FEM Analiza i Modeliranje

8/12/2019 FEM Analiza i Modeliranje

1/23


2/23

2

SADRAJ

UVOD ....................................................................................................................................................... 3

1. HISTORIJAT FINITE-ELEMENT METODE ............................................................................................... 3

2. UVOD U FINITE-ELEMENT ANALIZU..................................................................................................... 4

3. FORMALNA DEFINICIJA METODE ........................................................................................................ 6

4. FINITE-ELEMENT MODELIRANJE ........................................................................................................ 10

5. AUTOMATSKO GENERISANJEMREE (MESH) ................................................................................... 14

5.1. Pristup spajanja vorova ............................................................................................................ 14

5.1.1. Cavendishova metoda (Cavendish 1974) ............................................................................ 14

5.1.2. Shimadaina metoda (Shimada i Gossard 1992)................................................................... 15

5.1.3. Lee-eva metoda (Lee 1983) ................................................................................................. 165.1.4. Delaunay triangulacija (Waston 1983) ................................................................................ 16

5.2. Pristup zasnovan na razbijanju geometrije ................................................................................ 17

5.3. Pristup zasnovan na pravilnoj mrei ........................................................................................... 17

6. PRIMJERI FEM ANALIZE ..................................................................................................................... 20

6.1. Analiza optereenja kod preklopnog mobilnog telefona ........................................................... 20

6.2. Problem vibracija kod vertikalnih pumpi ................................................................................... 22


3/23

3

UVOD

Kada je rije o modernom mehanikom dizajniranju, dizajneri na raspolaganju imaju irokspektar softverskih paketa za raunarski podran inenjering (engl. Computer -Aided

Engineering CAE) za evaluaciju dizajna u bilo kojoj fazi dizajnerskog procesa. Ovi CAE alatimogu biti koriteni u razliite svrhe, za kinematike i dinamike analize, odzive elemenata isl. Softverski alate kao to su ADAMS i DADS spadaju upravo u tu kategoriju. U odreenimsluajevima, neki od ovih CAE alata se koriste za razliite analize stresa ili procjenetemperature kod mehanikih komponenti koje trpe djelovanja sila ili akumuliraju toplotu.Pored toga, mogua je vibracijska analiza komponente u sluajevima dinamikogoptereenja. Svi navedeni problemi u okviru CAE alata se rjeavaju koritenjem finite-elemen t alata za analizu.

Najpopularniji komercijalni softveri koji koriste finite-element metode su NASTRAN i ANSYS.Orginalna verzija NASTRAN softvera je sponzorisana od strane NASA- e ezdesetih godinaprolog vijeka. Do danas, NASTRAN je evoluirao kroz brojne verzije, svaka sa poboljanomanaliznom sposobnou i numerikim izvedbama u civilnom i aeronautikom inenjeringu.Danas se redovno koristi, ponajvie u zrakoplovstvu, automobilskoj i pomorskoj industriji.NASTRAN se smatra svjetskim standardom za FEM analizu.

1. HISTORIJAT FINITE-ELEMENT METODE

Finite-element metoda je nastala iz potrebe da se izvedu kompleksne strukturalne analize i

analize elasti nosti u civilnom i aeronautikom inenjeringu. Njen razvoj moe se pratiti uradovima A. Hrennikoff i R. Courant. U Kini, kasnih 1950-ih i ranih 1960-ih godina, na temeljuizrauna pregradnih konstrukcija , K. Feng je predloio sistematsku numeriku metodu zarjeavanje parcijalnih diferencijalnih jednaina. Metoda se zove metoda konanih razlika(engl. finite difference method) i temelji se na principu varijacija, to je jo jedan neovisanpronalazak metode konanih elemenata. Iako su pristupi koji su koristili ovi pioniri razliiti,oni dijele jednu bitnu karakteristiku, mreasta diskretizacija kontinuirane domene u nizuodvojenih pod-domena, koji se obino nazivaju elementi.

Prve aplikacije koje su implementirale FEM su koritene u oblastima strukturne mehanike.Tanije, naziv finite element je izmislio Ray William Clough 1960. godine i iskoristio ga je kakobi opisao tehniku koritenu za analizu stresa zemljita koja je u to vrijeme predstavljalaveoma znaajan napredak u prouavanju zemljotresa. Shodno tome, velika veinakomercijalnih finite element soft verskih paketa je originalno razvijena kako bi se inenjerimapripremilo okruenje za rjeavanje strukturnih problema. Ubrzo nakon toga postalo je vrlooito da se finite element metode mogu iskoristiti puno generalnije, prije svega uprouavanju transfera toplotne energije, elektrostatskog potencijala, mehanike fluida,vibracija, kao i mnogih drugih problema inenjerske prirode. Kako se poveavala snagakompjutera, obim i kompleksnost problema s kojim su se susretale finite element metode setakoer povea vala. Glavna razlika izme u finite-element anali ze i kinematike ili dinamike


4/23

4

analize je ta to finite-element analiza posmatra problem kao grupu svedenih elemenata,dok druge tvije problem posmatraju kao kontinuum.

2. UVOD U FINITE-ELEMENT ANALIZU

Praktini inenjerski dizajni skoro uvijek ukljuuju komplikovane oblike sastavljene odrazliitih vrsta materijala. Obratite, na primjer, pozornost na probleme prikazane na slici 2.1.Raunanje raspodjele naprezanja nosee grede prikazane na slici 2.1. a) koristei analitikipristup je izuzetno teko. Ukoliko je konstrukcija grede sloena, dakle, napravljena je odrazliitih vrsta materijala, problem je praktino nerjeiv. Slino tome, ne moemo izvestianalitiki izraz za raspodjelu toplote unutar objekt a prikazanog na slici 2.1. b).

Slika 2.1. - Prikaz problema

Finite-element metoda je vjerovatno najpraktinija numerika tehnika za rjeavanje ovih i

slinih problema. Uopenost finite element metode uklapa se u analiziranje zahtjevadananjih kompleksnih inenjerskih sistema za koje rjeenja ravnotenih jednaina uzatvorenoj formi obino nisu dostupna. Kod finite-element metode, analiza zapoinjeaproksimacijom interesnog podruja (oblast problema) i njegovom podjelom na odreenbroj mrea. Na slici 2.1. a), svaka mrea je spojena s poveznim vorovima koji su naznaenicrnim takama i na taj nain postaje konaan element, engl. finite element . Na slici 2.2. jeprikazana aproksimacija originalnih objekata sa slike 2. 1. sakupljanjem konanih trougaonih ietverougaonih elemenata. Iako smo originalne objekte iz prethodnog primjera aproksimiralikoristei trougaone elemente sa tri vora i etverougaone elemente sa etiri vora, mogu seizabrati i d rugaiji oblici konanih elemenata, prvenstveno u zavisnosti od tipa i oblastiproblema, kao i softverskog paketa koji koristimo. Zapravo, jedna od najvanijih odluka koju


5/23

5

mora donijeti korisnik finite-element metode tie se upravo odabira odgovarajueg ti paelemen(a)ta, kao i odgovarajueg broja vorova iz dostupne softverske biblioteke. Tanije,odreivanje ukupnog broja elemenata koji e se koristiti u rjeavanju problema, kao i njihovaveliina, su iskljuivo stvar inenjerske procjene. Osnovno pravilo podrazumijeva da vei broj

vorova i elemenata (u h verziji), ili vii stepen funkcije oblika (u p verziji) daju preciznije finite-element rjeenje, ali ono je u tom sluaju i skuplje. Drugi problem je generisanje mreaza objekat, posebno u sluajevima kada je objekat geometrijski jako sloen. Kreiranjetrodimenzionalnih finite-element mrea je u veini sluajeva jako zahtijevan posao, sklonvelikom broju pogreaka. Trenutno je velika panja posveena razvoju mogunostiautomatski podranog generisanja mrea, koje bi u velikoj mjeri moglo da rijei navedeneprobleme.

Slika 2.2. - Aproksimacija objekata sa slike 2.1.

Nakon to se originalni objekat aproksimira konanim elementima sa odgovarajuimvorovima, svaki vor je povezan s nepoznanicama za rjeavanje. Za primjer na slici 2.2. a)nepoznanice za rjeavanje bi bile pomjeranja u pravcima x i y ose. Ovo implicira da svaki vorima dva stepena slobode, tako da e se u procesu rjeavanja za n vorova morati odrediti 2 n stepeni slobode. Pomjeranja na bilo kojoj lokaciji unutar elementa mogu biti izvedena naosnovu pomjeranja vorova koristei pretpostavljenu funkciju oblika za element. To znai danepoznanice mogu biti iskljuivo pomjeranja vorova. Funkcija oblika interpolacijom

nepoznatih u vorovima na jednostavan nain odreuje vrijednosti tih nepoznatih, u ovom


6/23

6

konkretnom sluaju, pomjeranja. Nakon to su pomjeranja jednom izraunata, naprezanja seizvode koritenjem parcijalnih derivacija funkcije pomjeranja.

Nakon aproksimacije oblasti problema , montaom diskretnih konanih elemenataodreujemo svojstva materijala svakog od elemenata, kao i granine uslove. Specificiranjemrazliitih svojstava materijala za razliite konane elemente, mogue je analizirati sastavnedijelove objekta. Granini uslovi su obino poznati (npr. pomjeranje, vanjske sile ilitemperatura) zajedno s pozicijom neprekidne granice objekta. Ovi granini uslovi moraju bitiizraeni kao skupovi vrijednosti pomjeranja, sila ili temperatura za specifine vorovekonanih elemenata. Nakon to su obezbijeeni podaci o svim graninim uslovima za vanjskevorove, finite-element analiza generie formule, tzv. sistemske jednaine, koje dovodegranine uslove u veze s nepoznantima, kao to su pomjeranja, ili temperature navorovima, i/ili koeficijenti funkcije oblika (u p verziji), a zatim pronalazi nepoznate. Nakonto su izraunate vrijednosti nepoznatih za vorove, vrijednost bilo koje nepoznate unutarbilo kojeg konanog elementa moe biti izvedena koristei istu funkciju oblika koritenu kodgenerisanja sistemskih jednaina. Dobijeni rezultati se primarno prikazuju u numerikojformi, a zbog puno vee praktinosti se vre i dodatna prikazivanja rezultata u razliitimgrafikim formama. Na taj nain je mogue vrenje direktnih vizualnih usporedbi, kao iplotiranje. Ovo je oblast gdje kompjuterska grafika igra veoma vanu ulogu za CAE.

Ovaj dio e biti zavren razmatranjem ogranienja finite-element metode. Mnogi inenjeri suprevie uvjereni u mo finite-element metode, tako da nisu u stanju da prepoznaju njenaogranienja. Da stvar bude jo gora, prihvaaju pogrena rjeenja bez ikakvog objanjenja.Velike prednosti finite-element metode su njene mogunosti da podri proizvoljnugeometriju, kao i razliite nehomogene materijale. Ova dva svojstva nam omoguavajurazmatranje proizvoljnog oblika sainjenog od vie oblasti razliitih materijala. U svakomsluaju, metoda je bazirana na tehnici dijeljenja oblasti problema na brojne konaneelemente, a nakon toga pronalazi najbolje mogue stalno rjeenje unutar tih elemenata.Problem se sastoji u tome to to isto rjeenje ne mora biti stalno na granicama izmeuelemenata. Ovakve nepravilnosti zavise od broja i veliine koritenih elemenata, kao istepena funkcije oblika koritene unutar elementa .

3. FORMALNA DEFINICIJA METODE

Preimo na formalnu matematiko -fizikalnu definiciju metode, tj. opis naunog aparata kojimetoda koristi.

Prvo treba da definiemo problem. Neka je posmatrano 3D tijelo. Ako je data geometrijatijela, granini uslovi pomjeranja, temperaturne informacije i osobine krutosti tijela,potrebno je nai pomjeranje tijela pod datim optereenjem ili reakciju na neki drugispoljanji faktor.


7/23

7

Slika 3.1. - Opis koraka metode

Kroz primjer ispitivanja stresa i defromacije pod stresom prikaza t emo od ega se sastojisvaki od ovih koraka: fizi ko modeliranje, FEM modeliranje, te integracija/interpretacijarezultata dobijenih u prethodnim koracima da bi se dobio kona an rezultat.

Kako je posmatrano tijelo budu a realna fizi ka stvar, prvi u nizu koraka je fizi komodeliranje, tj. opis fizikalnih zakona koji upravljaju posmatranim procesom. Alati na ovompolju uklju uju: razne diferencijalne jedna ine za tranziciju sa fizi kog na matemati ki model(diferencijalna jedna ina irenja toplot e, jedna ine za analizu stresa, diferencijalne jedna inekoje povezuju istezanje sa stresom i sl.), te isto matemati ki aparat koji uklju uje Fourierovuanalizu, linearnu algebru, itd. koji se koriste u rje avanju datog matetmati kog modela.


8/23

8

Slika 3.2. - Matrina jednaina veze

Konkretno za situaciju predvi anja deformacije pod stresom potrebno je definisati za svakuta ku vektor u ije komponente predstavljaju pomjeranje/deformacije po odre enim

koordinatnim osama, te vektor mjere deformacije koji detaljnije govori o deformaciji te se ondobija kao rezultat odre enih operacija koje e biti uskoro opisane, te je zato pogodniji zarad. Postoji i matrina jedna ina veze prikazana na slici 3.2., me utim, poku avat emo daizbjegavamo ulazak u prevelike detalje ove faze analize.

Sada je opisano kako se dolazi do skupa jedna ina koje rije ene daju tra eni rezultat. Processe ukratko svodi na to da se pomo u Hookeovog zakona formira vektor stresa koji konciznoopisuje sile koje djeluju na tijelo. Nakon toga se obra unava promjena ukupne potencijalneenergije tijela usljed deformacije, te se kori tenjem principa koji ka e da se tijelo poku avana i uvijek u stanju minimalne energije tog tipa, postavlja jedna ina koja daje rje enjeproblema.

Vektor stresa:


9/23

9

Potencijalna energija iji se minimum trai:

Uslov minimuma potencijalne energije:

Me utim sam ovaj skup jedna ina nije dovoljan, jer ako bi bio primijenjen na tijelo u cijelini,

u dosta slu ajeva bi se do lo do situacije da sistem nije formalno rije iv poznatim metodama.Zato se pribjegava prelasku na idu u fazu posmatrane analize, naime objekat se dijeli naosnovne elemente (koji su kona ne veli ine s kona nim brojem stepena slobode/nezavisnihta ki, po emu je FEM i dobio ime) kojima se daju odreene osobine, te se veza izme uelemenata uslovljava grani nim uslovima. Nakon toga se rje ava fizikalni problem za svakiosnovni gradivni element pojedina no, to e kasnije biti spojeno u krajnje rje enje na nivouobjekta. Sam procesa izvo enja i krajnje jedna ine za posmatrani element date su na sliciispod. Klju na jedna ina koja se koncizno zapisuje u obliku [k]{q} = {f} je dovoljna za lokalnorjeavanje problema. Kao to je vidljivo iz jedna ina (ne toliko o igledno) mogu e je iz

deformacije kona nog elementa dobiti i nivo deformacije bilo koje ta ke koja se nalaziunutar posmatranog elementa. Sada, nakon to se rije i problem lokalno, prelazi se naintegraciju pojedina nih rje enja, te se kori tenjem matrica koje govore o geometrijielemenata i njihovoj vezi un utar cjeline, kao i primjenom objanjenih fizikalnih principadobije rje enje koje je kombinacija pojedina nih rje enja i predstavlja eljeni rezultat analize.

Slika 3.3. - Proces izvoenja i krajnje jednaine


10/23

10

Slika 3.4. - Metoda/algoritam integracije dijelova

4. FINITE-ELEMENT MODELIRANJE

Iako je finite-element analiza veoma korisna tehnologija za simulaciju strukturnih,temperaturnih i ostalih pojava kao to je mehanika fluida, elektromagnetni fluks, glavnaprepreka jeste priprema podataka za finite-element analizu. Toj pripremi pripadaju izgradnjageometrije, odreivanje finite-element mree, dodavanje graninih uslova, navoenjesvojstava materijala i odreivanje tipa analize (statika ili dinamika, linearna ili nelinearna,odreivanje pritiska, odreivanje naprezanja, itd.) . Pobrojane aktivnosti se nazivaju finite-element modeliranje, to inae predstavlja pred -procesorsku aktivnost za specifinu analizu(tj. aktivnosti koje se izvravaju prije same finite-element analize).

Poetak finite-element modeliranja poinje od geometrije objekta ili podruja problema.Stariji sistemi za finite-element modeliranje su posjedovali samo osnovne funkcije zamodeliranje. Dananji, noviji sistemi ili nude unapreenije mogunosti modeliranja ili imajubliske veze sa CAD sistemima. Sistemi koji su u vezi sa CAD sistemima za geometrijskomodeliranju rade direktno na CAD modelu ili pretvaraju geomteriju. Sistemi koji su u vezi saCAD sistemima koji rade direktno na CAD modelu su sve popularniji zbog toga to eliminiukorak transliranja i gubitak podataka, te skrauju ciklus dizajn-analiza-nadogradnja. Poredtoga koritenje CAD sistema olakava modeliranje i omoguava bolje funkcije za kreiranje i

mijenjanje komplikovane geometrije. Meutim koritenje CAD sistema nije ba takopouzadno. Model koji moda izgleda perfektno dizajneru, moe da sadri nedostatke koji


11/23

11

nisu dozvoljeni u finite-element analizi. tavie sistem bez nedostataka moe da sadridetalje koji su nebitni za analizu pa ih je potrebno ukloniti.

Slijedei korak jeste kreiranje mrea (mesh) i podjela vorova. Kada je svaka mrea (mesh)povezana s vorovima, dobija se tzv. finite element . Kreiranje mrea je najbitnija i najteafaza u finite-element modeliranju. Da bi se olakao zadatak svi dananji sistemi nude neki tipautomatskog kreiranja mrea. Tipino se nudi kvadrilateralno (4 vora) ili triangularno (3vora) odreivanje mree za 3D povrine ili 2D geometrije.

Slika 4.1. - Kvadrilateralno i triangularno odreivanje mree

Kompleksnost mree odreuje veliinu matrice krutosti i potrebne resurse za raunanje.

Preciznost rjeenja moe biti poboljana poveavanjem broja mrea . Ogranienja koja bitrebala biti zadovoljena pri kreiranju mree su:

- dimenzija elementa bi trebala da bude ista kao kao i dimenzija domene problema (tj. jednodimenzionalni elementi za jednodimenzionalne probleme, dvodimenzionalni elementiza dvodimenzionalne probleme itd.)- elementi koji se generiu bi trebali da budu podrani od strane koda finite-element analize,koji e ih analizirati. Razni elementi podrani od strane pojedinih kodova finite-element analize se jednim imenom nazivaju biblioteke elemenata (engl. element library). to je vei

broj elementa u ovoj biblioteci, mogue je rijeiti vei broj problem. Sljedea slika prikazujetipine finite-element e podrane od veine kodova finite-element analize. Interesantno je daista mrea (mesh) moe predstavljati razliite finite-element e u zavisnosti sa koliko jevorova spojena.


12/23

12

Slika 4.2. - Tipini finite -elementi podrani od veine bibilioteka

Jedan od naina koji olakava kreiranja mree, zbog navedenih ogranienja, jeste koritenje pverzija FEA programskih paketa, koju smo spomenuli ranije. Postoji mnogo FEA programakoji izmeu ostalog podravaju p verziju, ali dva programa Pro/MECHANICA i PolyFEM sudizajnirani specifino za ovu verziju.

Slika 4.3. - Pro/MECHANICA, primjer analize zadnje suspenzije bicikla

Nakon to je odreen raspored elemenata i odreena metoda analize (statika ili dinamika,linearna ili nelinearna, itd.) potrebno je odrediti granine uslove. Granini uslovi obuhvatajupomjeraj, vanjske sile, temperature, itd. Ovi granini uslovi se moraju izraziti kao skup


13/23

13

vrijednosti za pomjeraj, vanjske sile ili temperature na specifinim vorovima na finite-element ima. Veina sistema povezanih sa CAD-om za odreivanje geometrije, koji su vespominjani, omoguavaju korisniku da odrede granine uslove na CAD geometriji objekta. Utom sluaju se navedeni granini sluajevi konvertuju u ekvivalentne granine sluajeve na

vorovima.Jo jedna od stavki koje moraju biti dodjeljene svakom od elemenata jesu svojstva materijalatog elementa . Ova svojstva su tipino Youngov modul elastinosti i Poissonov odnos (odnosza rastezljivost elementa) za strukturne mehanike pr obleme, zatim toplotna kapacitivnost,viskoznost, itd.

Slika 4.4. - Prikaz za ta slui Poissonov odnos - rastezljivost elementa

Nakon to je finite-element model u potpunosti definisan, sa svim svojim potrebnimparametrima, on predstavlja ulaz u k od koji vri FE analizu elementa. Nakon to je FEAproblem rjeen, pregled rezultata pripada fazi post -procesiranja. Mnogi softverski paketinude mogunosti prikazivanja rezultata u vidu tabela, grafova kao i crtea sa kritinimzonama, koji ukuljuuju pritiske, istegnua i deformisane oblike. Takoer u dinamikimanalizama postoje i animirani prikazi, koji prikazuju deformisane oblike i sl. Ono to je bitno, jeste da se ti rezltati mogu koristiti na razliitim mjestima, kao npr. u dokumentima,prezentacijama, animacijama ili d a ih je mogue slati putem maila.


14/23

14

Slika 4.5. - Rezultat FE analize

5. AUTOMATSKO GENERISANJE MREE (MESH)

Generisanje mree podrazumijeva kreiranje vorova i elemenata koji opisuju objekat.Takoer, ovaj postupak ukljuuje automatsko numerisanje vorova i elemenata, sa tomanje interakcije s korisnikom. Shodno tome, potpuno automatske metode generisanjamree od korisnika zahtijevaju samo model (geometrijski i topoloki) objekat koji sepredstavlja mreom, te ulazne podatke poput gustoe mree, tip elemenata te graniniuslovi. Metode koje pored navedenih ulaza trae dodatne uslove, poput podjele na manjedijelove su poluautomatske metode. Spomenimo sada neke metode generisanja mreeprema klasifikaciji K. Ho-Le (1988).

5.1. Pristup spajanja vorova

Metode generisanja vorova su popularne jer su konceptualno jednostavne. Pristup se

sastoji iz dvije faze, generisanja vorova i generisanja elemenata.

5.1.1. Cavendishova metoda (Cavendish 1974)

Ova metoda podrazumijeva da se vorovi na granici objekta runo dodaju, a zatim se ostalivorovi generiu automatski. Objekat se prvo dijeli na zone, a veliina svake zove zavisi odgustine mree (koja je ulazni parametar). Na slici 5.1.1.1. vidimo da je pravougaona mreapostavljena preko objekta (sa pretpostavkom da elimo uniformnu gustinu).


15/23

15

Slici 5.1.1.1. - Cavendishova metoda

Zatim, za svaku od zona (u ovom sluaju kvadrati), se sluajnim uzorkom bira jedan vorunutar nje. Ovo se moe uraditi na vie naina, a jedan od njih je nasumino biranje dvabroja u opsegu (0, 1] a zatim odreivanje koordinate vora u zavisnosti od tih brojeva.

Ako se desi da je izabrani vor previe blizu ve postojeeg vora (pa i onog koji predstavljagranicu objek ta), nova taka se bira, ili, ako se desi da smo previe puta pokuali odredititaku, zona se preskae. Takoer, relativno jednostavno ovaj postupak se lahko moepoop iti u 3D, gdje se umjesto 2D mree postavlja 3D mrea preko objekta.

5.1.2. Shimadaina metoda (Shimada i Gossard 1992)

Ova metoda ispunjava objekat krugovima, to moemo vidjeti na slici 5.1.2.1., a zatim,krunice se briu, a centri krugova predstavljaju vorove. Poluprenik krugova je odreenulaznim parametrima.

Slika 5.1.2.1 - Shimadaina metoda


16/23

16

Prethodno prikazane metode su metode generisanja vorova. Opiimo sada dvije metodegenerisanja elemenata. Ove metode za ulazni parametar imaju skup vorova (generisanih odstrane metoda sa generisanje vorova).

5.1.3. Lee-eva metoda (Lee 1983)

U ovoj metodi, prvo se postavlja se preko objekta postavi pravougaona mrea ija veliinaodgovara eljenoj gustini mree. Zatim se vorovi povezuju sa kvadratima unutar mree.Unutar elije, prvo se take sortiraju po rastuim x-koordinatama, a zatim po y-koordinatama . Sada se pristupa vorovima, i za svaki vor se trae susjedni vorovi, i onda sevorovi spajaju u pravougaonike. Ako nije mogue formirati pravougaonik, vorovi se spavajuu trougao. Ova metoda je korisna jer moe rezultirati pravougaonim elementima.

5.1.4. Delaunay triangulacija (Waston 1983)

Ova metoda jedna je od najpopularnijih metoda za generisanje trouglova jer je maksimizirasuma najmanjih uglova u generisanim trouglovima. Slika 5.1.4.1. pokazuje primjernepoeljnih trouglova dobijenih ovom metodom.

Slika 5.1.4.1. - Nepoeljni trouglovi kod Delaunay triangulacije

Tipina Delaunay triangulacija poinje sa Voronijevim dijagramom (Dirichleov mozaik).Voronijev dijagram za skup od N taaka sadri N poligona Vi , svaki sa centrom u P i. Take Pi su pozicionirani tako da je okolina vora i sadrana u Vi, to se matematiki moe izraziti:

Vi = { x : | x Pi | < | x P j |, za svako j i },

gdje | X | predstavlja veliini vektora X unutar svakoga Vi konveksnog poligona omeenoglinijama koje su okomite i polove dui izmeu Pi i susjednih vorova. Ova podjela ravni

(prostora) se naziva Dirichleov mozaik.

Nakon generisanja Voronijevog dijagrama, potrebni trouglovi se dobivaju spajanjem taaka izodgovarajuih Vi poligona.

Delaunay triangulacija se moe generisati direktno iz traenog skupa toka i pomouWatsonog algoritma. Za ovaj algoritam, predstavlja se da ve postoji neka mrea. Zatim,sluajnim odabiramo odaberemo taku T 0 unutar objekta. Sljedei korak zahtjeva brisanj esvih trouglova koji sadre tu taku. Nakon toga, sve to je potrebno uraditi je sve take kojesu sadravale obrisane trouglove spojiti sa takom T0. Postupak je objanjen na slici 5.1.4.2..


17/23

17

Slika 5.1.4.2. - Postupak Delaunay triangulacije

5.2. Pristup zasnovan na razbijanju geometrije

Pristup zasnovan na razbijanju geometrije se moe podijeliti u dvije varijante: rekurzivna iiterativna. Ovdje e biti objanjena rekurzivna varijanta za 2D generisanje mree, jer jerekurzivnu varijantu mogue proiriti na generisanje mree za 3D objekte. Iterativnavarijanta je ekvivalentna rekurzivnoj i nije je potrebno dodatno objanjavati.

Rekurzivna metoda generisanja mree na osnovu razbijanja g eometrije se ogleda u tome dase originalni objekat najprije podi jeli na konveksne dijelove. Ova podjela se moe obavitiruno ili automatski. Na granice svakog konveksnog dijela, dodaju se vorovi koji serasporeuju tako da se zadovolji eljena gustina mree koja je ulazni podatak u procesgenerisanja mree. Zatim se svaki konveksni dio podijeli na dva priblino jednaka dijela i naliniju razdvajanja se dodaje jo vorova, opet rasporeenih prema eljenoj gustini mree, to

je prikazano na slici 5.2.1.. Ovaj postupak se dalje rekurzivno primjenjuje na razdvojenedijelo ve sve dok se ne dobije mrea od trouglova ili etverouglova. Mogua varijacija je da serekurzija zaustavi kada se dobiju estouglovi ili osmouglovi a da se oni dalje podijele natrouglove ili etverouglove nekim drugim algoritmom.

Slika 5.2.1. - Upotreba linije razdvajanja

Ovaj metod se , kao to je ve ranije spomenuto, moe proiriti na 3D objekte pri emu seobjekt dijeli na d va dijela koristei ravan razdvajanja, a rekurzivni postupak se primjenjujedok se ne dobiju tetraedri.

5.3. Pristup zasnovan na pravilnoj mrei

Ovaj pristup je baziran na injenici da se pravilna mrea (grid) moe lako transformisati umreu (mesh) - dovoljno je samo elije pravougaone mree pretvoriti u konane elemente.


18/23

18

Postoji vie razliitih metoda baziranih na ovom pristupu i ovi metodi se meusobnorazlikuju u vrstama poetnih mrea koje koriste i naina generisanja mrea (mesh) od ovihpoetnih pravilnih mrea (grids).

Prva objavljena metoda zasnovana na ovome principu jeste metoda objavljena od strane

Thacker et al. 1980 godine. Metoda se ogleda u tome da se objekat najprije preklopitrouglastom mreom , a take na mrei koje se nalaze izvan okvira objekta se odstrane, toostavlja jednu vrstu cik-cak granice unutar objekta. Nakon toga se krajnje take na ovojcik-cak granici pomaknu na granice objekta i na taj nain se dobije krajnja mrea (mesh).Kikuchi je 1986. godine napravio varijaciju ove metode koristei mreu sastavljenu od etverouglova (pravougaonika) umjesto trouglova. Na ovaj nain krajnja mrea se sastoji odetverouglova i trouglova. Trouglovi se nalaze uz same granice objekta.

Slika 5.3.1. - Trouglasta i etverouglasta mrea

Generalni nedostatak ovakvih metoda jeste da se pojedini dijelovi objekta koji su manjihdimenzija od elija pravilne mree gube. Dakle, to je mrea gua to je kranja mrea tanija imanje elemenata je izgubljeno (slino kao rezolucija i pikseli). Zbog ovoga nedostatka,postoji varijacija na ovu meto du u kojoj se take na cik-cak granici ne pomjeraju na graniceobjeketa nego se pomou algoritma triangulacije generiu trouglovi na dijelovima izmeu tecik-cak granice i granice objekta.

Jo jedna metoda generisanja mree bazirana na ovom pristupu jeste metoda koja korististablo sa 4 vora (quadtree) da predstavi objekat, to je prikazano na slici 5.3.2.. Ovo stablozapravo predstavlja objekat kao skup kvadrata razliitih veliina koji se dobiju rekurzivnimdijeljenjem poetnog (korijenskog) kvadrata koji obuhvata objekat.

Slika 5.3.2. - Stablo sa etiri vora (quadtree)


19/23

19

Metoda e biti opisana u tri koraka:

1. Objekat se prvo uokviri korijenskim kvadratom. Zatim se ovaj kvadrat dijeli na etiri jednaka dijela i tako dobijamo etiri nova kvadrata - etiri potomka korijenskog kvadrata.Kvadrati koji se nalaze izva n objekta se vie ne razmatraju, dok se kvadrati koji se nalaze

potpuno unutar objekta dalje ne dijele (terminalni vorovi). Kvadrati koji se jednim dijelomnalaze unutar objekta a jednim dijelom van objekta se dalje dijele i postupak se rekurzivnoponavlj a sve dok se ne dostigne eljena gustina mree. Nakon ovoga kvadrati koji su i dalje

jednim dijelom u objektu a jednim dijelom izvan njega se modificiraju tako da se vanjski dioodbacuje.

2. Ovi modificirani kvadrati se dijele na trouglove nekim od algorit ama predvienih za toovisno o njihovom obliku, a zatim se kvadrati koji se u potpunosti nalaze unutar objektatakoer dijele na trouglove kako bi bili u skladu sa prethodno podijeljenim modificiranimkvadratima. Cilj ove podjele je da svaka dva susjedna elementa moraju imati bar jednuzajedniku stranicu.

3. vorovi elemenata se dodatno modificiraju (engl. mesh smoothing ) kako bi se mreadodatno poboljala.

Slika 5.3.3. - Tri prethodno opisana koraka

Jung i Lee su 1993. godine p redloili novu metodu koja umjesto poetnog kvadrata polazi odpoetnog trougla, to je prikazano na slici 5.3.4.. Uz ovakvu metodu postaje lake koristitiodreene algoritme podjele koje neemo detaljno opisivati. Ovaj metod dijeli poetnitrougao na etiri jednaka trougla i d alji postupak je analogan metodi koja koristi kvadrate.

Slika 5.3.4. - Postupak dijeljenja trouglova


20/23

20

Vano je napomenuti da se opisana metoda moe primijeniti i na 3D objekte. Postupak jeidentian, samo se 2D pojmovi tranformiraju u svoje 3D pandane. Ta ko stablo sa etiri vorapostaje stablo sa osam vorova (octtree), kvadrati postaju oktanti, a trouglovi postajutetraedri.

6. PRIMJERI FEM ANALIZE

6.1. Analiza opte reenja kod preklopnog mobilnog telefona

U ovom poglavlju razmotrit e se primjena FE analize i generisanje FE mrea. Za prvi primjer,uzeta e je FEM analiza oklopa mobilnog telefona. Ova analiza je izvrena u nekoliko korakakoji su prikazani na dijagramu, a pojedini dijelovi e biti objanjeni u detalje.

Slika 6.1.1. - Analiza op tereenja kod preklopnog mobilnog telefona

Korak 1: Pojednostavljenje geometrije dijela. Prije generisanja FE mrea modela, potrebno jepokuati pojednostaviti model, jer u veini sluajeva, nije poeljan model sa svim detaljima.Iz takvih modela bi se ina e dobio veliki broj mali mrea koje bi usporile izraunavanje.Smanjene broja mrea postie se tehnikom potiskivanja osobina, ime se otklanjaju osobine idetalji koji nisu bitni za analizu, kao to su obline, lijebovi i male rupe.

Korak 2: Odabir materijala. Prije analize modela, moramo definisati osobine materijala od

kojeg je on sastavljen.

Korak 3: Dodavanje koordinatnog sistema. Koordinatni sistem se koristi kao referenca zaspecificiranj e vektora tereta i ogranienja. Prije definisanja optereenja i ogranienja jepotrebno odabrati neki od koordinatnih sistema, k artezijanski, cilindrini, sferni.

Korak 4: Postavljanje ogranienja. Ukoliko su svi prethodni koraci uspjeno obavljeni,mogue je na model primjeniti optereenja i ogranienja. Prvo, potre bno je postavitiogranienja premjetanja koja se nameu nultom premjetanju za svih est (rotacionih itranslatornih) stepena slobode. Za strukturalna optereenja i ogranienja, mogu se sljedeiprimjeniti: p ritisak, sila, moment, premjetanje, ugaoni pr itisak, strukturalna temperatura,


21/23

21

ubrzanje, ugaona brzina, totalna sila. Za ogranienja premjetanja, mogue je nametnutinekoliko njih:

- specificiranje translacije za take, uglove i lica,- specificiranje nultog pomjeranja za taku, ugao, lice, za sva tri translatorna stepena

slobode,- specificiranje translacije i rotacije za take, uglove ili povri - specificiranje nultog pomjeranja za taku, ugao, lice, za svih est (translatornih i

rotacionih) stepena slobode

Korak 5: Dodavanje regija. Potrebno je definisati regije nad kojima e se optereenjepostaviti. U naem primjeru (preklopni mobilni telefon), odabrana regija bit e mjesto nakojem se polovine mobitela spajaju.

Korak 6: Dodavanje opter eenja.

Prvo optereenja se primjenjujekada se mobilni telefon sklapa.Program izraunava odgovarajuuraspodjelu optereenja kada seprimjeni ukupna sila nad nekomregijom. Drugo optereenje seprimjenjuje kada se mobilni telefonsklapa. U oba sluaja, sila je ista,samo je smjer djelovanja drugaiji.

Korak 8: Pregled mree. Mogue jesad generisati finite- element mreu.Postoje dva tipa parametara zakontrolu mree koji se mogu koristitiza upravljanje veliinom elemenataprije primjene mree na dio:Globalna kontrola mree, kojadefinie maksimalnu i minimalnu

veliinu elemenata na cijelommodelu. Lokalna kontrola mree,koja definie maksimalnu iminimalnu veliinu elemenata nauglu, povri ili taki dijela. Slika 6.1.2. - Pregled svih koraka

Dva tipa koritenih elemenata mree su: - 3D tetraedalni elementi za modeliranje vrstih ili gusto-punjenih kompnenti- 2D trougaoni i kvadrilateralni ljuska-elementi za modeliranje rijetko punjenih

komponenti


22/23

22

Nakon pregleda mree i provjere kvalitete, mogua je eventualna popravka u nekim sferama.Mogu je dodatni izbor parametara za kontrolu mree, te ponovna izrada mreastog modeladijela. Uobiajno je da proces pravljenja mree traje nekoliko iter acija.

Korak 9: Regenerisanje mree. Ukoliko je broj dobijenih mrea prevelik za analizu, tj.zahtjeva previe sistemskih resursa, mogua je redukcija mree. To se dobija podeavanjemparametara za kontrolu mree, poveanjem veliine za minimalnu veliinu elementa, tako dato poveanje ne utie na analizu.

Korak 10: Dobijanje FEM podataka. Ukoliko se eli vriti FEA na datom modelu koritenjemnekog drugog programa, mora se generisati izlazna datoteka. Neophodno je prilagoditivrijednosti elemenata mree i vorova, primjenjenih ogranienja, podatke odabranogmaterijala, u format koji odgovara eljenom FEA programu.

Korak 11: Rjeavanje problema i pregled rezultata. Nakon to je obavljena FEA za dati model,vri se pregled rezultata (raspored optereenja i p omjeraj). Za dati primjer, rezultatipokazuju vee optreenje na dijelovima gdje se polovine mobitela spajaju .

6.2. Problem vibracija kod vertikalnih pumpi

Vertikalne pumpe su ureaji jednostavnogdizajna, ali veoma osjetljive na vibracije. Jediniefketiv an nain izbjegavanja problema savibracijama jeste poznavanje dinamikogponaanja ureaja u fazi dizajna, to se dobijaFE analizom.

Problem velike koliine kavitacije kodispumpavanog fluida se rjeava na nekolikonaina. Jedan od njih je pomjeranje rot oradublje u zemlju. Takvo pomjeranje, uzrokovate prenos snage na rotor preko dugog vratila.Ovakvi uslovi onemoguavaju izgradnju

vrstog vratila, te e se pumpa okretati narezonantnoj brzini. Poznavanje mjesta gdje ese rezonancija pojaviti je neophodno. Prvinain je sastavljanje ovakve pumpe itestiranje, to nije optimalno rjeenje. Drugo,bolje, rjeenje je primjena finite -elementanalize na pumpi, to omoguava projektantuizmjenu u proces dizajna pumpe.

Slika 6.2.1. - Vertikalna pumpa


23/23

23

Obavljena je cijela simulacija pumpe na raunaru. Ukoliko je napravljena precizna mreapumpe i postavljena ogranienja su korektna, mogue je dobiti ispravno rjeenje beztestira nja na realnoj pumpi. U ovakvim sluajevima, postavljanje ispravnih hipoteza (pumpase vrti na nepoznatoj, kritinoj brzini, vratilo je istroeno itd). Generisani FE model pumpe se

sastojao od 1200 elemenata sa 1700 vorova. Elementi koriteni za oklop su heksaedri (8taaka) i kvadrilateral (4 take), za vratilo su koritene linearne grede, dok se za motor,rotore i ahuru koritena nabacana masa. Cijelu strukturu su ograniavale etiri opruge sakrutou manje od beskonano, koje su sluile sa simulaciju teresnkih uslova.

Nakon je to je FE model uspjeno generisan i simulacija pokrenuta, primjeeno je da je nivovibracija pri normalnim brzinama prevelik. Promatranjem, primjetilo se da postoji nekolikofrekvencija rezonancije. Neki dijelovi blizu vratila su radili na ispravnoj brzini, to znai danisu bile mogue drastine modifikacije. Skraivanjem ahure dobila se manja frekvencijaobrtanja, te su testovi dali do znanja da su ovakve modifikacije mogue. Sa ovom izmjenom,vibracije su se smanjile. Ovakav test je omoguio sistematsku analizu pumpi prije njihoveproizvodnje.

Slika 6.2.2. - Pojava vie rezonantnih frekvencija

Slika 6.2.3. - Modifikovana pumpa koja radi na ispravnoj frekvenciji

Documents

FEM Analiza i Modeliranje