EQUATIONS...x y 3 4 x2 3 7 8x 9 y 6 a 2 3b 78 x y 2 3y 5 9x 3y 2x 4 ab 10 2c 6 x2 8 5 0 23 15y 9z Unit 5: Equations IES Mata Jove – Matemáticas – Plurilingüe – 2º de ESO 5

Mathematics 2ESO

Unit 5

EQUATIONS

IES Mata Jove Course 2018/2019

Unit 5: Equations

IES Mata Jove – Matemáticas – Plurilingüe – 2º de ESO 2

Vocabulary and expressions Write down on this page the new vocabulary and expressions we’ll learn in class throughout this unit.

Unit 5: Equations


Numerical value of an algebraic expression. English

Evaluating a polynomial is to find its numerical value when the variables (x, y…) are

replaced by any number.

Valor numérico de una expresión algebraica. Spanish

Evaluar un polinomio es encontrar el valor numérico cuando las variables (x, y…) son reemplazadas por un número.

1) Calculate the numerical value of these algebraic expressions in the given values of the variables.

Equations English

An equation is an equality between two algebraic expressions.

Algebraic expression 1 = Algebraic expression 2

(Left Hand side = Right Hand side)

The values of the unknown that meet the equality is true are called solutions. Solve an equation is to find its solution or solutions.

Two equations are equivalent if they have the same solutions.

3x

en x 6

y

2

en y 5

a b

en a 6 ,b 9

x y zen x 1, y 4 , z 1

2 p q en p 1,q 3

e t

en e 1

5, t

15

7

Unit 5: Equations


Ecuaciones Spanish

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas.

Expresión algebraica 1 = Expresión algebraica 2

Se llaman miembros de la ecuación a cada una de las expresiones algebraicas que forman la ecuación (Left Hand side and right hand side). Esos miembros están formados por términos (terms); los términos son monomios formados por coeficientes (coeffcients), los números, y variables (variables), las letras. Los exponentes de las variables informan sobre el grado (degree) de las expresiones algebraicas que forman la ecuación.

Se llama solución de la ecuación al valor de la variable que hace que los dos miembros tengan el mismo valor numérico.

Resolver una ecuación, encontrar su solución o soluciones, es encontrar esos valores de las incógnitas (unknows) que hacen iguales ambos miembros de la ecuación.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

2) Señala cuáles de los casos siguientes corresponden a ecuaciones.

Equation?

Yes/No variables Degree

Equation?

Yes/No variables Degree

3) Dadas las siguientes ecuaciones, señala en cada caso cuál es el primer miembro, cuál es el segundo y cuáles son las incógnitas y el grado.

1er miembro

(Left hand side)

2º miembro

(Right hand side)

Incógnitas

(Unknowns) Degree

2x2 5 38x

x y

5

x y

3

4x2 3x 7 8x 9 y 6

a

2 3b 78 xy 2 3y 5

9x 3y x2 4

ab10 12c

6x2 8x 5 0

23 15y 9z

Unit 5: Equations


4) Check if the following values of the unknowns are solutions of the given equations.

Equation Is it a solution? Operations Yes/No

2x = x + 3

x = 4

x = 3

5x – 4 = 3x

x = 2

x = 1

3x2 – 13 = -1

x =-2

x = 2

5) Calculate the numerical value of these algebraic expressions in the given values of the variables.

x y 4

en x 8 , y 1

2a b

en a 3 ,b 5

2x 4

en x 2'37

2x2 3x 1

en x 1

x y 2 5xy

en x 1, y 3

x x 1 x 1 3

en x 1

Unit 5: Equations


6) Check if the following values of the unknowns are solutions of the given equations.

Equation Is it a solution? Operations Yes/No

2x y 1

x 3

y 5

x 1

y 4

x 2

y 3

x 2

y 5

y 1

y 0

3y 1 6y 2

x 4

x 8

x

2 3 x 1

Unit 5: Equations


7) De los siguientes números: 5, 3, -3, -1 ¿cuál es la solución de la ecuación?

Is it a solution? Operations Yes/No

5

3

-3

-1

8) Solve the following equations.

9) Write equations with the given solutions.

x 3

2

3 x 4 3

4 x 5

5

z 7 6 m5 3 3y 21 4x 36 5a 4 21

a 7 x 2, y 5

x 3 a 3 ,b 1

Unit 5: Equations


10) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables indicados.

11) Dadas las siguientes ecuaciones, tradúcelas a lenguaje ordinario y comprueba si el valor o los valores dados de las variables son solución o no de la ecuación.

Translation Are the values solution?

12) Write equations with the given solutions.

p

2

p

3 q

para p 6 ,q 5

3a 2b 7

para a 1,b 2

3x 5y

en x 2 , y 1

x2 2 3 y en x 2 , y 1

a b c c a a

en a 3 ,b 4 ,c 5

4x 7 2

para x 3

y 0 x 1, y 0,z 2

b

1

2

p 2,q 9

Unit 5: Equations



14) From the following numbers: 2, 1, -2, -1, which one is the solution of the equation?

Is it a solution? Operations Yes/No

2

1

-2

-1

4x

1

2

3x 4

2

s

4 3

b 1

5 7

14 13n x 2 7

6

t 1 1

Unit 5: Equations




3z 4 5 47x 3 3y 2 12 4n3 32

19 a2 3

6b 2

4 10

c

51 4

4x 113x

5x 3x 6

12

2x 1 4

39

4x 5 3

3z 8

2 19

7 9y 5 17 4y 5 7n 2 14 4n 13x x 9

Unit 5: Equations


First degree equations with one unknown (Linear equations) English

A linear equation is an algebraic equation in which each term is either a constant or the product of a constant and (the first power of) a single variable. It’s written like ax + b = 0, being a and b real numbers, and a ≠ 0. X is called “unknown”.

This equation has an unique solution: a

bx

Rules to obtain equivalent linear equations.

The following steps should be followed to solve linear equations:

Step 1: Decide how the expression containing the unknown has been “built up”.

Step 2: Perform inverse operations on both sides of the equation to “undo” how the equations is “built up”. In this way we isolate the unknown.

Step 3: Check your solution by substitution.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita (Ecuaciones lineales)

Spanish

Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a cualquier ecuación formada por expresiones algebraicas de grado 1 y con una única variable.

Todas las ecuaciones de este tipo pueden expresarse en la forma ax + b = 0, donde a y b son coeficientes conocidos y x representa el valor desconocido, la incógnita.

Esta ecuación tiene una única solución: a

bx

Reglas para obtener ecuaciones lineales equivalentes.

The following steps should be followed to solve linear equations:

Paso 1: Decide cómo ha sido construida la expresión que contiene la incógnita.

Paso 2: Realiza la operaciones inversas en ambos miembros de la ecuación para “deshacer” cómo la ecuación fue creada. Lo que estamos haciendo se llama “despejar la incógnita”.

Paso 3: Comprueba la solución por sustitución.

Como consecuencia podemos utilizar estas dos reglas.

Regla de la suma.

Los términos de la ecuación que están sumando o restando en uno de los miembros de la ecuación pasan al otro cambiando de signo.

Regla del producto.

Los términos de la ecuación que están multiplicando en uno de los miembros pasan al otro

dividiendo; si están dividiendo pasan al otro miembro multiplicando.

Unit 5: Equations


Examples. Solve these equations:

17) Solve the following equations. (Notebook)

a)

b)

c)

d)

e)

f) x

=73

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

2 x 3 x 5

3x 2x 6 x3x3

45x 2x8

3x 5 x1

x

4 2 14

3x 2 5

5x 250

x

5 60

4x 24

4 x 2

x 7 3

5 x 3

x 1 5

Unit 5: Equations


18) La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su perímetro mide 400 cm. Calcula las dimensiones de este rectángulo.

Base:___________, altura:___________

19) Calcula las longitudes de los lados de un triángulo isósceles de perímetro 82 cm y cuya base mide 8 cm menos que cada uno de los lados iguales.

Base:___________, lados iguales:___________ cada uno

20) Solve the following equations. (Notebook).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

5 x 2 2 x 5 2x 12 3x

7 3 2x 4 2 x 4 x

2 x 3 4 x 2 1 x

4 2x 7 3 3x 1 2 7 x

2x 7 2 x 1 3 x 3

4 x 4 1 x 5 2 x 0

Unit 5: Equations


21) Solve the following equations. (Notebook).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

1

x 5

4

x 3

10

x 3

8 0

5 9b

8

2b 3

4 2b

143

6

1 z

3

z 1

12

3z 1

4

p 3

5

p 6

71

2

n 1

2

n 3

3

n 1

2

a 10

3

a 7

4

3y 12

3 2 2y

2y 2

2

3x 1

6

2x 3

3

x 1

4

1 x

41

5 x

4

5 x

5

3x 4

2

2x 3

3 5x 3

3x 6

41 3x

x 1

2

5 2x

3

4x 3

5

x 10

2

Unit 5: Equations


22) Dos hermanas se llevan 3 años y su padre tiene 45. Hace 7 años, la suma de las edades de las hijas era la mitad que la del padre. ¿Qué edad tiene cada hija? (Notebook)

23) Una madre de 43 años tiene dos hijos de 9 y 11 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad de la madre? (Notebook)

24) La edad actual de una madre es el triple que la de su hija y dentro de 14 años será el doble. ¿Qué edad tiene cada una actualmente? (Notebook)

25) He pagado 14,30 € por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es 5 veces el del cuaderno y éste cuesta el doble que el bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada artículo? (Notebook)

26) Luis y Miguel han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han conseguido una rebaja del 16% y del 19%, respectivamente. Si Luis pagó 1,26 € más que Miguel, ¿cuál era el precio que tenía el videojuego? (Notebook)

27) El precio de un cierto artículo ha pasado de 0,75 € la unidad a 0,81 € la unidad en el último mes. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento? (Notebook)

28) Un carnicero ha vendido 65 kilos de carne; la de pollo a 3 €/kg y la de cerdo a 8 €/kg. Si ha recaudado 295 €, ¿cuántos kilos ha vendido de cada carne? (Notebook)

29) Two deposits have the same capacity. Both of them are full of water. We take 2000 litres from the first one and 9000 litres from the other, so now the volume of water in the first one is double than in the second one. ¿What is the capacity of the deposits? (Notebook)

30) Marta decide utilizar un tercio de sus vacaciones para realizar un viaje a Lisboa. Después descansará durante la quinta parte de los días de los que dispone y aún le quedará una semana para ir de camping con unos amigos. ¿Cuántos días de vacaciones tiene Marta? (Notebook)

31) A person distributes his/her monthly wage in the following way: one fifth goes to the house rent; 35% for food expenses; 15% goes in the savings account, and the rest, which is 468€, goes to other expenses. What is his/her monthly wage? (Notebook)

32) Tengo 9 monedas en el bolsillo, unas de 1€ y otras de 2€. Si en total tengo 15€, ¿cuántas monedas tengo de cada clase? (Notebook)

33) Para vallar una parcela de forma rectangular se han utilizado 1200 m de alambrada. Calcula cuánto miden los lados de la parcela sabiendo que uno de los lados es el doble del otro. (Notebook)

34) Roberto tiene 28 años y su hija Carla 4. ¿Cuántos años tendrá Roberto cuando su hija Carla tenga la mitad de la edad de su padre? (Notebook)

35) Rosa tiene 90 € en su cartera repartidos en billetes de 5 € y 10 €. Si hay 4 veces más billetes de 10 € que de 5 €, ¿cuántos billetes de cada tipo? (Notebook)

36) En una bolsa hay bolas rojas, azules y blancas. El número de bolas blancas es el doble del número de bolas rojas. El número de bolas azules es igual a la suma de las blancas y las rojas más 3 bolas. Si en total hay 423 bolas, calcula el número de bolas de cada color. (Notebook)

37) Un agricultor siembra la mitad de su huerta de pimientos, la tercera parte de tomates y los 200m2 restantes de patatas. ¿Cuál es la superficie total de la huerta? (Notebook)

Unit 5: Equations


38) Un ciclista sube un puerto a 15 km/h y, después, desciende por el mismo camino a 35 km/h. Si el paseo duró 30 min, ¿cuánto tiempo invirtió el ciclista en la subida? (Notebook)

39) Laura compró una falda y una blusa por un total de 66€. Ambas prendas tenían el mismo precio original, pero le hicieron un 20% de descuento en la falda y un 15% de descuento en la blusa. ¿Cuál era el precio original de cada prenda? (Notebook)

40) Una pirámide de 30m de altura y de base cuadrada, tiene un volumen de 2250 m3. Halla el lado de la base de la pirámide. (Notebook)

l = lado base (m)

A = área base

(m2)

h = altura (m)

V = volumen (m3)

·A·h

Lado de la base _______m

V

1

3a h

Unit 5: Equations


Quadratic equation (Second degree equations with one unknown).

English

In elementary algebra, a quadratic equation (from the Latin quadratus for "square") is

any equation having the form: ax2 + bx + c = 0. where x represents an unknown, and a, b, and c are constants with a not equal to 0. If a = 0, then the equation is linear, not quadratic. The constants a, b, and c are called, respectively, the quadratic coefficient, the linear coefficient and the constant or free term.

If b and c are not 0, it’s said the equation is complete.

If b o c is equal to 0, it’s said the equation is incomplete.

Complete quadratic equations

To find the solutions of a complete quadratic equation we use the quadratic formula:

2a

4acbbx

2

The double “plus and minus signs” means that there could exist two solutions.

2a

4acbbx

2

1

;

2a

4acb-bx

2

2

When an equation has two solutions, we call them x1 and x2.

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Spanish

Se llama ecuación de segundo grado con una incógnita a cualquier ecuación formada por expresiones algebraicas de grado 2 y con una única variable de la forma:

ax2 + bx + c = 0

donde a, b y c son coeficientes conocidos, con a distinto de cero, y x representa el valor desconocido, la incógnita.

Las contantes a, b y c son llamadas, respectivamente, coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y término independiente.

Si b y c no son cero, se dice que la ecuación es completa.

Si b o c es cero, se dice que la ecuación es incompleta.

Ecuaciones cuadráticas completas

Para resolver este tipo de ecuaciones, que pueden tener hasta dos soluciones, se usa la siguiente fórmula, llamada fórmula cuadrática:

2a

4acbbx

2

El doble signo, más/menos, significa que pueden existir dos dos soluciones.

2a

4acbbx

2

1

;

2a

4acb-bx

2

2

Cuando una ecuación tiene dos soluciones, las llamamos x1 y x2.

http://en.wikipedia.org/wiki/Latin

http://en.wikipedia.org/wiki/Square_(algebra)

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_equation

http://en.wikipedia.org/wiki/Coefficient

Unit 5: Equations


Número de soluciones de una ecuación cuadrática

Para determinar, antes de calcularlas, el número de soluciones de una ecuación podemos

calcular el discriminante b2 – 4ac. El signo de este discriminante nos indica el número

de soluciones de la ecuación.

2 soluciones 1 solución sin solución

41) Dadas las siguientes ecuaciones de 2º grado, calcula su discriminante para determinar el número de soluciones.

Discriminante

Discriminante Discriminante Discriminante

Nº de soluciones

Nº de soluciones Nº de soluciones Nº de soluciones

b2 4ac 0 b

2 4ac 0 b2 4ac 0

x2 4x 5

3x 1 x 1 0

2x 1

2

1 x x 30 7000

Unit 5: Equations


42) Solve the following quadratic equations. Examples.

a) x2 – 7x + 12 = 0

b) x2 – 9x + 18 = 0

c) 2x2 – 8x + 18 = 0

d) x2 – 9x + 14 = 0

e) x2 – 6x + 8 = 0

f) 3x2 + 12x + 9 = 0

Unit 5: Equations


43) Solve the following second degree equations. (Notebook)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

x2 7x 0

6x2 6x 12x

x2 24 120

1 1 x 2 x

x x 3

2

5

x2 8 2x

4x2 9 37x

x 9 x 9 3 x 27

x 1 x 3 3 0

Unit 5: Equations


j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

44) El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide un metro más que el otro cateto. Calcula el perímetro del triángulo sabiendo que su área es 10 m2. (Notebook)

45) Dos cuadrados tienen un área total de 58 m2. El lado del cuadrado mayor es 4m más largo que el lado del cuadrado menor. Calcula la longitud de los lados de los dos cuadrados. (Notebook)

46) Una familia dispone en su jardín de un estanque rectangular de 2x4 metros. De una obra en la casa les han sobrado 27 m2 de baldosa que quieren aprovechar para rodear el estanque con un paseo que tenga siempre la misma anchura. ¿Cuál debe ser el ancho del paseo para que pueda construirse con las baldosas que ya tienen? (Notebook)

4x2 2

3 2x

8x2 2

3 0

3 1 2x

2

2

2x 3

2

1 0

79x2 7 x2

10x2 6 4

x2 6x 3x

x2 8x

6x2 0

Unit 5: Equations


Systems of linear equations English

A system of equations is a collection of equations involving the same set of variables. The word system indicates that the equations are to be considered collectively, rather than individually.

The system is called linear if all the equations of the system are linear, namely, first degree equations.

Two equations from which we look for a common solution form a system of linear equations.

c'yb'xa'

cbyax

A solution of the system is any pair of numbers that meet the two equations at the same time. Solve the system is find the solution.

A way to solve a system of equations is plotting the straight lines that determine the solutions of the equations, and finding the intersection. This method of solving is called graphical solving of the system.

Another way to solve a system of equations is using algebraic methods.

Sistemas de ecuaciones lineales

Spanish

Un sistema de ecuaciones es una colección de ecuaciones con el mismo conjunto de variables. La palabra sistema indica que las ecuaciones deben ser consideradas conjuntamente más que individualmente.

El sistema de llama lineal si todas las ecuaciones del sistema son lineales, es decir, ecuaciones de primer grado.

Dos ecuaciones de la que buscamos una solución común forman un sistema de ecuaciones lineales.

c'yb'xa'

cbyax

Al resolver un sistema de ecuaciones tratamos de encontrar valores para cada una de las variables que cumplan todas las ecuaciones del sistema.

Una forma de resolver un Sistema de ecuaciones es dibujando las líneas rectas que determinan las soluciones de las ecuaciones, y encontrando la intersección. Este método se llama método gráfico.

Otra forma de resolver Sistema de ecuaciones es utilizando métodos algebraicos.

Unit 5: Equations


Sistemas de ecuaciones. Interpretación geométrica.

47) Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, determina si son lineales o no, represéntalos gráficamente con la ayuda de GeoGebra y encuentra sus soluciones.

Solución Solución Solución Solución

Solución Solución Solución Solución

Graphical solving of a system of equations English

Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones Spanish

7x 6y 1

4x y 3

x 3y 12

2x 2y 8

3x 2y 1

x y 2

4x y 5

2x y 2

8x y 2

2x y 8

x y 4

x y 3

x2 y 2 5

y

x 2

x y 8

x2 y 2 xy 52

Unit 5: Equations


48) Solve graphically the following pairs of simultaneous equations. What kind of simultaneous equations is, in terms of the number of solutions it has?

a)

2y3x

53yx

4

x + 3y = 5 3x - 4y = 2

x y x y

b)

54y2x

2yx 4

x + 2y = 4 2x + 4y =5

x y x y

c)

63y6x

2y2x

2x + y = 2 6x + 3y =6

x y x y

Unit 5: Equations


Methods of solving systems of equations English

Apart from the graphical method to solve systems of equations, we can use different numerical (algebraic) methods to solve them.

Substitution method The method of substitution in used when at least one equation is given with either x or y as the subject of the formula. We substitute an expression for this variable into the other equation.

Método de sustitución Spanish

49) Solve simultaneously.

a) 4

5 3 0

y x

x y

b) 1 2

9 2

x y

x y

c) 8 2

2 3 13

x y

x y

d) 2 8

7 2

x y

y x

Unit 5: Equations


Elimination method English

In many problems which require the simultaneous solution of linear equations, each equation will be of the form ax + by = c. Solution by substitution is often tedious in such situations and the method of elimination of one of the variables is preferred.

In this method, we make the coefficients of x (or y) the same size but opposite in sign and then add the equations. This had the effect of eliminating one of the variables.

The method of elimination uses the fact that: if a = b and c = d then a + c = b + d.

In problems where the coefficients of x (or y) are not the same size or opposite in sign, we may first have to multiply each equation by a number.

There is always a choice whether to eliminate x or y, so our choice depends on which variable is easier to eliminate.

Método de reducción Spanish


a) 5 3 12

3 6

x y

x y

b) 2 5 4

2 6 12

x y

x y

c) 4 3 6

2 5 4

x y

x y

d) 2 3 6

3 2 4

x y

x y

Unit 5: Equations


Equalizaton method English

This method consists of expressing the value of one unknown in both equations, and then write a new equation with these expressions.

Método de igualación Spanish


a) 8 2

2 3 13

x y

x y

b) 1 2

9 2

x y

x y

c) 3 2 8

3 12

x y

x y

d) 2 8

7 2

x y

y x

Unit 5: Equations


Problem solving using Algebra. Simultaneous equations. English

Many problems can be described mathematically by a pair of linear equations, or two

equations of the form ax + b y = c, where x and y are the two variables or unknowns. Once

the equations <are formed, they can then be solved simultaneously and thus the original

problem solved. The following method is recommended:

Step 1: Decide on the two unknowns; call them x and y, say. Do not forget the

units.

Step 2: Write down two equations connecting x and y.

Step 3: Solve the equations simultaneously.

Step 4: Check your solutions with the original data given.

Step 5: Give your answer in sentence form.

The form of the original equations will help you decide whether to use the substitution, the

elimination or the elimination method.

Resolver problemas usando Álgebra. Sistemas de ecuaciones. Spanish

Unit 5: Equations


52) Seven toffes and three chocolates cost a total of 1,68 €, whereas four toffes and five chocolates cost a total of 1,65 €. Find the cost of each of the sweets.

Step 1

Step 2

Step 3

Step 4

Step 5

53) Amy and Michell have 29,40€ between them. Amy’s money totals three quarters of Michelle’s. How much money does each have?

Step 1

Step 2

Step 3

Step 4

Step 5

Unit 5: Equations


54) At the local stationery shop, five pencils and six biros (bolígrafos) cost a total of 4,64 €, and seven pencils and three biros cost a total of 3,58€. Find the cost of each item. (Notebook)

55) I have only 50-cent and 1 € coins in my purse (bolso). There are 43 coins and their total value is 35 €. How many of each coin type do I have? (Notebook)

56) Margarine is sold in either 250 g or 400 g packs. A hotel ordered 19,6 kg of margarine and received 58 packs. How many of each type did the hotel receive? (Notebook)

57) Un matrimonio y sus tres hijos viajan a Lanzarote por 330 €. En el mismo vuelo, un padre y sus dos hijos pagaron 190 €. Calcula el precio de los billetes de adulto y de niño. (Notebook)

58) Una librería vendió 600 copias de un libro por un valor total de 6408 €. El libro costaba 12 € sin descuento, pero también vendieron algunas copias con un descuento del 30%. Calcula el número de copias vendidas con y sin descuento. (Notebook)

59) Sara ha hecho un examen que constaba de diez preguntas. Por cada pregunta acertada sumaba dos puntos, por cada fallo restaba uno. Sabiendo que respondió a todas y que sacó un ocho, calcula el número de fallos y de aciertos. (Notebook)

60) Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. (Notebook)

61) Un rectángulo y un cuadrado tienen la misma área. El largo del rectángulo es 6 cm mayor que el lado del cuadrado, y el ancho es 4 cm menor que el lado del cuadrado. Halla las dimensiones de ambas figuras. (Notebook)

62) En una bolsa hay 40 bolas, unas negras y otras blancas. Si añadimos tres bolas negras y dos blancas, habrá el doble de bolas negras que de blancas. ¿Cuántas bolas había de cada color? (Notebook)

63) Si quitamos 2cm del lado de un cuadrado, el área del cuadrado resultante es 25 cm2. ¿Cuánto miden los lados de los cuadrados?. ¿Cuánto mide el área de cuadrado mayor? (Notebook)

64) El área de un triángulo es 18 cm2. La altura es un metro más larga que el doble de la longitud de la base. Calcula la longitud de la base y de la altura del triángulo. (Notebook)

Unit 5: Equations


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81) Ham and cheese sandwiches have been bought. The price of a ham sandwich is 2.8€ and the price of a cheese sandwich is 2.50€. It cost 48€ to buy 18 sandwiches. How many sandwiches of each type were bought?

82) In a garage there are 50 vehicles between cars and motos. In total there are 140 wheels. How many vehicles of each type are there?

83) The sum of the ages of Fernando and his father is 40 years. The age of the father is 7 times the son’s age. How old are they?

84) Juan has bought a shirt and a pair of trousers. The prices of these two clothes added up to 60€, but he got a discount of 10% on the shirt and 20% on the pair of trousers. He paid in total 50.15€. What was the price of each item without the discounts?

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EQUATIONS...x y 3 4 x2 3 7 8x 9 y 6 a 2 3b 78 x y 2 3y 5 9x 3y 2x 4 ab 10 2c 6 x2 8 5 0 23 15y 9z Unit 5: Equations IES Mata Jove – Matemáticas – Plurilingüe – 2º de ESO 5