Exercices MPSI Physique Premiere Periode

Exercices de Physique de premi`re priode. e ePhilippe Ribi`re e Anne scolaire 2009-2010 e

http://perso.orange.fr/philippe.ribiere

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Lyce J. Dautet e

MPSI 2009/2010

Ph. Ribi`re e

Table des mati`res eI Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

913 13 14 14 14 15 15 15 15

1 Analyse dimensionnelle. 1.1 Plan du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Question de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lintrt de lhomognit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e e e 1.5 Recherche de rsultat par analyse dimensionnelle. . . . . . . e 1.6 Vitesse des ondes dans une corde par analyse dimensionnelle. 1.7 Vitesse des ondes sonores et analyse dimensionnelle. . . . . . 1.8 Champignon atomique lors dune explosion nuclaire . . . . e

II

Optique gomtrique e e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1719 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 23 23 23 23 24 25

2 Approximation de loptique gomtrique, Loi de Snell-Descartes e e 2.1 Plan du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Question de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Lclat du diamant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.5 Projecteur au fond dun bassin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Une interprtation simplie du mirage . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.7 Le prisme ` 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.8 Incidence de Brewster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Dnition de la dviation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.10 Le mythe du hollandais volant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Le dtecteur de faux diamant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.12 Construction de Huygens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Indice dun liquide. Dapr`s Oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.14 Dviation par une sph`re. Dapr`s Oral. e e e . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Optique gomtrique dans un milieu inhomog`ne. Dapr`s Concours. e e e e 2.16 Rfraction atmosphrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3

http://perso.orange.fr/philippe.ribiere 3 Notion dobjet et dimage 3.1 Plan du Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Les lentilles minces sphriques e 4.1 Plan du Cours. . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Questions de cours . . . . . . . . . . . . 4.3 Vrai-Faux de cours . . . . . . . . . . . . 4.4 Construction doptique . . . . . . . . . 4.5 Position de lobjet et de limage . . . . . 4.6 Appareil photo jetable. Dapr`s Oral. . e 4.7 Modlisation de lappareil photo. Dapr`s e e 4.8 Doublet de lentille. Dapr`s concours. . . e 4.9 Mthode de Bessel. Dapr`s concours. . . e e 4.10 Etendeur de Faisceau. . . . . . . . . .

4 27 27 28 28 29 29 30 30 30 33 33 33 33 34 35 37 37 38 38 38 40 40 40 40 41 41 45 45 46 46 46 47 47 47 48 51 51 51 52

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5 Les miroirs sphriques e 5.1 Plan du Cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Vrai-Faux de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Construction doptique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Rtroviseur. Dapr`s oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5.6 Miroir sphrique. Dapr`s Oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5.7 Se voir dans un miroir plan. Dappr`s oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.8 Observation dun miroir clair. Dapr`s oral. e e e . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Image dun objet tendu a linni par un miroir sphrique. Dapr`s concours. e ` e e 5.10 Cavit optique confocale. Dapr`s concours. e e . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Les 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 instruments doptique. Plan du cours. . . . . . . . . . . . . . . . Questions de cours. . . . . . . . . . . . . Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . Lunette de Galile. Dapr`s concours. . . e e Microscope. Dapr`s concours. . . . . . . e Loeil et ses dfauts. e . . . . . . . . . . Lunette et collimateur. Dapr`s concours. e Lunette de vise ` linnie. . . . . . . . e a

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7 Les prismes et la dcomposition de la lumi`re. TD cours. e e 7.1 Dviation et dcomposition de la lumi`re par le prisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 7.1.1 Etude de la dviation de la lumi`re. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 7.1.2 Etude de la dispersion de la lumi`re. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010

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7.1.3 Ralisation dun spectroscope a prisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ` Questions du TP-cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

Electrocintique 1. e

5557 57 58 58 59 59 60 60 61 61 62 62 63 63 64 64 64 65 65 65 65 66 66 67 67 69 69 70 70 70 71 71 71 72

8 Rappel sur les quations direntielles, TD Maple. e e 8.1 Plan du cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Pour sentra ner, quation direntielle du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 8.3 Pour sentra ner, quation direntielle linaire du second ordre. . . . . . . . . . . . . e e e 9 Etude des circuits dans 9.1 Plan du cours . . . . 9.2 Questions de cours. . 9.3 Vrai-Faux de cours. . lapproximation des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rgimes quasi-stationnaires e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Les diples o 10.1 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Etude des circuits lectriques dans lapproximation des rgimes quasi-stationnaires e e 11.1 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Charges libres et courant lectrique. Dapr`s concours. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 11.5 Rsistance quivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 11.6 Rsistance quivalente et symtrie. Dapr`s oral. e e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Calcul de diple quivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 11.8 Fonctionnement des gnrateurs. Dapr`s oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 11.9 Gnrateur de Thvenin et Norton. Dapr`s oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 11.10Pont de Wheastone. Dapr`s oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 11.11La diode. Dapr`s concours. e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.12Modlisation dun transistor. Dapr`s concours. e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Etude du rgime transitoire dun circuit lectrique e e 12.1 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Circuit RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Circuit RL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Deux condensateurs chargs. Dapr`s Oral. . . . . . . e e 12.7 Charge dun condensateur. Dapr`s concours. . . . . . e 12.8 Circuit LC rel en signaux carrs. . . . . . . . . . . e e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010

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http://perso.orange.fr/philippe.ribiere 12.9 Dcharge dun condensateur dans un circuit RLC. e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Mecanique 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de coordonnes. e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7577 77 78 78 78 79 79 79 79 80 80 81 81 82 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 88 88 88 88 89 89 89 91 91 92

13 Cinmatique du point e 13.1 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Questions de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Mouvement a acclration constante. . . . . . . . . . . ` ee 13.5 Acclration subie sur une trajectoire circulaire. . . . . ee 13.6 Le mouvement hlico e dal. Etude dans les deux syst`mes e 13.7 Course de voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 Trajectoire plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9 Ma et son chien. Dapr`s concours. tre e . . . . . . . . 13.10Mouvement ` acclration centrale. . . . . . . . . . . a ee 14 Dynamique du point dans un rfrentiel galilen ee e 14.1 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Question de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Vrai-faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 La chute libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Le skieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 La balle de tennis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7 Le plongeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8 Le ressort et la masse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9 Ressort sur un plan inclin. . . . . . . . . . . . . . . e 14.10Ressort vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.11Le pendule pesant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.12Bille dans un bol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.13Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. . . . 14.14Poulies et corde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.15Deux ressorts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.16Voiture au sommet dune colline. . . . . . . . . . 14.17Enroulement dune corde sur une poutre cylindrique 14.18Electron dans les plaques dun condensateur. . . . . . 14.19Electron dans un champ magntique. . . . . . . . . . e 14.20Particule charge dans un champ lectromagntique. e e e 14.21Particule lectrise dans un champ lectromagntique e e e e

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15 Approche nergtique e e 15.1 Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Question de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010

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http://perso.orange.fr/philippe.ribiere 15.3 Vrai-Faux de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Le skieur. Approche nergtique . . . . . . . . . . . . . e e 15.5 Vitesse atteinte en bas dune descente. . . . . . . . . . 15.6 Le skieur et le remonte-pente. . . . . . . . . . . . . . . 15.7 Ordre de grandeur dans le sport. . . . . . . . . . . . . 15.8 Saut a llastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` e 15.9 Le ressort vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.10Etude nergtique et tude dune position dquilibre. . e e e e 15.11Deux ressorts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.12Le pendule pesant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.13Une bille dans un bol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.14Perle sur un cercle. Equilibre stable et instable. Dapr`s e 15.15Jeu deau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.16Perle sur un cercle, accroche ` un ressort e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Premi`re partie e Introduction

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Le but de ce recueil dexercices est de vous donner un objectif ou une perspective pour lanne, e mme si tous les exercices ne seront pas traits pendant lanne. Lors des sances de TD, je vous e e e e donnerai les exercices a chercher. ` Les exercices mentionns doivent tre cherchs avant le TD. Pour proter des sances de TD, e e e e il faut avoir vu ses dicults par rapport a lexercice et comprendre comment les surmonter. Le TD e ` peut tre une occasion de revenir sur un point de cours, une mthode de rsolution ou une technique e e e de calcul. Mais pour cela, ils doivent tre consciencieusement prpars. e e e Les exercices traits en cours et TD doivent tre refaits seuls, sans regarder la correction. e e Il faut vous auto valuer. Les exercices que je slectionne couvrent lensemble des connaissances et e e techniques a ma ` triser dans chaque chapitre. Ils constituent un prolongement du cours. Chaque chapitre est suivi dun ensemble de questions de cours possibles (mais la liste nest pas exhaustive et la formulation peut varier). Puis vient le Vrai-Faux de cours. Dans cet exercice, il faut corriger larmation si elle est fausse ou justier larmation si elle est vraie. Cet exercice sera systmatiquement corrig. Il permet de vrier que le cours est su et maitrise malgr une e e e e e formulation dirente de celle du cours. Puis viennent les exercices. Si vous avez besoin dexercices e simples,applications directes du cours, vous en trouverez dans ce recueil avec le symbole . Puis quand vous vous sentez prt, dautres exercices proches de ceux traits en cours vous sont proposs (et une e e e correction de chaque exercice est disponible sur simple demande). Enn si vous souhaitez approfondir vos connaissances, vous disposez dautres exercices, un peu plus diciles, reprs par le symbole . ee Ce recueil est donc un outil de travail qui nest utile que si vous vous lappropriez (comme toutes les connaissances.) Passons ` quelques conseils gnraux pour les preuves crites et orales (souvent issus des rapports a e e e e de concours) : 1. Le cours (qui comprends les exercices classiques et les TP) est la base de la connaissance. Le cours et les exercices doivent tre repris srieusement dun cours sur lautre (une simple lecture ne e e sut pas). Les probl`mes de concours sont souvent tr`s proches du cours. Dailleurs un rappor du e e concours centrale souligne quune bonne connaissance du cours permet aux candidats dobtenir des notes tout a fait satisfaisante. ` 2. Les commentaires sont faloriss par les correcteurs qui apprcient que les candidats prennent du e e recul face a leur rsultat. (Homognit, ordre de grandeur, pertinence physique, lien avec les ` e e e e connaissances personnelles,...) 3. Le jury sanctionne les gures incompl`tes et non soigns, labsence de numrotation des quese e e tions. Traiter les questions dans lordre. Encadrer les rsultats et soigner la prsentation, sauter e e des lignes, rayer proprement au besoin et ne raturer pas La clart du raisonnement est synoe nyme de clart de la raction. e e Passons ` quelques conseils plus spciques pour lpreuve orale : a e e 1. Pour la question de cours : Rappeler en deux mots le th`me de la question de cours. e Etre prcis dans ces rponses (dnition, thor`me), dire tout ce que lon sait sans stendre au e e e e e e del` du sujet. a Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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2. Pour lexercice : Resituer lexercice par rapport au cours et prciser les lois physiques a utiliser (en justiant le e ` choix.) Faire les calculs jusquau bout : Lordre de grandeur du rsultat est plus important que la e troisi`me dcimale ; lemploi dune calculatrice nest pas toujours indispensable bien quil faille e e lavoir sur soi. Conclure, faire un retour sur lexercice et commenter, prendre du recul. Penser au principe de pertinence : homognit et pertinence (par extrapolation au cas limite) du rsultat. il faut e e e e ragir devant un rsultat absurde ; lanalyse dimensionnelle doit tre spontanment utilise pour e e e e e tester la validit des relations obtenues. e 3. Saluer lexaminateur rel`ve de la r`gle de politesse, encore en usage nous semble-t-il. Par ailleurs, e e on prfrera la formule Bonjour Monsieur (ou Madame) au Bonjour trop familier... La tenue ee vestimentaire correcte tient de la mme r`gle, surtout pour de futurs cadres suprieurs. Arriver e e e a lheure est aussi une r`gle lmentaire. ` e ee 4. Bien tenir le tableau, propre et structur. Eviter de parler au tableau. Que pensez de certains e qui font des calculs au tableau en prenant soin de tourner le dos a lexaminateur, en lui masquant ` les calculs et en les commentant a voix basse, de mani`re rigoureusement incomprhensible. ` e e Demander toujours ` lexaminateur si vous pouvez eacer votre tableau. a 5. Ne pas rester blanc et muet. Si vous tes bloqu, cest un oral, chercher ` dialoguer avec e e a lexaminateur et surtout soyez tr`s attentif a ses indications. Nanmoins, rester sobre dans e ` e la prsentation : Il faut proscrire tout ce qui peut laisser croire a de la dsinvolture, celle ci e ` e tant souvent signe dimprcision et de manque de rigueur. e e Vous pouvez retrouver ce document, ainsi que les devoirs, les TP, et les projections de cours sur : http ://perso.orange.fr/philippe.ribiere http ://www.lyceedautet.fr Pour toute question, ou complment dinformation, vous pouvez prendre contact avec moi : e [email protected] [email protected]

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Chapitre 1 Analyse dimensionnelle.1.1 Plan du cours.

1. Les units du syst`me internationnal e e 1.1. Le m`tre m e 1.2. Le kilogramme kg 1.3. La seconde s 1.4. Lamp`re A e 1.5. Le Kelvin K 1.6. La Mole 1.7. La Candella 1.8. Importance du syst`me fondamental e 2. Lanalyse dimentionnelle 2.1. Les autres units e 2.2. Analyse dun probl`me e 2.2.1. Etude a posteriori : vrication dhomognit. e e e e 2.2.2. Etude a priori : recherche par homognit e e e 3. Les horizons de la physique

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1.2

Question de cours.

1. Dnir le syst`me MKSA. (Prciser seulement le sens de chacune des initiales). e e e 2. Quelle est limportance du syst`me MKSA ? e 3. Dnir la mole. e 4. Quelle est lunit du syst`me MKSA de la temprature ? e e e 5. Quelle est lunit dune nergie ? Donner son expression dans le syst`me MKSA. e e e 6. Quelle est lunit dune acclration ? Donner son expression dans le syst`me MKSA. e ee e 7. Quelle est lunit dune pression ? Donner son expression dans le syst`me MKSA. e e

1.3

Vrai-Faux de cours.d1 +d2 . d1 d2

1. La longueur d sexprime en fonction de deux autres longueurs d1 et d2 : d =

2. Lnergie de la mati`re est donne par E = m.c2 , avec c la vitesse de la lumi`re. e e e e 3. Lquation suivante P + gz = Constante, avec P la pression du liquide, z son altitude et sa e masse volumique, est raisonnable du point de vue de lhomognit. e e e 4. La vitesse dun uide est v = S des surfaces.1 5. Lexpression v dv = dp 1 p0 2(p2 p1 ) , S (1( S1 )2 )2

o` p dsigne des pressions, sa masse volumique et u e

est homog`ne. p dsigne une pression, v un volume massique e e

e 6. Lexpression du courant i dans lment de circuit peut tre i = i0 exp( t2 ) si t et dsignent ee e des temps. 7. Lexpression de la position dune masse accroche ` un l de longueur l dans le champ de e a pesanteur g peut tre x(t) = x0 cos(t) si t dsigne un temps et = g . e e l

1.4

Lintrt de lhomognit. e e e e e

Lnergie cintique dun solide en rotation est donne par E = 1 J 2 o` dsigne la vitesse de e e e u e 2 1 rotation du solide en rad.s . 1. Quelle est la dimension du moment dinertie J ?2 2. Un l`ve propose pour formule du moment cintique de la sph`re J, J = 5 m2 R avec m la masse ee e e du solide et R son rayon. Est-ce raisonnable ?

3. Le mme l`ve a trouv comme rsultat du probl`me de mcanique que lacclration a du solide e ee e e e e ee tait a = (M sin m)g o` M et m dsigne des masses et g la gravitation. Est-ce raisonnable du e u e M +m+ J point de vue de lhomognit ? e e e2 Rponse : J = 5 mR2 eR2

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1.5

Recherche de rsultat par analyse dimensionnelle. e

On consid`re un pendule pesant, constitu dune masse m et dun l de longueur l, accroch au e e e plafond dans le champ de pesanteur g = 9,8 m.s2 . Sans faire une tude mcanique du probl`me, dterminer par un raisonnement sur lhomognit, e e e e e e e lexpression de la priode T des oscillations du pendule en fonction de g, l et m. Commenter. e

1.6

Vitesse des ondes dans une corde par analyse dimensionnelle.

Dans une corde, une onde peut se propager. Lexprience a t ralise en terminale. La vitesse de e ee e e propagation de londe dpend de la tension T de cette corde et de la masse linique du l (masse e e par unit de longueur). e 1. Donner la dimension dans le syst`me international de la force T et de la masse linique . e e 2. Chercher lexpression de la vitesse de propagation c en fonction de T et : c T . 3. Discuter la cohrence du rsultat trouv dans sa dpendance en T et . e e e e Rponse : c eT

1.7

Vitesse des ondes sonores et analyse dimensionnelle.

1 La vitesse de propagation du son sexprime en fonction de = v dv , un coecient de compressidp bilit du gaz (o` v dsigne le volume massique et p la pression) et de sa masse volumique . e u e

1. Dterminer la dimension de . e 2. Donner lexpression de la vitesse a une constante pr`s. ` e Rponse : c = e1 ()1/2

1.8

Champignon atomique lors dune explosion nuclaire . e

On souhaite conna lnergie libre lors dune explosion nuclaire en fonction du rayon r(t) du tre e ee e champignon atomique. 1. Donner lexpression de lnergie E en fonction de r(t), t le temps, la masse volumique de lair. e 2. Que tracer graphiquement pour estimer E connaissant r(t). Rponse : E = r5 t2 e

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Deuxi`me partie e Optique gomtrique e e

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Chapitre 2 Approximation de loptique gomtrique, e e Loi de Snell-Descartes2.1 Plan du cours.

1. La lumi`re, dualit onde-corpuscule e e 1.1. Aspect ondulatoire de la lumi`re e 1.2. Aspect corpusculaire de la lumi`re e 1.3. Spectre lumineux 2. Les sources lumineuses, approche exprimentale e 2.1. Sources a spectre lumineux continu ` 2.2. Sources a spectre lumineux discret (` raies) ` a 2.3. Les Lasers 3. Approximation de loptique gomtrique, notion de rayon lumineux e e 3.1. Comment dnir un rayon lumineux ? e 3.2. Propagation de la lumi`re dans le vide e 3.3. Propagation de la lumi`re dans un milieu homog`ne et isotrope e e 3.4. Premi`re approche de la propagation de la lumi`re dans un milieu inhomog`ne e e e 4. Loi de la rection et de la rfraction e e 4.1. Loi de Snell Descartes 4.2. La rection totale e

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2.2

Question de cours.

1. Nommer les deux catgories de spectre vus en cours et prciser bri`vement dans chaque cas le e e e principe dmission de la lumi`re. e e 2. Dnir lindice n dun milieu homog`ne et isotrope (prciser aussi le sens de ces deux adjectifs). e e e 3. Quest ce quun dioptre ? Pourquoi adopte-on le mod`le du dioptre plan ? e 4. Ecrire la relation entre la longueur donde , la frquence , la priode T et la vitesse de londe e e lectromagntique c dans le milieu. e e 5. Pour un photon, exprimer lnergie E successivement en fonction de la longueur donde , la e frquence , la priode T, de la vitesse c de londe lectromagntique dans le milieu et la contante e e e e de Planck h. Donner lordre de grandeur de E pour des longueurs donde visibles. 6. Enoncer les lois de Snell Descartes pour un miroir plan. 7. Enoncer les lois de Snell Descartes relatives au rayon transmis ou rfract. e e 8. Enoncer les lois de Snell Descartes. 9. Rappeler le cadre de validit de loptique gomtrique. e e e 10. Calculer langle de rection totale sur le dioptre air (n=1) / eau (n=1,33) e

2.3

Vrai-Faux de cours.

1. La lumi`re visible correspond ` des longueurs donde comprises entre 400 et 800nm. e a 2. = 100nm correspond ` une lumi`re infra rouge. a e 3. Plus la longueur donde est faible, plus lnergie des photons correspondant est faible. e 4. La vitesse de la lumi`re est plus faible dans leau que dans lair. e 5. Le verre est un milieu non dispersif. 6. Au passage dun milieu dindice n1 a n2 > n1 , langle dincidence est suprieure a langle de ` e ` rfraction. e 7. Un rayon qui passe de lair ` leau peut tre totalement rchi. a e e e

2.4

Lclat du diamant . e

Lclat du diamant est li ` sa capacit a piger la lumi`re qui pn`tre a lintrieur. e ea e` e e e e ` e 1. Justier que la lumi`re pn`tre dans le diamant. e e e 2. Calculer iL , langle limite au-del` duquel la lumi`re est totalement rchie dans le diamant. a e e e1 Rponse : iL = arcsin( 2,4 ) = 4,298.103 Rad = 24,6. e

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2.5

Projecteur au fond dun bassin .

1. Quelle est la condition pour quun rayon passant de leau (indice ne = 1,33) a lair soit rfract. ` e e 2. Un bassin de profondeur d = 1,5 m est totalement rempli deau. Un projecteur, considr comme ee ponctuel, se situe au fond de ce bassin et met de la lumi`re de mani`re isotrope. Quel est le e e e rayon de la tche lumineuse forme a la surface de leau. a e `1 Rponse : 1. iL = arcsin( ne ) e

8,51.101 Rad 2. R = d tan iL

1,71m.

2.6

Une interprtation simplie du mirage . e e

La couche dair qui est juste au dessus dune route bitume tr`s chaude poss`de un indice tr`s e e e e lg`rement dirent que lair ordinaire. e e e Le rayon lumineux dirig vers la route subit une rexion totale sur cette couche dair surchau si e e e son angle dincidence est suprieur a 89 . e ` 1. Lindice de lair surchau est-il suprieur ou infrieur a lair normal ? e e e ` 2. Lair normale a un indice n = 1,0003, dterminer lindice de lair surchau. ` e e 3. A quel distance du point dincidence doit se tenir une personne situe a 1,65m au dessus du sol e ` sachant que la couche dair surchau est dpaisseur ngligeable, pour observer le phnom`ne ? e e e e e Interprter alors le mirage de la route mouille et commenter les rsultats obtenus. e e e Rponse :2. n2 = 1,00015 et D = eh tan( iL ) 2

94,5m.

2.7

Le prisme ` 90 . a

Le prisme, dessine gure 2.1, dont la base est un triangle isoc`le, est caractris par langle e e e e adjacent aux deux cts de mme longueur, appel angle du prisme ici not A. Le prisme est utilis oe e e e e de tel mani`re ` ce que le plan dincidence soit parall`le ` la base du prisme. e a e a 1. Quel doit tre lindice du verre pour que le prisme a 90 dvie la totalit de la lumi`re. (Penser e ` e e e a discuter chaque interface). ` 2. Ce syst`me fonctionne-t-il dans leau ? e 3. Quel peut tre lutilisation dun tel syst`me ? e e 1. La rflexion totale est possible si n > 1,4, ce qui est possible avec le verre. e

2.8

Incidence de Brewster.

Un dioptre plan spare lair dun milieu dindice n = 1,5. Pour quelle valeur de langle dincidence, e le rayon rchi est-il perpendiculaire au rayon rfract. e e e e (En deuxi`me anne, vous dcouvriez la proprit surprenante de ce cas de gure.) e e e ee n2 1 Langle i1 doit ^tre tel que sin2 i1 = n2 +n2 ou tan i1 = n2 e n11 2

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Fig. 2.1 Le prisme

2.9

Dnition de la dviation. e e

On appelle dviation dun rayon lumineux passant dans un syst`me optique langle dont il faut le e e faire tourner pour le superposer avec le rayon mergent. Cf. gure 2.2. Calculer langle de dviation e e dans le cas de la rexion et de la rfraction. e e

Fig. 2.2 Dviation de la lumi`re e e Dr = 2i et Dt = arcsin( n1 sin i) i n2

2.10

Le mythe du hollandais volant.

Par temps de brume, dans les mers chaudes, par exemple ` proximit du triangle des Bermudes, a e lorsque la brume tombe et que lair devient frais, certains marins ont vu un bateau ottant au dessus Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e

http://perso.orange.fr/philippe.ribiere de la brume. Peut on trouver une explication rationnelle ?

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2.11

Le dtecteur de faux diamant. e

Du verre dindice n = 1,7 est taill a la mani`re dun diamant, pour fabriquer des bijoux a bas e` e ` cot. u 1. Calculer langle de rexion totale en prcisant bien le sens de la lumi`re. Comparer au cas du e e e diamant o` nd = 2,4. u 2. Dans leau, le faux diamant perd son clat justier. e

2.12

Construction de Huygens.

Considrons un rayon qui arrivent sur un dioptre en un point M. e Tracer de deux sph`res de centre M et de rayon 1/n1 et 1/n2 . Le rayon coupe la sph`re de rayon 1/n1 e e en I1 . Tracer du plan (donde) tangeant a cette sph`re, il coupe le dioptre en K. Tracer du plan donde ` e passant par K, tangeant a la seconde sph`re de rayon 1/n2 . ` e Montrer que la construction de Huygens permet de retrouver les lois de Descartes concernant la rexion et la rfraction. e e

2.13

Indice dun liquide. Dapr`s Oral. e

Un faisceau laser plac en S traverse une cuve transparente remplie dun liquide dindice n, avant e de frapper un cran en S. Dans cette cuve, on plonge une petite cuve faite dun verre dindice n > n, e les faces de cette petite cuve sont parall`les et tr`s rapproches. Elles dlimite un volume dair dont e e e e lindice sera pris gale a 1. e ` Les faces de la petite cuve tant primitivement perpendiculaires a laxe SS , on fait tourner cette e ` petite cuve dun angle dans un sens ou dans lautre, autour dun axe perpendiculaire au plan de la gure. On constate que limage S disparait pour || > 0 . 1. Expliquer ce phnom`ne, et montrer que la mesure de 0 permet de dterminer n. e e e 2. Pour 0 = 48 36 , calculer n. 3. Comment eectuer la mesure de 0 an de minimiser lerreur exprimentale. e

2.14

Dviation par une sph`re. Dapr`s Oral. e e e

Un rayon monochromatique se propage dans une sph`re homog`ne transparente dindice n et apr`s e e e avoir subi p rexions, il merge dans la direction u. e e 1. Faites un schma pour un rayon mergeant apr`s une rexion. e e e e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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2. Calculer la dviation du rayon mergent par rapport au rayon incident. On exprimera en e e fonction de i, langle dincidence et r langle de rfraction. e 3. En dduire lexpression pour de pour p rexions. e e 4. Chercher a quelles conditions cette dviation passe par un extremum. ` e 5. Calculer la dviation extrmale pour p = 1 et n = 1,33. e e 6. Montrer que passe par un minimum si n > 1.

2.15

Optique gomtrique dans un milieu inhomog`ne. Dapr`s e e e e Concours.

Soit un milieu transparent, strati, constitu de couches homog`nes dindices ni , limites par des e e e e plans parall`les au plan xOy. On consid`re alors un rayon lumineux traversant ce milieu, en utilisant e e les notations de la gure 2.3 ci dessous.

Fig. 2.3 Milieu strati e 1. Montrer que la trajectoire est globalement plane. Quelles relations lient les indices aux angles dincidences correspondants ? Quelle est donc la proprit de la grandeur ni sin i ? ee Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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2. On suppose que les couches sont innement minces et que lindice est une fonction continue de z. Une source lumineuse S, ponctuelle, de coordonnes (0; 0; z0 ) emet un rayon vers les x croissants, e lg`rement inclin sur lhorizontale. e e e Considrons un lement dl de ce rayon, de coordonnes dx et dz. Etablir la relation liant n(z), e e e dz n0 = n(zO ) et dx . 3. Pour lair et pour des altitudes faibles, au voisinage du sol, on suppose que n cro linairement t e avec z quand le sol est tr`s chaud : n(z) = n0 + (z z0 ). edz Montrer que dx = 2(zz0 ) . n0 (On utilisera la fait que (1 + )

1 + pour 0. 2. Justier que si = 0, = 0. 3. Justier qualitativement pourquoi dpend de la temprature. e e 4. Soit n0 lindice au sol. Etablir la relation = (n0 1) tan().

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Chapitre 3 Notion dobjet et dimage3.1 Plan du Cours.

1. Source lumineuse et rcepteur de lumi`re e e 1.1. Les sources de lumi`re e 1.2. Les rcepteurs de lumi`re e e 2. Notion dobjet et dimage 2.1. Exemple du miroir plan 2.1.1. Objet rel, image virtuelle e 2.1.2. Objet virtuel, image relle e 2.2. Cas gnral, syst`me dioptrique et catadioptrique e e e 2.2.1. Syst`me dioptrique e 2.2.2. Syst`me catadioptrique e 3. Stigmatisme et aplantisme dun syst`me optique centr e e e 3.1. Dnitions e 3.2. Stigmatisme et aplanatisme approch dans les conditions de Gauss e 3.3. Elments caractristiques dun syst`me optique centr dans les conditions de Gauss e e e e

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3.2

Questions de cours.

1. Dnir stigmatisme, aplantisme et un syst`me optique centr. e e e e 2. Comment distinguer une image relle dune image virtuelle ? O` se situe les images viruelles e u pour un miroir ? 3. Dnir les conditions de Gauss et prciser leur intrt pour les syst`mes optiques centrs. e e ee e e 4. Dnir le foyer objet dun syst`me optique. Dnir le foyer image dun syst`me optique. e e e e 5. Que dire dun rayon passant le foyer objet de la lentille ?

3.3

Vrai-Faux de cours.

1. Dans les conditions de Gauss, ltude se limite aux rayons paraxiaux, i.e. peu inclins et peu e e carts par rapport a laxe optique. e e ` 2. Un objet rel ` linni a son image au foyer image F. e a 3. Un objet ponctuel a linni a son image dans le focal image. ` 4. Si un syst`me centr est stigmatique, alors il est aplantique. e e e 5. Le syst`me est approximativement stigmatique signie quil donne dun objet ponctuel une tche e a de petite taille par rapport au dtecteur utilis. e e

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Chapitre 4 Les lentilles minces sphriques e4.1 Plan du Cours.

1. Le mod`le des lentilles minces sphriques. e e 1.1. Modlisation e 1.2. La lentille convergente 1.3. La lentille divergente 2. Mthode de construction du trajet dun rayon lumineux e 2.1. Lentille convergente 2.1.1. Image AB dun objet AB 2.1.2. Etude dun rayon quelconque 2.1.3. Construction dun faisceau de lumi`re e 2.2. Lentille divergente 2.2.1. Image AB dun objet AB 2.2.2. Etude dun rayon quelconque 3. Relation de conjugaison 3.1. Formules de Newton, origine aux foyers 3.2. Formules de Descartes, origine au centre O

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4.2

Questions de cours

1. Que signie le terme lentille mince ? 2. Dnir les conditions de Gauss pour une lentille mince. e 3. Que permettent dobtenir les conditions de Gauss pour les lentilles ? 4. Enoncer puis dmontrer la formule de conjugaison de Newton pour les lentilles minces. e 5. Enoncer la formule de conjugaison de Descartes pour les lentilles minces Les dmontrer a partir e ` des formules de Newton. 6. Dmonter la formule du grandissement de Descartes ` partir dun schma (sans passer par les e a e formules de Newton) 7. Un objet AB de 1cm est plac a une distance de 20cm avant la lentille de focale f = 5cm. e` (a) Faire un schma (sans respecter prcisment lchelle) et construire limage A B . e e e e (b) A laide des formules de conjugaison de votre choix, calculer la position ainsi que la taille de limage. 8. Un objet AB de 1cm est plac a une distance de 10cm avant la lentille de focale f = 5cm. e` (a) Faire un schma (sans respecter prcisment lchelle) et construire limage A B . e e e e (b) A laide des formules de conjugaison de votre choix, calculer la position ainsi que la taille de limage.

4.3

Vrai-Faux de cours

1. Une lentille mince sphrique poss`dent un stigmatisme et un aplantisme rigoureux dans les e e e conditions de Gauss. 2. Lentille mince signie lentille ` bord mince. a 3. Limage par une lentille dun objet ponctuel a linni se situe en F, foyer image objet. ` 4. Un objet ponctuel en F, foyer objet dune lentille, se situe ` linnie, sur laxe optique. a 5. Une lentille convergente donne dun objet rel une image relle. e e 6. La distance minimale entre objet et image pour une lentille convergente est 4f .

4.4

Construction doptique .

Prciser dans chaque cas si lobjet et limage sont rel(le) ou virtuel(le). Donner aussi le signe e e du grandissement et comparer || a 1. ` Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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4.5

Position de lobjet et de limage .

1. O` est situe limage dun objet rel situ a 20cm dune lentille de focale f = 5cm ? u e e e` 2. Une lentille de focale f = 5cm donne une image virtuelle, ` 10cm de la lentille, o` est situ a u e lobjet ? 3. Un objet virtuel situ a 5cm de la lentille donne une image relle, ` 50cm de la lentille. Quelle e` e a est la focale de cette lentille ?

4.6

Appareil photo jetable. Dapr`s Oral. e

Dans les appareils photos jetables, la distance entre la lentille objectif et la pellicule est xe, et e correspond ` une mise au point ` linni. a a 1. O` est situ la pellicule par rapport a la lentille. u e ` 2. Sur la notice de lappareil, il est dit que tout objet entre D = 3 m et linni peut tre photoe graphi. En dduire la taille dun grain de la pellicule, sachant que le diam`tre de la lentille est e e e d = 3cm. (Indication : faire un schma pour un objet sur laxe optique). e

4.7

Modlisation de lappareil photo. Dapr`s Oral . e e

Lobjectif de lappareil photo est assimilable en premi`re approximation ` une lentille de focale e a f = 5 cm. La pellicule est une plaque rectangulaire centre sur laxe optique, de dimension 24 36 e mm. La mise au point est initialement faite ` linni, la pellicule est place en un point nomm P0 . a e e 1. A quelle distance de lobjectif se trouve la pellicule ? 2. De combien faut-il dplacer la plaque an de photographier une personne situe a 5m de lobe e ` jectif ? (Faire un schma.) e 3. Quelle est alors la dimension de la portion de plan photographi ? e 4. La mise au point ne permet pas de faire varier la distance entre lobjectif et la plaque de plus de 5mm. Quelle est la distance minimale dun objet par rapport a lobjectif. ` 5. Que permet de faire varier le diaphragme de lobjectif ? 6. Que permet de faire varier lobturateur ? Rponse : 2. 0,05cm 3. 2,38 3,56m 4. OA = 55cm e

4.8

Doublet de lentille. Dapr`s concours. e

Un doublet de lentille est un ensemble de deux lentilles non accoles, traverses successivement par e e la lumi`re. La premi`re lentille L1 a une focale f1 = 2cm, la seconde lentille L2 une focale f2 = 3cm. e e Les deux lentilles sont places de telles mani`re a ce que O1 O2 = 6cm. e e ` Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e

http://perso.orange.fr/philippe.ribiere 1. Prciser si les lentilles sont convergentes ou divergentes. e 2. Dessiner a lchelle le doublet de lentille. ` e

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3. Un objet AB est situ a une distance O1 A = 4cm. Par le dessin, prciser la position de limage e` e intermdiaire A1 B1 ainsi que de limage nale A B . Pour cela, donner O1 A1 et O2 A . Donner le e grandissement global. 4. Retrouver par le calcul la position de limage intermdiaire, de limage nale et le grandissement e global. 5. Sur une nouvelle gure a lchelle, tracer deux rayons parall`les a laxe optique. Ces deux rayons ` e e ` a la sortie du doublet coupe laxe optique en un point appel foyer image F de la lentille ` e quivalente au doublet. Justier cette appellation. Dterminer graphiquement la position de F e e par rapport a O2 . ` 6. Par le calcul, retrouver la position de F . 7. Sur une nouvelle gure, dterminer la position du foyer objet F de la lentille quivalente au e e doublet par rapport a O1 . ` 8. Par le calcul, retrouver la position de F . 9. Dterminer la position et la vergence de la lentille quivalente au doublet. e e1 2 3. et 4. AB A1 B1 A B . O1 A1 = 4cm O2 A = 1,2cm = 1 .2 = 0,6. 5. et 6. L1 L2 Doublet Doublet F soit encore F1 F . O2 F 1,7cm.7. et 8. F soit encore L1 L2 F F2 . O1 F 2,57cm.9. V = F 2 = 0,29. F

L

L

4.9

Mthode de Bessel. Dapr`s concours. e e

Lobjet AB et lcran sur lequel est observ limage A B , sont xs, et distants de D. On cherche e e e a obtenir une image nette A B de lobjet sur lcran a laide dune lentille L, de focale f . ` e ` 1. Faut il choisir une lentille convergente ou une lentille divergente ? 2. p dsigne la distance OA. Trouver lquation dont p est solution. e e 3. Montrer que si D Dmin que lon prcisera, il existe deux positions possibles de la lentille e repres par O1 et O2 de L. ee 4. Dterminer les deux solutions et les reprsentes graphiquement. e e e 5. Exprimer f en fonction de D et d = O1 O2 . 1. Lobjet et limage sont rels, il faut donc une lentille convergente. e 2. En exploitant la relation de conjugaison et le fait que AA = D, on trouve que p doit vrifier lquation p2 + Dp + Df = 0. e e 3. Les solutions existent seulement si = D2 4Df 0 soit D 4f . 4. p1 = D+ et p2 = D . Les deux solutions ngatives sont pertinentes car elles e 2 2 corrrespondent ` un objet rel. a e 5. f=(D2 -d2 )/4D Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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4.10

Etendeur de Faisceau.

Un tendeur de faisceau est constitu de 3 lentilles minces L1 , L2 et L3 , de centre optique respectif e e O1 , O2 et O3 , et de focale respective f1 > 0, f2 < 0 et f3 > 0. On pose = O1 O2 et = O2 O3 . Le syst`me est afocale, ce qui signie que limage dun objet a linni est ` linni. e ` a 1. Quelles sont les lentilles convergentes et divergentes ? 2. Le syst`me est il dioptrique ou catadioptrique ? e 3. Quelle(s) condition(s) sur la position des lentilles doit (doivent) tre vrie(s) an dobtenir un e e e syst`me afocal ? e (Indication : Quels points doit conjuguer la lentille L2 ?) 4. Ecrire une relation entre , et les focales. 5. Connaissant le rayon re du faisceau de lumi`re entrant, calculez le rayon rs du faisceau en sortie. e (Indication : Faites un dessin soign.) e 6. Exprimez en fonction de rs /re et des focales. 7. A.N. pour f1 = 20 mm, f2 = 20mm, f3 = 200mm et rs /re = 20 8. Calculez lencombrement du syst`me. e1 2 3 Rponse : 3. A F1 F3 A . 4. e

L

L

L

1 f3

1 f1

=

1 . f2

5.

rs re

=

f3 f1 f1 f3

6. = f1 + f2

f1 f2 rs f3 r e

7. = 40mm ( = 190mm) 8 230mm.

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Chapitre 5 Les miroirs sphriques e5.1 Plan du Cours.

1. Les miroirs sphriques. e 1.1. Le miroir convergent ou concave 1.2. Le miroir divergent ou convexe 2. Mthode de construction du trajet dun rayon lumineux e 2.1. Miroir concave 2.1.1. Image AB dun objet AB 2.1.2. Etude dun rayon quelconque 2.2. Miroir convexe 2.2.1. Image AB dun objet AB 2.2.2. Etude dun rayon quelconque 3. Relation de conjugaison 3.1. Formules de Newton, origine aux foyers 3.2. Formules de Descartes, origine au sommet S 3.3. Le cas limite du miroir plan

37


38

5.2

Questions de cours.

1. Dessiner puis schmatiser un miroir sphrique concave. Prciser en particulier la position du e e e centre et du foyer. 2. Dessiner puis schmatiser un miroir sphrique convexe. Prciser en particulier la position du e e e centre et du foyer. 3. Enoncer puis dmontrer la formule de conjugaison de Newton pour les miroirs sphriques. e e 4. Enoncer la formule de conjugaison de Descartes pour les miroirs sphriques. Les dmontrer ` e e a partir des formules de Newton. 5. Dmonter la formule du grandissement de Descartes ` partir dun schma (sans passer par les e a e formules de Newton). 6. Un objet AB de 1cm est plac a une distance de 20cm dun miroir concave de rayon R = 5cm. e` (a) Faire un schma (sans respecter prcisment lchelle) et construire limage A B . e e e e (b) A laide des formules de conjugaison de votre choix, calculer la position ainsi que la taille de limage. 7. Un objet AB de 1cm est plac a une distance de 20cm dun miroir convexe de rayon R = 5cm. e` (a) Faire un schma (sans respecter prcisment lchelle) et construire limage A B . e e e e (b) A laide des formules de conjugaison de votre choix, calculer la position ainsi que la taille de limage.

5.3

Vrai-Faux de cours

1. Les miroirs obissent aux lois de Snell Descartes de la rection. e e 2. Pour les miroirs, il nest pas ncessaire de se placer dans les conditions de Gauss. e 3. Un miroir concave est aussi appel miroir convergent, il fait diverger un faisceau de lumi`re e e incident parall`lement. e 4. Le miroir convergent a un rayon de courbure SC = R > 0. 5. Le miroir convexe a un foyer virtuel. 6. Pour un miroir convergent, limage dun objet est renverse si lobjet est rel. e e 7. Un rayon qui passe par S, sommet du miroir, nest pas dvi. e e 8. Le foyer objet et image sont confondus pour les miroirs concaves. 9. Une image est visible dans le miroir plan si lobjet est face a ce miroir. `

5.4

Construction doptique.

Prciser dans chaque cas si lobjet et limage sont rel(le) ou virtuel(le). Donner aussi le signe e e du grandissement et comparer || a 1. ` Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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40

5.5

Rtroviseur. Dapr`s oral. e e

Un rtroviseur de voiture est assimilable ` un miroir sphrique convexe de vergence V = 2, le e a e diam`tre d de lobjet est 12 cm (` ne pas confondre avec le rayon de courbure du miroir). e a 1. Calculer la position de limage dun objet situ a 20m du miroir et le grandissement. e` 2. Ce rtroviseur est observ par loeil du conducteur (attentif) plac a 1m. Calculer le rayon R du e e e` champ de vision a 20 m du rtroviseur. ` e 1. SA = 0,489m image virtuelle, visible dans le miroir. 2. La plus grande image visible est celle dont les rayons passent par le bord du miroir. R = A Bmax = 3,72m.

5.6

Miroir sphrique. Dapr`s Oral. e e

1. Dnir les notions suivantes : stigmatisme, aplantisme et condition de Gauss. e e 2. Calculer le rayon de courbure R dun miroir sphrique pour quil donne dun objet rel plac ` e e ea 10 m du sommet, une image droite et rduite dun rapport 5. e 3. Prciser la nature de ce miroir. e 4. Un objet est plac dans un plan orthogonal ` laxe optique du miroir, au point C. O` se trouve e a u son image ? 5. Calculer le grandissement du miroir dans ce dernier cas. 2. 3. 4. 5. Le rayon de courbure du miroir est R = 5m. Il sagit donc dun miroir convexe ou divergent. C est son propre conjuqu. e Le grandissement est alors = 1.

5.7

Se voir dans un miroir plan. Dappr`s oral. e

Deux personnes mesurent respectivement 1,60m et 1,80m. Leur visage mesure 25 cm de hauteur, leurs yeux tant situs au milieu du visage (cest eectivement le cas !). Elles veulent toutes deux e e pouvoir voir leur visage dans le miroir. A quelle distance du sol doit tre plac le bas du miroir et quelle doit tre sa taille ? e e e (Indication : tracer les rayons limites arrivant sur le miroir.) Rponse : La personne la plus petite impose pour voir le bas de son visage que le bas e du miroir soit a 141,25cm du sol et la personne la plus grande impose que le miroir mesure ` 32,5cm pour voir lui aussi le dessus de sa t^te. e

5.8

Observation dun miroir clair. Dapr`s oral. e e e

Une source modlise par un disque lumineux de centre A et de diam`tre B1 B2 = 2cm, est place e e e e devant un miroir sphrique concave de rayon R = 30cm. e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e

http://perso.orange.fr/philippe.ribiere 1. Le disque est-il une source primaire ou secondaire de lumi`re. e

41

2. La source est place au milieu de FC. Par un schma puis par le calcul, dterminer la position e e e et la taille de limage de la source. 3. O` faut-il placer sont oeil pour voir limage, la dcrire. u e B1 B2 = 4cm

5.9

Image dun objet tendu ` linni par un miroir sphrique. e a e Dapr`s concours. e

Le diam`tre du soleil est d = 1,4.109 m et la distance terre soleil D = 1,5.1011 m. e 1. Quel est le diam`tre angulaire du soleil ? e On fait une image du Soleil a laide dun miroir sphrique convergent de rayon de courbure 1 m. ` e La taille du miroir est donne par son diam`tre 10 cm. e e 2. A quelle position doit on placer lcran pour que limage du soleil soit nette ? e 3. Quelle est la dimension de la tche lumineuse obtenue en plaant un cran dans un plan ` 50 a c e a cm en avant du miroir ? 4. Quelle est la dimension de la tche lumineuse obtenue en plaant un cran dans un plan a 1 m a c e ` en avant du miroir. On ngligera dabord louverture angulaire , avant de faire le calcul exact. e 5. Les jours dt, la puissance surfacique reue par la terre est de PS = 1400 W.m2 . Calculer la ee c puissance Pe reue par unit de surface par lcran situ ` 50 cm. c e e ea4 6. Sachant que le miroir rmet cette nergie sous forme de rayonnement Pe = 2(Te4 T0 ) avec ee e Te la temprature de lcran, T0 la temprature ambiante prise ici a 27 C, et la constante de e e e ` 8 2 4 Stephan, = 5, 7.10 W.m .K . Estimer la temprature de lcran. e e

1. 2. 3. 4. du 5. 6.

Le diam`tre angulaire du soleil vu de la terre est = 9,33.103 Rad. e Lcran doit etre plac dans le plan focal image du miroir. e ^ e A B = tan SF = 4,67mm. Limage du soleil sur lcran est de 10cm ou 10,9cm en tenant compte du diam`tre angula e e soleil. 2 La puissance reue par unit de surface est Pe = PS . R2 = 6,42.105 W.m2 . c e r La temprature de la zone claire est Te = 1541K. e e e

5.10

Cavit optique confocale. Dapr`s concours. e e

Pour former une cavit optique, deux miroirs concaves de mme rayon R sont mis face a face, e e ` distants de S2 S1 = D. (Attention : M1 dsigne le miroir a droite de la cavit puisque cest ce miroir e ` e qui rchie en premier la lumi`re.) Le point 0 dsigne le milieu de la cavit. Une source de lumi`re e e e e e e est place en A, en x = OA et met un rayon de lumi`re vers le miroir M1 . e e e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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1. En utilisant les relations de conjugaison de Newton, trouver une relation liant x, R et D an M1 M2 que A soit sa propre image apr`s rexion sur M1 et M2 : A A1 A = A. e e 2. Discuter lexistence des solutions de cette quation si D = R. e 3. Que dire dans le cas particulier dune cavit confocale, o` les foyers des deux miroirs sont e u confondus, F1 = F2 ? 4. Dans le cas de la cavit confocale, tracer le parcourt dun rayon initialement parall`le a laxe e e ` des deux miroirs. 5. Toujours dans le cas de la cavit confocale, tracer le parcourt dun rayon quelconque. e 1. En combinant les deux relations de conjugaison de Newton, la relation est (DR)(x2 D2 2RD ) = 0. 4 2. Si D = R, x nadmet de solution que si D > 2R. 4. Si F1 = F2 alors D = R, tous les points de laxe sont leur propre conjugu, ce e que les questions 5 et 6 permettent de vrifier. e

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Chapitre 6 Les instruments doptique.6.1 Plan du cours.

1. Description de loeil. 1.1. Description de loeil emmetrope. 1.2. Modlisation de loeil. e 1.3. Les dfauts de loeil. e 2. Le syst`me oeil + loupe 2.1. Intrt dune loupe. e ee 2.2. Profondeur de champ de la loupe. 3. La lunette de vise. e 3.1. Description de la lunette de vise. e 3.2. Lunette de vise a frontale xe. e ` 3.3. Lunette astronomique. 3.4. Jumelle de thatre. e

45


46

6.2

Questions de cours.

1. Comment modliser simplement loeil normal ou emmetrope ? Dnir entre autre le Ponctum e e Proximum et le Ponctum Remotum. 2. Sans calcul, prciser lintret dune loupe pour loeil de lutilisateur. e e 3. Dnir un syst`me afocal, prsenter la marche dun faisceau lumineux en prenant soin de prciser e e e e la position de limage intermdiaire. e 4. Quest ce quune lunette de vise a frontale xe ? Donner ses caractristiques en utilisant une e ` e modlisation simple avec deux lentilles : une lentille oculaire et une lentille de champ. e

6.3

Vrai-Faux de cours.

1. Loeil normal voit sans accomoder les objets ou image situe au Ponctum Proximum. e 2. Pour une utilisation sans fatique de loeil normal, limage founie par linstrument doptique doit etre situe a linni. e ` 3. Loeil voit plus de dtail lorsque lobjet ou limage quil regarde est situe au Ponctum Proximum. e e 4. La latitude de mise au point dun instrument doptique est la distance de dplacement de lobjet e an que limage nale passe pour loeil du Ponctumm Proximum au Ponctum Remotum. 5. Avec deux lentilles, limage nale obtenue est renverse. e 6. Une lunette afocale peut sutiliser indiremment dans les deux sens. e 7. Dcrire le principe de la mthode dautocollimation. e e

6.4

Lunette de Galile. Dapr`s concours. e e

Une lunette de Galile est forme dun objectif assimilable ` une lentille convergente L1 , de focale e e a ` f1 = 50 cm et dun oculaire assimilable a une lentille divergente L2 , de focale f2 = 5 cm. Lensemble de ces deux lentilles doit constituer un syst`me afocale. e 1. Quelle est la position relative des deux lentilles ? 2. Dessinez la marche dun faisceau lumineux issu dun point situ a linni et vu depuis O1 sous e` langle . 3. Dterminez le grandissement angulaire de la lunette, dni par le rapport de langle sous lequel e e limage de lobjet est vue a travers la lunette et de langle sous lequel lobjet est vu a loeil nu ` ` depuis O1 . 4. Sous quel angle voit-on a travers la lunette une tour de 10 m situe a 2 km. Peut on distinguer ` e ` 4 un chat (de taille 20 cm) sur cette tour (min oeil = 10 Rad) ? 5. Lobservateur curieux ou maladroit prend la lunette rgle dans le sens inverse. Il vise la tour. e e Sous quel angle appara t-elle ? Rponse : 1. F1 = F2 3. G = e Lyce J. Dautet e

= 10 4. = G. = 5.102 Rad, 103 Rad 5. = 5.104 Rad MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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6.5

Microscope. Dapr`s concours. e

Un microscope est modlis par deux lentilles minces convergentes de mme axe optique. Lune e e e L1 (objectif) de distance focale f1 = 5 mm, lautre L2 (oculaire) de distance focale f1 = 25 mm. e e F1 F2 = l = 25 cm. Loeil est plac au foyer image F2 de loculaire. On tudie une cellule en culture (objet AB), dans un plan de front, A tant situ sur laxe optique. e e 1. O` doit tre situ le point A pour que loeil eectue lobservation sans accommoder ? u e e 2. Reprsenter alors la marche dun pinceau lumineux troit issu du point B. (Ne respecter pas les e e chelles !) e 3. Soit langle sous lequel loeil voit limage dnitive de AB a travers le microscope et langle e ` sous lequel il apercevrait lobjet sans se dplacer en labsence de microscope. Calculer G = . e 4. Dterminer et construire la position des foyers F et F du microscope. Calculer la distance focale e f du microscope. F Rponse :1. O1 A = 5,1mm ou F1 A = 0,1mm 3. 620 4. f = F 2 = 156mm. e

6.6

Loeil et ses dfauts. e

Un oeil au repos, assimilable a une lentille mince convergente de 62,5 dioptries, a son plan focal ` image a 1 mm derri`re la rtine. Quel est son dfaut ? De quel type de correction (convergente ` e e e ou divergente) a-t-il besoin ? 1 On appelle degr damtropie R = OP o` PR dsigne le ponctum remotum. Que vaut il pour e e u e R un oeil normal ? Calculez le degr damtropie de loeil dcrit ci dessus. ? Le PR est il rel ou e e e e virtuel ? Sachant que laccommodation maximale augmente sa convergence de 8 dioptries, calculez sa distance minimale de vision distincte. Le PP est il rel ou virtuel ? e Loeil peut il voir un objet a linni ? Commentez le rsultat. ` e Calculez la vergence de la lentille de contact pour corriger le dfaut. e (Indication : Pour que loeil voit net a linni, quelle lentille faut il accoler ` loeil ?) ` a Calculez la vergence du verre correcteur (verre de lunette) quil faut placer a 2 cm de son centre ` optique O pour quil puisse voir nettement a linni. ` (Indication : Faites un schma en indiquant les rayons passant par le PR.) e Comment un observateur voit il loeil corrig ? Plus grand ou plus petit ? e Rponse :1. hypermtropie, besoin de lentilles convergentes.2. R = 0 pour un oeil e e e emmetrope. OPR = 0,24m et donc R = 4,17 pour loeil hypermtrope. 3. OPP = 26,1cm 4. 66,7 5. V = 4,17 6. f = 26cm soit V = 3,85. 7. Loeil est vu plus grand, cest leffet loupe.

6.7

Lunette et collimateur. Dapr`s concours. e

1. Une lunette de vise est compose dun oculaire et dun objectif, de mme axe optique (Ox). e e e Lobjectif est assimilable a une lentille convergente L1 , de focale f1 = 8 cm et dun oculaire ` Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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e e e assimilable a une lentille divergente L2 , de focale f2 = 1 cm. Une rglette gradue est place ` dans le plan focal objet de loculaire. O1 O2 = 10 cm. En pratique, comment placer la rglette dans le plan focal objet de loculaire. e Pourquoi ce rglage dpend-il de loeil ? e e Pour un oeil myope, que cela change-t-il ? 2. Loeil observe a travers ce syst`me un objet AB. Calculer d = AO1 quand cette image est vue ` e sans accomoder par loeil emmetrope. 3. Quelle est la taille AB dun objet dont la taille lue sur la rglette est de 5 mm. e 4. Que vaut lincertitude xA sur la position de A ? 5. Posons L = xA xindex , o` xindex dsigne la position de la lunette quand on pointe lobjet AB. u e Comment sappelle L ? e 6. Que devient L quand O1 O2 = 9 cm ? Comment se nomme ce syst`me ? 7. Expliquez le rglage de la lunette autocollimatrice. e 8. Quelles sont les deux utilisations de la lunette autocollimatrice. 9. Comment rgler un collimateur a linni ? Une fois rgle, o` se situe la mire ? e ` e e u 10. Construire sur une gure limage de lobjet AB, la mire du collimateur, par le syst`me optique : e collimateur + lunette rgle ` linni. On notera A1 B1 , A2 B2 ... les images intermdiaires suce e a e cessives. (La gure ne doit pas tre pas a lchelle mais les positions relatives des divers objets e ` e sont respectes.) e 11. Lors de la mise au point, comme sur la gure ci dessus, A B se forme a 25 cm devant loeil, ` situ au foyer image de loculaire. Calculer FC A sachant que fC = 20 cm, f1 = 16 cm, f2 = 4 e cm, et OC O1 = 4 cm. De combien faut il avancer ou reculer la mire pour obtenir un collimateur rgl ` linni ? e ea Rponse : 2. d = 72cm 3. AB = 4cm 4. En TP, on a xA = 1mm 5. translater la mire e de 9,26cm.

6.8

Lunette de vise ` linnie. e a

Une lunette astronomique est forme dun objectif assimilable ` une lentille convergente L1 , de e a focale f1 = 10 cm et dun oculaire assimilable a une lentille convergente L2 , de focale f2 = 5 cm. ` Lensemble de ces deux lentilles doit constituer un syst`me afocale. e 1. Quel est lencombrement de lappareil ? 2. Quel est lintrt de ce rglage pour un oeil normal ? ee e 3. Dessiner la marche dun faisceau lumineux issu dun point situ ` linni, dont la lumi`re arrive ea e sous une incidence par rapport a laxe optique. ` 4. Dterminer le grandissement angulaire de la lunette. Limage est-elle droite ou inverse ? e e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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5. Dterminer la position de lobjet le plus proche visible par la lunette pour un oeil dont le e Ponctum Proximum est ` d = 10cm et qui est contre la lentille dobservation. a 6. An de rtablir limage dans un sens plus naturel, il est propos de placer une troisi`me lentille e e e convergente L3 , de focale f3 = 2 cm. Comment doit tre place cette lentille, sachant que lon e e souhaite que la taille de linstrument doptique soit augmente un minimum. Le grossissement e est il chang ? e Rponse : 6. Position de Silbermann e

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Chapitre 7 Les prismes et la dcomposition de la e lumi`re. TD cours. e7.1 Dviation et dcomposition de la lumi`re par le prisme. e e e

On consid`re un prisme dangle au sommet A, fabriqu dans un verre dindice n plac dans lair. On e e e tudie la trajectoire dun rayon lumineux, arrivant sur la face dentre avec une incidence i. On notera e e r langle de rfraction, r langle dincidence sur la face de sortie, et nalement i langle dmergence. e e On notera D la dviation du rayon par le prisme. e

7.1.1

Etude de la dviation de la lumi`re. e e

Dans cette partie, le rayon incident est constitu dune lumi`re monochromatique de longueur e e donde et le verre poss`de a cette longueur donde un indice de rfraction n = 1,5. e ` e 1. Faire un schma reprsentant la marche du rayon lumineux qui traverse le prisme. Faire ape e para i, r, r , i et D. (Ici, les angles ne sont pas algbriss.) tre e e 2. Dterminer la relation liant i, r et n. e 3. Dterminer la relation liant i , r et n. e 4. Dterminer la relation liant r, r et A. e 5. Dterminer la relation liant D, i, i et A. e 6. En supposant lexistence du rayon mergent, dans quel sens varie i lorsque i dcro en partant e e t de 90 (n et A sont xs.) ? e 7. On fait dcro e tre i en partant de 90 . Dterminer lexpression littrale de i0 , la valeur de i e e correspondant ` une disparition du rayon mergent, en fonction de n et A. a e 8. A.N. pour A = 60 . 9. Le graphique de D en fonction de i est donn gure 7.1. Dduire de ce graphique la valeur de e e im et Dm en degrs (valeurs des angles au minimum de dviation). e e 51


52

10. Quel principe lmentaire de loptique gom`trique permet de montrer que le minimum de ee e e dviation est obtenue pour i = i ? (Explicitez clairement le raisonnement.) e 11. En dduire lexpression de rm en fonction de A. e 12. En dduire la relation entre im , n et A. e 13. En dduire lexpression de n en fonction de Dm et A. e 14. Calculer numriquement rm , im et Dm pour A = 60 . Comparez au rsultat prcdemment e e e e obtenu.

7.1.2

Etude de la dispersion de la lumi`re. e

Dans cette partie, le rayon incident est constitu dune lumi`re polychromatique visible. Le verre e e B constituant le prisme a un indice de rfraction n qui suit la loi de Cauchy : n() = n0 + 2 avec e B une constante positive. 15. A laide des relations du prismes tablies dans les premi`res questions, dterminer par un raie e e sonnement simple dans quel sens varie langle de dviation D quand cro e t. 16. A quelle couleur correspondent respectivement 1 = 400 nm et 2 = 700 nm ? Quelle est la raie la plus dvie ? e e 17. En utilisant ce qui prc`de, faire un schma faisant appara la marche des deux rayons lumie e e tre neux associs ` ces deux couleurs. e a

7.1.3

Ralisation dun spectroscope ` prisme. e a

On dispose dun prisme plac sur un goniom`tre(appareil qui permet la mesure dangle avec une e e grande prcision) et dune lampe au mercure, qui poss`de un spectre de raie, i.e. les longueurs e e donde sont bien dtermines. e e 18. Indiquer dans les grandes lignes comment procder pour dterminer numriquement lindice n e e e du prisme pour chaque longueur donde. 19. Quel graphique permettrait de vrier si le verre constituant le prisme obit ` la loi de Cauchy ? e e a 20. Sachant maintenant que le verre suit la loi de Cauchy, comment procder pour dterminer la e e valeur dune longueur donde inconnue ? Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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Fig. 7.1 angle de deviation D en fonction de langle dincidence i.

7.2

Questions du TP-cours

1. Dcrire bri`vement lutilisation du prisme pour dcomposer la lumi`re. e e e e 2. Rappeler les relations fondamentales du prisme. 3. A partir des relations fondamentales du prisme, retrouver lexpression de n lindice du prisme en fonction de langle de dviation minimale et langle au sommet du prisme. e 4. Faire un schma de la dviation de la lumi`re dans un cas quelconque dutilisation. e e e 5. Faire un schma de la dviation de la lumi`re au minimum de dviation. e e e e 6. Expliquer bri`vement le rglage du goniom`tre. e e e 7. Comment chercher exprimentalement le minimum de dviation de la lumi`re dans un prisme. e e e

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Troisi`me partie e Electrocintique 1. e

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Chapitre 8 Rappel sur les quations direntielles, e e TD Maple.8.1 Plan du cours.

1. Equation direntielle du premier ordre. e 2.1. Rsolution par sparation des variables de lquation direntielle du premier ordre sans e e e e second membre. 2.2. Equation direntielle linaire du premier ordre et recherche des solutions particuli`res dans e e e le cas dun second membre constant. 2.3. Rsolution avec Maple. e 2. Equation direntielle linaire du second ordre. e e 2.1. Equation homog`ne : forme canonique et rsolution. e e 2.2. Recherche des solutions particuli`res dans le cas dun second membre constant. e 2.3. Rsolution avec Maple. e 2.4. Equation de loscillateur stable. 2.5. Equation de loscillateur instable.

57


58

8.2

Pour sentra ner, quation direntielle du premier ordre. e e

1. Rsoudre lquation direntielle 4 df + f = 0. C.I. f (t = 0) = 3 e e e dt 2. Rsoudre lquation direntielle 9 du + u = 5. C.I. u(t = 0) = 0 e e e dtde 3. Rsoudre lquation direntielle a dx + e = 0. C.I. e(x = 0) = 1. Quelle est la dimension de a ? e e e

4. Rsoudre lquation direntielle du + u = E. C.I. u(t = 0) = 0. Quelle est la dimension de ? e e e dt 5. Rsoudre lquation direntielle e e e 0 ? 6. Rsoudre lquation direntielle e e e kdi dt dC dt

+ 0 .i = 0. C.I. i(t = 0) = i0 . Quelle est la dimension de + k.C 2 = 0. C.I. C(t = 0) = C0 . Quelle est la dimension de

8.3

Pour sentra ner, quation direntielle linaire du see e e cond ordre.d2 f + f = 0. C.I. f (t = 0) = 3 et df (t = 0) = 0 dt2 dt d2 f Rsoudre lquation direntielle dt2 + 16.f = 32. C.I. f (t = 0) = 0 et df (t = 0) = 0 e e e dt df d2 f RRsoudre lquation direntielle dt2 9.f = 0. C.I. f (t = 0) = 5 et dt (t = 0) = 0. e e e d2 de Rsoudre lquation direntielle dxe + dx + e = 0. C.I. e(x = 0) = 1 et e(x = 0) = 0. e e e 2 2e d de Rsoudre lquation direntielle dx2 + 3. dx + e = 0. C.I. e(x = 0) = 1 et e(x = 0) = 0. e e e 2e d 1 de Rsoudre lquation direntielle dx2 + 3 . dx + e = 0. C.I. e(x = 0) = 1 et e(x = 0) = 0. e e e 2u Rsoudre lquation direntielle 2. d 2 + 2 . du + 8.u = 2. C.I. u(t = 0) = 0 et u(t = 0) = 0. e e e dt 9 dt 2u 2 Rsoudre lquation direntielle en faisant les approximations qui simposent d 2 + 0 . du +0 .u e e e dt 10 dt2

1. Rsoudre lquation direntielle e e e 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

=

0. C.I. u(t = 0) = 10 et u(t = 0) = 0. Quelle est la dimension de 0 ? u 2 9. Rsoudre lquation direntielle d 2 + 0 . du + 0 .u = 0. en fonction de deux constantes e e e dt Q dt dintgration que lon ne cherchera pas ` calculer, en supposant le rgime pseudo-priodique. e a e e Quelle est la dimension de 0 et Q ? u 2 10. Rsoudre lquation direntielle d 2 + 0 . du + 0 .u = 0. en fonction de deux constantes e e e dt Q dt dintgration que lon ne cherchera pas a calculer, en supposant le rgime critique. Quelle est e ` e alors la valeur de Q ? u 2 11. Rsoudre lquation direntielle d 2 + 0 . du + 0 .u = E. en fonction de deux constantes e e e dt Q dt dintgration que lon ne cherchera pas ` calculer, en supposant le rgime sous critique. e a e2 2

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Chapitre 9 Etude des circuits dans lapproximation des rgimes quasi-stationnaires e9.1 Plan du cours

1. Les charges libres et le courant lectrique dans lA.R.Q.S. e 1.1. Les charges libres 1.2. Le courant lectrique e 1.3. LA.Q.R.S. 2. Etude dun circuit 2.1. Description dun circuit lectrique e 2.2. La loi des noeuds 2.3. La tension, la loi des mailles

59


60

9.2

Questions de cours.

1. Enoncer les lois de Kirchho (loi des noeuds et loi des mailles). 2. Dnir le courant lectrique. e e 3. Quel lien existe-t-il entre rsistance et rsistivit ? Conductance et rsistance ? e e e e 4. Sur un circuit, crire la loi des noeuds et la loi des mailles. e

9.3

Vrai-Faux de cours.

1. La loi des noeuds nest vraie quen rgime permanent. e 2. Les lectrons se dplacent dans un conducteur ` la vitesse de la lumi`re. e e a e 3. LApproximation des Rgimes Quasi Stationnaires consiste a ngliger le temps de propagation e ` e de londe par rapport au temps caractristique de variation du signal. e 4. Dans lApproximation des Rgimes Quasi Stationnaires, le courant et la tension ne dpendent e e pas du temps t, do` le nom quasi stationnaire. u

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Chapitre 10 Les diples o10.1 Plan du cours

1. Etude dun diple o 1.1. Caractrisation dun diple e o 1.2. Convention rcepteur e 1.3. Convention gnrateur e e 2. Diples mod`les simples o e 2.1. La rsistance R e 2.2. Le condensateur C 2.3. La bobine L 2.4. Le gnrateur e e 2.5. La diode

61


62

10.2

Questions de cours.

1. Pour un diple, dnir la convention gnrateur et la convention rcepteur. Que dire de la o e e e e puissance ? 2. Dessiner un gnrateur de tension non idal dans la convention gnrateur. e e e e e 3. Rappeler le lien entre u et i en convention rcepteur pour la rsistance. Que dire de la puissance ? e e 4. Rappeler le lien entre u et i en convention rcepteur pour la bobine idale. Que dire de la e e puissance ? Comment se comporte-t-il en rgime permanent ? Quelle grandeur est continue dans e la bobine idale ? e 5. Rappeler le lien entre u et i en convention rcepteur pour le condensateur idal. Que dire de la e e puissance ? Comment se comporte-t-il en rgime permanent ? Quelle grandeur est continue dans e le condensateur idal ? e

10.3

Vrai-Faux de cours.

1. Tous les composants lectriques peuvent tre modliss par des associations de diples linaires. e e e e o e 2. La loi dohm pour une rsistance est u = Ri. e 3. La rsistance est une caractristique du matriaux tudi. e e e e e 4. Un condensateur peut emmagasiner de lnergie. e 5. La puissance du condensateur est 1 Cu2 . 2 6. Pour un gnrateur, la puissance est toujours positive en convention gnrateur. e e e e 7. Le courant est continu dans la bobine relle. e 8. La puissance est positive si le diple reoit de lnergie. o c e

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Chapitre 11 Etude des circuits lectriques dans e lapproximation des rgimes e quasi-stationnaires11.1 Plan du cours

1. Application des loi de Kirchho 1.1. Association de rsistance en srie e e 1.2. Association de rsistance en parall`le e e 1.3. Mthode gnrale de calcul des courants et tensions dans un circuit e e e 2. Thor`me sur les rseaux linaires e e e e 2.1. Transformation de Thvenin et de Norton e 2.2. Thor`me de Millman e e

63


64

11.2

Questions de cours.

1. Donner la rsistance quivalente a deux rsistances en srie. Dmontrer cette relation. e e ` e e e 2. Donner la rsistance quivalente a deux rsistances en parall`le. Dmontrer cette relation. e e ` e e e 3. Dessiner le montage diviseur de tension. Donner la tension dans lune des rsistances en fonction e de la tension totale. Dmontrer cette relation. e 4. Dessiner le montage diviseur de courant. Donner le courant dans lune des rsistances en fonction e du courant totale. Dmontrer cette relation. e 5. Dessiner un gnrateur de Thvenin (gnrateur de tension non idal). Dessiner le gnrateur e e e e e e e e de Norton quivalent (gnrateur de courant non idal). Dmontrer la relation entre les deux e e e e e gnrateurs. e e 6. Rappeler la loi de sommation des gnrateurs de Thvenin. La redmontrer. e e e e 7. Rappeler la loi de sommation des gnrateurs de Norton. La redmontrer. e e e 8. Dessiner deux gnrateurs de Thvenin en parall`le, les sommer. e e e e 9. Dessiner deux gnrateurs de Norton en srie, les sommer. e e e

11.3

Vrai-Faux de cours.

1. La reprsentation de Thvenin ou Norton sont deux reprsentations dun seul et mme diple e e e e o actif. 2. La rsistance quivalente a deux rsistances en parall`le est la somme des rsistances. e e ` e e e 3. Deux rsistances en parall`les ont mme tension a leur borne. e e e ` 4. Si deux rsistances en parall`les, R1 et R2 , sont respectivement parcourue par un courant i1 et e e u e i2 alors i1 = R1R1 2 i0 o` i0 dsigne le courant qui alimente lensemble. +R 5. Le thor`me de Millman, qui fait intervenir les tensions, est une rexpression de la loi des mailles. e e e 6. Pour deux gnrateurs de Thvenin en srie, le gnrateur de Thvenin quivalent correspond a e e e e e e e e ` la somme des forces lectromotrices (eeq = e1 +e2 ) et ` la somme des rsistances(Req = R1 +R2 ). e a e

11.4

Charges libres et courant lectrique. Dapr`s concours. e e

Un l de cuivre de section s=2,5 mm2 est parcourue par un courant i=10 A. 1. Combien dlectrons vont traverser une section de ce l pendant une seconde. e 2. Sachant que chaque atome de cuivre lib`re deux lectrons, calculer la longueur l du l dans e e laquelle taient contenus ces lectrons. MCu = 63,5 g.mol1 , Cu = 9.103 kg.m3 , e = 1,6.1019 e e C et NA = 6,023.1023 3. Calculer la rsistance de ce morceau de cuivre sachant que la conductivit du l de cuivre est e e 8 1 = 10 S.m . Commenter. Rponse : 1. 6,25.1019 2. 0,14 mm e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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11.5

Rsistance quivalente e e

Figure 11.1a. UAB = 220V , R1 = 10, R2 = 30, R3 = 60, R4 = 120. 1. Calculer Requivalente . 2. Calculer la tension et le courant pour chaque rsistance. e

Fig. 11.1 Calcul de rsistance quivalente. e e

11.6

Rsistance quivalente et symtrie. Dapr`s oral. e e e e

Sur la gure 11.1b, chaque arrte dun carr lmentaire a une rsistance R. e eee ` e 1. En exploitant la symtrie du schma, montrer que lon peut supprimer le noeud C et F. e e (Indication : Ecrire la loi des noeuds en C, et exploiter la symtrie sur un dessin.) e 2. En exploitant la symtrie du schma, montrer que lon peut supprimer le noeud E et D. e e 3. En dduire Requivalente . e Rponse : Requivalente = 13R/7 e

11.7

Calcul de diple quivalent. o e

Dterminer le diple quivalent a celui prsent sur la gure 11.2a. e o e ` e e Rponse : (e/2, 5r/2) e

11.8

Fonctionnement des gnrateurs. Dapr`s oral. . e e e

Les deux piles de la gure 11.2b (e1 ; r1 ) et (e2 ; r2 ) sont branches sur la rsistance R variable. e e Dterminer selon la valeur de R le fonctionnement rcepteur ou gnrateur de chacune des piles. e e e e (Indication : On peut supposer e2 > e1 ) Rponse : Rlimite = er2 e11 e 2 e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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Fig. 11.2 Calcul de diple quivalent ; Fonctionnement des gnrateurs. o e e e

11.9

Gnrateur de Thvenin et Norton. Dapr`s oral. e e e e

Donner le mod`le de Thvenin et Norton du diple AB de la gure 11.3. e e o Rponse : (1A ;5) ou (5V ;5) e

Fig. 11.3 Gnrateur de Thvenin et Norton. e e e

11.10

Pont de Wheastone. Dapr`s oral. e

On consid`re lassociation des quatre rsistances de la gure 11.4. e e 1. Sachant quun gnrateur de tension idal est branch entre A et B, calculer la tension entre le e e e e point C et D. 2. On dit le pont quilibr si, lorsque lon branche une rsistance R entre C et D, elle nest parcourue e e e par aucun courant. Quel est la condition dquilibrage du pont ? e 3. Mme question si le gnrateur de tension nest plus parfait mais rel. e e e e Rponse : 2. R2 R4 = R1 R3 3. idem R2 R4 = R1 R3 e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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Fig. 11.4 Pont de Wheastone

11.11

La diode. Dapr`s concours. e

Lon consid`rera le mod`le dune diode idale, qui se comporte soit comme un interrupteur ferm e e e e soit comme un interrupteur ouvert. 1. Tracer la caractristique de la diode. La diode est elle un diple symtrique ? La diode est elle e o e un diple linaire ? o e 2. Dans le circuit de la gure 11.5a, la tension est sinuso dale : e(t) = e0 sin(t). Dessiner la tension uR (t). 3. Calculer la rsistance quivalente au diple de la gure 11.5b. Tracer sa caractristique et come e o e menter.

Fig. 11.5 Montage simple avec une diode.

11.12

Modlisation dun transistor. Dapr`s concours. e e

Considrons le montage de la gure 11.6. Ce montage comprend un transistor (base B, metteur E e e et collecteur C). Le schma prsente le schma quivalent au transistor, qui comprend une rsistance e e e e e RB et un gnrateur de courant iB . Le courant dlivr par ce gnrateur est donc fonction du courant e e e e e e qui traverse la rsistance iB (On parle de source lie). Un transistor permet damplier un courant. e e RC e Exprimer uC en fonction de e, , RC , RE et RB . Rponse : uC = iB RC = RB +(+1)RE e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


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Fig. 11.6 Transistor.

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Chapitre 12 Etude du rgime transitoire dun circuit e lectrique e12.1 Plan du cours

1. Rponse dun circuit du premier ordre e 1.1. Rgime libre du circuit R,C, dcharge de C e e 1.2. Rponse ` chelon de tension du circuit RC, charge de C e ae 1.3. Bilan nergtique lors de la charge et la dcharge e e e 1.4. Rponse du circuit a un chelon de tension e ` e 1.5. Circuit R,L 2. Rponse dun circuit du second ordre e 2.1. Rgime libre du circuit RLC srie e e 2.2. Rponse du circuit RLC srie a un chelon de tension e e ` e 2.3. Bilan nergtique e e 2.4. Rponse du circuit a un chelon de tension e ` e 3. Conclusion : rponse dun circuit soumis a un signal de commande. e `

69


70

12.2

Questions de cours.

1. Quelle grandeur est toujours continue dans le condensateur idal ? dans la bobine ? e 2. Dessiner un circuit RC srie. Etudier la charge du condensateur initialement dcharg sous leet e e e dun gnrateur E. e e 3. Dessiner un circuit RC srie. Etudier la dcharge du condensateur initialement charg (charge e e e Q0 ). 4. Ecrire le bilan nergtique lors de la charge du circuit RC. e e 5. Dessiner un circuit RLC srie. Mettre son quation sous forme caractristique. e e e 6. Prciser qualitativement les dirents rgimes observables lorsque le circuit RLC est soumis a e e e ` un chelon de tension. e

12.31. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Vrai-Faux de cours.

Lnergie est une grandeur continue. e Le courant et la tension sont toujours continus pour des composants idaux. e Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert en rgime permanent. e Lnergie fournie par le gnrateur de tension continue dans le circuit RC est intgralement e e e e dissipe par eet Joule lorsque t . e Pour un circuit RLC quelconque, le courant en rgime libre tend toujours vers 0. e Le rgime libre du RLC srie prsente toujours des oscillations. e e e La priode des pseudo oscillations du rgime libre du RLC srie ne dpend que L et C, pas de e e e e R. Plus le facteur de qualit est faible, plus vite le syst`me tend vers le rgime permanent. e e e Dans le cas du rgime pseudo priodique, le facteur de qualit reprsente qualitativement le e e e e nombre doscillations visibles a loscilloscope. ` Dans le cas du rgime pseudo priodique, lamplitude des oscillations dcro linairement. e e e t e

12.4

Circuit RC.

Un gnrateur de Thvenin (e0 = 5V , R = 1k) est mis en srie dun condensateur idal C = e e e e e 100nF. 1. Trouver lquation direntielle dont q(t) est solution. e e 2. Sachant qu` t=0, le condensateur est partiellement charg de charge q0 = 100nC, rsoudre a e e lquation direntielle. Reprsenter graphiquement la solution en faisant clairement appara e e e tre un temps caractristique. e 3. Calculer i(t) dans le circuit. Commenter. 4. Faire un bilan nergtique. Calculer lnergie fournie par le gnrateur, lnergie emmagasine e e e e e e e dans le condensateur et nalement lnergie dissipe par eet joule en t = 0 et t = e e Lyce J. Dautet e MPSI 2009/2010 Ph. Ribi`re e


71

12.5

Circuit RL.

Un gnrateur de Norton (i0 = 1A, R = 1k) est mis en parall`le dune bobine idale dinductance e e e e L = 100mH. 1. Montrer que ce circuit est quivalent un gnrateur parfait (de f.e.m. e0 a prciser) mis en srie e e e ` e e avec une bobine parfaite et une rsistance. e 2. En raisonnant avec le circuit de dpart (gnrateur de Norton), trouver lquation direntielle e e e e e dont iL (t) est solution. 3. Sachant qu` t=0, la bobine tait dcharge et un interrupteur jusqualors ouvert a t ferm a e e e ee e sur le gnrateur de Norton, rsoudre lquation direntielle. Reprsenter graphiquement la e e e e e e solution en faisant clairement appara un temps caractristique. tre e 4. Calculer u(t) aux bornes de L. Commenter. 5. Faire un bilan nergtique. Calculer lnergie fournie par le gnrateur, lnergie emmagasine e e e e e e e dans la bobine et nalement lnergie dissipe par eet joule en t = 0 et t = e e

12.6

Deux condensateurs chargs. Dapr`s Oral. e e

On tudie le montage de la gure 12.1a. A t=0, les condensateurs C et C portent respectivement e une charge Q0 et Q0 . 1. Etablir lquation direntielle vrie par i(t). Faire appara un temps caractristique . e e e e tre e 2. Donner lexpression de i(t). 3. Dduire la valeur du courant et des tensions dans le rgime permanent atteint. e e 4. Donner lexpression de uC (t) et uC (t). Donnez leur allure graphique. 5. Calculer lnergie dissip par eet joule lors du rgime transitoire. e e eCC Rponse : 1.R C+C e di dt Q0 +Q0 C+C CC 3. 2(C+C ) (u0 u0 )2

+ i = 0 3.u =

12.7

Charge dun condensateur. Dapr`s concours. e

On tudie le montage de la gure 12.1b. A t=0, le condensateur C est dcharg et on ferme e e e linterrupteur K sur le gnrateur de tension continu E. e e 1. Etablir lquation direntielle vrie par u(t). Faire appara un temps caractristique . e e e e tre e 2. Donner lexpression de u(t) et des dirents courants. e 3. (Question subsidiaire) Retrouver le cas limite vu en cours.R Rponse : 1. R11 R22 C du + u = e +R dt R2 E R1 +R2

3.R2 Ph. Ribi`re e

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Fig. 12.1 Charge et dcharge de condensateur. e

12.8

Circuit LC rel en signaux carrs. e e

On tudie le montage de la gure 12.2a. Le gnrateur de tension dlivre un signal crneau e e e e e symtrique entre E et -E de priode T . e e 1. Pourquoi parle-t-on ici de LC rel ? e 2. Etablir lquation direntielle vrie par u(t). On supposera Q0 = 0,1 e e e e u 3. Donner lexpression de u(t) sur une demi priode [0 ; T ] o` e(t) = +E, en fonction de 0 et des e 2 conditions initiales. Rponse : ed2 u dt2 1 r + ( RC + L ) du + dt 1 (1 LC r + R )u = e LC

12.9

Dcharge dun condensateur dans un circuit RLC. e

On tudie le montage de la gure 12.2b. A t=0, le condensateur C porte une charge Q0 et on ferme e linterrupteur K. 1. Etablir lquation direntielle vrie par i(t). e e e e 2. A quelle condition sur C se trouve-t-on dans le rgime critique. e 3. A laide de lordinateur, trouver la forme des solutions Rponse : ed2 i 1. dt2

.

+

r di L dt

+

1 1 ( L C

+

1 C

)i = 0 2.C =

4LC R2 C4L

q0 3.i(t) = LC t exp(0 t)

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Fig. 12.2 Circuit RLC ; Dcharge de C dans RLC e

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Quatri`me partie e Mecanique 1.

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Chapitre 13 Cinmatique du point e13.1 Plan du cours

1. Le rfrentiel ee 1.1.

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