Fisica - Ondas Electromagnéticas Vol. II

8/13/2019 Fisica - Ondas Electromagnticas Vol. II

1/81

FSICAVOLUMEN II

ONDAS ELECTROMAGNTICAS

SOLUCIONARIO

Alonso Finn

Por:

Prof. J.W. Flores S. V.H. Castaeda .


2/81

DEDICATORIA

A mis queridos padres y hermanos.W. Flores S.

A mi madre y hermanas

H. Castaeda M.

AGRADECIMIENTO

A todos los que hicieron posible esta publicacin.


3/81

1. El caro de una onda electroman!tica plana en el "ac#o se

representa$ usando unidades M%SC$ por E&' ($ Ey' )$* cos+,&

1)-

t / &0c2$ E3' ). a 4eterminar la lonitud de onda$ elestado de polari3acin y la direccin de propaacin. b Calcular

el campo man!tico de la onda. c Calcular la intensidad media o

5lu6o de ener#a por unidad de 7rea.

Solucin:

Si el campo E de una onda e.m. est7 dada por8

E&'Ey' ).* cos +,& 1)-t / &0c2

E3' )

a 4eterminar ' 9 y la direccin de la propaacin

Ey' ).* cos +,& 1)-t / &0c2 cos: ' cos

' ).* cos +,& 1)-t / &0c / t2

Ey' ).* cos

-, 1)& ct

c

= = =

1- -

- - 1

ms, , 1) c ; 1)%

c 1) 1) s

' ; mts.

El estado de polari3acin y la direccin de


4/81

b El campo man!tico de la onda

=a =ey de Ampere / Henry 5orma di5erencial>

Et

=

$i 6 ?

&E rot E d 0 d& d 0 dy d 0 d3

E& Ey E3

= = =

$ $

$dE dE dE dE dE dEi 6 ?dy d3 d3 d& d& dy

= + +

$ $

$d d> d>&$>y$>3rotE Ey?

d& dt dt

= = =

$ $dEy d>3rot E ? ?d& dt

= =

Calculando8

- -dE , 1) , 1) d>3).* sen & ct

d& c c dt

= =

- -t

3 )

, 1) , 1)> ).* sen & ct dt

c c

=

- -

-).* , 1) 1) &cos & ct cos , 1) tc c @ c

= =

--

3

1) &

> cos , 1) t@ c

=

Entonces el campo > de una onda e.m. est7 dado por8

>&' )

>y' )

--

3

1) &> cos , 1) t

@ c

=

esla


5/81

El estado de 3

D

3


6/81

=a Ener#a Ma. ,

,> ,

e c

1 1 EE >

,u ,u C= = adem7s

) )

1c

u @=

Entonces

,

,)>

)

) )

c1 cE E1,u ,u c

= =

) )

1 1E E E C E E E

, ,= + = +

E ' E)E,


7/81

a =a lonitud de la onda

En eneral la ecuacin de una onda es8E ' E)cos %& : Jt KKKKKKKKKKKK 1

de Eytenemos que8 Ey' ).* cos +G& 1)It / &0c2

Iy

&E ' ).* cos G 1) t

c

II

y

G 1)E ' ).* cos & G 1) t

c

K ,

Bualando las ecuaciones 1 y , tenemos8

IG 1) ,%

c

= =

-

I I

c ; 1)

, 1) , 1)

= =

;)

mts.

,

=

' 1* mts. =onitud de la onda e.m.

El Estado de


8/81

L satis5ace la ecuacin G que es de una circun5erencia por lo

tanto el campo el!ctrico est7 circularmente polari3ado y la

direccin de propaacin est7 en el e6e &.

b El campo man!tico de la onda de la =ey de Ampere / Henry

>rot E

t

=

$

& y 3

i 6 ?

rot E 0 & 0 y 0 3

E E E

=

$ $

$y y3 & & &E EE E E Ei 6 ?y 3 3 & & y

= + +

$ $

$y3 EE >&$>y$>3rotE 6 ?& & t

= + =

$

$ $y y3 3> EE >6 6 y ? ?

& t & t

= =

$ $

II3E G 1) >y).*cos G 1) t & 0c

& c t

= =

II

y

G 1)d> ).*cos G 1) t & 0 c dt

c

=

Bnterando tenemos8

It

I

y )

G 1) ).*

> cos G 1) t & 0 c dtc

=

II

y I

).* G 1)> sen G 1) t & 0 c

c G 1)

=

Iy

).*> sen G 1) t & 0 c

c =

3y

E> esla

c=


9/81

&).* sen G 1) t & 0 c

& c t

= =

II

3

G 1)> ).* sen G 1) t & 0 c dt

c

=

Bnterando tenemos8

It

I3 )

G 1)> ).* sen G 1) t & 0 c dt

c

=

II

I

G 1) 1

).* cos G 1) t & 0 cc G 1)

=

I).*

cos G 1) t & 0 cc

=

y

3

E> esla

c=

Entonces el campo > de una onda e.m. est7 dada por8

>&' )>y' :E3 0 c

>3' Ey 0 c

Al iual que el campo E el campo > est7 circularmente

polari3ada y la direccin de propaacin est7 en el e6e &.

c =a Bntensidad media o 5lu6o de Ener#a por unidad de 7rea ( )B .

4e la parte c del problema anterior. enemos8

,)B c E=

,) )

1B c E

,=

- 1, ,

,

1 6oulesB ; 1) -.-* 1) ).*

, se m

=


10/81

G

,

JattsB ;.;, 1)

m=

;. Escribir las ecuaciones de los campos E y > que describen las

siuientes ondas electroman!ticas que se propaan seNn el

e6e &8 a Ona onda polari3ada linealmente cuyo plano de "ibracin

5orma un 7nulo de G*P con el plano L. b Ona onda polari3ada

linealmente cuyo plano de "ibracin 5orma un 7nulo de 1,)P con

el plano L$ c Ona onda de polari3acin circular derecha d Ona

onda con polari3acin el#ptica derecha$ con el e6e mayor paralelo al

e6e L y de la lonitud doble de la del e6e menor.

Solucin:

a Ona onda polari3ada linealmente cuyo plano de "ibracin

5orma un 7nulo de G*P con el plano L.

Suponiendo que el e6e es perpendicularmente a la ho6a del

papel entonces tenemos8


11/81

rot Et

$

& y 3

i 6 ?

rot E 0 & 0 y 0 3

E E E

=

$ $

$E3 Ey E& E3 Ey E&i 6 ?y 3 3 & & y

+ + $ $

$ ( )E3 Ey

6 ? >y$>3& & t

+ =

$

E3 >y Ey >3M

& t & t

= =

d>y ' % E)cos ?& : Jt dt

interando tenemos8

t

y ) )> % E cos%& Jtdt=

)1

% E sen%& JtJ

=

)%

E sen%& Jt

J

=

EyE

Ez

z

"

y

#y

#z

z#

"


12/81

y 3

1> E esla

c=

3' :%E)cos %& / Jtdt

Bnterando tenemos8

3 )

1> %E sen%& Jt

J

=

)

%E sen%& Jt

J=

3 31> E eslac

=

&' )

y 3

1> E

c=

3 3

1

> E c=

b Ona onda polari3ada linealmente cuyo plano de "ibracin

5orma un 7nulo de 1,)Q con el plano L.

Suponiendo que el e6e es perpendicular a la ho6a del papel

entonces. enemos8

El plano de "ibracin 5orma un 7nulo de 1,)Q con el plano

L.

Plano devibracin

y

z

Ez $%&!

EE

y

'&!


13/81

4e la 5iura tenemos8

E&' )

Ey' :cos@)P E)sen%& / Jt ' )1 E sen%& Jt,

E3' :cos;)P E)sen%& / Jt ' );

E sen%& Jt,

El "ector del campo el!ctrico

$y 3E E 6 E ?= +

$

$) )1 ;

E E sen?& Jt6 E sen?& Jt?, ,= + $

$)

1 ;E E sen%& Jt6 sen%& Jt?

, ,

= +

$

rotE

t

=

$

& y 3

i 6 ?

rot E 0 & 0 y 0 3

E E E

=

$ $

y

Ey

Ez

z

E

"


14/81

$E3 Ey E& E3 Ey E&i 6 ?y 3 3 & & y

= + + $ $

$( )

E3 Ey6 ? >y$>3& & t

+ =

$

E3 >y Ey >3

& t & t

= =

)

;d>y ? E cos?& Jtdt

,=

Bnterando tenemos8

t) )

;>y ? E cos?& Jtdt,

=

)

; 1>y ? E sen%& Jt

, J

=

)

; %>y E sen%& Jt

, J

=

3

1>y E esla

c=

% E cos%& Jtdt

,=

Bnterando tenemos8

t

3 ) )

1> % E cos%& Jtdt

,=

)1 1

%E sen%& Jt, J

=

)1 %

E sen%& Jt, J

=

3 y

1> E esla

c=


15/81

>&' )

y 3

1> E

c=

3 y

1> E

c=

=a parte c queda como tarea para el alumno.

G. Considerar la onda representada por Ey' E)cos ,t0


16/81

( ), ,)E E cos cos= + + ' 0G

,

,

)

, ,

E E cos cos sen, ,

= +

( ),,

)

1E E cos cos sen

,= +

( ),)1

E E cos 1 sen,

= +

( ))1 1

E E 1 cos, 1 sen,

, ,

= + +

)

,E E , cos, sen,

,= +

)

,E E , 1 senG

,= +

)

,E E , 1 sen- t 0< & 0

,= +

a


17/81

El campo man!tico >8 en mdulo.

E>

c=

E esla

,c=

E esla

,c=

El 7nulo que 5orma el "ector el!ctrico y el e6e L

El "ector el!ctrico es8

$y &E E 6 E ?= +

$

$)

1E E cos, t 0< & 0 6 cos, t 0< & 0 ?

-

= + + $

$)E E cos, t 0< & 0 6 cos, t 0< & 0 ? = +

$


18/81

& ' ) & ' 0G & ' 0, & '


19/81

Ey' A cos J t:&0c6$

E3' A sen J t:&0c $?

=a


20/81

El "ector del campo E ira en la direccin de las au6as del relo6

cuya manitud es A$ tal como se dice tiene una polari3acincircular a la derecha.

El campo man!tico a medida que a"an3a la onda.

4e las ecuaciones de Ampere / Henry$ en la 5orma di5erenciamos8

= =

y y3 3

E >> Ey

& t & t

= =

y 3E >J

A sen Jt & 0 c& c t

= 3J

> A sen Jt & 0 cdtc

Bnterando tenemos8

= t

3 )

J> A sen Jt & 0 cdt

c

= 3

J 1> A cos Jt & 0 cc J

= 3A

> cos Jt & 0 cc

= y3E

> eslac

E J A cos Jt & 0 c

& c t

= yJ

> A cos Jt & 0 cdtc

Bnterando tenemos8

= t

y )

J> A cos Jt & 0 cdt

c


21/81

=

J 1A sen Jt & 0 c

c J

= A

sen Jt & 0 cc

= 3yE

> eslac

Ura5icando el campo man!tico en las coordenadas &$ y$ 3.

enemos8

El "ector de campo > ira en la direccin de las au6as del relo6

cuya manitud es A. tal como se dice tiene una polari3acin

circular a la derecha.

b El estado de


22/81

=os componentes del campo el!ctrico en 5orma "ectorial

EL' A cos J t:&0cj$

$ $zE A cos w(t x /c )k A(cos[w(t x /c ) ])k= = +

=a


23/81

t ' 0,

t ' ;0G E)$ ;0G ' Acos ;0,j$Tcos *0, $k ' )

t ' ;0G

t ' E)$ ' Acos ,j$T cos ;$k ' j$: $k

t '

En conclusin8 el campo E oscila en la diaonal de los planos /L$ D

! L$ :D y la 5ase relati"a es $ lueo la resultante del campo

el!ctrico est7 linealmente polari3ado.

Ura5icando el campo el!ctrico en las coordenadas $ L$ D.

enemos8

)

yE

)

A

(A

y

E

z

Ez Ey

y

E

Ez

Ey

E

"


24/81

El Campo Man!tico a medida que a"an3a la onda.4e las ecuaciones de Ampere / Henry en 5orma di5erencial

tenemos8

yz z BB EEy

yx t x t

= =

zBEy w

A sen w(t x / c)x c t

= =

z

wB A sen w(t x /c)

c =

Bnterando tenemos8

t

z0

wB A sen w(t x / c)dt

c=

z

w 1B A cos w(t x / c)

c w

=

A

cos w(t x / c)c

=

y

z

EB Tesla

c=


25/81

y

w 1B A cos w(t x / c)

c w

=

z

y

E

B cos w(t x / c)c=

zy

EB Tesla

c=

Ura5icando el campo man!tico en las coordenadas $ L$ D$

tenemos8

El campo > oscila en la diaonal de los planos LD e /L:D y la 5ae

relati"a tambi!n es $ lueo la resultante del campo man!tico

est7 linealmente polari3ado.

=as soluciones c y d del problema se de6a como tarea para el

alumno por ser seme6antes a la parte b del problema.

z

#z

#y

#

y

#"


26/81

@. Ona onda luminosa plana sinusoide con polari3acin lineal y

lonitud de onda ' *$) & 1):Im$ se propaa en el "ac#o. =a

intensidad media es )$1 Wm:,

. =a direccin de propaacin est7 enel plano L a un 7nulo de G*P con respecto al e6e . El campo

el!ctrico oscila paralelo al e6e D. Escribir las ecuaciones que

describen los campos el!ctricos y man!ticos esta onda.

Solucin:

Ona onda luminosa plana sinusoidal de '*.) & 1):Im$ "ia6a el

"ac#o. =a intensidad media B ' ).1 W0m,

. =a


27/81

y 0

2 2B K E cosK X ct dt

2 2

=

Bnterando tenemos8

y 0

2 2B K E cosK X ct dt

2 2

=

02 2

K E senK x ct2Kc 2

=

02 2E senK x ct2c 2

=

y Z

2B E

2= . esla. =a ecuacin del campo man!tico

2

0 0 0

0

1 2c E E

2 c

= =

0 ! 122 0"1E # 10 !"!$ 10=

2000

%olt/ !"!$

=

0E 2'= "olt.0m Se puede reempla3ar en E3y >y

Ura5icando la onda e.m. en las coordenadas $ L$ D tenemos8

z

y

Ez

#y

4!


28/81

=os campos el!ctricos E man!ticos > de la onda electroman!ticaes armnica y plana sinusoidal con polari3acin lineal.

I. Ona onda electroman!tica plana sinusoidal con polari3acin

circular y lonitud de onda ' *.) & 1):Im$ se propaa en el

"ac#o en la direccin del e6e . Su intensidad media por unidad de

7rea es ).1 Wm:,y el plano de "ibracin del "ector el!ctrico es

paralelo al e6e L. escribir las ecuaciones que describen los camposel!ctrico y man!tico de esta honda.

Solucin:

Ona onda e.m. plana sinusoidal con polari3acin circular y

'*.)&1):Im. "ia6a en el "ac#o en el e6e y ').1 W0m,el plano

de "ibracin del E es paralela al e6e L.

=a ecuacin del Campo El!ctrico8

2

0 0

1c E

2 =

0 ! 12

0

2 2 0"1E

c # 10 !"!$ 10

= =

2000

%olt / !"!$

=

0E 2' %olt / &"= =

Ey' E)cos % / J t

' E)cos %& / ct


29/81

2 102' cos (x ct)

$

=

yE 2' cos ' 10 (x ct)* / C=

=a ecuacin del Campo Man!tico

Aplicando la ecuacin de Ampere / Henry en 5orma di5erencial

Bot E

t

=

$

x y z

+ j k

, E / x / y / z

E E E

=

$ $

$y yz x z xE EE E E E+ j ky z z x x y

= + + $ $

$ $ zBot E 2' (' 10 )sen' 10 (x cy)k kt

= =

zB

2' (' 10 ) sen ' 10 (x ct )t

=

Bnterando tenemos8

t

z0

B 2' (' 10 ) sen' 10 (x ct)dt=

2' (' 10 )( )cos' 10 (x ct )

(' 10 )

=

2'

cos' 10 (x ct )

c

=

y

z

EB

c= esla

Ura5icando la onda e.m. en las coordenadas $ L$ D tenemos8

z

#z

Ey

y

"


30/81

=os campos E y man!tico > de la onda electroman!tica es

armnica y plana con polari3acin lineal.

-. El campo el!ctrico de una onda electroman!tica plana tiene unaamplitud de 1):, R m:1. Encontrar8 a el mdulo del campo

man!tico$ b la ener#a de la onda por unidad de "olumen$ c Si

la onda es completamente absorbida cuando incide sobre un

cuerpo$ determinar la presin de radiacin d Contestar la

preunta anterior para el caso de que el cuerpo sea un re5lector

per5ecto.Solucin:

a El mdulo del Campo Man!tico Y>Y ' 9

El campo ma.1

B Ec

=

2 10

!

1 1B 10 10

# 10 #

= =

Jeber 0 m,

Y>Y ' ;.;G & 1):11Jeber 0 m,

b =a unidad de la onda por unidad de "olumen.

4e la parte c del problema 1:1

=a Ener#a E ' )E,

2

0 0

1E C E

2

=


31/81

( ) ( )2

12 21 !"!$ 10 102

= oules0m;

11E !"!$ 102

= oules 0 m;

E ' G.G,* & 1):1@oules 0 m;

c =a


32/81

1 2

c

= =

2-

t tc

= =

=lamamos8- 2 2

.A c tA c

= = =

2

0 0

2 1c E

c 2

= =

2

0 0E=

' ;.-* & 1):1,

1):,

,


33/81

H ' 9 B ' E & H

Ey' E)sen Jt

0 01E (1)2 =

H3' H)sen Jt.

0 0 0 0E 3 (2) = K K K

4e la ec. ,

00 0

0

E (#)3

= K K K

; en 1

200

0

1E

2 3

=

1/2

00

0

3E 2

=

1/2

121"2 102 20!"!$ 10

=

E)' 1,,.-* "olt0n KKKKKK G

4e G en ;

00 0

0

E

3

=

12

!"!$ 10122"!$

1"2 10

=

H)' ).;; esla

1). =a potencia media de una estacin di5usora es 1)* W.

Suponiendo que la potencia se irradia uni5ormemente sobre


34/81

cualquier semies5era con centro en la estacin encontrar el

mdulo del "ector


35/81

#

! 12

2 1"$5 10

# 10 !"!$ 10

=

E)' 1.) "olt0m

00

EB

c=

0 !

1"05 %olt / &B

# 10 & / se6=

>)' ;.@G & 1):Webber0m,

>)' ;.@G & 1): esla

11. On transmisor de radar emite su ener#a dentro de un cono que

abarca un 7nulo slido de 1):,sterad. El campo el!ctrico tiene

una amplitud de 1) R m:1a una distancia de 1);m. Encontrar la

amplitud del campo mantico y la potencia del transmisor.

Solucin:

El cono de 2s 10= =S Stereorrad.

El campo el!ctrico E ' 1) R m:1

A una distancia r ' 1);mts

Hallar8 > ' 9 y la potencia < ' L

12

! 1

1 1 , &B E 10

c # 10 & s

= =

21B 10 4e7e /

=

> ' ;.;G & 1):-Webber0m,

> ' ;.;G & 1):-esla

4e la =ey de >oite$ =a


36/81

. A (1)= K K K K K

El 7nulo slido82

2

AA

= =

A ' 1):,& 1);,

A ' 1)Gm, KKKKKKK. ,

=a intensidad de radiacin8

2

0 0

1c E

2 =

2

0 0

1c E

2

= KKKKKKK. ;

, y ; es 1

2 2

0 0

1. c E

2=

( ) ( )( )2! 12 '1 # 10 !"!$ 10 10 10

2

=

2# #"!$ 10

2

=

< ' 1$;,I.* Jatts

1,. Suponer que una l7mpara de 1)) J y -)[ de e5iciencia irradia

toda su ener#a en su 5orma istropa. Calcular la amplitud de los

cupos el!ctricos y man!tico a , m. de la l7mpara.

Solucin:=a potencia que pasa a tra"!s de una es5era de radio r es 5

Gr,

2. ' =

2. ' = KKKKKK 1


37/81

0

1E"B 8 E cB

3

= =

2

0

1E3 c =

El "alor medio de2 2

0

1E E

2= $ en un ciclo y 2 20

1B B

2=

2

0

c. B

2=

eempla3ando en 1

2

20

0

E. (' )23 c

=

00

.3 c1E (2)

2=

K K K K

Si < ' 1))W$ con -)[ de e5iciencia es )' ,;.1 & 1):-Webber0m,

>)' ,;.1 & 1):-esla

1;. =as ondas de radio recibidas en un radiorreceptor tienen campo

el!ctrico de amplitud m7&ima iual a 1):1R m:1. Suponiendo que

la onda se puede considerar plana$ calcular8 a la amplitud del

campo man!tico$ b la intensidad media de la onda$ c la

densidad media de ener#a$ d Suponiendo que el receptor est7


38/81

a 1 ?m de la radioemisora y que !sta irradia ener#a en 5orma

istropa$ determinar la potencia de la estacin.

Solucin:Ona onda de radio cuya amplitud m7&ima de Campo el!ctrico es

E)' 1):1Rolt0m.$ considerando la onda plana.

a =a amplitud del Campo man!tico >)' 9

00

EB

c=

1

!

10 %olt /&

# 10 &/ se6

=

51 10

#

= esla.

' ).;;G & 1):esla

>)' ;.;G & 1):1)esla

b =a intensidad media de la onda ' 9

2

0 0

1c E

2 =

( ) ( ) ( )2

! 12 11 # 10 !"!$ 10 102

=

# !"!$ 10

2

=

$ 21"## 10 4atts /& =

c =a densidad media de ener#a ' 9

2

0 0E =

c

=


39/81

$

! 2

1"## 10 4att 1

# 10 & & / se6

=

1#

#

9o3les

0"''# 10 &

=

1' #'"'# 10 9o3les/& =

d r ' 1 ?m. ' 1);m distancia$ entonces la oite

. d=

' A

'$ 2 2

2

4atts1"## 10 (' ) &

&

' G& 1.;; & 1):*& 1);,

< ' 1@I Watts.

1G. 4os ondas electroman!ticas armnicas$ ambas de 5recuencia

y amplitud E)"ia6an en el "ac#o en las direcciones de los e6es e

L$ respecti"amente.

=os campos el!ctricos de ambas ondas son paralelos al e6e D.

calcular$ para la onda resultante de la superposicin de las dos$

a los componentes del campo el!ctrico E$ b los componentes

del campo man!tico >$ c la densidad de ener#a E$ d los

componentes del "ector de reali3a

oscilaciones circulares.


40/81

Solucin:

4os ondas e.m. armnicas$ ambas de 5recuencia y amplitud E)

"ia6an en el "ac#o en direcciones e L$ los campos E de ambas

ondas son paralelos al e6e D.

Si los campos E est7n en el e6e D

entonces los planos de "ibraciones

de las ondas E est7n en el e6e D.tal como en la 5iura.

=as ecuaciones son8

z 0

xE E sen2 t +

c

=

$

:

z 0

y

E E sen2 t jc

=

$

a =a onda resultante de la superposicin de las dos ondas

el!ctricas aplicando al principio de la superposicin para dos

ondas el!ctricas. enemos8

:

z z zE E E= +

Entonces8:

z 0 0

y yE E sen 2 t + E sen 2 t j

c c

= +

$ $

z 0

y yE E sen 2 t + sen 2 t j

c c

= + $ $

Finalmente8

E&' Ey' )

z

y

"

zE :

zE


41/81

z 0

y yE E sen 2 t + sen 2 t j %olt /&"

c c

= + $ $

b =os componentes del campo man!tico

$

x y z

+ j k

/ x / y / z , E ot E

E E E

= =

$ $

$y yz x z xE EE E E E+ j ky z z x x y

= + + $ $

x y zz z (B ;B ;B )E E B

ot E + jy x t dt

= + = =

$ $

Bualando tenemos8

z0

E + 2 y BxE cos2 t j (1)

y c c t

= =

$$ K K K

y z0

E j 2 x BxE cos2 t + (2)

x c c t

= =

$$ K K K

4e la ecuacin 1 tenemos8

t

x 00

2 yB E cos2 t j dt

c c

=

$

Bnterando tenemos8

tx 0

02 yB E cos2 t j dtc c =

$

x 0

2 1 yB E sen2 t j

c 2 c

= $

:

zE

c= esla > y E son armnicas y onales.

4e la ecuacin , tenemos8


42/81

y 0

2 xB E cos2 t + dt

c c

=

$

Bnterando tenemos8

y 0

2 xB E cos2 t + dt

c c

=

$

y 0

2 1 xB E sen 2 t +

c 2 c

= $

0E xsen 2 t +

c c

=

$

zy

EBc

= esla > y E son ondas armnicas planas

hay , ondas electroman!ticas.

:

zx

EB

c= esla

zy

EB

c= esla

>3' )

c =a densidad de Ener#a E

por de5inicin de densidad

de Ener#a$ tenemos8

' )E,KKKKKKK ;

4onde82 2 2 2

x y zE E E E= + +

2

2 2

0

x yE 0 0 E sen2 t 2 t (')

c c

= + + + K K K K

eempla3ando la ecuacin G en ; tenemos8

2

2

0 0

x yC E sen2 t sen2 t

c c

= +

z

y#y #"

zE :

zE


43/81

2

12 2

0 #

x y 9o3les!"!$ 10 E sen2 t sen2 t

c c &

= +

d =os componente del "ector de son perpendiculares a ? en el "ac#o$ por lo

que los resultados de la seccin , tienen "alide3 eneral.

Solucin:

4emostrar que8 R ' R)sen ?.r. / Jt di" R ' ) %. R)' )

% R)


44/81

Entonces8 sen?.r / Jt ' ) ?.r / Jt ' )P y

0 0 0

0

,d+% , K , cos(k" wt) 0 K", 0 K ,

= = =

1 44 2 4 43

Si8 R ' E

di" E ' )

y Si8 R ' E

di" > ' )

1@. 4emostrar que si8

R ' R)sen?.r / Jt$

rot R ' ? & R)cos ?.r. / Jt$ por lo que las ecuaciones 1I.@*

implican que ? & > ' : u))J E y % & E ' J>. 4emostrar que los

resultados son compatibles.

Osando los resultados de este problema y los del anterior discutir

la orientacin relati"a de los "ectores$ ?$ E y >. comparar con losresultados de la seccin 1.,.

Solucin:

4e R ' R)sen ?.r. / Jt rot R ' % & R)cos ?.r / Jt

1I.@* % & > ' :)u)JE y

% & E ' J>

rot R ' % & R)cos ?.r. / Jt KKKKKKKKKKKK 1

=a =ey de Ampere / Ma&Jell en 5orma di5erencial8

Sea8 E ' E)sen?.r. / Jt

> ' >)sen?.r. / Jt

j 0=$ rot > ' )u)E

t

y rot > ' )u):J E)cos ?.r. : Jt KKKKKKK ,


45/81

de 1 rot > ' % & >)cos ?.r. : Jt KKKKKKKK ;

, ' ; % & >)' )u)J E)

=a =ey de Faraday / Henry en 5orma di5erencial8

Bot E

t

=

y rot E ' ::J >)Cos ?.r. / Jt KKKKKKKKKKK G

de 1 rot E ' % & E)cos ?.r. / Jt KKKKKKK *

G ' * % & E)' J >)

El "ector onda % es perpendicular a E y >.

1I. Osando los resultados anteriores$ demostrar que los campos E y

> de una onda electroman!tica plana deben estar en 5ase.

Solucin:

Sea8 El 5actor de 5ase8

Entonces 8 E ' E)sen ?.r. / Jt

y 8 > ' >)sen +?.r. / JtT2

' )u)E

t

rot > ' )u):JE)cos ?.r. /Jt KK 1

Condicin8 rot > ' % & >)cos?.r. / Jt KKKKK. ,

1 ' , % & >)' :)u)JE)

)cos+?.r. / Jt T 2 KKK ;

Condicin8 rot E ' % & E)cos ?.r. / Jt KKKKK. G

; ' G % & E)cos ?.r. / Jt ' J>)cos +?.r. / Jt T 2


46/81

y para que8 % & E)' J>)

Se debe cumplir que8

cos ?.r. / Jt ' cos +?.r. : Jt T 2

' )Es decir8 el 5actor de la 5ase es cero y por lo tanto los campos E

y > est7n en 5ase.

1-. 4emostrar que el "ector de pero > ' u)H

' c,)E & u)H

' c,)u)& E & H

2

2

1c E

c= $ teniendo en cuenta que8

0 0

1c

3=

B ' E & H =.q.q.d.

*ren+ede onda

E " #

"

#

E


47/81

1. 4emostrar que el "alor medio del mdulo del "ector de )0,u)

Comparar con la ecuacin 1.1I

Solucin:

=a Bntensidad de la radiacin en el "ac#o es8

B ' c KKKKK 1 ' Ener#a e.m.

y ' ET >KK. ,

=a2

E 01 E2

= el "alor medio de 2 2 2 2E E E sen (kx wt) =

2

B 0

1E

2 = 2 2

0

1E E

2=

Entonces8

en , ' )E,

en 1 B ' c )E,

El "alor medio8

2

0 0

1c E

2 = K K K K Ec. 1:1I$ Alonso / Finn

KKKKKKK. ;

2 2

0

1 c E

c =

YBY ' c,)E,


48/81

El "alor medio de la Bntensidad8

2

0c E =

2 20 0c C E sen (kx wt)=

2

0 0

1c E

2 =

=a ecuacin es an7loa a la Ec. 1:1I Alonso Finn

de la ec. ; B ' c,)E >

' c,)+E)sen?& / Jt2+>)sen ?& / Jt2

B ' c,)E)>)sen,?& / Jt

2 2

0 0 0c E B sen (kx wt) =

2 2

0 0 0

0 0

1 1c E B eo = c

2 3 = =

2

0 0 0

0 0

1 1c E B

2 3=

0 0

0

E B

23 = =.q.q.d.

,). 4emostrar que si un sistema de caras oscilantes irradia ener#a

electroman!tica en 5orma istropa$ el "alor medio del mdulo

del "ector de


49/81

2

0 *s

dEc E B 3 d?

dt = tambi!n es ' a la ec. 1.1-

2

0s

dE Ec EBd? ade&@s = B

dt c = =2

2

0s

E dEc d?

c dt =

2

0s

dEc E d?

dt =

( )2 2 2 20 0dE 1

c E ' ade&@s = E Edt 2

= =

KKKKKK 1

2

0 2

dE 1c E

dt '

= KKKKKKKKKKKKKKKK ,


50/81

distancias de la 5uente$ una porcin pequea del 5rente de onda

se puede considerar plana2.

Solucin:< ' 1)GWatts

r ' 1 mt.

a '9 El "alor medio del mdulo del "ector de oite8'

2 2

. 10 4attsA

A ' & = = =

'

2

10 4atts

' & = =

2

4atts5

& =

b El mdulo de las amplitudes de los campos E y >

El mdulo del "ector de


51/81

00

EB

c=

2

!

"' 10

# 10

= esla

>)' ,.*- & 1):@esla

c =as densidades de Ener#a y nomentun y


52/81

el!ctrico de 1)) "oltios0m$ para encender un anuncio de nen \A

qu! distancia del transmisor deber7 estar el anuncio de nen9

Solucin:< ' *)$))) "atios

E ' 1)) "olt0m

r ' 9

=ey de >oite8

A. "dA= 0 0

1. dA A""""""( ) E

2= = =

00 0

0

E3

=

200

0

1E """""""""""""(2)

2 3

=

4e , en 1 tenemos8

0

2

0 0

3. 2.A

E= =

2 0

2

0 0

32.'

E =

1/ 2

0

0 0

3. 1

2 E

=

1/ 2'

2$ 10 1 #" 102 100

=

1/ 2$ #"

10 1"1$5 &2

= =


53/81

r ' 1I.1@ mts.

,;. Ona 5uente aseosa emite lu3 y lonitud de onda * & 1)

:I

m.suponer que cada mol!cula actNa como un oscilador de cara e y

amplitud 1):1)m. a Calcular la rapide3 promedio de irradiacin de

ener#a por mol!cula. b Si la rapide3 total de irradiacin de

ener#a por la 5uente es de 1W$ \Cu7ntas mol!culas est7

emitiendo simult7neamente9

Solucin:Ona lu3 cuya lonitud de onda ' * & 1):Im.

y una amplitud de la oscilacin D)' 1):1)m.

de cara e ' 1.@ & 1):1-C.

a =a rapide3 es promedio de irradiacin de ener#a.

=a ener#a irradiada por unidad de tiempo que atra"iesa una

super5icie es5!rica de radio r alrededor de la cara es8

2 2

0 #

dE a(Ec" de a&o)

dt c=

K K K K

Cuando una cara oscila seNn la direccin del e6e D$ la

aceleracin es a ' :J,3 entonces$ la ener#a promedio

( )2 20Z 1/ 2z=

2 2 '

0

#

0ad

z wdE(1)

dt 12 c

=

K K K K


54/81

En 1

'2 2

0

#

0ad

e zdE 2 c

dt 12 c

=

'2 2

0

0

e z c 2

12

=

2 2 '

0

'

0ad

e z c 1dE

dt 12

=

# 2 2

0

'

0

' e z c

#

=

# 15 2 10 !

12 '

' (1" 10 ) (10 )(# 10 )

# !"!$ 10 ($ 10 )

=

# $0

'0

' 2"$ # 10

# !"!$ 2$ 10

=

' *.IG & 1):,& 1):1)Watts

12

ad

dE$"' 10 4atts

dt

=

' !' ' ' ' 12

ad

dE 2 c 2 # 1010 w w 10 w 10 4 2;02 10 watts

dt $ 10

= = = =

SidE

1 4atts

dt

=

12

1 watts&olDc"

2"02 10 watts=

' G.* & 1):1& 1)1,

]mol!c.' G.* & 1)11mol!c.


55/81

,G. Osando la ec. ,I$ estimar el "alor de dE/dt para un protn

dentro de un nNcleo. omar 3)del orden de 1):1*m y J del orden

de * & 1),)

s:1

que corresponde a rayos amma de ba6a ener#a.=a Ener#a media Brradiada en la unidad de tiempo es8

2 2 '

0

#

0ad

e z wdE(15"2)

dt 12 c

=

K K K K

=a ec. 1.,I es "7lida porque8

2 2 '

0

#

0ad

e z wdE(1)

dt c

=

K K K K


56/81

1

ad

dE1" 10 4atts"

dt

=

ener#a de los rayos amma.

,*. =a e&presin 1,.; de la Bntensidad de la radiacin

pro"eniente de una cara acelerada en 5uncin de la direccin de

dicha radiacin. Bnterando la misma respecto a todas las

direcciones$ obtener la ec. 1.;- +Suerencia8 multiplicar B por

el elemento de 7rea8 dS ' ,r,sen de interar de ) a 2.

Solucin:eniendo en cuenta la suerencia del problema es decir multiplicar

B por el elemento del 7rea8

dS ' ,r,sen de interar de ) a .


57/81

2 2 2

#

00 0

a sen cos 2cos

! c # #

=

2 2 2

#

00

a sen cos 2cos

! c # #

=

( )2 2

2

#

0 0

a cos2 sen

! c #

= +

2 2

#

0 0

a cos 1 12 cos2

! c # 2 2

= +

2 2

#

0 0

a cos $ 1cos2

! c # 2 2

=

2 2

#

0

a cos $ 1 cos0 $ 1cos2 cos0! c # 2 2 # 2 2

= +

2 2

#

0

a 1 $ 1 1 $ 1

! c # 2 2 # # 2

= +

2 2

#

0

a 2 '

! c # 2

=

2 2

#es>ea0

a

( )d? c = que es iual a la ec. ;- es decir8

2 2

#

0

dE a

dt c

= Ec. de =armor

4onde8 a es la aceleracin de la cara.

Comprobando de paso la ec. 1.,*


58/81

es>eaad

dE( )d?

dt

=

,@. (btener una e&presin para la ener#a irradiada por unidad de

tiempo por una part#cula carada que se mue"e con "elocidad ^"_

perpendicular al campo man!tico >.

Solucin:

=a 5iura podr7 tratarse de un

ciclotn donde la aceleracin

centr#peta que e&perimenta la

part#cula est7 dada por8

2

c

%a (1)

= K K K K

4onde8 " es la "elocidad tanencial rbita.

r es el radio de la rbita.

y la "elocidad de la part#cula en el ciclotn es8

% B (2)

&

=

K K K K

4onde8

q 8 es la cara de la part#cula.

m 8 es la masa de la part#cula.

> 8 es el campo man!tico aplicado.

, en 1

2 2 2 B a

&

=

2

2 2a B

&

=

#

3rbi+a

r


59/81

'

2 ' 2a B &

=

2 2

2 2 %a B & =

2

2 2 2a B %&

=


60/81

2 2 kk e

e

2E1E & , %

2 &= = KKKKKKKKKKK 1

222 2

2 k

e

2 E% %a a & = = =

KKKKKKKKKKK ,


61/81

" ',.1--,@G1 & 1)@ms:1

pero la "elocidad8

" ' J r ' , rentonces8

%9

2 =

1

11

2"1!!2'1 10 & s

2 $"25 10 &

=

1 12"1!!2'1 10 s

2 $"25

=

' @.*-;@ & 1):,& 1)1Is:1

' @.*-;@ & 1)1*s:1

eempla3ando en G

11 1

1$ 1

ad

dE 1 2"5 10 e, s

dt "$!# 10 s

=

' G.G@*@ & 1):1& 1):GeR

$

ad

dE 1'"' 10 e,

dt

=

b


62/81

" ' 1.;,@@G & 1)-m s:1

" ' 1.;; & 1)-m s:1c "elocidad de la lu3


63/81

2 2

# 2 2 2

0

dE a 1

dt c (1 % / c )

=

eempla3ando la ecuacin , en esta Nltima y teniendo en

cuenta *

2 2

k

# 2 2 2 2 2

ad 0 e

'e EdE

dt c & (1 % / c )

= KKKKKKKKK I

15 2 # 2 2

12 ! # 2 #1

' (1" 10 ) ($0 10 ) (e,)

!"!$ 10 (# 10 ) (1) (5"1 10 )(0"')9 s

=

#0 2

$0

2 (2"$) (2$) 10 (e,)

# !"!$ 2 !2"!1 10 9 s

=

1 2

1!

"!#$ 10 (e,)

"2'2 10 e, s

=

' 1.)@@IG & 1):,eR:s:1

2 1

ad

dE1"10 10 e, s

dt

=

=a Ener#a irradiada por re"olucin8

2 1

ad

dE 1 1"10 10 e, s

dt

= KKKKKKKKKKK -


64/81

' ,.11 & 1):1& 1)-se:1

' ,.11 & 1)Is:1

eempla3ando en -

2 1

1

ad

dE 1 1"10 10 e, s

dt 2"11 10 s

=

' *.,1* & 1):1& 1):eR

10

ad

dE 1$"22 10 e,

dt

=


65/81

eempla3ando en la ecuacin I

2 2

k

22

ad # 2 2

0 2

'e EdE

dt % c & 1 c

=

15 2 # 2

12 ! # 2 2 2

' (1" 10 ) ($0 10 )

!"!$ 10 (# 10 ) (1) (1" 10 ) (0"55)9 s

=

#0 2

'2

2 2"$ 2$ 10 (e,)

# !"!$ 2 2"!!5 0"55 10 9 s

=

22 2"$ 2$ 10 (e,)

# !"!$ 2 2"!!5 0"559 s

=

2 12 2

1!

2"0#5 10 10 (e,)

0"55 "2'2 10 e, s

=

' ;.,@G- & 1):1& 1):-eRs:1

5 1

ad

dE#"2 10 e, s

dt

=

=a ener#a irradiada por re"olucin

5 1

ad

dE 1 #"2 10 e, s

dt

= KKKKKKKKKK


66/81

eempla3ando en la ecuacin

5 1

1

ad

dE 1 #"2 10 e, s

dt 0"'5 10 s

=

$

ad

dE 1"$ 10 e,

dt

=

,-. 4emostrar que para una part#cula que se mue"e en un

acelerador lineal la potencia que irradia es8

2 2 # 2

0 0 k(dE/dt)ad G ( / & c )(dE /dx) donde E?es la ener#a cin!tica de

la part#cula.

Solucin:

En un acelerador lineal la part#cula irradia ener#a tal como. =a

ecuacin de =armor.

2 2

#

ad 0

dE a

dt c

KKKKKKKKKK 1


67/81

eempla3ando , en 1

2

# k0 0 2

ad 0

dEdE 1 c

dt & dt

=

22

2 #

ad 0 0

dE dE

dt & c dt

= =.q.q.d.

,. 4emostrar que en un acelerador circular una part#cula irradia

ener#a a ra3n de dE0dtrad ' q,c0@)r, "0cG

E0m)c

,

G

Solucin:

En un acelerador circular la part#cula irradia una ener#a acuerdo a

la ec. 1G,.

2 2

# 2 2 2

ad 0

dE a(1)

dt c (1 % / c )

= K K K K


68/81

'

222

0

2

E 1

& c %1

c

=

KKKKKKKK G

eempla3ando G en ;

''2

2 2

ad 0 0

dE % E

dt c & c

= =.q.q.d.

;). 4emostrar que en el caso de los ases$ el seundo t!rmino en

la ec. 1.*- es pequeo y que podemos escribir.

2

+

2 2+e 0 +

>*nH1

2& w w

+

En caso de que haya una sola 5recuencia resonante$ esta e&presin

se con"ierte en8

( )

2

2 2

e 0 +

*en 1

2& w w +

Solucin:

El #ndice de re5accin para los ases est7 dado por8

22

2 2+e 0 +

>*en 1 (15"$!)

& w w

= +

K K K K

2

2 2+e 0 +

>*en 1

& w w

= +

4onde8

Z8 es el ] de electrones por unidad de "olumen.

5i8 intensidad de oscilacin.

Ji8 5recuencias caracter#sticas.

J8 5recuencia de la onda.


69/81

4esarrollando el binomio8

2

2 2+e 0 +

>1 *e1

2 & w w

+

;

Cuando la intensidad de oscilacin contribuye a la polari3acin del

7tomo se tiene que8

++

> 1=

( )

2

2 2

e 0 +

*en 1

2& w w+

; para una 5recuencia resonante.

;1. El #ndice de re5raccin de hidreno aseoso a temperatura y

presin normales es n ' 1 T 1$G)) & 1) :Gpara ' *$G@ & 1):Im y

n ' 1 T 1$*GI & 1):Gpara ',$*G & 1):Im. Suponiendo que hay

una sola 5recuencia resonante$ calcular esta 5recuencia y el

nNmero de osciladores electrnicos por unidad de "olumen.

Comparar con el nNmero de mol!culas por unidad de "olumen.

Suerencia8 Osar el resultado del problema ;).

Solucin:

=a 5recuencia y nNmeros de osciladores electrnicos por unidad de

"olumen.

El #ndice de re5accin del hidreno aseoso a temperatura y

presin normales$ es8

nH' 1 T 1.G)) & 1):Gpara X ' *.G) & 1):Im y

nH' 1 T 1.*GI & 1):Gpara X ' ,.*G & 1):Im

4el resultado del problema ;)


70/81

( )

2

2 2

e 0 +

*en 1

2& w w+

;

c ' J ' ,

cw 2=

( ) ( ) = +

22 2 2

1 1

e 0

*en w w w 2

n&

( )( ) +

22 2

1e 0

*e

w w n 1 """""""""""""""""(1)n&

4e 1 para nX y n tenemos8

( )( ) ( )( ) = =

22 2 2 2

1 1

e 0

*ew w n 1 w w n 1

2n&

( ) = 2 2 2

1w n 1 (n 1) w (n 1) w (n 1)

[ ]

=

2 22

1

w (n 1)w (n 1)

w (n 1) (n 1)

[ ]

=

1/ 22 2

1

w (n 1)w (n 1)w

(n 1) (n 1)

=

1/ 2

2 2

n 1 n 1

2 cn n

=

1/ 22 2

2 2

(n 1) (n 1)2 c

(n n)

=

1/ 2' 2 ' 2

1 2 2 '

(1"$' 10 )($"' 10 ) (1"'00 10 )(2"$' 10 )w 2 c

(0"1')(2"$' 10 ) ($"' 10 ) 10

=

1/ 22 1! 2 1!

2 2 #2

1"$'($"') 10 1"' (2"$') 102 c

0"1' (2"$') ($"') 10


71/81

=

1/ 22 2

1"$'($"') 1"' (2"$')2 c 100"1' (2"$') ($"')

=

1/ 2

1$1"$'($"') 1"' (2"$') 100"1' (2"$') ($"')

' ,1.* & 1)1*se:1

J1' ,.1* & 1)1@se:1

ZNmero de osciladores electrnicos por unidad de "olumen de la

ec. 1

( )( ) =

2 2

e 0 1

2

2& w w n 1*

e

=

'

2!

#1 12 1 2

(1"$' 10 )

15 2

102 5"1 10 !"!$ 10 (2"1$ 10 )

2"$' 10

(1" 10 )

=

2

2 2#2 5"1 !"!$ $' (2"1$) 102"$'

2"$

' ;@.;,,*G & 1),;

Z ' ;.@ & 1),* Elect0m;

;,. Con re5erencia al problema anterior$ calcular el #ndice d

re5raccin del hidreno para ' G & 1):Im$ a la presin de 1)

atm y a la temperatura de ;))Q%

Solucin:

El #ndice de re5raccin del H. para ' G & 1):Im. a la presin


72/81

( )

,

, ,e ) i

Zen 1 1

,m J J= +

K K K K

4onde8e ' 1.@ & 1):1d cara de elect.

me ' .1 & 1):;1? masa de elect.

,1,

) ,

d-.-* 1)

Z.m =

1Z < mol!c.

R % Onid.= por Ec. Ueneral de los ases de "olumen

,; % 1.;-)G* 1) Cte. de>olt3mann%

=

En cada mol!cula e&isten , electrones Hidreno H, entonces

,

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Fisica - Ondas Electromagnéticas Vol. II