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8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
1/38
eScholarship provides open access, scholarly publishing
services to the University of California and delivers a dynamic
research platform to scholars worldwide.
California Partners for Advanced Transit
and Highways (PATH)
UC Berkeley
Title:Modeling And Control Design For A Computer Controlled Brake System
Author:
Raza, H.Xu, Z.Ioannou, P.Yang, B.
Publication Date:
01-01-1995
Series:
Research Reports
Publication Info:
Research Reports, California Partners for Advanced Transit and Highways (PATH), Institute ofTransportation Studies, UC Berkeley
Permalink:
http://escholarship.org/uc/item/2dx3p56v
Keywords:
Automobiles--Automatic control, Motor vehicles--Automatic control, Automobiles--Brakes--Mathematical models
Abstract:In this paper, the problem of modeling and control design of a computer controlled brake system isaddressed. A nonlinear model for the brake system is developed by analyzing the input-output dataobtained from the test bench. A controller for the brake system is designed by applying feedbacklinearization techniques along with intuitive modifications to meet the closed loop specifications.
http://escholarship.org/uc/item/2dx3p56vhttp://escholarship.org/uc/its_path_reportshttp://escholarship.org/uc/search?creator=Yang%2C%20B.http://escholarship.org/uc/search?creator=Ioannou%2C%20P.http://escholarship.org/uc/search?creator=Xu%2C%20Z.http://escholarship.org/uc/search?creator=Raza%2C%20H.http://escholarship.org/uc/ucbhttp://escholarship.org/uc/its_pathhttp://escholarship.org/uc/its_pathhttp://escholarship.org/uc/its_pathhttp://escholarship.org/http://escholarship.org/http://escholarship.org/http://escholarship.org/8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
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ISSN 1055-1425
November 1995
This work was performed as part of the California PATH Program of the
University of California, in cooperation with the State of California Business,Transportation, and Housing Agency, Department of Transportation; and the
United States Department of Transportation, Federal Highway Administration.
The contents of this report reflect the views of the authors who are responsible
for the facts and the accuracy of the data presented herein. The contents do not
necessarily reflect the official views or policies of the State of California. This
report does not constitute a standard, specification, or regulation.
Report for MOU 57
CALIFORNIA PATH PROGRAM
INSTITUTE OF TRANSPORTATION STUDIES
UNIVERSITY OF CALIFORNIA, BERKELEY
Modeling and Control Design for a
Computer Controlled Brake System
UCB-ITS-PRR-95-37
California PATH Research Report
H. Raza, Z. Xu, P. Ioannou, B. Yang
University of Southern California
CALIFORNIA PARTNERS FOR ADVANCED TRANSIT AND HIGHWAYS
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
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M o d e l i n g a n d C o n t r o l D e s i g n f o r a C o m p u t e r C o n t r o l l e d
B r a k e S y s t e m
H . R a z a , Z . X u a n d P . I o a n n o u
D e p t . o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g - S y s t e m s
U n i v e r s i t y o f S o u t h e r n C a l i f o r n i a
L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 8 9 - 2 5 6 3
2 1 3 7 4 0 - 4 4 5 2
A b s t r a c t . T h e b r a k e s u b s y s t e m i s o n e o f t h e m o s t s i g n i c a n t p a r t s o f a v e h i c l e w i t h
r e s p e c t t o s a f e t y . A c o m p u t e r c o n t r o l l e d b r a k e s y s t e m h a s t h e c a p a b i l i t y o f a c t i n g f a s t e r
t h a n t h e h u m a n d r i v e r d u r i n g e m e r g e n c i e s , a n d t h e r e f o r e h a s t h e p o t e n t i a l o f i m p r o v i n g
s a f e t y .
I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f m o d e l i n g a n d c o n t r o l o f a c o m p u t e r c o n t r o l l e d
b r a k e s y s t e m . T h e b r a k e m o d e l i s d e v e l o p e d u s i n g a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s c o n d u c t e d o n
a t e s t b e n c h w h i c h c o n t a i n s t h e f u l l s c a l e b r a k e s u b s y s t e m o f a L i n c o l n t o w n c a r
y
a n d a
c o m p u t e r c o n t r o l l e d a c t u a t o r d e s i g n e d b y F o r d M o t o r C o m p a n y . T h e d e v e l o p e d m o d e l
h a s t h e f o r m o f a r s t o r d e r n o n l i n e a r s y s t e m w i t h t h e s y s t e m n o n l i n e a r i t i e s l u m p e d i n
t h e m o d e l c o e c i e n t s . T h e u n k n o w n m o d e l p a r a m e t e r s a r e i d e n t i e d b y a p p l y i n g c u r v e
t t i n g t e c h n i q u e s t o t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e m a j o r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s y s t e m
i n p u t - o u t p u t c u r v e s s u c h a s t i m e d e l a y , e e c t o f s t a t i c f r i c t i o n , t r a n s i e n t a n d s t e a d y
s t a t e p a r t s , h a v e b e e n i d e n t i e d i n t e r m s o f m o d e l p a r a m e t e r s . T h e b r a k e c o n t r o l l e r
d e s i g n m a k e s u s e o f a s t a n d a r d f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e a l o n g w i t h i n t u i t i v e
m o d i c a t i o n s t o m e e t t h e c l o s e d l o o p p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . T h e s i m u l a t i o n r e -
s u l t s s h o w t h a t t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r g u a r a n t e e s n o o v e r s h o o t a n d z e r o s t e a d y s t a t e
e r r o r f o r s t e p i n p u t s . T e s t o f t h e s a m e c o n t r o l l e r u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l b e n c h s e t u p
d e m o n s t r a t e s i t s e e c t i v e n e s s i n m e e t i n g t h e p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s .
K e y w o r d s : M o d e l i n g , B r a k e S y s t e m , D i s c r e t e T i m e C o n t r o l , F e e d b a c k L i n e a r i z a t i o n , A d -
v a n c e d V e h i c l e C o n t r o l S y s t e m s , A u t o m a t e d H i g h w a y S y s t e m s .
T h i s w o r k i s s u p p o r t e d b y t h e C a l i f o r n i a D e p a r t m e n t o f T r a n s p o r t a t i o n t h r o u g h P A T H o f t h e U n i v e r s i t y
o f C a l i f o r n i a a n d F o r d M o t o r C o m p a n y . T h e c o n t e n t s o f t h i s p a p e r r e e c t t h e v i e w s o f t h e a u t h o r s w h o
a r e r e s p o n s i b l e f o r t h e f a c t s a n d t h e a c c u r a c y o f t h e d a t a p r e s e n t e d h e r e i n . T h e c o n t e n t s d o n o t n e c e s s a r i l y
r e e c t t h e o c i a l v i e w s o r p o l i c i e s o f t h e S t a t e o f C a l i f o r n i a . T h i s p a p e r d o e s n o t c o n s t i t u t e a s t a n d a r d ,
s p e c i c a t i o n o r r e g u l a t i o n .
y
L i n c o l n t o w n c a r i s t h e t r a d e m a r k o f F o r d M o t o r C o m p a n y
i
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E x e c u t i v e S u m m a r y
I n t h i s p a p e r t h e p r o b l e m o f m o d e l i n g a n d c o n t r o l d e s i g n o f a c o m p u t e r c o n t r o l l e d b r a k e
s y s t e m i s a d d r e s s e d . T h e b r a k e s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s a t e s t b e n c h d e s i g n e d b y F o r d
M o t o r C o m p a n y , w h i c h c o n t a i n s t h e f u l l s c a l e b r a k e s u b s y s t e m o f L i n c o l n T o w n c a r a n d a
c o m p u t e r c o n t r o l l e d a c t u a t o r .
A n o n l i n e a r m o d e l f o r t h e b r a k e s y s t e m i s d e v e l o p e d b y a n a l y z i n g t h e i n p u t - o u t p u t d a t a
o b t a i n e d f r o m t h e t e s t b e n c h . T h e m o d e l i d e n t i e s t h e m a j o r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e b r a k e
s y s t e m , s u c h a s t i m e d e l a y , t r a n s i e n t a n d s t e a d y s t a t e b e h a v i o r . T h e m o d e l c a n b e u s e d i n
d e s i g n i n g a n d t e s t i n g v e h i c l e b r a k e c o n t r o l l e r s a n d i n c a l c u l a t i n g s a f e i n t e r - v e h i c l e s p a c i n g s
b y t k i n g i n t o a c c o u n t t h e t i m e d e l a y o f t h e b r a k e s y s t e m .
A c o n t r o l l e r f o r t h e b r a k e s y s t e m i s d e s i g n e d b y a p p l y i n g f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e
a l o n g w i t h i n t u i t i v e m o d i c a t i o n s t o m e e t t h e c l o s e d l o o p p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . T h e
s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r g u a r a n t e e s n o o v e r s h o o t a n d z e r o s t e a d y
s t a t e e r r o r f o r s t e p i n p u t s . T e s t o f t h e s a m e c o n t r o l l e r u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l b e n c h s e t u p
d e m o n s t r a t e s i t s e e c t i v e n e s s i n m e e t i n g t h e p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s .
i i
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C o n t e n t s
1 I n t r o d u c t i o n 1
2 B r a k e S y s t e m C o m p o n e n t s 2
2 . 1 A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
2 . 2 V a c u u m B o o s t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
2 . 3 M a s t e r C y l i n d e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
3 P r o p o s e d B r a k e M o d e l 6
4 P a r a m e t e r I d e n t i c a t i o n 9
4 . 1 S t e p I n p u t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
4 . 2 S t a i r c a s e I n p u t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1
5 C o n t r o l D e s i g n 1 4
5 . 1 C o n t r o l l e r M o d i c a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6
6 S t a b i l i t y A n a l y s i s 1 8
7 S i m u l a t i o n a n d I m p l e m e n t a t i o n R e s u l t s 1 9
8 C o n c l u s i o n 2 0
A L o o k u p T a b l e s 2 2
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L i s t o f F i g u r e s
1 B l o c k D i a g r a m o f t h e B r a k e S u b s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
2 B l o c k D i a g r a m o f t h e A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e : : : : : : : : : : : : : : 3
3 B l o c k D i a g r a m o f t h e V a c u u m B o o s t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
4 V a c u u m B o o s t e r O p e r a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
5 B l o c k D i a g r a m o f M a s t e r C y l i n d e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
6 B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b u i l d i n g m o d e . I n p u t s r a n g e f r o m d u t y c y c l e o f 7 6 t o
4 8 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
7 B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b l e e d i n g m o d e . T h e i n p u t i s e q u a l t o 4 8 f o r 0
t 3 0 s e c a n d i s c h a n g e d a t t = 3 0 s e c t o d i e r e n t d u t y c y c l e v a l u e s r a n g i n g
f r o m 5 0 t o 9 0 . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
8 T o p p o r t i o n o f t h e F i g u r e s h o w s t h a t f o r t h e r e l a x e d s y s t e m a l a r g e t i m e
d e l a y , 0 . 2 s e c , i s o b s e r v e d . H o w e v e r , f o r a n y s u b s e q u e n t c h a n g e s i n t h e i n -
p u t b o t t o m p o r t i o n , t h e t i m e d e l a y i s v e r y s m a l l 0 0 1 s e c . : : : : : : : 8
9 C h a n g e i n b f o r c h a n g e i n i n p u t f r o m 5 6 t o 5 0 u = 6 a n d f r o m 6 8
t o 6 4 u = 4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2
1 0 B l o c k d i a g r a m o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5
1 1 B l o c k d i a g r a m f o r i m p l e m e n t a t i o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m . 1 6
1 2 B l o c k d i a g r a m o f t h e m o d i e d i n t e g r a t o r . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7
1 3 B l o c k d i a g r a m o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m . : : : : : : : : : : : 2 0
1 4 A c o m p a r i s o n o f t h e a c t u a l a n d m o d e l o u t p u t f o r a s t e p i n p u t o f 5 2 i s
s h o w n i n t h e t o p p o r t i o n o f t h e F i g u r e . W h e r e a s i n t h e b o t t o m o n e i n p u t
c h a n g e s f r o m 4 8 t o 9 0 a t t = 3 0 s e c . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4
1 5 T h e t o p l e f t p o r t i o n o f t h e F i g u r e s h o w s t h e i n p u t s i g n a l b e i n g a p p l i e d t o a c -
t u a l s y s t e m a n d b r a k e m o d e l f o r c o m p a r i s o n . T h e s y s t e m a n d m o d e l o u t p u t s
a r e s h o w n i n t o p r i g h t p o s i t i o n f o r g i v e n i n p u t s i g n a l . A s t a i r c a s e a p p r o x i m a -
t i o n o f t h e s a m e i n p u t s i g n a l i s s h o w n i n b o t t o m l e f t g r a p h . T h e c o m p a r i s o n
o f o u t p u t s i s s h o w n i n b o t t o m r i g h t g r a p h . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
1 6 C o m p a r i s o n o f c l o s e d l o o p r e s p o n s e f o r P I c o m p e n s a t o r w i t h a n d w i t h o u t
m o d i c a t i o n s . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6
1 7 S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s t e p i n p u t , c o r r e s p o n d i n g t o a
d e s i r e d p r e s s u r e o f 2 0 0 p s i . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7
1 8 S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r e x p o n e n t i a l i n p u t . : : : : : : : : 2 8
1 9 S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t . : : : : : : : : : 2 9
2 0 C l o s e d l o o p s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t o f 0 . 2 5 H z . t o p a n d 0 . 5 H z .
b o t t o m . T h e d e s i r e d p r e s s u r e i s s t e p i n p u t o f 1 0 0 p s i f r o m 0 t o 1 0 s e c , f r o m
1 0 s e c t o 2 0 s e c a s i n u s o i d a l i n p u t w i t h a m p l i t u d e o f 2 5 p s i i s s u p e r i m p o s e d
o n t h e s t e p i n p u t . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t s y s t e m b a n d w i d t h i s a r o u n d 0 . 5 H z . 3 0
2 1 C o m p a r i s o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d s y s t e m r e s p o n s e w i t h t h e e q u i v a l e n t
l i n e a r s y s t e m r e s p o n s e f o r t w o d i e r e n t i n p u t s . : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1
i v
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L i s t o f T a b l e s
1 S u m m a r y o f C o n t r o l L a w : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6
2 C o m p a r i s o n o f p e r f o r m a n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
3 L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f f u n c t i o n s g , h a n d g
f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e s 6
a n d 7 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2
4 L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f b = h
u ; x f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e 7 . A n X a s a
t a b l e e n t r y i n d i c a t e s a n i n v a l i d s t a t e f o r b l e e d i n g m o d e . : : : : : : : : : : : 2 3
v
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1 I n t r o d u c t i o n
W i t h a n e v e r - i n c r e a s i n g n u m b e r o f v e h i c l e s o n t h e l i m i t e d h i g h w a y s , i t h a s b e c o m e u r g e n t t o
d e v e l o p s o p h i s t i c a t e d t e c h n i c a l s o l u t i o n s t o t o d a y ' s s u r f a c e t r a n s p o r t a t i o n p r o b l e m s . I n t e l -
l i g e n t T r a n s p o r t a t i o n S y s t e m s I T S i s a n a r e a w h o s e p u r p o s e i s t o i m p r o v e t h e e c i e n c y
o f t h e c u r r e n t t r a n s p o r t a t i o n s y s t e m t h r o u g h t h e u s e o f a d v a n c e d t e c h n o l o g i e s . T h e s e
t e c h n o l o g i e s w i l l b e u s e d t o a u t o m a t e v e h i c l e s , i n f r a s t r u c t u r e a n d i m p r o v e t h e i n t e l l i g e n c e
o f d e c i s i o n m a k i n g . A n i m p o r t a n t p a r t o f I T S i s t h e A d v a n c e d V e h i c l e C o n t r o l S y s t e m s
A V C S w h o s e p u r p o s e i s t o i m p r o v e s a f e t y a n d v e h i c u l a r t r a c o w r a t e s b y a u t o m a t i n g
s o m e o r a l l o f t h e b a s i c f u n c t i o n s o f t h e v e h i c l e , i . e . , t h r o t t l e , b r a k e a n d s t e e r i n g c o n t r o l .
I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r t h e c o m p u t e r c o n t r o l l e d b r a k e s u b s y s t e m f u n c t i o n . T h e o b -
j e c t i v e i s t o u n d e r s t a n d t h e d y n a m i c s o f t h e b r a k i n g f u n c t i o n b y m o d e l i n g i t s b e h a v i o r a s
a d y n a m i c s y s t e m a n d t o d e s i g n a n d t e s t c o n t r o l a l g o r i t h m s f o r c o n t r o l l i n g i t i n o r d e r t o
m e e t g i v e n p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s .
D u r i n g t h e p a s t f e w y e a r s , s e v e r a l a t t e m p t s h a v e b e e n m a d e b y d i e r e n t r e s e a r c h g r o u p s
t o d e v e l o p m o d e l s o f t h e b r a k e s u b s y s t e m f o r A V C S a p p l i c a t i o n s . O n e s u c h i m p o r t a n t
c o n t r i b u t i o n i s t h e w o r k o f G e r d e s e t . a l . 6 . A b o n d g r a p h m e t h o d f o r m o d e l i n g t h e
c o m p o n e n t s o f m a n u a l b r a k e s y s t e m i s c o n s i d e r e d i n t h e p a p e r b y K h a n , K u l k a r n i a n d
Y o c e f - T o u m i 7 . I n t h e s e s t u d i e s t h e e m p h a s i s w a s g i v e n o n i d e n t i f y i n g t h e d y n a m i c s a s s o -
c i a t e d w i t h e a c h b r a k e c o m p o n e n t . A c o m p r e h e n s i v e d y n a m i c m o d e l o f t h e b r a k e s u b s y s t e m
f o r A V C S a p p l i c a t i o n s , w h i c h i d e n t i e s t h e m a p p i n g f r o m i n p u t t o o u t p u t , h a s n o t b e e n
a d d r e s s e d . T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o d e v e l o p a m o d e l a n d a c o n t r o l l e r f o r b r a k e
s u b s y s t e m t h a t c a n b e u s e d i n A V C S a p p l i c a t i o n s .
T h e b r a k e m o d e l i s d e v e l o p e d u s i n g a n e x p e r i m e n t a l s e t u p o n a b e n c h o f t h e f u l l s c a l e
L i n c o l n t o w n c a r b r a k e s u b s y s t e m . T h e b l o c k d i a g r a m o f t h e b r a k e s u b s y s t e m u n d e r s t u d y
i s s h o w n i n F i g u r e 1 . T h e t e s t b e n c h h a s a l l t h e c o n v e n t i o n a l b r a k e c o m p o n e n t s , i n a d d i -
t i o n , i t c o n t a i n s a n a u x i l i a r y h y d r a u l i c m o d u l e A H M w h i c h c o n s i s t s o f a h y d r a u l i c p u m p ,
c o n t r o l v a l v e s a n d a n a c t u a t o r . I t h a s b e e n d e s i g n e d b y F o r d s p e c i c a l l y f o r a u t o m a t i c
b r a k e a p p l i c a t i o n s . T h i s d e s i g n a l l o w s t h e d r i v e r t o o v e r r i d e a t a n y t i m e .
T h e d y n a m i c s y s t e m o r m o d e l d e s c r i b i n g t h e i n p u t - o u t p u t b e h a v i o r o f t h e b r a k e s u b -
s y s t e m i s d e v e l o p e d b y u s i n g a s e r i e s o f e x p e r i m e n t s a n d c u r v e t t i n g t e c h n i q u e s t o i d e n t i f y
t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s . T h e r e s u l t i n g m o d e l i s a r s t o r d e r n o n l i n e a r d y n a m i c s y s t e m
t h a t a c c u r a t e l y d e s c r i b e s t h e d y n a m i c s o f t h e a c t u a l b r a k e s u b s y s t e m .
T h e b r a k e m o d e l i s u s e d t o d e s i g n a c o n t r o l l e r t h a t c a n m e e t t h e g i v e n p e r f o r m a n c e
a n d r e l i a b i l i t y r e q u i r e m e n t s . T h e c o n t r o l l e r e m p l o y s f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t o c a n c e l t h e
n o n l i n e a r i t i e s a n d a m o d i e d p r o p o r t i o n a l i n t e g r a l P I c o m p e n s a t o r t o a c h i e v e t h e d e -
s i r e d c o n t r o l a c t i o n . T h e m o d e l i n g a n d c o n t r o l t e c h n i q u e s u s e d i n t h i s p a p e r c a n b e e a s i l y
1
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a p p l i e d t o o t h e r t y p e s o f b r a k e s u b s y s t e m s w i t h m i n o r m o d i c a t i o n s . O t h e r b r a k e c o n t r o l
s t r a t e g i e s w h i c h a r e u s e d a s p a r t o f v e h i c l e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l l e r s c a n b e f o u n d i n 1 0 - 1 1 .
T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s :
S e c t i o n 2 d e s c r i b e s b r i e y t h e s t r u c t u r e o f t h e b r a k e s u b s y s t e m c o m p o n e n t s . F o r m o r e d e -
t a i l e d d e s c r i p t i o n s t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o 8 , 6 . T h e b r a k e s u b s y s t e m m o d e l i s d e v e l o p e d
i n s e c t i o n 3 . I n s e c t i o n 4 w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f i d e n t i c a t i o n o f t h e u n k n o w n m o d e l
p a r a m e t e r s . T h i s i s f o l l o w e d b y s i m u l a t i o n r e s u l t s a n d m o d e l v a l i d a t i o n . T h e c o n t r o l d e s i g n
w i t h t h e m o d i c a t i o n l o g i c f o r t h e P I c o m p e n s a t o r i s g i v e n i n s e c t i o n 5 . I n s e c t i o n 6 t h e
s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e c o n t r o l l e r a n d s o m e r o b u s t n e s s i s s u e s a r e d i s c u s s e d b r i e y . T h e
c o n t r o l l e r i m p l e m e n t a t i o n a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e g i v e n i n s e c t i o n 7 .
2 B r a k e S y s t e m C o m p o n e n t s
T h e m a i n c o m p o n e n t s o f t h e b r a k e s u b s y s t e m s h o w n i n F i g u r e 1 a r e d i s c u s s e d b e l o w .
Pressure
SensorData
Acquisition
Vacuum
Pump
BoosterMaster
Cylinder
Actuating
Element
Micro-
Controller
Hydraulic
Pump
Control
ValvesActuator
Input Manual
Auto
PWMOn-Off
On-Off
Line Pressure
Auxiliary Hydraulic Module
*
* Brake pedal alongwith an actuator acts as a mechanical switch indicated in the block
F i g u r e 1 : B l o c k D i a g r a m o f t h e B r a k e S u b s y s t e m
2 . 1 A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e
T h e f u n c t i o n o f t h e A H M i s t o p r o v i d e a n i n p u t f o r c e t o t h e v a c u u m b o o s t e r t h r o u g h a n
a c t u a t o r a n d b r a k e p e d a l . T h e A H M t a k e s t h e c o n t r o l i n p u t i n t h e f o r m o f a p u l s e w i d t h
m o d u l a t e d P W M s i g n a l a n d g e n e r a t e s a p r e s s u r e t o b e a p p l i e d t o t h e b r a k e p e d a l t h r o u g h
a n a c t u a t o r . T h e P W M s i g n a l i s i n t h e f o r m o f a s q u a r e w a v e o f x e d f r e q u e n c y b u t v a r y i n g
2
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T
Hydraulic
Pump
Valve
#1
Valve
#4
PWM
On-Off
Actuator
To Brake Pedal
Control Valves
Valve open
Valve closed
F i g u r e 2 : B l o c k D i a g r a m o f t h e A u x i l i a r y H y d r a u l i c M o d u l e
d u t y c y c l e . T h e o u t p u t p r e s s u r e o f t h e a c t u a t o r a n d h e n c e t h e b r a k e l i n e p r e s s u r e c a n b e
c o n t r o l l e d b y c h a n g i n g t h e d u t y c y c l e o f t h e P W M s i g n a l .
A s s h o w n i n F i g u r e 2 t h e A H M c o n s i s t s o f a h y d r a u l i c p u m p , a n a r r a n g e m e n t o f v a l v e s
a n d a n a c t u a t o r . W h e n a c o n s t a n t a m o u n t o f u i d i s p u m p e d t h r o u g h t h e v a l v e s b y t h e
h y d r a u l i c p u m p , n o p r e s s u r e i s d e v e l o p e d i n s i d e t h e c y l i n d e r o f t h e a c t u a t o r i f t h e v a l v e s
a r e o p e n . W h e r e a s a s u d d e n r i s e o f p r e s s u r e i s o b t a i n e d i f t h e v a l v e s a r e c l o s e d c o m p l e t e l y .
H e n c e a n a v e r a g e a m o u n t o f p r e s s u r e c a n b e m a i n t a i n e d i n s i d e t h e c y l i n d e r o f t h e a c t u a t o r
b y s w i t c h i n g t h e v a l v e s a t h i g h f r e q u e n c y t y p i c a l l y 1 0 0 H z w i t h c h a n g e a b l e d u t y c y c l e
p e r c e n t a g e o f v a l v e o p e n t i m e i n o n e s w i t c h i n g p e r i o d . T h i s p r e s s u r e p u s h e s t h e p i s t o n o f
t h e a c t u a t o r a n d a p p l i e s f o r c e t o t h e b r a k e p e d a l .
W h e n t h e d u t y c y c l e i s c h a n g e d , t h e p r e s s u r e i n s i d e t h e c y l i n d e r o f t h e a c t u a t o r c h a n g e s
t o o . H e n c e t h e f o r c e a p p l i e d t o t h e b r a k e p e d a l c a n b e c o n t r o l l e d b y v a r y i n g t h e d u t y c y c l e
o f t h e P W M s i g n a l . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e m a x i m u m v a l u e o f d u t y c y c l e c o r r e s p o n d s
t o v a l v e s b e i n g o p e n f o r m o s t o f t h e t i m e a n d h e n c e n o f o r c e i s a p p l i e d t o t h e b r a k e p e d a l ,
w h i c h r e s u l t s i n m i n i m u m b r a k e l i n e p r e s s u r e a t t h e o u t p u t o f t h e m a s t e r c y l i n d e r . F r o m
t h e o v e r a l l s y s t e m p o i n t o f v i e w a n y p e r m i s s i b l e p r e s s u r e v a l u e a t t h e o u t p u t o f t h e m a s t e r
c y l i n d e r c a n b e o b t a i n e d b y s o m e p a r t i c u l a r v a l u e o f d u t y c y c l e . T h e m o d e l d e v e l o p e d i n
t h i s p a p e r i d e n t i e s t h e m a p p i n g f r o m d u t y c y c l e t o t h e l i n e p r e s s u r e .
3
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Apply Chamber
Pushrod
Diaphram
Vaccum Chamber
To
Master Cylinder
To
Engine Manifold
Check Valve
Valve PlungerReaction Disc
F i g u r e 3 : B l o c k D i a g r a m o f t h e V a c u u m B o o s t e r
2 . 2 V a c u u m B o o s t e r
A s i m p l i e d d i a g r a m o f t h e v a c u u m b o o s t e r i s s h o w n i n F i g u r e 3 . T h e f o r c e a m p l i c a t i o n
i s c a u s e d b y a p r e s s u r e d i e r e n t i a l b e t w e e n t h e a p p l y a n d v a c u u m c h a m b e r s . I d e a l l y , t h e
a m p l i c a t i o n r a t i o b e t w e e n t h e i n p u t a n d o u t p u t f o r c e s s h o u l d b e c o n s t a n t o v e r t h e r e c o m -
m e n d e d r a n g e o f o p e r a t i o n . H o w e v e r , d u e t o b o o s t e r d y n a m i c s t h i s r a t i o i s n o t c o n s t a n t .
A c c o r d i n g t o t h e o p e r a t i o n o f t h e b o o s t e r e a c h b r a k e a p p l i c a t i o n o p e r a t i o n c a n b e b r o k e n
d o w n i n t o t h r e e b a s i c s t a g e s : s t a g e 1 : a p p l y ; s t a g e 2 : h o l d o r l a p ; s t a g e 3 : r e l e a s e . T h e s e
s t a g e s a r e s h o w n i n F i g u r e 4 .
I n t h e a p p l y s t a g e c o n t r o l v a l v e m o v e s f o r w a r d , t h e a t m o s p h e r i c v a l v e i s o p e n e d a n d
t h e v a c u u m v a l v e i s c l o s e d , h e n c e a p r e s s u r e d i e r e n t i a l i s c r e a t e d , c a u s i n g t h e d i a p h r a g m
t o m o v e f o r w a r d .
W h e n t h e d i a p h r a g m t r a v e l s f u r t h e r , t h e v a l v e h o u s i n g c a t c h e s u p w i t h t h e c o n t r o l v a l v e .
T h i s m o v e m e n t a l s o c l o s e s t h e a t m o s p h e r i c v a l v e . T h e d i a p h r a g m a n d t h e v a l v e b o d y a r e
n o w i n t h e h o l d s t a g e .
W h e n t h e b r a k e p e d a l i s r e l e a s e d , t h e c o n t r o l v a l v e m o v e s b a c k d u e t o t h e s p r i n g f o r c e ,
t h e a p p l y a n d v a c u u m c h a m b e r s a r e c o n n e c t e d a n d t h e p r e s s u r e d i e r e n t i a l i s r e d u c e d t o
z e r o .
S i n c e t h e i n e r t i a o f t h e p u s h r o d a n d d i a p h r a g m i s q u i t e s i g n i c a n t , t h e a s s o c i a t e d
d y n a m i c s c a n n o t b e n e g l e c t e d . F u r t h e r m o r e , t h e c h a n g e s o f p r e s s u r e i n t h e a p p l y a n d
v a c u u m c h a m b e r s a l s o g i v e r i s e t o t h e r m o d y n a m i c s . F o r m o r e d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e s e
e e c t s , s e e 6 .
4
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To Atmospheric Chamber
Vaccum Valve Open
Atmospheric Valve
Closed
To Vaccum Chamber
Atmospheric
Pressure
Atmospheric Valve
Open
Vaccum Valve Closed
Valve Plunger
in Reaction Disc
Vaccum Valve Closed
Atmospheric Valve
Closed
From Push Rod
To Master
Cylinder
Release Stage
Apply Stage
Hold Stage
F i g u r e 4 : V a c u u m B o o s t e r O p e r a t i o n
5
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2 . 3 M a s t e r C y l i n d e r
Secondary
Reservoir
Primary
Reservoir
Compensating
Port
Booster Input
Primary PistonReturn SpringPrimary Brake
Line
Secondary
Brake Line
Secondary
Piston
F i g u r e 5 : B l o c k D i a g r a m o f M a s t e r C y l i n d e r
T h e b l o c k d i a g r a m o f a t a n d e m m a s t e r c y l i n d e r i s s h o w n i n F i g u r e 5 . T h e i n p u t f o r c e ,
a f t e r b e i n g a m p l i e d b y t h e v a c u u m b o o s t e r , i s a p p l i e d t h r o u g h a p u s h r o d t o t h e p r i m a r y
p i s t o n . T h e s e c o n d a r y p i s t o n , h o w e v e r , i s p u s h e d b y t h e h y d r a u l i c f o r c e b u i l t u p b y t h e
p r i m a r y p i s t o n .
E a c h p o r t i o n o f t h e m a s t e r c y l i n d e r h a s i t s o w n s e p a r a t e r e s e r v o i r , c o m p e n s a t i n g p o r t
a n d o u t l e t p o r t . W h e n a n i n p u t f o r c e i s l a r g e e n o u g h t o m o v e t h e p r i m a r y p i s t o n t o c l o s e
t h e c o m p e n s a t i n g p o r t , p r e s s u r e b e g i n s t o b u i l d u p b e t w e e n t h e p r i m a r y a n d s e c o n d a r y
p i s t o n . W h e n t h e s e c o n d a r y c o m p e n s a t i n g p o r t i s c l o s e d , p r e s s u r e b u i l d u p o c c u r s i n t h e
s e c o n d a r y p o r t i o n t o o . A t t h e s a m e t i m e h y d r a u l i c p r e s s u r e d e v e l o p e d d u r i n g t h i s o p e r a t i o n
i s t r a n s f e r r e d t h r o u g h t h e p r i m a r y a n d s e c o n d a r y b r a k e l i n e s t o t h e b r a k e p a d s .
A s d i s c u s s e d i n 6 , s i n c e t h e m a s s e s o f t h e p i s t o n s a r e n e g l i g i b l e , t h e d y n a m i c s a s s o c i a t e d
w i t h t h e m c a n b e n e g l e c t e d .
3 P r o p o s e d B r a k e M o d e l
A s e r i e s o f e x p e r i m e n t s a r e c o n d u c t e d o n t h e t e s t b e n c h o f t h e b r a k e s u b s y s t e m . S o m e o f
t h e r e s u l t s o f t h e e x p e r i m e n t s w i t h s t e p i n p u t s o f d i e r e n t m a g n i t u d e s c o r r e s p o n d i n g t o
i n p u t s o f d i e r e n t d u t y c y c l e a r e s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 . T h e s e g u r e s p o r t r a y t w o
b a s i c m o d e s o f o p e r a t i o n o f t h e s y s t e m : b u i l d i n g a n d b l e e d i n g p r e s s u r e m o d e s . A n o t h e r
6
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14/38
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
300
time (sec)
line
pressure
(psi)
Plot of brake line pressure for different inputs
48 %
50 %
76 %
F i g u r e 6 : B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b u i l d i n g m o d e . I n p u t s r a n g e f r o m d u t y c y c l e o f 7 6 t o 4 8
i m p o r t a n t s y s t e m f e a t u r e , w h i c h c a n b e o b s e r v e d f r o m t h e s e g u r e s , i s t h e v a r i a b l e t i m e
d e l a y a s s o c i a t e d w i t h d i e r e n t i n p u t s a n d o p e r a t i n g m o d e s .
S i n c e , t h e t i m e d e l a y i s a n i m p o r t a n t f a c t o r i n b r a k i n g o p e r a t i o n s , a s p e c i a l a t t e n t i o n
w a s g i v e n t o i t i n t h i s s t u d y . A l a r g e t i m e d e l a y o f t h e o r d e r o f 0 . 2 s e c o n d i s o b s e r v e d f o r
t h e r e l a x e d s y s t e m , i . e . , w h e n t h e l i n e p r e s s u r e i s z e r o . T h i s t i m e d e l a y b e c o m e s n e g l i g i b l y
s m a l l 0 0 1 s e c f o r a n y l i n e p r e s s u r e o t h e r t h a n z e r o . H e n c e t h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g
t h e o r e t i c a l r e l a t i o n :
t
d
=
0 2 i f x = 0
0 0 1 i f x 0
1
w h e r e t
d
a n d x d e n o t e t h e d e l a y t i m e a n d b r a k e l i n e p r e s s u r e r e s p e c t i v e l y . T h e s y s t e m
r e s p o n s e i n F i g u r e 8 s h o w s t h e t i m e d e l a y s f o r t h e t w o c a s e s d i s c u s s e d a b o v e .
T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 6 a n d 7 s u g g e s t t h e p r e s e n c e o f d o m i n a n t
r s t o r d e r d y n a m i c s . T h e s e r e s u l t s t o g e t h e r w i t h i n t u i t i o n m o t i v a t e t h e f o l l o w i n g n o n l i n e a r
d y n a m i c m o d e l :
_x t = f
1
x t ; u t
; u t
, T 2
T h e v a r i a b l e s i n 2 a r e :
7
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
15/38
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
300
time(sec)
line
pressure
(psi)
brake line pressure for different inputs
50 %, 52 %
60 %
88 %
F i g u r e 7 : B r a k e l i n e p r e s s u r e f o r b l e e d i n g m o d e . T h e i n p u t i s e q u a l t o 4 8 f o r 0 t 3 0 s e c
a n d i s c h a n g e d a t t = 3 0 s e c t o d i e r e n t d u t y c y c l e v a l u e s r a n g i n g f r o m 5 0 t o 9 0 .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
time (sec)
linepressure(psi),u
(%)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
time (sec)
line
pressure(psi),u
(%)
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16/38
x : s y s t e m s t a t e b r a k e l i n e p r e s s u r e
u : s y s t e m i n p u t d u t y c y c l e o f t h e P W M s i g n a l
f
1
: u n k n o w n f u n c t i o n t o b e i d e n t i e d
w h e r e x ; u 2 R
1
, t
= t , t
d
, t
d
i s t h e t i m e d e l a y d e n e d i n 1 , T i s s o m e s m a l l n u m b e r
t a k e n t o b e e q u a l t o t h e s a m p l i n g p e r i o d a n d u t
, T d e n o t e s t h e p r e v i o u s i n p u t . A s
g i v e n i n 1 , t h e v a l u e o f t
d
i s n e g l i g i b l y s m a l l e x c e p t w h e n t h e s y s t e m i s r e l a x e d . H e n c e
t
d
c a n b e s a f e l y a s s u m e d t o b e z e r o i n 2 . S i n c e , i n t h i s s t u d y w e u s e t h e i n p u t - o u t p u t
d a t a w h i c h i s o b t a i n e d a t s a m p l i n g i n s t a n t s o n l y , i n s t e a d o f t h e c o n t i n u o u s m o d e l i n 2 ,
w e p r o p o s e t h e d i s c r e t e t i m e m o d e l :
x k + 1 = f x k ; u k ; u k , 1 3
w h e r e k d e n o t e s t h e n u m b e r o f t h e s a m p l e , i . e . , t h e t i m e t = k T . T h e s h a p e o f t h e r e s p o n s e
f o r e a c h x e d i n p u t , s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 , c a n b e a p p r o x i m a t e d b y a r s t o r d e r s y s t e m
g i v e n a s :
x k + 1 = x k + T b a , x k 4
w h e r e a ; b 2 R
+
. T h e p a r a m e t e r s a a n d b i n 4 m a y b e u s e d t o c h a r a c t e r i z e t h e s t e a d y
s t a t e v a l u e a n d t h e s p e e d o f t r a n s i e n t r e s p o n s e r e s p e c t i v e l y , f o r a g i v e n i n p u t u k . T h e s e
p a r a m e t e r s a r e n o n l i n e a r f u n c t i o n s o f t h e i n p u t u a n d s t a t e x o f t h e s y s t e m . T h e e x p e r i m e n t s
s h o w t h a t t h e s t e a d y s t a t e v a l u e o f t h e p r e s s u r e a c a n b e m o d e l e d a s :
a = g x k ; u k 5
T h e s p e e d o f t r a n s i e n t r e s p o n s e t i m e c o n s t a n t b v a r y s i g n i c a n t l y f o r d i e r e n t i n i t i a l
c o n d i t i o n s a n d i s s e n s i t i v e t o t h e p r e v i o u s h i s t o r y o f t h e s y s t e m , i . e . , d e p e n d s n o t o n l y o n
t h e c u r r e n t i n p u t u k , b u t a l s o o n t h e p r e v i o u s i n p u t u k , 1 . T h i s p h e n o m e n o n c a n
b e e x p l a i n e d i n t e r m s o f n o n l i n e a r u i d d y n a m i c s . T h e c h a n g e i n p r e s s u r e i s s i g n i c a n t l y
s l o w i f a n i n p u t c h a n g e o c c u r s n e a r a s t e a d y s t a t e p r e s s u r e c o n d i t i o n . H e n c e t h e s y s t e m
t i m e c o n s t a n t r e p r e s e n t e d b y b d e p e n d s o n t h e c u r r e n t p r e s s u r e r e l a t i v e t o t h e s t e a d y s t a t e
p r e s s u r e f o r t h e p r e v i o u s i n p u t . T h i s s u g g e s t s a f u n c t i o n a l f o r m f o r t h e p a r a m e t e r b , w h i c h
i s g i v e n a s :
b = h x k ; u k ; u k , 1 6
I n 5 a n d 6 , g a n d h a r e u n k n o w n f u n c t i o n s t o b e i d e n t i e d .
4 P a r a m e t e r I d e n t i c a t i o n
T h e i d e n t i c a t i o n o f t h e u n k n o w n p a r a m e t e r s f u n c t i o n s a , b w a s d o n e i n t w o s t e p s .
9
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S t e p 1 : F i x e d s t e p i n p u t s w e r e u s e d t o i d e n t i f y t h e s t e a d y s t a t e v a l u e a a n d t i m e c o n s t a n t
1 = b f o r e a c h i n p u t .
S t e p 2 : A s e r i e s o f s t a i r c a s e s i g n a l s a r e u s e d t o m o d i f y t h e r e s u l t s o f s t e p 1 .
T h e m o t i v a t i o n o f b r e a k i n g d o w n t h e i d e n t i c a t i o n p r o c e s s i n t o t w o s t e p s f o l l o w s f r o m
t h e f a c t t h a t t h e s y s t e m r e s p o n s e s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 , f o r a x e d i n p u t , c a n b e a p -
p r o x i m a t e d b y t h e r e s p o n s e o f a l i n e a r s y s t e m t o a s t e p i n p u t . H e n c e s t a n d a r d r e s u l t s
f r o m l i n e a r s y s t e m i d e n t i c a t i o n c a n b e u s e d t o e s t i m a t e t h e p a r a m e t e r s . I n t h e s t e p 2 t h e
n o n l i n e a r b e h a v i o r o f t h e s e p a r a m e t e r s i s e x p l o r e d b y u s i n g s t a i r c a s e s i g n a l s . T h e s e s i g n a l s
c o v e r t h e p o s s i b l e c h a n g e s i n t h e i n p u t t h a t e x c i t e t h e b u i l d i n g a n d b l e e d i n g m o d e s o f t h e
s y s t e m a n d e n a b l e u s t o s t u d y t h e s w i t c h i n g p r o c e s s b e t w e e n t h e s e m o d e s . T h e r e s u l t s f r o m
t h e s e e x p e r i m e n t s a r e u s e d t o m o d i f y t h e p a r a m e t e r s a a n d b s o t h a t t h e i r v a l u e s a r e v a l i d
f o r p o s s i b l e i n p u t v a r i a t i o n s a p p l i e d t o t h e s y s t e m .
F i n a l l y i t i s s h o w n t h a t w i t h t h e s e p a r a m e t e r s , i d e n t i e d b y u s i n g s t e p a n d s t a i r c a s e
s i g n a l s , a f a i r l y a c c u r a t e m a t c h i n g b e t w e e n t h e m o d e l a n d t h e a c t u a l s y s t e m c a n b e a c h i e v e d
f o r c o n t i n u o u s l y v a r y i n g i n p u t s . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t a n y c o n t i n u o u s s i g n a l c a n b e
a p p r o x i m a t e d b y a s t a i r c a s e s i g n a l , w h e r e t h e a c c u r a c y o f t h e a p p r o x i m a t i o n d e p e n d s o n
t h e c h o s e n s t e p s i z e . T h i s a p p r o x i m a t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d a s :
u t = u k T k T t k + 1 T 7
W h e r e T i s t h e s a m p l i n g t i m e a n d s h o u l d b e s u c i e n t l y s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e b a n d -
w i d t h o f t h e i n p u t s i g n a l u t a n d s y s t e m d y n a m i c s .
4 . 1 S t e p I n p u t s
T h e s t e p r e s p o n s e c u r v e s s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 f o r e a c h x e d i n p u t u c a n b e a p p r o x -
i m a t e d a s a s o l u t i o n t o t h e r s t o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n , d i s c r e t i z e d a t t i m e s t e p
k T , i . e . ,
x k = x 0 1 , T b
k
+ a 1 , 1 , T b
k
8
w h e r e
a : s t e a d y s t a t e v a l u e
1 = b : t i m e c o n s t a n t
x 0 : i n i t i a l c o n d i t i o n
1 0
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T h i s s i m p l i c a t i o n h e l p s u s t o i d e n t i f y t h e p a r a m e t e r s a a n d b f o r e a c h i n p u t s e p a r a t e l y , b y
u s i n g s t a n d a r d c u r v e t t i n g t e c h n i q u e s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e a p p r o x i m a t i o n g i v e n
i n 8 w h i c h u s e s a s i n g l e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n d o e s n o t a c c u r a t e l y d e s c r i b e t h e s y s t e m
r e s p o n s e f o r i n p u t s w i t h d u t y c y c l e g r e a t e r t h a n 6 8 i n l o w p r e s s u r e r e g i o n . H e n c e t h e
d e v i a t i o n b e t w e e n t h e p r e d i c t e d s y s t e m r e s p o n s e u s i n g t h e m o d e l a n d a c t u a l s y s t e m i s l a r g e
f o r s m a l l l i n e p r e s s u r e s . H o w e v e r , l i n e p r e s s u r e s b e l o w 6 0 p s i , c o r r e s p o n d i n g t o t h e a f o r e -
m e n t i o n e d i n p u t s , h a v e l i t t l e o r n o s i g n i c a n c e i n a c t u a l b r a k i n g . H e n c e t h i s a p p r o x i m a t i o n
h a s n o e e c t o n m o d e l a c c u r a c y w i t h i n t h e r a n g e o f l i n e p r e s s u r e s o f i n t e r e s t .
T h e s t e a d y s t a t e v a l u e o f t h e l i n e p r e s s u r e , a , i n t h e b u i l d i n g m o d e i s f o u n d t o b e
r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o t h e s t a t e x o f t h e s y s t e m . F u r t h e r m o r e , t h e t w o m o d e s o f o p e r a t i o n
s h o w n i n F i g u r e s 6 a n d 7 h a v e d i e r e n t s t e a d y s t a t e v a l u e s a n d s l o p e s f o r t h e s a m e i n p u t s .
T h e r e a s o n i s t h e h y s t e r e s i s p r o d u c e d d u e t o f r i c t i o n , p r e - l o a d e d s p r i n g i n s i d e t h e v a c u u m
b o o s t e r a n d d e a d z o n e a s s o c i a t e d w i t h t h e m a s t e r c y l i n d e r a n d b o o s t e r . H e n c e s e p a r a t e
m a p p i n g s f o r t h e t w o m o d e s a r e r e q u i r e d . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n F i g u r e 6 s u g g e s t
t h a t f o r t h e b u i l d i n g m o d e b o t h a a n d b d e p e n d o n l y o n t h e c u r r e n t i n p u t , i . e . ,
a = g u k ; b = h u k b u i l d i n g 9
O n t h e o t h e r h a n d f o r t h e b l e e d i n g m o d e a i s a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t i n p u t w h e r e a s b
d e p e n d s a l s o o n t h e c u r r e n t s t a t e x , i . e . ,
a = g
u k ; b = h
u k ; x k b l e e d i n g 1 0
T h e s e m a p p i n g s g , h , g
a n d h
a r e g i v e n i n T a b l e s 3 a n d 4 r e s p e c t i v e l y .
4 . 2 S t a i r c a s e I n p u t s
A n o t h e r s e r i e s o f e x p e r i m e n t s w a s c o n d u c t e d w i t h i n p u t s c h a n g i n g f r o m o n e v a l u e t o a
d i e r e n t v a l u e a n d t h e s e c h a n g e s w e r e m a d e t o o c c u r a t d i e r e n t l i n e p r e s s u r e s . R e s u l t s
s h o w t h a t t h e v a l u e s o f a c a l c u l a t e d i n t h e s e c a s e s a r e c o n s i s t e n t w i t h t h o s e g i v e n i n T a b l e
3 . T h e v a l u e s o f b , h o w e v e r , v a r y s i g n i c a n t l y a n d a r e f o u n d t o b e a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t
p r e s s u r e , x , a t w h i c h t h e i n p u t w a s c h a n g e d . E x p e r i m e n t s s h o w t h a t t h e c h a n g e i n t h e v a l u e
o f b i s n o t i c e a b l e i f t h e i n p u t i s c h a n g e d a t a p r e s s u r e w h i c h i s m o r e t h a n 5 0 o f t h e s t e a d y
s t a t e v a l u e o f t h e p r e v i o u s i n p u t . T h i s c h a n g e s h o w s a m o n o t o n i c a l l y d e c r e a s i n g b e h a v i o r ,
w i t h a m a x i m u m r e d u c t i o n o f a r o u n d 2 5 a t a p r e s s u r e a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o t h e s t e a d y
s t a t e v a l u e . T h e c h a n g e i n t h e v a l u e o f b a s a f u n c t i o n o f t h e c u r r e n t l i n e p r e s s u r e f o r t w o
d i e r e n t u i s s h o w n i n F i g u r e 9 . G u i d e d b y t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , t h e f o l l o w i n g l i n e a r
a p p r o x i m a t i o n w a s i n t r o d u c e d t o m o d e l t h i s c h a n g e :
b = h u k
5
4
,
x k
2 g u k , 1
w h e n x k
g u k , 1
2
1 1
T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a l s o i n d i c a t e t h a t t h e c h a n g e i n b o c c u r s o n l y i f t h e i n p u t
c h a n g e s , s i n c e b c o r r e s p o n d s t o t h e d y n a m i c s a s s o c i a t e d w i t h t h e s y s t e m w h i c h d o n o t
1 1
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0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800
0.5
1
1.5
2
x (psi)
b
Change in b for du=6
0 10 20 30 40 50 60 70 800
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x (psi)
b
Change in b for du=4
F i g u r e 9 : C h a n g e i n b f o r c h a n g e i n i n p u t f r o m 5 6 t o 5 0 u = 6 a n d f r o m 6 8 t o
6 4 u = 4
s i g n i c a n t l y c h a n g e f o r a c o n s t a n t i n p u t . W h e r e a s , t h e r e l a t i o n g i v e n i n 1 1 u p d a t e s t h e
v a l u e o f b a t e a c h s a m p l i n g i n s t a n t , w h i c h c a n b e h a n d l e d b y i n t r o d u c i n g b a s a s t a t e o f t h e
s y s t e m a s f o l l o w s :
b k + 1 =
b k i f u = 0
p
b
b k + z
b
k e l s e
1 2
k =
8
:
h u k i f x k
g u k , 1
2
h u k
5
4
,
x k
2 g u k , 1
i f x k
g u k , 1
2
1 3
W h e r e u = u k , u k , 1 , p
b
a n d z
b
a r e d e s i g n p a r a m e t e r s t o s m o o t h o u t t h e e e c t s
o f s w i t c h i n g , w h i c h i s j u s t i a b l e s i n c e t h e s y s t e m d y n a m i c s d o n o t s h o w s u d d e n c h a n g e s .
A s e x p l a i n e d l a t e r , t h i s l t e r i n g w o u l d a l s o h e l p i n t h e c o n t r o l d e s i g n .
F r o m T a b l e 3 , i t i s o b v i o u s t h a t d u e t o h y s t e r e s i s , g
u k g u k . F r o m t h e
e x p e r i m e n t s i t w a s f o u n d t h a t i f a c h a n g e i n t h e i n p u t c a u s e s t h e s y s t e m s t a t e t o b e s w i t c h e d
f r o m b u i l d i n g t o b l e e d i n g m o d e w i t h g
u k g u k , 1 t h e n a = x k , a n d t h e l i n e
p r e s s u r e x w o u l d m a i n t a i n i t s p r e v i o u s v a l u e . H e n c e f o r t h e b l e e d i n g m o d e , a , i n 1 0 c a n
b e r e w r i t t e n a s :
a = m i n x k ; g
u k 1 4
T h e c o n d i t i o n f o r d e t e r m i n i n g t h e c u r r e n t m o d e o f o p e r a t i o n i s :
x g u k p r e s s u r e i s b u i l d i n g 1 5
1 2
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T h i s m e a n s t h a t i f t h e c u r r e n t p r e s s u r e i s s t r i c t l y l e s s t h a n t h e s t e a d y s t a t e v a l u e f o r t h e
c u r r e n t i n p u t , t h e n t h e s y s t e m i s i n t h e b u i l d i n g m o d e . O n t h e o t h e r h a n d i f t h e c u r r e n t
p r e s s u r e i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o t h e s t e a d y s t a t e p r e s s u r e f o r t h e c u r r e n t i n p u t , t h e n
t h e s y s t e m i s i n t h e b l e e d i n g m o d e . H e n c e b y u s i n g t h e c o n d i t i o n 1 5 t h e r e s u l t s g i v e n i n
1 0 , 1 4 , 1 2 a n d 1 3 c a n b e c o m b i n e d t o g i v e t h e n a l f o r m o f t h e m o d e l a s :
x k + 1 = x k + T b k a k , x k 1 6
a k =
g u k i f x k g u k
m i n x k ; g
u k i f x k g u k
1 7
b k + 1 =
b k i f u = 0
p
b
b k + z
b
k e l s e
1 8
k =
8
:
h u k i f x k
g u k , 1
2
h u k
5
4
,
x k
2 g u k , 1
i f x k
g u k , 1
2
h
u k ; x k i f x k g u k
1 9
T h e m o d e l d e s c r i b e d b y 1 6 - 1 9 w a s s i m u l a t e d f o r d i e r e n t i n p u t s a n d i t s r e s p o n s e
c o m p a r e d w i t h t h a t o f t h e a c t u a l s y s t e m . T h e r e s u l t s a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 4 a n d 1 5 . F r o m
F i g u r e 1 5 , w e s e e t h a t t h e a c t u a l s y s t e m a n d m o d e l o u t p u t d i e r f o r l o w p r e s s u r e v a l u e s
6 0 p s i . H o w e v e r , a s d i s c u s s e d b e f o r e , d u e t o t h e l e s s s i g n i c a n t e e c t s o f t h e s e p r e s s u r e
v a l u e s o n a c t u a l b r a k i n g , t h i s e r r o r i s n o t s e v e r e .
I t c a n a l s o b e s e e n f o r m F i g u r e 1 5 t h a t f o r p r e s s u r e v a l u e s g r e a t e r t h a n 6 0 p s i t h e e r r o r
i s w i t h i n 8 p s i . T h e s e e r r o r v a l u e s a r e n o t l a r g e c o n s i d e r i n g t h e f a c t t h a t t h e p r e s s u r e
s e n s o r u s e d i n t h e a c t u a l s y s t e m h a s r e s o l u t i o n o f 4 p s i . F u r t h e r m o r e , f r o m F i g u r e 1 5 i t
i s o b v i o u s t h a t t h e m o d e l o u t p u t f o r s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n o f c o n t i n u o u s s i g n a l s i s t h e
s a m e a s t h a t o f t h e o r i g i n a l s i g n a l . H e n c e , t h e e s t i m a t e s o f t h e p a r a m e t e r s a a n d b w h i c h
w e r e c a l c u l a t e d a s t h o u g h t h e i n p u t s i g n a l i s m a d e u p o f n i t e s t e p s h o l d e v e n w h e n t h e
s t e p w i d t h T i s r e d u c e d t o z e r o .
T h e l i m i t a t i o n s o f t h e m o d e l 1 6 - 1 9 a r e t h e f o l l o w i n g :
1 . T h e m o d e l a c c u r a c y d e p e n d s m a i n l y o n t h e a c c u r a c y o f i d e n t i c a t i o n o f t h e p a r a m e t e r s
a a n d b
2 . T h e m o d i c a t i o n f o r b g i v e n b y 1 1 h o l d s o n l y i f x g u k , 1 , i . e . , s t e a d y s t a t e i s n o t
a t t a i n e d . W h e n s t e a d y s t a t e i s a c t u a l l y a c h i e v e d , t h e v a l u e o f b s h o w s a f u r t h e r d e c r e a s e a s
t i m e i n c r e a s e s . I n o t h e r w o r d s , t h e l o n g e r t h e s y s t e m s t a y s a t o n e s t e a d y s t a t e v a l u e , t h e
h a r d e r i t i s f o r t h e s y s t e m t o c h a n g e t h e s t a t e . I t w a s f o u n d b y e x p e r i m e n t s t h a t f o r a x e d
i n p u t t h e s t e a d y s t a t e i s n o t a t t a i n e d f o r a s t e p w i d t h o f l e s s t h a n 5 s e c o n d s , h e n c e i n t h i s
c a s e t h e a p p r o x i m a t i o n g i v e n b y 1 1 h o l d s t r u e . T h i s i s n o t a s e v e r e l i m i t a t i o n c o n s i d e r i n g
t h e f a c t t h a t a c t u a l b r a k i n g c o m m a n d s d o f a l l i n t o t h i s c a t e g o r y .
1 3
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5 C o n t r o l D e s i g n
T h e n o n l i n e a r i t y o f t h e m o d e l o f t h e b r a k e s u b s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s i n t h e f o r m
o f a h y s t e r e s i s a n d v a r i a b l e t i m e d e l a y . T h e m a i n o b j e c t i v e o f t h e c o n t r o l l e r d e s i g n i n t h i s
p a p e r i s t o m a k e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e b r a k e s u b s y s t e m a s u n i f o r m a n d r o b u s t a s p o s s i b l e
t h r o u g h o u t t h e r a n g e o f o p e r a t i o n . O n e w a y t o a c h i e v e t h i s o b j e c t i v e i s t o u s e f e e d b a c k
l i n e a r i z a t i o n t o c a n c e l t h e n o n l i n e a r i t i e s o f t h e s y s t e m .
T h e d e s i g n o f t h e b r a k e c o n t r o l l e r i n t h i s p a p e r f o l l o w s t h e g u i d e l i n e s p r o v i d e d b y t h e
f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e s g i v e n i n 1 2 . T h e b r a k e m o d e l g i v e n i n 1 6 h a s n o e x p l i c i t
c o n t r o l i n p u t t e r m . S i n c e t h e p a r a m e t e r a i n t h e b r a k e m o d e l i s a n o n l i n e a r f u n c t i o n o f t h e
c o n t r o l i n p u t u a n d s t a t e x a n d t h e i n v e r s e m a p p i n g
u k = g
, 1
a k ; x k 2 0
i s g u a r a n t e e d t o e x i s t f o r a l l v a l u e s o f a a n d x w i t h i n t h e o p e r a t i n g r a n g e S
o
; U
o
o f t h e
s y s t e m , w h e r e ,
S
o
= f y 2 R : y P
m a x
g U
0
= f u 2 R : u
m i n
u u
m a x
g 2 1
8 a ; x 2 S
o
g
, 1
e x i s t s a n d u 2 U
o
w h e r e P
m a x
i s t h e m a x i m u m a l l o w a b l e p r e s s u r e , u
m i n
a n d u
m a x
r e p r e s e n t t h e m i n i m u m
a n d t h e m a x i m u m a l l o w a b l e c o n t r o l i n p u t r e s p e c t i v e l y . H e n c e w i t h t h e c o n d i t i o n g i v e n i n
2 1 , w e c a n c o n s i d e r a t o b e t h e v i r t u a l c o n t r o l i n p u t . T h i s a s s u m p t i o n w o u l d h e l p u s t o
l i n e a r i z e t h e s y s t e m b y u s i n g s t a n d a r d i n p u t - o u t p u t f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e s . T h e
c o n t r o l l e r d e s i g n p r o c e e d s b y r s t l i n e a r i z i n g t h e b r a k e m o d e l 1 6 , w i t h o u t p u t x k a n d
i n p u t a , w i t h o u t c h a n g i n g t h e i n t e r n a l s t a t e d y n a m i c s b k g i v e n i n 1 8 .
W e r s t l e t
a k =
1
T b k
x k + ! k +
1 ,
1
T b k
x k 2 2
w h e r e i s s o m e d e s i g n c o n s t a n t a n d ! i s t h e n e w i n p u t . T h e r e s u l t i n g s y s t e m i s :
x k + 1 = x k + ! k 2 3
S i n c e a i s g i v e n b y 2 2 f o r s o m e c o n s t a n t a n d ! i s a s i g n a l t o b e c o m p u t e d , t h e c o n t r o l
i n p u t u c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e i n v e r s e m a p p i n g 2 0 . T h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d s y s t e m
i s g i v e n b y 2 3 , w h o s e t r a n s f e r f u n c t i o n i s :
G z =
x z
! z
=
1
z ,
2 4
1 4
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r x+
-
!
P
G z
1
z ,
D z
K T z ,
z , 1
F i g u r e 1 0 : B l o c k d i a g r a m o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m .
T h e i n p u t ! c a n n o w b e s e l e c t e d t o m e e t t h e c o n t r o l o b j e c t i v e f o r t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d
s y s t e m 2 3 . I n g e n e r a l ! c o u l d b e o f t h e f o r m :
! = D z r , x
a s s h o w n i n F i g u r e 1 0 , w h e r e D z w i l l b e c h o s e n t o m e e t t h e c o n t r o l o b j e c t i v e . F o r e x a m p l e ,
f o r :
D z = K
P
+
K
I
T
z , 1
=
K
P
z , 1 + K
I
T
z , 1
2 5
w e h a v e a P I c o m p e n s a t o r w h o s e p a r a m e t e r s K
P
, K
I
c a n b e c h o s e n f o r s t a b i l i t y a n d z e r o
s t e a d y s t a t e e r r o r . T h e l o o p t r a n s f e r f u n c t i o n w i t h t h e a d d i t i o n o f t h e P I c o m p e n s a t o r
b e c o m e s :
L z = K
P
z , 1 +
K
I
T
K
P
z , 1 z ,
2 6
H e n c e w i t h t h e a d d i t i o n o f a P I c o m p e n s a t o r t h e o r d e r o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m h a s
i n c r e a s e d . T h i s , h o w e v e r , c a n b e a v o i d e d b y c a r e f u l l y s e l e c t i n g t h e g a i n s K
P
a n d K
I
. O n e
s u c h c o m b i n a t i o n i s g i v e n b y :
K
P
= K T K
I
= K 1 ,
w h e r e K 0 i s a d e s i g n c o n s t a n t t o p l a c e t h e c l o s e d l o o p p o l e a t a d e s i r e d l o c a t i o n . H e n c e
t h e i n p u t ! i n 2 3 b e c o m e s :
! =
K T z ,
z , 1
r , x 2 7
T h e c l o s e d l o o p t r a n s f e r f u n c t i o n T s s h o w n i n F i g u r e 1 0 i s g i v e n b y :
T z =
x z
r z
=
K T
z , 1 + K T
2 8
T h e c o n t r o l l a w i s s u m m a r i z e d i n T a b l e 1 a n d i s r e p r e s e n t e d b y t h e b l o c k d i a g r a m s h o w n
i n F i g u r e 1 1 .
1 5
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! k =
K T z ,
z , 1
r k , x k
a k =
1
T b k
x k + ! k +
1 ,
1
T b k
x k
u k = g
, 1
a k ; x k
T a b l e 1 : S u m m a r y o f C o n t r o l L a w
K T z
z 1
P
!
x + !
a
g
1
a x
u
G
xr +
1
T b
+ 1 ,
1
T b
x
F i g u r e 1 1 : B l o c k d i a g r a m f o r i m p l e m e n t a t i o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m .
5 . 1 C o n t r o l l e r M o d i c a t i o n s
T h e c o n t r o l i n p u t g e n e r a t e d b y t h e f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n s h o w n i n T a b l e 1 i s c a l c u l a t e d
b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e r e i s n o s a t u r a t i o n o f t h e c o n t r o l i n p u t . H o w e v e r , f r o m
t h e s a f e t y p o i n t o f v i e w a l i m i t e d c o n t r o l a u t h o r i t y i s a v a i l a b l e i n t h e g i v e n s y s t e m . H e n c e
t o a v o i d p e r f o r m a n c e d e t e r i o r a t i o n , s o m e a d d i t i o n a l l o g i c i s e m b e d d e d w i t h i n t h e s t a n d a r d
P I c o m p e n s a t o r . T h e s e m o d i c a t i o n s a l o n g w i t h s o m e j u s t i c a t i o n a r e p r e s e n t e d b e l o w :
I n o r d e r t o a v o i d t h e i n t e g r a t i o n w i n d u p p r o b l e m s a l i m i t e d i n t e g r a t o r i s u s e d i n p l a c e
o f t h e i d e a l i n t e g r a t o r .
I n o r d e r t o a v o i d o v e r s h o o t w h i l e m a i n t a i n i n g s w i f t n e s s o f r e s p o n s e , t h e l o g i c s h o w n i n
F i g u r e 1 2 i s a d d e d t o t h e P I c o m p e n s a t o r . S i n c e t h e b r a k e s u b s y s t e m u n d e r c o n s i d e r a t i o n
h a s a l a r g e d e l a y , 0 2 s e c . a t s t a r t u p , t h e b r a n c h l a b e l e d d e l a y k i l l i n F i g u r e 1 2 s t o p s
i n t e g r a t o r a c c u m u l a t i o n d u r i n g t h i s i n t e r v a l . T h i s r e d u c e s t h e s a t u r a t i o n o f t h e c o n t r o l
i n p u t d u r i n g t h e d e l a y p e r i o d a n d h e l p s t o a v o i d o v e r s h o o t a t l o w o p e r a t i n g p r e s s u r e s .
T o r e d u c e o v e r s h o o t a t h i g h p r e s s u r e , t h e b r a n c h l a b e l e d s h o o t k i l l c u t s o i n t e g r a t o r
w h e n e i t h e r :
- t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n a , u s e d a s l i n e a r i z a t i o n i n p u t , e x c e e d s t h e m a x i m u m s t e a d y s t a t e
1 6
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pressure value and the actual pressure x is less than the desired one - or when a is negative andthe brake pressure is greater than the desired. This modification results in minimum possibleovershoot for normal and high pressure regions. Hence during initial startup time and at thetime when the controller output is saturated, this logic avoids excessive integrator accumulation,that may cause subsequent overshoots. The output of the PI compensator is now given as:
Figure 12: Block diagram of the modified integrator.
where Pmin is the minimum line pressure in idle state, when the time delay is large. Since theinverse mapping, u = g
-1(a, x), is guaranteed to exist when the inputs a,x are within the physical
constraints imposed by the equipment, a saturation function p(.) is introduced at the output ofa .
(30)
where amin = 0 and amax = Pmax, Pmax is the maximum allowable pressure. Some simulationresults before and after addition of this logic are shown in Figure 16. A comparison
17
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o f t h e a t t a i n a b l e p e r f o r m a n c e u s i n g t h i s m o d i c a t i o n , w i t h t h e s t a n d a r d P I c o m p e n s a t o r i s
g i v e n i n T a b l e 2 .
c o n t r o l l e r r i s e t i m e s e t t l i n g t i m e s : s : e r r o r o v e r s h o o t
S t a n d a r d P I 1 . 0 s e c 3 . 5 s e c 0 1 0
M o d i e d P I 1 . 1 s e c 2 . 5 s e c 0 0
T a b l e 2 : C o m p a r i s o n o f p e r f o r m a n c e
W i t h t h e p r o p o s e d m o d i c a t i o n , t h e m a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m a r e
s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :
T h e s t e p r e s p o n s e i s f a s t e n o u g h t o m e e t t h e A V C S p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s 2
T h e r e i s n o o v e r s h o o t o r u n d e r s h o o t .
T h e s t e a d y s t a t e e r r o r f o r s t e p i n p u t s i s e q u a l t o z e r o .
6 S t a b i l i t y A n a l y s i s
W e r s t d i s c u s s t h e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s o f t h e o p e n l o o p s y s t e m . T h e n o n l i n e a r f u n c t i o n s
a = g x ; u a n d b = h x ; u i n 1 7 a n d 1 8 a r e g u a r a n t e e d t o b e b o u n d e d , i . e . ,
g x ; u 2 C
1
= f y
1
2 R : a
m i n
y
1
a
m a x
g 3 1
h x ; u 2 C
2
= f y
2
2 R : b
m i n
y
1
b
m a x
g 8 u ; x 0 2 L
1
3 2
w h e r e a
m i n
0 a n d b
m i n
0 . H e n c e f o r a n y b o u n d e d i n i t i a l c o n d i t i o n , a n y b o u n d e d
i n p u t t o t h e s y s t e m w o u l d r e s u l t i n a b o u n d e d s t a t e , i . e . ,
u ; x 0 2 L
1
x 2 L
1
8 t 0
F u r t h e r m o r e , u 2 U
o
x 2 S
o
, w h e r e U
o
a n d S
o
a r e a s d e n e d i n 2 1 . A s d i s c u s s e d
b e f o r e , t h e n o n l i n e a r f u n c t i o n a i s u s e d i n p l a c e o f t h e c o n t r o l i n p u t u f o r l i n e a r i z a t i o n o f
o p e n l o o p p l a n t 1 6 . A s g i v e n b y c o n d i t i o n 2 1 , i f w e g u a r a n t e e t h a t a ; x 2 S
o
t h e n i t i m -
p l i e s t h a t u 2 L
1
, r a t h e r u 2 U
o
, w h e r e U
o
f o r m s t h e s e t o f a c c e p t a b l e i n p u t s t o t h e s y s t e m .
T h e o r e m 1 I f t h e c o n t r o l l e r g i v e n i n T a b l e 1 w i t h t h e m o d i c a t i o n 2 9 i s i n i t i a l i z e d s u c h
t h a t u k
0
2 U
o
, t h e n t h e c l o s e d l o o p s i g n a l s ! , , a , u a n d x a r e b o u n d e d a n d u 2 U
o
,
x 2 S
o
8 k k
0
1 8
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P r o o f : T h e a s s u m p t i o n t h a t a t t = k
0
T , u 2 U
o
i s n o t r e s t r i c t i v e a s t h e c o n t r o l l e r
w o u l d b e i n i t i a l i z e d w i t h s o m e a c c e p t a b l e i n p u t . T o e s t a b l i s h t h e b o u n d e d n e s s o f a l l t h e
s i g n a l s i n c l o s e d l o o p , w e b e g i n a s f o l l o w s :
W e h a v e t h a t u k
0
2 U
o
x k
0
2 S
o
. C o n s i d e r i n g t h e P I c o m p e n s a t o r , w e c a n w r i t e :
! k = W z r k , x k 3 3
k ! k
2
k W z k
1
k r , x k
2
3 4
w h e r e r k i s t h e d e s i r e d o u t p u t t r a j e c t o r y , o b v i o u s l y r k 2 S
o
, r k
0
, x k
0
2 O S
o
S i n c e W z i s a s t a b l e p r o p e r t r a n s f e r f u n c t i o n , h e n c e f o r r k
0
, x k
0
2 O S
o
L
2
, w e
h a v e ! k
0
2 O S
o
L
2
. D e n o t i n g x k + ! k i n 2 2 b y k , w e h a v e :
k k
0
k
2
k x k
0
k
2
+ k ! k
0
k
2
3 5
w h e r e i s a n i t e d e s i g n c o n s t a n t c h o s e n e a r l i e r , k
0
2 O S
o
L
2
. A l s o f r o m 2 2
w e c a n w r i t e :
k a k
0
k
2
c
1
k k
0
k
2
+ c
2
k x k
0
k
2
3 6
w h e r e c
1
=
1
T b k
0
a n d c
2
= 1 , c
1
a r e n i t e c o n s t a n t s a s b k b
m i n
0 8 k , a k
0
2
O S
o
L
2
. F i n a l l y t h e s a t u r a t i o n f u n c t i o n p d e n e d i n 3 0 e n s u r e s t h a t a k
0
2 S
o
H e n c e , f r o m 2 1 w e g e t u k
0
+ 1 2 U
o
x k
0
+ 1 2 S
o
. N o w b y i n d u c t i o n w e c a n
s h o w t h a t c l o s e d l o o p s i g n a l s a r e b o u n d e d a n d u k 2 U
o
, x k 2 S
o
f o r a l l k k
0
2
7 S i m u l a t i o n a n d I m p l e m e n t a t i o n R e s u l t s
T h e m o d i e d c o n t r o l l a w g i v e n i n 2 9 , 2 2 , 3 0 a n d 2 0 i s s i m u l a t e d u s i n g M a t r i x x a n d
t h e n o n l i n e a r b r a k e m o d e l . T h e b l o c k d i a g r a m o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s s h o w n i n F i g u r e
1 3 . T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s o f t y p i c a l b r a k i n g s c e n a r i o s a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 7 a - 1 9 a . T h e
s i m u l a t i o n r e s u l t s c o n r m t h e c l a i m s m a d e a b o u t p e r f o r m a n c e i n t e r m s o f z e r o s t e a d y s t a t e
e r r o r , n o o v e r s h o o t a n d s u c i e n t l y f a s t r e s p o n s e l i m i t e d b y t h e e q u i p m e n t c o n s t r a i n t s .
T h e c o n t r o l l e r g i v e n i n F i g u r e 1 3 i s a l s o i m p l e m e n t e d o n t h e a c t u a l b r a k e s y s t e m . T h e
r e s u l t s o b t a i n e d f r o m t h e a c t u a l c l o s e d l o o p s y s t e m a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 7 b - 1 9 b . T h e
s i m u l a t i o n r e s u l t s i n F i g u r e s 1 7 a - 1 9 a a r e a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e a c t u a l c l o s e d l o o p s y s t e m
r e s p o n s e s h o w n i n F i g u r e s 1 7 b - 1 9 b . F u r t h e r m o r e , o n e o f t h e d e s i g n o b j e c t i v e s t o m a k e
t h e s y s t e m b e h a v e l i n e a r l y i s p r o v e d b y c o m p a r i n g t h e a c t u a l c l o s e d l o o p s y s t e m r e s p o n s e
w i t h t h a t o f t h e e q u i v a l e n t l i n e a r s y s t e m
K T
z , 1 + K T
. T h e c o m p a r i s o n f o r t h e t h r e e i n p u t s
c o n s i d e r e d b e f o r e i s s h o w n i n F i g u r e 2 1 .
A f u n c t i o n f x s O x i f t h e r e e x i s t s a n i t e c o n s t a n t c 0 , s u c h t h a t f x c x 8 x
1 9
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27/38
r +
P
K T i f f x 1 0 o r
e 0 a n d a 0 o r
a 2 6 0 a n d e 0 g
K T z
z 1
e l s e
!
e
1
T b
+ 1 ,
1
T b
x p .
a u
G
x
g
1
x a x + !
F i g u r e 1 3 : B l o c k d i a g r a m o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d c o n t r o l s y s t e m .
8 C o n c l u s i o n
A n o n l i n e a r m o d e l t h a t d e s c r i b e s t h e i n p u t o u t p u t b e h a v i o r o f t h e b r a k e s u b s y s t e m o f a
L i n c o l n t o w n c a r i s d e v e l o p e d . T h e m o d e l i s s i m p l i e d t o r e s e m b l e a r s t o r d e r l i n e a r s y s -
t e m w i t h n o n l i n e a r c o e c i e n t s a n d t i m e d e l a y s . T h e u n k n o w n p a r a m e t e r s a r e i d e n t i e d
b y a p p l y i n g t h e s t a n d a r d c u r v e t t i n g t e c h n i q u e s t o t h e d a t a o b t a i n e d b y c o n d u c t i n g e x -
p e r i m e n t s o n t h e t e s t b e n c h . T h e h y s t e r e s i s p h e n o m e n o n i s m o d e l e d b y i s o l a t i n g t h e t w o
o p e r a t i n g m o d e s , t h a t i s t h e b u i l d i n g a n d b l e e d i n g m o d e s , a n d i d e n t i f y i n g s e p a r a t e s e t s
o f p a r a m e t e r s f o r e a c h o n e . T h e w o r s t c a s e m o d e l i n g e r r o r w a s f o u n d t o b e l e s s t h a n 5
w i t h i n t h e r a n g e o f i n t e r e s t .
A b r a k e c o n t r o l l e r i s d e v e l o p e d u s i n g s t a n d a r d f e e d b a c k l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e s o n t h e
n o n l i n e a r v a l i d a t e d m o d e l . A P I c o m p e n s a t o r w i t h i n t u i t i v e m o d i c a t i o n s i s i n t r o d u c e d
i n t h e c l o s e d l o o p t o m e e t t h e p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s . T h e c o n t r o l l e r h a s b e e n s h o w n
t o m e e t t h e p o s s i b l e p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s i n a n A V C S a p p l i c a t i o n b y a p p l y i n g t o t h e
a c t u a l b r a k e s u b s y s t e m m o u n t e d o n a b e n c h .
A c k n o w l e d g m e n t
W e w o u l d l i k e t o t h a n k F o r d M o t o r C o m p a n y f o r d o n a t i n g t h e b r a k e t e s t b e n c h t o u s .
W e a l s o l i k e t o t h a n k D r . S t e v e E c k e r t a n d M r . M a r k P e t e r s o n f o r h e l p i n g u s t o s e t i t u p
a n d f o r m a n y u s e f u l t e c h n i c a l i n f o r m a t i o n s a n d g u i d a n c e .
R e f e r e n c e s
1 S h l a d o v e r , S . , E . , L o n g i t u d i n a l C o n t r o l o f A u t o m o t i v e V e h i c l e s i n C l o s e - F o r m a t i o n
P l a t o o n s " , A S M E J o u r n a l o n D y n a m i c S y s t e m s , M e a s u r e m e n t a n d C o n t r o l , v o l . 1 1 3 ,
1 9 9 1 , p p . 2 3 1 - 2 4 1 .
2 0
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28/38
2 S h l a d o v e r , S . , E . , D e s o r , C . , A . , H e d r i c k , J . , K . , T o m i z u k a , M . , W a r l a n d , J . , Z h a n g ,
W . , B . , M c M o h a n , D . , P e n g , H . , S h e i k h o l s e l a m , S . , M c K e o w n , N . , A u t o m a t i c V e h i c l e
C o n t r o l D e v e l o p m e n t s i n P A T H P r o g r a m , I E E E T r a n s . o n V e h i c u l a r T e c h n o l o g y " , v o l .
4 0 , 1 9 9 1 , p p . 1 1 4 - 1 3 0 .
3 S h e i k h o l e l s l a m , S . , D e s o e r , C . , A . , A S y s t e m L e v e l S t u d y o f t h e L o n g i t u d i n a l C o n t r o l
o f a P l a t o o n o f V e h i c l e s " , A S M E J o u r n a l o f D y n a m i c S y s t e m s , M e a s u r e m e n t , a n d
C o n t r o l , 1 9 9 1 .
4 V a r a i y a , P . , S m a r t C a r s o n S m a r t R o a d s : P r o b l e m s o f C o n t r o l " , I E E E T r a n s a c t i o n s
o n A u t o m a t i c C o n t r o l , v o l . A C - 3 8 , n o . 2 , p p . 1 9 5 - 2 0 7 , 1 9 9 3 .
5 C h i e n , C . , C . , I o a n n o u , P . , A u t o m a t i c V e h i c l e F o l l o w i n g " , P r o c . A m e r i c a n C o n t r o l
C o n f e r e n c e , C h i c a g o , I l . , J u n e 1 9 9 2 .
6 G e r d e s , J . , C . , M a c i u c a , D . , B . , D e v l i n , P . , E . , H e d r i c k , J . , K . , B r a k e M o d e l i n g f o r
I V H S L o n g i t u d i n a l C o n t r o l " , W i n t e r A n n u a l M e e t i n g o f t h e A m e r i c a n S o c i e t y o f t h e
M e c h a n i c a l E n g i n e e r s , 1 9 9 3 .
7 K h a n , Y . , K u l k a r n i , P . , a n d Y o u c e f - T o u m i , K . , M o d e l i n g , E x p e r i m e n t a t i o n a n d S i m -
u l a t i o n o f a B r a k e A p p l y S y s t e m " , P r o c e e d i n g s o f t h e 1 9 9 2 A m e r i c a n C o n t r o l C o n f e r -
e n c e , p p . 2 2 6 - 2 3 0 .
8 N u n n e y , M . , J . , L i g h t a n d H e a v y V e h i c l e T e c h n o l o g y " , 2 n d E d i t i o n , N e w n e s , O x f o r d
O X 2 8 D P , 1 9 9 2 , p p . 5 1 6 - 5 5 2 .
9 H e d r i c k J . K . , M c M a h o n D . , N a r e n d r a n V . , S w a r o o p D . , L o n g i t u d i n a l V e h i c l e C o n -
t r o l l e r D e s i g n f o r I V H S S y s t e m " , P r o c e e d i n g o f A m e r i c a n C o n t r o l C o n f e r e n c e " , V o l .
3 , p p . 3 1 0 7 - 3 1 1 2 , J u n e 1 9 9 1 .
1 0 X u Z . , I o a n n o u P . , T h r o t t l e a n d B r a k e C o n t r o l S y s t e m s f o r A u t o m a t i c V e h i c l e F o l -
l o w i n g " , I V H S J o u r n a l , 1 9 9 4 , V o l . 1 4 , p p . 3 4 5 - 3 7 7 .
1 1 H a u k s d o t t i r A . S . , F e n t o n R . E . , O n t h e D e s i g n o f V e h i c l e L o n g i t u d i n a l C o n t r o l l e r " ,
I E E E T r a n s a c t i o n o n V e h i c u l a r T e c h n o l o g y , V o l . V T - 3 4 , N o . 4 , p p . 1 8 2 - 1 8 7 , N o v . 1 9 8 5 .
1 2 S l o t i n e J . E . , L i W . , A p p l i e d N o n l i n e a r C o n t r o l " , P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i s ,
N J , 1 9 9 1 .
2 1
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29/38
A L o o k u p T a b l e s
u a = g u p s i b = h u a = g
u p s i
4 8 2 5 3 1 . 8 2 5 3
5 0 2 2 6 1 . 7 2 5 3
5 2 2 0 2 1 . 6 2 5 2
5 4 1 8 1 1 . 4 2 5 1
5 6 1 5 9 1 . 2 2 4 5
5 8 1 4 0 1 . 0 2 3 3
6 0 1 2 4 0 . 9 2 1 9
6 2 1 0 8 0 . 7 5 1 9 4
6 4 9 4 0 . 6 5 1 8 2
6 6 8 3 0 . 5 0 1 7 0
6 8 7 0 0 . 3 5 1 5 7
7 0 6 0 0 . 2 0 1 4 8
7 2 4 8 0 . 1 1 3 8
7 4 3 0 0 . 1 1 2 9
7 6 5 0 . 1 1 1 6
7 8 0 0 . 1 1 0 7
8 0 0 0 . 1 9 4
8 2 0 0 . 1 7 9
8 4 0 0 . 1 6 5
8 6 0 0 . 1 5 7
8 8 0 0 . 1 4 0
9 0 0 0 . 1 2 9
T a b l e 3 : L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f f u n c t i o n s g , h a n d g
f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e s 6 a n d 7
2 2
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30/38
u n x 0 3 0 6 0 8 0 9 5 1 0 5 1 2 5 1 4 5 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 5 2 5 3
4 8 X X X X X X X X X X X X 1 . 8
5 0 X X X X X X X X X X X 1 . 7 1 . 8
5 2 X X X X X X X X X X 1 . 6 1 . 7 1 . 8
5 4 X X X X X X X X X 1 . 4 1 . 6 1 . 7 1 . 9
5 6 X X X X X X X X 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 1 . 9
5 8 X X X X X X X 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 7 1 . 8 2 . 0
6 0 X X X X X X 0 . 9 1 . 0 1 . 2 1 . 5 1 . 7 1 . 9 2 . 1
6 2 X X X X X 0 . 7 5 0 . 9 1 . 0 1 . 3 1 . 5 1 . 8 1 . 9 2 . 2
6 4 X X X X 0 . 6 5 0 . 7 5 0 . 9 1 . 1 1 . 3 1 . 6 1 . 8 2 . 0 2 . 3
6 6 X X X 0 . 5 0 . 6 5 0 . 7 5 1 . 0 1 . 1 1 . 4 1 . 6 1 . 9 2 . 0 2 . 4
6 8 X X X 0 . 5 0 . 6 5 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 7 1 . 9 2 . 1 2 . 5
7 0 X X 0 . 2 0 . 5 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 5 1 . 8 2 . 0 2 . 2 2 . 6
7 2 X X 0 . 2 0 . 5 0 . 7 0 . 8 1 . 1 1 . 3 1 . 5 1 . 8 2 . 0 2 . 3 2 . 6
7 4 X 0 . 1 0 . 2 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 1 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 1 2 . 4 2 . 7
7 6 X 0 . 1 0 . 2 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 1 1 . 4 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7
7 8 0 . 1 0 . 1 0 . 3 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 2 1 . 4 1 . 7 2 . 0 2 . 3 2 . 5 2 . 8
8 0 0 . 1 0 . 1 0 . 3 0 . 6 0 . 7 0 . 9 1 . 2 1 . 5 1 . 7 2 . 0 2 . 3 2 . 6 2 . 8
8 2 0 . 1 0 . 1 0 . 3 0 . 7 0 . 7 1 . 0 1 . 2 1 . 5 1 . 8 2 . 1 2 . 4 2 . 6 2 . 9
8 4 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 5 1 . 8 2 . 1 2 . 4 2 . 7 2 . 9
8 6 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7 3 . 0
8 8 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7 3 . 0
9 0 0 . 1 0 . 1 0 . 4 0 . 7 0 . 8 1 . 0 1 . 3 1 . 6 1 . 9 2 . 2 2 . 5 2 . 7 3 . 0
T a b l e 4 : L e a s t s q u a r e t v a l u e s o f b = h
u ; x f o r t h e c u r v e s i n F i g u r e 7 . A n X a s a t a b l e
e n t r y i n d i c a t e s a n i n v a l i d s t a t e f o r b l e e d i n g m o d e .
2 3
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
31/38
0 10 20 30 40 50 600
30
60
90
120
150
180
210
time(sec)
pressure(psi)
0 10 20 30 40 50 600
50
100
150
200
250
300
time(sec)
pressure(psi)
F i g u r e 1 4 : A c o m p a r i s o n o f t h e a c t u a l a n d m o d e l o u t p u t f o r a s t e p i n p u t o f 5 2 i s s h o w n
i n t h e t o p p o r t i o n o f t h e F i g u r e . W h e r e a s i n t h e b o t t o m o n e i n p u t c h a n g e s f r o m 4 8 t o
9 0 a t t = 3 0 s e c .
2 4
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
32/38
0 5 10 15 2055
60
65
70
75
80
85
90
time (sec)
input(%)
0 5 10 15 200
20
40
60
80
100
120
140
160
time (sec)
modelands
ystemo
utput(psi)
0 5 10 15 2055
60
65
70
75
80
85
90
time (sec)
input(%)
0 5 10 15 200
20
40
60
80
100
120
140
160
time (sec)
modelandsystemo
utput(psi)
F i g u r e 1 5 : T h e t o p l e f t p o r t i o n o f t h e F i g u r e s h o w s t h e i n p u t s i g n a l b e i n g a p p l i e d t o a c t u a l
s y s t e m a n d b r a k e m o d e l f o r c o m p a r i s o n . T h e s y s t e m a n d m o d e l o u t p u t s a r e s h o w n i n t o p
r i g h t p o s i t i o n f o r g i v e n i n p u t s i g n a l . A s t a i r c a s e a p p r o x i m a t i o n o f t h e s a m e i n p u t s i g n a l i s
s h o w n i n b o t t o m l e f t g r a p h . T h e c o m p a r i s o n o f o u t p u t s i s s h o w n i n b o t t o m r i g h t g r a p h .
2 5
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
33/38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Simulation for controller without modifications
press
ure(psi),u
(%)
input
output
control input
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Simulation for controller with modifications
pressure(ps
i),u
(%)
input
output
control input
F i g u r e 1 6 : C o m p a r i s o n o f c l o s e d l o o p r e s p o n s e f o r P I c o m p e n s a t o r w i t h a n d w i t h o u t m o d -
i c a t i o n s .
2 6
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
34/38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Simulation for step input
press
ure(psi),u
(%)
input
output
control input
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Closed loop brake system output for step input
pressure(ps
i),u
(%)
input
output
control input
F i g u r e 1 7 : S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s t e p i n p u t , c o r r e s p o n d i n g t o a d e s i r e d
p r e s s u r e o f 2 0 0 p s i .
2 7
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
35/38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
30
60
90
120
150
180
210
time (sec)
Simulation for exponential input
press
ure(psi),u
(%)
input
output
control input
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
30
60
90
120
150
180
210
time (sec)
Closed loop brake system output for exponential input
pressure(ps
i),u
(%)
input
output
control input
F i g u r e 1 8 : S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r e x p o n e n t i a l i n p u t .
2 8
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
36/38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Simulation for sinusoidal input
press
ure(psi),u
(%)
input
output
control input
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Closed loop brake system output for sinusoidal input
pressure(ps
i),u
(%)
input
output
control input
F i g u r e 1 9 : S i m u l a t i o n a n d a c t u a l s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t .
2 9
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
37/38
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
30
60
90
120
150
180
210
240
time(sec)
pressu
re(psi),u
(%)
input
output
control input
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
30
60
90
120
150
180
210
240
time(sec)
pressure(psi),u(%)
input
output
control input
F i g u r e 2 0 : C l o s e d l o o p s y s t e m r e s p o n s e f o r s i n u s o i d a l i n p u t o f 0 . 2 5 H z . t o p a n d 0 . 5 H z .
b o t t o m . T h e d e s i r e d p r e s s u r e i s s t e p i n p u t o f 1 0 0 p s i f r o m 0 t o 1 0 s e c , f r o m 1 0 s e c t o 2 0
s e c a s i n u s o i d a l i n p u t w i t h a m p l i t u d e o f 2 5 p s i i s s u p e r i m p o s e d o n t h e s t e p i n p u t . I t s h o u l d
b e n o t e d t h a t s y s t e m b a n d w i d t h i s a r o u n d 0 . 5 H z .
3 0
8/3/2019 eScholarship UC Item 2dx3p56v
38/38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Comparison of Feedback linearized system with linear equivalent
pressure(psi)
linear system
actual system
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
time (sec)
Comparison of Feedback linearized system with linear equivalent
pressure(psi)
linear system
actual system
F i g u r e 2 1 : C o m p a r i s o n o f t h e f e e d b a c k l i n e a r i z e d s y s t e m r e s p o n s e w i t h t h e e q u i v a l e n t l i n e a r
s y s t e m r e s p o n s e f o r t w o d i e r e n t i n p u t s .