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8/16/2019 Espectros Pa

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Respuesta de Estructuras con Igual Periodo y Amortiguamiento

Como se recordará, la ecuación de equilibrio dinámico para una estructura conmovimiento en su base es:

sM-=K x+x &&&&& C x M +

Al dividir ambos miembros de esta ecuación por la masa obtenemos:

s x x x &&&& 2 2 −=++ ω ω ξ

En esta ecuación, han quedado como propiedades de la estructura sólo elamortiguamiento y la frecuencia circular. Por tanto, todas las estructuras con igualperiodo y amortiguamiento sometidas a la misma señal sísmica, tendrán la misma

ecuación de equilibrio y en consecuencia la misma solución.

/ Pontificia Universidad Católica del Perú / Ingeniería Sismorresistente / Prof. A. Muñoz / pág 67

))(),(),(( t xt xt x abs&&&

De este modo, todas las estructuras de un grado de libertad con el mismo periodo yamortiguamiento, sometidas a la misma aceleración en su base, tendrán idénticashistorias de desplazamiento, velocidad y aceleración

Por otro lado, la fuerza restitutiva en el tiempo para una estructura de rigidez K es

. Esta fuerza es propia de cada estructura y no constituye un

parámetro del grupo. Sin embargo, la fuerza restitutiva por unidad de masa (F

)()( t xK t F R ⋅=

R/M) si esun parámetro del grupo ya que :

)(2)()( t xt x M K

M t F R ω =⋅=

Esta fuerza por unidad de masa se denomina pseudo aceleración y se representa por

Para valores pequeños del amortiguamiento, la pseudo aceleración es aproximadamenteigual a la aceleración absoluta y ambas historias son iguales cuando el amortiguamientoes nulo.

)(2)( t xt pa ω =

Se define además la pseudo velocidad como

)()( t xt pv ⋅=ω


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Cantidades EspectralesPara muchos propósitos interesa conocer sólo los valores máximos de las historias derespuesta. Así por ejemplo para estructuras sometidas a sismos leves, donde elcomportamiento es prácticamente elástico, el interés mayor corresponde a los valoresmáximos de la fuerza restitutiva, el desplazamiento y la aceleración. Estos valores

máximos de la respuesta, se denominan cantidades espectrales y por lo explicado en elacápite anterior, constituyen además los valores máximos para todo un grupo deestructuras de igual periodo y amortiguamiento sometidas a la misma señal deaceleraciones.

A continuación se enumeran las cantidades espectrales indicando algunas relaciones.

Desplazamiento espectral, SD. Máximo del desplazamiento relativo

{ })(t xmaxSD = Pseudo-velocidad espectral SV

{ } { } SDt xmaxt pvmaxSV ⋅=⋅== ω ω )()( Pseudo aceleración espectral, SA

{ } SDt xmaxt pamaxSA ⋅=⋅== 2)(2)( ω ω

Velocidad espectral VE Máximo de la velocidad relativa { })(t xmaxVE &=

)(t abs

xmax AE &&=

Aceleración espectral, AE Máximo de la aceleración absoluta

Espectros de Respuesta ElásticaLa figura muestra una serie de estructuras de igual amortiguamiento (ξ) y diferenteperiodo (T1, T2.. Tn), sometidas al mismo registro de aceleraciones.

..S

T1

T2

Tn

Suelo

Figura 4.28

Cálculo de espectrosde respuestaelástica



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Para cada estructura se pueden calcular las historias de respuesta y así obtener losvalores espectrales SD, SV, SA, etc. Con el conjunto de valores obtenido para todas lasestructuras, se pueden luego definir las relaciones T versus SD, T versus SV, etc. Estasrelaciones se denominan espectros de respuesta y nos permiten apreciar la variación dela máxima respuesta en un rango de periodos representativos de las estructuras.

A continuación se muestran algunos espectros elásticos correspondientes a una de lasseñales registradas en el terremoto de Lima de 1966, la misma que tuvo una aceleraciónpico de 180 cm/seg². En el cálculo de la respuesta se empleó 5 % de amortiguamiento.

En el espectro de desplazamientos, mostrado en la siguiente figura, se puede apreciarque en general el desplazamiento espectral es creciente con el periodo estructural.

0

5

10

15

20

25

30

-1 1 3 5 7 9 11 13 1

T (seg)

SD(cm)

5

ξ = 5

Figura 4.29 Espect ro de Desplazamientos, Señal Lima 17-X-1966-N82W con amax =

180 cm/s²

Las estructuras de periodo muy pequeño, corresponden a sistemas muy rígidos, gracias alo cual responden con pequeños desplazamientos relativos al suelo. Podemos imaginaruna estructura infinitamente rígida (T=0) como adherida al suelo durante todo elmovimiento, y por tanto con desplazamiento espectral nulo.

Las estructuras muy flexibles (aquellas con periodos muy largos) se comportan como

poco animadas a responder dinámicamente al movimiento del suelo. Podríamos decirque, para periodos muy largos el sistema permanece casi quieto mientras el suelo semueve en su base. De este modo, en estructuras muy flexible el desplazamiento respectodel suelo resulta ser prácticamente igual al desplazamiento mismo del suelo. Por tanto,para periodos muy largos el desplazamiento espectral tiende al desplazamiento máximoque alcanza el suelo durante el movimiento.



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La figura que sigue muestra el espectro de velocidad en línea continua junto al espectrode pseudo velocidad en línea discontinua. Puede apreciarse la cercanía de valores entreambos espectros, particularmente en la zona de periodos entre 0.0 y 0.7 seg.

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4

T (seg)

V e l . y P s e u d o V e l . E s p e c t r a l

( c m / s e g )

5

S

ξ = 5

Figura 4.30 Espectro de velocidad Relativa y Pseudo Velocidad Señal LIMA 17-X-

1966 - N82W, con amax = 180 cm/s²

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0.5 1 1.5 2

T (seg)

A c e l . y S e u d o - A c e l . E s p e c t r a l

( c m / s e g ² )

ξ = 5

Como se aprecia en la figura que sigue, los espectros de aceleración absoluta y pseudoaceleración no muestra diferencia apreciable incluso para el amortiguamiento de 5 %.empleado. En general estas dos cantidades espectrales se asumen iguales y se usanindistintamente.

Figura 4.31 Espectro de Aceleración Absoluta y Pseudo Aceleración, Señal LIMA ,

17-X-1966 - N82W, con amax = 180 cm/s²

Las estructuras muy rígidas tienden a moverse como unidas al suelo. Como ya se indicó,podemos imaginar una estructura infinitamente rígida (T=0) como adherida perfectamente



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al suelo y con la misma historia de aceleración absoluta. Por tanto podemos decir quepara T=0, la aceleración espectral corresponde a la aceleración máxima del suelo. (parael ejemplo amax= 180 cm/seg²).

La figura que sigue muestra los espectros de aceleración para 6 registros peruanos

escalados a un valor de aceleración máxima de 0.4 g. En los cálculos se empleó 5 % deamortiguamiento.

0

250

500

750

1000

1250

1500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Periodo (seg) T

A c e l e r a c i ó n E s p e c t r a l ( c m / s e g ² )

66-N08E66-N82W70-N08E70-N82W74-N08E74-N82W

Figura 4.32 Espectros de Pseudo aceleración para 6 señales peruanas empleadas

para obtener el espectro de diseño de la Norma Peruana de 1997.

Todas las señales se escalaron a 04.g

Como se aprecia todos los espectros tienden a 0.4 g. para periodos pequeños ya que,como se indicó las señales fueron escaladas a este valor de aceleración pico. Se notaque en la zona entre 0.1 y 0.5 seg. las estructuras responden con una aceleración mayora la que reciben en su base; en cambio las estructuras de más de un segundo deperiodo, responden con aceleraciones menores a las que reciben.



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Espectro de Fourier

El espectro de Amplitudes de Fourier constituye una manera de conocer el contenido defrecuencias de una señal, a mayor ordenada en el espectro de Fourier mayor importanciadel armónico asociado.

El espectro de Amplitudes de Fourier para el caso de acelerogramas, corresponde a lavelocidad que alcanzaría una estructura sin amortiguamiento al final del movimiento, encambio, el espectro de velocidades corresponde al valor máximo de la velocidad durantetodo el movimiento. Por consiguiente la velocidad espectral en estructuras sinamortiguamiento será siempre mayor a la ordenada correspondiente del espectro deamplitudes de Fourier.

La figura que sigue muestra el espectro de velocidad para ξ=0 en línea continua, junto alespectro de amplitudes de Fourier en línea discontinua, para la señal del terremoto deLima del 17 de octubre de 1966.

0

20

40

60

80

0 0.5 1 1.5 2

T (seg)

V e l . E s p . p a r a

= 0

y

A m

p l i t u d d e

F o u r i e r

VE para ξ= 0

(cm/seg)

Figura 4.33 Espectro de Amplitudes de Fourier y Velocidad para =0, Señal LIMA ,

17-X-1966 - N82W, con amax = 180 cm/s²


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