3
Nuclear Physics B (Proc. Suppl.) 140 (2005) 766–768 0920-5632/$ – see front matter © 2004 Elsevier B.V. All rights reserved. www.elsevierphysics.com doi:10.1016/j.nuclphysbps.2004.11.334

Exact supersymmetry on the lattice: the Wess-Zumino model

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Exact supersymmetry on the lattice: the Wess-Zumino model

� � � � � � � � � � � � � � � � � � " � % � � ) � , � � � / 0 � % � � � � 5 � "

6 8 : ; = 8 ? @ A ; A ; E 8 A G I K M = = 8 A G : 8 P M @ E T

E V ; X 8 : Y ; Z M A Y @ G ; P ; = ; \ 8 ] ^ A ; _ M : = ; Y a8 G ; b 8 : Z 8 8 A G e g P g i : j X X @ m @ K K M n 8 Y @ G ; b 8 : Z 8 ] b 8 : \ @ I : M 8 G M K K Mp \ ; M A q M ] r s I ] t u � v v b 8 : Z 8 ] e Y 8 K x

y { | ~ ~ � � � � { � � { { � � � � { { | � � � � ~ ~ � � � � | � � � � � � � � � | { { � � | � { � � � ~ � � � | � ~ � � � � � � | � ~ � � � � � � | � � ~ | ~ | � � � � | � � {� � � � � � � � � � � � � | � � � ~ � � � � ~   � � � { �   { � � � ~ � � � � � { | � � � � | � � | ~ � � { � � � | � � � ¡   � � | { � � � { | � � � � � � � � � � � | � { � � � � � � � | � �� � � ~ { � � { ¤ ¥ � | ~ { � � � ~ � � � � � { | � � | ~ � � � � � | � � � � | � { � � ~ � � � � � ¦ � � � ~ � � � � � � � � � ~ � � { � � ~ � � � � � � { � � { | � � � � � � � � { � � ~ ¤¥ � � | � � � | � � { | � � ~ � � { � | ~ � � { { | � � | � � � � | � � � � � � � � | ~ � � ~ ~ � � ¤

§ ¨ © ª « ¬ ® ¯ ° ± « © ® ª

² ³ M Z 8 ´ @ : @ µ = Y 8 \ K M ; A ¶ @ : Z j K 8 Y ; A n 8 = j X M : = x Z ·Z M Y : ; \ Y ³ M @ : x @ A Y ³ M K 8 Y Y ; \ M 8 : ; = M = ¶ : @ Z Y ³ M ¶ 8 \ Y

Y ³ 8 Y Y ³ M = j X M : = x Z Z M Y : x 8 K n M µ : 8 ; = 8 \ Y j 8 K K x 8 A M ¹ ·Y M A = ; @ A @ ¶ Y ³ M b @ ; A \ 8 : ºM 8 K n M µ : 8 ] » ³ ; \ ³ ; = M ¹ X K ; \ ; Y K xµ : @ ¼ M A µ x Y ³ M K 8 Y Y ; \ M ¾ e A G M M G ] ; A 8 A ; A Y M : 8 \ Y ; A nY ³ M @ : x ] Y : 8 A = K 8 Y ; @ A ; A _ 8 : ; 8 A \ M ; = µ : @ ¼ M A = ; A \ M Y ³ MÀ M ; µ A ; q : j K M ; = A @ Y _ 8 K ; G ¶ @ : K 8 Y Y ; \ M G M : ; _ 8 Y ; _ M = Á � Â ¾

à M ¼ A @ » Y ³ 8 Y b @ ; A \ 8 : ºM ; A _ 8 : ; 8 A \ M ; = 8 \ ³ ; M _ M G 8 j ·Y @ Z 8 Y ; \ 8 K K x ; A Y ³ M \ @ A Y ; A j j Z K ; Z ; Y » ; Y ³ @ j Y Æ A MY j A ; A n = ; A \ M @ X M : 8 Y @ : = Y ³ 8 Y _ ; @ K 8 Y M b @ ; A \ 8 : ºM ; A ·_ 8 : ; 8 A \ M 8 : M 8 K K ; : : M K M _ 8 A Y ¾ I : M K 8 Y M G ; = = j M ; = ³ @ »Y @ µ 8 K 8 A \ M µ @ = @ A ; \ 8 A G ¶ M : Z ; @ A ; \ G M n : M M = @ ¶ ¶ : M M ·

G @ Z ] 8 = G M Z 8 A G M G µ x = j X M : = x Z Z M Y : x Ì 8 A 8 ; _ M: M n j K 8 : ; q 8 Y ; @ A @ ¶ ¶ M : Z ; @ A = X : @ G j \ M = 8 » : @ A n A j Z ·µ M : @ ¶ Y ³ M Z ¾ e A @ : G M : Y @ \ @ A = Y : j \ Y 8 \ ³ ; : 8 K K 8 Y ·Y ; \ M Y ³ M @ : x ] » ; Y ³ @ j Y ¶ M : Z ; @ A G @ j µ K ; A n ] Y ³ M K 8 Y Y ; \ MV ; : 8 \ @ X M : 8 Y @ : Í = ³ @ j K G = 8 Y ; = ¶ x Y ³ M i ; A = X 8 : n ·Ã ; K = @ A Ò i Ã Ó : M K 8 Y ; @ A Á Ô Â ¾

e A Y ³ ; = » @ : ¼ » M \ @ A = ; G M : Y ³ M ¶ @ j : G ; Z M A ·= ; @ A 8 K K 8 Y Y ; \ M à M = = · Ú j Z ; A @ Z @ G M K ] ; A Y : @ G j \ M G ; AÛ M ¶ = ¾ Á u ] t  ] Y ³ 8 Y j = M = Y ³ M i à ¶ M : Z ; @ A @ X M : 8 Y @ : ]8 A G » M = ³ @ » Y ³ 8 Y ; Y ; = 8 \ Y j 8 K K x X @ = = ; µ K M Y @ ¶ @ : ·

Z j K 8 Y M Y ³ M Y ³ M @ : x ; A 8 » 8 x Y ³ 8 Y Y ³ M ¶ j K K 8 \ Y ; @ A; = ; A _ 8 : ; 8 A Y j A G M : 8 n M A M : 8 K ; q M G = j X M : = x Z Z M Y : xY : 8 A = ¶ @ : Z 8 Y ; @ A 8 Y 8 Æ ¹ M G K 8 Y Y ; \ M = X 8 \ ; A n ¾ ² ³ M 8 \ ·Y ; @ A 8 A G Y ³ M Y : 8 A = ¶ @ : Z 8 Y ; @ A 8 : M » : ; Y Y M A ; A Y M : Z =@ ¶ Y ³ M i à @ X M : 8 Y @ : 8 A G : M G j \ M Y @ Y ³ M ; : \ @ A Y ; A ·j j Z M ¹ X : M = = ; @ A ; A Y ³ M K ; Z ; Y Ý Þ v ¾

ß à á â ã ä å æ ç è é ê ë ì í ç î

ï ¨ ð ® ° ¬ ¯ © ñ ò ª ó © ® ª ô õ ö ò ó ó ÷ø ° ñ © ª ® ñ ® ¯ ò õ ® ª « ú ò õ ô « « © ± ò

² ³ M 8 \ Y ; @ A @ ¶ Y ³ M ¶ @ j : G ; Z M A = ; @ A 8 K Ã M = = ·Ú j Z ; A @ Z @ G M K @ A Y ³ M K 8 Y Y ; \ M ³ 8 = µ M M A ; A Y : @ G j \ M G

; A Û M ¶ = ¾ Á u ] t  8 A G \ 8 A µ M : M · » : ; Y Y M A 8 =

ý þ � � ý � � ý � � � Ò � Ó

» ; Y ³

ý � � � � � �Ô �� Ò � � Ý

ÔÍ � Ó � � Í � �

� �Ý

Ò � Í � � � ! Í � ! Ó � �Ô # Ò � � Ý

ÔÍ � Ó � � #

� �Ô $ Ò � � Ý

Ô Í � Ó � � $ ' � Ò Ô Ó

ý � � � � � � �Ô * �� � � * Ò # � � $ ! Ó

� �+ Ô , �� Ò � � - / 1 ! Ó �� �+ Ô , 4 # Ò � � � ! � Ó � Ô $ Ò � ! Ó 7 ' 9 Ò u Ó

: M : M � � ! � # � $ 8 : M = \ 8 K 8 : Æ M K G = 8 A G � ; = 8 6 8 ·´ @ : 8 A 8 ¶ M : Z ; @ A Y ³ 8 Y = 8 Y ; = Æ M = Y ³ M 6 8 ´ @ : 8 A 8 \ @ A G ; ·

Y ; @ A ] �� � � = ? ] » ³ M : M ? ; = Y ³ M \ ³ 8 : n M \ @ A ´ j n 8 Y ; @ AZ 8 Y : ; ¹ ] » ; Y ³ ? = � � ? 8 A G ? ? A � � ¾ C j : \ @ A ·_ M A Y ; @ A = 8 : M ? / E ? � � � � Ò / E Ó = 8 A G ? / 1 ? � � �

Ò / 1 Ó = ¾ ² ³ M @ X M : 8 Y @ : = Í � 8 A G Í � G / E Í � E M A ·Y M : ; A n ; A Y ³ M ¼ ; A M Y ; \ Y M : Z = @ ¶ Y ³ M Ã M = = · Ú j Z ; A @8 \ Y ; @ A 8 : M : M K 8 Y M G Y @ Y ³ M g M j µ M : n M : @ X M : 8 Y @ : Í ]

Nuclear Physics B (Proc. Suppl.) 140 (2005) 766–768

0920-5632/$ – see front matter © 2004 Elsevier B.V. All rights reserved.

www.elsevierphysics.com

doi:10.1016/j.nuclphysbps.2004.11.334

Page 2: Exact supersymmetry on the lattice: the Wess-Zumino model

� � � � � � � � � � � �

� � � �

�� � � � � � � � � �

�� � � � � � � � � � �

� ! � $ � ! ' ) ! � � ! � � . / 1 � � ) � 3 � � ! ' � 6 8 � � 9 ) :! � � � � $ . � /

��� � �

�� � �

?� � � � � �

� ' � ) $ ! � � � � � � � 3 D $ � / ! ! ' � $ � ! � � D D . 8 � / / :J D . � � � � � � ! ' � 9 � . � ! ? O P Q

R T V T X � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � # � $ & � Y� � & #Z / 3 � / $ D / / � 3 � � � � � ] � / � � � ) � � ) � ! D � 3 � � / D :

` � � � . . � ! � � a ' � 9 � ] � � � � � ) c / ! ' � / / � . . � ! � � � � :$ ) D / � 1 ! ' � 1 ) � 9 D � � 1 ! ' � f � � � � � g � D 9 � ) ! i � � ! �9 ) ! ! � $ � / ` ) $ � � � � � � Q � � � � l ` � $ ! / ! ' ) ! ! ' � / � � � ) � � :) � $ � $ ) � � � � � / ! � � 3 � � ) 3 3 � � � � � � � 9 � � ) � ! ! � � . /

! ! ' � ) $ ! � � � � � Qq � � ) � � ! ' ) / � � � � / ' a � ! ' ) ! ! ' � 1 D 9 9 ) $ ! � � � � �

� / � � � ) � � ) � ! D � 3 � � ! ' � 1 9 9 a � � � / D ` � � / � . . � ! � �! � ) � / 1 � . ) ! � �

* � � �+ � � �� +* � � � � �+ � � � � � � �� � � +* � � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � � + � � - +* � � �+ � � �* � � � �+ � � � � � � � ) �

a ' � � � - � / ) 1 D � $ ! � � 3 � ` � � 3 � � � � ! ' � / $ ) 9 ) � ) � 3) D l � 9 � ) � � i � 9 3 / ) � 3 ! ' � � � 3 � � � � ) ! � � � / ) � 3 $ ) � � �3 � ! � � . � � � 3 � � ` � � ! D � � ) ! � � ! ' � � � Q y � � l ` ) � 3 � � �

- � � ` a � � / 1 �- � - . � 0 � � - . � 0 � 3 3 3 � | �

) � 3 � . ` / � � � ! ' � / � . . � ! � � $ � 3 � ! � � � 3 � � � � � 3 � � � � ` � � ! D � � ) ! � � ! ' � � � a � i � 3

- . � 0 � � � � � ?

�� � � � �

� � � � � � 4 6� 7 �

a � ! '4 6 ! �" �

8 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � : � � � � � � � � � � � � � � � � � � < = � > �

) � 3 1 � @ B �

- . � 0 � � " � � � � � ?

�� � � � �

� � � � � �� � � � � � � �

C - . � � � 0� � � P �

� ' D / ! ' � 1 D � $ ! � � - � / � � : 9 � � � ) � � � ! ' � i � 9 3 /) � 3 $ ) � � � / � � � ! � � ! ' � 1 � . ) 9 / 9 D ! � � 1

& � � � ?

�� � � � �

� � � � " � � � � � � � � � � ( - � 4 6�

� ! � $ � ! ' ) ! 1 � ? O P ! ' � ! � ) � / 1 � . ) ! � � � ) � � � :3 D $ � / ! ! ' � $ � ! � � D D . / D ` � � / � . . � ! � � ! � ) � / 1 � :

. ) ! � � / � � $ �4 6

� ) � � / ' � / � � ! ' � / 9 � . � ! Q q � 3 � � 3 4 6� / 3 � E � � � � ! 1 � . g � � � � $ ) D / � 1 ! ' � � � � ) c � � �

1 ! ' � f � � � � � g � D 9 � 1 � ) i � � ! � 9 ) ! ! � $ � / ` ) $ � � � Q

R T R T X � � � � G � H � �8 � � a / ! D 3 � ! ' � ) 9 � � � � ) ) / / $ � ) ! � 3 ! ! ' �

9 ) ! ! � $ � / D ` � � / � . . � ! � � ! � ) � / 1 � . ) ! � � � ) � Q q �` ) � ! � $ D 9 ) � $ ) � � � � � � D ! ! ' � $ . . D ! ) ! � 1 ! a / D ` � � / � . . � ! � � � / a � . D / ! i � 3 ) ! � ) � / 1 � . ) ! � �

a ' � $ ' � / / ! � 9 9 ) / � . . � ! � � 1 ! ' � 8 � / / : J D . � � ) $ :! � � � Q � Q ! ' � ! � ) � / 1 � . ) ! � � / 1 ! ' � i � 9 3 / 1 � . )$ 9 / � 3 ) 9 � � � � ) � 3 � � � � � 3 � � � � � Q * � � � a � � l :

` 9 � $ � ! 9 � $ ' � $ c ! ' � / 1 ) $ ! D ` ! � 3 � � �� � � � � ! ' D � '

! ' � $ ) 9 $ D 9 ) ! � � $ ) � � � � � � � � ) 9 � g � 3 ! ) � � � 3 � � Q� ' � $ . . D ! ) ! � 1 ! a / D ` � � / � . . � ! � � � / � ! ' �/ $ ) 9 ) � i � 9 3 � � / � ) �

� * � � * � � � � � � �+ � � � + � 8 � � � �� �" �

� � � J � � � �

� � � � J� � � � � �J � � : � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � < = � � � � �

� � . � 9 ) � � l ` � � / / � � / $ ) � � � 1 D � 3 1 � ! ' � ! ' � �/ $ ) 9 ) � i � 9 3 / Q � � ! ' � 1 � � . � � i � 9 3 � ) � � � � g � � :) � � ) � � � . � � ! � / � � � 3 � 3 ) � 3 ) 1 ! � � / . � ) 9 � � � � ) a �

i � 3 � ) �

� * � � * � � � � � � �+ � � � + � 8 � � � �� �" �

� � � J� � � � � � � � � � � J� � � � � �J � � L � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � & � � � � � � � � � � � ( N . �� ' � � � 1 � � ! ' � � � � � � ) 9 � l ` � � / / � � 1 ! ' � $ . . D :

! ) ! � 1 ! a ! � ) � / 1 � . ) ! � � / � /

� * � � * � � O � P � Q S� � O � � O � � � � � � � � � � � � � � � � �

a ' � � � P � � � � �+ � � � + � ) � 3 Q S� � O � ) � � ` 9 � � . � :) 9 / � � O 3 � i � � 3 ) /

Q S� � O � � � � � O � T � � � � � � �

M. Bonini, A. Feo / Nuclear Physics B (Proc. Suppl.) 140 (2005) 766–768 767

Page 3: Exact supersymmetry on the lattice: the Wess-Zumino model

� � � � � � � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �' ( ( ) + � � � � � � � � � 1 3 � � 7 � 7 � � � 8 � � �

� � � ; � � � � � � > � @ � 1 � 1 � � � � � ' ( ) � � � � 7 � � � � � � � � � � � � � + � F � �

� G � � � � � �� ' � ) ' ( H )

� I � � F � + � � � ��

� 1 L � � � � @ � � � � � � O � � � � F ; � F � @ S � � G � � � � � � � � � + � F � �

' ( H ) � � � � � � � � G � � � � � � � @ � � � � � � � F � + � � � �

�� � � ' ( ( ) 7 � � � � � � � � � � � � � � � +

� � [ � � � � � \ � � ; � � ] G ^ 1

_ ` � ` a � � � b c � � � � � � � � � � � �d � � � f � � � � � � + � � � � f � � i F F � � i � � � ; � � �

� � � I � � � � ; � + � � � � � � � � � + � � I � � � i F F � � i� � � � � � � � � � F ; � F � 1 d � � � � � i + � � 3 � � Od > � � � � � � � � � i ' 3 d � ) � � � � � � � � � f �

; � � � � � I � � � i F F � � i � � � 7 � � � � � � � � � � � � �� � � � i p � � � � ; � \ � � p � � � ; i � � � I � � + � F � � � ir ; � � F � � � s � � � � � � � u v w + � � � � � � F � � O� � � ; 3 � � � O x � F � � F � � ; 1 y i F > � � p 7 � � O � � + � � p � � � � � � p + � � � � � ; � � � � � � I � �

� � ; � � � � � I � � � i F F � � i � � � + � F � � ' � ) @ � � 3 d � � � � � � � � � � ^ @ � � � � � � � � � � �� � � � � � + � � � 8 � ; � � � � ' � � � ) 1

{ � � � f F I ; � � � � f I ; � � � ; i 7 � � � + i � � � � F I ; �3 d � � � � � � � � �

� � ^ ' ( � )

� � � � � ��

� 1 } � F � � � � � ' ( ) @ � � + � � �I � I p � � � �

� � � � � � � � � � � � � �' ( � ]

~S � ) � �

� � � � � � � � � � � � ~

]� � �

S �

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � �' ' ( � ]

~S � ) � �

S � � � )

� � � � �

� � ~

]S � ' ( � ]

~S � ) � �

� ��

� ' ( � )

d � � � � � � � p � � � � � � � I � � � � � � 7 � � f I � � � �� � 8 � �

� ' � ) � � � � � � ' � )

� � � � �' � )

� d � � ' ( � ]

~S � ' � ) ) � �

S � ' � ) � � �

� H � � ' � )� � � � �

' � ) � ^ � ' ( v )

� � � ; � � � � � I � � + � � � � � + � � � \ � � � � � � � � � 1 } � � ; ; i @ � � ; � � � F + � � 3 d � ' ( � ) @

� � � � � ' ' ( � ]

~S � ) � �

S � � � ) � � � � � � �

7 � � � � � � � � � � � S � ' � ) � � � � � + � � � � � + � � � � O � p � � � F F � � � F � 1 L � � � � @ � 7 � � � + � � � � � F + � � 3 d � ' ( � ) � � \ � � � � I � � ; i @ � � � � � �� � O � � 7 � ; � � � � ; ; � � � � � � � � � � � + � � F � � � � � � � � ; � � � F � � � ' ( v ) 1

� ` � � � � � � � � � � �

3 � � 7 � � � � � � � � � � � ; ; i I � � � � ; � + � F � ; � � � � � � i � � � � � � � i � � � + � ; ; � � � � � � � 7 � � � � � � � � ; � � � � � I � � � i F F � � i

� � � + � F � � 8 f � � ; � � � � I � � � p 1 d � � �� � I � � � i F F � � i � � � + � F � � � � � � � � � � + � � � O

� � � � � � � � � � � � O ; � � � � � � � � � � ; � 8 � ; � � � �� � I � � � � � � � I � F � � � � � � �

�� � � � � � p � �

� � � � " 1 3 � � � ; � � 7 � � � � ; � � � � � I � � � i F F � O � i � � � 7 � � � � � � � � � � F � � ; ; i ; � � � � � � � � � + � � � � � � F � � I � � � i F F � � i � � � � � � � � � ; 8 � � � � � � p 1 3 � � � � � � � � � ; i � � 7 � � � O

p � � p � � � � � � � � � 1 # � 7 � � � ; i � � F � � F I � O � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � F i � � � f O � � � � � � � I � � � i F F � � � � p � p � � � � � � � � � � � � � � � f I � � � � � � r 3 � � ; � � I ; i � � � F OI � � � ; � � � � � � � � � � � � � + ; � � � � � OI � � � i F F � � i 1

� � � � � � � � � �

( 1 s 1 % 1 � � � � � � % 1 L � � ; � @ L � 7 � � F 1 { H (' ( v v ) ( 1

~ 1 s 1 % 1 r � � � I � p � � " 1 r 1 3 � ; � � @ s � i � 1 � � 7 1� ~ � ' ( ! ~ ) ~ � H 1

� 1 " 1 } � � � > � � � � 1 � � � � � � � � @ s � i � 1 [ � 1y � ~ ! ' ~ ^ ^ ~ ) ~ �

H 1 " 1 } � � � > � @ L � � ; 1 s � i � 1 y � � � ' ~ ^ ^ ~ ) ! ^ 1� 1 % 1 L � � � � � p � � @ s � i � 1 [ � 1 % & � ( ' ( ! ) ( H ( )

% 1 L � � � � � p � � @ s � i � 1 [ � 1 % & _ ( ' ( ! ) � � � 1� 1 � 1 y � � � � � � { 1 } � @ , % . s ^ ' ~ ^ ^ H ) ^ ( ( 1v 1 � 1 } 1 [ 1 r ; � � F � � � � 1 L 1 s � � � � � @ L � � ; 1

s � i � 1 y � ( ' ( ! ) � ^ v 1

M. Bonini, A. Feo / Nuclear Physics B (Proc. Suppl.) 140 (2005) 766–768768