Curso de e M ER A

Virgilio Acosta Clyde L. COW8D

Traductor y adaptador: I JO.-\QU N SADA ANAYA del Departamento de Fsica ~aa Mecnica y Elctrica cioJ 'S'acional , Mxico, D .F.

curso de FISle1\ MeOERN1\

VIRGILIO ACOSTA ACADEM IA NAVAL DE l OS EST ADOS UNIDOS

CLYDE L. COWAN UN I VERSIDAD CA TO Ll CA DE AM ERI CA

B.J.GRAHAM ACADEM IA NAVA L DE l OS ESTADOS UNIDOS

OXFORD UNIVERSIT Y PRBSS

Contenido

Prefacio X111

Prlogo a la edicin en espaol xv

Primera parte Espacio y Tiempo 1

1 Espacio y tiempo 3 1-1 El vaco fsico 4 1-2 El espejo del espacio-tiempo 6 1-3 La medida del espacio-tiempo 7 1-4 Materia y espacio-tiempo 8 1-5 Resumen 9

2 Leyes de conservacin I I 2-1 Conservacin del momento lineal 12 2-2 Conservacin del momento angular 14 2-3 Conservacin de la energa 16 2-4 Campos 18

3 Relatividad clsica 22 3-1 Lmites del "sentido comn" 23 3-2 Principio clsico de la relatividad 24 3-3 Invariancia de la conservacin del momento lineal 3-4 Invariancia de las leyes de Newton 28

4 El experimento de Michelson-Morley 32 4-1 El conflicto se desarrolla 33 4-2 Las transformaciones de Lorentz 36 4-3 Composicin de velocidades de Lorentz 39

5 Consecuencias de las transformaciones de Lorentz 43 5-1 Contraccin de la longitud 44 5-2 Dilatacin de los intervalos temporales 46

viii CONTENIDO

5-3 Interpretacin del experimento de Micr..elson-Morley 49 5A Solucin de Einstein al conflicto 51

6 Mecn ica relativista 55 6-1 Masa y momento 56 6-2 Definicin de fuerza 58 6-3 Energa cintica relativista 59 6-4 Energa total 6 1 6-5 Revi sin esquemtica 64

Segunda parte Partculas y Ondas 69

7 El efecto fotoelctrico 7 1 7-1 Cuantos de electri cidad 72 7-2 Emisin electrnica 72 7-3 Efecto fotoelctrico 73

8 Rayos X 77 8-1 Roentgen 78 8-2 Rayos X 78 8-3 Difraccin de Rayos X 83 8-4 Difraccin de Rayos X por 'lna red de difraccin 85 8-5 Efect o Compton 86

9 Produccin de pares 92 9-1 Interaccin de la radiacin con la materia 93 9-2 Produccin de pares 93 9-3 Aniquilacin de pares 96 9A Absorcin de fotones 96

10 Naturaleza ondulatoria de las partculas 100 10-1 El dilema onda-corpsculo 10 1 10-2 Ondas dedeBroglie 101 10-3 Confirmacin experimental de las partculas ondulatorias 102 lOA Paquetes de ondas 104 10-5 El principio de incertidumbre 107 10-6 Otra forma del principio de incertidumbre 109

11 El experimento de Rutherford 11 3 11-1 El modelo nuclear del tomo 114 11-2 Montaje experimental 115 11-3 Parmetro de impacto y ngu lo de dispersin 11 6 IIA Frmula de dispersin de Rutherford 119

12 El modelo de Bohr I 124 12-1 Modelo Planetario 125

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12-2 Espectros atmicos 128 12-3 El modelo de Bohr-Postulados 129 12-4 El modelo de Bohr-Estados de la energa 129 12-5 La constante de Rydberg y las series espectrales 133 12-6 El modelo de Bohr y el principio de correspondencia 133

13 El modelo de Bohr 11 137 13-1 Atomos hidrogenideos 138 13-2 Correccin para el movimiento nuclear 140 13-3 El experimento de Franck-Hertz 142 13-4 El experimento de Franck-Hertz - Interpretacin 144

Tercera parte: El tomo 149

14 La ecuacin de Schrodinger 151 14-1 La radiacin del cuerpo negro 152 14-2 Funciones de onda 155 14-3 La ecuacin de Schrodinger 15 6 14-3 (a) Corriente de probabilidad 157 14-4 La ecuacin de Schrodinger independiente del tiempo 160

15 La ecuacin de Schrodinger 11 162 15-1 El Hamiltoniano 163 15-2 Operadores 164 15-3 (a) Valores promedio o esperados 165 15-3 El pozo de potencial 167 15-4 Solucin de las ecuaciones diferenciales 171 15-5 La partcula en una caja tridimensional 173

16 Algunas aplicaciones de la ecuacin de Schrodinger 179 16-1 El oscilador armnico clsico 180 16-2 El oscilador armnico mecano-cuntico 181 16-3 El efecto tunel 188 16-4 Potenciales peridicos y el modelo de Kronig-Penney 190

17 Diferentes modelos de la mecnica 199 17-1 Modelos de la mecnica 200 17 -2 Mecnica clsica 200 17-3 Mecnica relativista 204 17-4 Mecnica cuntica 206 17-5 Dualidad ondulatorio-corpuscular 207 17-6 Principio de incertidumbre 208

18 La teora de Schrodinger del tomo de hidrgeno 210 18-1 La ecuacin de onda: Separacin de variables 211 18-2 La ecuacin azimutal 213

CONTE NI D O ix

x . e TENI DO

1 8-3 La ecuacin polar 214 1 8-4 La ecuacin radial 214 18-5 La funcin de onda completa 215

19 Nmeros cunticos 1: Momentos magnticos 218 19-1 El nmero cuntico orbital 1 219 19-2 El nmero cuntico magntico mI 221 19-2 (a) El operador del momento angular 222 19-3 El momento magntico del tomo de hidrgeno 225

20 Nmeros cunticos 11 : El efecto Zeeman 229 20-1 Un tomo en un campo magntico externo 230 20-2 Ei efecto Zeeman normal 232 20-3 El nmero total de estados 234

21 Las funciones de onda del tomo de hidrgeno 238 21-1 Las funciones de onda del tomo de hidrgeno 239 21-2 La distribucin de la probabilidad radial 240 21-3 Dependencia de la probabilidad angular 241

22 El spn del electrn 245 22-1 Spn intrnseco 246 22-2 El momento angular de spn 248 22-3 El experimento de Stern-Gerlach 248 22-4 Energa de la interaccin spn-

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26 Modelos del ncleo 286 26-1 Fotodesintegracin - Estabilidad nuclear 287 26-2 Momento angular de spn 289 26-3 Electrones en el ncleo? 290 26-4 El modelo de la gota lquida 291 26-5 El modelo de capas 293

27 El neutrn 298 27-1 Descubrimiento del neutrn 299 27-2 Produccin de neutrones 301 27-3 Deteccin de neutrones 302 27-4 Captura neutrnica 302

28 Reacciones nucleares 1 305 28-1 Reacciones nucleares 306 28-2 Valor Q de una reaccin nuclear 307 28-3 Valor Q y energa de amarre 309

29 Reacciones nucleares 11 312

CONTENIDO xi

29-1 Energas cinticas en los marcos del laboratorio y del centro de masa 313 29-2 Energa umbral de una reaccin endorgica 315 29-3 Derivacin de la ecuacin umbral 3 16 29-4 Probabilidad de la seccin transversal 317

30 Radiactividad 1 321 30-1 Radiactividad 322 30-2 Constante de desintegracin 322 30-3 Vida media y media vida 323 30-4 Curva de crecimiento 325 30-5 Series radiactivas 326 30-6 Fechando por medio del decaimiento reactivo 327

31 Radiactividad 11 332 31-1 Decaimiento alfa 333 31 -2 Decaimiento del positrn 334 31-3 Decaimiento del electrn 336 31-4 Captura electrnica 336 31-5 Decaimiento gamma 337 31 -6 Riesgos radiolgicos para la salud 339

32 Fisin y fusin 341 32-1 Fisin 342 32-2 Fusin 344 32-3 Reactores nucleares 345

33 Detectores de partculas 350 33-1 Propiedades de las partculas 351

X I I CONTENIDO

33-2 33-3 33-4

Emulsiones nucleares Cmaras de trayectorias Detectores electrnicos

35 1 353 359

34 Aceleradores de partculas 366 34-1 Aceleradores 367 34-2 El generador de Cockcroft-Walton 367 34-3 El generador Van de Graaff 368 34-4 El ciclotrn 369 34-5 Elbetatrn 371 34-6 El acelerador lineal 374

35 Estado slido I 378 35-1 Cristales 379 35-1 (a) Los grupos cristalogrficos y las redes de Bravais 381 35-1 (b) Los ndices de Miller 385 35-2 Metales 387 35-3 La teora de las bandas 389

36 Estado slido 11 393 36-{a) Distribucin de Maxwell-Boltzmann 394 36-1 Distribucin de Fermi-Dirac 397 36-2 Semiconductores 399 36-3 Transistores 40 I

Quinta parte Partculas elementales 405

37 Partculas elementales 407 37-1 Cargas y fuerzas 408 37-2 Los nmeros cunticos de las partculas elementales 410

38 Interacciones de las partculas elementales 419 38-1 Antipartculas 420 38-2 Clases de interacciones 421 38-3 Interacciones y leyes de conservacin. 424

39 la familia de las partculas elementales 428 39-1 Fotones 429 39-2 Leptones 430 39-3 Hadrones 43 I

40 Origen de los elementos 444 40-1 El enigma de los elementos 445 40-2 Distribucin actual de los elementos 446 40-3 Nucleos ntesis primordial 447 40-4 La formacin de elementos en las estrellas 448

Al

In

40-5 Las supernovas y el proceso r 453 40-6 Explosiones de los ncleos galcticos 454 40-7 Resumen 456

41 Origen del universo 458 41-1 Edad del universo 459 42-2 Dimensiones del universo 461 42-3 El universo en expansin 463 42-4 Nacimiento del universo 464

Apndice 467

CONTENIDO . XII I

A.I Transformacin del Laplaciano de coordenadas rectangulares a esfricas 469 Tabla I Tabla peridica de los elementos 472 Tabla 2 Frmulas matemticas tiles 474 Tabla 3 Funciones trigonomtricas naturales 476 Tabla 4 Funciones exponenciales 477 Tabla 5 Premios Nobel en Fsica 478 Tabla 7 Tabla de istopos 479

Respuestas a los problemas de nmero impar 499

ndice 504

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xv

Prefacio

Este libro va ms all del dominio de la fsica clsica, para explorar tanto el mundo micros-cpico del tomo, el ncleo y las partculas elementales, como el mundo macroscpico del cosmos. Los captulos que cubren la mecnica cuntica son ms completos de los que usualmente se encuentran en textos a este nivel, puesto que sentimos que este tpico es una porcin natural y esencial de la fsica moderna. Asmismo, el estudio de las partculas elementales se ha ampliado a fin de incluir los conceptos ms recientes.

Como prerrequisito matemtico para seguir este texto se considera haber cursado dos semestres de clculo elemental, incluyendo rudimentos de clculo vectorial. A propsito hemos hecho que todos los captulos de este libro sean cortos y auto suficientes , para producirle una sensacin de logro al estudiante y, al mismo tiempo, permitirle al instructor mayor organizacin y flexibilidad. Si se desea, se pueden reordenar los captulos u omitir algunos.

Eminencias tales como Einstein y Dirac han contribuido tanto al desarrollo de los concep-tos de la fsica, que resulta difcil comprender completamente los frutos que implica su labor. Otros han contribuido, con pasos pequeos pero significativos, a la conquista de grandes ideas. Estas personas y sus contribuciones tambin forman parte de la fsica moderna. La biografa breve de un fsico notable figura al principio de cada captulo, para destacar su labor.

El papel principal de los ejercicios y de las preguntas que se incluyen al final de cada captulo es ayudar a desarrollar la habilidad del estudiante en la solucin numrica de problemas, y darle elementos al lector para que comprenda la naturaleza de la fsica y sus principios bsicos. Tambin se ha reconocido el impacto que han tenido las computadoras en la fsica, incluyendo en este libro unos cuantos problemas orientados a la computacin.

Deseamos agradecer al Comodoro Jack Kineke,USN, por su paciente trabajo en la prepa-racin de los problemas y por sus muchas y tiles sugerencias, as como a Mary Hollywood Wilson por mecanografiar nuestro manuscrito. La cooperacin dada a los autores y la aten-cin prestada a nuestro texto original en ingls por el editor, especialmente por Jane Woodbridge y Ann B. Fox, han mejorado el libro y hecho nuestra tarea ms placentera.

VIRGllIO ACOSTA Cl YDE l . COWAN

BJ.GRAHAM

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Primera parte

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Espacio y Tiempo

La totalidad de los fenmenos f s icos es de un carcter tal que no proporciona base alguna para la introduccin del concepto de "movimiento absoluto"; o en pocas palabras, ms precisas: No existe el movimiento absoluto.

ALBERT EINSTEIN De mis ltimos aos, 1950

Fue Einstein quien introdujo el verdadero problema al anunciar en 1905 que no exista tal cosa como el reposo absoluto. Despus ya nunca lo hubo.

STEPH EN LEACOCK

La teo,,'a de la relatividad de Einstein recha z la necesidad de conceptos como el movimiento y el tiempo absolutos . Sinembargo, sus teor(as fueron algo ms que simples ejerci -cios de una abstraccin matemtica, ya que la fuerte evi -dencia provista por los experimentos de Michelson-Morley sobre el ter , lumi nlfero, oblig a los fl'sicos a re-pensar todos los conceptos principales de la IIsica, Algunos princi-pios sumamente estimados tuvieron que descartarse, otros tuvieron que altera rse y unos pocos resistieron la prueba presentada a ellos por las nuevas teorlas de la relatividad ,

1

1

Espacio y tiempo

Georg Friedrich Bernhard Riemann ( 1826-1866)

Nativo de Hanover, Alemania, Riemann fue disc/pulo de K. F. Gauss y posteriormente profesor de matemticas en la Universidad de G6ttingen donde recibi su doctorado (en f/sica). Riemann extendi la geometrfa de Niko/a Lobachevsky y Jnos 80lyal para desarrollar un sistema no-Euclideano basado en un postulado que no permite lineas paralelas. Su teoria de que el espacio no es necesariamente uniforme puso las bases para la geometrla de Riemann y fue crucial para las teodas de la ((sica moderna, incluyendo la teoria de la relatividad de Einstein.

1-1 EL VACIO FISICO 1-2 EL ESPEJO DEL ESPACIO-T i EMPO 1-3 LA MEDIDA DEL ESPACIO-TIEMPO 1-4 MATERIA Y ESPACIO-TIEMPO 1-5 RESUMEN

3

11 EL VACIO FISICO

El mundo natural en que vivimos se nos presenta como una vasta coleccin de objetos y eventos, todos los cuales estn contenidos en un espacio tridimensional. Percibimos estos eventos como si se encadenaran en un secuencia continua en el tiempo: cada evento se ve como el c.'lusante de otro, y ste se vuelve a su vez, la causa del siguien-te. Algunas veces, en el lenguaje de la fsica, estas observaciones que hemos hecho se plantean dicien-do que el mundo natural est contenido dentro de un continuo tetra-dimensional llamado espacio -tiempo. El propsito de este texto consiste en examinar el mundo natural con cierto detalle y descubrir algunas leyes de la naturaleza que nos ayuden a organizar y describir el espacio-tiempo. Al organizar y definir as el espacio-tiempo, enten dcremos mejor el mundo natural.

Sin embargo, antes de estudiar directamente los objetos y eventos de la naturaleza, conviene con templar el espaciotiempo en s mismo. El cancel>'" to de espaciotiempo contiene la esencia de las ms profundas cuestiones que como fsicos intentemos responder. Para la persona comn, un vaco es un volumen de espacio que no contiene absolutamen te nada, ni partculas ni molculas. Pero sta no es la forma como los fsicos piensan sob re el vaco. Para ilustrar un aspecto de nuestra comprensin

4

del vaco como fsicos, efectuaremos un experi-mento imaginario. Las distintas partes de este ex-perimento se han observado en el laboratorio; de manera que aunque esta secuencia particular de eventos no se haya producido como un solo expe-rimento, en principio as podra hacerse. Empece-mos con un vaco absoluto en un recipiente ideal, con paredes perfectamente reflectoras, que son ais-lantes de la mejor clase imaginab le_ No habr radia-cin ni partculas detectables, ya que a primera vista parece ser la clase de vaCo compuesto de absolutamente nada_

El experimento empieza enfocando alguna luz (radiacin electromagntica) dentro del vaco, a travs de una ventana muy pequea en una pared del recipiente. Ya que una pequea cantidad ser reflejada de regreso por la ventana, ms luz se en-focar continuamente hacia dentro del recipiente. Ahora debemos empezar a iluminar con luz cada vez ms azul dentro de la ventana. Pronto observa-remos cmo el color de la luz que escapa indica que la temperatura del vaCo interior se est ele-vando. A medida que la temperatura se eleva, la luz que escapa se vue lve ms azul. Ya desde ahora, hemos descubierto que un vado puede tener una temperatura.

Para ver qu tan "caliente" se puede volver este vaco, continuemos enviando ms y ms radiacin dentro del recipiente con mayor rapidez de la que escapa fuera del agujero. En algn instante de este

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experimento, un fotn de luz chocar con otro fo tn, y aparecern dos electrones (figura 1-1) . Uno de este par de electrones estar cargado nega-tivamente, y el otro positivamente. El vaCo ya no est vaco. El vado contiene dos partfculas de ma-Teria -los dos electrones-o

De dnde salieron estos dos electrones? No se encontraban en el haz de luz, aunque la energa total que poseen s entr con la luz. Los electrones son partculas muy diferentes de los fotones de luz. Los electrones son parte de esa familia de par-tculas conocida como fermiones. Portan carga elctrica as como otra carga llamada nmero lep-tnico, y tienen una masa que contina existiendo aun si los electrones son llevados al reposo. Un fotn de luz es muy diferente. Es un bosn y no lleva carga de ninguna especie; y un fot n trado al reposo cesa de existir.

Como fsicos no proclamamos conocer la res-puesta completa al origen de estos electrones. Ten-demos a pensar que los electrones estn siempre all, en una especie de est ado virtual" , y que son trados a una existencia detectable por la colisin de los fotones de luz. Se piensa en el vaco como en un "estado" del espacio-tiempo que no contie-ne partculas detectab les, y de la condi cin si-guiente (o resultante) como en W1 estado que co n-tiene dos electrones. En Otras palabras, decimos que alguna especie de accin aplicada al estado de vaco cre del vaco dos electrones en un "estado corpuscular" .

Figura 1-1

/

ReCiPiente ideal aislado

Vac(o

CAP ITULO 1: ES PACIO Y TIEMPO 5

Aunque la probabilidad de que estos elect rones lleguen a chocar uno con otro sea pequea, es po-sible que lo hagan. Uno es posit ivo y el otro nega-tivo; son, de alguna profunda manera, totalmente dIferentes uno del otro y sin embargo al mismo tiempo muy parecidos. Si llegaran a chocar hab ra una tran sicin de regreso al estado de vaCo. Esto es, los dos electrones desapareceran y los dos fo-tones apareceran en su lugar. Nos referimos co -mnmente a esto como a la aniquilacin de mate-ria-antimateria. Podemos preguntar: A dnde fue-ron? Estn presentes an en una forma no detec-table?

Mantegamos dos electrones dete ctab les en el recipiente junto con la radiacin que enviamos. Supongamos que no chocan por largo tiempo , durante el cual se vierte ms radiacin a travs de la ventana. Un proce:so continuo de colisiones entre fotones producir ms pare s de ele ctrones, y las colisiones de los fotones con los electrones calentarn a los electrones y producirn ms pares. La radiacin sigue incidiendo y la temperatura sigue aumentando hasta que , finalmente , cuando un fotn choca con un electrn , se produce un par de rouones positivo-negativo. Otra vez, algo nuevo se encuentra en el vaco en la forma de estos rouones , y estos muones son dife rentes de los pares de electrones formad os previamente. Por una par-te, los muones son radiactivos.

Si el espacio es calentado continuamente en-viando ms y ms radiacin dent ro de la ventana

forman paras de electrones con carga opuesta.

Despus de un flujo continuo de radiacin electromagntica dentro de un recipiente vaco aislado, se forman pares de electrones eventualmente.

I

6 PRIMER A PAR T E: ESPACIO y TIEMPO

ms rpido de lo que puede escapar, empezarn a aparecer partculas llamadas mesones pi o piones. Otra nueva entidad se encontrar dentro del reci~ piente en la forma de una fuerza nuclear muy in~ tensa que los mantiene unidos. Los piones son muy diferentes tanto de los muones como de los electrones. Con mayor calentamiento, eventual-mente aparecer n pares Protn-antiprotn y neu-trn-antineutrn, y as tendremos los materiales de que estn hechos todos los ncleos atmicos.

Ahora podemos preguntar: De dnde vinieron estas partculas? "De estados virtuales en el va-co", es la respuesta de los fsicos. A continuacin debemos preguntar: Estaba el vaco realmente va-c o? Podemos responder que si hemos observado la produccin de partculas en el vaco, entonces no estaba vaco. Si la aparicin de pares partcula-antipartcula puede ser llamada evidencia de un vaco "detectable", entonces debemos concluir que el vaco estaba atestado con electrones, muo-nes, protones y neutrones as como de otras par-tculas que aparecen a medida que contina el ca-leatamiento del espacio. Y podemos razonar que el vaco no slo tiene una temperatura definida, sino que tambin contiene un surtido inimaginablemen-te denso de todas las partculas existentes en la naturaleza. Ciertamente no es una regin de la nada absoluta!

Como hemos visto, con la aparicin de protones y neutrones as como de electrones en el espacio, tenemos los materiales necesarios para construir todos los elementos y compuestos (o materia) co-nocidos en la naturaleza. Adems de la construc-cin de elementos que continuamente acaece en nuestro recipiente original, tambin habr partcu-las que choquen con anti-partculas frecuente -mente y se desvanezcan, dejando fotones en su lugar. Establecido un equilibrio entre la materia y la radiacin electromagntica, estarn presentes to-dos los componentes necesarios para construir una parte real del universo. Adems, las partculas que han sido producidas son id n ticas a sus contrapar-tidas en cualquier parte del universo. Los ele ctro-nes y protones que habr en el recipiente son idn-ticos a los electrones y proto nes encontrados en las ms antiguas rocas o en las ms lej anas estrellas.

Nuestra conclusin es:que el espacio en general

contiene un denso surtido de todas las partculas conocidas y que estas partculas son detectables con la ayuda de la radiacin electromagntica (luz). Por esto decimos que el vaco fsico es algo muy real.

1-2 EL ESPEJO OH ESPACIO-TiEMPO

En nuestra discusin del vaco fsico, menciona-mos los conceptos de materia y antimateria_ Con~ viene hacer Ul1a pausa e investigar un poco ms este fenmeno. Hemos dicho que una partcula es justamente lo opuesto de su ant ipart cula, pero que las dos son muy parecidas. Consideremos un objeto situado frente a un espejo plano y suponga-mos que podemos ver el objeto as como su ima-gen. En apariencia el objeto y su imagen son muy parecidos, pero son inversos el uno de la otra como la mano izquierda lo es de la derecha. La imagen contiene la misma distribucin de luz y color que el objeto, pero en sentido inverso.

Ahora supongamos que hay un objeto con una distribucin de cargas elctricas sobre l, y supon-gamos que el espejo es de cobre pulido y est co-nectado a tierra. De nuevo hay una imagen ptica

Esoeio de cobre pulido

frnagen del cuerpo cargado

Figura 1-2 Un objeto y su imagen ptica son inversos entre s en la misma forma en que la mano izquierda lo es de la derecha, y por la induccin elctrica la distri-bucin de carga sobre la imagen tiene los signos cambiados.

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invertida del objeto, pero aho ra la imagen tiene una distribucin de carga semejante a la del objeto, slo que la distribucin est invertida en signo elctrico. Si hay una concentracin de cargas posi-tivas en la parte superior del objeto, habr una concentracin similar de cargas negativas sobre la parte superior de la imagen~ En este experimento , el objeto est un poco ms cerca de ser igual a su image n, excepto por la inversin (figura 1.2).

En ltimo caso, el espacio-tiempo constituye una especie de espejo perfecto - uno que refleja todos los aspectos de cada partcula fundamental y al har.erlo as tambin invierte a cada una-o Ca-da partcula tiene una -" reflexin" en este espejo perfecto del espaciotiempo, y cada propiedad de la partcula es t fielmente contenida en su imagen, en un sentido inverso. En este caso, importa poco cul sea llamado el objeto y cul la imagen. Son exactamente "semejantes" pero estn invertidos en todos los sentidos el uno con respecto a la otra.

Se puede entonces pensar que la naturaleza est compuesta de un vasto nmero de partculas y de sus correspondientes antipartculas. Estando con-tenida as, cada una, en el espejo perfecto del espa-cio-tiempo, pueden hallarse muy distantes entre s, pero ambas estn U en" el espejo.

Qu pasa cuando un objeto se acerca a su ima-gen y " choca" con ella? Podemos retornar al caso de las imgenes pticas para trazar una analoga. Si observamos _ una hoja colgante de la rama de un rbol sobre la superficie de una piscina en calma, vemos la hoj a y su imagen. Ahora dejemos que la hoj a caiga hacia el agua. La imagen y la hoja "cho can" cuando la hoja llega a la superficie del agua. Ambas se desvanecen a medida que la hoja se hun-de. En su lugar, una serie de ondas concntricas se expanden hacia afuera del punto de la colisin.

Esta es una analoga pero muy inadecuada. Cuando una partcula y su antipartcula se combi-nan en una colisin, ambas se desvanecen comple-tamente , y se producen algunos fotones de radia-cin electromagntica o, en algunos casos, se for-rmn piones, que se alejan rpidamente del sitio de la colisin.

Podemos preguntar: Dnd e est la imagen par-ticular de este electrn part,icular que hay en la punta de mi pluma? Tiene una imagen particular

CAP ITU LO 1: ESPA C IO Y TIEMP O 7

correspondiente y nica? Un pensamiento adicio-nal nos recuerda que todos los electrones negativos son idnticos entre s. Cualquier electrn positivo puede servir como imagen para un electrn negati-vo y viceversa.

Por consiguiente, todas las propiedades fsicas de la materia son en algn sentido reflejadas en ~ l espacio-tiempo, y estas reflexiones constituyen la antimateria. Sin embargo, debemos hacer a un lado una propiedad en la cual lo dicho puede que no se mantenga: la propiedad de estar vivos. La propie. dad de la vida aparentemente no es reflejada en el espacio-tiempo, y aunque sea una propiedad pero fectamente evidente de muchos objetos, no se pue-de considerar que la vida est "e n" el espacio-tiem-po en el mismQ sentido en que las propiedades [isicas lo estn. No existe evidencia de una " antivi-da" sino nicamente de la ausencia de vida en ca-sos particulares.

1-3 LA MEDIDA DEL ESPACIOTlEMPO

Hemos aprendido, en nuestros estudios anteriores de ciendas naturales, a considerar la naturaleza en sus muchos aspectos diferentes, que diversamente denominamos masa, energa, fue rza, momento , carga elctrica, etc. Empero , es importante rece r-dar que ninguna de estas cualidades es med ida nun-ca en un se ntido directo. Debemos a"p render que todo cuanto se hace, en ltimo trmino, al efec-tuar una observacin cientfica es medir intervalos de espacio e intervalos de tiempo. Todas las otras cantidades se derivan de estas medidas. Los in ter-valos espaciales se pueden medir directamente co n alguna especie de barra para medir (por ejemplo, con un metro) , o pueden ser indicados por alguna especie de escala de resorte (por ejemplo, por las posiciones variables de una aguja de balanza).

Otro mtodo para efectuar la medicin de un intervalo de distancia consiste en considerar el in-tervalo de tiempo que le toma a un pulso de radia-cin electromagntca salir y regresar despus de se r reflejado. As, notamos que existe una cercana relacin entre los intervalos temporales y los espa-ciales. En forma anloga, las distancias desde un pico a otro de algunas ondas en un medio determi-

10 PRIMERA PARTE : ESPACIO Y TIEMPO

1-7 Qu se quiere expresar, matemticamente, con el trmino "continuo"? Consulte algu-nos textos sobre anlisis en la seccin de ma-temticas de una biblioteca.

LECTURA RECOMENDADA

DIRAC, P. A. M. , "La evolucin de la visin que los fsicos tienen de la Naturaleza," Sci. Am., ma yo de 1963.

EINSTEIN, Albert, "Sobre la Teora Generali-zada", Sci. Am., abril de 1950.

1-8 Discuta la diferencia entre un universo en el cual toda la materia est simplemente incrus-tada en el espacio-tiempo y otro en que la geometra del espacio-tiempo "produce" la materia.

FRISCH, David H., and THORNDIKE, Alan M., Part(culas Elementales, Van Nostrand Reinhold, Nueva York, 1964.

GAMOW, George, "El Universo Evolucionista", Sci. Am .. septiembre de 1950.

SCHRODINGER, Erwin, Estructura del Espacio -Tiempo, Cambridge University Press, Londres , 1950.

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2

Leyes de conservacin

Sir Isaac Newton (1642-1727 )

Nacido en Lincolnshire, Inglaterra. estudi en el colegio de la Trinidad, Cambridge. Newton tuvo la ctedra Lucasiana de Matemticas en la Universidad de Cambridge (1669). En 1687 public sus Principios matemticos de la filosofa natural, uno de los ms grandes trabajos de todos los tiempos. Newton, poderosa influencia en el dominio del pensamiento cientffico, desarroll el clculo diferencial e integral, las leyes fundamentales de la mecnica clsica y la teor/a de la gravitacin; tambin efectu extensas investigaciones en ptica V astronomla. Presidi la Real Sociedad desde 1703 hasta su muerte.

2-1 CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL 2-2 CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR 2-3 CONSERVACION DE LA ENERGIA 2-4 CAMPOS

11

2-1 CONSERVACION OEL MOMENTO LINEAL

Sabemos por nuestros estudios previos que la llega-da del siglo XX marc el principio de una era de progreso sin paralelo en el desarrollo de las ciencias fsicas. An as, aunque la mecnica clsica tiene casi 400 aos de antigedad, un conocimiento de sta es esencial para comprender claramente los principios bsicos de la fisica moderna , por eje m-plo_ de la teora de la relatividad y la mecnica cuntica. Examinemos el desarrollo de la fsica cl-sica antes de proceder con nuestra discusin de la rISica moderna.

La cinemtica, el estudie del movimiento, fue desarrollado principalmente por Galileo Galilei (1564-1642) un brillan te astrnomo y matemtico italiano. En el ms bsico de los sentidos, la cine-mtica es justamente un estudio geomtrico con la ~dicin de un nuevo parmetro- el tiempo. El estu-dio de las causas del movimiento (la dinmica) fue desarrollado por Sir Isaac Newton (1642-1727) el gran astrnomo, fsico y matemtico ingls. (Inde-pendientemente de Leibnitz, Newton desarroU el clculo infinitesimal).

La me cnica clsica ha sido til al resolver una amplia variedad de problemas en ingeniera, astro-noma, y fsica; sin embargo, el desarrollo de la fsica moderna ha mostrado que la mecnica clsi-ca no es universal en su aplicacin. La investiga-

12

cin del mundo microscpico de los tomos, elec-trones y protones, etc. ) ha impulsado el desarrollo de nuevas herramientas de la fsica moderna: de la relatividad y de la mecnica cuntica. Debemos no -tar en este punto que como fsicos continuamente estamos tratando de establecer un modelo mate-mtico para describir el espacio o universo a nues-tro alrededor. Notemos que: Una teoria en la [isi-ca no se considera como una verdad total, sino slo como un modelo para aplicarse a resolver pro-blemas y encontrar soluciones que estn en cerca-no acuerdo con la evidencia ofrecida por la deter-minacin experimental.

Las ms fundamentales de estas leyes o modelos son las leye s de conservacin. Se dividen en dos grupos: las leyes elementales "extrnsecas" sobre la conservacin del momento lineal, del momento angular y de la energa; y las leyes "intrinsecas" sobre la conservacin del nmero total de nucleo-nes en una reaccin nuclear, la conservacin del nmero de leptones y de bariones, y as sucesiva-mente. Este ltimo grupo de leyes de conservacin ser desarrollado y discutido en esta obra a medida que sea necesario. Aqu revisaremos las leyes ele-mentales de conservacin con nimo de establecer una base para el estudio de esta materia.

La mecnica clsica ha sido abordada o estudia-da ya sea empezando con las leyes de Newton co-mo base o empezando con el principio de conser-vacin del momento lineal. Nosotros abordaremos

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la mecnica desde el ltimo punto de vista , ya que la conservacin del momento lineal es ms simple y sus aplicaciones son ms generales. As, supon-dremos que el principio de conservacin de l mo-mento lineal es la ley ms fundamentaL

Al discutir los movimientos relativos de varios cuerpos, podramos usar las varias velocidades co-rrespondientes: aquellas velocidades de cada uno e los cuerpos con respecto a cada uno de los otros uerpas. Este procedimiento pronto se vuelve

muy complicado y por lo tan to encontraremos ms simple usar, en su lugar, un sistema t ridimen-sional de coordenadas ortogonales para describ ir un "marco de referencia" comn, en el cual se mueven todos los cuerpos (allilque tal vez algunos estn en reposo). Por ortogonal queremos decir que las coordenadas mismas no dependen una de las otras. El marco (x, y, z) de coordenadas lineales mutuamente perpendiculares es un ejemplo muy comn .

Tambin especificaremos que este marco es un marco "inercial" de referencia . Con lo cual quere-mos decir que, en l, la mecnica clsica permane-ce vlida. Veremos ms tarde que la " mecnica clsica" incluye la mecnica de la relatividad espe-ciaL Si podemos especificar tal marco de referen-cia, todos los otros marcos de referencia que se mueven con velocidad lineal constante con respec-to al primero tamb in son inerciales. El problema de la existencia de un " marco fundamental de refe-rencia", como aqul en el cual son vlidas las leyes de Newton, es un postulado de la mecnica Newto-niana y de la teora de la gravitacin , conocido como principio de Mach*.

Inherentemente relacionado al concepto de fuerza, piedra angular de la mecnica, est lo que llamamos masa inercial. La masa inercial repre-senta una medida de la oposicin que un cuerpo experimenta para ser acelerado . Sabernos que para una fuerza dada, mientras ms grande sea la masa sobre la cual acta la fuerza, menor es la acele ra cin impartida al cuerpo. Clsicamente , se consi-dera que la masa inercial es una constante universal e independiente de efectos exteriores tales como fuerza , temperatura, o velocidad .

"'Ver, por ejemplo, la Endclopedia Britntca.

CAPI TULO 2: LE YES DE CONSEAVAC10N 13

El momento lineal de una partcula de masa iner-cial m que se mueve con velocidad v es un vec tor que se define por

(2- 1 )

En trminos de vectores unitarios y de componen-tes, podemos escribir

p = inw .... + jmvy + kmv,! donde 1, J, k son vectores unitarios paralelos a los ejes coordenados x, y, y z respectivamente , y don-de v x , V y y Vz son los componentes correspon-dientes de l vector de velocid ad v referidos a los tres ejes ortogonales.

El principio de conservacin del momento li-neal estab lece que: Para un sistema aislado de par-t{culas, el momento lineal total del sistema perma-necer constante. Por un sistema aislado se entien-de un sistema libre de cualquier influencia externa. Para el sistema aislado de la figura 2-1 ,

mAv ... + m Bv8 = constante (2- 2) Para un siste ma compuesto de muchas partculas, tenemos rnv + mBvB + .. . + mNvN -

I N I ~ nliv = constante 1 (2-3)

Ahora derivaremos las tres leyes del movimien-to de Newton a partir de l principio de la conserva-cin de l momento. Para dos partculas aisladas , la diferenciacin de la ecuacin (2-2) con respecto al tiempo da

Ya que a dvjdt, tenemos

dv. -m. -

dI

(2-4)

Las ace leraciones son as inversamente proporcio-nales a las masas inerciales, a = F(l/m), dondeF es una constante de proporcionalidad. Por lo tanto , tenemos una definicin de fuerza:

(2-5)

14 PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TI EMPO

z

mA

x

Figura 2. ' El principio de conservacin del momento lineal para un sistema de dos partculas aisladas requiere que m A VA + mB v B = constante a travs de toda la interaccin de las dos partculas, desde {= _ 00 hasta t = + oo.

Esta es la segunda ley de Newlon. Ahora bien, para dos particulas aisladas interaccionando slo entre s por una fuerza (por ejemplo, elctrica o gravita. cional), FA es la fuerza que la partcula B ejerce sobre la A y F B es la fuerza que la partcula A ejerce sobre laB

Este es el principio de accin y reaccin al que nos referimos como la tercera ley de Newton.

Finalmente, para una sola partcula libre, ya que tanto F = O como a = O. y puesto que sabe mos que a = dv(dt concluimos que

\ v = constante I Esta es una exposicin de la ley de inercia o prime-ra ley de Newton.

La segunda ley de Newton puede escribirse ca mo

F=

de la cual obtenemos

d - (mv) dI

F di - d(mv) (2-6)

Cuando la fuerza acta por un tiemxJ finito tI, tenemos

I J" F dI = ,,!v - mvo I t = o I o,:

- ------'-,._-

(2-7)

Esta integral es llamada el impulso de la fuerza F. Vemos que es igual al cambio de momento que resulta de la aplicacin de esta fuerza durante el tiempo t'.

Cuando una partcula energtica efecta una colisin de corta duracin con una segunda par-tcula, se dice que las fuerzas entre las partculas son fuerzas impulsivas. Aunque las fuerzas impulsi-vas mismas son en general difciles de medir, las colisiones pueden ser analizadas a travs de la con-servacin del momento lineal usando la ecuacin ( 2.7)_ Ya que las fuerzas impulsivas a menudo son grandes cuando se comparan con las fuerzas exter-nas al sistema , y ya que son aplicadas por muy cortos intervalos de tiempo , frecuentemente pode mas suponer que las fuerzas externas al sistema son despreciab les. Por estas razones, durante una colisin, elstica o inelstica, se puede suponer que el momento se conserva.

22 CONSERVACION OEL MOMENTO ANGULAR

El rno~nto angular para l.i 1a partcula con mo-mento lineal p . localizada por el vector de posicin r con respecto a un origen de referencia 0 , es un vector definido por

L=rxmv=r x~ (2-8) como se ilustra eo la figura 2-2(a). Deb emos no tar que el momento angular depende de la eleccin del lugar de l origen de referencia. Tambio , contra ria mente a nuestras expectativas, la partcula no neo cesita tener, con respecto a un sistema dado d! coordenadas, ningn tipo de movimiento circula: para poseer momento angular. Podemos reescribi: el vector de momento angular en trminos de 10:5

1

1

l)

lf ,1 a-

e-

le ar

>ir os

z

p

k 1

o~---2--------------~y ~A

i

x

(,)

z

o~~--------------~y

x

(b)

Figura 2-2 (a) Una partcula de masa m con momento lineal p dirigido en el sentido negativo del eje Y tendr un momento angular L = r x p_ (b) Una partcula de masa m sobre la cual acta una fuerza F (en el plano yz) tiene un momento de torsin con res-pecto al origen igual a T = r x F.

vectores unitarios y de las componentes del mo-mento lineal como

i k L x y z

Px Py p:!.

i(yp, - ZPy) + j(zpx - xp,) + k(xp, - YPx) (2-8,)

CAPITULO 2: LEYES DE CONSERVACION 15

Recordemos que la fuerza puede ser consi-derada la "causa" del movimiento lineal. En la mis-ma forma el momento de torsin, usualmente de-notado por T, puede ser considerado la "causa" del movimiento rotacional. En la figura 2-2(b) una fuerza F aplicada a una partcula con el vector de posicin r desde el origen de referencia produce un momento de torsin.

(2-9)

Para desarrollar una relacin entre el momento angular y el momento de te .-sin, diferenciamos la ecuacin (2-8) con respecto al tier.1po, obteniendo

dL dI

dr dI

d x mv + r x - (mv)

dI

Ya que dr/dt ~ v, (dr/dt) x mv ~ O, Y F-(d/dl)(mv), La ecuacin se puede simplificar a

(2- 10)

En el movirrento planetario, la atraccin gravi-tacional acta continuamente sobre un cuerpo. Es-ta siempre es una fuerza dirigida a lo largo del radio de la trayectoria del cuerpo, dado que el centro del cuerpo es el origen de referencia. "Ya que el vector de posicin r y la fuerza F estn siempre en la misma direccin, T = r X F = O, Y de la ecuacin (2-10) concluimos que el momento an-gular L de tal sistema debe ser constante.

Para un sistema de muchos cuerpos y fuerzas, el momento de torsin resultante es

N d (N , TR ~ L Ti ~ - L L)

i=l dt i=1 (2- 11 )

Consideremos un sistema libre de fuerzas exter-nas. Nuestro anlisis previo ha mostrado que los momentos de torsin debidos a las fuerzas internas entre cualquier par de partcUlas se cancelan, de acuerdo con la tercera ley de Newton,

16 PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

y por lo tanto

I L: L = constante (2-12) Esta es una exposicin de la conservacin del nzo.. mento angular.

23 CD NSERVACIDN DE LA ENER GIA

En la figura 2.3(.), sobre un. partcula que se mueve a lo largo de la trayectoria curvilnea AB acta una fuerza F a medida que recorre el despla-zamiento dr. El trabaj(J diferencial de la fuerza se define por

dW = F' dr (2- 13)

Si la fuerza F es aplicada a lo largo de la trayecto ria AB, entonces el trabajo total hecho es

WAB = r F . dr = r Feos" dI' (2-14) Supongamos que F es la resultante de todas las fuerzas que actan sobre la partcula. Entonces

fB dv f'B = m - "dr= mV 'dv A dt "A z

v, y o'~----------------~

x

~a)

Figura (2.3)(.)

ya que drld! = v. Si integramos se obtiene

I w" - f>" : m ' - , .. } K B - KA

(2-15)

,

La cantidad K= ~mv2 se define como la energa cintica. Esta es una exposicin del principio de trabajo-energa: El trabajo resultante efectuado por todas iIls fuerzas que actan sobre la part(cuill es igual al cambio correspondiente de la energia cintica.

La fuerza F, en la figura 2.3(b) se llama fUerza conservativa si

WAB = f F, .

Ya que F, = - Jmg, el trabajo hecho por la fuerza es

WA = f" (- jmg) ' (i dx + j dy) J"

=

_ f,',' J, mg dy = mg(h, - "2) W= mgh

y

A

m

,

j B 1 . x O ----,.. ,

Figuro 2-4 El trabajo hecho por la fuerza gravitacional con servativa es independiente de la trayectoria entre los puntos A y B .

Ya que el trabajo hecho por la fuerza gravitacional es independiente de cualquier trayectoria que se lOme entre k>s puntosA y R, es una fuerza conse r-vativa.

La energ(a potencial se define en trminos del u abajo hecho por una fuer za conservativa:

u .. = IF"dr = u. - u. (independiente de la trayectoria)

12- 1 e)

La funcin e",al.r de posicin U(x , y,z) es la fun cin de la energa potencial asociada con la fuerza conservativa Fe- Las cantidades UA y Un son sim-plemente los valores de la funcin U(x, y, z) evalua-da en lo, puntos extremos de l. trayectoria. La energ{a potencial en cuak}uier punto dado est de-5nid a por la ecuacin (216) , en la cual la posicin

CAPI T U L O 2 : LEYES DE CONSERVACION 11

B puede ser elegid a arbitrariamente. Usualmente , B se escoge en el infinito, de manera que UB = O. Por lo tanto,

La energa potencial en cualquier punto es en tonces definida como el trabaja hecho por una fuerza igual pero opuesta en direccin, usada para mover la part(cu[a desde el punto de referencia B hasta la posicin dada A.

Recordemos el principio del trabajoenerga da do por la ecuacin (2.15):

Es te puede ser reescrito para incluir tanto fuerzas co nservativas como no conservativas:

WAs (conservativas) + WAB (no conservativas) = K. - KA (2-18)

De nuestra discusin anterior sabemos que

WAB(conservativas) = UA - U.

Rearreglando los t rminos de la ecuacin (2-1 8) WA.(no conservativas} = (K. - KA)

- (UA - U.) o

W .. (no conservativas) (2-19)

Si toda:! las fuerzas implicadas son conservativas, de forma que WA (no conservativas) = O, ob te-nernos

I KA + UA = K. + U. = constante I (2-20)

E:!ta e:! una exposicin de la conservacin dp. la eneTNia mec"ica. En otras palabras podemos decir que cuando todas las fuerzas que actan sobre una part cula liOn conservativas, ]a energa total en

13 PAlMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

cualquier posicin es igual a una constante llamada energia mecnica total.

Cuando consideramos todas las fuerzas, tanto conservativas como no conservativas, el trabajo he-cho por las fuerzas no conservativas en la ecuacin (2-19) siempre aparecer como alguna forma de energa . Por ejemplo, si la fuerza no conservativa es una fuerza de friccin , entonces la energa de esta fuerza aparecer como energa calorfica. El principio de conservacin de la energa, una expo-sicin generalizada que deducimos de la experien-cia, establece que la energla de un sistema aislado puede ser transformada de una clase de energia a otra; sin embargo. la energll total en sus varias formas no puede ser creada ni destruida.

2-4 CAMPOS

Una defmicin de la fsica establece que es el estu-dio de los diferentes tipos de interacciones-gravita-cionalcs, electromagnticas, dbiles y fuertes. Estas interacciones pueden ser estudiadas a travs del

p w

mecanismo de los campos. Brevemente revisaremos aqu los conceptos de campo.

Hay dos categoras de campos: vectoriales y es-calares. Defrnimos un campo como una regin del espacio en la cual podemos hacer una medicin de una cantidad fsica. Un campo escalar de posicin es definido por una funcin de posicin q,(x,y, z) que asigna a cada punto en el espacio un valor numrico escalar. Por ejemplo, consideremos un bloque metlico tridimensional que contiene una fuente de calor. El campo escalar de temperatura para este bloque puede ser dado como

4>(x, y, z) = 2x' - 3y' + z - 16 CC) El valor escalar de la temperatura asociado con un punto particular P (x = 2, Y = 1, z = O) es enton-ces

4>(x, y, z) = 4>(2, 1, O) = - 11C Existen muchos otros ejemplos de campos escala-res, tales como una distribucin de densidad, pre-sin y as sucesivamente. En algunos casos se aa-de una cuarta coordenada -el tiempo- y el campo

Q: ' m . ~----- r- -- -, g'

o. A

La masa mi crea un campo gravitacional 9 en el espacio que rodea a m2 La masa m2 crea un campo gravitacional . . 9 en e l espacIo que

rodea a ml

Figura 2-5

Os B

9cC

El campo gravitacio-nar 9 acta sobre la masa m2

E I campo gravita-donar g' acta so-bre la masa mI

90 O

Una fuerza W2 = m2 9 se ejercer so-bre m2

Un a fuerza W I = mI g' se ejercer so-bre mI

Interaccin gravitacional entre dos masas.

.!SC3.1ar se vuelve una funcin tanto de la posicin

.;omo del tiempo. Un caso simple se da cuando la :zmperatura en un punto dado no permanece cons-z]te y vara con el tiempo.

Un campo vectorial se define por una funcin . "'torial F(x , y, z) que asigna a cada punto en un ::]2j"CO de referencia dado, un vector. Un buen * mplo de un campo vectorial es el campo gravita-.:icmal de la tierra, en el cual se asigna un vector & a ;:aja punto en el espacio. La magnitud de g depen-~ de un parmetro~la distancia del punto al cen-tro de la tierra.

La interaccin de los campos gravitacionales de :5os masas se ilustra en la figura 2-5. Los campos ~vitacionales a distancias PA, PB, pe, Y PD de la

n ~ mi son, respectivamente, &A, gB, gc y gD' L\- La masa de prueba mz localizada en p' a la distan-

.:ia r de la masa mI experimenta un campo gravita-don al g producido en ese punto por la masa mi_ El campo acta sobre mz y le produce una fuerza

lla- ,gravitacional F2 = mzg. Esta siempre es una fuerza ):e- 2.:uactiva dirigida hacia mI. Siguiendo el mismo LU3- 1_Tllisis, vemos que m2 ejerce una atraccin gravi-npO m"cional F 1 = - m I g sobre mi' Las fuerzas F 1 Y

F2 son iguales y opuestas en direccin, de acuerdo con el principio de accin y reaccin F 1 = - F2 .

Como ya expusimos antes, adems de las in-teracciones entre fuerzas gravitacionales, hay otras fuerzas interaccionantes-electromagnticas, fuer-es o nucleares, y dbiles. Las intensidades relativas le estas interacciones se muestran en la tabla 2-1.

Tabla 2-1 Fuerzas de interaccin

INTERACCION

gravitacional dbil (nuclear) electromagntica fuerte (nuclear)

INTENSIDAD RELATIVA

Aunque las interacciones gravitacionales son las s dbiles, la peculiar propiedad que poseen de ;nentar sin lmite a medida que la masa atractiva nenta, hace de la fuerza gravitacional la ms 'a de la vida cotidiana. Estas fuerzas fueron das por Newton en el siglo XVII para construir

CAPITULO 2: L EYES DE CONSEAVACION 19

su teora universal de la gravitacin. Las fuerzas electromagnticas llegaron a ser conocidas de los antiguos, a travs de la atraccin que la magnetita ejerca sobre materiales magnticos tales como el hierro, y en la atraccin o repulsin de pequeos trozos de materiales por el vidrio o la resina frota~ dos con seda. Augusto Agustino (San Agustn) fue el primero en notar la diferencia entre las fuerzas elctricas y magnticas en estos ejemplos. Muchos siglos despus, Faraday , Maxwell, Lorentz y otros cuantificaron el concepto de campo electromagn~ lico. El campo nuclear fue descubierto por Ruther-ford en sus histricos experimentos con hojas de orO para dispersar partculas a procedentes de fuentes radiactivas. El campo nuclear dbil est im-plicado en el decaimiento ~ de las partculas ele-mentales y de los ncleos atmicos y fue descrito por primera vez en forma cuantitativa por Fermi en su teora del decaimiento ~ desarrollado en la dcada de 1930*.

Las interacciones gravitacionales y electromag-nticas explican la mayor parte de los fenmenos que tienen lugar en el mundo macroscpico. As, estas interacciones fueron las primeras en ser eo-tendidas. Por otro lado, se puede pensar en las interacciones fuerte y dbil como en los modelos de trabajo apropiados para los fenmenos del mun-do microscpico.

Brevemente, entonces, establecemos de nuevo que la materia de la fsica se puede definir como el estudio de los diferentes tipos de interaccin entre las partculas y de las leyes de conservacin. Las leyes elementales de conservacin discutidas en es-te captulo forman la base de la fsica terica. Las leyes intrnsecas de conservacin, tales como la conservacin de la paridad, la conservacin de los nucleones, etc., sern desarrolladas y estudiadas en captulos posteriores a medida que las ne-cesitemos.

Establecemos sin probarlo que cada ley de conservacin aparece como el resultado de alguna propiedad de simetra nica de un campo o del espacio-tiempo mismo.

.(0:= alfa), (j3 = beta) letras del alfabeto griego.

20 . PAlMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

PROBLEMAS

2-1 Una partcula de masa m, ":' 2.0 kg tiene una velocidad v, = 3 + 5 j mlseg. y una segunda partcula de masa _ m2 """ 6_0 Kg tiene una velocidad V2 =4 i + 2 j m/seg. Cul es el momento total del sistema compuesto de estas dos partculas?

2-2 Un neutrn con una velocidad de 8.0 X 106 m/seg efecta una colisin elstica de frente con un ncleo de helio inicialmente en reposo. D e termine el momento y la velocidad del ncleo de helio despus de la colisin.

2-3 Muestre que para un planeta en rbita alrede-dor del sol bajo la influencia de fuerzas radia-les solamente, el momento angular del plane-ta se conserva.

2-4 Una partcula CL con una velocidad de 6.0 X 105 m/seg hace una colisin elstica con un tomo de carbn inicialmente en reposo. La partcula CL es dispersada a un ngulo de 60' con respecto a la direccin original y el to-mo de carbn a un ngulo de 30 al otro lado de la direccin inicial. La masa del to-mo de carbn es tres veces la de la partcula Q. Encuentre la velocidad del tomo de car-bn despus de la colisin.

2-5 Una masa de 3_0 kg. con una velocidad de v = 9.6i + 12 8j- mlseg golpea una pared per-pendicular al eje X. Suponga que esta es una colisin perfectamente elstica y determine el impulso dado a la masa como un resultado de la colisin.

2-6 Una pasa de 5.0 kg con una velocidad de v, = 20i m/seg choca con otra masa de. 4.0 kg que viaj a a la velocidad de'2 = - 65 i mlseg. Si estas masas permanecen unidas, encuentre la velocidad de la combinaCIn despus del choque. Cul es el impulso dado a la masa de 5.0 kg?

2-7 Una partcula de masa m = 2.0 kg se mueve con una velocidad constante de v = 20 i m/seg. Si pasa por el punto P (0.1 O m) en el tiempo t = O, encuentre su momento angular con respecto al origen cuando t = 1.0 seg y cuando t = 3.0 seg.

2..8 Un electrn gira en una trayectoria circular de radio 5.3 X 10-' 'm con una velocidad de 2.2 X 106 m/seg. Cul es la magnitud del momento lineal del e lectrn? Cul es la magnitud del momento angular?

2-9 Un astronauta usa un uniciclo para ejercitar-se. Si el astronauta y el uniciclo estn "flo-tando" mientras que se ejercita, describa el movimiento resultante. Qu pasa cuando repentinamente detiene la rueda giratoria?

210 Qu tanto trabajo se requiere para acelerar una masa de 0.012 kg. de una velocidad de 200 m/seg hasta otra de 380 m/seg?

2-11 Las estrellas brinarias de igual masa giran al rededor de su centro de masa. Discuta la conservacin del momento, lineal y angular, para este sistema.

LECTURA RECOMENDADA

COHEN} l., "Isaac Newton", Sci. Am., diciembre de 1963

FEINBERG, G., Y GOLDHABER, M. , "Las leyes de conservacin de la Fsica". Sci. Am., octubre de 1963.

FEYMAN, R. P., LEIGHTON, R. B., y SANDS, L. M., Las lecturas de Feyman sobre la Fisica, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963, Vol. 1, ca ptulos 5 y 8.

HESSE, H. , "Carta de recursos sobre las bases filo sficas de la mecnica clsica", Am. J. Phys. 32. 905 (1964).

LlNDSAY , R. B., Y MARGENAV, H., Funda-mentos de [isica, Wiley, Nueva York 1936.

McCUS KEY, S. W., Introduccin a la dinmica avanzada, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962, captulo 1.

MAGIE, W. F., Un libro fuente de la [isica, Harvard

CAPITULO 2: L EYES DE CONSE R VACION 21

Unive rsity Press, Cambridge , Mass., 1963, pginas 212-220 y 228-236.

RABINOWICZ, E., "Carta de recursos sobre la friccin",Am. l. Phys. 31,897 (1963).

YOUNG, Hugh D., Fundamentos sobre mecnca y calor, McGraw-Hill , Nueva York, 1964.

22

3

Relatividad clsica

Galileo Galilei (1564-16421

Nacido en Pisa, Italia, y educado en la Universidad de Pisa .. Galileo construy una 'lsica matemtica vlida para una tierra en movimiento. Su tratado ms famoso, Dilogos referentes a dos nuevas ciencias (1638) contiene un estudio detallado del mo vimiento. Expresando sus resultados en un lenguaje matemtico conciso, sent6 el ejemplo para los futuros cient/'ficos. Galileo fue sen tenciado al arresto permanente en su hogar cerca de Florencia en 1633 por defender ardientemente las teodas copernicanas, a las cuajes se oponan vehementemente los !t/eres de /a iglesia.

3-1 LIMITES DEL "SENTIDO COMUN" 3-2 PRINCIPIO CLASICO DE LA RELATIVIDAD 3-3 INVARIANCIA DE LA CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL 3-4 INVARIANCIA DE LAS LEYES DE NEWTON

31 LIMITES DEL "SENTIDO CDMUN"

En el captulo previo empezamos nuestro estudio de la fsica, y por lo tanto del mundo fsico, consi derando el efecto que las fuerzas mecnicas tiene n sobre los objetos en el universo. Cmo actan las fuerzas para hacer que los objetos se muevan o para cambiar su estado de movimiento, es el tema de una rama de la fsica llamada mecnica. Todos hemos observado estos fenmenos desde nuestra ms temprana niez; todos hemos experimentado fuerzas y aceleracione s de algunos objetos. Por ejemplo , hemos aprendido a "inclinarnos" hacia el interior de una curva cuando estamos patinando o corriendo. Hemos experimentado un "momento" a medida que nos deslizamos en bicicleta hacia abajo y despus hacia arriba de una colina. Hemos observado los efectos de fuerzas generadas contra una superficie : por ejemplo. cuando una roca o pelota golpea una superficie y su vector de mo-mento cambia con rapidez, especialmente si la su-perficie es una ventana de vidrio . Estos eventos constituyen nuestra experiencia comn , y as se vuelven componentes de 10 que calificamos como nuestro sentido comn.

Los fsicos y otros cientficos estn tratando de ampliar estas lecciones del sentido comn y de aplicarlas a lo muy grande (macroscpico), a lo muy pequeo (microsc pico), a lo muy rpido, y a

los objetos muy distantes . Un verdadero progreso en estos intentos se ha obtenido en los siglos re-cientes, a medida que los cientficos aprendieron a codificar la experiencia comn en un conjunto de leyes generales que podan expresarse como ecua-ciones. Estas ecuaciones se pueden aplicar a la des-cripcin de una vasta porcin del universo conocido.

Las mediciones que efectu Tycho Brahe, uno de los primeros astrnomos, de los movimientos de los planetas a trav s del firmament o , proveyeron a JohaIU1es Kepler en el siglo XVI con datos sufi cientes para que pudiera definir las trayectorias de los planetas como rbitas alrededor de un centro de masa comn. Despus, hacia el fin de l siglo XVII, Newtoo desarroll su teora de la mecnica usando algunos de los conceptos dnemticos crea-dos por Galileo, y pudo demostrar que las leyes empricas del movimiento planetario. formuladas por Kepler, tenan su base fsica en las leyes de la gravitacin.

Los fsicos del siglo XVII se animaron bastante al encontrar que, evidentemente, las mismas leyes de la mecnica que describen la trayectoria de una roca lanzada a travs del aire podan describir el movimiento de los planetas alrededor del sol. En tonces fueron capaces de ampliar legt imamente sus "sentidos comunes" a grandes distancias.

Sin embargo nosotros, como fl'sicos del siglo XX, a medida que abarcamos mayores distancias y

23

2 4 PRI M ERA PA R TE: ESPAC I O Y TI E M PO

masas ms grandes, o a medida que consideramos obj etos muy pequeos y obje tos que viajan a muy altas ve locidades, encontramos que nuestros sent i-dos comunes ya no son apl icables. As , descu-brimos que las " leyes" que gobiernan el mundo existente a nuest ro alrededor son, en realidad, slo aproximaciones a un conjunto ms grande de leyes que cubre n un dominio ms amplio de la natura-leza. Encont raremos entonces que este conjunto ms grande de leyes es t lejos todava de ser un conjunto ve rdaderamente universal con el cual des-cri bir el vasto universo en todos sus detalles. Pero como nues tros sentidos comunes s se aplican, con predsin excelente , a una gran porcin de la natu-raleza , utilizamos un trmino especial para desig-nar este dominio de la fsica: clsica.

La mecnica clsica, como otras ramas de la mecnica que han sido desarrolladas, dependen de l tipo de leyes de conservacin que establecen que alguna can tidad permanece igual a travs de l cam-bio en rl movimiento de un obj eto. Por ejemplo , la masa de una pelta antes y despus de haber sido golpeada . El sentido comn nos dice q ue, funda-

mentalmen~e, la naturaleza debe ser la misma para el hombre que viaja en un tren que para el hombre que ve pasar al t ren por su lado. Una distancia, cligamos de 1 m. medida sobre el tren debe ser la misma que una distancia equivalente medida sobre

y ,

1'5,

m T,

z,

Figura 3-'

la tie rra, y el re loj en el bo lsillo del hombre en el tren debe marcar la misma hora que el reloj de l hombre que ve pasar el t ren por su lado. Estas son conclusiones de l sent ido comn o de l enfoque cl-sico de la natura leza. Derivemos ahora, de esta for -ma de abordar la na turaleza, un postulado clsico.

3-2 PRINCIPIO CLASICO DE LA RELATIVIDAO

La definicin del trmino relatividad proporciona el concepto clsico subyacente en gran parte de la fsica , y sin embargo lo encontramos tan simple que parece casi trivia l. Por re latividad queremos decir la apariencia que presenta la natura leza a un observador y su relacin con la apariencia que pr~senta la natura leza a otro observador, que puede estar en movimiento con respecto al primero . Pare -ce de simple sentido comn que el estado de movi miento re lativo de un observador no debera alte-ra r las leyes de la naturaleza . Si el estado de movi -miento de un observador pudiera cambiar las leyes , deberamos preguntarnos: existe un conj unto in-finito de leyes, o no existe ninguna ley? As que expresamos fe en nuest ro sentido comn y en la estabilidad de la naturaleza, mediante e l principio clsico de la relatividad: todas las leyes de la natu-raleza deben ser las mismas para todos los observa-

M(xl,Yl,Zl,t1) (X2 , V2.~~ .(2l

Un punto M , movindose en el espacio y en el tiempo, se observa desde un sistema estacionario SI y desde un sistema S2 que se mueve con una velocidad v con respecto a SI.

dores que se mueven los unos con respecto a los otros a velocidad constante. Si el movimiento rela-tivo no es constante, entonces es acelerado, y la situacin se vuelve ms complicada, cayendo den-tro del dominio de la relatividad general.

Ahora derivaremos el principio clsico de la re-latividad en trminos ms formales. En la figura 3-1 los dos marcos o sistemas de referencia, S I Y S2, se mueven uno con respecto al otro. Por sim-plicidad, estn orientados de manera que sus ejes Xi, Y, y Z son parelelos, y que el vector de veloci-dad relativa v es paralelo a los ejes Xl y X 2. Se hace tambin la suposicin de que los relojes en SI Y S2 marchan a la misma velocidad , y estn sin croni-zados para marcar t = O cuando los orgenes de los dos sistemas coinciden. As, nos damos cuenta de que no ser necesario escribir t I o t 2 ya que el tiempo es el mismo en los dos marcos de referencia y basta escribir t para el tiempo en ambos sistemas.

Es importante que entendamos en este contex-t J el tema, aparelltemente trivial, de leer el tiempo ','le marcan los relojes. Descubriremos posterior-.I lente que tal vez este tema es algo ms compli-..:ado de lo que revela nuestro anlisis original. En-tonces, en la relatividad clsica, un observador O, en el sistema SI ve la misma hora TI en su reloj que la que lee en el reloj perteneciente al observa -dor O2 en el sistema S2. Recprocamente, el ob-servador O2 lee la misma hora en el reloj del obser-vador al que la que ve T2 en su propio reloj .

La similitud" del tiempo ledo en cualquiera de los dos sistemas es una suposicin bsica. Al principio esta suposicin puede parecer adscrita al simple "sentido comn". Deberamos hacer algu-nas suposiciones adicionales de sentido comn acerca del espacio que SI y S2 ocupan en comn. Suponemos que se pueden colocar los vectores uni-tarios 11 e 12 sobre los ejes Xl y X2, Y que 1, es siempre igual a 12 cualquiera que sea el valor de t o v. Nuestra suposicin es que un vectOr unitario siempre lo es, cualquiera que sea el marco en el cual se ve o se mide, y que un vector unitario siempre permanece siendo un vector unitario. Ini-cialmente, esta suposicin puede parecer de simple sentido comn , hasta que examinamos la forma en q U. se mide la "longitud" de un vector. Por el momento , eludiremos esta cuestin y descansare-

CAPIT ULO 3: REL A TI V IDAD C LAS ICA 25

mas sobre nuestra suposicin de sentido comn . Para que podamos tratar a los tres ejes igual-

mente, supongamos que un vector unitario ji yace sob!e el eje)' , que ], yace sobre el eje y" y que = j para todos los t sin importar cul observador est haciendo la medicin. Finalmente , dejemos yacer los vectores unitarios k1 y k.2 a lo largo de los ejes z 1 y Z2, respectivamente con las mismas relaciones de igualdad establecidas para los o tros vectores unitarios. Ahora consideremos los dos marcos de refe rencia SI y S2 de la figura 3-1, y olvidemos los sub indices de los vectores lll1i tarios, ya que los vectores son los mismos en ambos siste-mas. Imaginemos ahora que un evento est suce-diendo en M , un punto en el espacio yen el tiem-po que puede ser observado tanto desde SI como desde S2. Este suceso ocurre en el tiempo t ledo en cualquiera de los relojes de los dos sistemas. Por consiguiente, segn la figura 3-1, podemos escribir la ecuacin vectorial

(3-1 )

donde (O, O,) es la distancia desde el origen de S, hasta el origen de S, en el tiempo t del su-ceso. Ya que todos nuestros relojes fueron puestos en marcha cuando los orgenes coincidan, pode-mos escribir esto como

(O,O, )i ~ vti (3-2)

Adems, los vectores de posicin en S I Y S2 se pueden escribir, en trmino s de sus componentes, en esta forma

y " ~ x,i + )',J + z,k (3-4)

donde (x 1, Y 1, Z, ) son las coordenadas de M en S I en el tiempo t , y (x" y" z,) son las coordenadas del mismo punto .\1 pero en S2 en el tiempo t. Ahora, la sustitucin de las ecuaciones (3-2) , (3-3) y (3-4) en la ecuacin (3-1) da

xl i + )',! + zk ~ (x, + vt)i + y,) + z,k (3- 5)

Ya que i, j , k son ortogonales (u objetos funcional-mente independientes), la ecuacin (3-5) se puede

26 PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO

escribir como tres ecuaciones simultneas con la adicin de otra trivial que se defini al empezar:

x, = Xz + vt y, = Yz (3-6) Z, Z2 t, = t2

Notamos que slo los coeficientes en la ecuacin (3-5) aparecen en el sistema (3-6) . Los componen-tes vectoriales de cada lado se han cancelado. El sistema (3-6) es el primer ejemplo de una transfor-macin de coordenadas que hemos encontrado_ Examinemos el significado de esta transformacin. Le oice al observador en SI como relacionar las coordenadas SI de M a las coordenadas S2 de M que l, el observador SI, mide en ambos sistemas de referencia. Si el observador S2 quiere relacionar las coordenadas en su marco con las coordenadas que mide en el marco SI, entonces se mantiene la misma transformacin pero a la inversa_ La inversa del sistema (3-6) es

Xl = Xi - vt Yz = y, Zz - Zl

(2 = tI

(3-7)

Los dos sistemas (3-6) y (3-7) de ecuaciones simultneas representan parte de lo que se conoce .como grupo de transformaciones Galileanas. Si consideramos todas las posibles formas diferentes en que podran estar relacionad~s entre s los dos sistemas, incluiramos los desplazamientos lineales a lo largo de los ejes y y Z, de la misma clase del que hemos descrito a lo largo del eje x. Adems , consideraramos las rotaciones de ngulos variables alrededor de los diferentes ejes y tambin las refle-xiones a travs del origen y en cada direccin. To-rnadas en conjunto, estas relaciones forman un gru-po. Las propiedades del grupo, cuando se exhiben en forma algebrica" representan 10 que general-mente llamamos grupo Galileano. Sin embargo, aqu no nos referiremos a rotaciones ni a reflexio-nes, sino que trataremos de las transformaciones, llamadas mapeos algunas veces , correspondientes a

traslaciones lineales debidas a una velocidad vecto-rial constante v_

Ahora extendemos nuestra teora de las trans-formaciones Galileanas para incluir los efectos di nmicos tanto como los estticos; averiguaremos cmo deben entenderse las velocidades cuando se observan desde diferentes marcos. Imaginemos que nuestro evento en el punto M se encuentra ahora en movimiento, alejndose de M en el tiempo t. Entonces la velocidad del evento con respecto a SI es VI , donde

dr, Vi = -

dt (3-8)

y la velocidad del evento con respecto a S2 es

drz Vz = -dt (3-9)

Sustituyendo la ecuacin (3-2) en (3-1) y diferen-ciando con respecto al tiempo t, Y usando las ecua-ciones (3-8) y (3-9), obtenemos la ecuacin vecto-rial

I V i = Vz + v I (3- 10)

Recomendamos como ejercicio que la ecuaClOn (3-10) se escriba en su forma de componentes [comprense las ecuaciones (3-5) y (3-6)]. En cualquier caso, o sea, como una ecuacin vectorial tal como la dada por la ecuacin (3-10) o la misma ecuacin como un sistema de ecuaciones simult neas en una forma equivalente de componentes, la ecuacin (3-10) puede ser llamada composicin Galileana (o clsica) de velocidades. La ecuacin (3-10) tiene, desde luego, una inversa [comprense las ecuaciones (3-6) y (3-7)],

I V2 = VI - V I (3-11 ) Diferenciamos con respecto al tiempo una vez

ms, recordando que el sistema S2 se mueve con ve locidad constante V con respecto a SI' La misma res-puesta se obtiene de cualquiera de las ecuaciones (3-10) o (3-11), de modo que para ambos obser-vadores

dv, dt

dV2

dt (3-12)

!

(3-13)

!as aceleraciones parecen ser las mismas vistas ~ uno u otro marco. Decimos que la acelera-

es una invariante con respecto a una transfor-~n Galileana. Ya que la masa tambin es una ..nrrria nte en este tipo de transformaciones, el pro-

a de la masa por la aceleracin, o fuerza, tam-;Zn es una invariante con respecto a una transfor-"7'!I::in Galileana.

Hemos estado usando una nueva terminologa en ~pginas anteriores, y debemos advertir que ella es-~de algunos nuevos pensamientos y conceptos. :.zs. leyes de conservacin establecieron que ciertas :::.::::nidades tales como la energa o el momento p.manecen constantes en "cantidad" total antes

:5::~ durante y despus de una interaccin dada. -=-"1Z:le s interacciones son ejemplos de traslaciones en

tiempo, y las leyes de conservacin son exposi-!iones acerca de la invariancia de alguna cantidad ~o estas traslaciones. Por otro lado, en este cap Llllo hemos discutido la invariancia bajo un cambio .:::ompleto de marco espacial. En el caso anterior, ms eventos ocurrieron en un solo marco. En esta seccin, ampliamos nuestro campo para incluir la relacin entre dos ms de estos marcos movin cose entre s. En los prximos captulos, conside raremos con mayor detalle las transformaciones entre dos de estos marcos. En el curso de este proceso ampliaremos nuestra nocin del "sentido comn".

3-3 INVARIANCIA OE LA CONSERVACION OEL MOMENTO LINEAL

En la figura 3-2, las dos partculas de masas m y m' forman un sistema aislado sin fuerzas externas. Sea SI un marco inercial de referencia y S2 otro marco que se mueve con respecto a SI con la ve locdad constante v_Para el sistema S 1 la ley de la conservacin del momento establece que

mv 1 + m'v l ' = constante (3 -141

donde VI Y V; son las velocidades de m y m' respec

CAPITULO 3: RELATIVIDAD CLASICA 27

tivamente. As el valor del nmero dado por la su-ma mVl + m'vl' en el tiempo t permanece inaltera-ble en cualquier tiempo posterior, siempre y cuan do no aparezcan fuerzas externas.

Ahora dejemos que V2 Y v/ sean las veloci-dades respectivas de las mismas dos partculas con respecto a S2. Sabemos que, de acuerdo con la composicin Galileana de velocidades,

VI V + V2 Vl' = V + v/ 13-151

Lasustitucin de la ecuacin (3.15) en la ecuacin (3-14) muestra que

m(v + v2 ) + m'(v + v/) = constante o

mV2 + m'v2' = constante - (m + m')v

y, y,

t ]" m

~, ~

m'

z, z,

Figura 3-2 El momento total de las partculas m y m' es invariante en forma cuando se transforma al siste-ma inercial S2 .

Finalmente

I mV2 + m'v2' = constante 1 (3-16)

ya que (m + m') v = constante. Por lo tanto, comparando las ecuaciones (3-14) y (3-16) vemos que la conservacin del momento lineal permanece invariante para todos los sistemas inerciales que se mueven Zos unos con respecto a los otros a velo-cidad constante.

28 PRIMERA PARTE : ESPACIO Y TIEMPO

3-4 INVARIANCIA DE LAS LEYES DE NEWTDN

Consideremos de nuevo una partcula de masa m con velocidades VI y V2 vista desde los marcos de referencia S I y S2 respectivamente, donde ves la velocidad constante conque S2 se mueve con res-pecto aS, (figura 3-3).

y , v,

t t I " Is' 182 v,

I \

v~ o, - --------7 x 2

-;.-X,

z, z,

F gura 3-3 Una partcula de masa m movindose a la velo-cidad v} en el sistema s} y a la velocidad V2 = vI - v en el sistema S2 .

Recordemos que de acuerdo al principio clsico de la relatividad, la composicin Galileana de velo-cidades es

v

ya que dv/dt, - O,

dV2 dl2

As, mal - mal Y las dos fuerzas

F1 = mal F2 - ma2

(3-17)

(3-18)

son las mismas en cada sistema. Hemos mostrado que la segunda ley de la mecnica de Newton es invariante para todos los marcos inerciales que se

mueven los unos con respecto a los otros con velo-cidad constante.

Repitiendo el mismo razonamiento, se puede mostrar que las otras leyes fundamentales de la mecnica - la conservacin del momento angular y la conservacin de la energa- tambin permane-cen invariantes para todos los marcos inerciales que se mueven entre s a velocidad constante. An-tes de exponer nuestra conclusin, demos una defi-nicin til: Un observador inercial es un observa-dor en reposo con respecto a un marco inercial. Por lo tanto, el principio clsico de la relatividad puede exponerse en esta forma: Todas las leyes de la mecnica permanecen invariantes para todos los observadores inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante.

EJEM PLO 31 Una bomba es soltada desde un aeroplano que vuela a una altitud de h = 2000 m con velocidad horizontal constante de v = 150 m/seg (ver figura 3-4). Obtenga las ecuaciones de (a) movimiento, (b) velocidad, y (e) aceleracin de la bomba segn lo que ve un observador terrestre O} en un marco de referencia estacionario S 1 (x 1 , y d y segn lo que ve el piloto O2 en el marco en movimiento S. (X2. Y2)

SOLUCI..ON (a) Ecuaciones de mOVImIento. La aceleracin

de la bomba vista por el observador terrestre es simplemente g = 9.80 m/seg 2 (la aceleracin de la gravedad). Al ser soltada la bomba por el aeropla-no, su velocidad horizontal permanece constante con v = 150 m/seg medida por el observador te-rrestre.

Despus de t seg. , el aeroplano se ha movido desde O2 hasta =0'2 [figura 3-4(b)], y la bomba se encontrar en A justamente debajo de l. SiXl y y 1 son las coordenadas de la bomba, medidas des-deS 1 , el movimiento de la bomba visto por el obser-vador terrestre es

Xl = V J:rl = ISO, Y = h - -J-gt 2 = 2000 - 4.9t 2

El piloto ve

CAPITULO 3: RELATIVIDAD CLAS ICA 29

{a) La bomba es soltada lb) La bomba despus de t seg

Figura 3-4 Bomba soltada desde un aeroplano vista por un observador estacionario y por el piloto.

(b) Velocidad. Diferenciando las anteriores ecuaciones de movimiento, obtenemos para el observador terrestre

dx dI

dy dI

y para el piloto

dx, dI

v 150 m/sec

-gl -9.81

dy, = v" = _ gl = - 9.81 dI

Estos son los componentes rectangulares de la ve-locidad medidos por cada observador.

(e) Aceleracin. Similarmente, los componentes de la aceleracin, para 0 1 ,

d2x dI'

= a 1y =

y parn el piloto O"

-g _ -9.8 m/seg'

d 2x2 dI'

- a2x -o

d'y, = a,y = _ g = -9.8 m/seg' dI'

Estas aceleraciones estn de acuerdo con la trans-formacin Galileana.

PFlOBLEMA S

3-1 Una estacin de radar fijada a la tierra ras-trea dos naves cohete muy rpidas que se aproximan una a la otra a velocidades de 0.60c y 0.8Oc, respectivamente, donde e es la velocidad de la luz. Cul es la velocidad conque se aproximan entre s las dos naves segn un astronauta situado en una de ellas, de acuerdo con las transformaciones Gali-leanas? (Ver tambin el problema 415).

3-2 Una partcula es un sistema estacionario SI tiene una posicin dada por

x = 301 + 101/ donde tI se expresa en segundos y x 1 en metros. Encuentre expresiones para la posi-cin, velocidad y ace!.

30 PRIMERA PARTE : ESPACIO Y TIEMPO

observador que se mueve en la direccin x positiva a la velocidad de lOO m/seg. Supon-ga que ti = t 2 = O cuando los sistemas SI Y S2 coinciden.

3-3 Pruebe que la conservacin del momento an-gular permanece invariante bajo una trans-formacin Galileana.

3.4 Dos pelotas de masas ma y mb se mueven paralelamente al eje x en un sistemaS (Xl, YI, Zt) con velocidades Va Y Vb respectiva-mente . Para una colisin elstica entre estas pelotas,muestre que la energa cintica tam-bin se conserva en un segundo sistema 52 (X2, Y2 , Z2) movindose con velocidad cons-tante v en la direccin Xl.

3-5 Un elevador se mueve verticalmente hacia arriba a una velocidad constante de 5.0 m/seg. Cuando el elevador est a 10 m sobre el piso , una persona sobre el piso tira una pelota verticalmente hacia arriba con una ve-locidad de 20 m/seg. Escriba las expresiones que representan la posicin, velocidad yace-leracin de la pelota con respecto a la pero sona en el piso y a la persona en el elevador.

3-6 En tI = O una pelota es lanzada desde 0 1 en el sistema estacionario SI con una veloci-dad inicial Vo = 30 m/seg a un ngulo de 60 como se ve en la figura 3-5 . Los sistemas SI Y 82 , coinciden en tI = 0, y elsistema 8 2 en la direccin x 1 positiva a la velocidad de 10

y, y, Al t

I s, 's,

I v = 10m/seg

V .J-=Io::, ==)=::: '- ) -:'~":b.XI

0, -,

Figur. 3-5

m/seg. Escriba las expresiones para la posi-cin y para las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleracin de la pelota, vistas desde los sistemas SI Y S,

3-7 Dos puntos A y B estn separados dos kil-metros sobre la misma orilla de un ro . De dos hombres que estn haciendo el viaje re-dondo de A a B y de regreso a A, el primero rema en un bote a 8.0 km/hr. con respecto al agua, mientras que el segundo camina por la orilla a 8.0 km/hr. (a) Si la velocidad de la corriente es de 4.0 km/hr. de A a B, Cul es el tiempo para que c.da hombre haga el viaje completo? (b) Cul es la velocidad del hombre que camina con respecto al hombre en el bote, en el viaje de A a B?

3-8 Un hombre que puede remar en un bote a 5.0 km/hr. en agua tranquila desea cruzar un ro de 1.0 km. de ancho que corre a la velo-cidad de 3.0 km/hr. (a) A qu ngulo con respecto a la orilla debe dirigir el bote para alcanzar exactamente el punto opuesto del que parte? (b) Calcule la velocidad del bote con respecto a la orilla. (c) Cul es el tiem-po requerido para cruzar el ro?

3-9 En la figura 3-6, un ro de anchura L fluye con velocidad constante v. El nadador A ha-ce un viaje redondo SRS paralelo a la orilla, y el nadador B hace un viaje redondo STS perpendicular a la orilla. Si la velocidad de cada nadador con respecto al agua es e,

., . ..: .,- .. ..,.

~

muestre que (a) el tiempo del viaje redondo SRSes

(b) el tiempo para el viaje redondo STS e,

3-10 Dos nios estn jugando con pelotas idnti-cas, cada una de 0.080 kg. de masa , en el pasillo de un aeroplano que viaja a la veloci-dad de ISO m/seg. Cada nio tira una pelota al otro a velocidades de 20 m/seg con respec to al aeroplano. Determine el momento total y la energa cintica, cuando las pelotas es-tn en vuelo , segn las mide (a) un pasajero en el aeroplano, y (b) un observador en la tierra. Explique si son invariantes el momen-to y la energa cintica.

3- 11 Un tomo radiactivo emite una partcula a: a la velocidad de 5.0 x 106 m/seg con respecto al tomo. Si el tomo se mueve en la direc-cin opuesta a la velocidad de 3.0 x la' m/seg con respecto al laboratorio, determine la energa cintica y el momento de la par-tcula a: como se observan (a) desde el tomo en movimiento, y (b) por un observador es-tacionario en el laboratorio.

3-12 Un sistema S2 (X2, 12) se desplaza con movi miento traslacianal uniforme con respecto al sistema S, (x" y,) a la velocidad constante de 30 mlseg paralelamente al eje x. Los ejes correspondientes en ambos sistemas son pa-ralelos entre s. Dos pelotas de masas mI = 2.0 kg. Y m = 3.0 kg. se mueven con res: pecto. al marco SI con velocidades v, = 3 i1 + 4j, (m/seg) y v,' = Si, + 12j m/seg. Calcular (a) las velocidades de las dos pelotas con respecto a S2; (b) el momento totalli-neal con respecto a SI Y a S2, respectiva-mente; y Ce) la energa cintica total con res-pecto a los sistemas S, Y S2 .

CAPITULO 3: RELATIVIDAD CLASICA 31

LECTURA RECOMENDADA

ALONSO, M., Y FINN, E. 1., Ft"sica, Addison Wesley, Reading. Mass., 1968, Vol. 1. Incluye una buena seccin sobre la relatividad y problemas relacionados.

BONDI , H., Relatividad y sentido comn Doubleday, Nueva York. Una introduccin comprensible a la teona especial de la relatividad.

BUCHDAHL, G. , "Ciencia y lgica: Algunos peno samientos sobre la segunda ley del movimiento de Newton", Brit. J. Phil.Sci. 2,217 (1951).

DRAKE, S., "Galileo y la lye de inercia", Am. J. Phys. 32, 601 (1964).

DURELL, Clement V., Relatividad comprensible, Harper & Row, Nueva York, 1960.

EINSTEIN, Albert, e INFELD, Leopold, La evolu-cin de la fsica, Simon and Schuster, Nueva York 1938. Lectura de preparacin para una introduccin a la relatividad.

GALILEI, Galileo,Dilogos sobre dos nuevas cien-cias, traduccin de H. Crewe, MacMillan, Nueva York, 1939.

LANDAU, L. D., y RUMER , G. B., Qu es la relatividad: ,Oliver and Boyd, Edimburgo y Londres, 1960. Libro pequeo y accesible, introductorio al tema.

SEARS, Francis W., y BREHME, RobertW., Intro-duccin a la teon de la relatividad, Addison Wesley, Reading, Mass, 1968.

. Texto escrito con claridad , ofrece ejemplos y mu-chos problemas. Teorz'a especial de la relatividad, textos selectos. Instituto Americano de Fsica, Nueva York, 1963. Contiene muchas referencias y algunos excelentes artculos sobre la tora especial de la relatividad.

32

4

El experimento de Michelson-Morley

Albert Abraham Michelson (1852-1931)

Oriundo de Strelno, Alemania, Michelson emigr a los Estados Unidos. En 1869 fue en viado a la Academia Naval de Jos E. U. Siendo instructor a/l { 11875-/879), efectu sus pr imeros experimentos sobre la velocidad de la luz. En la Escuela Case de Ciencia Aplicada 11883-/889) determin la velocidad de la luz con gran exactitud. En 1920 Mchelson midi por primera vez el dimetro de una estrella. Por sus instrumentos pticos de precisin y por las investigaciones que efectu con el/os, recibi en 1907 el Premio Nobel de (lsica.

4-1 EL CONFLICTO SE DESARROLLA 4-2 LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 4-3 COMPOSICION DE VELOCIDADES DE LORENTZ

4-1 EL CONFLICTO SE DESARROllA

En la ltima parte del siglo XIX, Maxwell y Hertz propusieron la concepcin de la luz como radia-cin electromagntica. Desde entonces, los fsicos han investigado las muchas propiedades. de la luz. Una vez se supo que la luz tena propiedades ondu-latorias, los fsicos juzgaron natural proponer un medio que propagara este movimiento ondulato-rio, o sea, algo en lo que viajaran las ondas de luz. Este medio se conoci generalmente como ter lti -mimlero. Para calificarlo como portador de las on-das de luz, era necesario que dicho ter poseyera algunas propiedades muy extraas. Se postu l que el ter era una sustancia ms ligera que cualquier as o vapor, y al mismo tiempo tena una rigidez

comparable a la del acero. En 1887 ALBERT A. MICHELSON y E. W.

MORLEY idearon y ejecutaron un experimento para probar la naturaleza del ter luminfero y pa-ra intentar determinar la velocidad de la luz con respecto al ter. Los fsicos se dieron cuent a de que si este ter exista , deba llenar todo el espacio y deba ser el sistema de referencia primario y absoluto para la luz. Concluyeron que la tierra de-ba o estar en reposo o movindose con respecto al ter, y que consecuentemente el marco de referen-cia inercial para la luz estaba o en reposo o mo-vindose con respecto a la tierra.

Para efectuar tal experimento , se necesitaba un instrumento ptico preciso . El interfermetro* es un instrumento que haba sido desarrollado para medir la fase , o las posiciones, de los picos de onda a lo largo de un haz de luz, de ducindose de estas mediciones la distancia de un pico al siguiente. Con este instrumento tambin se pueden rea lizar otras muchas e interesantes mediciones. La figura 4 } muestra un esquema del interfermetro. Nte-se que un espejo sernlplateado M divide el haz inci-dente de luz en dos haces componentes que viajan despus formando un ngulo de 90 ent re s. Se dice que estos dos haces son coherentes porque se originan del mismo haz original , y cada porcin de las ondas de luz de un haz tiene una diferencia constante de fase con respecto a las ondas de luz que forman el otro haz. Estos dos haces son a continuacin reflejados por los espejos totalmente plateados MI y M2 Y luego regresan al observador va el espejo M. Si los dos haces recorren trayectu-rias pticas iguales, llegarn en fa se y producirn un campo brillante por in terferencia constructiva. Si la trayectoria ptica de un haz es incrementada corriendo el espejo MI el M 2 lige ramente, los haces empiezan a llegar al observador cada vez ms fuera de la fas e, con una disminucin de la intensi-dad debida a la interferencia destructiva. Si un

"'Ver A. A. Michelson, Estudios en ptica, Universit y of Chicago Press (Phoenix Books), Ch icago , 1962.

33

34 - PRIMERA PAR1"E : ESPACIO '{ TIEMPO

z ,

Superficie semi-plateada '5:";7 Yr ...... .-

MARCO S I EN REPOSO CON ReSPECTO AL ETER O A LAS ESTRELLAS FIJAS

Figura 4-1

x,

Superficie totalmente plateada

Placa compensadora

x,

Superficie totalmente plateada

MARCO S2 UNIDO AL INTERFEROMETRO EN REPOSO CON RESPECTO A LA TIERRA

LA TI ERRA SE MUEVE CON RESPECTO

AL ETER

Esquema del interferrnetro de Michelson , usado para determinar la veloci-dad de la luz con respecto a la tierra.

espejo se mueve a una distancia de ,,/4 de su posicin original, los dos haces quedan completa-mente fuera de fase y se interfieren destructiva-mente hasta producir un campo obscuro . Note que una pieza de vidrio, llamada placa compensadora, se ha introducido en la trayectoria l. Ambos haces de luz viajarn tres veces a travs del mismo espesor de cristal antes de llegar al observador.

Cuando Michelson y Morley decidieron efectuar un experimento para probar las propiedades del ter, pensaron que un interfermetro servira sus propsitos_ Queran disear un experimento que determinara de hecho si exista el ter y si se mo-va con respecto a la tierra. Como las ondas en la superficie de un ro , las ondas de luz deban apare-cer movindose a diferentes velocidades con res-pecto a un observador, dependiendo de si las ondas se movan o no a favor de la corriente del ter, en contra o perpendicularmente. Si la tierra se mueve a travs del ter (o, lo que es lo mismo, si el ter fluye a travs de la tierra) un observador debera poder detectar una diferencia en la velocidad de la

luz en distintas direcciones. Para lograrlo, Michel son y Morley construyeron un gran interferme tra , que hicieron flotar sobre una piscina de mero curio. Entonces trataron de observar cambios en la velocidad de la luz a lo largo de la trayectoria 1 con respecto a la 2, a medida que cambiaban la direccin del interfermetro hacindolo girar en su piscina de mercurio. Una diferencia relativa en la velocidad de la luz sera indicada por cambios en la brillantez de las franjas al final del haz.

Repitamos el experimento en nuestra imagina-cin, pero eliminando las muchas dificultades que tuvieron que vencer Michelson y Morley _ Constru-yamos un gran interfermetro con las trayectorias M M, (no. 1) = M M2 (no. 2) = L y hagamos flotar el aparato en mercurio , orientando el eje SM en la direccin en que la tierra viaja con res-pecto a las estrellas fijas distantes. Elegimos esta orientacin como un supuesto razonable de la di-reccin en que viajamos a travs del ter (si es que ella existe).

La -velocidad de la luz con respecto al ter es e,

CAPITULO 4: EL EXPERIMENTO DE MICHELSO N-MORLEY 35

y gracias a las transformaciones Galileanas deduci-mos que la velocidad de la luz con respecto a la tierra, a 10 largo del brazo del in terfermetro para-lelo a la velocidad v de la tierra, es

e - v e+v

(deMaM) (deM, aM) (4-1 )

El tiempo implicado para cada viaje de lUla onda de luz ser

L e - v

(4-2)

De modo que el tiempo para el viaje redondo, MM 1 M, en direccin paralela al movimiento de la tierra, es

111

= ~ + L = 2L/c e - v e + v 1 - (v/e)' (4-3)

tiempo para tiempo para MM l M1M

El tiempo para que la luz haga el viaje redondo, M M2 M , en direccin perpendicular al movimiento de la tierra, es

L + L .J e' - v' .J e' - v' tiempo para tiempo para

MM2 M 2 M

2L 2L/e - .Jfe""';;_~v' - '.JC=I ;';_~(~v/=c)C';'

(4-4)

Estas ecuaciones resultan de la composicin clsica de velocidades como se muestra en la figura 4-2. Si e es la velocidad de la luz con respecto al ter en el marco de referencia SI , entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra (marco de referencia S2) en ambos viajesMM2 y M2M essiempre

.Je' - v'.

Las ecuaciones (4-3) Y (4-4)