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Excel Tutorials
안녕하세요. MS Excel 튜토리얼에 오신 걸 환영합니다. 이 페이지는 Clemson 대학 물리학
실험과목을 보조하기 위해 제작되었습니다. 대부분의 실험과목은 데이터를 표현하고 계산을
수행하거나 그래프를 만들기 위해 Excel 이나 비슷한 종류의 스프레드 시트 응용프로그램을
필요로 합니다. 이 튜토리얼은 물리학 실험과목을 성공적으로 이수하는데 필요한 여러 Excel
작업에 수강생 여러분들이 익숙해 질 수 있도록 만들어 졌습니다.
동일한 Excel 작업을 수행하는 데에는 여러 방법이 있습니다. 이 튜토리얼에서는 내게 잘
맞았던 Excel 의 다양한 작업 테크닉과 방법을 제시하였습니다. 10 여 편으로 나누어진
튜토리얼과 그 소제목을 다음에 열거하였습니다. 여러분이 비록 Excel 에 익숙하다 할지라도
처음에는 튜토리얼을 따라서 해보는 것을 권장하며, 결국에는 여러분에게 잘 맞는 방식으로
작업하십시오.
MS Excel 은 당연히 자세한 내장 도움말 기능을 가지고 있고, 이를 이용하여 여러분들이
Excel 스프레드시트 프로그램의 활용을 더욱 깊이 이해하는 것이 권장됩니다. 이 문서는
Excel 에 익숙하지 않은 물리학 실험과목의 학생들이 Excel 을 시작하는데 필요한 기초적인
튜토리얼을 담고 있습니다.
이 튜토리얼에 대한 질문이나 코멘트가 있다면 실험과목 코디네이터인 Jerry Hester에게 이메
일을 보내주십시오. (원본 웹문서: http://phoenix.phys.clemson.edu/tutorials/excel/index.html)
1. Terminology
2. Arithmetic
i. Addition
ii. Other basic operators
iii. Exponential operator
iv. Referencing cells within formulas
v. Three built in functions (SUM, AVERAGE, SQRT)
3. Basic Actions
i. Create titles and headings
ii. Add units to headings
iii. Copy and paste your formula
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iv. Use correct significant figures
v. Emphasize important text
vi. Shade important cells
vii. More cell manipulations (resize columns, change font styles, add borders)
viii. That ###### error message
ix. Display sample formulas
x. Consult the page setup (print gridlines and row and column headings)
4. Algebra
i. Thickness of sheet of paper
ii. Distance traveled around a perimeter
iii. Conversions
iv. Solve a quadratic equation
v. Determine the radius of a sphere
vi. PI( ), a built-in constant
vii. Copy and paste formulas
5. Displaying Symbols
i. Display symbols with "Symbol" font
ii. Display symbols with <ALT>+code
6. Trigonometry
i. Using radians
ii. Built-in trig functions (sine, cosine tangent, arcsine, arccosine, arctangent)
iii. Finding the height of a tree
iv. Finding the launch angle of a ski ramp
v. Verifying a trig identity
7. Graphing Data and Curve Fitting
i. An experiment to determine π
ii. How to plot a data set
iii. Displaying units on the axes
iv. Displaying symbols
v. Add a trendline and equation to the graph
vi. Altering the look of the displayed equation
vii. Altering the attributes of the trendline
viii. Calculating π from the slope (and finding % Error)
8. Advanced Graphing and Curve Fitting
i. Creating plots of two data series on one graph
ii. Altering the graph's legend
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iii. Fitting multiple curves on one set of data
iv. Using error bars
9. Advanced Topics
i. Creating user-defined constants
ii. Adjusting the graph's scale
10. Using Excel's Statistics Commands
i. Basic built-in functions (AVERAGE, MEAN, MODE, COUNT, MAX, MIN)
ii. Linear regression equations (SLOPE, INTERCEPT, CORREL)
iii. Error analysis tools (STDEV)
iv. Miscellany (ABS)
11. Linear Regression and Excel
i. Sample data
ii. Linear regression equations
iii. Applying regression to the sample data
iv. Linear regression with built-in functions
12. Helpful Hints Concerning the Physics Lab Reports
i. Work carefully
ii. Neatly display your work
iii. Display sample formulas
iv. Check your work by hand
v. Printing tips (making your work easy to read, easy to grade, and adjusting it to
fit neatly on the printed page)
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Excel Tutorial #1 Terminology
우선 본 Excel 튜토리얼을 통해서 계속적으로 사용될 용어에서부터 시작한다. 이 페이지를
보는 동안 Excel 프로그램을 실행시켜 보는 것이 이해에 도움이 될 것이다.
워크시트(worksheet)는 Excel 스프레드시트 문서의 한
페이지를 의미한다. 실험과목과 관련하여 Excel 을
사용할 때, 여러분들은 한 실험당 하나의 워크시트를
사용할 가능성이 높다. 스프레드시트 아래에 있는
탭(tab)은 여러분이 현재 어떤 워크시트에서 작업하고
있는 지를 알려준다. 오른쪽의 이미지는 현재 워크시트
1 이 활성화 되었음을 보여주며, 탭을 클릭하여 워크시트 2, 3 으로 자유로이 이동한다.
셀(cell)은 워크시트 내의 한 블록을 의미한다. 여러분이 수식을
입력하고, 데이터를 삽입하고, 표의 제목 등의 내용을 표시하는
부분이 바로 셀이다. 여러분은 셀의 색깔, 크기나 경계의 표시
형식을 바꿀 수도 있다.
각각의 셀은 개별의 열과 행의 이름에 의해 구별된다.
Excel 은 열(columns)을 문자(A 에서 IV 까지, 전체 256 개의
열)로 지시하며, 반면에 행(row)은 숫자(1 에서
65536 까지)로 지시한다. 이러한 문자와 숫자들이 열과
행의 제목이며, 오른쪽처럼 회색의 부분에 보여진다.
각각의 셀은 열의 문자와 행의 번호를 순서대로 입력하여
지시할 수 있습니다 예를 들어 위의 그림에서 동그라미로 표시된 셀은 A2 라고 지시되며,
A 열과 2 행의 교차점에 해당한다.
셀 범위(range)를 지시하기 위해서는 제일 왼쪽 위 셀의 이름을 입력하고,
다음으로 콜론(:)을 입력하고, 마지막으로 제일 오른쪽 아래 셀의 이름을
입력한다. 오른쪽의 그림에는 A 열에 3 개의 숫자가 입력되어 있다.
이러한 세 개의 셀을 포함하는 범위는 A2:A4 로 지시된다.
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수식(formula)은 워크시트의 데이터들을 가지고 수행하는 연산의 식을 의미한다. 수식은 덧셈,
곱셈 같은 수학적인 연산을 수행할 수도 있고, 워크시트의 값들을 비교할 수도 있다.
수식에서는 상수를 사용하거나 워크시트 내의 다른 셀의 값을 참조할 수 있습니다. 물리학
실험과목과 관련하여 Excel 을 사용하는 동안 여러분은 여러분 자신만의 수식을 만들거나
또는 Excel 에 내장된 수식을 사용하게 될 것이다.
각각의 수식은 스프레드시트의 위에 있는 수식 입력줄(formular bar)에서 입력되거나 편집될
수 있다. 위의 그림에서 동그라미 쳐진 부분이 수식 입력줄이다. 예로서 입력된 수식은 셀
B4 에 입력된 값에 25 을 더한 후에 이를 D5, E5, F5 의 합으로 나누는 연산을 의미한다.
여러분은 수식에 상수(constants)를 사용할 수도 있다. 이러한 상수는 숫자(2, 365 또는
3.14159)이거나 내장된 상수(PI( ) 또는 EXP(1))일 수도 있고, 또는 워크시트 내에 상수로서
정의한 셀을 참조할 수도 있다.
Excel 은 함수(function)라고 불리는 다수의 미리 지정된 또는 내장된 수식을 가지고 있다.
함수는 간단하거나 복잡한 계산을 수행하는데 사용될 수 있다. 가장 빈번하게 사용되는
함수는 SUM( ) 함수로, 이 함수는 셀 범위로 지정된 셀의 값을 모두 더하는데 사용된다.
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Excel Tutorial #2 Arithmetic
Excel은 간단한 연산을 수행하는 계산기로 사용될 수 있다. 튜토리얼의 2번째 세션에서는 이
러한 점을 이용하여 Excel이 여러분의 물리학 실험과목에서 다양한 도움을 줄 수 있음을 보
이겠다.
어떤 종류의 수식이든 간에, Excel 은 여러분이
등호(=)를 먼저 입력하고 난 후에 수식을 입력할
것을 요구한다. 이 등호는 Excel 에게 여러분이
수식을 입력하는 중이며, 이후에 나올 문자들이
수식의 내용임을 알려준다. 등호에 이어 계산식을
입력하여야 하며 일반적으로 피연산수, 연산자, 피연산수의 순서로 입력하여야 한다. 예를
들어 3 과 2 를 더하기(+) 위해서는 여러분은 빈 셀에 다음과 같이 = 3 + 2 를 입력하면 된다.
오른쪽의 그림은 이 간단한 수식을 셀 B2 에 입력한 모습이다. 수식이 셀과 수식 입력줄
양쪽 모두에서 보여지는 점에 주의하라.
Excel 이 실제로 수식을 연산하도록 하기 위해서는
여러분은 <Enter>키를 쳐야 한다. 이렇게 하면
연산결과인 5 가 셀 B2 에 표시된다. 오른쪽 그림은
수식의 입력이 완료된 후의 모습을 보여준다. 수식의
결과는 셀 B2 에 표시되지만, 수식 입력줄에는
여전히 원래의 수식이 보여짐에 주의하라.
물론 여러분은 Excel 에서 빼기(-), 곱하기(*), 나누기(/)
연산을 수행할 수 있다. 이러한 수식들이 오른쪽
그림의 셀 범위 C2:C5 에서 나타내어져 있다. (등호
앞에 작은따옴표(‘)를 입력하면 수식 그대로를 화면에
출력할 수 있다는 사실에 관심이 있을지 모르겠다.)
수학에서 배운 대로 Excel 은 특정한 순서에 의해서
연산을 수행한다. 즉, 등호에서 시작하여 왼쪽에서
오른쪽으로, 연산자가 나타나는 순서대로 연산을 수행한다. 연산순서는 괄호()를 사용하여
조절할 수 있다. 예를 들어 위의 그림에서, 셀 C7 의 수식은 괄호를 사용하여 연산순서를
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조절하고 있다. 이러한 괄호는 Excel 이 3+4 의 합을 계산한 이후에 2 로 나누도록 강제한다.
그러나, 셀 C8 의 수식은 괄호가 없으므로, 4/2 의 나눗셈이 먼저 계산된 이후에 덧셈이
계산된다.
물리학 실험과목 동안 자주 사용되는 또 다른 연산자는 자승(exponential) 연산자이다. 이
연산자는 어떤 수를 제곱하거나 삼승근을 얻기 위해 사용될 수 있다. Excel 에서는 꺽쇠(^)를
사용하여 자승연산을 표시한다. 또한, 이러한 자승연산자를 사용하기 위해서 자주 괄호가
필요하다는 점에 주의하라. 다음은 자승 연산자를 사용한 예이다.
Mathematical
Expression
Excel
Expression Result
3^2 9
3^(-2) 0.11111
8^(1/3) 2
100^(3/2) 1000
오른쪽의 수식은 Excel 에서 5 347 − 를 계산하기 위한 식이다.
물론 우리는 간단한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하기 위하여 스프레드시트 프로그램을
필요로 하지는 않는다. 이러한 용도로는 계산기가 더 편리할 것이다. 그러나, Excel 은
계산기보다 훨씬 더 많은 일을 할 수 있다. Excel 의 가장 중요한 특징은 수식에서 워크시트
내부의 다른 셀들을 참조(refer)할 수 있다는 점이다. 아래의 예에서 셀 A2 와 셀 B2 는 각각
어떤 카펫의 길이와 폭을 표시한다. 카펫의 면적(area)을 구하기 위해서는 우리는 면적=
(길이)*(폭)이라는 공식을 사용할 것이다. 이 작업을 다음과 같이 Excel 에서 수행해 보자.
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1. 결과를 출력할 위치인 셀 C2 를 클릭한다.
2. 키보드로 등호(=)를 입력한다.
3. A2 라고 입력하거나 마우스를 이용하여 셀
A2 를 클릭한다.
4. 곱하기 기호(*)를 키보드로 입력한다.
5. B2 라고 입력하거나 마우스를 이용하여 셀 B2 를 클릭한다.
6. 마지막으로 <Enter>키를 입력한다.
셀 C2 에는 결과가 출력되고 수식 입력줄에는 수식이 보여짐에 주의하라. 열의 제목을 위의
예와 같이 멋지게 출력하는 방법에 관심이 있다면 다음 장의 튜토리얼 Basic Actions 를
계속하여 살펴보라.
위의 예에서 수식을 포함하는 셀 C2 와 같은 셀을 종속셀(dependent cell)이라 지칭한다. 이는
셀 C2 의 값이 다른 셀의 값 즉, 셀 A2 와 B2 의 값에 의존하기 때문이다. 종속셀의 값은
참조하는 셀의 값이 바뀔 때 마다 자동으로 재계산되어 변화된다. 위의 예에서 만약 셀
A2 에 저장된 길이나 셀 B2 에 저장된 폭을 변화시키는 경우, 수식 =A2*B2 의 결과도
바뀌게 된다. 직접 Excel 에서 작업하여 증명해 보라! 만약 여러분이 수식에서 셀을 참조하는
대신에 숫자(예를 들어 =15.3*22.1)를 입력하였다면 그 결과는 수식 자체를 바꾸는 경우에만
변화될 것이다.
MS Excel 은 다양한 내장함수(built-in function)를 포함하고 있다. 함수들은 간단하거나 복잡한
작업을 수행하는데 이용할 수 있다. 가장 자주 사용되는 함수들에는 SUM, AVERAGE, SQRT
함수가 있다.
• SUM 함수는 셀 범위의 모든 값을 더하는데 사용된다.
• AVERAGE 함수는 셀 범위의 모든 값의 평균을 구하는데 사용된다.
• SQRT 함수는 한 숫자나 수식의 제곱근을 구하는데 사용된다.
다음의 표는 이러한 세 함수를 사용하는 방법을 자세히 설명한다.
SUM 함수
한 열이나 한 행을 더하기 위해 다음의 단계를
따르라:
AVERAGE 함수
한 열이나 한 행을 평균하기 위해 다음의 단계를
따르라:
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1. 빈 셀을 클릭한다. 위의 예에서, 수식을
입력할 셀로 F1 을 선택하기로 한다.
2. 키보드로 등호(=)를 타이핑하여 수식을
시작한다.
3. 함수의 시작을 위해 SUM( 를 입력한다.
* 괄호를 여는 것을 잊지 말라!
4. A1:E1 을 타이핑 하거나 마우스를
드래그하여 셀 범위 A1, B1, C1, D1, E1 을
잡는다.
5. 닫는 괄호 )를 타이핑하여 함수를
종료한다.
6. < Enter >키를 입력한다.
1. 빈 셀을 클릭한다. 위의 예에서, 수식을
입력할 셀로 F1 을 선택하기로 한다.
2. 키보드로 등호(=)를 타이핑하여 수식을
시작한다.
3. 함수의 시작을 위해 SUM( 를 입력한다.
* 괄호를 여는 것을 잊지 말라!
4. A1:E1 을 타이핑 하거나 마우스를
드래그하여 셀 범위 A1, B1, C1, D1, E1 을
잡는다.
5. 닫는 괄호 )를 타이핑하여 함수를
종료한다.
6. < Enter >키를 입력한다.
SQRT (SQuare RooT) 함수
워크시트 내의 한 셀의 제곱근을 구하기 위해 다음의 단계를 따르라:
1. 빈 셀을 클릭한다. 위의 예에서 수식을
입력할 셀로 B2 를 선택하였다.
2. 키보드로 등호(=)를 타이핑하여 수식을
시작한다.
3. 함수의 시작을 위해 SQRT( 를 입력한다.
* 괄호를 여는 것을 잊지 말라!
4. B1 을 타이핑하거나 마우스를 이용하여 셀 B1 을 클릭한다.
5. 닫는 괄호 )를 타이핑하여 함수를 종료한다.
6. < Enter >키를 입력한다.
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Excel Tutorial #3 Basic Actions
워크시트를 보다 읽기 쉽게 만들기 위해 필요한 몇몇 작업들이 있다. 이러한 작업은
수업조교가 여러분이 제출한 실험 리포트를 더 잘 평가하고 또 실수한 부분을 확인하는데
도움이 될 것이다. 여기서는 워크시트의 모습을 향상시키기 위해 할 수 것들에 대해 다룬다.
이 튜토리얼에서는 몇 개의 구의 직경을 측정하고 Excel 을 이용하여 그
체적을 구하는 가상적인 실험을 통해 설명하겠다. (물리학 실험이 이처럼
쉽다면 얼마나 좋을까!) 측정된 반지름 데이터가 오른쪽과 같이 표시되어
있다. 확인할 수 있듯이, 데이터는 있지만 보고서로서 제출될 수 있는
형태로 만들기 위해서 아직 많은 작업이 필요함을 알 수 있다. Excel
프로그램에서 실제로 연습하기 위하여 우선 오른쪽과 같이 데이터를 입력하라.
1. Create Titles and Column Headings
위의 데이터는 제목이 없다. 여러분의 수업조교는 어떤 데이터가 제시된 것인지 알 길이
없다. 따라서 그 숫자들이 무엇을 의미하는지 알릴 수 있도록 열의 제목을 추가할 필요가
있다. 현재로선 제목을 쓸 수 있는 공간이 없으므로 데이터를 좀더 아래의 다른 장소로
이동(move)시킬 필요가 있다. 데이터를 다시 입력할 수 도 있지만, 데이터를 보다 손쉽게
옮길 수 있는 방법이 있다.
셀의 내용은 다음과 같이 다른 위치로 이동시킬 수 있다. 우선
옮기려는 셀들을 마우스로 클릭, 드래그 하여 선택한다. 다음으로 선택된
영역의 경계를 마우스로 클릭하여 원하는 위치로 이동시킨다. 오른쪽
그림에서 반지름 데이터는 A1:A4 에서 A3:A6 으로 옮겨졌다.
이제 제목을 쓸 수 있는 공간이 생겼다. 몇몇 구의 체적을 구하는 목적에 맞게 표의 제목을
"Volume of Spheres"로 정하였다. 이 표 제목을 셀 A1 에 입력하라.
또 우리는 각 열의 데이터 제목도 필요하다. 셀 A2 에는 아래쪽
데이터가 측정된 반지름이므로 "Radius"를 입력하라. 셀 B2 에는
계산될 체적 데이터에 대한 제목으로 "Volume"을 입력하라. 이제
여러분은 구의 체적을 계산하는 수식을 입력할 준비가 되었다.
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2. Add Units to the Headings
반지름과 체적의 데이터 제목에는 데이터의 단위가 빠져 있다.
따라서, 반지름이 10 cm 인지, 10 m 인지, 아니면 10 inch 인지 알
수 없다. 당연히 단위가 필요하며, 단위를 표기하는 가장 좋은
방법은 데이터 제목 아래에 괄호를 써서 표기하는 것이다.
제목과 단위를 같은 셀에 쓰기 위하여, 우선 제목을 쓰고
다음으로 <Alt>+<Enter>키를 누르라. 이렇게 하면 셀 내부에서 다음 행으로 넘어가게 되고,
따라서 여러분은 제목 바로 아래에 단위를 쓸 수 있게 된다.
체적의 단위는 cm3 이지만 셀 B2 에서는 cm^3 로
표기되어 있다. 이러한 표기법은 상첨자를 표시하기 위해서
학생들이 자주 쓰는 방법이다. 하지만 더 나은 방법이 있다.
cm^3 이라고 쓰는 대신에 cm3 이라고 쓰고, 마우스로 3 을
선택한 후에 서식 >> 셀 >> 위첨자 를 이용하여 오른쪽과 같이
상첨자를 쓰라.
3. Copy and Paste Your Formula
구의 체적공식이 3
34 rV π= 로 주어지고
여기서 r 은 구의 반지름, π 는 원주율
3.14159 임을 알고 있다. 따라서 첫번째
구의 체적을 구하기 위해
=(4/3)*3.14159*A3^3 의 수식을 사용해야
한다. 이 수식을 셀 B3 에 입력하면 오른쪽
그림과 같이 그 결과인 4188.787 cm3이 셀에 표시된다.
우리는 표의 각각의 반지름에 대해 이러한 과정을 반복하여 직접 타이핑할 수도 있다.
그러나, 나머지 구의 체적을 결정하는 최선의 가장 빠른 방법은 복사(copy)와 붙여넣기(paste)
기능을 사용하는 것이다. 셀 B3 에 있는 수식을 복사하여 셀 B4 에서 B6 까지에 붙여 넣을
수 있다면 매우 유용할 것이다.
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셀을 복사하기 위해 마우스로 클릭하여
한 셀을 선택한다. 오른쪽 예에서는 셀 B3 를
클릭한다. 다음으로 툴바의 복사 버튼 을
누르거나 <Cntl-C>를 이용하여 복사할 셀을
지정한다. 이 과정이 끝나면 복사할 셀 범위는
점선의 경계로 표시된다. <ESC>키를 누르면
복사영역의 지정히 해제된다. 복사하기 전에
더블 클릭하여 수식이 제대로 되었음을
확인하라!
다른 위치에 붙여넣기를 하기 위해,
목표 셀을 마우스 클릭하여 선택하라. 오른쪽
예에서는 목표위치로 셀 영역 B4, B5, B6 가
선택되었다. 다음으로 툴바의 붙여넣기 버튼
을 누르거나 <Cntl-V>를 이용하여
붙여넣는다. 그러면, 수식은 목표 셀로 그림과
같이 복사된다.
붙여넣기된 수식에서는 자동으로 참조셀을
변경하여 적절한 반지름을 참조하고 있음을
주의하여 살펴보라.
워크시트의 한 셀을 인접하는 셀들로 복사하는 방법에는 더욱 쉬운 방법이 있다. 우선 한
셀을 마우스로 클릭하면 진한 박스로 표시된 셀 경계의 오른쪽 아래 모서리에 점이 있음을
확인할 수 있다. 이 점을 원하는 만큼 드래그 하면 그 영역이 복사된다.
이 방법은 연속적으로 증가하는 데이터를 채우는 데도 사용된다. 연속하는 2 개의 셀에
일정한 규칙으로 증가하는 데이터를 입력하라. 두 셀을 선택한 후 모서리의 점을 원하는
만큼 드래그하면 연속적으로 변화하는 데이터가 만들어 진다.
4. Use Correct Significant Figures
모든 물리학 실험과목 수강생들은 2.2 곱하기
5.1 이 계산기에서 나오는 11.22 가 아니라 11 임을
잘 알고 있을 것이다. 이것은 물론 수의
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유효숫자(significant figures) 때문이다. 숫자 2.2 와 5.1 모두 2 자리 유효숫자를 가지고 있으며,
따라서 연산의 결과도 2자리 유효숫자를 가져야 한다. 디폴트로서 Excel 은 최대 소수점
자리수로 수를 표시한다. 그러나, 툴바의 소수점 증가 버튼 과 소수점 감소 버튼 을
이용하여 수동으로 표시될 소수점 자리수를 조절할 수 있다. 위의 예에서 소수점 감소
버튼을 이용하여 표시되는 결과의 소수점을 감소시키고 있다.
튜토리얼을 걸쳐 더 이상 유효숫자에 대한 언급은 없을 것이다. 그러나 여러분들은
소수점 표시형식을 바꾸는 방법을 알고 있으며, 실험 보고서 작성시 적절한 유효숫자를
사용할 것을 기대한다.
5. Emphasize Important Text
표 제목이나 데이터 제목, 최종 결과 데이터 등을
강조하는 것은 매우 도움이 된다. 문자를 강조하는 방법
중 하나는 진한글꼴(bold)를 사용하는 것이다. 한 셀의
전체내용을 진한글꼴로 만들려면, 예를 들어 셀 A1 의
표 제목 전체, 간단히 셀 A1 을 클릭하여 선택하고 난
후 툴바의 진한글꼴 버튼 을 누르면 된다.
위와 같이 셀 전체를 진한글꼴로 강조하기를
원하지 않을 수 도 있다. 데이터 제목은 진하게 하되
단위는 그대로 남겨두기를 원할 수도 있다. 이렇게 하기
위해서는 수식 입력줄에서 원하는 부분만을 선택한 후
진한글꼴 버튼 을 누르면 된다.
셀을 더블클릭 함으로써 수식 입력줄 대신에 그 셀에서
수식을 볼 수 있으며, 여기서 원하는 부분을 선택할 수도 있다.
6. Shade Important Cells
실험의 가장 중요한 결과에 주목을 끌 필요가 있다면 수식이나
결과를 포함한 셀에 색을 채워 넣을 수 있다. 이렇게 하기 위해서 한
셀 또는 셀 범위를 선택한 후 툴바의 색채우기(shade or color-in) 버튼
을 누르면 된다. 다른 색을 원하는 경우 색채우기 버튼 의
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검은색 아래 화살표를 눌러 다른 색을 선택할 수 있다.
셀을 짙은 색으로 채우기 하는 경우 텍스트를 가리게 된다. 따라서 밝은 색을 선택할
필요가 있다.
7. More Cell Manipulations
이제 여러분의 워크시트는 제출할 수 있을 만큼의 품질을 보이고
있다. 그러나 이제까지 작업한 워크시트에서의 표 간격이 다소
비좁은 듯 보인다. 이제 결과를 좀더 읽기 쉽도록 하기 위하여 열의
폭을 크기조절(resize the columns)해 보자. 이렇게 하려면 회색으로
표시된 A 열의 제목 부분의 오른쪽 경계를 그림과 같이 잡고 필요한 폭만큼 움직이면 된다.
같은 작업을 B 열에 대해서도 수행하라. 동일한 테크닉을 사용하면 워크시트의 행의 높이도
조절할 수 있다.
만약 셀의 폭이 너무 작으면 셀의 내용이 제대로
표시되지 않고 대신에 ####### 에러가 표시될 것이다.
이러한 일이 발생하는 경우 셀의 폭을 조절하면 문제를
쉽게 해결할 수 있다.
다수의 열의 폭을 한꺼번에 조절할 수도 있다.
회색으로 표시된 열의 제목 부분을 드래그하여 원하는
열들을 선택하고, 다음으로 한 열의 오른쪽 경계를
조절한다. 각각의 선택된 열의 크기는 자동으로 재조정
된다. 오른쪽 이미지에서 열의 폭을 조절하여 Volume of Sphere 가 더 잘 읽히게 되었다.
여러분은 글꼴 모양과 크기를 바꾸어 더 인상적인 표
제목이나 데이터 제목을 만들 수 있다.
디폴트로, 셀의 문자는 왼쪽 맞춤, 숫자는 오른쪽 맞춤으로 정렬된다. 정렬방식은 원하는
셀을 선택한 후 정렬버튼 을 눌러서 변경할 수 있다.
여러분은 셀의 경계를 추가하여 표를 더욱 강조할 수 있다. 셀이나 셀들에 경계를 넣는
가장 간단한 방법은 원하는 셀들을 선택하고 경계버튼 의 검은색 아래 화살표를 눌러
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적절한 경계를 선택하는 것이다. 커스텀 경계는 서식 >>
셀 >> 경계 메뉴에서 보다 자유로이 지정할 수 있다.
오른쪽의 그림에서 데이터와 제목들은 가운데 맞춤으로
정렬되었다. 또한, 표 제목은 다른 글꼴로 지정되었고 그
크기도 증가되었으며, 경계도 추가되었다.
8. Display Sample Formulas
워크시트는 이제 읽기 쉬운 형태로
정리되었다. 그러나, 여러분은
수업조교가 채점하기 쉽게 만들어야
한다. 예를 들어 사용된 수식의 예시를
워크시트에 표시해야 할 필요가 있다.
수식 입력줄의 수식을 복사 버튼
을 이용하여 복사를 할 경우
<Enter>키를 누르는 것을 잊지 말라. 이
과정은 셀을 클릭한 후 <Cntl-C>를
입력하여 수행할 수도 있다.
수식이 복사되면 빈 셀에 붙여넣기한 이후에 작은 따옴표(‘)를 맨 앞에 입력하라. 작은
따옴표는 셀의 내용을 강제로 문자로 표시되게 하는 효과가 있다. 수식의 강조를 위하여
색깔을 사용할 수도 있을 것이다.
9. Consult the Page Setup
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여러분은 자주 여러분의 워크시트를 출력할
필요가 있을 것이다. 출력할 때 수업조교들이
여러분이 사용한 수식을 검사할 때 참고를
위해 눈금선과 열과 행의 제목을 표시하는 것이 필요하다. 이렇게 하기 위해서는 파일 >>
페이지 설정 메뉴에서 시트 탭을 선택하고 눈금선과 행열 머리글을 선택하라.
프린터 미리보기 를 사용하면 인쇄하기 전에 워크시트의 출력모습을 점검할 수 있다.
시간을 들여 여러분이 작업한 내용을 검토하고 단위, 적절한 유효숫자, 경계, 음영 등을
사용하였는지를 확인하라. 또한 계산에 사용된 수식의 예를 표시하였는 지도 확인하라.
스스로 평가하여 제출해도 될 만큼 충분히 만족스러울 때 출력하라. 예로써 다음이
수업조교가 여러분이 인쇄하여 제출한 Volume of Sphere 워크시트에서 보게 될 내용이다.
컬러 프린터를 사용하지 않았으므로 색채우기 음영은 그레이 스케일로 변환되어 출력되어
있다.
17
Excel Tutorial #4 Algebra
Excel 은 대수방정식을 해결하는데 매우 유용하다. 그러나 프로그램은 실제로 대수방정식의
해를 구하는 연산을 수행하는 것이 아니며 여러분들이 적절한 수식을 제공하여야 한다.
예를 들어 우리는 Excel 을 사용하여 종이 한 장의 두께를 계산할 수 있다. 우리가 500 장의
종이로 구성된 한 연의 두께가 4.895 cm 임을 알고 있다고 하자. 그러면 종이 한 장의
두께는 전체 두께를 전체 종이의 장수로 나누어 얻을 수 있다. Excel 을 사용하여 알고 있는
값, 즉, 종이의 장수와 전체 두께를 입력한다. 아래와 같이 값들이 셀 A2 와 B2 에
입력되었다. 아래의 워크시트에서처럼 수식 =B2/A2 가 셀 C2 에 입력하면 결과가 출력된다.
여기에 Excel 이 유용하게 사용될 수 있는 더 복잡한 예가 제시되어 있다. 우리는 사각형의
축구 경기장의 둘레를 따라 6 바퀴 돌았을 때의 이동 거리를 알고자 한다. 경기장의 길이는
109.80 m, 폭은 48.80 m 로 주어져 있다. 이동한 거리는 단순히 경기장의 둘레에 달린 바퀴
수를 곱하여 구해진다. 둘레는 당연히 경기장의 각 면의 합으로 구해지며, 즉 Perimeter = (2
x Length) + (2 x Width) 이다. 따라서 여러분은 다음과 같은 워크시트를 작성하게 될 것이다.
18
우리는 위의 워크시트에서 달린 거리의 단위를 마일로 바꿀 수도 있다. 단위변환에 필요한
관계는 1 mile = 1609.3 meters 이다. 이 변환을 이용하여 위의 셀 D2 의 m 단위 결과를 아래와
같이 셀 D4 의 mi 단위로 변환할 수 있다.
만약 12.5 바퀴 돌았을 때 달린 거리를 알고 싶다면 단지 6 이었던 셀 A2 의 값을 12 로
바꾸기만 하면 된다. Excel 은 자동으로 재계산하여 결과를 제시하며 여러분은 어떤 식도
변경할 필요가 없다.
여기에 다른 예가 있다. 일반적인 2 차방정식은 02 =++ cbxax 로 주어진다. 이때 방정식의
해는 근의 공식에 의해 다음과 같이 결정된다.
aacbbx
242 −±−
=
우리는 이차방정식 0782 2 =++ xx 의 두 개의 해 모두를 구하고자 한다. Excel 의 도움을
받아 이를 해결한 결과가 아래의 그림에 나타나 있다. (수식의 여백은 읽기 쉽도록 추가된
것이다.)
19
물론, 다른 이차방정식을 풀기 위해서는 셀 A1, B1, C1 에 있는 상수 cba ,, 만 바꾸어 주면
된다. 수식을 변경할 필요가 전혀 없이 새로운 상수가 입력되기만 하면 자동으로 결과가
변경된다.
이제 여러분이 잘 알고 있는 마지막 하나의 예를 가지고 이번 튜토리얼을 마치도록 하겠다.
여러분은 구의 체적공식 3
34 rV π= 을 잘 알 것이다. 이번 예에서는 우리는 농구공의 체적이
7200 cm3이라는 말을 듣고 Excel 을 사용하여 농구공의 반지름을 구하고자 한다. 우선, 위의
공식은 343πVr = 처럼 다시 정리되어야 한다. 아래의 그림은 Excel 을 이용하여 반지름을
구하는 방법을 보여준다.
위의 예에서 우리는 숫자 3.14159 를 원주율 π를 대신하여 사용하였다. Excel 은 원주율을
반환하는 내장함수로 PI( )를 가지고 있으므로, 다음의 그림에서처럼 수식에서 사용될 수도
있다.
어떤 방법이든 좋다. 어떤 학생은 숫자를 선호하고 다른 학생을 내장함수를 사용한다.
선택은 여러분의 몫이다.
마지막으로, 우리가 네 개의 서로 다른 구의 부피를 알고 있고 우리는 이러한 구들의
반지름을 구하는 경우를 생각해 보자. 우리는 A2 의 값을 한번에 하나씩 변화시켜 가면서
각각의 구의 반지름을 구할 수도 있다. 아니면, 우리는 각각의 구를 위한 수식을 직접
20
타이핑하여 입력할 수 도 있다. 그러나, 나머지 구들의 반지름을 결정하는 가장 빠르고
최선의 방법은 아래 그림과 같이 복사 및 붙여넣기 기능을 이용하는 것이다.
21
Excel Tutorial #5 Displaying Symbols
여러분은 자주 워크시트에 α, β, Δ, π, ≅ 나 ±와 같은 기호을 표시하는 게 더 편리하다고 느낄
것이다. 넣고자 하는 기호에 따라서 이용할 수 있는 두가지 방법이 있다.
* 실제로는 삽입 >> 기호 메뉴를 이용하는 것이 훨씬 더 편리하며 다양한
기호를 사용할 수 있게 한다.
1. 첫번째 방법은 글꼴을 Symbol 로 바꾸고 적절한
문자를 입력하는 것이다. 예를 들어, 그리스 문자
(alpha)를 입력하려면 우선 문자 a 를 입력하고 그 문자를
선택하여 글꼴을 Symbol 로 바꾸면 된다.
아래에는 symbol 글꼴로 쓸 수 있는 몇몇 기호들을 열거하였다.
To create
this character ...
Change the font
to "Symbol" and
type this letter ...
α 알파 a
β 베타 b
δ 델타 d
φ 피 f
γ 감마 g
λ 람다 l
μ 뮤 m
ν 누 V
π 파이 p
θ 세타 q
To create
this character ...
Change the font
to "Symbol" and
type this letter ...
Χ 치 C
Δ 델타 D
Φ 피 F
Γ 감마 G
Λ 람다 L
Π 파이 P
Θ 쎄타 Q
Σ 시그마 S
Ω 오메가 W
≅ @
22
ρ 로 r
σ 시그마 s
τ 타우 t
ω 오메가 w
⊥ ^
∴ ₩
2. 불행히도 위의 방법으로는 사용하고 싶은 모든 기호를 넣을 수 없다. ° (degree), ±, × and
÷ 와 같은 기호들은 두 번째 방법으로 입력되어 표시되어야 한다.
이러한 기호를 얻기 위해서는 <Alt>키를 누른 상태로 숫자패드상의 특정한 코드를 입력하면
된다. 예를 들어, 도( ° ) 기호를 표시하려면 <Alt>키를 누른 상태로 0176 을 숫자패드에서
눌러야 한다. 메인 키포드의 숫자키가 아니다.
다음은 <Alt>+숫자 방식으로 얻을 수 있는 몇몇 기호이다.
To create
this character ...
Press the <ALT>
key while typing
this number ...
° (degree) 0176
± 0177
0185
× 0180
÷ 0184
0165
To create
this character ...
Press the <ALT>
key while typing
this number ...
0163
0179
0187
0186
0209
0182
숫자코드는 반드시 키패드로 입력되어야 함에 주의하라.
오른쪽 그림에는 그리스 문자 및 기호가 들어가 있는
워크시트의 예가 주어져 있다. 여러분들은 이를 똑같이
만들 수 있겠는가?
23
Excel Tutorial #6 Trigonometry
사인, 코사인, 탄젠트와 같은 삼각함수를 다룰 경우 Excel 의 삼각함수는 도(degree)가 아니라
라디인(radian)을 기본으로 한다는 것을 알고 있어야 한다. 만약 주어진 데이터의 각도가
도로 주어져 있다면 이를 라디안으로 바꾸는 것이 우선 필요하다.
이러한 작업을 할 수 있는 방법은 다음과 같다.
1. π = 180° 임을 기억한다. 따라서, 각도가 도로 주어져 있으면 그것을 /180°로
곱하여 라디안으로 변환한 후 삼각함수에 사용한다. 이러한 변환은 Excel 수식에서
PI( )/180 로 표시된다. 예를 들어 45°를 라디안으로 바꾸는 Excel 수식은
45*PI( )/180 이 되고 결과는 0.7854 라디안이다.
2. Excel 은 내장함수로서 RADIANS(angle) 함수를 가지고 있고, 여기서 각도는 도의
단위이다. 예를 들어, 270°를 라디안으로 바꾸는 식은 RADIANS(270)이 되고 결과는
4.712389 라디안이다.
여러분은 DEGREES(angle) 함수를 이용하여 라디안으로 표시된 각도를 도의
단위로 변환할 수 있다. 예를 들어 DEGREES(PI( ) )는 180 이다.
Excel 은 내장 삼각함수를 가지고 있다. 여러분이 가장 많이 사용하게 되는 함수들이 아래의
테이블에 열거되어 있다. SIN( ), COS( ), TAN( ) 함수들은 라디안을 기본으로 정의되며 또한
역삼각함수 ASIN( ), ACOS( ), ATAN( )도 라디안 값을 반환한다. (도 단위의 각도를 가지고
연산을 할 경우에는 변환함수인 DEGREES( ) 와 RADIANS( ) 함수를 적절히 사용하여야
한다.)
Mathematical
Expression
Excel
Expression Excel Examples
sine: sin(θ) SIN(number) SIN(30) equals -0.98803, the sine of 30 radians
SIN(RADIANS(30)) equals 0.5, the sine of 30°
cosine: cos(θ) COS(number) COS(1.5) equals 0.07074, the cosine of 1.5 radians
COS(RADIANS(1.5)) equals 0.99966, the sine of
1.5°
24
tangent: tan(θ) TAN(number) TAN(2) equals -2.18504, the tangent of 2 radians
TAN(RADIANS(2)) equals 0.03492, the tangent of
2°
arcsine: sin-1(x) ASIN(number) ASIN(0.5) equals 0.523599 radians
DEGREES(ASIN(0.5)) equals 30°, the arcsine of 0.5
arccos: cos-1(x) ACOS(number) ACOS(-0.5) equals 2.09440 radians
DEGREES(ACOS(-0.5)) equals 120°, the arccosine
of -0.5
arctangent: tan-
1(x)
ATAN(number) ATAN(1) equals 0.785398 radians
DEGREES(ATAN(1)) equals 45°, the arctangent of 1
다음은 삼각함수와 관련된 문제의 예제들로 Excel 을 사용하여 그 문제들을 해결하는 방법을
설명하고 있다.
예를 들어 그림과 같이 큰 나무의 높이를 측정하려고 한다. 76 m 떨어진 지점에서 ( x= 76 m) 나무의 최고점을 바라보면 시선이 수평선과 32°를 이루는 것을 측정하였다 (θ = 32°).
삼각함수의 정의로부터 다음의 식을 쓸 수 있다.
xh
=θtan
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위의 식을 나무의 높이 h에 대하여 정리하면 θtanxh = 를 얻는다. 아래의 그림은 Excel 을
이용하여 나무의 높이를 구한 결과가 47 m 임을 보여주고 있다.
도로 표시된 각도를 삼각함수에 사용하기 전에 RADIANS( ) 함수를 이용하여 변환하는
것을 주의하여 살펴보라.
다음의 예에서 우리는 수상스키 램프의 발사각도 α를 구하고자 한다. 주어진 데이터는 A
= 3.5 m, B = 10.2 m, α= 45.0°이다.
각도 α를 구하기 위하여 다음의 사인법칙을 사용한다.
βα sinsinBA
=
위의 식을 정리하면 sin α 의 항으로 B
A βα sinsin = 로 정리할 수 있다. 역삼각함수인
arcsine 함수를 사용하면 다음과 같이 각도 α의 식을 얻는다.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= −
BA βα sinsin 1
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다음의 그림의 Excel 을 사용하여 이 문제를 푼 결과를 보여주고 있으며 그 결과 램프의
발사각도는 14.04°로 결정되었다.
위의 예에서 DEGREES( ) 나 RADIANS( ) 함수의 사용법을 주의하여 살펴보라.
삼각함수의 마지막 예에서 우리는 다음의 삼각함수 관계식을 검토할 것이다.
1cossin 22 =+ θθ
아래의 결과에서 각도 가 라디안이든 도이든 위의 관계식이 만족됨을 확인하라.
숫자와 단위가 각각 다른 셀에 위치함을 살펴보라. 만약 숫자 뒤에 단위를 붙여
쓴다면 Excel 은 그 숫자를 해독할 수 없고 그 결과 수식에서 참조할 수도 없다.
27
Excel Tutorial #7 Graphing Data and Curve
Fitting
이번 튜토리얼에서는 오른쪽에 제시되어 있는 원형
물체에서의 원주의 둘레와 반경의 측정값 데이터를
이용하여 Excel 을 이용한 그래프 작성에 대하여
살펴본다. 데이터를 표로서 표시하는 스타일링에
대해서는 앞서의 튜토리얼을 참고하라.
물론 이 데이터와 관련된 관계식은 rC π2= 이고
원주의 둘레는 반경의 2 배와 동일하다. 이 실험에서
원주의 둘레와 반경 값들은 측정된 것이다. 우리는
실험을 통하여 원주율 π의 값을 유효숫자 6 자리, 3.14159 까지 결정할 수 있기를 기대한다.
실험을 시작하는 학생들이 그들이 얻은 데이터를 컴퓨터가 아니라 손으로 직접 그래프로
그려보아야 한다는 것은 나의 오랜 믿음이다. (비록 이곳 대학교의 모든 사람들이 그렇게
생각하지는 않지는 말이다.) 그러나, 현재는 우리 물리학 실험의 몇몇 강좌에서는 컴퓨터를
이용한 그래프 작성을 허용하고 있다. 여기에 Excel 을 이용하여 그래프를 작성하는 방법을
설명하였다. Excel 을 이용하여 그래프를 기리기 위해서는 다음의 단계를 따를라. 그래프
작성이 매우 복잡한 것처럼 보이지만 실제로는 수월하고 간단한 작업이다.
1. 위의 스크린샷처럼 데이터를 워크시트에 입력하라.
2. 워크시트의 빈 셀을 클릭한 후 툴바에 있는 차트 마법사 버튼 을 누르라.
3. 차트 종류 윈도우(4 단계 중 1 단계)가 열릴 것이다. 분산형(Scatter)
을 선택하라. 점을 직선으로 연결하거나 곡선으로
연결하는 등의 차트 하위종류를 선택하지 말라. 다음> 버튼을 누르라.
4. 차트 원본 데이터 윈도우(4 단계 중 2 단계)가 열릴 것이다. 윈도우
위쪽에 있는 계열 탭을 클릭하여 계열 윈도우를 열어라.
5. 추가 버튼 을 누르라. 이러면
오른쪽과 같이 값을 넣을 수 있는 상자가
나타난다. 다음으로 X 값 상자 끝에 있는
다이얼로그 접기 버튼 을 누르라. 이
버튼은 여러분이 수평축에 해당하는 x 값을 선택할 수 있도록 잠시 동안 대화상자를
작게 만든다.
28
6. 대화상자가 작아지면, 여러분은 마우스를
사용하여 수평축에 해당하는 x 값을 선택할 수
있다. 원하는 셀들이 선택되면 x 값 상자에
그들의 참조주소가 나타난다. 선택이 끝나고
다이얼로그 확장 버튼 을 누르면 계열
윈도우는 다시 원래 크기로 돌아간다.
7. 이번에는 Y 값 상자의 끝에 있는 다이얼로그 접기 버튼 을 누르고 6 단계의
과정을 반복하여 수직축에 해당하는 y 값을 선택하라.
8. 계열 윈도우에는 이제 그려질 그래프의 미리보기가 작게 보여질 것이다. 다음>
버튼을 누르라.
차트 옵션 윈도우(4 단계 중 3 단계)가 이제 보여질
것이다. 여기서 여러분은 그래프 제목이나 축의 이름을
추가할 수 있다. 이 단계를 건너뛰지 않는 것은 매우
중요하다. 조금만 시간을 들여서 각각의 상자에 알맞은
설명문을 입력하라. 이 모든 것이 끝나면 다음> 버튼을
눌러라.
9. 차트 위치 윈도우(4 단계 중 4 단계)가 열릴 것이다. 여기서 여러분은
그래프가 놓여질 위치를 결정할 수 있다. 만약 차트만을 위한 페이지에
그래프를 위치시키고 싶으면 새로운 시트로 를 선택하라.
만약 데이터와 함께 그래프를 위치시키고 싶으면 워크시트에 삽입 을
선택하라.
10. 마침 버튼을 누른 후의 그래프는 다음과 같이 보일 것이다.
29
만약 여러분이 그래프를 새로운 시트로 위치하였고,
만약 데이터 시트로 이동하고 싶다면, 스프레드 시트의
아래쪽에 있는 Sheet 1 탭을 누르라.
그래프가 완성되었으며 1, 2 분 정도를 들여 끝마무리를 하라.
1. 여러분은 항상 축의 제목 아래에 단위를 표시하여야 한다. 단위를
표시하려면 원하는 제목을 클릭하고, 커서를 제목의 제일 끝에 위치시킨 후,
<Enter>키를 치고 단위를 괄호()와 함께 입력하면 된다.
2. 나는 항상 범례(legend) 상자를 지운다. 만약에 데이터 셋(set)이 하나뿐일
때에는 범례는 그다지 유용하지 않다. 범례를 클릭한 후 <Delete>키를 누르면 지울 수 있다.
3. 적절한 기호를 사용하는 것은 매력적이다. 예를 들어
우리의 그래프에서 “pi” 대신에 기호 "π"를 사용하는 것이 훨씬 더 나아 보인다. 이렇게 하기
위해서는 그래프 제목을 클릭하고 적절한 기호를 삽입하면 된다.
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그래프의 제목이나 축의 제목에서 글꼴, 크기, 스타일의 변경이 가능하다는 점에
주의하라.
4. 여러분은 추세선(trendline)을 그래프에 추가할 필요가 있을 수 있다. 이 작업은
컴퓨터로 하여금 데이터에 가장 적합한 곡선(best-fit line)을 추가하도록 하는 것이다.
여러분은 추세선의 수식과 R2 값을 함께 표시할 수 있다.
원의 둘레와 원의 반경에 대한 관계식은 선형이다. 따라서 그래프로 그려진
데이터가 bmxy += 의 형태로 직선을 이룰 것을 기대한다. 추세선을 추가하려면
그래프의 한 부분을 클릭한 후 메뉴바의 차트 >> 추세선 추가 를 클릭하면 된다.
우리는 직선을 기대하므로 선형을 선택하라.
Excel 에서는 선형 외에도 다른 종류의
추세선을 지원한다. 예를 들어 로그, 다항식, 지수,
exponential, 이동평균 등도 선택할 수 있다.
여러 개의 추세선을 하나의 데이터 셋(계열)에 적용하는 것도 가능하다. 이러한
기법에 대해서는 나중에 나오는 fitting multiple curves on one set of data 튜토리얼을 참고하라.
추세선과 함께 추세선의 수식과 R2 값을 표시하려면 추세선
추가 윈도우에서 선형을 선택한 후 옵션탭으로 들어가라.
아래쪽의 박스에서 수식을 차트에 표시, R-제곱값을 차트에 표시를 체크하라.
확인 버튼이 눌려지면 가장 접합한 곡선이 추세선으로
그려지고, 또한 그 곡선의 방정식과 R2 값이 오른쪽과 같이
표시될 것이다. 방정식의 위치는 클릭하여 드래그하면 원하는
위치로 옮겨질 것이다.
R2 값은 상관계수의 제곱을 의미한다. 상관계수 R 은 추세선 또는 관계식이 얼마나
정확하게 데이터를 표현할 수 있는가에 대한 지표이다. 위의 경우에서 R2 값은 선형의
관계식이 데이터를 얼마나 잘 표현하는가를 알려 준다. 즉, R=1 이라는 것은 관계식이
완벽하게 데이터를 표현할 수 있다는 것을 의미하며 모든 데이터들은 관계식의 곡선 위에
존재하게 된다. 일반적으로 상관계수 R 또는 R2 값이 1 에 가까울수록 관계식의 신뢰도가
높다고 할 수 있다. 반면에 R 이 0 에 가까울수록 신뢰도는 낮다고 할 수 있으며, 이런
경우에는 선형이 아닌 다른 종류의 상관식을 찾아야 할 것이다. 더 자세한 설명은 이후의
선형 회귀분석 linear regression tutorial 튜토리얼에서 다룬다.
31
5. 추세선의 수식이 y = 6.179x + 0.2327 로 표시된 것이 이상하게
생각된다. 우리는 x, y 를 측정한 것이 아니라 원의 둘레 C 와 반지름
r 을 측정하여 입력하였기 때문이다. 따라서 표시된 추세선의 수식을
여러분의 변수들과 맞출 필요가 있다! 추세선의 수식을 변경하기 위해서는 수식을 클릭하고
단순히 변수의 문자를 바꾸면 된다. 오른쪽의 그림에서는 우리의 실험을 설명하기 위하여
변수를 변화시켰다. 상기하면 이 실험의 지배방정식은 C = 2πr 이다.
이러한 과정을 통해 무엇이 측정되었고 이 실험이 얼마나 이론과 일치하는 가를
여러분들이 정말로 이해하였음을 수업조교에게 실질적으로 말하고 있는 것이다.
6. 추세선의 선 두께를 줄이는 것은 좋은 터치이다. 디폴트
크기는 다소 두꺼운 편이라서 실제 데이터를 자주 가리게 되기
쉽다. 그래프에 표시된 추세선을 가늘게 만들려면 추세선을 두 번
클릭하여 추세선서식 윈도우를 열고 선 두께를 가늘게 설정한다.
여러분이 노력에 의해 얻게 되는 최종 결과는 다음과 같이 보일 것이다.
7. 단순히 그래프를 작성하는 것으로 물리학 실험의 작업이 모두 끝나는 것이 아니다.
물리학 실험의 진짜 작업은 “실험에 의해서 물리학의 기본 이론이 검증”되었는지를
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판단하는 것이다. 여러분은 다음과 같은 질문을 자신에게 항상 하여야 한다. "이번 실험은
어떤 물리적 이론을 보여주도록 설계되었는가?" 또는 "실험이 정말로 이론을 검증하였는가?"
위의 예제 실험에서 우리는 원형 물체의 둘레와 반지름을 측정하여 그래프로 작성하고
그래프의 기울기가 2π와 동일하다는 것을 보이기를 희망했다. 우리는 매우 멋진 그래프를
만들었지만 아직 실험이 관계식 C = 2πr 를 검증하였는지는 판단하지 못하였다.
이제 여러분은 Excel 을 사용하여 실험결과의
기울기와 이론적인 기울기를 비교할 수 있다. 또
다른 방법은 실험에서 얻어진 π
값을 찾는 것이다. 오른쪽의 스크린 샷에는
Excel 을 이용한 결과가 있다. 우리가 실험에서
얻은 기울기는 6.179 이고 이론에서는 이 기울기가 2π와 같다고 한다. 따라서 우리는
실험에서 얻은 기울기를 반으로 나누어 π값을 얻을 수 있다. (π= slope/2)
셀 E3 의 수식 =E1/2 는 실험을 통해 얻어진 π 값이 3.09 임을 보여준다. 셀 E4 에 있는
수식은 실제값과 측정값 사이의 퍼센트 오차를 보여준다. 보시다시피 오차는 겨우
1.66%이고 따라서 학생이 매우 주의하여 실험을 수행하였음을 보여준다.
참고로 절대오차는 |참값-측정값| 으로 계산되며, 상대오차는 |참값-측정값| / |참값| 으로
정의 된다. 따라서 퍼센트 오차는 상대오차를 구한 뒤 %로 표시한 것이다.
셀 E4 의 퍼센트 오차 수식에서 우리는 상대오차에 100%를 곱하는 대신에,
상대오차를 구한 후 퍼센트 스타일 버튼 을 이용하여 표시하였다.
위의 예제에서 오차를 향상시킬 수 있는 방법이 있는데 추세선의 옵션에서 y 절편을 0 으로
고정하도록 하는 방법이다. 이런 방법의 정당성은 실제로 반지름이 0 일 때 둘레도 0 이
되기 때문이다. 이렇게 하면 기울기는 6.2503 이 되고 퍼센트 오차는 0.52%로 줄어든다.
이제 만들어진 워크시트는 다음과 같이 보일 것이다.
33
그래프를 새로운 페이지에 두어야 할지 아니면 위에서처럼 원본 데이터와 함께
두어야 할지 여러분의 수업조교에게 질문하라.
여러분이 출력할 때 눈금선과 행/열 머리글을 함께 출력하도록 설정하라. 이렇게
하는 방법은 튜토리얼 Basic Actions 에 설명되어 있다.
34
Excel Tutorial #8 Advanced Graphing and
Curve Fitting
1. Creating plots of two data series on one graph.
여러분이 2 개의 데이터 계열을 하나의 그래프로 작성하기를
원한다고 하자. 예를 들어 여러분이 2 개의 시간 vs 위치
곡선을 한 그래프에 그리려 한다. 오른쪽에는 2 대의
자동차의 시간과 위치 데이터가 있다.
이렇게 하려면, 우선 이전의 튜토리얼에서 설명한 그래프
작성 단계 1~7 을 수행하라. 이렇게 하면 그래프를 그리기
위한 첫번째 데이터 계열 1을 만든다.
아래와 같은 윈도우가 열려져 있는 동안 버튼을 다시 눌러 두번째 데이터 계열을
추가하고, 단계 5~7 을 반복하라. 원하는 모든 데이터 셋을 추가할 때까지 계속하면 된다.
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2. Altering the graph's legend.
2 대의 자동차 데이터가 한 그래프에 표시된 위의 예를
가지고 계속하자. 범례는 디폴트로써 오른쪽에 보여진
대로 데이터 마커와 데이터 이름인 계열 1, 계열 2로
표시된다. 그러나 불행히도 계열 1, 계열 2 는 어떤
데이터가 그려진 것인지 아무런 말을 해주지 않는다.
이제 이 데이터에 Car #1 과 Car#2 라는
데이터 이름을 붙여주자.
우선 그래프 영역의 아무 부분이나 마우스로
오른쪽 클릭하라. 그러면 몇가지 옵션을
선택할 수 있는 윈도우가 아래 그림과 같이
나타나고 이 중에서 원본 데이터를 선택하라.
원본 데이터 윈도우가 열리면 그 윈도우
위에 있는 계열 탭을 선택하라.
다음 그림과 같이 데이터 계열 윈도우가 나타나면 계열 이름을 쓰는 텍스트 박스(붉은색
원)에 Car#1 을 입력하라. 다른 계열의 이름을 바꾸려면 적절한 계열(녹색 원)을 선택하고
이름을 쓰라.
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더 설명적인 범례 또는 레이블을 가진 그래프는 다음과 같다.
3. Fitting multiple curves on one set of data.
로봇이 앞뒤로 움직인 위치를 기록한 데이터를 가지고 있다고 생각해 보자. 이제 많이
연습해 보았으므로 우리는 위와 같은 그래프를 그릴 수 있다. 그러나 우리는 로봇이 앞
뒤로 움직일 때의 속도를 결정할 필요가 있다고 하자. 이렇게 하기 위해서 우리는 로봇이
앞으로 움직일 때의 그래프의 기울기(양의 기울기)와 뒤로 움직일 때의 기울기(음의
기울기)를 결정해야 한다..
위의 그래프는 단지 하나의 데이터 계열로 그려졌기 때문에 우리는 하나의 추세선으로
전체의 그래프를 맞추어야 한다. 두 개의 추세선으로 그래프를 맞추기 위해 우리는 2 개의
원본에서 추출된 두 개의 데이터 계열을 추가하기로 한다.
로봇 예제를 위한 방법이 다음에 있다.
1. 우선 위의 그래프를 살펴보고 추가될 데이터 계열을 범위를 결정하자. 로봇이
앞으로 움직이는 0 에서 4 초 까지를 새로운 계열 1로, 뒤로 움직이는 7 에서 11 초
까지를 계열 2 로 결정하면 된다.
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2. 이번 튜토리얼의 데이터 계열의 추가 방법을 따라서 새로운 계열을 추가한다.
데이터 범위는 위에서 결정하였다. 이 과정을 마치면 여러분의 원본 데이터는
다음과 같이 보일 것이다. 우리가 실제로는 세 개의 데이터 계열을 출력하였음을
주의하여 살펴보라.
3. 그래프 상의 데이터 점을 오른쪽 클릭하여 아래와 같이 추세선 추가…를 선택한다.
이 예에서는 선형 추세선을 선택하고 또한 그 수식을 그래프에 표시하기로 한다.
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4. 위의 과정을 각각의 계열에 대해 반복한다. 그 결과 그래프에는 아래의 그림과 같은
두 개의 추세선이 함께 표시된다. 우리는 로봇이 2 m/s 의 속도로 앞으로 움직이고 -
2 m/s 의 속도로 뒤로 움직였음을 알게 된다. (세 번째 계열의 y 축 절편은 별다른
물리적 의미를 가지지 않는다.)
4. Using error bars.
이번 예에서는 물의 질량과 체적을 측정하였다. 체적 대 질량 그래프를 그려서 우리는
그래프의 기울기로부터 물의 도를 결정할 수 있을 것이다. M = ρV 임을 기억하라. 측정된
데이터와 그래프가 아래의 그림에 제시되어 있다.
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그래프의 기울기는 일반적으로 인정되는 물의 도인 1000 kg/m3의 약 2% 정도 내에
들어감을 확인할 수 있다. 그러나 우리는 우리의 측정점의 품질을 알 수 없다. 측정점들은
선에 가깝게 보이지만 확실히 하기 위하여 오차막대(error bar)를 추가해야 한다.
질량 측정의 불확실성은 ± 10 kg 이고 체적 측정의 불확실성은 ± 0.006 m3임이
표준편차(standard deviation)라는 해석 툴에 의해 결정되었다. (튜토리얼 standard deviation 을
참고하라) 이러한 불확실성 값들은 오차막대를 표시하는데 사용된다.
Excel 그래프에 오차막대를 추가하기 위하여 다음의 간단한 절차를 따르라.
1. 그래프 내의 한 점을 더블 클릭하여 데이터 계열 서식 윈도우를 열어라. (또는
여러분은 한 점을 마우스 오른쪽 클릭하여 데이터 계열 서식… 을 선택하거나, 한
점을 클릭한 후 메뉴바의 서식 >> 선택된 데이터 계열… 을 선택할 수 있다.) 위의
어떤 방식을 사용하더라도 다음과 같은 데이터 계열 서식 윈도우가 열린다.
2. 그 윈도우 위에 있는 X 또는 Y 오차막대
탭을 눌러라. 만약 불확실성이 일정한
상수이면 단지 고정값 옵션을 선택하고 그 값을 입력하라. 적절한 표시 형식을
선택하는 것을 잊지 말라. 본 예에서는 X 축에 해당하는 부피 측정의 불확실성은 ±
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0.006 m3이므로 0.006 을 오차값으로 입력하라. 또한 본 예에서는 아래 그림과 같이
양쪽의 오차를 모두 포함하여 표시한다.
3. 위의 단계를 나머지 오차막대를 설정하기 위하여 반복하라. Y 오차막대는 고정값에
크기를 10 으로 설정하여야 한다.
4. 데이터와 추세선, 오차막대를 포함한 최종결과가 아래의 그림에 있다. 오차막대가
크지 않으며 그들이 모두 추세선 안으로 들어감을 주의하여 살펴보라. 이상에서
측정이 매우 조심스럽게 이루어 졌음을 확인할 수 있다.
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Excel Tutorial #9 Advanced Topics
이번 튜토리얼은 유용하지만 자주 사용되지 않는 두가지 주제를 다룬다. 첫번째 주제는
사용자 정의 상수 만들기이며 두번째 주제는 그래프의 스케일의 조정이다.
1. Creating user-defined constants.
내장상수 PI( )가 원주율 가 필요할 때 사용될 수 있음을 알았다. 또한 Excel 은 사용자가
직접 자신의 상수를 정의하는 것을 허용한다. 여러분은 많은 물리학 공식에서 중력가속도
(the acceleration due to gravity) g 가 사용됨을 알고 있다. 일반적으로 사용되는 중력가속도는 g =
9.80 m/s2이다.
여러분들은 일년 내내 중력가속도 g 를 사용하게 된다. Excel 에서는 9.80 이라고 타이핑하는
대신에 설명적인 이름이나 기호를 사용하여 상수를 정의할 수 있다. 예를 들어 g 같은
기호를 사용하여 9.80 과 같도록 할 수 있다. 이러고 나면 여러분은 수식에서 단순히 g 만을
사용하면 된다.
우선 물리학과 상관없는 예를 들어 어떻게 상수를 정의할 수 있는지 살펴보자. 역시 상수를
정의하는 데에는 여러 방법이 있지만 다음의 방법이 가장 도움이 된다고 생각한다.
여러분이 과일상점의 주인이고 Excel 을 이용하여 각각의 고객이 얼마나 지불해야 하는지
계산하려 한다. 지불해야 하는 비용은 각각의 과일의 가격과 구매한 개수에 의해 결정된다.
예를 들어 당신은 사과를 $0.25, 오렌지는 $0.45, 배는 $0.64 에 판다고 하자. 이 가격은 매일
변경되며 따라서 만약 다른 수식은 변경하지 않고 과일의 가격만 쉽고 빠르게 바꿀 수
있다면 매우 도움이 될 것이다.
여러분이 첫 번째 할 일은 오른쪽과 같이 데이터 표를
만드는 것이다. 과일 이름인 사과, 오렌지, 배가 개당
가격의 옆에 위치되었음을 주의하여 살펴보라. 이렇게
위치시키는 것이 필수적인 것은 아니지만 데이터를
정리하는데 더 도움이 된다.
또한 그림에서 붉은색 원으로 표시된 이름 상자를 주의하여 살펴보라. 이것은 셀 B3 가
선택되었음을 말한다. 또한 수식 입력줄을 살펴보면 셀 B3 의 값이 0.25 임을 알 수 있다.
여기서 새로운 것은 없다.
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이제 우리는 각각의 과일의 가격을 지시하는 3 개의 상수를 정의하기로 한다. 첫번째
상수로서 apple 을 선택하여 사과의 가격을 나타내기로 하자. 이렇게 하기 위해서 다음의
단계를 따르면 된다.
1. 상수로 정의하고자 하는 값이 들어 있는 셀을 클릭하라. 위의 예제에서는 사과의
가격을 담고 있는 셀 B3 를 클릭하면 된다.
2. 오른쪽 그림과 같이 이름 상자를 클릭하고, 원하는 상수의
이름을 타이핑한다. 본 예제에서는 오른쪽과 같이 apple 이라고
입력한다.
Excel 에서는 대문자와 소문자를 구분하지 않으므로 중복되지 않게 이름을
지어라. Excel 도움말에서 사용자 상수의 작명법에 대한 안내를 찾을 수 있다.
3. 이름을 모두 입력하였으며 반드시 <Enter> 키를 쳐라. 이렇게
하면 그 상수의 이름이 그 셀의 내용과 연결된다. 마우스로 셀
B3 를 클릭하면 이름 상자에서 상수의 이름을 확인할 수 있다.
여러분의 상수를 성공적으로 정의하였는지 간단한 테스트를
할 수 있다. 이렇게 하려면 빈 셀을 선택하여 "=apple"을 입력하여
보라. 오른쪽과 같이 상수의 값인 0.25 가 나타날 것이다.
4. 위의 단계 1 에서 2 까지를 오렌지와 배에 대하여서도 반복하라. 각각의 상수가
적절히 정의되었는지 확인하는 것은 좋은 생각이다.
5. 이제 여러분의 데이터 표를 만들어라. 예제 표가 아래의 그림에 제시되어 있다.
3 명의 고객이 구매한 사과, 오렌지, 배의 개수가 정리되어 표시되었다. 이제 우리는
각각의 고객이 지불해야 할 비용을 계산하는 수식을 입력할 준비가 되었다.
6. 첫번째 고객이 지불할 전체 비용의 계산식은 아래의 그림과 같이 = apple*B9 +
orange*C9 + pear*D9 이다.
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이것은 사실 훨씬 복잡한 작업처럼 보이지만 만약 여러분이 자주 상수의
값을 바꿀 필요가 있을 경우 매우 유용하다. 예를 들어 사과의 가격이 $0.50 로
떨어졌다고 해보자. 여러분의 워크시트를 적절히 조절하려면 상수 pear 의 값만
변경하면 된다. 이렇게 하려면 단지 셀 B5 의 값을 변경하면 되며, 자동으로 상수
pear 의 값이 변경되고, 계산된 전체 비용도 변경된다. 수식을 바꿀 필요가 전혀
없다!
만약 여러분이 상수를 삭제하고 싶은 경우에는 메뉴바의 삽입 >> 이름 >> 정의로
들어가서 원하는 상수를 선택하고 삭제 버튼을 누르면 된다.
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2. Adjusting the graph's scale.
여러분은 비교적 비슷한 데이터를 그래프로 그릴 경우가 자주
있다. 예를 들어 수평 트랙에서 에어 트랙 글라이더의 속도를
측정한다면 오른쪽과 같이 거의 일정한 데이터를 얻게 된다.
그러나 이 데이터를 가지고 Excel 에서 그래프로 그리게 되면
아래와 같이 데이터가 매우 변화가 심한 것처럼 보여지게 축의
스케일이 결정된다.
그래프가 보다 명백한 선형적 추세를 보이도록 만들기 위하여 우리는 수직의 속도축을
확장할 필요가 있다. 이렇게 하려면 단지 수직축을 더블 클릭하여 알맞게 스케일을
조절하면 된다. 최종 결과는 다음과 같다
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두 그래프 모두 동일한 데이터를 보여준다는 것에 주의하라. 단지 차이점은 축의
스케일이다.
축의 최소값과 최대값을 붉은색 원으로 표시한 것처럼 수동으로 입력하였다.
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Excel Tutorial #10 Statistics
Excel 은 다양한 종류의 내장 통계함수를 가지고 있다. 예를 들어 직선의 기울기나 y 축 절편,
데이터 샘플의 평균, 중간값, 표준편차 등을 계산하는 함수가 그것이다. 이번
튜토리얼에서는 몇몇 중요하고 많이 사용되는 통계함수를 다룬다. 그러나 훨씬 더 많은
함수가 있으며 여러분이 Excel 도움말을 통해 더 공부하기를 바란다.
Basic built-in functions. (AVERAGE, MEAN, MODE, COUNT, MAX, MIN)
우리는 친숙한 학급의 학점을 예로 하여 AVERAGE( ), MODE( ), MAX( ) 등의 기본적인 Excel
함수의 사용법을 설명하겠다. 한 학급의 학점 분포가 다음과 같다고 가정해 보자.
3, 0, 4, 4, 4, 2, 4, 1, 4, 0, 3, 3, 1, 1, 3
이 학점은 4 점 만점의 스케일로 4=A를 0=F 를 의미하며 아래의 그림과 같이 Excel 에
입력되었다. AVERAGE( ) 함수를 사용하면 학급의 Average (산술평균) 학점이 실망스러운 2.47,
즉 C 중반대임을 알 수 있다. 이 함수의 문법은 아래 그림에 있는 것처럼
=AVERAGE(number1, number2, ...) 이다. AVERAGE 함수에 대한 자세한 내용은 이번
튜토리얼의 arithmetic section 을 살펴보라..
그러나 우리는 단순히 평균을 보고 학급의 성취도에 대한 정확한 모습을 알 수 없다.
우리는 더 나아가 MEDIAN( ) 함수를 이용하여 분석을 할 수 있다. Median 은 주어진
숫자들의 중간값을 나타내며 MEDIAN( ) 함수의 문법은 =MEDIAN(number1, number2,...) 이다.
우리는 아래 그림에서 중간 학점은 3.0 이고, 즉 학급의 반은 3.0 이상의 학점을 나머지 반은
3.0 미만의 학점을 받았음을 알 수 있다. 따라서, 낮은 평균 학점에도 불구하고 더 많은
학생들이 3 점이나 4 점을 받았다.
추가적으로 우리는 학점분포를 MODE( ) 함수를 이용하여 분석할 수 있다. Mode 는 숫자들
중에서 가장 자주 나타나는 최빈값을 말하며 그 문법은 =MODE(number1, number2,...) 이다.
그림에서 우리는 학점의 최빈값은 4 이며 즉 4 점이 가장 흔한 점수임을 알 수 있다. 또다시
그 학급의 교수는 낮은 평균 학점에도 불구하고 많은 학생들이 A 를 받았다는 점에 용기를
낼 수 있을 것이다.
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너무 깊이 들어갈 필요 없이 우리는 Excel 내장함수를 이용해 입력된 학점의 갯수, 학점
분포의 최대, 최소값을 결정할 수 있다. 이러한 함수의 문법이 아래의 항목에서 그리고
그림에서 제시되어 있다.
• COUNT( ) 함수: 숫자를 포함한 셀의 개수를 센다. 문법은 =COUNT(value1, value2, ...)
• MAX( ) 함수: 숫자들 중의 최대값을 반환한다. 문법은 =MAX(number1, number2, ...)
• MIN( ) 함수: 숫자들 중 최소값을 반환한다. 문법은 =MIN(number1, number2, ...)
Linear regression equations. (SLOPE, INTERCEPT, CORREL)
Excel 은 주어진 데이터 셋의 기울기, y 축 절편, 상관계수, 상관계수의 제곱을 결정할 수
있는 내장함수를 가지고 있다. 그 내장함수는 SLOPE( ), INTERCEPT( ), CORREL( ), 그리고
RSQ( )이다. 자세한 내용은 다음의 회귀분석 튜토리얼을 참고하라.
각각의 함수의 문법은 다음과 같다.
• 기울기, m: =SLOPE(known_y's, known_x's)
• Y 축 절폄, b: =INTERCEPT(known_y's, known_x's)
• 상관계수, r: =CORREL(known_y's, known_x's)
• R-제곱, r2: =RSQ(known_y's, known_x's)
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나는 이 함수들를 2 가지 이유에서 사용한다. 첫째로, 그것들을 사용하는 것은 그래프를
그린 후 추세선을 추가하는 것보다 훨씬 쉽고 빠르다. 물론 시각적인 그래프가 어떤 도구들
보다 경향을 더 잘 표현하는 것은 당연하다. 둘째로, 때때로 우리는 기울기나 y축 절편을
가지고 계산을 수행할 필요가 있으며, 따라서 그래프에서 제시된 값을 받아적는 것 보다
SLOPE( ) 나 INTERCEPT( ) 함수를 사용하면 과정을 자동화할 수 있다.
하나의 예로서 자동차가 정지할 때의 운동방정식 22 2 ivaxv += 를 살펴보자. 우리가
자동차의 위치와 속도를 측정하였다면 SLOPE( ) 와 INTERCEPT( ) 함수들을 이용하여
가속도와 초기속도를 결정할 수 있다. 운동방정식은 bmxy += 의 형태를 가지므로 만약
자동차의 속도의 제곱이 y축에 자동차의 위치가 x축에 그려지면, 그래프의 기울기는
a2 에 해당하고 y 축 절편은 2iv 에 해당한다.
가속도를 결정하기 위하여 기울기, SLOPE()가 2 로 나누어져야 하고, 또 초기속도를 구하기
위해서는 y축 절편, INTERCEPT( )의 제곱근을 취해야 함에 주의하라.
상관계수, CORREL( ) 함수는 데이터가 선형의 경향을 가지는지 확인하기 위해 사용되었다.
선형의 경향을 보이지 않는다면 기울기나 y축 절편의 값은 무의미하다. 때때로 경향이
분명하지 않을 수 있으므로 데이터를 통계분석하고 동시에 그래프로 작성하는 것은 언제나
좋은 생각이다. 또한 데이터를 그래프로 그리는 것은 데이터를 시각화 하고 명백한 실수나
잘못된 데이터 점들을 쉽게 찾아 낼 수 있도록 한다. 아래의 그래프는 우리의 데이터가
reasonable 함을 즉시 알려 준다
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여러분은 항상 데이터가 의미하는 바를 확신할 수 있어야 한다.
Error analysis tools. (STDEV)
이제 하나의 양, 예를 들어 소리의 속도에 대한 반복적인 측정값들을 생각해 보자. 우리는
측정값들의 평균을 구할 수 있다. 그러나 이 값은 측정의 정확도에 대하여 아무것도
알려주지 않는다. 이러한 이유 때문에 우리는 측정값의 표준편차(standard deviation)을 계산할
필요가 있다. 빠르게 측정값의 표준편차를 결장하기 위하여 Excel 내장함수인 STDEV( )
함수를 사용하라. 아래 예에서 설명되어 있다.
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측정의 정확도를 구하기 위해서는 일반적으로 받아들여지는 음속인 343.0 m/s 에 대한
측정값의 퍼센트 오차를 구해야 한다.
Miscellany. (ABS)
절대값을 구하기 위해서 ABS( ) 함수를 사용하라. 아래의 예를 보라.
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Excel Tutorial #11 Linear Regression
Sample data.
우리가 오른쪽과 같이 한 세트의 데이터 ),( ii yx 를 가지고 있다고
하자. 만약 변수 x와 y간에 선형 관계가 있다고 믿을 만한 이유가
있으면, 데이터를 그래프로 작성한 후 데이터 점들을 통과하는 가장
적합한 직선을 그릴 수 있다. 물론 이 직선의 관계식은 잘 알고 있는
bmxy += 가 된다. 이후 우리는 아래의 그림에서처럼 데이터의
기울기, m과 y축 절편, b를 결정할 수 있다.
위의 데이터를 Excel 워크시트에 입력하자. 그래프를 그리고 선형 추세선을 추가한 뒤
기울기, y축 절편, R -제곱값을 표시하자. R -제곱값은 상관계수의 제곱임을 상기하라.
대부분의 통계학 텍스트에서는 상관계수를 소문자 r 로 표시하는데 비해 Excel 은 대문자
R로 표시한다. 상관계수는 x와 y값 간의 선형 관계의 신뢰도를 측정하는 값이다.
1=R 은 완벽한 선형관계를 의미한다.
데이터를 열 B 와 C 에 입력하라. 이렇게 하는 이유는 어디까지나 모양을 위해서이다.
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Linear regression equations.
만약 어떤 데이터가 bmxy += 의 선형 상관식을 가지는 것이 기대될 때, 기울기 m과 y축
절편 b를 결정하기 위하여 그래프를 그리는 것이 반드시 필요한 것은 아니다. 대신에
우리는 선형 회귀분석이라고 알려진 통계학적 처리를 데이터에 적용하여 이 값들을 구할 수
있다.
n개의 데이터 점으로 구성된 한 세트의 데이터 ),( ii yx 가 주어지면 기울기 m , y축 절편
b , 상관계수 r 은 다음의 식으로 계산된다.
합 ∑의 범위는 i가 1 에서 n까지 이다. 또한 ix 와 iy 의 첨자는 생략되었다
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Implicitly applying regression to the sample data.
위의 식이 매우 복잡한 것처럼 보이지만 잘 살펴보면 열 데이터의 간단한 산술 조작만으로
각각의 컴포넌트들을 구할 수 있음을 알 수 있다. 이러한 컴포넌트들을 구하기 위해
스프레드 시트를 확장한다.
1. 우선 3 개의 열을 추가하여 각각의 데이터 점들의 xy, x2 그리고 y2를 표시한다.
2. 다음으로 Excel 로 하여금 ∑x, ∑y, ∑(xy), ∑(x2), ∑(y2), (∑x)2, (∑y)2을 계산하게 한다. ∑
기호는 수열 합(summation)을 의미함을 상기하라. 또한 xy 는 x 와 y 의 곱을
의미하며, 즉 x * y 이다. 또한 ∑(x2) 항은 (∑x)2와는 매우 다르다. 계산 순서에
주의해야 한다!
3. 이제 Excel 에게 데이터 점들의 수 n 를 세게 하라. 이렇게 하려면 Excel 의 COUNT()
함수를 사용하라. COUNT() 함수의 문법은 =COUNT(B3:B8)이고 아래 그림의 수식
입력줄에 보여져 있다.
4. 마지막으로 계산된 컴포넌트들을 앞 절에서 주어진 회귀분석 식에 대입하여 기울기
(m), y 축 절편 (b), 상관계수 (r)을 계산하라. 만약 여러분이 제대로 계산했다면
워크시트는 다음과 같이 보일 것이다. 노란색으로 표시된 수식을 주의하여 살펴보라
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Linear regression with built-in functions.
위의 선형 회귀분석의 기법을 이용하여 얻어진 기울기와 y 축 절편이 이전의 그래프의
추세선으로 얻은 결과, 즉, m = 0.5842, b = 1.6842 와 동일하다는 것을 알 수 있다. 게다가
그래프에서 표시된 R-제곱값은 R2 = 0.9488 로 선형 회귀분석으로 얻어진 상관계수 r =
0.9741 와 동등하다 (0.97412 = 0.9488).
따라서 Excel 의 그래프 작성은 선형 회귀분석을 이용하여 기울기, y 축 절편, 상관계수를
계산함을 확인할 수 있다.
Excel 은 내장함수를 가지고 있어 또 다른 방식으로 기울기, y 축 절편, 상관계수, R-제곱값을
구할 수 있다. 이러한 내장함수는 SLOPE(), INTERCEPT(), CORREL() 그리고 RSQ() 이다.
각각의 함수의 문법은 다음과 같다
• 기울기 m: =SLOPE(known_y's, known_x's)
• y 축 절편 b: =INTERCEPT(known_y's, known_x's)
• 상관계수 r: =CORREL(known_y's, known_x's)
• R-제곱값 r2: =RSQ(known_y's, known_x's)
이러한 내장함수를 가지고 데이터 분석을 수행한 결과가 아래에 나타내어져 있다. 사용된
수식은 노란색으로 강조되어 함께 표시되어 있다.
다시 말하자면 여러분은 다음 중 어떤 방법으로든 데이터 셋의 기울기, y 축 절편,
상관계수를 구할 수 있다.
1. 그래프 작성 및 추세선 추가
2. 선형 회귀분석 기법을 직접 사용
3. Excel 의 내장함수 사용
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Excel Tutorial #12 Helpful Hint
이제 여러분은 물리학 실험 수강생을 위한 Excel 튜토리얼의 마지막에 도착했다. 여러분이
이 튜토리얼이 유용하고 도움이 되었기를 기대한다. 그러나 마치기 전에 여러분에게 물리학
실험을 보다 만족스러운 경험이 되도록 하는 몇가지 유용한 힌트를 제공하려 한다.
1. Work carefully. 물리학 수업의 재미있는 점 중에 하나는 실험이 끝나고 여러분이
실험실을 떠난 후에는 여러분이 데이터를 다시 검토할 수 없다는 점이다. 그러므로 시간을
들여서 조심스레 측정하고 또 여러분의 실험 파트너들로 하여금 측정값을 검증하게 하라.
(여기서 경험 많은 목수의 규칙을 상기시키고 싶다: 두 번 측정하고 한 번 톱질하라.)
여러분의 노트나 데이터 표에 값을 기록할 때 올바른 값을 옮겨 적도록 주의하라. 실험실을
떠나기 전에 기록된 데이터가 올바른지 아닌지 실험 파트너들과 모여서 상의하라.
2. Neatly display your work. Excel 을 사용하여 여러분의 데이터와 데이터 분석을
매력적이고 읽기 쉽게 만들어라. 어떤 데이터를 제시하는지 명확히 하기 위해 표 제목을
달고 데이터 제목을 달아라. 데이터 계열을 올바른 단위와 함께 레이블을 달아라. 적절한
유효숫자를 가지고 수를 표시하라. 중요한 문자는 진한 글꼴이나 표의 경계선 등을
이용하여 강조하라. 수식을 포함한 셀들은 음영을 사용하라.
3. Display sample formulas. 여러분의 작업결과에서 예제 수식을 표시하라. 만약 이것을
하지 않으면, 여러분의 수업조교는 여러분 행한 작업을 이해하지 못하거나 실수한 부분을
고쳐줄 수 없다. 예제 수식을 표시한 셀은 음영을 이용하여 더 강조하라.
4. Check your work by hand. 여러분이 작성한 Excel 수식이 정확한 답을 계산할
것이라고 믿자 말라. 복잡한 계산을 수행하는 데 스프레드 시트 프로그램을 잘 못 사용하는
경우가 매우 일상적으로 발생한다. 부주의한 실수를 막으려면 각각의 수식을 손으로 또는
전자계산기로 계산하여 재검토하라.
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또한, 이 답은 reasonable 한가?라는 질문을 스스로에게 하여 최종 결과를 검토하는 습관을
들여라. 비록 모든 실험이 예를 들어 5% 정도의 작은 퍼센트 오차를 보이는 것은 아니지만,
적절히 수행되었다면 여러분의 결과는 적어도 오차범위 50% 이내에 분명히 있을 것이다.
만약 여러분의 결과가 예를 들어 200% 정도의 큰 오차를 보인다면, 여러분의 계산에
오류가 있거나 아니면 실험을 적절히 수행하지 않았을 확률이 크다.
5. Printing tips. 여기에 여러분이 수업조교가 보고서를 쉽게 채점하고 좋은 점수를
주도록 하는 워크시트 인쇄에 대한 힌트가 있다.
데이터와 제목을 쉽게 읽을 수 있도록 행과 열의 크기를 조절하라.
눈금선과 행/열 머리글이 출력되도록 페이지 설정 메뉴를 확인하라.
데이터와 분석이 한 페이지에 인쇄될 수 있도록 하라. 이렇게 할 수 있도록 하는
방법이 몇가지 소개되어 있다.
A. 더 많은 문자를 한 페이지에 담도록 글꼴 크기를 줄여라.
B. 페이지 여백은 파일 >> 페이지 설정 >> 여백 탭 에서
조절할 수 있다.
C. 여러 개의 열을 사용하였으면 출력 방향을 landscape
로 설정하면 (portrait 의 반대) 한 페이지에 출력할 수 도
있다. 파일 >> 페이지 설정 >> 페이지 탭에서 출력방향을 변경하라.
D. 마지막으로 Excel 로 하여금 페이지 크기를 자동으로 조절하여 전체
워크시트를 한 페이지에 출력하게 할 수 있다. 이렇게 하려면 파일 >>
페이지 설정 >> 페이지 탭을 열고
o 페이지 크기를 퍼센트로
조절하거나
o 워크시트를 정해진
페이지에 맞추게
하라
휴, 여러분이 해냈다!
드디어 여러분은 Excel 튜토리얼의 끝까지 도착했다. 나는 여러분이 즐겁게 연습하였기를
바란다. 나는 여러분으로부터 어떤 종류의 코멘트든지 듣기를 바란다. 물리학 실험
과목에서의 행운의 빈다.
