Estructuras de Datos UGR

7/23/2019 Estructuras de Datos UGR

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Modulo I

Introduccin al anlisis de laeficiencia de Algoritmos


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Objetivos

Concepto de efciencia

Concepto de operacin elemental

Notaciones asintticas Saber calcular la efciencia de un

algoritmo


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Comparacin de algoritmos

Es frecuente disponer de ms de un posible algoritmopara resolver un problema dado:

Con cul nos quedamos?

Estudio del uso de los recursos:

tiempo

espacio El uso de los recursos se distribuye en:

diseo implementacin

explotacin


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Factores en el uso de recursos

Principio de Invarianza:dos implementaciones de unmismo algoritmo no diferirn ms ue en una constantemultiplicativa!

Si y son los tiempos de dos implementacionesde un mismo algoritmo, se verifica:


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"rdenacin por InsercinAlgoritmo fuer#a bruta:

$no a uno% y desde el segundo elemento% despla#a de i#uierda a derec&a%&asta encontrar la posicin correcta

'( void insercion)vector*int+ , array-

'. /

'0 int i% 1% valor2

'3 for )i 4 (2 i * array!si#e)-2 55i-

'6 / valor 4 array7i82

'9 for )1 4 i2 1 + ' ,, array71 (8 + valor2 1-'; array718 4 array71 (82

'< array718 4 valor2

(( =

(. =

>?e u@ operacin depender eltiempo de e1ecucin


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"rdenacin por Insercin

Algoritmo fuer#a bruta:

$no a uno% y desde el segundo elemento% despla#a de i#uierda a derec&a%&asta encontrar la posicin correcta

'( void insercion)vector*int+ , array-'. /

'0 int i% 1% valor2

'3 for )i 4 (2 i * array!si#e)-2 55i-

'6 / valor 4 array7i82

'9 for )1 4 i2 1 + ' ,, array71 (8 + valor2 1-

'; array718 4 array71 (82

'< array718 4 valor2

(( =

(. =

>Cuntas veces se e1ecuta la comparacin

Entradas: B nmeros aleatorios!

B Comparaciones

Tiempo

5.000 6.2 Millones 0.13

10.000 25 Millones 0.43

20.000 99 Millones 1.50

40.000 400 Millones 5.6

80.000 1.600 Millones 23 seg


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"rdenacin por Insercin>Cuntas veces se e1ecuta la comparacin

B Comparaciones Tiempo

5.000 6.2 Millones 0.13

10.000 25 Millones 0.43

20.000 99 Millones 1.50

40.000 400 Millones 5.6

80.000 1.600 Millones 23 seg

El nmero de comparaciones crece de formaCuadrtica )BD-

El tiempo necesario crece de forma cuadrticaCon el nmero de entradas )(!G('H);- BD -

5 10 20 40 80

0

5

10

15

20

25

N

Tiempo

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

N

Comp


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Eficiencia

Eficiencia:medida del uso de los recursos en funcin del tamaode las entradas

T(n): iempo empleado para una entrada de tamao n

Es necesario un anlisis asinttico

Ja eleccin de una buena estructura de datos es fundamentalpara crear un buen algoritmo


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Krdenes de eficiencia)I-

Orden de Eficiencia:$n algoritmo tiene un tiempo de eecuci!nde orden f(n)% para una funcin dada f% si existe una constantepositiva cy una implementacin del algoritmo capa# deresolver cada caso del problema en un tiempo acotadosuperiormente por cf(n)% donde nes el tamao del problemaconsiderado!

Krdenes ms &abituales:

lineal:

cuadrtico: " polinmico: % con #

logarLtmico:

exponencial: , c $ %


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Krdenes de eficiencia)II-

Comparacin grfica de algunos rdenes de eficiencia


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Medidas de la eficiencia

Enfoue prctico )a posteriori-

Enfoue terico )a priori-

Enfoue &Lbrido

ituaciones: Neor caso

Caso promedio

Me1or caso

Anlisis amorti#ado


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"peracin elemental

Definicin: "peracin de un algoritmo cuyo tiempo de e1ecucinse puede acotar superiormente por una constante!

Nara nuestro anlisis slo contar el nmero de operacioneselementales e1ecutadas y no el tiempo exacto necesario paracada una de ellas!


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"peracin elemental: Consideraciones

(! JLnea de cdigo 4 un nmero variable de operaciones elementales!N!e!: sea&un vector con nelementos y

el tiempo para calcular x depende de n% no es constante!

.! Algunas operaciones matemticas no son operaciones elementales!N!e!: sumas y productos dependen de la longitud de los operandos!in embargo% en la prctica se consideran elementales siempre uelos datos ue se usen tengan un tamao ra#onable!En la prctica% consideraremos las operaciones suma% diferencia%multiplicacin% divisin% mdulo% operaciones booleanas%

comparativas y asignaciones como elementales% )salvo ue seindiue otra cosa-!


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Oeglas de clculo del tiempo dee1ecucin

entencias simples Ploues de sentencias Pucles entencias condicionales Jlamadas a funciones


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entencias simples

Consideraremos ue cualuier sentencia simple )lectura% escritura%asignacin%!!!- va a consumir un tiempo constante% % salvo ue lasentencia contenga una llamada a funcin!

1: for (i = 0; i < n-1; i++) {

2: indice = i;3: for (j = i+1; j < n; j++) {

4: if (A[j] < A[indice])

5: indice = j;

6: temor!" = A[indice];

#: A[indice] = A[i];$: A[i] = temor!";

%: &;

10: &


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entencias simples

Consideraremos ue cualuier sentencia simple )lectura% escritura%asignacin%!!!- va a consumir un tiempo constante% % salvo ue lasentencia contenga una llamada a funcin!

1: i = 0;

2: indice = i;

3: j = i+1; j++

4: A[j] < A[indice]

5: temor!" = A[indice];


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Ploues de sentencias

e aplica la regla de la suma% de forma ue secalcula el tiempo de e1ecucin tomando el mximode los tiempos de e1ecucin de cada una de laspartes )sentencias individuales% bucles o

condicionales- en ue puede dividirse!


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Pucles

iempo para un bucle:

la suma del tiempo invertido en cada iteracin!

?eberLa incluir: el tiempo propio del cuerpo y el asociado a la evaluacinde la condicin y su actuali#acin% en su caso! i se trata de unacondicin sencilla )sin llamadas a funcin- el tiempo es !

Cuando se trata de un bucle donde todas las iteraciones son iguales%entonces el tiempo total ser el producto del nmero de iteracionespor el tiempo ue reuiere cada una!


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Pucles

Ejemplo 1:1: for (i = 0; i < n; i++)2: for (j = 0; j < n; j++)

3: A[i][j] = 0;

Ejemplo 1:1: for (i = 0; i < n; i++)2: for (j = 0; j < n; j++)

3: A[i][j] = 0;


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Pucles

Ejemplo 1:1: for (i = 0; i < n; i++)

2: for (j = 0; j < n; j++)3: A[i][j] = 0;


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Pucles

Ejemplo 2:1: ' = 0;

2: i"e (' < n ** A['] = ,)

3: '++;


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entencias condicionales

El tiempo de ejecucin es el mximo tiempo de la parte if dela parte else! de "orma #ue si son! respectivamente! ser %

Ejemplo:

1: if (A[0][0] == 0)

2: for (i = 0; i < n; i++)

3: for (j = 0; j < n; j++)

4: A[i][j] = 0;

5: e"e

6: for (' =0; ' < n; '++)

#: A[']['] = 1;


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Frmulas tiles


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Jlamadas a funciones)I-

i una determinada funcin N tiene una eficiencia decon la medida del tamao de los argumentos% cualuierfuncin o procedimiento ue llame a N tiene en la llamadauna cota superior de eficiencia de !

Jas asignaciones con diversas llamadas a funcin debensumar las cotas del tiempo de e1ecucin de cada llamada!

Ja misma consideracin es vlida para las condiciones debucles y condicionales!


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E1emplo: Notenciacin

1: .oid ejem"o1 (int n) {

2: int / cont!dor;

3: cont!dor = 0;

4: / = 2;

5: i"e (/


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E1emplo: Insercin)I-

1: .oid inercion(int A[] int n) {

2: int i j .!"or;

3: for (i = 1; i < n; i++) {

4: .!"or = A[i];

5: j = i;

6: i"e ((j 0) ** (A[j-1] .!"or)) {

#: A[j] = A[j-1];

$: j--;

%: &

10: A[j] = .!"or;

11: &

12: &


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E1emplo: Insercin)II-


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E1emplo: eleccin)I-

1: .oid e"eccion(int A[] int n) {

2: int i j min t;

3: for (i = 0; i < n - 1; i++) {

4: min = i;

5: for (j = i + 1; j < n; j++)

6: if (A[j] < A[min])

#: min = j;

$: t = A[min];

%: A[min] = A[i];

10: A[i] = t;

11: &

12: &


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E1emplo: eleccin)II-


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E1emplo)I-

1: .oid ejem"o2(int n) {

2: int i j ';

3: for (i = 1; i < n; i++)

4: for (j = i+1; j < n + 1; j++)

5: for (' = 1; ' < j + 1; '++)

6: A"n! entenci! (1)

#: &

&'neas -.*: veces

&'neas ).*:

E1 l


31/33

E1emplo)II-

&'neas -./:

E1 l


32/33

E1emplo)II-

&'neas -./:

"t 1 l


33/33

"tro e1emplo

1: .oid ejem"o3(int n) {

2: int i j / 7;

3: for (i = 1; i < n+1; i++)

4: if (i 8 2 == 0) {

5: for (j = i; j < n+1; j++)6: /++;

#: for (j = 1; j < i+1; j++)

$: 7++;

%: &

10: &

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