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Examen Final de Fundamentos Físicos de la Ingeniería 28/06/2010

Problema 2

Sea un hilo de corriente muy largo (infinito) que transporta una corriente I en la

dirección del eje z. Una espira de corriente cuadrada de lado 2a, que transporta otra

corriente I’, con las direcciones que se indican en la figura. La espira está colocada en el plano y=0, con sus lados paralelos a los ejes x z, y cuyo centro dista una distancia d

hasta el hilo de corriente.

Se pide:

a)  El campo magnético que produce el hilo infinito en cualquier punto del espacio.

Particularizarlo al campo que soportan cada uno de los brazos de la espira (lados

verticales y horizontales).

 b)  La fuerza magnética que soportan los brazos paralelos al hilo.

c) 

La fuerza magnética que soportan los brazos perpendiculares al hilo.

d) 

El momento dipolar magnético de la espira.e)

 

Suponiendo que las dimensiones de la espira fueran 2a d , calcular el

momento de fuerzas que soporta la espira.

Solución:

a)  Este apartado está resuelto en clase, la ley de Ampere aplicada a una línea

amperiana de radio x centrada en el hilo, da como resultado un campo magnéticoque en el plano de la espira tiene la forma (en función de la coordenada  x del

 plano xz en el que se encuentra):

0  2

 I  B x

 x

 

Por tanto, sobre los brazos de la espira paralelos al hilo, el campo magnético vale:

0  

2 ( )

 I  B x d a

d a

 

 

0  2 ( )

 I  B x d a

d a

 

Y sobre los brazos perpendiculares, el campo vale:

0  2

- I 

 B d a x d a x

 

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0

2

(

( )

)

 I  B

d a

 x d a

0

2

(

( )

)

 I  B

d a

 x d a

0

2(   - )

 I  B

 x

d a x d a

z

x

d-a

d+ a

I

I ’

 

La dirección, según la dirección de la corriente del hilo, es en todos los brazos hacia

adentro del papel, (es decir, en la dirección y).

 b)  Fuerza magnética sobre los lados paralelos al hilo:

Cada uno de ellos está a una distancia distinta, pero el campo que soportan es constante,

 por lo que la fuerza viene dada por la ley de Lorentz para hilos rectos:

 I F B

 

Para el brazo más próximo, a distancia d-a del hilo, la fuerza será (módulo):

0 02 22

' ' '

( ) ( )d a I I 

F I a B I a I ad a d a

 

 

Y para el más lejano, a distancia d+a:

0 02 22

' ' '

( ) ( )d a I I 

F I a B I a I ad a d a

 

 

En los dos casos, la dirección sería perpendicular al lado, y contenido en el plano del papel xz, es decir, para el brazo más próximo: i

, y para el brazo más lejano: i

 

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c) Fuerza magnética sobre los lados perpendiculares:

En este caso, no se puede aplicar la forma de la fuerza de Lorentz para el hilo recto tal

cual está, porque se sólo es válida cuando el campo magnético es constante. De modo

que tenemos que irnos un poco más atrás, y expresar la fuerza de cada elemento delongitud de la espira (sobre el brazo recto perpendicular), pues cada uno soporta un

campo distinto, e integrar todos los elementos de fuerza para calcular la resultante total.

Así, la fuerza diferencial sobre el brazo perpendicular de arriba es:

d I d F ' B

 

Donde d 

  es el vector diferencial de camino sobre el hilo, que para el brazo

considerado, es simplemente : d dxi

 

El d 

 

y el  B

, son vectores perpendiculares en todo el tramo, así que la fuerza va a

tener la dirección del eje z, k 

, para el brazo de arriba, (y k 

 para el brazo inferior).

De modo que la integral nos da directamente la fuerza total (módulo):

0 0

2 2

' '' ( ) ln

d a

d a

 I I I I dx d aF dF I B x dx

 x d a

 

 

 

con las direcciones antes indicadas.

d) El momento dipolar magnético de la espira es (por definición)   I S

, siendo

I la intensidad que recorre la espira, y S

 su vector superficie.

Para nuestra espira cuadrada, el momento dipolar es 24 I a I j'S = '( )

, es decir, el

dipolo magnético sería paralelo al eje y.

e) Si la espira fuera tal que sus dimensiones fueran 2a d , la espira vería

aproximadamente el mismo campo en toda su superficie, de valor aproximado:

0  2

( ) ( )  I 

 B x B x d x espirad 

 

 

En ese caso, el momento de las fuerzas que actúan sobre la espira, como sabemos, sería:

B 

 

Tratándose de un producto vectorial de vectores paralelos, (pues tanto

 como B

 van

en la dirección y), el momento de giro de la espira va a ser cero, (es decir, la espira no

gira, está en equilibrio dentro del campo magnético). Este resultado se puede extender a

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nuestra espira más extensa, aunque el campo no sea uniforme en ella si no se da la

condición 2a d .