Faculteit Wiskunde en Informatica - win.tue.nllhabets/math-onderwijs-2DM20/begindictaat2DM20.pdf · B. Kolman en D.R. Hill: Elementary Linear Algebra, with Applications, 9th ed.,

Faculteit Wiskunde

en Informatica

Dictaat bij het college

Lineaire Algebra (2DM20/2DT02)

voor de opleidingen:

Biomedische Technologie (BMT)

Technische Innovatiewetenschappen (TIW)

Kwartiel 3 (2e semester) 2009/2010

Inleiding

De cursus Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) is gebaseerd op het boek:

B. Kolman en D.R. Hill: Elementary Linear Algebra, with Applications, 9th ed., Pearson– Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2008.

Deze studiehandleiding is hierop een aanvulling. Enerzijds wordt in deze studiehandleiding aange-geven welke delen van het boek behandeld worden, anderzijdsgeeft deze handleiding aanvullingenop de leerstof en de oefeningen uit het boek. Met name maakt deze handleiding het mogelijk om bijdeze cursus het softwarepakket MATLAB∗ te gebruiken.

In deze studiehandleiding is de stof verdeeld in negen hoofdstukken, overeenkomend met negen col-leges. In ieder hoofdstuk is een vaste indeling in paragrafen aangehouden en wel als volgt:

1. Leerstof en oefeningenDe eerste paragraaf van ieder hoofdstuk bestaat uit een opsomming van de te behandelen leer-stof uit het boek (BK) en de studiehandleiding (SHL) . Daarnaast zijn oefeningen over ditonderwerp aangegeven, eventueel aanvullend te lezen tekst, en opgaven te maken tijdens debegeleide oefeningen. De aangegeven leerstof dient thuis bestudeerd te worden en de huis-werkopdrachten dienen thuis gemaakt te worden. Men dient ervoor te zorgen dat voor de aan-vang van het hoorcollege de tot dan toe behandelde leerstof is bestudeerd en de bijbehorendehuiswerkopdrachten en opdrachten voor de voorafgaande begeleide oefeningen zijn gemaakt.

2. Aanvullingen leerstofHier treft u samenvattingen van de op college behandelde stof aan, die niet (of onvoldoende) inhet boek is terug te vinden.

3. Het gebruik van MATLABIn deze paragraaf worden commando’s van het softwarepakketMATLAB besproken die in debetreffende week gebruikt kunnen worden bij het maken van deoefeningen.

4. OefeningenDeze oefeningen dienen samen met de aangegeven oefeningen uit het boek van Kolman thuisgemaakt te worden. Een oefening waarbij het gebruik van MATLAB vereist is wordt voorafgegaan door de aanduiding(ML) . Merk op dat MATLAB niet op het tentamen beschikbaaris, en dat deML -opgaven nadrukkelijk zoveel mogelijkmet, en nietdoor de computer moetenworden gemaakt. De opgaven met MATLAB hebben een tweeledig doel: 1. ervaring opdoen

∗MATLAB is een handelsmerk van The Math Works, Inc., Natick, MA, USA.

i

met MATLAB, omdat dat een belangrijk hulpmiddel zal zijn bijhet toekomstig gebruik vanlineaire algebra in de praktijk; 2. het verwerven van inzicht in en gevoel voor de verschillendeabstracte begrippen door praktische voorbeelden.

5. Extra oefeningenDe extra oefeningen vormen, samen met de overige opgaven in het boek, extra oefenstof. Eengroot deel van de extra oefeningen betreft oude tentamenopgaven van het vak Lineaire Algebravoor W. Deze oude tentamenopgaven geven een goede indruk vanwat men op de tentamensvan Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) kan verwachten. Ze zijnte onderscheiden in twee ca-tegorieën; open vragen en kort-antwoord vragen (KAV) . Bij de open vragen op het tentamenwordt ook de uitwerking beoordeeld. Bij de kort-antwoord vragen dient men op het tentamenalleen het antwoord te vermelden en wordt ook alleen het antwoord beoordeeld.

De leerstof† voor het college Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) omvat uit het boek van Kolman enHill globaal de paragrafen 1.1 t/m 1.5, 2.1 t/m 2.3, 3.2, 3.3,4.1 t/m 4.9, 5.1 t/m 5.6, 7.1 t/m 7.3,en 8.4. (Voor details wordt u verwezen naar de leerstofbeschrijving in de hoofdstukken van dezehandleiding). Daarnaast bestaat de leerstof uit de paragrafen ’Aanvullingen leerstof’ en ’Gebruik vanMATLAB’ uit deze studiehandleiding. Verder wordt u geacht oefeningen te kunnen maken op hetniveau van de oefeningen uit Kolman en Hill en de oefeningen en extra oefeningen uit de studiehand-leiding.

Meer informatie over de cursus, de exacte tentamenregeling, en aanvullend studiemateriaal is voorhet vak Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) te vinden op de website

www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2DM20.

Ook bij Lineaire Algebra voor TIW (2DT02) is elektronisch additionele informatie beschikbaar. Eenlink naar de juiste website vindt men onder de vakinformatiein OWINFO.

De studiehandleiding bij Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) bestaat al vele jaren, en wordt steedsopnieuw bijgewerkt en aangepast aan nieuwe edities van het bij de cursus gebruikte boek. Hierdoorzijn er zowel inhoudelijke verschillen als verschillen in pagina- en sectienummering ten opzichte vanvorige versies van deze studiehandleiding.

Het is mogelijk dat er nog onnauwkeurigheden en onduidelijkheden in de tekst aanwezig zijn. Hetwordt op prijs gesteld wanneer gebruikers hun commentaar, opmerkingen en verbeteringen (bij voor-keur schriftelijk) doorgeven aan de docent van het vak, zodat deze studiehandleiding voor volgendestudiejaren aangepast kan worden.

dr. S.W. Rienstra / dr. J.C. van der Meer / dr.ir. L.C.G.J.M. HabetsCapaciteitsgroep WiskundeFaculteit Wiskunde en Informatica2005/2006/2007/2008/2009

†Alleen voor het studiejaar zoals vermeld in deze studiehandleiding, wijzigingen worden op het college bekend gemaakt.

ii

Inhoudsopgave

Inleiding i

1 Vectoren, lijnen en vlakken 1

1.1 Leerstof en oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1

1.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Aanvullingen leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1

1.2.1 Lijnen in deIR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2 Lijnen en vlakken in deIR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Lijnen, vlakken en het inproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 5

1.2.4 Uitproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.5 Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Het gebruik van MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7

1.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7

2 Lineaire vergelijkingen en Matrices 11


2.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


2.2.1 Reguliere en singuliere stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

2.2.2 Bijzondere matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12


iii

2.3.1 Het commando rref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

2.3.2 Het commandoA \ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.3 Het commando solve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.3.4 Commando’s voor bijzondere matrices . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15

2.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16

2.5 Extra oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 21

3 De inverse van een matrix – Determinanten 23


3.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


3.2.1 Reguliere en singuliere matrices en reguliere en singuliere stelsels . . . . . . 24

3.2.2 Eigenschappen van de determinant van een matrix . . . . .. . . . . . . . . 25

3.2.3 Determinant en volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 28


3.3.1 Bepaling inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

3.3.2 Verwisselen van kolommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 30

3.3.3 Determinant-berekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 30

3.3.4 Verandering van de waarde van één element van een matrix . . . . . . . . . 31

3.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31


4 Vectorruimten – Basis en dimensie 41


4.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


4.2.1 Kolommenruimte en nulruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42


4.3.1 De algemene oplossing vanAx = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iv

4.3.2 Het commando rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.3 Het commando null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

4.3.4 Het commando colspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

4.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45


5 Oplossen van stelsels – Kleinste-kwadratenmethode 53


5.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


5.2.1 Regulieren bij n matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.2 Existentie en uniciteit van oplossingen . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 54

5.2.3 De matrixATA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.4 De kleinste-kwadratenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 56


5.3.1 Het commandoA \ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.2 Rijen toevoegen aan een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58

5.3.3 Kolommen toevoegen aan een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58

5.3.4 Het commando polyfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

5.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59


6 Orthogonale vectoren – Basisovergangen 67


6.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


6.2.1 Orthogonaal en orthonormaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 68

6.2.2 Projectiematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 68

6.2.3 Orthogonale deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 69

v


6.3.1 Het commando orth(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70

6.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71


7 Eigenwaarden en eigenvectoren 79


7.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


7.2.1 Gelijkvormige matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 79

7.2.2 Berekening van eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . .. . . . . . . . . . 80

7.2.3 Eigenwaarden en eigenvectoren van gerelateerde matrices . . . . . . . . . . 83

7.2.4 Eigenwaarde-decompositie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 83

7.2.5 Eigenschappen symmetrische matrices . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 84

7.2.6 Positief definiete matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 84

7.2.7 Complexe oplossingen van de karakteristieke vergelijking . . . . . . . . . . 85


7.3.1 Karakteristiek polynoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 87

7.3.2 Nulpunten van een polynoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 87

7.3.3 Het commando eig(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

7.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89


8 Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen 101


8.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


8.2.1 De algemene oplossing van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen metconstante coëfficiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

vi

8.2.2 Het beginwaardeprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103

8.2.3 Inhomogene stelsels differentiaalvergelijkingen .. . . . . . . . . . . . . . . 104

8.2.4 De exponentiële functie voor matrices . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 107

8.2.5 Notatie van oplossingen m.b.v. de exponentiële functie . . . . . . . . . . . . 109


8.3.1 Numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen. . . . . . . . . . . . . . 109

8.3.2 Symbolisch oplossen van differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . 110

8.3.3 e-machten voor matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 111

8.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112

9 Differentiaalvergelijkingen– complexe eigenwaarden 115


9.1.1 Leerstof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.1.2 Opdrachten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115


9.2.1 Stelsels waarbij de matrixA geen reële eigenwaarden heeft . . . . . . . . . . 115

9.2.2 ne orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constantecoëfficiënten . . . . 116


9.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121

Antwoorden hoofdstuk 1 123







vii



Literatuur 152

Woordenlijst Engels-Nederlands 153

Index 155

viii

Hoofdstuk 1

Vectoren, lijnen en vlakken

1.1 Leerstof en oefeningen

1.1.1 Leerstof

BK 4.1, 4.3 alleen ‘Lines inIR3’, blz. 203 ev., 5.1, 5.2 (tot aan ’Determinants and Cross Product(Optional); niet Example 8 en 9; op blz. 300 alleen eigenschappen (a)-(f)),SHL 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5.

1.1.2 Opdrachten

Huiswerkopdrachten:BK 4.1.1, 4.1.11, 4.1.13,BK 4.3.37, 4.3.38, 4.3.39,BK 5.1.1, 5.1.3, 5.1.5, 5.1.8, 5.1.10,BK 5.2.1a, 5.2.2d, 5.2.6(a), 5.2.9,SHL 1.4.1ab, 1.4.2ab.Opgaven voor begeleide oefeningen:SHL 1.4.1cd, 1.4.2cd, 1.4.3, 1.4.5, 1.4.6, 1.4.8, 1.4.9, 1.4.10.

BK: Kolman en Hill,“Elementary Linear Algebra”, 9th ed.

SHL: studiehandleiding

1.2 Aanvullingen leerstof

1.2.1 Lijnen in de IR2

In de IR2 kunnen we een lijn representeren door een parametervoorstelling(

x1

y1

)

+ λ

(

x2

y2

)

.

1

2 HOOFDSTUK 1. VECTOREN, LIJNEN EN VLAKKEN

De vector

(

x1

y1

)

heet de steunvector, de vector

(

x2

y2

)

heet de richtingsvector. Met de notatie

x1 =(

x1

y1

)

en x2 =(

x2

y2

)

,

kunnen we dit kort noteren als

x1+ λx2 .

Als steunvector kan iedere vector met eindpunt op de rechte lijn gekozen worden. Gaat de lijn door

de oorsprong dan is er dus eenλ zo dat

(

x1

y1

)

+λ

(

x2

y2

)

=(

00

)

, d.w.z.

(

x1

y1

)

is een veelvoud

van

(

x2

y2

)

. Een lijn door de oorsprong kunnen we dus representeren met alleen een richtingsvector

alsλ

(

x2

y2

)

.

Een vergelijking van de lijnx1+ λx2 is

(y− y1) =y2

x2(x − x1) ,

als x2 6= 0 (d.w.z. als de richtingsvector niet evenwijdig is aan dey-as). Dit is de vergelijking vande lijn door het punt(x1, y1) met dezelfde richtingscoëfficiënt als de richtingsvector.Als x2 = 0 danis de vergelijkingx = x1. Deze vergelijking kunnen we afleiden uit de parametervoorstelling op devolgende manier:

Als het punt (de vector)

(

xy

)

op de rechte met parametervoorstelling

(

x1

y1

)

+ λ

(

x2

y2

)

ligt dan

is er eenλ waarvoor geldt dat

(

xy

)

=(

x1

y1

)

+ λ

(

x2

y2

)

.

Dit geeft twee vergelijkingen{

x = x1 + λx2 ,

y = y1+ λy2 .

Vermenigvuldig de eerste vergelijking mety2/x2, dan wordtλ geëlimineerd door de vergelijkingenvan elkaar af te trekken. Dit geeft

y2

x2x − y = x1

y2

x2− y1 .

Voorbeeld 1.1 De rechte lijnℓ in de IR2 is gegeven door de parametervoorstelling

(

1−1

)

+ λ

(

12

)

.

1.2. AANVULLINGEN LEERSTOF 3

Voor een vectorx =(

x1

x2

)

volgt dat

{

x1 = 1+ λ ,

x2 = −1+ 2λ .

Uit de eerste vergelijking volgtλ = x1 − 1, gesubstitueerd in de tweede vergelijking geeft dit

2x1 − x2 = 3 ,

een vergelijking voor de lijnℓ.

Omgekeerd kunnen we uit een vergelijking voor een rechteℓ een parametervoorstelling voorℓ aflei-den.

Voorbeeld 1.2 De rechteℓ wordt gegeven door de vergelijking

2x1 − x2 = 3 .

Neem bijvoorbeeldx1 = λ, dan isx2 = −3+ 2λ, dus volgt

x =(

x1

x2

)

=(

0−3

)

+ λ

(

12

)

.

Dus een parametervoorstelling vanℓ is

(

0−3

)

+ λ

(

12

)

.

Uit dit voorbeeld blijkt dat een lijn met verschillende parametervoorstellingen beschreven kan wor-den.

In de IR2 heeft de lijn door de punten(a1, a2) en(b1, b2) als mogelijke parametervoorstelling

a + λ(b− a) , met a =(

a1

a2

)

en b =(

b1

b2

)

.

1.2.2 Lijnen en vlakken in de IR3

In de IR3 kunnen we een lijn representeren met een soortgelijke parametervoorstelling

x1

y1

z1

+ λ

x2

y2

z2

,

ofwel kortweg

x1+ λx2 .


De vectorx1 =

x1

y1

z1

heet de steunvector, de vectorx2 =

x2

y2

z2

heet de richtingsvector.

Een vlak in deIR3 beschrijven we met twee richtingsvectoren die geen veelvoud van elkaar mogenzijn.

x1

y1

z1

+ λ

x2

y2

z2

+ µ

x3

y3

z3

.

Ofwel kortweg

x1+ λx2+ µx3 .

Ook een vlak kunnen we beschrijven met een vergelijking, diewe kunnen vinden uit de parameter-voorstelling door eliminatie van de parameters.

Voorbeeld 1.3 Het vlakV in de IR3 wordt gegeven door de parametervoorstelling

21−2

+ λ

1−10

+ µ

2−1−1

.

Voor een vectorx =

x1

x2

x3

op dit vlak moet gelden

x1 = 2+ λ+ 2µ ,

x2 = 1− λ− µ ,

x3 = −2− µ .

Uit de laatste vergelijking volgtµ = −2− x3. Invullen in de eerste twee vergelijkingen en eliminatievanλ geeft de vergelijking

x1 + x2+ x3 = 1 .

Omgekeerd, het vlakV wordt gegeven door de vergelijking

x1 + x2+ x3 = 1 .

Stel bijvoorbeeldx1 = λ enx2 = µ, dan isx3 = 1− λ− µ, zodat volgt

x =

x1

x2

x3

=

001

+ λ

10−1

+ µ

01−1

.

Uit dit voorbeeld blijkt dat een vlak met verschillende parametervoorstellingen beschreven kan wor-den.

Willen we een lijn in deIR3 beschrijven door middel van vergelijkingen dan moeten we deze lijnbeschrijven met twee vergelijkingen die ieder een vlak beschrijven. De lijn wordt dan verkregen alsde snijlijn van twee vlakken. De vergelijkingen vinden we door eliminatie van de parameter.


Voorbeeld 1.4 De rechte lijnℓ is gegeven door de parametervoorstelling

014

+ λ

1−1−3

.

Voor een vectorx =

x1

x2

x3

op deze lijn moet gelden

x1 = λ ,

x2 = 1− λ ,

x3 = 4− 3λ .

Substitutie vanx1 = λ geeft de twee vergelijkingen{

x1+ x2 = 1 ,

3x1 + x3 = 4 .

De rechteℓ is de snijlijn van de twee vlakken gegeven door deze twee vergelijkingen.

In de IR3 heeft de lijn door de punten(a1, a2, a3) en(b1, b2, b3) als mogelijke parametervoorstelling

a + λ(b− a), met a =

a1

a2

a3

en b =

b1

b2

b3

.

Het vlak door de punten(a1, a2, a3), (b1, b2, b3) en(c1, c2, c3) heeft als mogelijke parametervoorstel-ling

a + λ(b− a)+ µ(c− a), met a =

a1

a2

a3

, b =

b1

b2

b3

en c =

c1

c2

c3

.

1.2.3 Lijnen, vlakken en het inproduct

De vergelijking van een lijn inIR2 is

ax1 + bx2 = c .

Deze vergelijking kunnen we met het inproduct∗ noteren als

(a , x) = a· x = c , met a =(

ab

)

en x =(

x1

x2

)

.

De rechte met vergelijking(a , x) = 0 is evenwijdig aan de rechte(a , x) = c alsc 6= 0. (Er is geensnijpunt, d.w.z. geen punt dat aan beide vergelijkingen voldoet.) De vectora staat loodrecht op allevectoren van de rechte(a , x) = 0, dus ook loodrecht op de rechte(a , x) = c. Dus: wordt een rechte

∗Naast de notatie(a , b) voor inproduct zullen we ooka· b gebruiken.


ℓ in de IR2 gegeven door de vergelijkingax1 + bx2 = c, dan isa =(

ab

)

een vector loodrecht

op ℓ. Anders gezegda is de richtingsvector voor iederenormaalvan ℓ. Hier is een normaal vanℓeen loodlijn opℓ en eennormaalvectorvanℓ een vector loodrecht opℓ. Een normaalvector staat dusloodrecht op de richtingsvector vanℓ.

Voor vlakken in deIR3 geldt iets dergelijks. Vlakken in deIR3 worden gegeven door een vergelijkingvan de vorm

ax1 + bx2 + cx3 = d .

Deze vergelijking kunnen we met het inproduct noteren als

(a , x) = d , met a =

abc

en x =

x1

x2

x3

.

De vectora is dus een normaalvector voor het vlakV gegeven door de vergelijkingax1+bx2+cx3 =d ena is een richtingsvector voor iedere normaal (=loodlijn) vanV.

1.2.4 Uitproduct

Het uitproductc van de vectorena en b, genoteerd alsc = a× b en alleen gedefineerd inIR3, iseen vector dieloodrechtstaat op het vlak door de oorsprong, opgespannen doora en b. De lengtevan c is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt doora en b, d.w.z.‖a‖‖b‖| sinθ | alsθ de hoek is tussena en b. De orientatie vanc is zodanig datc de richting is vande rechtse schroef (gewone kurketrekker) als we draaien vana naarb (mits het assenstelsel rechts-georiënteerd is; zie BK blz. 183).

De termsgewijze uitdrukking,a×b = (a2b3−a3b2)i+(a3b1−a1b3) j+(a1b2−a2b1)k, is gemakkelijkte onthouden met een ezelsbruggetje dat we na hoofdstuk 3 zullen herkennen. We schrijvenformeel(want determinanten met vectoren zijn niet gedefinieerd!)

a×b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= i

∣

∣

∣

∣

a2 a3

b2 b3

∣

∣

∣

∣

− j

∣

∣

∣

∣

a1 a3

b1 b3

∣

∣

∣

∣

+ k

∣

∣

∣

∣

a1 a2

b1 b2

∣

∣

∣

∣

(zie ook BK, blz. 305).

Voorbeeld 1.5 Zij a, b en c vectoren in IR3. We bepalen een vergelijking voor het vlak dat wordtopgespannen door de richtingsvectorenb enc en steunvectora.

Het vlak heeft de parametervoorstelling

x = a + λb+ µc.

Een normaalvector is gegeven doorn = b× c. a is een punt uit het vlak, dus er volgt dat

(x − a , n) = 0.

een vergelijking voor het vlak is.

1.3. HET GEBRUIK VAN MATLAB 7

1.2.5 Notatie

Een vector is een geordende rij getallen (scalairen). Deze getallen zijn meestal reëel maar kunnenook complex zijn. We kunnen een vector als een rij of als een kolom noteren:

(a1 a2 . . . an),

a1

a2...

an

,

waarbij we kromme haken maar ook rechte haken kunnen tegenkomen, terwijl in rijnotatie de ele-menten soms door komma’s worden gescheiden. In de lineaire algebra zullen we bijna altijd dekolomnotatie hanteren. In sommige toepassingsgebieden ishet handig om het verschil tussen rijvec-toren en kolomvectoren tot uiting te laten komen in de notatie van een element:ai (subscript) vooreen rijvector enai (superscript) voor een kolomvector. Wij zullen hier alleensubscripts gebruiken.

Een vector wordt soms geschreven met een pijltje,−→AB, maar meestal vet in druk,a, en onderstreept

in handschrift,a. Voor alle duidelijkheid zullen we in dit dictaat beide doen: a.

Het inproduct wordt hier meestal genoteerd als(a , b) maar we zullen ook de in de literatuur veelvoorkomende punt-notatie,a·b (vandaar: dot product), gebruiken.

Het uitproduct wordt hier genoteerd alsa×b. In de literatuur komt ook wel voora∧b.

1.3 Het gebruik van MATLAB

1.4 Oefeningen

1.4.1 Bepaal een vergelijking (of vergelijkingen) voor de volgende lijnen en vlakken:

a.

(

21

)

+ λ

(

1−3

)

,

b.

111

+ λ

1−31

+ µ

−120

,

c.

21−1

+ λ

1−41

+ µ

−121

,

d.

111

+ λ

12−1

.

1.4.2 Bepaal een parametervoorstelling voor de volgende lijnen en vlakken:

a. x − 2y = 1,

b. x + y+ z= 2,


c. 2x − y+ 3z= 7,

d.{

x − z= 1 ,

x + 2y+ z= 2 .

1.4.3 Beschouw het vlakV door de punten(1, 0,−1), (2, 3,−1), (4,−1, 0).

a. Bepaal een parametervoorstelling voorV .

b. Bepaal een vergelijking voorV .

1.4.4 Bepaal een vergelijking voor het vlakV door het punt(2, 1,−2) en met normaalvector(1, 3,−2).

1.4.5 Bepaal een vergelijking voor het vlak door de oorsprong en loodrecht op de lijn

111

+ λ

12−1

.

1.4.6 Teken in het vlak twee willekeurige vectorena enb die geen veelvoud van elkaar zijn.Teken nu de rechte lijnen met parametervoorstelling:

a. b+ λa,

b. 2b+ λ(a − b),

c. b+ λ(a + b),

d. λ(b− a).

1.4.7 Laat zien dat de rechte

123

+ λ

235

evenwijdig is aan het vlakx + 6y− 4z= 4.

1.4.8 Laat zien dat de rechte

321

+ λ

−113

evenwijdig is aan het vlak

100

+ µ

31−3

+ ν

42−3

.

1.4. OEFENINGEN 9

1.4.9 Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door het punt(0, 1, 1) en de rechte

1−10

+ λ

211

.

Bepaal ook de vergelijking van dit vlak.

1.4.10 Bepaal met behulp van uitproducten een algemene uitdrukking voor de vergelijking voor hetvlak met de parametervoorstelling

x = a + λb+ µc.


Hoofdstuk 2

Lineaire vergelijkingen en Matrices


2.1.1 Leerstof

BK 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 (tot aan ’Nonsingular matrces’ blz. 46), 2.1, 2.2 (tot aan ’Solving LinearSystems with Complex Entries’ blz. 111, m.u.v. ’Global Positioning System’, blz. 105 – 107, en’Application: Chemical Balance Equation’, blz. 109 – 110)SHL 2.2.1, 2.2.2

2.1.2 Opdrachten

Huiswerkopdrachten:SHL 2.4.2, 2.4.10, 2.4.7BK 1.3.13, 1.3.14, 1.3.15, 1.3.19, 1.3.38BK 1.5.21, 1.5.22, 1.5.29,BK 2.2.6, 2.2.7

SHL 2.3 doorlezen als voorbereiding op de begeleide oefeningen

Opgaven voor begeleide oefeningen:SHL 2.4.1, 2.4.3, 2.4.4, 2.4.5, 2.4.6, 2.4.8, 2.4.9, 2.4.11

BK: Kolman en Hill,"Elementary Linear Algebra", 9th ed.


11

12 HOOFDSTUK 2. LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MATRICES


NOTATIE: m × n matrix

Eenm× n matrix A = (ai j ) heeftm rijen enn kolommen, met 16 i 6 m en 16 j 6 n.

A =

←− n −→↑ a11 a12 . . . a1n

ma21 a22 a2n...

. . ....

↓ am1 am2 . . . amn

2.2.1 Reguliere en singuliere stelsels

DEFINITIE 2.1 Een stelsel lineaire vergelijkingen heetniet-singulier of regulier als het stelselprecies één oplossing heeft. Een stelsel lineaire vergelijkingen heetsingulier als het stelsel geen ofmeerdere oplossingen heeft.

We maken nu een verder onderscheid binnen de singuliere stelsels.

DEFINITIE 2.2 Een singulier stelsel noemen weonderbepaald indien het stelsel meerdere oplos-singen heeft.

Een singulier stelsel noemen weoverbepaald of inconsistent indien het stelsel géén oplossingenheeft.

2.2.2 Bijzondere matrices

Vierkante matrices

Een matrix isvierkant als de matrix evenveel rijen als kolommen heeft.

Eenheidsmatrices

Eeneenheidsmatrix is de vierkante matrixI = (δi j ) metδi j = 1 alsi = j enδi j = 0 alsi 6= j . De4× 4 eenheidsmatrix ziet er dus als volgt uit:

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


Nulmatrices

Eennulmatrix is een matrixO waarvan alle matrixelementen gelijk aan nul zijn. De 3×4 nulmatrixziet er dus als volgt uit:

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Diagonaalmatrices

Eendiagonaalmatrix is een vierkante matrixA = (ai j ) metai j = 0 alsi 6= j , m.a.w. alle elementendie niet op de diagonaal staan zijn nul. Dediagonaal wordt gevormd door de elementen waarvoori = j . Een voorbeeld van een 3× 3 diagonaalmatrix is:

2 0 00 0 00 0 1

Bovendriehoeksmatrices

Eenbovendriehoeksmatrix is een matrixA = (ai j ) metai j = 0 als i > j , m.a.w. alle elementendie onder de diagonaal staan zijn nul. Een voorbeeld van een 4× 5 bovendriehoeksmatrix is:

1 3 7 −3 40 2 −1 4 50 0 2 3 00 0 0 9 1

Onderdriehoeksmatrices

Eenonderdriehoeksmatrix is een matrixA = (ai j ) metai j = 0 als i < j , m.a.w. alle elementendie boven de diagonaal staan zijn nul. Een voorbeeld van een 4× 4 onderdriehoeksmatrix is:

2 0 0 02 3 0 03 4 0 09 2 1 −1

Symmetrische matrices

Eensymmetrische matrix is een (vierkante) matrixA = (ai j ) met A = AT , m.a.w.ai j = a j i , m.a.w.de i -de rij is gelijk aan dei -de kolom. Een voorbeeld van een 4× 4 symmetrische matrix is:

2 4 6 24 0 −1 06 −1 3 72 0 7 2


Elementaire matrices

Eenelementaire matrix is een (vierkante) matrixE = (ei j ) met de eigenschap datE A (AE) eenmatrix oplevert die ontstaat als opA een elementaire rij- (kolom-)operatie wordt uitgevoerd.E kanworden geconstrueerd door deze operatie eenvoudigweg op deeenheidsmatrix uit te voeren.

Bijvoorbeeld,

E1 =

0 1 01 0 00 0 1

, E2 =

λ 0 00 1 00 0 1

, E3 =

1 0 02 1 00 0 1

.

In E1A is de eerste met de tweede rij verwisseld, inAE1 de eerste met de tweede kolom; inE2 A isde eerste rij metλ vermenigvuldigd, inAE2 de eerste kolom; inE3A is 2 maal de eerste rij geteld bijde tweede rij, inAE3 2 maal de eerste kolom bij de tweede kolom.

Een matrix, bestaande uit een of meer rij/kolomverwisselingen (“type E1”) achterelkaar, heet eenpermutatiematrix.


2.3.1 Het commando rref

Binnen MATLAB kunnen we de rijgereduceerde trapvorm (reduced row echelon form) van een matrixA bepalen met het commando

>> rref(A)

2.3.2 Het commandoA \ b

Binnen MATLAB is het mogelijk om rechtstreeks de oplossing van een stelsel vergelijkingen te be-palen.Het commando om Ax = b rechtstreeks op de lossen luidt:

>> x=A\b

Soms geeft MATLAB, na de opdrachtx = A\b, de volgende waarschuwing.

>> Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = .... .

We gaan op de precieze betekenis van deze waarschuwing hier niet in. De waarde vanx die op hetscherm verschijnt, moeten we nietvertrouwen.

Deze waarschuwing kan ook op het scherm komen indien matrixA (exact) singulier is. Door afrond-fouten detecteert MATLAB dan niet datA singulier is. Wanneer MATLAB dit wel opmerkt volgt demelding:


>> Warning: Matrix is singular to working precision.

Dus: Verschijnt er één van bovenstaande waarschuwingen, dan is de waarde vanx onbetrouwbaar.

Indien deze meldingen niet worden gedaan, wil het nog niet zeggen datA ∗ x = b. Verderop in decursus zullen we nog zien dat dit commando in meer gevallen bruikbaar is en bijvoorbeeld ook eenantwoordx geeft wanneer een stelsel vergelijkingen geen (exacte) oplossing heeft. De betekenis vandezex komt in §5.2.4 van deze syllabus aan bod. Het is om die reden belangrijk een antwoord dat uop deze manier bepaald heeft, expliciet te controleren doorA ∗ x uit te rekenen en te vergelijken metde gewenste uitkomstb.

Geldt nietA ∗ x = b, dan is het stelsel overbepaald. Geldt welA ∗ x = b dan is het stelsel regulierof onderbepaald. Het commandox = A\b in MATLAB levert namelijk hoogstens één oplossing. Dealgemene oplossing moet dan op een andere wijze bepaald worden.

2.3.3 Het commando solve

De symbolic toolbox van MATLAB maakt het mogelijk ook vergelijkingen op te lossen waarin decoëfficiënten symbolische uitdrukkingen zijn. Het commando waarmee symbolische vergelijkingen(niet noodzakelijk lineair) kunnen worden opgelost is het commandosolve. Dit commando wordtalsvolgt gebruikt

solve(’expressie1’,’expressie2’,’onbekende1’,’onbekende2’)

Hierin zijn expressie1 en expressie2 de vergelijkingen, enonbekende1 en onbekende2 de variabelenwaarnaar men wil oplossen. Voorbeeld:

>> syms a b c d p q>> [x1,x2]=solve(’a*x1 +b*x2=p’,’c*x1 +d*x2=q’,’x1’,’x2’)

x1 =

(-b*q+p*d)/(-b*c+d*a)

x2 =

(-c*p+q*a)/(-b*c+d*a)

Meer detailinformatie over dit commando is te verkrijgen via de online-help van het programma.

2.3.4 Commando’s voor bijzondere matrices

Behalve door direkte invoer, kunnen enkele bijzonder matrices ook rechtstreeks gevormd worden metMATLAB-opdrachten. Deze matrices zijn:


– Eenm×n nulmatrix, d.w.z. een matrix waarin alle elementen de waarde nul hebben, wordt gevormdmet de opdracht ‘zeros(m, n)’.

– Eenm× n matrix waarin alle elementen de waarde 1 hebben, wordt gevormd met de opdracht‘ones(m, n)’.

– Eenm×n matrix met willekeurige getallen tussen 0 en 1 wordt gevormdmet de opdracht ‘rand(m, n)’.

– Eenn×n diagonaalmatrix, d.w.z. een matrix met alleen op de diagonaal (de elementen met gelijkerij- en kolomindex) elementen ongelijk aan nul, wordt gevormd met de opdracht ‘diag(v)’, waarbijv een vector is met den diagonaalelementen.

– Eenm× n eenheidsmatrix, d.w.z. een diagonaalmatrix met enen op de diagonaal, wordt gevormdmet de opdracht ‘eye(m, n)’

Een vierkantem× n-matrix wordt gevormd als alleenm als index gebruikt wordt. Bijvoorbeeld een3× 3-eenheidsmatrix wordt gevormd met de opdracht:

>> eye (3)

Wil men een bijzondere matrix met hetzelfde formaat als een gegeven matrixA dan kan dit met hetcommando ’size’. Bijvoorbeeld:

>> zeros (size(A))

vormt een nulmatrix met dezelfde dimensies alsA.

Waneer bij het commando ‘diag’ een matrixA wordt gebruikt i.p.v. de vectorv krijgt men als ant-woord een kolomvector met de diagonaalelementen vanA. Het commando ’diag’ werkt ook metsymbolische matrices.

2.4 Oefeningen

2.4.1 (ML) Beschouw de matrices

A1 =

1 2 3 11 3 0 11 0 2 1

A2 =

2 1 1 −23 −2 1 −61 1 −1 −16 0 1 85 −1 2 −8

A3 =(

1 3 −2 4−2 −6 4 −7

)

en de vectoren

b1 =

873

b2 =

1−2−1−2

3

b3 =(

2−3

)

a. Geef de algemene oplossing (indien deze bestaat) van de stelselsA1x = 0 en A1x = b1.

2.4. OEFENINGEN 17

b. Geef de algemene oplossing (indien deze bestaat) van de stelselsA2x = 0 en A2x = b2.

c. Geef de algemene oplossing (indien deze bestaat) van de stelselsA3x = 0 en A3x = b3.

2.4.2 Beschouw de matrices

A =

2 1 4 30 −1 1 78 3 2 1

B =

8 −11 03 17 3

en C =

50 1151 2280 −3

Er geldt:C = AB.

a. De eerste rij van de matrixC is een lineaire combinatie van de rijen vanB. Geef de coëffi-ciënten van deze combinatie. D.w.z.(50 11) = α1(8 − 1) + α2(1 0) + α3(3 1) + α4(7 3),geef deαi , i = 1, 2, 3, 4.

b. De tweede kolom van de matrixC is een lineaire combinatie van de kolommen vanA. Geefde coëfficiënten van deze combinatie.

2.4.3 (ML) Het produkt van twee onderdriehoeksmatrices is weer een onderdriehoeksmatrix. Ga ditna aan de hand van een 4 bij 4 voorbeeld (gebruik MATLAB) en verklaar hoe dit volgt uit dematrixvermenigvuldiging.

2.4.4 (ML) Beschouw de volgende matrices:

A =

1/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/21/2 1/2 1/2 1/2

en B =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

enC = AB. (Opm.:

invoeren van de matrixA in MATLAB is mogelijk d.m.v. het commando:A = 0.5∗ones(4))

a. Bereken de machten:A2, A3, A4, A5. Welk antwoord vermoed je voorAn metn ∈ IN .Probeer dit antwoord aan te tonen.Wat verwacht je alsA afmetingen 8 bij 8 heeft?

b. Bereken de machtenB2, B3, B4, B5. Welk antwoord vermoed je voorBn metn ∈ IN .Probeer dit antwoord aan te tonen.

c. Bereken de machtenC2, C3, C4, C5. Welk antwoord vermoed je voorCn metn ∈ IN .Probeer dit antwoord aan te tonen.

2.4.5 (ML) Beschouw de matrix

A =

2 1 −2−2 2 010 −1 5

en de matrices

E1 =

1 0 01 1 00 0 1

, E2 =

1 0 00 1 0−3 0 1

, E3 =

1 0 00 1 00 2 1


a. Bereken de matrices:

Bi = Ei ∗ A (i = 1, 2, 3)

Geef aan hoe de rijen van de matricesBi samenhangen met de rijen van de oorspronkelijkematrix A.

b. Bereken de matrices:

Ci = A ∗ Ei (i = 1, 2, 3)

Geef aan hoe de kolommen van de matricesCi samenhangen met de kolommen van deoorspronkelijke matrixA.

2.4.6 (ML) Beschouw de matrix:

A =

1 2 31 3 48 5 7

en de matrices:

B1 =

1 2 30 1 18 5 7

, B2 =

1 2 30 1 10 −11 −17

, B3 =

1 2 30 1 10 0 −6

a. Bepaal elementaire matricesEi , zodanig dat:

E1 ∗ A = B1

E2∗ B1 = B2

E3 ∗ B2 = B3

Controleer het antwoord met behulp van MATLAB.

b. Bepaal een matrixC, zodanig dat:

C ∗ A = B3

2.4.7 (KAV) Beschouw de volgende matrices.

A =

1 −1 6 −1−1 2 −4 0−1 0 −6 6

3 −1 26 4

en B =

1 −1 6 −10 1 2 −10 −1 0 50 2 8 7

.

Geef een elementaire matrixE, zó datE A= B.(tent. 2Y630, 28 febr. 1992, opg. 6)

2.4.8 (ML) Beschouw de matrixA:

A =

1 2 34 7 24 8 3

2.4. OEFENINGEN 19

en de matrices:

X1 =

30−1

X2 =

1 20 −1−2 0

X3 =

3 1 20 0 −1−1 −2 0

Opm.: de kolommen vanX3 stemmen overeen met de kolommen vanX1 en X2. Dit wordtwel genoteerd als:

X3 = [X1 X2]

In MATLAB is op die manierX3 te maken!

a. Bepaal de productmatricesA ∗ X1 en A ∗ X2 alsmedeA ∗ X3.

b. Verklaar dat de kolommen vanA∗X3 overeenstemmen met de kolommen vanA∗X1 en A∗X2.

Meer algemeen geldt de volgende rekenregel:

A ∗ [X1 X2] = [A ∗ X1 A ∗ X2]

De voorvermenigvuldiging met de matrixA kan dus per gedeelte uitgevoerd worden!Een toepassing hiervan zal in oefening 2.4.9 aan bod komen.

2.4.9 (ML) (zie ook oefening 2.4.8) Beschouw de matrices:

X1 =

2 −4 11 0 03 1 0

X2 = [X1 I3] =

2 −4 1 1 0 01 0 0 0 1 03 1 0 0 0 1

en

P =

0 1 00 0 11 0 0

a. BerekenP ∗ X1 en P ∗ X2 en vergelijk de resultaten.Merk op datP een permutatie-matrix is.

b. Door een andere rijverwisseling gaat de matrixX2 over in:

3 1 0 0 0 12 −4 1 1 0 01 0 0 0 1 0

Bepaal, zonder MATLAB te gebruiken, een permutatiematrixP, zò datP∗X2 deze matrixoplevert. Controleer het antwoord!

c. Bepaal een permutatiematrixP, zò datP ∗ X1 een zuivere onderdriehoeksvorm heeft.


2.4.10 Beschouw de matrices

A =

3 1 0 0−3 4 1 0

1 3 2 11 0 0 0

en B =

1 0 0 03 1 0 0−3 4 1 0

1 3 2 1

a. Bepaal een permutatiematrixP1 zo datP1A = B.

b. Bepaal een permutatiematrixP2 zo datP2B = A.

c. Vergelijk P1 met P2.

2.4.11 (ML) Het is mogelijk om een matrix door middel van bewerkingen methele rijen om te werkennaar bovendriehoeksvorm (Gauss-eliminatie). Behalve eeninzicht-stap (namelijk bepalen welkveelvoud van een rij bij een andere rij opgeteld/afgetrokken dient te worden) is daarbij een re-kenstap nodig (namelijk het concreet uitvoeren van deze bewerking). Omdat binnen MATLABde mogelijkheid bestaat van bewerkingen met complete matrix rijen kan deze rekenstap viaMATLAB uitgevoerd worden.Beschouw daartoe de matrix:

A =

2 1 1 54 −6 0 −2−2 7 2 9

Door tweemaal de eerste rij van de tweede rij af te trekken verandert de hele tweede rij vanA,en wel op zo’n manier datA(2, 1) = 0. In MATLAB lukt dit met het commando:

>> A(2,:) = A(2,:) - 2*A(1,:)

a. Bepaal m.b.v. MATLAB op deze wijze een bovendriehoeksvorm van de matrixA.

In de hierboven als voorbeeld gegeven reductiestap omA(2, 1) = 0 te maken wordt tweemaalde eerste rij van de tweede rij afgetrokken. Dit aantal van twee is precies de verhouding van dematrixelementenA(2, 1) (het element dat nul moet worden) enA(1, 1) (het element waarmeeje dat realiseert).In gevallen waarin deze verhoudingA(2, 1)/A(1, 1) niet zo eenvoudig uitkomt, kan het handigzijn MATLAB zelf die verhouding uit te laten rekenen in de reductie-stap. Bij het gegevenvoorbeeld lukt dit door middel van:

>> A(2,:) = A(2,:) - (A(2,1)/A(1,1)) * A(1,:)

b. Verklaar waarom de verhoudingA(2, 1)/A(1, 1) hierbij een rol speelt.

c. Bepaal, m.b.v. MATLAB, op deze manier nogmaals een bovendriehoeks vorm van dematrix A.

2.4.12 (ML) (zie ook 2.4.8) Beschouw vier stelsels vergelijkingen:

Ax = bi ; (i = 1, 2, 3, 4)

2.5. EXTRA OEFENINGEN 21

met dezelfde coëfficiëntenmatrix

A =

1 2 34 7 24 8 3

maar met verschillende rechterleden:

b1 =

194249

b2 =

211721

b3 =

51011

b4 =

−18−44−54

a. Neem als respectievelijke oplossingen van deze vergelijkingenx1 t/m x4 en neem als matrixX = [x1 , x2 , x3 , x4].(De kolommen vanX bestaan dus uit de respectievelijke oplossingen.)Wat is het resultaat van de vermenigvuldigingA ∗ X?

b. De MATLAB opdrachtX = A\B bepaalt een matrixX, zo datA ∗ X = B. Bepaal metbehulp hiervan simultaan (dus via één opdracht) de oplossing van de vier stelsels vergelij-kingen.

2.5 Extra oefeningen

2.5.1 (ML) Beschouw de matrix

A =

2 1 −2−2 2 010 −1 5

en de matrices

E1 =

1 0 00 1 03 0 1

, E2 = ET1 =

1 0 30 1 00 0 1

a. Bereken de matrices:

E1 ∗ A en E2 ∗ A

Geef aan hoe de rijen van deze matrices samenhangen met de rijen van de oorspronkelijkematrix A.

b. Vergelijk de resultaten vanE1 ∗ A en E2 ∗ A onderling. Ga met name na welke rijenverschillen ten opzichte van de rijen van de oorspronkelijke matrixA.


Hoofdstuk 3

De inverse van een matrix –Determinanten


3.1.1 Leerstof

BK 1.5 (vanaf ’Nonsingular matrices’ blz. 46 tot ’Application A: Recursion Relation; the FibonacciSequence’ blz. 50), 2.3SHL 3.2.1, 3.2.2BK 3.2 (m.u.v. de bewijzen van stellingen 3.2, 3.3, 3.5, 3.6,3.7), 3.3SHL 3.2.3

3.1.2 Opdrachten

Huiswerkopdrachten:BK 1.5.31BK 2.3.9, 2.3.17, 2.3.28, 2.3.21,BK 3.2.3, 3.2.4, 3.2.6(a), 3.2.15, 3.2.27, 3.2.34BK 3.3.7, 3.3.11,

Doorlezen SHL 3.3 als voorbereiding voor begeleide oefeningen.

Opgaven voor begeleide oefeningen:SHL 3.4.1, 3.4.2SHL 3.4.5, 3.4.6, 3.4.7

BK: Kolman en Hill,"Elementary Linear Algebra", 9th ed.


23

24 HOOFDSTUK 3. DE INVERSE VAN EEN MATRIX – DETERMINANTEN


3.2.1 Reguliere en singuliere matrices en reguliere en singuliere stelsels

DEFINITIE 3.1

(i) Een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = b heetniet-singulier (of regulier) indien het stelselprecies één oplossing heeft.

(ii) Een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = b heetsingulier indien het stelsel geen of meerdereoplossingen heeft.

DEFINITIE 3.2

(i) Eenmatrix A heetniet-singulier (of regulier of inverteerbaar) indien er een matrix B bestaatzò dat AB= B A= I . (vgl. BK definitie 1.10 blz. 46)

(ii) Een matrix A heet singulier indien A niet inverteerbaar is.

Een reguliere matrixA is vierkant. Dus alsA niet vierkant is, isA singulier.

STELLING 3.1 Voor een vierkante matrix A geldt dat een stelsel Ax = b regulier is voor iederebdan en slechts dan als de matrix A regulier is.

Bewijs. (i) Indien A regulier is, dan is deoplossing van het stelselAx = b gelijk aanx = A−1b,dus het stelsel is regulier.(ii)Als het stelselAx = b regulier is is de matrix[A|b] rij-equivalent met[I |c] voor zekerec. Dus isA regulier. �

Als A niet-vierkant , en dusA singulier is, kan het stelselAx = b regulier of singulier zijn.

Voorbeeld 3.1

De matrixA =

1 00 10 0

is niet vierkant en dus singulier.

Vergelijk nu de stelsels

(1) Ax =

110

en

(2) Ax =

111

.

Het eerste stelsel is regulier; het tweede stelsel is singulier.

Er is nu een onderscheid gemaakt tussen enerzijds reguliereen singuliere matrices en anderzijdsreguliere en singuliere stelsels vergelijkingen. Ook hebben we bepaalde verbanden aangegeven.


3.2.2 Eigenschappen van de determinant van een matrix

Beschouw het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden{

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Na een keer vegen onstaat het stelsel{

a11x1 + a12x2 = b1

+ (a22− a21a12a11

)x2 = b2− a21b1a11

(Dit gaat natuurlijk alleen maar goed alsa11 6= 0.) We vinden precies één oplossing alsa11a22 −a21a12 6= 0, en wel

x1 =b1a22− b2a12

a11a22− a21a12, x2 =

b2a11− b1a21

a11a22− a21a12.

De uitdrukkinga11a22 − a21a12 is een getalskenmerk voor de coëfficientenmatrixA dat in dit gevaliets zegt over de matrixA en de oplosbaarheid van het stelselAx = b. Als a11a22 − a21a12 6= 0dan heeft het stelsel precies één oplossing en is de matrixA regulier. Alsa11a22 − a21a12 = 0 danheeft het stelsel geen of meerdere oplossingen en is de matrix A singulier. Het getala11a22− a21a12

noemen we dedeterminant van de matrixA. We noteren dit als

det(A) =∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

= a11a22− a21a12 .

Het is op dit moment niet mogelijk om een korte definitie van het algemene begrip determinantte formuleren. Daarom voeren we het begrip determinant van een matrix in aan de hand van deeigenschappen van de determinant. Dit zal ook leiden tot eenaantal manieren om de determinant vaneen matrix te berekenen. We beginnen met een drietal eigenschappen die feitelijk het begrip geheelvastleggen.

Definiërende eigenschappen

Eigenschap 3.1De determinant hangt lineair af van de eerste rij van de matrix.

Deze eigenschap betekent dat bijv. de determinant van een 2× 2 matrix de volgende eigenschappenheeft ten aanzien van optelling en scalaire vermenigvuldiging in de eerste rij.

∣

∣

∣

∣

a+ a′ b+ b′

c d

∣

∣

∣

∣

= (a+ a′)d − (b+ b′)c = ad− bc+ a′d − b′c =∣

∣

∣

∣

a bc d

∣

∣

∣

∣

+∣

∣

∣

∣

a′ b′

c d

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ta tbc d

∣

∣

∣

∣

= tad− tbc= t (ad− bc) = t

∣

∣

∣

∣

a bc d

∣

∣

∣

∣

Concreet betekent dit dat we bijvoorbeeld de volgende bewerkingen op een determinant kunnen uit-voeren.

Voorbeeld 3.2∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 6 91 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 31 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 01 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 01 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 9

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 11 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣


Eigenschap 3.2De determinant verandert van teken als twee rijen van de matrix worden verwisseld.

D.w.z. dat voor een 2× 2 eigenschap geldt∣

∣

∣

∣

c da b

∣

∣

∣

∣

= cb− ad = −(ad− bc) = −∣

∣

∣

∣

a bc d

∣

∣

∣

∣

Concreet

Voorbeeld 3.3 (Vervolg voorbeeld 3.2)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 01 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 3 21 0 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 01 0 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 01 0 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 11 0 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 01 0 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 1 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 0 1−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Eigenschap 3.3De determinant van de eenheidsmatrix is 1.

Afgeleide eigenschappen

Eigenschap 3.4Als twee rijen van de matrix gelijk zijn is de determinant gelijk aan nul.(volgt uit 2.)

Voor een 3× 3 matrix is dit alsvolgt in te zien∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Dus∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

Voor ons voorbeeld betekent dit

Voorbeeld 3.4 Vervolg voorbeeld 3.3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 01 0 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0


3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 1 0−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 1 0−1 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 12

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 1 00 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ 21

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 1 00 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −3 · 0+ 12 · 0+ 21 · 1= 21

Evenzo

2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 0 1−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −8

Dus∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 01 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 21− 8= 13

Analoog∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 1 01 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −9

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 0 11 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 7

Dus∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 6 91 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3 · 13− 6 · 9+ 9 · 7= 48

Eigenschap 3.5De determinant verandert niet als een veelvoud van een rij wordt afgetrokken vaneen andere rij.(volgt uit 1. en 4.)

Voor een 3× 3 matrix

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

→

a1 a2 a3

b1+ ta1 b2+ ta2 b3+ ta3

c1 c2 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

b1 + ta1 b2 + ta2 b3+ ta3

c1 c2 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+ t

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

a1 a2 a3

c1 c2 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Voorbeeld 3.5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 6 91 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 31 3 2−1 4 7

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 30 1 −10 6 10

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

= 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 50 1 −10 0 16

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 48

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 50 1 −10 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 48

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 00 1 00 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 48


Tot slot nog een aantal belangrijke eigenschappen.

Eigenschap 3.6Als de matrix A een nulrij bevat, geldt det(A)=0.(volgt uit 1.)

Eigenschap 3.7Als A een onder- of bovendriehoeksmatrix is, is de determinant van A het productvan de diagonaalelementen. (volgt uit 1., 5. en 3.)

Eigenschap 3.8det(A) = 0 dan en slechts dan als A singulier is.(volgt uit 5. en 2.)

Eigenschap 3.9det(AB) = det(A) det(B).(volgt uit 8., 7. en 5.)

Eigenschap 3.10det(AT ) = det(A).(volgt uit 9., 7., 2. en 3.)

3.2.3 Determinant en volume

Beschouw de vectoren

a =(

a1

a2

)

, b =(

b1

b2

)

en de matrix

A =(

a1 b1

a2 b2

)

.

De vectorena en b spannen een parallellogram op, d.w.z. het parallellogram met deze vectoren alszijden (zie fig. 3.1 ).

φ

b

a

h

Figuur 3.1:

De oppervlakteO van dit parallellogram is danh‖a‖, waarbij‖a‖ de lengte van de vectora voorstelt(BK §5.1). Er geldth = ‖b‖ sinφ en dus

O = ‖a‖ ‖b‖ sinφ = ‖a‖ ‖b‖√

1− cos2 φ .


We weten dat

cosφ =(a , b)

‖a‖ ‖b‖

(zie BK blz. 294). Dus

O2 = (a2

1 + a22)(b

21 + b2

2)

(

1−(a1b1 + a2b2)

2

(a21 + a2

2)(b21 + b2

2)

)

= (a1b2− a2b1)2 .

Dus

O = |a1b2− a2b1| = |det(A)| .

M.a.w

STELLING 3.2 De oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectorena en b isgelijk aan de absolute waarde van de determinant van de matrix meta enb als kolommen.

Merk op dat dit ook gelijk is aan de determinant van de matrix met a en b als rijen, want det(A) =det(AT ).

Wanneer we in deIR3 het parallellepipedum beschouwen opgespannen door een drietal vectorena, benc, dan kunnen we voor het volume van dit parallellepipedum op soortgelijke wijze bewijzen dat

STELLING 3.3 Het volume van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c isgelijk aan de absolute waarde van de determinant van de matrix meta, b enc als kolommen.


3.3.1 Bepaling inverse

Berekening van de inverse van een regulieren × n matrix A is mogelijk door simultaan de stelselsvergelijkingen:

AX = A[x1 x2 ... xn] = [e1e2 ... en] = I

op te lossen, waarbijek deke kolom van de eenheidsmatrixI voorstelt. Binnen MATLAB kan dit metbehulp van het commando:

>> A\eye(n)

waarbij eye(n) den×n eenheidsmatrix is (b.v. eye(3) is de 3×3 eenheidsmatrix). Daarnaast beschiktMATLAB over een commando om rechtstreeks de inverse van een matrix A te berekenen, namelijk:

>> inv(A)


Als er geen inverse bestaat (A singulier) of als het numerieke resultaat niet betrouwbaaris zal MAT-LAB dit melden.

Het commando ’inv’ kan ook toegepast worden op symbolische matrices

>> syms a b c d>> A=[a bc d]

A =

[ a, b][ c, d]

>> inv(A)

ans =

[ d/(-b*c+d*a), -b/(-b*c+d*a)][ -c/(-b*c+d*a), a/(-b*c+d*a)]

3.3.2 Verwisselen van kolommen

Met het commando

>> B=A(:,[1,2,3,5,4])

worden de 4e en 5e kolom van dem× 5 matrix A verwisseld.

3.3.3 Determinant-berekening

Binnen MATLAB ligt het commando om de determinant van een matrix te berekenen voor de hand:

>> det(A)

Dit commando kan ook toegepast worden op symbolische matrices

>> syms a b c d>> A=[a bc d];>> det(A)

ans =

-b*c+d*a

3.4. OEFENINGEN 31

3.3.4 Verandering van de waarde van één element van een matrix

Om bij een bestaande matrix één element van waarde te veranderen is het niet nodig om de hele matrixopnieuw in te voeren. Het is voldoende om bij de toekenningsopdracht de matrix van het gewensterij– en kolomnummer te voorzien. De opdracht:

>> A (2,3) = 4

zorgt er voor dat het element in de tweede rij en derde kolom van A de waarde 4 krijgt. Alle andereelementen vanA blijven ongewijzigd!

3.4 Oefeningen

3.4.1 (ML) Bepaal van elk van de volgende matrices, op de twee manieren zoals omschreven in3.3.1, de inverse en controleer het antwoord.

a. A =

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

Merk op: Indien een reguliere matrix symmetrisch is, is zijninverse ook symmetrisch.

b. de 3 bij 3 Hilbert-matrix

A =

1 12

13

12

13

14

13

14

15

c. A =

2 1 4 60 3 8 50 0 0 70 0 0 9

3.4.2 (ML) In elk van de volgende onderdelen wordt een matrix gegeven van een speciale vorm.Bepaal van elk van deze matrices de inverse, ga na of de inverse matrix dezelfde speciale vormheeft en vergelijk het aantal nul-elementen in de oorspronkelijke en inverse matrix.

Opm: Om type-werk te besparen gebruiken we voor de matrices speciale MATLAB comman-do’s. Omdat het echter om de matrices en niet om de commando’sgaat lichten we dezecommando’s verder niet toe!

Voer, voor je met deze opgave begint, de matrixA = rand(7) in!

a. A1 = triu (A)(bovendriehoeksmatrix)

b. A2 = triu (A) - triu (A,2)(speciale bovendriehoeksmatrix)

c. A3 = triu (A,-1) - triu (A,2)(tridiagonale matrix)

d. A4 = triu (A,-3) - triu (A,4)(bandmatrix)


3.4.3 (ML) In deze opgave bepalen we de inverse van (reguliere)n× n matricesA van de volgendespeciale vorm

A =(

A11 00 A22

)

met : A11 : p× p matrixA22 : q × q matrix en p+ q = noverige elementen: 0 .

a. Neem, als voorbeeld, bijn = 7:

A11= rand(4)

A22= rand(3)

A = [A11 zeros(4, 3); zeros(3, 4) A22]

Bepaal hiervan de inverse. Wat valt op aan de vorm van deze matrix?Beschouw verder de volgende matrix:

B =(

B11 B12B21 B22

)

met :

B11 : p× p matrixB12 : p× q matrixB21 : q × p matrixB22 : q × q matrix .

b. Druk het productAB uit in A11 t/m B22.Als B de inverse is vanA geldt voor dit productAB = I .

c. Wat geldt dan voor de produktenA11∗ B11, A22∗ B22, A11∗ B12 en A22∗ B21?

d. Onder welke voorwaarden voorA11 enA22 is A inverteerbaar?

e. Druk, voor dat geval,B11 enB22 uit in A11 enA22.

f. Wat geldt, in dat geval, voorB12 enB21?

g. Wat is (dus) de algemene vorm voorA−1?Controleer dit voor het voorbeeld uit a.

3.4.4 Bepaal de determinant van matrix

A =

5 −2 4 −10 1 5 21 2 0 1−3 1 −1 1

3.4.5 Bepaal het volume van een parallellepipedum bepaald door de vectorena = (1, 1, 2), b = (−2, 3, −1) en c = (3, 13, 7).

3.4.6 (ML) Beschouw de volgende matrices:

A =

5 −2 4 −10 1 5 21 2 0 1−3 1 −1 1

B =

2 −1 0 0−1 2 −1 0

0 −1 2 −10 0 −1 2

3.4. OEFENINGEN 33

C =

1 2 3 41 3 3 62 4 7 11−1 −2 −3 −3

(Matrix A is de matrix uit oefening 3.4.4).

a. Bepaal de determinant vanA∗B∗C en vergelijk deze met het produkt van de determinantenvan A, B en C.

b. Bepaal de determinant vanA + B en vergelijk dit met de som van de determinanten vanA en B.

c. Bepaal de determinanten van 3∗ B en vanB∧3 (“B tot de macht 3”) en vergelijk dit metde determinant vanB.

d. Wat is de determinant vanAT en wat is de determinant vanA−1? Wat is het verband metde determinant vanA?

e. Wat is de determinant vanC∧20 ? Vergelijk dit met het resultaat van de MATLAB-opdrachtdet(C∧20). Bij welke waarde vann geeft de MATLAB-opdracht det(C∧n) een getal onge-lijk aan 1?

3.4.7 (ML) De waarde van de determinant van een matrix kan gevoelig zijnvoor kleine verande-ringen van afzonderlijke elementen van de matrix. We onderzoeken dit aan de hand van eentweetal matrices:

A1 =

−73 78 2492 66 25−80 37 10

A2 =

−73 78 −2492 66 25−80 37 10

a. Bepaal van beide matrices de determinant.

b. Verander bij beide matrices de waarde van het element op positie (3,3) van 10 in 10.01en bereken nogmaals beide determinanten. Bij welke matrix is de verandering relatief hetgrootst?

c. Verander bij beide oorspronkelijke matrices de waarde van het element op positie (2,1) van92 in 92.01 en bereken nogmaals de determinanten. Bij welke matrix is de veranderingrelatief het grootst?

d. Verander bij beide oorspronkelijke matrices de waarde van het element op positie (1,2) van78 in 78.01 en bereken nogmaals de determinanten. Bij welke matrix is de veranderingrelatief het grootst?

De kolommen van elk van de matricesA1 en A2 kunnen we opvatten als de zijden van eenparallellepipedum waarvan het volume gelijk is aan de determinant van de matrix. Omdatde eerste twee kolommen van beide matrices hetzelfde zijn hebben beide parallellepipeda eenzelfde grondvlak. De lengtes van beide derde kolommen zijn eveneens gelijk, zodat de derdezijde van het parallellepipedum slechts qua oriëntatie verschilt, zoals bijvoorbeeld in de figuren3.2 en 3.3.

e. Beargumenteer in welk van beide situaties (figuur 3.2 of figuur 3.3) het volume het grootstis.Beargumenteer in welk van beide situaties een kleine richtingsverandering van de derdezijde a3 relatief de grootste volume-verandering zal geven.


a 2

a 3

a 1

Figuur 3.2:

a 2

a 3

a 1

Figuur 3.3:

3.4.8 (ML) Beschouw een willekeurige matrix van de volgende structuur:

A =[

A11 00 A22

]

met A11: willekeurigen× n matrixA22: willekeurigem×m matrixoverige elementen: 0

In MATLAB voor bv. n = 2, m= 3:

>> A = [rand (2), zeros (2,3); zeros (3,2), rand (3)]

a. Bepaal voor enkele zelf gekozen waarden vann en m de determinant van elk van de ma-tricesA, A11, A22.Ga voor elk van de gevallen na dat:

det(A) = det(A11) det(A22)

en probeer dit resultaat te verklaren.(Hint: vergelijk de spillen vanA met die vanA11 enA22).

Beschouw ook een willekeurige matrix van de volgende structuur:

A =[

A11 A120 A22

]

met A11: willekeurigen× n matrixA12: willekeurigen× n matrixA22: willekeurigen× n matrixoverige elementen: 0

In MATLAB voor bv. n = 2:

>> A = [rand (2), rand (2); zeros (2), rand (2)]

b. Bepaal voor enkele zelf gekozen waarden vann de determinanten van elk van de matricesA, A11, A12 en A22.Ga voor elk van deze gevallen na of er een verband bestaat tussen de determinant van Aen de determinanten van de matricesA11, A12 en A22. Probeer een eventueel verband teverklaren.

c. Onderzoek of het voor het resultaat bij b. noodzakelijk isdat A11 en A22 dezelfde afme-tingenn× n hebben.

Voor een willekeurige matrixA zonder speciale structuur, maar opgedeeld in 4 deelmatricesvan gelijke afmetingen; d.w.z.


A =[

A11 A12A21 A22

]

met A11: willekeurigen× n matrixA12: willekeurigen× n matrixA21: willekeurigen× n matrixA22: willekeurigen× n matrix,

betaat er geen eenvoudig verband tussen de determinant vanA en de determinanten van dematricesA11 t/m A22.

3.5 Extra oefeningen

3.5.1 (ML) In deze opgave bepalen we de inverse van (reguliere)n× n matricesA van de volgendespeciale vorm:

A =(

A11 A120 A22

)

met :

A11 : p× p matrixA12 : p× q matrixA22 : q × q matrix en p+ q = noverige elementen: 0 .

a. Neem, als voorbeeld, bijn = 7:

A11= rand(4)

A12= rand(4, 3)

A22= rand(3)

A = [A11 A12; zeros (3, 4)A22]

Bepaal hiervan de inverse. Wat valt op aan de vorm van deze matrix?Beschouw verder de volgende matrix:

B =(

B11 B12B21 B22

)

met :

B11 : p× p matrixB12 : p× q matrixB21 : q × p matrixB22 : q × q matrix

b. Druk het productAB uit in A11 t/m B22.

Als B de inverse is vanA geldt dit voor produktAB= I .

c. Wat geldt dan voor de produktenA22∗ B22 enA22∗ B21?

d. Aan welke voorwaarde moetA22 voldoen wilA inverteerbaar zijn?

e. Druk, voor dat geval,B22 uit in A22.

f. Wat geldt dan voorB21?

g. Wat geldt dan voor het produktA11∗ B11?

h. Aan welke voorwaarde moetA11 voldoen wilA inverteerbaar zijn?

i. Druk, voor dat geval,B11 uit in A11.

j. Welk verband geldt er voorA12? Los hieruitB12 op.


k. Wat is (dus) de algemene vorm vanA−1?Controleer dit voor het voorbeeld uit a.

3.5.2 Beschouw matrixA.

>> A =0.3000 -1.0000 1.0000 0 5.00001.5000 -0.5000 1.0000 0.5000 3.5000

-1.5000 0.5000 0.5000 3.0000 -1.50001.5000 -0.5000 1.5000 2.0000 3.5000

0 0 0.5000 1.0000 1.0000

Bepaal alle oplossingen van het stelsel

Ax =

86182.5

(vgl. tent. 2Y630, 26 aug. 1989, opg. 1c)

3.5.3 (KAV) Geef het volume van een parallellepipedum bepaald door de vectorena = (−3, 1, 5), b =(0, 1, 7) enc = (0, 0, 3).(tent. 2Y630, 28 febr. 1989, opg. 5)

3.5.4 (KAV) Beschouw matrixA en de kolomvectorenb en x.

a =0.2260 0.6907 0.0380 0.0178 0.5876 0.6908 0.73610.8159 0.1062 0.0988 0.2611 0.7256 0.6769 0.25310.2284 0.2640 0.2560 0.1358 0.2849 0.9687 0.34810.8553 0.7034 0.5998 0.0503 0.6767 0.4845 0.62190.0621 0.4021 0.9166 0.5782 0.8642 0.5965 0.23480.7075 0.6553 0.1402 0.2432 0.1943 0.0726 0.77020.2408 0.9700 0.7054 0.9449 0.0580 0.2831 0.0505

b= x=8.0540 -15.9551 06.7692 16.8842 28.1635 34.6432 43.9128 5

Er geldt: (i) Ax = b(ii) det(A) = 0.1549

Geef de determinant van de matrix, die ontstaat door de eerste kolom vanA te vervangen doorde kolomvectorb. (tent. 2Y630, 26 aug. 1989, opg. 6)


3.5.5 Beschouw de volgende matrixA:

A =

a a a aa b b ba b c ca b c d

met a, b, c, d ∈ IR .

Bepaal de determinant vanA.(tent. 2Y630, 24 aug. 1990, opg. 1b,d)

3.5.6 (KAV) Van de matrix

A =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

is de waarde van de determinant bekend; det(A) = 5.

a. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix

a1 a2 a3

b1− 3a1 b2 − 3a2 b3 − 3a3

2c1 2c2 2c3

b. Bepaal de waarde van de determinant van de matrix

A =

a1 c1 b1

a2 c2 b2

a3 c3 b3

(tent. 2Y630, 4 maart 1991, opg. 5)

3.5.7 (KAV) Van de twee 5× 5 matricesA en B is gegeven dat det(A)=a 6= 0 en det(B)=b 6= 0.Bepaal: det(3AT B)−1

(tent. 2Y630, 23 aug. 1991, opg. 4)

3.5.8 (KAV) Gegeven is dat er getallenα, β, γ enδ bestaan, zodanig dat de determinant∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 1 11 5 25 125 6251 2 4 8 161 −1 1 −1 11 x x2 x3 x4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

gelijk is aan 432(x − α)(x − β)(x − γ )(x − δ). Geefα, β, γ enδ.(tent. 2Y630, 21 aug. 1992, opg. 8)

3.5.9 (KAV) Voor de 3 bij 3 matricesA en B geldt dat

det(A) = 2 en det(B) = 3 .

Bepaal det(5 A2 B−1), d.w.z. de determinant van 5A2B−1.(tent. 2Y630, 26 febr. 1993, opg. 8)


3.5.10 (KAV) Voor de(n× n) matricesA en B geldt

det(A) = 3 , det(B) =( 1√

3

)

.

Bereken de determinant van de matrix

3(AB)2BT B

(tent. 2Y630, 20 aug. 1993, opg. 7)

3.5.11 (ML) Beschouw eenn bij n matrix A, waarvan alle elementen op en boven de diagonaal dewaarde 1 hebben terwijl alle elementen beneden de diagonaaleen zelfde waarde, zegp, hebben.Dus bijvoorbeeldn = 5 en p = 3:

A =

1 1 1 1 13 1 1 1 13 3 1 1 13 3 3 1 13 3 3 3 1

Van dit type matrices willen we de determinant bepalen als functie vann en p.

(Opm.: Binnen MATLAB zijn deze matrices eenvoudig in te voeren met het commando:

A = triu(ones(n)) + p*tril(ones(n),-1);waarbij voorn en p de actuele waardes gebruikt worden, bijvoorbeeld voorn = 5 enp = 3:

A = triu(ones(5)) + 3*tril(ones(5),-1);Uiteraard is het ook mogelijk de matrix element voor elementin te voeren!)

a. Neemp = 2 en bereken voor een aantal verschillende waardes vann de determinant.(Gebruik voor de antwoorden de tabel verderop!)Welke waarde vermoed je dat de determinant voor algemenen heeft?

b. Neemp = 3 en bereken voor een aantal verschillende waardes vann de determinant.(Gebruik voor de antwoorden de tabel verderop!)Welke waarde vermoed je dat de determinant voor algemenen heeft?

c. Neemp = 4 en bereken voor een aantal verschillende waardes vann de determinant.(Gebruik voor de antwoorden de tabel verderop!)Welke waarde vermoed je dat de determinant voor algemenen heeft?

d. Welke waarde vermoed je dat de determinant voor algemenen en p heeft?

e. Onderbouw het vermoeden uit onderdeel d. door de determinant analytisch te berekenen.(Hint: probeer dmv. rijvegen de matrix eerst te vereenvoudigen!)

RESULTATEN :


afmetingen p = 2 p = 3 p = 4 vermoeden voormatrix (n) willekeurige p

1 bij 12 bij 23 bij 34 bij 45 bij 5

vermoeden voorn bij n


Documents

Faculteit Wiskunde en Informatica - win.tue.nllhabets/math-onderwijs-2DM20/begindictaat2DM20.pdf · B. Kolman en D.R. Hill: Elementary Linear Algebra, with Applications, 9th ed.,