filelanguage and automata 11

8/14/2019 filelanguage and automata 11

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2/5

W e p r o v e t h e r e i s n o C p r o g r a m t o s o l v e t h a t

p r o b l e m b y s u p p o s i n g t h a t t h e r e w e r e s u c h a

p r o g r a m H t h e h e l l o - w o r l d - t e s t e r . "

3 H t a k e s a s i n p u t a C p r o g r a m P a n d a n

i n p u t l e I f o r t h a t p r o g r a m a n d t e l l s

w h e t h e r P w i t h i n p u t I p r i n t s h e l l o

w o r l d " b y w h i c h w e m e a n i t d o e s s o a s

t h e r s t 1 3 c h a r a c t e r s .

M o d i f y H t o a n e w p r o g r a m H

1

t h a t a c t s l i k e

H b u t w h e n H p r i n t s n o H

1

p r i n t s h e l l o ,

w o r l d .

3 R e q u i r e s s o m e t h o u g h t : w e n e e d t o

n d w h e r e n o i s p r i n t e d a n d c h a n g e t h e

p r i n t f s t a t e m e n t .

M o d i f y H

1

t o H

2

. T h i s p r o g r a m t a k e s o n l y

o n e i n p u t P a n d a c t s l i k e H

1

w i t h b o t h i t s

p r o g r a m a n d d a t a i n p u t s e q u a l t o P

3 I . e . H2

P = H

1

P P

3 R e q u i r e s m o r e t h o u g h t : H2

m u s t b u e r

i t s i n p u t s o i t c a n b e u s e d a s b o t h t h e P

a n d I i n p u t s t o H

1

H

2

c a n n o t e x i s t . I f i t d i d w h a t w o u l d H

2

H

2

d o ?

3 I f H2

H

2

= y e s t h e n H

2

g i v e n H

2

a s

i n p u t e v i d e n t l y d o e s n o t p r i n t h e l l o ,

w o r l d . B u t H

2

H

2

= H

1

H

2

H

2

=

H H

2

H

2

a n d H

1

p r i n t s y e s i f a n d o n l y

i f i t s r s t i n p u t g i v e n i t s s e c o n d i n p u t a s

d a t a p r i n t s h e l l o , w o r l d . T h u s H

2

H

2

= y e s i m p l i e s H

2

H

2

= h e l l o , w o r l d .

3 B u t i f H2

H

2

= h e l l o , w o r l d . t h e n

H

1

H

2

H

2

= h e l l o , w o r l d . a n d

H H

2

H

2

= n o . T h u s H

2

H

2

=

h e l l o , w o r l d . i m p l i e s H

2

H

2

6= h e l l o ,

w o r l d .

T h e T M

F i n i t e - s t a t e c o n t r o l l i k e P D A .

O n e r e a d - w r i t e t a p e s e r v e s a s b o t h i n p u t a n d

u n b o u n d e d s t o r a g e d e v i c e .

3 T a p e d i v i d e d i n t o c e l l s

3 E a c h t a p e h o l d s o n e s y m b o l f r o m t h e t a p e

a l p h a b e t

3T a p e i s s e m i - i n n i t e " ; i t e n d s o n l y a t t h e

l e f t .

2


3/5

T a p e h e a d m a r k s t h e c u r r e n t " c e l l w h i c h i s

t h e o n l y c e l l t h a t c a n i n u e n c e t h e m o v e o f

t h e T M .

I n i t i a l l y t a p e h o l d s a

1

a

2

a

n

B B w h e r e

a

1

a

2

a

n

i s t h e i n p u t c h o s e n f r o m a n i n p u t

a l p h a b e t s u b s e t o f t h e t a p e a l p h a b e t a n d B

i s t h e b l a n k

F o r m a l T M

M = Q , ; ; q

0

; B ; F w h e r e :

Q = n t e s e t o f s t a t e s .

, = t a p e a l p h a b e t ; , = i n p u t a l p h a b e t .

B i n , , = b l a n k .

q

0

i n Q = s t a r t s y m b o l ; F Q = a c c e p t i n g

s t a t e s .

t a k e s a s t a t e a n d t a p e s y m b o l r e t u r n s a n e w

s t a t e r e p l a c e m e n t s y m b o l e i t h e r m i g h t n o t

c h a n g e a n d a d i r e c t i o n L = R f o r h e a d m o t i o n .

E x a m p l e

N o n t r i v i a l e x a m p l e s a r e h a r d t o c o m e b y . H e r e ' s a

T M t h a t c h e c k s i t s t h i r d s y m b o l i s 0 a c c e p t s i f s o

a n d r u n s f o r e v e r i f n o t .

M = f p ; q ; r ; s ; t g f 0 1 g f 0 1 B g ; p ; B ; f s g

1 p X = q ; X ; R f o r X = 0 1

2 q X = r ; X ; R f o r X = 0 1

3 r 0 = s 0 L

4 r 1 = t 1 R

5 t X = t ; X ; R f o r X = 0 1 B

I D ' s o f a T u r i n g M a c h i n e

T h e I D i n s t a n t a n e o u s d e s c r i p t i o n c a p t u r e s w h a t

i s g o i n g o n a t a n y m o m e n t : t h e c u r r e n t s t a t e t h e

c o n t e n t s o f t h e t a p e a n d t h e p o s i t i o n o f t h e t a p e

h e a d .

K e e p t h i n g s n i t e b y d r o p p i n g a l l s y m b o l s t o

t h e r i g h t o f t h e h e a d a n d t o t h e r i g h t o f t h e

r i g h t m o s t n o n b l a n k .

3 S u b t l e p o i n t : a l t h o u g h t h e r e i s n o l i m i t

o n h o w f a r r i g h t t h e h e a d m a y m o v e a n d

w r i t e n o n b l a n k s a t a n y n i t e t i m e t h e

T M h a s v i s i t e d o n l y a n i t e p r e x o f t h e

i n n i t e t a p e .

3


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N o t a t i o n : q s a y s :

3 i s t h e t a p e c o n t e n t s t o t h e l e f t o f t h e

h e a d .

3 T h e s t a t e i s q

3 i s t h e n o n b l a n k t a p e c o n t e n t s a t o r t o

t h e r i g h t o f t h e t a p e h e a d .

O n e m o v e i n d i c a t e d b y ; z e r o o n e o r m o r e

m o v e s r e p r e s e n t e d b y

*

3 C h e c k t h e r e a d e r f o r t h e d e t a i l e d

d e n i t i o n o f

E x a m p l e

W i t h i n p u t 0 1 0 1 t h e s e q u e n c e o f I D ' s o f t h e T M

i s p 0 1 0 1 0 q 1 0 1 0 1 r 0 1 0 s 1 0 1 .

A t t h a t p o i n t i t h a l t s s i n c e s t a t e s h a s n o

m o v e w h e n t h e h e a d i s s c a n n i n g 1 .

W i t h i n p u t 0 1 1 1 t h e s e q u e n c e i s : p 0 1 1 1 0 q 1 1 1

0 1 r 1 1 0 1 1 t 1 0 1 1 1 t 0 1 1 1 B t `

T h e T M n e v e r h a l t s b u t c o n t i n u e s t o m o v e

r i g h t .

A c c e p t a n c e b y F i n a l S t a t e a n d b y H a l t i n g

O n e w a y t o d e n e t h e l a n g u a g e o f a T M i s b y

t h e s e t o f i n p u t s t r i n g s t h a t c a u s e i t t o r e a c h a n

a c c e p t i n g s t a t e .

L M = f w q

0

w

*

p f o r s o m e p i n F a n d

a n y a n d i n ,

g

A n o t h e r w a y i s t o d e n e t h e s e t o f s t r i n g s t h a t

c a u s e t h e T M t o h a l t = h a v e n o n e x t m o v e .

H M = f w q

0

w

*

p X a n d p X i s n o t

d e n e d g

3 S u b t l e p o i n t : a T M c a n a p p e a r t o h a l t i f

t h e n e x t m o v e w o u l d t a k e t h e h e a d o t h e

l e f t e n d o f t h e t a p e .

3 G i v e n a n y T M w e c a n m a r k t h e l e f t e n d

s o t h a t n e v e r h a p p e n s ; i . e . w e p r o d u c e

a m o d i e d T M t h a t a c c e p t s t h e s a m e

l a n g u a g e a n d h a l t s r a t h e r t h a n f a l l o

t h e l e f t e n d .

E x a m p l e

T h e T M M o f o u r p r e v i o u s e x a m p l e h a s L M

e q u a l t o t h o s e s t r i n g s i n t h e l a n g u a g e o f R E

0 + 1 0 + 1 0 0 + 1

4


5/5

H M i s t h e l a n g u a g e o f + 0 + 1 + 0 + 1 0 +

1 + 0 + 1 0 + 1 0 0 + 1

E q u i v a l e n c e o f A c c e p t a n c e b y F i n a l S t a t e

a n d H a l t i n g

W e n e e d t o s h o w L i s L M

1

f o r s o m e T M M

1

i f

a n d o n l y i f L i s H M

2

f o r s o m e T M M

2

I f

M o d i f y M

2

a s f o l l o w s :

1 . I n t r o d u c e o n e a c c e p t i n g s t a t e r

2 . W h e n e v e r t h e r e i s n o t r a n s i t i o n f o r M

2

o n

s t a t e q a n d s y m b o l X a d d a t r a n s i t i o n t o

s t a t e r m o v i n g r i g h t s o w e c a n ' t p o s s i b l y f a l l

o t h e l e f t e n d a n d l e a v i n g s y m b o l X

O n l y - I f

R o u g h l y w e l e t M

2

s i m u l a t e M

1

b u t i f M

1

e n t e r s

a n a c c e p t i n g s t a t e M

2

h a s n o n e x t m o v e a n d s o

h a l t s .

M a j o r p r o b l e m : M

1

c o u l d h a l t w i t h o u t

a c c e p t i n g .

3 T o a v o i d t h i s p r o b l e m i n t r o d u c e s t a t e r

t h a t m o v e s r i g h t o n e v e r y s y m b o l s t a y i n g

i n s t a t e r a n d l e a v i n g t h e t a p e s y m b o l s

u n c h a n g e d .

3 G i v e M2

a t r a n s i t i o n t o r m o v i n g r i g h t

o n e v e r y s t a t e - s y m b o l c o m b i n a t i o n t h a t

d o e s n o t h a v e a r u l e .

A l s o r e m o v e a l l t r a n s i t i o n s w h e r e t h e s t a t e i s

a n a c c e p t i n g s t a t e o f M

1

s o M

2

w i l l h a l t i n

t h o s e s i t u a t i o n s .

F a l l i n g O t h e L e f t E n d o f T a p e

T h e r e a d e r t a l k s a b o u t t h e f u n n y s i t u a t i o n w h e r e

t h e T M w o u l d h a l t b u t f a l l s o t h e l e f t e n d o f

t a p e .

T h i s s i t u a t i o n i s n o t h a l t i n g .

N e i t h e r d o e s a T M a c c e p t i f i t t r i e s t o e n t e r

a n a c c e p t i n g s t a t e a s i t f a l l s o t h e l e f t e n d .

W e c a n p r e v e n t f a l l i n g o t h e l e f t e n d b y

m a r k i n g t h e l e f t m o s t c e l l a s i n t h e r e a d e r .

B u t i t a p p e a r s w e d o n o t n e e d t o d o

s o i n o r d e r t o p r o v e t h e e q u i v a l e n c e o f

h a l t i n g a c c e p t i n g s i n c e n e i t h e r o c c u r s w h e n

t h e T M f a l l s o t h e l e f t e n d .

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