Escalona Men To

Sumrio

1 Escalonamento 1

1.1 Pr-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistema Linear e forma matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Forma escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Mtodo de eliminao de Gauss (escalonamento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 A matriz inversa e escalonamento (Gauss-Jordan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 O posto da matriz e grau de liberdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Calculando o determinante por escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

Captulo 1

Escalonamento

ltima atualizao em 03/04/2013 por Sadao Massago.

Neste captulo, veremos os mtodos de Gauss e Gauss-Jordan, conhecidos como mtodo de

escalonamento. O mtodo de escalonamento um dos mtodos mais importantes para diversos

clculos relacionados com o sistema linear, o que um pr requisito importante para a Geometria

Analtica.

1.1 Pr-requisitos

Para ler este texto, precisar ter noo bsica sobre matriz e sistemas lineares.

Por exemplo, conceitos sobre matrizes tais como soma e produto, mltiplos, determinantes e

inversa, tipo de matriz (quadrada, diagonal, simtrica, etc) so considerados conhecidos.

Da mesma forma, o que um sistema linear e suas solues, tcnicas de substituio para obter

a soluo do sistema, tipo de sistema quanto a soluo (determinada, indeterminada com innitas

solues e indeterminada sem soluo), etc so assumidos conhecidos.

Para tais assuntos, veja o [2], cuja uma verso online est disponvel no site

http://www.mat.ufmg.br/~regi/livros.html.

1.2 Sistema Linear e forma matricial

Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Considere um sistema de m equaes emn incgnitas

a11x1 + + a1nxn = b1a21x1 + + a2nxn = b2.

.

.

.

.

.

am1x1 + + amnxn = bmpode ser visto na forma equivalente como igualdade entre duas matrizes colunas

1

CAPTULO 1. ESCALONAMENTO 2

a11x1 + + a1nxna21x1 + + a2nxn.

.

.

am1x1 + + amnxn

=b1b2.

.

.

bm

que pode ser reescrito como produto matricial

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

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.

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.

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.

am1 am2 amn

x1x2.

.

.

xn

=b1b2.

.

.

bm

,denominado de representao matricial.

A matriz A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn

denominado de matriz dos coecientes, x =x1x2.

.

.

xn

denominado de vetor das incgnitas e o b =

b1b2.

.

.

bm

denominado de vetor dos constantes.Deixaremos de lado, o termo vetor para mais adiante e seguiremos em frente. Usando esta

notao, o sistema de equaes torna Ax = b e podemos ver facilmente que se A for matrizquadrada com detA 6= 0, temos que x = A1b. No entanto, no imediato determinar se osistema tem a soluo ou determinar solues no caso do sistema no quadrada.

A representao matricial essencialmente importante para resolver problemas complexos atra-

vs das tcnicas da lgebra matricial, o que no vamos entrar em detalhes.

Para resolver o sistema de equaes lineares, costumamos usar uma matriz denominada de

matriz aumentada que consiste de dois blocos, separado pelas linhas tracejadas. O bloco do lado

esquerdo a matriz dos coecientes e o bloco do lado direito o vetor dos constantes. A matriz

aumentada do sistema como segue.

a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 amn bm

importante que consiga efetuar converso rpida entre sistema de equaes, forma matricial

e a representao por matriz aumentada.

1.3 Forma escalonada

Uma matriz denominada de forma escalonada ou forma escada quando o nmero de zeros no

lado esquerdo do primeiro elemento no nulo da linha, aumenta a cada linha.


Exemplo 1.1.

1 2 0 1

0 2 0 1

0 0 1 0

0 0 0 3

uma matriz escalonada, mas

1 2 0 1

0 0 2 1

0 1 1 0

0 0 0 3

no .No caso de ter esgotado o nmero de colunas, isto , quando uma linha tornar nula, todas

linhas seguintes devem ser linhas nulas.

Exerccio 1.2.

1 2 0 1

0 2 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

uma matriz escalonada.A quarta linha no aumentou os nmeros de zeros por ter esgotado as colunas, mas uma

matriz escalonada.

Resolvendo o sistema j escalonada

O sistema cuja matriz do sistema est na forma escalonada denominado de sistema escalonada.

A soluo deste sistema pode ser obtido facilmente pela tcnica de substituio, resolvendo de baixo

para acima.

Exemplo 1.3. Considere a matriz aumentada do sistema

2 2 1 00 1 2 30 0 4 8

O sistema associada

2x+ 2y z = 0y + 2z = 34z = 8Resolvendo de baixo para cima, temos

4z = 8 = z = 2y + 2z = 3 = y + 2 (2) = 3 = y = 3 + 4 = 12x+ 2y z = 0 = 2x+ 2 1 (2) = 0 = 2x+ 4 = 0 = 2x = 4 = x = 2Logo, a soluo x = 2, y = 1, z = 2.Podemos obter tambm as innitas solues. Por exemplo, considere o sistema

1 2 1 3 10 0 2 1 10 0 0 4 4

tem innitas solues.

Resolvendo de baixo para cima, temos

4w = 4 = w = 12z + 1 = 1 = 2z = 2 = z = 1x+ 2y z + 3w = 1 = x+ 2y (1) + 3 (1) = 1 = x+ 2y = 3que tem mais de uma varivel desconhecida. Neste caso, escolhemos estas variveis como sendo

livres, com exceo de um. As variveis que forem escolhidos como livres sero considerados


conhecidos e so manipulados como constantes no restante da resoluo. Por exemplo, escolhendo

y como livre, temos x = 3 2y.Ento a soluo ser

x = 3 2y, y livre, z = 1 e w = 1.O nmero de variveis livres da soluo denominado de grau de liberdade do sistema.

Determinante do sistema escalonada

Uma matriz denominada de triangular superior quando a parte abaixo do diagonal so nulas.

Da forma anloga, denominado de matriz triangular inferior quando a parte acima do diagonal

so nulas.

Como os nmeros de zeros a esquerda do primeiro elemento no nulo da linha na matriz

escalonada devem aumentar a cada linha, ele ser uma matriz triangular superior no caso de ser

matriz quadrada.

Teorema 1.4 (Determinante do triangular). O determinante da matriz triangular o produto dos

elementos dos diagonais.

Demonstrao. Temos que o determinante com o desenvolvimento de Laplace na coluna j dadopor detA = (1)1+ja1j detA1j+(1)2+ja2j detA2j+ +(1)i+jaij detAij+ +(1)n+janj detAnjonde Aij a matriz obtida de A, eliminando a linha i e a coluna j.

Considere o caso da matriz triangular superior. Seja A =

a11 a12 a1,n1 a1n0 a22 a2,n1 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 an1,n1 an1,n0 0 0 ann

.

Aplicando o desenvolvimento de Laplace na primeira coluna, temos que detA = (1)1+1a11 detAij =a11 detAij. Aplicando sucessivamente o desenvolvimento de Laplace, temos que

detA = det

a11 a12 a1,n1 a1n0 a22 a2,n1 a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 an1,n1 an1,n0 0 0 ann

= a11 det

a22 a23 a2,n1 a2n0 a33 a3,n1 a3n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 an1,n1 an1,n0 0 0 ann

= a11a22 det

a33 a34 a3,n1 a3n0 a44 a4,n1 a4n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 an1,n1 an1,n0 0 0 ann

= = a11 ann.


O caso da matriz triangular inferior similar, efetuando o desenvolvimento de Laplace na

primeira linha.

Exemplo 1.5. det

2 3 0 10 1 5 40 0 3 10 0 0 5

= 2 (1) 3 5 = 30

e det

2 3 0 10 1 5 40 0 0 10 0 0 0

= 2 (1) 0 0 = 0.

1.4 Mtodo de eliminao de Gauss (escalonamento)

O mtodo de eliminao de Gauss um dos mtodos mais usados para resolver o sistema linear. A

verso adaptada denominada de Eliminao de Gauss-Jordan um dos mtodo mais prtico para

inverter matrizes. Alm de resolver o sistema linear e inverter matrizes, a eliminao de Gauss

usado frequentemente para diversos outros clculos tais como determinantes, base do ncleo e da

imagem de uma transformao linear, base do espao gerado, etc.

O procedimento converter a matriz aumentada do sistema dado, numa matriz escalonada,

aplicando uma sequncia de operaes denominados de operaes elementares. Tais operaes so

escolhidos de forma que a soluo do sistema no sejam alteradas.

As operaes elementares constituem de trs operaes bsicas

Somar mltiplo de outra linha: Equivale a somar mltiplo da outra equao que tambmno altera a soluo do sistema.

Troca de linhas: A troca de linhas corresponde a troca da posio das equaes, o que noinuencia na soluo do sistema.

Multiplicar uma linha por nmero no nulo: Equivale a multiplicar um nmero nonulo na equao correspondente que tambm no altera a soluo. Esta operao no

necessrio na eliminao de Gauss, mas faz-se necessrio no Gauss-Jordan.

Para a praticidade, multiplicar e somar mltiplos podem ser realizados juntas (exceto para o clculo

numrico).

A notao usadas so

Li Li + Lk somar linha k multiplicado por . No altera o determinante. Li Lk a troca de linha i por linha k. Caso estiver calculando o determinante por mtodode escalonamento, lembrar que isto muda o sinal do determinante.

Li Li multiplicar a linha i com . No esquecer que no podem ser nulo. No caso deestiver calculando o determinante, lembrar que o determinante multiplicado por .

No caso do Clculo Numrico, dever escalonar usando somente estas trs operaes, o que

adequado para uma implementao computacional eciente. Para o clculo manual, costuma

trocar a segunda operao com


Li Li +Lk combinao de multiplicar e somar o mltiplo. Lembrar que no pode sernulo. Quando = 1, ser operao usada no clculo numrico. No caso de estiver calculandoo determinante, lembrar que determinantes ser multiplicado por .

Tambm usaremos a notao adicional.

Li Li usado para indicar que a linha i no precisa ser modicada (multiplicar por 1).Todo de escalonamento efetuado em etapas, escolhendo as linhas de cima para baixo. Na primeira

etapa, escolhe a linha 1, na segunda etapa escolhe a linha 2 e assim por diante. A linha escolhidaem cada etapa denominada de linha piv (chave). Aps escolher a linha de piv, um elemento

especial desta linha denominado de elemento de piv ser escolhida.

Quando a linha de piv for a primeira linha, inicialmente o primeiro elemento ser considerado

elemento de piv. Quando a linha de piv for outras linhas, o elemento de uma coluna a direita

do piv anterior (da linha imediatamente acima) denominado de elemento de piv. Quando o

elemento de piv e todos os elementos da linha de baixo nesta coluna forem nulas, o piv ser

deslocado para a direita. Mais precisamente, um elemento da linha de piv denominado de

elemento piv se todas elementos das linhas dele e de baixo dele nas colunas a esquerda so nulas,

mas existe pelo menos um elemento no nulo na linha ou abaixo dela na coluna dele.

O objetivo de cada etapa anular os elementos abaixo (Gauss) ou acima e abaixo (Gauss-

Jordan) do elemento piv atravs dos operadores elementares usando a linha desejada e a linha

piv.

A melhor forma de entender o processo de eliminao de Gauss atravs de exemplos explicados.

Exemplo 1.6 (Escalonamento sem troca de linhas).

Considere o sistema linearx+ 2y z = 53y + 2z = 1x+ z = 1A matriz aumentada

1 2 1 50 3 2 1

1 0 1 1

Na primeira etapa, a linha piv a linha 1. O primeiro elemento o elemento do diagonal.Precisamos anular os elementos da primeira coluna da segunda e da terceira linha (linha de baixo).

A segunda linha no precisa de alterao. Dever anular a primeira coluna da terceira linha,

usando ele e a linha de piv (primeira linha). Para isso, basta subtrair a linha de piv.

1 2 1 50 3 2 1

1 0 1 1

piv L2 L2L3 L3 L1Com estas operaes, a primeira coluna cou escalonada.

Agora, a linha de piv a segunda linha e o elemento piv o elemento do diagonal (uma a

esquerda do piv anterior). Precisamos anular a segunda coluna da terceira linha (linha de baixo).

Para isto, basta multiplicar por 3 e subtrair o dobro da linha de piv. O esquema usado aqui

multiplicar o elemento de piv na linha em alterao (que quer anular o elemento abaixo de piv)


e o elemento que quer anular na linha de piv. Esta multiplicao invertida iguala os elementos

na coluna de piv. Subtraindo uma da outra, podemos anular o elemento desejado. No exemplo,

piv 3. Logo, multiplica 3 na linha 3 que est em alterao. O elemento que quer anular -2.

Logo, multiplica o -2 na linha de piv. Depois subtrai um do outro.

1 2 1 50 3 2 1

0 2 2 4

piv L3 3L3 (2)L2 = 3L3 + 2L2Na operao na terceira linha, foi necessrio multiplicar fator no trivial (diferente de 1) empelo menos uma das linhas. Casos como estes, necessrio efetuar clculos mais detalhada para

evitar erros e permitir corrigir no caso de cometer erros. Lembre-se de que, a forma mais rpida

de calcular evitar erros, o que no exceo para o caso de escalonamento.

O clculo para a terceira linha ser

3L3 : 0 6 6 122L2 : 0 6 4 2 (+)

0 0 10 10Agora a linha de piv seria a terceira linha. Como no h linha abaixo da terceira linha, a

matriz j est escalonada.

1 2 1 50 3 2 1

0 0 10 10

Como o escalonamento no altera a soluo do sistema associado, basta resolver o sistema

triangular, resolvendo de baixo para cima.

O sistema associada x+ 2y z = 53y + 2z = 1

10z = 10Resolvendo de baixo para cima, temos

10z = 10 = z = 13y + 2z = 1 = 3y + 2 (1) = 1 = 3y = 3 = y = 1x+ 2y z = 5 = x+ 2 1 (1) = 5 = x+ 3 = 5 = x = 2Logo, a soluo x = 2, y = 1, z = 1.Para obter o determinante, precisar ver o nmero de troca de linhas e quanto multiplicou nas

linhas.

Primeiramente, no houve troca de linhas. Logo, no haver mudana de sinal dos determi-

nantes.

O valor multiplicados nas linhas (que esto sendo anuladas) sempre foram 1, exceto na linhatrs na etapa 2. Nesta etapa, a linha 3 foi multiplicada por 3. Logo, o determinante da matrizescalonada o determinante da matriz original multiplicado por 3, o que signica que determinantesdo original um tero do determinante da matriz escalonada. Como o determinante do escalonada

1 3 10 = 30, o determinante do original 10. O escalonamento til para a resoluonumrica, incluindo soluo do sistema e determinantes, mas no prtico para a anlise terica

(demonstrar propriedades), o que costuma usar outras tcnicas.


Em muitas reas da matemtica, encontraro os resultados destinados para a anlise terica e

outra para a resoluo numrica. importante no confundir a utilidade de cada mtodo.

Observao importante: Para anular uma linha, s poder usar ele e o mltiplo da linha de

piv.

Suponha que a linha de piv seja k-sima linha e o elemento piv seja akj. Para anular a colunaj da linha i, basta efetuar a operao

Li akjLi aiiLk que multiplicar elementos da coluna j de uma linha na outra e subtrair.No caso do Clculo Numrico que no permitido multiplicar na linha que est sendo alterada,

passa dividindo pelo akj, obtendo Li Li aijakjLk. Apesar de gerar fraes, a forma adequadapara uma implementao computacional eciente, alm de alguns outros benefcios, como obter

uma decomposio LU da matriz. Lembrar que o elemento de piv akj no pode ser nulo.Na etapa 2 do exemplo, foi aplicado Li akjLi aijLk (multiplicar elemento de uma linha naoutra e subtrair), gerando L3 3L3 (2)L2 = 3L3 + 2L2.No caso do Clculo Numrico, deveria usar Li Li aijakjLk, obtendo L3 L3 23 Lk, o queevita de multiplicar nmeros na linha corrente (neste caso, o determinante ser mantido).

Exemplo 1.7 (Escalonamento com troca de linhas).

Considerex+ 2y z + w = 32x+ 4y 2z + 3w = 73x 6y + 2z w = 6A matriz do sistema

1 2 1 1 32 4 2 3 73 6 2 1 6

piv L2 L2 2L1L3 L3 + 3L1como tem fatores multiplicando nas linhas, escreveremos as operaes detalhadas de linhas.

Segunda linha:

L2 : 2 4 2 3 72L1 : 2 4 2 2 6 (+)

0 0 0 1 1Terceira linha:

L3 : 3 6 2 1 63L1 : 3 6 3 3 9 (+)

0 0 1 2 3O elemento piv ser escolhido inicialmente como sendo uma coluna a direita da etapa anterior.

Caso ele for nulo, trocar com linha de baixo. Caso todos os elementos desta coluna nas linhas de

baixo forem nulos, deslocar para a direita. No exemplo, o elemento piv nulo e todos elementos

correspondentes nas linhas de baixo tambm. Logo, deslocamos uma coluna para a direita.

1 2 1 1 30 0 0 1 10 0 1 2 3

piv


O elemento piv ainda nulo, mas agora podemos trocar com a linha de baixo.

1 2 1 1 30 0 0 1 10 0 1 2 3

piv L2 L3No caso de estar calculando o determinante, lembrar que a troca de linha muda o sinal do

determinante. Tendo o elemento piv no nulo, prosseguiremos com o procedimento de escalona-

mento, ainda na segunda etapa (linha de piv a segunda linha). Como a terceira linha j tem

zero na coluna, nada precisa ser feita.

1 2 1 1 30 0 1 2 30 0 0 1 1

piv L3 L3Assim, obtemos o sistema escalonada

1 2 1 1 30 0 1 2 30 0 0 1 1

O sistema associada x+ 2y z + w = 3z + 2w = 3w = 1Resolvendo de baixo para cima.

w = 1.z + 2w = 3 = z + 2(1) = 3 = z 2 = 3 = z = 1Na equao x + 2y z + w = 3 = x + 2y 1 + (1) = 3 = x + 2y = 3 + 2 = 1,obtendo x + 2y = 1, o que tem mais de uma varivel. Escolhendo y como sendo livre, teremosx = 1 2y.Assim, a soluo serx = 1 2yy = livre

z = 1

w = 1

1.5 A matriz inversa e escalonamento (Gauss-Jordan)

No caso da matriz 2 2, tem uma frmula pronta para inversa.Dado A =

[a bc d

], temos que A1 =

[a bc d

]1= 1

detA

[d bc a

]. Note que os elementos

dos diagonais principais trocaram de lugar e o elemento na diagonal secundrio trocaram de sinal,

mantendo no lugar. Esta frmula pode ser obtido facilmente da matriz dos cofatores. No caso da

dimenso maior ou igual a 3, o escalonamento uma das tcnicas mais importantes para invertermatrizes.

O processo consiste em escalonar a matriz obtido, colocando a matriz desejada no lado esquerdo

e a matriz identidade no lado direito. O processo de escalonamento similar ao da resoluo do

sistema linear, mas as operaes sero aplicadas em todas linhas que no sejam do piv (acima


e abaixo da linha de piv). Assim, obteremos uma matriz diagonal no lado esquerdo. Dividindo

cada linha com o elemento do diagonal do lado esquerdo usando a operao elementar Li Li,obteremos uma matriz identidade no lado esquerdo. A matriz no lado direito a matriz inversa.

O processo de escalonar tanto para cima como para baixo da linha de piv (e deixar o piv

como 1) para resolver o sistema ou inverter uma matriz denominado de mtodo de Gauss-Jordan.

Exemplo 1.8. Obter a inversa de A =

1 2 00 1 11 2 1

.

A matriz aumentada

1 2 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0

1 2 1 0 0 1

Na primeira etapa, somente existem linhas de baixo e operaes exatamente igual ao mtodo

de Gauss.

1 2 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0

1 2 1 0 0 1

piv L2 L2L3 L3 + L1Agora a linha de piv a segunda linha e precisamos anular acima e abaixo dela.

1 2 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0

0 4 1 1 0 1

piv L1 L1 2L2L3 L3 4L2A primeira linha:

L1 : 1 2 0 1 0 0

2L2 : 0 2 2 0 2 0 (+)1 0 2 1 2 0A segunda linha:

L3 : 0 4 1 1 0 1

4L2 : 0 4 4 0 4 0 (+)0 0 3 1 4 1Continuando para a terceira etapa (linha de piv terceira).

1 0 2 1 2 00 1 1 0 1 0

0 0 3 1 4 1

piv

L1 3L1 2L3L2 3L2 + L3O clculo para a primeira linha ser

3L1 : 3 0 6 3 6 02L3 : 0 0 6 2 8 2 (+)

3 0 0 1 2 2e para a segunda linha, temos


3L2 : 0 3 3 0 3 0

L3 : 0 0 3 1 4 1 (+)0 3 0 1 1 1Assim, j diagonalizamos o lado esquerdo da matriz aumentada.

3 0 0 1 2 20 3 0 1 1 10 0 3 1 4 1

Agora dividiremos as linhas com os elementos de diagonais da matriz a esquerda.

3 0 0 1 2 20 3 0 1 1 10 0 3 1 4 1

L1 13L1

L2 13L2

L3 13L3

O lado esquerdo tornou matriz identidade. Ento o lado direito ser a matriz inversa.

1 0 0 13

23

23

0 1 0 13

13

13

0 0 1 13

43

13

Matriz inversa A =

13 23 2313

13

131

343

13

, com o determinante

det (A1) =(127

+ 827

+ 227

) (227

+ 427

+ 227

)= 1

3. Como detA = 3, o determinante estcoerente. A comparao dos determinantes uma das tcnicas mais usadas para detectar erros na

matriz at 33, pois muito raro ter determinantes coerentes quando comete erros na inverso damatriz. No entanto, matriz acima de 44, mais rpido vericar se o produto matriz identidade.

Exemplo 1.9 (Gauss-Jordan com pivoteamento). Obter a inversa de A =

1 1 11 1 01 0 1

.

A matriz aumentada

1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1

Na primeira etapa, precisaremos anular abaixo do diagonal.

1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1

piv L2 L2 L1L3 L3 L1Agora a linha de piv a segunda linha. Como o elemento de piv nula, precisamos trocar

com a linha de baixo.


1 1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 00 1 0 1 0 1

piv L2 L3 .Agora precisamos anular acima e abaixo do elemento de piv.

1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 10 0 1 1 1 0

piv L1 L1 + L2L3 L3Continuando para a terceira etapa (linha de piv terceira).

1 0 1 0 0 1

0 1 0 1 0 10 0 1 1 1 0

piv

L1 L1 + L3L2 L2Assim, j diagonalizamos o lado esquerdo da matriz aumentada.

Agora dividiremos as linhas com os elementos de diagonais da matriz a esquerda.

1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 10 0 1 1 1 0

L1 L1L2 L2

L3 L3O lado esquerdo tornou matriz identidade. Ento o lado direito ser a matriz inversa.

1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 10 0 1 1 1 0

Matriz inversa A =

1 1 11 0 11 1 0

, com o determinante

det (A1) = 1. Como detA = 1, o determinante est coerente.

1.6 O posto da matriz e grau de liberdade.

O posto da matriz A denido como sendo nmero de linhas no nulas aps o escalonamento ecostuma ser denotado por (A).Dado um sistema linear, a forma escalonada equivalente da matriz aumentada permite clas-

sicar o sistema quanto as suas solues, assim como saber quantas variveis livres existem na

soluo do sistema.

Um sistema de equaes equivalente a forma escalonada. Isto signica que a soluo exa-

tamente a mesma. Portanto, basta saber escalonar e classicar a forma escalonada para classicar

um sistema.

Um sistema escalonada no tem soluo se, e somente se, tiver uma linha com lado da matriz

do sistema nula e lado dos constantes no nulas. Tal linha resulta na equao do tipo 0 = c 6= 0.Por exemplo,

Como as linhas totalmente nulas (tanto na parte da matriz do sistema, como dos constantes),

costumam ignorar e analisar as linhas que restarem.

Exemplo 1.10. Caso que no tem soluo.


1 2 1 10 0 2 10 0 0 4

0 0 0 0

0 0 0 4O sistema no tem soluo, a ltima linha resulta na equao 0x+ 0y + 0z = 4 = 0 = 4.Caso tenha soluo, analisaremos se tem soluo nica ou innita. Um sistema escalonada com

soluo apresenta uma nica soluo se, e somente se, o nmero de linhas no nulas for igual ao

nmero de variveis.

Exemplo 1.11. Caso que aparece linhas nulas.

1 2 1 10 0 2 10 0 1 0

0 0 0 0

O sistema restante (aps cortar linhas totalmente nulas) tem uma nica soluo.

Exemplo 1.12. Caso que aparece linhas nulas (2)

1 2 1 10 0 2 10 0 0 0

0 0 0 0

O grau de liberdade (nmero de variveis livres) do sistema escalonado o nmero de variveis

menos o nmero de linhas no nulas. Logo, ser o nmero de variveis menos o posto da matriz

do sistema.

No exemplo, o grau de liberdade 1.Se marcar o nmero da equao do sistema no lado esquerdo, poder detectar a equao

redundante.

Exemplo 1.13. Elimine as equaes redundantes do sistema

x+ y + z = 1

x y + z = 1x+ z = 1

x+ y z = 1

.

A matriz do sistema

1 1 1 1

1 1 1 11 0 1 1

1 1 1 1

1a.

2a.

3a.

4a.

L2 L2 L1L3 L3 L1L4 L4 L1

1 1 1 1

0 2 0 00 1 0 00 0 2 0

1a.

2a.

3a.

4a.

L3 2L3 L2L4 L4


2L3 : 0 2 0 0L2 : 0 2 0 0 ()

0 0 0 0

1 1 1 1

0 2 0 00 0 0 0

0 0 2 0

1a.

2a.

3a.

4a.

L3 L4

ao trocar linhas, troca-se tambm a rotulao a esquerda.

1 1 1 1

0 2 0 00 0 2 00 0 0 0

1a.

2a.

4a.

3a.

Agora a matriz esta escalonada. A ltima linha uma linha nula, logo a equao associada

redundante. Pela enumerao a esquerda, podemos constatar que a equao 3.

Da forma anloga, podemos determinar equaes inconsistentes. Equaes inconsistentes

aquele associado as linhas to tipo

0 0 acom a 6= 0.

1.7 Calculando o determinante por escalonamento

Embora o dedenvolvimento por Laplace no clculo de determinantes permite calcular para matriz

nn e importante para efetuar demonstraes, bastante trabalhoso paara calcular para matrizesacima de 3 3. O mtodo ecaz para clculo de determinantes principalmente quando acima de3 3 pelo processo de escalonamento.Seja A a matriz original e A, a matriz escalonada. Ento o determinante de A pode serobtido como produto dos elementos dos diagonaias. Pelo propriedade dos determinantes, podemos

mostrar que a operao Li Lk faz multiplicar o determinante por e somar multiplo deoutras linhas no altera o valor do determinante. Tambm sabemos que a troca de linha inverte

o sinal do determinante. Com isso, podemos concluir que (1)p detA = det A onde p onmero de troca de linhas.

Exemplo 1.14. Calcule o determinante de A =

3 0 1 02 0 2 00 1 0 10 1 0 1

usando escalonamento.determinante.

3 0 1 0

2 0 2 00 1 0 1

0 1 0 1

L2 3L2 + 2L1L3 L3L4 L4tendo = 3, = 1 e = 1

respectivamente.


3L2 : 6 0 6 02L1 : 6 0 2 0 (+)

0 0 8 0

Como piv nulo e tem elementos no nulos abaixo dele, troca-se as linhas.

3 0 1 0

0 0 8 0

0 1 0 1

0 1 0 1

L2 L3

3 0 1 0

0 1 0 1

0 0 8 0

0 1 0 1

L3 L3L4 L4 + L2 tendo = 1 e = 1

3 0 1 0

0 1 0 1

0 0 8 0

0 0 0 2

que j tem a forma escada.

O produto de ' s 3 1 1 1 1 = 3. Como houve nmero impar de troca de linhas, osinal de detA oposto de det A. Assim, 3 detA = det A. Como det A = 3 1 8 2, temosque 3 detA = 3 8 2 e consequentemente, detA = 16 de modo queExerccio 1.15. Encontre o determinante pelo desenvolvimento de Laplace.

Referncias Bibliogrcas

[1] Boldrini, Jos L. et al., "lgebra Linear", Editora Harbra Ldta, 1986.

[2] Santos, Reginaldo J., "Matrizes, Vetores e Geometria Analtica", Imprensa Univer-

sitaria da UFMG, 2010.

16

Escalonamento Pr-requisitosSistema Linear e forma matricialForma escalonadaMtodo de eliminao de Gauss (escalonamento)A matriz inversa e escalonamento (Gauss-Jordan)O posto da matriz e grau de liberdade.Calculando o determinante por escalonamento

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