Espec ficaci n del modelo econom trico, Gujarati...3 i +u 1i (13.2.1) donde Y costo total de producción y X producción. La ecuación (13.2.1) es un ejemplo de la función cúbica

1 Keith Cuthberston, Stephen G. Hall y Mark P. Taylor, Applied Econometrics Techniques, Michigan University Press, 1992, p. X.2 David F. Hendry, Dynamic Econometrics, Oxford University Press, Inglaterra, 1995, p. 68.3 Peter Kennedy, A Guide to Econometrics, 3a. ed., The MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1992, p. 82.

Capítulo 13Creación de modelos econométricos: especifi cación del modelo y pruebas de diagnóstico

La econometría aplicada no puede concebirse de manera mecánica: necesita comprensión, intuición y habilidades.1

. . . por lo general atravesamos puentes sin preocuparnos por la solidez de su construcción, pues tene-mos la certeza razonable de que alguien verifi có con rigor los principios y prácticas de la ingeniería. Los economistas deben hacer esta verifi cación con los modelos, o al menos anexar la siguiente adver-tencia a su modelo: “no nos hacemos responsables si al emplearse se provoca un colapso”.2

La búsqueda de la “verdad” por parte de los economistas a lo largo de los años ha dado origen al punto de vista según el cual los economistas son personas que buscan en un cuarto oscuro un gato negro que no existe; a los econometristas por lo general se les acusa de haberlo encontrado.3

Un supuesto del modelo clásico de regresión lineal (MCRL), el 9, es que el modelo de regresión del análisis está especifi cado “correctamente”; si no es así, nos enfrentamos al problema de error

de especifi cación del modelo o sesgo en la especifi cación del modelo. En este capítulo revisa-remos con una mirada cuidadosa y crítica este supuesto, pues la búsqueda del modelo correcto se asemeja a la del Santo Grial. En particular, examinaremos las siguientes preguntas:

1. ¿Qué hacer para encontrar el modelo “correcto”? En otras palabras, ¿cuáles son los criterios para elegir un modelo a partir del análisis empírico?

2. ¿Qué tipos de errores de especifi cación de modelos son más comunes en la práctica?

3. ¿Cuáles son las consecuencias de los errores de especifi cación?

4. ¿Cómo se detectan los errores de especifi cación? En otras palabras, ¿cuáles son algunasherramientas de diagnóstico disponibles?

5. Una vez detectados los errores de especifi cación, ¿cuáles son los remedios que se pueden adoptar y con qué benefi cios?

6. ¿Cómo se evalúa el desempeño de modelos contendientes?

468 Parte Dos Flexibilización de los supuestos del modelo clásico

El tema de la especifi cación y evaluación de modelos es amplio, así que se requiere una tarea empírica muy extensa en esta área. Y no sólo eso, sino que también existen diferencias fi losófi cas sobre este asunto. Aunque no podemos abarcar por completo esta materia en un capítulo, aclara-remos algunos temas esenciales de la especifi cación y evaluación de modelos.

13.1 Criterios de selección del modelo

De acuerdo con Hendry y Richard, la elección de un modelo para el análisis empírico debe satis-facer los siguientes criterios:4

1. Ser adecuado para los datos; es decir, las predicciones basadas en el modelo deben ser lógicamente posibles.

2. Ser consistente con la teoría; es decir, debe tener un sentido económico pertinente. Por ejemplo, si es válida la hipótesis del ingreso permanente de Milton Friedman, se espera que el valor del intercepto en la regresión del consumo permanente sobre el ingreso permanente sea igual a cero.

3. Tener regresoras exógenas débiles; es decir, las variables explicativas, o regresoras, no deben estar correlacionadas con el término de error. Puede añadirse que, en algunas situaciones, las regresoras exógenas tal vez sean estrictamente exógenas. Una variable estrictamente exó-gena es independiente de los valores actuales, futuros y pasados del término de error.

4. Mostrar constancia en los parámetros; es decir, los valores de los parámetros deben ser estables. De otra forma el pronóstico se difi cultará. Como explica Friedman: “La única prueba relevante de la validez de un[a] [modelo] hipótesis es la comparación de sus predicciones con la experiencia”.5 Ante la ausencia de la constancia en los parámetros, tales predicciones no serán confi ables.

5. Exhibir coherencia en los datos; es decir, los residuos estimados a partir del modelo deben ser puramente aleatorios (técnicamente, ruido blanco). En otras palabras, si el modelo de regresión es adecuado, los residuos obtenidos de este modelo deben ser de ruido blanco. Si no es el caso,existe un error de especifi cación en el modelo. En breve exploraremos la naturaleza del (los)error(es) de especifi cación.

6. Ser inclusivo; es decir, el modelo debe abarcar o incluir todos los modelos contendientes, en el sentido de que debe poder explicar sus resultados. En resumen, otros modelos no pueden ser mejores que el elegido.

Una cosa es poner en una lista los criterios de un “buen” modelo y otra muy distinta des-arrollarlos en realidad, pues en la práctica es muy probable que se cometan diversos errores de especifi cación en los modelos, que analizaremos en la siguiente sección.

13.2 Tipos de errores de especifi cación

Suponga que con base en los criterios recién enumerados llegamos a un modelo que aceptamos como bueno. En concreto, este modelo es

Yi β1 + β2 X i + β3 X 2i + β4 X 3

i + u1i (13.2.1)

donde Y costo total de producción y X producción. La ecuación (13.2.1) es un ejemplo de la función cúbica del costo total frecuente en los libros de texto.

4 D.F. Hendry y J.F. Richard, “The Econometric Analysis of Economic Time Series”, International Statistical Review, vol. 51, 1983, pp. 3-33.5 Milton Friedman, “The Methodology of Positive Economics”, en Essays in Positive Economics, University of Chicago Press, Chicago, 1953, p. 7.

Capítulo 13 Creación de modelos econométricos: especifi cación del modelo y pruebas de diagnóstico 469

Pero suponga que, por alguna razón (por ejemplo, por pereza de grafi car el diagrama de dis-persión), un investigador decide utilizar el siguiente modelo:

Yi α1 + α2 X i + α3 X 2i + u2i (13.2.2)

Observe que cambiamos la notación para distinguir este modelo del modelo verdadero.Como se supone que (13.2.1) es verdadero, la adopción de (13.2.2) constituiría un error de

especifi cación, que consiste en la omisión de una variable relevante (X 3i ). Por consiguiente, el

término de error u2i en (13.2.2) es de hecho

u2i u1i + β4 X 3i (13.2.3)

Pronto veremos la importancia de esta relación.Ahora suponga que otro investigador utiliza el siguiente modelo:

Yi λ1 + λ2 X i + λ3 X 2i + λ4 X 3

i + λ5 X 4i + u3i (13.2.4)

Si (13.2.1) es el “verdadero” (13.2.4), también constituye un error de especifi cación que consiste en incluir una variable innecesaria o irrelevante en el sentido de que el modelo verdadero supone que λ5 es cero. El nuevo término de error es de hecho

u3i u1i − λ5 X4

i

u1i pues λ5 0 en el modelo verdadero (¿Por qué?) (13.2.5)

Suponga ahora que otro investigador postula el siguiente modelo:

ln Yi γ1 + γ2 X i + γ3 X 2i + γ4 X 3

i + u4i (13.2.6)

En relación con el modelo verdadero (13.2.6), también presenta un sesgo de especifi cación, en este caso originado por una forma funcional incorrecta: en (13.2.1) Y aparece linealmente, mientras que en (13.2.6) aparece en forma log-lineal.

Por último, considere que un investigador utiliza el siguiente modelo:

Y ∗i β∗1 + β∗2 X∗i + β∗3 X∗2i + β∗4 X∗3

i + u∗i (13.2.7)

donde Y ∗i Yi + ε i y X∗i X i + wi, con εi y wi como errores de medición. Lo que plantea (13.2.7) es que, en lugar de los verdaderos Yi y Xi, se utilizan sus valores sustitutos, Y ∗i y X∗i , los cuales pueden contener errores de medición. Por consiguiente, en (13.2.7) hay un sesgo por erro-

res de medición. En el trabajo aplicado, la información está plagada de errores de aproximación, errores de cobertura incompleta o tan sólo errores de omisión de algunas observaciones. En las ciencias sociales a menudo se depende de datos secundarios y no hay forma de conocer los tipos de errores, si existen, cometidos por la agencia recolectora de datos primarios.

Otro tipo de error de especifi cación se relaciona con la forma como el error estocástico ui (o ut) entra en el modelo de regresión. Considere por ejemplo el siguiente modelo de regresión bivariado sin término de intercepto:

Yi βX i ui (13.2.8)

donde el término de error estocástico entra de forma multiplicativa y tiene la propiedad de que ln ui satisface los supuestos del MCRL, en comparación con el siguiente modelo,

Yi αX i + ui (13.2.9)

donde el término de error entra en forma aditiva. Aunque las variables son las mismas en ambos modelos, se denotó el coefi ciente de la pendiente en (13.2.8) con β, y el coefi ciente de la


pendiente en (13.2.9), con α. Ahora, si (13.2.8) es el modelo “correcto” o “verdadero”, ¿la α estimada proporciona una estimación insesgada de la verdadera β? Es decir, ¿será E(α) β? Si no es el caso, la especifi cación estocástica inadecuada del término de error constituirá otra fuente de errores de especifi cación.

Un error de especifi cación que a veces se pasa por alto es la interacción entre las regresoras, es decir, el efecto multiplicativo de una o más regresoras sobre la variable regresada. Para ilustrar, considere la siguiente función simplifi cada de salarios:

ln Wi β1 + β2 Escolaridad i + β3 Sexoi

+ β4 (Escolaridad) (Sexo) + u (13.2.10)

En este modelo, el cambio en los salarios relativos respecto de la educación depende no sólo de la escolaridad sino también del sexo ( ∂ ln W

∂Escolaridad β2 + β4Sexo). Asimismo, el cambio en los sala-rios relativos respecto del sexo depende no sólo del sexo, sino también del nivel de escolaridad.

Para resumir, al formular un modelo empírico, es probable que se cometan uno o más de los siguientes errores de especifi cación:

1. Omisión de una variable relevante.

2. Inclusión de una variable innecesaria.

3. Adopción de la forma funcional incorrecta.

4. Errores de medición.

5. Especifi cación incorrecta del término de error estocástico.

6. Suposición de que el término de error está normalmente distribuido.

Antes de examinar con detalle esos errores de especifi cación, vale la pena distinguir entre errores de especifi cación del modelo y errores de especifi cación incorrecta del modelo. Los primeros cuatro tipos de error son en esencia errores de especifi cación del modelo, pues lo que se tiene en mente es un modelo “verdadero”, sin embargo, no estimamos el modelo correcto. En los errores de especifi cación incorrecta del modelo, para empezar, ni siquiera sabemos cuál es el verdadero modelo. En este contexto viene a la mente la controversia entre los keynesianos y los monetaristas. Estos últimos dan preferencia al dinero cuando explican los cambios en el PIB, en tanto que los keynesianos destacan el papel del gasto gubernamental para justifi car las variacio-nes del PIB. Así que podemos decir que hay dos modelos rivales.

En lo que resta del capítulo veremos primero los errores de especifi cación de modelos y luego los errores de la mala especifi cación de modelos.

13.3 Consecuencias de los errores de especifi cación del modelo

Independientemente de las fuentes de los errores de especifi cación, ¿cuáles son las consecuen-cias? Para no complicar este análisis, responderemos en el contexto del modelo con tres variables y consideraremos en detalle dos tipos de errores de especifi cación ya analizados, a saber: 1) subajuste de un modelo, es decir, la omisión de variables relevantes, y 2) sobreajuste de un

modelo, es decir, la inclusión de variables innecesarias. Por supuesto, los resultados se pueden generalizar al caso de más de dos regresoras, pero mediante manejo algebraico tedioso;6 una vez que se tienen casos de más de tres variables, el álgebra matricial se convierte en necesidad.

6 Véase, sin embargo, el ejercicio 13.32.


Omisión de una variable relevante(subajuste de un modelo)Suponga que el verdadero modelo es

Yi β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui (13.3.1)

pero, por alguna razón ajustamos el siguiente modelo:

Yi α1 + α2 X2i + vi (13.3.2)

Las consecuencias de omitir X3 son las siguientes:

1. Si la variable excluida, u omitida, X3 está correlacionada con la variable incluida X2, es decir, r23, el coefi ciente de correlación entre las dos variables es diferente de cero, α1 y α2 son sesgados e inconsistentes. Es decir, E(α1) no es igual a β1 y E(α2) no es igual a β2, y el sesgo no desaparece conforme aumenta el tamaño de la muestra.

2. Aunque X2 y X3 no estén correlacionados, α1 es sesgado, pese a que α2 sea ahora inses-gado.

3. La varianza de la perturbación σ 2 está incorrectamente estimada.

4. La varianza medida convencionalmente de α2 ( σ 2/ x22i ) es un estimador sesgado de

la varianza del verdadero estimador β2.

5. En consecuencia, es probable que el intervalo de confi anza usual y los procedimientos de pruebas de hipótesis conduzcan a conclusiones equivocadas sobre la signifi cancia estadísticade los parámetros estimados.

6. Otra consecuencia es que los pronósticos basados en el modelo incorrecto y los intervalos (de confi anza) del pronóstico no son confi ables.

Aunque las pruebas de cada una de las afi rmaciones anteriores escapan por mucho al tema,7 en el apéndice 13A, sección 13A.1, se demuestra que

E(α2) β2 + β3b3 2 (13.3.3)

donde b3 2 es la pendiente en la regresión de la variable excluida X3 sobre la variable incluida X2 (b3 2 x3i x2i/ x2

2i ). Como se ve en (13.3.3), α2 está sesgada, a menos que β3 o b32, o ambas, sean cero. Eliminamos β3 haciéndola cero porque en ese caso, para empezar, ni siquiera hay error de especifi cación. El coefi ciente b32 será cero si X2 y X3 no están correlacionadas, lo cual es poco probable en la mayoría de los datos económicos.

Sin embargo, por lo general, la amplitud del sesgo depende del término del sesgo, β3b3 2. Si, por ejemplo, β3 es positiva (es decir, X3 tiene un efecto positivo sobre Y ) y b3 2 es positiva (es decir, X2 y X3 están positivamente correlacionadas), α2, en promedio, sobreestimará a la verda-dera β2 (es decir, al sesgo positivo). Pero este resultado no debe sorprender, pues X2 representa no solamente su efecto directo sobre Y sino también su efecto indirecto (a través de X3) sobre Y. En resumen, X2 obtiene relevancia por la infl uencia que debe atribuirse a X3, sin permitir que esta última muestre su efecto explícitamente porque no se le “permite” ingresar al modelo. Como ejemplo concreto, considere el que analizamos en el capítulo 7 (ejemplo 7.1).

7 Para un tratamiento algebraico, véase Jan Kmenta, Elements of Econometrics, Macmillan, Nueva York, 1971, pp. 391-399. Quienes conozcan el álgebra matricial pueden consultar J. Johnston, Econometric Methods, 4a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1997, pp. 119-122.


Examinemos ahora las varianzas de α2 y β2

var (α2) σ 2

x22i

(13.3.4)

var (β2) σ 2

x22i 1− r2

2 3

σ 2

x22i

FIV (13.3.5)

donde FIV (una medida de colinealidad) es el factor infl acionario de la varianza [ 1/(1− r22 3)]

analizada en el capítulo 10 y r2 3 es el coefi ciente de correlación entre las variables X2 y X3; las ecuaciones (13.3.4) y (13.3.5) resultan familiares pues las vimos en los capítulos 3 y 7.

Como las fórmulas (13.3.4) y (13.3.5) no son iguales, en general la var(α2) será diferente dela var(β2). Pero sabemos que var(β2) es insesgada (¿por qué?). Por tanto, var(α2) es sesgada,de modo que justifi ca el enunciado del punto 4 anterior. Como 0 < r2

2 3 < 1, parece que en el presente caso var(α2) < (β2). Ahora surge un dilema: aunque α2 sea sesgada, su varianza es más pequeña que la varianza del estimador β2 insesgado (por supuesto, desechamos el caso en el que r2 3 0, pues en la práctica existe cierto grado de correlación entre las regresoras). Por consi-guiente, se trata de una situación en que hay que sacrifi car una cosa por otra.10

Pero aún no termina esto, pues la σ 2 estimada del modelo (13.3.2) y la estimada del modelo verdadero (13.3.1) no son iguales, ya que la SCR de los dos modelos, así como sus grados de libertad (gl) son distintos. Recordará que obtuvimos un estimado de σ 2 como σ 2 SCR/gl, lo cual depende del número de regresoras incluidas en el modelo, así como de los gl ( n,

Al hacer la regresión de la mortalidad infantil (MI) sobre el PIB per cápita (PIBPC) y sobre la tasa de alfabetización de las mujeres (TAM) obtuvimos los resultados de la ecuación (7.6.2), con los valores parciales de los coefi cientes de pendiente de las dos variables −0.0056 y −2.2316, respectivamente. Pero si ahora eliminamos la variable (TAM) obtenemos los resultados de la ecuación (7.7.2). Si consideramos que (7.6.2) es el modelo correcto, entonces (7.7.2) es un mo-delo mal especifi cado, pues omite la variable relevante TAM. Ahora podemos observar que, en el modelo correcto, el coefi ciente de la variable PIBPC fue −0.0056, en tanto que en el modelo “incorrecto” (7.7.2) es ahora de −0.0114.

En términos absolutos, ahora la variable PIBPC tiene un mayor impacto sobre la MI en com-paración con el verdadero modelo. Pero si hacemos la regresión de TAM sobre PIBPC (la regre-sión de la variable excluida sobre la incluida), el coefi ciente de pendiente en la regresión [b3 2 en términos de la ecuación (13.3.3)] es 0.00256.8 Lo anterior indica que conforme PIBPC aumen-ta una unidad, en promedio, TAM se incrementa 0.00256 unidades. Pero si TAM aumenta esas unidades, su efecto en MI será (−2.2316)(0.00256) β3b3 2 −0.00543.

Por tanto, de (13.3.3) tenemos al fi nal (β2 + β3b3 2) [−0.0056 + (−2.2316)(0.00256)] ≈ −0.0111, que es casi el valor del coefi ciente PIBPC, obtenido en el modelo incorrecto (7.7.2).9 Como ilustra este ejemplo, el verdadero efecto del PIBPC sobre la MI es mucho menor (−0.0056) de lo que indica el modelo incorrecto (7.7.2), a saber, (−0.0114).

EJEMPLO 13.1

Ejemplo ilustrativo:

De nuevo la morta-

lidad infantil

8 Los resultados de la regresión son:

TAM 47.5971 + 0.00256PIBPC

ee (3.5553) (0.0011) r2 0.0721

9 Observe que en el modelo verdadero β2 y β3 son estimaciones insesgadas de sus valores verdaderos o reales.10 A fi n de superar el dilema entre el sesgo y la efi ciencia, se puede elegir reducir el error cuadrático medio (ECM), pues se relaciona con el sesgo y la efi ciencia. Sobre el ECM, véase el apéndice estadístico (apéndice A). También consulte el ejercicio 13.6.


número de parámetros estimados). Ahora bien, si añadimos variables al modelo, por lo general la SCR decrece (recuerde que mientras más variables se añadan al modelo, más se incrementa R2), pero los grados de libertad también disminuyen porque se estiman más parámetros. El resultado global depende de que la SCR decrezca lo sufi ciente para compensar la pérdida de grados de libertad debido a la incorporación de regresoras. Es muy probable que si una regresora tiene un gran impacto sobre la regresada —por ejemplo, puede reducir la SCR en mayor medida de lo que signifi ca la pérdida de grados de libertad como resultado de incorporarse al modelo—, la inclu-sión de tales variables no sólo reduce el sesgo, sino que también aumenta la precisión (es decir, disminuye los errores estándar) de los estimadores.

Por otra parte, si las variables relevantes sólo tienen un efecto marginal en la regresada, y si están muy correlacionadas (es decir, el FIV es mayor), se puede reducir el sesgo en los coefi cien-tes de las variables ya incluidas en el modelo, pero aumentarían sus errores estándar (es decir, se harían menos efi cientes). De hecho, la disyuntiva entre mejor precisión o menos sesgo, en esta situación, puede ser sustancial. Como se desprende del análisis, la decisión depende de la impor-tancia relativa de las diversas regresoras.

Para concluir, consideremos ahora el caso especial en donde r2 3 0, es decir, X2 y X3 no están correlacionadas. En este caso, b3 2 es cero (¿por qué?). Por consiguiente, se ve, de (13.3.3), queα2 es ahora insesgada.11 También, de (13.3.4) y (13.3.5) parece que las varianzas de α2 y β2 son las mismas. ¿No hay perjuicio entonces en eliminar la variable X3 del modelo aunque pueda ser relevante en teoría? La respuesta suele ser negativa, pues, en este caso, como ya indicamos, lavar(α2) estimada de (13.3.4) es aún sesgada y, por consiguiente, es probable que los procedi-mientos de pruebas de hipótesis continúen siendo dudosos.12 Además, en la mayoría de investi-gaciones económicas es probable que X2 y X3 estén correlacionadas, lo que crea los problemas mencionados. El punto es muy claro: una vez formulado el modelo con base en la teoría

pertinente, no se aconseja eliminar una variable de dicho modelo.

Inclusión de una variable irrelevante (sobreajuste de un modelo)Ahora supongamos que

Yi β1 + β2 X2i + ui (13.3.6)

es verdadero, pero especifi camos el siguiente modelo:

Yi α1 + α2 X2i + α3 X3i + vi (13.3.7)

y cometemos así el error de especifi cación al incluir una variable innecesaria en el modelo.Las consecuencias de este error de especifi cación son las siguientes:

1. Todos los estimadores de MCO de los parámetros del modelo “incorrecto” son insesgados y consistentes, es decir, E(α1) β1, E(α2) β2 y E(α3) β3 0.

2. La varianza del error σ 2 está correctamente estimada.

3. Los procedimientos usuales de intervalos de confi anza y de pruebas de hipótesis conservan su validez.

4. Sin embargo, las α estimadas por lo general serán inefi cientes, es decir, sus varianzas ge-neralmente serán más grandes que las de las β del verdadero modelo. Las pruebas de algunas de estas afi rmaciones se encuentran en el apéndice 13A, sección 13A.2. El punto de interés aquí es la inefi ciencia relativa de las α. Esto se demuestra fácilmente.

11 Observe, sin embargo, que α1 es aún sesgado, lo cual se ve intuitivamente de la siguiente manera: sabemos que β1 Y − β2 X2 − β3 X3, mientras que α1 Y − α2 X2, y aunque α2 β2, los dos estimadores no serán iguales.12 Para mayores detalles, véase Adrian C. Darnell, A Dictionary of Econometrics, Edward Elgar Publisher, 1994, pp. 371-372.


De la fórmula usual de MCO sabemos que

var (β2) σ 2

x22i

(13.3.8)

y

var (α2) σ 2

x22i 1− r2

2 3

(13.3.9)

Por consiguiente,

var (α2)

var (β2)

1

1− r22 3

(13.3.10)

Como 0 ≤ r22 3 ≤ 1, se cumple que var(α2) ≥ var(β2), es decir, la varianza de α2 suele ser más

grande que la varianza de β2, aunque, en promedio, α2 β2 [es decir, E(α2) β2].La implicación de este hallazgo es que la inclusión de la variable innecesaria X3 hace que la

varianza de α2 sea más grande de lo necesario, con lo cual α2 se hace menos precisa. Esto también es cierto con α1.

Observe la asimetría en los dos tipos de sesgos de especifi cación que consideramos. Si ex-cluimos una variable relevante, los coefi cientes de las variables consideradas en el modelo son por lo general sesgados e inconsistentes, la varianza del error es incorrectamente estimada y se invalidan los procedimientos usuales de pruebas de hipótesis. Por otra parte, la inclusión de una variable irrelevante en el modelo proporciona estimaciones insesgadas y consistentes de loscoefi cientes en el modelo verdadero, la varianza del error es correctamente estimada y los mé-todos convencionales de pruebas de hipótesis son aún válidos; la única penalización por la in-clusión de la variable superfl ua es que las varianzas estimadas de los coefi cientes son mayores y, como resultado, las inferencias probabilísticas sobre los parámetros son menos precisas. Una conclusión no deseada aquí sería que es mejor incluir variables irrelevantes que omitir variables relevantes. Pero esta fi losofía no es estricta, pues incluir variables innecesarias genera una pér-dida de efi ciencia de los estimadores y puede provocar también el problema de multicolinealidad (¿por qué?), para no mencionar la pérdida de grados de libertad. Por consiguiente,

En general, el mejor enfoque es incluir sólo las variables explicativas que, en teoría, infl uyan directa-

mente en la variable dependiente y no se hayan tomado en cuenta en otras variables incluidas.13

13.4 Pruebas de errores de especifi cación

Conocer las consecuencias de los errores de especifi cación es una cosa, pero averiguar si se cometieron tales errores es otra muy diferente, pues en la especifi cación no se espera delibe-radamente cometer estos errores. Con mucha frecuencia, los sesgos de especifi cación surgen en forma inadvertida, quizá por la incapacidad de formular el modelo en la forma más precisa posible debido a que la teoría es débil o a que no se tiene la clase de información adecuada para probar el modelo. Como observa Davidson: “Debido a la naturaleza no experimental de la economía, nunca estamos seguros de la forma en que se generaron los datos observados. En economía, resulta que la prueba de cualquier hipótesis siempre depende de supuestos adicionales necesarios para especifi car un modelo razonablemente ambicioso, los cuales pueden o no estar justifi cados”.14

13 Michael D. Intriligator, Econometric Models, Techniques and Applications, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1978, p. 189. Recuerde el principio de la navaja de Occam.14 James Davidson, Econometric Theory, Blackwell Publishers, Oxford, Inglaterra, 2000, p. 153.


La pregunta práctica no es por qué se cometen tales errores, pues por lo general los hay, sino cómo detectarlos. Una vez que se encuentran errores de especifi cación, con frecuencia los remedios surgen por sí mismos. Si, por ejemplo, puede demostrarse que una variable se omitió inapropiadamente de un modelo, el remedio obvio es incluirla en el análisis, suponiendo que, desde luego, se tenga información disponible sobre ella.

En esta sección analizamos algunas pruebas para detectar errores de especifi cación.

Detección de variables innecesarias(sobreajuste de un modelo)Suponga que desarrollamos un modelo de k variables para explicar un fenómeno:

Yi β1 + β2 X2i + · · · + βk Xki + ui (13.4.1)

Sin embargo, no tenemos una certeza total de que, por ejemplo, la variable Xk debe estar en el modelo. Una forma sencilla de averiguarlo es probar la signifi cancia del βk estimado mediante la prueba t usual: t βk/ee (βk). Pero suponga que no hay seguridad de que X3 y X4 pertenezcan en realidad al modelo. Esto se consigue fácilmente mediante la prueba F estudiada en el capítulo 8. Así, la detección de una o más variables irrelevantes no es difícil.

Pero es muy importante recordar que, con estas pruebas de signifi cancia, tenemos en mente un modelo específi co. Aceptamos ese modelo como hipótesis mantenida o “verdad”, sin impor-tar lo tentativa que pueda ser. Así, con ese modelo, mediante las pruebas usuales t o F podemos averiguar la relevancia verdadera de una o más regresoras. Pero observe con cuidado que con las pruebas t y F no podemos construir un modelo en forma iterativa, es decir, no podemos decir que al principio Y está relacionada con X2 sólo porque β2 es estadísticamente signifi cativa, ampliar luego el modelo para incluir X3 y luego conservar esa variable en el modelo si β3 resulta ser es-tadísticamente signifi cativo, y así sucesivamente. Esta estrategia de elaborar un modelo se llama método ascendente (se empieza con un modelo más pequeño y se amplía conforme se prosigue) o, un término más descriptivo: minería de datos (otros nombres son regresión al tanteo, extrac-

ción de datos, sondeo de datos y procesamiento masivo de datos numéricos).El objetivo principal de la minería de datos es desarrollar el “mejor” modelo después de varias

pruebas de diagnóstico, de manera que el modelo fi nal resulte “bueno” en el sentido de que todos los coefi cientes estimados tengan los signos “correctos”, sean estadísticamente signifi cativos de acuerdo con las pruebas t y F, el valor R2 resulte razonablemente alto y el d de Durbin-Watson tenga un valor aceptable (alrededor de 2), etc. Los puristas menosprecian la práctica de la minería de datos. En palabras de William Pool, “. . . siempre resulta arriesgado hacer de una regularidad empírica el fundamento, en vez de tomar como base una implicación de la teoría económica”.15 En seguida daremos una razón para “condenar” la minería de datos.

Nivel de signifi cancia nominal frente a nivel de signifi cancia verdadero

en presencia de minería de datos

Un peligro de la minería de datos al cual se enfrenta el investigador desprevenido es que los niveles convencionales de signifi cancia (α) como 1, 5 o 10% no son los verdaderos niveles de

signifi cancia. Lovell sugirió que, si hay c candidatas regresoras de las cuales k son fi nalmente seleccionadas (k ≤ c) con base en la minería de datos, el verdadero nivel de signifi cancia (α*) se relaciona con el nivel de signifi cancia nominal (α) de la siguiente manera:16

α∗ 1− (1− α)c/k (13.4.2)

15 William Pool, “Is Infl ation Too Low?”, Cato Journal, vol. 18, núm. 3, invierno de 1999, p. 456.16 M. Lovell, “Data Mining”, Review of Economics and Statistics, vol. 65, 1983, pp. 1-12.


o aproximadamente como

α∗ ≈ (c/k)α (13.4.3)

Por ejemplo, si c 15, k 5 y α 5%, mediante (13.4.3), el verdadero nivel de signifi cancia es (15/5)(5) 15%. Por consiguiente, si un investigador extrae datos, selecciona 5 de 15 regreso-ras y sólo informa los resultados en el nivel de signifi cancia de 5% nominal, y declara que estos resultados son estadísticamente signifi cativos, esta conclusión se debe tomar con gran reserva; hasta donde sabemos, el (verdadero) nivel de signifi cancia es en realidad 15%. Debe observarse que si c k, es decir, si no se ha hecho minería de datos, los niveles de signifi cancia verdadero y nominal son iguales. Por supuesto, en la práctica la mayoría de los investigadores sólo informa los resultados de su regresión “fi nal” sin reconocer que llegaron a los resultados tras una consi-derable minería de datos, o preprueba.17

Aparte de algunas desventajas evidentes, cada vez se reconoce más, sobre todo los econome-tristas aplicados, que el método purista (es decir, el que no realiza minería de datos) para elaborar modelos no es defendible. Como expresa Zaman:

Por desgracia, la experiencia con los conjuntos de datos reales muestra que tal enfoque [el purista] no es factible ni deseable. No es factible porque es una teoría económica extraña que conduce a un modelo único. No es deseable porque un aspecto crucial del aprendizaje mediante los datos es cono-cer los tipos de modelos que los datos apoyan o rechazan. Aunque, por una extraña suerte, el modelo inicial mostrase un buen ajuste, con frecuencia resultará importante explorar y conocer las clases de modelos con que los datos concuerdan o no.18

Kerry Patterson expresa un punto de vista similar:

Este enfoque [el de minería de datos] indica que la teoría económica y la especifi cación empírica interactúan en vez de mantenerse en compartimentos separados.19

En lugar de enredarse con la disyuntiva entre la minería de datos y el enfoque purista para la elaboración de modelos, uno puede inclinarse por la posición de Peter Kennedy:

[la especifi cación de modelos] necesitaría ser una combinación bien pensada de teoría y datos; asi-mismo, los procedimientos de prueba para la búsqueda de especifi caciones deben estar diseñados para reducir los costos de la minería de datos. Ejemplos de dichos procedimientos son: dejar de lado datos para las pruebas de predicción fuera de las muestras, ajustar los niveles de signifi cancia [a la Lovell] y evitar criterios cuestionables, como maximizar R2.20

Si consideramos la minería de datos desde una perspectiva más amplia, como un proceso de descubrimiento de regularidades empíricas que sugiriese errores y/u omisiones en los modelos teóricos (existentes), quizá desempeñara un papel muy útil. Para citar de nueva cuenta a Kennedy, “El arte del econometrista aplicado consiste en permitir que la teoría se deje conducir por los datos y al mismo tiempo evite los enormes daños que implica la minería de datos”.21

17 Hay un análisis detallado de lo que pueden provocar las prepruebas y los sesgos en T.D. Wallace, “Pretest Estimation in Regression: A Survey”, American Journal of Agricultural Economics, vol. 59, 1977, pp. 431-443.18 Asad Zaman, Statistical Foundations for Econometric Techniques, Academic Press, Nueva York, 1996, p. 226.19 Kerry Patterson, An Introduction to Applied Econometrics, St. Martin’s Press, Nueva York, 2000, p. 10.20 Peter Kennedy, “Sinning in the Basement: What Are the Rules? The Ten Commandments of Applied Econometrics”, manuscrito inédito.21 Kennedy, op. cit., p. 13.


Pruebas para variables omitidas y forma funcional incorrectaEn la práctica, nunca estamos seguros de que el modelo adoptado para pruebas empíricas repre-sente “la verdad, toda la verdad y nada más que la verdad”. Con base en la teoría o en la intros-pección y en el trabajo empírico previo, desarrollamos un modelo que se cree recoge la esencia del tema en estudio. Luego sometemos el modelo a una prueba empírica. Después de obtener los resultados, iniciamos el post mortem, teniendo en mente los criterios ya estudiados de un buen modelo. Es en esta etapa cuando nos enteramos si el modelo seleccionado es adecuado. Al determinar la bondad de ajuste del modelo se observan algunas características generales de los resultados, como el valor R2, las razones t estimadas, los signos de los coefi cientes estimados en relación con sus expectativas previas, el estadístico de Durbin-Watson, etc. Si estos diagnósticos son razonablemente buenos, podemos afi rmar que el modelo seleccionado es una buena repre-sentación de la realidad. Con el mismo procedimiento, si los resultados no parecen estimulantes porque el valor de R2 es muy bajo o porque muy pocos coefi cientes son estadísticamente signi-fi cativos o tienen los signos correctos, o porque el d de Durbin-Watson es muy bajo, entonces puede empezar a preocupar la bondad del ajuste del modelo y podemos empezar a buscar reme-dios: tal vez omitimos una variable importante, utilizamos la forma funcional equivocada o no realizamos la primera diferenciación de la serie de tiempo (para eliminar la correlación serial), y así sucesivamente. Para determinar si la incompetencia del modelo se debe a uno o más de estos problemas están algunos de los siguientes métodos.

Examen de los residuos

Como mencionamos en el capítulo 12, el examen de los residuos es un buen diagnóstico visual para detectar la autocorrelación o la heteroscedasticidad. Pero estos residuos también se exami-nan, en especial en información de corte transversal, para detectar errores de especifi cación en los modelos, como la omisión de una variable importante o la defi nición de una forma funcional incorrecta. Si en realidad existen tales errores, una gráfi ca de los residuos permite apreciar pa-trones distinguibles.

Para ilustrar lo anterior, reconsidere la función cúbica del costo total de producción analizada en el capítulo 7. Suponga que la verdadera función del costo total se describe de la siguiente manera, donde Y costo total y X producción:

Yi β1 + β2 X i + β3 X2i + β4 X3

i + ui (13.4.4)

pero un investigador ajusta la siguiente función cuadrática:

Yi α1 + α2 X i + α3 X2i + u2i (13.4.5)

y otro investigador ajusta la siguiente función lineal:

Yi λ1 + λ2 X i + u3i (13.4.6)

Aunque sabemos que ambos investigadores cometieron errores de especifi cación, con fi nes pe-dagógicos veamos cómo se comportan los residuos estimados en los tres modelos. (La infor-mación costo-producción está en la tabla 7.4.) La fi gura 13.1 habla por sí misma: a medida que nos movemos de izquierda a derecha, es decir, a medida que nos acercamos a la verdad, no sólo los residuos son más pequeños (en valor absoluto) sino, asimismo, éstos no presentan los giros cíclicos pronunciados asociados con modelos mal especifi cados.

La utilidad de examinar la gráfi ca de residuos es entonces clara: si hay errores de especifi ca-ción, los residuos presentan patrones distinguibles.

De nuevo, el estadístico d de Durbin-Watson

Si examinamos el estadístico d de Durbin-Watson que se calcula de manera habitual y aparece en la tabla 13.1, vemos que, para la función lineal de costos, el d estimado es 0.716, lo cual indica que hay “correlación” positiva en los residuos estimados: para n 10 y k ′ 1, los valores d


críticos a 5% son dL 0.879 y dU 1.320. De la misma manera, el valor d calculado para la fun-ción cuadrática de costos es 1.038, mientras que los valores críticos a 5% son dL 0.697 y dU 1.641, lo cual señala indecisión. Pero con la prueba d modifi cada (véase el capítulo 12) podemos decir que hay “correlación” positiva en los residuos, pues el d calculado es menor que dU. Para la función cúbica de costo, la verdadera especifi cación, el valor d estimado no indica “correlación” positiva alguna en los residuos.22

La “correlación” positiva observada en los residuos cuando ajustamos el modelo lineal o cuadrático no es una medida de correlación serial (de primer orden) sino del error (o errores) de

FIGURA 13.1Residuos ui obtenidos de las funciones del costo total de tipo a) lineal, b) cuadrática y c) cúbica.

X0

ui

Residuos

Producción

a) b) c)

Número deobservación modelo lineal* modelo cuadrático† modelo cúbico**

ui, ui, ui,

1 6.600 −23.900 −0.2222 19.667 9.500 1.6073 13.733 18.817 −0.9154 −2.200 13.050 −4.4265 −9.133 11.200 4.4356 −26.067 −5.733 1.0327 −32.000 −16.750 0.7268 −28.933 −23.850 −4.1199 4.133 −6.033 1.859

10 54.200 23.700 0.022

*Yi 166.467 + 19.933Xi R2 0.8409(19.021) (3.066) R

–2 0.8210(8.752) (6.502) d 0.716

†Yi 222.383 − 8.0250Xi + 2.542Xi2 R2 0.9284

(23.488) (9.809) (0.869) R–2 0.9079

(9.468) (−0.818) (2.925) d 1.038

**Yi 141.767 + 63.478Xi − 12.962Xi2 + 0.939Xi

3 R2 0.9983(6.375) (4.778) (0.9856) (0.0592) R

–2 0.9975(22.238) (13.285) (−13.151) (15.861) d 2.70

TABLA 13.1Residuos estimados de

las funciones del costo

total de tipo lineal,

cuadrático y cúbico

22 En el contexto presente, un valor d = 2 signifi ca que no hay error de especifi cación. (¿Por qué?)


especifi cación (del modelo). La correlación observada tan sólo refl eja que hay una o más varia-bles pertenecientes al modelo incluidas en el término de error y necesitan desecharse de éste e introducirse, por derecho propio, como variables explicativas: si excluimos X3

i de la función de costos, entonces, como lo muestra (13.2.3), el término de error en el modelo mal especifi cado (13.2.2) es en realidad (u1i + β4 X3

i ), el cual presenta un patrón sistemático (por ejemplo, deautocorrelación positiva) si en realidad X3

i afecta a Y signifi cativamente.Para aplicar la prueba de Durbin-Watson para detectar error (o errores) de especifi cación de

un modelo, procedemos de la siguiente manera:

1. A partir de un modelo supuesto, obtenga los residuos de MCO.

2. Si se cree que el modelo supuesto está mal especifi cado porque excluye una variable ex-plicativa relevante, por ejemplo, Z, ordene los residuos obtenidos en el paso 1 de acuerdo con los valores crecientes de Z. Nota: La variable Z puede ser una de las variables X incluidas en el modelo supuesto o algún tipo de función de esa variable, como X 2 o X 3.

3. Calcule el estadístico d a partir de los residuos así ordenados mediante la fórmula d usual, a saber,

d

nt 2(ut − ut−1)2

nt 1 u2

t

Nota: En este contexto, el subíndice t es el índice de la observación que no necesariamente se refi ere a una serie de tiempo.

4. Con base en las tablas de Durbin-Watson, si el valor d estimado es signifi cativo, se puede aceptar la hipótesis de mala especifi cación del modelo. Si es así, las medidas correctivas surgen naturalmente por sí mismas.

En el ejemplo de costos, la variable Z( X ) (producción) ya fue ordenada.23 Por consiguiente, no es preciso calcular otra vez el estadístico d. Como vimos, el estadístico d para las funciones de costos lineal y cuadrática indica la presencia de errores de especifi cación. Los remedios son claros: introduzca los términos cuadrático y cúbico en la función lineal de costos y el término cúbico en la función cuadrática de costos. En resumen, efectúe la regresión del modelo cúbico de costos.

Prueba RESET de Ramsey

Ramsey propuso una prueba general de errores de especifi cación conocida como RESET (prueba del error de especifi cación en regresión).24 Aquí sólo ilustraremos la versión más sencilla de la prueba. Para establecer los conceptos, continuaremos con el ejemplo costo-producción y supon-dremos que la función de costos es lineal en la producción de la siguiente forma:

Yi λ1 + λ2 X i + u3i (13.4.6)

donde Y costo total y X producción. Ahora, si grafi camos los residuos u i obtenidos de esta regresión frente a Yi, la estimación de Yi de este modelo, obtenemos la gráfi ca de la fi gura 13.2. Aunque ui y ui Yi necesariamente son cero (¿por qué?, véase el capítulo 3), los residuos en esta fi gura muestran un patrón en el cual su media cambia sistemáticamente con Yi. Esto indicaría que si introdujéramos Yi en alguna forma como regresora(s) en (13.4.6), debería incrementar R2. Y si el incremento en R2 es estadísticamente signifi cativo (con base en la prueba F analizada en

23 No importa si se ordena ui de acuerdo con X2i o con X3

i , pues son funciones de Xi, la cual ya se ordenó.24 J.B. Ramsey, “Tests for Specifi cation Errors in Classical Linear Least Squares Regression Analysis”, Journal of the Royal Statistical Society, serie B, vol. 31, 1969, pp. 350-371.


el capítulo 8), esto sugeriría que la función lineal de costos (13.4.6) estaba mal especifi cada. Esta es la idea esencial de la prueba RESET. Los pasos de RESET son los siguientes:

1. A partir del modelo seleccionado, por ejemplo, el (13.4.6), obtenga Yi estimada, es decir, Yi.

2. Efectúe de nuevo la regresión (13.4.6) introduciendo Yi en alguna forma, como una o va-rias regresoras adicionales. En la fi gura 13.2, observamos una relación curvilínea entre u i y Yi,que indica que se pueden introducir Y 2

i y Y 3i como regresoras adicionales. Así, efectuamos la

regresión

Yi β1 + β2 X i + β3Y 2i + β4Y 3

i + ui (13.4.7)

3. Sea R2 obtenida de (13.4.7) R2nueva, y la obtenida de (13.4.6), R2

vieja. Entonces utilizamos la prueba F introducida ya en (8.4.18), a saber,

F R2

nueva − R2vieja número de regresoras nuevas

1− R2nueva (n − número de parámetros en el nuevo modelo)

(8.4.18)

para averiguar si el incremento en R2, con (13.4.7), es estadísticamente signifi cativo.

4. Si el valor F calculado es signifi cativo, por ejemplo, en el nivel de 5%, podemos aceptar la hipótesis de que el modelo (13.4.6) está mal especifi cado.

De regreso en el ejemplo ilustrativo, tenemos los siguientes resultados (los errores estándar están entre paréntesis):

Yi 166.467 + 19.933Xi

(19.021) (3.066) R2 0.8409 (13.4.8)

0

ui

Y

150 200 300 400250 350

FIGURA 13.2Residuos ui y Y estimados de la funciónlineal de costos: Yi λ1+ λ2Xi + ui.


Yi 2 140.7223 + 476.6557Xi − 0.09187Y 2i + 0.000119Y 3

i

(132.0044) (33.3951) (0.00620) (0.0000074)

R2 0.9983

(13.4.9)

Nota: Y 2i y Y 3

i en (13.4.9) se obtienen de (13.4.8).Ahora, al aplicar la prueba F, tenemos que

F

(0.9983− 0.8409)/2

(1− 0.9983)/(10− 4)

284.4035 (13.4.10)

El lector puede verifi car fácilmente que este valor F es muy signifi cativo, lo cual indica queel modelo (13.4.8) está mal especifi cado. Por supuesto, llegamos a la misma conclusión con el examen visual de los residuos como también con el valor d de Durbin-Watson. Debe añadirse que, en vista de que Yi es estimada, se trata de una variable aleatoria y, por tanto, las pruebas de signifi cancia habituales aplican si la muestra es razonablemente grande.

Una ventaja de RESET es que es fácil de aplicar, pues no requiere la especifi cación del mo-delo alterno. Sin embargo, ésta también es su desventaja, pues saber que el modelo está mal especifi cado no necesariamente ayuda a elegir una opción mejor.

Como apunta un autor:

En la práctica, la prueba RESET puede no ser particularmente buena para detectar algguna alterna-tiva específi ca para un modelo propuesto, y su utilidad radica en que sirve como indicador general de que algo está mal. Por esta razón, una prueba como RESET se describe en ocasiones como una prueba de especifi cación incorrecta en lugar de una prueba de especifi cación. Esta distinción es muy sutil, pero la idea básica es que una prueba de especifi cación examina algún aspecto particular de una ecuación dada, teniendo en mente hipótesis claras nula y alternativa. Una prueba de especifi cación incorrecta, por otra parte, puede detectar varias opciones e indica que algo está mal según la hipótesis nula, sin ofrecer necesariamente guía clara en cuanto a la hipótesis alterna apropiada.25

Prueba del multiplicador de Lagrange (ML) para agregar variables

Ésta es una alternativa para la prueba RESET de Ramsey. Para explicar esta prueba, continuare-mos con el ejemplo ilustrativo anterior.

Si comparamos la función lineal de costos (13.4.6) con la función cúbica de costos (13.4.4), la primera es una versión restringida de la última (recuerde el análisis de mínimos cuadrados

restringidos, del capítulo 8). La regresión restringida (13.4.6) supone que los coefi cientes de los términos de producción elevados al cuadrado y al cubo son iguales a cero. Para probar esto, la prueba ML se realiza de la siguiente manera:

1. Estime la regresión restringida (13.4.6) mediante MCO y obtenga los residuos, u i.

2. Si la regresión no restringida (13.4.4) resulta ser la verdadera regresión, los residuos obte-nidos en (13.4.6) deben estar relacionados con los términos de la producción elevada al cuadrado y al cubo, es decir, X2

i y X3i .

3. Esto indica que se efectúe la regresión de los u i obtenidos en el paso 1 sobre todas las re-gresoras (incluidas las de la regresión restringida), lo cual, en el presente caso, signifi ca que

u i α1 + α2 X i + α3 X2i + α4 X3

i + vi (13.4.11)

donde v es un término de error con las propiedades usuales.

25 Jon Stewart y Len Gill, Econometrics, 2a. ed., Prentice-Hall Europe, 1998, p. 69.


4. Para un tamaño de muestra grande, Engle demostró que n (el tamaño de la muestra) multi-plicado por R2 estimado en la regresión (auxiliar) (13.4.11) sigue una distribución ji cuadrada con gl iguales al número de restricciones impuestas por la regresión restringida, dos en el ejemplo presente, pues los términos X2

i y X3i son eliminados del modelo.26 Simbólicamente, escribimos

nR2 ∼asin

χ2(número de restricciones) (13.4.12)

donde asin signifi ca asintóticamente, es decir, en muestras grandes.

5. Si el valor ji cuadrada obtenido de (13.4.12) excede el valor ji cuadrada crítico en el nivel de signifi cancia seleccionado, rechazamos la regresión restringida. De lo contrario, no la recha-zamos.

Para el ejemplo, los resultados de la regresión son los siguientes:

Yi 166.467+ 19.333X i (13.4.13)

donde Y es el costo total y X es la producción. Los errores estándar para esta regresión ya están en la tabla 13.1.

Cuando se hace la regresión con los residuos de (13.4.13), como se acaba de sugerir en el paso 3, obtenemos los siguientes resultados:

ui − 24.7 + 43.5443Xi − 12.9615X2i + 0.9396X3

i

ee (6.375) (4.779) (0.986) (0.059)

R2 0.9896

(13.4.14)

Aunque el tamaño de la muestra es de 10, es decir, no es grande, sólo para ilustrar el mecanismo ML, obtenemos nR2 (10)(0.9896) 9.896. De la tabla ji cuadrada observamos que, para 2 gl, el valor ji cuadrada crítico a 1% es alrededor de 9.21. Por consiguiente, el valor observado de 9.896 es signifi cativo en el nivel de 1% y la conclusión sería rechazar la regresión restringida (es decir, la función lineal de costos). Con base en la prueba RESET de Ramsey llegamos a una conclusión similar.

13.5 Errores de medición

Todo el tiempo hemos supuesto implícitamente que las mediciones de la variable dependiente Y y de las variables explicativas, las X, se realizan sin error. Así, en la regresión del gasto de consumo sobre el ingreso y la riqueza de las unidades familiares suponemos que la información sobre estas variables es “precisa”; que no se trata de estimaciones supuestas, extrapolaciones, interpolaciones o aproximaciones realizadas en forma sistemática, como la aproximación a la centésima de dólar más cercana y así sucesivamente. Por desgracia, este ideal no se cumple enla práctica por diversas razones, como errores de no respuesta, en los informes y de computación. Cualesquiera que sean las razones, el error de medición es un problema en potencia complicado, pues constituye aún otro ejemplo de sesgo de especifi cación con las consecuencias que veremos en seguida.

Errores de medición en la variable dependiente YConsidere el siguiente modelo:

Y ∗i α + βX i + ui (13.5.1)

26 R.F. Engle, “A General Approach to Lagrangian Multiplier Model Diagnostics”, Journal of Econometrics, vol. 20, 1982, pp. 83-104.


donde Y ∗i gasto de consumo permanente27

Xi ingreso actual ui término de perturbación estocástico

Como Y ∗i no puede medirse directamente, podemos utilizar una variable de gasto observable Yi tal que

Yi Y ∗i + εi (13.5.2)

donde εi denota los errores de medición en Y ∗i . Por consiguiente, en lugar de estimar (13.5.1), estimamos

Yi (α + βX i + ui ) + εi

α + βX i + (ui + εi )

α + βX i + vi

(13.5.3)

donde vi ui + εi es un término de error compuesto, que contiene el término de perturbación poblacional (el cual puede llamarse término de error ecuacional ) y el término de error de me-dición.

Por simplicidad, suponga que E(ui) E(εi) 0, cov(Xi, ui) 0 (el supuesto de la regresión lineal clásica) y la cov(Xi, εi) 0; es decir, los errores de medición en Y ∗i no están correlacionados con Xi y la cov(ui, εi) 0; es decir, el error ecuacional y el error de medición no están correla-cionados. Con estos supuestos, vemos que la β estimada de (13.5.1) o (13.5.3) será un estimador insesgado de la verdadera β (véase el ejercicio 13.7); es decir, los errores de medición en la variable dependiente Y no destruyen la propiedad de insesgamiento de los estimadores de MCO. Sin embargo, las varianzas y los errores estándar de la β estimada de (13.5.1) y (13.5.3) serán diferentes porque, con las fórmulas usuales (véase el capítulo 3), obtenemos

Modelo (13.5.1): var (β) σ 2

u

x2i

(13.5.4)

Modelo (13.5.3): var (β) σ 2

v

x2i

σ 2

u + σ 2ε

x2i

(13.5.5)

Obviamente, la última varianza es más grande que la primera.28 Por tanto, aunque los errores

de medición en la variable dependiente aún producen estimaciones insesgadas de los pará-

metros y de sus varianzas, las varianzas estimadas ahora son más grandes que cuando no

existen tales errores de medición.

Errores de medición en la variable explicativa XSuponga ahora que, en lugar de (13.5.1), tenemos el siguiente modelo:

Yi α + βX∗i + ui (13.5.6)

donde Yi gasto de consumo actual X∗i ingreso permanente ui término de perturbación (error ecuacional)

27 Esta frase se atribuye a Milton Friedman. Véase también el ejercicio 13.8.28 Sin embargo, observe que esta varianza es aún insesgada porque, en las condiciones establecidas, el tér-mino de error compuesto vi = ui + εi aún satisface los supuestos en los cuales se basa el método de mínimos cuadrados.


Suponga que en lugar de X∗i , observamos

X i X∗i + wi (13.5.7)

donde wi representa los errores de medición en X∗i . Por consiguiente, en lugar de estimar (13.5.6), estimamos

Yi α + β(X i − wi ) + ui

α + βX i + (ui − βwi )

α + βX i + zi

(13.5.8)

donde zi ui − βwi, una composición de errores ecuacional y de medición.Ahora bien, aunque supongamos que wi tiene media cero, es serialmente independiente y no

está correlacionado con ui, no podemos suponer todavía que el término de error compuesto zi es independiente de la variable explicativa Xi porque [suponiendo que E [zi] 0]

cov (zi , X i ) E[zi − E(zi )][X i − E(X i )]

E(ui − βwi )(wi ) con (13.5.7)

E −βw2i

− βσ 2w

(13.5.9)

Así, la variable explicativa y el término de error en (13.5.8) están correlacionados, lo cual viola el supuesto básico del modelo clásico de regresión lineal de que la variable explicativa no está correlacionada con el término de perturbación estocástico. Si se viola este supuesto, puede de-mostrarse que los estimadores de MCO no solamente están sesgados, sino que son también

inconsistentes, es decir, permanecen sesgados aunque el tamaño de la muestra, n, aumente in-

defi nidamente.29

Para el modelo (13.5.8), se demuestra en el apéndice 13A, sección 13A.3, que

plím β β1

1+ σ 2w σ 2

X∗

(13.5.10)

donde σ 2w y σ 2

X∗ son las varianzas de wi y de X *, respectivamente, y donde plímβ signifi ca el límite en probabilidad de β.

Como se espera que el término entre corchetes sea menor que 1 (¿por qué?), (13.5.10) indica que, aunque el tamaño de la muestra aumente indefi nidamente, β no convergirá hacia β. De hecho, si se supone que β es positivo, β subestimará a β, es decir, es sesgado hacia cero. Por supuesto, si no hay errores de medición en X (es decir, σ 2

w 0), β servirá como estimador con-sistente de β.

Por tanto, los errores de medición constituyen un grave problema cuando están presentes en la(s) variable(s) explicativa(s) porque su presencia hace imposible la estimación consistente de los parámetros. Por supuesto, como vimos, si éstos están presentes sólo en la variable dependiente, los estimadores permanecen insesgados y, por ende, son por igual consistentes. Si los errores de medición están presentes en las variables explicativas, ¿cuál es la solución? La respuesta no es fácil. En un extremo, podemos suponer que si σ 2

w es pequeña comparada con σ 2X∗, para todos los

fi nes prácticos podemos suponer “que no existe” el problema y proceder con la estimación usual

29 Como se demuestra en el apéndice A, β es un estimador consistente de β pues, a medida que n au-menta indefi nidamente, la distribución muestral de β tenderá al verdadero β. En términos técnicos, esto se plantea así: plímn→∞β β. Como se anota en el apéndice A, la consistencia es una propiedad de muestras grandes y a menudo se utiliza para estudiar el comportamiento de un estimador cuando no pueden deter-minarse sus propiedades fi nitas o de muestras pequeñas (por ejemplo, insesgamiento).


por MCO. Desde luego, el tropiezo aquí es que no es posible observar o medir σ 2w ni σ 2

X∗ fácil-mente, y por consiguiente, no hay forma de juzgar sus magnitudes relativas.

Otro remedio sugerido son las variables instrumentales o representantes (proxy) que, aun-que están muy correlacionadas con las variables X originales, no están correlacionadas con los términos de error ecuacional y de medición (es decir, ui y wi). Si es posible encontrar tales varia-bles representantes, también lo es obtener una estimación consistente de β. Pero es mucho más fácil hablar sobre esta labor que hacerla. En la práctica, no es fácil encontrar buenas variables representantes; con frecuencia estamos en una situación de inconformidad sobre el mal clima sin ser capaces de hacer mucho al respecto. Además, no es fácil saber si la variable instrumental seleccionada es en realidad independiente de los términos de error ui y wi.

En la teoría hay otras sugerencias para resolver el problema.30 Pero la mayoría es específi ca de cada situación y sus supuestos son restrictivos. En realidad no hay respuesta satisfactoria al problema de los errores de medición. Por esto es tan crucial que la medición de los datos sea lo más precisa posible.

30 Véase Thomas B. Fomby, R. Carter Hill y Stanley R. Johnson, Advanced Econometric Methods, Springer-Ver-lag, Nueva York, 1984, pp. 273-277. Véase también Kennedy, op. cit., pp. 138-140, para un análisis sobre regresión ponderada y variables instrumentales. También G.S. Maddala, Introduction to Econometrics, 3a. ed., John Wiley & Sons, Nueva York, 2001, pp. 437-462, y Quirino Paris, “Robust Estimators of Errors-in-Variables Models: Part I”, documento de trabajo núm. 04-007, 200, Departamento de Economía Agrícola y de Recur-sos, Universidad de California en Davis, agosto de 2004.31 El autor agradece a Kenneth J. White la elaboración de este ejemplo. Véase su Computer Handbook Using SHAZAM, para utilizarse con Damodar Gujarati, Basic Econometrics, septiembre de 1985, pp. 117-121.

Concluimos esta sección con un ejemplo construido para resaltar los puntos anteriores.La tabla 13.2 proporciona información hipotética sobre el gasto de consumo verdadero Y *,

el ingreso verdadero X*, el consumo medido Y y el ingreso medido X. La tabla también explica la forma como se midieron estas variables.31

Errores de medición sólo en la variable dependiente Y. Con base en esta información, la verdadera función de consumo es

Y*i 25.00 + 0.6000X*i

(10.477) (0.0584)

t (2.3861) (10.276)

R2 0.9296

(13.5.11)

EJEMPLO 13.2

Un ejemplo

Y* X* Y X ε w u

75.4666 80.00 67.6011 80.0940 −7.8655 0.0940 2.466674.9801 100.00 75.4438 91.5721 0.4636 −8.4279 −10.0199

102.8242 120.00 109.6956 112.1406 6.8714 2.1406 5.8242125.7651 140.00 129.4159 145.5969 3.6509 5.5969 16.7651106.5035 160.00 104.2388 168.5579 −2.2647 8.5579 −14.4965131.4318 180.00 125.8319 171.4793 −5.5999 −8.5207 −1.5682149.3693 200.00 153.9926 203.5366 4.6233 3.5366 4.3693143.8628 220.00 152.9208 222.8533 9.0579 2.8533 −13.1372177.5218 240.00 176.3344 232.9879 −1.1874 −7.0120 8.5218182.2748 260.00 174.5252 261.1813 −7.7496 1.1813 1.2748

Nota: Se supone que los datos sobre X * están dados. En la derivación de las demás variables, los supuestos fueron los siguientes:1) E(ui) E(εi) E(wi) 0; 2) cov (X, u) cov (X, ε) cov (u, ε) cov (w, u) cov (ε, w) 0; 3) σ2

u 100, σ2s 36, y σ2

w 36;y 4) Y*

i 25 + 0.6X*i + ui , Yi Y*i + εi y Xi X*i + wi.

TABLA 13.2Información hipotética

sobre Y* (verdadero

gasto de consumo),

X* (verdadero ingre-

so), Y (gasto de consu-

mo medido) y X

(ingreso medido).

Todas las cifras están

en dólares

(continúa)


13.6 Especifi cación incorrecta del término de error estocástico

Un problema común de los investigadores es la especifi cación del término de error ui, que ingresa en el modelo de regresión. Como el término de error no se puede observar de manera directa, no hay una forma sencilla de determinar la forma en que ingresa en el modelo. A fi n de ver lo anterior, considere los modelos de (13.2.8) y (13.2.9). Por simplicidad de la exposición, supusi-mos que no hay intercepto en el modelo. Además, supondremos que ui en (13.2.8) es tal que ln ui

satisface los supuestos característicos de MCO.Si suponemos que (13.2.8) es el modelo “correcto” pero estimamos (13.2.9), ¿cuáles son

las consecuencias? En el apéndice 13.A, sección 13A.4, se muestra que si ln ui ∼ N(0, σ 2), en-tonces

ui ∼ log normal eσ2/2, eσ

2eσ

2− 1 (13.6.1)

como resultado:

E(α) βeσ2/2 (13.6.2)

donde e es la base del logaritmo natural.

mientras que si utilizamos Yi en lugar de Yi*, obtenemos

Y i 25.00 + 0.6000X*i

(12.218) (0.0681)

t (2.0461) (8.8118)

R2 0.9066

(13.5.12)

Como indican estos resultados y de acuerdo con la teoría, los coefi cientes estimados continúan siendo iguales. El único efecto de los errores de medición en la variable dependiente es que los errores estándar estimados de los coefi cientes tienden a ser más grandes [véase (13.5.5)], lo cual se aprecia con claridad en (13.5.12). A propósito, observe que los coefi cientes de regresión en (13.5.11) y (13.5.12) son los mismos porque la muestra se generó para cumplir con los supues-tos del modelo de errores de medición.

Errores de medición en X. Sabemos que la regresión verdadera es (13.5.11). Suponga ahora que en lugar de X *i utilizamos Xi. (Nota: En realidad, X *i pocas veces es observable.) Los resulta-dos de la regresión son los siguientes:

Y *i 25.992 + 0.5942X i

(11.0810) (0.0617)

t (2.3457) (9.6270)

R2 0.9205

(13.5.13)

Estos resultados están de acuerdo con la teoría: cuando hay errores de medición en la(s) variable(s) explicativa(s), los coefi cientes estimados están sesgados. Por fortuna, en este ejemplo el sesgo es relativamente pequeño; de (13.5.10) es evidente que el sesgo depende de σ 2

w/σ2X * ,

y en la generación de la información supusimos que σ 2w 36 y σ 2

X* 3 667, con lo que reduji-mos el factor de sesgo, alrededor de 0.98% ( 36/3 667).

Dejamos al lector averiguar lo que sucede cuando hay errores de medición en Y y en X, es decir, cuando efectuamos la regresión de Yi sobre Xi en lugar de hacerla de Yi* sobre X *

i (véase el ejercicio 13.23).

EJEMPLO 13.2(continuación)


Como se aprecia, α es un estimador sesgado, pues su valor promedio no es igual a la verda-dera β.

Veremos más respecto de la especifi cación del término de error estocástico en el capítulo sobre los modelos de regresión no lineales en los parámetros.

13.7 Modelos anidados y no anidados

Al efectuar la prueba de especifi cación, es útil diferenciar entre modelos anidados y no anida-

dos. Para distinguirlos, considere los siguientes modelos:

Modelo A: Yi β1 + β2 X2i + β3 X3i + β4 X4i + β5 X5i + ui

Modelo B: Yi β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui

Decimos que el modelo B está anidado en el modelo A porque es un caso especial del modelo A: si estimamos el modelo A y probamos la hipótesis de que β4 β5 0 y no se rechaza con base en la prueba F,32 el modelo A se reduce al modelo B. Si añadimos la variable X4 al modelo B, el A se reducirá al B, si β5 es cero; en este caso aplicaremos la prueba t a la hipótesis de que el coefi ciente de X5 es cero.

Sin llamarlas de ese modo, las pruebas de error de especifi cación que acabamos de analizar y la prueba F restringida que vimos en el capítulo 8 son en esencia pruebas de hipótesis anidadas.

Ahora considere los siguientes modelos:

Modelo C: Yi α1 + α2 X2i + α3 X3i + ui

Modelo D: Yi β1 + β2 Z2i + β3 Z3i + vi

donde las X y las Z son variables distintas. Decimos que los modelos C y D son no anidados porque no puede derivarse uno como caso especial del otro. En economía, como en otras ciencias, más de una teoría puede explicar un fenómeno. Por tanto, los monetaristas pueden destacar la función del dinero al explicar los cambios del PIB, en tanto que los keynesianos pueden explicar-los mediante las variaciones en el gasto gubernamental.

Debe notarse que se puede permitir que los modelos C y D contengan regresoras comunes a ambos. Por ejemplo, X3 puede incluirse en D, y Z2 en C. Aun así, estos modelos son no anidados, pues el modelo C no contiene a Z3, y el modelo D no contiene a X2.

Aunque se encuentren las mismas variables en el modelo, por la forma funcional pueden ser dos modelos no anidados. Por ejemplo, considere el modelo:

Modelo E: Yi β1 + β2 ln Z2i + β3 ln Z3i + wi

Los modelos D y E son no anidados, pues no se puede derivar uno como caso especial del otro.Como ya vimos las pruebas de modelos anidados (pruebas t y F ), en la siguiente sección ana-

lizaremos algunas pruebas para los modelos no anidados, antes llamados errores de especifi ca-ción incorrecta del modelo.

32 De manera más general, es posible utilizar la prueba de la razón de verosimilitud o la de Wald, o bien la prueba del multiplicador de Lagrange, que analizamos brevemente en el capítulo 8.


13.8 Pruebas de hipótesis no anidadas

De acuerdo con Harvey,33 existen dos métodos para probar hipótesis no anidadas: 1) el método

de discriminación, en donde dados dos o más modelos rivales, uno elige un modelo con base en criterios de bondad de ajuste, y 2) el método de discernimiento (en la terminología de este texto), en donde al investigar un modelo, se toma en cuenta la información proporcionada por otros modelos. Estudiaremos brevemente ambos métodos.

Método de discriminaciónConsidere los modelos C y D anteriores. Como ambos tienen la misma variable dependiente, po-demos elegir entre dos (o más) modelos con base en algún criterio de bondad de ajuste, como R2 o R2 ajustada, ya analizado. Pero tenga en cuenta que al comparar dos o más modelos, la regresada debe ser la misma. Además de estos criterios, hay otros también comunes. Entre ellos están elcriterio de información de Akaike (CIA), el criterio de información de Schwarz (CIS) yel criterio Cp de Mallows. Los estudiaremos en la sección 13.9. El software más moderno de estadística contiene uno o más de tales criterios intercalados en sus rutinas de regresión. En la última sección de este capítulo ilustraremos los criterios anteriores con un ejemplo ampliado. Con base en uno o más de tales criterios seleccionamos fi nalmente un modelo con la máxima R2,o el valor más bajo del CIA o del CIS, etcétera.

Método de discernimientoLa prueba F no anidada o la prueba F incluyente

Considere los modelos C y D presentados en la sección 3.7. ¿Cómo elegir entre ambos modelos? Para este propósito, suponga que estimamos el siguiente modelo anidado o híbrido:

Modelo F: Yi λ1 + λ2 X2i + λ3 X3i + λ4 Z2i + λ5 Z3i + ui

Observe que el modelo F anida o incluye a los modelos C y D. Pero note que C no está anidado en D, y que éste no está anidado en C, por lo que no son modelos anidados.

Ahora bien, si el modelo C es correcto, λ4 λ5 0, en tanto que D es correcto si λ2 λ3 0. Esta prueba se efectúa mediante la prueba F usual, de aquí que se le conozca como prueba F no anidada.

Sin embargo, surgen problemas con este procedimiento de prueba. En primer lugar, si las X y las Z están demasiado correlacionadas, entonces —como vimos en el capítulo de multi-colinealidad— es muy probable que una o más de las λ sean en lo individual estadísticamente insignifi cantes, aunque con base en la prueba F podamos rechazar la hipótesis de que todos los coefi cientes de pendientes sean simultáneamente nulos. En este caso, no hay forma de decidir si el modelo C o el D es el correcto. En segundo lugar, existe otro problema. Suponga que elegi-mos el modelo C como hipótesis de referencia o modelo, y descubrimos que todos sus coefi cien-tes son signifi cativos. Ahora agregamos Z2 o Z3, o ambas, al modelo y tenemos que, al utilizar la prueba F, su contribución incremental a la suma de cuadrados explicada (SCE) es estadística-mente insignifi cante. Por tanto, elegimos el modelo C.

Pero suponga que elegimos el modelo D como referencia y encontramos que todos suscoefi cientes son estadísticamente signifi cativos. Pero cuando agregamos X2 o X3, o ambas, a este modelo, de nuevo observamos que, con la prueba F, su contribución incremental a la SCE es insignifi cante. En consecuencia, habríamos elegido el modelo D como el correcto. Por tanto, “la elección de la hipótesis de referencia puede determinar el resultado de la elección del modelo”,34 sobre todo si hay una gran multicolinealidad en las regresoras rivales. Por último, el modelo F, artifi cialmente anidado, quizá no tenga ningún signifi cado económico.

33 Andrew Harvey, The Econometric Analysis of Time Series, 2a. ed., The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1990, cap. 5.34 Thomas B. Fomby, R. Carter Hill y Stanley R. Johnson, Advanced Econometric Methods, Springer Verlag, Nueva York, 1984, p. 416.


Para determinar si los cambios en el PIB nominal se explican por las variaciones en la oferta de dinero (monetarismo) o por los cambios en el gasto gubernamental (keynesianismo), conside-ramos los siguientes modelos:

Yt α + β0Mt + β1Mt−1 + β2Mt−2 + β3Mt−3 + β4Mt−4 + u1t

α +

4

i 0

βi Mt−i + u1t

(13.8.1)

Yt γ + λ0 E t + λ1 E t−1 + λ2 E t−2 + λ3 E t−3 + λ4 E t−4 + u2t

γ +

4

i 0

λi E t−i + u2t

(13.8.2)

donde Yt tasa de crecimiento en el PIB nominal para el tiempo t

Mt tasa de crecimiento en la oferta de dinero (versión M1) en el tiempo t

E t tasa de crecimiento con una plena o alta utilización del gasto gubernamental en el tiempo t

Por cierto, observe que (13.8.1) y (13.8.2) son ejemplos de modelos de rezago distribuido, tema que analizaremos a profundidad en el capítulo 17. Por el momento, simplemente note que el efecto de una unidad de cambio en la oferta de dinero o en el gasto gubernamental sobre el PIB se distribuye a lo largo del tiempo y no es instantáneo.

Como sería difícil, a priori, decidir entre los dos modelos rivales, mezclaremos ambos como se muestra a continuación:

Yt constante+4

i 0

βi Mt−i +

4

i 0

λi E t−i + u3t (13.8.3)

Este modelo anidado es una forma en la que se ha expresado y estimado el famoso modelo (del Banco de la Reserva Federal) de St. Louis, un banco de la escuela monetarista. Sus resultados parael periodo del primer trimestre de 1953 al cuarto de 1976 para Estados Unidos son los siguientes (las razones t están entre paréntesis):35

Coeficiente Estimado Coeficiente Estimado

β0 0.40 (2.96) λ0 0.08 (2.26)β1 0.41 (5.26) λ1 0.06 (2.52)β2 0.25 (2.14) λ2 0.00 (0.02)β3 0.06 (0.71) λ3 −0.06 (−2.20)β4 −0.05 (−0.37) λ4 −0.07 (−1.83)

4

i 0

βi 1.06 (5.59)4

i 0

λi 0.03 (0.40)

R2 0.40d 1.78

¿Qué indican estos resultados en lo que concierne a la superioridad de un modelo respecto del otro? Si nos atenemos al efecto acumulativo de una unidad de cambio en M y E sobre Y , obtene-mos respectivamente 4

i 0 βi 1.06 y 4i 0 λi 0.03, con el primero estadísticamente signifi -

cativo y el último no. Esta comparación apoyaría la afi rmación monetarista de que los cambios en la oferta de dinero son los que determinan las variaciones en el PIB (nominal). Se deja como ejercicio para el lector evaluar en forma crítica esta afi rmación.

EJEMPLO 13.3

Un ejemplo ilustra-

tivo: El modelo

St. Louis

35 Véase Keith M. Carlson, “Does the St. Louis Equation Now Believe in Fiscal Policy?”, Review, Federal Reserve Bank of St. Louis, vol. 60, núm. 2, febrero de 1978, p. 17, tabla IV.

(13.8.4)


La prueba J de Davidson-MacKinnon36

En vista de los problemas que acabamos de mencionar en el procedimiento de prueba F no anidado, se han sugerido otras opciones. Una es la prueba J de Davidson-MacKinnon. Para ilustrarla, suponga que deseamos comparar la hipótesis o modelo C con la hipótesis o modelo D. La prueba J procede de la siguiente forma:

1. Estimamos el modelo D y de él obtenemos los valores Y estimados, Y Di .

2. Agregamos el valor Y pronosticado en el paso 1 como una regresora adicional al modelo C y estimamos el siguiente modelo:

Yi α1 + α2 X2i + α3 X3i + α4 Y Di + ui (13.8.5)

donde los valores Y Di se obtienen del paso 1. Este modelo es un ejemplo del principio de inclu-

sión, como en la metodología de Hendry.

3. Con la prueba t, se prueba la hipótesis de que α4 0.

4. Si no se rechaza la hipótesis de que α4 0, podemos aceptar (es decir, no se rechaza) el modelo C como el verdadero modelo, pues Y D

i , incluida en (13.8.5), que representa la infl uencia de las variables no consideradas en el modelo C, no tiene un poder explicativo adicional más allá de lo que contribuye el modelo C. En otras palabras, el modelo C incluye al modelo D, en el sentido de que este último no contiene ninguna información adicional que mejore el desempeño de C. Por el mismo tenor, si se rechaza la hipótesis nula, el modelo C no puede ser el verdadero (¿por qué?).

5. Ahora cambiamos los papeles de las hipótesis, o de los modelos C y D. Estimamos primero el modelo C, con los valores Y estimados de este modelo como regresoras en (13.8.5), repetimos elpaso 4 y decidimos si preferimos o no el modelo D respecto del C. De manera más específi ca, estimamos el siguiente modelo:

Yi β1 + β2 Z2i + β3 Z3i + β4Y Ci + ui (13.8.6)

donde Y Ci son los valores Y estimados del modelo C. Ahora probamos la hipótesis de que β4 0.

Si no se rechaza esta hipótesis, elegimos el modelo D en vez del C. Si se rechaza la hipótesis de que β4 0, entonces preferiremos C en vez de D, pues este último no tiene un mejor desempeño que C.

Aunque resulta intuitivamente llamativa, la prueba J presenta algunos problemas. Como las pruebas dadas en (13.8.5) y (13.8.6) se realizan de manera independiente, tenemos los siguientes resultados probables:

Hipótesis: α4 H 0

Hipótesis: β4 H 0 No se rechaza Se rechazaNo se rechaza Se aceptan C y D Se acepta D, se rechaza CSe rechaza Se acepta C, se rechaza D Se rechazan C y D

Como muestra la tabla, no podremos dar una respuesta contundente si el procedimiento de prueba J conduce a la aceptación o rechazo de ambos modelos. En caso de que ambos se rechacen, nin-gún modelo explica el comportamiento de Y. De igual forma, si ambos se aceptan, como observa Kmenta, “los datos al parecer no son lo bastante ricos para discriminar entre las dos hipótesis [modelos]”.37

36 R. Davidson y J.G. MacKinnon, “Several Tests for Model Specifi cation in the Presence of Alternative Hypo-theses”, Econometrica, vol. 49, 1981, pp. 781–793.37 Jan Kmenta, op. cit., p. 597.


Otro problema con la prueba J es que cuando se utiliza el estadístico t para probar la sig-nifi cancia de la variable Y estimada en los modelos (13.8.5) y (13.8.6), el estadístico t tiene la distribución normal estándar sólo de manera asintótica, es decir, para muestras grandes. Por consiguiente, la prueba J quizá no sea muy poderosa (en el sentido estadístico) para muestras pequeñas, pues tiende a rechazar la hipótesis o el modelo verdadero con una frecuencia mayor de la que debería.

Para ilustrar la prueba J, considere los datos de la tabla 13.3, la cual proporciona el gasto de consumo personal per cápita (GCPP) y el ingreso personal disponible per cápita (IPDP), ambos en dólares de 2008, en Estados Unidos de 1970 a 2005. Ahora considere los siguientes mode-los rivales:

Modelo A: GCPPt α1 + α2IPDPt + α3IPDPt−1 + ut (13.8.7)

Modelo B: GCPPt β1 + β2IPDPt + β3GCPPt−1 + ut (13.8.8)

El modelo A establece que el GCPP depende del IPDP en el periodo actual y previo; este modelo es un ejemplo de modelo de rezago distribuido (véase el capítulo 17). El modelo B postula que el GCPP depende del IPDP actual y del GCPP del periodo anterior; este modelo representael modelo autorregresivo (véase el capítulo 17). La razón para introducir el valor rezagado del GCPP en este modelo es refl ejar la inercia o persistencia del hábito.

Los resultados de estimar estos modelos por separado fueron los siguientes:

Modelo A: GCPPt −606.6347 + 0.6170 IPDPt + 0.3530 IPDPt−1

t (−3.8334) (2.5706) (1.4377)

R2 0.9983 d 0.2161

(13.8.9)

Modelo B: GCPPt 76.8947 + 0.2074 IPDPt + 0.8104 GCPPt−1

t (0.7256) (2.6734) (9.7343)

R2 0.9996 d 0.9732

(13.8.10)

EJEMPLO 13.4

Gasto de consumo

personal e ingreso

personal disponible

TABLA 13.3Gasto de consumo

personal per cápita

(GCPP) e ingreso per-

sonal disponible per cá-

pita (IPDP) en Estados

Unidos, 1970-2005

Fuente: Economic Report of the

President, 2007.

Año GCPP IPDP Año GCPP IPDP

1970 3 162 3 587 1988 13 685 15 2971971 3 379 3 860 1989 14 546 16 2571972 3 671 4 140 1990 15 349 17 1311973 4 022 4 616 1991 15 722 17 6091974 4 364 5 010 1992 16 485 18 4941975 4 789 5 498 1993 17 204 18 8721976 5 282 5 972 1994 18 004 19 5551977 5 804 6 517 1995 18 665 20 2871978 6 417 7 224 1996 19 490 21 0911979 7 073 7 967 1997 20 323 21 9401980 7 716 8 822 1998 21 291 23 1611981 8 439 9 765 1999 22 491 23 9681982 8 945 10 426 2000 23 862 25 4721983 9 775 11 131 2001 24 722 26 2351984 10 589 12 319 2002 25 501 27 1641985 11 406 13 037 2003 26 463 28 0391986 12 048 13 649 2004 27 937 29 5361987 12 766 14 241 2005 29 468 30 458

(continúa)


Otras pruebas para la selección del modelo

La prueba J recién estudiada sólo es una de un grupo para seleccionar modelos: existe la prueba

Cox, la prueba JA, la prueba P, la prueba de inclusión Mizon-Richard y variantes de ellas.

Resulta obvio que no se espera que en este texto estudiemos estas pruebas tan especializadas,

pero el lector puede consultar las referencias de las notas.38

Si se tuviese que elegir entre estos dos modelos con base en el método de discriminación, según el criterio R2, quizá se elegiría el modelo B (13.8.10) porque es un poco más alto que el A (13.8.9). Además, en el modelo B (13.8.10) ambas variables son estadísticamente signifi cativas en lo individual, en tanto que en el A (13.8.9) sólo el IPDP actual es estadísticamente signifi cativo (aunque puede haber un problema de colinealidad). Sin embargo, para efectos predictivos no existe mucha diferencia entre los dos valores estimados de R2.

Para aplicar la prueba J, suponga que el modelo A es la hipótesis nula, es decir, el modelo mantenido, y el modelo B es la hipótesis alternativa. Siguiendo los pasos de la prueba J analiza-dos antes, se utilizan los valores estimados del GCPP del modelo (13.8.10) como una regresora incondicional en el modelo A, con el siguiente resultado:

GCPPt − 35.17 + 0.2762 IPDPt − 0.5141 IPDPt−1 + 1.2351 GCPPt

t (−0.43) (2.60) (−4.05) (12.06)

R2 1.00 d 1.5205

B

(13.8.11)

donde GCPPtB en el miembro derecho de (13.8.11) representa los valores estimados GCPP del

modelo B (13.8.10). Como el coefi ciente de esta variable es estadísticamente signifi cativo con un estadístico t muy alto de 12.06, según el procedimiento de la prueba J se tiene que rechazar el modelo A y aceptar el B.

Ahora supondremos que el modelo B es la hipótesis mantenida y que el A es la alternativa, exactamente con el mismo procedimiento que antes, y obtenemos los siguientes resultados:

GCPPt − 823.7 + 1.4309 IPDPt + 1.0009 GCPPt−1 − 1.4563 GCPP

t (−3.45) (4.64) (12.06) (−4.05)

R2 1.00 d 1.5205

tA

donde GCPP tA en el miembro derecho de la ecuación (13.8.12) representa los valores estimados

de GCPP del modelo A original (13.8.9). En esta regresión el coefi ciente de GCPP tA también es

estadísticamente signifi cativo, con un estadístico t de −4.05. Este resultado indica que ahora debemos preferir el modelo B en vez del A.

Todo lo anterior muestra que ningún modelo es particularmente útil para explicar el com-portamiento del gasto de consumo personal per cápita en Estados Unidos de 1970 a 2005. Por supuesto, sólo consideramos dos modelos rivales. En realidad, bien puede haber más de dos mo-delos. El procedimiento de la prueba J puede ampliarse a la comparación de múltiples modelos, aunque así el análisis se complica con facilidad.

Este ejemplo muestra de forma muy vívida por qué el MCRL supone que el modelo de re-gresión del análisis está especifi cado de modo correcto. Obvio, resulta crucial, al desarrollar un modelo, poner especial atención al fenómeno del cual se está haciendo el modelo.

EJEMPLO 13.4(continuación)

38 Véase también Badi H. Baltagi, Econometrics, Springer, Nueva York, 1998, pp. 209-222.

(13.8.12)


13.9 Criterios para la selección de modelos

En esta sección estudiaremos diversos criterios para elegir entre modelos rivales y/o comparar

con propósitos de pronóstico. Aquí distinguimos entre pronóstico dentro de la muestra y pro-

nóstico fuera de la muestra. El primero señala sobre todo cómo elegir el modelo que se ajusta

a los datos de determinada muestra. El pronóstico fuera de la muestra se refi ere a la forma de

determinar cómo un modelo ajustado pronostica valores futuros de la regresada, dados los valo-

res de las regresoras.

Hay diversos criterios para este fi n. En particular, examinaremos los siguientes criterios:

1) R2, 2) R2 ajustada ( R2), 3) criterio de información Akaike (CIA), 4) criterio de información

Schwarz (CIS), 5) criterio Cp de Mallows y 6) pronóstico χ2 (ji cuadrada). Todos estos criterios

pretenden reducir la suma de cuadrados residual (SCR) (o incrementar el valor R2). Sin embargo,

salvo por el primer criterio, los demás imponen un castigo por incluir un número creciente de

regresoras. Por tanto, existe un dilema entre la bondad del ajuste del modelo y su complejidad

(juzgada de acuerdo con el número de regresoras).

El criterio R2

Sabemos que una medida de la bondad del ajuste de un modelo de regresión es R2, la cual se

defi ne como:

R2 SCE

SCT 1 −

SCR

SCT (13.9.1)

Así defi nida, R2 necesariamente está entre 0 y 1. Mientras más cerca esté de 1, mejor será el

ajuste. Pero surgen varios problemas con R2. En primer lugar, mide la bondad de ajuste dentro

de la muestra, en el sentido de conocer la cercanía entre un valor Y estimado y su valor real en la

muestra dada. No hay garantía de que pronosticará bien las observaciones fuera de la muestra. En

segundo lugar, al comparar dos o más valores de R2, la variable dependiente, o regresada, debe

ser la misma. En tercer lugar, y lo más importante, es que una R2 no puede disminuir cuando se

agregan más variables al modelo. Por consiguiente, existe la tentación de apostar por “maximizar

R2” simplemente añadiendo más variables. Por supuesto que al agregar variables se incremen-

ta R2, pero también aumenta la varianza del error de predicción.

R2 ajustadaDebido a la inconveniencia de aumentar regresoras para incrementar el valor de R2, Henry Theil

desarrolló la R2 ajustada, denotada por R2, la cual estudiamos en el capítulo 7. Recuerde que

R2 1 −SCE/(n − k)

SCT/(n − 1) 1 − (1 − R2)

n − 1

n − k (13.9.2)

Como se ve en esta fórmula, R2 R2, lo cual muestra cómo la R2 ajustada penaliza cuando se

agregan más regresoras. Como observamos en el capítulo 8, a diferencia de R2, la R2 ajustada

se incrementa sólo si el valor absoluto de t de la variable añadida es mayor que 1. Así, para com-

parar, R2 es una mejor medida que R2. Pero una vez más, tenga en cuenta que la regresada debe

ser la misma para que la comparación sea válida.


Criterio de información Akaike (CIA)La idea de imponer una penalización por añadir regresoras al modelo se desarrolló más en el

criterio CIA, el cual se defi ne como:

CIA e2k/nu2

i

n e2k/n

SCR

n (13.9.3)

donde k es el número de regresoras (inclusive el intercepto) y n es el número de observaciones.

Por conveniencia matemática (13.9.3) se expresa como

ln CIA 2k

n+ ln

SCR

n (13.9.4)

donde ln CIA el logaritmo natural de CIA y 2k/n factor de penalización. Algunos libros de

texto y paquetes de software defi nen al CIA sólo en términos de su transformada logarítmica,

por lo que no es necesario escribir ln antes de CIA. Como se ve en la fórmula, CIA impone una

mayor penalización que R2 por añadir regresoras. Al comparar dos o más modelos, se preferirá el

que tenga el menor valor CIA. Una ventaja del CIA es que resulta útil no sólo para el desempeño

de la predicción dentro de la muestra, sino también para el de la predicción fuera de la mues-

tra de un modelo de regresión. Asimismo, es útil para los modelos anidados y no anidados. Tam-

bién sirve para determinar la longitud del rezago en el modelo AR(p).

Criterio de información Schwarz (CIS)Con un espíritu similar al CIA, el criterio CIS se defi ne como

CIS n k/nu2

n nk/n

SCR

n (13.9.5)

o, en forma logarítmica:

ln CIS k

nln n + ln

SCR

n (13.9.6)

donde [(k/n) ln n] es el factor de penalización. CIS impone una penalización mayor que CIA,

como resulta obvio al comparar (13.9.6) con (13.9.4). Al igual que en CIA, mientras más

pequeño sea el valor de CIS, mejor será el modelo. De nuevo, al igual que en CIA, CIS sirve

para comparar el desempeño del pronóstico dentro de la muestra y fuera de la muestra de un

modelo.

Criterio Cp de MallowsSuponga que tenemos un modelo con k regresoras, inclusive el intercepto. Sea σ 2 el estimador de

la verdadera σ 2, como siempre. Pero suponga también que sólo elegimos p regresoras ( p k) y

obtuvimos la SCR de la regresión con esas p regresoras. Sea SCRp la suma de cuadrado residual


obtenida con las p regresoras. Ahora bien, C.P. Mallows elaboró el siguiente criterio para selec-

cionar modelos, conocido como criterio Cp:

Cp SCRp

σ 2− (n − 2p) (13.9.7)

donde n es el número de observaciones.

Sabemos que E (σ 2) es un estimador insesgado de la verdadera σ 2. Ahora bien, si el modelo

con p regresoras es adecuado en lo que se refi ere a que no muestra una carencia de ajuste, se

puede demostrar39 que E(SCRp) (n − p)σ 2. En consecuencia, es verdad aproximadamente

que

E(Cp) ≈(n − p)σ 2

σ 2− (n − 2p) ≈ p (13.9.8)

Al elegir un modelo de acuerdo con el criterio Cp, se debe buscar un modelo con un valor bajo

de Cp, aproximadamente igual que p. En otras palabras, si seguimos el principio de parsimonia,

elegiremos un modelo con p regresoras (p < k) que proporcione un ajuste adecuado a los datos.

En la práctica, se suele grafi car Cp calculado de (13.9.7) en función de p. Un modelo “ade-

cuado” se mostrará como un punto cercano a la línea Cp p, como se observa en la fi gura 13.3,

en la cual se ve que el modelo A es preferible al B, pues está más cerca a la línea Cp p que

el B.

Advertencia sobre los criterios de selección de modelosEstudiamos varios criterios para seleccionar modelos. Pero estos criterios se deben considerar

complementos de las diversas pruebas de especifi cación vistas en este capítulo. Algunos criterios

analizados son meramente descriptivos y pueden carecer de propiedades teóricas fi rmes. Incluso

a algunos se les puede imputar el cargo de recurrir a la minería de datos. Sin embargo, son tan

comunes que el lector debe conocerlos. Ninguno de estos criterios es superior a los demás.40 El

39 Norman D. Draper y Harry Smith, Applied Regression Analysis, 3a. ed., John Wiley & Sons, Nueva York, 1998, p. 332. Consulte este libro para algunos ejemplos resueltos de Cp.40 Hay un análisis útil sobre el tema en Francis X. Diebold, Elements of Forecasting, 2a. ed., South Western, 2001, pp. 83-89. Respecto del balance, Diebold recomienda el criterio CIS.

C

p = p

Cp

p

B

A

FIGURA 13.3Gráfi co de la Cp de

Mallows.


software más moderno ahora incluye los criterios R2, R2 ajustada, CIA y CIS. El criterio de la Cp

de Mallows todavía no suele incluirse, aunque se obtiene con facilidad a partir de su defi nición.

Pronóstico ji cuadrada (χ2)Suponga que tenemos un modelo de regresión basado en n observaciones y además deseamos

pronosticar con él los valores (medios) de la regresada para t observaciones adicionales. Siempre

es aconsejable guardar parte de los datos muestrales para ver la forma en que el modelo estimado

pronostica las observaciones no incluidas en la muestra, el periodo posmuestra:

Ahora el pronóstico χ2 se defi ne como sigue:

Pronóstico, χ2

n+tn+1 u2

i

σ 2 (13.9.9)

donde u i es el error de pronóstico para el periodo i ( n + 1, n + 2, . . . , + n + t), con los paráme-

tros obtenidos de la regresión ajustada y los valores de las regresoras en el periodo posmuestra.

σ 2 es el estimador usual de MCO para σ 2 basada en la regresión ajustada.

Si nuestra hipótesis es que los valores de los parámetros no cambiaron entre los periodos de la

muestra y la posmuestra, podemos demostrar que el estadístico de (13.9.9) sigue la distribución

ji cuadrada con t grados de libertad, donde t es el número de periodos para los que se realizó el

pronóstico. Como señalan Charemza y Deadman, la prueba del pronóstico χ2 tiene un poder es-

tadístico débil, lo cual signifi ca que la probabilidad de que la prueba rechace correctamente una

hipótesis nula falsa es baja y por tanto la prueba debe utilizarse más como indicador que como

prueba defi nitiva.41

13.10 Otros temas relacionados con la creación

de modelos econométricos

Como señalamos en la introducción de este capítulo, el tema de la construcción de modelos y de

las pruebas de diagnóstico es tan amplio y complejo que hay libros especializados al respecto. En

la sección anterior vimos en forma breve algunos temas importantes de esta área. En esta sección

proseguimos con unos cuantos temas que a los investigadores les pueden parecer útiles en la

práctica. En particular, estudiaremos los siguientes temas: 1) valores atípicos, apalancamientos

e infl uencia; 2) mínimos cuadrados recursivos y 3) prueba de falla de predicción de Chow.

Necesariamente, el análisis de cada uno será sucinto.

Valores atípicos, apalancamiento e infl uencia42

Recuerde que, al reducir la suma de cuadrado residual (SCR), los MCO dan igual ponderación a

cada observación en la muestra. Pero cada una de éstas quizá no tenga igual efecto en los resul-

tados de la regresión debido a la presencia de tres tipos de puntos de datos especiales, llamados

valores atípicos, puntos de apalancamiento y puntos de infl uencia. Es importante saber lo que

son y cómo infl uyen en el análisis de regresión.

En el contexto de la regresión, un valor atípico puede defi nirse como una observación con

un “gran residuo”. Recuerde que ui (Yi − Yi ); es decir, el residuo representa la diferencia

(positiva o negativa) entre el valor real de la regresada y su valor estimado a partir del modelo

de regresión.

41 Wojciech W. Charemza y Derek F. Deadman, New Directions in Econometric Practice: A General to Specifi c Modelling, Cointegration and Vector Autoregression, 2a. ed., Edward Elgar, 1997, p. 30. Véase también pp. 250-252 para sus puntos de vista sobre diversos criterios en la selección de modelos.42 El siguiente análisis recibió la infl uencia de Chandan Mukherjee, Howard White y Marc Wyuts, Econome-trics and Data Analysis for Developing Countries, Routledge, Nueva York, 1998, pp. 137-148.


Cuando decimos que un residuo es grande, lo comparamos con los demás residuos, y con mucha

frecuencia ese residuo tan grande llama la atención de inmediato debido a su enorme distancia

vertical respecto de la línea de regresión estimada. Observe que en el conjunto de datos puede

haber más de un valor atípico. Ya vimos un ejemplo de lo anterior en el ejercicio 11.22, don-

de se pidió al lector hacer la regresión del cambio porcentual en los precios de acciones (Y ) so-

bre el cambio porcentual en los precios al consumidor (X ), con una muestra de 20 países. Hay

que observar que Chile era un valor atípico.

Decimos que un dato ejerce apalancamiento (grande) si está desproporcionadamente dis-

tante de la mayor parte de los valores de una(s) regresora(s). ¿Por qué es importante un punto

de apalancamiento? Porque es capaz de empujar la línea de regresión hacia él mismo, lo que

distorsiona la pendiente de la línea de regresión. Si esto sucede, este punto (dato) se denomina de

apalancamiento, un punto de infl uencia. La eliminación de tales puntos de datos de la muestra

afecta de manera drástica a la línea de regresión. De vuelta al ejercicio 11.22, verá que si hace la

regresión Y sobre X, incluso la observación para Chile, el coefi ciente de la pendiente es positivo

y “estadísticamente muy signifi cativo”. Pero si desecha la observación de Chile, el coefi ciente de

la pendiente es casi nulo. Por tanto, la observación sobre Chile tiene un apalancamiento y es una

observación infl uyente.

Para aclarar aún más la naturaleza de los valores atípicos y los puntos de apalancamiento e

infl uencia, observe el diagrama de la fi gura 13.4, el cual se explica por sí mismo.43

¿Cómo se trabaja con tales puntos de datos?, ¿sólo se debe eliminar y restringir la atención a

los puntos de datos restantes? De acuerdo con Draper y Smith:

El rechazo automático de los valores atípicos no siempre es sensato. A veces el valor atípico pro-

porciona información que otros puntos de datos no suministran debido a que aquél surge de una

combinación rara de circunstancias que puede revestir vital interés y requerir mayor investigación,

en vez de rechazarlo. Por regla general, los valores atípicos deben rechazarse sólo si se originan por

equívocos de registro, observaciones erróneas o un mal montaje de los aparatos [en un experimento

físico]. De otro modo, se requiere una investigación cuidadosa.44

Y

X

a)

Y

X

b)

Y

X

c)

FIGURA 13.4 En cada inciso, las líneas continuas son las líneas de MCO para todos los datos, y las discontinuas son

las líneas de MCO con el valor atípico, denotado por un *, mismo que se omitió. En a), el valor atípico

está cerca del valor medio de X y tiene un débil apalancamiento y poca infl uencia sobre los coefi cientes

de regresión. En b), el valor atípico está lejos del valor medio de X y tiene un fuerte apalancamiento,

así como una infl uencia importante en los coefi cientes de regresión. En c), el valor atípico tiene un gran

apalancamiento pero poca infl uencia en los coefi cientes de regresión debido a que está alineado al resto de

las observaciones.

Fuente: Adaptado de John Fox, op. cit., p. 268.

43 Adaptado de John Fox, Applied Regression Analysis, Linear Models, and Related Methods, Sage Publications, California, 1997, p. 268.44 Norman R. Draper y Harry Smith, op. cit., p. 76.


¿Con qué pruebas se pueden detectar los valores atípicos y los puntos de apalancamiento? En

la bibliografía hay varias, pero no las estudiaremos en este libro porque se desvían mucho del

tema.45 Los paquetes de software como SHAZAM y MICROFIT cuentan con rutinas para detec-

tar los valores atípicos y los puntos de apalancamiento y de infl uencia.

Mínimos cuadrados recursivosEn el capítulo 8 vimos la estabilidad estructural de un modelo de regresión que implicaba datos

de series de tiempo, y mostramos la prueba de Chow que cumple con este propósito. De manera

específi ca, estudiamos en ese capítulo una función de ahorro simple (el ahorro en función del

ingreso) en Estados Unidos de 1970 a 2005. Vimos que la relación entre ahorro e ingreso tal

vez cambió alrededor de 1982. Al conocer el punto crítico estructural, se confi rmó mediante la

prueba de Chow.

Pero, ¿qué sucede si no conocemos el punto de infl exión estructural? En este caso se utilizan

los mínimos cuadrados recursivos (MCR). La idea básica es muy sencilla: mediante la regre-

sión de ahorro-ingreso.

Yt β1 + β2 X t + ut

donde Y ahorro y X ingreso en una muestra de 1970 a 2005. (Véase los datos de la tabla

8.11.)

Suponga que primero utilizamos los datos de 1970 a 1974 y estimamos la función ahorro,

para obtener los estimados de β1 y β2. Luego utilizamos los datos de 1970 a 1975 y de nuevo

estimamos la función ahorro para obtener los estimados de los dos parámetros. Más adelante

empleamos los datos de 1970 a 1976 y volvemos a estimar el modelo de ahorro. Continuamos

añadiendo así puntos de datos sobre Y y X hasta agotar la muestra. Como es de imaginarse, cada

regresión proporciona un nuevo conjunto de estimaciones para β1 y β2. Si grafi camos los valores

estimados de estos parámetros respecto de cada iteración, vemos cómo cambian los paráme-

tros estimados. Si el modelo en consideración es estructuralmente estable, las variaciones de los

valores estimados de los dos parámetros serán mínimas y en esencia aleatorias. No obstante, si

los valores estimados de los parámetros cambian en forma signifi cativa, esto indica un rompi-

miento estructural. Por tanto, los MCR constituyen una herramienta útil con las series de tiempo,

pues el tiempo está ordenado cronológicamente. También es una herramienta útil de diagnóstico

en los datos transversales, donde los datos están ordenados por alguna variable de “tamaño”

o “escala”, como el empleo o el tamaño de los activos de una empresa. En el ejercicio 13.30 se

pide al lector aplicar los MCR a los datos de ahorro de la tabla 8.11.

Los paquetes de software como SHAZAM, EViews y MICROFIT ya estiman en forma ruti-

naria los mínimos cuadrados recursivos. Asimismo, los MCR también generan residuos recursi-

vos, en los que se basan diversas pruebas de diagnóstico.46

Prueba de la falla de predicción de ChowYa analizamos en el capítulo 8 la estabilidad estructural de Chow. Demostró que esta prueba

se puede modifi car para comprobar el poder predictivo de un modelo de regresión. Veamos de

nuevo la regresión de ahorro-ingreso en Estados Unidos de 1970 a 1995.

45 Aquí se mencionan algunas fuentes: Alvin C. Rencher, Linear Models in Statistics, John Wiley & Sons, Nueva York, 2000, pp. 219-224; A.C. Atkinson, Plots, Transformations and Regressions: An Introduction to Graphical Methods of Diagnostic Regression Analysis, Oxford University Press, Nueva York, 1985, cap. 3; Ashis Sen y Muni Srivastava, Regression Analysis: Theory, Methods, and Applications, Springer-Verlag, Nueva York, 1990, cap. 8, y John Fox, op. cit., cap. 11.46 Para más detalles, véase Jack Johnston y John DiNardo, Econometric Methods, 4a. ed., McGraw-Hill, Nueva York, 1997, pp. 117-121.


Suponga que estimamos la regresión ahorro-ingreso de 1970 a 1981 y obtenemos β1,70-81 y

β2,70-81, las estimaciones para los coefi cientes del intercepto y de la pendiente con base en los

datos de 1970 a 1981. Ahora, con los verdaderos valores del ingreso de 1982 a 1995 y los valores

del intercepto y la pendiente de 1970 a 1981, se predecimos los valores de ahorro de cada año de

1982 a 1995. La idea es que, si no hay un cambio estructural signifi cativo en los valores de los

parámetros, los valores de ahorro estimados de 1982 a 1995, con base en las estimaciones de

los parámetros del periodo anterior, no deben ser muy distintos de los valores reales de ahorro

que prevalecieron en el último periodo mencionado. Por supuesto, si hay una enorme diferencia

entre los valores del ahorro pronosticados y los reales en el último periodo, surgirán dudas res-

pecto de la estabilidad de la relación entre ahorro e ingresos para todo el periodo de los datos.

Mediante la prueba F se demuestra si la diferencia entre el valor del ahorro real y estimado es

pequeña o grande, de la siguiente forma:

F u∗2

t − u2t n2

u2t (n1 − k)

(13.10.1)

donde n1 número de observaciones en el primer periodo (1970-1981), en las que se basa la

regresión inicial, n2 número de observaciones en el segundo periodo pronosticado, u∗2t

SCR, cuando la ecuación se estima para todas las observaciones (n1 + n2), y u2t SCR cuando

la ecuación se estima para las primeras n1 observaciones y k es el número de parámetros estima-

dos (dos para este caso). Si los errores son independientes y están distribuidos de manera idéntica

y normal, el estadístico F dado en (13.10.1) sigue la distribución F, con n2 y n1 gl, respectiva-

mente. En el ejercicio 13.31 se pide al lector aplicar la prueba de falla de predicción de Chow a

fi n de averiguar si la relación ahorro-ingreso en verdad cambió. A propósito, observe la similitud

entre esta prueba y el pronóstico χ2 analizado antes.

Datos faltantesEn el trabajo aplicado no es raro descubrir que a veces faltan observaciones de los datos de la

muestra. Por ejemplo, en los datos de series de tiempo puede haber lagunas debido a circuns-

tancias especiales. Durante la Segunda Guerra Mundial no hubo datos sobre algunas variables

macroeconómicas o no se publicaron por razones estratégicas. En los datos transversales no es

extraño descubrir que falta información sobre las variables de algunos individuos, en especial en

los datos recopilados de encuestas por cuestionarios. En los datos de paneles, asimismo, algunos

encuestados se retiran a la larga o no proporcionan información en todas las preguntas.

Sea cual fuere la razón, los datos faltantes son un problema que enfrenta todo investigador

de vez en cuando. La pregunta es cómo tratar los datos faltantes. ¿Hay alguna forma de asignar

valores a las observaciones faltantes?

No es fácil responder. Si bien existen algunas soluciones complicadas que se recomiendan en

la bibliografía, no las estudiaremos aquí debido a su complejidad.47 Sin embargo, analizaremos

dos casos.48 En el primero, las razones por las que hay datos faltantes son independientes de

las observaciones disponibles, situación que Darnell denomina “caso ignorable”. En el segundo

caso, no sólo los datos disponibles están incompletos, sino que las observaciones faltantes se

relacionan de manera sistemática con los datos disponibles. Este caso es más grave, pero puede

ser resultado del sesgo de autoselección, es decir, los datos observados no se recopilan de manera

en verdad aleatoria.

47 Para un tratamiento minucioso y avanzado del tema, véase A. Colin Cameron y Pravin K. Trivedi, Microeconometrics: Methods and Applications, Cambridge University Press, Nueva York, 2005, capítulo 27, pp. 923-941.48 El siguiente análisis se basa en Adrian C. Darnell, A Dictionary of Econometrics, Edward Elgar Publishing, Lyne, Reino Unido, 1994, pp. 256-258.


En el caso ignorable se pueden simplemente pasar por alto las observaciones faltantes y usar

las disponibles. La mayoría de los paquetes de software estadístico lo hace de forma automática.

Por supuesto, en este caso el tamaño de la muestra se reduce y es posible que no se obtengan

estimaciones precisas de los coefi cientes de regresión. Sin embargo, con los datos disponibles

pueden aclararse las observaciones faltantes. Aquí veremos tres posibilidades.

1. De un número total de N observaciones tenemos datos completos sobre N1 (N1 < N) tanto para

la variable regresada como para k regresoras denotadas por Y1 y X1, respectivamente. (Y1 es

un vector de N1 observaciones, y X1, un vector renglón de k regresoras).

2. En algunas observaciones (N2 < N ) existen datos completos para la regresada, denotada por

Y2, pero observaciones incompletas en algunas X2 (de nuevo, se trata de vectores).

3. En algunas observaciones (N3 < N ) no hay datos sobre Y, pero tenemos datos completos sobre

X, denotados por X3.

En el primer caso, la regresión de Y1 sobre X1 produce estimaciones de los coefi cientes de regre-

sión insesgados, pero tal vez no sean efi cientes porque ignoramos N2 y N3 observaciones. Los

otros dos casos son muy complicados y corresponde al lector consultar las referencias.49

13.11 Ejemplos para concluir

Terminamos con dos ejemplos que ilustran uno o más de los puntos planteados. El primer ejem-

plo, sobre determinación de salarios, usa datos transversales, y el segundo, que considera la

función de consumo real de Estados Unidos, datos de series de tiempo.

1. Un modelo de determinación de salarios por horaPara examinar los factores que determinan los salarios por hora consideraremos un modelo sa-

larial tipo Mincer, popular ya entre los economistas especializados en asuntos laborales. Este

modelo adopta la siguiente forma:50

ln salarioi β1 + β2Esci + β3Expi + β4Fei + β5NBi +β6Sindi + β7Semi + ui

(13.11.1)

donde ln salario logaritmo natural del salario por hora ($), Esc escolaridad en años, Exp

experiencia en el mercado laboral, Fe 1 si es femenino, 0 en otro caso, NB 1 si el trabajador

no es blanco, 0 en otro caso, Sind 1 si es trabajador sindicalizado, 0 en otro caso, y Sem 1 si

es trabajador que no recibe salario por hora, 0 en otro caso. Para los trabajadores que no reciben

salario por hora, éste se calcula como el salario semanal dividido entre el número acostumbrado

de horas trabajadas.

Se pueden añadir muchas variables más a este modelo, como origen étnico, estado civil, nú-

mero de hijos menores de 6 años y riqueza o ingreso no procedente del trabajo. Por el momento

trabajaremos con el modelo de la ecuación (13.11.1).

Los datos corresponden a 1 289 personas entrevistadas en marzo de 1985 como parte de la

Current Population Survey (CPS ), que periódicamente realiza la Ofi cina del Censo de Estados

Unidos. Paul Rudd recopiló estos datos originalmente.51

49 Además de las referencias ya citadas, véase A.A. Afi fi y R.M. Elashoff, “Missing Observations in Multiva-riate Statistics”, Journal of the American Statistical Association, vol. 61, 1966, pp. 595-604, y vol. 62, 1967, pp. 10-29.50 Véase J. Mincer, School, Experience and Earnings, Columbia University Press, Nueva York, 1974.51 Paul A. Rudd, An Introduction to Classical Econometric Theory, Oxford University Press, Nueva York, 2000. No se incluyeron datos sobre edad porque son muy colineales con la experiencia laboral.


A priori, esperaríamos que la escolaridad y la experiencia tuviesen efecto positivo en los

salarios. Se espera que las variables dicótomas Fe y NB tengan efecto negativo en los salarios si

existe algún tipo de discriminación, y que Sind tenga efecto positivo debido a la incertidumbre

del ingreso.

Cuando todas las variables dicótomas toman un valor de cero, la ecuación (13.11.1) se reduce a

ln salarioi β1 + β2Esci + β3Expi + ui (13.11.2)

que es la función de salario de un trabajador blanco, masculino, no sindicalizado y que percibe

salario por hora. Esta es la categoría base, o de referencia.

A continuación presentamos los resultados de la regresión y luego los analizamos.

Lo primero que se observa es que todos los coefi cientes estimados son muy signifi cativos en lo

individual, pues los valores p son muy bajos. El valor F también es muy alto, lo que indica que

también, en conjunto, todas las variables son estadísticamente importantes.

En comparación con el trabajador de referencia, el salario promedio de una trabajadora y de

un trabajador no blanco es inferior. Los trabajadores sindicalizados y los que perciben salario

semanal, en promedio, ganan más.

¿Es adecuado el modelo (13.11.1) dadas las variables consideradas? ¿Es posible que las tra-

bajadoras no blancas ganen menos que los trabajadores blancos? ¿Es posible que las trabajadoras

no blancas y no sindicalizadas ganen menos que las trabajadoras blancas sindicalizadas? En

otras palabras, ¿hay efectos de interacción entre las regresoras cuantitativas y las variables dicó-

tomas?

Los paquetes estadísticos responden a estas preguntas. Por ejemplo, EViews cuenta con esta

capacidad. Después de estimar un modelo, si uno cree que se le pueden agregar algunas variables

pero no está seguro de su importancia, puede ejecutar la prueba de variables omitidas.

Para demostrar esto, suponga que estimamos la ecuación (13.11.1) y deseamos averiguar si

los productos de Fe y NB, Fe y Sind, y Fe y Sem deben agregarse al modelo para tomar en cuenta

la interacción entre las variables explicativas. Con la rutina de EViews6 obtenemos la siguiente

TABLA 13.4 Resultados de la regresión de EViews con base en la ecuación (13.11.1)

Variable dependiente: LSMétodo: Mínimos cuadradosMuestra: 1-1, 289Observaciones incluidas: 1 289

Coeficiente Error estándar Estadístico t Prob.

C 1.037880 0.074370 13.95563 0.0000 Esc 0.084037 0.005110 16.44509 0.0000 Exp 0.011152 0.001163 9.591954 0.0000 Fe -0.234934 0.026071 -9.011170 0.0000 NB -0.124447 0.036340 -3.424498 0.0006 Sind 0.207508 0.036265 5.721963 0.0000 Sem 0.228725 0.028939 7.903647 0.0000

R cuadrada 0.376053 Media de la variable dependiente 2.342416R cuadrada ajustada 0.373133 Desviación estándar de laError estándar de la regresión 0.464247 variable dependiente 0.586356Suma de cuadrados residual 276.3030 Criterio de información de Akaike 1.308614Log verosimilitud -836.4018 Criterio de Schwarz 1.336645Estadístico F 128.7771 Criterio de Hannan-Quinn 1.319136Prob. (estadístico F) 0.000000 Estad. Durbin-Watson 1.977004


respuesta: la hipótesis nula es que estas tres variables añadidas no tienen efecto en el modelo

estimado.

Como es de suponer, la prueba F (estudiada en el capítulo 8) sirve para evaluar la contribución

marginal, o incremental, de las variables añadidas y probar la hipótesis nula. En este ejemplo, los

resultados son los siguientes:

Variables omitidas: Fe*NB Fe*Sind Fe*Sem

Estadístico FLog razón de verosimilitud

0.8053442.432625

Prob. F (3 1279)Prob. ji cuadrada (3)

0.49090.4876

TABLA 13.5Resultados parciales

de EViews mediante

interacciones

No rechazamos la hipótesis nula de que la interacción entre mujeres y no blancos, mujeres y

sindicalizados y mujeres y trabajadores que perciben salario semanal, colectivamente, no tiene

efecto signifi cativo en el modelo estimado que se presenta en la tabla 13.4, pues el valor estimado

de F de 0.8053 no es estadísticamente signifi cativo y el valor p es de aproximadamente 49 por

ciento.

Queda al lector la tarea de probar otras combinaciones de regresoras para evaluar su contribu-

ción al modelo semanal.

Antes de proseguir, el modelo (13.11.1) indica que la infl uencia de la experiencia sobre el

logaritmo de los salarios es lineal, es decir, si las demás variables se mantienen constantes, el in-

cremento relativo en los salarios (recuerde que la regresada está en forma logarítmica) es igual por

cada año de aumento de experiencia laboral. Este supuesto puede ser verdadero a través de varios

años de experiencia, pero como indica la economía laboral básica, conforme los trabajadores en-

vejecen, el aumento de la tarifa salarial se reduce. Para comprobar si así sucede en este ejemplo,

agregamos el término de experiencia al cuadrado al modelo inicial, con los siguientes resultados:

El término de experiencia al cuadrado no sólo es negativo, sino también muy signifi cativo esta-

dísticamente. Además, concuerda con el comportamiento del mercado laboral; con el tiempo, la

tasa de crecimiento de los salarios se desacelera ∂lw

∂EXP 0.0366 − 0.0012EXP .

TABLA 13.6 Resultados de EViews con experiencia al cuadrado

Variable dependiente: LSMétodo: Mínimos cuadradosMuestra: 1-1, 289Observaciones incluidas: 1 289


C 0.912279 0.075151 12.13922 0.0000 Esc 0.079867 0.005051 15.81218 0.0000 Exp 0.036659 0.003800 9.647230 0.0000 Fe -0.228848 0.025606 -8.937218 0.0000 NB -0.121805 0.035673 -3.414458 0.0007 Sind 0.199957 0.035614 5.614579 0.0000 Sem 0.222549 0.028420 7.830675 0.0000 Exp*Exp -0.000611 8.68E-05 -7.037304 0.0000



Aquí se abre la oportunidad para explicar los criterios de Akaike y Schwartz. Al igual que R2,

son pruebas de la bondad del ajuste del modelo estimado; la diferencia radica en que según el

criterio R2, cuanto mayor sea el valor, el modelo explicará mejor el comportamiento de la variable

regresada. Por otra parte, según los criterios de Akaike y Schwartz, cuanto más bajo sea el valor

de estos estadísticos, mejor será el modelo.

Por supuesto, todos estos criterios son signifi cativos si deseamos comparar dos o más mode-

los. Así, si comparamos el modelo de la tabla 13.4 con el de la tabla 13.6, que tiene la experiencia

elevada al cuadrado como regresora adicional, se observa que el modelo de la tabla 13.6 es pre-

ferible al de la tabla 13.4 con base en los tres criterios.

A propósito, note que en los dos modelos los valores de R2 parecen “bajos”, pero estos valores

bajos se observan por lo general en datos transversales con un gran número de observaciones.

Sin embargo, tenga en cuenta que este valor “bajo” de R2 es estadísticamente signifi cativo, pues,

en los dos modelos, el estadístico F calculado es muy signifi cativo (recuerde la relación entre F

y R2 del capítulo 8).

Continuemos con el modelo ampliado de la tabla 13.6. Aunque el modelo parece satisfactorio,

exploraremos dos cuestiones. Primera, en vista de que se trata de datos transversales, hay muchas

probabilidades de que el modelo sufra de heteroscedasticidad. En consecuencia, es preciso ave-

riguar si es así. Aplicamos varias de las pruebas de heteroscedasticidad estudiadas en el capítulo

11 y comprobamos que el modelo, en efecto, tiene heteroscedasticidad. El lector debe corroborar

esta afi rmación.

Para corregir esta heteroscedasticidad obtenemos los errores estándar consistentes con hete-

roscedasticidad de White, que examinamos en el capítulo 11. Los resultados se presentan en la

siguiente tabla.

TABLA 13.7 Resultados de EViews mediante errores estándar corregidos de White

Variable dependiente: LSMétodo: Mínimos cuadradosMuestra: 1-1, 289Observaciones incluidas: 1 289Errores estándar consistentes con heteroscedasticidad de White y covarianza


C 0.912279 0.077524 11.76777 0.0000 Esc 0.079867 0.005640 14.15988 0.0000 Exp 0.036659 0.003789 9.675724 0.0000 Fe -0.228848 0.025764 -8.882625 0.0000 NB -0.121805 0.033698 -3.614573 0.0003 Sind 0.199957 0.029985 6.668458 0.0000 Sem 0.222549 0.031301 7.110051 0.0000 Exp*Exp -0.000611 9.44E-05 -6.470218 0.0000


Como es de esperar, se advierten algunos cambios en los errores estándar estimados, aunque

esto no modifi ca la conclusión de que todas las regresoras son importantes, tanto en lo individual

como en lo colectivo, para explicar el comportamiento de los salarios relativos.

A continuación examinaremos si los términos de error están distribuidos normalmente. En la

fi gura 13.5 se presenta el histograma de los residuos obtenidos del modelo de la tabla 13.7. El


estadístico de Jarque-Bera rechaza la hipótesis de que los errores están distribuidos normalmente,

pues el estadístico de JB es alto y el valor p es prácticamente cero: observe que para una variable

distribuida normalmente, los coefi cientes de asimetría y curtosis son 0 y 3, respectivamente.

¿Qué sigue? El procedimiento de pruebas de hipótesis se ha basado hasta el momento en el

supuesto de que el término de perturbación, o error, en el modelo de regresión está distribuido

normalmente. ¿Signifi ca esto que no se pueden usar legítimamente las pruebas t y F para probar

las hipótesis de la regresión de los salarios?

La respuesta es no. Como señalamos en el capítulo, los estimadores de MCO tienen distribu-

ción normal asintótica, con la advertencia apuntada en el capítulo, es decir, el término de error

tiene varianza fi nita, es homoscedástico y el valor medio del término de error, dados los valores

de las variables explicativas, es cero. Como resultado, podemos seguir usando las pruebas t y F

acostumbradas en tanto la muestra sea razonablemente grande. A propósito, debe señalarse que

no necesitamos el supuesto de normalidad para obtener los estimadores de MCO. Aun sin el su-

puesto de normalidad, los estimadores de MCO son los mejores estimadores lineales insesgados

(MELI) según los supuestos de Gauss-Markov.

¿De qué tamaño es una muestra grande? No hay respuesta defi nitiva, pero el tamaño de la

muestra de 1 289 observaciones de la regresión de los salarios parece razonablemente grande.

¿Hay “valores atípicos” en la regresión de los salarios? Es posible darse una idea con el grá-

fi co de la fi gura 13.6, que presenta los valores reales y estimados de la variable dependiente

320

200

240

280

160

120

80

40

0–12.5 0.0 12.5 25.0 37.5 50.0

Serie: RESID

Muestra: 1–1 289

Observaciones: 1 289

Media –9.38e-09

Mediana –0.850280

Máximo 48.92719

Mínimo –20.58590

Desv. est. 6.324574

Asimetría 1.721323

Curtosis 10.72500

Jarque–Bera 3841.617

Probabilidad 0.000000

0–30

250 500 750 1 000 1 250

–20

–10

10

20

0

30

40

50

ln salarios, estimado

RE

SID

FIGURA 13.5Histograma de los resi-

duos obtenidos de la re-

gresión de la tabla 13.7.

FIGURA 13.6Residuos y valores esti-

mados de la variable de-

pendiente, ln salarios.


(ln salarios) y los residuos, que son las diferencias entre los valores reales y los estimados de la

regresada.

Aunque el valor medio de los residuos es siempre cero (¿por qué?), la gráfi ca de la fi gura 13.6

muestra varios residuos que dan la impresión de ser grandes (en valor absoluto) en comparación

con la mayoría de ellos. Es posible que haya valores atípicos en los datos. Se proporcionan las

estadísticas básicas de las tres variables cuantitativas en la tabla 13.8 para que el lector decida si,

en efecto, hay valores atípicos.

2. Función de consumo real de Estados Unidos, 1947-2000En el capítulo 10 consideramos la función de consumo en Estados Unidos de 1947 a 2000. La

forma específi ca de la función de consumo fue:

ln GTt β1 + β2 ln IDt + β3 ln Riq + β4Interést + ut (13.11.3)

donde GT, ID, Riqueza e Interés son, respectivamente, gasto total de consumo, ingreso perso-

nal disponible, riqueza y tasa de interés, todos en términos reales. Los resultados basados en los

datos son los siguientes:

Muestra: 1-1, 289

Sal Esc Exp

Media 12.36585 13.14507 18.78976Mediana 10.08000 12.00000 18.00000Máximo 64.08000 20.00000 56.00000Mínimo 0.840000 0.000000 0.000000Desv. est. 7.896350 2.813823 11.66284Asimetría 1.848114 -0.290381 0.375669Curtosis 7.836565 5.977464 2.327946Jarque–Bera 1990.134 494.2552 54.57664Probabilidad 0.000000 0.000000 0.000000Suma 15 939.58 16 944.00 24 220.00Suma desv. al cuadrado 80 309.82 10 197.87 175 196.0Observaciones 1 289 1 289 1 289

TABLA 13.8

TABLA 13.9 Resultados de la ecuación de regresión (13.11.3)

Método: Mínimos cuadradosMuestra: 1947-2000Observaciones incluidas: 54


C -0.467711 0.042778 -10.93343 0.0000 LOG (ID) 0.804873 0.017498 45.99836 0.0000 LOG (RIQUEZA) 0.201270 0.017593 11.44060 0.0000 INTERÉS -0.002689 0.000762 -3.529265 0.0009

R cuadrada 0.999560 Media de la variable dependiente 7.826093R cuadrada ajustada 0.999533 Desviación estándar de laError estándar de la regresión 0.011934 variable dependiente 0.552368Suma de cuadrados residual 0.007121 Criterio de información de Akaike -5.947703Log verosimilitud 164.5880 Criterio de Schwarz -5.800371Estadístico F 37 832.59 Criterio de Hannan-Quinn -5.890883Prob. (estadístico F) 0.000000 Estadístico de Durbin-Watson 1.289219


Como GT, ID y Riqueza entran en forma de logaritmo, los coefi cientes estimados de la pen-

diente de ID y Riqueza son, respectivamente, las elasticidades del ingreso y la riqueza. Como es

de esperar, estas elasticidades son positivas y muy signifi cativas estadísticamente. En términos

numéricos, las elasticidades del ingreso y de la riqueza son casi 0.80 y 0.20. El coefi ciente de la

variable tasa de interés representa semielasticidad (¿por qué?). Si las demás variables permane-

cen constantes, los resultados demuestran que si la tasa de interés aumenta un punto porcentual,

en promedio, el gasto de consumo real se reduce alrededor de 0.27%. Observe que la semielasti-

cidad estimada también es muy signifi cativa en términos estadísticos.

Aprecie algunos estadísticos del resumen. El valor de R2 es muy alto y llega casi a 100%. El

valor F también es muy signifi cativo estadísticamente, lo que indica que no sólo en lo individual,

sino también en conjunto, todas las variables explicativas tienen efecto signifi cativo sobre el

gasto de consumo.

No obstante, el estadístico de Durbin-Watson indica que los errores del modelo están serial-

mente correlacionados. Si consulta las tablas Durbin-Watson (tabla D.5, apéndice D), advertirá

que para 55 observaciones (el número más cercano a 54) y tres variables explicativas, los valores

críticos d inferior y superior a 5% son 1.452 y 1.681. Como la d observada en el ejemplo, 1.2892,

se sitúa por debajo del valor crítico d inferior, podemos concluir que los errores de esta función

de consumo tienen correlación positiva. Este resultado no debe sorprender, pues en la mayoría de

las regresiones de series de tiempo existe autocorrelación.

Pero antes de aceptar esta conclusión, veamos si existen errores de especifi cación. Como sa-

bemos, en ocasiones la autocorrelación puede ser aparente porque se omitieron algunas variables

importantes. Para ver si es así, consideremos la regresión obtenida en la tabla 13.10.

TABLA 13.10

Variable dependiente: LGTMétodo: Mínimos cuadradosMuestra: 1947-2000Observaciones incluidas: 54

Coeficiente Error estándar Estadístico t Probabilidad

C 2.689644 0.566034 4.751737 0.0000 LID 0.512836 0.054056 9.487076 0.0000 LRiqueza -0.205281 0.074068 -2.771510 0.0079 INTERÉS -0.001162 0.000661 -1.759143 0.0848 LID*LRiqueza 0.039901 0.007141 5.587986 0.0000

R cuadrada 0.999731 Media de la variable dependiente 7.8260933R cuadrada ajustada 0.999709 Desviación estándar de laError estándar de la regresión 0.009421 variable dependiente 0.552368Suma de cuadrados residual 0.004349 Criterio de información de Akaike -6.403689Log verosimilitud 177.8996 Criterio de Schwarz -6.219524Estadístico F 45 534.94 Criterio de Hannan-Quinn -5.890883Probabilidad (estadístico F) 0.000000 Estadístico de Durbin-Watson 1.530268

La variable adicional de este modelo es la interacción de los logaritmos del ingreso disponible

y de la riqueza. El término de interacción es muy signifi cativo. Observe que ahora la variable in-

terés es menos signifi cativa (el valor p es de casi 8%), aunque conserva el signo negativo. Pero

ahora el valor d de Durbin Watson aumentó de casi 1.28 a alrededor de 1.53.

Los valores críticos d a 5% son ahora 1.378 y 1.721. El valor d observado de 1.53 se sitúa

entre estos valores, lo que indica que, con base en el estadístico de Durbin-Watson, no podemos

determinar si hay autocorrelación. Sin embargo, el valor d observado está más cerca del límite


superior del valor d. Como señalamos en el capítulo sobre autocorrelación, algunos autores pro-

ponen usar el límite superior del estadístico d como el verdadero límite de signifi cancia aproxi-

mado; por tanto, si el valor d calculado se sitúa por debajo del límite superior, hay indicios de

autocorrelación positiva. Con base en ese criterio, en el presente caso podemos concluir que el

modelo sufre de autocorrelación positiva.

También aplicamos la prueba de autocorrelación de Breusch-Godfrey que explicamos en

el capítulo 12. Al sumar los dos términos rezagados de los residuos estimados en la ecuación

(12.6.15) al modelo de la tabla 13.9, obtuvimos los siguientes resultados:

El valor F reportado al principio de la tabla prueba la hipótesis de que los dos residuos rezagados

incluidos en el modelo tienen valores cero. Esta hipótesis se rechaza porque el valor F es signifi -

cativo en el nivel aproximado de 5 por ciento.

Para resumir, parece que hay autocorrelación en el término de error. Se pueden aplicar uno

o más de los procedimientos analizados en el capítulo 12 para eliminar la autocorrelación. Sin

embargo, para ahorrar espacio, se deja esa tarea al lector.

En la tabla 13.12 presentamos los resultados del análisis de regresión de los errores estándar

CHA o Newey-West que toman en cuenta la autocorrelación. El tamaño de la muestra de 54 ob-

servaciones es lo bastante grande para usar los errores estándar CHA.

Si compara estos resultados con los que se presentan en la tabla 13.9, observará que los coefi -

cientes de regresión siguen siendo los mismos, pero los errores estándar son un poco diferentes.

En este capítulo hablamos de la prueba de falla de predicción de Chow. Tenemos un periodo

de muestra de 1947 a 2000. Durante este periodo se registraron varios ciclos económicos, en su

mayoría breves. Por ejemplo, hubo una recesión en 1990 y otra en 2000. ¿El comportamiento del

TABLA 13.11

Prueba ML de correlación serial de Breusch-Godfrey

Estadístico F 3.254131 Prob. F(2, 48) 0.0473R cuadrada obs.* 6.447576 Prob. ji cuadrada (2) 0.0398

Variable dependiente: RESIDMétodo: Mínimos cuadradosMuestra: 1947-2000Observaciones incluidas: 54Valores de los residuos rezagados faltantes de preprueba fijados en cero.


C -0.006514 0.041528 -0.156851 0.8760 LID -0.004197 0.017158 -0.244619 0.8078 LRiqueza 0.004191 0.017271 0.242674 0.8093 INTERÉS 0.000116 0.000736 0.156964 0.8759 RESID (-1) 0.385190 0.151581 2.541147 0.0143 RESID (-2) -0.165609 0.154695 –1.070556 0.2897

R cuadrada 0.119400 Media de la variable dependiente -9.02E-17R cuadrada ajustada 0.027670 Desviación estándar de laError estándar de la regresión 0.011430 variable dependiente 0.011591Suma de cuadrados residual 0.006271 Criterio de información de Akaike -6.000781Log verosimilitud 168.0211 Criterio de Schwarz -5.779782Estadístico F 1.301653 Criterio de Hannan-Quinn -5.915550Probabilidad (estadístico F) 0.279040 Estadístico de Durbin-Watson 1.848014


gasto de consumo en relación con el ingreso, riqueza y la tasa de interés es distinto durante las

recesiones?

Para aclarar esta pregunta, consideremos la recesión de 1990 y apliquemos la prueba de falla de

predicción de Chow. Los detalles de esta prueba ya se analizaron en el capítulo. Con la prueba

de falla de predicción de Chow en EViews, versión 6, obtenemos los resultados de la tabla 13.13.

TABLA 13.12

Variable dependiente: LGTMétodo: Mínimos cuadradosMuestra: 1947-2000Observaciones incluidas: 54Errores estándar CHA Newey-West y covarianza (truncamiento de rezago = 3)


C -0.467714 0.043937 -10.64516 0.0000 LID 0.804871 0.017117 47.02132 0.0000 LRiqueza 0.201272 0.015447 13.02988 0.0000 INTERÉS -0.002689 0.000880 -3.056306 0.0036


TABLA 13.13 Prueba de falla de predicción de Chow

Prueba de pronóstico de Chow: Pronóstico de 1991 a 2000

Estadístico F 1.957745 Prob. F (10, 40) 0.0652Log razón de verosimilitud 21.51348 Prob. ji cuadrada (10) 0.0178

Variable dependiente: LGTMétodo: Mínimos cuadradosMuestra: 1947-2000Observaciones incluidas: 44


C -0.287952 0.095089 -3.028236 0.0043 LID 0.853172 0.028473 29.96474 0.0000 LRiqueza 0.141513 0.033085 4.277239 0.0001 INTERÉS -0.002060 0.000804 -2.562790 0.0143



El estadístico F dado en la parte superior de la tabla 13.13 indica que probablemente no hay

diferencia considerable en la función de consumo antes y después de 1990, pues el valor p no es

signifi cativo en el nivel de 5%. Sin embargo, si elegimos el nivel de signifi cancia de 10%, el valor

F es signifi cativo estadísticamente.

Podemos examinar este problema de otra manera. En el capítulo 8 analizamos una prueba de

estabilidad de parámetros. Para ver si hubo algún cambio estadísticamente signifi cativo en los

coefi cientes de regresión de la función de consumo, aplicamos la prueba de Chow estudiada en

la sección 8.7 del capítulo 8 y obtuvimos los resultados de la tabla 13.14.

En apariencia, las funciones de consumo antes y después de 1990 son estadísticamente dife-

rentes, pues el estadístico F calculado, según la ecuación (8.7.4), es muy signifi cativo estadísti-

camente, porque el valor p es de sólo 0.0052.

Se invita al lector a aplicar las pruebas de estabilidad paramétrica y falla de predicción de

Chow para determinar si varió la función de consumo antes y después de 2000. Para ello será

necesario ampliar los datos más allá de 2000. Asimismo, observe que, para aplicar estas pruebas,

el número de observaciones debe ser mayor que el número de coefi cientes estimados.

Agotamos todas las pruebas de diagnóstico que se pueden aplicar a los datos de consumo. Sin

embargo, el análisis hasta el momento debe dar una idea muy buena de cómo aplicar las diversas

pruebas.

13.12 Errores no normales y regresoras estocásticas

En esta sección analizamos dos temas más o menos avanzados, a saber, la distribución no normal

del término de error y las regresoras estocásticas, o aleatorias, y su importancia práctica.

1. ¿Qué pasa si el término de error no está distribuido normalmente?En el modelo clásico de regresión lineal normal (MCRLN) explicado en el capítulo 4, supusimos

que el término de error u sigue la distribución normal. Invocamos el teorema central del límite

(TCL) para justifi car el supuesto de normalidad. Debido a este supuesto, podemos establecer que

los estimadores de MCO también están distribuidos normalmente. Como resultado, para probar

hipótesis aplicamos las pruebas t y F sin importar el tamaño de la muestra. También explicamos

cómo usar las pruebas de normalidad de Jarque-Bera y Anderson-Darling para averiguar si los

errores estimados están distribuidos normalmente en cualquier aplicación práctica.

¿Qué sucede si los errores no están distribuidos normalmente? Podemos afi rmar que los esti-

madores de MCO siguen siendo MELI, es decir, que son insesgados y en la clase de estimadores

lineales exhiben varianza mínima. En principio, esto no debe sorprender, pues, para establecer el

teorema de Gauss-Markov (MELI), no necesitamos el supuesto de normalidad.

Entonces, ¿cuál es el problema?

El problema es que se necesitan las distribuciones de muestreo, o de probabilidades, de

los estimadores de MCO. Sin eso no es posible realizar ningún tipo de prueba de hipótesis refe-

rente a los valores verdaderos de estos estimadores. Como se muestra en los capítulos 3 y 7, los

Prueba de puntos de ruptura estructural de Chow: 1990Hipótesis nula: No hay rupturas en los puntos especificadosRegresoras que varían: Todas las variables de la ecuaciónMuestra de la ecuación: 1947-200

Estadístico FLog razón de verosimilitudEstadístico de Wald

4.25405416.9965417.01622

Prob. F(4, 46)Prob. ji cuadrada (4)Prob. ji cuadrada (4)

0.00520.00190.0019

TABLA 13.14Prueba de estabilidad

paramétrica de Chow


estimadores de MCO son funciones lineales de la variable dependiente Y, y la propia Y es una

función lineal del término de error estocástico u, suponiendo que las variables explicativas son

no estocásticas, o fi jas, en muestras repetidas. En última instancia, necesitamos la distribución

de probabilidades de u.

Como se mencionó, el modelo clásico de regresión lineal normal (MCRLN) supone que el

término de error sigue la distribución normal (con media cero y varianza constante). Aplicamos

el teorema central del límite (TCL) para justifi car la normalidad del término de error y de-

mostramos que los estimadores de MCO están distribuidos normalmente con medias y varianza

analizadas en los capítulos 4 y 7. Esto, a su vez, permitió usar los estadísticos t y F para probar

hipótesis en muestras pequeñas, o fi nitas, así como en muestras grandes. Por tanto, la función del

supuesto de normalidad es crucial, en especial en muestras pequeñas.

Pero, ¿qué pasa si no es posible sostener el supuesto de normalidad con base en las diferentes

pruebas de normalidad? ¿Y después qué? Existen dos opciones. La primera es el remuestreo, y

la segunda consiste en invocar la teoría de muestras grandes, o asintóticas.

El análisis del método de remuestreo, que poco a poco se fi ltra en la econometría aplicada,

nos desviaría mucho del tema. La idea básica del remuestreo es agitar (o revolver) una muestra

dada una y otra vez y luego obtener las distribuciones muestrales de los parámetros de interés

(estimadores de MCO, para estos propósitos). El método en la práctica se deja como tema de con-

sulta.52 A propósito, el término procede de la expresión popular “salir adelante por uno mismo”.

El otro método para tratar con los términos de error no normales es aplicar la teoría de mues-

tras grandes, o asintóticas. De hecho, dimos un vistazo a esto en el apéndice 3A.7, en el capítulo

3, cuando demostramos que los estimadores de MCO son consistentes. Como analizamos en el

apéndice A, un estimador es consistente si se aproxima al valor verdadero del estimador con-

forme la muestra aumenta cada vez más (véase la fi gura A.11, en el apéndice A).

Pero, ¿de qué sirve eso en las pruebas de hipótesis? ¿Es posible seguir usando las pruebas t

y F? Se puede demostrar que según los supuestos de Gauss-Markov, los estimadores de MCO

tienen distribución normal asintótica, con las medias y varianzas que expusimos en los capí-

tulos 4 y 7.53 Como resultado, las pruebas t y F ejecutadas según el supuesto de normalidad son

aproximadamente válidas en muestras grandes. La aproximación llega a ser muy buena conforme

aumenta el tamaño de la muestra.54

2. Variables explicativas estocásticasEn el capítulo 3 introdujimos el modelo clásico de regresión lineal (en los parámetros) sgún cier-

tos supuestos de simplifi cación. Un supuesto fue que las variables explicativas, o regresoras, eran

fi jas o no estocásticas, o, si eran estocásticas, eran independientes del término de error. El primer

caso se denomina caso de regresoras fi jas, y el segundo, de regresoras aleatorias.

52 Para un análisis informal, véase Christopher Z. Mooney y Robert D. Duval, Bootstrapping: A Nonparametric Approach to Statistical Inference, Sage University Press, California, 1993. Para un análisis clásico más formal, véase Russell Davidson y James G. MacKinnon, Econometric Theory and Methods, Oxford University Press, Nueva York, 2004, pp. 159-166.53 Recuerde los supuestos de Gauss-Markov, a saber: el valor esperado del término de error es cero, el término de error y cada una de las variables explicativas son independientes, la varianza del error es homoscedástica y no hay autocorrelación en el término de error. También se supone que la matriz de varianza-covarianza de las variables explicativas es fi nita. Asimismo, podemos fl exibilizar la condición de independencia entre el término de error y las regresoras, y suponer la condición más débil de que no están correlacionadas.54 La prueba de la normalidad asintótica de los estimadores de MCO trasciende el alcance de este libro. Véase James H. Stock y Mark W. Watson, Introduction to Econometrics, 2a. ed., Pearson/Addison Wesley, Bos-ton, 2007, pp. 710-711.


En el caso de regresoras fi jas ya conocemos las propiedades de los estimadores de MCO

(véanse los capítulos 5 y 8). En el caso de regresoras aleatorias, si mantenemos el supuesto de

que el análisis depende de los valores dados de las regresoras, las propiedades de los estimadores

de MCO que estudiamos en el caso de las regresoras fi jas siguen siendo válidas.

Si en el caso de regresoras aleatorias suponemos que dichas regresoras y el término de error

están distribuidos de manera independiente, los estimadores de MCO siguen siendo insesgados,

pero no son efi cientes.55

Las cosas se complican si el término de error no está distribuido normalmente, o las regreso-

ras son estocásticas, o ambas cosas. Aquí es difícil generalizar sobre las propiedades de muestras

fi nitas de los estimadores de MCO. Sin embargo, en ciertas condiciones podemos invocar el

teorema central del límite para establecer la normalidad asintótica de los estimadores de MCO.

Aunque están fuera del ámbito de este libro, hay demostraciones en otros textos.56

13.13 Advertencia para el profesional

Hemos visto una enorme cantidad de cosas en este capítulo. No hay duda de que la elaboración

de modelos es tanto un arte como una ciencia. Un investigador práctico quizá se desconcierte por

las sutilezas teóricas y el conjunto de herramientas de diagnóstico. Pero conviene tener en men-

te la advertencia de Martin Feldstein: “El econometrista aplicado, como el teórico, pronto des-

cubre a partir de la experiencia que un modelo útil no es el ‘verdadero’ o ‘real’, sino el escueto,

factible e informativo”.57

Peter Kennedy, de la Universidad Simon Fraser de Canadá, establece los siguientes “diez

mandamientos de la econometría aplicada”:58

1. Utilizarás el sentido común y la teoría económica.

2. Plantearás las preguntas adecuadas (es decir, preferirás la relevancia antes que la elegancia

matemática).

3. Conocerás el contexto (no harás análisis estadísticos ignorantes).

4. Inspeccionarás los datos.

5. No idolatrarás la complejidad. Utilizarás el principio MSE; es decir, mantener la simplici-

dad estocástica.

6. Verás las consecuencias de tus resultados y serás perseverante con ellos.

7. Estarás consciente de los costos de la minería de datos.

8. Estarás dispuesto a comprometerte (no adorarás las prescripciones de los libros de texto).

9. No confundirás signifi cancia con sustancia (no confundirás la signifi cancia estadística con la

signifi cancia práctica).

10. Te confesarás ante la presencia de la sensibilidad (es decir, te anticiparás a las críticas).

Tal vez el lector desee consultar la totalidad del escrito de Kennedy para apreciar la convicción

con la que defi ende los diez mandamientos anteriores. Algunos pueden parecer sarcásticos, pero

hay más de un grano de verdad en cada uno de ellos.

55 Para los detalles técnicos, véase William H. Greene, Econometric Analysis, 6a. ed., Pearson/Prentice-Hall, Nueva Jersey, 2008, pp. 49-50.56 Véase Greene, op. cit.57 Martin S. Feldstein, “Infl ation, Tax Rules and Investment: Some Econometric Evidence”, Econometrica, vol. 30, 1982, p. 829.58 Peter Kennedy, op. cit., pp. 17-18.


Resumen y

conclusiones

1. El supuesto del MCRL de que el modelo econométrico del análisis está correctamente espe-

cifi cado tiene dos signifi cados. Primero, que no hay errores de especifi cación ecuacionales

y segundo, que no hay errores de especifi cación de modelo. En este capítulo, el enfoque

principal fueron los errores de especifi cación ecuacionales.

2. Los errores de especifi cación ecuacionales analizados en este capítulo fueron: 1) omisión de

una(s) variable(s) importante(s), 2) inclusión de una(s) variable(s) superfl ua(s), 3) adopción

de la forma funcional equivocada, 4) especifi cación incorrecta del término de error ui y 5)

errores de medición en la variable regresada y en las regresoras.

3. Cuando se omiten variables legítimas del modelo, las consecuencias pueden ser muy graves:

los estimadores de MCO de las variables consideradas en el modelo no sólo están sesgados

sino que también son inconsistentes. Además, las varianzas y los errores estándar de estos

coefi cientes están estimados en forma incorrecta, lo que vicia los procedimientos usuales de

pruebas de hipótesis.

4. Afortunadamente, las consecuencias de incluir variables irrelevantes en el modelo son

menos graves: los estimadores de los coefi cientes de las variables relevantes, al igual que

los de las variables “irrelevantes”, permanecen insesgados y continúan siendo consistentes,

y la varianza del error σ 2 permanece correctamente estimada. El único problema es que las

varianzas estimadas tienden a ser más grandes de lo necesario, lo que resta precisión a la

estimación de los parámetros. Es decir, los intervalos de confi anza tienden a ser más grandes

de lo necesario.

5. Para detectar los errores de especifi cación ecuacional consideramos diversas pruebas, como:

1) examen de residuos, 2) estadístico d de Durbin-Watson, 3) Prueba RESET de Ramsey y

4) prueba del multiplicador de Lagrange.

6. Una clase especial de error de especifi cación son los errores de medición en los valores de la

variable regresada y de las regresoras. Si hay errores de medición sólo en la variable regre-

sada, los estimadores de MCO son insesgados y consistentes, pero menos efi cientes. Si hay

errores de medición en las regresoras, los estimadores de MCO son sesgados e inconsistentes.

7. Aunque se detecten o sospeche de errores de medición, a menudo las medidas correctivas no

son fáciles. Las variables instrumentales o representantes son teóricamente atractivas, pero

no siempre prácticas. Por tanto, es muy importante en la vida real que el investigador tenga

cuidado al establecer las fuentes de su información, al conocer la forma en que se obtuvo,

sus defi niciones, etc. La información recolectada por agencias ofi ciales suele presentarse con

diversas notas al pie y el investigador debe advertir al lector de su existencia.

8. Los errores de una mala especifi cación del modelo pueden ser tan graves como los errores

de especifi cación ecuacionales. En particular, distinguimos entre modelos anidados y no

anidados. Para decidir el modelo apropiado analizamos la prueba F anidada, o incluyente,

así como la prueba J de Davidson-MacKinnon, y señalamos las limitaciones de cada una.

9. Al elegir un modelo empírico en la práctica, los investigadores utilizan una variedad de crite-

rios, de los cuales analizamos algunos, como los de información de Akaike y el de Schwarz,

el criterio Cp de Mallows y el pronóstico χ2. Estudiamos las ventajas y desventajas de estos

criterios y también advertimos al lector que no eran absolutos, sino complementarios de un

análisis de especifi cación cuidadoso.

10. También analizamos estos temas adicionales: 1) valores atípicos, apalancamientos e infl uen-

cias, 2) mínimos cuadrados recursivos y 3) prueba de la falla de predicción de Chow. Exami-

namos el papel de cada uno en el trabajo aplicado.

11. Analizamos brevemente dos casos especiales, a saber, la no normalidad del término de error

estocástico y las regresoras aleatorias, y la función de la teoría de muestras grandes, o asin-

tóticas, en situaciones en que no se pueden establecer las propiedades de muestras pequeñas,

o fi nitas, de los estimadores de MCO.


12. Concluimos con el estudio de los “diez mandamientos de la econometría aplicada”, de Peter

Kennedy. La idea es exigir al investigador que trascienda los aspectos puramente técnicos de

la econometría.

Preguntas

13.1. Consulte la función de demanda de pollos estimada en la ecuación (8.6.23). Conside-

rando los atributos de un buen modelo analizados en la sección 13.1, ¿puede decir que

esta función de demanda está especifi cada “correctamente”?

13.2. Suponga que el verdadero modelo es

Yi β1 X i + ui (1)

pero, en lugar de especifi car esta regresión a través del origen, especifi ca el modelo usual

con presencia del intercepto:

Yi α0 + α1 X i + vi (2)

Evalúe las consecuencias de este error de especifi cación.

13.3. Continúe con el ejercicio 13.2, pero suponga que el modelo (2) es el verdadero. Analice

las consecuencias de ajustar el modelo mal especifi cado (1).

13.4. Suponga que el “verdadero” modelo es

Yi β1 + β2 X2i + ut (1)

pero añadimos una variable “irrelevante”, X3, al modelo (irrelevante en el sentido de que

el verdadero coefi ciente β3 que acompaña a la variable X3 es cero) y estime

Yi β1 + β2 X2i + β3 X3i + vi (2)

a) ¿R2 y R2 ajustada para el modelo (2) serían más grandes que las del modelo (1)?

b) ¿Las estimaciones de β1 y β2 obtenidas de (2) son insesgadas?

c) ¿La inclusión de la variable “irrelevante” X3 afecta las varianzas de β1 y β2?

13.5. Considere la siguiente función de producción (Cobb-Douglas) “verdadera”:

ln Yi α0 + α1 ln L1i + α2 ln L2i + α3 ln Ki + ui

donde Y producción

L1 trabajo contenido en la producción

L2 trabajo no contenido en la producción

K capital

Pero suponga que la regresión realmente utilizada en la investigación empírica es

ln Yi β0 + β1 ln L1i + β2 ln Ki + ui

Conforme al supuesto de que tiene información de corte transversal sobre las variables

relevantes,

a) ¿Será E (β1) α1 y E (β2) α3?

b) Si se sabe que L2 es un insumo irrelevante en la función de producción, ¿aún es válida

la respuesta en a)? Muestre las derivaciones necesarias.

13.6. Consulte las ecuaciones (13.3.4) y (13.3.5). Como se ve, α2, aunque sesgada, tiene una

varianza menor que β2, que es insesgada. ¿Cómo decidiría respecto de un intercambio de

EJERCICIOS


un sesgo por una varianza pequeña? Sugerencia: El ECM (error cuadrático medio) para

los dos estimadores se expresa como

ECM(α2) σ 2 x22i + β2

3 b23 2

varianza muestral + sesgo al cuadrado

ECM(β2) σ 2 x22 1 − r2

2 3

Respecto de ECM, véase el apéndice A.

13.7. Muestre que el β estimado de (13.5.1) o (13.5.3) constituye una estimación insesgada del

verdadero β.

13.8. Según la hipótesis de ingreso permanente de Friedman, podemos escribir

Y ∗i α + βX∗

i (1)

donde Y ∗i gasto de consumo “permanente” y X∗

i ingreso “permanente”. En lugar de

las variables “permanentes”, observamos

Yi Y ∗i + ui

X i X∗i + vi

donde Yi y Xi son las cantidades observables o mensurables, y donde ui y vi son los errores

de medición en Y ∗ y X ∗, respectivamente.

Con las cantidades observables, escribimos la función de consumo como

Yi α + β(X i − vi ) + ui

α + βX i + (ui − βvi ) (2)

Si suponemos que 1) E(ui) E(vi) 0, 2) var (ui ) σ 2u y var (vi ) σ 2

v , 3) cov(Y ∗i , ui)

0, cov(X∗i , vi) 0, y 4) cov(ui, X∗

i ) cov(vi, Y∗i ) cov(ui, vi) 0, demuestre que, en

muestras grandes, el β estimado de (2) se expresa como

plím (β) β

1 + σ 2v /σ

2X∗

a) ¿Qué puede decir sobre la naturaleza del sesgo en β?

b) Si el tamaño de la muestra aumenta indefi nidamente, ¿tenderá el β estimado a igualar

el β verdadero?

13.9. Modelo de asignación de precios de activos de capital. El modelo de asignación de pre-

cios de activos de capital (CAPM) de la teoría de inversión moderna postula la siguiente

relación entre la tasa de rendimiento promedio de un valor (una acción común), medida

durante un determinado periodo, y la volatilidad del título, relación denominada coefi -

ciente Beta (la volatilidad es una medida del riesgo):

Ri α1 + α2(βi ) + ui (1)

donde R i tasa de rendimiento promedio del valor i

βi coefi ciente Beta verdadero del valor i

ui término de perturbación estocástico

La verdadera βi no es directamente observable pero se mide de la siguiente manera:

rit α1 + β∗rmt+ et (2)


donde rit tasa de rendimiento del valor i durante el tiempo t

rmt tasa de rendimiento del mercado durante el tiempo t (esta tasa es la tasa de

rendimiento sobre algún índice general del mercado, como el índice S&P

de valores industriales)

et término de residuos

y donde β∗ es una estimación del “verdadero” coefi ciente beta. En la práctica, por consi-

guiente, en lugar de estimar (1), se estima

Ri α1 + α2(β∗i ) + ui (3)

donde las β∗i se obtienen de la regresión (2). Pero, como las β∗

i son estimadas, la relación

entre la verdadera β y β∗ se escribe así

β∗i βi + vi (4)

donde vi se denomina error de medición.

a) ¿Cuál será el efecto de este error de medición sobre la estimación de α2?

b) ¿El α2 estimado de (3) proporcionará una estimación insesgada del verdadero α2?

De no ser así, ¿es ésta una estimación consistente de α2? De no ser así, ¿qué medidas

correctivas sugiere?

13.10. Considere el modelo

Yi β1 + β2 X2i + ui (1)

Para averiguar si este modelo está mal especifi cado porque omite la variable X3, decide

efectuar la regresión de los residuos obtenidos del modelo (1) sólo sobre la variable X3

(Nota: Hay un intercepto en esta regresión.) La prueba del multiplicador de Lagrange

(ML), sin embargo, requiere la regresión de los residuos de (1) sobre X2, X3 y una cons-

tante. ¿Por qué es probable que su procedimiento sea inapropiado?*

13.11. Considere el modelo

Yi β1 + β2 X∗i + ui

En la práctica, medimos X∗i mediante Xi de manera que

a) Xi X∗i + 5

b) Xi 3X∗i

c) Xi (X∗i + εi), donde εi es un término puramente aleatorio con las propiedades usuales.

¿Cuál será el efecto de estos errores de medición sobre las estimaciones de los verdaderos

β1 y β2?

13.12. Consulte las ecuaciones de regresión (13.3.1) y (13.3.2). En forma similar a (13.3.3),

demuestre que

E(α1) β1 + β3( X3 − b32 X2)

donde b3 2 es el coefi ciente de pendiente en la regresión de la variable omitida X3 sobre la

variable incluida X2.

13.13. Evalúe de manera crítica el siguiente punto de vista, de Leamer:†

* Véase Maddala, op. cit., p. 477.† Edward E. Leamer, Specifi cation Searches: Ad Hoc Inference with Nonexperimental Data, John Wiley & Sons, Nueva York, 1978, p. vi.


Mi interés en la metaestadística [es decir, en la teoría de la inferencia obtenida realmente de

los datos] surge de mis observaciones del trabajo de los economistas. La opinión de que la

teoría econométrica es irrelevante la sostiene una enorme y vergonzosa cantidad de profe-

sionales de la economía. Es de esperarse que el enorme abismo entre la teoría y la práctica

de la econometría provoque tensiones profesionales. De hecho, un balance ecuánime permea

nuestras publicaciones y nuestras reuniones. Nos dividimos cómodamente en un sacerdocio

célibe de teóricos estadísticos, por una parte, y una legión de incorregibles pecadores ana-

listas de datos, por otra. Los sacerdotes tienen el poder de elaborar listas de pecados y son

reverenciados por los talentos especiales que ostentan. No se espera que los pecadores dejen

de pecar, sólo se necesita que confi esen sus errores públicamente.

13.14. Evalúe la siguiente afi rmación de Henry Theil:*

En el actual nivel técnico, el procedimiento más sensible es interpretar los coefi cientes de

confi anza y los límites de signifi cancia de manera liberal, cuando los intervalos de confi anza

y los estadísticos de prueba se calculan a partir de la regresión fi nal de una estrategia de

regresión, en forma convencional. Es decir, un coefi ciente a 95% de confi anza en realidad

puede ser un coefi ciente a 80% de confi anza, y un nivel de signifi cancia de 1% de en reali-

dad puede ser de 10 por ciento.

13.15. Al comentar la metodología econométrica practicada en la década de 1950 y principios

de la siguiente, Blaug expresó:†

. . . gran parte de ésta [la investigación empírica] se asemeja a jugar tenis con la red abajo; en

lugar de refutar las predicciones que pueden probarse, los economistas modernos con dema-

siada frecuencia se contentan con demostrar que el mundo real se ajusta a sus predicciones,

con lo que remplazan así la falsifi cación [al estilo Popper], la cual es complicada, con la

verifi cación, que es muy sencilla.

¿Está de acuerdo con lo anterior? Quizá desee consultar la obra de Blaug para conocer

más sus puntos de vista.

13.16. De acuerdo con Blaug, “No hay lógica para la prueba, pero sí la hay en la refutación”.‡

¿Qué quiso decir?

13.17. Consulte el modelo de St. Louis analizado en el texto. Tenga en cuenta los problemas re-

lacionados con la prueba F anidada y evalúe de manera crítica los resultados presentados

en la regresión (13.8.4).

13.18. Suponga que el modelo verdadero es

Yi β1 + β2 X i + β2 X2i + β3 X3

i + ui

pero estima

Yi α1 + α2 X i + vi

Si utiliza las observaciones de Y en X −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, y estima el modelo “in-

correcto”, ¿qué sesgo se obtendrá en estas estimaciones?§

13.19. Para saber si la variable X 2i pertenece al modelo Yi β1 + β2 Xi + ui, la prueba RESET

de Ramsey estimaría el modelo lineal para obtener la estimación de los valores Yi de

este modelo [es decir, Yi β1 + β2 X i], después estimaría el modelo Yi α1 + α2 Xi +

α3Y 2i + vi y luego probaría la signifi cancia de α3. Demuestre que si α3 resulta estadísti-

camente signifi cativa en la ecuación anterior (RESET), equivale a estimar el siguiente

* Henry Theil, Principles of Econometrics, John Wiley & Sons, Nueva York, 1971, pp. 605-606.† M. Blaug, The Methodology of Economics. Or How Economists Explain, Cambridge University Press, Nueva York, 1980, p. 256.‡ Ibid., p. 14.§ Adaptado de G.A.F., Linear Regression Analysis, John Wiley & Sons, Nueva York, 1977, p. 176.


modelo de manera directa: Yi β1 + β2 X i + β3 X2i + u i. (Sugerencia: Sustituya por Yi

en la regresión RESET.)*

13.20. Fundamente con argumentos si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.†

a) Una observación puede ser infl uyente pero no ser un valor atípico.

b) Una observación puede ser un valor atípico, pero no ser infl uyente.

c) Una observación puede ser un valor atípico e infl uyente.

d ) Si el modelo Yi β1 + β2 X i + β3 X2i + ui β3 resulta estadísticamente signifi cativo,

se debe conservar el término lineal Xi aunque β2 sea estadísticamente insignifi cante.

e) Si estima el modelo Yi β1 + β2 X2 i + β3 X3i + ui o Yi α1 + β2 x2 i + β3 x3i + ui

mediante MCO, la línea de regresión estimada es la misma, donde (X2i − X2) y

x3i (X3i − X3).

Ejercicios empíricos

13.21. Utilice la información de la demanda de pollos del ejercicio 7.19. Suponga que la verda-

dera función de demanda es

ln Yt β1 + β2 ln X2t + β3 ln X3t + β6 ln X6t + u t (1)

pero considera la siguiente función de demanda:

ln Yt α1 + α2 ln X2t + α3 ln X3t + vt (2)

donde Y consumo de pollos per cápita (en libras)

X2 ingreso real disponible per cápita

X3 precio real de los pollos al menudeo

X6 precio real compuesto de los sustitutos del pollo

a) Realice las pruebas RESET y ML de errores de especifi cación, suponiendo que la

función de demanda (1) dada es la verdadera.

b) Suponga que β6 en (1) resulta estadísticamente no signifi cativa. ¿Indica esto que no

hay error de especifi cación si se ajusta (2) a la información?

c) Si β6 resulta no signifi cativa, ¿indica eso que no se debe introducir el precio de uno o

más productos sustitutos como argumento en la función de demanda?

13.22. Continúe con el ejercicio 13.21. Estrictamente por razones pedagógicas, suponga que el

modelo (2) es la verdadera función de demanda.

a) Si ahora estimamos el modelo (1), ¿qué tipo de error de especifi cación se comete en

esta instancia?

b) ¿Cuáles son las consecuencias teóricas de este error de especifi cación? Ilustre con la

información disponible.

13.23. El verdadero modelo es

Y ∗i β1 + β2 X∗

i + u i (1)

pero, debido a errores de medición, estima

Yi α1 + α2 X i + vi (2)

donde Yi Y ∗i + εi y X i X∗

i + wi, donde εi y wi son errores de medición.

* Adaptado de Kerry Peterson, op. cit., pp. 184-185.† Adaptado de Norman R. Draper y Harry Smith, op. cit., pp. 606-607.


Con la información de la tabla 13.2, evalúe las consecuencias de estimar (2) en lugar

del verdadero modelo (1).

13.24. Experimento Monte Carlo:* Diez personas percibieron el siguiente ingreso permanen-

te semanal: $200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 380 y 400. El consumo perma-

nente (Y ∗i ) estuvo relacionado con el ingreso permanente, X∗

i , así

Y ∗i 0.8X∗

i (1)

Cada individuo tuvo un ingreso transitorio igual a 100 veces un número aleatorio ui, ob-

tenido de una población normal con media 0 y σ 2 1 (es decir, una variable normal

estandarizada). Suponga que no hay un componente transitorio en el consumo. Así, el

consumo medido y el consumo permanente son los mismos.

a) Seleccione 10 números aleatorios de una población normal con media cero y varianza

unitaria, y obtenga 10 números para el ingreso medido Xi( X∗i + 100ui).

b) Efectúe la regresión del consumo permanente ( medido) sobre el ingreso medido

con la información obtenida en a) y compare los resultados con los que aparecen en

(1). A priori, el intercepto debe ser cero (¿por qué?) ¿Es ése el caso? ¿Por qué?

c) Repita a) 100 veces, obtenga 100 regresiones como las de b) y compare los resultados

con la verdadera regresión (1). ¿Qué conclusiones generales obtiene?

13.25. Consulte el ejercicio 8.26. Con las defi niciones de las variables dadas ahí, considere los

dos modelos siguientes para explicar Y:

Modelo A: Yt α1 + α2 X3t + α3 X4t + α4 X6t + ut

Modelo B: Yt β1 + β2 X2t + β3 X5t + β4 X6t + ut

Con la prueba F anidada, ¿cómo elegiría alguno de los dos modelos?

13.26. Continúe con el ejercicio 13.25. Con la prueba J, ¿cómo escogería alguno de los dos

modelos?

13.27. Consulte el ejercicio 7.19, que analiza la demanda de pollo en Estados Unidos. Ahí se dan

cinco modelos.

a) ¿Cuál es la diferencia entre el modelo 1 y el 2? Si el modelo 2 es correcto y estima el

modelo 1, ¿qué tipo de error comete? ¿Qué pruebas aplicaría: para el error de espe-

cifi cación de ecuación, o para el error de selección de modelo? Muestre los cálculos

necesarios.

b) Entre los modelos 1 y 5, ¿cuál elegiría? ¿Qué prueba(s) aplicaría(n) y por qué?

13.28. Consulte la tabla 8.11, que proporciona información sobre los ahorros personales (Y ) y

el ingreso personal disponible (X ) de 1970 a 2005. Ahora considere los siguientes mo-

delos:

Modelo A: Yt α1 + α2 X t + α3 X t−1 + ut

Modelo B: Yt β1 + β2 X t + β3Yt−1 + ut

¿Cómo eligiría alguno de los dos modelos? Establezca con claridad el (los) procedimien-

to(s) de prueba que utilice y muestre todos los cálculos. Suponga que se cuestiona que la

variable tasa de interés pertenece a la función ahorro: ¿cómo probaría eso? Recopile los

datos de la tasa de interés para bonos del tesoro a tres meses como un representante de

los intereses y justifi que su respuesta.

* Adaptado de Christopher Dougherty, Introduction to Econometrics, Oxford University Press, Nueva York, 1992, pp. 253-256.


13A.1 Prueba de que E(b1 2) H β2 + β3b3 2 [ecuación (13.3.3)]

En la forma de desviación, el modelo de regresión de población con tres variables se expresa

yi β2x2i + β3x3i + (u i − u) (1)

Si primero se multiplica por x2 y luego por x3, las ecuaciones normales usuales son:

yi x2i β2 x22i + β3 x2i x3i + x2i (u i − u) (2)

yi x3i β2 x2i x3i + β3 x23i + x3i (u i − u) (3)

Al dividir (2) entre x22i en ambos lados, obtenemos

yi x2i

x22i

β2 + β3

x2i x3i

x22i

+x2i (u i − u)

x22i

(4)

13.29. Utilice los datos del ejercicio 13.28. Para familiarizarse con los mínimos cuadrados recur-

sivos, calcule las funciones ahorro de 1970-1981, 1970-1985, 1970-1990 y 1970-1995.

Comente la estabilidad de los coefi cientes estimados en las funciones ahorro.

13.30. Continúe con el ejercicio 13.29, pero ahora use los datos actualizados de la tabla 8.10.

a) Suponga que estima la función de ahorro de 1970-1981. Con los parámetros así

estimados y los datos del ingreso personal disponible de 1982-2000, estime el

ahorro pronosticado para el segundo periodo y use la prueba de falla de predicción

de Chow para averiguar si se rechaza la hipótesis de que la función de ahorro entre los

dos periodos no ha cambiado.

b) Ahora estime la función de ahorro de los datos de 2000-2005. Compare los resultados

con la función correspondiente al periodo 1982-2000 mediante el mismo método que

en el inciso anterior (la prueba de falla de predicción de Chow). ¿Hay algún cambio

signifi cativo en la función de ahorro entre los dos periodos?

13.31. Omisión de una variable en el modelo de regresión con K variables. Consulte la ecuación

(13.3.3), que muestra el sesgo por omitir la variable X3 del modelo Yi β1 + β2X2 i +

β3X3i + ui. Esto se generaliza de la siguiente forma: en el modelo con k variables, Yi

β1 + β2X2 i + · · · + βkXki + ui, suponga que omitimos la variable Xk. Entonces, es po-

sible demostrar que el sesgo de la variable omitida que corresponde al coefi ciente de la

pendiente para la variable incluida Xj es:

E(βj ) βj + βkbk j j 2, 3, . . . , (k − 1)

donde bk j es el coefi ciente de la pendiente (parcial) de Xj en la regresión auxiliar de la

variable excluida Xk sobre todas las variables explicativas incluidas en el modelo.*

Consulte el ejercicio 13.21. Obtenga el sesgo de los coefi cientes en la ecuación (1) si

excluimos la variable ln X6 del modelo. ¿Esta exclusión es grave? Muestre los cálculos

necesarios.

Apéndice 13A

* Lo anterior se generaliza al caso en el que más de una variable X relevante esté excluida del modelo. Sobre este tema, véase Chandan Mukherjee et al., op. cit., p. 215.


Ahora, si recuerda que

b1 2 yi x2i

x22i

b3 2 x2i x3i

x22i

la ecuación (4) se expresa como

b1 2 β2 + β3b3 2 +x2i (u i − u)

x22i

(5)

Si toma el valor esperado de (5) en ambos lados, obtenemos fi nalmente

E(b1 2) β2 + β3b3 2 (6)

donde se aprovecha que: a) para una muestra dada, b3 2 es una cantidad fi ja conocida, b) β2 y β3 son cons-

tantes y c) ui no está correlacionada con X2i (ni tampoco con X3i).

13A.2 Consecuencias de la inclusión de una variable irrelevante: propiedad de insesgamiento

Para el verdadero modelo (13.3.6), tenemos

β2 yx2

x22

(1)

y sabemos que es insesgado.

Para el modelo (13.3.7) obtenemos

α2

yx2 x23 − yx3 x2x3

x22 x2

3 − x2x3

2 (2)

Ahora el verdadero modelo en forma de desviación es

yi β2x2 + (u i − u) (3)

Al sustituir para yi de (3) en (2) y simplifi car, obtenemos

E(α2) β2

x22 x2

3 − x2x3

2

x22 x2

3 − x2x3

2

β2

(4)

es decir, α2 permanece insesgado.

También obtenemos

α3

yx3 x22 − yx2 x2x3

x22 x2

3 − x2x3

2 (5)


Al sustituir para yi de (3) en (5) y simplifi car, obtenemos

E(α3) β2

x2x3 x22 − x2x3 x2

2

x22 x2

3 − x2x3

2

0

(6)

el cual es su valor en el verdadero modelo, pues X3 está ausente de dicho modelo.

13A.3 Prueba de la ecuación (13.5.10)

Tenemos

Y α + βX∗i + ui (1)

X i X∗i + wi (2)

Por consiguiente, en la forma de desviación, obtenemos

yi βx∗i + (u i − u) (3)

xi x∗i + (wi − w) (4)

Ahora, cuando utilizamos

Yi α + βX i + ui (5)

obtenemos

β yx

x2

[βx∗ + (u − u)][x∗ + (w− w)]

[x∗ + (w− w)]2con (3) y (4)

β x∗2 + β x∗(w− w) + x∗(u − u) + (u − u)(w− w)

x∗2 + 2 x∗(w− w) + (w− w)2

Como no podemos tomar la esperanza de esta expresión porque la esperanza de la razón de dos variables

no es igual a la razón de sus esperanzas (nota: el operador de esperanzas E es un operador lineal), primero

dividimos cada término del numerador y del denominador entre n y obtenemos la probabilidad del límite,

plím (véanse los detalles de plím en el apéndice A), de

β (1/n) β x∗2 + β x∗(w− w) + x∗(u − u) + (u − u)(w− w)

(1/n) x∗2 + 2 x∗(w− w) + (w− w)2

Ahora, la probabilidad del límite de la razón de dos variables es la razón de sus probabilidades del límite. Al

aplicar esta regla y tomar el plím de cada término, obtenemos

plím β βσ 2

X∗

σ 2X∗ + σ 2

w

donde σ 2X∗ y σ 2

w son las varianzas de X ∗ y w a medida que el tamaño de la muestra aumenta indefi nida-

mente y donde aprovechamos que, a medida que el tamaño de la muestra aumenta indefi nidamente, no hay

correlación entre los errores u y w ni entre ellos y la verdadera X ∗. De la expresión anterior, fi nalmente

obtenemos

plím β β

1

1+ σ 2w σ 2

X∗

que es el resultado requerido.


13A.4 Prueba de la ecuación (13.6.2)

Como no hay término de intercepto en el modelo, la estimación para α, de acuerdo con la fórmula para la

regresión a través del origen, es como sigue:

α X iYi

X2i

(1)

Al sustituir por Y del verdadero modelo (13.2.8), obtenemos

α X i (βX iu i )

X2i

βX2i u i

X2i

(2)

La teoría estadística muestra que si ln ui ∼ N(0, σ 2), entonces

u i log normal eσ 2/2, eσ 2

eσ 2−1 (3)

Por tanto,

E(α) βE

X2i u i

X2i

β

EX2

1u1 + X22u2 + · · · + X2

nun

X2i

βeσ 2/2

X2i

X2i

βeσ 2/2

donde se aprovecha que las X son no estadísticas y cada ui tiene un valor esperado de eσ 2/2.

Como E(α) β, α es un estimador sesgado de β.

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Espec ficaci n del modelo econom trico, Gujarati...3 i +u 1i (13.2.1) donde Y costo total de producción y X producción. La ecuación (13.2.1) es un ejemplo de la función cúbica