Esperance 1992 Applied Acoustics Heuristics

7/28/2019 Esperance 1992 Applied Acoustics Heuristics

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Applied Acoustics 37 (1992) 111-139

H e u r i s t i c M o d e l f o r O u t d o o r S o u n d P r o p a g a t i o n B a s e d o na n E x t e n s i o n o f t h e G e o m e t r i c a l R a y T h e o r y i n t h e C a s eo f a L i n e a r S o u n d S p e e d Pr o f i l e

A . L ' E s p 6 r a n c e , a P . H e r z o g , b G . A . D a i g l e c& J. R . N i c o l a s

* G.A.U.S ., Univers i t6 de Sherb rooke , Qu6bec, C ana da, J1K 2R1b Unive r si t6 du M aine , Le M ans , F ranceC n s t i t u t e f o r M i c r o s t r u c t u r a l Sciences , Nat ional Research Counci l , Ot tawa, Ontar io ,

C a n a d a , K 1 A 0 R 6(Received 20 M ay 1991; revised v e r s i o n r e c e iv e d 17 January 1992;

accep ted 20 January 1992A BSTRA CT

In the case of outdoor sound propagation at relatively short ranges, it isreasonable to assume that sound follows straight ray paths. A t longer ranges,refraction due to temperature and wind gradients results in ray paths that arecurved, and calculations using straight rays are no longer valid and lead toerroneous results. In addition, atmospheric turbulence plays an ever-increasing role by degrading the coherence of the sound field. In this paper, thetheory valid fo r propagation from a point source above an impedance plane isextended to include the effects of curved rays and the loss of coherence due toatmospheric turbulence. The model assumes a sound speed gradient thatvaries linearly with height above the ground. This assumption allows ananalytical determination of the travel times of the curved rays and themodified angle of incidence of the ground-reflected paths. The additionalreflected rays that may appear in the presence of a positive gradient areincluded in the calculation. The assumption also permits the determination ofthe position of the shadow zone in the presence of a negative gradient. Thetotal sound pressure level is computed by summing the contribution from allthe rays. In this summation, a fluctuating index o f refraction is used to takeinto account the partial coherence between the rays caused by the effects ofatmospheric turbulence. I f the receiver is in the shadow "zone, a diffractiontheory based on a residue series solution is used to compute the sound levels.The results of calculations using the model are compared with experimentalresults.

111Applied Acoustics 0003-682X/92/$05.00 1992 E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s Ltd, England.Pr inted in Great Br i ta in


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112 A. L'Espbrance e t a l .

I N T R O D U C T I O NF o r t h e la s t 30 y e a rs , o u t d o o r s o u n d p r o p a g a t i o n n e a r t h e g r o u n d h a s b e e nt h e s u b j ec t o f ex t en s i v e r e s ea r ch . P r ac t i c a l m o d e l s t h a t co n s i d e r s p h e r i ca ls p r e a d i n g , a t m o s p h e r i c a b s o r p t i o n a n d g r o u n d e ff ec ts h a v e b e e n d e v e l o p e dan d i t is n o w p o s s i b l e t o p r ed i c t s o u n d p r e s s u r e l ev e ls g en e r a t ed b y a s o u r ceo v e r a f i n i t e i m p e d a n c e g r o u n d w i t h r e l a t i v e l y g o o d a c c u r a c y a t s h o r td i s tan ces . T h i s f ie ld h a s b een r ev i ewed b y P i e r cy e t a l . 1 i n 1 9 7 7 , an d m o r er e ce n t ly b y A t t e n b o r o u g h . 2 H o w e v e r , m o s t o f t h e m o d e l s c a n n o t e x p l a in t h el o w e r o r h i g h e r l e v e l s c o m m o n l y o b s e r v e d w h e n d e a l i n g w i t h l o n g - r a n g es o u n d p r o p a g a t i o n c l o s e t o t h e g r o u n d . T w o a d d i t i o n a l p h e n o m e n a t h a tc o n t r i b u t e t o t h e se v a r i a ti o n s a r e r e f r a c t i o n (r e la t e d to t e m p e r a t u r e a n d / o rw i n d g r a d i e n t s ) a n d a t m o s p h e r i c t u r b u l e n c e . A l t h o u g h t h e s e p h e n o m e n aan d t h e i r i n t e r ac t i o n s h av e b een s t u d i ed b y m an y r e s ea r ch e r s ( s ee , f o rex am p l e , R e f s 3 -5 ) , i t h a s n o t b een p o s s i b l e t o a ch i ev e a s i m p l e m o d e l f o re n g i n e e r i n g p u r p o s e s t h a t i n c o r p o r a t e s a ll t h e c o m b i n e d p h y s i c a lp h e n o m e n a .M o r e r e c e n tl y , t h e o r ie s d e v e l o p e d f o r m i c r o w a v e s a n d u s e d i n u n d e r w a t e ra c o u s t i c s h a v e b e e n a d a p t e d f o r o u t d o o r s o u n d p r o p a g a t i o n . T h e s es o l u ti o n s c a n d e a l w i t h a r b i t r a r y t e m p e r a t u r e a n d w i n d c o n d i t io n s , a n d e v e nw i t h s l o w l y v a r y i n g g r o u n d s h a p e s . E x a m p l e s a r e t h e f a s t f i e l d p r o g r a md es c r i b ed b y L ee e t a l . 6 a n d t h e p a r a b o l ic e q u a t i o n d e s c r ib e d b y W h i t e a n dG i lb e rt .7 ( A n i n t e r e st in g c o m p a r i s o n o f t h e s e d if fe r en t a p p r o a c h e s f o r o c e a na c o u s ti c s h a s b e e n m a d e r e c e n t l y b y H a r r i s o n . a) H o w e v e r , t h e d i s a d v a n -t ag e s o f th e s e s o lu t i o n s a r e t h a t t h e y r e q u i r e e x c e ss iv e c o m p u t a t i o n t i m e a n da d e ta i le d u n d e r s t a n d i n g o f o u t d o o r s o u n d p r o p a g a t i o n t o g iv e a p h y si c ali n t e r p r e t a t i o n o f t h e r e s u lt s o b t a i n e d .T h e a i m o f t h e w o r k d e s c r i b e d in t h is p a p e r w a s t o d e v e l o p a p r a c t ic a l b u tr e l i a b l e m o d e l t o p r e d i c t o u t d o o r s o u n d p r o p a g a t i o n f o r g e n e r a le n g i n e e r i n g p u r p o s e s. T h e m o d e l a t t e m p t s t o b e a s c o m p l e t e as p o s si b le b yi n c o rp o r a ti n g m o s t o f t h e im p o r t a n t p h e n o m e n a i nv o lv e d in o u t d o o r s o u n dp r o p a g a t i o n . T h i s m o d e l , b a s e d o n g e o m e t r i c a l r a y t h e o r y , t a k e s i n t oa c c o u n t t h e e ff ec ts o f g e o m e t r i c a l s p r e a d i n g , a t m o s p h e r i c a b s o r p t i o n a n dt h e g r o u n d e f f ec t . T h e e f f ec t o f a t m o s p h e r i c r e f r ac t i o n i s ev a l u t ed b ya s s u m i n g a l i n e a r s o u n d s p e e d p r o f i l e w h i c h a l l o w s a n a n a l y t i c a ld e t e r m i n a t i o n o f a ll th e p o s s ib l e r a y p a t h s b e t w e e n a s o u r c e a n d a r e c e i v e rc lo s e t o t h e g r o u n d . T h e a m p l i t u d e s a n d p h a s e c o n t r i b u t io n o f e ac h r a y a r ee v a l u a t e d a n d s u m m e d b y a s s u m i n g p a r t ia l c o h e r e n c e b e tw e e n t h e ra y s. T h em o d e l t h e r e f o r e r e p r e se n t s a n e x t e n s i o n o f th e i d e a s r e p o r t e d b y H i d a k a e ta L , 9 b u t a l s o i n c l u d es t h e e f f ec t s o f t u r b u l en ce an d m u l t i p l e r ay p a t h s .M o r e o v e r , w h e n t h e r e c e i v e r is in t h e s h a d o w z o n e (i.e. w h e n n o r a y c a nr each t h e r ece i v e r a s t h e r e s u l t o f a n eg a t i v e g r ad i en t ) , t h e m o d e l u s e s t h ed i f f r ac t i o n s o l u t i o n t o ca l cu l a t e t h e s o u n d p r e s s u r e l ev e l a t t h e r ece i v e r .


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Heuristic model or outdoor sound propagation 113I n t h i s p a p e r , t h e m o d e l i t s e l f i s d e s c r i b e d f ir st , t h e n a p a r a m e t r i c a n a l y s i s

is p re s e n t e d a n d f in a ll y t h e r e s u lt s g iv e n b y t h e m o d e l a r e c o m p a r e d w i t he x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t ic a l r e s u lt s f o u n d i n t h e l i te r a tu r e .

D E S C R I P T I O N O F T H E M O D E LT h i s s e c ti o n de s cr ib e s t h e g e o m e t r i c a l r a y m o d e l c o m p o n e n t s a n d t h e iri n t e ra c t io n s . T h e g r o u n d r e f le c ti o n e q u a t i o n , t h e r a y c a l c u l a t i o n e q u a t i o n sa n d t h e t u r b u l e n c e c a l c u l a t i o n a re d i sc u s s e d s e p a r a t e l y a n d t h e c o m b i n e dc a l c u l a t i o n i s d e s c r i b e d .S p h e r i c a l w a v e e v a l u a t i o n o f g r o u n d e f f ec t s w i t h o u t r e f r a c t io nT h e b a s i c p r o b l e m t o b e s o l v e d i s d e s c r i b e d i n F i g . 1 . I n t h e a b s e n c e o fa t m o s p h e r i c e f f e c t s a n d / o r f o r s h o r t s o u r c e - r e c e i v e r d i s t a n c e , t h e s o u n de m i t t e d b y a m o n o p o l e s o u r c e S tr a v e ls to a r e c e iv e r R a t a n h o r i z o n t a ld i s t a n c e D f o l l o w i n g a d i r e c t ra y p a t h a n d a r ef le c te d ra y p a t h i n c i d e n t to t h eg r o u n d a t a n a n g l e ~ c . T h e a c o u s t i c p r e s s u r e a t th e r ec e i v e r c a n b ec o m p u t e d b y s u m m i n g t h e c o n t r i b u t i o n o f th e d i re c t r ay a n d t h e r ef le c te dr ay . A u s e f u l a p p r o x i m a t i o n t o t h i s p r o b l e m i s 2p ( R ) e x p ( j k R 0 + Q e x p (jkR2) (1 )

R1 R2w h e r e R x a n d R 2 r e p r e s e n t t h e g e o m e t r i c a l p a t h l e n g t h s o f t h e d ir e c t a n d o ft h e r e f l e c te d r a y , re s p e c t i v e ly , k i s t h e w a v e n u m b e r a n d Q i s th e s o - c a l l e ds p h e r i c a l r e f l e c t i o n c o e f f i c i e n t :

Q = R p + ( 1 - Rp) r (w )w h e r e R p is t h e p l a n e w a v e r e f le c t i o n co e f fi c ie n t :

(2 )

s i n ~ , 6 - ( 1 / Z G )R p = s i n ~ ' c + ( l / Z 6 ) ( 3)

RR1

Fig. 1. G ene ralschemeof the sound propagation over a ground of finite mpedanceZG.T h esound pressure at the receiver s the sum o f the contributions of the direct and reflected rays.


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114 A. L'Espbrance et ai.w h e r e Z 6 is th e g r o u n d i m p e d a n c e n o r m a l i z ed t o pc , t h e ch a r ac t e r i s t i c a i ri m p e d a n c e . I t i s s u f f i c i e n t f o r o u r p u r p o s e t o u s e t h e e m p i r i c a l m o d e ld e s c r i b e d b y D e l a n y a n d B a zl ey . 1 M a n y m o d e l s e x i st to d e t e r m i n e Z 6 , i np a r t i c u l a r , A t t e n b o r o u g h 11 h a s d e v e l o p e d a v a r i e t y o f a c o u s t ic a l i m p e d a n c em o d e l s f o r o u t d o o r g r o u n d s u r f a c e s w h i c h a p p e a r t o p r o v i d e t h e b e s td e s c r ip t i o n o f o u t d o o r g r o u n d i m p e d a n c e . H o w e v e r , fo r t h e p u r p o s e o f th isp ap e r , a s i n g le p a r am e t e r m o d e l h a s b een u s ed x an d i s g i v en b y

Z ~ = [ 1 + 9 - 0 8 ( f ) - '7 s + j l 1 . 9 ( f) '7 3 1 (4)w he re t r i s the e f fec t ive f low res i s tiv i ty ; va lues o f tr fo r s evera l co m m o n typeso f g r o u n d c an b e f o u n d i n R e f . 1 2. I n eq n (2 ), w is t h e n u m er i ca l d i s t an ce a n di s wr i t t en a s

w2 = ~/ 'kR2 [sin ~k6 + ( 1 / Z G ) ] 2 (5 )T h e n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f F ( w ) i n e q n ( 2 ) c a n b e d o n e i n v a r i o u sway s . 13.14 I n t h e p r e s en t m o d e l , t h e f o l l o w i n g s e ri e s ex p an s i o n s a r e u s ed an dca l cu l a t ed u n t i l t h e ad d i t i o n a l n t h t e r m i s l es s t h a n 1 x 1 0 - 6. 15

If Iwl < 5,2 2(2 w ) ( - 1 )" (2w2)"

F( w ) = 1 + j x / ( rO w exp ( - w 2) - - 2w 2 + ~ + . . . + 1 x 3 x . . . ( 2 n + 1 )( 6 a )

If IwL> 5 ,F(w) .~ 2 j x /( n )w ex p ( - w 2 ) H ( - I m ( w))

1 l x 3 - 1 x 3 . . . x ( 2 n + l )2w 2 (2w.2) . . . . (2w2) , (6b)

wh e r e H i s t h e Heav i s i d e s t ep f u n c t i o n , d e f i n ed b y1 , I m ( w ) < 0H ( - I m (w )) = 0 , o t h e r w i s e ( 7 )F o r co m p u t a t i o n a l p u r p o s e s , i t i s u s e f u l t o r ewr i t e eq n ( 1 ) a s

1 IQI 2 21QI co sp2 = R--~-+ - ~ z + R---- [ k ( R z - R 1 ) + A r g ( Q ) ] (8 )I n e q n ( 8 ) , k (R 1 - R 2 ) r e p r e s e n t s t h e p h a s e s h i f t d u e t o t h e p a t h - l e n g t hd i ff e r en ce b e t wee n R x an d R z , an d A r g ( Q ) i s t h e p h as e s h i ft d u e t o t h er e fl e c ti o n o n t h e f i ni te i m p e d a n c e g r o u n d . C o n s i d e r i n g t hi s e x p re s s io n , t h ea v e r a g e s q u a r e d r e l a t i v e p r e s s u r e c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e s u m o f t h ei n c o h e r en t fi el d ( t h e fi rs t two t e r m s o f eq n ( 8 )) an d o f an a l g eb r a i c t e r m


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Heuristic model or outdoor sound propagation 115d e s c r i b in g t h e p a r t ia l i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e d i r e c t a n d t h e r e f le c t io n r a y s( t h i rd t e rm ) . T h i s is th e b a s i c eq u a t i o n w h i ch w i l l b e u s ed i n t h e f o l l o w i n gsec t ions .Effect of atmospheric absorptionW h e n a s o u n d w av e t r av e l s i n a i r, v i sco s i ty effects, t h e r m a l d i ff u s io n , an dv i b r a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l r e l a x a t io n o f t h e m o l e c u l e s o f t h e a i r c a u s e t h es o u n d e n e r g y t o b e a b s o r b e d b y t h e a i r . T h i s a b s o r p t i o n i s p r i n c i p a l l y af u n c t i o n o f t h e t e m p e r a t u r e a n d h u m i d i t y o f th e a i r, a n d i t i n c re a s e s r a p i d l yw i t h f r e q u e n c y . T o c a l c u l a t e t h i s a t m o s p h e r i c a t t e n u a t i o n , t h e S t a n d a r dANSI S1 .2616 i s used .

W e n o t e t h a t a t m o s p h e r i c a t t e n u a t i o n is g iv e n i n d B / i 0 0 m , i.e . t h e d e c i b e la t t e n u a t i o n is c o n s t a n t f o r e a c h m e t e r o f p r o p a g a t i o n , u n l i k e g e o m e t r ic a ls p r e a d i n g w h e r e t h e a t t e n u a t i o n is 6 d B f o r e a c h d o u b l i n g d i s ta n c e . T h u s ,t h e a t m o s p h e r i c a b s o r p t i o n t e n d s to b e c o m e i m p o r t a n t a t m e d i u m t o l o n gd i st a n ce s . F o r c o m p u t i n g p u r p o s e s , a n a t m o s p h e r i c a b s o r p t i o n c o e ff ic i en t isd e f in e d in t h e m o d e l a sA ( R ) = 1 0 A T( f)/2 O OO R (9 )

w h e r e A T ( f ) is th e a t m o s p h e r i c a b s o r p t i o n i n d B /1 0 0 m f o r t h e f r e q u e n c y fg i v e n b y t h e s t a n d a r d . T h u s , e q n (8 ) c a n b e w r i t te n a sp2 A(R1) A(R2)2IQI 2

-

2 X A ( R 1 ) x A(R2) IQI+ co s [k(R2 - R1) + A rg (Q)] (10)R1R2Effects of refractionA s a r e s u lt o f v a r ia t i o n s i n w i n d a n d t e m p e r a t u r e w i t h h e ig h t , t h e s o u n ds p e e d a ls o c h a n g e s a s a f u n c t i o n o f h e i g h t a b o v e g r o u n d . A c c o r d i n g t oS n e l r s l a w , t h i s v a r i a t i o n o f t h e s o u n d s p e e d , c a l l e d t h e s o u n d s p e e dg r a d ie n t , w i ll c h a n g e t h e d i r e c t io n o f t h e s o u n d r a y : T h e s h a p e o f th e s o u n ds p e e d g r a d i e n t a b o v e t h e g r o u n d c a n b e v e r y c o m p l i c a t e d i n c e r t a i nm e t e o r o l o g i c a l c o n d i t io n s , a n d a t a s p e c if ic h e i g h t t h e a c o u s t i c a l r ay s m a y b em o r e o r l e s s b e n t d o w n w a r d o r u p w a r d d e p e n d i n g o n t h e s i g n a n da m p l i t u d e o f t h e s o u n d s p e e d p r o f il e a t t h i s h e i g h t. T h e g e n e r a l s h a p e o f t h es o u n d s p e e d p r o f i l e c a n b e r e p r e s e n t e d b y a q u a d r a t i c p o l y n o m i a lf u n c t io n , s'1 7 H o w e v e r , t h e u s e o f s u c h a f u n c t i o n r e q u i re s c o m p l e xp r e d i c t i o n m o d e l s s u c h a s t h e p a r a b o l i c e q u a t i o n , r a y - t r a c i n g a n d o t h e rm o d e l s , w h i c h i s i n c o m p a t i b l e w i t h t h e o b j e c t i v e o f t h e p r e s e n t w o r k .


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116 A . L 'Espbrance et al.F r o m a p r a c t i c a l p o i n t o f vi ew , c l o se to t h e g r o u n d f o r a t y p ic a l s u n n y d a y ,

t h e a i r t e m p e r a t u r e g e n e r a l l y d e c r e a s e s w i t h h e i g h t, w h e r e a s i t in c r e a s e s w i t hh e i g h t d u r i n g a c l e a r n i g h t . I n t h e s a m e m a n n e r , t h e w i n d s p e e d a l w a y sd e c r e a s e s w i t h h e i g h t c l o s e t o t h e g r o u n d . T h i s c a u s e s t h e o v e r a l l s o u n ds p e e d p r o f i l e t o d e c r e a s e o r i n c r e a s e w i t h h e i g h t d e p e n d i n g o n t h e t i m e o fd a y , t h e re l a ti v e s tr e n g t h o f t e m p e r a t u r e a n d w i n d s p e e d pr o fi le s , a n d / o r t h es o u r c e - r e c e i v e r o r i e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e w i n d d i r e c t i o n . T h u s , a s af i r s t a p p r o x i m a t i o n , i t s h o u l d b e p o s s i b l e t o a s s u m e a l i n e a r s o u n d s p e e dp r o f i l e , e x p r e s s e d a s

c ( z ) = c (O X 1 + a z ) ( 1 1 )w h e r e c (0 ) is th e r e f e r e n c e s o u n d v e l o c i ty o n t h e g r o u n d , a n d z is t h e h e i g h t o ft h e p o i n t a t w h i c h t h e v e l o c i ty is t o b e d e t e r m i n e d . T h e q u a n t i t y a i s t h ev e l o c i ty g r a d i e n t ( it is a s s u m e d t h a t t h e v e l o c it y is n o t a f u n c t i o n o f x a n d y ).N e g a t i v e va l u es f o r a c o r r e s p o n d t o a n e g a t iv e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t ( l ap s ec o n d i t io n s ) , a n d / o r u p w i n d c o n d i t i o n s , w h e r e a s p o s it iv e v a l u e s f o r ac o r r e s p o n d t o i n v e r s i o n a n d / o r d o w n w i n d c o n d i t i o n s . W e w i l l n o w s t u d yt h e c a se o f a s o - c a ll e d ' m o d e r a t e ' s o u n d s p e e d g r a d i e n t , a ' s t r o n g l y p o s i ti v e 'g r a d i e n t a n d a ' s t r o n g l y n e g a t i v e ' g r a d i e n t .

E f f e c t o f a m o d e r a t e s o u n d s p e e d g r a d i e n tT h i s p a r a g r a p h f o ll o w s c lo s e ly th e p r e s e n t a t i o n m a d e b y H i d a k a , 9 w h os h o w e d t h e p o s s i b le u s e f u l n e s s o f l in e a r s o u n d s p e e d p r o fi le s in o u t d o o rs o u n d p r o p a g a t i o n a s p r o p o s e d b y B r e k h o v s k i k h I s in a n e a r l ie r w o r k . I nt h e s e s t u d i e s , i t h a s b e e n s h o w n t h a t f o r a l i n e a r s o u n d s p e e d p r o f i l ea c o u s t i c a l r a y s a r e a r c s o f c ir c le s ( se e F ig . 2 ) w i t h a r a d i u s o f c u r v a t u r e o fR c = 1 / ( a c o s (~ 'G )) a n d w h o s e c e n t e r o f c u r v a t u r e l ie s o n a n h o r i z o n t a l l in e a ta he i gh t z c = - 1 / a . ( A c u r v a t u r e o f th e g r o u n d m a y a ls o b e t a k e n in to a c c o u n tu s i n g a n a d e q u a t e v a l u e o f a , i.e . a = 1 / R c , w h e r e R c is t h e e f f e c ti v e r a d i u s o fc u r v a t u r e , w i t h a p o s i t iv e f o r c o n c a v e c a se s a n d n e g a t iv e f o r c o n v e x o n e s

R - -

i RT D / ' ) zGZ \

\ l l a C O S ~v" eFig. 2 . Sch em eof an acoustic ray em itted by a source on the ground in the presence of apositive sound speed gradient. The ray is an arc o f a c ircle of radius R= = 1/ (a cos ~bG).


7/29

Heuristic mo del fo r o utdoor sound propagation 11 7

R Ts

F i g . 3 . W h e n t h e r a y p a t h p a s s e s t h r o u g h i t s m a x i m u m h e i g h t in th e c a se o f a p o s i t iv eg r a d i e n t (o r t h r o u g h i ts m i n i m u m h e i g h t in t h e c a s e o f a n e g a t i v e g ra d i e n t ) , t w o p o i n t s o n t h e

a r c h a v e t h e s a m e h e i g h t .

( se e R e f . 1 9).) T h u s , f o r a s o u r c e o n t h e g r o u n d , t h e a n g l e o f r e fl e c t i o n a t t h eg r o u n d ~ G , t h e l e n g t h o f t h e c u r v e d r a y R (Z R) a n d t h e t r a v e l t i m e Z (Z a) c a n b ec a l c u l a t e d u s i n g t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s :

R(ZR) = acos(~kG) s i n- a {(1 +aZR)COS~OG} - - ~ + ~ b C (12)Z(ZR) ~ 1 l n F f ( O ) l= 2 a c G k f ( z . ) J ( 1 3 )

w h e r e

w i t h

f ( z ) = 1 + x / J1 - - (1 + a z ) 2 cos 2 ~G ] (14)1 - x/ J1 -- (1 + a z ) 2 co s 2 ~b~]

a D Z R ( 2+ a z R )ta n ffa = ~ -+ 2D (15)w h e r e D i s t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e . W h e n t h e r a y p a t h p a s s e s t h r o u g h i t sm a x i m u m h e i g h t in t h e c as e o f a p o si ti v e g r a d i e n t o r t h r o u g h i ts m i n i m t t mh e i g h t i n t h e c a s e o f a n e g a t i v e g r a d i e n t , t w o p o i n t s o n t h e a r c o f t h e c i rc l eh a v e t h e s a m e h e i g h t ( se e F i g . 3), s o t h a t e q n s ( 1 2 )- (1 5 ) c a n n o t b e u s e dd i re c tl y . A s s h o w n b y H i d a k a e t a l . , 9 i t i s p o s s ib l e t o r e m o v e t h i s a m b i g u i t y b yc o m p a r i n g t h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e t o t h e re c e i v e r ( D ) w i t ht h e h o r i z o n t a l d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e t o th e e x t r e m u m o f t h e r a y (D in).T h u s i f z R, i s u s e d t o r e p r e s e n t t h e r e c e i v e r p o s i t i o n i n F i g . 3 w h e n

w h e r eD > D m (16)

t a n ~ 6Dm -- (17)a


8/29

118 A. L'Esp&ance et al .

t h e n t h e p a t h l e n g t h a n d t h e t r a v e l t i m e c a n b e c a l c u l a t e d u s i n gR(zR,) = 2 x R(zm) - R ( z R )

a n d

w h e r e

a n d

w i t h

z(zR,) = 2 x T(Zm) -- T(ZR)

( 1 8 )

(19)

R ( z m ) = - - ( 2 0 )a c o s ~ / G

, [ l + s i nT(Zm) = 2 a ' ~ In ]- _ s in ( 2 1 )Z m 1 ( C O . 1 ) '2 2 ,

In eqns (18 ) and (19 ) , R (z I~ ) , R (zm ) , T(ZR) a n d T(Z m) a r e c a l c u l a t e d u s i n g e q n s( 1 2 ) - ( 1 5 ) . I n t h e p r e v i o u s a n a l y s i s , i t i s a s s u m e d t h a t t h e s o u r c e i s o n t h eg r o u n d a n d z R > Zs. O n e c o u l d e a s i l y e x c h a n g e zR a n d z s i f t h e r e c e i v e r i s o nt h e g r o u n d a n d Z s > zR . B y e x t e n s i o n , i t is p o s s i b l e t o c a l c u l a t e t h e t o t a ll e n g t h a n d t r a v e l t i m e z o f th e r e f l e c te d r a y a s t h e s u m o f th e s e p a r a t e p a r t s .

A l t h o u g h n o t e x p l i c i t l y d i s c u s s e d b y H i d a k a e t a l . , 9 i t i s a l so pos s i b l e t oc a l c u l a t e t h e d ir e c t c u r v e d r a y f r o m S t o R ( o r R t o S , d e p e n d i n g w h i c h i s t h eh i g h e r p o i n t ) b y c h a n g i n g t h e r e f e r e nc e o f t h e s o u n d s p e e d g r a d i e n t f r o m e (0 )t o e(Z s) i n e q n ( 11). T h u s e q n s ( 1 2 )- ( 15 ) c o u l d b e u s e d w i t h t h e r e l a t i v e s o u n ds p e e d g r a d i e n t a , d e f i n e d a s

c ( 0 )a ' = a (23)C ( Z s )In t h i s case , one shou l d u se zh (o r z~) i n s t ead o f zR (o r Zs ) :

zh = ZR -- ZS (24)I n t h e c a s e o f a 'm o d e r a t e ' s o u n d s p e e d g r a d i e n t , t h e r e f r a c t i o n w i l l c a u s e

o n l y a d e f o r m a t i o n o f th e d i r e c t a n d r e f l e c te d r a y s (F ig . 4 ) a n d o n e c a nc a l c u l a t e t h e e f fe c ti ve g e o m e t r i c a l p a r a m e t e r s ( l e n gt h s , t r a v e l i n g t i m e s a n da n g l e o f re f le c ti o n) o f th e s e t w o r ay s . F o r a ' m o d e r a t e p o s i ti v e ' s o u n d s p e e dg r a d i e n t ( d o w n w i n d c o n d i t i o n a n d / o r d u r i n g t h e n i g h t ) , t h e r a y s a r e b e n td o w n w a r d . T h e g r a z i n g a n g l e i n c r e a s e s , w h i c h r e d u c e s t h e e x c e s sa t t e n u a t i o n . A l s o , th e t i m e d i ff e r e n c e b e t w e e n t h e d i r e c t a n d t h e r e fl e c te d r a y


9/29

Heuristic mod el fo r outdoor sound propagation 119R1

S o~ ~oR~ / G / / / / / / / / / ~ ~ / / / / / / / ,Fig. 4.

RS - _ _ R I . ~ 0:/'////////////////////

I n t h e p r e s e n c e o f a m o d e r a t e s o u n d s p e e d g r a d i e n t a n d / o r a t s h o r t d i s ta n c e, t h er e f ra c t ed c a s e i s a d e f o r m a t i o n o f t h e n o n - r e f r a c t e d ca s e.

p a t h s i s i n c r e a s e d , a n d t h e r e f o r e t h e i r g e o m e t r i c a l i n t e rf e r e n c e is s h i f t e d t oh i g h e r f r e q u e n c i e s .I n v e r s e l y , i n t h e c a s e o f a ' m o d e r a t e n e g a t i v e ' s o u n d s p e e d g r a d i e n t( d u r i n g t h e d a y o r i n u p w i n d c o n d i t i o n ) , t h e r a y s a r e c u r v e d u p w a r d . T h eg r a z i n g a n g l e is r e d u c e d a n d t h u s t h e g r o u n d e ff ec t w i ll be i n c r e a se d a n d t h eg e o m e t r i c a l i n t e r f e r e n c e i s s h i f t e d t o h i g h e r f r e q u e n c i e s . I n e q n ( 1 0 ) , t h i sg e o m e t r i c a l i n t e r f e r e n c e is r e p r e s e n te d b y k ( R 2 - - R t )- H o w e v e r , b e c a u se t h es o u n d s p e e d v a r ie s w i t h h e i g h t , t h e w a v e n u m b e r k is n o t c o n s t a n t f o r a ll t h er ay s . T o t a k e i n t o a c c o u n t t h is p h e n o m e n o n , t h e m o d e l u s e s t h e d i ff e re n c e o ft h e t r a v e l t i m e s b e t w e e n t h e r a y s i n s t e a d o f t h e d i f fe r e n c e o f t r a v e l p a t h s .T h e r e f o r e , e q n ( 1 0 ) i s r e w r i t t e n a s

p 2 A ( R I ) 2 A ( R 2 ) 2 " I Q [ 2= R

2 " A ( R 1 ) ' A ( R 2 ) ' [ Q [+ c o s [ 2 n f ( z 2 - z l ) + A rg (Q) ] (25 )R x R 2w h e r e "t 1 a n d z2 a r e t h e e f fe c ti v e t r a v e l t i m e s o f R 1 a n d R 2 c o m p u t e d u s i n ge q n s ( 13 )- (2 4 ). E q u a t i o n ( 25 ) c o u l d b e a s s o c i a t e d w i t h t h e c a se o f a m o d e r a t es o u n d s p e e d g r a d i e n t , i.e . w h e n t w o r a y s r e a c h t h e r ec e iv e r . T h i s e q u a t i o n i st h u s e q u i v a l e n t t o e q n ( 4 7 ) o f H i d a k a e t a l . 9 a n d r e p r e s e n t s t h e c a s e o f al in e a r 'm o d e r a t e ' s o u n d s p e e d p r of il e t o w h i c h H i d a k a e t a l . r e s t r i c t e d ' t h e i ra n a l y s i s . T h i s c a s e i s a l s o e q u i v a l e n t t o t h e c a s e s s t u d i e d r e c e n t l y b y L i e tal . 2E f f e c t o f a s t r o n g p o s i t i v e g r a d i e n t : a >> 0I n t h e p r e s e n c e o f a s t r o n g p o s i t i v e s o u n d s p e e d g r a d ie n t , a n d / o r f o r l a r g e rp r o p a g a t i o n d i s t a n c e s, a d d i t i o n a l r a y s t h a t g o t h r o u g h n re f le c t io n s a t t h eg r o u n d a p p e a r b e t w e e n t h e s o u r c e a n d t h e r e ce i v er ( F ig . 5). I t h a s b e e ns h o w n 2x t h a t t h e s e a d d i t i o n a l r a y s c a n b e d e t e r m i n e d u s i n g t h e f o l l o w i n gf o u r t h - o rd e r e q u a t i o n

n(n + 1)x 4 -- (2n + 1)D x a + [bR + (2n 2 - - 1 )b2 + O2]x 2- - (2n - 1 ) b 2 D x + n ( n - 1)b~ = 0 (26)


10/29

120 A. L'Espkrance e t a l .

F i g . 5 .

SR ( z ) v O ~ 2 . R ( z r . )~ / / "2 " / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 2

k ( N - 1 ) * 2 * D mDU n d e r a s t r o n g p o s i t iv e g r a d i e n t ( a n d / o r a t l o n g d i s t an c e ) , a d d i t i o n a l r a y s c o u l d

reach t he r ece i ve r a f t e r n r e f l e c t ions a t t he g roun d .

w h e r eb ~ = Z / ( 2 + a z i ) f o r i = S o r Ra

I n e q n (26), n is th e n u m b e r o f re f l e ct io n s a n d t h e u n k n o w n i s t h e h o r i z o n t a ld i s t a n c e b e t w e e n t h e s o u r c e a n d t h e f i r s t r e f l e c t i o n a t t h e g r o u n d . T h i se q u a t i o n m u s t b e s o l v e d f o r n = 0 , 1, 2 , 3 , . . . ( t h e n u m b e r o f r e f le c t i o n s a t t h eg r o u n d ) , u n t i l t h e r e i s n o r e a l s o l u t i o n f o r x , i.e . a s l o n g a s 0 < x < D . I n t h ep r e s e n c e o f a p o s i t i v e g r a d i e n t a , i t c a n b e s h o w n 21 t h a t t h e r e i s a t le a s t o n ed i r e c t r a y ( f o r n = 0 ) a n d o n e r e f l e c t e d r a y ( f o r n = 1 ). W h e n t h e r e c e i v e rm o v e s c lo s e r t o t h e g r o u n d a n d f u r t h e r f r o m t h e s o u rc e , o r w h e n t h eg r a d i e n t i n cr e as e s, th e c o m p l e x c o n j u g a t e o f t h e r o o t s m a y b e c o m e r e al ,w h i c h m e a n s t h a t a d d i t i o n a l r e f le c t e d r a y s h a v e t o b e c o n s i d e r e d . F o r n = 2,t w o a d d i t i o n a l r e f l e c te d r a y s m a y a p p e a r , a n d f o r n > 2, f o u r a d d i t i o n a lr e f le c t e d r a y s m a y a p p e a r f o r e a c h n . F o r e a c h a d d i t i o n a l r e f le c t e d r a y , t h eg e o m e t r ic a l a n d t e m p o r a l p a r a m e t e r s c a n b e d e t e r m i n e d u s in g

R~ = 2 (n - 1) R(zm) + R(zs) + R(zR) (27)zi = 2 x (n -- 1) x z(zm) + Z(Zs) + z(zR) (28)

w h e r e R (z s), R(zR ) , R(zm) , ~(Zs), v(zR) a n d V(Zm)c a n b e d e t e r m i n e d f r o m e q n s( 12 )- (2 4) . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a l t h o u g h t h e a b o v e e x p r e s s i o n s a r e a s s u m e dt o b e c o r r e c t , t h e y l e a d to n u m e r i c a l p r o b l e m s w h e n s m a l l re f l ec t in g a n g l e sa r e in v o l ve d . F o r c o m p u t a t i o n a l p u r p o s e s , o n e s h o u l d a v o i d t h e u s e o ft r i g o n o m e t r i c f u n c t io n s . W e r e p l ac e a ll t h e t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s i n v o lv e db y a n e q u i v a l e n t p o l y n o m i a l e x p r e s s i o n o f t a n (w ~). T h i s t e c h n i q u e l e a d s t om o r e p r e c i s e r e s u lt s a n d i m p r o v e s t h e o v e r a l l n u m e r i c a l ef fi ci en c y .

D e f i n i n g N a s t h e t o t a l n u m b e r o f r a y s r e a c h i n g t h e r e c e i v er ( in c l ud i n g t h ed i r e c t r a y ), t h e t o t a l s o u n d p r e s s u r e a t t h e r e c e i v e r c a n b e c a l c u l a t e d b y


11/29

He uristic mo del or outdoor soun d propagation 121s u m m i n g t h e c o n t r i b u t i o n s o f al l t h e N r a y s in v o l v e d . T h i s i s d o n e i n th em o d e l u s i n g t h e f o l l o w i n g e x p re s si o n :

N N i- 1

i = 1 t = 2 ~ = 1 ( 2 9 )w h er e i = 1 d en o t e s t h e d i r ec t r ay , an d t h e r e f o r e Q~ = 1 . A t r ep r e s en t s t h es t a n d a r d a t t e n u a t i o n o f a si ng le r a y d u e t o a t m o s p h e r i c a b s o r p ti o n ,co m p u t ed u s i n g t h e r e f r ac t ed l en g t h o f t h e p a t h , R i, z i i s t h e t r av e l t i m e o f th er ay an d Q~ is t h e eq u i v a l en t r e f l e c t i o n co e f f ic i en t a t t h e g r o u n d o f t h is r ay ,c a l c u l a t e d w i t h

a t = a ( ~ t ) " ' (30)w h e r e ~,~ i s t h e an g l e o f r e f l e c t io n a t t h e g r o u n d an d n i is t h e n u m b e r o fr e fl e ct io n s . I n t h e c a se o f a m o d e r a t e s o u n d s p e e d g r a d i e n t , th e r e i s o n l y o n ed i r e c t a n d o n e r e fl e ct e d r a y . T h e r e f o r e N = 2 , a n d e q n { 29 ) r e d u c e s t o e q n(2 5). T h i s c a s e c o r r e s p o n d s t o t h e o n e t o w h i c h H i d a k a et al . l i m i t ed t h e i rana lys i s . 9

E f f e c t o f s t r o n g n e g a t i v e g r a d i e n t: a ( 2 ~ ) '/2 + ( 2 ~ ) '/z (se e R e f. 2 2,

I n t h i s c a se , t h e m o d e l u s e s t h e d i f f r ac t i o n s o l u t i o n p r o p o s e d b y B e r ,; y an d

F i g . 6 .

R = l l a

~:4A~Ae ~ w

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / ~ / / / / / ~ / / / / / / / / / / / / / / ,U n d e r a s t r o n g n e g a t i v e s o u n d s p e e d g r a d i e n t { a n d / o r a t l o n g d i s t a n c e) , t h e r e c e iv e r

c a n b e i n t he s h a d o w z o n e , w h i c h n o r a y en t e rs .


12/29

1 2 2 A . L ' E s p b r a n c e e t a l .

D a i g l e 22 i n s t e a d o f t h e g e o m e t r i c a l a c o u s t i c s o l u ti o n . T h u s , i n t h e m o d e l t h es o u n d p r e s s u r e i n t h e s h a d o w z o n e i s e v a l u a t e d w i t h

P ( r , z ) - - -t e J " / 6 V H~ol ) (k . r ) x A i [ b " - - (z s f l ) e 2 i " /3 ] A , [ b . - - ( z d l ) e 2i"/3]l / ' ~ A ' ~ [ b . ] 2 - b . [ A i ( b . ) ] 2" (31a)

w h e r eb . = z e 2 i " / 3 = ( k 2n - k 2 ) l 2 e 21n/3

a r e t h e z e r o s o f th e e x p r e s s i o nA ' i ( b . ) + q eU ' /3 A + ( b . ) = 0

w h e r eq = j k o p l C / Z Gz = (k 2 - k 2 ) l 2l = ( R / 2 k ~ ) ~/3

R = 1 / a

k o = o g e ( o )w i t h

(31b)

(31 c)

w h e r e c ( 0 ) i s t h e l o c a l s o u n d s p e e d a t t h e g r o u n d s u r f a c e . I n e q n ( 3 1 ) , A i(1 )d e n o t e s t h e A i r y f u n c t i o n , A ' is i ts d e r i v a ti v e , a n d H o i s t h e H a n k e l f u n c t i o no f th e f ir st k i n d a n d o f o r d e r z e r o. T h e t a s k o f e v a l u a t i n g t h e s o l u t i o n s b , o fe q n (3 1c ) is s i m p l e o n l y i n t h e l i m i t i n g c a s e s o f a r i g i d s u r f a c e ( Z G ~ 0 ) f o rw h i c h a s y m p t o t i c e x p r e s si o n s e x is t. I n t h e i n t e r m e d i a t e r a n g e o f g r o u n ds u r fa c e s h a y i n g a f in i te im p e d a n c e , e q n ( 3 1c ) m u s t b e s o l v e d n u m e r i c a l l y f o rb , , fo r e a c h v a l u e o f n r e q u i r e d i n t h e s e ri es . T h i s i n v o l v e s s o l v i n g t h e z e r o s o fa c o m p l e x f u n c t io n w h i c h d e p e n d s o n t h e c o m p l e x v a ri a b le b . A m o n g t h em a n y n u m e r i c a l m e t h o d s t h a t e x i s t t o s o l v e s u c h p r o b l e m s , t h eN e w t o n - R a p h s o n a l g o r it h m w a s f o u n d t o b e s im p l e a n d a c cu ra te .

I n m o s t s i tu a t io n s o f o u t d o o r s o u n d p r o p a g a t i o n , t h e H a n k e l f u n c t i o na n d t h e A i r y f u n c t i o n s t h a t a p p e a r i n t h e n u m e r a t o r o f e q n (3 1a ) m a y b er e p r e s e n t e d b y t h e i r a s y m p t o t i c e x p r e s si o n s. T h i s s i m p l i fi c a t io n c u t s d o w nt h e c o m p u t a t i o n t i m e . F u r t h e r m o r e , i f t h e r e c e i v e r i s d e e p w i t h i n t h es h a d o w , t h e i n fi n i te s u m i s w e l l a p p r o x i m a t e d b y i t s f ir s t t e r m . I n t h e g e n e r a lc a se , t w o t e r m s a r e s u ff ic ie n t t o o b t a i n c o n v e r g e n c e w i t h i n t h e w h o l e s h a d o wz o n e , a n d , t o s o m e e x te n t , i n t h e z o n e n e a r t h e s h a d o w b o u n d a r y . F i n a l l y ,o n e m a y n o t e t h a t t h i s d i f fr a c t io n s o l u t i o n r e m a i n s v a l id a b o v e t h e s h a d o wb o u n d a r y a n d c a n t h e r e f o r e b e c o m p a r e d w i t h t h e g e o m e t r ic a l s o l u ti o n .W h e n c o m p a r i n g t hi s d if fr a c ti o n s o l u ti o n w i t h t h e g e o m e t r ic a l ra y s o l u t i o n


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Heuristic model for outdoor sound propagation 12 3

n ea r t h e l i m i t i n g r ay , s l i g h t d i f f e r en ces a r e , h o wev e r , o b s e r v ed . T h i s p o i n tw i ll b e d i s c u ss e d i n d e t a il b e l o w , in t h e s e c ti o n o n a p p e a r a n c e o f a d d i t i o n a lr ays .Effects of atmospheric turbulenceA s d i s cu s se d p re v i ou s ly , u n d e r d o w n w i n d p r o p a g a t i o n t h e n u m b e r o f r a y sr e a c h i n g t h e r e c e i v e r w i ll v a r y f r o m t w o t o N r a y s f o r a g i v e n a m p l i t u d eg r a d i e n t a n d s o u r c e - r e c e i v e r g e o m e t r y . I n t h e p r e s e n c e o f a t m o s p h e r i ct u r b u l e n c e , th e r e s u l t in g p a r ti a l c o h e r e n c e b e t w e e n t h e r a y s m u s t b e t a k e ni n t o a c c o u n t w h e n t h e y a r e s u m m e d . T h e i n f l u e n c e o f a t m o s p h e r i ct u r b u l e n c e o n t h e p r o p a g a t i o n o f s o u n d h a s b e e n s tu d i e d b y C h e r n o v 23 a n dT a t a r s k i . 24 T h e i r w o r k h a s b e e n a d a p t e d t o t h e c a s e o f d i re c t a n d r e fl e ct e da c o u s t i c a l r a y s i n t h e p r e s e n c e o f t h e g r o u n d b y D a i g l e a n d c o w o r k e r s . 3'25'26A f u r t h e r e x t en s i o n b y C l i ff o r d an d L a t a i t i s 27 l e ad s t o t h e f o l l o wi n gp r a c t i c a l f o r m u l a t i o n :

- -=1 IQI2+ 21QI2)=Rf+ RIR2 OS [k(R 2- R1) + Arg(Q)]F (32)w h e r e F is a n e s t i m a t i o n o f t h e c o h e r e n c e b e t w e e n t h e tw o r a y s a n d ( )e x p re s se s a t im e a v e r a g e . C o n s i d e r i n g t w o a d j a c e n t r a y s w i t h a m a x i m u ms e p a r a t i o n b e t w e e n t h e m e q u a l t o p , F c a n b e e x p r e s s e d a s t h e i r m u t u a lc o h e r e n c e f u n c ti o n , a n d c a n b e w r i t te n a s

F ( R , p ) = ex p [ - - - /(n)2 k2R L(1 - c~(p/L)/(p/L))] (33)= ~p/L e-t~ dt (34)Jo

T h e c o n s t a n t s ( /~ 2 > a n d L a r e r e s p e c ti v e ly t h e f l u c t u a t i n g in d e x o fr e f r a c t i o n a n d t h e o u t e r s c a l e o f t h e t u r b u l e n c e . T h e i r v a l u e s c a n b ed e t e r m i n e d f r o m m e t e o r o l o g i c a l m e a s u r e m e n t s , a l t h o u g h d a t a c o r r e s p o n d -i n g t o t y p i c a l c a s e s h a v e b e e n g i v e n b y D a i g l e et al. 26

E q u a t i o n (3 3) d i s p la y s a s li g h t p r o b l e m w h e n d e t e r m i n i n g t h e s e p a r a t i o np . A l t h o u g h i t s h o u l d b e t h e m a x i m u m t ra n s v e rs e s e p a ra t io n , c o m p a r i s o nw i t h e x p e r im e n t s s h o w s d i s cr e p a n c ie s w h i c h c a n b e a v o i d e d t h r o u g h t h e u s eo f h a l f t h e e x p ec t ed s e p a r a t i o n ( see R e f . 2 6). As a co n s eq u en c e , i t i s b e l i ev edt h a t t h e e ff ec ti ve s e p a r a t i o n s h o u l d b e c a l c u l a t e d a s h a l f th e a c t u a l o n e i n an o n - r e f r a c t i v e c a s e . F o r t h e r e f r a c t i v e c a s e , e x a c t d e t e r m i n a t i o n o f t h es e p a r a t i o n b e t w e e n r a y s m a y b e c o m e t e d i o u s w h e n n u m e r o u s r a y s a r ei n v o l v e d . T h e r e f o r e , a n e s t i m a t e o f a n e f fe c ti ve s e p a r a t i o n w o u l d a c h i e v eo n l y s l ig h t d if fe r e n c e f r o m a n e x a c t c a l c u l a t i o n , b u t w o u l d p e r m i t a f a r b e t t e rn u m e r i c a l e ff ic ie n cy . T h e m a i n f a c t c o n c e r n i n g th e s e p a r a t i o n is th a t i t


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124 A. L'Espbrance et al.

s h o u l d b e r e l a ti v el y sm a l l b e t w e e n r a y s b e l o n g i n g t o t h e s a m e p a t h a n dl a r g e r b e t w e e n o t h e r r ay s. A r o u g h e s t i m a t i o n o f a n e ff ec tiv e s e p a r a t i o n c a nb e g i v e n b y t h e d i f fe r e n c e o f t h e a v e r a g e h e i g h t s o f t h e t w o r a y s, w h i c h c a n b ec o m p u t e d v e r y e a s i ly f o r a g i v e n r e f le c t i o n a n g l e ~bc . I t sh o u l d b e n o t e d t h a tt h is e s t i m a t i o n l e a d s t o h a l f t h e m a x i m u m s e p a r a ti o n i n t h e n o n -r e fr a c ti v ec a s e , a n d c a n b e c o m p u t e d v e r y e a s i l y f o r a g i v e n r e f l e c t i o n a n g l e ~ .General algorithmT h e g e n e ra l a l g o r i t h m o f th e g e o m e t ri c a l r a y m o d e l p r o p o s e d i s s h o w n i nF i g . 7. T h e f ir s t s t e p is t o s o l v e e q n (2 6) a n d f i n d t h e t o t a l n u m b e r o f r a y p a t h s( N ) t h a t m a y e x is t b e t w e e n t h e s o u r c e a n d t h e r e c e iv e r i n t h e c a se o f ap o s i t i v e g r a d i e n t , o r i f t h e r e c e i v e r i s i n t h e s h a d o w z o n e i n t h e c a s e o f an e g a t i v e g r a d i e n t .

I f N > 0 , t h e t o t a l f ie ld c a n b e c a l c u l a t e d w i t h t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z e de x p r e s s i o n :

N N i- 1

i=1 /=2 j=l (35)w i t h

A 'IQ,IC , - - -R ,w h e r e i = 1 d e n o t e s t h e d i r ec t r a y a n d F ,~ is th e m u t u a l c o h e r e n c e f u n c t i o nb e t w e e n r a y s i a n d j, c o m p u t e d u s i n g e q n ( 33 ), w i t h a n e ff ec ti ve s e p a r a t i o n pe s t i m a t e d a s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . I f t h e f l u c t u a t i n g i n d e x ( / ~ 2 ) isz e r o , F o = 1 ; a n d e q n (3 5) is r e d u c e d t o e q n ( 29 ), a n d i f N = 2 ( in t h e c a s e o f am o d e r a t e s o u n d s p e e d g r a d ie n t ), e q n ( 35 ) is r e d u c e d t o e q n ( 24). O n t h e o t h e rh a n d , i f N = 0 , t h e s o u n d p r e s s u r e i s c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o e q n ( 3 0 ) .

A p a r t f r o m b e n d i n g t h e r a y s a n d p o s s i b l y i n c r e a s i n g t h e i r n u m b e r , t h er e f r a c t io n m a y a l so c h a n g e t h e g e o m e t r i c a l s p r e a d i n g o f t h e r ay s . T h i sp h e n o m e n o n ha s b ee n s t ud i ed b y A n d e r s o n e t a l ) s a n d J a c o b s o n . 29 I na d d i t i o n , o n e m a y a l s o t a k e i n t o a c c o u n t t h e p h a s e s h i f t o c c u r r i n g a t ac a u st ic , a s d i sc u s s e d b y B r e k h o v s k i k h . i s F o r t h e m o m e n t , t h e se l a st t w oa s p e c t s a re n e g l e c te d i n t h e m o d e l . T h e f o l l o w i n g s e c ti o n s w ill s h o w t h a tt h e s e s im p l i f ic a t io n s c a n b e u s e d w i t h o u t r e d u c i n g t h e o v e r a ll u s e f u l n es s o ft h e m o d e l .F i n a ll y , o n e m a y n o t e t h a t t h e e ff ec t o f t u r b u l e n c e o n t h e s o u n d l ev el i n t h es h a d o w z o n e i s n o t t a k e n i n t o a c c o u n t i n th i s m o d e l , a s th e r e is n o s i m p l es o l u t i o n a v a i l a b l e t h a t c o u l d b e i n t r o d u c e d i n t h e m o d e l t o t a k e s u c h ap h e n o m e n o n i n t o c o n s i d e ra t io n . H o w e v e r , r e s e a r ch o n t u r b u le n c e e ff ec ts is


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Heurist ic mo del fo r outdoor sound propagation 125

HEUR ISTIC M OD EL OF SOUN D PROPAGATIONIs the receiver in the shadow zone (for a < 0)7

(D > (2 zs/a) 1/2 + {2 zR/a)1/2)

1N o

Determinat ion of the N ray pa ths andassoc i a t ed geome t r i c a l pa rame t e r s fo r t he

g i ven geome t ry speed grad i en t ' a '(see eqn 26)II

Eva l ua t i on of t he compl ex ampl i t udeof each ray, Ci

(see eqn s 9 and 30)i iI i

Computa t ion of the tota l sound pressurec o n s i d e r i n g t h e p r o p a g a t i o n t i m e ( x i ) a n d

t urbu l ence be t ween each ray~ i (F i j )(see eqn 29)

I Com puta t ion of the sound Ire s sure l eve lG e n e r a l a l g o r i th m o f th e p r o p o s e d m o d e l.i g . 7 .

Y es

Computation of thedi ffrac ted pressure in

the shadow zone~see et n 31)

t a k i n g p l a c e , 3 a n d i t s h o u l d b e p o s s i b l e i n t h e n e a r f u t u r e t o t a k e t h e s ee f fe c ts i n t o a c c o u n t .

P A R A M E T R I C A N A L Y S I SE ffec t o f tu rb u l en ce an d mod era te grad i en tsF i g u r e 8 g i v e s t h e a t t e n u a t i o n d u e t o t h e g r o u n d a s a f u n c t i o n o f t h ef r e q u e n c y f o r a s o u r c e a n d a r e c e i v e r o v e r a f i n i t e g r o u n d i m p e d a n c e


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126 A . L ' E s p b r a n c e et al .

) o : I x l O 5

- ' i l20u~N -I0

- 2 0 < = - 6

z o ) o =_ i= 10-5~ -20

-3010z 103 104

F R E O U E N C Y ( H z }F i g . 8 . A t t e n u a t i o n v e r s u s f r e q u e n c y f o r a s o u r c e a n d a r e c e i v e r o n a f i n i t e i m p e d a n c eg r o u n d ( z s = ] - 8 m ; z ~ = ! '5 m , D s R = 1 0 0 0 m a n d a = 3 1 0 s R a y l s M K S ) . C u r v e s a - -c g i v et h e a t t e n u a t i o n f o r t h r e e s o u n d s p e e d g r a d i e n t s ( a = + ! x ] 0 - ~ , 0 a n d - ! x 1 0 - 5 m - 1 ) a n df o u r v a l u e s o f f l u c t u a t i n g r e f r a c t iv e i n d e x i n e a c h ca s e ( ( p 2 ) = 0 , 1 x 1 0 - 7 , 5 ] 0 - 7 a n d

1 1 0 - 6 ) .( Zs = 1 " 8 m z R = ] .5 m , D s R = 1 0 0 0m a n d a = 3 x 1 02 R a y ls M K S ) . T hea t t e n u a t i o n s ( s o u n d p r e s s u r e l e v e ls re l a t iv e t o f r e e fi el d) a r e g i v e n f o r t h r e es o u n d s p ee d g ra di e nt s , a = + l x l 0 - S m - 1 , a = 0 a n d a = - l x1 0 - 5 m - 1 ( F i g . 8(a )-(c )), a n d f o r f o u r v a l u e s o f f l u c t u a t i n g r e f r a c t i v e i n d e x( p 2 ) (0 , 1 x 1 0 - 7 , 5 x 1 0 - ~ a n d 1 x 1 0 - 6 ) f o r e a c h o f t h e s e s o u n d s p e e dg r a d i e n t s . I n e v e r y c a se , t h e o u t e r s c a le o f th e t u r b u l e n c e L h a s b e e n f i x ed t o1 m . T h e s e c a se s c o r r e s p o n d t o t h e c a se s o f m o d e r a t e s o u n d s p e e d g r a d i e n t ss t ud i e d b y H i d a k a e t a l . , 9 b u t a l s o i n c l u d e t h e e f f ec ts o f t u r b u l e n c e .U n d e r a m o d e r a t e p o s i t iv e s o u n d s p e e d g r a d i e n t ( a = 1 x 1 0 - 5), t h e g r o u n da t t e n u a t i o n is r e d u c e d b e c a u s e o f t h e in c r e a se o f t h e r e fl e c ti o n a n gl e . O n t h eo t h e r h a n d , t h e t i m e d i f f er e n c e b e t w e e n t h e d i r e c t a n d t h e r e f le c t e d r a y s s h i ft st h e g e o m e t r i c a l i n t e r f e r e n c e p a t t e r n t o w a r d s l o w f r e q u e n c i e s . F o r am o d e r a t e n e g a ti v e g r a d ie n t , t h e o p p o s i t e p h e n o m e n a a r e o b se r v ed . W h e nt h e e ffe ct o f t u r b u l e n c e i s in c l u d e d , t h e c o h e r e n c e b e t w e e n t h e d i r e c t a n d t h er e fl e c te d r a y s is re d u c e d . T h u s f o r e a c h c a s e o f g r a d i e n t ( p o s i ti v e , n e u t r a l a n dn e g a ti v e) , t h e g r o u n d a t t e n u a t i o n w h i c h is d u e t o a p h a s e s h if t is r e d u c e d a st h e f l u c t u a t i n g r e f r a c t i v e i n d e x in c r e a s e s. A t h i g h f r e q u e n c i e s , t h e a m p l i t u d eo f th e a t t e n u a t i o n d u e t o g e o m e t r i c a l i n te r fe r e n c e p a t t e r n s b e t w e e n t h ed i r e c t a n d t h e r e f l e c te d r a y s is a ls o r e d u c e d . F o r l a r g e v a l u e s o f t h ef l u c t u a t i n g r e f r a c t i v e i n d e x a n d / o r l a r g e d i s t a n c e s , t h e g r o u n d w a v e


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Heurist ic m od e/fo r outdoor sound propagation 12 7

a t t e n u a t i o n a n d t h e g e o m e t r i c a l i n t e r f e r e n c e p a t t e r n s w i l l d i s a p p e a r . T h er e s u l ti n g a t t e n u a t i o n w i l l b e a c o n s t a n t + 3 d B , c o r r e s p o n d i n g to t h eq u a d r a t i c s u m o f t h e d i re c t a n d r e fl ec t ed r ay s .A p p e a r a n c e o f a d d i t io n a l ra y sF i g u r e 9 g iv e s t h e a t t e n u a t i o n a t 1 00 0 H z a s a f u n c t i o n o f d i st a n c e f o r s t r o n gp o s i t iv e g r a d i e n t, a = 1 x 1 0 - 4 m - 1 , f o r a s o u r c e a n d a r e c e iv e r o n h a r dg r o u n d ( F ig . 9 (a ), w i t h tr = 1 x l 0 s R a y l s M K S ) a n d o n g r o u n d o f f i n it ei m p e d a n c e ( F i g . 9 (b ), w i t h t r = 3 x 1 05 R a y l s M K S ) . A s b e f o r e , t h e s o u r c ea n d r e c e i v e r h e i g h t s a r e 1 . 8 m a n d 1 . 5 m , r e s p e ct i v el y . T h e s o l i d c u r v er e p r e s e n t s t h e c a l c u l a t i o n w i t h t h e g e o m e t r i c a l r a y m o d e l f o r w h i c h t h ef l u c t u a t i n g r e f r a c t i v e i n d e x ( # 2 > = 1 x 1 06 is u s e d . T h e d a s h e d c u r v e iso b t a i n e d b y t h e f a st f ie ld p r o g r a m f o r t h e s a m e s o u n d s p e e d pr o fi le , i n t h ec a s e o f a n o n - f l u c t u a t i n g re f r a c t iv e i n d e x .F o r t h is c o n f i g u r a t i o n , t h e f ir st t w o a d d i t i o n a l r a y s i n t h e g e o m e t r i c a l r a ym o d e l a p p e a r a t a b o u t 4 5 0 m , c a u s i n g a s u d d e n in c r e a se in t h e s o u n d l ev e l( s o l i d c u r v e ) . A s t h e d i s t a n c e i n c r e a s e s , f u r t h e r a d d i t i o n a l r a y s a p p e a r ,r e s u l t i n g i n i n c r e a s e d s o u n d p r e s s u r e l e v el . T h e d i s c o n t i n u i t i e s c a u s e d b y t h e

1 0 . . . . .

0 "

- 1 0

- 2 0 10 11111 1000

- 1 0

- 2 0 1 0b) 0"= 3 x 10 s Rayls m .k .s .

1 0 0 1 0 0 0

R A N G E (m )F i g , 9 . A t t e n u a t i o n c a lc u la t e d w i t h t h e l as t f ie l d p r o g r a m m e t h o d ( - - - - ) a n d w i t h t heg eo m e t r i c a l r ay ap p r o ac h ( ) : ( a ) f o r h a r d g r o u n d ( a = l x 10 a R ay l s ( M K S ) ; ( b ) f o r s o f t

g r o u n d ( a = 3 x l 0 s R a y l s M K S ) .


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128 A. L'Espbrance et al.s u d d e n a p p e a r a n c e o f th e s e a d d i t i o n a l r a y s r e s u lt in s o m e d i f fe r e n ce sb e t w e e n t h e t w o c u rv e s. A t d i s ta n c e s b e y o n d 1 k m t h e a p p e a r a n c e a t a b o u t4 5 0 m o f y e t o t h e r r a y s c a u s e s a d d i t i o n a l d i f f er e n c e s w h i c h c a n r e s t ri c t t h ev a l i d i t y o f th e p r o p o s e d m o d e l f o r v e r y l a rg e d i st a n c e s. T h e a g r e e m e n tb e t w e e n t h e d a s h e d a n d s o l i d c u r v e s a l s o s u g g e s ts t h a t f o r t h is ca s e t h ef l u c t u a t i n g r e f r a c t i v e i n d e x c a n b e n e g l e c t e d .B e g i n n i n g o f t h e sh a d o w z o n eF i g u r e s 1 0(a ) a n d (b ) g i ve f o r h a r d a n d f in i te i m p e d a n c e g r o u n d r e s p e c ti v e l y( a = 1 x l 0 s R a y l s M K S a n d tr = 3 x 105 R a y l s M K S ) , t h e a t t e n u a t i o n a s af u n c t i o n o f d i s t a n c e f o r a n e g a t i v e g r a d i e n t ( a = - 1 x 1 0 - 5 m - 1), a n d t h ec o r r e s p o n d i n g f l u c t u a t i n g r e f r a c t i v e i n d e x u s e d is ( # 2 ) = 5 1 0 - 7 . I n b o t hc a se s , t h e a t t e n u a t i o n i s p r e s e n t e d f o r f o u r f r e q u e n c i e s , f = 1 00 , 5 0 0, 1 0 0 0a n d 2 0 0 0 H z . O n c e a g a i n , t h e s o u r c e a n d r e c e iv e r h e i g h t s a r e 1.8 m a n d 1"5 mr e s p e c t i v e l y . F o r t h e s e v a l u e s , t h e s h a d o w z o n e i s d e t e c t e d n e a r 1 1 0 0 m .B e y o n d t h a t d i s t a n c e , th e p r o g r a m u s e s th e d i f f r a c t i o n s o lu t i o n , e q n (3 2),i n s t e a d o f t h e g e o m e t r i c a l r a y s o l u t io n .

T h e r e e x i st s m a l l d i s c o n t i n u i t i e s b e t w e e n t h e g e o m e t r i c a l r a y s o l u t i o n a n dt h e d i f f ra c t i o n s o l u t i o n i n th e c a s e f o r h a r d g r o u n d . T h e s e d i s c o n t i n u i t i e ss e em t o b e m o r e i m p o r t a n t in t h e ca s e o f f in i t e g r o u n d i m p e d a n c e . T h e s ed i ff e re n c e s a r e p o s s i b ly d u e t o t h e g e o m e t r i c a l a c o u s t i c a p p r o x i m a t i o n ,

IOP ~ - " - : - ~ 5 0 0 H zo ~ - ~ l o o o H,- - 2 0 0 0 H z, o F -

' ~ - 3 0

- 4 0- 5 0 i = a n i n l l l i S O ~ . . . . . .i 0 z 1 0 3 1 0 4

R A N G E ( m )

Fig. 10. A tten ua tion versus distance at 1130,500, 1000 and 2000 t tz in presence of a negativesoun d speed gradient a = - 1 x 10- s m - l (zs = 1"8 m , za = 1"5 m ). (a) a = l x 10s Rayl s M KS;(b) a = 3 x 105 Ray ls M KS . Near 1100m, the receiver reaches the shad ow zon e and th en th ediffraction solution is used. The dashe d curves ( - - - - ) show the results given by thediffraction solution in the illuminated zone.


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H e u r i s ti c m o d e l f o r o u t d o o r s o u n d p r o p a g a ti o n 129w h i c h m a y n o t b e a p p r o p r i a t e o r v a li d w h e n t h e r e ce iv e r m o v e s n e a r e r t h es h a d o w z o n e . T h e i m p o r t a n c e o f t he s e d i s c o n t i n u i ti e s w i ll b e e v a l u a t e d i nt h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , w h e r e t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r ec o m p a r e d .W e n o t e t h a t t h e g e o m e t r i c a l c o n f i g u r a t i o n u s e d i n t h e se fi g u re sc o r r e s p o n d s t o t h e o n e u s e d b y P a r k i n a n d S c h o l e s i n th e i r e x p e r i m e n t s . 3xT h e r e f o r e , i n t h e c a s e o f a n e g a t i v e g r a d i e n t , a = - 1 x 1 0 - 5 m - 1 ( F i g . 10 (b )),d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l r e s u l t s c o u l d b ee x p e c t e d a t h i g h f r e q u e n c ie s f r o m 4 0 0 m , a s w il l b e o b s e r v e d i n t h e s e c t i o n o nc o m p a r i s o n w i t h t h e r e su l ts o f P a r k i n a n d S c ho le s. H o w e v e r , a s m e n t i o n e db y B e r r y a n d D a i g l e , 22 i t c o u l d b e p o s s i b l e t o m i n i m i z e t h e s e d i s c o n t i n u i t i e sb y u s i n g t h e d i f f ra c t i o n s o l u t i o n e v e n b e f o r e t h e s h a d o w z o n e . T h e r e su l tso b t a i n e d i n t h i s m a n n e r a r e i l l u s t ra t e d b y t h e d a s h e d c u r v e s i n F i g . 1 0(a ) a n d(b ). T h i s p a l li a ti v e s o l u t i o n is, h o w e v e r , li m i t e d b y t h e c o m p u t a t i o n t i m e o ft h e a c t u a l d i f f r a c t i o n s o l u t i o n , w h i c h i n c r e a s e s r a p i d l y w h e n t h e r e c e i v e r i s i nt h e i l l u m i n a t e d z o n e a n d m o v e s a w a y f r o m t h e s h a d o w z o n e . M o r e o v e r , t h isd i ff r a ct io n s o l u t i o n s t o p s c o n v e r g i n g w h e n t h e r e c ei v er i s t o o f a r f r o m t h es h a d o w z o n e ( in F i g . 1 0(b ), t h e b e g i n n i n g s o f t h e b r o k e n l in e s a re t h e f i r stc o n v e r g i n g p o i n ts ) .

C O M P A R I S O N W I T H O T H E R T H E O R I E S A N D E X P E R I M E N T A LD A T AC o m p a r i s o n w i th t h e r e s u lt s o f R a s p e tR e c e n tl y , W h i t e a n d G i l b e r t 7 h a v e c o m p a r e d t h e p a r a b o l i c e q u a t i o n w i t ht h e e x p e ri m e n t a l d a t a o b t a i n e d b y R a s p e t e t a l . 3 2 I n t h e l a t t e r e x p e r i m e n t , t h es o u r c e a n d r e c e i v e r h e i g h t s w e r e 3 0 m a n d 1-5 m r e s p e c ti v e l y , a n d t h e g r o u n di m p e d a n c e c o u l d b e r o u g h l y e s t i m a t e d w i t h t r = 3 x 105 R a y s M K S .F i g u r e s 1 1 a n d 12 c o m p a r e s o m e o f t h e re s u lt s p r e s e n t e d b y W h i t e a n dG i l b e r t w i t h t h o s e o b t a i n e d u s in g t h e p r o p o s e d g e o m e t r ic a l ra y m o d e l .T h e s e f ig u r e s g i v e t h e a t t e n u a t i o n a t 4 0 H z a n d 6 3 0 H z r e sp e c ti v e ly , a s af u n c t i o n o f t h e d i s t a n c e f o r fiv e d i ff e re n t s o u n d s p e e d g r a d i e n t s : a = - 2 x1 0 - 4 , - 1 x 1 0 - 4 , 0 , 1 x 1 0 - 4 a n d 2 x 1 0 - 4 m -x . T h e s e v a l u e s h a v e b e e nd e t e r m i n e d b y b e s t fi t to t h e e x p e r i m e n t a l c u rv e s p r e s e n t e d b y W h i t e a n dG i l b e r t. 7 F i g u r e s 1 3(a) a n d (b ) c o m p a r e t h e s e e s t i m a t e d l i n e a r s o u n d s p e e dp r o fi le s w i t h t h e l o g a r i t h m i c g r a d i e n t u s e d b y W h i t e a n d G i l b e r t. 7 I t isi n t e r e st i n g to n o t e t h a t t h e s l o p e s o f t h e t w o s o u n d s p e e d p ro f i le s a re s i m i l a ra t 15 m , w h i c h is a p p r o x i m a t e l y t h e m e a n h e i g h t b e tw e e n t h e s o u r ce a n d t h er e c ei v e r (1 5 m ) . T h u s , a s a f i rs t a p p r o x i m a t i o n , w e m a y s u g g e s t t h a t t h e l i n e a rs o u n d s p e e d p r o f i le a c a n b e e v a l u a t e d a c c o r d i n g t o t h e s l o p e o f t h e


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130 A. L'Espbranceet al.

oy o :~ - - - - - -

+ + - - - \ 1 I- , o [ - , , ) o , - , , , o ; " , ,=o- I 0 O " +~ C ) O = I I [I,-

I I II O I +t - " - . * - - - ~ - ~ - - - ' ; I

- I 0 ) o ' 2 1 0 4H I I 4 .1 I

0 4 0 0 8 0 0 1 2 0 0 1 6 0 0R A N G E ( m )Fig. I 1. Attenuation versus distance at 40 Hz for five values of sound speed gradient: a =- 2 x 1 0 -4 - l x 10 -4 0, +1x10 -4 and + 2x 10-4m -1. +, and + representmaximum, mean and minimum experimental results of White and Gilbert;26parabolic equation method; . . . . , geometrical ray model.logarithmic profile at the mean height between the source and the receiverwhen the sound speed profile is known or defined by a logarithmic profile:

a ~ C [ (36)6z [(=s+ =.)/2However, when studying the atten uation as a function o f distance from thesource, because the rays are bent u pward (or downward), the linear soundspeed grad ient t hat we need to consider for a receiver near the source may begreater (or smaller) than that used for a receiver far from the source.Nevertheless, the following comparisons will show that, as a firstapprox imatio n a nd for propagati on distance of less than 1 kin, the use of aconstant linear sound speed profile over the propagation range studiedappears to be acceptable.

Figures 11 and 12 show that the results obt ain ed with the geometrical raymodel (dashed curves) are in good agreement with the experimental data and


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Heu rist ic mo del fo r outdoor sound propagation 131

Fig. 12.

2 0 '

- 2 0- 4 ( " ' x .- 6 (- S o - l ' - 2 x l O " 4 "~ / ~ ~

I r ~ .- I 0 0 I I

i o r a r v ~ : -.~ - J _ _ _~ + 1- C + , " - k ' ~ - ' ' ' ~ ' ~ " ~ , - ~ 1- S O / I I i i

~ - 2 o p ~ . o + +bJ I I I: . . . . I . . . . . - 1 =- 2 0 i I I

- - i - - - - . . . . .

-2 I i0 4 0 0 8 0 0 1 2 0 0 1 6 0 0

R A N G E ( m )

A s F i g . 1 1 e x c e p t f o r 6 3 0 H z . - . . . . , c a l c u l a t i o n w i t h o u t t u r b u l e n c e (i.e . ( # 2 ) = 0 ).

8 0

7 06 O

E 5 0I --I- 4 0m /z o / , ~ ' - - c t , ) ~ o t r , , i , , o % )I 0 ' j k ~ ' - - C ( z ) C o + 0. 4 I n ( z )

f50 I I I I L3 4 0 3 41 3 4 2 3 4 3 3 4 4

S O U N D S P E E D C ( m s "I)

8 O

3 O2 0 2 x l O - 4 z )

, o / . / - - c , , , . ~ o . O S = , , ,0 ~., -"I. . I I I =

341 3 42 343S O U N D S P E E D C ( m I "1 ]

F i g . 1 3. C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e lo g a r i t h m i c s o u n d s p e ed g r a d i e n t u s e d b y W h i t e a n dG i l b e r t a n d t h e e s t i m a t e d l i n e a r s o u n d s p e e d p r o f il e s u s e d i n t h e g e o m e t r i c a l r a y m o d e l .


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132 A. L'Espbrance et al.w i t h t h e p a r a b o l i c e q u a t i o n ( u n b r o k e n l in e). I n t h e c a se o f t h e s t r o n g e s tp o s i t i v e g r a d i e n t , a = 2 x 1 0 - 4 , w e c a n o b s e r v e a r is e in s o u n d l e v e ls n e a r1 6 0 0 m , e s p e c i a ll y i n F i g . l l( e ) , i n d i c a t i n g t h e a p p e a r a n c e o f n e w r a y s .H o w e v e r , t h e a p p e a r a n c e o f th e s e n e w r a y s is s u d d e n f o r t h e c a s e o f t h eg e o m e t r i c a l r a y s o l u t i o n , c o m p a r e d w i th t h e p r o g r e s s iv e in c r e a s e in s o u n dl ev e l f o r t h e p a r a b o l i c e q u a t i o n . T h i s d i ff e re n c e is d u e t o t h e h i g h - f r e q u e n c ya p p r o x i m a t i o n o f t h e g e o m e t r ic a l r a y th e o r y w h i c h m a k e s t h e a p p e a r a n c e o fn e w r a y s s u d d e n , a n d t h u s w i t h o u t e f fe ct o n t h e r e c ei v e r b e l o w t h e d i s t a n c ea t w h i c h t h e s e r a y s a p p e a r ( se e F i g . 9). T h i s p o i n t i n d i c a t e s a l i m i t a t i o n o f t h em o d e l , a n d t h e o r e ti c a l d e v e l o p m e n t s a r e in p r o g r e s s to i n t r o d u c e at r a n s i t i o n s o l u t i o n .

I n t h e c a s e o f n e g a ti v e s o u n d s p e e d g r a d i e n ts ( a = - 2 x 1 0 - 4 a n da = - 1 x 1 0 - 4), t h e s h a d o w z o n e i s d e t e c t e d a t 6 0 0 m a n d 9 0 0 m r e s p e c t i v e l y( see F igs 1 l ( a ), (b ) an d 12 (a ), ( b)) . B ey on d the se d i s t anc es , th e r ece iv e r is in thes h a d o w z o n e a n d t h e d i f fr a c ti o n s o l u t io n r e p l ac e s t h e g e o m e t r i c a l so l u t io n .I n F i g s 1 2 ( a ) a n d ( b ) t h e r e s u l t s s h o w t h e g e o m e t r i c a l s o l u t i o n w i t h a n dw i t h o u t t h e effe cts o f t u r b u le n c e ( d a sh e d c u r ve a n d d a s h - d o t - d a s h c u rv e sr e sp e c ti v e ly ) . T h e v a l u e s o f t h e f l u c t u a t i n g r e fr a c t i v e in d e x u s e d a r e ( # 2 ) =1 x 10 -6 a n d ( # 2 ) = 2 x 10 - 6 fo r la [ = 1 x 10 -4 a n d lal = 2 x 10 -4r e sp e c ti v el y . A s d i s c u s s e d in t h e s e c ti o n o n t h e b e g i n n i n g o f t h e s h a d o wz o n e , t h e r e e x i s t s o m e d i s c o n t i n u i t i e s b e t w e e n t h e g e o m e t r i c a l a n d t h ed i f f r a c t i o n s o l u t i o n , e s p e c i a l l y a t m e d i u m a n d h i g h f r e q u e n c i e s i n t h ep r e s e n c e o f a f in i te i m p e d a n c e g r o u n d , b u t i n F i g s l l ( a ) , l l ( b ) , 1 2(a) a n d1 2 ( b ) , t h e d i s c o n t i n u i t i e s a r e m o r e r e l a t e d t o t h e f a c t t h a t t h e d i f f r a c t i o ns o l u t i o n a c t u a l l y u s e d i n t h e m o d e l d o e s n o t i n c l u d e t h e e f fe ct o f t u r b u l e n c e .A s d i s c u ss e d b y W h i t e a n d G i l b e rt , 7 t u r b u l e n c e m a y s c a t te r a c o u s t ic a le n e r g y f ro m t h e i ll u m i n a t e d z o n e t o t h e s h a d o w z o n e a n d t h u s i n c r e a se t h es o u n d l e ve ls i n t h e s h a d o w , a p h e n o m e n o n w h i c h is c u r r e n t l y u n d e r s t u d y . 3

T h e p r e v i o u s c o m p a r i s o n s s h o w t h a t , in g e n e ra l , t h e p a r a b o l i c e q u a t i o na n d t h e g e o m e t r i c a l r a y m o d e l a re i n r ea s o n a b l e a g r e e m e n t a n d c o u l dp r o v i d e g o o d e s t im a t i o n s o f th e s o u n d p r e ss u r e le ve l u n d e r w i n d s p e edg r a d i e n t , e x c e p t f a r i n t o t h e s h a d o w z o n e w h e n s c a t t e r i n g e ff e ct s a r e p r e s e n t .C o m p a r e d w i th t h e p a r a b o l i c e q u a t i o n s o lu t io n , th e m o d e l p r o p o s e d s til lh a s s o m e d i s c o n t in u i t i e s w h e n n e w r a y s a p p e a r b u t , b e c a u s e i t r e q u i re s m u c hs h o r t e r c o m p u t a t i o n t im e s (a fe w s e c o n d s o n a p e r s o n a l c o m p u t e r f o r a s e t o fr e c e iv e r p o s i t i o n s o r f o r a f u l l f r e q u e n c y r a ng e ) , t h i s m o d e l a p p e a r s t o b e au s e fu l t o o l f o r e n g i n e e r i n g p u r p o s e s .Com parison with the experimental data of H aw kinsI n 1987, H a w k i n s 33 c o m p a r e d t h e s o u n d p r o p a g a t i o n g e n e r a t e d b y a w i n dt u r b i n e a t l o n g d i s t a n c e ( u p t o 1 0 k m ) w i t h a r a y - t r a c i n g p r o g r a m . T h e


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Heuristic mode~for outdoor soun d propagat ion 133

e x p e r i m e n t a l d a t a u s e d i n t h a t s tu d y h a d b e e n o b t a i n e d b y W i ll sh i r e. 34 T h ee s t i m a t e d s o u r c e a n d r e c ei v er h e i g h t s w e r e 4 0 m a n d 0 "5 m r e s p e c ti v e ly , a n dt h e g r o u n d i m p e d a n c e w a s e v a l u a te d w i t h a = 1 06 R a y l s M K S . F i g u r e 1 4 (a )g i v es t h e p r o p a g a t i o n l o s s a s c a l c u l at e d b y t h e r a y - tr a c in g m o d e l u s e d b yH a w k i n s ( c o n t i n u o u s l i n e) a n d b y t h e g e o m e t r i c a l r a y m o d e l ( d a s h e d l in e ).T h e p o i n t s r e p r e s e n t t h e e x p e r i m e n t a l d a t a a n d t h e b o l d d a s h e d l i n er e p r e s e n t s t h e f re e fi e ld p r o p a g a t i o n l o s s. F o r t h i s c a s e, t h e e s t im a t e d l in e a rs o u n d s p e e d g r a d i e n t ( e v a l u a t e d b y b e s t fi t t o t h e e x p e r i m e n t a l d a t a ) isa = 1 x 1 0 - 4 m - ~, w h i c h i s i n a g r e e m e n t w i t h t h e r e la t iv e l y h i g h w i n d s p e e dc o n s i d e r e d : v = + 1 6 m s - ~ a t 4 0 m . T h e f l u c t u a t i n g r e f r ac t iv e i n d e x u s e d f o rt h is h i g h w i n d w a s ( /z 2 ) = 5 x 1 0 - 6 .

B o t h t h e o r y a n d m e a s u r e d r e s u l ts s h o w t h a t u p t o 2 k m t h e p r o p a g a t i o nl o s s i s a l m o s t s p h e r i c a l u n t i l n e w r a y s a p p e a r . W h e n t h e a d d i t i o n a l r a y sa p p e a r t h e s o u n d l e v e ls s u d d e n l y i n c re a s e, w h i c h is i n g o o d a g r e e m e n t w i t h

- 4 0 :m- 5 0 '

O , - 6 0 :o~ - 7 0

n~-0 .- g o

m' oU')U )0-- IZ_op ., 5 m s - 1 a t 1 0 m a b o v e g r o u n d le ve l), a z e ro v e c t o r w i n d ( S m s - 1 > v >- 5 m s - 1), a n d a n e g a t i v e v e c t o r w i n d (v < - 5 m s - 1) i n a s o - c a l l e d ' n e u t r a l 't e m p e r a t u r e c o n d i t i o n . F r o m F i g . 2 o f R e f . 3 1 , h o w e v e r , i t i s p o s s i b l e t oe s t im a t e t h a t t h e e f fe ct iv e m e a n w i n d s p e e d s (a t 1 0 -m h e i g h t ) c o r r e s p o n d i n gt o t h e s e t h r e e c l a s se s o f w i n d v e c t o r a r e v = 7 -0 m s - 1 , v = 1 . 5 m s - x a n d o =- 5 - 0 m s - 1 . F o r t h e s i m u l a t i o n , t h e f o l lo w i n g s o u n d s p e e d g r a d i e n t s w e r eu se d: a = + l ' 5 x l 0 -5 , a = l x l 0 - 6 a n d a = - l x l 0 - S m - l , a n d t h ec o r r e s p o n d i n g f l u c t u a t i n g r e f r a c t i v e i n d e x v a l u e s u s e d w e r e ( # 2 ) = 7 . 5 x1 0 - 7 , ( / a 2 ) = 1 x 1 0 - 7 a n d ( # 2 ) = 5 x 10 - 7 r e sp e c ti v e ly . I t s h o u l d b e


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H eur ist i c model or outdoor soun d propagation 13 5

-1 0Ein_ ~ - 2 o- ~ I 0

o- 0

im - I 0,oz_ o - 2 0I- - . l = l O " T

\ \ , . - , , / /\ ; ; o . = o - '

_ \ ' " - - . . X . . . / . . . " < j , = > = s x i o - 7" ~ in th 'e""" * /-., , ~ h o ~ . , , . , o ~ / v , ,

IOO IOOO IOOOO IOO IOOO IO OOOFREQUENCY ( HZ ) FREQUENCY (H z)

F i g . 1 5 . E x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t ic a l e x ce ss a t t e n u a t i o n a s a fu n c t i o n o f f r e q u e n c y f o rs e v en r e c e i v e r d is t a n c e s ( 3 ] - 2 , 6 2 . 5 , ] 1 0 , 1 9 5 , 3 1 5 , 6 2 0 a n d 1 1 0 O r e ) f o r a p o s i t iv e v e c t o r w i n d( ( a ) a n d ( d ) ), f o r a z e r o v e c t o r w i n d ( (b ) a n d ( e )) , a n d f o r a n e g a t i v e v e c t o r w i n d ( ( c) a n d ( f) ) . F o rt h e t h e o r e t i c a l r e s u lt s (d ) -- (f ), t h e s o u n d s p e e d g r a d i e n t s w e r e r e s p e c t i v e l y a = + 1 . 5 x 1 0 - sa = ] x 1 0 - 6 a n d a = - 1 x l O - S m - 1 a n d t h e f lu c t u a ti n g in d e x o f r e fr a c ti o n < /a2 ) = 7 " 5 x

lO - ~ , ( / z 2 ) = l x 10 - ~ a n d ( / z ' ) = S x 10 - ~ .

n o t e d t h a t t h e s e v a lu e s w e r e e s t i m a t e d b y b e s t fi t a c c o r d i n g t o t h ee x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s . In a ll c a s e s, t h e o v e r a l l g r o u n d i m p e d a n c e w a se s t i m a t e d w i t h a f l o w r e s i s t iv i t y o f 3 x 10 5 R a y l s M K S . F i g u r e 1 5( d) -- (f )g i v e s t h e t h e o r e t i c a l a t t e n u a t i o n o b t a i n e d i n t h e t h r e e c a s e s .

I n t h e a b s e n c e o f a s o u n d s p e e d g r a d i e n t ( F i g . 1 5 ( b ) a n d ( e ) ) , t h e g r o u n de f f e c t d i p i s c e n t e r e d n e a r 5 0 0 H z a n d i n c r e a s e s w i t h d i s t a n c e , w h i c hc o r r e s p o n d s t o t h e r e s u l ts p u b l i s h e d e l s e w h e r e . 1'2 I t s h o u l d b e n o t e d ,h o w e v e r , t h a t t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e su l ts i sb e t te r w h e n t u r b u l e n c e i s c o n s i d e r e d . I n f a c t , th e e f f e c t o f t u r b u l e n c e ( e v e nf o r a l o w t u r b u l e n c e i n d e x , ( /z 2 ) = 1 x 1 0 - 7 , a s s o c i a t e d w i t h th e l o w w i n ds p e e d c o n s i d e r e d ) i s t o r e d u c e t h e g r o u n d w a v e a t t e n u a t i o n a t l a r g ed i s t a n c e s ( 62 0 a n d 1 1 0 0 m ) f o r f r e q u e n c i e s h i g h e r t h a n 5 0 0 H z b y d e c r e a s i n gt h e c o h e r e n c e b e t w e e n t h e d i re c t a n d t h e r e fl e c te d r a y s. T h i s r e d u c t i o n o f t h e


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1 3 6 A. L'Espbrance e t a l .

g r o u n d e ffect a t h i g h f r eq u en c i e s an d l a r g e d i s t an ces c r ea t e s t h e d o u b l e d i pa t 3 0 0 an d 8 0 0 Hz .F o r a p o s i t i v e s o u n d s p eed g r ad i en t ( F ig . 1 5 (a )), ex p e r i m en t a l r e s u l t s s h o w

t h a t t h e m e d i u m - a n d h i g h - f r e q u e n c y a t t e n u a t i o n s a r e r e d u c e d a n d , in -ver se ly , fo r a nega t ive sou nd speed grad ien t , these a t t en ua t ions a re increased .G l o b a l l y , t h e se c o m p a r i s o n s a r e v e r y i ll u m i n a t i n g . T h e y s h o w t h a t i n c r ea s ea n d d e c r e a s e o f t h e a n g l e o f re f le c t io n a t t h e g r o u n d a n d c h a n g e i n tr a v e lt i m e b e t w e e n t h e d i r e c t a n d t h e r e f l e c t e d r a y s c o u l d p r o v i d e a p h y s i c a le x p l a n a t i o n f o r th e d e c r e a s e a n d i n c r ea s e o f th e e x p e r i m e n t a l a t t e n u a t i o n sm e a s u r e d b y P a r k i n a n d S c ho le s.A l t h o u g h t h es e g e n e r a l t e n d e n c i e s a r e w e l l s i m u l a t e d b y t h e g e o m e t r i c a lr a y c a l c u l a ti o n , t h e r e e x is t s o m e d i s c re p a n c i e s b e t w e e n t h e t h e o r e t ic a l a n dex p e r i m en t a l r e s u l t s . F o r ex am p l e , i n t h e ca s e o f t h e n eg a t i v e s o u n d s p eedg r a d i e n t , t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w l o w e r s o u n d l e v e l s t h a n t h et h e o r e t i c a l v a l u e s a t 3 1 5 m a n d 6 2 0 m . A s s h o w n i n t h e s e c t i o n o n t h eb e g i n n i n g o f th e s h a d o w z o n e , th e s e d if fe r en c e s m a y o c c u r b e c a u s e , e v e n a tt h e s e d i s t a n c e s , t h e g e o m e t r i c a l s o l u t i o n m a y b e i n a p p r o p r i a t e w h e na p p r o a c h i n g t h e s h a d o w z o n e . O n t h e o t h e r h a n d , a t 1 10 0 m t h e r e c e iv e r is i nt h e s h ad o w zo n e a n d t h e m o d e l u s e s t h e d i f f r ac t i o n s o l u t i o n ( see F i g . 1 0 (b )),a n d t h e r e s u l t i n g t h e o r e t i c a l a t t e n u a t i o n a p p e a r s t o b e l a r g e r t h a n t h ee x p e r i m e n t a l v a l u e s . O n e c o u l d e x p e c t a n u n d e r e s t i m a t i o n o f t h e e x p e r i -m e n t a l a t t e n u a t i o n a t h i g h f r e q u e n c i es a s a r e su l t o f b a c k g r o u n d n o i se , a st h e se a t t e n u a t i o n s a r e l a rg e a n d a l m o s t t h e s a m e f o r 3 15 , 6 2 0 a n d 1 1 0 0 m .A l s o , s o m e s c a t t e r i n g e f f e c t s f r o m t h e i l l u m i n a t e d t o t h e s h a d o w z o n e a t1 10 0 m m a y h a v e b e e n p r e s e n t d u r i n g t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t s . O n ec o u l d a l so h y p o t h e s i z e t h a t h i g h e r s o u n d s p e e d g r a d ie n t s a n d / o r t u r b u l e n c ei n d e x s h o u l d b e u s e d a t t h e se d is t an c e s . T h e m e t e o r o l o g i c a l d a t a r e c o r d e dd u r i n g t h e s e m e as u r em en t s a r e , h o we v e r , in s u f fi c i en t t o c l a r i fy t h e s e p o i n t s,a n d d e t a i l e d c o m p a r i s o n s b e t w e e n t h e t h e o r e t i c a l a n d t h e e x p e r i m e n t a lr e su l ts a p p e a r t o b e s p e c u l at iv e . T h u s , o n l y t h e g e n e r a l t e n d e n c i e s s h o u l d b ec o n s i d e r e d i n th e s e re s u lt s, a n d t h e s e s h o w t h a t t h e m o d e l i s u se f u l i ne x p l a i n i n g t h e v a r i o u s a t t e n u a t i o n c u r v e s m e a s u r e d b y P a r k i n a n d S c h o l e s2 0 y ea r s ag o .

D I S C U S S I O NT h e o b j e c t iv e o f t h e w o r k p r e s e n t e d i n t h is p a p e r w a s to d e v e l o p a m o d e lt h a t c o u l d p r e d i c t , i n a s h o r t c o m p u t a t i o n t i m e , t h e o u t d o o r s o u n dp r o p a g a t i o n i n g e n e r a l a t m o s p h e r i c c o n d i t i o n s . T h i s m o d e l is b a s e d o n t h ea s s u m p t i o n s o f g e o m e t r ic a l a c o u s t ic s a n d c o m b i n e s a n a l y t i c a l s o l u t io n sd e v e l o p e d e a r l i e r f o r t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e p r i n c i p a l p h e n o m e n a


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Heu rist ic model fo r outdoor sound propagation 137

i n v o l v e d i n o u t d o o r s o u n d p r o p a g a t i o n : t h e g r o u n d e ffec t, th e a t m o s p h e r i ca b s o r p t i o n , a t m o s p h e r i c r e f r a c t i o n a n d t u r b u l e n c e .T o o b t a i n a s i m p l e a n d u s e f u l m o d e l , s o m e r e s t r i c t i o n s h a v e b e e ni m p o s e d , s u c h t h a t e a c h o f t h e p h e n o m e n a i n v o l v e d is r e p r e s e n t e d b y as in g le p a r a m e t e r : a f o r t h e g r o u n d i m p e d a n c e , A T f o r th e a t m o s p h e r i ca b s o r p ti o n , a f o r th e a t m o s p h e r i c r e fr a c ti o n a n d ( p 2 ) f o r t h e a t m o s p h e r i ct u r b u l e n c e . T h e r e s u l t i n g h e u r i s t i c m o d e l o b t a i n e d a s s u m e s a c o n s t a n tl in e a r s o u n d s p e e d g r a d i e n t , w h i c h a l lo w s a n a n a l y t i c a l d e t e r m i n a t i o n o f a llr ay p a t h s ( an d a s s o c i a t ed q u an t i t i e s ) t h a t ex i s t b e t ween a s o u r ce an d ar e ce i ve r . T h e t o t a l s o u n d p r e s s u re a t t h e r e c e iv e r is c o m p u t e d b y s u m m i n gt h e c o n t r i b u t i o n o f e a c h r a y . W h e n t h e r e c e iv e r is i n th e s h a d o w z o n e , t h es o u n d p r e s s u r e i s ev a l u a t ed w i t h a d i f f r ac t i o n s o l u t i o n .C o m p a r i s o n s w i t h o t h e r m o d e l s a n d w i t h e x p e r i m e n t a l r e s u l t s h a v es h o w n t h a t t h e p r o p o s e d m o d e l c a n g iv e a g o o d e s ti m a t e o f t h e s o u n dp r e s su r e l e v el s g e n e r a t e d b y a s o u r c e i n g e n e r a l m e t e o r o l o g i c a l c o n d i t i o n s .M o r e o v e r , th e m o d e l h a s t h e a d v a n t a g e s o f p r o v i d in g p h y s i ca l in s ig h td e s p i t e t h e n u m e r o u s i n t e r a c t i n g m e c h a n i s m s . T h u s , i t a p p e a r s t o b e a ni n t e re s t in g t o o l f o r e n g i n e e r i n g p u r p o s e s .C o m p a r e d w i th o t h e r m o d e l s, t h e m a i n a d v a n t a g e s o f th e g e o m e t r i c a l r a ym o d e l a r e t h a t i t is e a s il y i m p l e m e n t e d o n a p e r s o n a l c o m p u t e r a n d t h a t i tr e q u i re s l it tl e c o m p u t a t i o n t im e . F o r a g i v e n s o u r c e a n d r e c e iv e r p o s i t io n ,c o m p u t a t i o n t im e i s t y p i c a l ly a fe w s e c o n d s f o r a f r e q u e n c y r a n g e o f 1 0 0 -1 0 0 0 0 H z i n th e c a se o f a m o d e r a t e s o u n d s pe e d g r a d ie n t . F o r a s t r o n gp o s i ti v e g r a d i e n t (w h e n a d d i t i o n a l r a y s a p p e a r ) o r a s t r o n g n e g a t i v e g r a d i e n t( w h e n t h e r e c e i v e r i s i n t h e s h a d o w z o n e ), l es s t h a n I m i n i s n e e d e d i n m o s tcases .T h i s m o d e l is, h o w e v e r , r e s tr ic t e d t o t h e c a se o f a c o n s t a n t l i n e a r s o u n ds p e e d g r a d i e n t, w h i c h i s n o t s tr ic t ly j u s ti f ie d a n d m a y n o t b e a p p r o p r i a t e o re v e n a c c e p t a b l e i n s o m e c a s e s . H o w e v e r , t h e c o m p a r i s o n s b e t w e e ne x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l re s u lt s h a v e s h o w n t h a t t h e u s e o f a c o n s t a n tl i n e a r s o u n d s p e e d p r o fi le o v e r t h e e n t ir e p r o p a g a t i o n r a n g e a p p e a r s t o b ea c c e p t a b l e a s a fi rs t a p p r o x i m a t i o n f o r p r o p a g a t i o n d i s ta n c e s o f u p t o 1 k m .A p r e l i m i n a r y p r o c e d u r e i s p r o v i d e d t o f in d a r e a li st ic g r a d i e n t b y u s i n g al i n ea r s o u n d s p eed p r o f i l e .M o r e e x p e r i m e n t a l r e s u lt s a n d t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t w i ll b e n e c e s sa r y ,h o w ev e r , t o i m p r o v e t h e m o d e l , m a i n l y : (1 ) t o e s t ab l i s h t h e e f f ec t iv e v a l u e s o ft h e l in e a r s o u n d s p e e d g r a d i e n t a n d o f th e r e f ra c t i v e t u r b u l e n c e in d e x t o b eu s e d, a c c o r d i n g t o t h e m e t e o r o l o g i c a l c o n d i t i o n s c o n s i d e r e d ; (2 ) t o e v a l u a t et h e a c o u s ti c a l s c a tt e r i n g e x p e c t e d f r o m t h e i l l u m i n a t e d t o t h e s h a d o w z o n ei n t h e p r e se n c e o f t u r b u l e n c e ; (3 ) t o i n t r o d u c e a t r a n s i ti o n s o l u t i o n w h e n n e wr a y s a p p e a r ; a n d ( 4) t o c o r r e c t f o r p h a s e c h a n g e s f o r p r o p a g a t i o n t h r o u g hcaus t i cs .


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138 A. L'Espbrance et al.A C K N O W L E D G E M E N T S

T h e a u t h o r s a r e g r a t e fu l t o H y d r o - Q u 6 b e c a n d t h e C . R . S .N . G . f o r th e i rf i n a n c ia l s u p p o r t .

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Esperance 1992 Applied Acoustics Heuristics