Esfuerzo Horizontal ... Jos Medina

XXV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Acapulco, Gro., del 11 al 13 de noviembre de 2010

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

Esfuerzo horizontal producido por una carga rectangular horizontal uniforme aplicada en el interior de un sólido

Horizontal stress produced by horizontal rectangular uniform load in the interior of solid

J. Medina M. Maestro, Universidad de Sonora, Hermosillo, Sonora, México, [email protected] RESUMEN: Se expone un procedimiento para estimar el incremento en el esfuerzo horizontal, producido por una carga rectangular horizontal, uniformemente distribuida, actuado en el interior de un sólido. ABSTRACT: A procedure is exposed to determine the increase in the horizontal stress produced by horizontal rectangular uniformed load in the interior of solid.

1 INTRODUCCIÓN

En el análisis y diseño de una pila de cimentación sometida a carga horizontal, es necesario estimar los desplazamientos laterales de la pila de cimentación y la presión de contacto horizontal suelo-cimentación, y para ello es necesario calcular el incremento en el esfuerzo horizontal producido por una carga rectangular, uniformemente distribuida, actuando en el interior de la masa de suelo (Medina 2008 y 2010; Zeevaert 1980 y 1983).

2 SOLUCIÓN DE BOUSSINESQ

Boussinesq (1885), mediante la teoría de la elasticidad, obtuvo el incremento en el esfuerzo vertical producido por una carga puntual aplicada en la superficie de un medio homogéneo, isotrópico y semi infinito, Figura 1. El incremento en el esfuerzo vertical se obtiene:

Figura 1. Carga puntual aplicada en la superficie de una masa semi infinita.

5

3

23

RzP

z πσ =Δ (1)

3 SOLUCIÓN DE MINDLIN

Mindlin (1936), mediante la teoría de la elasticidad, calculó el incremento en el esfuerzo horizontal, producido por una carga puntual aplicada en el interior de un medio homogéneo, isotrópico y semi infinito (figura 2). El incremento en el esfuerzo horizontal está dado por:

( ++−−

−⎢⎢⎣

⎡ −−

=Δ51

2

32

31

3)45()21()21()18 R

xRR

xPx

ννννπ

σ

[( )

]−++

++−×

++

−−+

−+

CzRR

CzRx

CzRRRx

222

22

222

52

2 )3(3

)(

)21)(1(4)43(3 ννν

⎥⎥⎦

⎤

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−−−22

2

52

5))(23(36R

zxCzCRC ν (2)

( )[ ] 2/1221 CzxR −+=

(3)

( )[ ] 2/1222 CzxR ++=

ν es la relación de Poisson del material.

4 SOLUCIÓN DE ZEEVAERT

Zeevaert (1983) mediante la integración de la ecuación de Boussinesq, ecuación 1, obtiene el incremento en el esfuerzo vertical producido por una carga rectangular, uniformemente distribuida, aplicada en la superficie de una masa semi infinita, Fig. 3:



Figura 2. Carga horizontal puntual aplicada en el interior de una masa semi infinita.

Figura 3. Carga rectangular, uniformemente distribuida, aplicada en la superficie de una masa semi infinita.

FZaz Iq=Δσ (4)

( )×−=32

3 03

0α

απ

sensenI FZ

( ( ){ }212121 cos)() ψψψψψψ +×−+−× sen (5)

( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+= −

2/122

10

2/tanzx

Lα

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

= −

zBx 2/tan 1

1ψ (6)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

= −

zBx 2/tan 1

2ψ

5 SOLUCIÓN APROXIMADA DE ZEEVAERT

Zeevaert (1983) propone una expresión aproximada para estimar el incremento en el esfuerzo horizontal producido por una carga horizontal rectangular, uniformemente distribuida, actuando en el interior de una masa de suelo, figura 4:

FZxax Iq=Δσ (7)

( )×−=32

3 03

0α

απ

sensenI FZx

( ( ){ }212121 cos)() ψψψψψψ +×−+−× sen +

+ ( )×−3

''

23 0

3

0α

απ

sensen

( ( ){ }212121 ''cos)''()'' ψψψψψψ +×−+−× sen (8)

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−= −

2/1221

0 tanxzC

rα

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

= −

xLzC 2/tan 1

1ψ

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

= −

xLzC 2/tan 1

2ψ

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++= −

2/1221

0 tan'xzC

rα (9)

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++

= −

xLzC 2/tan' 1

1ψ

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+

= −

xLzC 2/tan' 1

2ψ

Medina Mendoza, José


Figura 4. Solución aproximada de Zeevaert para carga rectangular uniforme en el interior de una masa de suelo.

6 ESTUDIO DE LA SOLUCIÓN APROXIMADA DE ZEEVAERT

Zeevaert, para estimar el incremento en el esfuerzo horizontal producido por una carga rectangular uniforme, actuando en el interior de un suelo (ecuaciones 7, 8 y 9), utiliza la solución obtenida a partir de la ecuación de Boussinesq para carga rectangular, actuando en la superficie del suelo (ecuación 5) y le suma el efecto producido por la misma carga rectangular aplicada a una distancia C por arriba de la superficie del sólido. Para estudiar la aproximación de este método, compararemos la ecuación de Mindlin (ecuación 2) con la ecuación de Boussinesq (ecuación 1) más la aplicación de una carga P aplicada a una distancia C por arriba de la superficie del suelo, figura 5:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=Δ

52

51

3 112

3RR

xPx π

σ (10)

( )[ ] 2/1221 CzxR −+=

(11)

( )[ ] 2/1222 CzxR ++=

Figura 5. Figura auxiliar para el estudio de la solución aproximada de Zeevaert

En la figura 6 se muestra las comparaciones entre las ecuaciones de Mindlin, Boussinesq y la solución aproximada de Zeevaert (ecuación 10). Se consideró P de 1 N; x de 1.0 m; C de 0.5 m; ν de 0.30.

Como se puede observar de la figura 6, el incremento en el esfuerzo horizontal, obtenido con las ecuaciones de Boussinesq y la solución aproximada de Zeevaert (ecuación 10), son muy grandes, en comparación con la ecuación de Mindlin.

7 SOLUCIÓN APROXIMADA DE MEDINA

Puede lograrse una mejor aproximación en la estimación del incremento en el esfuerzo horizontal, producido por una carga horizontal, actuando en el interior de una masa de suelo, con la introducción de los coeficientes C1 y C2.

La aproximación para una carga puntual es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=Δ

52

251

13

23

R

C

R

CxPx π

σ (12)

C1, C2 son función de la relación de Poisson del material, figura 7.



Figura 6. Comparación de la ecuación de Mindlin, con la ecuación de Boussinesq y la solución aproximada de Zeevaert para carga puntual.

Figura 7. Relación entre los coeficientes C1 y C2 con la relación de Poisson.

En la figuras 8 y 9 se muestra una comparación de la ecuación de Mindlin con la solución aproximada de Medina (ecuación 12) para carga puntual. Se consideró P de 1 N; x de 1.0 m; ν de 0.30; C1 de 0.41 y C2 de 0.31.

Figura 8. Comparación de la ecuación de Mindlin, con la solución aproximada de Medina para carga puntual. C = 3 m.

Figura 9. Comparación de la ecuación de Mindlin, con la solución aproximada de Medina para carga puntual. C = 0.5 m.

De lo anterior se tiene que el incremento en el esfuerzo horizontal, debido a una carga rectangular uniforme, actuando en el interior de una masa de suelo, se puede estimar mediante la siguiente ecuación:

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

Prof

undi

dad

(m)

Esfuerzo (N/m2)

Mindlin

Zeevaert

Boussinesq

º

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

C1,

C2

Relación de Poisson

C1

C2

º

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Prof

undi

dad

(m)

Esfuerzo (N/m2)

Mindlin

Medina

º

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Prof

undi

dad

(m)

Esfuerzo (N/m2)

Mindlin

Medina

º

Medina Mendoza, José


ZMax Iq=Δσ (13)

( )×−=32

3 03

01 α

απ

sensen

CI ZM

( ( ){ }212121 cos)() ψψψψψψ +×−+−× sen +

+ ( )×−3

''

23 0

3

02 α

απ

sensen

C

( ( ){ }212121 ''cos)''()'' ψψψψψψ +×−+−× sen (14)

8 COMPARACIÓN DE LAS APROXIMACIONES DE ZEEVAERT Y MEDINA

Con el fin de comparar la implicación práctica del uso de las ecuaciones aproximadas de Zeevaert (ecuación 8) y Medina (ecuación 14), se efectuó el cálculo de interacción suelo estructura de cimentación, para la pila mostrada en la figura 10. En ambos casos se utilizó el procedimiento de interacción suelo estructura planteado por Medina (2008); empleándose en el cálculo de los valores de influencia: en un caso la ecuación 8; y en el otro la ecuación 14 con ν igual a 0.5. En las figuras 11 y 12 se muestran los resultados obtenidos en los desplazamientos laterales y en las presiones de contacto horizontales suelo-pila de cimentación, respectivamente.

De las figuras 11 y 12 se observa que los desplazamientos obtenidos con los valores de influencia de Zeevaert son significativamente más grandes que los obtenidos con los valores de influencia de Medina; mientras las presiones de contacto son similares con ambas ecuaciones.

9 CONCLUSIONES

La disipación de esfuerzos mediante la ecuación de Mindlin, es mucho más fuerte, en comparación con la ecuación de Boussinesq, ya que en el interior de la masa de suelo la carga se encuentra confinada en todo su alrededor; lo cual no sucede con la carga aplicada en la superficie del medio, como lo considera Boussinesq. Por lo tanto, si queremos aproximarnos a la solución de Mindlin mediante la ecuación de Boussinesq, el valor de influencia de Boussinesq debe disminuirse.

Figura 10. Pila de cimentación sometida a carga lateral y momento.

Figura 11. Comparación en desplazamiento lateral entre las influencias de Zeevaert y Medina.

0123456789

1011121314151617

-0.50 0.00 0.50 1.00

Prof

undi

dad

(m)

Desplazamiento (cm)

Medina

Zeevaert

º



Figura 12. Comparación en presiones de contacto entre influencias de Zeevaert y Medina.

El procedimiento propuesto por Zeevaert, de sumar el efecto de una carga imaginaria, para aproximarnos mediante la ecuación de Boussinesq a la solución de Mindlin, es adecuado, siempre y cuando se reduzcan las influencias, tanto de la carga actuando en el interior de la masa de suelo; como de la imaginaria actuando por arriba de la superficie del sólido; es decir que se afecten los valores de influencia obtenidos por Zeevaert con los coeficientes C1 y C2, como aquí se expuso.

Los desplazamientos laterales obtenidos con la expresión de Zeevaert (ecuación 8), pueden ser muy grandes en comparación con la expresión aquí expuesta

(ecuación 14); con respecto a las presiones de contacto, la diferencia puede no ser significativa para fines prácticos.

La expresión propuesta aquí (ecuación 14), para estimar el incremento en el esfuerzo horizontal producido por una carga rectangular uniforme, actuando en el interior de un sólido, presenta las siguientes ventajas:

a). Es una aproximación bastante satisfactoria a la solución propuesta por Mindlin, la cual se obtuvo a partir de la teoría de la elasticidad.

b). La ecuación es relativamente sencilla y fácil de programar en una computadora.

c). Se evitó la integración de la ecuación de Mindlin, con lo que se obtendría una expresión muy complicada, ya que la ecuación propuesta tiene como referencia la ecuación de Boussinesq para carga puntual, que es una expresión muy sencilla con respecto a la ecuación de Mindlin (comparar ecuaciones 1 y 2).

d). La ecuación obtenida es amigable para ser utilizada en la estimación de las presiones de contacto laterales suelo cimentación y desplazamientos laterales en pilas de cimentación sometidas a fuerza lateral y momento, en los procedimientos propuestos por Medina (2008 y 2010) y Zeevaert (1980 y 1983).

REFERENCIAS

Boussinesq, Joseph. (1885). Applications des potentiels à l’etude de l’equilibre et du mouvement des solides élastiques, Paris, Gauthier-Villard.

Medina, José. (2010). “Interacción sísmica suelo- estructura en pilotes y pilas de cimentación; caso III”. XXV Reunión Nacional de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica. Acapulco, Guerrero.

Medina, José. (2008). “Interacción horizontal suelo estructura en pilotes y pilas de cimentación”. XXIV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos. Aguascalientes, Aguascalientes: 279-287.

Mindlin, D. R. (1936). Force at a point in the interior of a semi-infinite solid, Columbia University, Ney York.

Zeevaert, Leonardo. (1983). Foundation engineering for difficult subsoil conditions, Van Nostrand Reinhold, New York: 676 p.

Zeevaert, Leonardo. (1980). Interacción suelo estructura de cimentación, Editorial Limusa, México, D. F.: 256 p.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

-100 0 100 200

Prof

undi

dad

(m)

Presión de contacto (kN/m2)

Medina

Zeevaert

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