I- Introduction   :

La décohésion ou la ruine d’un élément structurel se produit souvent par flambement, à savoir par déflexion latérale. On notera, à titre de comparaison, que la défaillance en compression d’un membre court se produit par affaissement plastique du materiau. Le flambement, et par conséquent la ruine, d’une poutre ou d’une colonne peut intervenir même si la contrainte maximale dans la barre est inférieure au seuil de plasticité du matériau.Les transmissions dans les machines oscillantes, alternatives, dans la structure des bâtiments… peuvent aussi céder par flambement.

II- But de la manipulation   :

Le phénomène de flambement parait être un facteur déterminant dans la conception et le calcul des ouvrages de génie civil. En effet, il reflète en toute rigueur le comportement d’un élément structure soumis à une compression axiale. Dans ce TP, on est amené à étudier le flambement sous trois modes d’appuis :

- deux extrémités articulées- deux extrémités encastrées- une extrémité encastrée et l’autre articulée

Le but est de déterminer la charge critique de flambement dans les trois cas énoncés.

III- Principe de l’essai   :

l’appareillage utilisé est constitué d’une barre appuyée à ses deux extrémités, d’un système d’injection d’huile poussant un piston solidaire à un vérin (c’est la force de compression appliquée à la barre sollicitée), d’un comparateur pour la mesure des flèches et d’un dynamomètre servant à afficher les incréments de charges appliqués.

L’essai consiste à :- choisir le mode d’appui parmi les trois cas : deux extrémités articulées, deux extrémitésencastrées et une extrémité encastrée et l’autre articulée.- On applique dans chaque cas différents efforts en agissant sur la manivelle du dynamomètre.- A l’aide du comparateur existant au niveau de la section médiane, on mesure les flèches correspondantes.

IV- Résultats expérimentaux   :

Etape 0   : évaluation de ELe module de Young étant inconnu. On procède pour cela à un essai de flexion simple pour l’évaluer.

On fait varier les charges (poids) pour pouvoir trouver une valeur de E la plus exacte possible. La barre a les caractéristiques géométriques suivantes : - la longueur l = 500 mm- l’épaisseur h = 3 mm- la largeur b = 20 mmComme il s’agit d’une flexion simple, les formules théoriques proposent :

 avec

d’où :

Le tableau suivant représente les différents cas de charges ainsi que les flèches correspondantes mesurées par le comparateur.

Charge appliquée F (en N) La flèche mesurée y (en mm) Le module E (daN/mm²)

2.5 0.55 26304.71

3.5 0.85 23828.97

4.5 1.2 21701.38

D’où la valeur moyenne de E : E = 23945 daN/mm²

Remarque   : Les fluctuations qui apparaissent lors du calcul de E sont dues essentiellement à la fatigue du matériau constituant la barre suite à une utilisation excessive et successive dans ce même essai.

Etape 1   : Exécution de l’essai du flambement

1) Cas de deux extrémités articulées   :

Dans ce cas la longueur de la barre est l = 545mm

Les mesures de la bi-articulation ont donné le tableau suivant :

F(N) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200f(mm) 0.02 0.04 0.05 0.08 0.11 0.14 0.18 0.26 0.37 0.51

a)Calcul théorique par la méthode d’EULER   :

Euler propose la formule exacte pour le calcul de la charge critique au delà de laquelle il y

aura ruine de la poutre : Dans ce cas L = l

Application numérique : Pcr = 358 N

b)Résultat expérimental:

On tracera la courbe f=g(F) et on en déduira par extrapolation la charge Pcr :En analysant les conditions réelles du flambement, on trouve que la barre avait une flèche initiale f0. De ce fait, on a une courbe hyperbolique entre la flèche f et la charge F :

.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe expérimentale et la courbe hyperbolique correspondante. On constate après extrapolation que la courbe s’approche de l’asymptote Fc = 310N : C’est la charge critique expérimentale

c)Contrainte critique:

Les graphes représentant ces deux équations est :

On remarque que la courbe expérimentale a une forme légèrement différente de celle de la courbe théorique, cela est du à :

- aux incertitudes des mesures- au fait que la barre utilisé n’est pas parfaite (elle a subi une fatigue), c’est pourquoi la

courbe de la contrainte critique théorique en fonction de l’élancement est au dessus de la courbe expérimentale.

- Au fait que dans la théorie la flèche initiale f0 n’est pas prise en considération dans les calculs alors que réellement elle influence les résultats expérimentaux.

d)Méthode de Southwell:Cette méthode permet de déterminer expérimentalement la valeur de f0.

En effet, cette méthode consiste à tracer la droite d’équation

(Fc est la pente de la courbe)

f1(mm) 0,02 0,04 0,05 0,08 0,11 0,14 0,18 0,26 0,37 0,51

f1/F(mm/N) 0,001 0,001 0,00083 0,001 0,0011 0,00116 0,00128 0,00162 0,00205 0,00255

Expérimentalement, on trouve que f0 = 0.008 mm et Fc = 260.06 N

Remarque   : Le résultat obtenu parait logique même si la valeur de Fc est un peu loin de la réalité car l’approximation est linéaire, par conséquent l’erreur induite est plus importante.

2) Cas de deux extrémités encastrées   :

Dans ce cas la longueur de la barre est l = 500mmL’appareil d’appui sera configuré de la manière indiquée sur la photo pour produire un encastrement.

Les mesures sont données par le tableau suivant :

F(N) 50 100 150 200 300 400 500 600f(mm) 0.015 0.018 0.02 0.021 0.023 0.025 0.028 0.030

a)Calcul théorique par la méthode d’EULER   :

Euler propose la formule exacte pour le calcul de la charge critique au delà de laquelle il y

aura ruine de la poutre : avec L = 0.5.l

Application numérique : Pcr = 1701 N

b)Résultat expérimental:

On tracera la courbe f=g(F) et on en déduira par extrapolation la charge Pcr :En analysant les conditions réelles du flambement, on trouve que la barre avait une flèche initiale f0. De ce fait, on a une courbe hyperbolique entre la flèche f et la charge F :

.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe expérimentale et la courbe hyperbolique correspondante. On constate après extrapolation que la courbe s’approche del’asymptote Fc = 1670N : C’est la charge critique expérimentale

c)Contrainte critique:

Les graphes représentant ces deux équations est :

d)Méthode de Southwell:Cette méthode permet de déterminer expérimentalement la valeur de f0.

En effet, cette méthode consiste à tracer la droite d’équation

(Fc est la pente de la courbe)

f1(mm) 0.015 0.018 0.02 0.021 0.023 0.025 0.028 0.030f1/F(mm/N) 0,0003 0,00018 1.33 e-4 0,000105 7.66 e-5 0,0000625 0,000056 0,00005

Expérimentalement, on trouve que f0 = 0.007 mm et Fc = 1230.33 N

Remarque   : On remarque ici que la flèche est légèrement inférieure à celle obtenue dans le cas précèdent car on a un encastrement c'est-à-dire que les nombre de degrés de libertés de l’élément est plus faible relativement au cas bi-articulé.

3)Cas de d’une extrémité encastrée et une autre articulée   :

Dans ce cas la longueur de la barre est l = 520mmL’appareil d’appui sera configuré de la manière indiquée sur la photo pour produire un encastrement à gauche et une articulation à droite (une cale a été utilisée pour aligner les deux extrémités).

Les mesures sont données par le tableau suivant :

F(N) 50 100 150 200 300 400 500 600f(mm) 0.01 0.02 0.025 0.03 0.032 0.035 0.037 0.04

a)Calcul théorique par la méthode d’EULER   :

Euler propose la formule exacte pour le calcul de la charge critique au delà de laquelle il y

aura ruine de la poutre : avec L = 0.7.l

Application numérique : Pcr = 802.64 N

b)Résultat expérimental:

On tracera la courbe f=g(F) et on en déduira par extrapolation la charge Pcr :En analysant les conditions réelles du flambement, on trouve que la barre avait une flèche initiale f0. De ce fait, on a une courbe hyperbolique entre la flèche f et la charge F :

.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe expérimentale et la courbe hyperbolique correspondante. On constate après extrapolation que la courbe s’approche del’asymptote Fc = 785N : C’est la charge critique expérimentale

Commentaire   : Les résultats expérimentaux tendent vers la théorie. cela est du à la fatigue du matériau

constituant la barre, et à l’influence de la déformation initiale f0 sur les résultats expérimentaux (dans la théorie d’Euler f0 n’est pas considérée).

On remarque que la valeur critique du flambement est plus importante dans le cas de l’encastrement car les flèches sont moins importantes contrairement au cas bi-articulé.

c)Contrainte critique:

Les graphes représentant ces deux équations est :

d)Méthode de Southwell:Cette méthode permet de déterminer expérimentalement la valeur de f0.

En effet, cette méthode consiste à tracer la droite d’équation

(Fc est la pente de la courbe)

f1(mm) 0.01 0.02 0.025 0.03 0.032 0.035 0.037 0.04f1/F(mm/N) 0,0002 0,0002 1.66e-4 0,00015 1.06 e-4 0.000087 0,000074 0,000066

Expérimentalement, on trouve que f0 = 0.005 mm et Fc = 598.48 N

I- Conclusion   :

Dans ce TP, on a pu mesurer la charge critique de flambement pour trois modes d’appuis. Cette manipulation est très intéressante car elle donne une idée sur le phénomène de flambement ainsi que quelques techniques pour l’éviter. En effet on peut constater que pour augmenter la charge critique de flambement on pourra introduire à l’élément des appuis intermédiaires qui réduiront la longueur de flambement. Donc la connaissance du phénomène ainsi que ses causes et ses effets s’avère très importantes dans la mesure où la ruine des structures élancées peut se produire à cause de cette instabilité de forme, qu’est le flambement, sans même que la limite élastique du matériau ne soit atteinte !