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LIBRARY OF WELLESLEY COLLEGE
Prservation photocopied
with funds from the
Barbara Lubin GoldsmithLibrary Prservation
Fund
5n>-:
UVRES
DE FERMAT.
PARIS.
- IMPRIMERIE GAUTIIIER-VUXARSQuailies
ET
EII.S,
Granils-A;iistins,
S..
UVRES
DE FERMATPL'BLlKliS l'ARI.ICS
SOINS KK
MM. PAUL TANNEUYsousI.KS
et
CHARLKS HKNKY
AUSPICES
nu MINISTERE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE.
TOME DEUXIEME.CORRESPONDANCE.
PARIS,nuBllVEAll
GAUTIHKR-VILLARS ET FILS, IMPRIMKUUS-LIHKAIKLS DKS LONGITUDES. DE L'COLE P O L V T E C N11
1
O
l
E
(Jiiai fies
(jrai)ds-.\iigustins,
j'>.
M DCCC XCIV
RDOnq? ULan
\V9>V'b'b:
1
^'V
r^^^Ve.v\K^^^*i'
3^
iGJg.
Carcavila
P
43o
aot
Rclalion des nouvelles dcouvertes enscience descavi)
nombres (Fermai
Car-
H
43i
Cil.
aG aotaot"?
cm.CIV.
septembre?fvrier
CV.CVI.CVII.CVllI.
iGGo. 11
Fermai Billy Fermai Carcavi (extrait) Fermai Carcavi (exUail) Format Carcavi (extrait)
MIl11
43643844
Il
4454'iG4
juin?'5 juillet
Fermai Fermai
Carcavi (extrait) Pascal
HP
Jo
10 aot
Pascal Fermai
VII
4''o
CIX.
dcembre?1
CX.CXI.CXII.CXIII.3i
ifV'ii.
dcembrejanvier
iG(i2.
Fermai Format Fermt Fermai
HuygensCarcavi (extrait)
452454 455
H
Sguier
Mla Cliauibre;.
Cureau de
I)
G maii3
Clerselier Clerselier
CXIV.
mai
Format Fermai
D1)
457 4G447-'-
CXV.CXVI.CXVll.CXVIII.
aimai?
1GG4.
Fermai Fermai
Clerselier
M. de***il
D Vest parl
482485
?
Dmonstration dontlettre
dans
la
prcdente
V
489
?
Saporta Format
Dcclicace ^if^
Variantes et notes critiques
5oi
Errata
5i4
FIN DE LA TABLE DES MATlnES DU
TOME DEIXIESIE.
AVERTISSEMENT.
Dans
le
premier Volume de celle dilion {Ai'erlisxcment,la
p. xxxiii),
nous
en avions annonc deux suivants pour
Correspondance de Fermt, landisles pices
que nous avons runi en un seul Tome toutesdans
connues de cellefait
correspondance, en dehors de celles que leur caractre nous avait djpubliei"les
n^res dicerses ou dans leur Appendice;
il
a en ciel t
jug prfrable, contrairement
notre
i)lan
primitif,
de laisser en dehors,les
ou plutt de rserver pour
les
Volumes du Complment en prparation,d tre communifpies
diverses lettres adresses par exemple Mersenne par Dcscarles, ou Digby
par Wallis ou lrouricker,
et qui ont
Fermt sur
le
dsir formel ou sous l'aveu tacite de leurs auteurs.
Nous n'avons donc admis,deuxde Descartes
en principe, quelui;
les lettres critesfait
par Fermai ou directement adresses :
nous n'avons(n"'
d'exception que
i"
pour
les
lettres
Mersenne
23 et 27) qu'il est indispensable d'avoir sous les yeux afinles
de comprendre
polmiques relatives
la dioptrique et la
mthode despour deux
tangentes; 2 pour une lettre de Frenicle Mersenne (n" 38) qui tait indite et a t l'origine des relations entrelettres
Fermai
et Fre"nicle; 3"
changes entre Carcavi
et
Huygensla
(n"" 77 bis et 78), qui
comblentet
en partie de regrettables lacunes desur les probabilits. Enfin,lettres
correspondance entre Pascalindications relatives auxle
Fermt
comme
nombreuses
perdues de Fermai, nous nous sommes, dans
prsent Volume,
borns
quelques notes et
quatre Extraits
de X Harmonie universelle de
Mersenne
annexs aux lettres n* 2, 3 et h.les
N'ayant pas revenir sur
questions relatives aux sources utilises
pour notre publication, nous pouvons nous borner aujourd'hui
quelques
remarques louchant
les
dispositions
iy[)ographiques cl l'orthographe que
nous avons adoptes.
Dansdele la
le
but de
faciliter les
renvois pour les trois index (des
noms propres,
langue mathmatique de Fermai, des matires) qui seront insrs dans,
Complment
aprs
la
traduction des
uvres
latines,
nous avons sub-
X
AVERTISSEMENT.numrots par
divis les lettres, d'aprs les sujets traits, en paragraphes
des chid'res gras (gyptiens), que leur forme distingue nettement de ceuxqui sont emprunts aux sources.
Ue mme que danscommodit deles alinas et
le
premier Volume, nous avons clicrch avant tout
la
la lecture; la
nous avons donc, sans aucun scrupule, multipliponctuation aux habitudes modernes.{'),
conform
Pour l'orthographe franaisexvni" sicle, sauf
nous avons en principe adopt celle du
conserver les formes constamment usites du temps de
Fermai pourdela
les
mots technitjues,
comme mchanique, quarr;l'on se
en deiiors
question de commodit, nous tions forcment conduits cette solu-
tion, par suite de l'impossibilit
absolue o
trouve de reconstituer
la
vritable orthographe de Fermt.
On(|u'il
possde de Descartes, par exemple, assez de lettres autographes poursoit possilile
aujourd'hui de publier son norme correspondance avec l'orthographe rationnelle {^) qu'il
un texte
conforme
adopta vers l'ge de
quarante ans
et qui est plusil
ou moins dfigure dans
l'dition
de Clerselier;11
mais pour Fermt,en tout delui huit
fallait
renoncer toute tentative analogue.(la
nous reste
autographes en franais
ddicace
Carcavi,
publie dans
l'Avertissement du premier Volume, pages xix-xx, les n"" 04, 65, 60, 100, 102,109, 111
do
la
Corres[)ondance); deux seulement, 60 et 102, dpassent
la
pro-
portion de simples billets, et leur ensemble nous permet tout au plus de
conjecturer que Fermt avait une orthographe personnelle dont ou pourrait
marquer quelques
traits ('),
sans pouvoir affirmer f|u'elle ft constanteil
(*),
mmepeu
en dehors des lapsus de plume, auxquels
semble avoir t quelque
sujet.
Nous avons, en
tout cas, reproduit, sans les modifier, les autographes
(')
En
ce qui concerne les textes latins, nous avons suivi les
mmes
principes que
|)our le
premier Volume (voir l'Avertissement, page xxx).
(2)
(/.,
i'|.i-i^',.)
1.
Sil
(fig. i),
semidiameler BA, porlio allcrius semi-
(liainrtri
fitila
lit
AU ad
I5stntlcicn.
(lettc
dmonstration revient enfd
fait
admettre que,
si
un corps pesant
est
suspendu
par un
sans gravite l'extrmit d'un levier parallle l'horizon et maintenu d'ailleurs
l'on
en quilibre, cet quilibre ne sera jamais dtruit, quand mme on allongerait, autant ([ue \oudra, le fil de suspension suppos dirig vers le centre de la Terre.L'erreur d'une pareille thse est aise reconnatre; maisil
convient d'observer
([u' la
date o nous sommes, les principes do la Staticpic no sont nullement tablis; on est
mme
peine d'accord sur les conditions d'tpiilibre du levier actionn |iar des forces parallles,
car la question qin s'agite est prcisment do savoirtale sur lesquels reposela thorie
si
les postulats d'origine
exprimendo grale
d'Archimde sont vrais en prenant
les forces
vit concourantes, ainsi qu'elles le sont en ralit,
ou en
les
supposant parallles, avec
gomtre do Syracuse. Beaugrand admet la premire alternative jus(]ue dans ses consquences videmment errones; Fermt suit la mme voie, mais avec une pruticnce trscaractristique. Kobcrval dfendra l'hypothse d'Archimde (ci-aprx Lettres VIU,
XIV)
;
mais Galile etl'quilibre
Caslelli,
quoique dj en possession,
comme
Uoberval, du principe do
du
levier actionne par des forces concourantes, n'en ont pas
rieuse considration les conclusions de Beaugrand et les propositions deaprs, Pice V, note G).
moins pris en sFermt {vnii- ci-
n.|K)l('nlia H, qiuiiii iccla \l\a'(|iiilil)rio o( inaiichuiil.
-
M AI 1G3G.|)(>ii(l(M-('t,
!)
iiiliil
cninl ixmdcia
15
cl
I)
in
Si aulciii
iii
A
collocoliir
pondus dcorsum Icndcns,es! acsi
]M)l(>nlia'
W surII;
smii movcnti
,TqiiaI(',
idem
a
punc(o
A
dcmaliir potcnlia
iiaiM, (inanliinii;,'iliir
pntcnlia
lollil,
lanluindc-m pondus dcpriniil. Cnlloccini:
liiijusmodiin
pondus
in
A
corpus
ii^ilur
coniposiluni ex
|)(lcn(ia
H collorataet
A
cl]{
sursuni Muivcnlc, ex poiulcreo(I),
Asi
deorsuni Irndcnicniavis,
ex gravions
nil
in
lequilibrio aul,
non inovc-
l)ilnr.
Ouuni au(em gravoMlcl.iil
I)
si(
a-fjualo gravi
15,
o(
ivcla C.D rocla^ CM, crilCi!,
AC1!
ail
CI),
iia
ACI!jii
yil
poiulds
ad polfiiliain
A
colloialani,
lia
pondus
I)
ad pondus
in
A deorsuni Icndcns.ICsl
(|(iiiil
ipsi
|{
polcnlia" a'cjualc jiosuinius.CI5,ila
aulcui, ex liypollicsi,in
m
roda AC ad
pondns
I!
ad pnicnliam
l
\
((dliicalani
:
oril igilur
ut
AC ad
C!),
ila
pondns
I)
ad pondn^ in A dcni-sinu Icndcns.
Ouuni
ii;ilur
dislaulnc
pondcribiis siul rcciprocc propo^li()llalc^,|oudcri
pondus
iu
A dcorsuui Icndcns
D
anfuipondoraliil
;
si
vcro
al)
aM|uip()iulcranlilius a'i|uipon(|iTaiilia aufcranliii', rciiqua a'(|uip(tn(lcraliunl:
crgo,
si ali
a'ijuilihiin ex polcnlia
II
iucl
A
collocalaI?
cl
siir>uniI)
luovcnlc, ex poudcrc in
A dcoisuni
liMidcnlc
poiulcrihusclI)
cl
((uu-
posilo, aufcralur a'(fuililiriuin ex pnndcrihus(]iia aM|iiip(iii(lcraliuiil
A
coniposiluni. rcli-
au! poliiis
iinii
inovciuinlur.I);
Auicraiilurcollocala,cl
igiliir [loiidusI?,
A
cl
pondus
rcinaudiil polcnlia W. in
Asi
pondus
([iiod proiiulc
polcnlia H dclincliil. idco([iic.
ruiniui augcalur
vi. siirsiiiu
hdlil. Oiiod oral dciuoiislraiidiiin.
l'inMAi.
II.
10
(KUVUKS
1)1-:
FEUMAT.
-
COllHESPONDAiNCi:.
IIa.
MiaiSliNNli,
Sciimde PiirlU: de
riliii-iiioiiic'(iro|).
lliiU'crsclIc (iCi'ij), \\\\t\ Vlll|):igos (li
:
De
l'iUililc ilo ril.ii'moaic,
wiii,
cX siiiv.
(
'
).
.
.
.
Oi', |)iiis(|iie
Monsieur
Fcrriinl, Conseiller
au l*arleuient de Tliohjseal'ail
el
lis-excclleul (ionitre, m'arcuiles pesaiileurs
donu
le
raisoiineuicut qu'il
sur les dilT-
des poids, suivant
(|u'ils
approclnMil davantage du cenlre....siijel.(//.;'.
Je veux
l'aire |)arl
au pnhlie de ses penses sur eela
Soil
donc
le
cenlre de
T(Mrc dans
la lii,'rie
droile VC
i),
an poini
15;
Fi;;.
..
Gle
'
Opoi'lioule
deuii-diauilre |{\; el
!?(",
soil(](]
une
l'antre denii-ilianilre. Ht
AC
jus(|tics
cl
soil gal
(",15,
(|iie
un
|iipi(ls
en
I>
gal an poids H,
C sera
centre de pesanteur du corps
com-
pos des deux poids H et 1); c'est ponr(pioi, si du point A l'on lc la puissance r>, les poids n cl I) demeureront en cpiilibrc, puisfpie la ligne liA ne l)sc point. Kl si l'on niei le poids en A (pii tende en lias, gal la jiuissancela11 rpii
lend enli,
liant, l'on
l'ail
la
mme
cliose
que
si
du point Ala
l'on loil
puissance
puisque
le ]K)i(ls
abaisse anlanl;
comme
puissance enlve.
Oue ce [loids soit donc mis en .\ donc le corps compos de la puissanre li pose eu A et tendant en haut, du poids .\ tendant en has, cl des poids I! ei I), demeni'era en (piilil)re. Or puisijue le poids J) est gal au poiils l, ci que la ligne (;i) est gale la ligue CH, AC est CM comme A(^ (M) et comme;
le
poids
l
est la
puissance
H mise en
A, ainsi
le
poids
I)
au poids mis en
.\
lend en has (lequel ou suppose gal la puissance U). Or, connue A(] esl ('.[), (;i$, ainsi le poids 15 la puissance l\ pose en A; donc, comme AT, ainsi le poids 1) an poids mis en A. El par consquent le [loids mis eu A serai|ui;i
eu quililire avecpoids(pii
le ])oids 1),si
puisque
les
distances sont en proporti34, pitres ddicaloires
renferme (Bibl. Nat. Imprims
V
'.(>7'5,
Inventaire
V
2510/1/2)
() Les Questions Thcologiqucs, Physiques, Morales et Mathmatiques.
O chacun
trou-
vera du contentement ou de l'exercice, Composes par L. P. M. (ajo pages);
d) Les Mcchaniques de
Galile Malhomaticion et Ingnieur
du Duc de Florence, AvecFonteniers,
Plusieurs Additions rares et nouvelles, utiles aux Architectes, Ingnieurs,
Philosophes et Artisans. Traduites do
l'Italien
par L. P. M. M. (&8 pages);
e) Les Prludes de l'Harmonie Universelle, ou Questions Curieuses, Utiles aux Prdicateurs, aux Thologiens, aux Astrologues,
aux Mdecins
et
aux Philosophes. Composesle
par L. P. M. M.C'estipi'il
{i->.t\
pages). dernier recueil ic)
dsigne improprement sousI,
videmment ce second volume que possde Fermai et c'est le titro de Questions harmoniques.9.
(2) Foir Lettre
L'envoi promisil
ici
par Fermt ne se retrouve pas dans ses4
Lettres Mersenne, mais
fut fait
avant
le
novembre
iG3()
{voir Lettre
XV,
6), et
d'autre part, en rapprochant les extraits ci-aprs IIU et
Illu
des CEuvre do Mersenne.
on reconnat aisment que ce dernier nous a conserv, dans le second de ces extraits, une partie du travail de Format, sulTisanle |ioiir que l'on puisse en apprcier toute l'importance. On peut constater galement que l'hlice dont parle Fermt dans ses Lettres I, 9.etIII,
3 n'est autre que celle qu'il dsigne sous
lo
nom
' hlix
Galilci (et non Jlaliani,I .
fausse leon de Bossut) dans la Solution
du problme propos par Etienne Pascal (Tome
pages 73-74), pice dont(lelte
la
date semble devoir tre assigne en janvier ou fvrier 1(137.
.tpirale
courbe dcrite, relativement
de Galile, nom probablement donn par Mersenne, peut tre dfinie la la Terre suppose anime du mouvement de rotationlaloi
diurne, par un point matriel pesant tombant librement suivant
do Galile. Le pro-
blme de cette trajectoire proccupait particulirement le savant Minime et, ds sa premire lettre Fermt, il avait d lui demander ses lumires sur cette question. Il ne
parait pas douteux ijuc l'crit
perdu
ait t
rdig en latin.
.
111.Iciiu'iil;
-
;}
.JUIN
103G.
1:5
mais
elle coiilioKlra aillant (|uc
deux des
|)liis
j^raiids Tiailcs
d'Arcliiiurdc, de sorteet
que
je
vous deniandc un peu detri-s
loisir |)o(ir cela
eepi'udaul vous4..l'en
la
pouvez tenir pour
vrilahle.
dresserai un Trait exprs, on je vous ferai voir de nouvelles
lieliees aussi
admirables qu'on en puissevoiei
imajj;iner;
pour vous enlii^nc(|iii'
donner ravant-i^ol, en
une, qui est peul-lr'e cellele
.Mnlans appelle, admirable danslisto hclix
Pappus
t^' ).
AMB
(fig.
4)
iji
circula C.NH, ciijas ca
sit iiropriclcis iil
(lacl (ntalihcl rcct,
verhi i;ra/ia
AMN,
/o(a circidi circumfcrcnlia
si/
ad
cjiisdcm circamfcrcnli jmrlioncm
NCBJiclicc
///
AU
(luadratum ad qua-
dralum AM.In
hoc anlein lave hctivsi/
diffcrt
ah
Arcliinu-dis ijuod, in liclicci/a
Arc/nmedis,
a/ circum/ercn/ia:
ad porlionem NCB,e/ rccla
AB ad AM.comprehensimi
Proniinciarntisesse
primo, spa/iitm sub hlicedcinde{f/ii es/si/
AB"i)
dimidium
/o/ius circtdi;
proprie/as mirabilis), spa-
/iitin c.v
prtmti remln/inne or/um (/pind hc
N)
((iii;.
rsse
dimidium
apa/n
.M
ex secu/ida iwolu/iuiie
orti;
spa/ium vero
(\
ex
/eiiia levolu/ione
(') l'i(ppuage
,
iii,v
i:t
iii.
-
:
iiiN
i(;:ui.
i.i
nivMKii.-iiCNXi:, Scco/i(f,
(
')')"'
2.
(
/lus loign
point plus loignla
du
ceiilrele
du
du centre de
(erre, et
ainsi
point
D avec
les
deux poids E reprsente une balance, de
laquelle les bras ne sont pas paralli'les l'horizon.
Mais
si
la
descente des graves se
laisoii
par lignes parallles,cl
comme
en cette figure {fig. 8) par
les lignes
AC
DN, en ce
cas, la proposi-
o
I
Q
eFi;;.
S.
:
o
B
lion
d'Arcliimcde scroit vraieil
:
cea
n'est
pas que dans l'usage elle
man(|ue sensiblement, maisplus
y
plaisir de clicrclier les vrits leset
menues
et les
plus subtiles
d'ter (oues les ambigutsfait trs
(|ui
pourroient survenir. C'est ce quepuis assurer que, quoiquela
j'ai
exactement
et je
vous
recherche en soit bien malaise, j'en pos-
sde toutes
les
dmonstrations parfaitement.
20
UVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.Soit lo ccnlre delii
terre
A
i^fig-
9), le grave
E
au point E,
e(
le
pointles'il
N dans,1e
la
superficie ou ailleurs, plus loignle
du centre que
point E.toit
ne dis pas que
pointsi le
E
pse moins tant en
E
(|ue
en N, mais je dis que,
point R est suspendu du point
N
F'g- !!
N
pars'il
l(^
filet
NE,
la
force tant au pointla
N
le
retiendra jdus aisment (|ne
toit plusai
proche de
dite force, et ce,
en
la
proportion (jne
je
vous.le
assigne.
crois vous avoir suffisammeni expli(|u
ma pense
sur ce sujet.parlez,si
2.
Pour
la
([uestion
'
(
)
des nombres dont vous
me
vous
m'en3.
faites part, je tcherai
de
la
rsoudre.la
.renvoyai,
il
y a djii
longtemps,lal'a
proposition
di's
parties ali-
quotcs (-) M. do lieaugrand, avec
construction pour trouver infinis
nombres de mme nature.4.
S'il
ne
pas pei'dne,
il
vous en fera pari.
Je vous prie de relire
ma
proposition des graves et de m'en dire
votre avis..!(>
suis etc.
.MicHSKN.NE, Haniiiiiiic
Unk'cmdlr
(lOid), Prrace t;ciicrale (page 9 nnn numrote).
.... Or,
si
je voulois pailcr des iionuiics
do grande naissance
011
(|iialil(',
qui se plaisent lellemenl on celle pai-lio des Matliomali(iues qu'on ne saiiroitpeiil-cU-c leur rien eiiseij^ner, je rplerois le
nom
de celui qui
le livre
de
(1) ^o/> ci-aprs, Lettre VI, 7. (-) Foir ci-aprs, IVa et IVn,
r-inprimls cet crit perd (pie
deux extraits des Uuvraires de Mcrsennc, Fermt avait envoy Beaugrand.
probableiiu'iit
IVn.
-
24.
JUIN
1G3G.
21
l'Orgue est ddi (') cl ajoiilerois Monsieur Fermt, Conseiller au Parlenieni de Tlioulouze, auquel je dois la remarque qu'il a faite des deux nombres ly^i)*) et i84i(), dont les parties aliquotes se rcl'onl mutuellement, comme l'onl celles des deux nombres 220 et aS.'); et du nombre 672, le(|uel est sous double de ses parties aliquotes, comme est le no[iibre 120; et il sait lesrgies infaillibles et l'analyse pour en trouver une infinit d'autres s(miiblables.
IV.
Mersense, Seconde Partie de
l'Harnuiiiic Uiiwcrselle (ilV!;), Nouvelles OI>servalioil>
Plivsiinies el MiUhcni;ili(]ucs,
[wgcs
>.()
cl siiiv.
XUI. OBSERVATION.
Dex parlicxIl
aljitoCes
de no,
cl
des noinhrcx amiables.
dixime remarque de le nomjjre semblable
j'ai dit des parties aliquotes des nombres dans la premire l'rl'ace gnrale, la mthode de trouver 120 dont je jiarle au lieu sustlil. Il faut donc melire tant de nombres de suite qu'on voudra en raison double en commenant par '., comme sont les nombres A, B, C, U, E, F
faut ajouter ce
quela
:
(i, I,
II,
I,
K,i5,I),isL--ilirc la l^ii-cu
V.
(MI '1
r,nr IxUi-o/"()/; I^ftlrc
I,
10.
IV. 3.
VI.6.
15
JUILLETles
IC3G.la
-i!
Je n'ai pas cncort^(le
pu cxainiiUT
propositions (') de
Iriser-
lion(!e
l'angle, ni de l'invention doslot.
deux moyennes proportionnelles.
seia au |)lus
7-
A
la
(|uestion numri(|ue (^),
je
rponds qu'ellela
)'eeoi(
intinies
solnlions, et mnu' plusieurs manires difl'ronies dela
rsoudre. Voici
meilleure et
la [>lus
aise
(|iie j'ai
imaginela
:
Soient li'ouvs deux quarrs des(|uelsI)
somme
soit (juaire,trivial. Soil
cduimechacun
et iG; ce (|ue je
n'enseigne
|as,
pour tre trop
d'eux mulli|di par unnu'ul,
mme nombnr compos[troduits seront
de troiset
lilncr ([u'nn seul grave, dn([uel le centre de gravit est au
milan de
la
ligne qui les conjoint
:
quelle raison donc de croire
(|n"il
s'arrte ailleurs
(]Uo lorsquo son contre sera uni celui
do
la1
torro?
Soient les doux poids gaux
A
et IJ
{Jig.
4) joints
pai' la
ligne AR,
(t)B
le
ccnire
d(> la
lerre C.
Qu'on
laisse clioir
librement
les
poids(|u'il
A
et li;
lorsque
le |)oidsle
B
sera au centre C, ou ne peut pas dire
s'arrte,
parce (|ne
poidsle
A
gravitai super
B
et deslniit a'rjinlihniirn.
O comle
mencera donc
levier
AB
de s'arrter? Vous ne sauriez tronveij)lutl
comnionccment de son repos en un poinln'est au niitan, parce qu'il se ti'onve
qu'en
l'auti'e,
si
ce
pour
lors
galement eontrchaianc
de Ions cts.Je ne saissi
ces raisons seront capables de vous
l'aire
nt
c'est
|)ourquoi je vous conjure de nn^ dire
nettement ce
qu'il
vous en
semble.3.J.a
deuxime objectionllobcrval
('") est
contre
la
nouv(dle |)roportion des
)
J'uir rico V, 5.
a,
ccUc
fuis,
raison coiilrc Fermai.
.
VII.aiii^li's(lit (le
- AOUT
iG3G.
.ii
que
j'ai
dcouvortp, contre laquelle pourlanl vous n'avez rien
prcis, mais
seulement que vous avez dmontr que
la
propoi-
lioi)
rciproque des poids doit tre explique non pas parlesla
les angles,
mais parVoici
sinus de ces angles.
dmonstration de
ma
proposition, de laquelle vous veire/.
aisment par consquentl'crit
celle de toutes celles
que vous avez vues dans
que j'envoyai
ii
M. de Carcavi.(fig.i
Su cenlriim Urne Avtillo
^), vcclis (INi porlio circiili centra
A
iitlcr(',,
AN
dcscripd,
CN,
NB
quales circumfcrcnli,
el
in punctis
H
(Cfjiia/id
pu/ide/a. Siippoin/nus vecteinsi
VW a puitclu %
siispcitsiiin
inancrc.(IN,
idcnufue accidcrcN!} colloccntur,
i^raaa qiialia
i/i
(pdbiislihel punctis
hrachioram
modo:
liiijtismodi punctci
ex
utriuptc parte a'qitaliter
d
piinclo
X
dislenlet
/icqiie e/iitn
deslnient a'qtdlibrium pondra a'qualia a/ihr qtiu/iter distantia.verlis si\r lih/'d
rentra terr
a centratc/'/
rectis(
si^'c
Sit centra///
A
fig.
i()),
VAWCA),
iit
sapra, cen-
lru//i sive inedii//)i lil/i piincta/iil'LRM.vr.
B. Collocetur pa/idas
B
in
puncto B aat
II.
3'i
(EUVHES m: FERMAT. - CORRESPONDANCE.pondre B in partes quales K, F,15,
divisa
15, (!,
D, collocenlur e parles in
piinclisVj, V,niiniis
(1,
D,
et sinl
inlerval/aEV, FB, BC,
CD
qua/ia. Si/ppo,
pondus
B,
i/i
piinctol,
B collocatum
et
a puiicto B suspenstim
idem
pondefare ac parleseodeni puncto
F, B. C,
D
siiniil siirnpta\
in vecte collocata' et
ah
B
suspensa'.
iKiid iiempe accidit quia, propter cireulum EI"B(]I), partes ponderis B
camdem semper^ruinsiiissellis\\:
servant distantiarn a rentra terra- ac po/idus ipsuni inteet
quod non animadvertisse
descensus gravium parallles suppo-
errorein peperil
Arelnmedeum.nastram demonstramus,et
suppasilis, propositianem
ecee lanlaiterra.
rasuiii
m
quo
luin redis cenlnun. liun e.vtrema a-qualiler
a rentra
dislant, quia lue rasus verilalcm priaris rectis geostalici
non
supporiil
de
qua
rideris a/nhigere.
Sil rlis
FIIN\\,
(tig.
i- K euj'us
centrum H, extrerna F
et
N, in eadern,
ipia
puneluin
a
lerrq- rentra distantia.
Centra A. inlena/lo
AH,
deseri-
halur partio eirculi FHN, rectis exlrema committens,l^rave inliain
et sil
grave in F adcircumferenet
N:
///
proporlione reciproca circuinferenti
HF ad
UN
Aio vecleni
FHN a
punclo H suspensum mansurum
quili-
hrium en/istilulurum.liane aulem proportionein earndem esse qiur angulorurnpatel:
ad eentrum A.
ex conslructione
et
duobus axiomalibus pra-cedentihus facillinie
theorema concludes.
4.
La hte du courrier niolie
fait finir l,
parce que je ne doute pas f[ue
vous
puissiez voir
la
conclusion avec un peu de mditation.
vin.
-
i(i
A
OITle
ig:](;.
:i:i
Au
roslo,
je
vous puis assurer que
l-ivre (') (|u'il
vous;
;i
pin
ui'eiivoyer est cesi
que
j'ai
vu de plus ingnieux sur celte
uialii're
mais,
mes propositions sont
vraies, de quoi peut-tre vous ne doulerez pas
toujours, vous m'accorderez que ce
mouvement sur
les [)lans inclim'-s
se peut prouver encore plus prcisment.(]e
n'est pasle
que
je
n'estime autant que je dois votre inventiona dit est
;
maiscl
ce (|ue
chancelier Bacon('- ).
bien vrai
:
"
Mnlti pjitransihiml
aiigebilur scient iaJe suis etc.
Mil.
KTIENNl PASCAI. KTSAMKDl1(5
ROBERVAL A FERMAI.AOUT1
GISG (').
(
'n,
p.
ij4-i3(>.
)
Monsieur1.
(
').
Le principe (juc vous demandez pour
la
(jostatique est que,
si
deux poids gaux sont joints par une ligne droite fermedu Traite
et[ de soi] sans
(
'
)
Il
s'a.Ljil
vidoiiiiiiciil
tic Mcc/uiiiitiiec.
I>c\ /Kiiclx \oiistciuts-
pur dc\ puis-
sance: sur
les
plans inclinez l'Horizon. Dci puissances qui siiusticnncnt un poiih sutVers, de liolien'al, Professeur Itoj'al es MntJicmatiijueset en cliaire le Jiannts
pendu deux c/iordcs. l'nr G. nu CoU
conclure que
volume
et
encore
la
disposition des poids
vo
UVRES DE FERMAT.- CO liUESPONI) ANGE.semble devoir peserla
doit tre consklr, d'aulant qu'un corps pesant
d'autant moins
qu'il
occupera une plus grande portion dele
circonf-
rence
l'ernie
passant par
corps
et dcrite
alentour du centre
communci
des choses ])esantes, ce que nous expliquerons plus amplementaprs sur votre second principe du levier. Or vous savez qu'un
mme
corps, sous diffn^ites ligures, positions ou volumes, peut occuper|)lus
ou moins de cette circonfrence
et, s'il
y a cause
pour laquelle un
mme
corps doive moins peser proche du centre qu'lant plus loign,
celle-ci en est peut-tre
une, tant clair (|ue, quoi(iu'il ft toujours de
mmecentre,
figure, position etil
volume, nanmoins, tant plus proche dula
occupera une plus grande portion de
circonfrence susdite
qu'tant plus loign. Mais, quand cela
seroil,
nous croyons qu'les
peine scroit-il possiblecetle
l'esprit
humain d'assigner
proportions de
augmentation ou diminution selon
les dillerents
loignements
du centre.8.
Si la
seconde ouil
la
troisime cause possible del'on
la
pesanteur des
corps est vraie,clusions.
nous semble que
en peut tirer des [mmes] con-
Soit le corps attirant
ABCD
{fig- 21) [sphriqneKift.
|,
ilu(|ucl le
centre
31.
soit
H, et que
la
vertu d'attraction soit galement pandue par loulesattirant, et soit le corps attir L, considr pre-
les parties
du corpsle
mirement horsSoit
corps attirant en A.
mene
la
ligne droite
AH,
laquelle soit
un plan perpendicu-
VIIl.lairc
-
IG
AOUTla
1636-
41et pailaiilj
EHD, coupant
lo
corps
ABCDI,
en doux parties [galesligne
d'gale vertu. Soient aussi, dans(|ue l'on
AH,
niartfus tant de points
voudra,
comme
K,
par lesquels soient mens des plansle
Fie,I
GKB]
parallles au plan
EHD, coupant
corps [attirant]
ABCU
en parties ingales, et partant d'ingale vertu.Alors]I
le
corps [L] tant en
A
sera attir verslibre,il
H
par
la
puissance del
tout le corps
ABCDHla
et, le
chemin tant
viendra en K,
o
il
sera attir verslir
jiar la
plus [grande et] forte partieet
BDEGil
[et conlre-
vers
A
paril
plus petiteI,
plus foihle partieil
BAG];
en sera deil
mmeen
(|uaiid
sera venu enil
o
sera
moins
attir (jue
quand
tait
K
ou en A; toutefois
sera contraint de s'approcher toujours duet, la
centre H, tant qu'il y soit venu,
partie
(|ui attireil
diminuant tou-
jours et celle qui retire s'augmentant [toujours],
sera continucdleil
ment
attir
avec moins de force jusqucs h ce qu'tant arriv en H,
sera galement attir de toutes parts etSi cette position est vraie,il
demeurera en
cet tat.
est facile de voir ([ue le corps
L
psei'a
d'autant moins
(]n'il
sera [plus] proche du centre H; mais son poidsla
ne diminuera pas en
proportion des lignes HI, HK, HA, ce que vousconsidrant, sans que nous vous l'expliquions
connoitrez assez en
le
davantage.
9-
Puis donc que de ces trois causes possibles dela vraie, et
la
pesanteur, nous
ne savons quelle est
que
mmefairesoit
nous ne sommes pas assurs[quela
(|ne ce soit l'une d'icelles, se
pouvant
vraie cause soit
com-
pose des deux autres ou] que ce [en]
une
[tout] autre, de laquelleil
on tireroit des conclusions toutes diffrentes,
nous semble que nous
ne pouvons pas poser d'autres principes [pour raisonner] en cette malii're
(|ne
ceux desquels nous sommes assurs par une exprience con-
tinuelle assiste d'un
bon jugement.
Quant
i(
nous, nous appelons des corps galement ou ingalement(jui
pesants, ceuxle
ont une gale ou ingale puissance de se porter vers
commun [des choses pesantes], et un mme corps est dit avoir un mme poids, quand a Icuijours cette mme puissan('e que FfnMAT. n. 6centreil:
V2si
UVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.coHe puissance augmctilr ou diininup, alors, quoique cecorps, nous ne le considrons plussoille
mmequeI
comme
le
mme
poids. Or,
cela arrive
aux corps qui s'loignent ou s'approchent du centre
commun
des choses pesantes], c'est ce que nous dsirerions bien de
savoir; mais, ne trouvant rien qui nous contente sur ce sujet,laissons cette question indcise et
nous
nous raisonnons seulement sur ce
que
l(!s
AnciensI
et
nous en avons pu dcouvrir de vrai jusques mainle
tenant.
Voil ce que nous avons vous dire pourla
prsent touchant
votre principe de
Gostatique, laissant part beaucoup d'autres
doutes pour viter prolixit de discours.]10.
Pour
la la
nouvelle proportion des angles que vous mettez en
avant, afin de
dmontrer, vous supposez deux principes, desquelssi
leil
premier
est vrai et l'autrele
loign d'tre vrai,
(|u'il
y a des cas o
arrive tout
contraire de ce que vous
demandez [qu'on vous accorde
pour vrai]. Le premier estpesantes, l'appuitel:
soit
A
(yfig.
22)
le
centre
communAN,
des chosessoit dcrite
du
levier N, et
du centre A,Kig. 11.
intervalle
N
une portion de circonfrencesoit gal J'arc
telle
quelle
CNB, pourvu que
l'arc
CN
NB;
et soit
considr cet an;
CN
[B]
comme
uni; ba-
lance ou un levier [de soi] sans poids, qui se
mne librement
l'entour
de l'appui N; soient aussi des poids gaux poss en C [et] B.
Vous supposez que ces poids contrepserontquilibre, tant balancs sur le point N; et[il]
l'un
ii
l'autre et feront
semble que tacitement
vous supposez encore l'quilibre, quand
les
bras du levier
NC
et
NB
seront des lignes droites, pourvu que les points C [et]
B
soient gale-
ment
loigns du centre A, et les lignes
NC
et
NB
soustendantes ou
cordes, en effet ou en puissance, d'arcs gaux NC, NB.
VIII.
-
16
AOUT
1636.les
Werovons
Toutes ces choses sont vraies en gnral, mais nous netelles
que pour ce que nous(|ui
les
avons dmontres en consquenceclairset
d'autres j)rini])s
nous sont plus familiers, plus
plus
connus.Toutefois, en particulier,consi cot dusi
centre une grandeur gale;
arrive pourtant cent cas auxquels,le
vous coupez
les
deux poids par un autre plan passant parVIII. 6.
centre, les
(1) fmrjr-r.
w. LeUlC
(52
(KUVUES DE FEHMAT. - CO U HKS 1>()M) \N CK.seront de cliaqiir clsiM'oiil iiiialcs, cl
;4i';iii(l(Miis (|ni((>i'|)s (Ml
ainsi
un nirnic
rninc
Icmps arrrlcradeiliic (|n('
et n'ai'i'lcra
pas. hinjoiirs |)i'rpcntlii'Mlaii'c
Va n'ini|MMl('il
ce plan dnil(lar
('Ire
la
lii,nic (|iii
joint lessiiiil
deux graves,
vous savez (|M'au((Mir du ccnlrcintclligiuititr siirsum.
liMis
cniliMils
indillTiMis ci
or/u/td
omnui
(leorsiini.Il
l'anl
donc
ncccssaii'cniciil iircndrrla
le
repos des poids, non pas de
celle Cacoii. mais de\(iil;i,
pinpoilionla
rroposeXVIll, 3), (pie dos (pialre
par Fermt .Sainte-Croix quiautres, la (jucslion
rsolut (ci-aprs, Lettre
V
avait t ])ose par
Mcnscnno dansIII,
l'pitrc ddicatoire de ses2),
Pr-
ludes de l'Harmonie universelle en i634 {voir Lettrelao.
avec l'indication du nond)rc
Fermt trouva le nombre 672 (Lettres XII, 4, et XIII, 4). Le troisime nombre ne donne pas la mtliode de Fermai (lVn), parait avoir t trouv par SainleCroix \Lnc date postrieure l'impression de la Seconde Ptirtic de l'Harmonie univerj377('), ipie
selfe
de MerscnncIII,
(10:17).
La ipicslion
qui se traduit par r([uation
.r2-4-2(.r2)5= (.c2-i-.r)2,est trs ai.se r.soudrc, et
il
est
improbable que ce
.soit
celle
devant
latpielle
Fermt dI,
clarait n'tre jias
un dipe.
Il
n'en est pas tout fait de
mme pourles trois
la ipiestion
dont
l'nonc, passablement obscur,
semble devoir s'exprimer parr(.r-Hi)
quations
(
IH-
.-)(.) -I-
r.
-I- 1)
^"+p^ =i")
.
2.rf.r-;-
avec les conditions que x, j, z soient entiers et p- un entier deI '
la
forme
Il ( //
-I-
I
)
)
Peut-tre
comme
solution de la question
II,
propose par Fermt Sainte-Croix.
l'oir noie prcdente.
XII.
- SEPTEMT.RE
163G.
65vir ingonii.
provcnturam auguramur, quidquid poUiccatur acutissimi2.
Diim igitur diiricilioribus numoris tcntationcm honostamus, ut
ipse loqiiitur, ita*'
proponimus
(')
:
1
huTnire Iriangulum rcclangidum numro, rujas arca (vqnclur qua-
drnlo.2"Dalci siirnm solidi
suh tnhus
laterihiis triansitli
rcctnnsuH numro
et ipsuis liypolenascv,
invenire terminos intra quos area eonsistil.solidi et longitiulinis; in
Noc moveat additioinoriris. quanlilatos//ive/iire
proldcmatis cnini im-
omncs sont homogenoa',
ut
omnos
sciiint.
.J"'
duo quadratoquadratos quorum summa quelur quadra/o-
quadralo, aul duos cubos quorum
summa
sit
euhus.
4" Invenire trs quadratos in proportione arithmetica, ea conditione uldifferentia progressionissit
numerus quadratus.a
3.
Quatuor problomatis duo fhoorcmata (-) adjunginius, qu;v,
nobis invenla, a I)oni. de Sainte-Croix demonstrafionem exspectantaut,si
frustra speraverimus, a nobis ipsis nanciscentur. Sunt:
autem
puleherrimai"
Omnis numerus cvquaturuni, 2, 3 aul 4
uni,
duohus aut
tribus triangulis,qiiadralis.
uni, 2, 3, 4 uut 5uni, 2, 3, 4,uni, a, 3, 4,'>
pctilagoiiis,
'J,
aut 6 6 aut 7
hcxagonis,Iieptagonix,
et
eo eonlinuo in i nfinit um progrcssu.
Videtur supponcre Dio|)liantus sccundam partem theorematis, cam(|ue
Bachctus experienti conatus est conlrmarc, sed dcraonstratioDosproposs:
(
'
)
(jiiatrc prnl)l(>mcs
ici
par Fermai, trois sonl insohiijk's. f^oir au),
les Ohrrrffrliofix sur Diapliaitlc1
pour
(i) el {4
YO/'X.
-
)
Tour:
le
premier de ces deux lliormes, voirle
Tome XLV; pour (3), VOtix. II. Tome 1, l'Observation XVIII sur Dio-
1
pliante.
pour
secoiul, cuinpeirrr l'OI's.11.
XXVII.
Fermt.
9
60
UVRES DEattiilit.iiisi
FEIUIAT.
- CORRESPONDANTE.ot
iicm nonpriini,
Nos propositinnoni goneralissimamdcteximusot
pulchcrrimam
fallor,
pro jure synallagmatis admitti, nescio
an jure, posliilaimis.li"
Octuplum
cii/us/ihr/
niimcri unitatc
dcmimilum rnmponitiir ex qua-
tuor quadralis taiilum, non so/um in intcgris,dissi',
quod potucrunt
alii
vi-
scd ctiam
in fractis, (juod
nos demonstraturos polliccmur.si
Et ox hac propositione mira sanc dt'dncinius, qua",f'iKM-int
in
proinptuvi-
Dom". do
Sainte-(]roix, saltoin Hachoti
ingcnium
ot
oporani
donfur inutilitor sollicitasso.4.
Priusquam propositionom
lU^
cubis
a to propositaiii
constrnamus,illiimin
ad qusesitum (') do numoro
{\-j-i
rospondoo me uniouni
non oro-
doro proposito salisfaciontom, sod hic unus post 120
nosira
mo-
Ihodo ocourril.Inalisi
hujusmodi antom quastionibus
nihil
impodit (|Uominus aliusnanciscalur:
molhodo
alios
numcros
([lui'stioni satist'aciontcs
hoc
contigorit Ooni". do Saintc-Ooix, libontissinio ab 00 accipionius(|na
una
cum mothodotas
usasot a
ost.
Sunt onim hnjiisinodi qua'Slionos pulclior-
rimaj ot diiriciilima
noniino, qiiod sciam, hactonus sohita; infininoiiis
autom similos peculiari
molhodo jam constriiximus.numoris'\
5.
Quod ad qusstiononinobis visamot
(^) do
ot
1
1
spoclat, fatoinur dif-
fioilliniani
adhuc, post multa tontanionta, ignorari. Etojiis
crodidorim, donoc contrarium apparoat,
solntionom
sorti
potinsI^ljns
(|uam
arti d(d)ori;si
sod maiim
falli
mo quam Dom.
do Sainto-tiroix.
solulionoin6.
dignotur importiri, viam constriictionis rogo adjnngat.oubis (jua*stionomita
Tnani
(h'
eoncipimus
:
Dalis quollihcl numeris in proporlinnc quavis arilhmctica. ru/us dijfcrenlia progrcssionis et iniments lerminorutn dcliir. imcnire su/nninm eu-
horum ahs omnibus.(') J'oir plus luuit, paire 0], noie.{'-)
l'oir Lcltrcs VI, 7 cl
X,
2.
\II.1-
~ SEPTEMBRE
1630.
67
Pi'iimis casiis est
(|uum prirnus terminus
est imitas et diiereiitia
progressionis etiam imitas.
Exhibeandir lumieri
iii
hac progressione
qiiollilx't
:
quadratumexemple,
trianguli
numerorum)
Bcjuaturcubis abs omnibus. IHiii hoc
iii
quo
siint
luimeri, triangulus
numerorum
est
4^
cujus
quadratus 202.5 anjuatur summ;e cuborum
a singulis.(')
Haic autem propositio in hoc casu a Baehetostrata; sequentes easus nos invenimus.8.
et aiiis est
demon-
Sit
primus terminus unitas
et dilTercntial'^t
progressionis
numerus:
quivis, ut in hoc
exempht
in
quo 4I
differentia progressionis
.5.9. 13.17,
sumo
trianguluni nitimi numeri dilTerentia progressionis unitatedemi-
nuta aucti.Est
autem 210,
et
ejus
quadratum44100.
Abi"
eo detraho sequentes numros
:
Summam
totidem cuborum ab unitate
in
[trogressione naturaiiprogressi(tnis
ducentium exordium, quot sunl unitatesunitate deminuta, eamque.
in dillerentia
summam ductamhoc exempio inde180.
in
Numerus autem, quisubtrahendum,est
in
numerum terminorum. eruetur et quem diximus
2" Detraho tri|)luni suiunue totidem (|uadratorum
al)
unitate in proin diffe-
gressione naturaii ducentium exordium, (|Uot sunl unitatesrentia [)rogressionis unitate deminuta, ilhui(|ue
ductum
in
summam
numerorumNumerus,
progressionis datse.([ui in
hoc exempht inde crncinr1890.
et ([uein
diximus subtra-
hendum,
est
('
)
.Viippndix
;id
liliriim
de minicris polygonis,
11.
iini|i.
Si.
68
UVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.3 Dotralio triplum
summa;
totid(Mn
luimcrorum ab unitatcquot sunt unitates
in proin difTe-
grossioiic naturali diiconlium cxordiuin,
rcntia prognissionis unitatc dcminuta, illudquc ducluni in
summamsnbtra-
((uadratorum abs numcris progressionis data?.Numoriis, quiin lioc
oxcmplo indo ornctur10170.
et
quom diximus
hcndiim,
est
Snmnia numororuin auf'iM'ondorumquuni 3i8Gobis:
a
numoro 44'*"
f^l 122/10. rcli-
quod
si
dividas por 4. dlircrcntiam progrossionis, habc-
summam cuborum
abs numoris1
.5.(). i3. 17,
7965,9.
et
unilormi
in
infinitum methodo.
Sed nondum constat qua rationo invcniafurI.
summa numororum
:
5.9.
1
3. 17,
ncquo quomodo summa quadratorum abnion ad
ipsis invonialur
:
quod
ta-
sccundam
et tt'rtiam
operationom pcrficicndum est lu'cossa-
rium.
Primumlis:
illud praistititita
Bachctus (')
in liboilo /Je
numcris niultangu-
sccunduin
cxpodiolur.lot
Sumatur summarali,
(|uadratorum ab unitatcin
in
progrcssiouc natu-
quot sunt unitatos
majore progressionis numro dilFerentia
progressionis unitate dcminuta aucto.
Hoc autcmtraditum.
est facile et
ab Archimode (-)
in
libro
De Spirnlibus
Ab1
ea
summa
:
Detrabe
summamilc
totidem quadratorum
in
progrcssiouc naturali
(') Coimncnlairc
Bachcl
siii'
les
propositions IV cl
V
Dinp/uruli .tlc.iandrini de
inultaii'^uUs numcris.(
') Arcliiiiidc,
De
iuicls spirtdihus,
prop. 10, donne eOrcclivcmenl n( Il-(I
la
sommation
)
XII.al)
- SEPTEMIUIEsuminam ductain
1G3C.
G9
iinitalc iiicipuMite, qiiot
sunt uiiitatcs in difloreiUia progressionisin
unitate demiiuita, oainquo?."
nunicrum tormiiiorum.unilafo, quotilliidcnic
Dolrahc diiplum siiinma^ totidemin dil'erentia
numcrorum ab
sunt unilales
progressionis unitatc dominula,datio.
ductnmllis
in
summani niimerorum progressionisomnibus.
ablatis, reliquuni, pcr diirerenliam |)rogressionis divisuni, dal)ital)
suinniani (juadratoruni
Ex
his
duobus casibus
rcliqui oinncs nullo aul mininio ncgolio eli-
cicntur jnxta pneccpta.10.
Sed hic luiTcre noluinuis,
verni
p.robleina
totius
lortassein (juavis
Arithmelicos pulchorrimuni construximus, quo non soluin
progressionc sanimain quadratorum et cuboruni venamur, sed
omnium
omnino potestalum
in infinilum
mclhodo gencralissima, quadrafo((ua-
dratoruni, ([uadralocuborum, cubocubornni, etc.il.
Ut aulcin innolescat Dom". de Sainte-(]roix sphingemexspectare, en prol)lemaita in
me
aiit
OEdipum nongrcssu, ([uod
(juadratoquadratorum pro:
potcst theorematicc enuntiari
Exponanturquadritplo
(juollihi'l
numeri
in progressionc naluralicl
ah
(inila/c
;
si
a
iillimi,
binario auclu cn(l(Mi!.
on
il-
3.
J'ai
trouv
la
dmonslralion (') de
la
somnio des qnarrs de denx
cls ralionaux,la
eommensurables en longueur, applique au double de
somme
des eols. excdant d'une iigure quarre. Mais, puisquediraiici
vous l'avez aussi trouve, je ne vous
que mon principal fonla
dement quit'ois le
est
que, de deux nombres (|uelcon(|ues,fois le
sommeet
de deuxfois
quarr du premier, deux
quarr du second
deux
le
produit des deux nombres, n'est pas un nombre quarr, d'autant
que, j)renant les moindres nombres de leur raison, un nombre simple-
ment
pris n'est pas quarr. Sisi
nous avons Ions deux un
mme moyen,je
ceci sul'til;
vous en avez un autre, ee que vous reconnoitrez parce
discours, vousl'ai
me
ferez faveur desi
me
l'apprendre,
et
moi
vous
cri-
le
mien.l'ai
tout au lon^,la
vous
le
dsirez.
4.
aussi trouv
tlnnuislralion (-
)
de votre conoule
e(
celle
de
votre parabide solide et, en consquence, C(dles d'une infinit d'autrespareilles, quarrquarres, quarrsolides etc.5.la.l'ai
trouv les tangentes de toutes ces liguresla
:
[)arla
exemple, enet
parabole solide,est
portion de Taxe, prise entrela
tangentele
le
sommet,cl la
double de
portion du nn-me axe. prise entreii
soMimct
ligne appli({ue de l'attoucliement.l'ai,
l'axe.
6-
par
le
mme moyen,
quarr
la
parabole gomtri(|utMnent,
autrement qu'ArcliiniiMJc.1\'A
je
me trompe
fort
si je
n'ai
rencontr
le
mme moyen
(juc
vous,
me
servant des lignes parallles l'axe et des portions de cesla
lignes prises entre les paraboles et
ligne
(jui
touclie les
nu'mes parala
boles
[)ar le
sommet, lesquelles portions
se suivent en
raison deetc.
l'ordre nalurcd des
nombres quarrs on des nombres cubesle
Or,
la
somme
des ijuarrs est toujours plus (|ueLeUrc XI,
tiers
du cube
(|ui a
j)0ur
(I) loir
7.
^2) f'oir LcUrcs IX, 7; XIII, 3 cl 6.I'kHM VT.
n.
Il
82(()(('
UVUES DE FERMAT.- COURESPONOANCE.lo cot('' (In[)liis
grand ((narrr,
et lale
plus grand tant lr, est
moindre que
mmo somme des quarrs, le tiers du mme euhe; la sommeet, le
des cubes plus (juet,
le (|uarl
du quarrquarr
plus grand cui)e((ue
moins
qu(^ le quart; etc. Si par ce discours
vous reconnoissez
ee n'est pas votre
moven,et
j'en serai
d'autant plus rjoui pour ce (|ue
nous eu aurons deux,faisant le8.
vous
me
ferez la faveur de
m'envoyer
le votre,
mmeles
de
ma
part.la
Pour
tangentes de
concliode, je les
ai
considres
il
y a
longtemps,
commeil
tant dterminations d'quations (juarrquarres.la
Sur ce
sujet,
y a
doux points en:
conchode par les(|uels ou ne peutles
mener des tangentes
je
vous prie de
considrer et vous trouverez la sec-
une admirable proprit d'angles au sommet l'un de l'autretion9.
d'une ligne droite
et
de
la
conchode (').
.l'estime vos propositions (-) des
nombres
et celle
du
lieu planl(>s
fort difticilos; ce
que
je saurai
mieux quand
j'aurai eu le loisir de
considrer,tant planes
commeque
aussi les centres de gravit des ligures susdites
solides, n'tant pas rsolu pourtant de m'obstinersi
aprs; car j'aimerai mieux tenir de vous ce que vous en aurez,l'avez agrable. 10..le
vous
vous prie pourtant de
me mander
si
le
centre de gravit de(|iie
votre demi-conoide n'est pas ce point o l'axe est divis de sortel'un des
segmentset
est l'autre
comme
i r
4,
pour ce qu'un lger
rai-
sonnementraison('' ).
non encore bien considr m'a sembl
me mener
cette
H. Une(|ue
autre fois je vous pourraidsirez.
mander de nos propositionsqueje
ainsi
vous
le
Pourje
celte heure,
n'emploie crire ceci:
qu'un temps drob,
vous envolerai seulement celle-cicl
De deux cnes droils gauxgales oules
isoprimclrcs tant donnes les bases inles
hauteurs ingales, trouver3
cnes.toncliodc.
(
I
)
f'oir Lclli'c XIII,t'olr Lettres XIII.
i
Knlierviil parln
ici
des points d'inflexion de
la
("-)
et 7.
(^) loir ei-aprs l-cttre
W.
5.
\V.
-
k
NOVEMBRE
1G3C.
83
Quandtes,
je dis isoprimlres, j'entends les
hases y comprises ou excep-
commela
vous voudrez.la
Vous en aurezprendre
solutionla
quand
il
vous plaira,
si
vous ne voulez
peine de
trouver vous-mme, et je vous l'aurois envoyeje
ds maintenant, n'loit qued'y penser.
crois
que vous dsirerez avoir
le plaisir
Attendant que vousrerai etc.
me
fassiez la laveur
de m'crire.
je
demeu-
\V.
FERMAT A ROBERVAL.MARDI k NOVKMIIRE 1C3C.(la,1,.
,1fi-,47;l!f"2'.)
Monsieur,1-
Me
rservant vous crire une antreet
l'ois
les
tllanls (|ue j'ai
trouvs dans votre dmonstration (')(|iie
dans votre Livre imprim (-),
j'espi're
vous
l'aire
avouer
[)ar
vos propres maximes, je
me
con-
leiilcrai (le
rpondre prsenlement aux autres points de votre Lettre.
2.
Va |)remit'rement vous saurezle
que nous
av(ns
concouru au
mme
rncditun sur
sujet de la
somme
des deux quarrs rationaux, comla
mensurahles en loniLeUre XIV, 3.LctlrcXIV,7,
i.
(*) Voir
84[las la
UVRKS
\)\l
FEIUIAT.
- CORRESPONDANCE.([iic
(linonsiralion pn-cisc, qui oslle liiM's
la
soinmo dos (juarrsct
est
plus irando (|uo(liiarrc-;
du cube
(|ui a
pourle
clV' lo
du plus grandla
la
sonimc des cuhos plus
((uo
quart du quarrquarn'';
soinuio des (juarrquarrs plus qu'un cinquimo
du quarrcuho;faut, (''(ant
etc.
Or, pour dmontror cela plus gnraicmont,\wm\\ri' in progrcssioiif mil iirali. trouver la
il
donn un
somme, non seulement de((ui
Ions les ((uarrs et cubes, ce que les auteursl'ail
ont
ci-il
ont dj
('),
mais encore
la
somme
des quarrquarrs, ((uarrcubes etc.,
ce (|ue personne ([ue
je saidu' n"a
encore trouv; et pourtant cette eonet n'est pas
noissance.l'en
est l)(dle et
de grand usage
des plus aises.JMi voici
suis
venu
bout avec beaucoup de peine.
un exemplei/i
:
Si quadnipliini tnaiiini iiitineri biiutrio aurliint dacasIriangtili luimcroriini, cl
(juadraluni
a pnxliirio dcmns siinunarn quadralorum a sm-
gidis, fiel siinuiKi (fiKidraloqiuidrnlnnun (jiiuiliiplii.
Il
semble
(|ue
Racliet,
dans son Trait De
/itiincrisl'ait
miiltangu/is (-),
n'a(jes
pas voulu tter ces (|ueslions apri's avoir
C(dle des ([narrs etla
cubes;
je
serai bien aise ([uesi
vous vous cKcrciez pour trouver
mthode gnrale, pour voirvousolFre
nous rencontrerons. Kn tout
cas,
je
tout ce
que
j'y
ai
l'ait,
qui est tout ce qu'on peut dire sur
cette matire.
Voicivira; auri'gle
cependant une
Iri's
Ixdie proposition, qui peut-tre
vous y ser-
moinsj'ai
c'est par son
moyen que
j'en suisla
venu
bout,
(rcstune
qu(^
trouve pour donner
somme, non seulement desmais encorela
triangles, ce qui a t fait par Bachel et les autres ('),
des pvramides, Iriangulolrianguloriim etc. sition ('):
l'infini.
Voici
propo-
UUimum
lattis in laliis
pruxime majiis facil duplum
triangtili.
(') roir LeUrc XII, 10 cl 11. (2) Voir
LcUrc
XII, 7, nolo
i.
C)lion,
Bachel [Appcndix
ad
libruni
de itutncrU
poljgniii.i,
I,
prop. 18) donne
la
somma-
non seulement des iriangles, mais en gnral des polygones de pour cots les nombres conscutifs partir de l'unit.() Foir Lettre XII, 12.
mme
genre ayant
XV.Ullimurnramidis.laliis In
-
i
NOVEMIREhitcris
163G.
85farit Iripliini pv-
Iriangulum
proxime majoris
Ullanimi lalas intriangulotrian guli.
pyramtdem
latcris
prn.vime majoris facit /piadriipluni
El eo
m
i/tfinilnm progressa.
Toiitos ces propositions, (juoiqiie holios do soi, m'oiil servi lioiivcrla
(]uad rat lire ([uo4.
jo
suis bien aise ([uc vous oslimioz.
Je voiulrois avoir assez de loisir
pour vous envovei'si
les
proposi-
(ioiis
des iiomlires (') ([ue vous trouvez:
diriieiles; elles le soiU
en
ellet
niuie Tartaglia J'enai
(-')
avoiteru
([u'elles u'loient point trouvaltlesil
|)ar art.
envoysi
la
construction au Pre Mersenne;
vous
la
communiquera5.
vous
la lui
demandez.fois le
Je
vous onvoierai aussi une autrela
centre de gravitle
( ')
de
toutes ces nouvelles figures, avec
mthode gnrale pour
trouver.
Vous savez eependant queportion dei [
celuii
du demi-conod(>i
divise l'axe en pr(et (jiieii
>,
non pas de
;i
f\,
comme
vous aviez cru,
celui des nouvelles paraboles divise l'axe en proportion pareille
cellela
du paralllogramme, quifigure,il
a
pour hauteur
l'axe et |)(iur hase celle dele
la
figuretel
:
ou, pour
mieux
dire,)
diamtre de toute parabolele
est divis
enle
point [de son diamtreestet;i
par
centre de gravit, jeu
sorte]
que
segment d'en bas
celui d'en haut
comme
la
figure au
paralllogramme de6.
mme
base
de uime hauteur.
Puisque vous avez trouv
la
dmonstration de toutes mes propole
sitions,
vous m'obligerez beaucou|) de prier
Pre Mersenne de
voii'