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Electrostatique PACES
Enoncé :
Soit un ensemble de 3 charges électriques ponctuelles -‐2q, +q, +q disposées aux sommets A, B et C d’un triangle équilatéral de coté a, dans l’air.
1. Calculer le potentiel V et déterminer le champ E créés par cette distribution de
charges au centre de gravité G du triangle (q>0). On appellera j le vecteur
unitaire dirigé de G vers A d’origine G et i le vecteur unitaire tel que (G, )
forme une base orthonormée.
Potentiel : A : 0 B : 1π ε
2q3a2
C : −1π ε
2q3a2
D : 1π ε
q3a
E : −1π ε
q3a
Champ : A : 0 B :
14π ε
9q2
a2i
C : −14π ε
9qa2j
D :
14π ε
9qa2j
E :
14π ε
9qa2i
2. A quelle force F est soumise une charge Q=-‐3q placée en G ?
A : 0 B :
14π ε
9q2
a2i C :
−274π ε
q2
a2j
D :
274π ε
qa2j E :
−94π ε
Qq2
a2j
3. Quelle est l’énergie électrostatique de la charge Q placée en G dans le champ électrique résultant des 3 autres charges ?
A : 0 B : 94π ε
Qqa C : 9
4π εq2
a
D : 94π ε
Qqa2 E : − 9
4π εq2
a
Electrostatique PACES
Réponses :
Figure 1.
1. Calcul du potentiel V
Le potentiel est une grandeur scalaire, il suffit donc pour obtenir le potentiel en G, noté V(G), créé par les charges situées en A, B et C de sommer chacune des contributions, soit :
V(G)=V(A)+V(B)+V(C)
Avec : V(G) le potentiel en G créé par les charges situées en A, B et C
V(A), V(B) et V(C) les potentiels créés par les charges A, B et C au point G
Remarque : Le centre de gravité G du triangle ABC est le point d’intersection des trois médianes. Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Electrostatique PACES
Rappel de cours Le potentiel créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l’espace situé à la distance r de la charge q est donné par :
V(M)= 14πε0
qr
ε0 est la permittivité électrique du vide
Calcul du potentiel V(A)
Le potentiel V(A) est le potentiel créé par la charge située en A (-‐2q) au point G, donc :
V(A)= 14πε
−2qAG
Avec : AG qui est la distance entre le point A et le point G
ε permittivité électrique de l’air
Remarque : le triangle ABC étant un triangle équilatéral les distances AG, BG, et CG sont égales.
On pose alors : AG=BG=CG=r, d’ou : V(A)= 14πε
−2qr
Calcul des potentiels V(B) et V(C)
Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a :
V(B)= 14πε
qr
V(C)= 14πε
qr
On a alors : V(G)=V(A)+V(B)+V(C)
V(G)= 14πε
−2qr+14πε
qr+14πε
qr
V(G)= 14πε
1r-2q+q+q( )
Electrostatique PACES
⇒V(G)=0
Le potentiel est nul au centre de gravité du triangle ABC
Réponse : A
Calcul du champ électrostatique E
Le champ électrostatique est une grandeur vectorielle, il est donc nécessaire pour obtenir le champ en G, noté
E (G), créé par les charges situées en A, B et C de faire une
sommation vectorielle au point G de chacune des 3 contributions, soit :
E (G)=
E (A)+
E (B)+
E (C)
Avec : E (G) le champ électrostatique en G créé par les charges situées en A, B et C
E (A),
E (B) et
E (C) les champs respectivement créés par les charges A, B et C au
point G
Rappel de cours Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l’espace situé à la distance r de la charge q est donné par :
E (M)=
14πε0
qr2u
u est un vecteur unitaire généralement choisi dirigé de q vers M (point ou l’on veut déterminer le champ). Il sert à indiquer la direction du champ électrostatique
ε0 est la permittivité électrique du vide
Calcul du champ E (A)
Le champ E (A) est le champ créé par la charge située en A (-‐2q) au point G, donc :
E (A)=
14πε
−2qr2uA
Avec : uA le vecteur unitaire dirigé de A vers G. La charge en A étant négative (-‐2q) le
champ créé par A en G est dirigé de G vers A. Le vecteur E (A) est donc « négatif » compte
tenue l’orientation de uA (cf. Figure 2).
ε permittivité électrique de l’air
Electrostatique PACES
Calcul des champs E (B) et
E (C)
Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a :
Pour E (B) :
E (B)=
14πε
qr2uB
Avec : uB le vecteur unitaire dirigé de B vers G. La charge en B étant positive (+q) le
champ créé par B en G est dirigé de B vers G. Le vecteur E (B) est donc « positif » compte
tenue l’orientation de uB (cf. Figure 2).
Pour E (C) :
E (C)=
14πε
qr2uC
Avec : uC le vecteur unitaire dirigé de C vers G. La charge en C étant positive (+q) le
champ créé par C en G est dirigé de C vers G. Le vecteur E (C) est donc « positif » compte
tenue l’orientation de uC (cf. Figure 2).
Figure 2.
Electrostatique PACES
On a alors : E (G)=
E (A)+
E (B)+
E (C)
Donc : E (G)=
14πε
−2qr2uA +
14πε
qr2uB +
14πε
qr2uC
E (G)=
14πε
qr2
−2 uA +uB +uC( )
Le champ électrostatique E (G) dépend du choix des vecteurs unitaires
uA , uB et
uC , par conséquent pour faciliter l’expression du champ
E (G) on l’exprimera dans la base
cartésienne orthonormée (G, i ,j ) (cf. Figure 3).
Pour cela il suffit de projeter les vecteurs unitaires uA , uB et
uC dans (G, i ,j ).
Projection de uA dans (G,
i ,j )
Le vecteur unitaire uA a une seule composante sur
j , tel que :
uA = −j
Projection de uB dans (G,
i ,j )
La projection du vecteur unitaire uB sur (
i ,j )
s’écrit : uB = −uB cos α 2( ) i + uB sin α 2( ) j
avec uB qui est la norme du vecteur unitaire uB , et comme
uB est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc :
uB = − cos α 2( ) i + sin α 2( ) j
Projection de uC dans (G,
i ,j )
La projection du vecteur unitaire uC sur (
i ,j ) s’écrit :
uC = uC cos α 2( ) i + uC sin α 2( ) j avec uC qui est la norme du vecteur unitaire
uC , et comme uC est un vecteur unitaire
alors sa norme est égale à 1, donc : uC = cos α 2( ) i + sin α 2( ) j
Le champ électrique E (G) s’écrit alors dans la base (G,
i ,j ) :
E (G)=
14πε
qr22j − cos α 2( )i + sin α 2( ) j + cos α 2( )i + sin α 2( ) j( )
E (G)=
14πε
qr22j + 2sin α 2( ) j( )
Electrostatique PACES
Le triangle ABC étant équilatéral, l’angle α est égal à 60° ou π/3 rad, donc α/2=30° ou
π/6 rad, d’ou sin α 2( ) = 12.
on a alors : E (G)=
34πε
qr2j
Figure 3.
Enfin pour déterminer l’expression du champ en fonction des données du problème on exprime r en fonction de a (cf. Figure 3).
On a : cos α 2( ) = a2r, d’ou : r = a
2cos α 2( )
on a : cos α 2( ) = cos π6
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
32, donc : r = a
3
On obtient donc : E (G)=
94πε
qa2j
Electrostatique PACES
⇒ E (G)=
94πε
qa2j
Le champ résultant
E G( ) est dirigé suivant
j , sa norme est :
E G( ) =
94πε
qa2
Réponse : D
Remarque : Grace aux des symétries du problème nous aurions immédiatement puis en déduire que le champ électrostatique résultant au point G,
E G( ) , avait une seule et unique composante
sur l’axe des j . Les composantes des champ élémentaires s’annulant 2 à 2 suivant l’axe des
i
2. Force subit par la charge Q=-‐3q placée en G
Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ électrostatique
E subit une force
électrostatique de la forme : F=qE
Au point G le champ est électrostatique est :
E G( ) = 9
4π εqa2j
La charge Q, placée en G, est donc soumise à une force électrostatique du type :
F=Q
E G( )
d’ou :
F=Q 9
4π eqa2j
on a Q=-‐3q, donc :
F= −274π ε
q2
a2j
⇒
F= −274π ε
q2
a2j
La force électrostatique que subit la charge Q=-‐3q placé en G est dirigée
suivant la direction -‐ j , sa norme est :
F =
274π ε
q2
a2
Réponse : C
Electrostatique PACES
3. Energie potentielle électrostatique de la charge Q placée en G
Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ de potentiel, acquière une énergie potentielle électrostatique, ou plus simplement énergie électrostatique, Ep, de la forme : Ep=qV L’énergie est une grandeur scalaire.
Au point G, le potentiel électrostatique est V(G)=0. L’énergie électrostatique acquise par la charge Q étant de la forme : Ep=Q V(G), on a : Ep=0.
⇒ Ep=0
L’énergie électrostatique acquise par la charge Q placée en G est donc nulle.
Réponse : A