Estat stica Experimental Avaliac~ao dispon vel no e-disciplinas...ANOVA Exemplo H 0: 1 = 2 = 3 = 4 H 1: pelo menos duas m edias diferem entre si Analysis of Variance Table Response:

Estatıstica Experimental

Avaliacao disponıvel no e-disciplinas

Professora Renata Alcarde Sermarini

Renata Alcarde Sermarini () Estatıstica Experimental 1 / 29

Estatıstica Experimental

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Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”Universidade de Sao Paulo

Testes de Comparacoes Multiplas


Piracicaba


ANOVA

Exemplo

Os dados da Tabela 1 referem-se a produtividade de milho (Kg/100m2) dequatro variedades diferentes, em um experimento instalado segundo odelineamento inteiramente casualizado (DIC).

Tabela: Produtividade de milho (kg/100m2)

A B C D

25 31 22 3326 25 26 2920 28 28 3123 27 25 3421 24 29 28


ANOVA

Exemplo

H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4

H1: pelo menos duas medias diferem entre si

Analysis of Variance Table

Response: y

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

trat 3 163.75 54.583 7.7976 0.001976 **

Residuals 16 112.00 7.000

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


Metodos de Comparacoes Multiplas

Tecnicas para comparacao de medias

duas a duasmedia de cada tratamento com a media de um controlecontrastes

Classificacao

Teste Protegido: realizado somente mediante rejeicao de H0 para o testeF (ANOVA)

Teste nao protegido: realizado independentemente do resultado para oteste F (ANOVA).


Contrastes

Definicao

Combinacao linear das medias,

Y = a1µ1 + a2µ2 + . . .+ aIµI ,

tal que,I∑

i=1

ai = 0,

para o caso em que todos os tratamentos apresentam o mesmo numero derepeticoes J.


Contrastes

Sao exemplos de contrastes:

Y1 = µ1 − µ2

Y2 = 2µ1 − µ2 − µ3

Y3 = µ3 − µ4

Estimativa do Contraste

Y = µ1 − µ2 ⇒ Y = µ1 − µ2 = y1 − y2

Interpretacao:

Se Y > 0 ⇒ media do grupo “+” superior;

Se Y < 0 ⇒ media do grupo “-” superior.


Comparacao de duas medias

Hipoteses do tipo

H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0

Modelo

yij = µ+ τi + eij = µi + eij ,

em que eij ∼ iidN(0, σ2).

Seja o contraste Y = µi − µi ′ , entao:

Y = µi − µi ′ .Assim,

E(Y ) = µi − µi ′

Var(Y ) =

(1

ni+

1

ni ′

)σ2


Teste t-Student

Hipoteses do tipo

H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0

Estatıstica

t =µi − µi ′ − 0√√√√( 1

ni+ 1

ni′

)σ2

.

Rejeita-se H0 se |µi − µi ′ | ≥ t(α/2,ν)

√√√√( 1ni

+ 1ni′

)σ2, em que ν

corresponde ao numero de graus de liberdade do resıduo.


Teste t-Student

Para o exemplo de produtividade de milho:

µA = 23 µB = 27 µC = 26 µD = 31

Hipoteses

H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0

Valores absolutos das diferencas observadas

µB µC µDµA 4 3 8µB - 1 4µC - - 5

Diferenca mınima significativa

d .m.s. = t(α/2, glRes)

√2× QMRes

J= 2, 12

√2× 7, 00

5= 3, 55


Teste t-Student

Para o exemplo de produtividade de milho:


µB µC µDµA 4∗ 3 8∗

µB - 1 4∗

µC - - 5∗


d .m.s. = t(α/2, glRes)

√2× QMRes

J= 2, 12

√2× 7, 00

5= 3, 55


Teste t-Student

Problemas

Suponha que sejam 10 os tratamentos em analise.

Quantas seriam as comparacoes duas a duas?

Supondo o nıvel de significancia 0,05 para cada comparacao, qualsera o nıvel de significancia conjunto, assumindo que as comparacoessejam independentes?


Nıvel de significancia

Controle da taxa de erro tipo I

Nıvel de significancia por comparacao (comparisonwise): controlaa taxa de erro tipo I por comparacao.

Nıvel de significancia por experimento (experimentwise): controlaa taxa de erro tipo I considerando todo o conjunto de comparacoes.

Teste t-Student

Pode-se controlar a taxa de erro maxima por experimento usando a taxade erro por comparacao dada por α/c, em que c corresponde ao numerode comparacoes de duas medias (correcao de Bonferroni).


Teste t-Student

Para o exemplo de produtividade de milho com a correcao de Bonferroni:


µB µC µDµA 4 3 8∗

µB - 1 4µC - - 5


d .m.s. = t((0, 05/6)/2, glRes)

√2× QMRes

J= 3, 01

√2× 7, 00

5= 5, 03


Teste de Tukey

Hipoteses do tipo

H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0

Teste baseado na amplitude total estudentizada de I variaveisaleatorias normais independentes;

Controla a taxa maxima de erro tipo I por experimento.

Rejeita-se H0 se

|µi − µi ′ | ≥ ∆,

em que ∆ = q(α,I ,glRes)

√Var(Y )

2= q(α,I ,glRes)

√√√√( 1

ni+

1

ni ′

)QMRes

2.

Se ni = ni ′ = J, entao ∆ = q(α,I ,glRes)

√QMRes

J


Teste de Duncan

Hipoteses do tipo

H0 : µi − µi ′ = 0 vs H1 : µi − µi ′ 6= 0

Teste realizado em multiplos estagios;

Recomendado para o caso balanceado (mesmo numero de repeticoespor tratamento);

Tambem e baseado na amplitude total estudentizada;

Controla a taxa de erro tipo I por comparacao (teste menos rigorosoque o teste de Tukey, ou seja, pode rejeitar H0 com maior facilidade).

Rejeita-se H0 se

|µi − µi ′ | ≥ Di ,

em que Di = z(α,k,glRes)

√QMRes

Je k e o numero de medias envolvidas.


Teste de Dunnett

Hipoteses do tipo

H0 : µi − µc = 0 vs H1 : µi − µc 6= 0

Compara duas medias de tratamentos, sendo uma dela a media de umtratamento referencia (controle);

Controla a taxa maxima de erro tipo I, nao excedendo α.

Rejeita-se H0 se

|µi − µc | ≥ d(α,I−1,glRes)

√2× QMRes

J.


Teste de Dunnett

No exemplo: Assumindo-se a variedade B como referencia, temos:

Hipoteses

H0 : µA − µB = 0 vs H1 : µB − µB 6= 0H0 : µC − µB = 0 vs H1 : µC − µB 6= 0H0 : µD − µB = 0 vs H1 : µD − µB 6= 0

|µA − µB | = |23− 27| = 4

|µC − µB | = |26− 27| = 1

|µD − µB | = |31− 27| = 4

dms = d(α,I−1,glRes)

√2× QMRes

J

= 2, 59

√2× 7, 00

5= 4, 33


Teste de Dunnett

No exemplo: Assumindo-se a variedade B como referencia, temos:

Hipoteses

H0 : µA − µB = 0 vs H1 : µB − µB 6= 0H0 : µC − µB = 0 vs H1 : µC − µB 6= 0H0 : µD − µB = 0 vs H1 : µD − µB 6= 0

|µA − µB | = |23− 27| = 4n.s

|µC − µB | = |26− 27| = 1n.s.

|µD − µB | = |31− 27| = 4n.s.

dms = d(α,I−1,glRes)

√2× QMRes

J

= 2, 59

√2× 7, 00

5= 4, 33

Logo, nao ha evidencias para rejeicao de nenhuma das hipoteses H0, aonıvel de 5% de significancia.


Contrastes Ortogonais

Definicao

Dois contrastes, Y1 e Y2,

Y1 = a1µ1 + a2µ2 + . . .+ aIµI

Y2 = b1µ1 + b2µ2 + . . .+ bIµI

sao ditos ortogonais seI∑

i=1

aibi = 0, desde que todos os tratamentos

apresentem os mesmo numero de repeticoes.


Contrastes Ortogonais

Exemplo:

Considere os contrastes Y1, Y2 e Y3, dados por:

Y1 = µ1 − µ2

Y2 = 2µ2 − µ3 − µ4

Y3 = µ3 − µ4

Verificar quais sao ortogonais.


Teste t e F para Contrastes Ortogonais

Observacoes:

Os testes t e F para contrastes ortogonais sao equivalentes;

Teste F: apresentacao da decomposicao do numero de graus deliberdade de tratamentos em um grau de liberdade associado a cadacontraste;

Os contrastes devem ser estabelecidos antes da realizacao da analise.

SQL =(J×L)

2

J×∑I

i=1 a2i

, em que L = a1µ1 + a2µ2 + . . .+ aIµI , e todos os

tratamentos apresentam o mesmo numero de repeticoes, J.



Exemplo

Suponha um experimento instalado para avaliar a eficiencia de fungicidasna producao de batatas. Foram utilizados quatro fungicidas + controle(sem aplicacao de fungicida), sendo que os dois primeiros usam um modode acao (modo A) e os dois ultimos fungicidas outro modo de acao (modoB).



Exemplo: Produtividade de milho

Suponha que as variedades A e B foram produzidas por um instituto depesquisa e as variedades C e D, por outro. Para o correspondente grupo decontrastes ortogonais, vamos aplicar o teste F.



Exemplo: Produtividade de milho

Os contrastes relacionados ao enunciado sao:L1 : µA + µB − µC − µDL2 : µA − µBL3 : µC − µD

E as hipoteses de interesse sao:H0 : L1 = 0 versus H1 : L1 6= 0H0 : L2 = 0 versus H1 : L2 6= 0H0 : L3 = 0 versus H1 : L3 6= 0

Que equivalem aH0 : µA+µB

2 = µC+µD2 versus H1 : µA+µB

2 6= µC+µD2

H0 : µA = µB versus H1 : µA 6= µBH0 : µC = µD versus H1 : µC 6= µD



Assim, o quadro da ANOVA sera:

F.V. gl SQ QM F Ftab

Tratamentos 3 163.75 54,58 7,80 3,24(A+B)vs(C+D) 1 61,25 61,25 8,75 4,40A vs B 1 40,00 40,00 5,71 4,40C vs D 1 62,50 62,50 8,93 4,40

Resıduo 16 112,00 7,00

Total 19 275,75



Estimativas dos contrastes

L1 : µA + µB − µC − µD = 23 + 27− 26− 31 = −7L2 : µA − µB = 23− 27 = −4L3 : µC − µD = 26− 31 = −5

Somas de quadrados

SQL1 =[5× (23 + 27− 26− 31)]2

5× [12 + 12 + (−1)2 + (−1)2]= 61, 25

SQL2 =[5× (23− 27)]2

5× [12 + (−1)2]= 40, 00

SQL3 =[5× (26− 31)]2

5× [12 + (−1)2]= 62, 50



E o quadro da ANOVA fica:

F.V. gl SQ QM F Ftab

Tratamentos 3 163.75 54,58 7,80 3,24(A+B)vs(C+D) 1 61,25 61,25 8,75∗ 4,49A vs B 1 40,00 40,00 5,71∗ 4,49C vs D 1 62,50 62,50 8,93∗ 4,49

Resıduo 16 112,00 7,00

Total 19 275,75

Logo, ao nıvel de 5% de significancia ha evidencias para rejeitarmos ashipoteses H0 : L1 = 0, H0 : L2 = 0 e H0 : L3 = 0.


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