Exercicio 04 - Equação de Poisson Diferencas Finitas

7/25/2019 Exercicio 04 - Equao de Poisson Diferencas Finitas

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Universidade Federal do Esprito Santo

Centro tecnolgico

Programa de ps graduao em Engenharia Mecnica

Victor ui! "ripa

#ES$U%&$ '( E)U(%&$ '*FE#E+C*( 'E P$*SS$+ U,**-(+'$

M.,$'$S 'E *+C#EME+,$ +$ ,EMP$ *MP/C*,$ E C#(+01+*C$S$+

Vitria2 34 de maio de 3567


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1. INTRODUO:

( distri8uio de presso em reservatrios de petrleo de 8ai9a

compressi8ilidade pode ser simulada pela e:uao de Poisson;

p

t=a(

2p

x2+

2p

y2 )

$ pro8lema a8ordado < o pro8lema dos 4 poos de e9trao de petrleo= (

con>igurao 8?sica < mostrada da >igura 56 a8ai9o= 'evido @ simetria do pro8lema2

pode1se analisar apenas o :uadrante superior do mesmo=

Condies de contorno do problema:

Para o pro8lema analisado2 as condiAes de contorno so;

( derivada normal da presso < nula nas arestas Bdevido @ simetria do campo

de presso= Matematicamente2 tem1se;

p

n(x , y ,t)=0para(x , y ) R


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(s pressAes no poo inDetor B525 e nos poos produtores B626 so

conhecidas;

p (0,0, t)=pI

p (1,1, t)=pref

Condio inicial:

( condio inicial a ser adotada initas= (lil de velocidades no domnio em :uesto

utili!ando a ei de 'arc presente na descrio deste tra8alho=

( >im de cumprir este o8Detivos e o8Detivos mais detalhados2 >e!1se primeiro

um estudo terico do pro8lema em :uesto= Em posse das e:uaAes :ue regem o

pro8lema para os dois ma! a resoluo do pro8lema utili!ando os dois m


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2. DESENVOLVIMENTO TERICO DO PROBLEMA:

( seguir >a!1se mostra1se a teoria posteriormente utili!ada no cdigo=

Discretizao no espao:

'ivide1se o domnio mostrado no primeiro :uadrante da >igura 6 em m1

c


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pi , jk+1pi , j

k

t =a(pi1,j

k+12pi , jk+1+pi+1,j

k+1

hx2

+pi , j1

k+12pi , jk+1+pi , j+1

k+1

hy2 )

#earranDando os termos2 tem1se;

(ahy2 )p i , j1k+1+(ahx2 )p i1,j

k+1+( 2ahx2+2a

hy2+ 1

t)pi , j k+1+(ahx2 )p i+1,jk+1+(ahy2 )pi , j+1

k+1=( 1 t)p i , j k

Utili!ando1se a *nde9ao e9icogr?>ica2 tem1se;

(ahy2 )pInk+1+(ahx2 )pI1

k+1+(2ahx2+2a

hy2+ 1

t)pIk+1+(ahx2 )pI+1k+1+(ahy2 )pI+n

k+1=( 1 t)pIk

Pode1se veri>icar :ue os coe>icientes da e:uao acima so constantes para

todo *=

Fa!1se;

aI=2a

hx2+2a

hy2+ 1

t

bI=a

hx2

cI=a

hx2

dI=a

hy2

eI=ahy2

Colocando1se em linguagem matricial2 tem1se;

Ap=b

$nde a matri! ( < mostrada a8ai9o;


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a c e

b a c e

b === === ===

d === c e

d b a c

=== b a c

d b a

E o vetor dos termos independentes 8 < mostrado a seguir;

(

(==

=

(

==

=

(Mtodo de Crank-Nicolson

Segundo o m


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$nde fi , j representa a >uno linear de apro9imao de pi , j = (ssim

su8stituindo as e:uaAes an?logas ao mica2 tem1se;

(a2hy2 )pInk+1+(a2hx2 )pI1

k+1+( ahx2+ a

hy2+ 1

t)pIk+1+(a2hx2 )pI+1k+1+( a2hy2 )pI+n

k+1=( a2hy2 )pInk+(

(s condiAes de contorno so as mesmas para os dois casos= ( di>erena se

da na montagem da matri! dos coe>icientes Bapenas por:ue os coe>icientes so

di>erentes e na montagem do vetor dos termos independentes=

Condies de contorno:

Foram dadas condiAes de contorno de >lu9o nulo e condiAes de contorno de

valor prescrito= (m8as esto descritas a seguir;

1 Fl!o nlo:

(gora encontra1se as e:uaAes :ue compAe o sistema linear provindas da

condio de contorno de >lu9o !ero;

p

n(x , y ,t)=0para(x , y) R


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Esta condio de contorno pode ser avaliada para as :uatro >ronteiras do

domnio mostrada na >igura 56;

1"1 Fronteira in#erior: p

y (x ,0,t)=0 ;0erior

do domnio do pro8lema;

(ahy2 )pInk+1+(ahx2 )pI1

k+1+(2ahx2+2a

hy2+ 1

t)pIk+1+(ahx2 )pI+1k+1+(ahy2 )pI+n

k+1=( 1 t)pIk

+ote :ue os termos pIn na verdade no >a!em parte do domnio do

pro8lema2 poricientes so;

~eI=eI+dI=a

hy2

a

hy2=2

a

hy2

~dI=0


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Esta nova e:uao deve ser su8stituda no sistema para todo ponto 0


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1"% Fronteira es&erda:

( condio de contorno aplicada @ >ronteira es:uerda torna1se;

p

x

(y ,0,t)=0; I=kn+1(k 1)

(nalogamente2 a condio de contorno utili!ando apro9imao centrali!ada

>ornece;

pI1 pI+1

Portanto os novos coe>icientes se tornam;

~cI=cI+bI=a

hx2

a

hx2=2

a

hx2

~

bI=0

*sso < v?lido para I=kn+1(0 k m1)

1"' Fronteira direita:

( condio de contorno < a seguinte;

p

x(y ,1, t)=0 ; I=kn(k 0)

+ovamente2 utili!ando a analogia aos casos anteriores2 deve1se alterar os

coe>icientes de tal >orma;

~bI=bI+cI=

a

hx2

a

hx2=2

a

hx2

~cI=0


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*sso < v?lido para I=kn(1 k m) =

2 Valor presr!"o:

Finalmente avalia1se as condiAes de valor prescrito;

p1,1=pI

$ :ue implica :ue a e:uao re>erente ao ponto I=1 possuir? os

seguintes coe>icientes;

~aI=1

~

bI=0

~cI=0

~dI=0

E o termo do vetor independente tam8icientes da e:uao re>erente ao ponto I=N da

seguinte >orma;

~aI=1

bI=0

~cI=0


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~dI=0

E o termo do vetor independente tam8


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# IMPLEMENTAO:

( rotina gerada est? e9posta a8ai9o= Ela utili!a como entrada os parmetros o

nGmero de nos deseDado no ei9o 9 e no ei9o o incremento temporal e o tempo >inal

no :ual deseDasse visuali!ar a soluo= ( rotina gera como sada um gr?>ico onde

mostra a distri8uio de presso em um mapa de curvas e o campo de velocidade=

Coment?rios >oram >eitos no prprio cdigo;

function[A,pind,p]=diferencasfinitas_2D_transiente (n,m,delta_t,t)%Entradas do programa:%n o nmero de n!s no ei"o "%m o nmero de n!s no ei"o #%deta_t o incremento de tempo%t o tempo no $ual $ueremos a solu&o

%% Escol'a do mtdo de incremento temporal:% utiliou uma $uestdlg para a escol'a do mtodo de incremento no tempometodo_escol'ido = $uestdlg(*ual o mtodo a ser utiliado+, -todo de incremento no tempo, .mpl/cito,0ran13icolson,.mpl/cito)4

%% Atri5ui&o e c6lculo de constantes:1ma"=round(t7delta_t)4 %nmero de steps temporais para o5termos a solu&odese8ada9"=4 %comprimento do dom/nio do pro5lema em "9#=4%comprimento do dom/nio do pro5lema em #;=a7('#@2)7delta_t4 5i=a7('"@2)4

di=a7('#@2)4 ci=5i4 ei=di4 case(0ran13icolson) ai=a7('"@2)a7('#@2)7delta_t4 5i=a7(2>'"@2)4

di=a7(2>'#@2)4 ci=5i4

ei=di4end


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%% -ontagem da matri A%A matri A foi montada usando a fun&o Boeplitr=eros(3,)4r(,)=ai4r(2,)=5i4

r(n,)=di4A=toeplit(r)4

%atri5ui&o das condiCes de contorno:

fori=:n %fronteira inferior:

A(i,in)=A(i,in)di4%ronteira uperior:

A(3i,3in)=A(3i,3in)ei4 end fori=n,i>n2)=A(i>n,i>n2)5i4%fa ci=ci5i

if(iFn,(i)>n)=


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1ma"gmres=2(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))di>p(in,1)5i>p(i,1) ci>p(i,1)ei>p(in,1)4 end fori=2:n %A press&o p(.n) n&o e"iste e a e$ua&o

corrigida %com a condi&o de contorno inferior 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))5i>p(i,1) ci>p(i,1)(eidi)>p(in,1)4 end

fori=3n:3% a press&o p(.n) n&o e"iste e a e$ua&o

corrigida %com a condi&o de contorno superior 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))(diei)>p(in,1)5i>p(i,1) ci>p(i,1)4 end

fori=2>n:n:3n % a press&o p(.) n&o e"iste e a e$ua&o corrigida %com a condi&o de contorno direita 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))di>p(in,1) (5ici)>p(i,1)ei>p(in,1)4 end

fori=n:n:32>n% a press&o p(.) n&o e"iste e a e$ua&o

corrigida %com a condi&o de contorno es$uerda 5(i)=p(i,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))di>p(in,1) (ci5i)>p(i,1)ei>p(in,1)4 end

%E"istem dois casos especiais onde duas condiCes de contorno

%s&o necess6rias, s&o eles: .=n e .=3n 5(n)=p(n,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))(5ici)>p(n,1) (diei)>p(nn,1)4 5(3n)=p(3n,1)>(7delta_ta7('"@2)a7('#@2))(5ici)>p(3n,1) (diei)>p(3nn,1)4 end

5(,)=pi4

5(3,)=pref4 disp(1ma"1) %mostra o andamento do c!dico para o usuarioend


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%% -udana da nota&o le"icogr6fica para nota&o indicial cartesiana:pind=eros(m,n)4 %cria&o da matri $ue armaena as pressCes em seus%lugares geomtricos

for8=n:(8)>n,1ma")4endnome_planil'a=strcat(num2str(n), ",num2str(m),,num2str(1ma"),,metodo_escol'ido)4"ls?rite(-atri_de_pressCes,pind,nome_planil'a)4 %ala a matri depressCes em um%ar$uio "ls

%% 06lculo da elocidade%Nara o c6lculo da elocidade utiliase o resultado de press&o na nota&o%indicial:"=eros(m,n)4#=eros(m,n)4

%deido O condi&o de contorno de deriada de press&o em rela&o O normal%ser nula, temse:"(:,)=(pind(:,i)pind(:,i))7(2>'")4end

fori=2:m #(i,:)=;7mi>(pind(i,:)pind(i,:))7(2>'#)4end

%% N!s processameto%cria um gr6fico de curas de pressCes e do campo de elocidade"=[


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$ E%PERIMENTOS NUM&RICOS:

$ cdigo >oi e9ecutado v?rias ve!es nas mais variadas situaAes de modo a

identi>icar comportamentos no deseDados= (lguns >oram identi>icados e corrigidos

ou mitigados= ( seguir encontram1se algumas imagens geradas pela rotina=

a M


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c M


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(este de con)er*+ncia do mtodo Crank-Nicolson

( partir das imagens acima pode1se veri>icar :ue o me!1

se uma an?lise da IconvergJnciaK do meitos com nHmH65=

a Cran1+icolson com intervalos de tempo de 524 B3 steps

8 Cran1+icolson com intervalos de tempo de 523 B4 steps


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c Cran1+icolson com intervalos de tempo de 526 B65 steps

d Cran1+icolson com intervalos de tempo de 5254 B35 steps


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e Cran1+icolson com intervalos de tempo de 52564 B655 steps

Pode1se veri>icar :ue o m


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8 M


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d Minitas tem uma caracterstica pontual= 'evidoa este >ato a o8teno de gradientes de >unAes < um ponto delicado= Pode1se notar

a caracterstica pontual deste munoda >orma dos elementos utili!ados BnH65 e mH35 ou nH35 ou mH65= Para melhorvisuali!ao2 mostra1se as duas imagens a8ai9o;

Pode1se notar :ue os vetores da velocidade Bpor conse:uJncia o gradiente dapresso variam ra!oavelmente de acordo com o ponto em :ue se encontram=

,esposta re#inada


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( seguir2 encontra1se o campo de presso o8tido utili!ando1se uma malha re>inadaBnHmH45;

$8servao; a priori no e9istia a e9igJncia de plotar o campo de presso em L'2por isso todos os gr?>icos iniciais >oram >eitos utili!ando curva de nvel= Este Gltimogr?>ico >oi plotado em L' para mostrar a possi8ilidade de tal t


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' CONCLUSO:

Primeiramente2 pode1se notar :ue o cdigo criado < geniciente para

analisar casos com nm2 nHm e nNm2 8em como variados incrementos temporais=

(llu9o

constante e pode1se veri>icar a utilidade do merenas >initas

8idimensional=

'e acordo com as imagens mostradas acima pode1se perce8er alguns pontos

destac?veis= Estes esto descritos a seguir;

$ muno presso em

pontos pr9imos um ao outro=

$s campos de presso o8tidos >oram Bcomo esperado sim

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