Exo Variation math

tudier le sensde variationdune suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3

ThorieSens de variationdune suite

tudier le sens de variation dune suite

TS

8 dcembre 2007

TS tudier le sens de variation dune suite


TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Exercice

1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3

2 CorrigQuestion 1Question 2Question 3

3 ThorieSens de variation dune suite



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Question 1.

tudier le sens de variation de la suite suivante dfinie pour toutentier n par :

un =n2

n+1 .

Thorie Corrig



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Question 2.


un =(23

)n.

Thorie Corrig



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Question 3.


un =p3n+1 .

Thorie Corrig



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Corrig






TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.Calcul de un+1un.

On tudie le signe de la diffrence.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



On tudie le signe de la diffrence.On a

un+1un =

=

=



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3




un+1un =(n+1)2n+2

n2

n+1

=

=



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3




un+1un =(n+1)2n+2

n2

n+1

= (n+1)2(n+1)

(n+2)(n+1) n2(n+2)

(n+1)(n+2)

=



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3




un+1un =(n+1)2n+2

n2

n+1

= (n+1)2(n+1)

(n+2)(n+1) n2(n+2)

(n+1)(n+2)

= n2+3n+1

(n+1)(n+2) .



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.tude du signe de n

2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

Comme n N, on a n 0. Alors :



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)


n2 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)


n2 0 ;

3n 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)


n2 0 ;

3n 0 ;

1> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

+


n2 0 ;

3n 0 ;

1> 0.

Donc, par somme, n2+3n+1> 0.TS tudier le sens de variation dune suite


TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

+


n 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

+


n 0 ;

1> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

+

+


n 0 ;

1> 0.

Donc, par somme, n+1> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

+

+


n 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

+

+


n 0 ;

2> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



2+3n+1(n+1)(n+2) .

un+1un =n2+3n+1

(n+1)(n+2)

+

+ +


n 0 ;

2> 0.

Donc, par somme, n+2> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.Conclusion.

On obtient le tableau de signes suivant :

0 +n2+3n+1 +n+1 +n+2 +

n2+3n+1(n+1)(n+2) +



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.Conclusion.

On obtient le tableau de signes suivant :

0 +n2+3n+1 +n+1 +n+2 +

n2+3n+1(n+1)(n+2) +

Ainsi, pour tout entier n N, un+1un > 0 cest--dire

un+1 > un .

La suite est donc strictement croissante sur N. Retour



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 2.

La suite est une suite gomtrique de raison q = 23 .Cette raison vrifie

0< q < 1 .

La suite est donc strictement dcroissante sur N. Retour



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 3.

Pour tout n N, on a un = f (n) avec f la fonction dfinie par

f (x)=p3x +1 .

On tudie le sens de variation de la fonction f sur [0;+[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 3.Sens de variation de f .

La fonction f : x 7p3x +1 est la compose de la fonction

g : x 7 3x +1 suivie de la fonction h : x 7px .



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3





La fonction g : x 7 3x +1 est strictement croissante sur [0;+[ valeurs dans [1;+[ ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3






la fonction h : x 7px est strictement croissante sur [1;+[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3







Proprit

La compose de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3







Proprit


Donc f est strictement croissante sur [0;+[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 3.Sens de variation de (un).

Pour tout n N, on a un = f (n) avec f strictement croissante sur[0;+[.La suite (un) est donc strictement croissante sur N.

Retour



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Thorie






TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteDfinitions.

Dfinition (Suite croissante)

Dire quune suite (un) est croissante sur N signifie que pour tout n,

un un+1 .

u0 u1 u2 u3 u4 un un+1

Dfinition (Suite dcroissante)

Dire quune suite (un) est dcroissante sur N signifie que pour tout n,

un+1 un .

u0u1u2u3u4unun+1



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteMthodes.

Pour dterminer le sens de variation dune suite, on peut

tudier le signe de un+1un ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3





si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un

et lerel 1 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3






et lerel 1 ;

si la suite est arithmtique ou gomtrique, dterminer saraison ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3






et lerel 1 ;


sil existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),tudier les variations de f sur [0;+[ ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3






et lerel 1 ;


sil existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),tudier les variations de f sur [0;+[ ;

sil existe une fonction f telle que pour tout n on a un+1 = f (un),tudier les variations de f et utiliser le principe de rcurrence.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteSigne de un+1un.

Proprit

Si pour tout n N on a

un+1un > 0 alors la suite est croissante sur N ;

un+1un < 0 alors la suite est dcroissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteCas o pour tout n N, un > 0.

Proprit

Soit (un) une suite de termes strictement positifs.Si pour tout n N on a

un+1un

> 1 alors la suite est croissante sur N ;un+1un

< 1 alors la suite est dcroissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteCas o la suite est arithmtique.

Dfinition

Une suite (un) est arithmtique sil existe un rel r appel raison telque pour tout n N,

un+1 = un+ r ou un = u0+nr .



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Dfinition



Proprit

Une suite arithmtique est

strictement croissante sur N si r > 0 ;

n

un

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

r>0



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Dfinition



Proprit

Une suite arithmtique est

strictement croissante sur N si r > 0 ;

strictement dcroissante sur N sir < 0. n

un

3

u3

2

u2

1

u1

0

u0

r


TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteCas o la suite est gomtrique.

Dfinition

Une suite (un) est gomtrique sil existe un rel q appel raison telque pour tout n,

un+1 = qun ou un = u0qn .



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Dfinition



Proprit

Une suite gomtrique est

strictement croissante sur N siq > 1 ;

Elle nest pas monotone si q < 0. n

un

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

4

u4

q>1



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Dfinition



Proprit

Une suite gomtrique est

strictement croissante sur N siq > 1 ;

strictement dcroissante si 0< q < 1.

Elle nest pas monotone si q < 0. n

un

4

u4

3

u3

2

u2

1

u1

0

u0

0


TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteCas o un = f (n).

Proprit

Sil existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors

si f est croissante sur [0;+[ alors la suite est croissante sur N ;

x

un

Cf

u0

u1

u2u3u4



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteCas o un = f (n).

Proprit

Sil existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors

si f est croissante sur [0;+[ alors la suite est croissante sur N ;

si f est dcroissante sur [0;+[ alors la suite est dcroissantesur N.

x

un

Cf

u0

u1

u2u3u4

x

un

Cf

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

4

u4TS tudier le sens de variation dune suite


TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation dune suiteCas o un+1 = f (un).

Exercice (Corrig)

On considre la suite (un) dfinie par :

u0 = 1 et pour tout naturel n, un+1 =un+1 .

On admet que pour tout n N, on a 0< un < 2.1 tudier le sens de variation de la fonction f : x 7

px +1 sur

[0;2].

2 Dmontrer par rcurrence que (un) est croissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution

1 La fonction f : x 7px +1 est la compose de la fonction

g : x 7 x +1 suivie de la fonction h : x 7px.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution



La fonction g : x 7 x +1 est strictement croissante sur[0;2] valeurs dans [1;3] ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution



La fonction g : x 7 x +1 est strictement croissante sur[0;2] valeurs dans [1;3] ;la fonction h : x 7px est strictement croissante sur [1;3[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution




Proprit




TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution




Proprit


Donc f est strictement croissante sur [0;2].



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution

2 Soit la proprit un < un+1 . Montrons par rcurrence quelleest vraie pour tout entier n.

Initialisation.

Comme u0 = 1 et u1 =pu0+1=

p2, on a u0 < u1.

Ainsi la proprit est initialise au rang 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution


Hrdit.

Il existe donc au moins un entier ktel que :

uk < uk+1 .

Montrons que la proprit reste vraie au rang k+1.On sait que la fonction f est strictement croissante sur [0;2]et que tous les termes de la suite (un) sont dans cet intervalle.Donc si uk < uk+1 alors f (uk )< f (uk+1) i.e

uk+1 < uk+2

La proprit reste donc vraie au rang k +1.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution


Conclusion.

La proprit est donc hrditaire et initialise au rang 0.

Elle est donc vraie pour tout entier n.

La suite (un) est strictement croissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Attention

Le sens de variation dune suite dfinie par rcurrence dpend de sonpremier terme u0.

x

un

Cf

y = x

u0x

un

Cf

y = x

u0



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigQuestion 1

Question 2

Question 3



Attention

Le sens de variation dune suite dfinie par rcurrence dpend de sonpremier terme u0.

x

un

Cf

y = x

u0

(un) croissante

u0

u1u2

x

un

Cf

y = x

u0

(un) dcroissanteu0u1u2

Retour


ExerciceQuestion 1Question 2Question 3

CorrigQuestion 1Question 2Question 3

ThorieSens de variation d'une suite

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