Física da Computação e da Informação

Ivan S. Oliveira & Roberto S. Sarthour

Grupo de Computação Quântica por RMN

Bibliografia

• Quantum Computation and Quantum Information, M.A. Nielsen e I.L. Chuang (Cambridge Press 2002)

• The Physics of Quantum Information, D. Bouwmeester, A. Ekert e A. Zeilinger (Springer 2001)

• Explorations in Quantum Computing, C.P. Williams e S.H. Clearwater (Springer & Telos 1998)

• Feynman Lectures on Computation

Breve Histórico 1854 – George Boole - “An investigation into the laws of thought, on which arefounded the mathematical theories of logic and probabilities”.

1938 – Claude Shannon – “A symbolic analysis of relay and switching circuits”.

1936 – Alan Turing – “On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem”.

1948 – Claude Shannon – “A mathematical theory of communication”

Tecnologia Revolucionária

Computação “Matemática”1928 – David Hilbert – “Existe algum procedimento puramente“mecânico” capaz de resolver qualquer problema matemático?”

1936 – Turing – “Sim, existe. UmaMáquina de Turing!”

Máquinas de Turing

1. Uma fita infinita, dividida em células;2. Uma cabeça de leitura e gravação;3. Um conjunto de símbolos que formam

um alfabeto;4. Um conjunto de instruções que

especificam as ações e os estados da máquina.

0 1 1 0 0 1

Um computador moderno é uma realização física de uma máquina de Turing. Não há nenhum

problema conhecido que seja solucionável em um computador real,e que não possa ser resolvido em uma máquina de Turing!

Quanto é 3 + 5?Alfabeto: {*, <espaço>}

Representação: 3 = ***, 5 = *****

Entrada: *** *****

Estados da máquina

Ação para leitura = *

Ação para leitura = esp.

1 MOVER PARA A DIREITA. PERMANECER EM 1

ESCREVA * E VÁ PARA 2

2 MOVER PARA A DIREITA. PERMANECER EM 2

VOLTAR UMA CÉLULA E IR PARA 3.

3 APAGAR E PARAR

Resultado = ******** = 8

Chaves (ou portas) Lógicas

CONTROLE

ALVO

CONTROLE ALVO SAÍDA

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

SAÍDA

RESULTADO IMPORTANTE: QUALQUER AÇÃOCOMPUTACIONAL PODE SER CONSTRUÍDA A PARTIR DEUM CONJUNTO UNIVERSAL DE CHAVES LÓGICAS!

AND, OR e NOT formam um conjunto universal de chaves lógicas.NAND (sozinha) forma outro conjunto.

Chaves lógicas - 2

MEIO-SOMADOR

SOMADOR INTEIRO

Termodinâmica, Estatística e Conhecimento

“Durante muito tempo a computação foi considerada uma área da matemáticapura. Porém, computadores são objetos físicos e consequentemente estão

sujeitos às leis da Física. São as leis da Física que dizem o que computadorespodem ou não fazer, e não regras matemáticas.”

David Deutsch

Estatística de 4 Moedas

6/16 = 3/8

4/16 = 1/4 4/16 = 1/4

1/16 1/16

116

12

4

12

8

3

Informação e Entropia

k

kk ppS )(log2

Entropia é a grandeza física ligada à informação.

Definição de Shannon:

Para o caso das moedas:

03,216

1log

16

12

4

1log

4

12

8

3log

8

3222

S

Este número é a quantificação da ignorância!

Exemplo...

12

1log

2

1

2

1log

2

12

1

22

S

pp coroacara

Entropia associada a um jogo de cara-ou-coroa com uma moeda não-viciada:

Se a moeda for tendenciosa:

)2ln(

21

)2ln(

21

2

1log

2

1;

2

1

2

2

S

pp coroacara

Entropias e mais Entropias

yx

yxpyxpYXS,

)],(log[),(),(

)(),()|( YSYXSYXS

Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição de probabilidades p(x,y). Define-sea entropia conjunta de X e Y como:

A entropia conjunta mede a incerteza sobre o par (X,Y). Se S(Y) é a entropia relacio-nada somente à Y, define-se a entropia condicional S(X|Y) como:

Medida da informação sobre X, condicio-nada à informação sobre Y.

E a informação mútua S(X:Y) :

),()()():( YXSYSXSYXS Medida da informação comum a X e Y.

Propriedades e mais Propriedades

)():()1 YSYXS

),()()2 YXSXS

)()(),()3 YSXSYXS

A informação comum a X e Y não pode ser maiordo que a informação sobre Y (ou X).

A incerteza sobre X não pode superar a incertezasobre X e Y.

A desinformação sobre o par não pode superara soma das desinformações individuais.

Consequentemente:

0):(),()()()4 YXSYXSYSXS

Termodinâmica e EntropiaEntropia é a grandeza física ligada à desordem.

Entropia alta Entropia baixa

Reversibilidade e EntropiaEntropia é a grandeza física ligada à reversibilidade e

fluxo de calor.

TA

TB

Q

0

BA

BB

AA

BA

SS

T

QS

T

QS

T

QS

TT

Informação e Entropia 2O aumento de entropia corresponde à perda de informação.

Entropia altaEntropia baixa

Entropia baixa Entropia alta

“2 + 2” tem mais informação do que “4”!!

Estatística, Entropia e Termodinâmica

k

kkB ppkS )ln(

k

TkE

TkE

k Bk

Bk

e

ep /

/

E0

E1

E2

En-1

En

pk = probabilidade de que um nível “k” esteja ocupado.

TSUA

Maximização

Termodinâmica

BOA TARDE, ATÉ AMANHÃ!

Resumo 1. Computadores são realizações físicas de máquinas de Turing. Não existe

problema que possa ser resolvido em um computador, que não possa também o ser em uma máquina de Turing;

2. Portas lógicas são operações sobre bits. Qualquer operação lógica pode ser decomposta na ação de um conjunto de portas lógicas universais;

3. A representação física de bits e circuitos lógicos torna os computadores sujeitos às leis da Física.

4. A entropia é a quantidade física ligada à informação e também à ordem dos sistemas termodinâmicos. Entropia alta significa desordem e falta de informação.

5.A Física Estatística dá uma fundamentação microscópica para a termodinâmica. A partir do princípio da maximização da entropia (para sistemas em equilíbrio) deriva-se as funções termodinâmicas a partir de considerações microscópicas sobre o sistema.

Computação, Reversibilidade e Entropia

Perda de bits = perda de informação => aumento de

entropia => irreversibilidade.

No. de bits se conservainformação se conserva reversibilidade.

A computação clássica é IRREVERSÍVEL!

1973...um ano importante para a computação

Naquele ano, um físico da IBM (Charles Bennett) demonstrou ser possível implementar a computação clássica com operações inteiramente reversíveis.A conseqüência mais importante deste resultado foi o surgimento da Computação Quântica!

Porta de Toffoli

a

b

c

a’

b’

c’

a b c a’ b’ c’0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 10 1 0 0 1 01 0 0 1 0 00 1 1 0 1 11 0 1 1 0 11 1 0 1 1 11 1 1 1 1 0

A porta NANDé uma porta

clássica universal

É possível fazer computação

clássica reversível!

TRANSFORMAÇÕES UNITÁRIAS EM MQSÃO OPERAÇÕES REVERSÍVEIS. AQUI APARECEA NOÇÃO DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA!

1871 - O Demônio de Maxwell viola Segunda Lei da Termodinâmica?!

TA = TB TA < TB

ENTROPIA MÁXIMA ENTROPIA MENOR

Entropia diminui sem realização de trabalho!?

1961 – O Princípio de Landauer

Até aquele ano, acreditava-se que qualquer ação computacional exigia gasto de energia. Rolph Landauer, também da IBM, mostrou que não! O que gasta energia é o ato de apagar informação!

)2log(

)2log(

B

B

kS

TkE

Energia mínima para apagar 1 bit.

Aumento mínimo na entropia ao seapagar 1 bit.

Charles Bennett usou o Princípio de Landauer para, em 1987, resolver o problema do demônio de Maxwell, pondo fim a mais de 100 anos de discussão!O demônio precisa apagar informação na sua memória sobre a energia dasMoléculas, e isso aumenta a entropia!

Fenômenos Naturais como processos Computacionais

entrada

processamento

saída

Computação Física

computador sistema

computação experimento

entrada estado inicial

programa leis da física

saída estado final

Mecânica Quântica para pedestres...

Ettt

etcr

MmG

kdt

dm

),(),(),(

.,

;

3

2

2

Lpr

rF

rF

rF

Mecânica clássica: Mecânica Quântica:

nnn

iHt

tct

tOttO

et

VTH

tHt

ti

)()(

)()()(

)0()(

)()(

/

Limites físicos da computação - 1

μμ dt

d

01

10

2

1

2

1)(

H

IBH

H

xx

BIBμ

Iμ

2

1E

1. Qual o tempo mínimo para inverter 1 bit de informação?

B

Equação clássica de movimento

Aqui vamos nós...

Autoenergias:

t

htE

E

2

Limites físicos da computação – 2

2

12

1

10

01

2

1

1

0

0

1

x

z

Z

I

I

I

x

ti

tHi

tiI

tt

etetx

2sin

2cos)(

)()( 20

A cozinha quântica

t

t

22

Evolução

Tempo mínimo para inverter 1 bit:

O tempo mínimo para inverter1 bit é aquele dado peloPrincípio de Incerteza

Limites físicos da computação – 3

Hzh

mc

t

htE

mcE

502

2

101

2

Laptop “supremo”: 1 kg de massa confinada em um volume de 1 litro.

1) Limite de velocidade: 2) Limite de memória:

bitsk

VESI

B

3110)2ln(

),(

O laptop supremo opera com Uma velocidade de 1050 operações lógicas por segundo, em 1031 bits.

Energia: grandeza física associada à velocidade de processamento.Entropia: grandeza física associada à capacidade de memória.

Computador-Buraco Negro (socorro!)

A Lei de Moore - 1

Ano da publicação!

Modelo do processador

Ano do lançamento

Número de transistores

4004 1971 2 250

8008 1972 2 500

8080 1974 5 000

8086 1978 29 000

Intel 286 1982 120 000

Intel 386 1985 275 000

Intel 486 1989 1 180 000

Pentium 1993 3 100 000

Pentium II 1997 7 500 000

Pentium III 1999 24 000 000

Pentium 4 2000 42 000 000

Lei d

e M

oore

- 2

Lei de Moore - 3

CLÁSSICO QUÂNTICO!

1973 – Charles Bennett: computação (clássica) reversível;1982 – Paul Benioff: computador quântico; 1984 – Protocolo BB84;1985 - David Deutsch: uso do paralelismo quântico para resolver problemas matemáticos rapidamente;1994 - Peter Shor: fatoração de números grandes em tempo polinomial;1996 – Primeiro teste experimental do BB84 sobre 23 km;1997 - Lov Grover: algoritmo de busca em tempo quadrático;1997 - Neil Gershenfeld & Isaac Chuang: uso da RMN em CQ; - Teleporte com fótons;1998 - Jones & Mosca: primeira demonstração experimental do algoritmo de Deutsch com RMN; - Chuang, Gershenfeld e Kubinec: demonstração experimental do algoritmo de Grover por RMN; - Nielsen, Knill e Laflamme: demonstração do teleporte quântico usando RMN;2001 - Vandesypen, Chuang e outros: demonstração do algoritmo de Shor por RMN;2002 - Novas propostas para elevar o número de q-bits acima de N = 100!2004 – Teleporte com átomos.

H

I

S

T

Ó

R

I

A

Computação Quântica: novos recursos computacionais

0 0

1

• Princípio Fundamental: estados quânticos podem existir em superposições deautoestados.

1

1

2/2

000001111110011001011

2

10

N