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UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
PROYECTO FIN DE CARRERA
ESTUDIO DE LA RESONANCIA
SUBSÍNCRONA
Alumna: Mercedes Vallés Rodríguez
Director: Luis Rouco Rodríguez
MADRID, junio de 2009
Autorizada la entrega del proyecto al alumno:
Mercedes Vallés Rodríguez
EL DIRECTOR DEL PROYECTO
Luis Rouco Rodríguez
Fdo: Fecha:
Vº Bº del Coordinador de Proyectos
Tomás Gómez San Román
Fdo: Fecha:
Resumen iii
Resumen
ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA
En este proyecto se analiza el fenómeno de la resonancia subsíncrona y el problema
de estabilidad en el que se engloba, que es el de la estabilidad de ángulo y las
oscilaciones electromecánicas en los sistemas de energía eléctrica.
Los rotores de los generadores síncronos experimentan oscilaciones naturales poco
amortiguadas de frecuencia próxima a 1 Hz cuando se produce una perturbación,
como un cortocircuito en la red eléctrica a la que está conectada o una variación en la
potencia mecánica suministrada por la turbina o en la excitación del generador. La
causa de posibles inestabilidades en esta clase de oscilaciones es de tipo eléctrico.
Otro tipo de modos oscilatorios poco amortiguados que se superponen a las
anteriores son las oscilaciones torsionales que tienen lugar en el mismo eje de un
generador. El rotor de un turbogenerador, accionado por turbinas de vapor, es un
sistema mecánico muy complejo formado por varios elementos de grandes
dimensiones acoplados a lo largo de su eje. Su aproximación por un conjunto de masas
concentradas acopladas elásticamente permite determinar los modos oscilatorios
torsionales que se presentan de forma natural en el mismo ante la ocurrencia de
perturbaciones. Dichos modos presentan frecuencias naturales en el rango
subsíncrono, esto es, inferiores a la frecuencia fundamental del sistema.
Relacionada con los anteriores, la resonancia subsíncrona es un fenómeno de
inestabilidad en generadores síncronos que afecta a los modos eléctricos o mecánicos
del sistema que se encuentran en el rango de frecuencias inferiores a la de sincronismo.
Se produce por una interacción de los sistemas eléctrico y mecánico asociados al
generador síncrono que implica un intercambio de energía entre el generador y la red a
una o más frecuencias naturales del sistema por debajo de la frecuencia fundamental.
La situación más común en la que se puede presentar la resonancia subsíncrona es
en turbogeneradores que estén conectados al sistema a través de líneas con
condensadores en serie. La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia
inductiva de la conexión de un generador a una red cuando la longitud de las líneas de
Resumen iv
conexión es muy grande. En una situación así, la resonancia subsíncrona puede ocurrir
cuando la frecuencia complementaria a la natural de oscilación de la línea, debida a la
presencia del condensador, está próxima a alguna de las frecuencias naturales de las
oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador.
La interacción electromecánica que el fenómeno implica puede producir
oscilaciones inestables en los modos torsionales del eje del turbogenerador y también
en las magnitudes eléctricas del sistema. Otras causas de oscilaciones subsíncronas
inestables pueden ser también los sistemas de regulación del generador interactuando
con la red o el sistema mecánico de su eje. Se pueden distinguir tres mecanismos por
los que el generador puede interactuar con el sistema provocando resonancia
subsíncrona: el efecto generador de inducción, interacción torsional y pares
transitorios, pero siempre se trata de una interacción de una resonancia eléctrica o la
acción de reguladores del sistema eléctrico con las oscilaciones torsionales de un eje.
El objetivo del presente proyecto ha sido el desarrollo de modelos de cálculo
detallados para la realización de simulación en el tiempo de grandes perturbaciones,
análisis modal y el análisis modal selectivo del fenómeno de la resonancia subsíncrona
en el caso de un turbogenerador conectado a una red eléctrica a través de una línea
compensada serie.
El análisis modal del fenómeno de la resonancia subsíncrona consiste en el cálculo
de los autovalores, autovectores y factores de participación de la matriz de estados del
modelo dinámico lineal que resulta de la linealización alrededor de un punto de
funcionamiento del modelo dinámico no lineal de turbogenerador y de su conexión a
la red a través de la línea con compensación serie.
La respuesta en el tiempo ha mostrado la presencia de oscilaciones torsionales
inestables. El autoanálisis del modelo lineal ha permitido caracterizar la oscilación
torsional inestable. Se ha explorado también la variación del amortiguamiento de los
modos torsionales la variar el factor de compensación de la línea.
El análisis modal se ha complementado con el Análisis Modal Selectivo (SMA) del
fenómeno. El SMA permite, de forma general, obtener modelos reducidos de los
sistemas dinámicos L.T.I. que representen con precisión únicamente los modos
asociados a una dinámica de interés del sistema. Su aplicación al estudio de la
Resumen v
resonancia subsíncrona permite una simplificación de los cálculos y una mejor
interpretación física del fenómeno y de los resultados obtenidos.
En particular, el Análisis Modal Selectivo ha permitido estudiar los modos
torsionales del turbogenerador y la influencia de la parte eléctrica del sistema en su
estabilidad mediante la obtención del modelo reducido del sistema mecánico. Sobre
dicho modelo, se han aplicado las técnicas de análisis modal mediante las que
representar el sistema para cada modo como un modelo masa-muelle ficticio,
caracterizado por los parámetros H (inercia), K (rigidez) y D (amortiguamiento)
modales. Dichos parámetros recogen la dinámica del sistema completo y reflejan las
inestabilidades que puedan darse en los modos torsionales.
También se ha procedido a descomponer estos parámetros en aportaciones de los
diferentes subsistemas de la unidad generadora, que son: el sistema mecánico (siempre
estable de forma aislada) y el sistema eléctrico (máquina eléctrica, sistema de turbinas,
excitación y condensador de la red eléctrica). De esta forma, en el caso de producirse la
inestabilidad de un modo torsional, se puede identificar en qué subsistema está la
causa según el valor que tomen los parámetros modales, en especial el
amortiguamiento. Así se simplifica el estudio del fenómeno y desaparece la necesidad
de analizar las participaciones del sistema completo.
Summary vi
Summary
STUDY OF SUBSYNCHRONOUS RESONANCE
The subsynchronous resonance phenomenon is analyzed in this project within the
framework of the rotor angle stability problem and electromechanic oscillations in
power systems.
The rotor of a synchronous generator experiences poorly damped natural
oscillations at a very low frequency (about 1 Hz) whenever a disturbance affects it,
such as a short-circuit in the transmission line to which it is connected or a sudden
change in the mechanic input or in the excitation voltage value. Possible instabilities of
these oscillations are due some aspect of the electric system.
Simultaneously with the oscillation of the entire generator rotor with respect to the
system, poorly damped torsional oscillations between different sections of a turbine-
generator rotor occur naturally after small disturbances. The rotor of a thermal
generating unit is a complex mechanic system, made up of large machined shaft
sections coupled together. A representation of several predominant masses connected
by shafts of finite stiffness accounts for those natural modes of torsional oscillation that
are below the synchronous frequency.
Subsynchronous resonance is a dynamic problem that affects synchronous
generators that can bring about the instability of some mechanic and electric modes of
the system that oscillate below the rated frequency. It is due to an interaction between
electric and mechanic dynamics that involves an exchange of energy between the
network and the generator at one or more subsynchronous frequencies.
The most common situation in which subsynchronous resonance can take place is
when a synchronous generator is connected to the network through a series
compensated line. Series compensation consists of a series capacitor in the line and its
purpose is to compensate for its inductive reactance when the transmission line is too
long. In such a situation, subsynchronous resonance is bound to happen if the
complementary of the natural frequency of the transmission line, due to the capacitor,
is close to any of the natural torsional frequencies of the rotor.
Summary vii
This electromechanic interaction can destabilize not only the turbine-generator
torsional oscillations, but also currents and voltages of the electric system. Unstable
subsynchronous oscillations can also be caused by the interaction of the generator
regulation systems interacting with the network or the rotor shaft. Instability due to
subsynchronous resonance can take place in three different ways: the generator-
induction effect, torsional interaction and transient torques. However, it is always a
matter of an electric resonance or the action of a regulator interacting with the torsional
oscillations of the generator rotor.
The main purpose of this Project has been to develop highly detailed mathematic
models for numerical integration, modal analysis and selective modal analysis of the
subsynchronous resonance problems that may affect a single turbine-generator
connected to the network through a series compensated transmission line.
The modal analysis involves the calculation of the eigenvalues, eigenvectors and
participation factors of the estate matrix. The state matrix is obtained from the
linearization of the nonlinear dynamic model of the turbine-generator and its
connection to the network.
Time response has shown the presence of unstable torsional oscillations due to the
capacitor effects. The eigenanalysis of the linear model has made it possible to
determine the characteristics and reasons of the instability. The variation in the
damping of each mode of interest in the system and its dependence of the
compensation level of the line has also been studied.
The eigenalysis has been completed with the Selective Modal Analysis (SMA) of the
phenomenon. In a general way, he SMA lets us obtain reduced order dynamic models
of LTI systems that account accurately for the modes of some specific dynamics of
interest. Its application to the study of subsynchronous resonance makes calculus less
complex and provides a clearer physical interpretation of the problem.
In particular, Selective Modal Análisis, makes it posible to study the torsional
modes of the turbine-generator and the influence that the electric system has in them
by obtaining a reduced model of the mechanic system. Some modal analysis
techniques have been applied to this model to obtain a fictitious single spring-mass
model for each torsional mode, characterized by the modal parameters H (inertia), K
Summary viii
(stiffness) and D (damping). Those parameters account for the complete system effects
on the mechanic dynamics and reflect the possible instabilities of the torsional modes.
Afterwards, the modal parameters have been split into contributions of the different
subsystems of the generating unit, which are: the mechanic system (always stable if
isolated) and the electric system (electric machine, turbines and governor, exciter,
capacitor). This way, if a torsional mode turns out to be unstable, the decomposition of
the modal parameters will let us determine the origin of such instability. Therefore, the
study of the subsynchronous resonance problem is simplified and the need of
analysing the complete system disappears.
Índice ix
Índice
1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 15
1.1 Tema del proyecto ............................................................................................ 15
1.1.1 Oscilaciones electromecánicas de generadores síncronos 15 1.1.2 Oscilaciones torsionales de turbogeneradores 15 1.1.3 Resonancia subsíncrona 16
1.2 Objetivos del proyecto ..................................................................................... 16
1.3 Organización del documento ......................................................................... 17
2 SISTEMAS DINÁMICOS............................................................................................................... 18
2.1 Modelos lineales y no lineales ........................................................................ 18
2.2 Solución de sistemas dinámicos no lineales ................................................. 20
2.3 Solución de los sistemas dinámicos lineales................................................. 21
2.3.1 Autovalores y autovectores 22
2.4 Residuos............................................................................................................. 25
2.4.1 Sensibilidades 26 2.4.2 Factores de participación 26
3 OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS Y TORSIONALES DE UN GENERADOR .... 28
3.1 Oscilaciones electromecánicas ........................................................................ 28
3.1.1 Modelo no lineal 28 3.1.2 Simulación del modelo no lineal 33 3.1.3 Modelo lineal 35 3.1.4 Simulación y análisis del modelo lineal 37
3.2 Oscilaciones torsionales................................................................................... 39
3.2.1 Modelo no lineal 39 3.2.2 Simulación del modelo no lineal 44 3.2.3 Modelo lineal 47 3.2.4 Simulación y análisis del modelo lineal 49 3.2.5 Parámetros modales 55
4 RESONANCIA SUBSÍNCRONA.................................................................................................. 60
4.1 Introducción a la resonancia subsíncrona..................................................... 60
4.1.1 Resonancia eléctrica en líneas con compensación serie 61 4.1.2 Tipos de interacciones debidos a la resonancia subsíncrona 63 4.1.3 Técnicas de análisis 64
Índice x
4.2 Modelo simplificado ........................................................................................ 65
4.2.1 Simulación del modelo simplificado 67 4.2.2 Análisis del modelo simplificado lineal 68
4.3 Modelo detallado.............................................................................................. 69
4.3.1 Modelo no lineal 70 4.3.2 Simulación del modelo no lineal 84 4.3.3 Modelo lineal 93 4.3.4 Análisis del modelo lineal 97
5 ANÁLISIS MODAL SELECTIVO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA..................... 106
5.1 Análisis Modal Selectivo ............................................................................... 106
5.2 Parámetros modales de los modos torsionales por medio del Análisis
Modal Selectivo .............................................................................................. 110
5.2.1 Descomposición de los parámetros modales en componentes eléctrica y mecánica 110 5.2.2 Descomposición de De y Ke en aportaciones de los distintos bloques 113 5.2.3 Resultados obtenidos en el estudio de los modos torsionales con SMA 113
6 CONCLUSIONES........................................................................................................................... 113
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................... 113
Introducción xi
Índice de Figuras Figura 2-1: Relación entre la localización de los autovalores de la matriz de estados y la
respuesta temporal ante un impulso. ........................................................................................ 24 Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador síncrono para estudios de estabilidad............ 31 Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita............................................................................................................................................ 31 Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita............................................................................................................................................ 32 Figura 3-4:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado
a un nudo de potencia infinita en caso de una falta trifásica franca: variación de
velocidad y ángulo del rotor. ..................................................................................................... 34 Figura 3-5:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado
a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica
suministrada por la turbina: variación de velocidad y ángulo del rotor.............................. 38 Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador................................ 40 Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.................................................... 40 Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genérica j del eje........................................................... 43 Figura 3-9:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas
de alta presión y presión intermedia......................................................................................... 46 Figura 3-10:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas
de baja presión.............................................................................................................................. 46 Figura 3-11: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y
de la excitatriz............................................................................................................................... 47 Figura 3-12: Simulación de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de
potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador. ....... 47 Figura 3-13:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono
conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica
suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de
alta presión y presión intermedia. ............................................................................................. 50 Figura 3-14:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono
conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica
suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de
baja presión. .................................................................................................................................. 50
Índice de Figuras xii
Figura 3-15:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono
conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica
suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad del rotor del
generador y de la excitatriz. ....................................................................................................... 51 Figura 3-16: Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono
conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica
suministrada por la turbina de alta presión: variación del ángulo del rotor del
generador. ..................................................................................................................................... 51 Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los autovectores) de
un turbogenerador conectado a un nudo de potencia ............................................................ 53 Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un
turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita .................................................... 53 Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita. ........................................................................................................... 54 Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador.................... 58 Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una línea compensada serie ..................................... 61 Figura 4-2: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un punto de red
infinita a través de un condensador serie ................................................................................. 66 Figura 4-3: Simulaciónde las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un
nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce
una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes del flujo en la
inductancia equivalente .............................................................................................................. 67 Figura 4-4: Simulación de las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a
un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se
produce una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes de la
tensión del condensador. ............................................................................................................ 68 Figura 4-5: Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una
línea compensada serie. .............................................................................................................. 70 Figura 4-6: Tensiones consideradas en el modelo electromagnético................................................ 71 Figura 4-7: Circuito equivalente del generador con un devanado amortiguador en eje q............ 73 Figura 4-8: Circuito equivalente del generador con dos devanados amortiguadores en eje q..... 74 Figura 4-9: Diagrama fasorial del sistema de referencia y las tensiones.......................................... 76 Figura 4-10: Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión............ 76 Figura 4-11: Selección de variables de estado de una excitación estática. ....................................... 77 Figura 4-12: Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina. .................................... 78 Figura 4-13: Selección de variables de estado de una turbina de vapor. ......................................... 79
Introducción xiii
Figura 4-14: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas
de alta presión y presión intermedia......................................................................................... 85 Figura 4-15: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas
de baja presión.............................................................................................................................. 86 Figura 4-16: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y
de la excitatriz............................................................................................................................... 86 Figura 4-17: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un
nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del
generador. ..................................................................................................................................... 87 Figura 4-18: Datos de la línea................................................................................................................. 88 Figura 4-19: Modelo alternativo de sistema de excitación................................................................. 89 Figura 4-20: Modelo altenativo de sistema de turbinas y regulador................................................ 89 Figura 4-21: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una
falta y con un Factor de Compensación del 45%. .................................................................... 90 Figura 4-22: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante
una falta y con un Factor de Compensación del 45%.............................................................. 91 Figura 4-23: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y
con Factor de Compensación del 45%....................................................................................... 91 Figura 4-24: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante
una falta y con un Factor de Compensación de 1.5%.............................................................. 92 Figura 4-25: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una
falta y con un Factor de Compensación de 1.5% ..................................................................... 92 Figura 4-26: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con
un Factor de Compensación de 1.5%......................................................................................... 93 Figura 4-27: Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y
subsíncrono al variar el factor de compensación de la línea................................................ 101 Figura 4-28: Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor de
compensación de la línea. ......................................................................................................... 102 Figura 4-29: Variación del amortiguamiento del modo electromecánico al variar el factor de
compensación de la línea. ......................................................................................................... 102 Figura 4-30: Parte real de los autovalores en función del factor de compensación..................... 104 Figura 4-31: Amortiguamiento de los modos en función del factor de compensación ............... 104 Figura 4-32: Frecuencia de los modos en función del factor de compensación ............................ 105 Figura 5-1: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con
separación de dinámicas relevantes y menos relevantes. .................................................... 107
Índice de Figuras xiv
Figura 5-2: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con
representación de la dinámica menos relevante como función de transferencia
matricial....................................................................................................................................... 109 Figura 5-3: Modelo masa-muelle equivalente para cada modo con descomposición de los
parámetros modales K y D ....................................................................................................... 113
1 Introducción 15
1 Introducción
Este capítulo presenta el tema del proyecto, los objetivos del mismo y la
organización del documento.
1.1 Tema del proyecto
1.1.1 Oscilaciones electromecánicas de generadores síncronos
Los rotores de los generadores síncronos experimentan oscilaciones naturales poco
amortiguadas de frecuencia próxima a 1 Hz cuando se produce un cortocircuito en la
red eléctrica a la que está conectado el generador o cuando varía la potencia mecánica
suministrada por la turbina o la excitación del generador ([1], [3], [4]).
La estabilidad de los generadores síncronos está interesada en capacidad de estas
máquinas de seguir funcionando en sincronismo, a velocidad constante e igual a la de
sincronismo, cuando se producen perturbaciones.
Se habla de estabilidad de gran perturbación cuando la perturbación que ocurre es
un cortocircuito en la red eléctrica. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el
comportamiento dinámico no se pueden linealizar para el análisis del fenómeno.
Se habla de estabilidad de pequeña perturbación cuando la perturbación que tiene
lugar es una variación de la potencia mecánica suministrada por la turbina o la
excitación del generador. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el
comportamiento dinámico se pueden linealizar alrededor del punto de funcionamiento
para el análisis.
1.1.2 Oscilaciones torsionales de turbogeneradores
Los turbogeneradores son generadores síncronos accionados por turbinas de vapor.
Constituyen un complejo sistema mecánico formado por masas, correspondientes a
cada uno de los cuerpos de las turbinas y del generador síncrono, acopladas
elásticamente [5].
1 Introducción 16
Los rotores de los turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen
de frecuencias subsíncrono, es decir, inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz). Las
oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elásticos entre las masas de los
turbogeneradores. En las oscilaciones electromecánicas (de frecuencia próxima a 1 Hz),
todas las masas del rotor del turbogenerador oscilan al unísono. Por tanto, el límite
inferior del margen de frecuencias de las oscilaciones torsionales es 1 Hz.
Las oscilaciones torsionales pueden ser excitadas por perturbaciones como los
cortocircuitos en la red y la sincronización fuera de fase. Si bien los rotores de los
turbogeneradores están diseñados para soportar los pares que resultan de dichas
perturbaciones, la determinación de la fatiga debido a ellas ha sido un tema de gran
interés en la literatura técnica [6].
1.1.3 Resonancia subsíncrona
La resononancia subsíncrona estudia la inestabilidad de las ocilaciones torsionales
de turbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie. Una línea
eléctrica con compensación serie tiene instalado un condensador en serie con la línea.
La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexión de
un generador a una red cuando la longitud de las líneas de conexión es muy grande. La
resonancia subsíncrona puede ocurrir cuando la frecuencia natural de oscilación de la
línea con compensación serie está próxima a una de las frecuencias de las oscilaciones
torsionales del rotor del turbogenerador [7].
1.2 Objetivos del proyecto
El objetivo del presente proyecto es el desarrollo de modelos de cálculo para la
realización del análisis modal y del análisis modal selectivo del fenómeno de la
resonancia subsíncrona en el caso de un turbogenerador conectado a una red eléctrica a
través de una línea compensada serie.
El análisis modal del fenómeno de la resonancia subsíncrona consiste en el cálculo
de los autovalores, autovectores y factores de participación de la matriz de estados del
modelo dinámico lineal resultante de la linealización alrededor de un punto de
funcionamiento del modelo dinámico no lineal de turbogenerador y de su conexión a
la red a través de la línea con compensación serie.
1 Introducción 17
El análisis modal se complementará con el Análisis Modal Selectivo del fenómeno.
El Análisis Modal Selectivo permitirá la obtención de los parámetros H (inercia), K
(rigidez) y D (amortiguamiento) modales y su descomposición en contribuciones de los
subsistemas de la unidad generadora ([8], [9]).
1.3 Organización del documento
Este proyecto tiene otros seis capítulos.
El capítulo 2 introduce los conceptos fundamentales de los sistemas dinámicos.
El capítulo 3 presenta los fenómenos de las oscilaciones electromecánicas y
torsionales de un generador síncrono.
El capítulo 4 presenta el fenómeno de la resonancia subsíncrona.
El capítulo 5 aborda el análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona.
El capítulo 6 ofrece las conclusiones del proyecto.
El capítulo 7 contiene las referencias bibliográficas.
2 Sistemas dinámicos 18
2 Sistemas dinámicos
Este capítulo presenta los conceptos fundamentales del modelado, simulación y
análisis de sistemas dinámicos.
2.1 Modelos lineales y no lineales
Considérese un sistema dinámico cuyo comportamiento viene descrito por un
conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales escritas de la forma:
( )( )
, ,
, ,
=
=
x G x z u
0 H x z u
& (2.1)
Donde G y H son vectores de funciones no lineales,x son las variables de estado,
z son las variables algebraicas y u son las variables de entrada.
1
1
1
N
M
L
×
×
×
∈ℜ
∈ℜ
∈ℜ
xzu
El estado de un sistema es el conjunto mínimo de variables del sistema que, junto
con el valor de las entradas al sistema, proporcionan una descripción completa del
comportamiento del sistema. Cualquier conjunto de n variables linealmente
independientes del sistema puede constituir el vector de estado y el resto de variables
del sistema podrán determinarse con el conocimiento del estado del mismo. La
elección de las variables de estado implica que, aunque el estado del sistema en un
instante determinado sea único, su representación no lo es.
El estado del sistema de representa en un espacio Euclídeo N-dimensional llamado
espacio de estado, perteneciente a 1Nxℜ . Cambiar la elección de variables de estado
supone realizar un cambio de coordenadas del sistema.
Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado y
de las variables algebraicas, se dice que está escrito en forma implícita.
2 Sistemas dinámicos 19
Si el tipo de estabilidad que se quiere estudiar en un sistema no lineal es local, es
decir, intenta determinar si es sistema puede permanecer alrededor del punto de
equilibrio cuando es sometido a pequeñas perturbaciones, entonces puede analizarse
linealizando las ecuaciones de estado en el punto de trabajo y determinar así si el
sistema es estable en esas condiciones de funcionamiento.
Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.1) se linealiza alrededor del
punto de trabajo , ,= = =0 0 0x x z z u u , resulta:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0
0
, , , ,
, , , ,
, ,
, ,
1 2
3 4
, , , ,
, , , ,
, ,
, ,
∂ ∂∂ ∂
∂ ∂∂ ∂
∂∂
∂∂
= = = = = =
= = = = = =
= = =
= = =
⎡ ⎤⎢ ⎥
Δ Δ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
+ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡
=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
x x z z u u x x z z u u
x x z z u u x x z z u u
x x z z u u
x x z z u u
G x z u G x z ux zx x
0 zH x z u H x z ux x
G x z uu
uH x z u
u
A AA A
&
1
2
Δ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Bxu
Bz
(2.2)
De esta manera, las variables pasan a ser incrementales:
0 0 0, ,Δ = − Δ = − Δ = −x x x z z z u u u
Si se eliminan las variables algebraicas z de las ecuaciones (2.1), entonces el sistema
dinámico queda descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales
expresadas en términos de las variables de estado x y de las variables de entrada u :
( ),=x F x u& (2.3)
Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado,
se dice que está escrito en forma explícita.
Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.3) se linealizan alrededor del
punto de trabajo ,= =0 0x x u u , resulta:
2 Sistemas dinámicos 20
( ) ( )0 0, ,
, ,∂ ∂∂ ∂
= = = =
Δ = + Δ
= Δ + Δ0 0x x u u x x u u
F x u F x ux u
x u
A x B u
& (2.4)
Por supuesto, no siempre es posible eliminar las variables algebraicas de un sistema
dinámino no lineal escrito en forma implícita (2.1) para pasar a otro escrito en forma
explícita (2.3).
Sin embargo, siempre es posible pasar de un sistema dinámico lineal escrito en
forma implícita (2.2) a otro escrito en forma explícita (2.4).
11 2 4 3
11 2 4 2
−
−
= −
= −
A A A A A
B B A A B (2.5)
2.2 Solución de sistemas dinámicos no lineales
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales se obtiene por
simulación en el dominio del tiempo. La simulación en el dominio del tiempo consiste
en la integración numérica de las ecuaciones diferenciales que describen el
comportamiento dinámico del sistema. Un algoritmo de integración numérica de las
ecuaciones diferenciales, obtiene en el caso más sencillo las variables de estado en el
paso 1k + a partir de las variables de estado en el paso anterior k :
( )1k k+ =x Γ x
siendo Γ una función que depende del método considerado. El método de Euler
predictor-corrector obtiene 1k+x en dos pasos:
( )
( ) ( )
1
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ2 2
k k k k k
k k k k k k k
t tt t
+
+ + +
= + Δ = + Δ
Δ Δ⎡ ⎤= + + = + +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
x x x x F x
x x x x x F x F x
&
&&
El método de Runge-Kutta de orden 4-5 se obtiene 1k+x según:
2 Sistemas dinámicos 21
( )
( )
( )
1 1 2 3 4
1
12
23
4 3
1 2 26
2
2
k k
k
k
k
k
k k k k
k
kk
kk
k k
+ = + + + +
=
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
= +
x x
F x
F x
F x
F x
2.3 Solución de los sistemas dinámicos lineales
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales cuando se produce la
variación de una de las variables de entrada uΔ tiene dos componentes: la solución
homogénea y la solución particular de la completa.
La solución homogénea es la solución que corresponde a entrada nula y condiciones
iniciales no nulas. La solución particular de la completa es la solución que corresponde
a condiciones iniciales nulas y entradas no nulas.
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) cuando se puede expresar
en términos de la exponencial de la matriz de estado A de acuerdo con la expresión:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
00
tt t th p t
t t t e t e u dτ τ τ− −Δ = Δ + Δ = Δ + Δ∫A Ax x x x b (2.6)
La exponencial de la matriz de estado A se puede calcular usando el desarrollo en
serie de Taylor:
! !
te t t= + + +A A AI2
2
1 2L
Sin embargo, este método no es siempre numéricamente robusto. Una solución
numéricamente robusta y llena de sentido físico se puede obtener en términos de los
autovalores y autovectores de la matriz de estado.
2 Sistemas dinámicos 22
2.3.1 Autovalores y autovectores
Una alternativa llena de significado físico está basada en los autovalores y
autovectores de la matriz de estado A . Esta matriz contiene la información necesaria
para determinar la estabilidad local del sistema que representa. Un autovalor iλ de la
matriz de estado A y los correspondientes autovectores derecho iv e izquierdo iw
asociados se definen como:
i i iλ=Av v (2.7)
T Ti i iλ=w A w (2.8)
Las entradas de los autovectores derechos tienen las mismas dimensiones físicas que
el estado correspondiente y los izquierdos, tienen las dimensiones inversas. Por otro
lado, el estudio de las ecuaciones (2.7) y (2.8) indica que los autovalores derecho e
izquierdo no están determinados de forma única (éstos se calculan como la solución de
un sistema lineal de N ecuaciones y N+1 incógnitas). Una forma de eliminar el grado
de libertad es introducir la siguiente normalización, ya que el autovector izquierdo de
un autovalor es ortogonal al autovector derecho de otro:
Ti i =w v 1 (2.9)
En el caso de N autovalores distintos, las ecuaciones (2.7)-(2.9) se pueden escribir
juntas para todos los autovalores en forma matricial:
[ ] [ ]
[ ]
1
1 1
1 1 1
1
1
0
0
0
0
1 0
0 1
N N
N
T T
T TN N N
T
NTN
λ
λ
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
A v v v v
w wA
w w
wv v
w
L
L L M O M
L
L
M M O M M
L
L
M L M O M
L
(2.10)
2 Sistemas dinámicos 23
o en forma más compacta como:
===
AV VWA WWV I
ΛΛ (2.11)
donde Λ , V y W son respectivamente las matrices de los autovalores y los
autovectores derechos e izquierdos:
[ ]N
N
T
TN
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
V v v
wW
w
1
1
1
O
L
M
Λ =
Si la exponencial de la matriz de estado teA se expresa en términos de los
autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A ,
resulta:
! !
! !
t
t
e t t
t t e
= + + +
⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
A V W V WVW
V I W V W
22
22
1 2
1 2
L
L Λ
Λ Λ
Λ Λ (2.12)
La solución (2.6) del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) en términos de los
autovalores y autovectores de una matriz:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
00
tt t t
tt e t e u dτ τ τ− −Δ = Δ + Δ∫Λ Λx V W x V Wb (2.13)
Por otra parte, la solución homogénea (2.4) del sistema de ecuaciones diferenciales
lineales (2.4) se puede expresar en términos de los autovalores y de los autovectores
derechos e izquierdos de la matriz de estados A como:
( ) ( ) ( )0 01
i
Ntt T
i ihi
t e t e tλ
=
⎡ ⎤Δ = Δ = Δ⎣ ⎦∑x V W x v w xΛ (2.14)
2 Sistemas dinámicos 24
El estudio de la ecuación (2.4) permite obtener las siguientes conclusiones.
El estado del sistema evoluciona según una combinación de la respuesta del
sistema para N modos distintos, determinados por sus autovalores y
autovectores.
Los autovalores de la matriz de estado A determinan la estabilidad del sistema.
Un autovalor real negativo (positivo) indica un comportamiento exponencial
decreciente (creciente) mientras que un autovalor complejo con parte real
negativa (positiva) indica un comportamiento oscilatorio decreciente (creciente),
tal y como se muestra en la Figura 2-1.
La excitación total de cada modo i se reparte entre los distintos estados según lo
indica el autovector derecho iv ; sus componentes indican la actividad relativa
de cada variable en el modo i-ésimo.
Las componentes de autovector izquierdo iw pesa las condiciones iniciales en la
costrucción del modo i-ésimo.
Re
Imag
Re
Imag
Figura 2-1: Relación entre la localización de los autovalores de la matriz de estados y la respuesta temporal
ante un impulso.
2 Sistemas dinámicos 25
2.4 Residuos
Considérese que se define en el sistema una variable de salida y . Entonces la
descripción del sistema queda en la forma:
( ) ( ) ( )( ) ( )t t u t
y t t
Δ = Δ + Δ
Δ = Δ
x A x b
c x
& (2.15)
La función de transferencia expresada en términos de los polos y los residuos
queda:
( )( ) ( ) 1
1
Ni
i i
y s Rsu s s p
−
=
Δ= − =
Δ −∑c I A b (2.16)
La función de transferencia (2.16) también se puede expresar en términos de los
autovalores y autovectores de la matriz de estados como:
( )( ) ( ) 1
1
TNi i
i i
y ss
u s s λ−
=
Δ= − =
Δ −∑ cv w bcV I Λ Wb (2.17)
Por tanto los autovalores son los polos de cualquier función de transferencia que se
pueda considerar i ip λ= y los residuos se puedan calcular en términos de los
autovectores derechos e izquierdos como:
Ti i iR = cv w b (2.18)
Los residuos se pueden descomponer en términos de los factores de observabilidad
y controlabilidad modal. En efecto, si se considera la transformación:
==cx Vξξ Wx
La ecuación (2.15) resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( )t t u t
y t t
Δ = Δ + Δ
Δ = Δ
ξ Λ ξ bW
cV ξ
&
o también:
2 Sistemas dinámicos 26
( ) ( ) ( )( ) ( )
1, ,T
i i i i
i i
t t u ti N
y t tξ λ ξ
ξ⎫Δ = Δ + Δ ⎪ =⎬Δ = Δ ⎪⎭
bwcv
&K (2.19)
De donde se deducen los factores modales de observabilidad y controlabilidad:
,i y ic Δ = cv
,T
i u ib Δ = bw
2.4.1 Sensibilidades
La sensibilidad del autovalor iλ con relación a un parámetro q de la matriz de
estados se puede calcular como:
( )Tii i
qq qλ ∂∂
=∂ ∂
Aw v (2.20)
Si el parámetro es un elemento diagonal de la matriz de estados jja , la sensibilidad
del autovalor iλ resulta:
iij ji
jj
w vaλ∂
=∂
(2.21)
2.4.2 Factores de participación
El factor de participación de la variable j-ésima en el modo i-ésimo se define como el
producto de las componentes j-ésimas del autovector derecho jiv e izquierdo jiw en el
modo i-ésimo ([10], [11]):
ji ji jip w v= (2.22)
Las propiedades de los factores de participación permiten que puedan ser utilizados
como una medida de la significación que tiene cada estado en cada uno de los modos
del sistema. Tienen la ventaja de ser magnitudes adimensionales, por lo que su valor
no depende de las unidades en las que estén expresadas las variables de estado.
2 Sistemas dinámicos 27
Además, como resultado de la normalización adoptada (1.6), la suma de los factores
de participación de todas las variables en un modo y la suma de los factores de
participación de todos los modos en una variable son igual a la unidad, aunque
individualmente pueden ser mayores que la unidad.
N N
ji jij i
p p= =
= =∑ ∑1 1
1 (2.23)
Muchos sistemas dinámicos resultan de la interconexión de subsistemas dinámicos.
La participación del subsistema es una herramienta útil en este entorno. La
participación del subsistema se define como la suma de los factores de participación de
las variables que describen el subsistema dinámico.
Si jij S
p p∈
=∑ (2.24)
Así, es posible identificar qué subsistemas están relacionados con qué dinámicas y
modos de comportamiento del sistema, según lo elevada que sea su participación neta
en cada uno de ellos.
Las participaciones o factores de participación dependen de la elección del conjunto
de variables de estado del sistema. Sin embargo, uno de los valores de la participación
del subsistema viene del hecho de que es independiente de la selección de las variables
de estado para modelar el subsistema. En otras palabras, es invariante con respecto a
las transformaciones que sólo afectan a las variables del sistema.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 28
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un
generador
Este capítulo presenta las oscilaciones electromecánicas y torsionales de un
generador síncrono. Para ello se obtienen modelos simplificados no lineales y lineales
del generador síncrono que permiten reproducir las oscilaciones electromecánicas y
torsionales. Además presentan resultados tanto de la simulación de grandes
perturbaciones utilizando los modelos no-lineales como de la simulación de pequeñas
perturbaciones utilizando los modelos lineales y del análisis modal, también del
modelo lineal.
3.1 Oscilaciones electromecánicas
3.1.1 Modelo no lineal
En el estudio de oscilaciones locales de un generador contra el resto del sistema
considera que los rotores del motor primario y del generador, acoplados en el mismo
eje, constituyen un único sólido rígido. El movimiento del rotor de un generador
síncrono está descrito por la ecuación de la dinámica de rotación de un sólido rígido:
( )0m e a m e DdJ T T T T T KdtΩ= − − = − − Ω−Ω (3.1)
Donde:
J es el momento de inercia del rotor expresado en Nms kgms= 2
Ω es la velocidad angular del rotor rad s mecánicos
p Número de pares de polos del generador
Ω0 es la velocidad angular de sincronismo del rotor rad s mecánicos, es decir
f pπΩ =0 02 siendo f0 la frecuencia de sincronismo
mT es el par mecánico aplicado por la turbina expresado en Nm
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 29
eT es el par eléctrico aplicado por el generador ee
PT =Ω0
aT es el par amortiguador ( )0a DT K= Ω−Ω
DK es el coeficiente de par amortiguador ( radsmN /⋅⋅ )
em tt , Pares mecánico y eléctrico en magnitudes unitarias.
em pp , Potencia mecánica y eléctrica en magnitudes unitarias.
H Constante de inercia ( s ) (BS
JH
20
21 Ω
= ).
D Factor o coeficiente de amortiguamiento ( Tpu ), (B
D SKD
20Ω
= ).
δ Posición angular del rotor en rad eléctricos respecto a una referencia que gira a
la velocidad de sincronismo.
0ω Pulsación de sincronismo o pulsación base, en grados eléctricos ( srad / ).
ω Velocidad del rotor en magnitudes unitarias de la máquina 0/ωω p⋅Ω=
Es preciso resaltar que el par amortiguador refleja el efecto de los devanados
amortiguadores del generador síncrono que crean un par que se opone a la variación
de velocidad cuando el rotor gira a velocidad distinta de la síncronismo.
Si la ecuación (3.1) se expresa en magnitudes unitarias resulta:
( )
( )
0 00
2 20 0
00 0
1 1
m eD
B B B B
m eD
B B B B
T TdJ KS dt T T S
J T Td KS dt T T S
Ω ΩΩ= − − Ω−Ω
Ω ΩΩ= − − Ω−Ω
Ω Ω
(3.2)
Siendo:
0
B BB
B
S ST = =Ω Ω
el par base y BS la potencia base
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 30
Definiendo la inercia y el coeficiente de amortiguamiento como:
B
DB
JHS
D KS
Ω=
Ω=
20
20
12
La ecuación (3.2) resulta:
( )00 0
2m e
H d Dt tdtΩ= − − Ω−Ω
Ω Ω (3.3)
Expresando la velocidad angular en radianes eléctricos por segundo por unidad
pω ω= Ω 0 , la ecuación (3.3) queda finalmente:
( )2 1m edH t t Ddtω ω= − − − (3.4)
En el estudio de las oscilaciones electromecánicas de los generadores, el rotor no
experimenta grandes excursions de velocidad. Por ello, el par en magnitudes unitarias
puede considerarse igual a la potencia:
0
0 0
B BB B
PPT Pt pS ST S
ΩΩ= = = = =
Ω Ω
Bajo esta suposición, la ecuación (3.4) quedaría en la forma:
( )2 1m edH p p Ddtω ω= − − − (3.5)
En el modelo clásico para estudios de estabilidad, el generador síncrono se
representa como una fuente de tensión ideal detrás de la reactancia transitoria en eje
directo.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 31
Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador síncrono para estudios de estabilidad.
Si el generador está conectado a un nudo de potencia infinita a través de un
transformador y una línea, la potencia eléctrica entregada por el generador viene dada
por la expresión:
seneT
e upx
δ∞′= (3.6)
Donde:
e′ es el módulo de la excitación
δ es el ángulo de la excitación con relación a la tensión del nudo infinito
u∞ es el módulo de la tensión del nudo de potencia infinita
T tx x x x′= + + l es la reactancia total
x′ es la reactancia transitoria del generador
tx es la reactancia del transformador
xl es la reactancia de la línea
Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 32
Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita.
La conexión de los modelos mecánico y eléctrico viene determinada por el hecho
que el ángulo de excitación es precisamente el ángulo del rotor.
En efecto, el ángulo del rotor con relación a una referencia fija, expresado en
radianes eléctricos por segundo, viene dado por:
tpδα = Ω +0
La velocidad angular del rotor resulta ser:
d ddt p dtα δ= Ω = Ω +0
1 (3.7)
Si se expresa la velocidad en radianes eléctricos por segundo por unidad en la
ecuación (3.7), resulta:
ddtδω
ω= +
0
11 (3.8)
Las ecuaciones (3.4), (3.6) y (3.8) se pueden escribir en forma compacta comos sigue.
Se presenta el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que describe el
comportamiento del generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita:
( )
( )senmT
e v DpH H x H
ω ωδ
δ ωω ∞
⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
&
&
0 11 1 12 2 2
(3.9)
O de forma compacta:
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 33
( ),u=x F x& (3.10)
Donde:
δω⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
x
mu p=
( )( )
( )senmT
e v DpH H x H
ω ω
δ ω∞
⎡ − ⎤⎢ ⎥= ′⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
F x0 1
1 1 12 2 2
3.1.2 Simulación del modelo no lineal
Se van a ilustrar la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a
un nudo de potencia infinita (la Tabla 3-1 detalla los datos del generador, el
transformador y la línea de conexión del generador a una red de potencia infinita; estos
datos corresponden al “First Benchmark Model for Computer Simulation of
Subsynchronous Resonance” [12] con un factor de compensación de la línea del 50%:
en realidad la reactanciua de la línea vale 0.56 pu y tiene en serie un condensador cuya
reactancia vale -0.28 pu) cuando ocurre un cortocircuito trifásico franco de 100
milisegundos de duración. El valor de la frecuencia es 60 Hz. Un cortocircuito es una
gran perturbación y su estudio requiere la simulación en el dominio del tiempo del
sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (3.9).
Generador 0.169 , 2.88sx pu H s′ = =
1 , 1 ,cos 0.9u pu s pu indϕ= = =
Transformador 0.14tx pu=
Línea 0.28x pu=l
Tabla 3-1: Datos del caso ejemplo de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.
Un paso previo es el cálculo de las condiciones iniciales del generador, tal y como se
indica a continuación:
0 00
0 0p jqu
∗⎛ ⎞+
= ⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠i
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 34
0 00 0 0 0 0 0
0
ˆ00
p jqjx v jx eu
δ⎛ ⎞−′ ′ ′ ′= + = ∠ °+ = ∠⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠
e v i
( ) ( ) 0 00 0 0 0 0 0
0
00t t
p jqj x x v j x x vv
θ∞ ∞
⎛ ⎞−= − + = ∠ °− + = ∠⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠
v v il l
0 0 0ˆδ δ θ= −
La Figura 3-4 muestra la evolución de la variación de velocidad del rotor del
generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo.
Varias conclusiones se pueden extraer del análisis de la Figura 3-4:
La variación de velocidad del rotor crece linealmente durante la ocurrencia del
cortocircuito mientras que el ángulo crece cuadráticamente.
Tras el despeje del cortocircuito, tanto la variación de velocidad como el ángulo
muestran una oscilación sostenida con un periodo de aproximadamente 1
segundo. La oscilación es sostenida porque se ha supuesto que el
amortiguamiento del generador es nulo. Esta oscilación se denomina
electromecánica: mecánica porque es el rotor el que oscila, eléctrica porque es
debida a la conexión del generador a la red eléctrica.
La variación de velocidad oscila aproximadamente entre +2% y -2% y el ángulo
en 105º y 0º.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Tiempo (s)
Δω
(pu)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-50
0
50
100
150
Tiempo (s)
δ (º
)
Figura 3-4:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de una falta trifásica franca: variación de velocidad y ángulo del rotor.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 35
3.1.3 Modelo lineal
La linealización de las ecuaciones del generador síncrono conectado a un nudo de
potencia infinita, (3.5), (3.6) y (3.8)quedan en la forma:
m edH p p D
dtω ωΔ= Δ −Δ − Δ2 (3.11)
coseT
e vp Kx
δ δ δ∞′Δ = Δ = Δ0 (3.12)
ddtδω
ωΔ
Δ =0
1 (3.13)
Escritas como una ecuación diferencial de segundo orden resultan:
mH d D d K p
dt dtδ δ δ
ω ωΔ Δ
+ + Δ = Δ2
20 0
2 (3.14)
Como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales resultan:
uBxAx Δ+Δ=Δ&
m
ddt pK Dd
H H Hdt
δ ω δω ω
Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + Δ⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
00 01
2 2 2 (3.15)
En la ecuación se pueden apreciar las dos componentes del par restaurador que
actúan para evitar inestabilidades en el generador: par sincronizante ( δΔK ) y par
amortiguador ( ωΔD ).
Del análisis de la matriz de estado ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−−=
HD
HKA
22
0 0ω, se puede determinar la
estabilidad local o de pequeña perturbación del generador en unas condiciones dadas.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 36
La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial lineal de
segundo orden (3.14) o al sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden (3.15) es:
H Ds s Kω ω
+ + =2
0 0
2 0 (3.16)
o también:
KDs sH H
ω+ + =2 0 02 2
(3.17)
Las raíces de la ecuación característica (3.17) son:
KD DjH H Hs
ω− ⎛ ⎞± − ⎜ ⎟⎝ ⎠=
20
12
42 2 2
2
Las raíces de la ecuación característica cuando D=0 son:
Ks j
Hω
= ± 012 2
El signo del coeficiente del par sincronizante hace que se puedan presentar dos
casos. En primer lugar, si el coeficiente es positivo, lo cual ocurre si el ángulo del rotor
está comprendido entre 0º y 90º, resultan dos raíces conjugadas puras y, por tanto, la
respuesta es oscilatoria pura. Si el coeficiente de par sincronizante fuera negativo, en
caso de estar el ángulo del rotor entre 90º y 180º, resultarían dos raíces reales, una
positiva y otra negativa. La raíz positiva, que determinaría una respuesta
exponencialmente creciente terminaría venciendo a la exponencialmente decreciente de
la raíz negativa, dando lugar a una situación inestable de pérdida de sincronismo.
La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden se puede obtener por
medio de la transformada de Laplace:
( ) ( ) ( ) mpH Ds s s s K ss
δ δ δω ω
ΔΔ + Δ + Δ =2
0 0
2
( ) ms pKD H ss sH H
ωδ ωΔ = Δ+ +
0
2 0
1 12
2 2
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 37
( ) ( )n
mn n
s pK s s s
ωδςω ω
Δ = Δ+ +
2
2 2
12
Realizando la antitransformada de Laplace resulta:
( ) ( )sentn mt e t p
Kςωδ ω ς φ
ς−
⎛ ⎞⎜ ⎟Δ = − − + Δ⎜ ⎟−⎝ ⎠
2
2
1 11 11
donde:
arctgς
φς−
=21
La transformada de la Laplace de la variación de velocidad es:
( ) ( ) ( )n
mn n
s s s pK s s
ωω δςω ω
Δ = Δ = Δ+ +
2
2 2
12
Realizando la antitransformada de Laplace resulta:
( ) 2
2
1 sen 11
ntnn mt e t p
Kζωωω ω ζ
ζ−
⎛ ⎞⎜ ⎟Δ = − Δ⎜ ⎟−⎝ ⎠
3.1.4 Simulación y análisis del modelo lineal
La oscilación electromecánica que experimentaba el generador cuando se producía
un cortocircuito trifásico franco, en también aparece cuando se aplica una variación de
potencia mecánica suministrada por la turbina en forma de escalón. Se ha aplicado una
variación -0.1 pu de potencia suministrada por la turbina (desde 0.9 pu hasta 0.8 pu).
Un escalón de pequeña magnitud de la potencia mecánica suministrada por la turbina
es una pequeña perturbación y su estudio se puede abordar por medio del sistema de
ecuaciones diferenciales lineales (3.15).
La Figura 3-5 muestra la evolución de la variación de velocidad del rotor del
generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo.
Varias conclusiones se pueden extraer del análisis de la Figura 3-5:
Tanto la variación de velocidad del rotor como el ángulo caen al aplicar el
escalón hacia abajo de potencia mecánica.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 38
Tanto la variación de velocidad como el ángulo muestran una oscilación
sostenida con un periodo de aproximadamente 1 segundo. La oscilación es
sostenida porque se ha supuesto que el amortiguamiento del generador es nulo.
La variación de velocidad oscila aproximadamente entre +0.2% y -0.2% y el
ángulo entre 45º y 35º. La amplitud de las oscilaciones de velocidad y de ángulo
son más pequeñas que en el caso mostrado en la Figura 3-4 porque la
perturbación es pequeña.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1
0
1
2x 10
-3
Tiempo (s)
Δω
(pu)
-0.5 0 0.5 1 1.5 230
35
40
Tiempo (s)
δ (º
)
Figura 3-5:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina: variación de velocidad y ángulo del
rotor.
El autoanálisis de la matriz de estados del sistema de ecuaciones diferenciales
lineales (3.15) confirma los resultados de la simulación en el dominio del tiempo
mostrada en la Figura 3-5. La matriz de estados tiene dos autovalores complejos
conjugados (ver Tabla 3-2) cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta el
amortiguamiento del generador) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural
de oscilación de 1.3 Hz que corresponde a un periodo aproximado de 1 segundo tal y
como la Figura 3-5 ha mostrado.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 39
Nº Real Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 0 9.5754 0 1.52
Autovalores complejos
Tabla 3-2: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.
3.2 Oscilaciones torsionales
En esta sección se describe y analiza una ampliación en el aspecto mecánico del
modelo anterior, que permitirá estudiar los modos naturales de oscilación torsional de
un turbogenerador. Aquellos modos cuya frecuencia es inferior a la de sincronismo
pueden llegar a interactuar con el sistema eléctrico en determinadas circunstancias,
como ocurre en la Resonancia Subsíncrona. Por ello, es necesario conocer las
características torsionales de los turbogeneradores y definir un modelo mecánico
adecuado que las represente.
3.2.1 Modelo no lineal
El eje del rotor de una unidad de generación térmica es un sistema mecánico muy
complejo, formado por varios elementos de grandes dimensiones acoplados a lo largo
del mismo eje. Un sistema así tiene un gran número de modos vibratorios torsionales
naturales en un amplio rango de frecuencias que requerirían un modelo de parámetros
continuos de la estructura mecánica para ser determinados. Suponiendo que el eje está
dividido en un número finito de elementos, se puede obtener un modelo de masas
concentradas unidas mediante tramos del eje de una determinada elasticidad. Dicho
modelo de parámetros concentrados, representaría fielmente el comportamiento del eje
en un rango de bajas frecuencias, por debajo de la frecuencia de sincronismo de la red,
las cuales serán de interés en el caso de posibles interacciones con el sistema eléctrico.
La aplicación de este modelo para el sistema mecánico junto con el modelo
simplificado o clásico del generador síncrono conectado a nudo infinito no es
suficientemente detallado para detectar dichas inestabilidades, pero sí permite analizar
las características torsionales naturales del sistema mecánico del turbogenerador.
Hay distintas configuraciones posibles de turbinas-generadores en una central
térmica, en función del número de etapas de expansión y de si las turbinas se sitúan en
un mismo eje o en dos ejes distintos. Las ecuaciones del modelo mecánico presentado
son generalizables y se pueden aplicar a los dos tipos de sistemas, pero se hará la
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 40
suposición de que todas las turbinas están acopladas a un único eje y solo hay un
generador, además de un sistema de excitación de masa no despreciable. Considérese
el rotor de turbogenerador formado por seis masas:
Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador
Turbina de alta presión (high pressure, HP, turbine)
Turbina de presión intermedia (intermediate pressure, IP, turbine)
Cuerpo A de la turbina de baja presión (low pressure A, LPA, turbine)
Cuerpo B de la turbina de baja presión (low pressure B, LPB, turbine)
El generador (GE)
La excitatriz (EXC)
El modelo de masas y muelles equivalente sin amortiguamiento sería:
hp ipK −
hpHIPH
ip lpaK −
lpaH
lpa lpbK −
LPBH
lpb gK −
gH
g eK −
eH
hp ipK −
hpHIPH
ip lpaK −
lpaH
lpa lpbK −
LPBH
lpb gK −
gH
lpb gK −
gH
g eK −
eH
Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.
La notación adicional que se va a utilizar en la descripción de los parámetros y
ecuaciones utilizados en el modelo es la siguiente:
jΩ Velocidad en grados mecánicos de la masa j ( srad / ).
jω Velocidad de la masa j en magnitudes unitarias de la máquina 0/ωω pjj ⋅Ω= .
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 41
jωΔ Desviación de velocidad de la masa j respecto al sincronismo en pu
)1( −=Δ jj ωω .
jδ Posición angular de la masa j en grados eléctricos respecto a una referencia que
gira a la velocidad de sincronismo ( 00 )1( jjj t δωωδ +−= ).
T Par aplicado a una masa ( mN ⋅ ).
em tt , Pares mecánico y eléctrico en magnitudes unitarias.
em pp , Potencias mecánica y eléctrica en magnitudes unitarias
puj Momento de inercia en magnitudes unitarias ( s ), ( 20Ω
= BB
SJ ).
jH Constante de inercia ( s ).
K Coeficiente de elasticidad o rigidez torsional ( radmN /⋅ ).
ijK Coeficiente de elasticidad del eje entre las masas i y j, ( radpuT / ).
Las características dinámicas del eje se modelan con tres conjuntos de parámetros
([3]): la constante de inercia H de las masas individuales, la rigidez torsional K de
cada tramo de eje que une dos masas adyacentes y el coeficiente de amortiguación D
asociado a cada masa. Se hace la suposición de que los materiales del eje turbinas-
generador son sometidos a esfuerzos y deformaciones por debajo de su límite elástico
y, por tanto, son aplicables las relaciones lineales de la ley de deformación elástica de
Hooke y la ley mecánica de Newton con coeficientes H, K, D constantes. Su significado
físico es:
La constante de inercia H asignada a cada masa es su propia inercia más la
porción correspondiente de los tramos de eje entre las masas.
La rigidez torsional K de cada tramo de eje entre masas adyacentes, que es la
relación entre el par transmitido y la torsión angular a la que está sometido el eje
entre sus dos extremos.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 42
Θ⋅= KT
Cada coeficiente de elasticidad o rigidez torsional será la rigidez equivalente
del tramo considerado, que en realidad estará formado por varios tramos con
secciones y elasticidades diferentes.
Expresado en magnitudes unitarias de par y radianes eléctricos, si el número
de pares de polos de la máquina es P :
20/0//
/ )()()( pVASK
VASpK
mNTpK
KB
radmechNm
B
radmechNm
B
radmechNmradelecTpu
ω⋅=
⋅
Ω⋅=
⋅⋅=
El coeficiente de amortiguamiento D de las oscilaciones asociado a cada masa.
Puede tener su origen en la histéresis del material que constituya el eje, la fuerza
del vapor en los álabes de las turbinas cuando oscilan o en los elementos del
sistema eléctrico (generador, sistema de excitación o la red). En la práctica, los
niveles de amortiguamiento asociados a las oscilaciones torsionales son muy
pequeños y difíciles de determinar debido a la complejidad de los sistemas que
contribuyen al amortiguamiento y a la variabilidad de esa contribución. Por ello,
el amortiguamiento aquí se supondrá nulo.
La ecuación dinámica de rotación de un sólido rígido de la Segunda Ley de Newton:
dtd
JTΩ
=∑ (3.18)
Para una masa genérica j, conectada a las masas i y k, la ecuación (3.18) queda:
( ) ( )kjjkijijemj KKtt
dtd
Hjj
δδδδω
−−−−−=2 (3.19)
Siendo
( )10 −= jj
dtd
ωωδ
(3.20)
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 43
Se aplican a cada masa del sistema para obtener las ecuaciones (3.19) y
(3.20) del modelo completo.
Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genérica j del eje
Entonces, empleando el par o la potencia en magnitudes unitarias ( em tt , , em pp , )
indistintamente, las ecuaciones del modelo mecánico no lineal del turbogenerador son:
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
hphp
ipip
lpalpa
lpblpb
gg
ddt
ddt
ddt
ddtddt
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
= −
= −
= −
= −
= −
(3.21)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
,
,
,
,
2
2
2
2
2
hphp m hp hp ip hp ip
ipip m ip hp ip ip hp ip lpa ip lpa
lpalpa m lpa lpa ip lpa ip lpa lpb lpa lpb
lpblpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb g lpb g
gg lpb g g
dH p K
dtd
H p K Kdtd
H p K Kdt
dH p K K
dtd
H Kdt
ωδ δ
ωδ δ δ δ
ωδ δ δ δ
ωδ δ δ δ
ωδ δ
−
− −
− −
− −
−
= − −
= − − − −
= − − − −
= − − − −
= − −( )b ep−
(3.22)
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 44
A estas ecuaciones hay que añadir la expresión de la potencia eléctrica suministrada
por el generador. Como se ha dicho, la potencia y el par aplicado en cada masa son
prácticamente equivalentes en unitarias. En este modelo se usarán indistintamente una
y otro.
gT
ee senx
vept δ∞⋅′
=≈ (3.23)
Las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) se pueden escribir en forma compacta como
sigue:
( ),=x F x u& (3.24)
Donde:
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
δx
ω
T
hp ip lpa lpb g
T
hp ip lpa lpb g
δ δ δ δ δ
ω ω ω ω ω
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
δ
ω
T
lpbmlpamipmhpm pppp ][ ,,,,== pu
3.2.2 Simulación del modelo no lineal
Se van a ilustrar la presencia de oscilaciones torsionales en la oscilación
electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita (la
Tabla 3-3 detalla los datos del rotor del turbogenerador; estos datos corresponden al
“First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12]
; debe notarse que para poder realizar comparaciones se considera la frecuencia base
de la referencia [12], que es 60 Hz)) cuando ocurre un cortocircuito trifásico franco de
100 milisegundos de duración. Un cortocircuito es una gran perturbación y su estudio
requiere la simulación en el dominio del tiempo en este caso del sistema de ecuaciones
diferenciales no lineales (3.24).
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 45
Tabla 3-3: Datos del rotor del turbogenerador de la Tabla 3-1.
Inercia de las masas: 0.092897
0.155589
0.858670
0.884215
0.868495
0.0342165
hp
ip
lpa
lpb
g
e
H s
H s
H s
H s
H s
H s
=
=
=
=
=
=
Constates de rigidez de los acoplamientos:
19.303
34.929
52.038
70.858
2.822
hp ip
ip lpa
pla lpb
lpb g
g e
K pu
K pu
K pu
K pu
K pu
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
Proporciones de potencia suministrada por cada turbina:
0.30.26
0.22
0.22
hp
ip
pla
lpb
K pu
K pu
K pu
K pu
=
=
=
=
La Figura 3-9, la Figura 3-10, la Figura 3-11 y la Figura 3-12 muestran la evolución
de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de
baja presión, del generador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de
sincronismo) y la variación del ángulo del rotor del generador. Una conclusión se
puede añadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del
generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1
segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz. Las velocidades
de los cuerpos de baja presión de la turbina exhiben las oscilaciones torsionales en
menor medida.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 46
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.05
0
0.05
Tiempo (s)
Δω
HP (p
u)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Tiempo (s)
Δω
IP (p
u)
Figura 3-9:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita
en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Tiempo (s)
Δω
LPA (p
u)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Tiempo (s)
Δω
LPB (p
u)
Figura 3-10:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 47
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
Tiempo (s)
Δω
g (pu)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.05
0
0.05
Tiempo (s)
Δω
e (pu)
Figura 3-11: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-50
0
50
100
150
Tiempo (s)
δ (º
)
Figura 3-12: Simulación de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de
una falta: variación del ángulo del rotor del generador.
3.2.3 Modelo lineal
Las ecuaciones del modelo mecánico lineal del turbogenerador son:
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 48
0
0
0
0
0
hphp
ipip
lpalpa
lpblpb
gg
ddt
ddt
ddt
ddt
ddt
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
Δ= Δ
Δ= Δ
Δ= Δ
Δ= Δ
Δ= Δ
(3.25)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
,
,
,
,
2
2
2
2
hphp m hp hp ip hp ip
ipip m ip hp ip ip hp ip lpa ip lpa
lpalpa m lpa lpa ip lpa ip lpa lpb lpa lpb
lpalpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb g lpb
dH p K
dtd
H p K Kdt
dH p K K
dtd
H p K Kdt
ωδ δ
ωδ δ δ δ
ωδ δ δ δ
ωδ δ δ
−
− −
− −
− −
Δ= Δ − Δ −Δ
Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ
Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ
Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ( )
( )2
g
gg lpb g g b e
dH K p
dt
δ
ωδ δ−
Δ= − Δ −Δ −Δ
(3.26)
y la de la potencia eléctrica del generador linealizada alrededor del punto de
funcionamiento:
ggT
e xve
p δδ Δ⋅′
=Δ ∞0cos (3.27)
Donde δδ Δ⋅′
= ∞0cos
Tg x
veK es el coeficiente de par sincronizante.
Se ha despreciado el amortiguamiento, por su valor despreciable y dificultad de
determinación en la práctica ( 0=D ). Las ecuaciones (3.25), (3.26) y (3.27) se pueden
escribir en forma compacta como:
ΔuBΔxAxΔ +=&
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 49
m
ddt
ddt
ω− −
Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ − Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
δ0 I δ
pω M K 0 ω M
01 1
0 (3.28)
Donde:
T
hp ip lpa lpb g
T
hp ip lpa lpb g
δ δ δ δ δ
ω ω ω ω ω
⎡ ⎤Δ = Δ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦
⎡ ⎤Δ = Δ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦
δ
ω
0 0 0 00 0 0 00 0 0 020 0 0 00 0 0 0
hp
ip
lpa
lpb
g
HH
HH
H
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
M
0 0 00 0
0 00 00 0 0
hp ip hp ip
hp ip hp ip ip lpa ip lpa
ip lpa ip lpa lpa lpb ip lpb
ip lpb lpb g lpb g lpb g
lpb g lpb g g
K KK K K K
K K K KK K K K
K K K
− −
− − − −
− − − −
− − − −
− −
−⎡ ⎤⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + −=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦
K
3.2.4 Simulación y análisis del modelo lineal
Las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz junto con la oscilación de 1 Hz
también pueden apreciarse tras la aplicación de un escalón de potencia mecánica
suministrada por la turbina de alta presión de pequeña magnitud ( -0.03 pu, que es
-0.1pu del caso de tener una única masa multiplicado por la fracción de potencia de la
turbina de baja presión). Un escalón de pequeña magnitud de la potencia mecánica
suministrada por la turbina de alta presión es una pequeña perturbación y su estudio
se puede abordar por medio del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.28).
La Figura 3-13, la Figura 3-14, la Figura 3-15 y la Figura 3-16 muestran la evolución
de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de
baja presión, del generador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de
sincronismo) y la variación del ángulo del rotor del generador. Una conclusión se
puede añadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 50
generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1
segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Tiempo (s)
Δω
HP (p
u)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1
0
1
2x 10-3
Tiempo (s)
Δω
IP (p
u)
Figura 3-13:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad
de las turbinas de alta presión y presión intermedia.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1
0
1
2x 10
-3
Tiempo (s)
Δω
LPA (p
u)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1x 10-3
Tiempo (s)
Δω
LPB (p
u)
Figura 3-14:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad
de las turbinas de baja presión.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 51
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1x 10
-3
Tiempo (s)
Δω
g (pu)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
-0.5
0
0.5
1x 10-3
Tiempo (s)
Δω
e (pu)
Figura 3-15:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad
del rotor del generador y de la excitatriz.
-0.5 0 0.5 1 1.5 20.687
0.688
0.689
0.69
0.691
Tiempo (s)
δ g (º
)
Figura 3-16: Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación del ángulo
del rotor del generador.
La dificultad del análisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la
respuesta temporal, hace necesario el autoanálisis de la matriz de estados del sistema
de ecuaciones diferenciales lineales (3.28). Del autoanálisis de dicha matriz pueden
conocerse los modos según los cuales evolucionaría este sistema en el tiempo ante
pequeñas perturbaciones, como variaciones en el nivel de carga o de potencia aplicada
en las turbinas. La Tabla 3-4 muestra que la matriz de estados tiene seis parejas de
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 52
autovalores complejos conjugados cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta
ningún amortiguamiento) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural de las
oscilaciones. Las frecuencias que refleja están en grados eléctricos. Se puede observar
que todas ellas se encuentra, como es habitual, por debajo de la frecuencia de
sincronismo del sistema eléctrico.
Nº Real Imaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 0 298.1803 0 47.462 0 203.0208 0 32.313 0 160.6396 0 25.574 0 127.0312 0 20.225 0 99.2218 0 15.796 0 9.5095 0 1.51
Autovalores complejos
Tabla 3-4: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de
potencia infinita con representación detallada del rotor del generador.
La caracterización de los autovalores requiere el análisis de las formas de los modos,
o los desplazamientos relativos entre masas para cada modo de oscilación,
(proporcionados por los autovectores derechos) y de los factores de participación. Para
una masa en particular, puede usarse indistintamente la entrada correspondiente a la
velocidad o al ángulo. Contienen la misma información y se han normalizado de forma
que la componente de máximo valor sea igual a la unidad. La Figura 3-17 y la Figura
3-18 muestra la forma del modo (componentes de los autovector derechos
correspondientes a los ángulos) de los autovalores de la Tabla 3-4. La Figura 3-19
muestra el módulo de los factores de participación (componentes a los ángulos) de los
autovalores de la Tabla 3-4. En ambos casos la numeración de masas considerada es la
detalladan en la Tabla 3-5.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 53
1 2 3 4 5 6-1
0
1
#1
Forma del modo
1 2 3 4 5 6-1
0
1#2
1 2 3 4 5 6-1
0
1
#3
Masa
Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los autovectores) de un turbogenerador
conectado a un nudo de potencia
1 2 3 4 5 6-0.5
0
0.5
1
#4
Forma del modo
1 2 3 4 5 6-1
0
1
#5
1 2 3 4 5 6-1
0
1
#6
Masa
Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un turbogenerador
conectado a un nudo de potencia infinita
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 54
.
1 2 3 4 5 60
0.5
#1
Factores de participacion
1 2 3 4 5 60
0.5
#2
1 2 3 4 5 60
0.5
#3
Masa
Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.
Número Masa
1 Turbina de alta presión
2 Turbina de presión intermedia
3 Cuerpo A de la turbina de baja presión
4 Cuerpo B de la turbina de baja presión
5 Generador
6 Excitatriz
Tabla 3-5: Numeración de masas del rotor.
De análisis de la Figura 3-17 y de la Figura 3-19 se pueden extraer las siguientes
conclusiones:
El modo #1 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión con la de
presión intermedia. La turbina de presión intermedia es el elemento de mayor
participación.
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 55
El modo #2 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión y el
cuerpo de baja presión B contra el cuerpo de baja presión A y el generador. El
cuerpo de baja presión B es el elemento de mayor participación.
El modo #3 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión, la presión
intermedia y el generador contra los cuerpos A y B de la turbina de baja presión.
La turbina de alta presión es el elemento de mayor participación.
El modo #4 corresponde a una oscilación de la excitatriz contra el resto de las
masas. La excitatriz es el elemento de mayor participación.
El modo #5 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión, de
presión intermedia y al cuerpo A de la turbina de baja presión contra el cuerpo B
de la turbina de baja presión, el generador y la excitatriz. El generador es el
elemento de mayor participación.
El modo #6 corresponde a una oscilación al unísono de todos los elementos. Los
elementos de mayor participación son los cuerpos de baja presión de la turbina
y el generador.
3.2.5 Parámetros modales
El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28) se puede
escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden:
mKdt
d pδδM Δ=Δ+Δ
02
2 1ω
(3.29)
cuya ecuación homogénea es:
ddt ωΔ
+ Δ =δM K δ 0
2
20
1 (3.30)
y cuya matriz de estados es:
ω −= −A M K10 (3.31)
Los autovalores Λ y autovectores derechos V de la matriz de estados A cumplen:
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 56
=AV VΛ
o lo que es lo mismo:
ω −−V M KV10Λ =
ω−MV KV
0
1Λ = (3.32)
Si se premultilplican ambos lados de la ecuación (3.32) por la matriz transpuesta de
la matriz de autovectores derechos TV se obtiene:
T T
ω−V MV V KV
0
1Λ = (3.33)
Donde las matrices TV MV y TV KV son matrices diagonales y sus elementos
diagonales son los parámetros modales (masa y rigidez).
Una demostración sencilla que prueba que las citadas matrices son diagonales es la
siguiente:
Considerar la ecuación (3.33) para los modos i-ésimo y j-ésimo:
i i iλω
+ =Mv Kv 00
1 (3.34)
j j jλω
+ =Mv Kv 00
1 (3.35)
T Tj j
j
ωλ
= −v M v K0 (3.36)
Premultiplicar por Tjv la ecuación (3.34):
T Tj i i j iλ
ω+ =v Mv v Kv 0
0
1 (3.37)
Substituir (3.36) en la(3.37) :
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 57
T T Tij i i j i j i
j j
ω λλω λ λ
⎛ ⎞− −+ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠v Kv v Kv v Kv 00
0
1 1
Tj i =v Kv 0
Lo que confirma que la matriz TV KV es diagonal. De forma similar se llega a
conclusión que TV MV es diagonal.
jT Tj j
λω
= −v K v M0
j jT T Tij i i j i j i
λ λλλω ω ω ω
⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠v Mv v Mv v Mv 0
0 0 0 0
1
Tj i =v Mv 0
Otra explicación se deduce del problema de autoanálisis i i iλ =Ev Av , con A y E
semidefinidas positivas (E es diagonal y los términos diagonales de A son mayores o
iguales que la suma de los términos de fuera de la diagonal), según el cual existe una
transformación congruente V que diagonaliza las matrices A y E . Ello puede verse
por ejemplo en el texto [13].
Si a la ecuación (3.29) se aplica el cambio de variables Δ = Δδ V θ y se premultiplica
por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos TV se obtiene:
T T Tm
Tmi imi i i m
Tmi imi i i m
ddt
M d Kdt
H d Kdt
ω
θ θω
θ θω
Δ+ Δ = Δ
Δ+ Δ = Δ
Δ+ Δ = Δ
θV MV V KV θ V p
v p
v p
2
20
2
20
2
20
1
2
(3.38)
Siendo miH y miK la inercia y la rigidez modal correspondientes al modo i-ésimo.
Por supuesto el autovalor i-ésimo se obtiene directamente a partir de los parámetros
modales como:
mii
mi
KjHωλ = ± 0
2
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 58
La Tabla 3-6 presenta los parámetros modales del caso del turbogenerador
conectado a un nudo de potencia infinita ya considerado. Merece la pena comparar al
menos los parámetros modales de modo en el que todas las masas oscilan al unísono
con los parámetros de inercia y coeficiente de par sincronizante del caso del generador
conectado a un nudo de potencia infinita en el que el rotor se representó por una única
masa. La inercia en ese caso era 2.894 s y el coeficiente de par sincronizante valía 1.4077
pu. Valores muy próximos a los ahora obtenidos cuando se representa con todo detalle
el turbogenerador tal y como se detallan en la Tabla 3-6.
Nº Imaginaria Hm Km1 298.1803 0.2246 105.94692 203.0208 1.5141 331.08203 160.6396 0.1910 26.14404 127.0312 0.0389 3.33315 99.2218 0.3609 18.85006 9.5095 2.8041 1.3452
Parámetros modales
Tabla 3-6: Parámetros modales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.
hp ipK −
hpH IPH
ip lpaK −
lpaH
lpa lpbK −
LPBH
lpb gK −
gH
ip lpaD − ip lpaD − lpa lpbD − lpb gD −
hpDipD lpaD lpbD lpbD
hp ipK −
hpH IPH
ip lpaK −
lpaH
lpa lpbK −
LPBH
lpb gK −
gH
ip lpaD − ip lpaD − lpa lpbD − lpb gD −
hpDhpDipDipD lpaDlpaD lpbDlpbD lpbD
Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador
En el modelo de la oscilación electromecánica del generador y en el modelo de las
oscilaciones torsionales no se incluyeron los amortiguadores, pero pueden
considerarse. En ese caso el diagrama de la Figura 3-7 pasa a ser el diagrama de la
Figura 3-20 y el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28)
queda de la forma:
m
ddt
ddt
ω− − −
Δ⎡ ⎤⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ − − Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
δ0 I δ
pω M K M D ω M
01 1 1
0 (3.39)
3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 59
Donde:
0 0 00 0
0 00 00 0 0
hp hp ip hp ip
hp ip ip hp ip ip lpa ip lpa
ip lpa lpa ip lpa lpa lpb ip lpb
ip lpb lpb lpb g lpb g lpb g
lpb g g lpb g
D D DD D D D D
D D D D DD D D D D
D D D
− −
− − − −
− − − −
− − − −
− −
+ −⎡ ⎤⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + + −=⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎣ ⎦
D
y la ecuación diferencial lineal de segundo orden (3.29) queda:
mKdt
ddt
d pδδDδM Δ=Δ+Δ
+Δ
002
2 11ωω
(3.40)
Si a la ecuación (3.40) se aplica el cambio de variables Δ = Δδ V θ y se premultiplica
por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos TV se obtiene:
mdtd
dtd pVθKVVθDVVθMVV TTTT Δ=Δ+
Δ+
Δ
002
2 11ωω
(3.41)
Las nuevas variables son variables modales. Debe notarse que en este caso la matriz TV DV no tiene porque ser diagonal, pues la matriz de paso se ha obtenido del
problema de oscilaciones no amortiguadas (suponiendo D igual a cero).
4 Resonancia subsíncrona 60
4 Resonancia subsíncrona
Este capítulo presenta el fenómeno de la resonancia subsíncrona y los modelos no
lineales y lineales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita a
través de una línea compensada serie para su estudio. Este capítulo también muestra
resultados tanto de la simulación no lineal en el dominio del tiempo como del análisis
modal del modelo lineal.
La aproximación al problema se realizará, en primer lugar, mediante modelos
simplificados no lineales y lineales del generador síncrono. A continuación, se presenta
un modelo más detallado con todos los componentes de los sistemas que rodean al
generador considerando el efecto de los sistemas de regulación.
4.1 Introducción a la resonancia subsíncrona
La resonancia subsíncrona es un problema de inestabilidad en generadores
síncronos que afecta a los modos del sistema que se encuentran en el rango de
frecuencias inferiores a la fundamental (50 Hz ó 60 Hz). Se basa en la interacción de los
sistemas eléctrico y mecánico asociados al generador. Puede producir oscilaciones
inestables en los modos torsionales del eje del generador y también en las magnitudes
eléctricas del sistema.
La definición formal propuesta por el IEEE [7] establece que la resonancia
subsíncrona es la condición en la que se encuentra un sistema de energía eléctrica
cuando la red intercambia energía con un generador a una o más frecuencias naturales
del sistema por debajo de la frecuencia de sincronismo. La definición es general y se
refiere tanto a los modos naturales debidos a características inherentes al sistema
eléctrico como a los modos forzados por la actuación de los distintos reguladores y
equipos de control.
La situación más común en la que se puede presentar la resonancia subsíncrona es
en generadores que estén conectados al sistema a través de líneas con condensadores
en serie que compensan la reactancia de las mismas. Ése sería un modo natural al
sistema. Otras causas de oscilaciones subsíncronas inestables pueden ser también los
4 Resonancia subsíncrona 61
sistemas de regulación del generador, que introducirían modos forzados,
interactuando con la red o el sistema mecánico de su eje.
4.1.1 Resonancia eléctrica en líneas con compensación serie
Cuando un generador está conectado a un nudo de potencia infinita a través de una
línea compensada, el sistema eléctrico constituido tiene carácter de RLC con una
frecuencia de resonancia ef .
Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una línea compensada serie
LT
C
eTe X
Xf
CLf 02
1==
π (4.1)
Siendo:
0f La frecuencia fundamental del sistema
TL La inductancia total del circuito ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′++
02 fXLL te π
LTX La reactancia inductiva total: TLT LfX ⋅= 02π
CX La reactancia capacitiva: ( ) 102 −⋅= eC CfX π
La medida que indica el grado de compensación de la reactancia de la línea es el
factor de compensación (F.C.), que se define como:
Le
C
XXCF =.. (4.2)
4 Resonancia subsíncrona 62
Cuyo valor suele estar comprendido en el margen del 25% al 75%, por lo que
ef es inferior a la frecuencia fundamental 0f .
Por las características dinámicas del circuito RLC, cualquier perturbación en el
sistema eléctrico originará corrientes transitorias que oscilarán a una frecuencia igual a
la natural del circuito ef , en realidad algo menor por el efecto de las resistencias. En el
caso de faltas desequilibradas, las corrientes se descompondrán en los sistemas de
secuencia directa, inversa y homopolar. El sistema homopolar de corrientes en el
estator no produce campos magnéticos en el entrehierro de una máquina rotativa, por
lo que no tiene efectos sobre el rotor. Los sistemas de secuencia directa e inversa sí
producen campos magnéticos en el entrehierro, por lo que darán lugar a pares
pulsatorios de frecuencia distinta según la secuencia:
Secuencia directa: eff −0
Secuencia inversa: eff +0
Si se utiliza un sistema de referencia en ejes dq solidario al rotor, éstas serán
también las frecuencias de las corrientes transitorias. Los sistemas de corrientes de
secuencia directa e inversa se denominarán modos eléctricos subsíncrono y
supersíncrono, respectivamente.
Suele referirse a la frecuencia del par producido por la componente de secuencia
inversa de la corriente como supersíncrona y a la de la secuencia directa como
frecuencia subsíncrona, y se dice que ésta es complementaria a ef , ya que la suma de
ambas es igual a 0f .
Estos pares aplicados en el rotor del generador hacen que oscile a frecuencias
subsíncronas. Como se ha visto en la sección 3.2, el eje de un turbogenerador tiene
unos modos naturales de oscilación torsional, cuyas frecuencias suelen encontrarse por
debajo de 0f . Si alguna de ellas se encuentra próxima a la frecuencia subsíncrona del
sistema, podría dar lugar a la inestabilidad del modo eléctrico subsíncrono o de los
modos torsionales, con la consecuente rotura o fatiga del eje del turbogenerador o la
desestabilización del sistema eléctrico. Se pueden distinguir tres mecanismos por los
4 Resonancia subsíncrona 63
que el generador puede interactuar con el sistema provocando resonancia subsíncrona:
el efecto generador de inducción, interacción torsional y pares transitorios.
4.1.2 Tipos de interacciones debidos a la resonancia subsíncrona
Efecto generador de inducción
Este fenómeno consiste en una inestabilidad producida por la autoexcitación del
sistema eléctrico. Para los sistemas de intensidades de frecuencia subsíncrona que
puedan surgir tras cualquier tipo de perturbación, el generador funciona como una
máquina de inducción. Esto se debe a que el campo magnético producido por las
intensidades subsíncronas gira a ef mientras que el generador gira a la velocidad de
sincronismo 0f , por lo que el rotor ve girar a ese campo con un deslizamiento
negativo:
00 ,0 ff
fff
s ee
e <<−
=
La resistencia equivalente del rotor para corrientes subsíncronas, vista desde los
terminales del estator, es negativa. Cuando la resistencia negativa iguale o supere al
resto de resistencias del circuito, las intensidades subsíncronas serán crecientes
provocando la inestabilidad del modo. Si, además, la reactancia total se anula, se darán
condiciones de resonancia eléctrica en el sistema.
Interacción torsional
La interacción torsional ocurre cuando los pares en el entrehierro producidos por
corrientes transitorias subsíncronas están próximos a alguno de los modos torsionales
del turbognerador. Cuando por alguna pequeña perturbación se produce la oscilación
natural del eje de turbinas-generador a alguna de sus frecuencias naturales mf , se
inducen tensiones y corrientes en devanado trifásico del estator con frecuencias
mff ±0 . Si la corriente de frecuencia mff −0 coincide o se encuentra próxima en
frecuencia a la de resonancia del circuito ef , la oscilación torsional y la resonancia
eléctrica se excitarán o reforzarán mutuamente dando lugar a resonancia subsíncrona.
En tal caso, la resonancia eléctrica actuará como un amortiguamiento negativo para la
4 Resonancia subsíncrona 64
oscilación torsional, y ésta última actuará de la misma forma para la resonancia
eléctrica.
Pares transitorios
Este problema se da ante faltas severas cuando la frecuencia del modo subsíncrono
está próxima a la de alguno de los modos torsionales del generador.
Los pares transitorios son aquellos que se producen por grandes perturbaciones en
el sistema. Estas perturbaciones o faltas causan cambios repentinos en la configuración
de la red, provocando cambios bruscos en las intensidades, que tenderán a oscilar a las
frecuencias naturales del sistema. En una línea sin compensación serie, estas
componentes transitorias son unidireccionales amortiguadas con el tiempo según una
constante de tiempo que depende de las resistencias e inductancias del circuito
(sistema de primer orden RL). En líneas que tienen compensación serie, ante una falta o
perturbación de gran magnitud, las corrientes transitorias serán oscilatorias de
frecuencia ef , como ocurría con las pequeñas perturbaciones.
Si la frecuencia complementaria a ef , o frecuencia subsíncrona, se asemeja a alguna
de las frecuencias naturales del sistema mecánico, se podrán producir pares torsionales
con picos muy elevados, proporcionales a las intensidades transitorias, tanto en los
cortocircuitos como en sus despejes. Como consecuencia, se sometería a las distintas
secciones del eje a esfuerzos torsionales muy elevados.
4.1.3 Técnicas de análisis
De los tres tipos de interacciones descritos, los dos primeros se pueden considerar
problemas de estabilidad de pequeña perturbación, al menos inicialmente. El tercer
tipo se produce ante grandes perturbaciones, por lo que las no linealidades del sistema
deben ser consideradas en el análisis. Por ello, el efecto de generador de inducción y la
interacción torsional pueden estudiarse con las técnicas de análisis modal sobre el
modelo linelizado. Sin embargo, el fenómeno de los pares torsionales debe estudiarse
mediante la integración numérica de las ecuaciones diferenciales del modelo que se
defina, para conocer la evolución temporal de las variables del sistema.
4 Resonancia subsíncrona 65
Los conceptos de efecto generador de inducción, interacción torsional y pares
transitorios permiten una comprensión cualitativa del fenómeno de la resonancia
subsíncrona. Para un análisis más profundo del mismo es necesaria la definición de un
modelo matemático adecuado que sirva de base de estudio.
Como este fenómeno implica la interacción de una resonancia eléctrica o la acción
de reguladores del sistema eléctrico con las oscilaciones torsionales de un eje, un
modelo unificado y detallado de los sistemas eléctrico y mecánico es conveniente para
su estudio. Los límites del modelado para estudiar la resonancia subsíncrona estarán
definidos en primer lugar por el conjunto de aquellos subsistemas cuyas dinámicas e
interacciones son más relevantes en el fenómeno, y en segundo lugar, por el alcance del
estudio. Los subsistemas implicados son del generador y la red. El alcance del estudio
se limita a las interacciones entre la máquina síncrona y la red eléctrica en el rango de
frecuencias subsíncronas, es decir, por debajo de la frecuencia fundamental del sistema.
4.2 Modelo simplificado
Las ecuaciones del generador y del condensador de serie con relación a un sistema
de referencia que gira a la velocidad del rotor del generador son, para los parámetros
de la Figura 4-2:
0
0 111 0
00
d d d dg
q q q q
d de
q qe
e vde vdt
iLiL
ψ ψω
ψ ψω
ψψ
′ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥′ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.3)
0
0 111 0
d cd cdg
q cq cq
d cd d
q cq q
i v vdC Ci v vdt
v v vv v v
ωω
∞
∞
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.4)
4 Resonancia subsíncrona 66
0v∞ ∞= ∠ °v+−
+−e δ′ ′= ∠e
X ′ tX X l
e tX X X X′= + + l
cx
vcv
0v∞ ∞= ∠ °v+−+−
+−+−e δ′ ′= ∠e
X ′ tX X l
e tX X X X′= + + l
cx
vcv
Figura 4-2: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un punto de red infinita a través de un
condensador serie
Se considerará que la velocidad de rotor del generador es constante e igual a la
velocidad de sincronismo.
Este modelo permite analizar como el rotor del generador va a “ver” la oscilación
natural del circuito serie LC formado por la inductancia equivalente del generador, el
transformador y la línea y la capacidad del condensador de compensación serie.
El modelo no lineal toma la forma (ecuaciones (4.8),(4.9)):
( )( )
, ,
, ,
=
=
x G x z u
0 H x z u
& (4.5)
donde los vectores de variables de estado, variables algebraicas y es variables de
entrada son:
Td q cd cqv vψ ψ⎡ ⎤= ⎣ ⎦x
Td q d qi i v v⎡ ⎤= ⎣ ⎦z
[ ]T v e∞ ′=u
En realidad, dado que la velocidad del generador es constante, resulta que el
modelo es lineal y la eliminación de las variables algebraicas son:
1 2 1
3 4 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
A A Bx xu
A A B0 z&
(4.6)
( ) ( )1 11 2 4 3 1 2 4 3
− −= − + −
= +
x A A A A x B B A A u
Ax Bu
& (4.7)
4 Resonancia subsíncrona 67
4.2.1 Simulación del modelo simplificado
Se va a simular una variación en forma de escalón de la tensión en el nudo de
potencia infinita (-0.1 pu) considerando que tanto el módulo como el ángulo de la
excitación permanecen constantes.
La Figura 4-3 muestra la evolución temporal de las componentes del flujo. La Figura
4-4 muestra la evolución temporal de las componentes de la tensión.
Todas las magnitudes muestran una componente de frecuencia superior a la de
sincronismo y otra de frecuencia inferior a la de sincronismo.
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20.8
0.82
0.84
0.86
Tiempo (s)
ψd (p
u)
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
Tiempo (s)
ψq (p
u)
Figura 4-3: Simulaciónde las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia
infinita: componentes del flujo en la inductancia equivalente
4 Resonancia subsíncrona 68
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
Tiempo (s)
v cd (p
u)
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2-0.28
-0.27
-0.26
-0.25
Tiempo (s)
v cq (p
u)
Figura 4-4: Simulación de las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia
infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia
infinita: componentes de la tensión del condensador.
En efecto, las frecuencias supersíncrona 1ω y subsícrona 2ω se calculan como:
( )1,2 0 1
1n
cn
ee
XXL C
ω ω ω
ω
= ±
= =
En nuestro caso resultan ser:
0.169 0.14 0.56 0.8690.28
e
c
X puX pu
= + + ==
( )( )
1
2
377 1 0.5676 590.9984
377 1 0.5676 163.0016
0.28 0.56760.869n
rad s
rad s
ω
ω
ω
= × + =
= × − =
= =
4.2.2 Análisis del modelo simplificado lineal
El autoanálisis de la matriz de estado del sistema dinámico lineal (4.11) confirma los
resultados obtenidos. La Tabla 4-1 detalla los autovalores del citado modelo. Resultan
4 Resonancia subsíncrona 69
dos parejas de autovalores complejos conjugados de parte real nula (ya que la
resistencia del circuito es nula) cuyas frecuencias son las ya obtenidas.
Nº Real Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 0 590.9984 0 94.062 0 163.0016 0 25.94
Autovalores complejos
Tabla 4-1: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita a través de
una línea compensadas serie.
4.3 Modelo detallado
En esta sección se describe con detalle el modelo matemático utilizado para
representar el sistema dinámico que constituye un turbogenerador conectado a la red
en el que puede tener lugar el fenómeno de resonancia subsíncrona, bien sea por la
compensación de la reactancia de la línea o por la influencia de los diferentes
reguladores del generador. Se va a considerar, por tanto, un sistema de una sola
máquina, que consistirá en un solo generador síncrono conectado a un punto de red
infinita mediante una línea con compensación serie. El modelo incluye los siguientes
elementos del sistema:
Sistema mecánico del rotor
La máquina síncrona
La red eléctrica
Turbinas y regulador de potencia
Sistema de excitación
En primer lugar se presentan las ecuaciones dinámicas, generalmente no lineales, de
cada uno de los subsistemas y su justificación, para luego constituir el sistema
completo. En segundo lugar, se procede a linealizar dichas ecuaciones en torno a un
4 Resonancia subsíncrona 70
punto de operación para la aplicación de técnicas de análisis modal en el estudio de la
estabilidad frente a pequeñas perturbaciones.
4.3.1 Modelo no lineal
Se considera el caso de un generador conectado a un nudo de potencia infinita a
través de una línea compensada serie tal y como se muestra en el diagrama unifilar de
la Figura 4-5.
eR eX cXeR eX cX
Figura 4-5: Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie.
Modelo mecánico del rotor de la turbina y generador
Se presentan las ecuaciones del modelo mecánico no-lineal del turbogenerador en el
que no se utiliza la potencia mecánica como si fuera el par porque en el modelo de las
turbinas se obtiene directamente como salida esta magnitud, y no hay que dividirla
entre la velocidad de cada masa.
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
hphp
ipip
lpalpa
lpblpb
gg
ddt
ddt
ddt
ddtddt
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
= −
= −
= −
= −
= −
(4.8)
4 Resonancia subsíncrona 71
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
,
,
,
,
2 1
2 1
2 1
2 1
2
hphp m hp hp ip hp ip hp hp
ipip m ip hp ip ip hp ip ip
lpalpa m lpa lpa ip lpa ip lpa lpa
lpblpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb lpb
gg lpb g g b g e g
dH p K D
dtd
H p K Ddtd
H p K Ddt
dH p K D
dtd
H K Kdt
ωδ δ ω
ωδ δ ω
ωδ δ ω
ωδ δ ω
ωδ δ δ
−
−
−
−
− −
= − − − −
= − − − −
= − − − −
= − − − −
= − − − ( ) ( )
( ) ( )
1
2 1
e g g e
ee g e e g e e
D p
dH K Ddt
δ ω
ω δ δ ω−
− − − −
= − − − −
(4.9)
Las variables de estado son los ángulos y las velocidades angulares:
T
hp ip lpa lpb g
T
hp ip lpa lpb g
δ δ δ δ δ
ω ω ω ω ω
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
δ
ω
Modelo electromagnético del generador síncrono
Las ecuaciones tanto de la máquina eléctrica como de la red se plantearán en ejes dq
solidarios al rotor, con el eje d paralelo al flujo de excitación principal del rotor, y el eje
q adelantado 90º. Se escribirán solamente las ecuaciones correspondientes a los ejes d y
q, ya que las componentes homopolares no influyen en el fenómeno estudiado. Se
usarán magnitudes unitarias referidas a las bases del generador, tanto en la máquina
como en la red eléctrica.
En las ecuaciones de la máquina síncrona se incuirá la impedancia inductiva de la
línea en las impedancias de los devanados del estator y se dejará como tensión de
referencia para los sistemas de regulación la tensión tv , en bornes de la máquina, no la
que se usa en las ecuaciones del estátor.
Figura 4-6: Tensiones consideradas en el modelo electromagnético
4 Resonancia subsíncrona 72
Donde:
qd vjv +=v es la tensión en bornes del generador (la resistencia y la reactancia de
la línea se han incorporado a la resistencia y reactancia de dispersión del generador
respectivamente).
c cd cqv jv= +v es la tensión en el condensador serie.
qd vjv ∞∞∞ +=v es la tensión en el nudo de potencia infinita.
eR y eL Resistencia e inductancia totales de la línea, se incluyen en la máquina.
Las variables de estado del sistema máquina eléctrica son los flujos:
[ ] [ ]TrotestT
kqkdfdqd ψψψ == ψψψψψ
Las ecuaciones del modelo electromagnético del generador síncrono cuando tiene
dos circuitos amortiguadores, uno en eje directo y otro en eje transverso incluyendo la
resistencia y la inductancia de la línea de conexión al nudo de potencia infinita serán
[14]:
0
0
0
0
0 0 110 1 0
1
10
10
0 00 0 0
d d d da eg
q q q qa e
fdfd fd fd
kdkd kd
kqkq kq
d ad e ad ad
q aq e aq
fd
kd
kq
v iR R dv iR R dt
de R i
dtdR i
dtd
R idt
L L L L LL L L L
ψ ψω
ψ ψω
ψω
ψω
ψω
ψψψψψ
−+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= +
= +
= +
+ +⎡ ⎤⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
l
l
0 00 0
0 0 0
d
q
ad fd ad ad fd
ad ad kd ad kd
aq kq aq kq
ii
L L L L iL L L L i
L L L i
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.10)
4 Resonancia subsíncrona 73
Los parámetros de los circuitos de la máquina síncrona se obtienen a partir de los
parámetros de respuesta (reactancias y constantes de tiempo transitorias y
subtransitorias en eje directo y subtransitorias en eje transverso) como:
( )0 0
0 ¨ 0
0
ad d
dfd ad
d d
ad fdfd
d
dkd d
d d
kq dfd
d
aq q
dkq ad
d d
aq kqkq
q
L L LL LL LL L
L LR
TL LL L LL L
L L LR
TL L L
L LL LL L
L LR
T
ω
ω
ω
= −′ −
=′−
+=
′
′′ −′= −′ ′′−
′+ −=
′′
= −
′′ −=
′′−
+=
′′
l
l
ll
l
l
l
Figura 4-7: Circuito equivalente del generador con un devanado amortiguador en eje q
En el caso de que el generador síncrono tenga tres circuitos amortiguadores, uno en
eje directo y dos en eje transverso, las ecuaciones resultan ser:
4 Resonancia subsíncrona 74
0
0
0
11 1
0
22 2
0
1
2
0 0 110 1 0
1
10
10
10
d d d da eg
q q q qa e
fdfd fd fd
kdkd kd
kqkq kq
kqkq kq
d
q
fd
kd
kq
kq
v iR R dv iR R dt
de R i
dtdR i
dtd
R idt
dR i
dt
ψ ψω
ψ ψω
ψω
ψω
ψω
ψω
ψψψψψψ
−+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= +
= +
= +
= +
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1
2 2
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
ad e ad ad d
aq e aq aq q
ad fd ad ad fd
ad ad kd ad kd
aq kq aq aq kq
aq aq kq aq kq
L L L L L iL L L L L i
L L L L iL L L L i
L L L L iL L L L i
+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
l
l
(4.11)
Los parámetros de los circuitos de la máquina síncrona se obtienen a partir de los
parámetros de respuesta (reactancias y constantes de tiempo transitorias y
subtransitorias tanto en eje directo como en eje transverso) como:
Figura 4-8: Circuito equivalente del generador con dos devanados amortiguadores en eje q
4 Resonancia subsíncrona 75
( )
( )
0 0
0 0
1
11
0
2
22
0 0
ad d
dfd ad
d d
ad fdfd
d
dkd d
d d
kq dfd
d
aq q
dk ad
d d
aq kqk
q
qkd q
q q
kq qkq
q
L L LL LL LL L
L LR
TL LL L LL L
L L LR
TL L L
L LL LL L
L LR
T
L LL L L
L L
L L LR
T
ω
ω
ω
ω
= −′ −
=′−
+=
′
′′ −′= −′ ′′−
′+ −=
′′
= −
′ −=
′−
+=
′
′′ −′= −
′ ′′−
′+ −=
′′
l
l
ll
l
l
l
l
l
l
El par electromagnético aplicado por el generador síncrono responde a la expresión:
{ }( )( ){ } ( ) ( ){ }
*Im
Im Im
e
d q d q d d q q q d sd sq
q d d q
t
i ji j i i j i i
i i
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ
=
= + − = − + −
= − +
iψ
(4.12)
Modelo del condensador de la compensación serie
Según lo señalado en �, la referencia del nudo infinito siempre gira a la velocidad
de sincronismo 0ω . Definiendo el ángulo gδ del generador de esta forma en el sistema
de referencia:
4 Resonancia subsíncrona 76
Figura 4-9: Diagrama fasorial del sistema de referencia y las tensiones.
Las ecuaciones del condensador serie con relación a un sistema de referencia que
gira a la velocidad del rotor del generador, con [ ]Tcqcdc vv ,=v como variables de
estado, son:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
q
d
cq
cd
sq
sd
cq
cdg
cq
cd
q
d
vv
vv
vv
vv
Cvv
dtdC
ii
01101
0
ωω
(4.13)
sencos
d
q
v vv v
δδ
∞ ∞
∞ ∞
==
(4.14)
Sistema de excitación
Se ha considerado una excitación estática realimentado con la tensión que hay en
bornes de la máquina. El diagrama de bloques de la excitación y del regulador de
tensión se muestran en la Figura 4-10.
tv
+
−
refv
1A
A
KsT+
11 EsT+
FDEFDmaxE
FDminEtv
+
−
refv
1A
A
KsT+1A
A
KsT+
11 EsT+
FDEFDmaxE
FDminE
Figura 4-10: Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión.
4 Resonancia subsíncrona 77
La variable fdE representa la tensión de excitación en magnitudes unitarias
tomando como base la tensión de excitación es necesaria para obtener la tensión
nominal en bornes de la máquina en vacío. En las ecuaciones de la máquina síncrona,
la tensión de excitación fde toma como base la tensión nominal de la máquina. En
bases de la máquina, para conseguir la tensión nominal estando la máquina en vacío se
necesita una excitación ad
fdfd L
re =0, , por lo que para pasar de fdE a fde hay que hacer:
ad
fdfdfd L
rEe ⋅=
Eligiendo como variables de estado [ ]Teee xx 21,=x :
+
−
refv
tv
1
EsT
+
−
2ex XE1
AsT
+
−
1exAK
+
−
refv
tv
1
EsT
+
−
2ex XE1
EsT
+
−
2ex XE1
AsT
+
−
1exAK
Figura 4-11: Selección de variables de estado de una excitación estática.
Las ecuaciones de la representación en espacio de estado de la excitación cuando se
la selección de variables de estado de la Figura 4-11 son:
( )
( )
1 1
2 2 1
2
2 2
1
1
e e ref tA
e e A eE
fd e
t td tq
fdfd fd
ad
x x v vT
x x K xT
E x
v v v
re E
L
⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦
= − +
=
= +
=
&
&
(4.15)
Donde las componentes de la tensión en bornes del generador se obtienen así:
4 Resonancia subsíncrona 78
0
0 0 1 10 1 0
00
td d ed ed sdeg
tq q eq eq sqe
ed de
eq qe
v i vR dv i vR dt
iLiL
ψ ψω
ψ ψω
ψψ
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.16)
Sistema de turbinas y regulador
El modelo del sistema de turbinas representa la aportación de cada una de ellas a la
potencia mecánica neta y los retardos introducidos por recalentadores intermedios. El
modelo considerado consiste en la aplicación del modelo más general ([7]) al sistema
mecánico de la Figura 3-6, que dispone de todas las turbinas en un solo eje.
Se ha considerado una turbina de vapor. El diagrama de bloques de la turbina y del
regulador de turbina se muestran en la Figura 4-12.
+
−
REFω
ω
11KsT+ 4
11 sT+ 5
11 sT+
hpp
6
11 sT+3
11 sT+
hpK ipK lpaK
ipp lpap
lpbK
lpbp
+
−
REFω
ω
11KsT+ 11
KsT+ 4
11 sT+ 4
11 sT+ 5
11 sT+
hpp
6
11 sT+ 6
11 sT+3
11 sT+ 3
11 sT+
hpKhpK ipKipK lpaKlpaK
ipp lpap
lpbKlpbK
lpbp
Figura 4-12: Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina.
Donde:
REFω es la velocidad de referencia en pu.
gω es la velocidad del generador respecto al sincronismo, pu.
31 ,TT es la constante de tiempo del regulador, en segundos.
654 ,, TTT son las constantes de tiempo del sistema de turbinas [s].
LPBLPAIPHP KKKK ,,, son las proporciones en las que aporta cada turbina a la
potencia mecánica total, en tanto por uno.
4 Resonancia subsíncrona 79
LPBLPAIPHP pppp ,,, So las potencias mecánicas de cada turbina, en pu.
La representación de estado del sistema se ha hecho de acuerdo con la siguiente
elección de variables de estado:
[ ]Tttttt xxxxx 54321 ,,,,=tx
+
−
REFω
( )1ω −
1
1sT
+
−
1txK
3
1sT
+
−
2tx
4
1sT
+
−
3tx
hpK
,m hpp
lpbK
,m lpbp
6
1sT
−
5tx
lpaK
,m lpap
5
1sT
+
−
4tx +
ipK
,m ipp
3tx
+
−
REFω
( )1ω −
1
1sT
+
−
1txK
3
1sT
+
−
2tx
4
1sT
+
−
3tx
hpK
,m hpp
lpbK
,m lpbp
6
1sT
−
5tx
lpaK
,m lpap
5
1sT
+
−
4tx +
ipK
,m ipp
3tx
5
1sT
+
−
4tx +
ipK
,m ipp
3tx
Figura 4-13: Selección de variables de estado de una turbina de vapor.
Las ecuaciones de la representación en espacio de estado de la turbina cuando se la
selección de variables de estado de la Figura 4-13 son:
4 Resonancia subsíncrona 80
( )( )
( )
( )
( )
( )
1 11
2 2 12
3 3 23
4 4 35
5 5 46
, 3
, 4
, 5
, 5
1 1
1
1
1
1
t t ref
t t t
t t t
t t t
t t t
m hp hp t
m ip lp t
m lpa lpa t
m lpb lpb t
x xT
x x KxT
x x xT
x x xT
x x xT
p K x
p K x
p K x
p K x
ω ω⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦
= − +
= − +
= − +
= − +
=
=
=
=
&
&
&
&
&
(4.17)
Condiciones iniciales
En primer término, se determina el ángulo del rotor y la tensión en el nudo de
potencia infinita:
0 00 0 0
0
ˆ0
p jq iu
ϕ∗
⎛ ⎞+= = ∠⎜ ⎟∠ °⎝ ⎠
i
( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0̂0q a q a q qR jX v R jX i eϕ δ= + + = ∠ °+ + ∠ = ∠e v i
( )0 0 0 0 0e e cR j X X v θ∞ ∞= − + − = ∠⎡ ⎤⎣ ⎦v v i
0 0 0ˆ
gδ δ θ= −
0 0 0ˆϕ ϕ θ= −
Después se obtiene las componentes en ejes directo y transverso de la tensión y la
corriente en el nudo de potencia infinita:
0 0 0
0 0 0
sen
cosd g
q g
v v
v v
δ
δ
=
=
( )( )
0 0 0 0
0 0 0 0
sen
cos
d g
q g
i i
i i
δ ϕ
δ ϕ
= −
= −
4 Resonancia subsíncrona 81
A continuación se calculan las componentes del flujo del estator, la corriente de
excitación, la tensión de excitación, y el par electromagnético:
( )( ) ( )
( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 00
1d q a e d q g d q
d q d q a e d qg
v jv R R i ji j j
j v jv R R i jij
ω ψ ψ
ψ ψω
+ = + + + +
⎡ ⎤+ = + − + +⎣ ⎦
( )
0 0 0
0 0 01
d d d ad fd
fd d d dad
L i L i
i L iL
ψ
ψ
= +
= −
0 0fd fd fde R i=
0 0 0 0 0e q d d qt i iψ ψ= − + (4.18)
Finalmente y teniendo presente que las corrientes por los devanados
amortiguadores son nulas:
0 10 20 0kd kq kqi i i= = =
se calculan todos los flujos por medio:
0 0
0 0
0 0
0 0
10 1 10
20 2 20
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
d ad e ad ad d
q aq e aq aq q
fd ad fd ad ad fd
kd ad ad kd ad kd
kq aq kq aq aq kq
kq aq aq kq aq kq
L L L L L iL L L L L i
L L L L iL L L L i
L L L L iL L L L i
ψψψψψψ
+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
l
l
⎤⎥⎥⎥⎥⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
Por otra parte, tendiendo presente que:
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
hp
ip
lpa
lpb
g
e
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
=
=
=
0 0m ep t=
4 Resonancia subsíncrona 82
, 0 0
, 0 0
, 0 0
, 0 0
m hp hp m
m ip ip m
m lpa lpa m
m lpb lpb m
p K p
p K p
p K p
p K p
=
=
=
=
Los ángulos de las masas de las turbinas se determinan a partir de:
, 0
, 0
, 0
, 0
0
000000 0
0 0 0 00 0 0
0 0 00 0 00 0 0
m hp
m ip
m lpa
m lpb
e
hp ip hp ip
hp ip hp ip ip lpa ip lpa
ip lpa ip lpa lpa lpb ip lpb
ip lpb lpb g lpb g lpb g
lpb g
tttt
t
K KK K K K
K K K KK K K K
K
− −
− − − −
− − − −
− − − −
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−− + −
− + −−
− + −−
0
0
0
0
0
00 0 0 0
hp
ip
lpa
lpb
lpb g g e g e g
g e g e g
K K KK K
δδδδδδ
− − −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Como:
10 , 0
0 , 0
0 , 0
0 , 0
0 0 00 0
0 00 0
hp hp ip hp ip m hp
ip hp ip hp ip ip lpa ip lpa m ip
lpa ip lpa ip lpa lpa lpb ip lpb m lpa
lpb ip lpb lpb g lpb g m lpb lpb
K K tK K K K t
K K K K tK K K t K
δδδδ
−− −
− − − −
− − − −
− − − −
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0g
g
δ
⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
y
0 0
0 0
0g e g g e e
g e
K Kδ δ
δ δ− −− + =
=
Las condiciones iniciales de la excitación se determinan de acuerdo con:
20 0
2010
0 10 0
e fd
ee
A
ref e t
x E
xxK
v x v
=
=
= +
4 Resonancia subsíncrona 83
Las condiciones iniciales de la turbina se determinan de acuerdo con:
( )
, 0 , 050
, 040
, 030
20 30
2010
0 10 0 1
m lpa m lpbt
lpa lpb
m ipt
ip
m hpt
hp
t t
tt
ref t g
p px
K K
px
K
px
K
x xxxKxω ω
= =
=
=
=
=
= + −
Modelo completo
El modelo no lineal toma la forma:
( ),=x F x u&
En realidad toma la forma:
( )( )
, ,
,
=
=
x G x z u
z H x u
&
Donde los vectores de variables de estado, variables algebraicas y es variables de
entrada son, en el caso de que el generador síncrono tenga tres circuitos
amortiguadores, uno en eje directo y dos en eje transverso, y no se representan ni
regulador de tensión con excitación ni el regulador de turbina ni turbina:
]
1 2
1 2 1 2 3 4 5
Td q fd kd kq kq cd cq
hp ip lpa lpb g e hp ip lpa lpb g e
e e t t t t t
v v
x x x x x x x
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
δ δ δ δ δ δ ω ω ω ω ω ω
⎡= ⎣x
1 2
, , , ,
Td q fd kd kq kq e d q d q td tq fd
m hp m ip m lpa m lpb
i i i i i i t v v v v v v e
p p p p
∞ ∞⎡= ⎣⎤⎦
z
Tref refv vω ∞⎡ ⎤= ⎣ ⎦u
4 Resonancia subsíncrona 84
4.3.2 Simulación del modelo no lineal
Se va a ilustrar la posibilidad de inestabilidad de los modos torsionales de un
generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea
compensada serie. Se utilizan los datos del “First Benchmark Model for Computer
Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] y, para los sistemas de regulación, los
datos son los detallados en [15] y utilizados en [8] y [9]. Se realiza la simulación en el
dominio del tiempo para un cortocircuito trifásico franco de 100 ms de duración.
Red:
0.010.140.020.560.28
e t l
e t l
t
t
l
l
c
R R RX X XR puX puR puX puX pu
= += +=====
Rotor (factores de amortiguamiento):
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
hp
ip
lpa
lpb
g
e
D pu
D pu
D pu
D pu
D pu
D pu
=
=
=
=
=
=
Generador síncrono:
0
0
0
0
4.30.032
1.790.1690.1350.85
0.05
1.71
0.2280.2
0.00150.13
d
d
d
d
d
q
q
q
d
q
a
T sT sL puL puL puT s
T s
L pu
L puL pu
R puL pu
′ =′′ =
=′ =′′ =′ =
′′ =
=
′ =′′ =
=
=l
4 Resonancia subsíncrona 85
Excitación:
500.010.002
A
A
E
KT sT s
===
Turbina:
1
3
4
5
6
250.20.30.370.2
K puT sT sT sT sT s
======
Tabla 4-2: Datos del turbogenerador
La Figura 4-14, la Figura 4-15, la Figura 4-16 y la Figura 4-17 muestran la evolución
de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de
baja presión, del generador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de
sincronismo) y la variación del ángulo del rotor del generador. Una conclusión se
puede añadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del
generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1
segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz de amplitud
creciente.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Tiempo (s)
Δω
HP (p
u)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Tiempo (s)
Δω
IP (p
u)
Figura 4-14: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.
4 Resonancia subsíncrona 86
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Tiempo (s)
Δω
LPA (p
u)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.05
0
0.05
Tiempo (s)
Δω
LPB (p
u)
Figura 4-15: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Tiempo (s)
Δω
g (pu)
-0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Tiempo (s)
Δω
e (pu)
Figura 4-16: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz.
4 Resonancia subsíncrona 87
-0.5 0 0.5 1 1.5 20
50
100
Tiempo (s)δ
(º)
Figura 4-17: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia
infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador.
En este apartado también se analiza la respuesta de otro sistema de generador
conectado a red algo distinto en el que los datos utilizados son parámetros típicos en
magnitudes unitarias respecto a las bases del generador. Se realiza igualmente la
simulación de un cortocircuito trifásico franco de 100 milisegundos de duración. Los
datos son los siguientes:
Masa Eje H [s] K[pu/rad] D[pu]
HP 0.1 0
HP-IP 20
IP 0.2 0
IP-LPA 35
LPA 1 0
LPA-LPB 50
LPB 1 0
LPB-GEN 70
GEN 1 0
Tabla 4-3: Datos típicos de un generador sin excitatriz
Los parámetros de la máquina eléctrica son:
4 Resonancia subsíncrona 88
Eje d Eje q
05.1=dx 7.0=qx
35.0=′dx 328.0=′qx
25.0=′′dx 3.0=′′qx
sTd 5=′
sTd 25.0=′′ sTq 05.0=′′
005.01.0 == al Rx
Tabla 4-4: Datos del sistema eléctrico del generador
Los datos de la red eléctrica son:
Figura 4-18: Datos de la línea
( )
ClíneaC
eetlínea
tlíneae
tlínea
XCXCFX
puLXpuLRRR
LLLpuLpuL
1;..
04.0%10
1.030.0
=⋅=
≈===+
+===
El valor de la capacidad está en función del grado de compensación que se le quiera
dar a la línea, parámetro variable para comprobar su efecto en la resonancia
subsíncrona.
Los sistemas de regulación varían un poco respecto a los descritos. El sistema de
excitación, según el diagrama de la Figura 4-19, en el que vs es, en realidad, v:
4 Resonancia subsíncrona 89
Figura 4-19: Modelo alternativo de sistema de excitación
sTsTsTK BAA 11001.0200 5 ====
Los datos del sistema de turbinas y regulador, según el diagrama de la Figura 4-10:
sTsTsTsTsT
KKKK lpblpaiphp
6.06.05.01.03.0
3.03.02.02.0
76543 =====
====
Figura 4-20: Modelo altenativo de sistema de turbinas y regulador
En este caso, se utiliza el par en lugar de la potencia en las ecuaciones del sistema
mecánico, relacionados así:
lpb
tLPBlpbm
lpa
tLPAlpam
ip
tIPipm
hp
tHPhpm
xKt
xKt
xKt
xKt
ω
ω
ω
ω
5,
4,
3,
2,
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
4 Resonancia subsíncrona 90
Para determinar las condiciones iniciales de trabajo se considera que el generador
trabaja con una tensión nominal de red, que coincide con la nominal del generador (1
pu), en el nudo de red infinita y que suministra una potencia igual a 1 pu, con fp = 1.
0,1,1 00 === qpuppuv
En la Figura 4-21, la Figura 4-22 y la Figura 4-23 se muestra la evolución de la
variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de baja
presión y del rotor del generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la
variación del ángulo, para un factor de compensación del 45%. Ahora que se ha
modelado el sistema eléctrico con más detalle que en el modelo anterior, se pone de
manifiesto una interacción electromecánica que provoca la tendencia creciente de
algunas de las oscilaciones torsionales que, igual que en el caso anterior, se producen
de forma natural en el eje del generador.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.94
0.96
0.98
1
1.02
1.04
1.06
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na H
P (p
u)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na IP
(pu)
Figura 4-21: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de
Compensación del 45%.
4 Resonancia subsíncrona 91
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.96
0.98
1
1.02
1.04
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na L
PA
(pu)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.95
1
1.05
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na L
PB
(pu)
Figura 4-22: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un
Factor de Compensación del 45%.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (segundos)
Áng
ulo
gene
rado
r (gr
ados
)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.95
1
1.05
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad g
ener
ador
(pu)
Figura 4-23: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con Factor de
Compensación del 45%
Se puede observar que el grado de compensación de la reactancia de la línea puede
tener mucha influencia en la estabilidad de las oscilaciones torsionales. Las gráficas
4 Resonancia subsíncrona 92
muestran el comportamiento de las masas del turbogenerador para un factor de
compensación mucho menor, de un 1,5%.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.96
0.98
1
1.02
1.04
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na H
P (p
u)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na IP
(pu)
Figura 4-24: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un
Factor de Compensación de 1.5%
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na L
PA
(pu)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad T
urbi
na L
PB
(pu)
Figura 4-25: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de
Compensación de 1.5%
4 Resonancia subsíncrona 93
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (segundos)
Áng
ulo
Gen
erad
or (g
rado
s)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.97
0.98
0.99
1
1.01
1.02
1.03
1.04
Tiempo (segundos)
Vel
ocid
ad G
ener
ador
(pu)
Figura 4-26: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con un Factor de
Compensación de 1.5%
4.3.3 Modelo lineal
Modelo mecánico del rotor de la turbina y el generador síncrono
0
0
0
0
0
hphp
ipip
lpalpa
lpblpb
gg
ddt
ddt
ddt
ddt
ddt
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
δω ω
Δ= Δ
Δ= Δ
Δ= Δ
Δ= Δ
Δ= Δ
(4.19)
4 Resonancia subsíncrona 94
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
,
,
,
,
2
2
2
2
hphp m hp hp ip hp ip
ipip m ip hp ip ip hp ip lpa ip lpa
lpalpa m lpa lpa ip lpa ip lpa lpb lpa lpb
lpblpb m lpb lpb lpa lpb lpa lpb g lpb
dH p K
dtd
H p K Kdt
dH p K K
dtd
H p K Kdt
ωδ δ
ωδ δ δ δ
ωδ δ δ δ
ωδ δ δ
−
− −
− −
− −
Δ= Δ − Δ −Δ
Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ
Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ
Δ= Δ − Δ −Δ − Δ −Δ( )
( )2
g
gg lpb g g b e
dH K t
dt
δ
ωδ δ−
Δ= − Δ −Δ −Δ
(4.20)
Modelo electromagnético del generador síncrono
De la forma más general, con dos devanados amortiguadores en eje transverso, las
ecuaciones quedan así:
00
00
0
0
11 1
0
22 2
0
0 0 1 0 110 1 0 1 0
1
10
10
10
d d d d dag g
q q q q qa
fdfd fd fd
kdkd kd
kqkq kq
kqkq kq
v iR dv iR dt
de R i
dtdR i
dtd
R idt
dR i
d
ψ ψ ψω ω
ψ ψ ψω
ψω
ψω
ψω
ψω
Δ −Δ Δ Δ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + Δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ΔΔ = Δ +
Δ= Δ +
Δ= Δ +
Δ= Δ +
1 1 1
2 2 2
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
0 0 00 0 0
d ad ad ad d
q aq aq aq q
fd ad fd ad ad fd
kd ad ad kd ad kd
kq aq kq aq aq kq
kq aq aq kq aq kq
tL L L L i
L L L L iL L L L iL L L L i
L L L L iL L L L i
ψψψψψψ
Δ + −Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + −Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
l
l⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
(4.21)
0 0 0 0e q d d q q d d qt i i i iψ ψ ψ ψΔ = −Δ + Δ − Δ + Δ (4.22)
Modelo del condensador de la compensación serie
4 Resonancia subsíncrona 95
00
00
0 1 0 111 0 1 0
d cd cd cdg g
q cq cq cq
d cd d
q cq q
i v v vdC C Ci v v vdt
v v vv v v
ω ωω
∞
∞
Δ Δ Δ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Δ Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.23)
0 0 0 0
0 0 0 0
sen coscos sen
d
q
v v vv v v
δ δ δδ δ δ
∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞
Δ = Δ + Δ
Δ = Δ − Δ (4.24)
Modelo del sistema de excitación
( )
( )
1 1
2 2 1
2
00
0 0
1
1
e e refA
e e A eE
fd e
fdfd fd
ad
tqtdt td tq
t t
x x v vT
x x K xT
E x
re E
Lvvv v v
v v
⎡ ⎤Δ = −Δ + Δ −Δ⎣ ⎦
Δ = −Δ + Δ
Δ = Δ
Δ = Δ
Δ = Δ + Δ
&
&
(4.25)
00
0
0
0 0 00 1 0 10 0 01 0 1 0
010
td d de e eg g
tq q qe e e
d sde
q sqe
v i iR L Lv i iR L L
i vL di vL dt
ω ω
ω
Δ −Δ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + Δ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.26)
En forma matricial:
[ ]
01 1 0
2 2 0 0
1
2
1 0 1 1
10 0
0 1
tdA tqe e tdA A ref
tqe eA t t
E E
fd efd
ead
vT vx x vT T vvx xK v v
T T
r xe
xL
−⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ΔΔ Δ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= + + Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ΔΔ Δ−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥
⎣ ⎦Δ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦
&
& (4.27)
4 Resonancia subsíncrona 96
00
0
0
0 0 00 1 0 10 0 01 0 1 0
010
td d de e eg g
tq q qe e e
d sde
q sqe
v i iR L Lv i iR L L
i vL di vL dt
ω ω
ω
Δ −Δ⎛ ⎞− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + Δ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ −Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠
Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.28)
Modelo de la turbina
( )
( )
( )
( )
( )
1 13
2 2 14
3 3 25
4 4 36
5 5 47
, 2
, 3
, 4
, 5
1
1
1
1
1
t t ref
t t t
t t t
t t t
t t t
m hp hp t
m ip lp t
m lpa lpa t
m lpb lpb t
x xT
x x K xT
x x xT
x x xT
x x xT
p K x
p K x
p K x
p K x
ω ω⎡ ⎤Δ = −Δ + Δ −Δ⎣ ⎦
Δ = −Δ + Δ
Δ = −Δ + Δ
Δ = −Δ + Δ
Δ = −Δ + Δ
Δ = Δ
Δ = Δ
Δ = Δ
Δ = Δ
&
&
&
&
&
(4.29)
1
1 11 13 3
2 2
3 34 4
4 4
5 55 5
6 6
1 0 0 0 0
1 11 0 0 0
0 01 10 0 00 0
1 1 0 00 0 00 0
1 10 0 0
t t
t t
t t
t t
t t
TKx x
T TT Tx xx x
T Tx xx xT T
T T
ω
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
−−⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ = Δ + Δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
&
&
&
&
&
1,
2,
3,
4,
5
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0
ref
tm hp hp
tm ip lp
tm lpa lpa
tm lpb lpb
t
xp K
xp K
xp K
xp K
x
ω
⎤⎥⎥⎥Δ⎥
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎦
Δ⎡ ⎤Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦
(4.30)
4 Resonancia subsíncrona 97
Si las ecuaciones linealizadas de los componentes del modelo (4.19) - (4.30) se
escriben juntas en forma de un sistema de ecuaciones algebraico-diferencial quedan en
la forma:
1 2 1
3 3 4 2
Δ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
I 0 A A Bx xu
E 0 A A Bz z&
& (4.31)
Se pasa de un sistema implícito a uno explícito:
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 12 4 3 1 2 4 3 2 4 3 1 2 4 3
− −− − − − − −Δ = − − Δ + − − Δx I A A E A A A A x I A A E B B A A u& (4.32)
La solución homogénea es la que determina la estabilidad del sistema, es decir, el
análisis del modelo lineal se realiza sobre la matriz de estados A .
4.3.4 Análisis del modelo lineal
Un análisis similar al anterior a través de las participaciones permite identificar los
modos con dinámicas en las que están involucrados con más actividad determinados
subsistemas.
La dificultad del análisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la
respuesta temporal, hace necesario el autoanálisis de la matriz de estados del sistema
de ecuaciones diferenciales lineales. El modelo lineal está descrito por las siguientes
variables de estado:
[ ]erotestct xψψvxδωx ΔΔΔΔΔΔΔ=Δ T
Se analizan los dos casos de la simulación: primero el modelo del “First Benchmark
Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] y a continuación
el modelo del generador con los parámetros típicos.
En el primer caso, el modelo lineal está descrito por 26 variables de estado. Las
Tablas 4-5 y 4-6 muestran respectivamente los autovalores complejos y reales de la
matriz de estados. La Tabla 4-5 muestra que la matriz de estados tiene nueve parejas de
autovalores complejos conjugados. Una pareja tiene parte real positiva. La Tabla 4-6
muestra que la matriz de estados tiene ocho autovalores reales. Todos los reales son
4 Resonancia subsíncrona 98
negativos. En consecuencia, el autoanálisis de la matriz de estados confirma la
instabilidad detectada por la simulación del modelo lineal.
Nº Real Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz)1 -7.1168 591.2651 1.20 94.102 -0.1818 298.1801 0.06 47.463 -0.0234 202.7179 0.01 32.264 -6.9587 162.2485 4.28 25.825 0.8107 160.7780 -0.50 25.596 -0.6413 127.0745 0.50 20.227 -0.1099 99.4999 0.11 15.848 -0.1921 10.0339 1.91 1.609 -4.8273 0.2921 99.82 0.05
Autovalores complejos
Tabla 4-5: Autovalores complejos del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita
con representación detallada del generador (Benchmark).
Nº Real Constante de tiempo (s)19 -0.1418 7.05020 -1.8129 0.55221 -3.3217 0.30122 -3.9311 0.25423 -8.4650 0.11824 -25.4258 0.03925 -32.3707 0.03126 -101.8509 0.01027 -499.9786 0.002
Autovalores reales
Tabla 4-6: Autovalores reales del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con
representación detallada del generador (Benchmark).
Nº Subsistema1 Devanados estator-Condensador serie: Eléctrico supersincrono2 Rotor: Torsional 13 Rotor: Torsional 24 Devanados estator-Condensador serie: Eléctrico subrsincrono5 Rotor: Torsional 36 Rotor: Torsional 47 Rotor: Torsional 58 Rotor: Electromecánico9 Turbina
Autovalores complejos
Tabla 4-7: Asociación de los autovalores complejos a los subsistemas del modelo de un generador conectado a un nudo
de potencia infinita con representación detallada del generador
4 Resonancia subsíncrona 99
Nº Subsistema19 Turbina20 Devanados amortiguadores21 Devanados amortiguadores22 Turbina23 Devanado de campo24 Devanados amortiguadores25 Devanados amortiguadores26 Excitación27 Excitación
Autovalores reales
Tabla 4-8: Asociación de los autovalores reales a los subsistemas del modelo de un generador conectado a un nudo de
potencia infinita con representación detallada del generador
Las Tablas 4-7 y 4-8 detallan la asociación de los autovalores a los subsistemas
componentes del modelo del sistema. A ello se ha llegado por análisis de los factores
de participación (Tablas 4-9 y 4-11) y de las participaciones de los subsistemas
componentes (Tablas 4-10 y 4-11) del modelo. El autovalor que resulta inestable está
asociado al rotor: es una oscilación torsional de la turbina de alta presión con la del
cuerpo A de la turbina de baja presión.
Variable 1 2 3 4 5 6 7 8 9psisd 0.253 0 0.001 0.228 0.028 0.001 0.003 0.015 0.002psisq 0.247 0 0.001 0.225 0.034 0.001 0.002 0.006 0psifd 0 0 0 0 0 0 0 0.009 0.081psikd 0 0 0 0.003 0 0 0 0.005 0.014psikq1 0 0 0 0.002 0 0 0 0.023 0.099psikq2 0 0 0 0.001 0 0 0 0.008 0.023omegahp 0 0.128 0.023 0.028 0.214 0.016 0.075 0.016 0omegaip 0 0.346 0 0.005 0.042 0.009 0.07 0.027 0omegalpa 0 0.025 0.073 0.018 0.107 0.003 0.13 0.149 0.001omegalpb 0 0.001 0.295 0.006 0.018 0.019 0.017 0.15 0.001omegag 0 0 0.11 0.012 0.057 0.017 0.163 0.143 0.001omegae 0 0 0.002 0.001 0.005 0.438 0.049 0.006 0deltahp 0 0.128 0.023 0.028 0.214 0.016 0.075 0.016 0deltaip 0 0.346 0 0.005 0.042 0.009 0.07 0.027 0deltalpa 0 0.025 0.073 0.018 0.107 0.003 0.13 0.149 0.001deltalpb 0 0.001 0.295 0.006 0.018 0.019 0.017 0.15 0.001ddeltag 0 0 0.11 0.01 0.061 0.017 0.164 0.153 0.059ddeltae 0 0 0.002 0.001 0.005 0.438 0.049 0.006 0vcd 0.253 0 0.002 0.221 0.032 0 0.001 0.002 0vcq 0.247 0 0.001 0.229 0.031 0 0.002 0.005 0.001xexc1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.001xexc2 0 0 0 0 0 0 0 0.002 0.004xturb1 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.895xturb2 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.2xturb3 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.2xturb4 0 0 0 0 0 0 0 0 0.054xturb5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.727
Autovalores complejosFactores de participación
Tabla 4-9: Módulos de los factores de participación de las variables en los autovalores complejos del modelo
linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.
4 Resonancia subsíncrona 100
Subsistema 1 2 3 4 5 6 7 8 9Devanados estator 0.5 0 0.002 0.453 0.063 0.001 0.004 0.009 0.002Devanado de campo 0 0 0 0 0 0 0 0.009 0.081Devanados amortiguadores 0 0 0 0.005 0.001 0 0 0.026 0.109Rotor 0 1 1.005 0.11 0.886 1.002 1.007 0.99 0.052Condesador serie 0.5 0 0.003 0.45 0.062 0.001 0.003 0.003 0.001Excitación 0 0 0 0 0 0 0 0.003 0.005Turbina 0 0 0 0 0 0 0 0.008 0.96
Autovalores complejosParticipación de susbistema
Tabla 4-10: Participaciones de los subsistemas en los autovalores complejos del modelo linealizado de un generador
conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.
Variable 19 20 21 22 23 24 25 26 27psisd 0 0.003 0.004 0.008 0 0 0.001 0 0psisq 0 0 0 0.001 0.001 0 0 0 0psifd 0 0.092 0.036 0.178 0.898 0.001 0.025 0.017 0psikd 0 0.024 0.008 0.034 0.067 0.001 0.864 0.047 0psikq1 0 0.507 0.793 0.722 0.085 0.202 0 0 0psikq2 0 0.137 0.201 0.177 0.015 0.799 0.002 0 0omegahp 0 0.001 0 0 0.002 0 0 0 0omegaip 0 0.001 0 0 0.003 0 0 0 0omegalpa 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.002 0 0omegalpb 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.003 0 0omegag 0 0.005 0 0.002 0.016 0 0.004 0 0omegae 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0deltahp 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0deltaip 0 0.001 0 0 0.003 0 0 0 0deltalpa 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.002 0 0deltalpb 0 0.005 0 0.002 0.015 0 0.003 0 0ddeltag 0.007 0.061 0 0.173 0.001 0 0 0 0ddeltae 0 0 0 0 0.001 0 0 0 0vcd 0 0 0 0.001 0.001 0 0.001 0 0vcq 0 0 0.004 0.006 0.001 0 0.004 0 0xexc1 0 0 0 0.001 0.02 0 0.023 0.004 1xexc2 0 0.002 0.001 0.007 0.105 0 0.161 0.94 0xturb1 0 0.038 0 0.662 0.012 0 0 0 0xturb2 0 0.08 0.021 1.183 0.008 0 0 0 0xturb3 0 0.08 0.021 1.183 0.008 0 0 0 0xturb4 0.992 0.027 0 0.077 0 0 0 0 0xturb5 0 0.01 0 0.242 0 0 0 0 0
Factores de participaciónAutovalores reales
Tabla 4-11: Módulo de los factores de participación de las variables en los autovalores reales del modelo linealizado de
un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador
Variable 19 20 21 22 23 24 25 26 27Devanados estator 0 0.004 0.003 0.008 0.001 0 0.001 0 0Devanado de campo 0 0.092 0.036 0.178 0.898 0.001 0.025 0.017 0Devanados amortiguadores 0 0.668 0.986 0.865 0.167 1 0.861 0.047 0Rotor 0.007 0.032 0 0.162 0.086 0 0.017 0 0Condesador serie 0 0 0.004 0.005 0.001 0 0.003 0 0Excitación 0 0.003 0.001 0.009 0.124 0.001 0.185 0.936 1Turbina 0.993 0.215 0.042 1.87 0.028 0 0 0 0
Participación de susbistemaAutovalores reales
Tabla 4-12: Participaciones de los subsistemas en los autovalores reales del modelo linealizado de un generador
conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.
4 Resonancia subsíncrona 101
Resulta muy interesante investigar el efecto de la variación del factor de
compensación de la línea (cociente entre la reactancia de la línea y la reactancia del
condensador de compensación serie).
La Figura 4-27 muestra la variación del amortiguamiento de los modos eléctrico
supersíncrono y subsíncrono al aumentar el factor de compensación. El
amortiguamiento del modo supersíncrono no varía síginifcativamente al variar el
factor de compensación. El amortiguamiento del modo subsíncrono aumenta al
aumentar el factor de compensación.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Factor de compensacion (%)
Am
ortig
uam
ient
o (%
)
Eléctrico supersincronoEléctrico subsincrono
Figura 4-27: Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y subsíncrono al variar el factor de
compensación de la línea
La Figura 4-28 presenta la variación del amortiguamiento de los modos torsionales
al aumentar con el factor de compensación. El amortiguamiento del modo torsional 1
no está afectado significativamente por el factor de compensación de la línea. Por el
contrario, se aprecia claramente como existen factores de compensación que afectan el
amortiguamiento el amortiguamiento de los modos 2, 3, 4 y 5. Para bajos factores de
compensación son los modos 2 y 3 los afectados, mientras que altos factores de
compensación afecta el amortiguamiento de los modos 4 y 5.
4 Resonancia subsíncrona 102
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Factor de compensacion (%)
Am
ortig
uam
ient
o (%
)
Torsional 1Torsional 2Torsional 3Torsional 4Torsional 5
Figura 4-28: Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor de compensación de la línea.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Factor de compensacion (%)
Am
ortig
uam
ient
o (%
)
Electromecanico
Figura 4-29: Variación del amortiguamiento del modo electromecánico al variar el factor de compensación de la línea.
La Figura 4-29 muestra la variación del amortiguamiento del modo electromecánico
al aumentar con el factor de compensación. Lógicamente aumenta al disminuir la
reactancia equivalente de la línea de interconexión.
4 Resonancia subsíncrona 103
Para el segundo caso, el de los valores típicos, se aplican valores del factor de
compensación de 0.3, 0.5 y 0.7. Los autovalores y modos del sistema toman los valores
que refleja la Tabla 4-13.
El la Figura 4-30, la Figura 4-31 y la Figura 4-32 se puede ver la relación entre los
autovalores de los modos mecánicos y los eléctricos, subsíncrono y supersíncrono, y el
factor de compensación. Se puede ver que los rangos de valores de FC para los que se
vuelve inestable algún modo torsional se encuentran en torno a una zona en la que se
aproximan la frecuencia natural del modo torsional y la del modo subsíncrono.
Entonces, el amortiguamiento se hace negativo.
F.C. = 0.3 F.C. = 0.5 F.C. = 0.7 Modo Real(λ) Imag(λ) Real(λ) Imag(λ) Real(λ) Imag(λ)
Eléctrico supersíncrono -11,5607 428,2900 -12,0187 456,5731 ‐12,1589 482,8461Eléctrico subsíncrono -8,2309 199,3414 -8,4886 171,3392 ‐6,8427 145,1164
Torsional 4 -0,3382 249,6757 -0,3395 249,6757 ‐0,3395 249,6757Torsional 3 -0,0158 171,8232 0,6942 171,5356 ‐0,0424 171,3575Torsional 2 -0,2880 137,9518 -0,2659 138,0108 0,0655 138,2688Torsional 1 -0,1825 84,7356 -0,176 84,7934 -0,1987 85,0622
Modo 0 -0,5560 8,1637 -0,666 8,269 -0,8842 8,8038 -3,2211 -3,2303 -3,2390
-10,1801 -10,1756 -10,1709 -0,1989 -0,1990 -0,1991
Turbinas-regulador
-1,6657 0,1353 -1,6658 0,1309 -1,6659 0,1210 -39,3816 -39,6024 -40,2260
Devanados rotor -32,5178 -32,6707 -35,2092
0,8799 1,3876 1,9082 -0,6630 -0,7428 -0,7968 Excitación
-100,2265 -100,4197 -100,6579
Tabla 4-13: Autovalores del sistema completo para varios valores de FC
4 Resonancia subsíncrona 104
0 0.5 1 1.5
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
Parte real de autovalores en función del F.C.
F.C.
Re(
auto
valo
r)
Modo supersíncrono
Modo subsíncrono
Modo 0Modo 4
Modo 3
Modo 1
Modo 2
Figura 4-30: Parte real de los autovalores en función del factor de compensación
0 0.5 1 1.5
-5
0
5
10
15
F.C.
Am
ortig
uam
ient
o (%
)
Modo supersíncrono
Modo subsíncrono
Modo 1
Modo 2Modo 3
Modo 4
Modo 0
Amortiguamiento en función del F.C.
Figura 4-31: Amortiguamiento de los modos en función del factor de compensación
4 Resonancia subsíncrona 105
0 0.5 1 1.50
100
200
300
400
500
600Frecuencia natural de los modos en función del F.C.
F.C.
Pul
saci
ón n
atur
al(ra
d/s)
Modo subsíncrono
Modo supersíncrono
Modo 2
Modo 3
Modo 1
Modo 0
Modo 4
Figura 4-32: Frecuencia de los modos en función del factor de compensación
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 106
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona
Este capítulo presenta los resultados del Análisis Modal Selectivo de la resonancia
subsíncrona. Precisamente se busca primero la obtención de los parámetros modales
correspondientes a los modos torsionales por medio del Análisis Modal Selectivo y
después la descomposición de los mismos en las contribuciones de los diferentes
subsistemas. El capítulo comienza con una revisión de los algoritmos del Análisis
Modal Selectivo.
5.1 Análisis Modal Selectivo
El Análisis Modal Selectivo, o Selective Modal Analysis (SMA) en la literatura
técnica en inglés, es un método completo para la caracterización y análisis de partes
seleccionadas de los sistemas dinámicos lineales.
El SMA contiene medidas de sensibilidad para identificar las relaciones entre las
variables de estado y los modos y algoritmos de autoanálisis de orden reducido para
determinar los modos seleccionados.
Las medidas de sensibilidad del SMA son los factores de participación. Los factores
de participación han sido presentados en el capítulo 2. Esta sección presentan los
algoritmos de autoanálisis de orden reducido.
El SMA está interesado en determinar un conjunto de modos de un sistema
dinámico lineal (5.1) que están particularmente relacionados con un conjunto de
variables de estado r denominadas “relevantes”. Las variables de estado restantes z
se denominan “menos relevantes”. Debe notarse que se ha eliminado el símbolo Δ por
simplicidad.
1,N N N× ×
=
∈ℜ ∈ℜ
x Axx A
& (5.1)
Bajo esa suposición, el sistema original (5.1) puede reescribirse como (5.2) y
representarse como se muestra en la Figura 5-1.
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 107
11 12
21 22
1 1,n N n× − ×
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦∈ℜ ∈ℜ
A Ar rA Az z
r z
&
& (5.2)
Figura 5-1: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con separación de dinámicas
relevantes y menos relevantes.
La función de transferencia matricial de las dinámicas menos relevantes puede
obtenerse fácilmente de la Figura 5-1:
( ) ( ) 112 22 21s s −= −H A I A A
La idea básica del algoritmo del algoritmo de SMA es muy sencilla. Supóngase que
se tiene una primera aproximación del autovalor de interés 01λ (puede obtenerse del
autoanálisis de la submatriz 11A ), se construye una matriz reducida 1RA incorporando
a la representación de la dinámica relevante 11A , la función de transferencia matricial
de la dinámica menos relevante para el modo de interés ( )01λH .
( )1 011 1R λ= +A A H (5.3)
El autoanálisis de la matriz reducida proporciona una mejor aproximación del
autovalor 11λ si la selección de variables relevantes es apropiada. De hecho, el
algoritmo converge si y solo sí la relación de participación del autovalor de interés es
mayor o igual a 1:
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 108
1 1
11 11
1 11 1
1
1
n
j jTjNT
j jj n
w v
w vρ =
= +
⋅= = ≥
⋅
∑
∑r r
rz z
w vw v
El algoritmo de SMA para determinar un modo de interés puede resumirse como
sigue:
1. Poner el contador de interaciones a cero (j=0).
2. Determinar un valor inicial del autovalor de interés 01λ . Determinar un valor
inicial del autovalor de interés 11A :
0 0 011 1 1 1λ=r rA v v
3. Determinar la función de transferencia matricial de la dinámica menos
relevante para el autovalor de interés como:
( ) ( ) 1
1 12 1 22 21j jλ λ
−= −H A I A A
4. Determinar la matriz reducida para el autovalor de interés como:
( )111 1
j jR λ+ = +A A H
5. Realizar el autoanálisis de la matriz reducida 1jR
+ A y seleccionar el autovalor
de interés para la siguiente iteración 11
j λ+ .
6. Comprobar la condición de parada. Si no se ha satisfecho, incrementar el
contador de iteraciones (j=j+1) y volver al paso 3.
El algoritmo de SMA para determinar un modo de interés puede extenderse para
calcular varios modos de interés. La idea básica consiste en obtener una función de
transferencia matricial de la dinámica menos relevante válida para los modos de
interés. En ese caso, el diagrama de bloques de la Figura 5-1 puede representarse como
se muestra en la Figura 5-2).
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 109
Figura 5-2: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con representación de la
dinámica menos relevante como función de transferencia matricial.
La función de transferencia matricial para los modos de interés puede obtenerse
como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
1
j j
j jh
t t
t t
λ
λ
+
+
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
H r M r
H r M r
M (5.4)
La ecuación (5.4) puede también expresarse como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 111 1 1 1 1
1
0 0
0 0
j j
j jh h
t tj j j j j j
t tj j j j j jh h h h h
e e
e e
λ λ
λ λ
λ
λ
+
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
r r r r
r r r r
H v r v M v r v
H v r v M v r v
M (5.5)
El sistema de ecuaciones (5.5) también puede expresarse como:
( ) ( )11 1 1
j j j j j j jh h hλ λ+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r rM v v H v H vL L (5.6)
El algoritmo de Análisis Modal Selectivo para determinar varios modos de interés
se puede resumir como sigue:
1. Poner el contador de iteraciones a cero (j=0).
2. Determinar los valores iniciales de los autovalores de interés t 0hΛ y de las
componentes de las variables relevantes asociadas a los autovectores derechos 0
hrV . Determinar un valor inicial de los autovalores de interés 11A :
0 0 011 h h h=r rA V V Λ
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 110
3. Determinar la función de transferencia matricial de la dinámica menos relevante
para los autovalores de interés resolviendo:
( ) ( )11 1 1
j j j j j j jh h hλ λ+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦r r r rM v v H v H vL L
4. Determinar la matriz reducida para el autovalor de interés como:
1 111
j jR
+ += +A A M
5. Realizar el autoanálisis de la matriz reducida 1jR
+ A y seleccionar los
autovalores y autovectores derechos de interés 1jh
+ Λ y 1jh
+rV
6. Comprobar la condición de parada. Si no se ha satisfecho, incrementar el
contador de iteraciones (j=j+1) y volver al paso 3.
Las condiciones de convergencia del algoritmo para determinar varios modos de
interés son menos precisas que las condiciones de convergencia para determinar uno
sólo modo de interés.
Sin embargo, se pueden esperar buenas condiciones de convergencia si las
relaciones de participación de las variables relevantes en los modos de interés son
mucho más grandes que la unidad y las relaciones de participación de las variables
menos relevantes en los modos de interés son mucho más pequeñas la unidad.
11
i
i
ρρ
>><<
r
z
5.2 Parámetros modales de los modos torsionales por medio del
Análisis Modal Selectivo
5.2.1 Descomposición de los parámetros modales en componentes eléctrica y
mecánica
En el capítulo 3 se vio cómo el sistema de ecuaciones dinámicas de respuesta libre
sin amortiguamiento de un sistema mecánico de varios grados de libertad, como es el
sistema de masas del eje de un turbogenerador, puede desacoplarse diagonalizando las
matrices de inercia M y rigidez K . Por propiedades de las matrices, ambas se
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 111
comportan como ortogonales respecto a los modos de vibración del sistema y se
diagonalizan con la matriz de paso formada por los autovectores de ω −= −A M K10 .
Así, el sistema de ecuaciones en (3.40) queda desacoplado en coordenadas modales
como viene en la ecuación (4.7):
mdtd
dtd pVθKVVθDVVθMVV TTTT Δ=Δ+
Δ+
Δ
002
2 11ωω
La matriz TV DV no es diagonal pero se hace esa suposición porque los elementos
de fuera de la diagonal no tienen apenas influencia en el amortiguamiento de las
vibraciones.
Para poder estudiar el comportamiento del sistema para cada modo por separado,
se consideran los parámetros modales (ver [8]):
2,
,
2,
,
2,
,
ji
imimd
ji
imimd
ji
imimd
vk
K
vd
D
vh
H
=
=
=
(5.7)
Donde:
imimim kdh ,,, ,, son los elementos de las diagonales de las matrices anteriores
jiv es la entrada correspondiente al generador del autovector del modo i
Tales parámetros corresponden a un modelo masa-muelle ficticio que representa el
movimiento de la masa del generador para el modo i y que almacena la misma energía
que el sistema. Además, son independientes de la normalización elegida para los
autovectores, no así los elementos de las diagonales principales de las matrices
obtenidas en (4.7).
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 112
Los parámetros calculados utilizando las ecuaciones (4.7) y (5.7) corresponden al
sistema mecánico aislado y siempre reflejarán una situación estable, es decir,
amortiguamiento positivo de los modos.
Sin embargo, el sistema mecánico no está aislado y la influencia del resto del
sistema puede afectar a su estabilidad. El Análisis Modal Selectivo (SMA) permite
obtener un modelo reducido del sistema representado por los ángulos y velocidades
como estados relevantes [ ]Tωδr = , que caracterice la dinámica de los modos
mecánicos con la influencia de la parte eléctrica del sistema. Entonces, reordenando la
matriz de estado con las ecuaciones del sistema completo (4.19) - (4.30), el modelo
reducido obtenido por SMA tiene esta forma:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
δω
MAδωΔHKΔHD
IωKHDH
δω
110
11
&
& (5.8)
Donde no se ha supuesto amortiguamiento nulo y
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
g
lpb
lpa
ip
hp
HH
HH
H
22
22
2
H
( )( )
( )( )⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−
+−+−
−
=
−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−
gglpbglpb
glpbglpblpblpalpblpa
lpblpalpblpalpaiplpaip
lpaiplpaipiphpiphp
iphpiphp
KKKKKKK
KKKKKKKK
KK
K
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=
g
lpb
lpa
ip
hp
DD
DD
D
D
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 113
Así, se reduce el estudio del fenómeno de la resonancia subsíncrona a una extensión
del modelo mecánico, en el que la contribución del sistema eléctrico equivale a añadir
amortiguamientos y elasticidades, como se ve en la estructura de M en (5.14).
Los autovalores y autovectores de la matriz de estado del modelo reducido son
exactamente los mismos que los de los modos mecánicos del sistema completo.
Además, los parámetros modales que se calculen como (5.7) a partir de dicha matriz
recogerán la influencia del resto del sistema.
Por otro lado, al representar la matriz M los efectos del sistema eléctrico sobre el
mecánico, se pueden descomponer los parámetros modales en dos aportaciones, una
mecánica (del sistema aislado) y otra eléctrica.
Si se definen
[ ] [ ]ΔHKKHHΔKK 1 +⋅−=+ − (5.9)
[ ] [ ]ΔHDDHHΔDD 1 +⋅−=+ − (5.10)
Del autoanálisis de [ ]ΔHKKH 1 +− se obtiene la matriz de transformación de
autovectores V y, con ella, se pueden diagonalizar (las de antes).
{ } [ ] { } { }diagediagmdiagmd kkk +=+=+= VΔKVVKVVΔKKV TTT (5.11)
{ } [ ] { } { }diagediagmdiagmd kkk +=+=+= VΔKVVKVVΔKKV TTT (5.12)
Donde y son las componentes mecánica y eléctrica de los elementos de la diagonal
de las nuevas matrices K y D . Los parámetros modales que representen el
movimiento de la masa del generador para cada modo se obtienen aplicando (5.7).
Entonces se cumple para cada modo:
emmd
emmd
KKKDDD
+=+=
(5.13)
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 114
Hmd
Km
Ke
Dm
De
δg ωg
Te
Hmd
Km
Ke
Dm
De
Hmd
Km
Ke
Dm
De
δg ωg
Te
Figura 5-3: Modelo masa-muelle equivalente para cada modo con descomposición de los parámetros modales K y D
5.2.2 Descomposición de De y Ke en aportaciones de los distintos bloques
La base de la descomposición de los parámetros De y Ke en aportaciones de los
diferentes subsistemas se puede ver en [8]. La utilidad principal de este método es
identificar el origen de inestabilidades en el caso de que se produzcan en los modos
trosionales.
La técnica se basa en la aplicación del SMA al sistema eligiendo como estados
relevantes [ ]Tωδr = , convergiendo a uno solo de los modos cada vez y distinguiendo
a qué subsistemas corresponden cada uno de las submatrices de la matriz de estado
implicadas.
La matriz de estado del sistema completo, reordenada como (5.2), tiene esta
estructura:
( )
[ ]
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ ⋅+
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−
e
rot
est
c
t
eee,2
me,3me,22me,21
me,12me,110me,12me,11
re,1rere,2
tt
0
met11
t1
e
rot
est
c
t
ΔxΔψΔψΔvΔxΔδΔω
ABBBAA
AAωBBBAB
ABω
CCHKHDDH
xΔψΔψΔvΔxΔδΔωΔ
gH21
&
&
&
&
&
&
&
(5.14)
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 115
Donde, en el caso de haber un solo devanado amortiguador en eje q y unos sistemas
de regulación como los del caso de análisis de parámetros típicos (Figura 4-19 y Figura
4-20) , serían:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
00
00
0
0
0
0
0
0
0
0cos
;;111
01
g
ge
sBA
sqC
sBA
sdC
sB
sq
sB
sd
AB
C
A
B
senvv
B
vTTvT
vTTvT
vTv
vTv
TTT
T
Tδδ
e2ee BBA
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
=⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
0000
0
10
;
11
11
11
1
1
3
77
66
55
44
3
L
M
OT
TT
TT
TT
TTKT
tt BA
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0000
;
0000
0,
0,
0,
0,
hpm
hpm
hpm
hpm
lpb
lpa
ip
hp
tt
tt
KK
KK
tt DC
[ ] [ ][ ]pdqdq Lii 0000 000 ψψ−+−=meC
Donde [ ]pL es la matriz constituida por las dos primeras filas de [ ] 1−L
[ ]Wgg 0000 0110
ωωωω −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=reA
[ ] 10
11 −
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= L
Cω
re1B
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
0
00
cq
cd
vv
Wωre2B
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 116
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−= −
me,22me,21
me,12me,11me AA
AAA 1
00 000
LRW
gωω
[ ]⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0000;
cos;
0
000
000
00
00e
g
g
d
qC
senvv ω
δωδω
ψωψω
me,3me,12me,11 BBB
Teniendo en cuenta que:
meC⋅gH2
1 es un vector fila que afecta a gω&Δ .
[ ]re,2B , [ ]me,11B son vectores columna que afectan a gωΔ .
[ ]e,2B , [ ]me,12B son vectores columna que afectan a gδΔ .
Para cada modo torsional de autovalor λ, el algoritmo de SMA con h=1 dará lugar a
una matriz compleja:
( ) 211
2212 AAIAΔHKΔHD
M −−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= λ (5.15)
ΔHD y ΔHK pueden escribirse en términos de los bloques de la matriz de estados
correspondientes a los distintos subsistemas eléctricos:
[ ]me,213me,112re,21mettt1 BSBSBSCBACHΔHD ++−′= −
gH21
(5.16)
[ ]e,24me,122me BSBSCΔHK +−=gH2
1 (5.17)
Donde:
( ) 1tt AIA −−=′ λ
4321 S,S,S,S son submatrices complejas de la aplicación de (ecuación de M)
En (5.16) y (5.17) se ve cómo cada término se corresponde con un subsistema.
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 117
Las contribuciones de ΔHD :
ttt1 BACH ′− del sistema de turbinas y regulador de velocidad
re,21me BSCgH2
1− de la red eléctrica, es decir, del condensador de la línea
[ ]me,213me,112me BSBSC +−gH2
1 de la máquina eléctrica
Las contribuciones de ΔHK :
me,122me BSCgH2
1− de la máquina eléctrica
e,24me BSCgH2
1− del sistema de excitación
Es posible transformar estas matrices complejas en reales con manipulaciones
algebraicas (ver [8]). Así, con una matriz M real, que reproduce la dinámica menos
relevante de forma exacta para el modo λ, se pueden determinar las contribuciones a
los parámetros modales en términos reales.
5.2.3 Resultados obtenidos en el estudio de los modos torsionales con SMA
Se han aplicado las técnicas descritas basadas en el Análisis Modal Selectivo al
estudio de los modos torsionales del segundo caso analizado en el capítulo 4, el
generador con parámetros de valores típicos.
En primer lugar, se calculan los parámetros modales del sistema mecánico aislado,
con (4.7) y (5.7) para un factor de compensación de 0.3. Los modos torsionales del
sistema aislado de la parte eléctrica siempre son estables. En este caso, al suponer
amortiguamiento nulo, los parámetros D también lo son.
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 118
Sistema mecánico aislado (F.C. = 0.3) Modo Hmd Kmd Dmd
0 3,41 1,54 0 1 2,67 121,56 0 2 8,42 1019,73 0 3 4,70 881,82 0 4 14011,25 5560464,52 0
Tabla 5-1: Parámetros modales del sistema mecánico aislado
Aplicando el SMA para evaluar cómo afecta el sistema eléctrico a la estabilidad de
los modos torsionales, se obtienen los parámetros modales descompuestos en su parte
eléctrica y mecánica, como se ve en la Tabla 5-2, para los mismos valores del factor de
compensación que en 4.3.4 (0.3, 0.5, 0.7).
F.C Modo Hmd Km Ke Kmd Dm De Dmd 0 3,39 0,02 1,43 1,45 1,09 6,51 7,60 1 2,66 119,72 1,90 121,62 1,50 0,44 1,94 2 8,37 1011,43 2,31 1013,74 9,90 -0,27 9,63 3 4,61 862,36 3,23 865,59 1,55 -1,27 0,28
0.3
4 14136,90 5610329,95 -0,07 5610329,88 19127,24 -0,39 19126,85 0 3,40 0,02 1,54 1,56 1,10 8,59 9,68 1 2,65 119,43 2,25 121,69 1,49 0,50 1,99 2 8,27 999,64 3,72 1003,36 9,77 -1,19 8,58 3 5,01 938,35 -3,83 934,52 1,74 -11,65 -9,91
0.5
4 14081,80 5588462,32 0,55 5588462,87 19052,67 -0,82 19051,85 0 3,41 0,03 1,67 1,70 1,10 11,08 12,18 1 2,64 118,98 2,83 121,81 1,49 0,60 2,09 2 8,25 997,67 4,00 1001,67 9,75 -28,58 -18,83 3 4,85 908,35 -1,10 907,24 1,66 -0,41 1,25
0.7
4 14215,66 5641586,28 -0,94 5641585,34 19233,82 -0,66 19233,16
Tabla 5-2: Descomposición de los parámetros modales en aportaciones mecánica y eléctrica
Al igual que los autovalores del sistema completo, los parámetros modales permiten
identificar qué modos torsionales se vuelven inestables para qué valores del factor de
compensación. Así, como se vio en 4.3.4, para una compensación del 50%, el modo 3 es
inestable, y para el 70%, el modo 2. El la Tabla 5-2 se ve que en esos casos, el parámetro
Dmd, amortiguamiento, es negativo debido a que la influencia del sistema eléctrico
(De) implica una aportación de amortiguamiento negativo superior al
amortiguamiento de origen mecánico (Dm).
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 119
Si se quiere determinar el origen concreto de estas inestabilidades, dentro de los
diferentes subsistemas del sistema eléctrico, se descomponen los parámetros De y Ke
en aportaciones de los distintos bloques, como se ve en las tablas siguientes.
Descomposición de Ke
FC Modo Turbinas Red Máq. Eléc. Excitación Total:Ke
0 0,0303 0,0005 1,3781 0,0183 1,4275 1 -0,0014 0,0197 1,8827 0,0021 1,9013 2 0,0017 0,0638 2,2463 0,0012 2,3120 3 -0,0003 0,1095 3,1271 0,0011 3,2266
0.3
4 0,0187 -0,3992 0,4853 0,0004 -0,0705 0 0,0297 0,0012 1,4750 0,0346 1,5413 1 -0,0014 0,0398 2,2144 0,0034 2,2547 2 0,0017 0,1346 3,6085 0,0024 3,7204 3 -0,0003 -2,7176 -0,7951 0,0084 -3,8333
0.5
4 0,0187 -0,2836 0,6511 0,0007 0,5484 0 0,0290 0,0022 1,5870 0,0541 1,6741 1 -0,0014 0,0724 2,7643 0,0044 2,8295 2 0,0019 -2,7018 7,4949 0,0278 3,9996 3 -0,0003 -0,5189 -0,6199 0,0027 -1,1029
0.7
4 0,0188 -0,2318 0,7268 0,0010 -0,9381
Tabla 5-3:Descomposición de Ke en contribuciones del sistema eléctrico
Descomposición de De
FC Modo Turbinas Red Máq. Eléc. Excitación Total:De 0 -0,4230 -0,1215 5,1082 1,8971 6,5105 1 0,0350 -0,2192 0,6200 0,0087 0,4423 2 -0,0428 -0,4357 0,2137 0,0027 -0,2735 3 0,0069 -1,0548 -0,2102 0,0024 -1,2706
0.3
4 -0,4578 0,6851 -0,6614 -0,0004 -0,3937 0 -0,4528 -0,2163 6,1804 3,0544 8,5863 1 0,0349 -0,4466 0,9077 0,0183 0,4995 2 -0,0425 -1,3584 0,1595 0,0095 -1,1887 3 0,0075 0,5518 -12,6547 -0,0071 -11,6509
0.5
4 -0,4569 0,5884 -0,5108 -0,0005 -0,8186 0 -0,4821 -0,3240 7,6637 4,1088 11,0825 1 0,0346 -0,8210 1,3674 0,0347 0,6026 2 -0,0424 -5,2349 -23,3266 0,0261 -28,5824 3 0,0072 1,3288 -1,7700 -0,0057 -0,4104
0.7
4 -0,4591 0,5396 -0,4504 -0,0006 -0,6643
Tabla 5-4: Descomposición de De en contribuciones del sistema eléctrico
5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona 120
Se puede ver que el origen de la inestabilidad del modo 3 para un FC de 0.5 se debe
a la máquina eléctrica y, en el caso de FC = 0.7, el amortiguamiento negativo del modo
2 tiene aportación principalmente de la máquina y del condensador de la red.
6 Conclusiones 121
6 Conclusiones
Este proyecto ha abordado el estudio del fenómeno de la resonancia subsíncrona. La
resonancia subsíncrona estudia la inestabilidad de las ocilaciones torsionales de
turbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie. Para ello este
proyecto ha desarrollado modelos no lineales y lineales de un turbogenerador
conectado a través de una línea compensada serie a un nudo de potencia infinita.
El proyecto ha revisado en primer lugar los conceptos fundamentales del modelado,
simulación y análisis de sistemas dinámicos.
Después, utilizando un modelo simplificado ha discutido la diferencia entre las
oscilaciones electromecánicas y las oscilaciones torsionales de un turbogenerador
conectado a un nudo de potencia infinita.
Las oscilaciones electromecánicas son oscilaciones mecánicas de 1 Hz en las que
todas las masas del turbogenerador oscilan al unísono. Los rotores de los
turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen de frecuencias
subsíncrono que quiere decir que son inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz).
Las oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elásticos entre las masas
de los turbogeneradores.
El estudio de la resonancia subsíncrona se ha abordo con un modelo completamente
detallado del turbogenerador y de la conexión del mismo a una red infinita a través de
una línea compensada serie con un grado de compensación del 50%. La respuesta en el
tiempo ha mostrado la presencia de oscilaciones torsionales inestables. El autoanálisis
del modelo lineal ha permitido caracterizar la oscilación torsional inestable. Se ha
explorado también la variación del amortiguamiento de los modos torsionales la variar
el factor de compensación de la línea.
El autoanálisis del modelo lineal, gracias a los autovalores, autovectores y factores
de participación, permite caracterizar con mucha mayor precisión que la respuesta en
el tiempo ante grandes o pequeñas perturbaciones las oscilaciones torsionales. También
se ha utilizado el análisis modal, que es una herramienta muy adecuada para la
caracterización del sistema en el estudio de este fenómeno y para la evaluación de su
6 Conclusiones 122
estabilidad. Asimismo, permite medir la actividad e interacciones electromecánicas de
los subsistemas que integran el generador y la línea compensada a la que esté
conectado.
Se ha comprobado que los modelos reducidos obtenidos por técnicas de análisis
modal selectivo reflejan con exactitud el comportamiento de los modos de interés y
permiten una mejor comprensión e interpretación física del problema. La aplicación de
las metodologías basadas en este tipo de análisis para la obtención de los parámetros
modales y sus descomposiciones en aportaciones de los distintos subsistemas ha dado
resultados coherentes con el análisis modal y la simulación.
7 Referencias bibliográficas 123
7 Referencias bibliográficas
[1] L. Rouco y C. Cañizares, “Capítulo 10: Estabilidad de ángulo y de tensiones”. en
“Análisis y Operación de Sistemas de Energía Eléctrica”, Coordinador: A.
Gómez Expósito, Mc Graw Hill, 2002, páginas 541-620.
[2] C. Cañizares, L. Rouco y G. Andersson, “Chapter 10: Angle, Voltage and
Frequency Stability” en “Electric Energy Systems: Analysis and Operation”,
Editors: A. Gómez-Expósito, A. J. Conejo y C. Cañizares, CRC Press, páginas
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[3] P. Kundur, “Power System Stability and Control”, Mc Graw Hill, New York
1994.
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[5] H.J. Rohrer, K.E. Schnirel, I.M. Canay, “Effect of Electrical Disturbances, Grid
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Systems, Vol. PAS-99, No. 4, July 1980, pp.1357 – 1370.
[6] M.C. Jackson, S.D. Umans, R.D. Dunlop, S.H. Horowitz, A.C. Parikh, “Turbine-
Generator Shaft Torques and Fatigue: Part I: Simulation Methods and Fatigue
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[7] P. M. Anderson, B.L. Agrawal, J.E. Van Ness, “Subsynchronous Resonance in
Power Systems”, IEEE Press, New York, 1990.
[8] Saiz Chicharro, “Análisis de la Resonancia Subsíncrona”, Tesis Doctoral,
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de
Madrid, Marzo 1986.
[9] Saiz Chicharro, I.J. Pérez-Arriaga, “Selective Modal Analysis of Subsynchronous
Resonance”, 9th Power Systems Computation Conference, Cascais, Portugal, 30
August-4 September 1987, pp. 902-906.
7 Referencias bibliográficas 124
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[11] J. Pérez-Arriaga, G. C. Verghese, F. C. Schweppe, ``Selective Modal Analysis
with Applications to Electric Power Systems. Part I: Heuristic Introduction. Part
II: The Dynamic Stability Problem''. IEEE Transactions on Power Apparatus and
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[12] IEEE Subsynchronous Resonance Task Force of the Dynamic System
performance Working Group of the Power System Engineering Committee,
“First benchmark model for computer simulation of subsynchronous
resonance”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-96,
No. 5, Part 1, Sept. 1977, pp. 1565 – 1572.
[13] G. Strang, “Linear Algebra and Its Applications”, Academic Press.
[14] L. Rouco, “Appendix C: Dynamic Models of Electric Machines” en “Electric
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Conejo y C. Cañizares, CRC Press.
[15] I.M. Canay, “A Novel Approach to the Torsional Interaction and Electrical
Damping of the Synchronous Machine Part I: Theory”, IEEE Transactions on
Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101, No. 10, Oct. 1982, pp. 3630 – 3638.
[16] I.M. Canay, “A Novel Approach to the Torsional Interaction and Electrical
Damping of the Synchronous Machine Part II: Application to an arbitrary
network”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101,
No. 10, Oct. 1982, pp. 3639 – 3647.
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