Fixed Point Theorems in Partially Ordered Spaces and ... · Que la Comisión de Doctores del Departamento en su sesión de fecha 19 de mayo de 2014 tomó el acuerdo de dar el consentimiento

Fixed Point Theorems in PartiallyOrdered Spaces and Applications

Tesis Doctoral

Jackie Harjani Sauco

Las Palmas de Gran CanariaMayo de 2014Fi

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Departamento de Física

Página reservada para los servicios administrativos de la Universidad de Las

Palmas de Gran Canaria

SALVADOR GALVÁN HERRERA, SECRETARIO DEL DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA,

CERTIFICA,

Que la Comisión de Doctores del Departamento en su sesión de fecha 19 de mayo de 2014 tomó el acuerdo de dar el consentimiento para su tramitación, a la tesis doctoral titulada “Fixed Point Theorems in Partially Ordered Spaces and Applications“, presentada por el doctorando D. Jackie Harjani Sauco, dirigida por el Dr. D. Kishin Sadarangani y codirigida por la Dra. Dª Belén López Brito. Y para que así conste, y a efectos de lo previsto en el Artº 73.2 del Reglamento de Estudios de Doctorado de esta Universidad, firmo la presente en Las Palmas de Gran Canaria, a diecinueve de mayo de dos mil catorce.

Tesis Doctoral

Fixed Point Theorems in Partially

Ordered Spaces and Applications

Jackie Harjani Sauco

Doctorando

Kishin Sadarangani

Director

Belén López Brito

Codirectora

Departamento de F́ısica

Programa de Doctorado: F́ısica, Matemáticas, Geoloǵıa y Clima

Las Palmas de Gran Canaria a Dieciséis de Mayo de 2014

Tesis presentada por Jackie Harjani Sauco para aspirar al grado de

Doctor por la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, con la apro-

bación y el visto bueno del Dr. Kishin Sadarangani y la Dra. Belén

López Brito, junto con los informes favorables del Dr. Jürgen Appell

y el Dr. Adrian Petruşel.

En Las Palmas de Gran Canaria a Dieciséis de Mayo de 2014

Este trabajo de investigación ha sido parcialmente financiado por el Minis-

terio de Ciencia e Innovación, MICINN, mediante el proyecto Análisis no

Lineal y Aplicaciones, MTM2007-65706; y por la Universidad de Las Palmas

de Gran Canaria con fondos Feder de la Unión Europea, mediante el proyecto

INTERREG IIIB UNAMUNO II - University Network of the Outermost

Regions from the European Union (Ref. 05/MAC/3.4/C1).

a mi familiay con especial cariño, a Telma

Agradecimientos

Debo reconocer en primer lugar la entrega y dedicación del profesor Dr. kishin

Sadarangani, sin el cual hubiera sido imposible la realización de este trabajo.

A la profesora Dra. Belén López Brito, por su buena disposición y ayuda.

A los profesores Dr. Jürgen Appell y Dr. Adrian Petruşel, por haber dedicado

parte de su tiempo a la revisión de esta Memoria.

Agradezco también la buena acogida que me brindó el profesor Dr. Józef

Banaś y que hizo mucho más llevadera mi estancia. También, y por motivos

similares, al Departamento de Análisis de la Universidad de La Laguna, des-

tacando a los profesores Dr. Jorge Betancor, Dr. Juan Carlos Fariña, Dra.

Lourdes Rodŕıguez Mesa y Dr.Manuel Flores, que son un ejemplo a seguir.

Me gustaŕıa recordar a todos aquellos profesores que supieron transmitirme

su pasión por esta materia, en especial los profesores Juan José Carballo

Feliu, Irene Relaño y Manuel Monje.

A mi madre, por haber confiado siempre en mı́, y haberme dado la oportu-

nidad de recibir la formación académica necesaria para este estudio.

A Cristina, por su comprensión y apoyo en los momentos dif́ıciles, y a mi

hija Telma, por su alegŕıa.

VII

Índice general

1. Resumen de la Tesis / Summary of the thesis in Spanish 1

1.1. Teoremas del punto fijo en espacios métricos ordenados . . . . 9

1.1.1. Fixed point theorems for weakly contractive mappings

in partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Generalized contractions in partially ordered metric

spaces and applications to ordinary differential equations 15

1.1.3. Contractive-like mapping principles in ordered metric

spaces and applications to ordinary differential equations 19

1.1.4. Fixed point theorems for mappings satisfying a condi-

tion of integral type in partially ordered sets . . . . . . 23

1.1.5. A fixed point theorem for mappings satisfying a con-

tractive condition of rational type on a partially orde-

red metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1.6. Fixed point theorems for weakly C-contractive map-

pings in ordered metric spaces . . . . . . . . . . . . . . 29

1.1.7. Fixed point theorems for mixed monotone operators

and application to integral equations . . . . . . . . . . 33

1.1.8. A fixed point theorem for Meir-Keeler contractions in

ordered metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2. Teoŕıa de existencia y unicidad para las soluciones de un bvp . 41

1.2.1. Existence and uniqueness of positive solutions for a

nonlinear fourth-order boundary value problem . . . . 43

IX

1.2.2. On positive solutions of a nonlinear fourth order boun-

dary value problem via a fixed point theorem in ordered

sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.2.3. Uniqueness of positive solutions for a class of fourth-

order boundary value problems . . . . . . . . . . . . . 49

1.3. Fractional boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.3.1. Existence and uniqueness of positive and nondecrea-

sing solutions for a class of singular fractional boun-

dary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.3.2. Positive solutions for a class of singular fractional

boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.3.3. Existence and uniqueness of positive solution for a

boundary value problem of fractional order . . . . . . . 61

1.3.4. On existence and uniqueness of positive solutions to a

class of fractional boundary value problems . . . . . . . 65

1.3.5. Positive and nondecreasing solutions to a singular

boundary value problem for nonlinear fractional dif-

ferential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2. A short history approach 69

3. Fixed point theorems in partially ordered metric spaces 75

3.1. Fixed point theorems for weakly contractive mappings ... . . . 79

3.2. Generalized contractions in partially ordered metric spaces ... . 91

3.3. Contractive-like mapping principles in ordered metric spaces ... 105

3.4. Fixed point theorems for mappings satisfying a condition of ... 123

3.5. A fixed point theorem for mappings satisfying a contractive ... 141

3.6. Fixed point theorems for weakly C-contractive mappings in ... 151

3.7. Fixed point theorems for mixed monotone operators and ... . . 161

3.8. A fixed point theorem for Meir-Keeler contractions in ... . . . 179

4. Theory of existence and uniqueness of solution for boundary

value problems 189

4.1. Classical boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.1.1. Existence and uniqueness of positive solutions for a

nonlinear fourth-order boundary value problem . . . . 193

4.1.2. On positive solutions of a nonlinear fourth order boun-

dary value problem via a fixed point theorem in ordered

sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.1.3. Uniqueness of positive solutions for a class of fourth-

order boundary value problems . . . . . . . . . . . . . 219

4.2. Fractional boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.2.1. Existence and uniqueness of positive and nondecrea-

sing solutions for a class of singular fractional boun-

dary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237


boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

4.2.3. Existence and uniqueness of positive solution for a

boundary value problem of fractional order . . . . . . . 263

4.2.4. On existence and uniqueness of positive solutions to a

class of fractional boundary value problems . . . . . . . 279


boundary value problem for nonlinear fractional dif-

ferential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5. Future lines of research 301

5.1. Operators of cyclical type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.2. Best proximity point: approximation and optimization . . . . 305

5.3. Fixed points of decreasing operators and applications . . . . . 307

Bibliography 309

Caṕıtulo 1

Resumen de la Tesis /

Summary of the thesis in

Spanish

1

2

1.1. Teoremas del punto fijo en espacios métricos or-

denados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Fixed point theorems for weakly contractive map-

pings in partially ordered sets . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Generalized contractions in partially ordered me-

tric spaces and applications to ordinary differential

equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.3. Contractive-like mapping principles in ordered

metric spaces and applications to ordinary diffe-

rential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1.4. Fixed point theorems for mappings satisfying a

condition of integral type in partially ordered sets 23

1.1.5. A fixed point theorem for mappings satisfying a

contractive condition of rational type on a par-

tially ordered metric space . . . . . . . . . . . . . . 27

1.1.6. Fixed point theorems for weakly C-contractive

mappings in ordered metric spaces . . . . . . . . . 29

1.1.7. Fixed point theorems for mixed monotone opera-

tors and application to integral equations . . . . . 33

1.1.8. A fixed point theorem for Meir-Keeler contractions

in ordered metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2. Teoŕıa de existencia y unicidad para las solucio-

nes de un bvp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2.1. Existence and uniqueness of positive solutions for

a nonlinear fourth-order boundary value problem . 43

1.2.2. On positive solutions of a nonlinear fourth order

boundary value problem via a fixed point theorem

in ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.2.3. Uniqueness of positive solutions for a class of

fourth-order boundary value problems . . . . . . . 49


1.3. Fractional boundary value problem . . . . . . . . 53

1.3.1. Existence and uniqueness of positive and nonde-

creasing solutions for a class of singular fractional

boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . 53


boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . 57

1.3.3. Existence and uniqueness of positive solution for

a boundary value problem of fractional order . . . 61

1.3.4. On existence and uniqueness of positive solutions

to a class of fractional boundary value problems . 65


boundary value problem for nonlinear fractional

differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


Recientemente, en la Teoŕıa del punto fijo, han aparecido muchos resul-

tados que obtienen condiciones suficientes para la existencia de un punto

fijo si trabajamos con aplicaciones en un conjunto dotado de un orden par-

cial. Generalmente, estos resultados combinan dos teoremas del punto fijo

fundamentales: el Teorema de la contracción de Banach y el Teorema de

Knaster-Tarski.

El Teorema de la contracción de Banach fue demostrado en 1922 y su enun-

ciado es el siguiente.

Teorema 1 (Teorema de la contracción de Banach). Sea (X, d) un espacio

métrico completo y T : X → X una aplicación tal que, existe λ ∈ [0, 1) y severifica

d(Tx, Ty) ≤ λ d(x, y) para todo x, y ∈ X.

Entonces T tiene un único punto fijo x̄ ∈ X (i.e., T x̄ = x̄).Además, para cada x ∈ X la sucesión {T nx} converge a x̄.

Se han llevado a cabo un gran número de generalizaciones de este prin-

cipio, donde la condición contractiva que aparece en el Teorema 1 es reem-

plazada por otras condiciones (ver, B. E. Rhoades, A comparison of various

definitions of contractive mappings. Transactions of the Amer. Math. Soc.

226, (1977), 257–290).

El Teorema de Knaster-Tarski fue probado en 1955 y su formulación viene

recogida en el siguiente teorema.

Teorema 2 (Teorema de Knaster-Tarski). Sea (A,≤) un lattice comple-to (esto significa que cada subconjunto A tiene ı́nfimo y supremo en A) y

T : A→ A una aplicación que preserva el orden. Entonces T tiene un puntofijo.

Los teoremas del punto fijo en los espacios métricos ordenados están ı́nti-

mamente ligados con la monotońıa (tanto si preservan el orden como si no)

de las aplicaciones, donde la condición contractiva es solamente satisfecha

por loa elementos que son comparables.

6

El primer teorema en este sentido fue probado en 2004 por Ran y Reurings

en [132], donde aplican sus resultados a la teoŕıa de existencia de soluciones

de las ecuaciones matriciales no lineales.

Su principal resultado es este teorema.

Teorema 3 (Teorema 2.1, [132]). Sea (X,≤) un conjunto parcialmente or-denado tal que cada par x, y ∈ X tiene una cota inferior y una cota supe-rior.Supongamos que existe una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio

métrico completo. Sea T : X → X una aplicación continua, monótona (esdecir, que conserva el orden o que invierte el orden) tal que existe c ∈ [0, 1)satisfaciendo

d(Tx, Ty) ≤ c d(x, y) para cada x, y ∈ X donde x ≥ y.

Supongamos que existe x0 ∈ X tal que x0 y Tx0 son comparables, entoncesT tiene un único punto fijo x̄.

Además, para cada x ∈ T , limn→∞

T nx = x̄.

En 2005, los profesores J.J. Nieto and R. Rodŕıguez-López, probaron en

[118] que el Teorema 3 sigue siendo válido cuando se sustituye la hipótesis

sobre la continuidad de la aplicación T por otra sobre X.

El principal resultado de ese art́ıculo es el siguiente.

Teorema 4 (Teorema 2.5, [118]). Sea (X,≤) un conjunto parcialmente or-denado y supongamos que existe una métrica d en X tal que (X, d) es un

espacio métrico completo. Sea T : X → X una aplicación creciente tal queexiste x0 ∈ X con x0 ≤ Tx0. Supongamos que existe k ∈ [0, 1) y se verifica

d(Tx, Ty) ≤ k d(x, y) para cada x, y ∈ X donde x ≥ y.

Asumamos también que T es continua o X satisface

si la sucesión creciente(xn)

es tal que xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N.


Además, si

para cada x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x e y

entonces T tiene un único punto fijo.

Además, en [118] los autores aplican sus resultados para obtener la ex-

istencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial ordinaria de

primer orden con condiciones de contorno, asumiendo sólo la existencia de

una subsolución.

Este art́ıculo fue el punto de partida de nuestro estudio.

Durante el periodo 2005–2008 se publicaron algunos art́ıculos sobre los

teoremas del punto fijo en espacios parcialmente ordenados y sus aplicaciones.

Por la importancia que han tenido para nosotros, mencionamos entre otros:

[GL] T. Gnana Bhaskar, V. Lakshmikantham, Fixed point theorems in par-

tially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Anal. 65, 7,

(2006), 1379–1393.

[DMV] Z. Dricic, F. A. McRae, J. Vasundhara Devi, Fixed point theorems

in partially ordered metric spaces for operators with PPF dependence,

Nonlinear Anal. 67, (2007), 641–647.

[NR] J. J. Nieto, R. Rodŕıguez-López, Existence and uniqueness of fixed point

in partially ordered sets and applications to ordinary differential equa-

tions, Acta Math. Sinica 23, 12, (2007), 2205–2212.

[AEO] R. P. Agarwal, M. A. El-Gebeily, D. O’Regan,Generalized contrac-

tions in partially ordered metric spaces, Appl. Anal, 87, (2008), 109–

116.

[OP] D. O’Regan, A. Petruşel, Fixed point theorems for generalized contrac-

tions in ordered metric spaces, J. Math. Anal. Appl. 341, 2, (2008),

1241–1252.

Nuestra investigación puede ser dividida en dos categoŕıas:

8

1. Teoremas del punto fijo en espacios métricos ordenados.

2. Aplicaciones a la teoŕıa de existencia de soluciones en problemas de

valores en la frontera.

Seguidamente, presentamos nuestros resultados en estas categoŕıas por

orden cronológico.


1.1. Teoremas del punto fijo en espacios

métricos ordenados

En esta sección, presentaremos los teoremas obtenidos en nuestras inves-

tigaciones sobre espacios métricos parcialmente ordenados.

El objetivo principal de nuestro estudio era extender, perfeccionar y gene-

ralizar algunos teoremas clásicos del punto fijo en el contexto de espacios

métricos ordenados.

Para facilitar la lectura, presentamos los trabajos relacionados con esta sec-

ción, y daremos un breve resumen de las aportaciones de cada uno de ellos.

Los art́ıculos son:

a) J. Harjani, K. Sadarangani, Fixed point theorems for weakly contractive

mappings in partially ordered sets, Nonlinear Anal. 71, (2009), 3403–

3410.

b) J. Harjani, K. Sadarangani, Generalized contractions in partially or-

dered metric spaces and applications to ordinary differential equations,

Nonlinear Anal. 72, (2010), 1188–1197.

c) J. Caballero, J. Harjani, K. Sadarangani, Contractive-like mapping

principles in ordered metric spaces and applications to ordinary dif-

ferential equations, Fixed Point Theory and Applications, vol. 2010,

Article ID916064, 14 pages.

d) J. Harjani, K. Sadarangani, Fixed point theorems for mappings satisf-

ying a condition of integral type in partially ordered sets, Journal of

Convex Analysis 17, (2010), 597–609.

e) J. Harjani, B. López, K. Sadarangani, A fixed point theorem for map-

pings satisfying a contractive condition of rational type on a partially

ordered metric space, Abstract and Applied Analysis vol 2010, Article

ID190701, 8 pages.

f) J. Harjani, B. López, K. Sadarangani, Fixed point theorems for weakly

10 Teoremas del punto fijo en espacios métricos ordenados

C-contractive mappings in ordered metric spaces, Computer and Mat-

hematics with Applications 61, (2011), 790–796.

g) J. Harjani, B. López, K. Sadarangani, Fixed point theorems for mixed

monotone operators and application to integral equations, Nonlinear

Anal. 74, (2011), 1749–1760.

h) J. Harjani, B. López, K. Sadarangani, A fixed point theorem for Meir-

Keeler contractions in ordered metric spaces, Fixed Point Theory and

Applications, vol. 2011, doi: 10.1186/1687-1812-2011-83.


1.1.1. Fixed point theorems for weakly contractive

mappings in partially ordered sets.

En este art́ıculo, presentamos algunos teoremas del punto fijo para apli-

caciones débilmente contractivas en espacios métricos ordenados.

Las aplicaciones débilmente contractivas fueron definidas por Alber y Guerre-

Delabriere en [6], en el contexto de espacios de Banach, como una generaliza-

ción de las aplicaciones contractivas clásicas. Más precisamente, sea (X, ‖ ‖)un espacio de Banach y T una aplicación de X en si misma, diremos que T

es débilmente contractiva si, para cada x, y ∈ X,

‖Tx− Ty‖ ≤ ‖x− y‖ − ψ(‖x− y‖

),

donde ψ : [0,∞) → [0,∞) es una aplicación continua y creciente tal que ψes positiva en (0,∞), ψ(0) = 0 y lim

t→∞ψ(t) =∞.

Alber y Guerre-Delabriere probaron que cualquier aplicación débilmente con-

tractiva de un espacio de Hilbert en si mismo tiene un punto fijo.

En [136] Rhoades extiende la definición de aplicación débilmente contractiva

al contexto de espacios métricos y demostró un teorema del punto fijo para

este tipo de aplicaciones.

El principal resultado de [136] es este teorema.

Teorema 5. Sea (X, d) un espacio métrico completo y T : X → X un apli-cación que satisface

d(Tx, Ty) ≤ d(x, y)− ψ(d(x, y)

),

para cualquier x, y ∈ X, donde ψ : [0,∞) → [0,∞) es una función continuay creciente tal que ψ es positiva en (0,∞) y ψ(0) = 0.Entonces T tiene un único punto fijo.

Como podemos observar en el Teorema 5, la condición limt→∞

ψ(t) = ∞,usada por Alber y Guerre-Delabriere, no es necesaria para nuestros objetivos

.

El objetivo de nuestro art́ıculo era dar una versión del Teorema 5 en el


contexto de los espacios métricos parcialmente ordenados.

La principal contribución puede ser resumida en el siguiente teorema.

Teorema 6. Sea (X,≤) un espacio parcialmente ordenado y supongamos queexisten una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio métrico completo.

Sea T : X → X una aplicación continua y creciente tal que


), para x, y ∈ X con x ≥ y ,

donde ψ : [0,∞) → [0,∞) es una función continua y creciente tal que espositiva en (0,∞) y ψ(0) = 0.Si existe x0 ∈ X tal que x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un punto fijo.

Demostramos que la condición de que T sea continua es innecesaria si

asumimos que en X se cumple

si (xn) es una sucesión creciente en X tal que xn → xentonces xn ≤ x, para todo n ∈ N.

(1.1)

Esta condición fue usada por J. Nieto y R. Rodŕıguez-López en [118]. Con

mayor precisión, demostramos el siguiente resultado.

Teorema 7. Si en el Teorema 6 reemplazamos la continuidad de T por la

condición (1.1) entonces obtendŕıamos la misma conclusión.

Para analizar la unicidad del punto fijo, aportamos un ejemplo en donde

se comprueba que los Teoremas 6 y 7 no garantizan la unicidad.

Por este motivo, presentamos una condición suficiente para la unicidad (que

fue usada en [118]). Su enunciado es:

Para x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x y y. (1.2)

Teorema 8. Añadiendo la condición (1.2) a las hipótesis del Teorema 6

(respectivamente Teorema 7), obtenemos la unicidad del punto fijo.

Finalmente, aplicamos los resultados obtenidos para demostrar la exis-


tencia de la solución del siguiente problema periódico de primer orden

{u′(t) = f

(t, u(t)

), t ∈ [0, T ] ,

u(0) = u(T ) ,(1.3)

bajo la hipótesis de la existencia de una subsolución para (1.3), es decir, una

función α ∈ C[0, T ] tal que

α′(t) ≤ f(t, α(t)

), para t ∈ [0, T ] ,

α(0) ≤ α(T ) .

Es decir, obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 9. Supongamos que f : [0, T ]× R→ R es continua y existe λ > 0tal que para x, y ∈ R con y ≥ x,

0 ≤ f(t, y) + λy − [f(t, x) + λx] ≤ λ ln(y − x+ 1) .

Entonces, la existencia de una subsolución para (1.3) nos garantiza la exis-

tencia de una única solución de (1.3).

Este art́ıculo se inspira, fundamentalmente, en los resultados obtenidos

por J.J. Nieto y R. Rodŕıguez-López en Contractive mapping theorems in par-

tially ordered sets and applications to ordinary differential equations, Order

22, (2005), 223–239..


1.1.2. Generalized contractions in partially ordered

metric spaces and applications to ordinary

differential equations

En este art́ıculo hacemos uso de las funciones que alteran la distancia,

que fueron introducidas por Khan, Swalesh y Sessa en Fixed point theorems

by altering distances between the points, Bull. Austral. Math. Soc. 30, (1984),

1–9.

Diremos que una función ϕ : [0,∞) → [0,∞) es una función que altera ladistancia si satisface:

(a) ϕ es continua y creciente.

(b) ϕ(t) = 0 si y sólo si t = 0.

(Notar que estas funciones son las mismas que aparecen en la definición de

aplicación débilmente contractivas en el art́ıculo anterior).

En [161], los autores prueban este resultado:

Teorema 10. Sea (X, d) un espacio métrico completo, ϕ una función que

altera la distancia y T : X → X una aplicación tal que

ϕ(d(Tx, Ty)

)≤ c · ϕ

(d(x, y)

),

para cada x, y ∈ X, donde c ∈ (0, 1).Entonces T tiene un único punto fijo.

En 2008, Dutta y Choudhury generalizaron el Teorema 5, obtenido por

Geraghty en [136], de la siguiente manera.

Teorema 11. Sea (X, d) un espacio métrico completo y T : X → X unaaplicación que satisface

ϕ(d(Tx, Ty)

)≤ ϕ

(d(x, y)

)− φ(d(x, y)

), para cada x, y ∈ X ,

donde ϕ y φ son funciones que alteran la distancia.

Entonces T tiene un único punto fijo.


El principal objetivo del art́ıculo es presentar la versión del Teorema 11

en el contexto de espacios métricos parcialmente ordenados.

Nuestra contribución más importante puede ser resumida en los siguientes

teoremas.

Teorema 12. Sea (X,≤) un espacio parcialmente ordenado y supongamosque existe una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio métrico completo.

Sea T : X → X una aplicación continua y creciente tal que

ψ(d(Tx, Ty)

)≤ ψ

(d(x, y)

)− φ(d(x, y)

)para cada x, y ∈ X con x ≥ y ,

donde ψ y φ son funciones que alteran la distancia. Si existe x0 ∈ X yx0 ≤ Tx0, entonces T tiene un punto fijo.

Teorema 13. Si en el Teorema 12 reemplazamos la condición de continuidad

de T por

si (xn) es una sucesión creciente en X tal que xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N ,

entonces llegaŕıamos a la misma conclusión.

Teorema 14. Añadiendo la condición:

Para x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x y y ,

a las hipótesis del Teorema 12 (respectivamente Teorema 13) obtenemos la

unicidad del punto fijo.

Los principales resultados de nuestros art́ıculos anteriores, se obtienen

como casos particulares del obtenido en este art́ıculo.

Finalmente, presentamos dos ejemplos sobre problemas con valores en la

frontera donde se pueden aplicar nuestros resultados.

En el primer ejemplo, estudiamos la existencia de soluciones para este pro-


blema periódico de primer orden

{u′(t) = f

(t, u(t)

), t ∈ [0, T ] ,

u(0) = u(T ) .(1.4)

Nuestro resultado seŕıa:

Teorema 15. Bajo la hipótesis de que f : [0, T ] × R → R es continua ysuponiendo que existen dos números reales positivos λ, α > 0 que satisfacen

α ≤(

2λ(eλT − 1)T (eλT + 1)

) 12

,

y tales que, para x, y ∈ R con y ≥ x

0 ≤ f(t, y) + λy −[f(t, x) + λx

]≤ α

√ln[(y − x)2 + 1

].

Entonces la existencia de una subsolución en (1.4) (ver los comentarios del

art́ıculo anterior) nos garantiza la existencia de una única solución para

(1.4).

El segundo ejemplo estudia la existencia de una solución para la siguiente

ecuación diferencial de segundo orden con valores en la frontera para dos

puntos. −d

2x

dt2= f(t, x) , t ∈ [0, 1] ,

x(0) = x(1) = 0 .

(1.5)

Obteniendo este resultado.

Teorema 16. Bajo la hipótesis de que f : [0, 1] × R → R es continua ycreciente con respecto a la segunda variable, y tal que, para cada x, y ∈ Rcon y ≥ x,

f(t, y)− f(t, x) ≤ α√

ln[(y − x)2 + 1] ,

donde 0 < α ≤ 8, entonces el Problema (1.5) tiene una única solución posi-tiva. Además, si f(t, x) 6= 0 para t ∈ (0, 1), la solución de (1.5) es positiva


(esto significa que 0 < x(t) para t ∈ (0, 1)).


1.1.3. Contractive-like mapping principles in ordered

metric spaces and applications to ordinary

differential equations

En[58], Geraghty presentó una generalización del principio de la contrac-

ción de Banach usando la clase de funciones S dadas por β : [0,∞) → [0, 1)que satisfacen

β(tn)→ 1⇒ tn → 0 .

El resultado más importante de [58] lo mostramos a continuación.

Teorema 17. Sea (X, d) un espacio métrico completo y T : X → X unaaplicación satisfaciendo

d(Tx, Ty) ≤ β(d(x, y)

)· d(x, y) para cada x, y ∈ X ,

donde β ∈ S. Entonces T tiene un único punto fijo.

En 2010, Amini-Harandi y Emami demostraron una version del Teore-

ma 17 en el contexto de espacios parcialmente ordenados (ver, [9]).

La principal aportación de [9] se resume en este teorema.

Teorema 18. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y supongamosque existe una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio métrico completo.

Sea T : X → X una aplicación creciente tal que


)· d(x, y) para cada x, y ∈ X con x ≤ y ,

donde β ∈ S. Asumimos que T es continua o X satisface la siguiente condi-ción:


Además, supongamos que para cada x, y ∈ X existe z ∈ X comparable con x


e y. Si existe x0 ∈ X con x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un único punto fijo.

Nuestro propósito en este art́ıculo era extender el Teorema 18 haciendo

uso de las funciones que alteran la distancia (consultar los art́ıculos previos).

La principal aportación del art́ıculo puede ser resumida en el siguiente teo-

rema.



ψ(d(Tx, Ty)

)≤ β

(d(x, y)

)· ψ(d(x, y)

)para cada x, y ∈ X con x ≤ y,

donde ψ es una función con distancia alterada y β ∈ S.Asumamos también que T es continua o X satisface la siguiente condición


Si existe x0 ∈ X con x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un punto fijo.

En el art́ıculo damos un ejemplo para ver que las hipótesis del Teorema 19

no garantizan la unicidad del punto fijo.

El siguiente resultado aporta una condición suficiente para la unicidad del

punto fijo.

Teorema 20. Añadiendo al condición:

Para cada x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x y y ,

a las hipótesis del Teorema 19, obtenemos la unicidad del punto fijo.

Para ilustrar la aplicabilidad de los resultados obtenidos, damos un teore-

ma que garantiza la existencia de solución del problema periódico de primer

orden {u′(t) = f

(t, u(t)

), t ∈ [0, T ] ,

u(0) = u(T ) .(1.6)


Necesitamos introducir la clase A de funciones φ : [0,∞)→ [0,∞) que satis-facen

(a) φ es creciente.

(b) φ(x) < x, si x > 0.

(c) β(x) = φ(x)x∈ S,

El resultado seŕıa:

Teorema 21. Supongamos que f : I×R −→ R es continua y existe λ, α > 0que satisfacen

α ≤(

2λ(eλT − 1)T (eλT + 1)

) 12

,

tal que para x, y ∈ R con x ≤ y

0 ≤ f(t, y) + λy −[f(t, x) + λx

]≤ α

√(y − x)φ(y − x) ,

donde φ ∈ A. Entonces, la existencia de una subsolución de (1.6) garantizaŕıala existencia de una única solución de (1.6).

Además, en el art́ıculo se demuestra que si φ ∈ A entonces la funciónϕ(x) =

√xφ(x) satisface que ϕ ∈ A

Esta idea es fundamental a la hora de presentar un ejemplo del Problema (1.6)

que puede ser tratado con los resultados del art́ıculo pero no puede estudiarse

con los teoremas del art́ıculo [9].


1.1.4. Fixed point theorems for mappings satisfying a

condition of integral type in partially ordered

sets

El primer teorema del punto fijo para aplicaciones que satisfacen una

condición contractiva de tipo integral se debe a A. Branciari [A. Branciari,

A fixed point theorem for mappings satisfying a general contractive condition

of integral type, Int. Journal of Math. and Math. Sci. (2002) 531–536].

Su principal contribución en este art́ıculo es el siguiente teorema.

Teorema 22. Sea (X, d) un espacio métrico completo, λ ∈ (0, 1) y T : X →X una aplicación tal que, para cada x, y ∈ X,

∫ d(T (x),T (y))

0

ϕ(t) dt ≤ λ∫ d(x,y)

0

ϕ(t) dt ,

donde ϕ : [0,∞) → [0,∞) es una función medible de Lebesgue con integralfinita sobre cada conjunto compacto de [0,∞), que satisface

∫ ε

0

ϕ(t) dt > 0

para ε > 0. Entonces T tiene un punto fijo.

En este art́ıculo trabajamos en el contexto de espacios métricos parcial-

mente ordenados y obtenemos una generalización del Teorema 22.

Antes de presentar los resultados obtenidos, introducimos la siguiente nota-

ción.

Sea T : X → X una aplicación. Para x, y ∈ X, denotamos por m(x, y) a

m(x, y) = max{d(x, y), d(x, T (x)), d(y, T (y)), 12

[d(x, T (y)) + d(y, T (x))]}.

Nuestro primer resultado es el teorema que viene a continuación.

Teorema 23. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y supongamosque existe una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio métrico com-

pleto. Sea T : X → X una aplicación creciente para la que existe k ∈ [0, 1)


verificando

∫ d(T (x),T (y))

0

ϕ(t) dt ≤ k∫ m(x,y)

0

ϕ(t) dt para x, y ∈ X con x ≥ y,

donde ϕ es una función medible Lebesgue con integral finita sobre cada sub-

conjunto compacto de [0,∞), satisfaciendo∫ ε

0

ϕ(t) dt > 0 para ε > 0. Asu-

mamos que T es continua o X satisface la condición

si (xn) es una sucesión creciente en X tal que xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N.

Si existe x0 ∈ X con x0 ≤ T (x0) entonces T tiene un punto fijo.

En este caso, no hemos sido capaces de demostrar la unicidad del punto

fijo utilizando la hipótesis

Para cada x, y ∈ X existe z ∈ X comparable con x y y .

Nuestro Teorema 23 puede ser considerado como una versión del siguiente

resultado, aparecido en [B. E. Rhoades, Two fixed point theorems for mapping

satisfying a general contractive condition of integral type, Int. J. Math. Sci.,

63, (2003), 4007–4013].

Teorema 24. Sea (X, d) un espacio métrico completo, k ∈ [0, 1) y T : X →X una aplicación tal que, para cada x, y ∈ X,

∫ d(T (x),T (y))

0

ϕ(t) dt ≤ k∫ m(x,y)

0

ϕ(t) dt ,

donde ϕ : R+ → R+ es una función medible Lebesgue con integral finita encada subconjunto compacto de R+, satisfaciendo

∫ ε

0

ϕ(t) dt > 0 para ε > 0.

Entonces T tiene un punto fijo.

En el art́ıculo nos preguntamos si en la condición contractiva del Teore-


ma 23 podemos reemplazar m(x, y) por M(x, y), siendo

M(x, y) = max{d(x, y), d

(x, T (x)

), d(y, T (y)

), d(x, T (y)

), d(y, T (x)

)},

Esta opción fue estudiada previamente por Ćirić in [L. B. Ćirić, A generali-

zation of Banach’s contraction principle, Proc. Amer Math. Soc. 45 (1974)

267–273].

Presentamos un ejemplo aparecido en [B. E. Rhoades, Two fixed point theo-

rems for mapping satisfying a general contractive condition of integral type,

Int. J. Math. Sci., 63, (2003), 4007–4013], que pone de manifiesto que no es

posible reemplazar m(x, y) por M(x, y).

Podŕıamos hacerlo si añadimos una condición. Con mayor precisión, proba-

mos el siguiente resultado.

Teorema 25. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y supongamosque existe una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio métrico com-

pleto. Sea T : X → X una aplicación creciente para la que existe k ∈ [0, 1)satisfaciendo

∫ d(T (x),T (y)

)

0

ϕ(t) dt ≤ k∫ M(x,y)

0

ϕ(t) dt, para x ≥ y, (1.7)

donde ϕ : R+ → R+ es una función medible Lebesgue con integral finita so-bre cada subconjunto compacto de R+, tal que

∫ ε

0

ϕ(t) dt > 0 para ε > 0.

Asumamos que T es continua o X satisface la condición

si (xn) es una sucesión creciente en X con xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N.

Si existe x0 ∈ X con x0 ≤ T (x0) y la órbita de x0 es acotada, entonces Ttiene un punto fijo.

Notar que añadimos la condición extra de que la órbita x0 de es acotada


1.1.5. A fixed point theorem for mappings satisfying

a contractive condition of rational type on a

partially ordered metric space

En [D. S. Jaggi, Some unique fixed point theorems, Indian J. Pure Appl.

Math., 8, (1977), 223–230], Jaggi probó el teorema del punto fijo que aparece

a continuación.

Teorema 26. Sea T una aplicación autocontenida continua en un espacio

métrico completo (X, d). Supongamos que T satisface la condición contracti-

va:

d(Tx, Ty) ≤ α d(x, Tx) · d(y, Ty)d(x, y)

+ β d(x, y) ,

para todo x, y ∈ X con x 6= y, donde α, β ∈ [0, 1) con α + β < 1.Entonces T tiene un único punto fijo en X.

El objetivo de nuestro art́ıculo es presentar una versión del Teorema 26

en el contexto de los espacios métricos parcialmente ordenados.

Nuestro principal resultado es el siguiente teorema.


Sea T : X → X una aplicación creciente que satisface

d(Tx, Ty) ≤ α d(x, Tx) · d(y, Ty)d(x, y)

+ β d(x, y) ,

para cada x, y ∈ X con x ≥ y x 6= y, donde α, β ∈ [0, 1) satisfaciendo queα + β < 1. Asumamos que T es continua o X satisface

si (xn) es una sucesión creciente en X tal que xn → xentonces x = sup{xn}.

(1.8)

Si existe x0 ∈ X con x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un punto fijo.

Queremos remarcar el uso de la condición (1.8) en este art́ıculo, ya que


es más fuerte que la utilizada en los art́ıculos anteriores:


Para poder obtener la unicidad del punto fijo, usamos la misma condición

que en los art́ıculos previos y demostramos este resultado.

Teorema 28. Añadiendo la condición

para x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x y y ,


Finalmente, presentamos un ejemplo en donde se puede aplicar el Teore-

ma 27 mientras que no puede ser abordado por el Teorema 26.


1.1.6. Fixed point theorems for weakly C-contractive

mappings in ordered metric spaces

Choudhry en [B. S. Choudhury, Unique fixed point theorem for weak C-

contractive mappings, Katmandu University Journal of Science, Engineering

and Technology, vol. 5, (1), (2009) 6–13], introdujo esta definición.

Definition 1. Una aplicación T : X → X, donde(X, d

)es un espacio métri-

co, se dice que es débilmente C-contractiva (o débil C-contracción) si para

todo x, y ∈ X,

d(Tx, Ty

)≤ 1

2

(d(x, Ty) + d(y, Tx)

)− ϕ

(d(x, Ty), d(y, Tx)

),

donde ϕ : [0,∞)2 → [0,∞) es una función continua verificando que ϕ(x, y) =0 si y sólo si x = y = 0.

El autor también demuestra este resultado.

Teorema 29. Supongamos que(X, d

)es un espacio métrico completo y

T : X → X es una aplicación débilmente C-contractiva, entonces T tieneun único punto fijo.

El principal propósito de nuestro art́ıculo es dar una versión del Teore-

ma 29 en el contexto de los espacios métricos parcialmente ordenado.

El primer resultado que obtuvimos fue:

Teorema 30. Sea(X,≤

)un conjunto parcialmente ordenado y supongamos

que existe una métrica d en X tal que(X, d

)es un espacio métrico completo.


d(Tx, Ty

)≤ 1

2

(d(x, Ty

)+ d(y, Tx

))− ϕ

(d(x, Ty

), d(y, Tx

)),

para cada x, y ∈ X con x ≥ y, donde ϕ : [0,∞)2 → [0,∞) es una funcióncontinua cumpliendo que ϕ(x, y) = 0 si y sólo si x = y = 0.


Asumamos además que T es continua o x satisface la condición


Si existe x0 ∈ X tal que x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un punto fijo.

Damos un ejemplo para ilustrar que las hipótesis del Teorema 30 no ga-

rantizan la unicidad del punto fijo.

Nuestro siguiente resultado fue dar una condición suficiente que nos garan-

tizase la unicidad del punto fijo.

Teorema 31. Añadiendo la condición

para cada x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x y y ,


Además, en el art́ıculo se analiza qué ocurre si el operador T es decre-

ciente.


)un conjunto parcialmente ordenado tal que para

cada x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x y y. Supongamos queexiste una métrica d en X tal que

(X, d

)es un espacio métrico completo y

sea T : X → X una aplicación decreciente satisfaciendo

d(Tx, Ty

)≤ 1

2

(d(x, Ty

)+ d(y, Tx

))− ϕ

(d(x, Ty

), d(y, Tx

)),

para cada x, y ∈ X con x ≥ y, donde ϕ : [0,∞)2 → [0,∞) es una funcióncontinua tal que ϕ(x, y) = 0 si y sólo si x = y = 0.

Entonces

(i) Si existe x0 ∈ X comparable con Tx0 entonces inf{d(x, Tx) : x ∈ X} =0.

(ii) Si, además, X es compacto y T es continua, entonces T tiene un único

punto fijo.


Para finalizar, damos un ejemplo que puede ser estudiado con el Teore-

ma 30 y no puede ser tratado con el Teorema 29.


1.1.7. Fixed point theorems for mixed monotone

operators and application to integral equations

Los operadores monótonos mixtos fueron introducidos por Guo y Laksh-

mikantham en [63]. Su definición es la siguiente.

Definition 2. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y F : X×X →X una aplicación. Se dice que F tiene la propiedad monótona mixta si F (x, y)

es creciente en x y es decreciente en y, esto es, para cada x, y ∈ X,

x1, x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1, y) ≤ F (x2, y) ,y1, y2 ∈ X, y1 ≤ y2 ⇒ F (x, y1) ≥ F (x, y2) .

Definition 3. Sea F : X ×X → X una aplicación. Un par (x, y) ∈ X ×Xse dice que es un punto fijo acoplado del operador F si

F (x, y) = x y F (y, x) = y .

En [18] Bhaskar y Lakshmikantham probaron el siguiente teorema del

punto fijo.



que existe una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio métrico completo.

Sea F : X ×X → X una aplicación que tiene la propiedad monótona mixtay supongamos que existe k ∈ [0, 1) tal que

d(F (x, y), F (u, v)

)≤ k

2[d(x, u) + d(y, v)], para cada x ≥ u, y ≤ v.

Si existe x0, y0 ∈ X tal que

x0 ≤ F (x0, y0) y y0 ≥ F (y0, x0) ,

y supongamos también que F es continua o X satisface:

si (xn) es una sucesión creciente en X con xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N ,


y

si (yn) es una sucesión decreciente en X con yn → xentonces y ≤ yn para todo n ∈ N .

Entonces F tiene un punto fijo acoplado.

El propósito de este art́ıculo es generalizar el Teorema 33 usando las

funciones que alteran las distancias, esto es, funciones ϕ : [0,∞) → [0,∞)tales que ϕ es continua y creciente con ϕ(t) = 0 si y sólo si t = 0.

El primer resultado obtenido en el art́ıculo es el siguiente.





Sea F : X ×X → X una aplicación que tiene la propiedad monótona mixta,continua y satisfaciendo

ϕ(d(F (x, y),F (u, v)

))

≤ ϕ(

max(d(x, u), d(y, v)

))− φ(

max(d(x, u), d(y, v)

)),

para cada x, y, u, v ∈ X con x ≥ u e y ≤ v, donde ϕ y φ son funciones condistancias alteradas.

Si existe x0, y0 ∈ X con x0 ≤ F (x0, y0) e y0 ≥ F (y0, x0) entonces F tiene unpunto fijo acoplado.

En el próximo resultado, reemplazamos la continuidad de F por esta

condición:

si (xn) es una sucesión creciente en X con xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N ,y

si (yn) es una sucesión decreciente en X con yn → xentonces y ≤ yn para todo n ∈ N ,

(1.9)


y obtenemos el siguiente teorema.

Teorema 35. Si en el Teorema 34 reemplazamos la continuidad de F por la

condición mencionada anteriormente, obtenemos la misma conclusión.

Seguidamente, en el art́ıculo, presentamos un ejemplo que demuestra que

las hipótesis dadas en los Teoremas 34 y 35 no garantizan la unicidad del

punto fijo acoplado.

El siguiente resultado nos da una condición suficiente para obtener la unici-

dad del punto fijo acoplado.

Teorema 36. Asumamos que

para (x, y), (u, v) ∈ X ×X existe (z, t) ∈ X ×Xque es comparable con (x, y) y (u, v) ,

y consideramos en X ×X el orden parcial definido por

(x, y) ≤ (u, v) si y sólo si x ≤ u y y ≥ v .

Bajo las hipótesis del Teorema 34 (resp. Teorema 35) obtenemos la unicidad

del punto fijo acoplado.

Después, presentamos algunas consecuencias de los resultados obtenidos.

En particular, el principal resultado de [18] puede ser deducido de nuestros

Teoremas 34 y 35. Además, damos un teorema del punto fijo acoplado para

aplicaciones que tienen la propiedad monótona mixta con una condición de

tipo integral, que presentamos a continuación.





Sea F : X × X → X una aplicación con la propiedad monótona mixta ysupongamos que existe k ∈ [0, 1) tal que

∫ d(F (x,y),F (u,v)

)

0

ρ(t) dt ≤ K∫ max

(d(x,u),d(y,v)

)

0

ρ(t) dt ,


para todo x, y, u, v ∈ X con x ≥ u y y ≤ v, donde ρ : R+ → R+ es unafunción medible Lebesgue con integral finita sobre cada compacto de R+ y talque

∫ ε0ρ(t) dt > 0 para ε > 0.

Supongamos además, que F es continua o X satisface la condición (1.9).

Si existe x0, y0 ∈ X con x0 ≤ F (x0, y0) e y0 ≥ F (y0, x0) entonces F tiene unpunto fijo acoplado.

Para concluir el art́ıculo, damos una aplicación de nuestros resultados a

la teoŕıa de existencia de soluciones en ecuaciones integrales no lineales.

Con mayor precisión, consideramos la ecuación integral

x(t) =

∫ 1

0

(k1(t, s) + k2(t, s)

)(f(s, x(s)

)+ g(s, x(s)

))ds+ a(t),

con t ∈ [0, 1] ,(1.10)

y suponemos que se verificas las hipótesis:

(i) ki : [0, 1]×[0, 1]→ R (i = 1, 2) son continuas con k1(t, s) ≥ 0 y k2(t, s) ≤0.

(ii) a ∈ C[0, 1].

(iii) f, g : [0, 1]× R→ R son funciones continuas.

(iv) Existen constantes λ, µ > 0 tales que para cada x, y ∈ R con x ≥ y

0 ≤ f(t, x)− f(t, y) ≤ λ√ln[(y − x)2 + 1]

y

−µ√ln[(y − x)2 + 1] ≤ g(t, x)− g(t, y) ≤ 0 .


(v) Existe α, β ∈ C[0, 1] tal que

α(t) ≤∫ 1

0

k1(t, s)(f(s, α(s)) + g(s, β(s)))ds

+

∫ 1

0

k2(t, s)(f(s, β(s)) + g(s, α(s)))ds+ a(t)

≤∫ 1

0

k1(t, s)(f(s, β(s)) + g(s, α(s)))ds

+

∫ 1

0

k2(t, s)(f(s, α(s)) + g(s, β(s)))ds+ a(t) ≤ β(t).

(vi) 2 ·max(λ, µ)‖k1 − k2‖∞ ≤ 1, donde

‖k1 − k2‖∞ = sup{

(k1(t, s)− k2(t, s)) : t, s ∈ [0, 1]}.

Entonces, la ecuación integral (1.10) tiene una única solución en C[0, 1].


1.1.8. A fixed point theorem for Meir-Keeler

contractions in ordered metric spaces

En el art́ıculo [A. Meir, E. Keeler, A theorem on contraction mappings, J.

Math. Anal. Appl., 28, (1969), 326–329], los autores presentaron el teorema

del punto fijo que mostramos a continuación.

Teorema 38. Sea(X, d

)un espacio métrico completo y T : X → X un

operador tal que para cada � > 0 existe δ(�) > 0 que satisface

� ≤ d(x, y) < �+ δ(�)⇒ d(Tx, Ty) < � , para cada x, y ∈ X.


El propósito de nuestro art́ıculo es dar una versión del Teorema 38 en el

contexto de los espacios métricos parcialmente ordenados.

El primer resultado que obtuvimos puede ser resumido en este teorema.





Sea T : X → X una aplicación creciente tal que para cada � > 0 existeδ(�) > 0 satifaciendo

� ≤ d(x, y) < �+ δ(�) y si x < y =⇒ d(Tx, Ty) < � .

Asumamos que T es continua o X satisface la condición:

si (xn) es una sucesión creciente en X tal que xn → xentonces existe una subsucesión

(xn(k)

)de (xn) tal que

xn(k) ≤ x para todo k ∈ N .

Si existe x0 ∈ X con x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un punto fijo

Luego, presentamos un ejemplo para poner de manifiesto que las hipótesis

dadas en el Teorema 39 no garantizan la unicidad del punto fijo.

El siguiente resultado es una condición suficiente para obtener la unicidad.


Teorema 40. Supongamos que para cada x, y ∈ X existe z ∈ X que escomparable con x e y. Bajo las hipótesis del Teorema 39 obtendŕıamos la

unicidad del punto fijo.

También se analiza en el art́ıculo la posibilidad de que T sea decreciente.


)un conjunto parcialmente ordenado tal que para

cada x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x e y. Supongamos queexiste una métrica d en X tal que

(X, d

)es un espacio métrico completo. Sea

T : X → X una aplicación decreciente tal que para cada � > 0 existe δ(�) > 0que cumple

� ≤ d(x, y) < �+ δ(�) y si x < y =⇒ d(Tx, Ty) < � .

(a) Si existe x0 ∈ X y x0 es comparable con Tx0 entonces inf{d(x, Tx) : x ∈X} = 0.

(b) Si además X es compacto y T es continua entonces T tiene un único

punto fijo.

Finalmente, presentamos un ejemplo que puede ser tratado con nuestros

resultados pero no puede ser estudiado utilizando el Teorema 38.


1.2. Teoŕıa de existencia y unicidad para las

soluciones de un problema con valores en

la frontera

Las principales herramientas utilizadas en la Teoŕıa de existencia y uni-

cidad para las soluciones de un problema con valores en la frontera son, por

lo general, la técnica de iteraciones monótonas, las sub y super soluciones,

El teorema del punto fijo de Krasnoselskii, teoremas del punto fijo en conos,

el grado de Leray-Schauder, teoŕıa de los ı́ndices y de la bifurcación. En casi

todos los casos, estas herramientas no nos garantizan la unicidad de la solu-

ción.

Nuestra principal contribución en este campo es la obtención de unicidad,

mediante la utilización de los teoremas del punto fijo en espacios parcialmen-

te ordenados.

En esta sección, según el tipo de problema tratado, distinguiremos dos apar-

tados.

• Problemas clásicos con valores en la fronteras.

• Problemas fraccionarios con valores en la fronteras.

En relación con los problemas clásicos presentaremos los art́ıculos:

i) J. Harjani, K. Sadarangani, Existence and uniqueness of positive solu-

tions for a nonlinear fourth-order boundary value problem, Positivity

14, (2010), 849–858.

j) J. Harjani, B. López y K. Sadarangani, On positive solutions of a non-

linear fourth order boundary value problem via a fixed point theorem in

ordered sets, Dynamic Systems and Applications 19, (2010), 625–634.

k) J. Caballero, J. Harjani, K. Sadarangani, Uniqueness of positive solu-

tions for a class of fourth-order boundary value problems, Abstract and

Applied Analysis, vol. 2011, Article ID 543035, 13 pages.

En conexión con los problemas de tipo fraccionario expondremos los trabajos:

42 Teoŕıa de existencia y unicidad para las soluciones de un bvp

l) J. Caballero, J. Harjani, K. Sadrangani, Existence and uniqueness of

positive and nondecreasing solutions for a class of singular fractional

boundary value problems, Boundary Value Problems vol. (2009), Article

ID 421310, 10 pages.

m) J. Caballero, J. Harjani, K. Sadarangani, Positive solutions for a class

of singular fractional boundary value problems, Computers and Mathe-

matics with Applications, 62, (2011), 1325–1332.

n) J. Caballero, J. Harjani, k. Sadarangani, Existence and uniqueness of

positive solution for a boundary value problem of fractional order, Abs-

tract and Applied Analysis, vol. 2011, Article ID165641, 12 pages.

o) J. Caballero, J. Harjani, K. Sadarangani, On existence and uniqueness

of positive solutions to a class of fractional boundary value problems,

Boundary Value Problems, vol. 2011, doi: 10.1186/1687-2770-2011-25.

p) J. Caballero, J. Harjani, K. Sadarangani, Positive and nondecreasing

solutions to a singular boundary value problem for nonlinear fractional

differential equations, Communications in Applied Analysis 15, (2011),

265–272.

En estos art́ıculos estudiamos algunos problemas con valores en la frontera

usando teoremas del punto fijo en espacios métricos ordenados, y comparamos

los resultados obtenidos con otros que aparecen en la literatura.


1.2.1. Existence and uniqueness of positive solutions

for a nonlinear fourth-order boundary value

problem

La ecuación diferencial de cuarto orden

u(iv)(t) = λf(t, u, u′, u′′, u′′′) , t ∈ (0, 1) ,

Bajo las condiciones en la frontera

u(0) = u(1) = 0 = u′′(0) = u′′(1) ,

modelizan el movimiento estacionario de la deflexión de una viga elástica

sujeta por ambos extremos.

El propósito de este art́ıculo es estudiar la existencia y unicidad de soluciones

para el siguiente problema:

{u(iv)(t) = f(t, u), t ∈ (0, 1)u(0) = u(1) = 0 = u′′(0) = u′′(1) .

(1.11)

Para ello, haremos uso del teorema del punto fijo en espacios parcialmente

ordenados obtenido en [J. Harjani, K. Sadarangani, Fixed point theorems for

weakly contractive mappings in partially ordered sets, Nonlinear Anal. 71,

(2009), 3403–3410]. Recordemos ese resultado.


Asumamos que X satisfaces la siguiente condición


Sea T : X → X una aplicación continua y creciente satisfaciendo


), para x, y ∈ X con x ≥ y ,


donde ψ es una función que altera las distancias.

Si existe x0 ∈ X tal que x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un punto fijo.Además, si para cada x, y ∈ X existe z ∈ X comparable con x e y entoncesel punto fijo es único.

El principal resultado obtenido en el art́ıculo es el teorema que aparece a

continuación.

Teorema 42. Consideremos el Problema (1.11) bajo las siguientes hipótesis:

(i) f : [0, 1]× [0,∞)→ [0,∞) es una función continua.

(ii) f es creciente con respecto a la segunda variable y supongamos que

existe 0 < α ≤ 3845

tal que, para cada x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x

f(t, y)− f(t, x) ≤ α ln(y − x+ 1) .

Entonces Problema (1.11) tiene una única solución no negativa.

En el art́ıculo, se menciona que el Teorema 42 sigue siendo válido si

reemplazamos la inecuación de (ii) por

f(t, y)− f(t, x) ≤ αϕ(y − x)

donde ϕ : [0,∞) → [0,∞) es continua y φ(x) = x − ϕ(x) cumple estascondiciones:

(i) φ : [0,∞)→ [0,∞) es creciente.

(ii) φ(0) = 0.

(iii) φ es positiva en (0,∞).

El próximo teorema nos da una condición suficiente para la existencia y

unicidad de una solución positiva para Problema (1.11) (por solución positiva

entendemos que x(t) > 0 para t ∈ (0, 1)).


Teorema 43. Bajo las hipótesis del Teorema 42 y suponiendo que f(t, 0) 6= 0para t ∈ A ⊂ [0, 1] con µ(A) > 0, donde µ denota la medida de Lebesgue, elProblema (1.11) tiene una única solución positiva.

Queremos destacar que la condición que apareces en el Teorema 43 se

satisface automáticamente cuando f : [0, 1] × [0,∞) → [0,∞) es continua yf(t0, 0) 6= 0 para cierto t0 ∈ [0, 1].En [J. A. Cid, D. Franco, F. Minhós, Positive fixed points and fourth-order

equations, Bull. London Math. Soc. 41 (2009), 72–78] los autores estudiaron

este problema:

{u(iv)(t) = λ h(t)f(u), t ∈ (0, 1), λ > 0,u(0) = u(1) = 0 = u′′(0) = u′′(1) ,

(1.12)

El principal resultado que obtuvieron es el siguiente teorema.

Teorema 44. Supongamos que h : [0, 1]→ [0,∞) es continua y no idéntica-mente nula en

[14, 3

4

], f : R → [0,∞) continua y tal que lim

s→∞f(s)

s= +∞ y

existe B ∈ [0,∞) tal que f es creciente en [0, B). Si

0 < λ < sups∈(0,B)

s

γ∗f(s),

donde γ∗ = maxt∈[0,1]

∫ 1

0

G(t, s)h(s)ds y G(t, s) es la función de Green asociada

a (1.12), dada por

G(t, s) =

1

6s(1− t)(2t− s2 − t2) , 0 ≤ s ≤ t,

1

6t(1− s)(2s− t2 − s2) , 0 ≤ t ≤ s.

Entonces el Problema (1.12) tiene al menos una solución positiva.

En el art́ıculo, comparamos nuestros resultados con los obtenidos en [38].


Consideramos el problema

{u(iv)(t) = λ h(t) ln(u+ 2), t ∈ (0, 1), λ > 0u(0) = u(1) = 0 = u′′(0) = u′′(1) ,

(1.13)

donde h : [0, 1]→ [0,∞) es continua y no idénticamente nula en[

14, 3

4

].

Comprobamos que el Problema (1.13) cumple las condiciones del Teorema 44

y consecuentemente, obtenemos la existencia de una solución positiva para

este problema para cada λ > 0.

Pero el Problema (1.13) también verifica las condiciones del nuestros Teo-

remas 42 y 43 obteniendo la existencia y unicidad de una solución positiva

para el mismo cuando λ ≤ 3845‖h‖ .

Nuestra principal contribución es este ejemplo es la unicidad de la solución

cuando λ ≤ 3845‖h‖ .


1.2.2. On positive solutions of a nonlinear fourth

order boundary value problem via a fixed point

theorem in ordered sets

En este art́ıculo, estamos interesados en obtener la existencia y unicidad

de una solución positiva para el problema con valores en la frontera:

{u(iv)(t) = f(t, u), t ∈ (0, 1)u(0) = u(1) = 0 = u′′(0) = u′′(1) .

(1.14)

Utilizaremos en nuestro estudio el teorema en espacios métricos parcialmente

ordenados obtenido en [J. Harjani, K. Sadarangani, Generalized contractions

in partially ordered metric spaces and applications to ordinary differential

equations, Nonlinear Anal. 72, (2010), 1188–1197].

Teorema 13. Sea (X,≤) un espacio parcialmente ordenado y supongamosque existe una métrica d en X tal que (X, d) es un espacio métrico completo.

Asumamos que X satisface la condición

si (xn) es una sucesión creciente en X tal que xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N .


ψ(d(Tx, Ty)

)≤ ψ

(d(x, y)

)− φ(d(x, y)

)para cada x, y ∈ X con x ≥ y ,

donde ψ y φ son funciones que alteran las distancias. Si existe x0 ∈ X conx0 ≤ Tx0, entonces T tiene un punto fijo.Además, si para cada x, y ∈ X existe z ∈ X que sea comparable con x e y,entonces el punto fijo es único.

El principal resultado del art́ıculo puede ser resumido en este teorema.

Teorema 45. Consideremos el Problema (1.14) bajo estas hipótesis:



(ii) Existe 0 < α ≤√

8064017

tal que, para cada x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x

0 ≤ f(t, y)− f(t, x) ≤ α√

ln[(y − x)2 + 1] .

Entonces nuestro Problema (1.14) tiene una única solución no negativa.

Además, si f(t0, 0) 6= 0 para cierto t0 ∈ [0, 1] entonces el Problema (1.14)tiene una única solución positiva.

Para finalizar, comparamos los resultados obtenidos con otros precedentes

que aparecen en [38].

Nuestra principal contribución es que obtenemos la unicidad de la solución.


1.2.3. Uniqueness of positive solutions for a class of

fourth-order boundary value problems

El propósito de este art́ıculo es estudiar la existencia y unicidad de una

solución positiva y simétrica para este problema con valores en la frontera:

{y(iv)(t) = f

(t, y(t)

), t ∈ [0, 1],

y(0) = y(1) = y′(0) = y′(1) = 0 ,(1.15)

Para ello, utilizamos el teorema del punto fijo en espacios métricos ordenados

que citamos a continuación, obtenido por A. Amini-Harandi y H. Emami

[A fixed point theorem for contraction type maps in partially ordered metric

spaces and application to ordinary differential equations, Nonlinear Anal., 72,

(2010), 2238–2242].





Sea T : X → X una aplicación creciente tal que existe un elemento x0 ∈ Xcon x0 ≤ Tx0 y T satisface


)· d(x, y) , para cada x, y ∈ X con x ≥ y ,

donde β : [0,∞)→ [0, 1] tal que β(tn)→ 1 implica tn → 0.Asumamos también que T es continua o X es tal que

if (xn) es una sucesión creciente en X tal que xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N.

Supongamos que

para cada x, y ∈ X existe z ∈ X que es comparable con x e y .


En el art́ıculo se usa la clase de funciones A, definidas por las funcionesφ : [0,∞)→ [0,∞) que satisfaces estas condiciones:


(i) φ es creciente.

(ii) Para cada x > 0, φ(x) < x.

(iii) β(x) = φ(x)x

es tal que β(tn)→ 1⇒ tn → 0.

El resultado de mayor importancia obtenido es el siguiente teorema.

Teorema 47. Consideremos el Problema (1.15) bajo las hipótesis:


(ii) Existe 0 < α ≤ 384 tal que, para x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x

0 ≤ f(t, y)− f(t, x) ≤ αφ(y − x), donde φ ∈ A.

(iii) f(t0, 0) 6= 0, para cierto t0 ∈ [0, 1].

(iv) f(t, y) = f(1− t, y), para (t, y) ∈ [0, 1]× [0,∞).

Entonces el Problema (1.15) tiene una única solución positiva y simétrica

(una solución y(t) es simétrica si y(t) = y(1− t) para cada t ∈ [0, 1]).

Este problema fue tratado por M. Pei y S. K. Chang, [M. Pei, S. K.

Chang, Monotone iterative technique and symmetric positive solutions for a

fourth-order boundary value problem, Math. Comput. Modelling, 51, (2010),

1260–1267]. El principal resultado que obtuvieron fue:

Teorema 48. Supongamos que:

(a) f : [0, 1]× [0,∞)→ [0,∞) es una función continua.

(b) f(t, y) es creciente en y, para cada t ∈ [0, 1].

(c) f(t, y) = f(1− t, y), para cada (t, y) ∈ [0, 1]× [0,∞).

Además, supongamos que existen números positivos a > b tales que

max0≤t≤1

f(t, a) ≤ aA min14≤t≤ 3

4

f(t,b

16) ≥ bB ,


donde

A =

(max0≤t≤1

∫ 1

0

G(t, s)ds

)−1y B =

(max0≤t≤1

∫ 34

14

G(t, s)ds

)−1,

siendo G(t, s) la función de Green asociada al Problema (1.15), que viene

dada por

G(t, s) =1

6

{t2(1− s)2[(s− t) + 2(1− t)s] , 0 ≤ t ≤ s,s2(1− t)2[(t− s) + 2(1− s)t] , 0 ≤ s ≤ t.

Entonces el Problema (1.15) tiene al menos una solución simétrica positiva.

Para poder comparar nuestros resultados con los obtenidos por ellos en

[126] consideramos este problema:

{y(iv)(t) = c+ λ sin(πt) arctan

(y(t)

), t ∈ (0, 1), c, λ > 0

y(0) = y(1) = y′(0) = y′(1) = 0(1.16)

y probamos que para 0 < λ ≤ 384 el Problema (1.16) puede estudiarsetanto bajo nuestra perspectiva como por los resultados obtenidos en [126].

Sin embargo, nuestra principal contribución es la unicidad de la solución.

Seguidamente, consideramos el problema

{y(iv)(t) = c(t) + λ sin(πt) arctan

(y(t)

), t ∈ (0, 1), c, λ > 0

y(0) = y(1) = y′(0) = y′(1) = 0(1.17)

donde c(t) es la función dada por

c(t) =

1− 4t , 0 ≤ t ≤ 14

0 ,1

4≤ t ≤ 3

4

4t− 3 , 34≤ t ≤ 1 ,

y demostramos, usando nuestro resultado, que para 0 < λ ≤ 384, el Proble-ma (1.17) tiene una única solución simétrica y positiva.


Por otro lado, vemos que el Problema (1.17) no satisface las hipótesis del

Teorema 48 y, entonces, el Problema (1.17) no puede ser estudiado por los

resultados obtenidos en [126].


1.3. Fractional boundary value problem

1.3.1. Existence and uniqueness of positive and non-

decreasing solutions for a class of singular

fractional boundary value problems

El art́ıculo trata sobre la existencia y unicidad de una solución positiva y

creciente para el problema fraccionario con valores en la frontera

{Dα0+u(t) + f

(t, u(t)

)= 0 , 0 < t < 1 ,

u(0) = u′(1) = u′′(0) = 0 ,(1.18)

donde 2 < α ≤ 3, Dα0+ es la deriva de Caputo y f : (0, 1] × [0,∞) → [0,∞)con lim

t→0+f(t,−) = ∞, es decir, f es singular en t = 0. En nuestro estudio,

usamos el siguiente teorema del punto fijo en espacios métricos ordenados,

que es el principal resultado obtenido en [69].


Asumamos que X satisface la condición:




), para cada x, y ∈ X con x ≥ y ,

donde ψ es una función que altera la distancia.

Si existe x0 ∈ X con x0 ≤ Tx0 entonces T tiene un punto fijo.Además, si para cada x, y ∈ X existe z ∈ X comparable con x e y, entoncesel punto fijo es único.

El primer resultado obtenido en el art́ıculo es:

54 Fractional boundary value problem

Teorema 49. Consideremos el Problema (1.18), donde 2 < α ≤ 3, bajo lascondiciones:

(i) f : (0, 1]× [0,∞)→ [0,∞) es continua y satisface limt→0+

f(t,−) =∞.

(ii) La función tσf(t, y) es una función continua en [0, 1] × [0,∞), donde0 < σ < 1.

(iii) Existe 0 < λ ≤ Γ(α−σ)Γ(1−σ) tal que, para cada x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x y

t ∈ [0, 1],

0 ≤ tσ(f(t, y)− f(t, x)

)≤ λ · ln(y − x+ 1) .

Entonces el Problema (1.18) tiene una única solución no negativa.

En el art́ıculo, advertimos de que el Teorema 49 continúa siendo válido

si reemplazamos la condición (iii) por

(iii)’ Existe 0 < λ ≤ Γ(α−σ)Γ(1−σ) tal que, para cada x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x y

t ∈ [0, 1],

0 ≤ tσ(f(t, y)− f(t, x)

)≤ λ · ψ(y − x+ 1) ,

donde ψ : [0,∞) → [0,∞) es una función continua tal que ϕ(x) = x − ψ(x)satisface:

(a) ϕ : [0,∞)→ [0,∞) es creciente.

(b) ϕ(0) = 0.

(c) ϕ es positiva en (0,∞).

Luego, probamos que la función de Green G(t, s) asociada al Problema (1.18),

que viene dada por

G(t, s) =

(α− 1) t (1− s)α−2 − (t− s)α−1Γ(α)

, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1,

t(1− s)α−2Γ(α− 1) , 0 ≤ t ≤ s ≤ 1,


es estrictamente creciente en la primera variable en (0, 1).

Nuestra principal contribución es el siguiente teorema.

Teorema 50. Bajo las hipótesis del Teorema 49, el Problema (1.18) tiene

una única solución estrictamente creciente y positiva.

Nuestros resultados pueden ser comparados con los obtenidos por T.

Qiu, Z. Bai, Existence of positive solutions for singular fractional differential

equations, Elect. J. Diff. Eq. vol. (2008), 146, 2008, 1–9, donde los autores

estudian el mismo problema, pero sus resultados no nos garantizan, como lo

hace el nuestro, la unicidad de la solución ni tampoco el carácter monótono

de la misma.


1.3.2. Positive solutions for a class of singular

fractional boundary value problems

En [Z. Bai, H. Lü, Positive solutions for boundary value problem of non-

linear fractional differential equation, Journal of Mathematical Analysis and

Applications, 311, (2005), 495-505] los autores estudiaron la existencia y mul-

tiplicidad de soluciones positivas para este problema de valores en la frontera

fraccionario.

{Dα0+u(t) + f

(t, u(t)

)= 0, 0 < t < 1,

u(0) = u(1) = 0,(1.19)

donde 1 < α ≤ 2 y f : (0, 1]× [0,∞)→ [0,∞) es continua. Dicho estudio sebasaba en teoremas del punto fijo sobre conos.

Motivados por el art́ıculo de Z. Bai y H. Lü, en nuestro trabajo estudiamos

el Problema (1.19) para el caso que f tenga una singularidad en t = 0.

Para ello, utilizamos el siguiente teorema del punto fijo en espacios métricos

ordenados, publicado en [A. Amini-Harandi, H. Emami, A fixed point theorem

for contraction type maps in partially ordered metric spaces and application

to ordinary differential equations, Nonlinear Anal., 72, (2010), 2238–2242.].


Sea T : X → X una aplicación creciente tal que existe x0 ∈ X con x0 ≤ Tx0y satisfaciendo


)· d(x, y) , para cada x, y ∈ X con x ≥ y ,

donde β : [0,∞)→ [0,∞) tal que β(tn)→ 1 implica tn → 0.Asumamos que T es continua o X verifica la condición:



Además, si para cada x, y ∈ X existe z ∈ X comparable con x e y, entoncesT tiene un único punto fijo.

Antes de presentar el resultado principal del art́ıculo, daremos algunos

lemas.

La función de Green asociada al Problema (1.19) viene dada por

G(t, s) =

tα−1(1− s)α−1 − (t− s)α−1Γ(α)

, 0 ≤ s ≤ t ≤ 1,

tα−1(1− s)α−1Γ(α)

, 0 ≤ t ≤ s ≤ 1,

siendo Γ la función gamma.

Lemma 1. Supongamos que 0 < σ < 1, 1 < α ≤ 2 y F : (0, 1] → R es unafunción continua tal que lim

t→0+F (t) =∞.

Si tσF (t) es una función continua en [0, 1] entonces la función

H(t) =

∫ 1

0

G(t, s)F (s)ds ,

es continua en [0, 1].

Lemma 2. Supongamos que 0 < σ < 1. Entonces,

max0≤t≤1

∫ 1

0

G(t, s)s−σds =Aα−1 − Aα−σ

Γ(α)β(1− σ, α),

donde A =(α−1α−σ) 1

1−σ y β es la función Beta de Euler.

Por comodidad, denotaremos por K = Aα−1−Aα−σ

Γ(α)β(1− σ, α).

En el resultado principal interviene la clase de funciones A dadas por φ ∈ Asi φ : [0,∞)→ [0,∞) y satisfacen:


(ii) φ(x) < x, para cada x > 0.


es tal que β(tn)→ 1⇒ tn → 0.


El resultado de mayor importancia en este art́ıculo es el siguiente teorema.

Teorema 52. Supongamos que 0 < σ < 1 y 1 < α ≤ 2. Bajo las siguienteshipótesis:

(i) f : (0, 1]× [0,∞)→ [0,∞) es una función continua tal que

limt→0+

f(t,−) =∞ .

(ii) tσf(t, y) es una función continua en [0, 1]× [0,∞).

(iii) Existe 0 < λ ≤ 1K

tal que, para x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x y t ∈ [0, 1],

0 ≤ tσ(f(t, y)− f(t, x)) ≤ λφ(y − x),

donde φ ∈ A.

El Problema (1.19) tiene una única solución positiva.

Finalmente, presentamos un ejemplo para ilustrar los resultados obteni-

dos.


1.3.3. Existence and uniqueness of positive solution for

a boundary value problem of fractional order

En el año 2009, S. Liang y J. Zhang presentaron un art́ıculo [Positi-

ve solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential

equation, Nonlinear Analysis, 71, (2009), 5545–5550] donde se estudiaba la

existencia de soluciones para el problema fraccionario con valores en la fron-

tera:

{Dα0+u(t) + f

(t, u(t)

)= 0, 0 < t < 1, 3 < α ≤ 4,

u(0) = u′(0) = u′′(0) = u′′(1) = 0.(1.20)

La principal aportación del art́ıculo fue este teorema.

Teorema 53. El Problema (1.20) tiene una solución positiva si las siguientes

condiciones son satisfechas:

(a) f(t, u) ∈ C([0, 1]× [0,∞),R+

).

(b) f(t, u) es creciente en u.

(c) f(t, ρ(t)

)6= 0 para t ∈ (0, 1), donde

ρ(t) =

∫ 1

0

G(t, s)ds =1

Γ(α)

[tα−1

α− 2 −1

αtα].

(d) Existe una constante positiva µ < 1 tal que

kµf(t, u) ≤ f(t, k u) , for any k ∈ [0, 1].

A ráız de este art́ıculo, nos planteamos analizar la existencia y unicidad

de ese problema. Nuestro estudio se basa en el teorema del punto fijo sobre

conjuntos parcialmente ordenados presentado en [69].

Teorema 7. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado y supongamosque existe d en X tal que (X, d) es un espacio métrico completo. Asumamos


que X verifica la condición:

si (xn) es creciente en X tal que xn → xentonces xn ≤ x para todo n ∈ N.



), para cada x, y ∈ X con x ≥ y,

donde ψ es una función que altera la distancia. Si existe x0 ∈ X con x0 ≤T (x0) entonces T tiene un punto fijo.

Además, si para cada x, y ∈ X existe z ∈ X comparable con x e y entoncesel punto fijo es único.

Antes de presentar el principal resultado que obtuvimos, necesitamos in-

troducir la clase de funciones A. La clase A está definida por aquellas fun-ciones ϕ : [0,∞) → [0,∞) continuas y crecientes tales que ψ(x) = x − ϕ(x)para x ∈ [0,∞) satisface:

(a) ψ : [0,∞)→ [0,∞).

(b) ψ es continua y creciente.

(c) ψ(0) = 0.

(d) ψ(t) > 0 para t > 0.

Teorema 54. Bajo las hipótesis:

(1) f : [0, 1] × [0,∞) → [0,∞) es continua y creciente con respecto a lasegunda variable.

(2) Existe t0 ∈ [0, 1] tal que f(t0, 0) > 0.

(3) Existe 0 < λ ≤ (α− 2)Γ(α + 1)2

tal que, para cada x, y ∈ [0,∞) cony ≥ x y cada t ∈ [0, 1],

f(t, y)− f(t, x) ≤ λ · ψ(y − x) ,


donde ψ ∈ A.

El Problema (1.20) tiene una única solución positiva.

Con el propósito de poder comparar nuestros resultados con los obtenidos

en [106] presentamos este problema fraccionario con valores en la frontera:

{D

7/2

0+ u(t) + (t2 + 1)

(ρu(t) + c

)= 0, 0 < t < 1 ,

u(0) = u′(0) = u′′(0) = u′′(1) = 0 ,(1.21)

con c > 0 y 0 < ρ < 1.

En el trabajo probamos que el Problema (1.21) puede ser tratado por nuestros

resultados pero no puede ser estudiado por el Teorema 53.


1.3.4. On existence and uniqueness of positive solu-

tions to a class of fractional boundary value pro-

blems

El art́ıculo estudia la existencia y unicidad de una solución positiva para

el problema fraccionario con valores en la frontera:

{Dα0+u(t) + f

(t, u(t)

)= 0, 0 < t < 1 ,

u(0) = u(1) = u′(0) = 0,(1.22)

donde 2 < α ≤ 3, que representa la versión no monótona de{Dα0+u(t) + λf

(u(t)

)= 0, 0 < t < 1 ,

u(0) = u(1) = u′(0) = 0,(1.23)

donde 2 < α ≤ 3 y λ > 0. Este último problema fue analizado recientementeen [Y. Zhao, S. Sun, Z. Han, Q. Li, Positive solutions to boundary value

problems of nonlinear fractional differential equations. Abs Appl Anal. 2011,

(2011), Article ID 390543].

En nuestro trabajo, utilizamos el mismo teorema del punto fijo en espacios

métricos parcialmente ordenados que en el art́ıculo anterior.

Los resultados obtenidos pueden ser resumidos en próximo teorema.

Teorema 55. El Problema (1.22) tiene una única solución no negativa si

las condiciones que aparecen a continuación son satisfechas:

(1) f : [0, 1] × [0,∞) → [0,∞) es continua y creciente con respecto al se-gundo argumento.

(2) Existe 0 < λ ≤ 1A

tal que, para cada x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x y cadat ∈ [0, 1]

f(t, y)− f(t, x) ≤ λϕ(y − x) ,

donde ϕ ∈ A, siendo A la clase de funciones tratada en el art́ıculoanterior y A = 1

Γ(α+1)

[(α−1α

)α−1 −(α−1α

)α].


Además, si f(t0, 0) 6= 0 para cierto t0 ∈ [0, 1] entonces la solución única espositiva.

En [174], usando un teorema del punto fijo en conos, los autores probaron

este resultado.

Teorema 56. Supongamos que existe l ∈ (0, 1) tal que q(l)c2f0 > F∞c1entonces, para cada λ ∈

((q(l)c2f0)

−1 , (F∞c1)−1) el Problema (1.23) tiene al

menos una solución positiva, donde:

F∞ = limu→∞

(sup

f(u)

u

),

q(t) = tα−1(1− t) ,k(s) = s(1− s)α−1 ,

c1 =1

Γ(α)

∫ 1

0

(α− 1)k(s)ds ,

c2 =1

α− 1

∫ 1

0

1

α− 1q(s)k(s)ds.

En el art́ıculo, damos un ejemplo que puede ser tratado por los Teore-

mas 55 y 56, pero nuestra principal contribución es la obtención de unicidad

en la solución si 0 < λ ≤ 17,8682.Para finalizar, presentamos este problema con valores en la frontera, que no

puede ser estudiado por el Teorema 56 y puede ser abordado por nuestros

resultados.

{D

5/2

0+ u(t) + λ(t+ arctanu(t)

)= 0, 0 < t < 1 , λ > 0,

u(0) = u(1) = u′(0) = 0.


1.3.5. Positive and nondecreasing solutions to a singu-

lar boundary value problem for nonlinear frac-

tional differential equations

En este trabajo se analiza la existencia y unicidad de una solución positiva

y creciente para el siguiente problema fraccionario con valores en la frontera

{Dα0+u(t) + f

(t, u(t)

)= 0, 0 < t < 1 ,

u(0) = u′(1) = u′′(0) = 0,(1.24)

con 2 < α ≤ 3, y limt→0+

f(t, ·) =∞, esto es f es singular en t = 0.Necesitamos la clase A de aquellas funciones φ : [0,∞)→ [0,∞) que verificanlas condiciones:


(ii) φ(x) < x, para cada x > 0.


es tal que si b(tn)→ 1 implica tn → 0.

Nuestro principal resultado se puede resumir en el próximo teorema.

Teorema 57. Supongamos que 0 < σ < 1 y 2 < α ≤ 3. Bajo estas hipótesis:

(1) f : (0, 1]× [0,∞)→ [0,∞) es una función continua satisfaciendo

limt→0+

f(t,−) =∞ .

(2) tσf(t, y) es una función continua en [0, 1]× [0,∞).

(3) Existe 0 < λ ≤ Γ(α−σ)Γ(1−σ) and φ ∈ A tal que

0 ≤ tσ (f(t, y)− f(t, x)) ≤ λφ(y − x) ,

para cada x, y ∈ [0,∞) con y ≥ x y cada t ∈ [0, 1],

El Problema (1.24) tiene una única solución no negativa.

Además, esta solución es estrictamente creciente.


Este mismo problema fue abordado por T. Qiu y Z. Bai en Existence

of positive solutions for singular fractional differential equations, Electronic

Journal of Differential Equations, 146, (2008), 1–9, donde aplicaron este teo-

rema:

Teorema 58. Sea 0 < σ < 1, 2 < α ≤ 3, f : (0, 1] × [0,+∞) → [0,+∞) escontinua y lim

t→0+f(t, ·) = +∞, tσf(t, y) es una función continua en [0, 1] ×

[0,+∞). Asumamos que existen dos constantes positivas ρ, µ (ρ > µ) talesque

(H1) tσf(t, ω) ≤ ρ Γ(α−σ)Γ(1−σ) , para (t, ω) ∈ [0, 1]× [0, ρ];

(H2) tσf(t, ω) ≥ µ Γ(α−σ)Γ(1−σ) , para (t, ω) ∈ [0, 1]× [0, µ].

Entonces el Problema (1.24) tiene al menos una solución positiva.

Nuestros resultados generalizan los obtenidos por estos autores, ya que la

unicidad y la monotońıa de la solución no se pueden deducir de sus resultados.

Ilustramos nuestros resultados con un ejemplo que puede ser resuelto por el

Teorema 57 y no puede ser estudiado por los resultados de [25].

Caṕıtulo 2

A short history approach

69

2. A short history approach 71

Recently, many results have appeared in the literature presenting suffi-

cient conditions for a self mapping on a set endowed with a partial order

to

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Fixed Point Theorems in Partially Ordered Spaces and ... · Que la Comisión de Doctores del Departamento en su sesión de fecha 19 de mayo de 2014 tomó el acuerdo de dar el consentimiento