cm4 . SLN / bz

t11 = 0,6 kg/cm4 . 270 cm² / 1cm = 162 kg/cm²

t22 = 0,6 kg/cm4 . 220 cm² / 1cm = 132 kg/cm²

t33 = 0,6 kg/cm4 . 99 cm² / 2cm = 30 kg/cm²

xz = 132 kg/cm²

xz = 162 kg/cm²

x = 1400 kg/cm²

Qz = 2500 kg

+

-

Mx = 5000 kg.m

xy = 30 kg/cm²

En barras esbeltas es preponderante la Flexión frente al Corte

L = DBarra NO esbelta

D

L = D

P

Ejercicio n°2 Cortante en vigas compuestas Una viga cajón armada clavando 4 tablones

Datos:

sadm Mad = 80 kg/cm²

tadm Mad = 5 kg/cm²

tadm Clavo = 600 kg/cm²

1°) Verificamos a Flexión M = 375 kg.m

J = 7187,5 cm4 smax = 52,17 kg/cm²

2°) Verificamos al Corte Q = 250 kg 1 1

S11 = (10 . 2,5 . 8,75 + 2 . 10 . 2,5 . 5) cm3 = 468,75 cm3

tmax =250 kg. 468,75cm3

7187,5 cm4 . 2.e

ee

= 3,26 kg/cm²

1"x 4"

1"x 8"

15 cm

e = 2,5 cm

3 m

s

20 cm

P = 500kg

z

y

2 2

S22 = 10 . 2,5 . 8,75 =218,75 cm3 t22 = 1,52 kg/cm²

3

3

No obstante, podría considerarse que las tensiones de resbalamiento en el corte superior e inferior son distintas de cero, pero con signos opuesto

z

y

t33 = 0

z

yS33 = 0

Si planteamos Lím Dy 0

SLN

F*

= 0 t33 = 0

Q = 250kg

3°) Calculamos la cantidad de clavos

2,5 cm10 cm

150 cm

Determinamos la fuerza de corte en la mitad de la luz de la viga

Fc = t22 . 2,5 cm . 150 cm

Adoptamos un clavo: Longitud y Calibre: 2” x 14

Ø = 2,11 mm Ωclavo = 0,035 cm²

Fc = n°clavos . Ωclavo . tadm clavo

Despejamos el número de clavos: n°clavos Determinamos la separación entre los mismos: s

Aclaración: como el corte es constante en cada mitad de la viga se puede emplear una separación constante entre los clavos, caso contrario deberá ser variable la separación.

Ejercicio n°3 Tensiones principales en flexión y corteAnalicemos una barra de sección rectangular

3 1

PP

3

1

3

3

1

x

Bx

x

xz

xz

xx

xz

xz

x

zP

PP1

xz

xz

xz

x

Pz

13

PP3

1

13

3

C

Estudiamos los puntos indicados

xx

33

x

Ax

x= 1=

D

Ez

y

L

q

+

+

-M

Q

z

y

b

h

Q

M

A

B

C

-

+x

xz

x

Dx

x

xz

xz

xx

xz

xz

x

z P

3

1

3 1

PP3

PP

1

1

3

3

1

1

3

D

1 E 1

33 A

1

3

3

1

B

1

13

3

C

Agrupamos los resultados Representamos las direcciones de las tensiones principales en la viga

Para la sección del medio las tensiones principales son horizontales porque el corte es 0

Las direcciones de la 3er. Secciónestudiada resultan espejadas de la 1era. sección

Uniendo las direcciones principales, obtenemos la trayectoria de tensiones denominadas isostáticas.

Isostática de compresión

Isostática de tracción

Si la barra es de hormigón debemos colocar armadura para tomar la tracción

Deformación por CorteAnalizamos una faja elemental solicitada por Corte dw

xzdx

dy

dz

zx.dx.dy

xz.dy.dz

xz.dx

Q

Q

dx

dwLe = Li

Aceptando Linealidad Mecánica

Planteamos el trabajo interno de un cubo elemental

G

Existe una variación entre el instante inicial con la estructura descarga hasta la carga de servicio

d Li = ½ .∫ txz.dy.dz . gxz.dx = ½. Qz. dw = d Le

½ .∫ .dy.dz .dx = ½. Qz. dwGtxz²

F

F

Reemplazo txz por la expresión de Jouravsky

dwdx = ∫F

Qz² . (Sn )²F*

b² . Jn² = ∫F

Qz

G

(Sn )². dFF*

b² . in . F² 4

radio de giro in² = Jn /FFinalmente dw

dx=

Qz

G.Fky

(Sn )². dFF*

b² . in . F4ky = ∫F

factor de forma de la deformación por corte

G.Qz

dF

(Sn )². dFF*

b² . in . F4ky = ∫F

Factor de forma de la deformación por corte

ky =L . L²

L² .L .L²

6

4 = adimensional

Centro de CorteDeterminamos las tensiones tangenciales según el planteo de Jouravsky