7/30/2019 F53E1d01

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F u n c t i o n a l A n a l y s i s , B S M , S p r i n g 2 0 1 2

E x e r c i s e s h e e t : C o m p a c t o p e r a t o r s

D e n i t i o n : L e t

X, Yb e B a n a c h s p a c e s . A l i n e a r o p e r a t o r

T : X Yi s s a i d t o b e c o m p a c t i f i t s a t i s e s

t h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t c o n d i t i o n s : 1 .

T(B1(0)) i s t o t a l l y b o u n d e d ; 2 . cl(T(B1(0))) i s c o m p a c t ; 3 . f o r a n y b o u n d e d s e q u e n c e

(xn) i n X t h e s e q u e n c e (T xn) h a s a c o n v e r g e n t s u b s e q u e n c e .T h e o r e m : L e t X b e a B a n a c h s p a c e a n d T : X X a c o m p a c t o p e r a t o r .I f

= 0 , t h e n I T i s s u r j e c t i v e i f a n d o n l y i f i t i s i n j e c t i v e .T h e s p e c t r u m o f

Ti s n i t e o r c o u n t a b l y i n n i t e . E v e r y n o n z e r o e l e m e n t o f t h e s p e c t r u m i s a n e i g e n v a l u e w i t h

n i t e m u l t i p l i c i t y . T h e o n l y p o s s i b l e l i m i t p o i n t o f t h e s p e c t r u m i s 0 .

1 . L e t

(X, d)b e a m e t r i c s p a c e . P r o v e t h a t i f t h e r e e x i s t

c > 0a n d

x1, x2, . . . X s u c h t h a t d(xn, xm) c f o ra n y

n = m, t h e n X i s n o t t o t a l l y b o u n d e d . P r o v e t h a t t h e c o n v e r s e i s a l s o t r u e .

2 . a ) S h o w t h a t t h e u n i t b a l l o f

i s n o t t o t a l l y b o u n d e d .

b ) S h o w t h a t t h e u n i t b a l l o f

1 i s n o t t o t a l l y b o u n d e d .

c ) * S h o w t h a t t h e u n i t b a l l o f a n y i n n i t e d i m e n s i o n a l n o r m e d s p a c e i s n o t t o t a l l y b o u n d e d .

3 . W 7 P 1 . ( 5 p o i n t s ) C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g

T : o p e r a t o r :

T : (1, 2, 3, 4, . . .)

1,2

2,

3

3,

4

4, . . .

.

S h o w t h a t

Ti s c o m p a c t . D e t e r m i n e

p(T) , (T) a n d r(T) .

4 . T h e o p e r a t o r i n t h e p r e v i o u s e x e r c i s e c a n b e c o n s i d e r e d a l s o a s a n

2 2 a n d a s a n 1 1 o p e r a t o r . A r e t h e s e o p e r a t o r s c o m p a c t , t o o ?

5 . L e t

X, Yb e B a n a c h s p a c e s .

a ) L e t

Tn, T B(X, Y). S u p p o s e t h a t Tn i s c o m p a c t f o r e a c h n a n d Tn T 0 a s n . P r o v e t h a t Ti s a l s o c o m p a c t .

b ) A n o p e r a t o r

T : X Yi s s a i d t o h a v e n i t e r a n k i f

ran Ti s n i t e d i m e n s i o n a l . S h o w t h a t e v e r y b o u n d e d

o p e r a t o r w i t h n i t e r a n k i s c o m p a c t .

c ) G i v e a n o t h e r p r o o f f o r t h e c o m p a c t n e s s o f t h e o p e r a t o r s i n E x e r c i s e 3 , 4 .

6 . W 7 P 2 . ( 1 0 p o i n t s ) C o n s i d e r t h e s p a c e

C[0, 1] w i t h t h e s u p r e m u m n o r m a n d l e t T d e n o t e t h e V o l t e r r a i n t e g r a l o p e r a t o r :

(T f)(x)d e f

=

x

0

f(y) dy.

P r o v e t h a t

Ti s a c o m p a c t o p e r a t o r .

7 . * L e t

k : [0, 1] [0, 1] Rb e a x e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n . C o n s i d e r t h e s p a c e

C[0, 1]w i t h t h e s u p r e m u m

n o r m . T h e i n t e g r a l o p e r a t o r w i t h k e r n e l

ki s d e n e d a s

(T f)(x)d e f

=

1

0

k(x, y)f(y) dy.

P r o v e t h a t

Ti s c o m p a c t f o r a n y c o n t i n u o u s k e r n e l

k.

8 . W 7 P 3 . ( 8 p o i n t s )

a ) L e t

X , Y , Z b e B a n a c h s p a c e s ;

T B(X, Y) a n d S B(Y, Z). P r o v e t h a t t h e o p e r a t o r ST : X Z i sc o m p a c t i f e i t h e r

So r

Ti s c o m p a c t .

b ) T h e c o n v e r s e i s n o t t r u e : n d a B a n a c h s p a c e

Xa n d a b o u n d e d o p e r a t o r

T : X Xs u c h t h a t

T2i s

c o m p a c t , b u t

Ti s n o t .

9 . L e t

Xb e a n i n n i t e d i m e n s i o n a l B a n a c h s p a c e a n d

T : X Xa c o m p a c t o p e r a t o r . S h o w t h a t

T

i s n o t s u r j e c t i v e . I t f o l l o w s t h a t 0 (T). F i n d e x a m p l e s w h e n 0 p(T), w h e n 0 r(T) a n d w h e n 0 c(T) = (T) \ p(T) \ r(T).

1 0 . S h o w t h a t i f a c o m p a c t o p e r a t o r

Th a s i n n i t e r a n k , t h e n

Ti s n o t b o u n d e d b e l o w .

1 1 . L e t

: [0, 1] [0, 1]b e a x e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p e r a t o r o n

C[0, 1]:

T fd e f

= f.

F o r w h i c h

i s

Tc o m p a c t ?

S o l u t i o n s c a n b e f o u n d o n : w w w . r e n y i . h u / ~ h a r a n g i / b s m /