1

第3章

さまざまな多数決ルール

ルールの比較

コンドルセ勝者

2

１．12個の多数決ルール

修正手続き

対案の中で勝ったものを現状維持と比較

それぞれ単純多数決を使う

?

a

現状維持(s)原案(a)修正案(b)修正案の修正案(c)

s

c b

3

シュワルツ方式

頂上循環

上位の選択肢間で循環が生じる

シュワルツ方式

勝者集合 S⊂X（普遍集合）

（１） ∀x∈S，∀y∈X＼S：xPy（２） S：最小

4

最多数投票（最大多数決定）

各決定参加者が自分の第1位とする選択肢に投票し，得票数の多い順に決められた個数 (k) まで勝者とする

k=1 → 小選挙区制

k≧2 → 大選挙区制

日本の中選挙区制

→ 3≦k≦5 の大選挙区制

5

ボルダ方式（１）

各決定参加者がそれぞれの選択肢に評点を与え，評点の合計が最大になる選択肢が勝者となる

ボルダ自身は

小さい方から，a, a+b, a+2b, …ここでは，小さい方から，0, 1, 2, 3,…評点の合計＝各人の選好において他の選択肢

に勝った回数の合計

6

cba

2abc

3 5人による意思決定

単純多数決＝二項比較a f b f c

a が勝者

012

2654

210

abc

合計3 ボルダ方式では，評点の合計が最大であるa が勝者

7

b ca

2abc

3 5人による意思決定

単純多数決＝二項比較a f b f c

a が勝者

021

2672

210

abc

合計3 ボルダ方式では，評点の合計が最大である b が勝者

↓↓単純多数決とボルダ方式は，異なる勝者を選びうる

8

adcb

2badc

2cbad

3 順位逆転のパラドックス勝者転落のパラドックス

ad単純多数決では

c b

3012

22301

21312116

1230

abcd

合計3201

2120

2678

012

abc

合計3

⇒

勝者が a から c に転換

9

ボルダ方式（２）：別の定義

［定義］ボルダ数βi(x)

任意のx に対し，x より厳密に選好されない選択対象の数から，x より厳密に選好される選択対象の数を引いた数

ボルダ方式の下での社会的選択関数

C(X)={x} ⇔ ∑iβi (x)≧ ∑i βi (y) ,∀y∈ X

それぞれの選択肢に勝利回数－敗北回数の評点を与え，評点の合計が最大になる選択肢が勝者となる

10

adcb

2badc

2cbad

3別の定義では，点数の総計が０になる．最初の定義では，点数の総計が，人数×n(n-1)/2 になる．

3-3-11

213-3-1

2531-9

-113-3

abcd

合計32-20

202-2

2-202

-202

abc

合計3

⇒

勝者が a から c に転換

11

コープランド方式

二項比較での勝利回数から敗北回数を差し引いた値が最大である選択肢を勝者とする

単純多数決による二項比較

adcb

2badc

2cbad

3 γ(x)：コープランド数γ(a)=2-1=1γ(b)=2-1=1γ(c)=1-2=-1γ(d)=1-2=-1

よって，a，b が勝者

単純多数決ad

c b

12

ドッジソン方式

a f b を b f a に変える操作 → 反転

ドッジソン勝者

＝コンドルセ勝者となるのに必要な反転の数が

最小である選択肢

前ページの例a=2 （bに勝つためには2人が a f b になればよい）

b=2, c=2, d=6 （aに勝つために4人，bに勝つために2人反転）

ドッジソン勝者は，a，b，c

13

ナンソン方式

評点の合計が平均未満である選択肢を，評点が少ない方から順に排除していく連続的なボルダ方式

01

210

225

01

bc

合計3 評点の合計が平均未満であるaが取り除かれて，bとcの間でボルダ方式を使うとcが選ばれる

⇒

14

ブラック方式

単純多数決とボルダ方式の組み合わせ

コンドルセ勝者が存在すればそれを最終勝者，コンドルセ勝者が存在しないときはボルダ勝者を選ぶ

15

ヘア方式

有効投票数＝V，勝者数＝ｋ

勝利に必要な最小得票数q＝V/(k+1)+1投票者が全選択肢について選好順序を表明

qに達した選択肢があればそれを勝者とする

なければ，第1位が最少の選択肢を排除してその得票を，それらの人の順序で第2位のとされた

選択肢に配分する

k個の選択肢が選ばれるまで繰り返す

16

クームズ方式

ヘア方式の変形

第1位とする選択肢が最も少ない選択肢の代わ

りに，最下位とする人が最も多い選択肢を排除する

17

決勝付選挙（決選投票付決定）

投票者はそれぞれ第1位とする選択肢に投票す

る（最多数投票と同じ）

過半数の支持を得た選択肢がある場合には，それが勝者となる

そのような選択肢がない場合，上位2個の選択

肢で決戦を行う

18

承認投票

投票がm個の選択肢のうち自分が好むs個（0≦s≦m）に投票して，得票数が最も多い選択

肢が勝者となる

長所：参加者がなしうる決定行為の豊富さ

可能な決定行為最多数投票：m+1

{a}, {b}, {c}, φ承認投票：2m

{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, φ

19

２．結果のルール依存性

決定参加者の選好が同じでも，ルール次第で結果は大きく異なりうる

＝結果のルール依存性

20

ecbda

2edbca

4bceda

9cdeba

10debca

12abecd

18結果のルール依存性 単純多数決ではe

最多数投票ではaが選ばれる決勝付選挙ならaとdが残り，最終的にdが勝つ

a

b

cd

e

単純多数決

02314

202134

404312

901432

1002143

1272

136107101134

43102

abcde

合計18ボルダ方式ではb が選ばれる

21

6------

e121616--

d10122137

c99----

b18181818

第1段階

第2段階

第3段階

第4段階

a

ヘア方式では c が勝者

01800

37

第3位

018111412

第2位

1845212655

189

10126

abcde

合計第1位

第3位までの承認投票ではeが勝者

22

３．コンドルセ基準

ルール比較の基準

コンドルセ勝者基準コンドルセ勝者が存在する場合は，その選択肢が勝者となる

コンドルセ敗者基準単純多数決で他のすべての選択肢に負けるコンドルセ敗者が存在する場合，その選択肢は勝者とはならない

コンドルセ基準

＝コンドルセ勝者基準＋コンドルセ敗者基準

23

修正手続きとシュワルツ方式は（2つの）コンドルセ基準を満たす

コンドルセ勝者はどんなトーナメントでも勝つし，コンドルセ敗者は必ず負ける

コンドルセ勝者は頂上循環の唯一の選択肢であり，コンドルセ敗者は頂上循環には入らない

最多数投票はどちらの基準も満たさない

（ボルダのパラドックス）1968年アメリカ大統領選：コンドルセ勝者は勝ったニクソンではなく，敗れたハンフリー

1880年，1884年，1888年，1912年のアメリカ大統領選挙では，コンドルセ勝者が落選している

24

ボルダのパラドックス

最多数投票の勝者：a決勝付選挙の勝者：b

1回目：cが落選

2回目：bが当選，aが落選

コンドルセ勝者：cコンドルセ敗者：a

ボルダのパラドックス

最多数投票はコンドルセ勝者基準・コンドルセ敗者基準をともに満たさない

bca

7abc

1cba

6acb

7

1313c813b88acba

25

ボルダ方式はコンドルセ勝者基準を満たさない

cba

1acb

1bca

10bac

29cab

10abc

30

1221c6940b6041acba

012

1201

1102

10021

10120

2910110933

210

abc

合計30 単純多数決による勝者はaボルダ方式，および最多数投票による勝者はb

26

コンドルセ勝者基準は直観に合わない

bcda

3abdc

3bdca

2abcd

3

505d6116d

05c115b66acba

0312

20321

33201

318271110

3210

abcd

合計3 単純多数決によるコンドルセ勝者はaaは半数近くで最下位ボルダ勝者はbbは全員にとって第1位か第2位

27

ドッジソン方式はコンドルセ敗者基準を満たさない

bcad

3cdab

5dbca

2abdc

5

777d888d

510c105b510acba

⇒

a,b,c,dのいずれも必要な反転の回数は3．4つともドッジソン勝者．しかし，dはコンドルセ敗者

コープランド方式は両コンドルセ基準を満たす

28

ヘア方式はコンドルセ勝者基準を満たさない

bcdea

2cbdea

3ebcda

5dbcea

3abcde

5555

e33--

d358

c2----

b555

第1段階

第2段階

第3段階

a

55512e12121212e

3312d14145d

312c1412b55acba

第1位とする投票者が最も少ないbが排除される．しかし，bはコンドルセ勝者

29

クームズ方式はコンドルセ勝者基準を満たさない

cab

2bac

2bca

4acb

4cba

4abc

5610

c611

b9--

第1段階

第2段階

a

クームズ勝者はb

1010c1110b1111acba総有権者数は21．a,b,cのど

れも過半数q=11には達しな

い．最下位とする投票者が最も多いaが排除される．しかし，aはコンドルセ勝者

30

ナンソン方式，ブラック方式は，コンドルセ勝者基準，敗者基準をともに満たす

決勝付選挙はコンドルセ敗者基準を満たす（コンドルセ敗者は遅くとも決勝で敗れるから)しかし，コンドルセ勝者基準は満たさない

bca

7abc

1cba

6acb

7 a,bが決勝に進み，最終的にbが勝者となるが，コンドルセ勝者はcである

31

４．単調性・一貫性（整合性）・パレート原理

単調性（非負の感応性）

一部の投票者が自らの選好順序において，勝者となった選択肢の順位を上げ，他の投票者が順位を変更しないならば，その選択肢は勝者から転落することはない

修正手続・シュワルツ方式・最多数投票・ボルダ方式・コープランド方式・ブラック方式・承認投票は，単調性を満たす

ドッジソン方式はあるタイプで満たす

32

ナンソン方式は単調性を満たさない（１）

cba

2bca

5cab

5abc

8212019

合計

abc

012

2021

5102

5210

8

137

合計

ab

01

201

510

510

8ボルダ評点が平均未満のcが排除され，aが勝

者となる

33

ナンソン方式は単調性を満たさない（２）

cab

2bca

5cab

5abc

8231819

合計

abc

102

2021

5102

5210

8

812

合計

ac

01

201

501

510

82人の投票者がaの順位

を引き上げたとするボルダ評点が平均未満のbが排除され，cが勝

者となる（平均以下を順に排除）

34

ヘア方式・決勝付選挙は単調性を満たさない

cab

3bac

6cba

5abc

7acb

3bac

6cba

5abc

7a：c = 13：8 a：b = 10：11

左表の投票では，第1位とする投票者が最も少ないbが排除され，その支持票を得たaが勝者となる3人がaの順位を引き上げた右表では，第1位とする投票者が最も少ないcが排除され，その支持票を得たbが勝者となる決勝付選挙も同じ．左表ではaとcの決選投票でaが勝者となり，右表ではaとbの決選投票でbが勝者となる

35

クームズ方式は単調性を満たさない

cba

2cab

4bca

2abc

5cab

2cab

4bca

2abc

5

左表の投票では，最下位とする投票者が最も多いcが排除され，aが勝者となる （a：b = 9：4）2人がaの順位を引き上げた右表では，最下位とする投票者が最も多いbが排除され，cが勝者となる （a：c = 5：8）

36

一貫性（整合性）2つの投票者集団が同一の選択肢集合について投票を行ったとき，2つの勝者集合が共通部分を持つなら，2つの集団が一緒になった全体集団では，共通部分

の選択肢すべてが勝者となり，かつ勝者はそれだけに限定されるべきである

部分集団による決定と全体集団による決定の首尾一貫性

37

一貫性はコンドルセ勝者基準と相容れない

匿名性・中立性・一貫性を満たすルールはコンドルセ勝者基準を満たさない（Young, 1975）

12個の多数決ルールは匿名性を満たす

修正手続以外は中立性も満たす

コンドルセ勝者基準を満たすシュワルツ方式・コープランド方式・ドッジソン方式・ナンソン方式・ブラック方式は，一貫性を満たさない

38

修正手続（中立性を満たさない）は一貫性を満たさない

cba

2bac

2cab

2bca

2acb

3abc

3 はじめにaとbを比較し，次にその勝者とcを比較する左：aがbに勝った後，cに負

ける右：bがaに勝った後，cに負

ける→ c が勝つ

全体：aがbに勝ち，その後cにも勝つ

a:b=3:4b:c=2:5

a:b=5:2a:c=3:4

全体ではa:b=8:6a:c=8:6

39

シュワルツ方式は一貫性を満たさない

acb

1cba

1cab

3bca

3bac

3abc

4 左：aがbに勝ち，bがcに勝ち，cがaに勝つので，a,b,cともシュワルツ勝者右：bがコンドルセ勝者

全体：aがコンドルセ勝者

{a,b,c}∩{b}={b}≠{a}一貫性を満たさない

a

b

a

bc c

40

コープランド方式・ドッジソン方式は一貫性を満たさない

badc

1bcad

1cabd

1bacd

1abdc

1abcd

1abcd

122-2-2

左

111-3

右 全体

31-1-3

abcd

コープランド数

コープランド方式 ドッジソン方式左：a, bが勝者 左：a,bは反転1回，c,dは3回右：a, b, cが勝者 右：a,b,cは反転1回全体：aが勝者 全体：aはコンドルセ勝者

41

ナンソン方式は一貫性を満たさない

bdca

1cadb

1adbc

1cabd

1bcad

1abcd

1

666

合計

abc

102

2021

2210

2

左：a,b,c右：ボルダ評点が平均未満のb,cが

排除され（同点だから），最終的にaが勝者となる全体：a,b,c

6660

計

5445

計

0312

12031

11110105

合計

abcd

3102

12130

11320

13210

1

42

ブラック方式は一貫性を満たさない

dabc

1bcda

1badc

1abcd

1bd ca

4cd ab

2abcd

5 左：aがコンドルセ勝者

右：ボルダ評点は同じa,b,c,d

全体：b a

bc

d

単純多数決

2103

10321

1o---

w9999

計

2301

13210

124271821

合計

abcd

1032

20213

43210

5

43

ヘア方式は一貫性を満たさない（１）

dabc

3bcda

4cadb

6abcd

8cadb

3d cba

6bcd a

4abcd

8abc

3bca

4cab

6abc

8adb

3d ba

6bd a

4abd

8

ac

3ca

4ca

6ac

8ad

3d a

6d a

4ad

8

左：まずcが抜け，次にbが抜け，aが勝者右：まずdが抜け，次にbが抜け，aが勝者

↓a

↓a

44

ヘア方式は一貫性を満たさない（２）

dabc

3bcda

4cadb

6abcd

8cadb

3d cba

6bcd a

4abcd

8dac

3cda

4cad

6acd

8cad

3d ca

6cd a

4acd

8

ac

3ca

4ca

6ac

8ca

3c a

6c a

4ac

8

全体：まずbが抜け，次にdが抜け，cが勝者

↓a:c=19:23

45

クームズ方式は一貫性を満たさない（１）

dabc

2bdca

3abcd

4abdc

1dabc

1b cda

3bad c

1acdb

4abc

2bca

3abc

4adc

1dac

1cd a

3ad c

1acd

4

ab

2ba

3ab

4ac

1ac

1c a

3a c

1ac

4

左：まずbが抜け，次にdが抜け，aが勝者右：まずdが抜け，次にcが抜け，aが勝者

↓a

↓a

46

クームズ方式は一貫性を満たさない（２）

dabc

2bdca

3abcd

4abdc

1dabc

1b cda

3bad c

1acdb

4dbc

2bdc

3bcd

4bdc

1dbc

1bcd

3bd c

1cdb

4

全体：まずaが抜け，次にcが抜け，bが勝者

db

2bd

3bd

4bd

1db

1b d

3b d

1db

4

↓b:d=12:7

47

決勝付選挙は一貫性を満たさない

acb

1cab

2bac

2cab

2bca

1abc

3cb

1cb

2bc

2ca

2ca

1ac

3→

↓

左：bが抜け，aとcの間で決選投票．aとcとも勝者右：aが抜け，bとcの間で決戦投票．cが勝者全体：まずbが抜け，aとcの間で決選投票．aが勝者

ac

1ca

2ac

3ca

1c a

2ac

3

↓a:c=6:5

48

承認投票は弱パレート原理を満たさない

adcb

1abcd

2→

3つを承認adc

1abc

2 3231

abcd

→ a，cが勝者

3人にとって，a f c弱パレート原理を満たさない

×○○××承認投票

○××○×決勝付選挙

○××○×クームズ方式

○××○×ヘア方式

○×○○○ブラック方式

○××○○ナンソン方式

○×○／××○ドッジソン方式

○×○○○コープランド方式

○○○○×ボルダ方式

○○○××最多数投票

××○○○シュワルツ方式

××○○○修正手続

P原理一貫性単調性敗者基準勝者基準

50

シュワルツ方式：劣位勝者のパラドックス

dabc

1cdab

1abcd

1

122d211d

11c20b23acba

シュワルツ方式による勝者はa,b,c,dbは全員一致でaより劣る

→弱パレート原理に矛盾

ad

c b