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ısica estat´ ıstica Fot˜ oes e a radia¸c˜ ao do corpo negro MEFT, IST “A scientific truth does not triumph by convincing its opponents and making them see the light, but rather because its opponents eventually die and a new generation grows up that is familiar with it.” Max Planck (1858–1947)

Física estatística - Fotões e a radiação do corpo negro · O corpo negro Corpo com volume V, cujas paredes se mant^em a temperatura T. Corresponde a fazer uma cavidade num material,

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Fısica estatısticaFotoes e a radiacao do corpo negro

MEFT, IST

“A scientific truth does not triumph by convincing its opponents and makingthem see the light, but rather because its opponents eventually die and a new

generation grows up that is familiar with it.”

Max Planck (1858–1947)

O corpo negro

• Corpo com volume V , cujas paredes se mantem atemperatura T .

• Corresponde a fazer uma cavidade num material, fazer vacuona cavidade e aquecer o material ate uma dada temperatura.

• Os atomos das paredes emitem e absorvem continuamenteradiacao electromagnetica.[originada pela agitacao termica das partıculas → aceleracaode partıculas carregadas]

• Queremos conhecer as propriedades da radiacaoelectromagnetica no interior da cavidade na situacao deequilıbrio.

Sobre a natureza da radiacao do corpo negro

Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:

• homogeneo;

• isotropico.

• independente da polarizacao.

• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!

Em resumo

⇒ o campo de radiacao so depende de T !

• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente

..^

Sobre a natureza da radiacao do corpo negro

Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:

• homogeneo;

• isotropico.

• independente da polarizacao.

• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!

Em resumo

⇒ o campo de radiacao so depende de T !

• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente

..^

Sobre a natureza da radiacao do corpo negro

Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:

• homogeneo;

• isotropico.

• independente da polarizacao.

• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!

Em resumo

⇒ o campo de radiacao so depende de T !

• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente

..^

Sobre a natureza da radiacao do corpo negro

Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:

• homogeneo;

• isotropico.

• independente da polarizacao.

• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!

Em resumo

⇒ o campo de radiacao so depende de T !

• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente

..^

Sobre a natureza da radiacao do corpo negro

Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:

• homogeneo;

• isotropico.

• independente da polarizacao.

• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!

Em resumo

⇒ o campo de radiacao so depende de T !

• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente

..^

Sobre a natureza da radiacao do corpo negro

Para um corpo de dimensoes maiores que os comprimentos deonda de interesse, em equilıbrio, o campo de radiacao e:

• homogeneo;

• isotropico.

• independente da polarizacao.

• independente da forma e volume do recipiente, do materialque e feito e dos corpos que pode conter!

Em resumo

⇒ o campo de radiacao so depende de T !

• Podemos escolher a configuracao na fronteira que nos e maisconveniente

..^

Fotoes e o campo electromagnetico

• Hamiltoneano do campo electromagnetico pode escrever-secomo uma soma de termos, cada um com a forma de umoscilador harmonico.

• Vemos o campo de radiacao como uma sobreposicao de ondasplanas de varias frequencias

• Quanticamente, cada oscilador de frequencia ω pode terenergia

(n + 1

2

)~ω, n = 1, 2, · · ·

• Associamos os fotoes, de energia ~ω, aos quanta do campoelectromagnetico.

⇒ O estado do campo electromagnetico e especificado pelosnumeros n para cada um dos osciladores ↔ pelo numero defotoes em cada frequencia.

Fotoes

• Os fotoes sao bosoes de massa nula e spin ~.

• O spin pode ter duas orientacoes independentes (paralela ouanti-paralela ao momento) ↔ onda plana electromagneticacom polarizacao circular direita ou esquerda.

• Energia E = ~ω; momento ~p = ~~k , com |~k| = ω/c (i.e.,p = E/c).

• Para cada direccao de ~k temos duas direccoes de polarizacaolinearmente independentes (~E ⊥ ~k)

• A onda associada e da forma exp[i(~k ·~r − ωt

)]

Densidade de estados

• Impondo condicoes de fronteira periodicas num cubo devolume V = L3 (cf. aula 18)

~k =2π

L~n

onde ~n e um vector cujas componentes podem tomar osvalores 0,±1,±2, · · ·

• Os valores de ~p estao distribuıdos numa rede de passo h/L

• Um elemento de volume d3p contem (L/h)3d3p =(V /h3)d3p valores de p.

[No limite V →∞,∑

p →∫

(V /h3)d3p]

Porque sao os fotoes mais simples de tratar..^

• A energia total e dada por

Enp,a =∑p,a

~ωnp,a

onde np,a e o numero de fotoes de momento ~p e polarizacao~a, ω = pc/~ e np = 0, 1, 2, · · ·

• Normalmente o conjunto np,a esta sujeito a restricao∑p,a np,a = N...

• ... mas o numero de fotoes e indefinido: os fotoes podem serabsorvidos e emitidos das paredes!

Funcao de particao

• A funcao de particao e entao

Q =∑np,a

exp (−βEnp,a)

sem nenhuma restricao em np,a.

• Obtemos, sucessivamente,

Q =∞∑

n1,n2,···=0

exp

(−β∑p,a

~ωpnp,a

)=∏p,a

[ ∞∑n=0

exp (−β~ωpn)

]

Q =∏p,a

1

1− exp (−β~ωp)

Numeros de ocupacao

• Os numeros medios de ocupacao sao dados por

〈np〉 = − 1

β

∂Eplog Q

• Ora Ep = ~ωp e

log Q = −∑p,a

log [1− exp (−β~ωp)]

= −2∑p

log [1− exp (−β~ωp)]

• Finalmente, o numero medio de fotoes com momento p(independentemente da polarizacao), e

〈np〉 =2

exp (β~ωp)− 1

Parentesis para reforco de ideias

• A ultima expressao corresponde ao gas de Bose, simplesmentecom a fugacidade z = 1 (o factor 2 e a degenerescenciaresultante da polarizacao).

• Os parametros µ (ou z) e β sao multiplicadores de Lagrange;o primeiro corresponde a condicao de normalizacao no numerode partıculas... que agora nao existe!

• Na verdade... Q ≡ Ξ

Energia interna

• A energia interna obtem-se de

U = − ∂

∂βlog Q = 2

∑p

~ωp

1− exp (−β~ωp)exp (−β~ωp)

=∑p

~ωp1

exp (β~ωp)− 1=∑p

~ωp〈np〉

[como tinha que ser!!!]

• No limite V →∞, usando ~ωp = pc,

U =V

h3

∫d3p ~ωp〈np〉 =

2V

h3

∫ ∞0

dp 4πp2 pc

exp (−βpc)− 1

Energia interna

• A energia interna obtem-se de

U = − ∂

∂βlog Q = 2

∑p

~ωp

1− exp (−β~ωp)exp (−β~ωp)

=∑p

~ωp1

exp (β~ωp)− 1=∑p

~ωp〈np〉

[como tinha que ser!!!]

• No limite V →∞, usando ~ωp = pc,

U =V

h3

∫d3p ~ωp〈np〉 =

2V

h3

∫ ∞0

dp 4πp2 pc

exp (−βpc)− 1

Lei de Planck

• Podemos escrever o resultado anterior na forma de lei dePlanck

U

V=

∫ ∞0

dω u(ω,T )

com

u(ω,T ) =~

π2c3

ω3

exp (β~ω)− 1

• u(ω,T ) e a densidade de energia dos fotoes de frequencia ω(independentemente da polarizacao e da direccao domomento).

• Na forma adimensional, η = ~ω/kT ,

u(η,T ) =(kT )4

π2~3c3

η3

eη − 1;

U

V=

∫ ∞0

dη u(η,T )

Lei de Planck

• Podemos escrever o resultado anterior na forma de lei dePlanck

U

V=

∫ ∞0

dω u(ω,T )

com

u(ω,T ) =~

π2c3

ω3

exp (β~ω)− 1

• u(ω,T ) e a densidade de energia dos fotoes de frequencia ω(independentemente da polarizacao e da direccao domomento).

• Na forma adimensional, η = ~ω/kT ,

u(η,T ) =(kT )4

π2~3c3

η3

eη − 1;

U

V=

∫ ∞0

dη u(η,T )

Lei do deslocamento de Wien

• A funcao η3/(eη − 1) tem um maximo para η ' 2.8214

• Se a temperatura T1 o maximo de emissao ocorre para umcomprimento de onda λ1, entao a T2 ocorre para λ2 tal que

η1 = η2 ⇒ ω1

T1=ω2

T2; λ1T1 = λ2T2

λmaxT ' 2.898× 10−3 m.K

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1

1.5

2

η

η3/[exp(η)-1]

Energia interna e calor especıfico

• O integral pode calcular-se (ver, por exemplo, o apendice emhttp://en.wikipedia.org/wiki/Planck’s_law

..^)∫ ∞

0dη

η3

eη − 1=π4

15

• A energia interna por unidade de volume e

U

V=

π2

15(~c)3(kT )4 ∝ T 4

• Calor especıfico (por unidade de volume)

cV =4π2

15(~c)3k4T 3 ∝ T 3

Lei de Stephan-Boltzmann

• Se abrirmos uma pequena “janela” para o mundo exterior nacavidade do corpo negro, podemos verificar as propriedades daradiacao.

• A energia que escapa por unidade de tempo, por unidade dearea, sob a forma de fotoes de frequencia ω e

I (ω,T ) =1

∫dΩu(ω,T )c cos θ =

1

4u(ω,T )c

• Integrando em todas as frequencias, obtemos a lei deStephan-Boltzmann

I (T ) =

∫ ∞0

dω I (ω,T ) = σT 4 ; σ =π2k4

60~3c2

Lei de Stephan-Boltzmann

• Se abrirmos uma pequena “janela” para o mundo exterior nacavidade do corpo negro, podemos verificar as propriedades daradiacao.

• A energia que escapa por unidade de tempo, por unidade dearea, sob a forma de fotoes de frequencia ω e

I (ω,T ) =1

∫dΩu(ω,T )c cos θ =

1

4u(ω,T )c

• Integrando em todas as frequencias, obtemos a lei deStephan-Boltzmann

I (T ) =

∫ ∞0

dω I (ω,T ) = σT 4 ; σ =π2k4

60~3c2

Lei de Stephan-Boltzmann

30/05/2010 21:34GlossaryImage 049.png 763!402 pixels

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σ ' 5.67× 10−8 Wm−2K−4

Equacao de estado

• A equacao de estado obtem-se de

A = −kT log Q ; P = − ∂A

∂V

• Usando os resultados anteriores,

~p =2π~

L~n =

2π~V 1/3

~n ; ωp =pc

~= 2πcV−1/3|~n|

log Q = −2∑p

log [1− exp (−β~ωp)]

= −2∑n

log[1− exp

(−β~2πcV−1/3|~n|

)]• Finalmente,

P =1

3V

∑p

~ω〈np〉 ; P =1

3

U

V

Notas finais

• A equacao de estado tambem se poderia ter obtido dePVkT = log Ξ

• Os resultados P = (1/3)(U/V ) e U ∝ T 4 podem obter-seclassicamente.

• Os valores das constantes so se podem obter com otratamento quantico.

• A lei de Planck da uma confirmacao experimental adicionalque os fotoes nao devem ter massa

..^

[a degenerescencia devido a polarizacao seria 3 e nao 2]

Notas finais

• A equacao de estado tambem se poderia ter obtido dePVkT = log Ξ

• Os resultados P = (1/3)(U/V ) e U ∝ T 4 podem obter-seclassicamente.

• Os valores das constantes so se podem obter com otratamento quantico.

• A lei de Planck da uma confirmacao experimental adicionalque os fotoes nao devem ter massa

..^

[a degenerescencia devido a polarizacao seria 3 e nao 2]

Bonus