Finite Element Analysis Using MATLAB

8/17/2019 Finite Element Analysis Using MATLAB

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Análise por Elementos Finitos usando MATLAB® e ABAQUS

Amar KhennaneTraduzido por Leonardo Dornelles dos Santos

1 !"T#$DU%&$

11 'ist(ri)o

Sem dúvida, o método dos elementos finitos representa uma das conquistas mais significativasno campo de métodos computacionais no século passado. Historicamente, teve seu inicio na análise deestruturas aeroespaciais, visando redução do seu peso-crítica. Estas estruturas em estudo foram tratadascomo memros unidimensionais, para os quais as soluç!es e"atas das equaç!es diferenciais para cadamemro eram em con#ecidas. Estas soluç!es foram e"pressas so a forma de uma relação entre a matri$

forças e deslocamentos nas e"tremidades do memro. %ssim, o método foi inicialmente denominado &%análise das estruturas'. (ais tarde, foi ampliado para incluir a análise das estruturas do contínuo.Estruturas do contínuo possuem geometrias comple"as, eles tiveram que ser sudivididas emcomponentes simples ou )elementos) interligados em n*s. +oi neste estágio no desenvolvimento dométodo que o termo )elemento finito) apareceu. o entanto, ao contrário de estruturas simples eunidimensionais, as equaç!es diferenciais que regem o comportamento dos elementos do contínuo nãoestavam disponíveis. rincípios de energia tais como o teorema dos traal#os virtuais ou o princípio damínima energia potencial, que eram em con#ecidas, cominada com interpolação polinomial peça-c#avedo deslocamento descon#ecido, foram utili$ados para estaelecer a relação entre as forças de matri$ e osdeslocamentos interpolados nos n*s numericamente. o final dos anos /01, quando o método foirecon#ecido como sendo equivalente a um processo de minimi$ação, foi reformulada na forma deresíduos ponderados e cálculo variacional, e e"pandiu-se para a simulação de prolemas não estruturaisem fluidos, 2ermomec3nica, e eletromagnetismo. (ais recentemente, o método é estendido para

aplicaç!es multifísica, onde, por e"emplo, é possível estudar os efeitos da temperatura sore as propriedades eletromagnéticas que pode afetar o desempen#o de motores elétricos.

1* Análise por elementos +initos e o usuário

Ho4e em dia, na concepção estrutural, a análise de todas as estruturas simples, pode ser reali$ada analiticamente e assim não se fa$ necessário 5 utili$ação do método dos elementos finitos. oentanto os engen#eiros estruturais ap*s a graduação se deparam com prolemas onde as estruturas sãocomple"as e eles vão encontrar avançados soft6ares comerciais de elementos finitos, cu4as capacidades, eas teorias por trás e o seu desenvolvimento são muito superiores aos do treinamento que receeramdurante a graduação. a verdade, os soft6ares de elementos finitos comerciais atuais são capa$es de

simular a não linearidade, contato, a interação estrutural com fluidos, simulaç!es de colisão, etc.Soft6ares comerciais tamém v7m com avançados pré e p*s-processamento. a maioria das ve$es, estessão os únicos componentes que o usuário irá interagir muitas ve$es indo na tentativa e erro, se aseando

pela documentação e manuais que acompan#a o soft6are. o entanto, a profici7ncia na utili$ação do prée p*s-processadores não estão relacionados com a e"atidão dos resultados. 8 pré-processador é apenasum meio de facilitar a entrada de dados, uma ve$ que o método do elemento finito requer uma grandequantidade de dados de entrada, ao passo que o p*s-processador é outro meio para a apresentação dosresultados so a forma de mapas de contorno. 8 usuário deve perceer que o resultado da análise é o queacontece entre os dois processos. ara alcançar a profici7ncia na análise de elementos finitos, o usuáriodeve entender o que acontece nesta parte essencial, muitas ve$es referida como a )cai"a preta'. Essae"peri7ncia s* vem depois de muitos anos de e"posição e alto nível de con#ecimento para os campos quecomp!em a tecnologia +E% 9equaç!es diferenciais, análise numérica e do cálculo de vetor:. Umtreinamento em procedimentos numéricos e álgebra matricial, com aplicação no

método dos elementos fnitos seriam úteis para o usuário, especialmente se ele/elaé um dos muitos engenheiros de projeto que aplicam técnicas de elementos fnitosem sua trabalhar sem um treinamento prévio em procedimentos numéricos.


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** Elemento treli0a unidimensional

**1 Formula0o da matriz de ri2idez3 Uma a-orda2em direta

@m memro de uma treliça é o elemento s*lido mais simples, ou se4a, uma #aste elástica com

duas e"tremidades aonde ao qual se refere daqui em diante como nodos. Fonsiderando um elemento decomprimento L, uma seção transversal A, um efeito de um elástico linear ao qual o material possui umm*dulo de Ioung E , tal como representado na +igura .a. Se aplicarmos uma força normal N 1 no n* , eao mesmo tempo manter o n* fi"o no espaço, a arra encurta u1 por uma quantidade como representadona +igura ..

% força N 1 está relacionada com o deslocamento u1 através da constante de mola<

N 1= AE

L u1(2.1)

Fonforme a terceira lei de e6ton, deve #aver uma força de reação R2 no n* igual 9emmagnitude : e em frente 9em direção: para o N 1, isso é<

R2=− AE L

u1(2.2)

Ca mesma forma, se aplicar uma força normal de N 2 no n* , e ao mesmo tempo mantendoum n* fi"o no espaço, a arra alonga por uma quantidade u2 como representado na +igura .c.

Ca mesma forma, a força de N 2, está relacionada com o u2 de deslocamento, através daconstante de mola<

N 2= AE

L u2(2.3)

(ais uma ve$, em virtude da terceira lei de e6ton, deve #aver uma força de reação J no n* igual 9 em magnitude : e em frente 9em direção: para o vigor isso é<

R1=

− AE L

u2(2.4)

Fi2ura *1 – Estrutura treliça


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Fi2ura ** – Elemento de barras: ( a) tamanho , ( b ) a força aplicada no n 1, ( c ) a força aplicada n2, ( d ) as forças nodais aplicado em ambos os ns!

?uando a arra é su4eito a amas as forças e em virtude do princípio de soreposição, asforças + e + total apresentado na +igura .d, serão<

F 1= N 1− R1=

AE

L u

1− AE

L u

2 (2.5 )

F 2= N 2− R2=− AE

L u1+

AE

L u2(2.6)


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Jeorgani$ando as equaç!es 9.K: e 9.0: em forma de matri$<

[

AE / L − AE / L− AE / L AE / L

]{

u1

u2

}=

{

F 1

F 2

}(2.7)

8u simplesmente como<

[ K e ] {ue}={ F e}(2.8)

8nde

8 vetor {ue } é o vetor dos deslocamentos nodais

8 vetor { F e} é o vetor das forças nodais

% matri$ [ K e ] é c#amada a matri$ de rigide$L se refere aos deslocamentos nodais para as forçasnodais.

Fon#ecendo as forças + e + pode-se resolver o sistema de equaç!es 9.M: para oter osdeslocamentos u e u. Asso não é possível para um único sentido. 2endo como uma apro"imação para a

matri$ [ K e ] , pode ser oservado que o seu determinante igual a $ero, isso é<

det ( [ K e ])=( AE L )

2

−( AE L )

2

=0(2.9)

8u se4a, qualquer con4unto de deslocamentos u e u é uma solução para o sistema. or mais estran#o queisso possa ser, nesta fase, isso realmente fa$ muito sentido físico. a figura .d, a arra é su4eita asforças + e +. So a ação dessas forças, a arra vai se movimentar como um corpo rígido uma ve$ quenão está presa no espaço. Haverá muitos con4untos de deslocamentos u e u que são soluç!es para osistema 9.M:, para se con#ecer uma solução única 5 arra deve estar presa no espaço restringindo seumovimento. 8 modo como se prende no espaço a arra ou a estrutura de um modo geral, é introdu$idoso a forma de condiç!es de contorno. Asso será aordado com maiores detal#es na seção .N.

**1 Elemento de treli0a -idimensionalFomo mostrado na figura ., uma estrutura de uma treliça plana consiste em memros a"iais

com diferentes orientaç!es. @ma força longitudinal de um memro pode agir em um 3ngulo direto a outromemro. or e"emplo, a força + na figura . atua no 3ngulo direito de um memro a, fa$endo deslocar-se em uma direção transversal.

8s graus de lierdade nodais 9deslocamentos nodais: do elemento arra, são N, representadosna figura .O e que são apresentados como<

{de }= {u1 v1u2 v2 }T (2.10)

% matri$ de rigide$ se torna


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[ AE / L 0

0 0

− AE/ L 00 0

− AE/ L 00 0

AE / L 00 0

] ote-se que a segunda e quarta lin#as e colunas associadas com os deslocamentos transversais

são nula uma ve$ que o elemento de treliça tem apenas deformação a"ial.

Fi2ura *, P "s #raus de liberdade de um elemento de barra num espaço bidimensional!

Fi2ura *4 P Elemento orientado com um $n#ulo %: ( a) os deslocamentos nodais , ( b ) as forças nodais!

8utro prolema que surge a partir do fato de que todos os componentes da arra não t7m amesma orientação é quando se trata de montar a matri$ de rigide$ gloal,

precisamos ter os graus de lierdade do elemento 9deslocamentos nodais:, dada em termos de ei"os derefer7ncia comum da treliça.

% figura .N mostra um elemento de treliça orientada para um 3ngulo Q com respeito ao ei"o#ori$ontal 9R,I: da estrutura, tamém mostra dois con4untos de deslocamentos nodais< 8 primeirocon4unto 9u,v: é dada em termos do con4unto de ei"o local 9",D: associados com o elemento, enquanto osegundo con4unto de deslocamentos 9@, : está associado com o con4unto gloal de ei"os 9R, I:.

% matri$ de rigide$ do elemento é e"pressa em termos de deslocamentos locais u e v. Emordem para serem montados com as matri$es de rigide$ dos outros elementos para formar a matri$ de


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rigide$ gloal de toda a estrutura, ele deve ser transformado de tal forma que é e"pressa em termos dedeslocamentos gloal @ e .

Se considerarmos o n* , pode ser visto que os deslocamentos @ e podem ser escritos emtermos de u e v como<

U 1=u1 cosθ−v1 sinθ

V 1=u1 sinθ+v1 cosθ(2.11)

Ce forma semel#ante, @ e pode ser e"pressa em termos de u e v como<

U 2=u

2cosθ−v

2sinθ

V 2=u2 sin θ+v2 cosθ(2.12)

%grupando as equaç!es 9.: e 9.: otemos<

{

U 1

V 1

U 2

V 2

}=

[

cosθ

sinθ

0

0

−sinθcosθ

0

0

0

0

cosθ

sinθ

0

0

−sinθcosθ

]{

u1

v1

u2

v2

}(2.13)

8u em uma forma mais compacta como<

{ d́e }=[C ] {de }(2.14)

% matri$ TFU é c#amado de matri$ de transformação. B uma matri$ ortogonal com um determinante iguala um. 8 seu inverso é simplesmente igual 5 sua transposiçãoL que é<

[C ]−1=[C ]T (2.15)

8 vetor de forças nodais gloal { f́ e }= { F x1 ,F y 1 ,F x 2 ,F y 2 }T

tamém pode ser otido a partir do

vetor de forças nodais local { f e }={ f x1 , f y 1 , f x 2 , f y 2 }

T

como


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*, Matriz 2lo-al de #i2idez do )on.unto

*,1 Dis)retiza0o

ara mostrar como as matri$es de rigide$ dos elementos são colocados 4untos para formar amatri$ de rigide$ gloal, temos de prosseguir com um e"emplo muito simples. Fonsidere a treliçarepresentada na +igura .K.rimeiro, numerar todos os elementos e os n*s, em como a identificação dos graus de lierdade nodais9 deslocamento gloal:, conforme figura .K. o total, e"istem tr7s n*s, tr7s elementos e seis graus delierdade T@, , @, , @O, OU.

*,* Matrizes de ri2idez dos elementos em )oordenadas lo)ais

Jeferindo-se a equação 9.1:, pode ser visto que a matri$ de rigide$ do elemento é umafunção das propriedades do material através do m*dulo de elasticidade, área transversal do elemento e oseu comprimento =. 8 m*dulo de elasticidade remete para o material utili$ado para construir a treliça. Se

partirmos do princípio de que todos os memros da treliça são feitos de aço com um m*dulo elástico de

11111 (a, e todos os elementos t7m a mesma área transversal, de O11 mm

, então é possível avaliar cada elemento da matri$ de rigide$.

Fi2ura *5 P &odelo de estrutura de treliça!

8 elemento tem um comprimento de N111 mm. Sustituindo na equação 9.1:, a sua matri$de rigide$ na sua coordenada local é otida como<

[ K 1 ] L=[ 115000

0

−1150000

0

0

0

0

−1150000

115000

0

0

0

0

0](2.22)

8 elemento tem um comprimento de 0111 mm. % sua matri$ de rigide$ na sua coordenada local é otidacomo


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[ K 2 ] L=[ 76666.67

0

−76666.670

0

0

0

0

−76666.670

76666.67

0

0

0

0

0](2.23)

8 elemento O tem um comprimento de M mm, que pode ser calculado com a em con#ecida f*rmulade itágoras. % sua matri$ de rigide$ na sua coordenada local é otida como<

[ K 3 ] L=[ 63791.43

0

−63791.430

0

0

0

0

−63791.430

63791.43

0

0

0

0

0](2.24)

*,, Matrizes de ri2idez dos elementos em )oordenadas 2lo-ais

% rigide$ dos elementos de matri$es, como respectivamente dada por equaç!es 9.: atravésde 9.N:, não podem ser montados na matri$ de rigide$ gloal de treliça porque eles são formulados emseus respectivos sistemas de coordenadas locais. ara isso, elas precisam ser transformadas a partir deseus sistemas de coordenadas locais 9", D: para o sistema de coordenadas gloal 9R, I:.

*,,1 Elemento 1

8 ei"o " do local do elemento fa$ um 3ngulo de 1V com o gloal da estrutura do ei"o ". Emvirtude da equação 9.O:, a sua matri$ de transformação TFU é dado como<

[C 1 ]=[cos(0)sin(0)

0

0

−sin(0)cos(0)

0

0

0

0

cos(0)sin(0)

0

0

−sin(0)cos(0)

]=[1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1](2.25)

% matri$ de transformação TFU do elemento é uma matri$ identidade. Então, como aequação 9./:, multiplicando matri$ TW U= por TFU e depois multiplicando pelo TFU2, que é, TFU TW U=

TFU2

, não muda nada, sendo a ra$ão que os ei"os locais do elemento são colineares com o ei"o gloal9R, I: da estrutura. or consequ7ncia, a matri$ de rigide$ do elemento TWUX no sistema de coordenadasgloal permanece inalteradaL que é


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U 1/u1V 1/ v1U 2/u2 V 2/v2

[ K 1 ]G

=

U 1/u

1

V 1/v

1

U 2/u2V

2/v2[ 115000

0

−1150000

0

0

00

−1150000

1150000

0

0

00

](2.26)

o sistema de coordenada local 9", D:, tem os graus de lierdade Yu, v, u, vZ, enquanto nascoordenadas gloais, como mostrado na figura .K, tem graus de lierdade gloal Y@ , , @, Z. %lin#a superior e coluna esquerda fora da matri$ mostram a correspond7ncia entre o local e o gloal grausde lierdade.

*,,* Elemento *

8 ei"o " do sistema de coordenada local do elemento fa$ um 3ngulo de /1V com o gloal daestrutura do ei"o ". Em virtude da equação 9.O:, a sua matri$ de transformação TFU é dado como<

[C 2 ]=[cos (90)sin(90)

0

0

−sin(90 )cos (90)

0

0

0

0

cos (90)sin(90)

0

0

−sin(90)cos (90)

]=[0

1

0

0

−10

0

0

0

0

0

1

0

0

−10 ](2.27)

(ultiplicando a matri$ TW U= por TFU e depois multiplicando pelo TFU2 temos a matri$ de rigide$ TW UX [TFU TW U= TFU2 do elemento no sistema gloal de ei"os<

U

1/u

1V

1/ v

1U

2/u

2V

2/v

2

[ K 2 ]G=

U 1/u

1

V 1/v1

U 2/u

2

V 2/v2 [ 0

76666.67

0

−76666.67

0

0

0

0

0

−76666.670

76666.67

0

0

0

0 ](2.28)

o sistema de coordenada local 9", D:, tem os graus de lierdade Yu, v, u, vZ, enquanto nascoordenadas gloais, como mostrado na figura .K, tem graus de lierdade gloal Y@, , @O, OZ.

*,,* Elemento ,


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8 ei"o " do sistema de coordenada local do elemento O fa$ um 3ngulo de Q [ tan -90;N: [ K0.OVcom o sistema de coordenadas gloal da estrutura do ei"o ". @sando a equação 9.O:, a sua matri$ detransformação TFOU é dado como<

[C 3 ]=[cos (56,31)sin (56,31)

0

0

−sin ( 56,31 )cos ( 56,31)

0

0

0

0

cos ( 56,31 )sin (56,31)

0

0

−sin ( 56,31)cos ( 56,31) ]

[C 3 ]=[0.554699

0.832051

0

0

−0.8320510.554699

0

0

0

0

0.554699

0.832051

0

0

−0.8320510.554699

](2.29)

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