FISICA BASICA

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO

FÍSICA BÁSICA

SISTEMAS DE UNIDADES E

ANÁLISE DIMENSIONAL

APONTAMENTOS E PROBLEMAS


FÍSICA BÁSICA

Estes apontamentos constituem um texto de apoio básico aos alunos que frequentam as cadeiras de física I do 1º ano dos cursos de Engenharia. A sua elaboração prende-se com o facto de o aluno ao longo da sua vida estudantil e profissional necessitar de estar bastante familiarizado com os temas que aqui são tratados. A abordagem destes apontamentos não é exaustiva, (tem apenas como objectivo auxiliar o aluno nas cadeiras de física e respectivos laboratórios) pelo que não dispensa um estudo teórico mais aprofundado utilizando a bibliografia recomendada. O texto encontra-se dividido em dois capítulos de acordo com os temas a ser leccionados – Sistemas de Unidades e Análise Dimensional. Em cada capítulo está incluída uma breve explicação teórica que servirá de apoio à compreensão da matéria, problemas resolvidos para facilitar o estudo individual e uma compilação de exercícios propostos que servirão de base para as aulas teórico-práticas.

ISEP, Outubro de 2001

António Silveira D. Pinto Alberto &

Paulo José Coelho de Oliveira

- i -


“São muitas as horas preciosas da juventude esbanjadas ao escalar a íngreme e escarpada colina do saber”.

Winston Churchill

“Porém é desta forma que se chega a engenheiro”.

Nota dos Autores

Winston Churchill (1874 – 1965) foi estadista e escritor inglês. É considerado um dos maiores políticos de todos os tempos e é lembrado pelo seu importante papel na II Guerra Mundial. Escreveu várias obras famosas pelas quais recebeu o Prémio Nobel da literatura em 1953. Por todos estes feitos foi-lhe concedido o titulo de Sir.

- ii -

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO ÍNDICE 1. SISTEMAS DE UNIDADES

1.1. Conceitos fundamentais ------------------------------------------------------------- 1 1.2. Sistema Internacional de unidades - S.I. ------------------------------------------ 2

1.2.1. Unidades de base ------------------------------------------------------------- 2 1.2.2. Unidades derivadas ----------------------------------------------------------- 4 1.2.3. Unidades suplementares ----------------------------------------------------- 5 1.2.4. Múltiplos e submúltiplos ---------------------------------------------------- 5 1.2.5. Unidades definidas a partir de unidades S.I. mas que não são

múltiplos ou submúltiplos decimais dessas unidades --------------------- 6 1.3. Recomendações gerais relativas à escrita e utilização de unidades ------------ 6 1.4. Exercícios resolvidos ---------------------------------------------------------------- 8 1.5. Exercícios propostos ----------------------------------------------------------------- 13

2. ANÁLISE DIMENSIONAL

2.1. Generalidades -----------------------------------------------------------------------15 2.2. Aplicação das equações dimensionais -------------------------------------------17

2.2.1. Homogeneidade dimensional das equações físicas -------------------- 17 2.2.2. Mudança de unidades ------------------------------------------------------18 2.2.3. Previsão de fórmulas físicas ----------------------------------------------- 19

2.3. Exercícios resolvidos --------------------------------------------------------------- 21 2.4. Exercícios propostos ---------------------------------------------------------------- 28

ANEXO 1 –Lista de conversões entre algumas unidades S.I. e outros sistemas ------- A.1 ANEXO 2 – Solução dos problemas propostos --------------------------------------------- A.2

FÍSICA BÁSICA - iii - ÍNDICE



1

SISTEMAS DE UNIDADES


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 1 - SISTEMAS DE UNIDADES 1.1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS Uma grandeza física, é uma propriedade de um corpo, ou um carácter de um fenómeno, susceptível de ser medido. Daí que no recente V.I.M. (Vocabulário Internacional de Metrologia) a grandeza física a medir tome a definição de Mensuranda. As grandezas podem ser divididas em: ESCALARES – Que ficam perfeitamente determinados com o valor

numérico e a unidade em que se exprimem. Ex. comprimento, massa, etc. VECTORIAIS – Grandezas que para ficarem perfeitamente definidas

necessitam para além do seu valor numérico de mais 3 elementos; ponto de aplicação, direcção e sentido .Ex. velocidade, força, aceleração...

ADIMENSIONAIS – Aquelas que ficam perfeitamente definidas com um

valor numérico. Ex. coeficiente de atrito, medida de ângulos.... A medida directa de uma grandeza consiste na comparação desta com outra da mesma espécie que convencionalmente é tomada como padrão. Como por exemplo a medida de um comprimento com uma fita métrica. Na medida indirecta a grandeza a determinar é calculada a partir de outras de fácil medição que com esta se relacionem, por meio de relações conhecidas – Equações de Definição das Grandezas. Por exemplo a pressão exercida por um corpo. À relação completa de todas as grandezas em função de algumas facilmente mensuráveis, dá-se o nome de SISTEMA DE UNIDADES. Nos primeiros sistemas de unidades que apareceram, as unidades para cada grandeza eram definidas de uma forma arbitrária não existindo qualquer relação entre elas. Estes sistemas apresentavam o grave inconveniente de sobrecarregar as fórmulas físicas com incómodas constantes de proporcionalidade. Estes sistemas assim formados e chamados de INCOERENTES estão hoje completamente fora de uso. Mais tarde veio a verificar-se que as unidades de um sistema podiam ser definidas como funções de um pequeno número de unidades – UNIDADES FUNDAMENTAIS OU PRIMÁRIAS, e as restantes definidas em função destas – UNIDADES DERIVADAS OU SECUNDÁRIAS. Nestes sistemas, através de equações de definição simples, não aparecem coeficientes numéricos diferentes da unidade. Estamos assim perante um SISTEMA COERENTE DE UNIDADES que são os únicos hoje em dia utilizados. Foram assim surgindo diversos sistemas de unidades. Presentemente só faz sentido estudar o Sistema Internacional de unidades (S.I.) mas, devido ao facto de ainda haver diversos livros e aparelhagem que utilizam outros

FÍSICA BÁSICA 3 SISTEMAS DE UNIDADES

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO sistemas, faz sentido num curso superior uma breve referência e saber efectuar as respectivas conversões. De entre os diversos sistemas, salientam-se pela sua importância os seguintes:

• C.G.S. – Que deriva o seu nome às inicias das três grandezas mecânicas de base, centímetro, grama, segundo e é, tal como o S.I., um sistema absoluto.

• MKPS - É um sistema gravitacional cujas unidades de base mecânicas são o

metro, quilograma força e segundo. De notar que este sistema utiliza a força como unidade de base em substituição da massa.

Em anexo apresenta-se uma lista de conversões de algumas unidades, entre estes sistemas e o Sistema Internacional. 1.2 - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES - S.I. O Sistema Internacional surgiu da necessidade de haver uma uniformidade a nível internacional das unidades a utilizar. Esta uniformização teve inicio na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas realizado em Paris em 1960. O Sistema Internacional de unidades, após várias alterações, é composto por três classes de unidades:

• Unidades de base • Unidades derivadas • Unidades suplementares

1.2.1 - UNIDADES DE BASE

As unidades de base do sistema internacional englobam: uma unidade geométrica, uma cinemática, uma dinâmica, uma electromagnética, uma termodinâmica, uma químico física e uma de fotometria. Estas grandezas foram escolhidas com base nos seguintes pressupostos:

• Serem independentes entre si; • Terem uma definição simples, precisa e universal; • Desejável que possam ser representadas por padrões; • Permitir uma fácil medição directa das grandezas da sua espécie.

No quadro seguinte, enumeram-se estas unidades bem como os seus símbolos.



UNIDADES

GRANDEZA

NOME SÍMBOLO

DIMENSÃO

Comprimento Massa Tempo Intensidade de Corrente Eléctrica Temperatura Termodinâmica Quantidade de Matéria Intensidade Luminosa

metro

quilograma segundo ampere kelvin mole

candela

m kg s A K

mol Cd

L M T I θ N J

As definições das unidades SI de base são as seguintes:

UNIDADE DE COMPRIMENTO – O metro é o comprimento do trajecto percorrido no vazio pela luz durante 1/299792754 s. (17ª CGPM – 1983).

UNIDADE DE MASSA – O quilograma é a unidade de massa e é igual à massa

do protótipo internacional do quilograma. (3ª CGPM – 1901). UNIDADE DE TEMPO – o segundo é a duração de 9192631770 períodos da

radiação correspondente à transição entre os dois estados hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133. (13ª CGPM – 1967).

UNIDADE DE INTENSIDADE DE CORRENTE ELÉCTRICA – O Ampere

é a intensidade de uma corrente constante que, mantida em dois condutores paralelos, rectilíneos de comprimento infinito, de secção circular desprezável e colocados à distância de 1m um do outro no vazio, produziria entre esses dois condutores uma força de 2x10-7 N por metro de comprimento. (9ª CGPM – 1948).

UNIDADE DE TEMPERATURA TERMODINÂMICA – O kelvin é a

fracção 1/273.16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. (13ª CGPM – 1967).

UNIDADE DE QUANTIDADE DE MATÉRIA – A mole é a quantidade de

matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos os átomos que existem em 0.012 kg de carbono 12. Quando se utiliza a mole, as entidades elementares devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, iões, electrões, outras partículas ou agrupamentos especificados de tais partículas. (14ª CGPM – 1971).

UNIDADE DE INTENSIDADE LUMINOSA – A candela é a intensidade

luminosa, numa direcção dada, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540x1012 Hz e cuja intensidade energética nessa direcção é 1/683 W por esterradiano. (16ª CGPM – 1979).


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO Existe ainda um nome e um símbolo especial da unidade SI de temperatura é o caso da temperatura celsius.

UNIDADES

GRANDEZA

NOME SÍMBOLO Temperatura celsius

grau Celsius

ºC

A temperatura celsius t é definida pela diferença T = T – T0 entre duas temperaturas termodinâmicas T e T0 com T0 = 273.15 K. Um intervalo ou uma diferença de temperatura podem exprimir-se quer em kelvin quer em graus Celsius. A unidade grau Celsius é igual à unidade kelvin. É importante referir que o nome “grau centígrado” para exprimir a temperatura, foi rejeitado pela C.G.P.M. em 1948 e o seu uso é inadmissível. 1.2.2 - UNIDADES DERIVADAS As unidades derivadas de modo coerente das unidades SI de base e suplementares são dadas por expressões algébricas sob a forma de produtos e divisões, com um factor numérico igual a um. No quadro seguinte apresentam-se algumas unidades derivadas com particular incidência para as grandezas electromagnéticas com nomes e símbolos especiais.

UNIDADES

GRANDEZA

NOME SIMBOLO

Em unidades SI de

base

Frequência Força Pressão e tensão Energia e trabalho Potência Carga eléctrica Tensão eléctrica Resistência eléctrica Condutância eléctrica Capacidade eléctrica Fluxo de indução magnético Indução magnética Indutância

hertz

newton pascal joule watt

coulomb volt ohm

siemens farad weber tesla henry

Hz N Pa J

W C V Ω S F

Wb T H

s-1

m.kg.s-2 m-1.kg.s-2 m.kg.s-2 m2.kg.s-3

s.A m2.kg.s-3.A-1 m2.kg.s-3.A-2 m-2.kg-1.s3.A2 m-2.kg-1.s4.A2 m2.kg.s-2.A-1

kg.s-2.A-1 m2.kg.s-2.A-2


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 1.2.3 - UNIDADES SUPLEMENTARES As unidades suplementares constituem uma classe contendo duas unidades:

UNIDADES

GRANDEZA

NOME SÍMBOLO

DIMENSÃO

Ângulo plano Ângulo sólido

Radiano

esterradiano

Rad sr

Grandezas

adimensionais

As definições das unidades S.I. suplementares são as seguintes:

UNIDADE DE ÂNGULO PLANO – O radiano é o ângulo plano

compreendido entre dois raios que, na circunferência de um circulo, intersectam um arco de comprimento igual ao raio desse circulo. (11ª CGPM -1960).

UNIDADE DE ÂNGULO SÓLIDO – O esterradiano é o ângulo sólido que, tendo o vértice no centro de uma esfera, intersecta na superfície dessa esfera uma área igual à de um quadrado tendo por lado o raio dessa esfera. (14ª CGPM – 1971).

1.2.4 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS Por razões de ordem prática, utilizam-se múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas na forma de potências de base 10. Eles são designados por um prefixo e os seus nomes derivam do grego e do latim respectivamente. Na tabela seguinte, apresentam-se os seus nomes e símbolos.

Factor

Prefixo

Símbolo

Factor

Prefixo

Símbolo

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

yotta zetta exa peta tera giga mega quilo hecto deca

Y Z E P T G M k h da

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

deci centi mili

micro nano pico fento ato

zepto yocto

d c m µ

η (n) p f a z y


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 1.2.5 – UNIDADES DEFINIDAS A PARTIR DE UNIDADES S.I. QUE NÃO SÃO

MÚLTIPLOS OU SUBMÚLTIPLOS DECIMAIS DESSAS UNIDADES As unidades referidas, referem-se ao ângulo plano e ao tempo e encontram-se sintetizada na tabela seguinte o seu nome, símbolo e factor de conversão para as unidades base do S.I..

UNIDADES

GRANDEZA

NOME SÍMBOLO

CONVERSÃO

Ângulo plano

Grau

Minuto de ângulo Segundo de ângulo

º ´ ´´

1º = π/180 rad

1´ = π/10800 rad 1´´ = π/648800 rad

Tempo

minuto

hora dia

min

h d

1 min = 60 s 1 h = 3600 s 1 d = 86400 s

1.3 – RECOMENDAÇÕES GERAIS RELATIVAS À ESCRITA E UTILIZAÇÃO

DE UNIDADES Enumeram-se em seguida algumas regras de escrita e utilização dos nomes e símbolos das unidades S.I. e dos prefixos.

• NOMES DAS UNIDADES

- Os nomes das unidades escrevem-se em caracteres minúsculos mesmo que derivem de nomes de cientistas.

Exemplo: metro, segundo, newton, ampere, watt.

- Os nomes das unidades que derivem de nomes de cientistas seguem a grafia original, sendo inadmissível o uso de formas aportuguesadas.

Exemplo: ampere e não ampério.

- Os nomes das unidades admitem plural, quando o valor da grandeza for maior ou igual a dois.

Exemplo: 1.52 metro, 2 amperes, 5.4 segundos.



• SÍMBOLOS DAS UNIDADES

- Os símbolos das unidades são impressos em caracteres romanos direitos

e em geral minúsculos. Porém se o nome da unidade deriva de nome próprio, a primeira letra é maiúscula.

Exemplo: m (metro), W (watt), N (newton), Pa (pascal)

- Os símbolos das unidades ficam invariáveis no plural. Exemplo: 12 m e nunca 12 ms

- Os símbolos das unidades não são seguidos de um ponto, excepto no caso da pontuação normal.

Exemplo: 14 V e não 14 V.

- O produto de duas ou mais unidades pode ser indicado de uma das seguintes formas:

N⋅m ou N m

- Quando uma unidade derivada é formada dividindo uma unidade por outra, pode ser utilizada uma barra obliqua(/), uma barra horizontal ou expoentes negativos.

Exemplo: m/s, sm ou m⋅s-1

- Nunca se deve utilizar na mesma linha mais de uma barra obliqua, a

menos que sejam adicionados parênteses. Em casos complicados aconselha-se o uso de expoentes negativos.

Exemplo: m/s2 mas não m/s/s

• PREFIXOS DAS UNIDADES

- Os símbolos dos prefixos são impressos em caracteres romanos direitos, sem espaço entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade.

Exemplo: 5 pF e não 5 p F

- Não são empregues prefixos compostos. Exemplo: 1 nm e não 1 mµm

- Um prefixo não pode ser empregue sem uma unidade a que se refira. Exemplo: 106/m3 e não M/m3


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 1.4 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Problema 1 Determine a velocidade de um corpo que percorre o espaço de 1 metro em 1 segundo em km/h. Resolução: Pela equação de definição de velocidade obtemos no SI o valor:

tev = sm

sm /1

11

==

Notar que os coeficientes numéricos são unitários porque estamos perante um sistema coerente de unidades. Para calcular a velocidade em km/h, temos de efectuar as seguintes mudanças de unidades:

1 m = 1×10-3 km e 1s = 3600

1 h

substituindo na fórmula de definição da velocidade, temos:

hkmv /6.31013600

36001101 3

3=××=

×= −

−

Como podemos observar, dado o coeficiente de proporcionalidade diferente da unidade, estamos perante um exemplo de um sistema incoerente de unidades. Problema 2 A unidade de pressão do sistema CGS é a bária. Determine o factor de conversão para a respectiva unidade do Sistema Internacional. Resolução: Como o sistema CGS é um sistema coerente de unidades, se atendermos à fórmula de definição da pressão:



sFp =

mas por sua vez a força tem a equação de definição que é amF = e a secção lls ⋅=

e a aceleração . 2−⋅= tla Como CGS são as iniciais de centímetro, grama e segundo a bária em função das unidades de base vem:

212

2111

11111 −−

−⋅⋅=

⋅⋅= scmg

cmscmgbária

A unidade de pressão do SI é, como sabemos, o pascal em que as unidades de base mecânicas são o quilograma, o metro e o segundo. Deste modo, fazendo as seguintes mudanças de unidades:

1 g = 1×10-3 kg e 1cm = 1×10-2 m e fazendo a sua substituição na fórmula de definição da grandeza, obtemos:

pascalsmkgsm

kgbária 121122

31011101

11011011 −−−−−

−×=⋅⋅×=

⋅×

×=

Problema 3 Um cubo de 20 cm de aresta é feito de uma substância cujo peso volúmico tem o valor de 3.92×103 kgf.m-3. Calcule a massa do corpo em unidades do Sistema Internacional. Resolução: Utilizando a fórmula de definição de peso volúmico,

Vgm

volumePeso ⋅

==π

e tendo em conta que o peso volúmico está em unidades do sistema MKPS que tem as unidades básicas mecânicas o metro, o quilograma força e o segundo e que a aresta do cubo está em unidades do sistema CGS temos que efectuar as respectivas conversões.

3333 8.91092.31092.3

2.020−− ⋅××=⋅×=

==

mNmkgf

mcma

π


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO Substituindo na fórmula obtemos:

kggVm 36.31

8.9)2.0(8.91092.3 33

=×××

=⋅

=π

Problema 4 Um bloco com 12 u.m.m. tem a forma de um paralelepípedo rectângulo cujas dimensões são 20×30×40 cm3. Determine:

a) A pressão máxima que ele pode exercer quando apoiado pela face conveniente sobre uma superfície horizontal, expressa em unidades do Sistema Métrico Gravitatório.

b) A densidade relativa do bloco, suposto homogéneo. Resolução Dos dados do problema podemos escrever: 33 24000403020 cmcmV =××=

KgfmsmmumgFg 6.1178.9...12 2 =×== − a) A pressão é dada por:

SF

P g=

logo será máxima quanto menor for a área da face do cubo que lhe serve de apoio...

206.03.02.0 mS =×=

2196006.0

6.117 −=== KgfmS

FP g

b) A densidade relativa é dado por:

OHmmd

2

=

Sabemos que:

33

3

33 ..04.102..

8.910

102 −

− === mmmu

m

mmuKgmOHρ


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO podendo determinar então a massa da água que ocuparia aquele volume:

mmuVmoHoH ..449.2)4.03.02.0(4.102

22=×××=×= ρ

e assim finalmente obtemos:

9.4449.212

==d

Problema 5

4 4

h h

4 4

Considere o prisma quadrangular recto colocado nas duas posições A e B representadas na figura. Quando colocado na posição A exerce uma pressão 2.5 vezes maior do que colocado na posição B. As dimensões das arestas estão expressas em centímetros e o peso do prisma é de 6.272 N. Determine:

A B

a) O valor de h. b) A densidade relativa da substância do prisma.

Resolução Dos dados do problema podemos escrever:

NP 272.6=

34101604.004.0 mhhV −×=××= a) A pressão é uma força por unidade de superfície, sendo assim podemos escrever que para a posição A:

41016272.6

−×=AP

enquanto que para a posição B:

hPB ×

=04.0272.6

Sabe-se dos dados de problema que:

hPP BA ×

=×

⇒=− 04.0

272.65.21016

272.65.2 4



cmmh 101.0 ==∴

b) A massa volúmica da água é dada por:

33102

−= KgmOHρ A massa volúmica do material será:

334 104

1.010168.9

272.6−

−×=

××=⇒= Kgm

Vm ρρ

Então a densidade deste será dada por:

410

1043

3

2

=×

==OH

dρ

ρ


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 1.4 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS P1 – Um cubo feito de uma substância X pesa 100 unidades SI e outro feito de uma substância Y tem uma massa igual a 1 u.m.m.. Sabe-se que ambos os cubos têm 1 dm de aresta:

a) Diga, apresentando os cálculos necessários, qual daquelas substâncias tem maior densidade. b) Determine o peso volúmico das duas substâncias em kgf.dm-3.

P2 – Um paralelepípedo de arestas a, b e h (altura) assente numa mesa, exerce uma pressão de 1.35x10-2 kgf.cm-2. Sabendo que a sua densidade é de 2.7 e que o lado a mede 3.0 cm calcule os lados b e h no sistema SI, sendo o volume do paralelepípedo de 45 cm3. P3 – Duas substâncias A e B têm pesos volúmicos iguais a 1960 dine.cm-3 e 7.8 kgf.dm-3

respectivamente. a) Qual das duas substâncias tem maior densidade? b) Um cubo feito da substância B exerce uma pressão de 76.44 mbar quando apoiado

por uma das faces sobre uma superfície horizontal. Calcule o valor da aresta do cubo.

P4 – Determine a pressão exercida por uma semi-esfera de uma substância de densidade 1.7 e de diâmetro 4 cm, sobre uma superfície horizontal em unidades de um sistema cujas unidades base são: dm, dg, min. P5 – Dois paralelepípedos sobrepostos pelas bases pesam conjuntamente 47 kgf. Sabendo que o inferior é de cobre (dcu= 8.8) e o superior é de vidro (dvidro=2.5), que a altura do de cobre é ¼ da altura do de vidro, calcule:

a) A altura de cada paralelepípedo supondo que a superfície de contacto é de 500 cm2. b) A pressão exercida pelo paralelepípedo de vidro sobre o de cobre, exprimindo o

resultado em milibares. P6 – Um cubo de 10 cm de aresta é feito de uma substância cuja densidade é 7.8. Sabendo que a sua massa é de 0.25π u.m.m.:

a) Verifique que o cubo não é compacto e determine o volume da cavidade. b) Se o cubo fosse compacto, qual a pressão que ele exerceria sobre uma superfície

horizontal, num sistema absoluto de unidades de base: decâmetro, hectograma e minuto.

P7 – Dois paralelepípedos homogéneos formados por substâncias diferentes, estão dispostos como se mostra na figura. A secção recta de ambos é quadrada e igual, sendo a altura do superior metade da do inferior. Um corpo com 1 dm3 da substância que constitui o paralelepípedo superior, adquire uma aceleração de 360x103 cm.min-2 quando sujeito a uma força de 1 N. O inferior tem peso volúmico de 16 kgf.dm-3. Determine as dimensões da secção recta dos paralelepípedos, sabendo que na


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO posição representada exercem uma pressão de 16.66x103 Pa sobre o plano horizontal em que se poiam.

do a aresta do cubo B dupla da do cubo A a das faces pelo cubo A em repouso é de 26.46 m

a) O valor da aresta do cubo A. b) A densidade relativa da substância que constitui os cubos.

da gravidade, quando se deixa cair um cubo da substância A

etermine o número de cubos das duas substâncias, sabendo que a pressão exercida pelos oze cubos sobre uma superfície horizontal é de 56.84x103 Pa.

a P8 – Considere dois cubos A e B da mesma substância, sen

. Sabendo que a pressão exercida sobre umbar e que o peso do cubo B é de 21.6 kgf, calcule:

P9 – Doze cubos de idênticas dimensões com 1 dm de aresta, estão empilhados uns em cima dos outros, sendo alguns constituídos por uma substância A e outros por uma B. Sabe-se que o trabalho realizado, pela forçade uma altura de 20 m é de 7.84x109 erg e que a substância B tem de massa volúmica 0.6122249x10-6 u.m.m..mm-3. Dd



2

ANÁLISE DIMENSIONAL


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 2 – ANÁLISE DIMENSIONAL 2.1 - GENERALIDADES A análise dimensional é desenvolvida a partir das equações de definição, de tal modo que no segundo membro só existam grandezas fundamentais. Como exemplo apresentamos o caso da pressão, em que:

2

21

ltlm

lltvm

llam

sFp

−− ⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

==

é pois possível exprimir qualquer grandeza G como função das grandezas de base que com ela se relacionam. Podemos dizer que a dimensão é uma “unidade generalizada” interpretada no seguinte sentido: Se uma grandeza pode medir-se em unidades de comprimento, diz-se que tem a dimensão de um comprimento, independentemente do “tamanho” da unidade que se usar. Para representar as dimensões de uma grandeza G, usa-se o símbolo dimensional proposto por Maxwell: [G]. Uma equação de dimensão é pois o produto ou quociente das dimensões das grandezas fundamentais. Temos deste modo:

[G] = Aα⋅Bβ⋅Cγ⋅Dδ... Em que: α, β, γ, δ,... são as dimensões da grandeza; A, B, C, D,.. são os símbolos dimensionais das grandezas fundamentais. Os símbolos dimensionais das grandezas fundamentais, adoptados por convenção, para o SI são: [comprimento] = L

[massa] = M [tempo] = T [temperatura termodinâmica] = θ [intensidade de corrente eléctrica] = I [intensidade luminosa] = J [quantidade de matéria] = N

Para melhor percebermos este conceito, vamos ilustrar com um pequeno exemplo. FÍSICA BÁSICA 19 ANÁLISE DIMENSIONAL

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO Exemplo 1 Determine as dimensões da grandeza trabalho. Resolução: Como sabemos a grandeza trabalho é representada pela letra W, e a sua fórmula de definição para o caso mais simples da força ter a mesma direcção e sentido do deslocamento é dada pelo produto destes dois factores.

lFW ⋅= Assim, a equação das dimensões terá a seguinte forma e obtém-se sucessivamente: [ ] [ ] [lFW ⋅= ]

]

[ ] [am ⋅ [ ] [ ] 1−⋅ tv [ ] [ ] 1−⋅ tl

[ ] 2211 −−− == TMLLMTTLW Se a força e o deslocamento não tiverem a mesma direcção, a expressão do trabalho é dada pelo produto anterior vezes o coseno do angulo.

αcos⋅⋅= lFW E agora qual será agora a dimensão da grandeza trabalho? Como sabemos o coseno de um ângulo é a razão entre dois comprimentos, isto é:

ba

=αcos logo [ ] 1cos ==LLα

o coseno é assim uma grandeza adimensional, não possuí dimensões e como tal não interfere nas dimensões do trabalho. Numa grandeza adimensional, todos os expoentes são nulos (0 = α = β = γ =...) e a sua dimensão vem:

[ ] 1...dim 000 =⋅⋅= CBAensinonalaGrandeza São disso exemplo o ângulo sólido, o ângulo plano, o coeficiente de atrito, o índice de refracção, etc. FÍSICA BÁSICA 20 ANÁLISE DIMENSIONAL

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 2.2 – APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIMENSIONAIS As equações dimensionais, têm diversas aplicações fazendo parte do nosso estudo as seguintes:

• Verificação da homogeneidade das formulas físicas; • Transformação de unidades (mudança de sistema); • Previsão de fórmulas físicas.

Vamos de seguida estudar cada um destes três casos. 2.2.1 – HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL DAS EQUAÇÕES FÍSICAS Uma equação física para estar correcta, terá de ser dimensionalmente homogénea, isto é, deverá apresentar nos seus dois membros a mesma dimensão. Esta condição é necessária mas não suficiente, porque a homogeneidade não verifica os coeficientes numéricos adimensionias. É pois necessário que a equação esteja matematicamente certa. Como só podemos comparar e somar grandezas da mesma espécie (com as mesmas dimensões), podemos utilizar a análise dimensional para verificar se uma expressão está correcta. Exemplo 2 Num exame de física em que era pedida a frequência de oscilação de um pêndulo gravítico que depende da aceleração da gravidade g e do seu comprimento l o aluno estava em dúvida sobre qual das seguintes expressões será a correcta:

glf ⋅=

π21

ou lgf ⋅=

π21

Resolução: Como o aluno dominava análise dimensional, sabia que para a fórmula estar correcta, (a menos da constante numérica) a dimensão do primeiro membro devia ser igual ao do segundo:

[1º membro] = [2º membro] A dimensão do primeiro membro, igual nas duas equações, é a dimensão da frequência que é o inverso do período. Assim: FÍSICA BÁSICA 21 ANÁLISE DIMENSIONAL


[ ] [ ] [ ]11º1 −=== T

tfmembro

• Para a 1ª expressão, o segundo membro apresenta a dimensão:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

( ) TTLLg

lglmembro ====

−−− 21

21

21

21

21

2º2

Como podemos constatar, esta expressão está errada, pois a dimensão dos dois membros não é igual.

• Para a 2ª expressão, obtemos de modo análogo:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

( ) 12 21

21

21

21

21

º2 −+−−==== TTLL

l

glgmembro

Onde podemos verificar que esta seria a expressão a utilizar. 2.2.2 – MUDANÇA DE UNIDADES Através das equações de dimensão das grandezas é muito mais cómodo e evita erros, a passagem de um sistema de unidades para outro. O problema consiste em determinar, para uma dada grandeza, a razão entre as suas unidades em dois sistemas diferentes. Exemplo 3 Determinar as relações entre as seguintes unidades:

a) newton e dine. b) newton e quilograma força.

Resolução: Alínea a) Neste caso, como a dimensão da grandeza é independente do sistema utilizado a equação de dimensão é dada por (ver tabela):

[ ] 2−= LMTF Para os dois sistemas em causa, temos:

FÍSICA BÁSICA 22 ANÁLISE DIMENSIONAL

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO uL → m uL → cm

SI uM → kg CGS uM → g uT → s uT → s

5322

2

21011010 =⋅⋅=

⋅

⋅

=

⋅⋅

⋅⋅==

−

−

−

ss

gkg

cmm

sgcmskgm

dineN

UU

CGS

SI

donde concluímos que 1 N = 105 dine Alínea b) Neste caso, a dimensão da grandeza já não é independente do sistema utilizado pois como vimos no capítulo 1 o sistema MKPS é um sistema gravitacional em que a força é uma unidade de base. Assim, para o SI e para o CGS como já tínhamos visto:

[ ] 2−= LMTF mas para o MKPS,

[ ] FF = utiliza-se assim uma das duas hipóteses:

8.911

8.911

......

2

2

2

=⋅⋅=

⋅

⋅

=

⋅⋅⋅⋅

==−

−

−

ss

mmukg

mm

smmmuskgm

kgfN

UU

SMK

SI

P

ou

8.91

=

==

kgfN

kgfN

UU

SMK

SI

P

donde concluímos que 1 kgf = 9.8 N

2.2.3 – PREVISÃO DE FÓRMULAS FÍSICAS Partindo do princípio fundamental de que as equações físicas “correctas”, têm de ser dimensionalmente homogéneas, podemos deduzir através da análise dimensional a dependência funcional entre as grandezas intervenientes nessas equações. Os coeficientes numéricos, caso existam, não podem ser obtidos por este processo devido ao facto de serem adimensionais. São no entanto fáceis de determinar experimentalmente depois de obtidos os expoentes da análise dimensional.


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO Este procedimento é conhecido por “Método de Bertrand”. A previsão de fórmulas físicas constitui uma das mais importantes aplicações da análise dimensional. O procedimento consiste na observação de um determinado fenómeno, identificar as grandezas intervenientes e através da análise dimensional determinar a equação que as relaciona. Exemplo 4 Da análise experimental, sabemos que a força centrípeta é função da massa m do móvel, da sua velocidade instantânea v, e do raio da trajectória r. Determine a dependência funcional destas grandezas. Resolução: Equacionando o nosso problema, sabe-se que:

( rvmfFC ,,= ) ou F γβα rvmKc ⋅⋅= . Determinamos de seguida as dimensões das grandezas que fazem parte do problema.

[ ][ ][ ][ ] Lr

LTv

MmLMTFC

==

==

−

−

1

2

Como a equação tem de ser homogénea, as dimensões do 1º membro têm de ser iguais ás dimensões do 2º membro. Assim:

( ) ( ) ( ) βγβαγβα −+−− ⋅⋅=⋅⋅= TLMLLTMLMT 12 Resolvendo o sistema e substituindo,

−=−=

+=

βα

γβ

211

−===

121

γβα

rvmKrvmKFC

2121 ⋅

=⋅⋅⋅= −

Temos desta forma a equação de dependência entre as grandezas, a menos da constante adimensional K (que pode ser 1!). FÍSICA BÁSICA 24 ANÁLISE DIMENSIONAL

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 2.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Problema 1 A velocidade do som no ar, depende da constante dos gases R, da temperatura termodinâmica T e da massa molecular M do ar. Sabendo que a massa molecular do ar é igual a 28.9 g, a constante dos gases R=8.3 J.K-1 e a uma temperatura de 23 ºC a velocidade do som no ar é de 345 m.s-1, determine a expressão que relaciona a velocidade com as restantes grandezas e calcule a constante de proporcionalidade no SI. (Teste de Setembro de 1999). Resolução: Pelos dados do problema temos:

( MTRfv ,,= ) ou γβα MTRkv ⋅⋅⋅= As dimensões das grandezas que intervêm no problema são: [ ]

[ ][ ][ ] MMT

MTLMTLTWR

LTv

==

===

=

−−−

−

θ

θθ

12222

1

substituindo na equação do nosso problema:

( ) ( ) ( ) αβαγααγβαθθθ −−+−−− =⋅⋅= 221221 TMLMMTLLT

Igualando os expoentes dos dois membros e resolvendo o sistema:

−=

=

=

⇔

=−−=−

=+=

21

2121

012

012

γ

β

α

αβαγα

α

obtemos assim a expressão que relaciona estas grandezas:



MTRkv =

Com os valores numéricos dados, é possível agora determinar a constante de proporcionalidade k.

4.11833.1109,28

)27323(3,8345 3 ==⇒⋅

+⋅=

−kk

De notar que para obter o valor de k, (que é a raiz quadrada do índice adiabático) é necessário efectuar as mudanças de unidades para o sistema internacional. Problema 2 A resistência de uma linha de transmissão, depende da capacidade C e da indutância L distribuída ao longo da linha. Sabendo que 1V = 1J/1C e que [L] = L2MT-2I-2 e [C] = L-2M-1T4I2, determine a expressão da resistência em função de L e C. (Teste de Outubro de 1999) Resolução: Atendendo aos dados do problema temos:

( )CLfR ,= ou βα CLKR ⋅⋅= As dimensões das grandezas que intervêm no problema são:

[ ][ ] 2412

222

−−−

−−

=

=

ITMLC

IMTLL

Por sua vez R, atendendo à lei de Ohm:

[ ] [ ][ ]

232132

−−−−

=== IMTLI

IMTLIVR

com:

[ ] [ ][ ]

13222

−−−

=== IMTLTI

MTLQWV

Substituindo as dimensões encontradas na função: FÍSICA BÁSICA 26 ANÁLISE DIMENSIONAL


( ) ( )βα 242222232 IMTLIMTLIMTL −−−−− = Resolvendo o sistema obtemos:

−=

=⇒

−=+−−=+−

=+=−

21

21

222342

1222

β

α

βαβα

βαβα

E por fim a equação que me relaciona estas grandezas a menos de uma constante adimensional k.

CLkR =

Problema 3 A velocidade de propagação de ondas na superfície de um líquido é dada pela expressão:

BTAgv

ρπ

π2

2+=

Sabendo que T é medido em N/m no SI, g é a aceleração da gravidade e ρ a massa volúmica do líquido, determine as dimensões das grandezas A e B. (Teste de Janeiro de 1998). Resolução: Nos problemas de análise dimensional devemos sempre iniciar a resolução determinando as dimensões das grandezas que entram na resolução do problema. Assim:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ][ ] 1

3

2

22

−

−

−

−−

=

=

=

===

LTv

ML

LTg

MTL

LMTlFT

ρ


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO Como na equação há duas parcelas, e só é possível somar grandezas com as mesmas dimensões, podemos escrever:

[ ] [ ][ ]( ) [ ][ ][ ]

21

21

==

BTAgv

ρ

Ou de outra forma:

[ ] [ ][ ] L

LTTL

gvA ===

−

−

2

222

e

[ ] [ ][ ][ ]

LTLML

MTv

TB ===−−

−

223

2

2ρ

É importante referir que as constantes numéricas, neste caso, 2π não entram nas equações dimensionais pois a sua dimensão é zero. Isto é: [2π] = 1 Problema 4 Sendo e a base dos logaritmos neperianos, a seguinte equação dá-nos o valor da abcissa x no instante de tempo t, de um corpo de massa m a efectuar um movimento oscilatório amortecido. Determine as dimensões das grandezas a, b, c e d e as respectivas unidades no Sistema Internacional. (Teste de Fevereiro de 2000)

)cos(2 dtcaex mtb

+×=−

Resolução: Tendo em conta quer os argumentos dos ângulos e os expoentes são grandezas adimensionais, que a equação é homogénea e obtendo as dimensões das grandezas conhecidas:

[ ][ ][ ] Mm

TtLx

===

facilmente se determinam as dimensões pedidas e as respectivas unidades SI. FÍSICA BÁSICA 28 ANÁLISE DIMENSIONAL

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO u[ ] [ ] Lxa == SI →m

[ ][ ][ ] [ ] [ ]

[ ]11 −==⇒= MT

tmb

mtb

uSI →kg/s

[ ][ ] [ ] [ ]111 −==⇒= T

tctc uSI →s-1 ou Hz

adimensional [ ] 1=d Problema 5 Determine as dimensões e unidades no Sistema Internacional (S.I.) da constante de estrutura fina α, definida por:

hce

0

2

2εα = .

Sabendo que a grandeza da força eléctrica entre dois electrões (de carga e) à distância r é:

2

2

041

reF

πε=

A energia de um fotão com frequência ν é νhE = e c é a velocidade da luz no vazio. Resolução: A equação que nos permite determinar as dimensões da constante de estrutura fina α é:

[ ] [ ][ ][ ][ ]ch

e

0

2

εα =

já que o 2 sendo uma constante tem dimensão 1, ou seja [ ] 12 = Para isso teremos que encontrar as dimensões de cada um dos elementos que constituem a equação anterior. Assim teremos:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ]23

0

22

0

2

2

2

0

1 −=⇒=⇒= TMLerFereF

εεε

Pois F é uma força logo [ ] e r é uma distância logo 2−= MLTF [ ] Lr = . Por outro lado sabe-se que νhE = ou seja:



[ ] [ ][ ] [ ] 12 −=⇒= TMLhEhν

Pois E é uma energia e portanto e ν é uma frequência, assim [ ] . [ ] 22 −= TMLE 1−= TνFinalmente c é a velocidade da luz no vazio e sendo uma velocidade podemos escrever: [ ] 1−= LTc . Substituindo tudo na primeira equação temos:

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ] 1112

23

0

2==⇒=

−−

−

LTTMLTML

che α

εα

Ou seja a constante de estrutura fina α não tem dimensões.

Problema 6

A potência de uma hélice de avião depende da massa específica do ar, da velocidade angular da hélice e do raio da mesma. Determine a equação em que a potência é definida em função destas grandezas.

Resolução: Do enunciado do problema podemos concluir que a potência é função da massa específica do ar, da velocidade angular da hélice e do raio da mesma ou seja:

),,( rfP ωρ=

Assim podemos escrever a menos de uma constante adimensional K que:

γβαωρ rKP =

Agora resta-nos determinar as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas na equação anterior:

[ ] [ ][ ]

3222

−−

=== TMLTTML

TEP

[ ] [ ][ ]

3−== MLVmρ

[ ] 1−= Tω


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO [ ] Lr =

e finalmente substituindo obtemos:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]γβαγβα ωρ LTMLTMLrP 1332 −−− =⇒=

Está equação nos dá origem a um sistema:

===

⇒

−=−+−=

=

351

332

1

βγα

βγα

α

Finalmente podemos escrever que:

53rKP ωρ=


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO 2.4 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS P1 – A grandeza G tem as seguintes dimensões:

-2 para o comprimento; 1 para a massa; -2 para o tempo. a) Identifique a grandeza e defina a respectiva unidade no sistema SI. b) Qual o valor da unidade definida na alínea anterior num sistema absoluto cujas

unidades fundamentais são: decímetro, grama e minuto. P2 – Demonstrar a homogeneidade da equação de Poiseuille:

LppR

Qη

π8

)( 214 −

=

que dá o volume de fluido vertido por um tubo por unidade de tempo, isto é, o caudal, sendo R o seu raio, L o seu comprimento, η a viscosidade e (p1-p2) a diferença de pressão entre os extremos do tubo. η exprime-se em dine.s.cm-2. P3 – Dada a seguinte equação homogénea:

Xghv

m22 2 +

=

e sabendo que v é uma velocidade, g a aceleração da gravidade, h uma altura e m uma massa: a) Caracterize a grandeza X. b) Escreva a equação da dimensão de X num sistema coerente de unidades mecânicas

em que as grandezas fundamentais são: a superfície (s), a potência (P) e o peso volúmico (π).

P4 – A velocidade de propagação de uma onda num liquido depende de τ (força por unidade de comprimento), de ρ (massa volúmica do liquido) e de λ (comprimento de onda). Escreva a equação que relaciona essas grandezas. P5 – A lei de Stokes, dá-nos a força que é necessário aplicar a uma esfera para que esta se desloque através de um liquido com velocidade constante. Esta força, depende do raio e da velocidade da esfera e do coeficiente de viscosidade η, do liquido.

a) Determine a partir da análise dimensional a lei de Stokes, sabendo que o coeficiente de viscosidade se mede em poise (dine.s.cm-2).

b) Determine o coeficiente de proporcionalidade, sabendo que a uma esfera de raio 10 cm, que se desloca à velocidade de 0.2 m.s-1 num liquido de coeficiente de viscosidade 14.99 poise, está aplicada uma força de 0.565 N.

P6 – A velocidade escalar v com que um gás se escapa de um orifício praticado no reservatório que o contém, depende apenas da diferença ∆p entre as pressões interna e externa do reservatório e da massa volúmica ρ do gás. A velocidade escalar com a qual o gás escapa através do orifício num reservatório é de 20 m.s-1. Determine a velocidade de escapamento, se em vez de ar, este reservatório contivesse hidrogénio com a mesma pressão do ar. A densidade do hidrogénio em relação ao ar é igual a 0.069.


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO P7 – A força de atrito de escorregamento Fa, entre dois materiais pode, dentro de certa aproximação ser expressa como:

221 vKvKFa +=

em que v representa a velocidade relativa dos dois materiais, K1 e K2 são coeficientes de atrito que valem em unidades do sistema cgs, K1 = 0.1 e K2 = 0.2x10-2. Determine:

a) A dimensão dos coeficientes K1 e K2. b) Os respectivos valores em unidades SI.

P8 – Deduza utilizando a análise dimensional, a terceira lei de Kepler relativa ao movimento dos planetas, sabendo que o período T da revolução planetária depende da dimensão a do semi-eixo maior da órbita, da constante de gravitação universal G e da massa do sol M. (Nota: A constante universal de gravitação G é a constante dimensional que aparece na expressão da força de atracção gravitacional, que dá a força de atracção entre duas massas

quando estas se encontram à distância d uma da outra: 2

´dmmGF = )

P9 – A velocidade escalar mínima necessária para que um corpo lançado da terra não volte a cair é de 11.2 Km.s-1 (desprezando a resistência do ar e o movimento de rotação da Terra). Esta velocidade, denominada de “velocidade de escape da terra” é, tal como para qualquer outro planeta, dependente apenas da constante universal de gravitação G, da massa m e do raio r do planeta a que se refere. Calcule a velocidade de escape de um dado planeta P, sabendo que a sua massa é metade da massa da Terra e o seu raio é 8 vezes menor do que o raio da Terra. P10 – A potência P sobre o eixo de um motor de Corrente Contínua, é directamente proporcional ao comprimento h do eixo e é função ainda da indução magnética B, do diâmetro D do induzido, da intensidade de corrente I no induzido e da velocidade angular ω. Determine a equação que nos dá a dependência de P em função destas grandezas. (Teste de Janeiro de 2000).

(Nota: 1 T = 1 Wb.m-2 = 1 kg.s-2.A-1)

P11 - Sendo e a base dos logaritmos neperianos, a seguinte equação dá-nos a pressão p na atmosfera terrestre a uma altitude h acima do nível do mar; se g for a aceleração da gravidade suposta constante, determine as dimensões das grandezas a e b e as respectivas unidades no Sistema Internacional. (Teste de Janeiro de 2000).

bagh

bep−

=


ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO REFERÊNCIAS Guilherme de Almeida, “Sistema Internacional de Unidades (SI) – Grandezas e

Unidades Físicas”. Paulo Cabral, “Metrologia Industrial – Uma função de Gestão da Qualidade”. Diário da República - I Série-A “Decreto –Lei nº 238/94 Martins –Pauli – Mauad, “Física para a universidade volume 1”

FÍSICA BÁSICA 34 REFERÊNCIAS


ANEXOS



CONVERSÕES DE ALGUMAS GRANDEZAS ENTRE TRÊS SISTEMAS DE UNIDADES

Grandezas

Dimensões LMT

C.G.S.

→ ÷ × ←

S.I.

→ ÷ × ←

MKpS

DimensõesLFT

Área S = l2 L2 cm2 104 m2 1 m2 L2

Volume V = l3 L3 cm3 106 m3 1 m3 L3

Velocidade v = l / t LT-1 cm.s-1 102 m.s-1 1 m.s-1 LT-1

Aceleração a = v / t LT-2 cm.s-2 102 m.s-2 1 m.s-2 LT-2

Massa m M g 103 kg 9,8 u.m.m. L-1FT2

Força F =m.a P =m.g

LMT-2 dine 105 newton 9,8 kgf F

Trabalho W =F. e L2MT-2 erg 107 joule 9,8 kgm LF

Potência P = W / t L2MT-3 erg.s-1 107 watt 9,8 kgm.s-1 LFT-1

Pressão p = F / S L-1MT-2 bária 10 pascal 9,8 kgf.m-2 L-2F

Massa Volúmica

ρ = m / v L-3M g.cm-3 10-3 kg.m-3 9,8 u m m.m-3 L-4FT2

Peso Volúmico π = F / V L-2MT-2 dine.cm-3 10-1 N.m-3 9,8 kgf.m-3 L-3F

Viscosidade Dinâmica

η L-1MT-1 poise 10 poiseuille

Viscosidade Cinemática

ν = η / ρ L2T-1 stoke 104 m2.s-1

OUTRAS UNIDADES EM USO

Trabalho

1 wh = (J / s) × 3600 s =3600J 1 kwh = 103 wh = 3,6 ×106 J 1 cvh = 735 (J / s) × 3600 s =735×3600J

Potência

1 cv = 75 Kgm /s = 75×9,8 J / s = 735 W 1 hp = 76 kgm/s

Pressão

1 bar = 106 bárias 1 mbar = 103 bárias 1 atmosfera = 76 cmHg = 1013 mbar

FÍSICA BÁSICA 37 TABELA DE CONVERSÕES

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO ANEXO 2

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PROPOSTOS CAPITULO 1 P1 – a) X b) πx = 10.2 kgf.dm-3 ; πy = 9.8 kgf.dm-3 P2 - b = 3 cm ;h = 5 cm P3 - a) B b) 10 cm P4 - 8x108 unidades de pressão P5 - a) 20 cm ; 5 cm b) 49 mbar P6 - a) 13.2 cm3 b) 2.8x109 unidades de pressão P7 - a = 10.3 cm P8 - a) a = 10 cm b) d = 2.7 P9 - 7 e 5 CAPITULO 2 P1 – a) Peso volúmico b) πx = 3.6x104 unidades de peso volúmico P2 - P3 - a) trabalho b) X = S2π

P4 - ρλτKv =

P5 - a) F = KRvη b) K = 6π P6 - v = 76.14 m.s-1 P7 - a) [K1] = M T-1 ; [K2] = M L-1 b) K1 = 0.1x10-3 ; K2 = 0.2x10-3

P8 - GMaKT

3

=

P9 - v = 22.4 km.s-1 P10 - P = B.I.ω.h.D P11 - [a] = L; [b] = M T-2 , [c] = T-1; [d] = 1

FÍSICA BÁSICA 38 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

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